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1 rev 2004/1/12 KAIST
2 2
3 (recurrence)
4 , , , , ,
5
6 6,,,,,,,??,,, , KAIST
7 7,,,,?,!,?,??,!!,,,? 1 (1989 IMO )5 5 25, ( )
8 21? 5 5? 4 4, 6 6, 7 3? n ?, , 2 1 8, 8
9 @@, , 8 1 4, @ , 3, 2 5 5
10 10, , 4 4 @ @@ ,5 5 IMO?,? 200 4,?,,?, MathLetter
11 11, BGIVESF work Backward, Generalize, Items, Viewpoint, Extreme cases, Small problems, Fixed point, Induction, Pigeon-hole, Equivalence?
12 12
13 1,,,, 11,,?,, 111?,
14 14,,,,,,?,? 1 a, b φ(ab) =φ(a)φ(b), φ(n) n n 1 ab ab b b +1 b +2 b +3 2b 2b +1 2b +2 2b +3 3b (a 1)b +1 (a 1)b +2 (a 1)b +3 ab, qb + r q, r r b b, ab φ(b) b φ(b)
15 11 15 C r r qb + r (q =0, 1,,a 1), b a qb + r q b + r qb q b q q (mod a) q = q, C r a, a, C r a φ(a) C r φ(b), φ(ab) =φ(a)φ(b), 2 (1981 ) 1,, 2, 3, 4? ( ) a, b, c A a 3 3 1, 4 A a, 3 a b 4, 5 A 2 3 A 2, A 5
16 16 4 1, , 6, 5 7 a, b, c 2, a, b, c, , K ,, 3 (1988 IMO ) a, x 1988 k=0 1 x k = a f(x) x =0, 1,,1988, (, 0), (0, 1), (1, 2),, (1987, 1988), (1988, )
17 x k x,, f x ± f(x) 0, x k + f(x), x k f(x), x f(x) 0 0, f(x) =a a =0 1987, 1988, 1 (1990 KMO ) p, q, r A, B, C (1 p<q<r) 3, A, B, C 20, 10, 9 B r, q? 2 (PSTP 123, 1990 KMO 2 ) a b, a b + 2a + b 3a + + b (b 1)a = b (a 1)(b 1) 2 3 (1985 ) a 1,a 2,a 3, m 1, b m =min{ n : a n m }, b m a n m n a 19 =85, a 1 + a a 19 + b 1 + b b 85
18 18 112! 4 (2002 KMO ) ABCD, CD M, AD E BEM = MED AM BE P, PE BP AM, EM BC R, Q, ABCD 4a MED = MQC ( ) BEQ M BM EQ BMQ BCM MCQ MC : CQ = BC : CM =2:1 CQ = a = DE PBR PEA PE BP = AE BR = 3a 8a = (PSTP 121, American Mathematical Monthly) AB
19 11 19 AB PY P PQ PP Q = PYX, XY Z, XY Z, 1 ABC O A BC D, D BC AO E ADE, B = C 2 (2001 KMO ) ABC = CDE =90 ABCDE AE M, AB CD = BC DE MB = MD 113 x x,, 6
20 20 S T PQR PQ 3 RS RT 6 8, PQ S, T PR, QR 3 PR, QR 1/3 x, y (2x) 2 + y 2 =6 2, x 2 +(2y) 2 =8 2 5 x 2 +y 2 =20, PQ 3 20 = 6 5, 7 (1976 )8 7, 1, 05, 0 7 8, 8 8?? 8 n, k 1 n +2 (n +2)(n +1) kn +8= = 2 2, n 2 +(3 2k)n =14 n n 14, n =1, 2, 7, 14 n =1, 2 k<0 n =7 k =4, n =14 k =8 (n, k) =(7, 4) 9, (n, k) =(14, 8) ,
21 11 21,, 1 (1989 IMO ; ), 38 55, 50 55? 2 (1980 ), 3 A, B, C A, B, C A 1, B 1, C 1, A, B A 2, B 2 C A 1, B 1, C 1, A 2, B ? 2 1,,,,,
22 22 9 (Fermat ) p a p, a p 1 1 (mod p), p a 2 a p a p, p a p a,, a p a p p a p a p 1 1 p, a p a p 1 1(modp) 10 (2002 KAIST )1,2,3,, = = (
23 11 23!), (, ) (, ), (, ), (, ) (, ),,, n 2 (PSS 2 23 ) A =(0, 0), B =(0, 1), C =(1, 0) A, B, C, D =(1, 1)?
24 ,? 1 (1999 ) n, p 1+np n +1 p 1+np = t 2 np =(t +1)(t 1), p (t +1)(t 1) p p t +1 p t 1 t = rp ± 1 n +1= (rp ± 1)2 1 +1=r 2 p ± 2r +1=(p 1)r 2 +(r ± 1) 2 p p 2 (1970 ) y = x y =2x, 4 (a, a), (b, 2b) 4, (x, y) (b a) 2 +(2b a) 2 =4 2 ( ) x = a + b 2, y = a +2b 2 a b x, y a =4x 2y, b =2y 2x
25 12 25 ( ) x y (3x 2y) 2 +(4x 3y) 2 =2 2 25x 2 36xy +13y 2 =4 3 (1998 Senior ) n : x y (a) a + n a =1 a (a <n), n x y (b) n, a + n a =1 a (a <n) (p, 0) (0,q) q p q ( ) p q p q p = q p (x, y) =(p p,q ) ( ) ( ), a n a gcd(a, n a) =gcd(a, n) a n, n x a + y n a y =1 n a = x a 1,,
26 26? 2 n,3n +1 n +1 3 (1970 ) f(n) n : 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, f(s + t) f(s t) =st, s, t s >t , a b (a = b ) ab + a + b a, b c c +1=ab + a + b +1=(a +1)(b +1), W 1 W, f : W W, f(a) =a +1, f(c) =f(a)f(b) W 2 3, a, b a b, W p 3 q, W 2 p 3 q 1 (p, q 0 )
27 (MathLetter 128 Proposal) X (1) 1 X (2) u, v X = uv u + v X X 2 (2002 KMO ) x 3 +2y 3 +4z 3 +8xyz =0
28 , p q p q, p q 1 (2002 ) α = , α n n (prime number) 1, 0 1 α, 1 m, a(> 1) a + mt (t N) t = a a + mt = a(1 + m), α 2, m C C(2m +1)!+2,C(2m +1)!+3,, C(2m +1)!+(2m +1) k 2m, C 0 a 1923 Eötvös :,,,
29 (1999 KMO ) , 2, 3,, 27, 3?,,,,, m m = = , m c, c 4 c, 4m =3m +3c, c =14, 14,, 1, 2,, ,,, 1 (1911 Eötvös 1 ) a, b, c, A, B, C ac 2bB + ca =0 ac b 2 > 0
30 30, AC B (1973 ) ( ) 132 S N S = N (1) 1 S (2) n S = n +1 S 3 (1989 KMO, ) n ( ), n =1, 2 n = k n = k +1 k +1 k a 1 a 2 a k a a a 1 a 1 a a a 2, a 2 a 2, a a 1,,a j a j+1 a j+1 a a k, k +1 n
31 13 31, S N S = N (1) 1 S (2) 1,,n S = n +1 S 4 (1991 KMO ) n 1 1 n ( : =1 2+2=4 ) n 2n +2 1= , a 1 + a a k = n a 1 a 2 a k 1= = 1 2a a k + 1 2, 2a a k +2=2n = , 3+6=9, n 2n +9, k (k 0) 73 + (2k + 1) = 2(36 + k) (2k + 2) = 2(33 + k) (k +1), ,
32 32 (Backward induction) S N S = N (1) S (2) n +1 S = n S 5 a 1,,a n - a a n n n a 1 a n 1 n =1, n =2 n =4 n =2 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 4 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = a1 a 2 + a 3 a 4 2 a1 a 2 a3 a 4 = 4 a 1 a 2 a 3 a 4 n =4 n =8, n =2 k a a 2 k+1 2 k+1 = 2 a a 2 k 2 k + a 2 k a 2 k+1 2 k 2 k a1 a 2 k + 2k a2 k +1 a 2 k k a1 a 2 k 2k a2 k +1 a 2 k+1 = 2k+1 a1 a 2 k+1 n =2 k+1, n =2 k - 2 n 2 k n 2 k t n + r = t (r > 0) a 1,,a n m, a n+1 = = a t = m a 1,,a t m t m = a a n + rm t a1 a n m t r
33 13 33, m t a 1 a n m r m n a 1 a n m n a 1 a n, n, n - - n S 1 S, 2 r =1,, 1 (2002 ) S 2002 N 0 N S, (a) (b) (c) N 2 (2003 ) S n, S 1 S n/7, 3 S T 3 a 1,1,,a 1,n ; a 2,1,,a 2,n ; ; a m,1,,a m,n, Cauchy m m n n m a m i,j a i,j i=1 j=1 j=1 i=1
34 (recurrence) 6 ( ) A, B, C,1 2 A,3 4 B,5 6 C,, A B,C,? 7 a 1,a 2,,a n 1, 2,,n a i = i 1 i n n u n, u n 1 (2002 KMO) n 2n +2 x 0,x 1,,x n,y 0,y 1,,y n,, n +1 x 0 2 x n @ y 0 y 1 y 2 y n 1 y n 2 (Yaglom MCwES 45 ) 3 n,? 3 A, B A, B A m, B n ( )?,
35 n n, 2, rn r 8 6,, (3 ) A A B F B F C E C E D D A, B, C, D, E, F, A 3 3,, 3,, B, C, D
36 36, B C, C D, B D,,, 9 (1976 ) 4 7 (, ) [ ] 10 (1990 KMO) n A 1,A 2,,A n 30, A i, A j, A 1 A 2 A n = φ( ) n<872 1 (2002 ) S {1, 2,,9}, S {1, 2, 3, 5} {1, 2, 3, 4, 5} 1+4=2+3 S? 2 (Crux 1990?) M = { (x, y) 1 x 12, 1 y 13, and x, y Z } (1) M 49, x, y
37 13 37 (2) 48 (1) 3 (1983 ) n, 1/n n (n +1)/2
38 38
39 (1926 Eötvös 3 ) k k k k k 2 (1987 KMO) f 1 (x) =(x 2) 2, f 2 (x) =(f 1 (x) 2) 2,, f n (x) =(f n 1 (x) 2) 2,, f n (x) a n b n 1 (1973, 1976, 1988 KMO) O O AB XY, AX BY P
40 40 2 (2002 ) {P n (x)} : P 1 (x) =x 2 1, P 2 (x) =2x(x 2 1), P n+1 (x)p n 1 (x) =(P n (x)) 2 (x 2 1) 2, n =2, 3, S n P n (x) n,2 k n S n ( ) k n 3 (1999 ) {a 1,a 2,a 3, } (i) n, a n =1or 1, (ii) m, n, a mn = a m a n, (iii) n a n = a n+1 = a n A = a b A 1 1 = d b c d ad bc c a A 1 4 (PSTP 141) a, b, c, d a 3 + b 3 + c 3 a + b + c + b3 + c 3 + d 3 b + c + d + c3 + d 3 + a 3 c + d + a + d3 + a 3 + b 3 d + a + b a 2 + b 2 + c 2 + d 2 x3 + y 3 + z 3 x + y + z x2 + y 2 + z 2 3 x + y + z =1
41 x, y, z, (x + y + z) 2 a(x 2 + y 2 + z 2 ), a 2 (1977 ) (m, n) : (1 + x n + x 2n + + x mn ) (1 + x + x x m )
42 , 1 a n, a 2002 a 1 =3, a n+1 = a n 1 a n, (n 1) 2 (PSTP 116, The Mathematics Student )2 7 2, 7, 1, 4, 7, 4, 2, 8,, 6 3 (1983 ) p,2 n n p n 1 (1989 IMO, 1990 KMO) n a 1,,a n, a 1 a n
43 ( 308 ) 2000 n n k n=1, x x k=1 3 (1979 ) n,3 n +1, (2002 KAIST, Geometric Transformations I 9 ) O, A A m, m P m O Q A PQ m, m P Q A, P A P = Q, A O P = Q, A O, m O Q QA 5
44 44 (Wohascum County Problem Book 69 ),,,, ( ),? 6 (1998 Senior ) f x : (i) f(999 + x) =f(999 x) (ii) f( x) = f(1998 x) f : (a) x f( x) = f(x) (b) T, x f(x + T )=f(x) (i) f( x) =f(999 + (999 + x)) = f(999 (999 + x)) = f( x) f(1998 x) =f(999 + (999 x)) = f(999 (999 x)) = f(x) (ii) f( x) = f(x) (ii) (a), f(x ) = f( ( x)) = f(1998 ( x)) = f( x) =f(x) (b) 1 (2002 KAIST, Geometric Transformations I 25 ) A, B X, AX BX X?
