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한솔 두
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1 제 5 장 다변량확률변수 제 5 장다변량확률변수

2 5. 다변량확률변수. 분포함수 < 예 > 품질에따라제품을,, 3 등급으로분류 전체생산량중각등급의비율에관심 = n개중 등급의수 n Y = Y = n개중 등급의수 3 등급의수 ( Y) (, ) 와 Y를함께묶어서 Y 로나타내고함께분석, 는 변량확률변수 일반적으로서로관련있는개의확률변수 을함께묶어 n변량 ( 또는 n차원 ) 확률변수라하고 = 으로표기 ( n) 또는단순히 n,, n,,,, n - - 제 5 장다변량확률변수

3 < 예제 5.> 윷가락 0 번던지기,, : 각각도, 개, 걸, 윷, 모가나오는횟수 = 0 변수들은서로연관 ( 5),, : 5 변량확률변수 (4 변량이라할수있는가?) < 정의 5.> ( Y, ) 변량확률변수의분포함수 F는 로정의 (, ) = (, ), (, ) F y P Y y y < 예제 5.> 동전 번던지기 : S = { HH, HT, TH, TT} - - : 앞면횟수, Y : 뒷면횟수 ( = = ) = { } = ( = = ) = ({ }) = { } P 0, Y P TT 4 P, Y 0 P HH 4 P =, Y = = P HT, TH = 제 5 장다변량확률변수

4 그림 5. 과같이 를 A,B,C,D,E 로분할 y 0 < y A < y C y D /4 { TT } { HT, THTT, } { HH, HTTHTT,, } E / < y < B /4 y < C { HT, TH } { HH, HTTH, } 0 y < A { HH} 제 5 장다변량확률변수

5 (, ) = (, ) 0, ( y, ) 4, ( y, ), ( y, ) 34, ( y, ), ( y, ) F y P Y y E A = B C D i 확장 변량분포함수 변량분포함수 < 정리 3.> 의확장 i) F, y 는, y각각에대해비감소, 우측에서연속(right continuous) ii) F, = F, = F, y = 0, F +, + = 함수 F가이들조건을만족해도분포함수가아닐수도있다 -4 - 제 5 장다변량확률변수

6 < 예제 5.3> F(, y) 0, < 0 또는 y< 0 또는 + y< =, 기타 F 는조건 i), ii) 를만족. 분포함수인가? P <, < Y =? 3 3 A,B,C,D 를각각 y, =,,3,,,3,3,3 꼭지점으로하고, 축과 y축에평행한쐐기(wedge) 라하자. 을 (/3,) (,) B A /3 D (/3,/3) C (,/3) 0 /3-5 - 제 5 장다변량확률변수

7 P <, < Y = P( A) P( B) P( C) + P( D) 3 3 = F(,) F, F, + F, = + 0= F는분포함수가아니다. < 정리 5.> 함수 F 가분포함수가되기위한조건 i) ii) iii) F(, y)= 비감소함수, 우측으로부터연속 F, = F(, y) = F(, ) = 0, F(, ) = <, y < y 인임의의두점, y,, y 에대하여 ( ) ( ) ( ) ( ) F, y F, y F, y + F, y 제 5 장다변량확률변수

8 결함분포함수 (joint distribution function) 와주변분포함수 (marginal distribution function) < 예 > 변량확률변수 (,Y ) 의경우 ( Y) F, y :, 의 ( 결합) 분포함수 = ( ) = ( ) F F, : 의 ( 주변분포함수 ) F y F, y : Y의 ( 주변) 분포함수 Y 변량의경우 : 이산형, 연속형, 혼합형 다변량의경우 : 개개의변수가이산형의경우개개의변수가연속형의경우만다룬다. 이산형 n변량확률변수 연속형 n변량확률변수 -7 - 제 5 장다변량확률변수

9 . 이산형확률변수 R ( Y), : 변량확률변수, Y 가가질수있는값의영역 < 정의 5.> RY, 의원소수가유한하거나셀수있을때 ( Y) 확률변수이고 ( Y) (, ) (, ) (, ), (, ) p y = P = Y = y y R Y, {(, ): (, ) 0} RY, y p y Y,, 는이산형 변량 를, 의결합확률함수(joint probability function) 라한다. p y 를써서 R 를표시하면 = > < 예제 5.6> < 예제 5.> 에서 = ( = = ) = { } = { } { } p 0, P 0, Y P TT 4 p, = P =, Y = = P HT, TH = p,0 = P =, Y = 0 = P HH = 제 5 장다변량확률변수

