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서진 승
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1 Finance Lecture Note Series 사회과학과 수학 제2강. 미분 조 승 모2 영남대학교 경제금융학부 학습목표. 미분의 개념: 미분과 도함수의 개념에 대해 알아본다. : 실제로 미분을 어떻게 하는지 알아본다. : 극값의 개념을 알아보고 미분을 통해 어떻게 구하는지 알아본다. 4. 미분과 극한: 미분을 이용하여 극한값을 구하는 방법에 대해 알아본다. 5. 편미분과 전미분: 다변수 함수의 미분에 대해 알아본다. 206학년도 2학기 Copyrigt 206 Co, Seung Mo 이 강의노트는 조승모(20), 현대투자론입문, 한국학술정보(주) 를 토대로 이에 내용을 가감하여 작성되었음. 2 영남대학교 상경대학 경제금융학부 조교수; (우) 3854 경상북도 경산시 대학로 280 영남대학교 상경관 224호; coseungmo@yu.ac.kr; ttp://financialeconomics.tistory.com. 미분의 개념. 미분의 개념 Definition. 실수 와 에 관한 함수 f ()에 대하여, f 0 (a) = f (a + ) f (a) f (a) := 0 가 존재할때, 이를 = a에서의 미분값 또는 순간변화율이라 하고, f 0 () = f ( + ) f () f () := 0 가 존재할때, 이를 f ()의 도함수(erivative)라 한다. Teorem. 다음 그림에서 볼 수 있듯이, f 0 (a)는 = a에서 y = f ()에 대한 접선(tangent line)의 기울기(slope)를 의미한다. Figure: f 0 (a) = f (a + ) f (a) f (a) := 0

2 . 미분의 개념. 미분의 개념 Teorem. 또한, (a) f 0 (a) > 0 y = f ()가 = a 근방에서 증가 (b) f 0 (a) = 0 y = f ()가 = a 근방에서 정체 (c) f 0 (a) < 0 y = f ()가 = a 근방에서 감소 하고 있음을 나타낸다. Figure: f 0 (a) > 0 y = f ()가 = a 근방에서 증가, f 0 (a) = 0 y = f () 가 = a 근방에서 정체, f 0 (a) < 0 y = f ()가 = a 근방에서 감소 Teorem. 상수 a, n R, 미분가능한 함수 f ()와 g(), e = , 및 ln = loge 에 대해서, f () (a) a = 0, (b) af () = a = af 0 (), f () g() (c) f () ± g() = ± = f 0 () ± g0 (), f () g() () f ()g() = g() + f () = f 0 ()g() + f ()g0 (), f g() g() (e) f g() = = f 0 g() g0 () (연쇄법칙, cain g() rule), n (f ) = nn, e = e, ln =, f 0 () f ()g0 () f 0 ()g() f ()g0 () f () (g) = = g() g() g() 2 g() 2 단, g(), 0. Eample. 다음 함수를 미분하시오. (a) f () = a (a > 0). (b) f () = e3 + ln Solution. (a) f () = a (a > 0)에 대하여, 다음과 같다. ln f () = ln a. ln f () = ln a. ln f () = ln a. ln f () f 0 () = ln a. f () f 0 () = ln a. f () f 0 () = f () ln a. f 0 () = a ln a (a > 0).