45 ,,? , , 7 (, ) 5 ( ) P P, 5 P 4, P P P 2 X, Y XY XY P BC, X, Y, B, C, I f x, y I 0 λ 1 f(λx +(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y), f I (convex; ) (concave; )
46 46 (Jensen ) I f, x 1,,x n I 0 λ 1,,λ n 1 (, λ λ n =1) f(λ 1 x λ n x n ) λ 1 f(x 1 )+ λ n f(x n ) 8 (1981 ) A, B, C, 2 sin 3A +sin3b +sin3c 3 3 2, 1 n 4 n n 2 (1979 ) a, b > 0, a, A 1,A 2,b, a, G 1,G 2,b A 1 A 2 G 1 G
47 (1994 KMO ) a 0 x 5 + a 1 x 4 + a 2 x 3 + a 3 x 2 + a 4 x + a 5 =0 a 5 > 0 14a 3 +9a 1 +35a 5 < 0, 3 3, 14 14,? 11 (?) n, n,,? 1 (1985 ) 6, 8, 10 2 (2002 KAIST ) n, n ( ) 3 (2002 ) 1 n, 1 n n
48 48 225, (1917 Eötvös 3 ) A B k A B k ( ),, 1 4n +3 2 (2001 Putnam B6 ; ML 126 ) a a n n lim =0 n i =1, 2,,n 1 a n i + a n+i < 2a n n?
49 , 1,?,,,, A, a,,,,, 2 ( ( ) 136 ) O A, B A O O M, N AMN B, M, N
50 50 O A, AMN AM AN BMN AB B C ( B C = B ), AM AN = AB AC, AC = AM AN AB AC AB, C AMN BMN 3 (Fermat-Euler ) a n a φ(n) 1 (mod n), φ(n) n n Fermat a p 1 1 (mod p) (p, a p ), {1, 2,,p 1} p p {a, 2a,,(p 1)a} p p, 1 2 (p 1) a 2a (p 1)a (mod p)
51 23 51 (p 1)! p, a p 1 1 n C = {c 1,c 2,,c φ(n) } C a ac = {ac 1,ac 2,,ac φ(n) } a n ac i ac j (mod n) c i c j (mod n), ac n, c 1 c 2 c φ(n) ac 1 ac 2 ac φ(n) (mod n) c 1 c 2 c φ(n) n, a φ(n) 1, 1 6,,,6? 2 (Problem-Solving Strategies 1 E7) a 1,a 2,,a n 1 1, S = a 1 a 2 a 3 a 4 + a 2 a 3 a 4 a a n a 1 a 2 a 3 =0 n 4 3 ( ) 100 a 1,a 2,,a 100 a n, a m a 2 n n a 2 m a m a2 m m a 2 n a n a m m a n a n n a m
52 52, i =20, 40, 60, 80, 100 a i = 1 i 5 a i =1,? 232,, 4 (2000 ) n 2 f(f(n 1)) = f(n +1) f(n) f : N N? f(n +1) f(n) =f(f(n 1)) > 0, f(n +1)>f(n) f f(f(n)) >f(f(n 1)) f(n+2) f(n+1) >f(n+1) f(n), n>3 n f(n 1) n +1, f(f(n 1)) >f(n +1), f [x], ( ) 5 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18,, 1, 4, 9, 16, n n + n (1981 ) x, n, [nx] > [x] 1 + [2x] 2 + [3x] [nx] n
53 23 53 [t] t ( : [π] =3, [ 2]=1) 2 (2001 Putnam B4 ; ML 126 ) S 1, 0, 1 f : S S f(x) = x 1 x f (1) (S) f (2) (S) f (n) (S) = φ (, f (n) f n ) 3 (1986 IMO) x i, s = x i > 0 x, y, z y<0,(x, y, z) (x + y, y, y + z) y<0?
54 ? (1) (2) 2,,,,, : : : : :,,,
55 24 55,,, +?,?,,?,,, 1 ( ) 1 n, a + b =2c
56 56 a, b, c n 2 (1999 KMO ) n n, ,2 242, 3 A 1 A 2 A 15? 4 (1986,1989 ) n k 2 1 n n k=1 1? 2 (1973 ) {X n }, {Y n } X 0 =1, X 1 =1, X n+1 = X n +2X n 1 (n =1, 2, 3,) Y 0 =1, Y 1 =7, Y n+1 =2Y n +3Y n 1 (n =1, 2, 3,) X : 1, 1, 3, 5, 11, 21, Y : 1, 7, 17, 55, 161, 487, 1
57 ( 216 ) n,6 n +1,n+2,n+3,n+4, n+5,n+6 A, B, A B
58 58 25, -?,?,,, (1976 IMO 4 ) , 2 5=2+3< 2 3=6, 2+n<2 n (n 3), 5 (1) =2 2,4 2, 4 (1 ) 1 (2) 1 1 n<(1 + n)
59 , (1 ) (2), 2 3, =3+3, < 3 3 3, 2 3, 2 2 (3) 1976 = , (1999 IMO Selection Tests 1 ) x, y Z h(x + y)+ h(xy) = h(x)h(y)+1 h : Z Z x = y =0, h(0)+h(0) = h(0) 2 +1, (h(0) 2 1) 2 =0 h(0) = 1 (x, y) =(1, 1), h(0)+h( 1) = h(1)h( 1)+1, h( 1)(h(1) 1) = 0 h( 1) = 0 h(1) = 1 (1) h(1) = 1 : y =1 h(x +1)+h(x) =h(x)+1, h(x +1)=1 h(x) 1 (2) h( 1) = 0 : (x, y) =( 2, 1), h( 1) + h( 2) = h( 2)h(1) + 1, h( 2)(1 h(1)) = 1 h, h( 2) 1, (h( 2), h(1)) = (1, 0) or ( 1, 2) (2a) h( 2) = 1, h(1) = 0 : y =1, h(x +1)+h(x) = h(x) 1+( 1)x 2
60 60 (2b) h( 2) = 1, h(1) = 2 : y =1, h(x +1)=h(x)+1, 1 h(x) x +1 (1), (2a), (2b) h 1+( 1) x h(x) =1,, x (1989 KMO) f : N N (N ) (i), (ii), (iii) (i) f (ii) m, n N f(mn) =f(m)f(n) (iii) m = n m n = n m f(m) =n f(n) =m f(30) 2 a 1 a 2,a 3,, 12345, , , ,, (2002 ) n, n n, n,6 1, 2, 3, 6, 1=1, 2=2, 3=3, 4=1+3, 5=2+3, 6=6,6
61 25 61 a, b ab ab c ab c = qb + r, (0 q a, 0 r<b), q r a b q = a 1 + a a m r = b 1 + b b n c = qb + r =(a a m )b +(b b n ) = a 1 b + a m b + b b n a i b( b) b j (<b) ab ab 4 (1990 APMO) n 6 n, n 1 1:2
62 62 (1) n (2) n (1) 0,(2) 1 2, (1) n (2) n 1, n =4, 5, 5 (2001 Putnam B1 ; ML 126 ) n n 1, 2,,n 2 (, n ) k (k 1)n +1, (k 1)n +2,, (k 1)n + n, n n n n n (a) n (b) 2n 2n 2n n (n 1)n (n 1)n (n 1)n
63 25 63 (a),(b),,, 1 (MathLetter 127 Proposal) , 2, 3,,27,,, 3? 2 (2002 ) a, b 2 k n 1,n 2,,n k (a) n 1 = a, n k = b, (b) n i n i+1 n i + n i+1 (1 i<k)
64 ,, 1 (1979 ),4, , , 0 180, 6 540, ( 1972 ) R, ar 2 + br + c dr 2 + er + f 3 2 < R 3 2 a, b, c, d, e, f
65 (2003 KMO 2 ) n m, m m,, I,, m, n 6 2m <n (a) n, I m, n (b) I n, m =3 n I = n 262 (1) (2) (3) compact set 2 (Sylvester) n( 3), n (Paul Erdös) ( ), d, d d 0
66 66 A A d0 d1 B D H C l B, C, D, A H H D, B D AB d 1 d 0 d 0,, 3, ( ), c, c (c ) c, c, c, c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
67 26 67 infinite descent, 4 a 2 + b 2 + c 2 =2abc,, a, b, c,, a, b, c, , a, b, c a, b, c 2a 2,2b 2,2c 2, a b c 2 2 =2 2 a 2 b 2 c 2 a 2, b 2, c 2, 2a 3,2b 3,2c 3 a b c 2 3 =2 3 a 3 b 3 c 3? a, b, c 2 2 k, a =2 k a, b =2 k b, c =2 k c, a, b, c a 2 + b 2 + c 2 =2 k+1 a b c a, b, c 4, 4 0 1, a, b, c, a, b, c 1 (1976 ) a 2 + b 2 + c 2 = a 2 b 2