10 i py (, ) 가결합확률함수가되기위한조건 i) py (, ) 0 ii) py (, ) = (, ), y R Y < 예제 5.7> 주사위 개던지기 : : 작은수, Y: 큰수 { } RY, =, y : y 6, 와 y는정수 /36, = y =,,6 py (, ) = /36, < y 6 ({}) P ( = Y, = y) = P y, =, = y=,,6 36 = P( {(, y),( y, ) }) =, < y 6 36 py (, ) = 6 + ( ) = 제 5 장다변량확률변수

11 i 일반적으로 d b Pa ( < bc, < Y d) = p y, y= c+ = a+ < 예제 5.8> < 예제 5.7> 에서 P(3 < 5, 3 < Y 6) = p 4, 4 + p 4,5 + p 4,6 ( 5, 4) ( 5,5) ( 5,6) + p + p + p 9 = = i 주변확률함수 (marginal probability function) p ( ) = P = = p, y y R p ( y) = P Y = y = p, y Y R Y 제 5 장다변량확률변수

12 < 예제 5.9> < 예제 5.7> 에서 p( y) p ( ) py ( y),,,? y p /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 py 0 /36 /36 /36 /36 /36 9/ /36 /36 /36 /36 7/ /36 /36 /36 5/ /36 /36 3/ /36 /36 ( y) /36 3/36 5/36 7/36 9/36 / 제 5 장다변량확률변수

13 3. 연속형확률변수 < 정의 5.3> ( Y, ) 의분포함수 F가연속 모든실수 y, 에대하여식 ( Y) y (, ) = (, ) F y, : 연속형 변량확률변수 ( Y) f u v dudv 를만족하는함수 f 가존재 f :, 의결합확률밀도함수(joint pdf) i f (, y) = (, ) F y y < 예제 5.> ( + y), 0< <, 0< y< F(, y) = y( + y) f (, y) = 8 6 0, 기타 - - 제 5 장다변량확률변수

14 ( y) i f, 가 joint pdf 가되기위한조건 i) f (, y) 0 ii) f ( yddy, ) = < 예제 5.> 과녁 : 반경 m 의원 ; : 가로거리, Y: 세로거리 f(, y), 0 y < + < = π 0, 기타 f (, y) ddy = ddy = ddy π π y y + y = π ydy cos θ dθ π = π = π f ( y, ) 는 joint pdf 제 5 장다변량확률변수

15 i 변량의경우 b ( < < ) = P a b f d a = f( ) 곡선밑 = a = b 사이의면적 a b 변량의경우 P a < < b, c < Y < d = f (, y ) ddy c d b a = 3 차원곡면 f(, y) 의밑 : a b, y: c d 사이의부피 6, 0< < y< < 예제 5.3> f(, y) = 0, 기타 P 0 < <,0< Y < = P 0< < Y < = 6ddy = 3y dy = y 제 5 장다변량확률변수

16 < 예제 > f(, y) 3, 0< y< < = 0, 기타 f (, y) ddy 3 dyd 3 d = = = f 는 pdf P 0 < <, Y > = P < Y < < 4 4 y = 3 dyd= y = / /4 /4 / 제 5 장다변량확률변수

17 i 결합분포함수 주변 ( ) pdf ( ) df, df, y f ( ) =, fy ( y) = d dy 결합 pdf 주변 pdf = (, ), Y = (, ) f f y dy f y f y d < 예제 5.4> < 예제 5.3> 에서 f = 6dy = 6, 0< < Y y 6 3, 0 0 f y = d= y < < 제 5 장다변량확률변수

18 i ( ) n변량확률변수,, n 의분포 이산형의경우 : 결합확률함수 ( ) p,, n 결합분포함수복잡해서잘안쓴다. 연속형의경우 : 결합 pdf f (,, n ) 결합분포함수 F ( ),, n (,, n) = (,, n n) F P = (,, n) f u u du du n n (,, n ) f = n (,, n ) F n 제 5 장다변량확률변수

19 5. 조건부분포와독립. 조건부분포 < 예제 5.5> (a) 동전두번던질때 : 첫번째에앞면횟수, Y: 두번째에뒷면횟수 (b) 동전한번던질때 : 앞면횟수, Y: 뒷면횟수 와 Y의결합분포, 주변분포 (a) py y 0 p ( ) 0 /4 /4 / /4 /4 / ( y) / / (b) py 결합분포는다르나주변분포는같다. y p ( ) / / / 0 / ( y) / / 결합확률( 밀도) 함수 주변확률( 밀도) 함수 제 5 장다변량확률변수

