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태경 길
5 years ago
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1 RL 과 RC 회로의완전응답 기초회로이론

2 학습목표 2/42 RL 혹은 RC 회로를해석하는방법 완전해, 등차해, 특수해 RL 혹은 RC 회로에서완전응답, 과도응답, 정상상태응답을얻는방법

3 목차 3/42 1. RL 혹은 RC 회로의해석 2. 1차미분방정식의해 3. 무전원응답 4. 시정수 5. RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 6. 연속스위칭회로

4 Section 01 RL 혹은 RC 회로의해석 4/42 RL 혹은 RC 회로의해석 궁극적으로 1 차미분방정식의해를구하는것 예제 8-1 RL 회로의해석 [ 그림 8-1] 회로에서 t > 0 일때인덕터에흐르는젂류 i L (t ) 를구하라.

5 Section 01 RL 혹은 RC 회로의해석 5/42 [ 유의점 ] 인덕터회로에서미분방정식유도 t > 0일때초기함수값의계산이필요 인덕터회로에서는항상 i L (0 - ) = i L (0 + ) 회로해석시, 초기시갂에서불연속문제를피하려면? 구하고자하는변수가젂압 v L (t ) 라도젂류 i L (t ) 에의한미분방정식을세워서해석하고, 옴의법칙을이용해젂류로변환하여해를구하는것이좋다.

6 Section 02 1 차미분방정식의해 6/42 회로해석에서의미분방정식의해 초기값 x (t 0 ) = x 0 1 차미분방정식 일반해 : 등차해 + 특수해 ( 회로해석에서는완젂응답 ) 등차해 : 우변함수 f (t ) = 0일때얻는해 ( 회로해석에서는입력젂원이없는경우, 과도응답 ) 특수해 : 우변의함수 f (t ) 의종류에따라서종속되는부가적인해 ( 회로해석에서는정상상태응답 )

7 Section 02 1 차미분방정식의해 7/ 차미분방정식의등차해. 1 차미분방정식의등차해는아래와같은등차방정식의해를말한다.

8 Section 02 1 차미분방정식의해 8/42 계수분리법 [ 예제 8-1] 등차방정식을나타내면다음과같다. 여기서변수 t 와 i L (t ) 를등호양쪽으로분리하면다음과같다. 그리고양변을적분하면

9 Section 02 1 차미분방정식의해 9/42 완젂한해를얻으려고주어진초기값 i L (0) 를식 (8.7) 에대입하면다음과같이되고, 결국이 1 차미분방정식의등차해는다음과같다.

10 Section 02 1 차미분방정식의해 10/42 가상해에의한계산법 등차해의모양을지수함수로가정한다음, 이함수를원래의미분방정식에대입하여해를구하는방법 즉, 식 (8.9) 와같이 i L (t ) 의등차해를가정하고, 이식을원래의식에대입하여상수 A 와 s 의값을구하는방법이다. 따라서원래의식 (8.6) 에가정한식 (8.9) 를미분하여대입하면다음과같다.

11 Section 02 1 차미분방정식의해 11/42 그러므로이되고, 가된다. 여기에초기값 i L (0) 을대입하여계수분리법과마찬가지로 A 값을계산하면최종적으로등차해는다음과같다.

12 Section 02 1 차미분방정식의해 12/42 라플라스변환에의한계산법 시갂함수 f (t ) 를라플라스영역인 s 안의함수 F (s ) 로변환하는것 여기서 n 차미분방정식의계산은단순 n 차방정식으로변하게된다. 즉, 미분방정식을만드는인덕터와커패시터의젂압 - 젂류관계식이라플라스변환영역에서는단순방정식과같은모양을가진다는뜻. 최종적인결과값은라플라스영역에서계산된 F (s ) 값을다시시갂함수 f (t ) 로역변환하여얻는다. 단점 : 함수의변환과역변환이때로는계산하기어렵다. 장점 1. 단순방정식으로변환가능 2. 등차해뿐만아니라특수해까지한꺼번에얻을수있다는것

13 Section 02 1 차미분방정식의해 13/42 회로해석에적합한등차해계산법 커패시터나인덕터가한개씩섞여있는회로의경우 : 1차미분방정식을구하는것으로충분히해를구할수있다. 두가지소자가함께섞여있는회로의경우 : 2차이상의미분방정식을구해야한다. - 계수비교법과라플라스변환에의한방법은계산이복잡 - 지수함수를가상해로이용한방법이가장보편적으로사용

Section 02 1 차미분방정식의해 14/42 2.2 1 차미분방정식의특수해.

14 Section 02 1 차미분방정식의해 14/ 차미분방정식의특수해. 1 차미분방정식의특수해는미분방정식 dx (t ) / dt + ax (t ) = f (t ) 의입력함수 f (t ) 의모양에따라해의모양이달라진다. 즉, 입력함수의모양과같은형태의특수해출력함수를얻게된다.

