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3 p, q, r A, B, C (1 p<q<r) 3, A, B, C 20, 10, 9 Br, q? p, q, r s = p + q + r A B C (1) s (2) s (3) r s s A + B + C = =3s s = 13 3r 20, r 7 B = 10 Br B =10 r +2p 7+2p p =1 2r + p, r +2q, r + p + q B =10
4 116 B = r +2p r =8 (p, q, r) =(1, 4, 8) A B C (1) 1 (2) 1 (3) A = , 8B A, 8 C A B C (1) (2) (3) 4 8 1, q =4 : C,, ab, a 2a 3a (b 1)a (a 1)(b 1) = b b b b <x<b,0<y<a (a 1)(b 1), y =(a/b)x ( ) a, b
5 11 117, 2 S a 2a (b 2)a (b 1)a S = b b b b (b 1)a (b 2)a 2a a S = b b b b b 1 ia (b i)a b 1 ia 2S = + = b b b i=1 b 1 = (a 1) = (a 1)(b 1) i=1 i=1 (b i)a + 1 b ( ) ( ) x + y = n ( ) x, y [x + y] =[x]+[y]+1, a 1,a 2,a 3, m 1, b m =min{ n : a n m }, b ma n m n a 19 =85, a 1 + a a 19 + b 1 + b b 85 a p = q, p q i a i, a i a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 j j a i, b j 1, p q a i + (b j 1) = ( )+( )=pq i=1 j=1, (p +1)q
6 118 a 1,a 2,,a 19,, 85 i=1 b i = b 1 + b b 85 b 1,,b a1 =1, b a1 +1,,b a2 =2, b a18+1,,b a19 =19 =1 a 1 +2 (a 2 a 1 )+ +19 (a 19 a 18 ) = a 1 a 2 a a 19 = 19 j=1 a j +20a 19, 19 a j + 85 j=1 i=1 b i =20a 19 = 1700 a p = q, (p +1)q ABC O A BC D, D BC AO E ADE, B = C AD M
7 M BC, OMBC, OM//DE EAD OAM, OAMOA = OM ADE AE = DE ABC = CDE =90 ABCDE AE M, AB CD = BC DE MB = MD 1 ACCE P, Q, MPA = EQM, AP B =2 ACB, EQD =2 ECD, MP = EC/2 =DQ, MQ = AC/2 =BP AB BC = DE CD ACB = ECD AP B = DQE MPB = DQM MPB DQM MB = MD 2 AB = BP P AB, ED = DQ Q ED ACP =2 ACB, ECQ =2 ECD, AC = CP, EC = CQ, AB = BP, AM = ME, EP =2MB, AQ =2MD
8 120, AB BC = DE CD ACB = ECD ACP = ECQ ECP = ACQ ECP ACQ EP = AQ MB = MD 3 DM DM = MX X AM = ME, AMX = EMD AMX EMD BA BC, AX DE, DE CD AX CD B 90 BAX = BCD AB DE = BC CD BA AX = BC BAX BCD CD ABX = CBD XBD =90 MB = MD = MX , 38 55, 50 55?
9 a, b, p, q, x, y k = y/x a + kb = p, ka + b = q x 2 = a 2 + b 2 (k 2 1) 2 x 2 =(k 2 1) 2 a 2 +(k 2 1)b 2 =(kq p) 2 +(kp q) 2 p q =38 55, (55k 38) 2 +(38k 55) 2 =(55k 50) 2 +(50k 55) 2 2k 2 5k +2=0, (2k 1)(k 2) = 0, y =2x, a+2b =50,2a+b =55 (a, b) =(20, 15), x 2 = a 2 +b 2 (x, y) =(25, 50), 113-2, 3 A, B, C A, B, C A 1, B 1, C 1, A, B A 2, B 2 C A 1, B 1, C 1, A 2, B 2 k, L, R L 1:k R