20 i P A B ( ) P( B) ( ) P( A) = P A B, P B A = P A B ( ) P A B = P B P A B = P A P B A { }, { } A= = B= Y = y 라하면 ( =, = ) = ( = ) ( = = ) = P( = ) P( Y = y = ) P Y y P Y y P Y y (, ) Y = p ( ) P( Y = y = ) p y = p y P = Y = y < 정의 5.4> Y=y 가주어졌을때 의조건부확률함수 p(, y) py( y) = P( = Y = y) =, py ( y) 0 p y > 제 5 장다변량확률변수 Y = 가주어졌을때 Y 의조건부확률함수 p(, y) py( y ) = P( Y = y = ) =, p ( ) 0 p >

21 i (, ) = Y = py ( y) py( y) p y p p y < 예제 > ( 3)( ) ( 6) p, y =,, y = 0,, ; 0 + y y y py y /5 /5 3/5 3/5 6/5 0 9/5 3/ /5 y 6/5 8/5 /5 /5 =, = 0 8/5 4 p(,) 6/5 3 py( ) = = =, = py () 8/5 4 0 = 0, = 8/5-0 - 제 5 장다변량확률변수 p ( )

22 3 py( 0 ) =, py = 4 4 < 예제 5.6> 하루일어나는교통사고수 p : 각사고가사망사고일확률 : 하루의사망사고수 - - 제 5 장다변량확률변수 N Poi λ n ( λ p) λ ( p) λ e! ( n )! ( λp) λ ( p) λ n ( ) N = n b n p (, ) n λ λ e n p(, n) = P( N = n) P( = N = n) = p ( p) n! = n ( λp) λ λ( p) p = pn (, ) e = = e e n=! = n!! ( λ p) e =! ~ Poi( λ p) λ p n

23 i 와 Y가연속형확률변수이면 P = = P Y = y = 0 P = Y = y, P Y = y 등이정의되지않는다. 다른접근방법을찾아야. 작은 ε > 0 에대해 P y ε < Y y+ ε > 0 이라하자. ( ε ε) P y < Y y+ = = = (, ε < + ε ) P( y ε < Y y+ ε) P y Y y ε (, ) Y y+ ε y+ f u v dvdu f v dv y ε y ε + ε + ε f ( u, v) dv du fy ( v) dv y y ε ε ε ε y y ε 0 (, ) Y ( y) f uydu f - - 제 5 장다변량확률변수

24 lim F y = P y ε < Y < y+ ε = ε 0 (, ) Y ( y) f u y = du f 양변을 로미분하면 f ( y) = f f ( y, ) Y ( y) (, ) Y ( y) f uydu f < 정의 5.5> Y=y 가주어졌을때 의조건부 pdf f (, y) fy( y) =, fy ( y) 0 f y > Y = 가주어졌을때 Y 의조건부pdf f (, y) fy( y ) =, f ( ) 0 f > (, ) Y Y Y f y = f f y = f f y 제 5 장다변량확률변수

25 < 예제 5.7b> Y : 용량대비월간재고비율 예 : : 용량대비월간판매비율 (,Y) 의 pdf 모형, 0 < < y< f(, y) = 0, 기타 y d = y, 0< y < f (, ) 0 Y y = f y d = 0, 기타 0< y < 일경우 f (, y) f Y ( y) = = =, 0< < y f ( y) y y Y = y U 0, y Y Y= U 0, f =, 0 < < P y= = Y Y= U 0, f =, 0 < < P y= = Y 제 5 장다변량확률변수

26 . 독립 < 예제 > ( 3)( ) ( 6) p, y =,, y = 0,, ; 0 + y y y < 예제 5.7b> f(, y), 0 < < y< = 0, 기타 와 Y는상호의존적 (mutually dependent) i 언제 ( < < < < ) = ( < < ) ( < < ) P a b, c Y d P a b P c Y d 가되는가? { }, { } A= a< < b B= c< Y < d 라표시하면 이물음은 ( ) = " 언제 P A B P A P B 가되는가?" 와같은것 ( 답 ) : 주변분포와조건부분포가같을때 제 5 장다변량확률변수

27 < 예제 5.7a> f(, y) y e, 0 < <, 0< y< = 0, 기타 f ( y) = e y d= e y, 0< y< Y 0 비슷하게 f ( ) = e, 0< < y e fy ( y) = = e y e, 0< < = f ( ) Y가 에아무영향을주지못한다. 따라서 (, ) = Y Y ( ) = fy ( y) f ( ) f y f y f y -6- 제 5 장다변량확률변수

28 < 정의 5.6> 모든 ( y, ) R, Y 에대해 py (, ) = p( ) p( y) ( 이산형) Y f(, y) = f ( ) f ( y) ( 연속형) Y 일때, 와 Y 는서로독립(independent) 이라한다. 이정의로부터 와 Y 가서로독립이면, 예를들어연속형인경우, (, ) = y (, ) = y Y F y f u v dudv f u f v dudv ( ) y Y Y = f u du f v dv = F F y ( ) n변량확률변수,, n : ( ) 결합 pdf : f,, n 의주변 pdf : f i i i -7- 제 5 장다변량확률변수

