2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3,
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- 예진 이
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1 (M 2 )
2 2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3,
3 3,,, ,
4 4
5 n!
6
7 1
8 ?!,? 2??,? (Dirichlet),, 2 :(n +1) n 2
9 11 9? 1 n (n +1), ( ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) (,, ) (,, ),(,, ) (,, ) 2 ( ),,,,,,
10 10 3 ( ) (2 ) (3 ),? ( ),, n, (n +1) 2, , ( ) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ( ),,
11 11 11,?,,,? 1 k, k +1, kn +1, n, k +1, q 1 = q 1 = = q n = k 2 q 1,q 2, n (q 1 + q q n )+1 1 n n i (1 i n), i (q i +1) i (1 i n) i q i, (q 1 + q q n ), i q i +1
12 12?,? =12 14,5 2,14 (> 4 3) 3 5 (= 4+1) 4 67 i (i =1,,12) i i 1 i i 1 2 1, 3 2,, 12 11
13 =66 67, 2 67=( ) + 1 q 1 =0, q 2 =1,, q 12 =11 (q i = i 1) 2 i q i +1(= i) n m 1, m 2,,m n m 1 + m m n n r ( / / ), m i r ( / / ) i m i r, m 1 + m m n n n r + r + + r = nr n n r,
14
15 ,
16 n (n +1) 1 2n, 1, 3, 5, 7, n 1 2n 2n n (1, 2), (3, 4), (5, 6),, (2n 1, 2n) n +1,, 2, 4, 6, 8,, 2n n 2, n +1, 2, 4, 6,,2n n,
17 11 17, n +1 n? n,? ,
18 n ( ), (, A B B A ) n, (0) (n 1 ) n, 0, 1, 2, 3,, n 1 (n 1), n, n
19 n a 1,a 2,,a n n n n 1 n n n 1,?,? 2 n (n +1), n n? n,, (a 1 + a 3 ) (a 2 + a 3 )=a 1 a 2 (a 1 ) (a 2 ),?,! n a 1, a 1 + a 2, a 1 + a 2 + a 3,, a 1 + a a n n a 1 n, n n, n n, n 0, 1, 2,, n 1 n 1, n
20 20 (1) n, a a i a a j (i<j) (a a j ) (a a i )= a i a j (2) a 1,a 2,,a n ( ), n, a 1,a 2,,a n n n, n r 1,r 2,,r n 1 n
21 , 4,, 4 1/8 8, 4, 8 4=32, 8 4 ( 3 8 3=24, 32 ) (1989 KMO) 10 10, 2
22 22 1 : 111 kn +1, n, k +1 (1) (2) (3) , 113 1/
23 11 23 (1906 Eötvös, 1988 KMO) n, 115 a 1,a 2,,a n 1 n, (a 1 1)(a 2 2) (a n n) (1925 Eötvös ) 4 a, b, c, d 116, (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d) , , 118 1
24 24 (1988 KMO) , x, y , ( ) 1, 4, 7,, A 1111 A ,
25 , 6 3,, 1??, A B B A (Ramsey), , (84 ) 23
26 26 12 (Carl Friedrich Gauss)? , ( ) + (2 + 99) + + ( ) = ,?
27 ,?,, n a n a 1, a 1 =1, a 2 2? a 3 3 a 4 4? 3 a 3 =3, 2 a 2 =2?, 4 a 4 = a 3 + a 2 =3+2=5 a 3 a 2 a 4 = +!, 5
28 28 a 5 a 4 a 3, a 5 = a 4 + a 3 =5+3=8, n, (n 1) (n 2) a n = a n 1 + a n 2 a n 1 a n 2 a n a 1 a 2 a n-1 a n-2 a n = + a 1,a 2,a 3, 1 2, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,,,, (recurrence) 2n
29 n 2 1 z n z 1 1, z z 3 =3, z 4, z 5? z 4,, 2 3 ( ), z 3,
30 30,,, z 4 = z 3 +1=3+1=4 z 5, z n 2 (n 1) z n 1,, z 1 =1, z n = z n 1 +1 z n, n 1 z n 1 z n = n,
31 , a b (a = b ) ab + a + b (1) 109 (2) 143 (3) 191 (4) 257 (5) 323 ab + a + b 2, 3, 11, 35, 47, 107,,? c c = ab + a + b, 1 c +1=(a +1)(b +1), 1 c = a b (1 )3,4,, 3 m 4 n ( 1 ) 1 110, 144, 192, 258, 324, 3 m 4 n (1), (4) 7 7,
32 ( ) 10% 1 n?,, 1 n a n a n 1 a n 1 10% 010a n 1, a n = a n a n 1 =110a n 1, a 0 =1, a n =110a n 1 1, 1 1 1, 10?( )
33 bit string, bit string n 0 bit string a n, n 0 bit string, 0 1 n 3 ( ) n 1 0 bit string n 1 0 bit string 1, a n 1 0, n 0 bit string 0, 1, n,0, 0 bit string n 2 0 bit string 10, a n 2, n 3 a n = a n 1 + a n 2 a 1 =2,a 2 = bit string
34 , 10? ( ) 10% 1, ,10?, , ,10? n a n 124 a 1 =1, a n = n +1 n 1 (a 1 + a a n 1 ), a 2000 (n>1) 1, 2, 3,,n, ( )
35 n h(n) = n, h(1) = 1, h(2) = , h(3) = n =2, 3, 4, n + h(1) + h(2) + h(3) + + h(n 1) = nh(n) n, 127? ,, ( ) 129, 10?
36 , 1 3, ? 2 1, 2, (, 1 1 3,2 2 3 ) 10?, n 2 n n 1 n n b n, b n+2 = b n+1 + b n 2 n
37 n 121? 3 2n 2 1 3n 122?
38 38
39 2
40 x +5y =7?, 119x + 271y =1?, x = 1 271y 119,1 271y 119 y 119k, 119k +1,,119k , 3974x y =1?,? a, b, gcd(a, b) =ax + by x, y x, y,,
41 21 41 x, y x y = 1071 x, y gcd(7497, 19278) = = = = = = , 3213, 4284, 1071 = = 4284 ( ) = = ( ) 2 = ,(x, y) =( 5, 2)
42 42 x, y 7497 = , = lcm(7497, 19278) = = , x, y x = 5+18k, y =2 7k (k ) 2 52 = 1482x y x, y = 2 26 = 2 ( ) = = ( ) = , (x, y) =( 12, 14) 3 a, b
43 21 43 (1) 123a + 321b =21 (2) 770a b =35 (3) 630a b = 126 (4) 1835a b = 246 (5) 2465a b = 319? 4 3x 2(mod5) 1 ( ) 3x 3 (mod 5) x 1 (mod 5) 5, 3 2 ( ) 6x 4 (mod 5) x 4 (mod 5) 2,
44 44 3 ( ) 5 3x 2,3x 2=5k, 3x 5k =2 (k x ) (x, k) =( 1, 1), (x, k) =( 1, 1) + (3, 5)t x, x = 1+3t, x 1(mod5) [ 1] [ 2] (1) ca cb (mod m) a b (mod m) (, (c, m) =1, ) (2) da db (mod dm) a b (mod m) (3) ea eb (mod m) a b (mod m/d) (, d =(e, m)) (3) (1) (2),(1) (2) (3) d e/d [ 1] [ 2] [ 3],? 119x 15 (mod 23), [ 1- ], 119x (mod 23) x [ 2- ], [ 3] [ 1] 2 5 [ 3] k = 1 5k, [ 1] 5 119x 15 (mod 23)
45 x 23k = = 4 3 = ( ) (23 20) = ( ) (23 5 4) = ( ) = , 15 = 15( ) = ,(x, k) =(90, 465) k k 11 (mod 119) = 253 ( ), 119x 238 (mod 23) (119, 23) = 1, 119 x 2 (mod 23) [ ] [ ],, [ ],,
46 46 [ 2] [ 1] 3x 2(mod5) 3x (mod 5) x, 3u 1 (mod 5) u u 3ux 2u (mod 5), x 2u (mod 5), (3x 2) (3u 1),, (mod5),2 (mod 5) 3, 3 2, ( 1 ) 2 3 1,(mod5) 2 1 3, x 15 (mod 23) u 1(mod23) u = , , 119 =6 119 =6, x 90 2 (mod 23)
47 21 47 (modm) a a, au 1(modm), a m,4u 1(mod6)?
48 x + y 3 (mod 4) x y 1 (mod 4), x, y 2x 4 (mod 4), 2y 2 (mod 4), x, y,(x, y) =(0, 1)? 2x 4(mod4), x x 0 (mod 4) y 3(mod4), x 2(mod4) y 1 (mod 4),(x, y) (0, 3) (2, 1) (mod 4) x +2y 0 (mod 3) 2x + y 0 (mod 3)
49 x +2y +3z =3 x, y, z x, y, z z m x +2y =3 3m (x 0,y 0 )=( (3 3m), 3 3m), (x, y) =( (3 3m), 3 3m)+k( 2, 1), m, k, x = 3+3m 2k, y =3 3m + k, z = m 3x +4y +6z =5 x, y, z
50 (1) 7x 3 (mod 15) (2) 12x 6 (mod 15) (3) 5x 25 (mod 35) 212 3x +5y 1 (mod 12) 2x 3y 3 (mod 12) (a, b) 213 (1) 1845a + 984b = 123 (2) 1751a b =51 527x y =403 x, y 214, 215 (1) ca cb (mod m) a b (mod m) (, (c, m) =1) (2) da db (mod dm) a b (mod m) (3) ea eb (mod m) a b (mod m/d) (d =(e, m))
51 (1) 12378x 6 (mod 3054) (2) 172x 1000 (mod 20) 217 x +2y +3z = 4 2x z = x +6y + z = 2 4x +10y +2z = 3 219, ax 1(modm) (a, m) =1
52 52 (mod m) 2110, a b m a b (mod m) a b (mod m) a, b, c, d, 2111 ax + by + cz = d gcd(a, b, c) d x +2y +5z +9w =5 x, y, z, w 2112, ?
53 a +4b +9c +12d =4 211 a, b, c xbc + yca + zab = n 212
54 54 22?,?,,?,???? n? 2, 3, 5, 7, (, ) 1
55 22 55,,?, , 3, = 31 1, 61, 91, 121, , 3, 5 1, x 1 (mod 2) x 1 (mod 3) x 1 (mod 5) x 1 (mod 30)? 2, 1, ?