10 122, 5 (1) A + L = k(a 1 + R) (2) B + L = k(b 1 + R) (4) A 2 + L = k(a + R) (5) B 2 + L = k(b + R) (3) C + L = k(c 1 + R) 5, 6(A, B, C, k, L, R), LR L kr 5 (1) (2)(4) (5) (A B) =k(a 1 B 1 ), (A 2 B 2 )=k(a B), k 2 = A 2 B 2 A B k (4) (1), (5) (2) A, B,(3) (1)+(2) 2 A = ka 1 + A 2, B = kb 1 + B 2 k +1 k +1 C = A + B 2 + kc 1 k A 1 + B 1 2 k, A, B C = kc 1 + k(a 1 + B 1 )+(A 2 + B 2 ) k(a 1 + B 1 )(k +1) 2(k +1) = kc 1 + (A 2 + B 2 ) k 2 (A 1 + B 1 ) 2(k +1) A2 B 2 = C 1 + (A 2 + B 2 ) A2 B2 A 1 B 1 (A 1 + B 1 ) A 1 B 1 A 2( 2 B 2 A 1 B 1 +1) A2 B 2 = C 1 + (A 2 + B 2 )(A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )(A 1 + B 1 ) A 1 B 1 2( A 2 B 2 A1 B 1 +(A 1 B 1 )) A2 B 2 A 1 B 2 A 2 B = C A 1 B 1 A2 B 2 A1 B 1 +(A 1 B 1 ), 114
11 n 3 n,, 3 n 2, , 1 1 n 1 (0 ), n 2 n/2,, A =(0, 0), B =(0, 1), C =(1, 0) A, B, C, D =(1, 1)? (, ),, D,,
12 ,,? Aa, Bb, Aa Bb () ab (AB) ab () AB ab (A) B!!, Aa A A BBb A b B B b Aa Bb () Bb (Aa) Bb () Aa Bb (A) a ABb () a b (AB) a b () Aa B b (B) Aa Bb () Aa (Bb) Aa,, 2
13 n,3n +1 n +1 3n +1 = s 2 s3, s =3t ± 1 n = s2 1 3 =3t 2 ± 2t n +1=3t 2 ± 2t +1=t 2 + t 2 +(t ± 1) f(n) n : 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, f(s + t) f(s t) =st, s, ts >t n f(n), s + t s t 1 {a n } f(n) =a a n f(s + t) f(s t) a s t+1 a s+t(2t), a n + a n+1 = n f(s + t) f(s t) =(a s t+1 + a s t+2 )+ +(a s+t 1 + a s+t ) =(s t +1)+(s t +3)+ +(s + t 1) = t[(s t +1)+(s + t 1)] 2 ( ) ( + ) 2 = st 122
14 X (1) 1 X (2) u, v X = uv u + v X X Y =1/X = { 1 x : x X}, x X 1 x Y 1 uv u+v = u + v uv = 1 u + 1 v, (1 )1 Y (2 ) 1 u, 1 v Y = 1 u + 1 v Y 1 u, 1 v p, q (2 ) (2 ) p, q Y = p + q Y Y Y = N, X X =1/N = { 1 n : n N} x 3 +2y 3 +4z 3 +8xyz =0 f(x, y, z) =x 3 +2y 3 +4z 3 +8xyz f(x) =0 x 3 x x =2x 1 f(x, y, z) =8x y 3 +4z 3 +16x 1 yz =2(y 3 +2z 3 +4x yzx 1 )=2f(y, z, x 1 ), 0=f(x, y, z) =f(y, z, x 1 )=f(z,x 1,y 1 )=f(x 1,y 1,z 1 ), (x, y, z) =2(x 1,y 1,z 1 ) n (x, y, z) =2 n (x n,y n,z n ),0 2 (0, 0, 0)
15 a, b, c, A, B, C ac 2bB + ca =0 ac b 2 > 0, AC B 2 0 AC B 2 > 0 0 (ac ca) 2 =(ac + ca) 2 4acAC =4b 2 B 2 4acAC < 0, AC B ( ), p, q, 3 r p, 3 3 q, r 3 q 3 p 3 r 3 q = n (m, n ) m (m + n) 3 q = m 3 p + n 3 r (m + n) 3 q = m 3 p + n 3 r +3mn 3 pr(m 3 p + n 3 r ) = m 3 p + n 3 r +3mn(m + n) 3 pqr 3 pqr 132
16 S2002 N0 N S, (a) (b) (c) N S S = M, M, 0 N 2 M N S (1) M =0 ; S 2 M =1, N =0, 1, (2) S = M, 0 N 2 M S = M +1,0 N 2 M+1 S a, S = S \{a} ( S = M) (i) 0 N < 2 M ; S N = N / S a S S a (ii) 2 M N 2 M+1 ; S N = N 2 M / S a S S a (2 M ) N (c) (a) (b) (i) S (a ),() () S S (a ), () S () () S,