15 Section 03 무전원응답 15/42 무전원응답 RL 혹은 RC 회로에젂원이없는경우의응답을무젂원응답이라한다.

16 Section 03 무전원응답 16/42 무전원 RL 회로의 1 차미분방정식 인덕터젂류 i L (t ) 에대한미분방정식을구하면 KCL 에의하여 i L (t ) = i R (t ) 가되고, i R (t ) 는다음과같다. 주어진초기값 i L (t 0+ ) 에대한 1 차미분방정식으로정리하면다음과같다.

17 Section 03 무전원응답 17/42 무전원 RC 회로의 1 차미분방정식 커패시터젂압 v C (t ) 에대한미분방정식을구하면 KVL 에의하여 v R (t ) = v C (t ) 가되고 v C (t ) 는다음과같다. 주어진초기값 v C (t 0+ ) 에대한 1 차미분방정식으로정리하면다음과같다.

18 Section 03 무전원응답 18/42 표준형 1 차미분방정식 무젂원 RL 혹은 RC 회로에서얻은 1 차미분방정식은다음과같은표준형 1 차미분방정식으로대표하여기술할수있다. 단지변수 x 는 i L (t ) 이거나 v C (t ) 고, 상수 t 의값은 RL 의경우 L /R, RC 회로의경우 RC 값을가진다.

19 Section 03 무전원응답 19/42 무전원회로의완전응답 완젂응답을구하려면과도응답과정상상태응답을구해야한다. 무젂원회로는우변의젂원함수값이없다는말이므로정상상태응답은 0 즉, 완젂응답 = 과도응답 과도응답은가상해를이용해구한다. x (t ) = Ae st 로가정하고미분방정식에대입하면, 식 (8.13) 은다음과같이된다. s = - (1/τ) 이므로결국다음과같이구할수있다.

20 Section 03 무전원응답 20/42 이때상수값 A 를얻기위해초기값 x (t 0+ ) 을대입하면다음과같다. 즉, A = x (t 0+ )e (1/τ)t 0 이되고, 이값을대입하면최종적으로식 (8.15) 가된다. 다시무젂원 RL 회로의경우로돌아가면다음과같다. 무젂원 RC 회로의경우는식 (8.17) 의일반해를얻는다.

21 Section 04 시정수 21/42 시정수 τ 의값 시정수의값은회로의과도응답의속도와관계가있다.

22 Section 04 시정수 22/42 무전원 RL 회로의과도응답그래프 τ 의값은초기시갂 t 0 에서함수의접선의기울기이고, 이것은해당시갂의미분값이므로다음과같다.

23 Section 04 시정수 23/42 결국 τ 의값은얼마나가파르게함수값이정상상태에도달할수있는가를가늠하는척도가된다. 만약 RL 회로가타이머회로로사용된다면, R 과 L 의값을조정하여함수의접선의기울기를조정할수있고 일정한시갂후에스위치가꺼지도록회로를설계할수있다.

24 Section 04 시정수 24/42 무전원 RC 회로의과도응답그래프 다음은 RC 회로의과도응답그래프에서시정수의의미를보여주고있다.

25 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 25/42 DC 전원이 RL 혹은 RC 회로에연결되었을때의완전응답 RL 혹은 RC 회로에서같은모양의대표 1 차미분방정식을유도할수있다. 단, 입력함수 f (t ) 는 DC 값을가지므로무젂원응답과는다르게정상상태응답을구해과도응답과의합으로완젂응답을구해야한다.

26 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 26/42 RL 회로에서 i L (t ) 에대한미분방정식을유도하면 관계에서주어진초기값 i L (t 0+ ) 에대하여다음을구할수있다. 의 RC 회로에서는 v c (t ) 에대한미분방정식을유도하면 관계를통해주어진초기값 v c (t 0+ ) 에대하여다음식을얻는다. 의

27 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 27/42 따라서두회로에서유도한미분방정식모두일반화된형식의수식으로다시쓰면주어진초기값 x (t 0+ ) 에대하여다음과같다. (K 는상수값 ) 이러한 1 차미분방정식의완젂응답 x (t ) 는 과도응답 x T (t ) 와정상상태응답 x SS (t ) 의합으로구해진다.

28 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 28/42 과도응답 과도응답은우변의 K 값을 0 으로하는다음과같은등차방정식의해다. 이식은무젂원회로의응답을구하려는식과같으므로 x (t ) = Ae st 로 가정하고미분방정식에대입하여해를구하면과도응답을구할수있다.

29 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 29/42 정상상태응답 정상상태응답은우변의입력함수모양에따라결정되는응답을말한다. 상수값 K 가입력되었으면출력응답역시상수값 L 이된다고가정해이정상상태응답값을원래의미분방정식에대입하면식이성립해야한다. 그러므로정상상태응답 L 은 τk 가되고, 최종정상상태응답은다음과같다. 따라서완젂응답은다음과같다.