56 56, 4k +1 5, k 5l, 5l +1, 5l +2, 5l +3, 5l +4 4k +1 k : 5l 5l +1 5l +2 5l +3 5l +4 4k +1 : 20l +1 20l +5 20l +9 20l l l +17, 17, 37, 57, 77, 97, 30 40, 37?, (, algorithm), m 1,m 2,,m n a 1,a 2,,a n m 1 m 2 m n, x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) x a n (mod m n ) (m 1,m 2,,m n ) x, mod m 1 m 2 m n
57 22 57, m 1,m 2,,m n? 2, 3, 5 4, 2, 3, 5, 7 (?)? ,6 4 x 4 3,6 4, x 4 6, 4 4 2, ,6 4 x 2k x 4 2 k 2 1, x 6 4 k 3 2, x =2k, 2k 2 (mod 4) k 1 (mod 2) 2k 4 (mod 6) k 2 (mod 3)
58 58 2 3, k 5 (mod 6) x k =5 10 m 1,m 2,,m n, x ( 3), m 1,m 2,,m n ( 4), 5 x 1(mod2),x 0(mod3),x 3(mod5) x 2, 3, 5 p, q, r? p 2 1,3 5 q 3 1,2 5 r 5 1,2 3 p, q, r, x x p 1+q 0+r 3 (mod 2 3 5)
59 , 0, 3, x = p 1+q 0+r k k = k = k =3 (mod2) (mod3) (mod5), p, q, r p 3 5 p =15p,15p 1(mod2) p p =1, p =15 q, r,10q 1(mod3) q =1,q = 10, 6r 1(mod5) r =1,r =6 x =33 3 (mod = 30) (q 0 ) ( ) m 1,m 2,,m n, x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) x a n (mod m n ), (mod m 1 m 2 m n ) k =1, 2,,n M k = m 1m 2 m n m k
60 60, M k m i m k m 1,,m n, M k m k,, A k M k 1 (mod m k ) A k P k = A k M k, P k 0 (mod m i ), i = k, P k 1 (mod m i ), i = k x = P 1 a 1 + P 2 a P n a n k x 0a 1 +0a a k + +0a n = a k (mod m k ), x, x,modm 1 m 2 m n y x a k y (mod m k ), m k x y m 1,m 2,,m n x y, m 1 m 2 m k x y x y (mod m 1 m 2 m k ), x,
61 ,,,,,!? x 4 (mod 5) x 3 (mod 4) x 2 (mod 3) ( 100 <x<150 ) 1 ( ) x 5, 4, 3 4, 3, 2,, x 1 (mod 5) x 1 (mod 4) x 1 (mod 3), x 1(mod60=5 4 3), x = ( ) x =5k +4, k 4 k 4l 2, 4l 1, 4l, 4l +1, x
62 62 20l 6, 20l 1, 20l +4, 20l +9, 4r +3 20l 1 l 3m, 3m +1, 3m +2, x 60m 1, 60m + 19, 60m +39, 3r +2 60m 1 3 ( ) x =5k +4 5k +4 3(mod4), k 3(mod4) k =4l +3 x =20l l +19 2(mod3) l +1 2(mod3) l 1(mod3), l =3m 1 x =60m 1 4 (!) P 1 =4 3 A 1 1(mod5) A 1 =3,P 1 = 36 P 2 =5 3 A 2 1(mod4) A 2 = 1, P 2 = 15 P 3 =5 4 A 3 1(mod3) A 3 = 1, P 3 = 20, x 4P 1 +3P 2 +2P 3 =59 1 (mod 60),, 1, 2 100,?
63 x 2(mod6),x 5(mod7),x 5(mod9)x 3 (mod 11) 6, 7, 9, 11 x 2(mod6) x 2 0(mod2) x 2(mod3) x 2 (mod 3) x 5(mod9), x 0 (2), x 5 (7), x 5 (9), x 3 (11), m 1 =2,m 2 = 7, m 3 =9,m 4 = 11; M 1 = 693, M 2 = 198, M 3 = 154, M 4 = 126; a 1 =0, a 2 =5,a 3 =5,a 4 =3; M = 1386 x a 1 P 1 + a 2 P 2 + a 3 P 3 + a 4 P 4 (mod M) P 1, P 2, P 3, P 4 a 1 =0 P 1 P 2 = M 2 A 2 = 198A 2 1 (mod 7) P 3 = M 3 A 3 = 154A 3 1 (mod 9) P 4 = M 4 A 4 =126A 4 1 (mod 11) ( ), A 2 =4,A 3 =1,A 4 = 2, P 2 = 792, P 3 = 154, P 4 = 252, x a 1 P 1 + a 2 P 2 + a 3 P 3 + a 4 P 4 = (mod 1386) x 1(mod3),x 2(mod4),x 3(mod5)x 4 (mod 6)
64 k, k n +1,n + 2,, n + k ( ), k p 1, p 2,,p k, n+1 p 1, n +2 p 2,,n + k p k n +1 0 (mod p 1 ) n +2 0 (mod p 2 ) n + k 0 (mod p k ), mod p 1 p 2 p k, n,, k ( ) n =(k +1)!+1 n +1=(k +1)!+2 2, n +2=(k +1)!+3 3,,n + k =(k +1)!+(k +1) (k +1) k, k a 1,a 2,,a k i (1 i k) (p i ) i a i p i
65 x 1 (mod 5) 3x 3 (mod 7) 4x 5 (mod 9) ? ? x 2 1(mod56) 224
66 66 (p 1)!+1=p k p k ( 221 ) 2 ( ) 222, 2,,?, 3,,?
67 (mod 77) ( 36) 41 =36 36 ( ) (mod 77) (mod7) = (mod 11) 36 5 (mod 77), 2 (1894 Eötvös ) 2x +3y 9x +5y x +3y 17 4(2x +3y) 17 8x 12y + 17(x + y) 17 9x +5y 17 3 (1976 ) a 2 + b 2 + c 2 = a 2 b 2
68 68 4 0, 1 a, b mod a, b 4 4 mod 4 a, b, c a, b, c 0, 2, a =2 m a 0, b =2 m b 0, c =2 m c 0 a 0, b 0, c 0 m 1 a b c 2 0 =2 2m a 2 0b 2 0, 4 4 mod 4 a 0, b 0, c 0, (a, b, c) =(0, 0, 0) 4 a, b, c ab, bc, ca a, b, c (abc) 2 = ab bc ca = m 3 n 3 r 3 =(mnr) 3 (abc) 2, ( ), abc, a = abc/bc, b = abc/ca, c = abc/ab a 2 + b 2 = c 2
69 23 69 (a, b, c) (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10) (a, b), (a, b, c) 5? 1,, 1 gcd(a, b, c) =1 ( ) 2 gcd(a, b) =gcd(b, c) =gcd(c, a) =1 3 c, a b,, b
70 70 4 b 2 = c 2 a 2 =(c + a)(c a), ( b 2 )2 =( c+a 2 c a )( 2 ) 5 gcd( c+a 2, c a 2 )=1 6 (b 2 ), m, n 2 = m 2, c a 2 = n 2 7 (a, b, c) =(m 2 n 2, 2mn, m 2 + n 2 ) c+a, m n m >n, (, m, n, r ) (m 2 n 2 )r, 2mnr, (m 2 + n 2 )r 1 (a, b, c) gcd(a, b, c) = d > 1, ( a d, b d, c d ) ( a d )2 +( b c )2 =( c d )2, (a, b, c) ( a d, b d, c d ), gcd(a, b) =1 a, b a, b, c, 2 0(mod4) ( mod 4 1, 0) a, b, c
71 , 1, r (m 2 n 2 )r, 2mnr, (m 2 + n 2 )r (Fermat) Fermat n 3, x n + y n = z n,, 1453 (arithemetica) , x 2 + y 2 = z 2
72 72 x, y, z n 2 x n + y n = z n ( 0 ) 1630,,, , n =3: (Euler) n =5: (Dirichlet) n =7: (Legendre) ,000, ,000, (A Wiles) 1994,, Wiles Taylor 1995 Annals of Mathematics 5
73 23 73? n =4,n =5,, (Conjectures),, x n + y n + z n = c n n 4 Noam Elkies, = ,
74 x 2 6x +(1+a) =0 a b, c 2(x b)(x c) =2x 2 2(b + c)x +2bc =0 b + c =3, 2bc =1+a a 1+a 2, bc 1, b c b + c =3 {b, c} = {1, 2}, a =2bc 1=3 x 2 +(m +1)x +2m 1=0 m
75 a 2 + b 2 + c 2 =2abc a, b, c a, b, c 4 4 1, 0 mod 4, 4 a, b, c 2, a =2 m A, b =2 m B, c =2 m C A, B, C m 0 a, b, c m 1 2 2m A 2 + B 2 + C 2 =2 m+1 ABC 4 4 mod 4 A, B, C,, a 2 + b 2 + c 2 + d 2 =2abcd
76 p +1 p a + b + c 6 a 3 + b 3 + c 3 233, x 234? x 11 (2) 1000 (2) 1101 (2) (2) (2) N N?
77 23 77 m 236, m + n +1 mn +1 n (1899 Eötvös ) n A = 2903 n 803 n 464 n n (1999 ) x, 1 y, 1 z (xyz 1) x, y, z,? (2002 KMO) x 3 +2y 3 +4z 3 +8xyz =0 239 (2002 KMO) a 2310 (x 1,x 2, 2002 ) (1) x 1 x 2 x (2) 0 <x 1 + x x 2002 a (3) x x x = a 2
78 a 2 + b 2 = c 2,gcd(a, b, c) =1 a, b, c a, b gcd(a, b) =1 gcd( a+b , a b 2 )=1 ab = c 2 a b a, b 2313 gcd(a, b, c) =1,a 2 + b 2 = c 2 a, b 2 = c 2 a b 2 =(c + a)(c a) (c + a), (c a) c + a = u 2, c a = v 2 (a, b, c) 2315,
79 x 1 > 1, x 1 2 t x 1,x 2,,x r (a) x 2 i + x2 i+1 (i =1, 2,,r 1) (b) p(x 1 ) p(x 2 ) p(x r )=2 x 2 + y 2 +1=z 2 232
80 , 2, 360?, , ( 0 1 ) 7? 0? 0?,?, = =
81 24 81?, 2 8,1 12, ,,? 30 12?? 30 31, ? = , 1,,, A, 2, 3,,Q,K 13? (joker) 36524?? 3 1 n s(n) n : s(n) :
82 82 x s(n) x<s(n +1) r = x s(n), x (n : r) x = s(n)+r, 10 (1:0)(1:1)(2:0)(2:1)(2:2)(3:0)(3:1)(3:2)(3:3)(4:0),25 (8 : 3) + 29 (1) s(6)= =21, s(7) = s(6) + 7 = 28 s(6) 25 <s(7) 25 s(6) = 4, 25 = (6 : 4) (2) (8 : 3) + 29 = [( )+3]+29=s(8) + 32 = s(8) =s(11) + 2 = (11 : 2)? n =0 s(n) =0, 0 =(0:0), (0 : 0) (1 : 0) (1 : 1) (2 : 0) (2 : 1) (2 : 2) (3 : 0) (3 : 1) (3 : 2) (3 : 3)
83 (1) 37 (2)(10:1)+(5:4)? 5 1 n n! n : n! : x n! x<(n +1)! k n! x<(k +1) n! k r = x k n!, x [k : n : r] 100 = 4 4! = [4 : 4 : 4] 300 [2:3:5]+67 (1) 5!= = 120, 6!=5! 6 = 720 5! 300 < 6! 2 5! 300 < 3 5! k =2 300 = 2 5! + 60 = [2 : 5 : 60] (2) [2:3:5]+67=(2 3! + 5) + 67 = = 84, = 3 4! + 12, 84 = [3 : 4 : 12]
84 84 6 (1) 1999 (2) [2 : 7 : 33] + [4 : 6 : 123] 5 3, 23 0, 12, ??? (, ) , 4 (, )8+8=16 12 = 4 4
85 24 85 (, )8 8, ( )? 8 10? ( ),, ( ) 12, ( ), ?
86 ,15 3, 7 5, a b 12?, a b 12? a b, c d ac bd 15? 5 15, , ,? , (3 15), 5 17 (5 17), ( ) ? 37 1 (mod 12), 27 3(mod12) = 3 (mod 12) ?
87 =16 4=2 2,2 27 = = = ( ) , 0 5 ( )? , , 1985, 1986, , ? 1999?, ( ) 1 0, 1?0?, , =
88 88 100, , , ? 1 0? A, B, C A, B, C 1, 2, 3? A, B, C, AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC, AAA, AAB,? 1, 2, 3, 4, 3?? 0 A B C AA AB AC BA BB BC CA CB CC AAA AAB ? A, B, C 0, 1, 2 AA 00 3? 0 1, 1 A B C AA AB AC BA BB BC CA CB CC AAA AAB ? A B 3 1, 2 C C?
89 AC A 1 C A, B, C, 0, 1, 2 1, 2, 3 3 A B C AA AB AC BA BB BC CA CB CC AAA AAB ? 4,5, ?, 10 A 2000 = 1A00 = 19A0 = 199A 0 199A A1? 1AAA 2111, ,, AAAA 11111,? (!)? 0,
90 (1) 359A4 + A1234 = (2) 194 3A5 = 0 0? 0,0?
