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용진 안
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1 수치해석 6009 Ch9. Numerical Itegratio Formulas

2 Part 5. 소개 / 미적분 미분 : 독립변수에대한종속변수의변화율 d vt yt dt yt 임의의물체의시간에따른위치, vt 속도 함수의구배 적분 : 미분의역, 어떤구간내에서시간 / 공간에따라변화하는정보를합하여전체결과를구함. t yt vt dt 0 에서 t 까지의구간에서곡선 vt 아래의면적 0

3 Part 5. 소개 / 미분과적분의비교 미분 적분

4 9. 소개및배경 적분 : I d b a 독립변수 에대한함수 의구간 a 에서 b 까지의적분 a 와 b 사이의범위에서곡선 아래의면적 구적법 수치적으로정적분을구하는방법 도형과같은면적을가지는사각형을구축한다는것을의미

5 9. Newto-Cotes 공식 / 가장널리사용되는수치적분방법 복잡한함수나도표화된데이터를적분하기쉬운다항식으로대체 b d I d a b a 여기서 a a L a a 0 적분의근사 : a 직선아래면적, b 포물선아래면적

6 9. Newto-Cotes 공식 / 세직선아래의면적으로근사 a 폐구간적분공식과 b 개구간적분공식 데이터를동일간격의소구간으로나누어일련의다항식으로근사값계산 Newto-Cotes 공식에는폐구간법과개구간법이있음

7 9. 사다리꼴공식 /6 Newto-Cotes 폐구간적분공식의첫번째방법 차다항식 I b a d b b a a a d a b a a b b a 사다리꼴공식 I 폭 평균높이 b a 평균높이

8 9. 사다리꼴공식 /6 사다리꼴공식의오차 한개의구간에대해공식을적용할때발생하는국소절단오차 E t ξ b a - 선형함수에대해서는정해제공 ''ξ 0 - 차이상의함수인경우에는어느정도의오차가발생 함수 의 0 에서 0.8 까지의적분의근사와발생오차

9 예제 9. / Q. 주어진 5 차함수의적분을 a 0 에서 b 0.8 까지의구간에대해사다리꼴공식을사용하여수치적으로구하라. 참고로정해는 Sol I E t ε t 89.5% 상당한오차!

10 예제 9. / 근사적인오차추정값 : 400 4,050 0,800 8, ,050 0,800 8,000 d E a ote : E a 는참오차와같은차수와부호를가지지만, 차이가있다. 이는 차도함수의평균 "ξ 때문이며, 따라서 E a 는근사오차임.

11 9. 사다리꼴공식 /6 합성사다리꼴공식 a 에서 b 까지의적분구간을다수의소구간으로나누고, 사다리꼴공식을각소구간에적용 합성 또는다구간 적분공식

12 9. 사다리꼴공식 4/6 개의등간격기본점 0,,,..., 개의등간격구간폭 ; b a h 만약 a 0 와 b 로놓으면, I 사다리꼴공식을각각적용하면, 0 d d L d I I h h i h L h 0 0 i 여기서, 평균높이는함수값의가중평균값을나타냄 0 i i 또는 I b a Width Average height

13 9. 사다리꼴공식 5/6 합성사다리꼴공식의오차 각구간의오차의합 E b a ξ t i i b a E a 또는 ξ 에서 i i i ξ i

14 예제 9. / Q. 두개의구간에대한사다리꼴공식을이용하여 a 0 에서 b 0.8 까지의범위에서함수의적분값을구하라. 참고로정해는 Sol h 0.4 에대해서 I E t ε 4.9% E a t

15 예제 9. / < 함수 를 0 에서 0.8 까지적분한합성사다리꼴공식의결과 > h I ε % t

16 9. 사다리꼴공식 6/6

17 9.4 Simpso 공식 /6 사다리꼴공식- 오차가함수의 차도함수와관련 Simpsos 공식 : 데이터점들을연결하는고차다항식을사용 조밀한구간에대한사다리꼴공식보다정확한적분 a Simpso / 공식 : 세점을연결하는포물선아래에있는면적 b Simpso /8 공식 : 네점을연결하는 차방정식아래에있는면적

18 I 9.4 Simpso 공식 /6 Simpso / 공식 세점을연결하는 차다항식을사용하는경우 Lagrage orm d 또는 h I [ 0 4 ] 또는 I 0 4 b a 6 여기서 h b a/, a 0, b, 그리고 a b/ 오차 b a 4 E t h ξ 또는 E t ξ 기대했던것 차도함수에비례 보다더정확한 4차도함수에비례 차다항식에대해서도정확한결과를산출

19 예제 9. Q. Simpso / 공식을이용하여구간 a 0와 b 0.8 사이에서다음식을적분하라. 참고로정해는 Sol h 0.4 에대해서 I E t ε 6.6% E a t 단일구간에적용한사다리꼴공식의결과보다약 5 배정도더정확함

20 9.4 Simpso 9.4 Simpso 9.4 Simpso 9.4 Simpso 공식공식공식공식 /6 /6 /6 /6 합성 Simpso / 공식 주어진구간을등간격의여러구간으로나눔으로써개선된적분결과를얻는다. 각각의적분항에 Simpso / 공식을대입하면 d d d I 4 0 L 또는 h h h I L a b I j j i i 4,4,6,,5 0