68 68 2 (PSTP 1117) c/d (d <100) k c = k 73 (k =1, 2, 3,,99) d 100, [x] x 3 (PSTP 1112) 2n, n, n n,? 4 (A Problem Seminar 56) n 1,n 2,n 3, n k+1 >n nk (k 1) 1, 2, 3, 4, 263,, 5 ( Eötvös , ) EFGH ABC
69 ABC A, AB A A E H A' C A F B G A BC > ABC,, 2 ABC A EF, E F BC A BC E H A h' C F h B G E, EBC ABC, A, B, C, ABC = 1 2 EFGH, ABC 1 2 EFGH
70 70 6 ( 1999 ) 1 ABCDEF, M m AD, BE, CF M m [ 1] M M<3, ( ), M, M> 3 3 <M<3 M, [ 2] m m 2,, m m>1,, 1 <m 2 m,,,, M > 3 1 M,,
71 26 71 M M, AD BE CF, C E D M A B M F C D D' E BE CF, M M 2, BE = CF, BC = EF(= 1) BCF FEC (SSS), BCEF, ABCDEF AD A B M M F C D D' E ( 1) AD BE = CF = M, AD < M C, E AD M D AD, M, AD < M M 3, O,
72 72 O A B F C O D E,6 OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA, A = C = E, B = D = F ACE BDF 4 X =( AB, CD, EF) Y =( BC, DE, FA) ( 3), X Y BC AB FA EF CD DE AB + CD + EF = 0 AD AD = AB + BC + CD = BC +( EF) BC AB CD, BC +( EF) BC AB CD EF ABCDEF M min = 3 M> 3
73 26 73 compact set compact set, compact set 1 (1973 ) P, Q ABCD, PAQ < 60 2 (1983 ), ( ) 3 (1985 ) A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD, CD 1
74 74
75 (1999 ) x>1 n>1 1+ x 1 nx < n x<1+ x 1 n x = y n (y>1) y n 1 ny n <y 1 < yn 1 n ny n y 1 y>1 y n y +1<ny n <y n (y n y +1) y n y +1<y n + + y n + y n <y 2n y n+1 + y n
76 76 2 (1927 Eötvös 1 ) a, b, c, d m = ad bc ax +by m (x, y), cx +dy m 1 ( 57 2) x 7 2x 5 +10x 2 1=0 1 2 (500 Mathematical Challenges) a, b, c, d, a 2 + b 2 =2 a 2 + c 2 =2 c 2 + d 2 =2 b 2 + d 2 =2 ac = bd ab = cd 3 (1979 ) n 3 3 1/ (1910 Eötvös 2 ) a, b, c, d, u, ac, bc + ad, bd u bc ad u
77 31 77 bc ad u 2bc, 2ad u bc+ad, u bc ad u, WLOG(Without Loss Of Generality) 4 a, b, c a b + c + b c + a + c a + b < 2 a b c a b + c + b c + a + c a + b < 1+ b c + b + c c + b =2 1 (1998 Intermediate ) x, 1 y, 1 z (xyz 1) x, y, z,? 2 (1989 IMO ) n 3 t(n), n ( ) : t(3) = 1 : n n t(2n 1) t(2n) = (2002 KMO) x 3 +2y 3 +4z xyz =0
78 78 32, 1 ( ) A 3, B 4, B, A,,?,, B,,,,? B, A B 3 A
79 32 79 n n, n 1 k n, n k n k = , 3, 2, 1, = , n k k n,, 3 6 ( ) (1) A B C D A D,
80 80 B C, =20, B C - 2(20 ) (2) - 5, i r i, 5 r i - r i (5 r i ), r i 2 3 6, - 6 r i (5 r i ) 6 6=36 i=1 (1) (2),2(20 ) 36, P P,, v, e, f e 3v 6 2 (yaglom MCwES 119a ; Sperner s lemma) T,,,, T 1, 2, 3 1, 2, 3, T, 1, 2, 3 [ ]
81 A B B A, 4 (1967 Putnam )1 n n, 1 n,1,2,3,,,,, ( ),, k k = p e1 1 pe2 2 per r k (e 1 +1)(e 2 +1) (e r +1)
82 82 (e i +1), e i =2f i, k =(p f1 1 pf2 2 pf r r ) ,,?,, , (2002 )(x, y) = (0, 0), f(x, y) = x2 xy + y 2 2x 2 + y 2 f(x, y) =(x 2 xy + y 2 )/(2x 2 + y 2 )=k k x 2 xy + y 2 =2kx 2 + ky 2, k y (1 k)y 2 xy +(1 2k)x 2 =0 k y 2, D = x 2 4(k 1)(2k 1)x 2 0
83 32 83 x =0 k =1, x = 0 1 4(k 1)(2k 1) 0, 8k 2 12k k , 3 3 4, 7 ( 164 ) a, b, c, d 1, a + b + c abc < <m<3 y =(m +1)x m 2 2 (2002 KAIST )1 1000,1 1000,,,, 1000? 3 ( ) a 1 <a 2 < <a n n, 3
84 84 4 (1980 ) [0, 1] a, b, c a b + c +1 + b c + a +1 + c +(1 a)(1 b)(1 c) 1 a + b f(n) f(2n) =f(n), f(2n +1)=f(n)+1, f(1) = 1 f(n) =7 3 n 2 2n 2 n 0,2n +1 n 1 f(n) n 2 ( 1 ) a r a 1 a 0 2 f(2n) =f(n) f(a r a 1 0) = f(a r a 1 )+0, f(2n +1)=f(n)+1 f(a r a 1 1) = f(a r a 1 )+1 n = f(10110) = f(1011) + 0 = f(101) = = , f(n) = (2), (2), (2) = (1989 IMO ) a n a 0 = 3 4, a 1+an n+1 = (n 0) 2
85 32 85?cosine cos θ 2 = 1+cosθ 2 a 0 = 3 4 =cosα, α n = α 2 n, a n =cosα n =cos α 2 n n =0, n 1+cosαn a n+1 = 2 =cos α n 2 =cosα n+1 n +1, 10 ( ) 2,3 1 (PSTP 311) x, y f (1) f(x, x) =x (2) f(x, y) =f(y, x) (3) f(x, y) =f(x, x + y), f 2 (1999 ),, A A (, )
86 86, P, Q P, Q,, ( ) 100 Z, Z (1999 IMO Selection Test) x 1,x 2, y 1,y 2, : x 1 = y 1 = 3, n 1 x n+1 = x n + 1+x 2 n, y n+1 = 1+ 1+yn 2 n>1 2 <x n y n < 3 y n
87 α 0 <α<π sin θ +sin(θ + α) F (θ) = cos θ cos(θ + α), 0 θ π α, F, F θ F (θ) =F (0), sin θ +sin(θ + α) cos θ cos(θ + α) = sin α 1 cos α, 0 θ π α (1), [sin θ +sin(θ + α)](1 cos α) =sinα[cos θ cos(θ + α)], sin θ +sin(θ + α) sin θ cos α sin(θ + α)cosα =sinα cos θ sin α cos(θ + α), sin θ +sin(θ + α) (sin θ cos α +sinα cos θ) [sin(θ + α)cosα sin α cos(θ + α)] = 0, sin θ +sin(θ + α) sin(θ + α) sin(θ + α α) =0,(1) 0, 0 <α<π 1 cos α>0, 0 θ<θ+ α π cos θ cos(θ + α) > 0
88 88, 2 ABCD P AP = BP, BAP = ABP =15 PCD, PCD 15 ABCD PCD, AD = CD = PD AP D 30, DAP = PAD =75, BAP =15, BAP CDP, AB CD M, N, P BAP MN, x = BAP y = CDP y = f(x) f(15 ), f f 1 (60 )=15, f(15 )=60
89 33 89 P P AD = P DA =15 P P A = PA, P AP =60 AP P, P P = P A = P D, PP D = 150 P PD P AD, PD = AD = CD, PC = CD PCD 1,?? 2 3, ( ) 4 (1923 Eötvös 1 ) O r A, B, C A, B, C r
90 90?,,,,, 1 (PSTP 142, School Science and Mathematics ) AB C AB, AC, CB k 1, k 2, k 3 k 2 k 3 k 2, k 3 D, E C AB k 1 F FDCE 2 (1999 KMO ) ABCD, BD < AC E F AB CD, BC AD, L M AC BD LM EF = 1 AC 2 BD BD AC
91 ,,,, ?, [ ],?