91 a 0,10 a 1,,10 n 241 a n, n +1? n n n! a 0,a 1,a 2,? ( : 5 ) ? ? (1) i =1, 2, 3, 244 i(i 1) i(i +1) P i = x <x,x 2 2, i = j P i P j = ( ) (2), f f(m, n) = 1 (m + n 2)(m + n 1) + m 2 f(m, n) =f(p, q) m = p, n = q
92 92
93 3
94 94 31 n!? n! 1 9! 9!= = ( ) = n! 1, 2, 3,,n, n n 1 n k k 2 100! 2, 100! = 2 a 3 b 5 c 7 d, a 100! 1 2, 3,, ! 2 a a ,4 2, 8 3
95 31 n! 95,4(=2 2 ) 2 a 1, 8( = 2 3 ) 4 a 2, a 3,,, a = = (2 1) = (3 2) , ,2 2,2 3,,? 1, 2,, ([100/2 1 ]) 4, ([100/2 2 ]) ([100/2 3 ]) 16 a = a = =97
96 96 n!, p f(p, n) n n n f(p, n) = + p p 2 + p 3 +,, p k n 9! 1 9 2, 3, 5, 7 9!=2 a 3 b 5 c 7 d, 9 a = f(2, 9) = 2 9 b = f(3, 9) = c = f(5, 9) = =1 5 9 d = f(7, 9) = = =4+2+1=7 =3+1=4 3 20! ! 7?
97 31 n! ! a 10 n, n, a n =2 n 5 n, 1004! ! = 2 a 3 b 5 c 7 d 2 a 5 c a c n 10 a c? 5 c, x y [x] [y] n 2 n k 5 k k n n n n n n n, n = = = ! 8 0?
98 x x ! 2! x 2000! + = 1999 x 1999 x 1! x < 7! = 5040, x x = a 6 6! + a 5 5! + a 4 4! + a 3 3! + a 2 2! + a 1, 0 a i i (i =1, 2,,7) 6! 1! + 6! 6! + + 2! 6! 5! a 6 + 1! + 5! 5! + + a a 1 =1999 2! 5!, 1237a a 5 +41a 4 +10a 3 +3a 2 + a 1 = 1999 a 6 =0 1 (1) a 6 =0 : 206a 5 +41a 4 +10a 3 +3a 2 +a 1 ( ) 5 < 1999 (2) a 6 = 1 : 206a 5 +41a 4 +10a 3 +3a 2 + a 1 = a 4 +10a 3 +3a 2 + a = 201, a a 5 =3 a 4 =3,a 3 =2,a 2 =0,a 1 =1, x =1 6!+3 5!+3 4!+2 3!+0 2! + 1 = 1165 x x x x ! 2! 3! 4! x 1001! + = 2002
99 31 n! ! 0? ! 12, 0? 312 (a + b)!, a, b a! b! ,,, ?
100 100 x x x x = ! 2! 3! 4! n! n 316 (2m)! (2n)! m! n!(m + n)!
101 cm cm?, cm 1 n? n a 1,a 2,,a n A = 1 n (a 1 + a a n ), cm, mm t a i t A t, ta = 1 n (ta 1 + ta ta n ) t
102 102, a 1,a 2,,a n a i, 2177, , 4, , =6 a 1 w 1, a 2 w 2,, a n w n, W = 1 w 1 + w w n (w 1 a 1 + w 2 a w n a n ), 2?
103 ,,, a 1, a 2? l, r, w, wl = a 1 r, wr = a 2 l wlwr = a 1 ra 2 l lr w 2 = a 1 a 2, w = a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a n,? a i t, ta 1 ta 2 ta n = t n a 1 a 2 a n, ta 1,ta 2,,ta n a 1,a 2,,a n t n, n a 1,a 2,,a n G = n a 1 a 2 a n?
104 l? l 4 l 6? l 4 + l 6 l l 1 l l =48 6, 2ab 0 a b a + b a b, 0 n a 1 a 2 a n 5 (1) 3 5,? (2) A 2 B 8,? (3) 3 2,?
105 (1) (2) (3),,? a, b a + b 2 ab 2ab a + b, a = b? 1) ( ) ( ) a + b 2 ab = a + b 2 ab 2 = ( a b) 2 2 a + b ab 2 2) ( ) ( ) = ( a) 2 2 ab +( b) ab 2ab a + b = = ab(a + b) 2ab ab(a + b 2 ab) = a + b a + b ab( a b) 2 0 a + b ab 2ab a + b
106 x + 1 (x>0) x x + 1 x 2 x 1 x =1, x + 1 x 2 x = 1 x x =1 2 a, b? n a 1,a 2,,a n 1,a n a 1 + a a n n n n a 1 a 2 a n a 1 a 2 a n, a 1,a 2,,a n, a 1 = a 2 = = a n
107 32 107, 7 y = x + 1 (x>0) x y = x y = 1 x y = x + 1 x (y = x) (y = 1 x ) (y = x + 1 x ) x+ 1 2 x x x x =1 8 y = x + 4 x +1 -
108 108 (y = x) (y = 4 x+1 ) (y = x + 4 x+1 ) 3 -, x =(x +1)+ 1 2 (x +1) x +1 x +1 (x +1) 1=3 x +1= 4 x +1 x? x =1 x +1= 4, x =1 3 x +1,
109 a + b =8 ab (, a, b ) - a + b 2 ab, a + b 2 ab =16 2 a = b =4, ab a = b =4 16 (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 =64 a 2 + b 2 =64 2ab (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 0(1) 64 4ab 0, ab 16, (1) a = b, a = b =4, 16 a b + c b d a + d c ) 4 (, a, b, c, d
110 a, b, c 0 1 a + 1 b + 1 c 9 a + b + c - 3 a + b + c a + 1 b + 1 b, 1 a + 1 b + 1 c 9 a + b + c a = b = c 3 - a, 1 b, 1 c 1 1 a + 1 b + 1 c 3 3 1/ 1 a +1/ 1 b +1/ 1 c = 3 a + b + c 3 10 m m m 2, 10 m 2 10 m 2, 20 m 2?,,
111 ( 2+2) a, b L L = a + b + a 2 + b 2 - a + b 2 ab a 2 + b 2 2ab (2 + 2) ab L =2( 2+2), ab 2 2 =4, S = 1 2ab 2 2, a = b = c PABC AP B = BPC = CPA =90 6 6( 2+1)
112 m? x 2+ 1 x (x>5) x x (x>1) a + nb (n +1) n+1 ab n (, a, b 0) 324 (a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc (, a, b, c 0) 325
113 a, b, c, d abcd =1, 326 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd 10 a, b, c (1 + a)(1 + b)(1 + c) =8 abc a, b ab =1 k, 328 (k + a)(k + b) (k +1) 2 a, b, c abc =1 k 329, (k + a)(k + b)(k + c) (k +1) 3 a, b, c, d a + 1 b + 1 c d a + b + 1 a + c + 1 a + d + 1 b + c + 1 b + d + 1 c + d
114 a, b a + b ab x, y, z 322 x 2 + y 2 + z 2 =3 xy z + yz x + zx y
115 (1) 10, 50, 100, 500,12? (2) 3, 4, 5, 6? (1) (2) 500 6, 100 5, 50 4, 10 3,,? 10, 50, 100, 500, 3, 4, 5, 6,, a 2 + b 2 2ab 1 ( ) a 2 + b 2 2ab =(a b) 2 0
116 116 2 ( - ) (a 2 )+(b 2 ) 2 (a 2 )(b 2 )= ab ab 3 (!) a a + b b a b + b a a, b a, b (, ), (, ) ( ) a = b 3 a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca (1) 2 (2) - (3)!, ( 2 ) a b, c d ac + bd ad + bc a = b c = d ac + bd ad bc = a(c d) b(c d) =(a b) (c d) 0 0 0
117 a 1 a 2 a n, b 1 b 2 b n {a k }, {b k } {a k}, {b k } ( ), a 1 b 1 + a 2 b a n b n a 1b 1 + a 2b a nb n a 1 b n + a 2 b n a n b 1,,,,10, 50, 100, 500 6, 5, 4, , {a k } {a k},, a 1b 1 + a 2b a nb n a 1 b 1 + a 2 b a n b n {a n }, k } {b k }, {b k}, {a k } {a k }, {b k } {b k }, 2, a 1 b 1 + a 2 b a n b n {b
118 118 b 1 <b 2, (a 1 b 2 + a 2 b 1)+ + a n b n (a 1 b 1 + a 2 b 2)+ + a n b n b 2,b 1,,b n b 1,b 2,,b n, i<j b i <b j {b k }, a 1 b 1 + a 2 b a n b n, ( ), } {b k, i<j b i >b j a 1b 1 + a 2b a nb n a 1 b n + a 2 b n a n b 1,, 4, 2, 3, 1,, 4, 2, 3, 1 2, 4, 3, 1 2, 3, 4, 1 2, 3, 1, 4 4 4,
119 , 3, 1, 4 2, 3, 1, 4 2, 1, 3, 4 3 2, 1, 3, 4 1, 2, 3, 4 (bubble sort) (quick sort), (sample sort),,oa 1980 a 1 a 2 a n = a 1 b 1 + a 2 b a n b n b 1 b 2 b n
120 120, ( ; ) a 1 a 2 a n, b 1 b 2 b n {a k }, {b k } {a k}, {b k }, a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n a 1 a 2 a n b n b n 1 b 1 4 a 3 + b 3 + c 3 a 2 b + b 2 c + c 2 a, a, b, c 0 a 3 + b 3 + c 3 = a2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 a b c b c a = a 2 b + b 2 c + c 2 a 5 a 2 + b 2 a + b 2 2 2
121 a 2 + b 2 2 a + b 2 ( )-( ) 1 ( ) 4 (a b) 2 0 a = b 2 ( - ) 4 - a 1 = b 1 ( )(a 2 + b 2 ) (1 a +1 b) 2 (,!) a, b,, {a, b} ( ), a 2 + b 2 ( ) aa + bb ( ), ( a+b a+b 2 )( 2 ( ) ) a + b 2 a b + b a (= ab) 2 2 -,
122 122 3 a 2 + b 2 = a 2 + b 2, a 2 + b 2 a b + b a, 2(a 2 + b 2 ) (a + b)(a + b) 4 (Chebyshev) {a k } {b k ( ), a 1 b a n b n n a a n n b1 + + b n n a 1b n + + a n b 1 n a 1 b a n b n = a 1 b 1 + a 2 b a n b n, a 1 b a n b n a 1 b 2 + a 2 b a n b 1, a 1 b a n b n a 1 b 3 + a 2 b a n b 2, a 1 b a n b n a 1 b n + a 2 b a n b n 1 n(a 1 b a n b n ) (a a n )(b b n ) n 2
123 a, b > 0, a 2 + b 2 a + b a + b 2,, a a + b b 2 a + b 2 a + b 2 7 a, b, c > 0, a 3 + b 3 + c 3 a 2 + b 2 + c 2 a + b + c 3
124 (,Nesbitt) a, b, c a b + c + b a + c + c a + b 3 2 a b + c +1= a + b + c b + c, 3 1 (a + b + c) a + b + 1 b + c c + a 2 x = a + b, y = b + c, z = c + a, x + y + z =2(a + b + c) 1 2f(a, b, c) =(x + y + z) x + 1 y z 1 1 2f(a, b, c) =(x + y + z) x + 1 y + 1 =3+ x z y + y + y x z + z + z y x + x 9 z , y = y x, y z = z y, z x = x z x = y = z, a = b = c x 2 ( u + v + w 3 - ) 3 1 u + 1 v + 1 w (u + v + w) 1 u + 1 v + 1 w 9 u, v, w x, y, z, x = y = z, a = b = c
125 ( - ) u + v + w 3 3 uvw 1 2f(a, b, c) =(x + y + z) x + 1 y z 3 1 xyz 3 3 xyz =9 4 (!), a, b, c a b c b + c c + a a + b, 1 b + c 1 c + a 1 a + b, a b c 1 c + a 1 b + c 1 b + c 1 a + b a b c 1 c + a 1 a + b b c a 1 c + a 1 b + c 1 b + c 1 a + b c a b 1 c + a 1 a + b a b c b + c c+ a a+ b =1+1+1=3 b + c c + a a + b b + c c + a a + b,, (1990 ) a i > 0(i =1,,n) s = a a n, a 1 s a 1 + a 2 s a a n s a n n n 1