29 ,, 서로독립 f,, = f f n n n n < 예제 5.8> (a) py (, ) =, =,,3,4; y=,,3,4 6 p( ) =, =,,3,4 py( y) =, y =,,3,4 4 4 py (, ) = p ( ) p( y) Y (b) f(, y) 4 y, 0< <, 0< y < = 0, 기타, 0< < y, 0< y< f( ) =, fy( ) = 0, 기타 0, 기타 f ( y, ) = f ( ) f( y) Y -8- 제 5 장다변량확률변수

30 y y 4 3 (a) 3 4 (b) 와 Y 가서로독립이되기위한필요조건 R Y, 의외곽점들을이은모양이위그림과같이, 평행한직사각형이될것. y축에 -9- 제 5 장다변량확률변수

31 < 예제 > ( 3)( ) ( 6) p, y = y y,, y 0,,; 0 y y y 0 ( ) 0 0 /5 /5 3/5 3/5 6/5 0 9/5 p py 3/ /5 ( y) 6/5 8/5 /5 0 모든 y, = 0,, 에대해 py, = p py y 가돼야독립 예 3 8 : p, 0 p p 5 5 = = Y 제 5 장다변량확률변수

32 < 예제 5.9b> f (, y) 8 y, 0< < y < = 0, 기타 f = 8y dy = 4, 0< < Y y 8 4 3, 0 0 f y = y d= y < y< (, ) Y f y f f y y 0 i R 가 R 와 R 의곱의형태 Y, Y { } R, = R R =, y : R, y R Y Y Y 가아니면 와 Y는서로독립이될수없다 제 5 장다변량확률변수

33 < 정리 5.> 와 Y 가서로독립이기위한필요충분조건 i) R = R R Y, Y ii) f, y = g h y,, y 여기서 g > 0 는 만의함수, h y > 0 는 y만의함수 < 예제 5.7> (a) 두조건모두O (b) 조건 i) < 예제 5.8> (a), (b) 두조건모두O < 예제 > ( 3)( ) ( 6) p, y =,, y 0,,; 0 y y y = + 두조건모두 < 예제 5.9> (a), (b) 조건 i) 제 5 장다변량확률변수

34 5.3 다변량확률변수의적률 변량확률변수, Y 의함수 h(, Y) < 정의 5.7> EhY [ (, )] = hy (, ) py (, ) (, ) y RY, ( 이산형 ) = hy (, ) f( yddy, ) ( 연속형 ) < 예제 5.> < 예제 5.> f(, y) 점수 :, 0 y < + < = π 0, 기타 hy (, ) = + Y [ (, )] EhY = y + ddy π + y 제 5 장다변량확률변수

35 = rcos θ, y = rsin θ 로극좌표변환하여적분 ddy= rdrdθ π E h(, Y) = ( r) r drdθ = 0 0 π 3 일반적으로 ( ) n변량확률변수,, n (,, n) (,, n) (,, n) E h = h p (,, ) (,, ) = h f d d ( 연속형 ) n n n ( 이산형 ) (, ) (, ) h Y 가 만의함수 h Y = 일때 E ( ) = E h(, Y ) f (, y) ddy f (, y) dy = = d = f d 제 5 장다변량확률변수

36 이결과를일반화하면, 다변량확률변수를구성하는각변수의 기대값은결함분포대신주변분포로부터직접구할수도있다. 즉 ( k) = k E p = k f k d ( 이산형 ) ( 연속형 ) < 예제 > ( 3)( ) ( 6) p, y =,, y 0,,; 0 y y y = + py /5 /5 3/5 3/5 6/5 0 9/5 3/ /5 ( y) y 6/5 8/5 /5 p ( ) 제 5 장다변량확률변수

37 결합분포로부터 3 6 =, = p( y) E = 5 주변분포로부터 = = = p( ) E m ( n) h, h,, h : n변량확률변수,, 의함수 a, a,, a, b: m 상수 m m E ah i i(,, n) + b = ae i hi (,, n) + b i= i= 제 5 장다변량확률변수

38 < 예제 5.3> < 예제 5.7b> f(, y), 0 < < y< = 0, 기타 ( ) y, 0< y<, 0< < f( ) =, fy( y) = 0, 기타 0, y [ + + ] = ( + + ) = ( 4 + ) = y + y = 기타 E Y y ddy y y dy E = ( ) d=, E( Y) = y y dy = 식 (5.8) 을이용하면 [ + + ] = + + = + + = 7 E Y E E Y 제 5 장다변량확률변수