92 92,? 1, 3:0 2:1 (1) (2) m l l (1) 3:0 (2) 2 : 1 2:1,,2 m,(2) 2 1 α, α 4:0,3:1,2:2 (1) 4 : 0 : 0
93 34 93 (2) 3 : 1 : 4, α 3 β 4 (3) 2 : 2 : 3, α A B, C D α A, B AB, CD A, B, C, D, A CD C D AB, A AB CD β β C α 3,(2) (3) 7? 2 ( ) a 1 <a 2 < <a n a 1 a a 2 a a n a 4 1 a 2 a a 3 a a 1 a 4 n n =3, 1 (1999 ) k=0 4sin 2 kπ (1999 KMO ) ABC DEF AD, BE, CF AA = a, BB = b, CC = c A, B, C A BC, B CA, C AB M, M ABC d, 1 a + 1 b + 1 c = 1 d
94 94 3 (1998 KMO ) 1, 2, 3,, 2000 ( ) (1974 ) a, b, c a a b b c c (abc) a+b+c 3,,, [ ] a, b a a b b (ab) a+b 2 ( ), 1 a, b ( ) a b a 2a b 2b a a+b b a+b a a b b a b a a b 1 b a b, 1, a b 0
95 a a b b (ab) a+b 2 b b c c (bc) b+c 2 c c a a (ca) c+a 2 (a a b b c c ) 2 a 2a+b+c 2 b a+2b+c 2 c a+b+2c 2 (a a b b c c ) 2 (abc) a+b+c 2 a a 2 b b 2 c c 2 (a a b b c c ) 3 2 (abc) a+b+c 2 2 3, ( ) a a b b a b b a 1 (+) ( ) 4, 4 4 4,
96 96 ( ),,, ( ), ( ) ( ) 4 4 0, 1, 2, 3, 4 2 ( ; MathLetter 133 ) n (a i ), (b i ),, (z i ) 0 a 1 b 1 z 1 + a 2 b 2 z a n b n z n a 1b 1 z 1 + a 2b 2 z a nb n z n, (a i ), (b i ),, (z i ) (a i), (b i ),, (z i )
97 ,, n k 2 2 k k=0 (1/2) k x k, f(x) = k 2 x k n k=0 x k = 1 xn+1 1 x (x = 1) x n k=1 kx k 1 = 1 (n +1)xn + nx n+1 (1 x) 2 k x, n k=1 n k=1 kx k = x (n +1)xn+1 + nx n+2 (1 x) 2 k 2 x k 1 = 1+x (n +1)2 x n +(2n 2 +2n 1)x n+1 n 2 x n+2 (1 x) 3 n k=1 k 2 x k = x + x2 (n +1) 2 x n+1 +(2n 2 +2n 1)x n+2 n 2 x n+3 (1 x) 3, f 1 = 2 n k=0 k 2 2 k =6 n2 +4n +6 2 n
98 98, 2 (Crux Mathematicorum ) a, b, c 1, 4(1 + abc) (1 + a)(1 + b)(1 + c), 2 n 1 (1 + a 1 a 2 a n ) (1 + a 1 )(1 + a 2 ) (1 + a n ) ( ), n ( ) n =1 n =2 2(1 + ab) (1 + a)(1 + b) 1+ab a + b (a 1)(b 1) 0 n ( ), n +1 2 n (1 + a 1 a n+1 )=2 2 n 1 (1 + a 1 a n 1 (a n a n+1 )) 2 (1 + a 1 ) (1 + a n 1 )(1 + a n a n+1 ) ( n ) (1 + a 1 ) (1 + a n 1 )(1 + a n )(1 + a n+1 ) ( 2 ) 3 (PSTP 119, American Mathematical Monthly )(x + y) 1000
99 n n 1 k k 2 k=0 k 2 (1999 ) 99 C 1,C 2,,C 99, n S n :( P ) C i C j (1 i, j 99), C i C j S, C j C i S 3 (2002 ) n a 1,,a n x 1,,x n ( ) a 1 a 2 a n ( ) x k x n (k =1,,n 1), (a 1 + x 1 a 2 )(a 2 + x 2 a 3 ) (a n 1 + x n 1 a n )(a n + x n a 1 ) a 1 a 2 a n (x 1 +1)(x 2 +1) (x n +1) 352, -, :) A, B, C P, A, B, D, E Q, E, D C, Q P A, B, C P,
100 100 4 (1913 Eötvös 1 ) n>2, (1 2 3 n) 2 >n n n 2, n, 2n, n? (1 + k)(n k) n ( ) (0 k<n) (1 + k)(n k) n = k(n (k +1)) 0 ( ), k =0,n 1, (1 2 3 n) 2 = (1 n)(2 (n 1)) (n 1) n n n = n n, n>2 0 <k<n 1 5 (1926 Eötvös 1 ) a b, x, y, s, t x + y +2s +2t = a 2x 2y + s t = b x + y +2s +2t =1 x + y +2s +2t =0 2x 2y + s t =0 2x 2y + s t =1
101 (x 1,y 1,s 1,t 1 ), (x 2,y 2,s 2,t 2 ), a, b (x, y, s, t) =a(x 1,y 1,s 1,t 1 )+b(x 2,y 2,s 2,t 2 ) (x, y, s, t) =(1, 0, 1, 1), ( 1, 1, 1, 0) (a, b) =(1, 0), (0, 1) (x, y, s, t) =a(1, 0, 1, 1) + b( 1, 1, 1, 0), 6 (2002 IMO 1 ; ML 128 ) n T x + y<n (x, y) T (x, y), x x, y y T (x,y ) X- x- n, Y - y- n X- Y - A X-Y - X(A), Y (A), X(A), Y (A) X(T ) = Y (T ) x m := (x = m ) y m := (y = m ) (0 m n) X(T ) x m, Y (T ) y m x m ( ) X n y m Y n ( )
102 102 X(T ) = n x m = m=0 n y m = Y (T ) m=0 (1) n =1 : T,, X 1 = Y 1 = {0}, X 1 = Y 1 = {1} (2) n k n ( ) n = k +1 x + y = k : (p, q) p + q = k A x p, y q (x, y), B C B C T, X n = X p (B) {0} X q (C) Y n = Y q (C) {0} Y p (B) p, q k X p (B) =Y p (B), X q (C) =Y q (C), X n Y n x + y = k : A k+1 A k 1 1, B k+1 B k 1 1 A k = B k A k+1 = B k+1, n = k +1,( ), (1) (2) ( ),
103 (a, b, c, d) a>b>c>d>1, a! d! =b! c!, a, b, c, d 2 (1999 KMO ) N, f : N N?, (1) f(2000) = 1999, (2) n, f(n),f(2n),f(3n),,f(kn),, (3) f(f(n)) = 1 3 ABCD [ ] (1) A B C D ABCD 1/9 (2)
104 104
105 4,,
106 106?,, 1 A B A B A B? 2 n a 1,a 2,,a n f(x) =a 1 sin x + a 2 sin 2x + + a n sin nx
107 107 x f(x) sin x a 1 +2a na n 1 3 (1990 KMO 2 ) (1) i =1, 2, 3, P i = x i(i 1) <x 2 i(i +1),x 2, i = j P i P j = ( ) (2), f f(m, n) = 1 (m + n 2)(m + n 1) + m 2 f(m, n) =f(p, q) m = p, n = q 4 (1990 Putnam) T n T 0 =2, T 1 =3, T 2 =6, T n =(n +4)T n 1 4nT n 2 +(4n 8)T n 3 (for n 3) 2, 3, 6, 14, 40, 152, 784, 5168, 40576, {A n } {B n } T n = A n + B n T n, T n
108 108
109 5 1 (Yaglom MCwES 9 ) 11,, 2 A, B, C 25 A B C 2, A A A, C, B? 3 (A Problem Seminar 57) 4 (1903 Eötvös 3 ) A, B, C, D, k 1 B, C, D, k 2 A, C, D, k 3 A, B, D, k 4 A, B, C B k 1 k 3 C k 2 k 4
110 110 5 (1915 Eötvös 1 ) A, B, C n>ν ν An 2 + Bn + C<n! 6 (1974 ) (1977 )0<p<q, a, b, c, d, e [p, q], 1 (a + b + c + d + e) a + 1 b + 1 c + 1 d p q e q p, 8 (1986 ) K 1, K 2 A B AB K 1 K 2 K 1 P T- (, ), CD AB CPD K 1 C, D 9 (1988 IMO) f : n, f(1) = 1,f(3) = 3, f(2n) =f(n), f(4n +1)=2f(2n +1) f(n) f(4n +3)=3f(2n +1) 2f(n) f(n) =n 1988 n 10 (1990 IMO) n n 3 2n 1 E k,, E n k k k
111 (1990 IMO) Q + x, y f(xf(y)) = f(x) y f : Q + Q + 12 (1990 KMO ) A, B (1) 1 A, (2) A 2 k +2(k =0, 1, 2,), (3) B 2 k +2(k =0, 1, 2,), 1988, 1989, 1990 A B 13 (1999 ) n>1, a 1,a 2,,a n d (i) a k a k 1 = d for k =2, 3,,n, (ii) a i = b m i i for i =1, 2,,n m i (> 1) b i 14 (1999 KMO )3 a,(a 2 1)(b 2 1) = c (b, c) 15 (1999 KMO ) f f(x) : x, f(x +1)=f(x)+1, f(x 3 )=(f(x)) 3 16 (2002 IMO 3 ; ML 128 ) a m + a 1 a n + a 2 1 a m, n 3 17 (2002 IMO 6 ; ML 128 ) n 3,Γ 1, Γ 2,,Γ n 1 O 1,O 2,,O n
112 112 1 i<j n 1 (n 1)π O i O j 4 18 (MathLetter 129 Proposal) n n, n n 19 (2002 APMO) x i? n x1 + + x n x 1! x 2! x n!! n (, [y] y ) 20 (2002 APMO) a, b, c 1 a + 1 b + 1 c =1 a + bc + b + ca + c + ab abc + a + b + c 21 (2002 ) N = {0, 1, 2,} x, y N xf(y)+yf(x) =(x + y)f(x 2 + y 2 ) f : N N
1 11 111 111-1 p, q, r A, B, C (1 p 2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3,
(M 2 ) 2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3, 3,,, 2003 8, 4 1 7 11 8 12 26 2 39 21 40 22 54 23 67 24 80 3 93 31 n! 94 32 101 33 115 4 131 41 132 6 42 146 5 163 51 164 52 180 1 8 11 4 4?!,? 2??,?