21 9.4 Simpso 공식 4/6 이방법을적용하기위해서는 " 짝수개 " 의구간을사용 추정오차 : E a b a 합성 Simpso / 공식에사용되는상대적가중치 함수값위에주어진수치

22 예제 9.4 합성 Simpso / 공식 Q. 합성 Simpso / 공식을이용하여구간 a 0 과 b 0.8 사이에서 4 일때다음식을적분하라. 참고로정해는.6405 Sol 4 h 0. 에대해서 I E t ε.04% t 4 5 추정오차 : E a

23 9.4 Simpso 공식 5/6 Simpso /8 공식 차 Newto-Cotes 폐구간적분공식 차 Lagrage 다항식을이용하여유도 여기서 오차 : h I [ 0 ] 8 0 I b a 8 h b a/ 또는 b a 4 E t h ξ 80 또는 E t ξ 네개의데이터점으로 차의정확도를얻음 - Simpso /8 공식이 Simpso / 공식보다조금더정확함 - 세개의데이터점으로 차의정확도를얻는 / 공식이더선호됨 구간의개수가홀수인경우에도적용이가능

24 예제 9.5 합성 Simpso /8 공식 / Q. a Simpso /8 공식을사용하여구간 a 0 에서 b 0.8 까지아래의식을적분하라. b Simpso /8 공식과 Simpso / 공식을함께사용하여다섯개의구간 구간 a 0에서 b 0.8까지 에대해아래의식을적분하라

예제 9.5 합성 Simpso /8 공식 / 풀이 a h 0.667 에대해서 0 0. 0.5.48777 0.

6 에대해서 0 0. 0..749 0.64.899 0.6.9699 0.48.8605 0.

25 예제 9.5 합성 Simpso /8 공식 / 풀이 a h 에대해서 I b h 0.6 에대해서 Simpso / 공식과 /8 공식을함께적용하여적분을구하는예 홀수개의구간인경우

26 예제 9.5 합성 Simpso /8 공식 / Simpso / 공식을처음두개의구간에적용하면 I Simpso /8 공식을나머지세개의구간에적용하면 I 두결과를합하여전체적분값 I

27 9.5 고차 Newto-Cotes 공식 <Newto-Cotes 폐구간적분공식 : 간격의크기는 h b a/ 임 > 구간수 점의개수 이름공식절단오차 사다리꼴공식 0 b a / h ξ Simpso / 공식 Simpso /8 공식 Boole 공식 0 4 a 6 b 5 4 / 90 h ξ 0 a / 80 h ξ b a 90 4 b 7 6 8/ 945 h ξ a 88 5 b /,096 h ξ 짝수구간 - 홀수점공식을통상적으로선호한다.

28 9.6 부등간격의적분 / 사다리꼴공식을각각의구간에적용하고그결과를합한다. I d d dl d 0 I 0 0 여기서 h i 구간 i 의폭 0 L

29 예제 9.6 부등간격에대한사다리꼴공식 Q. 주어진데이터에대한적분값을구하라. 참고로정해는.6405 이다 Sol I L t.8%

9.6 부등간격의적분 / >> [0....6.4.44.54.64.7.8]; >> y 0.

30 9.6 부등간격의적분 / >> [ ]; >> y 0. 5* - 00*.^ 675*.^ - 900*.^4 400*.^5; >> trapueq,y as.5948

31 9.7 개구간법 <Newto-Cotes 개구간적분공식 : 간격의크기는 h b a/ 임 > 구간수 점의개수 이름 공식 절단오차 중점법 b a / h ξ a b / 4 h ξ a b / 45h ξ a 4 4 b /44 h ξ a 0 0 b 7 6 4/40 h ξ 짝수구간 - 홀수점공식이보통선호됨 정적분의계산에는잘사용않으며이상적분을수행하는데유용

32 9.8 다중적분 차원함수의평균값 a d d b c, y d dy c b a 이중적분 : d c b a b d, y d dy, y dy d a c - 적분의순서가중요하지않다. 함수표면아래의면적을구하는이중적분

33 예제 9.8 이중적분의사용 Q. 직사각형가열판의온도가다음의함수로표현될수있을때, 판의길이 차원 가 8 m 이고폭 y 차원 이 6 m 인경우에평균온도를계산하라. Sol T, y y y 각각의 y 의값에대해 차원을 따라사다리꼴공식을수행 y 차원을따라적분 최종결과 688 과 평균온도 688/ Simpso / 공식을이용하면 정확한값인 86 과평균온도가

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$(Microsoft PowerPoint - Ch21_NumAnalysis.ppt [\310\243\310\257 \270\360\265\345])$ 수치해석 161009 Ch21. Numerical Differentiation 21.1 소개및배경 (1/2) 미분 도함수 : 독립변수에대한종속변수의변화율 y = x f ( xi + x) f ( xi ) x dy dx f ( xi + x) f ( xi ) = lim = y = f ( xi ) x 0 x 차분근사 도함수 1 차도함수 : 곡선의한점에서접선의구배 21.1