39 < 정의 5.8> k,, k n : 비음의정수 의 :,,,, k k E n k k n n n 차적률 i 와 Y가서로독립이면 (, ) Y a b a b a b E Y = y f y ddy = y f f y ddy { } a b Y a b E( Y ) { } = f d y f y dy = E 일반적으로,, n 이서로독립이면 k kn k kn { n } = ( ) ( n ) E E E 제 5 장다변량확률변수

40 < 정의 5.9> ( n ),, 의결합적률생성함수 : t ( n ) + + tnn M t,, t = E e ( Y) i 변량확률변수, 의경우 t (, ) M t t E e + E Y = m n ty = m+ n t (, ) M t t t m n t= t= 0 i 와 Y가서로독립이면 t ty t ty (, ) = = M t t E e e E e E e Y = M t M t 한편 = (,0 ), Y = ( 0, ) M t M t M t M t 제 5 장다변량확률변수

41 < 정리 5.3> 와 Y 가서로독립이기위한필요충분조건 : 모든 ( t, t) 에대해 (, ) = (,0) ( 0, ) M t t M t M t < 예제 5.4> f(, y), 0 = 0, 기타 λ y λ e < < y< (, ) M t t t + ty = E e y = λ 0 0 t + ty λ y e e ddy λ e e ddy e e dy t = λ = y ( t) y t λ ( λ t) y ty λ λ = =, t+ t < λ, t < λ t λ t t λ t ( λ t t)( λ t) 제 5 장다변량확률변수

42 E = M( t, t) t= 0, t= 0 = t λ 3 E( Y) = M( t, t) t= 0, t= 0 = t t λ 와 Y 간의상호관계 y μ Y μ < 0 y μ > 0 μ < 0 y Y μ < Y 0 μ μ > 0 y μ > 0 Y μ > 0 y μ < 0 Y 제 5 장다변량확률변수

43 i i) 대체적으로 ii) 대체적으로 가큰값을가지면 Y 도큰값을 가작은값을가지면 Y 도작은값을갖는다 가큰값을가지면 Y 는작은값을 가작은값을가지면 Y 는큰값을갖는다 iii) 와 Y 는서로아무런관계없이값을취한다. ( μ )( Y μy) i) > 0 일확률이크다. ( μ )( Y μy) ii) < 0 일확률이크다. iii) ( μ )( Y μy) 가 인경우와 인경우가상쇄. 그값이 0 에가깝다 양의상관관계음의상관관계 ( μ )( μy) Y 의기대값이 와 Y의선형적인의존관계를 나타내는척도가된다 제 5 장다변량확률변수

44 < 정의 5.0> 와 Y 의공분산 (Covariance) : σ = Cov Y = E μ Y μ, Y 공분산의계산 ( Y ) μμy σ = E μ μ Y = E Y < 예제 5.5> (a) c d p ( ) y (b) y c d p ( ) py a / 0 / b 0 / / ( y) / / py a 0 / / b / 0 / ( y) / / ( 단, a< b, c< d ) 제 5 장다변량확률변수

45 ac + bd a + b c + d (a) EY =, μ =, μy = ac + bd a + b c + d σ Y = E( Y) μ μy = ( b a)( d c) = > 0 4 bc + ad a + b c + d (b) σ Y = E( Y) μ μy = ( b a)( d c) = < 0 4 < 예제 5.6> ~ N(0,) a a E( ) = e d= 0, a가홀수일때 π Y가 이라하면 3 3 σ = E Y μ μ = E 0 μ = E = 0 Y Y Y 제 5 장다변량확률변수

46 와 Y는완벽한포물선관계 Y = 이나 σ Y = σ Y 는 와 Y의선형적인관계만을나타낸다. 0 공분산에관한등식들 (5.3) i) Cov( a + b, cy + d) = accov(, Y ) ii) CovY (, + Z) = CovY (, ) + CovZ (, ) iii) Cov( a + bw, cy + dz) = accov(, Y ) + ad Cov(, Z) + bccov( W, Y ) + bd Cov( W, Z) < 예제 5.7> Cov( + Y, Y ) = Cov(, ) Cov(, Y ) + Cov(, Y ) Cov( Y, Y ) = Var( ) Var( Y ) i σ = Y Cov(, Y ) 를상관관계를나타내는척도로직접쓰기에는부적합. < σ Y <. 측정단위에따라그값이달라진다 제 5 장다변량확률변수