°ø±â¾Ð±â±â
20, 30, 40 20, 30, 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.1 6.3 9.4 12.6 15.7 18.8 22.0 25.1 28.3 31.4 2.4 4.7 7.1 9.4 11.8 14.1 16.5 18.8 21.2 23.6 7.1 14.1 21.2 28.3 35.3 42.4 49.5 56.5 63.6 70.7 5.9 11.9 17.8 23.7
1 1,.,
,.,. 7 86 0 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 70 7 7 7 75 74 7 7 7 70 79 78 77 76 75 74 7.,. x, x A(x ), B(x ) x x AB =x -x A{x } B{x } x >x AB =x -x B{x } A{x } x =[ -x(xæ0) -x (x
3 x =2y x =-16y 1 4 {0 ;4!;} y=-;4!; y x =y 1 5 5'2 2 (0 0) 4 (3-2) 3 3 x=0 y=0 x=2 y=1 :: 1 4 O x 1 1 -:: y=-:: 4 4 {0 -;2!;} y=;2!; l A y 1
= =-6 {0;!;}=-;!; = 5 5' (00) (-) =0=0 == :: -:: =-:: {0-;!;}=;!; 0 l :: -:: =:: F 5 0cm =- = =- (0)=- =6 =0 =- (0)=- - =- {-;#;0}=;#; =- - =- (0)=- = =8 -:: :: =:: - =- 98 R l Q P B S r rb l Q P B lb
1
절대수학 검은 대장간 인문 Blacksmith Day 1 최석호 1. 그림과 같이 A B C D E의 다섯 개의 영역에 빨강, 노랑, 파 랑, 초록의 네 가지 색으로 색칠을 하려고 한다. 네 가지 색 중 한 색 은 두 번 사용하고 나머지 세 가지 색은 한 번씩만 사용하여 칠하는 데, 인접한 영역에는 서로 다른 색을 칠하기로 할 때, 색칠하는 방법 의 수를 구하시오.
( )EBS문제집-수리
www.ebsi.co.kr 50 024 www.ebsi.co.kr 025 026 01 a 2 A={ } AB=2B 1 4 B a 03 æ10 yæ10 y 10000 y (log )( log y) Mm M+m 3 5 7 9 11 02 { -2 1} f()=-{;4!;} +{;2!;} +5 Mm Mm -21-18 -15-12 -9 04 a =1a«+a«=3n+1(n=1,
10-2 삼각형의닮음조건 p270 AD BE C ABC DE ABC 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 2 -
10 단원 : 도형의닮음 10-1 닮음도형 p265 ABC DEF ABC DEF EF B ABCD EFGH ABCD EFGH EF A AB GH ADFC CF KL 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 1 - 10-2 삼각형의닮음조건 p270 AD BE C ABC DE ABC 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 2 -
파이널생명과학1해설OK
EBS EBS 00 Finl E d u c t i o n l B r o d c s t i n g S y s t e m CO A B A~C CHON CHONP N.5 % 86.5 % 5.... 5. 6.. 8. 9. 0..... 5. 6.. 8. 9. 0. X Y X X 6 G DNA DNA S (A) (B) G DNA DNA (A)=; ;=;6!; (B)=;
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-주의- 본 교재는 최 상위권을 위한 고난이도 모의고사로 임산부 및 노약자의 건강에 해로울 수 있습니다.
Intensive Math 극악 모의고사 - 인문계 등급 6점, 등급 점으로 난이도를 조절하여 상위권 학생들도 불필요한 문제에 대한 시간 낭비 없이 보다 많은 문제에서 배움을 얻을 수 있도록 구성하였습니다. 단순히 어렵기만 한 문제들의 나열이 아니라 수능에 필요한 대표 유형을 분류 하고 일반적인 수험환경에서 흔하게 배울 수 있는 내용들은 과감하게 삭제 수능시험장
121_중등RPM-1상_01해(01~10)ok
1-01 00 11 03 1804 4 05 3506 45 07 5 65 0001 000 0003 0004 0005 01 4 4 6 5 6 9 Í = + =,, Í=Í=Í = = Í Í Í,, 0006 0007 0008 0009 0010 0011 001 7c 5c 3, 3 3, 6, 6 +50 =180 =130 130 +90 +30 =180 =60 60 =60
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0. 9 A 0 0. 0-0.5748 0 0.454545 04 0.4 05 0.5 06 0.4 07-0.555 08 0.9666 09 5@ 5@ 00 0.5 0 5 5 5@ 5 # # 7 0.07 0.5 0.55 4 0.5 5 0.06 6 7 8 \ 9 \ 0 \ 0.^ 40-.4^0^ 4 50.^5^ 5 55.0^5^ 6 0.4^857^4857 7 0.^8^8
(001~042)개념RPM3-2(정답)
- 0 0 0 0 6 0 0 06 66 07 79 08 9 0 000 000 000 000 0 8+++0+7+ = 6 6 = =6 6 6 80+8+9+9+77+86 = 6 6 = =86 86 6 8+0++++6++ = 8 76 = = 8 80 80 90 00 0 + = 90 90 000 7 8 9 6 6 = += 7 +7 =6 6 0006 6 7 9 0 8
13일등예감수학1-1정답(077~120)
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중등수학2팀-지도서7
3 6~7 8~3 3 ª 33~37 4-38~39 40~45 4 46~53 5 54~58 3 59-60 ~6 6~63 64 VII. 4 9 (Klein F849~95) (rlangen Program) (group of transformation) ' O' =k O ' O k O ' O ' O ' ' ' ' (topology) = = O O' =k O ' '
A 001~A 036
4 3 2 0 8 91 0 1 2 3 4 5 6 08 09 00 01 02 03 04 18 19 10 29 20 22 23 39 30 31 32 33 48 49 40 41 59 50 69 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 7 10 13 1 2 3 4 5 6 rev. C C r C a f h f h L h h nrpm f h f n L C 3 P L
(01-16)유형아작중1-2_스피드.ps
01 p.10 0001 000 61 0003 4 8 3 4 5 7 4 3 3 3 6 8 9 5 1 1 3 7 9 6 0 1 0004 4 0005 0006 3 0007 6 0008 30 0009 3 19 0010 10 ~14 14 ~18 9 18 ~1 11 1 ~16 4 16 ~0 4 30 0011 160 cm 170 cm 001 10 cm 5 0013 135
Unknown
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www.ebsi.co.kr 2 A A 1 133 Cs 1 11 1 A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2 www.ebsi.co.kr A B t B A ;2!;t v v= = (3_t)+(6_0.5t) v=4 m/s t+0.5t 3 m/s 6 m/s
Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, =0.04, (-0.) = , =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, , -0. 8, -8 6, '7 ' '
0 06 0 4 4 9 4 8 5 40 45 5 57 Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, -6 0-0. =0.04, (-0.) =0.04 0.04 0., -0. 8 =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, -7 0. 0., -0. 8, -8 6, -6 0-7 7 '7 ' 0.5 0.5 -' 0.5 ;!; ;!; æ;!; '7 '
#수Ⅱ지도서-4단( )
IV 4 3 4 5 5 exponent 3 3 Archimedes B.C. 87~B.C. Diophantos?00~?84 a m _a n =a m+n (mn=0y) Stifel M. 487~567 Arithmetica integra y-3--03y y ;8!; ;4!; ;!; 48y Stevin S. 548~60 xx x ()()(3) x ;!; x ;3!;
<C3D1C1A4B8AE20303120B0E6BFECC0C720BCF620323030B9AE2E687770>
1. 1. 1) 1. 경우의 수 주사위를 한 개를 던질 때, 다음 경우의 수 (1) 소수 4. 4. 4) 집에서 학교로 가는 버스는 3 개 노선, 지하철은 4 개 노선이 있다. 버스나 지하철을 이용하여 집 에서 학교로 가는 방법은 모두 몇 가지인가? (2) 5의 약수 2. 2. 2) 1~10 숫자에서 하나를 뽑을때, (1) 3의 배수 경우의수 5. 5. 5)
II 2 72 90 % 0 % 74 80 % 80 % 90 % 0 % 00 90 0 80 % 0 80 % 8 20 % 9020 % 8 268 ;2 6;=0307y 3 % (90) 72 8 (0) 2 8 74 26 75 0 02 2 5 25 A B AB AB pq A B p+q 2 5 5 2 np r =n(n-)y(n-r+) np r n! nc r = 2 =
, _ = A _ A _ 0.H =. 00=. -> 0=. 0= =: 0 :=;^!;.0H =.0 000=0. -> 00= 0. 00= =: 0 0 :=;()$; P. 0, 0,, 00, 00, 0, 0, 0, 0 P. 0.HH= = 0.H =0. 0=. -> =0.
0 P. 8 -, 0, -, 0. p 0 0., 0., =0. =0.., 0., 0., 0., =. =0. =0. =0. P. 0,.8 0.H 8, 0.H8,.H, 0.HH,.HH, 0.H, 0.HH 0.8 0.. 0. 0, - p k k k 0.=0.H 8 0.888=0.H8.=.H 0.=0.HH.=.HH 0.=0.H 0.=0.HH P., 0.H, 0.HH,
2005 7
2005 7 ii 1 3 1...................... 3 2...................... 4 3.................... 6 4............................. 8 2 11 1........................... 11 2.................... 13 3......................