126 m, n, m m n n m n n m (m m) (n n) (m m) (n n) m n n m, m n m + n,,, m n n n m n (m n n ) m m n n m n m n, n m ( ) m = n a, b, a a b b a b b a
127 a a b b c c (abc) (a+b+c)/3, a, b, c 0 <a b c d, 332 a b b c c d d a b a c b d c a d a, b, c > 0, 333 a + b + c abc 1 a b c 2 x i > 0(i =1,,n), s = x x n 334 s s x 1 + s s x s s x n n2 n 1 x, y, z > 0, 335 x 2 y 2 + y2 z 2 + z2 x 2 y x + z y + x z
128 128 x, y, z > 0, 336 x 2 y 2 + y2 z 2 + z2 x 2 x y + y z + z x a, b, 337 (a + b)(a 4 + b 4 ) (a 2 + b 2 )(a 3 + b 3 ) a, b, c, 338 a n b + c + bn c + a + cn a + b an 1 + b n 1 + c n 1 2 a, b, c > 0, 339 abc(a + b + c) a 3 b + b 3 c + c 3 a (2002 ) 3310 a 4 + b 4 + c 4 a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab
129 <a b c d, 331 a b b c c d d a b a c b d c a d (1975 ) {x i }, {y i } (i =1,,n) 332, {z i } {y i } n (x i y i ) 2 i=1 n (x i z i ) 2 i=1, n i=1 a i = a 1 + a a n (1978 ) {a i } (k =1, 2,,n,) 333 (, ) n, n k=1 a k k 2 n k=1 1 k
130 130, 334? a 1 a n b 1 b n a 1 a n b 1 b n x 1 x n x 1 x n, {a k }, {b k },,{x k }, {a k }, {b k },, {x k }
131 4
132 ABC BC M, AB 2 + AC 2 =2(AM 2 + BM 2 ) 1 A BC H 1 P AB, BC, CD, DA PE, PF, PG, PH PE PG = PF PH
133 PEB PHD ABP = PDA PEB PHD, PE PH = PB PD PBF PDG PBF = PDG PBF PDG, PG PF = PD PB PE PH PG PF =1 PE PG = PF PH 2 O OA, OB O P OA, OB, AB E, G, F PF 2 = PE PG
134 134 E = G = AF P = PFB = R EAFP, PFBG 180 BP BG PBG BP PAF, PFG = PBG = PAF = PEF PFE = PAE = PBF = PGF
135 PEF PFG, PE : PF = PF : PG PF 2 = PE PG (Van Aubel, 1881 ) ABC O AO, BO, CO D, E, F AO DO = AF BF + AE CE A, B CF AF : BF AOC BOC OC AOC BOC = AF BF AOB BOC = AE CE
136 136 AOC + AOB BOC = AF BF + AE CE AO DO = AOB BOD = AOC COD = AOB + AOC BOD + COD = AOB + AOC BOC AO DO = AF BF + AE CE 2 (Gergonne, 1818 ) ABC O, AO, BO, CO D, E, F OD AD + OE BE + OF CF =1 (Monge, ) A, B, C
137 A B, B C, C A PQ, RS, TU, RS, TU O OP A, B Q, Q C A RO OS = TO OU, TO OU = PO OQ, B RO OS = PO OQ PO OQ = PO OQ OQ = OQ, Q Q PQ O 3 (Carnot, 1803 ) ABC AB, BC, CA D D, E E, F F AD BE CF BD CE AF AD BE CF BD CE AF =1
138 138
139 (1987 ) C =90 ABC AB M, C AB H, CH, CM C, CHM : ABC , 4, CHM 4 1 :4 1 ABC CB CA a, b, C = 120 C a b
140 AD//BC ABCD O BOC = p 2, AOD = q 2, ABCD (p + q) 2 BOC AOD p 2 : q 2 p : q, BO : DO = CO : AO = p : q BOC COD C, BOC : COD = BO : DO = p : q, COD = pq AOB = pq, ABCD p 2 + q 2 +2pq =(p + q) 2 ABC AB C 1, C 1 C A C 1 C BC A 1,, B C 1 C AC B 1 1 AA BB 1 = 1 CC 1
141 ABC BC D, E BAD = CAE, AB 2 : AC 2 = BD BE : CD CE A, D, E AB, AC P, Q PAD = QAE PD = QE, PDB = PAE = QAD = QEC PQ BC, AB : AC = AP : AQ = BP : CQ AB 2 : AC 2 = AB BP : AC CQ, A, P, D, E, AB BP = BD BE, AC CQ = CD CE, AB 2 : AC 2 = BD BE : CD CE O AB TD(D ) C AB, E C TD, AC CB + CD 2 = CE AB
142 142 ABC BC, CA, AB D, E, F, 411 AD 2 + BE 2 + CF 2 = 3 4 (BC2 + CA 2 + AB 2 ) AB AC O B, C BD 412 CE BE BO = AB CE 6 O CD O CD( ) A AB, CD M B AB AM ABCD A BD, CD, 414 BC P, Q, R, PD 2 : PB 2 = PQ : PR
143 O D, A, C, B, AB, CD A C P AB, CD E, F, PE : PF = AB : CD A ABCD O 416 BC E, OE AB F, BE (AB +2BF) =BC BF ABCD ABC = DCB, DA 417 CB P, PA PD = PB PC + AB CD ABC A BC D, 418 E, AB AC AD AE =1
144 144 ( ) ABC 419 G, BC M, G BC AB, AC X, Y GC, YB P, GB, XC Q, MPQ ABC ( ) ABCD 4110 AB, BC, CD, DA E, F, G, H, EF HG BD EF HG AEF CGH AB AC, 4111 AC AC AB D AB = 10, AD : DB =2:3, AC? ABCD AC C 4112 AB AD E F, AB AE + AD AF =(AC) 2
145 (1979 ) A 411 P P B, C 1 BP + 1 BC PC ABC P BC, CA 412 D, E AD, BE L, M, DE, LM ABCD M AD//BC, 413 AB AD R DCM
146 146 42, BC 375, (1) (2) 1 AB A AB B AB C
147 AC AB A, BC ABC 2 A 3 P, P 4 P, P,,,,, O AB
148 148, A O O A D E, D B E B F DE OF = AB, O F AB 5 AB A, B AB X, Y, AB M, 6 AB 7 A
149 A, A C D C D AD DC P DC A AP, SSS ABC ACP, AP 8 A A B A AB A C OX O AB D D BC, O E AB = AC = OD = OE, BC = DE ABC ODE A = EOD 9 P 10 O A A O
150 150 OA O, OA O O O B, C, OBA O AB O AB AC 1 a, b, a a + b, a b, a b, b, a, n,,, 11 AB 5 A AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5, A 5 B
151 A 5 B AB 5 12 m n m m : n, 13 A, B, C O O (!), O A, B, C ( ) AB, BC A, B, C O,
152 152 ( ) 1, ,, 6, ( ) 7 8 9
153 , 2, 3 1, 2, 3 (1 + 2), (2 + 3), (3 + 1) A, B, C 2, 1,
154 ? 4, 3, 4, 5, 6, 15,3 2 n,4 2 n,5 2 n,15 2 n n 1796, 19 f(n) =2 2n +1 n =0, 1, 2, 3, 4 2, 5, 17, 257, f(5) 641, 5 n 19 f(n) 17, (F J Richelot), , 7, 9, 11, 13 19
155 , a, b, a b AB = a + b, AD = a, BD = b, CD =1 ABC CD E AD BD = CD DE DE = a b (1) 1, a, b, b (2) 1, a, a a
156 A, B C ACB C A, B T, ACB C T A, B AB P PT 2 = PA PB PA PB P T
157 , C 1, C 2 C 1, C 2, C 2?( ) C 1, m m C 2, n n n m P, C 2 n, P C 2 C2, C 1, C2 : C 2, C 1, C 2
158 ABC, BC, ( ) AB D BC E DEFG, G AC, BG AC G, BC F B D E F G
159 O n, 2n n n 424 P, Q, R P, Q, R 425 A, B, C C 426 A B
160 , ABC 8 428,,,, 1 A ABC, AB, AC D, E 429 AD = DE, AE = DB AB c, r, AB 4210 r c ABC A, B, C A ( 4211 ) B C
161 n = ab 421 n a b a, b a, b ab A, B, C PQR A, B 425, C PQR
162 162
163 5
164 ??, 1 (1)? (2)? (3)? (4),? (1) 1 (2) 1, 2, 3, 4, 5, i i (3)1,2,3,4 1, (4)
165 (5)? 1 = 1 = = 2 = = 4 = = 8 = = 16 =2 4? i 2, 2 i 1 (1) (3) (4), (5) =2 5 =32 =10, ? x, y x +2y + 14 = 64, x +2y =50
166 ! ?? 1 1, 1 0, , 0 1,
167 ,8, ,?, 4 7,8,9 2? = 64 = = 128 = = 256 = 2 8 2? 2? /\ /\ /\ /\
168 168, = (1)+(1+3)+(3+3)+(3+1)+(1) = (1 + 1) + (3 + 3) + (3 + 3) + (1 + 1) = 2( )=2 2 3 =2 4, 0 0, n r C n,r (A) C 0,0 = C n,0 = C n,n =1 (B) C n,r + C n,r+1 = C n+1,r+1 (C) C n,0 + C n,1 + + C n,n =2 n (A) 1,(B),(C) 2 5 C n,2 n C n,2 n 2 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 1, 1,2, 3, 4, 5,
169 (A) C n,0 1, (B) C n,1 = C n 1,1 + C n 1,0 = C n 1,1 +1, C n,1 = C n 1,1 +1=C n 2,1 +1+1= = C 1, n 1 =1+(n 1) = n C n,0, C n,1 C n,2 (B) C n,2 = C n 1,2 + C n 1,1 = C n 1,2 +(n 1), C n,2 = C n 1,2 +(n 1) = C n 2,2 +(n 2) + (n 1) = = C 2, (n 1) = (n 1) C n,2 = n(n 1) 2 6 nc r n r nc r = n (n 1) (n r +1) r 2 1 = n! r!(n r)! n =3, 4, 5 nc r
170 170 n =3 3C 0 =1, 3C 1 = 3 1 =3, 3C 2 = 3 C 1 =3, 3C 3 =1 n =4 4C 0 =1, 4C 1 =4, 4C 2 = =6, 4C 3 = 4 C 1 =4, 4C 4 =1 n =5 5C 0 =1, 5C 1 =5, 5C 2 = =10, 5C 3 =10, 5C 4 =5, 5C 5 =1 3C 03 C 13 C 23 C 3 4C 04 C 14 C 24 C 34 C 4 5C 05 C 15 C 25 C 35 C 45 C 5 = ?,? nc r nc 0 = n C n =1, n+1c r+1 = n C r + n C r+1,
171 n C 0 = n C n =1 nc r = n! r!(n r)! r =0 r = n nc r + n C r+1 = = = n! r!(n r)! + n! (r +1)!(n r 1)! n! [(r +1)+(n r)] (r +1)!(n r)! (n +1)! (r +1)!(n r)! = n+1c r+1,, n C n,r nc r n +1, nc r n r n +1 A = {1, 2,,n+1} r +1, n +1 n +1 n r nc r, n +1 n r +1 nc r+1 r+1 r r+1 n+1 n 1 1 n 0 1, n+1c r+1 = n C r + n C r+1
172 172,,
173 (1) (2) n,, 0 (3) (1) 1,, (2),, 3 0 ( ) 1, n 3 n (3),,, 1, x \ / y
174 174, x y = x +2,, (3) (2), 3 n, , n,, 0, n 2 n
175 , 1 1, 1 2 2, (1) n, (2) n, n (1) 6 n n, 2 n 6,,, 1, 6 2 n 6
176 176, n 1, n =0 1 (2) n 2n, 2n C n, 6 2n C n = 6 (2n)! (n!) n,, 1 0
177 (n>3) 512 n+1c 1 + n+1 C 2 + n+1 C 3 < 2( n C 1 + n C 2 + n C 3 ) , 0, n r D n,r (1) D n,1 n (2) D n,2 n (1988 ) 514