47 < 정의 5.> 와 Y의상관계수 (correlation coefficient) : σ Y ρ Y = σ σ 상관계수의성질 : (5.4) μ Y μy. U =, V = 라하면 σ σ ρ Y Y σ μ Y μ σ σ Y σ σ Y Y Y = = E = Y E UV 이고 EU = EV =, U V 0, U+ V 0 EU V = EU + EV EUV = EUV 0 EU+ V = EU + EV + EUV = + EUV 0 EUV ρ Y 제 5 장다변량확률변수

48 . W = a, Z = by 라하면식(5.3a) 와식(3.b) 로부터 (, ) (, ) Cov W Z = abcov Y = abσ σ = aσ, σ = bσ W Z Y Y Cov W, Z abσ Y ab ρ = W, Z σ σ = a bσ σ = ab W Z Y ρ Y ρ ρ, ab > 0 Y W, Z = ρ Y ab <, 0 상관계수의크기는측정단위와무관하다. σ Y 3. ρy = 이고, σ > 0, σy > 0 σ σ Y ρ 의부호는 σ 의부호와같다. Y Y 제 5 장다변량확률변수

49 4. Y ρ = EU ( V) 식 (5.4) 유도과정에서 = 0 을의미 ( V) PU= = μ σ = σ σ Y μy σ Y ( μ ) Y Y = μy + ρ Y = EU ( + V) = 0 μ σ σ ( μ ) Y Y = Y 5. 와 Y가서로독립이면 μ μ Cov, Y = E Y = E E Y μ μ = 0 ρ = 0 Y Y Y 제 5 장다변량확률변수

50 N Y ( 0,) E = 0, E Y = E = Var = 3 E( ) E Y = = 0 σ = E Y E E Y = 0 0 = 0 Y ρ = 0 Y = 그런데 PY> > = P > > = ( > ) = ( > ) = ( < ) + ( > ) P Y P P P 와 Y는 이나 = P > = dependent 따라서, 와 Y 독립 ρ Y = 제 5 장다변량확률변수

51 5.4 조건부기대값 ( Y) i, : 변량확률변수 < 정의 5.> epectation) : (conditional Y = y가주어졌을때 h 의조건부기대값 { = } = E h Y y h( ) p ( y) R Y ( 이산형 ) = h fy ( yd ) ( 연속형 ) < 예제 > < 예제 5.7b> f(, y), 0 < < y< = 0, 기타 Y = y U( 0, y) 제 5 장다변량확률변수

52 y y E( Y = y) = fy( y) d= d = 0 y Y = 일때 의조건부기대값 : E Y = = < 예제 5.30> 시간당불량품수 N Poi λ ( 0, p) 에서발생하는불량품수 Poi( pλ ) ( λ ) ( p, ) 에서발생하는불량품수 N Poi ( p) (, ) = ( =, = ) = ( =, = ) n ( pλ ) ( p) λ pλ ( p) p n P N n P N n (, ) N ( n) = e! ( n )! n λ p n e n pn( n) = = p n = p p p n! λ n (, ) ( ) N = n~ b n, p E N = n = np e 독립 λ ( 0< p < ) 제 5 장다변량확률변수

53 ( = ) i E Y y 는 y의함수 함수가선형인경우 : E Y = y = a+ by (, y) Y ( y) f 즉, E( Y = y) = d= a+ by ( 연속일때) f (, ) Y f yd= a+ by f y (, ) Y f y ddy = a + by f y dy E = a + be Y (, ) = ( + ) Y y f y ddy ay by f y dy E Y = ae Y + be Y μ = a+ bμ Y σ σ a= μ ρ μy, b= ρ σ σ Y μ μ + ρσ σ = aμ + b μ + σ Y Y Y Y Y Y 제 5 장다변량확률변수

54 ( ) E Y = y 가 y의선형함수이면 비슷하게 σ E Y y y σ ( = ) = μ + ρ ( μy) σ EY σ Y ( = ) = μy + ρ ( μ ) Y ( 에서의 y 의계수 ) ( 에서의 의계수 ) ρ < 예제 5.3> n! y n y p, y = p p ( p p), y!! n y! ( ) p + p + p = y n 제5.5. 절에서 ~ bnp (, ), Y~ bnp (, ) 제 5 장다변량확률변수

55 Y ( ) p, y n y! p p p p ( y) = = p y! n y! p Y n y p Y= y ~ b n y, p 비슷하게 p Y = ~ b n, p ( ) E Y y n y = = p ( ) EY n = = p n y p p = p p p p 제 5 장다변량확률변수 n y n y p p pp 또한 ρ = ( 의계수) ( y의계수) = = p p p p

