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찬우 뇌
6 years ago
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1 수명분포및신뢰도의 통계적추정 포항공과대학교산업공학과전치혁..

2 수명및수명분포 수명 - 고장 까지의시간 - 확률변수로간주 - 통상잘알려진분포를따른다고가정 수명분포 - 확률밀도함수또는 누적 분포함수로표현 - 신뢰도, 고장률, MTTF 등신뢰성지표는수명분포로부터도출 - 수명분포추정은분포함수관련모수의추정

3 누적분포함수및확률밀도함수 누적분포함수 cumulav dsbuo fuco 어떤특정확률변수가특정값 보다작을확률 확률변수 X 의누적분포함수 F. 는모든실수 에대하여다음과같이정의된다. F P X 구간에대한확률정의 P{ a < X b} P{ X b} P{ X a} F b F a. 확률밀도함수 Pobably Dsy Fuco P { a X b} P{ a < X < b} f x dx 위의함수 fx 가존재한다고할때이함수 fx 를확률변수 X 의확률밀도함수라한다. b a

4 누적분포함수의성질 누적분포함수와확률밀도함수와의관계 F P X f x dx 누적분포함수를알면미분을통해확률밀도함수를알수있다. d f x F x dx 전구간에대해확률밀도함수를적분하면 이된다. F f x dx F f x

5 누적분포함수및확률밀도함수의예 어떤설비의수명을나타내는확률변수 X 의누적분포함수가다음과같은형태라하자. F, f df d, P{ < X } F F

6 신뢰도함수와고장률 신뢰도함수와고장률 신뢰도함수 Rlably fuco : R 시간의함수로서특정한시간까지고장없이주어진임무를수행할확률 R P X F 고장률 falu a o hazad a : 시간의함수로서시간 에서의고장률은시간 까지고장이없다가시간 직후고장을일으킬단위시간당빈도를의미 f f P X F 는시간 까지고장이없다가, + 사이에고장을일으킬확률로해석

7 수명의기대치와분산 기대치 또는평균 xpcao; ma 확률변수가취하는평균적인값 E [ X ] xf x dx MTTF 분산 vaac 평균을기준으로퍼져있는지를판단하는척도 Va [ X ] E[ X E[ X ] ] E[ X ] E[ X ] wh 표준편차 sadad dvao 분산의제곱근 sd X Va[ X ] E[ X ] x f x dx

8 지수분포 지수분포 수명분포로가장널리이용 확률밀도함수 f 누적분포함수, 지수분포의모수 : -> 고장률, 평균수명의역수 F 신뢰도함수 x f x dx dx R F 고장률 f F

9 지수분포 : 일때 f, F 확률밀도함수 누적분포함수 R F 신뢰도함수 고장률

10 와이블분포 와이블분포 고장률이노후등으로시간에따라커지는경우에사용 확률밀도함수 f 누적분포함수 F 신뢰도함수 f x dx, 와이블분포의모수 : 형태모수 shap paam : 척도모수 scal paam R F 고장률 f F

11 와이블분포의확률밀도함수 f,.5 3.5

12 와이블분포의고장률 >: casg : cosa <: dcasg 3.5.5

13 수명분포와 MTTF 수명 X 가지수분포를따른다고할때 MTTF [ ] x E X xf x dx x dx 수명 X 가와이블분포를따른다고할때 MTTF E[X ] Γ Γ β β x x dx β Γ β

14 와이블분포의예 어떤부품의수명이,. 의와이블분포를따른다고하자. - 평균수명 MTTF E[ X ] /. Γ.5 5 π 886.7, 시간 에서의신뢰도 R..3679, 시간 에서의고장률.., 시간 에서의고장률..4

15 분포함수의추정 추정 고장데이터를바탕으로수명분포의모수값들을정하는것 검정 고장데이터들이주어진분포에잘맞는지여부를통계적으로판단하는것 추정방법 확률지에의한방법 F F x축 Y축의척도조정 모멘트방법 E [ X ] X ; Va[ X ] s 최우추정법 : 우도함수를최대화하는모수값결정

16 와이블확률지 F η / m / m µ Γ + / m σ { Γ + / m Γ + / m } X l Y ll F 63% Y X,Y µ η σ η mˆ mˆ % - T -4 X. T ηˆ -

17 수명시험과고장데이터종류 개의부품을시간 에시험시작 완전고장데이터 개의부품이모두고장날때까지시험 정시고장데이터 yp I csod daa 주어진시간 T 까지시험 정수고장데이터 yp II csod daa T 정수 개의부품이고장날때까지시험 y

18 최우추정법 Maxmum Lklhood Esmao 확률밀도함수 f; θ, θ: paams Daa:,,..., 우도함수 lklhood fuco L θ; daa f ; θ f ; θ L f ; θ 최우추정법 : 우도함수를최대화하는모수 θ 값결정 Lθ θ* θ

19 데이터종류와우도함수 완전고장데이터 compl o ucsod daa L θ; daa f ; θ 정시고장데이터 yp I csod daa L θ; daa [ R T; θ ] f ; θ : T 까지의고장부품수 정수고장데이터 yp II csod daa [ R y ; θ ] L θ ; daa f ; θ : 번째부품의고장시간 y

20 지수분포지수분포모수의모수의최우추정최우추정, ; f 완전고장데이터 daa L ; daa L l ; l l L ˆ

21 지수분포지수분포모수의모수의최우추정최우추정 계속계속 정시고장데이터 yp I csod daa T T daa L ; + T L l l l + T L + T ˆ 정수고장데이터 yp II csod daa + y ˆ 고장수 / 총시험시간 ˆ

22 .,., 에대해산출 ll 이최대가되는, 결정와이블분포와이블분포모수의모수의최우추정최우추정,, ; f 완전고장데이터 daa L ;, + + L l l l l l l l l l l + + L L ˆ ˆ

23 와이블분포와이블분포모수의모수의최우추정최우추정 계속계속 정시고장데이터 yp I csod daa ;, T daa L T L l l l l + + T L l + T ˆ

24 Mab 에서의분석

25 Mab 에서의분석 계속 Wbull, ucsod Cas

26 Mab 분석결과 Wbull,, Ucsod Cas..5 Pobably Dsy Fuco Ovvw Plo fo F-m ML Esmas - Compl Daa Wbull Pobably Pc Shap Scal MTTF Falu Cso Goodss of F AD* Suvval Fuco Hazad Fuco Pobably Ra

27 Csog Opos

28 Mab 분석결과 Wbull,, yp I csod..5 Ovvw Plo fo F-m ML Esmas - Typ Tm Csod a Pobably Dsy Fuco Wbull Pobably Pc Shap Scal MTTF Falu Cso Goodss of F AD* 4.8. Suvval Fuco Hazad Fuco Pobably Ra....

29 Mab 분석결과 Wbull,, yp II csod..5 Ovvw Plo fo F-m ML Esmas - Typ Falu Csod a 7 Pobably Dsy Fuco Wbull Pobably Pc Shap Scal MTTF Falu Cso Goodss of F AD* 4.8. Suvval Fuco Hazad Fuco Pobably Ra....

생존분석의 추정과 비교 : 보충자료 이용희 December 12, 2018 Contents 1 생존함수와 위험함수 생존함수와 위험함수 예제: 지수분포

생존분석의 추정과 비교 : 보충자료 이용희 December, 8 Cotets 생존함수와 위험함수. 생존함수와 위험함수....................................... 예제: 지수분포.......................................... 예제: 와이블분포.........................................