경제학 최종마무리 박 태 천 편저 미시경제학 3 경제학의 기초 및 수요공급이론 제1회 01 기회비용에 대한 서술로서 가장 옳지 않은 것은? 1 욕구충족에 아무런 제약이 없으면 기회비용이 생기지 않는다. 2 예금하지 않은 현금의 보유에 따른 기회비용은 예금으로부터의 이자소득이다. 3 의무교육제도 아래서 무상교육은 개인적으로는 무료이지만,사회적으로는 기회비용이
LTUR Q X 01 LTUR LTUR K 6 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, b= =: :=8.5 a+b= cm , = =: 7 := a+b+c 0 =1 a+b+
우공비 중등 수학 (하) 특강편 SLUTIN LTUR K WRK K 0 LTUR Q X 01 LTUR LTUR K 6 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10 8+9 b= =: :=8.5 a+b=17.5 17.5 1 159 cm 6 9 58 6, 7..5 01 = +0+1++++ 7 =: 7 := a+b+c 0 =1 a+b+c=6 6+8+1 =:
A n s w e r 4 0 0 20 13 40 13 14 1 13 14 15 16 17 20 % 13 13 5 13 2 47.0 ml 55.0 15.0 13 14 15 5.0 g/cm 1.8 kg B E A C 13 14 LNGLPGLNG LPG 15 << 13 A<
우공비Q 과학 2 (하) 정답 및 채움해설 빠른 정답 찾기 2~4 Ⅴ. 물질의 특성 1. 물질의 특성 ⑴ 5 2. 물질의 특성 ⑵ 9 3. 혼합물의 분리 13 Ⅵ. 일과 에너지 전환 4. 일 21 5. 에너지 27 Ⅶ. 자극과 반응 6. 감각 기관 39 7. 신경계 44 8. 항상성 48 13강 일차방정식의 풀이 1 A n s w e r 4 0 0 20 13
= =180 5=90 = O=O+O=;!;O+;!;OE O=;!;(O+OE)=;!;OE O=;!;_180 = y=180 _ =180 _;9%;= = =180 5=15 =5
VI 01 a=5b=8 a+b=5+8=1 01- a=8b=1c=6 a-b+c=8-1+6= 01-01 0 Í 0 04 05 06 07 08 e f e f 01 4 6 0 8 1 01 01-01- 46 8~1 0 0-0- 0-0 0-15 cm 0-0- 0-1 cm 04 0 04-04- 18 04-60 04-05 05-05- 06 06-16. 06-07 07-07-
Áß2±âÇØ(01~56)
PRT 0 heck x=7y=0 x=0y=90 9 RH RHS 8 O =8 cmp =6 cm 6 70 7 8 0 0 0 SS 90 0 0 0 06 07 08 09 0 cm 6 7 8 9 0 S 6 7 8 9 0 8cm 6 9cm 7 8 9 cm 0 cm x=0 y=00 0 6 7 9 8 9 0 0 cm 6 7 8 9 60 6 6 6 6 6 6 7 8 7 0
0 cm (++x)=0 x= R QR Q =R =Q = cm =Q =-=(cm) =R =x cm (x+) = +(x+) x= x= (cm) =+=0 (cm) =+=8 (cm) + =0+_8= (cm) cm + = + = _= (cm) 7+x= x= +y= y=8,, Q
. 09~ cm 7 0 8 9 8'-p 0 cm x=, y=8 cm 0' 7 cm 8 cm 9 'åcm 90 'åcm T T=90 T T =" 8 - =' (cm) T= T= _T _T _'_ T=8' (cm ) 7 = == =80 -_ =0 = = _=(cm) M = = _0= (cm) M M =" - = (cm) r cm rcm (r-)cm H 8cm cm
a b c d e f^xh= 2x 2 + ax a f^1+ hh -f^1h lim 6 h 0 h = " A B C D E A J an K O B K b 1O C K 1 1 c 1 0O D K O 0 d K O E Le 1
b c d e + + + + x + x f^+ hh -f^h lim 6 h h " A B C D E A J N K O B K b O C K c O D K O d K O E Le P - - 5 A B C D E A J N K O B K b O C K c O D K d O K O E Le P f^+ hh - f^h lim 6 h " h f l^h 6 x + x
수리 영역 가 형 5. 다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 개가 한 모서리씩을 공유하 면서 각 면이 평행 또는 수직 관계를 유지한 채로 한 평면 위에 놓여있 다. 그림의 세 꼭짓점 A, B, C에 대한 두 벡터 BA 와 BC 가 이루는 각 의 크기를 h라 할 때,
제``교시 수리 영역( 가 형) 시간:00분 점수:00점 성명 수험 번호 쭚 반드시 본인이 선택한 유형( 가 형 또는 나 형)의 문제인지 확인하시오. 쭚 문제지와 답안지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오. 쭚 MR 답안지에 성명, 수험 번호, 응시 유형 및 선택 과목, 답 등을 표기할 때에는 반드시 수험생이 지켜야 할 사항 에 따라 표기하시오. 쭚 문항에
01 02 03 01 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 CO C CO C C CO 04 05 06 RNA DNA 07 A B C C B A 08 TMV TMV TMV TMV 09 02
w w w. e b s i. c o. k r 01 02 03 01 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 CO C CO C C CO 04 05 06 RNA DNA 07 A B C C B A 08 TMV TMV TMV TMV 09 02 10 ADH 11 A CO H O NH B AB 12 2 1 DNA 02 01 02 03 04 05
歯Ky2002w.PDF
1 geometry geometrein (geo :, metrein : )., (thles of miletus),.. < >,. 17 18. (nlytic geometry ),. 17. 18 2. 18 (differentil geometry ). 19 (priori) (non- eucliden geometry ),,,. 2 E 2 3 E 3. E 2 E 3
수-적분2-1(126~153)eps교
.. 0 0 6 03 04 (+x)«05 7 06 84~93 «P ~5 94~96 «H 6~7 97 8 98~0 03 04~05 06 07 9 ~0 ~3 07 6~7/3 94~96 «H 3 8 08 8 64 6 Brahmagupta598670 n n(n-)(n-) y BhaskaraA485 n k n(n-)(n-) y (n-k+) k(k-)(k-) y 7 Pascal
+ F F P. = = = F = F F = = 0 cm =x cm =(x+)x x=0 =0 cm cm cm x cm = =0(cm) P. 0 x=y= x= cm FF cm 0 x= x= =x(0-x) x= 0 (+)=x x= (+)=y 0 y= x= x= = 0= 0
= = = = = - =-=0 0 F ==0 +=0 +F=0 =F ªF F = F =0 F =F = F = 0= x= x= y= y= z= z= x+y+z=++= x y z x+y+z = = ªSS = y` = = (cm) ª 0% 0% P. ªªªF =. =. =. 0 =. F =. =0 = F =. F = 0 F ªF F = =F = x=, y= x=,
(001~007)수능기적(적통)부속
0 6 06. C : k d=k+c k «+-, : «d= «± +C + =- : d=: ;[!; d=l +C : kf()d=k: f()d k : { f()+g()} d=: f()d+: g()d : { f()-g()} d=: f()d-: g()d : si d=-cos +C : cos d=si+c 008 : sec d=ta +C : cosec d=-cot +C
A C O N T E N T S A-132
C O N T E N T S -2 SC2 Series -3 SC2 Series -4 SC2 Series SC2 B 40 B 100 S I SC2 B 40 B 100 RO R S I SC2-2 B 40 B 100 HOY R S I -5 SC2 R0 40 SW R0 SC2 R 40 SC2 Series SW RB SW R SC2-2 H0 40 SW H0 SC2-2
1 1 x + # 0 x - 6 x 0 # x # 2r sin2x- sin x = 4cos x r 3 r 2r 5 r 3r
# 0 0 # # si si cos # 0 # 0 ^ h ^h^h# 0 ^! 0, h ^h^h# 0 ^! 0, h si si cos sicos si cos si ^cos h ^cos h si ^cosh^cos h 0 ^sih^cos h 0 0 # # cos cos, ^ si! h,, ` 0 # 혼자하는수능수학 0 년대비 9 월 A B, y f^h f^h, 0
1. A B C 4. ABC B C A B A B C A C AB BC ABC. ABC C + A + B C A B A B C A B C B A C B C A C A B C B A 5. AB xy pqr x B xy p -y AB. A. A. B. TV B. C. AB
018 학년도대학수학능력시험문제및정답 1. A B C 4. ABC B C A B A B C A C AB BC ABC. ABC C + A + B C A B A B C A B C B A C B C A C A B C B A 5. AB xy pqr x B xy p -y AB. A. A. B. TV B. C. ABC lålılç lå
0 000., 000 0., 000-0., 000 0.666, 0 0.H6 0 0 0.0H8 0 06 07 08 9 09 6 00 0.H 0.H8 000 0.87, 0006-0.66, 0007 0.8, 0008 0.097, 0009 6, 0.H6 000,.HH 0 00
~9 0~6 0 0 0 7 0 0 0 06 6 07 6 08 69 09 78 0 8 9 0 0 0 000., 000 0., 000-0., 000 0.666, 0 0.H6 0 0 0.0H8 0 06 07 08 9 09 6 00 0.H 0.H8 000 0.87, 0006-0.66, 0007 0.8, 0008 0.097, 0009 6, 0.H6 000,.HH 0
특목고 8-나 해설Ⅰ(001~024)OK
I II III I Step - - - - - - - - 8 - - 0 - - - 9 - - 9 - - 00-8 - 90 - - 80-0 8-0 - - - - - 0 0 0-0 - - 8 - - - 00 8-00 8-0 0 8 - ( 8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 a a b b aabb bbaa abba baab abab baba
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2004math2(c).PDF
3 2004 1,,,, 2 1 1. LCD ( )? () ( ) 2. 100 () () 3. < > (1) (2) (3) ( ) < > < >(1)(3) < > (), (3)< >()? ()... () A. B. C. (3), A, B, A, B, C 4. (), () < >? < >? [2]..,.,,,,,...,,,,, 2 5. < > (1), (2) (3)
16중등빨이수학3-2교부(01~23)
9 a b c a+b+c 0 7 a 79799 79a 0 9 1 0 7 0 99 9 9 0 0 7 7 0 717 9 7 0 1 7-1 - - 7 1 0 0 1 ab b-a 0 997 7 9191 17 S 7 1 0 0 1 0 0 a b c a+b+c 1 7 [0~09] 0 _ 7 7 0 0 0 [~0] [09~] 777 017 0 09 0 0 1 0 1 9
HWP Document
CODE A00-B99 A00-A09 A00 KOR_TITLE 특정 감염성 및 기생충성 질환 창자 감염 질환 콜레라 A00.0 비브리오 콜레리 01 전형균에 의한 콜레라 A00.0 전형균에 의한 콜레라 A00.1 비브리오 콜레리 01 엘토르형균에 의한 콜레라 A00.1 엘토르형균에 의한 콜레라 A00.9 상세불명의 콜레라 A01 A01.0 장티푸스 장티푸스
3 g.06 g > 3.06>3 < 3+.06< { }< 2004math2(a).PDF
3 2004 1..,,,..,. 2. 1.. 1.. LCD ( )? () ( ) 2. 100. () () 3... < > (1). (2). (3) ( ) < > < >(1)(3). < > (), (3)< >()? ()... () A.. B.. C.. (3), A, B, A, B, C 4. (), (). < >? < >? [2] ..,.,,,,,
미통기-3-06~07(052~071)
06 F() f() F'()=f()F() f() : f()d f() f() f() f() F()f() F()+C : f()d=f()+c C F'()=f(): f()d=f()+c C d [: f()d]=f() d : k d=k+c k C : «d= + +C =0C + : k f()d=k: f()d k : { f() g()}d=: f()d : g()d =f()
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Mathematics 4 Statistics / 6. 89 Chapter 6 ( ), ( /) (Euclid geometry ( ), (( + )* /).? Archimedes,... (standard normal distriution, Gaussian distriution) X (..) (a, ). = ep{ } π σ a 6. f ( F ( = F( f
°ø¾÷-01V36pš
2 3 4 5 6 ..2.3 3 (differential) (equation).. () d/d (). e 0.2 (, ), d/d 0.2e 0.2. e 0.2 (). ()., ().,.. (DE: differential equation). (tpe), (order), (linearit). (ODE: ordinar differential equation). (2).