56 i i) ( ) ( y) 의기대값 E 와분산 Var 를직접구하려면 f 를구하고이를이용하여적분 ii) f, 를이용하여 중적분 그러나 i) 이나 ii) 가어렵거나번거러울수가있는반면 Y, Y f y f y 는이미알려져있거나쉽게구할수있고 이들 pdf 에의한조건부기대값이나분산을구하는 것은비교적쉬운경우가있다. 이러한경우에편리하게쓸수있는방법 a) E Y = y 가 y의함수이고 y는확률변수 Y가갖는값 y를변하는것으로보고 y를 Y로대체 E Y 는확률변수 제 5 장다변량확률변수

57 { } = ( = ) Y E E Y E Y y f y dy = { } Y Y f y d f y dy (, ) = f y dyd= f d = E < 예제 > < 예제 5.7b> 에서 f(, y), 0 < < y< = 0, 기타 ( ), 0< < f ( ) = E = 0, 기타 3 y, 0< y< fy ( y) = E( Y) = 0, 기타 제 5 장다변량확률변수

58 Y = y U 0, y E Y = y = Y E{ E( Y) } = E = E( Y) = = 3 3 y < 예제 5.3> N : T i N : : 대기중인고객수 i번째고객에대한서비스시간 N명의고객에대한서비스시간 T + = + + N N ( N = ) = + + n = ET N n E ne { } ( ) ( N) ( N ) E( ) E T = E E T N = E N E = E N 제 5 장다변량확률변수

59 b) Y = y가주어졌을때 의조건부기대값과분산 : ( = y) E Y ( = ) = ( = ) { ( = )} Var Y y E Y y E Y y 들을구하면이들은 y의함수 y를변하는것으로보고 Y로대체 E Y = { } Var Y E Y E Y 확률변수 확률변수 의분산과 의기대값을각각구해더하면 { } { } Var E Y + EVar Y = Var * ( 연습문제 # ) -58- 제 5 장다변량확률변수

60 < 예제 > 조립라인에서매일 n개씩을뽑아검사 공정의불량률이 p 라면 n개중불량품수 (, ) b n p 불량률 p 가변한다 : p : 고정 p U 0, 4 (, ),, ( ) p b n p E p = np Var p = np p { } { } 8 E = E E p = E np = ne p = n { } { } ( ) = ne ( p) ne ( p ) + n Var ( p) = n n + + n = n+ n 48 9 { } Var = E Var p + Var E p = E np p + Var np -59- 제 5 장다변량확률변수

61 5.5. 다항분포 binomial 실험. 동일한실험을독립적으로 n번반복시행. 각시행의결과는둘중하나 : s 또는 f 3. P(s) = p, P(f ) =-p 4. s 의수 b n, p multinomial 실험. 동일한실험을독립적으로 n 번반복시행. 각시행의결과는 k 개중하나 : E, E,, Ek P E = p, i =,, k, p + + p = E i i i k 가일어나는수 ( k ),, 의분포??? i 제 5 장다변량확률변수

62 (,, k) 의결합확률함수 p(,, k) i. 특정순서에따라 E 이 번,, E 가 번일어날확률 : p p p k p p k, + + = k k k. n번중 E 이 번,, E 가 번일어날경우의수 : [ 정리.7] 에의해다항계수 n!!! k! n! p(,, ) k k = p p pk,!!! 단, + + = n, p + + p = k ( k) n ( p p pk) k k 이때,, 는모수가과,,, 인다항분포(multinomial distribution) 을따른다고하고 k k 제 5 장다변량확률변수

63 (,, k) MNk( n; p,, pk) 로표기여기서 + + = n = n k k k ( ) 실제로는확률변수 k 개 :,, 과 = n k k k < 예 > k= 일경우 n! n! p(, ) = p p = p p!!! n! (, ) ( ) b n p n 분류형 (classificatory 또는 categorical), 열거형 (enumerative) 또는세어서얻는 (count) 자료 제 5 장다변량확률변수

64 < 예제 5.33> 양품 95%, 재가공품 4%, 불량품 %, Y, Z : 0 개중재가공품, 불량품및양품의수 ( YZ,, ) ~ MN3 ( 0; 0.04, 0.0, 0.95) 0! yz!!! (,, ) = ( 0.04) ( 0.0) ( 0.95) p y z y z 여기서 z = 0 y ( 또는 ) = (, ) P Y P Y = p 0,0, 0 p,0,9 p 0,,9 p,,8 = 제 5 장다변량확률변수

65 (,, k) ~ MNk( n; p,, pk) i ~ b( n, pi) i < 예제 > k=3 인삼항분포 (, YZ, ) ~ MN3( n; p, p, p3) n! y n y p(, y) = p(, y, n y) = p p ( p p), 0 + y n y!! n y! ( ) n n! p ( ) = p p p p y= 0 y!! n y! ( ) ( ) y ( n )! n! = p p p p! n! y! n y! n y y= 0 n n = p p ( p p ) + n = p p b n p n ( ) (, ) n y ( ) n y 제 5 장다변량확률변수