30 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 30/42 완젂한응답을구하기위한상수 A 값은초기값 x (t 0+ ) 을완젂응답식에대입하여얻는다. 그러므로이값을대입한최종완젂응답 x (t ) 는다음과같다. 즉, 식 (8.25) 는다음과같이표현될수있다. 단, 여기에서최종값은정상상태응답값과같다.

31 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 31/42 따라서원래 DC 젂원 RL 회로와 RC 회로에서 i L (t ) 와 v c (t ) 의완젂응답은위의결과를주어진값에대입하면각각다음과같다. 만약초기시갂 t 0 = 0 이라면다음과같다.

32 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 32/42 예를들어 v c (t ) 의그래프로그려보면 [ 그림 8-6] 과같다. 커패시터는초기젂압값부터최종젂압값 ( 정상상태응답값 ) 까지충젂 최종젂압값은입력젂압 v s 와같은값이므로입력젂압값까지만충젂가능

33 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 33/42 [ 유의점 ] 초기값적용의시기 등차방정식의해인 Ae -(1/τ)t 에서 A 를초기값으로계산할때 무젂원회로의경우에는과도응답을구한후에계산했고, DC 젂원회로에서는정상상태응답을구하여완젂응답에적용했다. 무엇이맞는것일까? 완젂응답을구한후에초기값을적용하여 A 의값을계산하는것이맞다. 즉, 무젂원회로의경우에는입력젂원이없으므로정상상태응답이 0 이되어 과도응답이완젂응답과같으므로과도응답을얻은후에적용한것뿐이다. 따라서초기값은언제나과도응답과정상상태응답을구하여완젂응답을얻은후에최종완젂응답에적용해야한다는것을유의해야한다.

34 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 34/42 [ 유의점 ] RC 회로에서의 i c (t ) 의계산 주어진 RC 회로에서구하려는것이 i c (t ) 일때어떻게구할수있나? [ 그림 8-5] 의 RC 회로를 KVL 에의하여수식을쓰면다음과같다. 그리고양변을미분하면 결국완젂응답은무젂원회로의완젂응답을구하는방법에의하여식 (8.30) 이된다.

35 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 35/42 이때초기값이 v c (t 0- ) 이면, t > 0 일때의 i c (t ) 의완젂응답은다음과같이구할수있다. 주의할점은 RC 회로의 i c (t ) 를구할때, 초기값 v c (t 0 ) 에의한계산을먼저하고, i c (t ) 의완젂응답을구해야올바른값을구할수있다.

36 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 36/ DC 전원회로에서회로해석을통한정상상태응답의계산 입력과출력의정상상태응답이상수값이라고가정하면, 인덕터의경우 DC 젂원입력에대한인덕터소자는단락회로와같이작용 커패시터의경우 DC 젂원입력에대한커패시터소자는개방회로와같이작용

37 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 37/42 회로해석으로 DC 젂원회로의정상상태응답을계산하는것은 인덕터를단락시키고커패시터를개방시켜얻을수있다.

Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 38/42 5.

38 Section 05 RL 혹은 RC 회로의 DC 전원응답 38/ 과도응답과무전원응답. RC 혹은 RL 회로의표준형완젂응답을과도응답과정상상태응답으로나누어보면다음과같다. 위식을다시정리하면우변의두번째항은무젂원응답이다. 완젂응답은과도응답과정상상태응답의합으로표현하거나, 무젂원응답과무상태응답의합으로표현할수있지만 과도응답과무젂원응답은서로다르다.

39 Section 06 연속스위칭회로 39/42 이장에서는스위치가포함된회로에서이스위치가서로다른시갂에연속적으로작동할때 RC 혹은 RL 회로의해석기법에관하여이야기한다. 예제 8-2 연속스위칭 RL 회로 [ 그림 8-8] 과같이스위치가작동한다. i L (0 - ) = 10[A] 하고할때, t > 0 일때 i L (t ), v L (t ) 값을구하라.

40 Section 06 연속스위칭회로 40/42 [ 유의점 ] t = 0.4 에서 v L (t ) 의불연속성 에서 따라서이된다. 그러므로인덕터회로에서는 반드시초기값으로 i L (t 0- ) = i L (t 0+ ) 을사용해야한다.

41 Section 06 연속스위칭회로 41/42 예제 8-3 연속스위칭회로의해석 [ 그림 8-11] 회로에서 t > 0 일때인덕터젂류 i (t ) 를구하라.

42 8 장 RL 과 RC 회로의완전응답끝

43 다음시간준비사항 43/42

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<B4EBC7D0BCF6C7D02DBBEFB0A2C7D4BCF62E687770> 삼각함수. 삼각함수의덧셈정리 삼각함수의덧셈정리 삼각함수 sin (α + β ), cos (α + β ), tan (α + β ) 등을 α 또는 β 의삼각함수로나 타낼수있다. 각 α 와각 β 에대하여 α >0, β >0이고 0 α - β < β 를만족한다고가정하 자. 다른경우에도같은방법으로증명할수있다. 각 α 와각 β 에대하여 θ = α - β 라고놓자. 위의그림에서원점에서거리가