제 9 도는 6제어항목의 세팅목표의 보기가 표시된 레이더 챠트(radar chart). 제 10 도는 제 6 도의 함수블럭(1C)에서 사용되는 각종 개성화 함수의 보기를 표시하는 테이블. 제 11a 도 제 11c 도까지는 각종 조건에 따라 제공되는 개성화함수의 변화의
(19) 대한민국특허청(KR) (12) 특허공보(B1) (51) Int. Cl. 5 B66B 1/18 (45) 공고일자 1993년09월28일 (11) 공고번호 특1993-0009339 (21) 출원번호 특1989-0002580 (65) 공개번호 특1989-0014358 (22) 출원일자 1989년03월02일 (43) 공개일자 1989년10월23일 (30) 우선권주장
< D312D3220C0CCB5EEBAAFBBEFB0A2C7FC E485750>
다음 1)1) 2)2) 다음 가 3) 3) 4) 4) 나 다 5) 5) 라 6) 6) 다음 7) 7) 8) 8) 다음 1. zb 다음그림과같이 AB = AC인 ABC 에서 BC = BD 이고, BDC = 65 일때, DAB - ABD 의크기는? AB = AD 1 BC = DC 2 ( 다 ) 3 1, 2, 3으로부터대응변의길이가같으므로 ABC ( 라 ) BAC
목 차 1. 공통공시 총괄 1 2. 살림규모 6 2-1 세입결산 3 2-2 세출결산 5 2-3 중기지방재정계획 7 3. 재정여건 8 3 1 재정자립도 8 3 2 재정자주도 9 3-3 재정력지수 10 3-4 통합재정수지 11 4. 채무 및 부채 12 4-1 지방채무 현황
2014년도 연천군 지방재정공시 연 천 군 목 차 1. 공통공시 총괄 1 2. 살림규모 6 2-1 세입결산 3 2-2 세출결산 5 2-3 중기지방재정계획 7 3. 재정여건 8 3 1 재정자립도 8 3 2 재정자주도 9 3-3 재정력지수 10 3-4 통합재정수지 11 4. 채무 및 부채 12 4-1 지방채무 현황 12 4 1-1지방채발행 한도액 및 발행액 14
Contents... 테마1. 도형의합동과닮음 평행선의성질 2. 평행선과선분의길이의비 3. 삼각형의합동조건 4. 직각삼각형의합동조건 5. 도형의닮음 6. 직각삼각형에서의닮음 테마2. 삼각형 이등변삼각형의성질 8. 삼각형의중점연결정리 9. 삼
수능을향한기분좋은첫걸음!! 30 개의테마로정리하는 수능에꼭필요한도형의성질 수능특강기하와벡터이창희선생님 Contents... 테마1. 도형의합동과닮음... 2 1. 평행선의성질 2. 평행선과선분의길이의비 3. 삼각형의합동조건 4. 직각삼각형의합동조건 5. 도형의닮음 6. 직각삼각형에서의닮음 테마2. 삼각형... 8 7. 이등변삼각형의성질 8. 삼각형의중점연결정리
436 8., {(x, y) R 2 : y = x, < x 1} (, 1] φ(t) = (t, t), (, 2] ψ(t) = (t/2, t/2), [1, ) σ(t) = (1/t, 1/t).. ψ φ, σ φ. (φ, I) φ(i) φ : I φ(i). 8.2 I =
![436 8., {(x, y) R 2 : y = x, < x 1} (, 1] φ(t) = (t, t), (, 2] ψ(t) = (t/2, t/2), [1, ) σ(t) = (1/t, 1/t).. ψ φ, σ φ. (φ, I) φ(i) φ : I φ(i). 8.2 I =](/thumbs/40/20549855.jpg "436 8., {(x, y) R 2 : y = x, < x 1} (, 1] φ(t) = (t, t), (, 2] ψ(t) = (t/2, t/2), [1, ) σ(t) = (1/t, 1/t).. ψ φ, σ φ. (φ, I) φ(i) φ : I φ(i). 8.2 I =")
8. 8.1 ( ).,,,.. 8.1 C I R φ : I R m φ (φ I ) φ(i) = {x R m : x = φ(t), t I} C, t, I. C C = (φ, I). x R m C C. 1 x, a R m. φ(t) := ta + x R ( 2). x a. R m. 2 φ(t) = (cos t, sin t) [, 2π].. 435 436 8.,
2005년 6월 고1 전국연합학력평가
제 1 교시 2015학년도 9월 모평 대비 EBS 리허설 2차 국어 영역(B형) 김철회의 1등급에 이르게 해 주는 [보기] 활용 문제 미니 모의고사(문학편) 1 유형편 [1]다음 글을 읽고 물음에 답하시오. 1. 를 참고하여 (가)를 이해할 때, 적절하지 않은 것은? (가) 머리는 이미 오래 전에 잘렸다 / 전깃줄에 닿지 않도록 올해는 팔다리까지 잘려
0
Kr 0 i 1 http://downloadcenter.nikonimglib.com/ 2 A 0 ii D A 0 iii 0 0 0 0 0 iv A http://downloadcenter.nikonimglib.com/ http://downloadcenter.nikonimglib.com/ v vi i i vii P S A M M viii ix R i i x D
14일등예감수학2-2교사(001~026)
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III 3 0 0 03 04 6 «P! «C = 34= 343 r! r!(-r)! 3 5 0 6 7 8 9 0 4 8 4 0 A p A r «C p (-p) -r ( r=0y) () {()_() } = 3 ( ) 4 P(X=x)E(X)V(X)r(X) H T S S={(TT)(TH)(HT)(HH)} T H H H Tyy(TT) Hyy(TH) Tyy(HT)
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[부산 ] 2009년 08월 28일 ( 金 ) 1경주 국 5(마령)1000M 발주 13:00 종합 인기도 출전 착순 출주 10 11 5 검은요정 국5 한2 암 김재섭 영준 53 3착 선행 5 5 5 15 1 6 3 0.3 주 10 랜드레이디 국5 한2 암 강형곤 현명 53 3착 선행 10 5 6.3 10 10 4 8 4 2 4 주 11 일맥상통 국5 한3 암
public key private key Encryption Algorithm Decryption Algorithm 1
public key private key Encryption Algorithm Decryption Algorithm 1 One-Way Function ( ) A function which is easy to compute in one direction, but difficult to invert - given x, y = f(x) is easy - given
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기본서(상)해답Ⅰ(001~016)-OK
1 1 01 01 (1) () 5 () _5 (4) _5_7 1 05 (5) { } 1 1 { } (6) _5 0 (1), 4 () 10, () 6, 5 0 (1) 18, 9, 6, 18 1,,, 6, 9, 18 01 () 1,,, 4, 4 1,,, 4, 6, 8, 1, 4 04 (1) () () (4) 1 (5) 05 (1) () () (4) 1 1 1 1
¹ÌÀûºÐ-±³°úA(001~007)
. x«.,,,..,. 2008 96..,.. 86. 0 F(x)=x«(=, 2, 3, ) F'(x)=f(x).. F(x) F'(x)=f(x) x x x x xfi 2x 5x 6xfi x«. f(x) f'(x). f(x). ( ) idefiite itegral. : f(x)dx f(x) f(x)dx. F(x) f(x), F'(x)=f(x), F(x) f(x),
슬라이드 1
3 장유도전동기의동특성해석법 3-1 αβ좌표계에서 IM의지배방정식 [2] abc 좌표계에서유도전동기전압방정식 1 (1) 유도전동기의전압방정식 dλas dλbs dλcs vas = Ri s as +, vbs = Ri s bs +, vcs = Ri s cs + dt dt dt dλar dλbr dλcr var = Ri r ar +, vbr = Ri r br +,
Press Arbitration Commission 62
제 2 부 언론관련판결 사례 제1장 명예훼손 사례 제2장 재산권 침해 사례 제3장 기타 인격권 침해 사례 제4장 형사 사례 제5장 헌법재판소 결정 사례 편집자 주 - 사건관계인의 인격권을 보호하기 위해 필요한 경우 사건관계인의 이름, 소속회사, 주 소, 차량번호 등을 비실명 익명처리하고 필요한 경우 최소한의 범위내에서 판결문의 일부를 수정 또는 삭제함을 알려드립니다.