178 (2001 KAIST ) 516, a, b D(a, b), D(a, b), 0, n
179 ,, nc r = n! r!(n r)!,, n 512? k k 513 0, 1, 3, 7, 15,, 2 n 1,
180 180 52,, ( ),? ( )! A B C D ( )! ( ),!,, ( )? ( ) 3? ( ) 4,
181 ( ) 2??, ( ),? ( ), ( ),!, ( ), ( ),?? ( )?,? ( )!,? ( ), A B C D A B C D ( ),!,? ( ),
182 A B C D, X-? ( ), X A B C D A B C D ( ), X ( ),! 4 ( ),? X-?
183 ( ), ( ),? 1 1?,? ( ),??? L M N
184 184 L X- X-, ( ) M??? ( ),? N, ( )? ( ) X- X ( ), X-??? ( )?
185 52 185?? ( ),, ( ) ( ), ( ) X-,? ( )? ( )
186 186,,,!?,?,? 1? A B C D A B C D??,?,
187 , 2, 3, D,4 D A 2 B 3 3 A A A B C D D, A B C D 1, 2, 3, 4, 3, 4, 1, 2,,, A, B, C, D,
188 188 2, A, B, C, D 3,???,,, 4? A B C D
189 :,, 522? 523,,
190 190
191
192
2
rev 2004/1/12 KAIST 2 6 7 1 13 11 13 111 13 112 18 113 19 114 21 12 24 121 24 122 26 13 28 131 28 132 30 133 (recurrence) 34 134 35 4 2 39 21 39 211 39 212 40 22 42 221, 42 222 43 223, 45 224 46 225, 48
, _ = A _ A _ 0.H =. 00=. -> 0=. 0= =: 0 :=;^!;.0H =.0 000=0. -> 00= 0. 00= =: 0 0 :=;()$; P. 0, 0,, 00, 00, 0, 0, 0, 0 P. 0.HH= = 0.H =0. 0=. -> =0.
0 P. 8 -, 0, -, 0. p 0 0., 0., =0. =0.., 0., 0., 0., =. =0. =0. =0. P. 0,.8 0.H 8, 0.H8,.H, 0.HH,.HH, 0.H, 0.HH 0.8 0.. 0. 0, - p k k k 0.=0.H 8 0.888=0.H8.=.H 0.=0.HH.=.HH 0.=0.H 0.=0.HH P., 0.H, 0.HH,
1 11 111 111-1 p, q, r A, B, C (1 p °ø±â¾Ð±â±â
20, 30, 40 20, 30, 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.1 6.3 9.4 12.6 15.7 18.8 22.0 25.1 28.3 31.4 2.4 4.7 7.1 9.4 11.8 14.1 16.5 18.8 21.2 23.6 7.1 14.1 21.2 28.3 35.3 42.4 49.5 56.5 63.6 70.7 5.9 11.9 17.8 23.7
1 1,.,
,.,. 7 86 0 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 70 7 7 7 75 74 7 7 7 70 79 78 77 76 75 74 7.,. x, x A(x ), B(x ) x x AB =x -x A{x } B{x } x >x AB =x -x B{x } A{x } x =[ -x(xæ0) -x (x
3 x =2y x =-16y 1 4 {0 ;4!;} y=-;4!; y x =y 1 5 5'2 2 (0 0) 4 (3-2) 3 3 x=0 y=0 x=2 y=1 :: 1 4 O x 1 1 -:: y=-:: 4 4 {0 -;2!;} y=;2!; l A y 1
= =-6 {0;!;}=-;!; = 5 5' (00) (-) =0=0 == :: -:: =-:: {0-;!;}=;!; 0 l :: -:: =:: F 5 0cm =- = =- (0)=- =6 =0 =- (0)=- - =- {-;#;0}=;#; =- - =- (0)=- = =8 -:: :: =:: - =- 98 R l Q P B S r rb l Q P B lb
10-2 삼각형의닮음조건 p270 AD BE C ABC DE ABC 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 2 -
10 단원 : 도형의닮음 10-1 닮음도형 p265 ABC DEF ABC DEF EF B ABCD EFGH ABCD EFGH EF A AB GH ADFC CF KL 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 1 - 10-2 삼각형의닮음조건 p270 AD BE C ABC DE ABC 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 2 -
(01-16)유형아작중1-2_스피드.ps
01 p.10 0001 000 61 0003 4 8 3 4 5 7 4 3 3 3 6 8 9 5 1 1 3 7 9 6 0 1 0004 4 0005 0006 3 0007 6 0008 30 0009 3 19 0010 10 ~14 14 ~18 9 18 ~1 11 1 ~16 4 16 ~0 4 30 0011 160 cm 170 cm 001 10 cm 5 0013 135
1
절대수학 검은 대장간 인문 Blacksmith Day 1 최석호 1. 그림과 같이 A B C D E의 다섯 개의 영역에 빨강, 노랑, 파 랑, 초록의 네 가지 색으로 색칠을 하려고 한다. 네 가지 색 중 한 색 은 두 번 사용하고 나머지 세 가지 색은 한 번씩만 사용하여 칠하는 데, 인접한 영역에는 서로 다른 색을 칠하기로 할 때, 색칠하는 방법 의 수를 구하시오.
121_중등RPM-1상_01해(01~10)ok
1-01 00 11 03 1804 4 05 3506 45 07 5 65 0001 000 0003 0004 0005 01 4 4 6 5 6 9 Í = + =,, Í=Í=Í = = Í Í Í,, 0006 0007 0008 0009 0010 0011 001 7c 5c 3, 3 3, 6, 6 +50 =180 =130 130 +90 +30 =180 =60 60 =60
( )EBS문제집-수리
www.ebsi.co.kr 50 024 www.ebsi.co.kr 025 026 01 a 2 A={ } AB=2B 1 4 B a 03 æ10 yæ10 y 10000 y (log )( log y) Mm M+m 3 5 7 9 11 02 { -2 1} f()=-{;4!;} +{;2!;} +5 Mm Mm -21-18 -15-12 -9 04 a =1a«+a«=3n+1(n=1,
2 A A Cs A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2
www.ebsi.co.kr 2 A A 1 133 Cs 1 11 1 A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2 www.ebsi.co.kr A B t B A ;2!;t v v= = (3_t)+(6_0.5t) v=4 m/s t+0.5t 3 m/s 6 m/s
Unknown
0 THEME!!!_!_!_!_!=_6=8 pp. ~8!!!_!=70 0, P =_=, 0, _=9, _=9,, +9+9=0 6 6!=70, f, l, w, r P _!= =88 70-88= THEME (-)!=!!!_!=6 (-)!=!!!_!= 6 (-)!=! 6_!=6_= 6 (6-)!=!=0 0_=60, 6! 6 = =60 _ e, t l, r 6! =80!!
歯Ky2002w.PDF
1 geometry geometrein (geo :, metrein : )., (thles of miletus),.. < >,. 17 18. (nlytic geometry ),. 17. 18 2. 18 (differentil geometry ). 19 (priori) (non- eucliden geometry ),,,. 2 E 2 3 E 3. E 2 E 3
Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, =0.04, (-0.) = , =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, , -0. 8, -8 6, '7 ' '
0 06 0 4 4 9 4 8 5 40 45 5 57 Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, -6 0-0. =0.04, (-0.) =0.04 0.04 0., -0. 8 =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, -7 0. 0., -0. 8, -8 6, -6 0-7 7 '7 ' 0.5 0.5 -' 0.5 ;!; ;!; æ;!; '7 '
13일등예감수학1-1정답(077~120)
- ~8 0 00,,, 00,, 8, 9, 0 00 00,,, 9 00,,,, 9 00 00 008 009 0 00 8 0 0 fi 0 0 0 9fi 0 0 fl 08 _ 09 _ 00 _ _ 0 _ _ 0 { } ~ 0 _ _ 0 0 _ _ fi _ 0,, 0,,, 8 08,, 9 09, 00,,,,, 8,, 0,,, 0,, 0 0 0 0 0 0, 0, 08,,
특목고 8-나 해설Ⅰ(001~024)OK
I II III I Step - - - - - - - - 8 - - 0 - - - 9 - - 9 - - 00-8 - 90 - - 80-0 8-0 - - - - - 0 0 0-0 - - 8 - - - 00 8-00 8-0 0 8 - ( 8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 a a b b aabb bbaa abba baab abab baba
파이널생명과학1해설OK
EBS EBS 00 Finl E d u c t i o n l B r o d c s t i n g S y s t e m CO A B A~C CHON CHONP N.5 % 86.5 % 5.... 5. 6.. 8. 9. 0..... 5. 6.. 8. 9. 0. X Y X X 6 G DNA DNA S (A) (B) G DNA DNA (A)=; ;=;6!; (B)=;
A y y y y y # 2#
0. 9 A 0 0. 0-0.5748 0 0.454545 04 0.4 05 0.5 06 0.4 07-0.555 08 0.9666 09 5@ 5@ 00 0.5 0 5 5 5@ 5 # # 7 0.07 0.5 0.55 4 0.5 5 0.06 6 7 8 \ 9 \ 0 \ 0.^ 40-.4^0^ 4 50.^5^ 5 55.0^5^ 6 0.4^857^4857 7 0.^8^8
A 001~A 036
4 3 2 0 8 91 0 1 2 3 4 5 6 08 09 00 01 02 03 04 18 19 10 29 20 22 23 39 30 31 32 33 48 49 40 41 59 50 69 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 7 10 13 1 2 3 4 5 6 rev. C C r C a f h f h L h h nrpm f h f n L C 3 P L
01 02 03 01 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 CO C CO C C CO 04 05 06 RNA DNA 07 A B C C B A 08 TMV TMV TMV TMV 09 02
w w w. e b s i. c o. k r 01 02 03 01 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 CO C CO C C CO 04 05 06 RNA DNA 07 A B C C B A 08 TMV TMV TMV TMV 09 02 10 ADH 11 A CO H O NH B AB 12 2 1 DNA 02 01 02 03 04 05
목 차 1. 공통공시 총괄 1 2. 살림규모 6 2-1 세입결산 3 2-2 세출결산 5 2-3 중기지방재정계획 7 3. 재정여건 8 3 1 재정자립도 8 3 2 재정자주도 9 3-3 재정력지수 10 3-4 통합재정수지 11 4. 채무 및 부채 12 4-1 지방채무 현황
2014년도 연천군 지방재정공시 연 천 군 목 차 1. 공통공시 총괄 1 2. 살림규모 6 2-1 세입결산 3 2-2 세출결산 5 2-3 중기지방재정계획 7 3. 재정여건 8 3 1 재정자립도 8 3 2 재정자주도 9 3-3 재정력지수 10 3-4 통합재정수지 11 4. 채무 및 부채 12 4-1 지방채무 현황 12 4 1-1지방채발행 한도액 및 발행액 14
기본서(상)해답Ⅰ(001~016)-OK
1 1 01 01 (1) () 5 () _5 (4) _5_7 1 05 (5) { } 1 1 { } (6) _5 0 (1), 4 () 10, () 6, 5 0 (1) 18, 9, 6, 18 1,,, 6, 9, 18 01 () 1,,, 4, 4 1,,, 4, 6, 8, 1, 4 04 (1) () () (4) 1 (5) 05 (1) () () (4) 1 1 1 1
Áß2±âÇØ(01~56)
PRT 0 heck x=7y=0 x=0y=90 9 RH RHS 8 O =8 cmp =6 cm 6 70 7 8 0 0 0 SS 90 0 0 0 06 07 08 09 0 cm 6 7 8 9 0 S 6 7 8 9 0 8cm 6 9cm 7 8 9 cm 0 cm x=0 y=00 0 6 7 9 8 9 0 0 cm 6 7 8 9 60 6 6 6 6 6 6 7 8 7 0
<32303136C7D0B3E2B5B520B4EBBCF6B4C920C7D8BCB3C1F628B1B9BEEE41C7FC20C8A6BCF6292E687770>
2016학년도 대학수학능력시험 국어영역 A형 정답 및 해설(홀수형) 01. 4 02. 2 03. 1 04. 4 05. 3 06. 5 07. 4 08. 3 09. 4 10. 3 11. 3 12. 3 13. 4 14. 2 15. 2 16. 5 17. 2 18. 4 19. 2 20. 3 21. 3 22. 5 23. 1 24. 5 25. 5 26. 1 27. 1 28.