3 (b) 다음과 같다. Definition. 미분가능한 함수 f : X R Y R에 대해, (a) f 0 (a) = 0이고 f 00 (a) > 0이면, f (a)를 함수 f ()의 극소값(local minimum)이라 하고, 2 2 f () = e3 + ln e3 + ln e = e3 + ln e3 + ln e (b) f 0 (a) = 0이고 f 00 (a) < 0이면, f (a)를 함수 f ()의 극대값(local maimum)이라 한다. (c) 함수값 f () 중 가장 큰 값이 존재하면, 그 값을 f ()의 최대값 (global maimum)이라 하고, () 함수값 f () 중 가장 작은 값이 존재하면, 그 값을 f ()의 최소값 (global minimum)이라 한다. (e) 정의역 X에서 극소값, 극대값, 최대값, 최소값을 극값 (etremum)이라 한다. Teorem. 미분가능한 함수 f : X R Y R에 대해, Teorem. (a) 두 번 미분가능한 함수 f (), g(), 및 ()에 대해, (a) 극대값과 극소값 및 정의역의 경계값(bounary value) 중에 가장 큰 값이 존재하면, 그 값이 함수의 최대값이며, ma f () (b) 극대값과 극소값 및 정의역의 경계값(bounary value) 중에 가장 작은 값이 존재하면, 그 값이 함수의 최소값이다. subject to (c) 정의역이 폐구간(close interval)일 경우 경계값이 항상 존재하고, 반개구간(alf-open interval, 반폐구간, alf-close interval)이면 한쪽에서만 존재하며, 개구간(open interval) 에서는 존재하지 않는다. 이라는 문제가 주어진 경우, () 경계부분이 열려 있어서 경계값이 존재하지는 않으나 경계부근의 값이 다른 값들보다 클 경우 최대값은 존재하지 않는 것이며, L 2 L = 0, < 0, g() = 0, 및 () = 0 2 를 만족하는 및 f ()를 구하면 그것이 바로 주어진 문제에 대한 답이다. 이때 함수 L = f () λg() µ() (e) 경계부분이 열려 있어서 경계값이 존재하지는 않으나 경계부근의 값이 다른 값들보다 작을 경우 최소값은 존재하지 않는 것이다. g() = 0 및 () = 0. L = f () λg() µ() 라 하고, 를 이 문제에 대한 라그랑지안(Lagrangian)이라 한다.

4 4. 미분과 극한 Teorem (L Ho pital s Rule). = c R {, }에서 미분가능한 두 함수 f ()와 g()에 대해, Teorem. (b) 두 번 미분가능한 함수 f (), g(), 및 ()에 대해, min f () f () = g() = 0 subject to c g() = 0 및 () = 0. c 이거나 f () = g() = 이라는 문제가 주어진 경우, c L = f () λg() µ() 이고, 라 하고, c L 2 L > 0, g() = 0, 및 () = 0 = 0, 2 를 만족하는 및 f ()를 구하면 그것이 바로 주어진 문제에 대한 답이다. 이때 함수 L = f () λg() µ() c f 0 () = L R {, } g0 () 이면, c f () f 0 () = 0 = L. g() c g () 이는 좌극한이나 우극한에도 그대로 적용된다. 를 이 문제에 대한 라그랑지안(Lagrangian)이라 한다. 4. 미분과 극한 5. 편미분과 전미분 Definition. 실수 와 와 y에 관한 함수 f, y 에 대하여, f +, y f, y f, y = f, y := 0 가 존재할때, 이를 f, y 의 에 대한 편도함수(partial erivative wit respect to )라 한다. Remark. 정의상, 에 대한 편도함수는 y를 상수로 취급하고 미분한 것을 뜻한다. Teorem (전미분(Total Differentiation)). 함수 f, y 에 대하여, f f f = + y. y Eample. t시점에서의 원금 Mt 를 연이자율 r로 저축하되, 이자가 매순간 연속적으로 계산된다면 (즉, 이자가 년간 무한번 계산된다면), T시점에서(즉, T t년 후) 원리금합계는 어떻게 되는가? Solution. τ = T t라 하면, 다음과 같다. nτ r nτ r nτ ln(+ nr ) MT = Mt + = Mt eln(+ n ) n nτ ln(+ nr ) n ) r ( n+r 2 n n2 τ n n+r ( ln(+ nr ) nτ by L Ho pital s rule )rτ Remark. 여기서, f 는 f 값의 아주 작은 변화분을, 는 값의 아주 작은 변화분을, y는 y값의 아주 작은 변화분을 나타낸다. rτ.

5 요약정리. 미분의개념 : 미분과도함수의개념에대해알아보았다. 2. 구체적인미분법 : 실제로미분을어떻게하는지알아보았다. 3. 미분과극값 : 극값의개념을알아보았고미분을통해어떻게구하는지알아보았다. 4. 미분과극한 : 미분을이용하여극한값을구하는방법에대해알아보았다. 5. 편미분과전미분 : 다변수함수의미분에대해알아보았다.

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= (2014), `` ,'' .. (2011), `` ,'' (.) 학습목표 Finance Lectue Note Seies 파생금융상품의 이해 화폐의 시간가치(time value of money): 화폐의 시간가치에 대해 알아본다 제강 화폐의 시간가치 연금의 시간가치(time value of annuity): 일정기간 매년 동일금액을 지급하는 연금의 시간가치에 대해 알아본다 조 승 모 3 영구연금의 시간가치(time value