66 i 결합적률생성함수 k = n k ( k ) k k M t,, t E e t + + t = t tk ( pe pk e pk) = t (,0,,0) = ( k ) M t pe p p n t ( pe ( p) ) b( n p) = +, 의 mgf n n ( 연습문제 #7) i (,, tk ) M t E( ) = = n( n ) p p t t i j i j i j t = = t = 0 k 제 5 장다변량확률변수

67 (, ) σ = Cov = np p ij i j i j ( 연습문제 #7) σ np p ρij = = = σσ np p np p p p ij i j i j ( ) ( ) ( p )( p ) i j i i j j i j < 예제 5.35> < 예제 5.33> 에서 ( YZ,, ) ~ MN3 ( 0; 0.04, 0.0, 0.95). ~ b 0, 0.04, Y~ b 0, 0.0. σ = = Y ( 0.04)( 0.0) ( 0.96)( 0.99) 3. ρ = = Y 제 5 장다변량확률변수

68 5.5. * 변량정규분포 ( Y) i 변량확률변수, 의결합 pdf 가 q(, y) f(, y) = e, < <, < y< πσ σ ρ Y μ μ y μy y μy 단, q(, y) = ρ + ρ σ σ σ Y σ Y Y Y 일때, Y, 는모수가 μ, μ, σ, σ, ρ 인 변량정규분포 (bivariate normal distribution) 을따른다고한다. i μ u =, v= σ y μy σ Y 라놓으면 q(, y) q( u, v) = ( u ρuv+ v ) = ( u ρv) + ( ρ ) v ρ ρ 제 5 장다변량확률변수

69 f(, y) ddy = ep π ρ ( ρ ) + ( ρ ) ( ρ ) u v v dudv ( Y) v w u ρv = e e dw dv w π = π ρ = i, 의 pdf 를적분하면 i f Y Y ( y ) ( σ ) ~ N u, ( Y σ Y) ~ N u, (, y) ( ) f = f 를정리하면 Y= Normal EY σ σ Y ( = ) = μy + ρ ( μ ) ( = ) = σy ( ρ ) Var Y du = ρ dw * ( 연습문제 # a) * ( 연습문제 # b) 제 5 장다변량확률변수

70 < 예제 5.36> : 학기성적 Y : 학기성적 ( Y), : 변량정규분포 μ =.9, μ =.4, σ = 0.4, σ = 0.5, ρ = 0.8 Y Y =3. 일때 Y 의조건부분포? σ ( 0.5 ) Y μy ρ μ EY = 3. = + = =.7 σ ( = 3.) = Y ( ) = ( 0.5) ( 0.64) = ( 0.3) Var Y σ ρ 0.4 Y = 3. N.7, Y P(.< Y < 3.3 = 3.) = P < < = ( Z ) = P < < = 제 5 장다변량확률변수

71 ..4 Y P(. < Y < 3.3) = P < < ( Z ) = P 0.6 < <.8 = i. 와 Y가서로독립이면 ρ = 0 σ = E Y μ μ = E E Y μ μ = Y Y Y 0 ( Y). ρ = 0 이면, 의 pdf 식 (5.33) 에서 (, ) = Y f y f f y 와 Y는서로독립 < 정리 5.4> ( Y), : 변량정규분포 와 Y는서로독립 ρ = 제 5 장다변량확률변수

72 ( Y) i, 의적률생성함수 t ty (, ) = M t t E e + σ t + ρσ σ tt + σ t = ep μt+ μyt + Y Y * ( 연습문제 # ) M t, t 에서 t, t, t, t, tt 의계수를찾으면 ( ) M t, t 를미분하지않아도 와 Y의평균, 분산, 상관계수등을쉽게얻는다 제 5 장다변량확률변수

1 경영학을 위한 수학 Final Exam 2015/12/12(토) 13:00-15:00 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오. 1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 Z 1 4 Z 1 (x + 1) dx (a) 1 (x 1)4 dx 1 Solut

1 경영학을 위한 수학 Final Exam 2015/12/12(토) 13:00-15:00 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오. 1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 Z 1 4 Z 1 (x + 1) dx (a) 1 (x 1)4 dx 1 Solut 경영학을 위한 수학 Fial Eam 5//(토) :-5: 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오.. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 4 ( ) (a) ( )4 8 8 (b) d이 성립한다. d C C log log (c) 이다. 양변에 적분을 취하면 log C (d) 라 하자. 그러면 d 4이다. 9 9 4 / si (e) cos si