-주의- 본 교재는 최 상위권을 위한 고난이도 모의고사로 임산부 및 노약자의 건강에 해로울 수 있습니다.
Intensive Math 극악 모의고사 - 인문계 등급 6점, 등급 점으로 난이도를 조절하여 상위권 학생들도 불필요한 문제에 대한 시간 낭비 없이 보다 많은 문제에서 배움을 얻을 수 있도록 구성하였습니다. 단순히 어렵기만 한 문제들의 나열이 아니라 수능에 필요한 대표 유형을 분류 하고 일반적인 수험환경에서 흔하게 배울 수 있는 내용들은 과감하게 삭제 수능시험장
<C5F0B0E82D313132C8A328C0DBBEF7BFEB292E687770>
2012년 7월 17일 발행 통권 제112호 112 발행인:李圭衡/편집인:金尙勳/주간:金泰詢/발행처:社)退溪學釜山硏究院 (우614-743) 釜山市釜山鎭區田浦洞608-1 819-8587/F.817-4013 出處가 분명한 공직사회 인간이 가지는 인성은 그 특성이 다양하여 일률적으로 판단 한 하기는 쉽지 않다. 그러므로 어떤 관점과 측면에서 논하느냐에
Press Arbitration Commission 62
제 2 부 언론관련판결 사례 제1장 명예훼손 사례 제2장 재산권 침해 사례 제3장 기타 인격권 침해 사례 제4장 형사 사례 제5장 헌법재판소 결정 사례 편집자 주 - 사건관계인의 인격권을 보호하기 위해 필요한 경우 사건관계인의 이름, 소속회사, 주 소, 차량번호 등을 비실명 익명처리하고 필요한 경우 최소한의 범위내에서 판결문의 일부를 수정 또는 삭제함을 알려드립니다.
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Ⅴ.피타코라스2(P128-139)
2 1. > 2. 7 230 m 185 m 2. 1 ab ABCD BD x BCD x =a +b x>0 x="a +b a "a +a ="2ça ='2a 129 (1) 4cm5cm "4 +5 ='1ƒ6+25='4å1 (cm) (2) 4cm '2_4=4'2 (cm) 1 x (1) (2) 45 1 BC =CA =a ABC AB BC CA AB =BC +CA =a
수리 영역 가 형 5. 다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 개가 한 모서리씩을 공유하 면서 각 면이 평행 또는 수직 관계를 유지한 채로 한 평면 위에 놓여있 다. 그림의 세 꼭짓점 A, B, C에 대한 두 벡터 BA 와 BC 가 이루는 각 의 크기를 h라 할 때,
제``교시 수리 영역( 가 형) 시간:00분 점수:00점 성명 수험 번호 쭚 반드시 본인이 선택한 유형( 가 형 또는 나 형)의 문제인지 확인하시오. 쭚 문제지와 답안지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오. 쭚 MR 답안지에 성명, 수험 번호, 응시 유형 및 선택 과목, 답 등을 표기할 때에는 반드시 수험생이 지켜야 할 사항 에 따라 표기하시오. 쭚 문항에
2005년 6월 고1 전국연합학력평가
제 1 교시 2015학년도 9월 모평 대비 EBS 리허설 2차 국어 영역(B형) 김철회의 1등급에 이르게 해 주는 [보기] 활용 문제 미니 모의고사(문학편) 1 유형편 [1]다음 글을 읽고 물음에 답하시오. 1. 를 참고하여 (가)를 이해할 때, 적절하지 않은 것은? (가) 머리는 이미 오래 전에 잘렸다 / 전깃줄에 닿지 않도록 올해는 팔다리까지 잘려
0 000., 000 0., 000-0., 000 0.666, 0 0.H6 0 0 0.0H8 0 06 07 08 9 09 6 00 0.H 0.H8 000 0.87, 0006-0.66, 0007 0.8, 0008 0.097, 0009 6, 0.H6 000,.HH 0 00
~9 0~6 0 0 0 7 0 0 0 06 6 07 6 08 69 09 78 0 8 9 0 0 0 000., 000 0., 000-0., 000 0.666, 0 0.H6 0 0 0.0H8 0 06 07 08 9 09 6 00 0.H 0.H8 000 0.87, 0006-0.66, 0007 0.8, 0008 0.097, 0009 6, 0.H6 000,.HH 0
3 g.06 g > 3.06>3 < 3+.06< { }<
경제학 최종마무리 박 태 천 편저 미시경제학 3 경제학의 기초 및 수요공급이론 제1회 01 기회비용에 대한 서술로서 가장 옳지 않은 것은? 1 욕구충족에 아무런 제약이 없으면 기회비용이 생기지 않는다. 2 예금하지 않은 현금의 보유에 따른 기회비용은 예금으로부터의 이자소득이다. 3 의무교육제도 아래서 무상교육은 개인적으로는 무료이지만,사회적으로는 기회비용이
14일등예감수학2-2교사(001~026)
9 8 8 9 0 0 09 0 9 8~9 / [~] [~] [0~] 0 [~] 0 00 00 [~9] 8 9 8 0 00 00 0~ / [~] [~] 8 8 0 0 8 9 0 - ~ / [~] [0~] 0 0 [~9] [~] 0 8 8 9 0 0 - ~ / [~] 8 9 0 [~] ~ /0 8 0 9 0 0 0 8 0 8~9 /0 0 ;#; 0 0 0 8
15강 판소리계 소설 심청전 다음 글을 읽고 물음에 답하시오. [1106월 평가원] 1)심청이 수궁에 머물 적에 옥황상제의 명이니 거행이 오죽 하랴. 2) 사해 용왕이 다 각기 시녀를 보내어 아침저녁으로 문 안하고, 번갈아 당번을 서서 문안하고 호위하며, 금수능라 비
![15강 판소리계 소설 심청전 다음 글을 읽고 물음에 답하시오. [1106월 평가원] 1)심청이 수궁에 머물 적에 옥황상제의 명이니 거행이 오죽 하랴. 2) 사해 용왕이 다 각기 시녀를 보내어 아침저녁으로 문 안하고, 번갈아 당번을 서서 문안하고 호위하며, 금수능라 비](/thumbs/39/20072135.jpg "15강 판소리계 소설 심청전 다음 글을 읽고 물음에 답하시오. [1106월 평가원] 1)심청이 수궁에 머물 적에 옥황상제의 명이니 거행이 오죽 하랴. 2) 사해 용왕이 다 각기 시녀를 보내어 아침저녁으로 문 안하고, 번갈아 당번을 서서 문안하고 호위하며, 금수능라 비")
14강 역사영웅소설 15강 판소리계 소설 판소리계 소설 : , 등 일반적으로 판소리 사설의 영향을 받아 소설로 정착된 작품을 가리킨 판소리 : , , , , 등이 사설과 창이 전해지고 있 하층민의 예술로 시작하여 전계층을 아우르는 예술이 되었 상류층, 지배층이 향유층이 되면서 점차 작품의 주제가
#수Ⅱ지도서-4단( )
IV 4 3 4 5 5 exponent 3 3 Archimedes B.C. 87~B.C. Diophantos?00~?84 a m _a n =a m+n (mn=0y) Stifel M. 487~567 Arithmetica integra y-3--03y y ;8!; ;4!; ;!; 48y Stevin S. 548~60 xx x ()()(3) x ;!; x ;3!;
<근대이전> ⑴ 문명의 형성과 고조선의 성립 역사 학습의 목적, 선사 문화의 발전에서 국가 형성까지를 다룬다. 역사가 현재 우리의 삶과 긴밀하게 연결되었음을 인식하고, 역사적 상상력을 바탕으 로 선사 시대의 삶을 유추해 본다. 세계 여러 지역에서 국가가 형성되고 문 명
2009년 개정 교육과정에 따른 교과 교육과정 적용을 위한 중학교 역사 교과서 집필 기준 ⑴ 문명의 형성과 고조선의 성립 역사 학습의 목적, 선사 문화의 발전에서 국가 형성까지를 다룬다. 역사가 현재 우리의 삶과 긴밀하게 연결되었음을 인식하고, 역사적 상상력을 바탕으 로 선사 시대의 삶을 유추해 본다. 세계 여러 지역에서 국가가 형성되고 문 명이
미통기-3-06~07(052~071)
06 F() f() F'()=f()F() f() : f()d f() f() f() f() F()f() F()+C : f()d=f()+c C F'()=f(): f()d=f()+c C d [: f()d]=f() d : k d=k+c k C : «d= + +C =0C + : k f()d=k: f()d k : { f() g()}d=: f()d : g()d =f()
(01~80)_수완(지학1)_정답ok
www.ebsi.co.kr 01 THEME 005 ABC abcd C A b 20~30 km HR HR 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 (=1) 10 1 10 _1 10 _2 10 _3 10 _4 10 7 30000 10000 6000 3000 (K) 11111111 11111111 10 8 10M 6M 10 9 3M 10 10 1M 10 11
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단위: 환경정책 형산강살리기 수중정화활동 지원 10,000,000원*90%<절감> 형산강살리기 환경정화 및 감시활동 5,000,000원*90%<절감> 9,000 4,500 04 민간행사보조 9,000 10,000 1,000 자연보호기념식 및 백일장(사생,서예)대회 10
2013년도 본예산 일반회계 환경위생과 ~ 환경위생과 세 출 예 산 사 업 명 세 서 부서: 환경위생과 단위: 환경정책 환경위생과 8,231,353 3,622,660 4,608,693 국 2,472,543 기 144,000 도 976,102 시 4,638,708 자연환경보호(환경보호/환경보호일반) 5,910,247 1,462,545 4,447,702 국 1,817,800
(72) 발명자 김창욱 경기 용인시 기흥구 공세로 150-20, (공세동) 박준석 경기 용인시 기흥구 공세로 150-20, (공세동) - 2 -
(19) 대한민국특허청(KR) (12) 공개특허공보(A) (11) 공개번호 10-2014-0034606 (43) 공개일자 2014년03월20일 (51) 국제특허분류(Int. Cl.) H01M 4/525 (2010.01) H01M 4/505 (2010.01) H01M 4/48 (2010.01) H01M 4/131 (2010.01) (21) 출원번호 10-2012-0101151
수-적분2-1(126~153)eps교
.. 0 0 6 03 04 (+x)«05 7 06 84~93 «P ~5 94~96 «H 6~7 97 8 98~0 03 04~05 06 07 9 ~0 ~3 07 6~7/3 94~96 «H 3 8 08 8 64 6 Brahmagupta598670 n n(n-)(n-) y BhaskaraA485 n k n(n-)(n-) y (n-k+) k(k-)(k-) y 7 Pascal
(001~042)개념RPM3-2(정답)
- 0 0 0 0 6 0 0 06 66 07 79 08 9 0 000 000 000 000 0 8+++0+7+ = 6 6 = =6 6 6 80+8+9+9+77+86 = 6 6 = =86 86 6 8+0++++6++ = 8 76 = = 8 80 80 90 00 0 + = 90 90 000 7 8 9 6 6 = += 7 +7 =6 6 0006 6 7 9 0 8
1 1 x + # 0 x - 6 x 0 # x # 2r sin2x- sin x = 4cos x r 3 r 2r 5 r 3r