자료 I. 회사의 개요 1. 회사의 개요 가. 회사의 명칭 : 주식회사 전북은행 나. 설립일자 : 1969. 12. 10 영업개시 다. 본사의 주소,전화번호 전화번호, 홈페이지 주소 주 소 : 전주시 덕진구 금암동 669 2 전화번호 : 0632507114 홈페이지 :
분 기 보 고 서 (제 50 기 1분기) 사업연도 2010년 01월 01일 2010년 03월 31일 부터 까지 금융위원회 한국거래소 귀중 2010년 5월 14일 회 사 명 : 주식회사 전북은행 대 표 이 사 : 김 한 (인) 본 점 소 재 지 : 전주시 덕진구 금암동 669 2 (전 화) 063 250 7114 (홈페이지) http://www.jbbank.co.kr
(004~011)적통-Ⅰ-01
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04_인덱스_441-481_먹1도
443 Author Index A B C Author Index 445 D,E G H 444 Author Index 447 446 J Author Index 449 448 K Author Index 451 450 Author Index 453 452 L Author Index 455 N O P 454 M Author Index 457 Q,R S 456 Author
( )서술특쫑 3학년해설_교사용.pdf
3 . 3 ab;ba;(b+0) 0 p. 00 ' 00="ç0 =0 "ç3.h9='4=" = ' 8=" 9 =9 9 ;5@; 30 4 0. 'ß -' 0. 3'6 4Æ;5#;!7'7 @' 49=" 7 =7' 49-'7 #(-5) =5(-5) ' 5=" 5 =5 a='7b=-'7c=5a+b+c=5 a+b+c=5 4 A D E F p. 0 0 993-3 9'9'9="
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2012년 7월 17일 발행 통권 제112호 112 발행인:李圭衡/편집인:金尙勳/주간:金泰詢/발행처:社)退溪學釜山硏究院 (우614-743) 釜山市釜山鎭區田浦洞608-1 819-8587/F.817-4013 出處가 분명한 공직사회 인간이 가지는 인성은 그 특성이 다양하여 일률적으로 판단 한 하기는 쉽지 않다. 그러므로 어떤 관점과 측면에서 논하느냐에
2018년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (2018학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 2018년 2월 13일, 고사시간 90분 2018년 1번 x3 + x2 + x 3 = x 1 x2 1 lim. [풀이] x3 + x2 + x 3
![2018년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (2018학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 2018년 2월 13일, 고사시간 90분 2018년 1번 x3 + x2 + x 3 = x 1 x2 1 lim. [풀이] x3 + x2 + x 3](/thumbs/94/121636174.jpg "2018년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (2018학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 2018년 2월 13일, 고사시간 90분 2018년 1번 x3 + x2 + x 3 = x 1 x2 1 lim. [풀이] x3 + x2 + x 3")
8년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (8학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 8년 월 일, 고사시간 9분 8년 번 x + x + x x x lim. [풀이] x + x + x (x )(x + x + ) lim x x x (x )(x + ) x + x + lim x x+ limx x + x + limx x + 6 lim 8년
A 0 D5-a (XQD Card Type) D5-b (CF Card Type)
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587.eps
VP7-6 Series VP7-6-FPG-D- (FG-S) (FG-D) (YZ-S) (YZ-D) Closed center (FHG-D) Exhaust center (FJG-D) (FPG-D) Pressure center(fig-d) VP7-6-FHG-D- VP7-6-FG-S- VP7-6-FG-D- (V) (A) ) (A) ) (V) ) 0.15~0.9{1.5~9.}
Daily Index-주말.PDF
1 선물옵션시황 고영훈 3771-9275 kohstock@kyobotrade.co.kr 비차익매수 지속 여부가 중요 3월 선물 2 일 연속 상승하며 5 일선 넘어서 외국인 비차익매수와 선물매수 지속 여부가 시장변수 목, 금요일 차익거래는 오전매수/오후매도 나타내 연중 최고가 돌파시도 예상 3월 선물은 미국시장의 상승에 힘입어 이틀째 상승세를 이어가며 14.1P
클로버유캔파잇 1권
클로버유캔파잇 1권 킨나이프 소개글 클로버유캔파잇=클로버.Y.C.F.(=You can fight!). 영혼. 천사. 악마. 신. 정령. 진화. 전생. 운명. 트라우마. 일상. 망상. 동화.치유. 글쟁이. 만남. 등을 키워드로 한 라이트노벨-일상패닉현대판타 지로 가볍게 읽을 수 있는 킬링타임용 유쾌한(?) 스토리. 자작표지-클로버(왕,세계,행운),날개(흑백,천사와악마),열쇠구멍(숨겨진비밀)
IV L E V E L 11 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1 2 3 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 IV L E V E L 11 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1 2 3 01
dnu.pdf
ISODNU 1 ISO DNU/DNUL DNU DNUL 32 40 50 63 80 Gx G G Gy Gy G M10x1.25 M12x1.25 M16x1.5 M16x1.5 M20x1.5 M20x1.5 [mm] 19 21 23 23 30 30 4 [MPa] 1.2 [ C] 20 80 0.6MPa [N] 482 753 1178 1870 3015 4712 415 633
480제 생물Ⅰ 해설
001~023 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 01 001 정답찾아가기 B 3L/100kg A 2L/100kg B A 1.5 오답피하기 A B 002 정답찾아가기 A B A B B A 27æ 003 정답찾아가기 D D D 오답피하기
: C, Y, =0, (Crook et al.(2007) ) ( ) 1 2 3 4 5 966 967 967 967 967 4,834 234 383 462 516 508 2,103 (A) 1 661 1,629 2,623 3,802 7,613 3,806 1,040 1,636 2,175 2,788 4,193 2,629 (B) 2,128 2,676 3,492
Ⅴ.피타코라스2(P128-139)
2 1. > 2. 7 230 m 185 m 2. 1 ab ABCD BD x BCD x =a +b x>0 x="a +b a "a +a ="2ça ='2a 129 (1) 4cm5cm "4 +5 ='1ƒ6+25='4å1 (cm) (2) 4cm '2_4=4'2 (cm) 1 x (1) (2) 45 1 BC =CA =a ABC AB BC CA AB =BC +CA =a
REVIEW CHART 1
Rev.3, 27. October 2017 구교 2017. 10. 27 한국철도시설공단 REVIEW CHART 1 1 2 θ 3 θ θ 4 5 knm 6 7 8 9 10 11 K V K h K s 12 상재하중 복토중량 암거중량 측면마찰력 양압력 13 14 15 16 17 18 19 θ =80 ~90 L 1 L2 L1 L=2L +L 1 2 L1
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3. hmks@dongguk.c.kr..,, Type 3 (N. Chomsky) RLG : A tb, A t LLG : A Bt, A t where, A,B V N nd t V T *. LLG RLG,. ) G : S R S c R Sb L(G) = { n cb n n } is cfl. () A grmmr is regulr if ech rule is i) A
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Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner ABCBDEFFEAFFE FBFAEAAF 1. A BCDE CE FC AECFCE C C F F DEEFDEEFCECDCFEFCFAEFCEECEBB FECECECAFDFCEFFE CCFFCFFFACCEFA EF 2. EEFCCFCEFFAFADCAAABCDECE FFA 3. CECFBEFCCECFFCEC
歯TC프로그래밍매뉴얼
Turning Center (TC) HX - Programming Manual Serial No. : PG-20011119 HX - Programming Manual Turning Center (TC) 1...!. 2 (Program)...19 3 (G )...33 4 (Interpolation Functions)...37 5 (Feed Function)...73
InRow RP TDM KO.book
InRow RP 냉각수 / 직접 확장 - 50/60 Hz 공냉식 ACRP100 ACRP101 ACRP102 냉각수 ACRP500 ACRP501 ACRP502 기술 데이터 American Power Conversion 법적책임 부인 American Power Conversion Corporation 은 본 설명서에 제공된 정보가 믿을 수 있으며 오류가 없거나
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(2010년도 행감 - 사문1) 1 2010년도 사회문화위원회회의록 강원도의회사무처 피감사기관 : 공보관실 일 시 : 2010년 11월 17일 (수) 오전 10시 장 소 : 사회문화위원회회의실 (10시 00분 감사개시) 위원장 김동자 : 좌석을 정돈하여 주시기 바랍니다. 성원이 되었으므로 지금부터 지방자치법 제41조 및 동법시행령 제39조와 강원도의 회 행정사무감사
고등학교 수학 요약노트 - 확률과 통계
고등학교 수학 요약노트 확률과 통계 Sooji Shin soojishin@live.com 이 노트에서는 고등학교에서 배우는 수학의 내용 중 확률과 통 계에 관련된 개념과 공식을 정리하고 그에 따른 예제와 풀이를 소개합니다. 필요한 경우 중학교 과정의 내용도 포함하고 있습 니다. 이 노트에서 포함하고 있는 내용은 다음과 같습니다. 경우의 수 대푯값과 산포도 확률의
확률과통계.indd
(Pascal, B. ; 16~166) (de Me're' C. ; 1607~168) 80 01 8 % 1 0 0 0 60 70 1 100 100 61 7 68 7 88 1 100 1... A B A;B 81 A n(a;b) 1111 A n(a) A A;B n(a;b) 61 B 11111 = 1 n(a) 88 SAB 0 A B A B P(B A) S A B
평가결과보고서 제15회 곡성심청축제 2015. 11 제 출 문 곡성군수 귀하 본 보고서를 제15회 곡성심청축제 평가보고서 용역 의 최종보고서로 제출합니다. 2015년 11월 동신대학교 산학협력단 목 차 Ⅰ. 축제 개요 및 내용... 7 Ⅱ. 문화체육관광부 공통 평가항목 분석...27 Ⅲ. 축제 성과 요약...33 Ⅳ. 축제 만족도 분석...39 Ⅴ. 축제
G5 G25 H5 I5 J5 K5 AVERAGE B5 F5 AVERAGE G5 G24 MAX B5 F5 MIN B5 F5 $G$25 0.58 $H$25 $G$25 $G$25 0.58 $H$25 G24 H25 H24 I24 J24 K24 A5 A24 G5 G24, I5
C15 B6 B12 / B6 B7 C16 F6 F12 / F6 F7 G16 C16/C15 1 C18 B6 B12 / B6 B8 B9 C19 F6 F12 / F6 F8 F9 G19 C19/C18 1 1 G5 G25 H5 I5 J5 K5 AVERAGE B5 F5 AVERAGE G5 G24 MAX B5 F5 MIN B5 F5 $G$25 0.58 $H$25 $G$25
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r i c i r c u i s 07 R 회로의 응답 7. 병렬 R 회로의 특성방정식 7. 병렬 R 회로의 자연응답 7.3 병렬 R 회로의 계단응답 7.4 직렬 R 회로와 쌍대성 7.5 직렬 R 회로의 자연응답 7.6 직렬 R 회로의 계단응답 7.7* 무손실 회로의 해석 7.8 요약 및 복습 ONTENTS ER c PT e HA l E 07 R HAPTER
n i v g i f s y y y y œ yvu s }sœ œx}s }y Stuy for Sensitivity of the Electronic Brake System with the Parameter Variation Heeram Park *1) Seibum Choi 1) Sungjin Choi ) Kwanki Jeon ) Hyunsoo Hwang ) 1)