# 0 0 # # si si cos # 0 # 0 ^ h ^h^h# 0 ^! 0, h ^h^h# 0 ^! 0, h si si cos sicos si cos si ^cos h ^cos h si ^cosh^cos h 0 ^sih^cos h 0 0 # # cos cos, ^ si! h,, ` 0 # 혼자하는수능수학 0 년대비 9 월 A B, y f^h f^h, 0
제 9 도는 6제어항목의 세팅목표의 보기가 표시된 레이더 챠트(radar chart). 제 10 도는 제 6 도의 함수블럭(1C)에서 사용되는 각종 개성화 함수의 보기를 표시하는 테이블. 제 11a 도 제 11c 도까지는 각종 조건에 따라 제공되는 개성화함수의 변화의
(19) 대한민국특허청(KR) (12) 특허공보(B1) (51) Int. Cl. 5 B66B 1/18 (45) 공고일자 1993년09월28일 (11) 공고번호 특1993-0009339 (21) 출원번호 특1989-0002580 (65) 공개번호 특1989-0014358 (22) 출원일자 1989년03월02일 (43) 공개일자 1989년10월23일 (30) 우선권주장
중등수학2팀-지도서7
3 6~7 8~3 3 ª 33~37 4-38~39 40~45 4 46~53 5 54~58 3 59-60 ~6 6~63 64 VII. 4 9 (Klein F849~95) (rlangen Program) (group of transformation) ' O' =k O ' O k O ' O ' O ' ' ' ' (topology) = = O O' =k O ' '
LTUR Q X 01 LTUR LTUR K 6 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, b= =: :=8.5 a+b= cm , = =: 7 := a+b+c 0 =1 a+b+
우공비 중등 수학 (하) 특강편 SLUTIN LTUR K WRK K 0 LTUR Q X 01 LTUR LTUR K 6 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10 8+9 b= =: :=8.5 a+b=17.5 17.5 1 159 cm 6 9 58 6, 7..5 01 = +0+1++++ 7 =: 7 := a+b+c 0 =1 a+b+c=6 6+8+1 =:
= =180 5=90 = O=O+O=;!;O+;!;OE O=;!;(O+OE)=;!;OE O=;!;_180 = y=180 _ =180 _;9%;= = =180 5=15 =5
VI 01 a=5b=8 a+b=5+8=1 01- a=8b=1c=6 a-b+c=8-1+6= 01-01 0 Í 0 04 05 06 07 08 e f e f 01 4 6 0 8 1 01 01-01- 46 8~1 0 0-0- 0-0 0-15 cm 0-0- 0-1 cm 04 0 04-04- 18 04-60 04-05 05-05- 06 06-16. 06-07 07-07-
Contents... 테마1. 도형의합동과닮음 평행선의성질 2. 평행선과선분의길이의비 3. 삼각형의합동조건 4. 직각삼각형의합동조건 5. 도형의닮음 6. 직각삼각형에서의닮음 테마2. 삼각형 이등변삼각형의성질 8. 삼각형의중점연결정리 9. 삼
수능을향한기분좋은첫걸음!! 30 개의테마로정리하는 수능에꼭필요한도형의성질 수능특강기하와벡터이창희선생님 Contents... 테마1. 도형의합동과닮음... 2 1. 평행선의성질 2. 평행선과선분의길이의비 3. 삼각형의합동조건 4. 직각삼각형의합동조건 5. 도형의닮음 6. 직각삼각형에서의닮음 테마2. 삼각형... 8 7. 이등변삼각형의성질 8. 삼각형의중점연결정리
InRow RP TDM KO.book
InRow RP 냉각수 / 직접 확장 - 50/60 Hz 공냉식 ACRP100 ACRP101 ACRP102 냉각수 ACRP500 ACRP501 ACRP502 기술 데이터 American Power Conversion 법적책임 부인 American Power Conversion Corporation 은 본 설명서에 제공된 정보가 믿을 수 있으며 오류가 없거나
dnu.pdf
ISODNU 1 ISO DNU/DNUL DNU DNUL 32 40 50 63 80 Gx G G Gy Gy G M10x1.25 M12x1.25 M16x1.5 M16x1.5 M20x1.5 M20x1.5 [mm] 19 21 23 23 30 30 4 [MPa] 1.2 [ C] 20 80 0.6MPa [N] 482 753 1178 1870 3015 4712 415 633
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2014년 지방상수도 경영실적 보고서 성 남 시 맑 은 물 관 리 사 업 소 市 政 方 針 시민이 행복한 성남 시민이 주인인 성남 참여하는 열린행정 역동하는 지역경제 보편적인 나눔복지 꿈을여는 평등교육 감동있는 문화예술 上 水 道 經 營 方 針 안심하고 마실 수 있는 수돗물 생산공급 고객만족 서비스로 신뢰받는 수도행정 새는 물 찾아내어 자원절약 원가절감 -
480제 생물Ⅰ 해설
001~023 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 01 001 정답찾아가기 B 3L/100kg A 2L/100kg B A 1.5 오답피하기 A B 002 정답찾아가기 A B A B B A 27æ 003 정답찾아가기 D D D 오답피하기
사업수혜자 계 불특정다수 불특정다수 불특정다수 여 성 불특정다수 불특정다수 불특정다수 남 성 불특정다수 불특정다수 불특정다수 예산구분 계 14 15 15 여 성 7(50%) 7(50%) 8(50%) 남 성 7(50%) 7(50%) 8(50%) 2011년까 지는 결산 액
각종통계조사(일반회계) 사업개요 사업목적 : 사업기간 : 추진근거 : 예 산 액 : 사업내용 : 우리구의 토지, 인구, 경제, 사회, 문화 등 각분야에 걸쳐 기본적인 통계자료 수록 2012년 01월 01일 ~ 2016년 12월 31일 통계법 제29조 및 동법시행령 제42조 광주광역시 북구 통계사무처리규정 제10조 11백만 원 구비 11백만 원 각종통계조사 책자
II 2 72 90 % 0 % 74 80 % 80 % 90 % 0 % 00 90 0 80 % 0 80 % 8 20 % 9020 % 8 268 ;2 6;=0307y 3 % (90) 72 8 (0) 2 8 74 26 75 0 02 2 5 25 A B AB AB pq A B p+q 2 5 5 2 np r =n(n-)y(n-r+) np r n! nc r = 2 =
제1절 조선시대 이전의 교육
제1절 우리 교육 약사 제2장 사천교육의 발자취 제1절 우리 교육 약사 1. 근대 이전의 교육 가. 고대의 교육 인류( 人 類 )가 이 지구상에 살면서부터 역사와 함께 교육( 敎 育 )은 어떠한 형태로든 지 존재하고 있었을 것이다. 우리 조상들이 언제부터 이곳에서 삶을 꾸려왔는지는 여 러 가지 유적과 유물로 나타나고 있다. 그 당시 우리조상들의 생활을 미루어
정답 및 해설 - 비둘기집 원리 쪽 확인 극단적으로 생각하기 0개의 수 중에서 차가 8인 수의 쌍은 (, 9), (2, 0) 이고, 짝을 지을 수 없는 나머지 수는 (3), (4), (5), (6), (7), (8)입니다. 따라서 적어도 6+2+=9(개)의 구슬을 뽑아
정답 및 해설 영 재 사 고 력 고급 D 고_D권-해답(0-28)-ok.indd 3. 6. 2. 오후 9:05 정답 및 해설 - 비둘기집 원리 쪽 확인 극단적으로 생각하기 0개의 수 중에서 차가 8인 수의 쌍은 (, 9), (2, 0) 이고, 짝을 지을 수 없는 나머지 수는 (3), (4), (5), (6), (7), (8)입니다. 따라서 적어도 6+2+=9(개)의
(001~007)수능기적(적통)부속
0 6 06. C : k d=k+c k «+-, : «d= «± +C + =- : d=: ;[!; d=l +C : kf()d=k: f()d k : { f()+g()} d=: f()d+: g()d : { f()-g()} d=: f()d-: g()d : si d=-cos +C : cos d=si+c 008 : sec d=ta +C : cosec d=-cot +C
歯20010629-001-1-조선일보.PDF
6. 29 () 11:00 ( ) 20 0 1. 6. 29 11( ).(397-1941) 1. 2. 3. 4. 5. 1. 28, 60() (,, ) 30 619(, 6. 29) () 6 (,,,,, ),,, - 1 - < > (, ), () < > - 2 - 2.,,, 620,, - 3 - 3. ( ) 1,614,, 864 ( ) 1,6 14 864 () 734
5312 2015년 9월 15일 입 안 자 소관 실 과 재무담당관 실 과장 직위 성명 담당 팀장 직위 성명 담당자 성명 전화 재무담당관 오 문 순 관재담당사무관 김 승 호 지방교육행정주사 조윤주(249-0421) 현 행 개 정 안 제6 조( 공유재산심의회의 구성 ) 1 공유재산 및 물품관리법 ( 이하 " 법" 이라 한다) 제16 조에 따라 본청과 제1관서에
사진 24 _ 종루지 전경(서북에서) 사진 25 _ 종루지 남측기단(동에서) 사진 26 _ 종루지 북측기단(서에서) 사진 27 _ 종루지 1차 건물지 초석 적심석 사진 28 _ 종루지 중심 방형적심 유 사진 29 _ 종루지 동측 계단석 <경루지> 위 치 탑지의 남북중심
하 출 입 시 설 형태 및 특징 제2차 시기 : 건물 4면 중앙에 각각 1개소씩 존재 - 남, 서, 북면의 기단 중앙에서는 계단지의 흔적이 뚜렷이 나타났으며 전면과 측면의 중앙칸에 위치 - 동서 기단 중앙에서는 계단 유인 계단우석( 階 段 隅 石 ) 받침지대석이 발견 - 계단너비는 동측면에서 발견된 계단우석 지대석의 크기와 위치를 근거로 약 2.06m - 면석과
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中 部 地 域 粘 土 帶 土 器 文 化 의 時 空 間 的 正 體 性 1 中 部 地 域 粘 土 帶 土 器 文 化 의 時 空 間 的 正 體 性 李 亨 源 (한신대박물관 학예연구사) - 목 차 - Ⅰ. 머리말 Ⅱ. 硏 究 史 Ⅲ. 時 間 軸 設 定 Ⅳ. 空 間 的 分 布 樣 相 을 통한 몇 가지 問 題 提 起 Ⅴ. 맺음말 Ⅰ. 머리말 주지하는 바와 같이 남한지역의
2004math2(c).PDF
3 2004 1,,,, 2 1 1. LCD ( )? () ( ) 2. 100 () () 3. < > (1) (2) (3) ( ) < > < >(1)(3) < > (), (3)< >()? ()... () A. B. C. (3), A, B, A, B, C 4. (), () < >? < >? [2]..,.,,,,,...,,,,, 2 5. < > (1), (2) (3)
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檀 國 大 學 校 第 二 十 八 回 학 술 발 표 第 二 十 九 回 특 별 전 경기도 파주 出 土 성주이씨( 星 州 李 氏 ) 형보( 衡 輔 )의 부인 해평윤씨( 海 平 尹 氏 1660~1701) 服 飾 학술발표:2010. 11. 5(금) 13:00 ~ 17:30 단국대학교 인문관 소극장(210호) 특 별 전:2010. 11. 5(금) ~ 2010. 11.
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1. A B C 4. ABC B C A B A B C A C AB BC ABC. ABC C + A + B C A B A B C A B C B A C B C A C A B C B A 5. AB xy pqr x B xy p -y AB. A. A. B. TV B. C. AB
018 학년도대학수학능력시험문제및정답 1. A B C 4. ABC B C A B A B C A C AB BC ABC. ABC C + A + B C A B A B C A B C B A C B C A C A B C B A 5. AB xy pqr x B xy p -y AB. A. A. B. TV B. C. ABC lålılç lå
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20140628 서울시_장혁사회_총평,해설_B책형_1.hwp
사 회 1. 다음 와 같은 단체에 대한 설명으로 옳지 않은 것 사회의 여러 가지 문제를 해결하기 위하여 민간이 중심이 되어 만든 비정부 조직, 영리를 목적으로 활동하지 않는 비영리단체로, 환경 운 동이나 인권 보호 운동, 부패 방지 운동을 위해 적극적으로 활동하 는 단체를 말한다. 다수의 시민을 위해 활동하는 단체이다. 1 집단의 가입과 탈퇴가 비교적 자유롭다.
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VP7-6 Series VP7-6-FPG-D- (FG-S) (FG-D) (YZ-S) (YZ-D) Closed center (FHG-D) Exhaust center (FJG-D) (FPG-D) Pressure center(fig-d) VP7-6-FHG-D- VP7-6-FG-S- VP7-6-FG-D- (V) (A) ) (A) ) (V) ) 0.15~0.9{1.5~9.}
8. 8) 다음중용어의정의로옳은것은? 1 정사각형 : 네변의길이가같은사각형 2 정삼각형 : 세내각의크기가같은삼각형 3 이등변삼각형 : 두변의길이가같은삼각형 4 평행사변형 : 두쌍의대변의길이가각각같은사각형 5 예각삼각형 : 한내각의크기가 90 보다크고 180 보다작은삼각
1. 1) 수학익힘책문제풀기 중 2-2: 02. 삼각형의성질 ( 기본부터심화까지 ) 다음명제의역이참인지거짓인지를말하여라. 5. 5), 는자연수이고, 문장,, 가각각다음과같을때, 다음기호를명제로나타낼때, 참인지거짓인지를말하여라. : 는짝수이고 는홀수이다. : 는홀수이다. : 는홀수이다. ⑴ ⑵ ⑶ ⑴ 이면 이다. ⑵ 이면 이다. ⑶ 12의배수는 6의배수이다.
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다음 1)1) 2)2) 다음 가 3) 3) 4) 4) 나 다 5) 5) 라 6) 6) 다음 7) 7) 8) 8) 다음 1. zb 다음그림과같이 AB = AC인 ABC 에서 BC = BD 이고, BDC = 65 일때, DAB - ABD 의크기는? AB = AD 1 BC = DC 2 ( 다 ) 3 1, 2, 3으로부터대응변의길이가같으므로 ABC ( 라 ) BAC
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대한민국정부 제18218호 2014. 3. 7.(금) 부 령 보건복지부령제233호(영유아보육법 시행규칙 일부개정령) 6 고 시 미래창조과학부고시제2014-21호(학생인건비 통합관리지침 일부개정) 9 교육부고시제2014-70호(검 인정도서 가격 조정 명령을 위한 항목별 세부사항) 11 법무부고시제2014-66호(국적상실) 15 법무부고시제2014-67호(국적상실)
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자료 I. 회사의 개요 1. 회사의 개요 가. 회사의 명칭 : 주식회사 전북은행 나. 설립일자 : 1969. 12. 10 영업개시 다. 본사의 주소,전화번호 전화번호, 홈페이지 주소 주 소 : 전주시 덕진구 금암동 669 2 전화번호 : 0632507114 홈페이지 :
분 기 보 고 서 (제 50 기 1분기) 사업연도 2010년 01월 01일 2010년 03월 31일 부터 까지 금융위원회 한국거래소 귀중 2010년 5월 14일 회 사 명 : 주식회사 전북은행 대 표 이 사 : 김 한 (인) 본 점 소 재 지 : 전주시 덕진구 금암동 669 2 (전 화) 063 250 7114 (홈페이지) http://www.jbbank.co.kr
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o 등산ㆍ트레킹ㆍ레저스포츠ㆍ탐방 또는 휴양ㆍ치유 등의 활동을 위하여 산림에 조성하거나 사용하는 길
- 3 - - 5 - - 6 - 2013년 숲길의 조성 및 운영ㆍ관리 매뉴얼 1.1 숲길의 정의 등산ㆍ트레킹ㆍ레저스포츠ㆍ탐방 또는 휴양ㆍ치유 등의 활동을 위하여 산림에 조성하거나 사용하는 길(이와 연결된 산림 밖의 길을 포함) * 산림문화ㆍ휴양에 관한 법률 제2조제6항 1.2 숲길의 종류 * 산림문화ㆍ휴양에 관한 법률 제22조의2 숲 길 숲길유형 등산로
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古事記 古 事 13 記 신화 전설 가요 계보 등을 소재로 하여 일본 건국의 유래와 제1대 神武천황부터 제33대 推 古천황까지의 事蹟을 기록한 일본 현존 最古의 典籍이며, 전체 3권으로 구성되어 있다. 天武천황 대에 천황이 중심이 되어 이루어졌던 역사 저술사업을 元明천황이 계승하여, 太安萬侶에게 稗田 阿禮가 암송하고 있던 천무천황대의 역사 저술 내용을 필록하도록
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CODE A00-B99 A00-A09 A00 KOR_TITLE 특정 감염성 및 기생충성 질환 창자 감염 질환 콜레라 A00.0 비브리오 콜레리 01 전형균에 의한 콜레라 A00.0 전형균에 의한 콜레라 A00.1 비브리오 콜레리 01 엘토르형균에 의한 콜레라 A00.1 엘토르형균에 의한 콜레라 A00.9 상세불명의 콜레라 A01 A01.0 장티푸스 장티푸스
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우공비Q 과학 2 (하) 정답 및 채움해설 빠른 정답 찾기 2~4 Ⅴ. 물질의 특성 1. 물질의 특성 ⑴ 5 2. 물질의 특성 ⑵ 9 3. 혼합물의 분리 13 Ⅵ. 일과 에너지 전환 4. 일 21 5. 에너지 27 Ⅶ. 자극과 반응 6. 감각 기관 39 7. 신경계 44 8. 항상성 48 13강 일차방정식의 풀이 1 A n s w e r 4 0 0 20 13
I. 시중 자금흐름 주요 특징과 시사점 II. 단기금융시장 동향 점검 III. 금융권역별 자금흐름 특징과 시사점
시중 자금흐름 특징과 시사점 215년 3월 자산분석팀 I. 시중 자금흐름 주요 특징과 시사점 II. 단기금융시장 동향 점검 III. 금융권역별 자금흐름 특징과 시사점 시중자금, 금리 민감도 증대되며 예금 선호 약화 은행의 정기예금 수신은 감소폭이 확대된 반면, 대출은 중소기업 금융 확대 노력 등으로 증가 - 예대율 규제 완화에 따른 은행의 자금유치 노력 약화로
1.기본현황 연 혁 m 본면은 신라시대 ~고려시대 상주목에 속한 장천부곡 지역 m 1895.5.26한말에 이르러 장천면(76개 리동),외동면(18개 리동)으로 관할 m 1914.3.1행정구역 개편으로 상주군 장천면과 외동면이 병합하여 상주군 낙동면 (17개 리,25개
목 차 1.읍면동 기본현황 2.지방세 징수현황 3.소규모 주민숙원사업비 집행현황 4.예산 집행현황 5.예산 미집행 현황 6.고액체납자 현황 및 징수(독려)현황 7.관외체납세 징수(독려)현황 8.특수시책 확인자 낙 동 면 장 김 진 숙 (인) 부 면 장 차 정 식 (인) 주 민 생 활 지 원 담 당 김 영 욱 (인) 민 원 담 당 전 용 희 (인) 산 업 담
미디어펜 기고문
K뷰티 의 기틀을 세운 아모레퍼시픽 서성환 회장 이 근 미 (소설가) 아모레퍼시픽의 현주소 2009년 1월 29일 전국 25개 롯데백화점 가운데 매출순위가 높은 대도시 7개 점에서 세계적인 브랜드인 샤넬화장품(이하 샤넬)이 철수했다. MD(매장진열) 개편을 앞두고 위치 변경과 축소를 요청하는 공문을 9차례 보내자 자존심이 상한 샤넬이 짐을 싸버린 것이다(몇
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법을 알고 기사 쓰기 62 논쟁적 주제 다룰 땐 단정적으로 보도하지 말아야 과학적 사실에 대한 보도 시 주의할 점 양재규 언론중재위원회 정책연구팀장 변호사 기자도 전문가 시대다. 의학전문기자, 경제전문기자 라는 말은 이미 익숙하고 이 외에도 책전문기자, 등 산전문기자, IT전문기자, 스포츠전문기자, 자동차 전문기자 등 다양한 분야의 전문기자들이 있다. 과학
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사용 설명서 이용 안내 사용 설명서의 내용은 제품의 펌웨어 버전에 따라 사용자에게 통보 없이 일부 변경될 수 있습니다. 사용 설명서는 Windows XP 환경을 기준으로 설명하고 있으며 사용자의 OS 환경에 따라 다소 차이가 있을 수 있습니다. 제품에 사용된 음원, W
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LEET 추리논증 29번 유사 적중 - 기본교재 -P.144 29. 다음 글로부터 추론한 것으로 옳은 것만을 에서 있 는 대로 고른 것은? 번역사 P는 고객 A, B, C로부터 문서를 의뢰받아 번역 일을 한 P는 하루에 10 쪽씩 번역한 모든 번역 의뢰는 매일 아침 업
LEET 추리논증 2번 기본과정 강의에서 한강변에 애완동물금 지 푯말과 애완돼지를 예를 들어 포함여 추상적 단어와 구체적 단어 의 포함여부 판단 문제 부를 묻는 강의를 실시 [ 법- 추상적/ 사건- 구체적] 유사 적중 - 기본교재 -P.210 유사 적중 - 기본교재 -P.257 모순 찾기 LEET 추리논증 4번 약점극복 심화추리논증-실전모의고사 [핸드폰 대화
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(2010년도 행감 - 사문1) 1 2010년도 사회문화위원회회의록 강원도의회사무처 피감사기관 : 공보관실 일 시 : 2010년 11월 17일 (수) 오전 10시 장 소 : 사회문화위원회회의실 (10시 00분 감사개시) 위원장 김동자 : 좌석을 정돈하여 주시기 바랍니다. 성원이 되었으므로 지금부터 지방자치법 제41조 및 동법시행령 제39조와 강원도의 회 행정사무감사
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인천학연구총서 강화학파 연구 문헌 해제 김수중조남호천병돈 공편 머리말 진리 를 우리말로 참 이라고 한다. 그리고 그 반대를 거짓 이라고 한다. 그런데 여러 가지 을 찾아보아도 아직까지 거짓 에 대한 어원만 밝혀져 있다. 거짓 의 어원은 거죽 이며 이는 지 금 우리가 사용하는 가죽 과 뿌리가 같다고 한다. 즉 그것은 겉에 드 러난 부분, 곧