17 ()a () () a, (i) (a), (b) (ii) (a), (b) S (1), (2) S = M 0 N S n, S 1 S n/7, 3 S T n 7 T S <n, S = n xy-, y (P ) 3, 1, 1 3 O 1 ( ), O 2 ( ) 6 ( ), S S n 7 S <n, S ( n 7 1) n S 7
18 130 ( ) ( ) 1, a 1,1,,a 1,n ; a 2,1,,a 2,n ; ; a m,1,,a m,n, Cauchy m m n n m a m i,j a i,j i=1 j=1 j=1 i=1 1 m =1, m =2 Cauchy-Schwarz m =4 m =2 2 2 n n n n n n a 4 j b 4 j c 4 j d 4 j a 2 jb 2 j c 2 jd 2 j j=1 j=1 j=1 j=1 j=1 j=1 2 2 n (a j b j )(c j d j ) j=1, m =8 m =4 m =2, m =2 k+1 m =2 k m =2, Cauchy 2 k m 2, m2 k a i,j m m m n n a i,j g j ( ) i=1 j=1, g j a 1,j,,a m,j, g j = m m i=1 j=1 a i,j
19 m =3 m =4 4 4 n n n n n n g j (a j b j c j g j ) 1/4 = a j b j c j j=1 j=1 j=1 j=1 j=1 g j j=1 m m2 k t t = m + r a 1,1,,a 1,n ; ; a m,1,,a m,n a x,j = g j (m<x t) a 1,1,,a 1,n ; ; a t,1,,a t,n t ( ) t n n a i,j t t t i=1 j=1 j=1, r m n n n m t a i,j i=1 j=1 g j j=1 m n a i,j i=1 j=1 j=1 n g j j=1 i=1 m i=1 a i,j t n a i,j [gj r] = g j j=1 m t 133 (recurrence) (2002KMO) n 2n +2 x 0,x 1,,x n,y 0,y 1,,y n,, n +1 x 0 x 1 x 2 x n 1 @ y 0 y 1 y 2 y n 1 y n
20 132 a n x ny n a n = a n 1, x x n 1 y n 1 a n =2a n 2, a n = a n 1 +2a n 2, a 0 =1, a 1 =3, a n 2a n 1 = (a n 1 2a n 2 ) =( 1) n 1 (a 1 2a 0 )=( 1) n 1, a n =2a n 1 +( 1) n 1 a n ( 1)n =2 a n ( 1)n 1, a n = 4 2n ( 1) n 3 a n =2 n a ( 1)0 1 3 ( 1)n = 4 2n ( 1) n n,? 1 n a n a n+1n n n 1 2 n (, 1) (1, 2),, (n 1, n), (n, ) (n +1)
21 a n+1 = a n + n +1, a 1 =2 a n = 1 2 n n +1 2 c n c n+1c n n n n c n+1 = c n + a n, c 1 =2 c n = 1 6 n n A, B A, B Am, Bn ( )?, S{1, 2,,9}, S {1, 2, 3, 5} {1, 2, 3, 4, 5} 1+4=2+3 S? S n, n 15 n 6 n 2 (1) n =6 : 6 2 =
22 134 {1, 2} S, 17 {8, 9} S, 1+9=2+8 (2) n =5 :, {1, 2, 5, 7, 9} 5 2 {1, 2, 3, 5, 8} n 6 S6 a 1 >a 2 > >a 6 i, j, k, l a i a j = a k a l a i + a l = a j + a k, a 1 a 2, a 3 a 4, a 5 a 6, a 2 a 3 a 4 a 5, (a 1 a 2 )+(a 3 a 4 )+(a 5 a 6 ) 1+2+3=6 (a 2 a 3 )+(a 4 a 5 ) 1+2=3 a 1 a 6 9, a 1 a 6 9 1=8 n = M = { (x, y) 1 x 12, 1 y 13, and x, y Z } (1) M 49, x, y (2) 48 (1) (1) (2) n, 1/n n (n +1)/2
23 O O AB XY, AX BY P {P n (x)} : P 1 (x) =x 2 1, P 2 (x) =2x(x 2 1), P n+1 (x)p n 1 (x) =(P n (x)) 2 (x 2 1) 2, n =2, 3, S np n (x) n,2 k n S n ( ) k n
24 136 (1) P n+1 =2xP n (x) P n 1 (x) P 3 (x)p 1 (x) =(2xP 2 (x) P 1 (x))p 1 (x) =(P 2 (x)) 2 (P 1 (x)) 2 n =2 n (n 3) P n+1 (x)p n 1 (x) =P n (x) 2 P 1 (x) 2 = P n (x)(2xp n 1 (x) P n 2 (x)) P 1 (x) 2 =2xP n (x)p n 1 (x) (P n (x)p n 2 (x)+p 1 (x) 2 ) =2xP n (x)p n 1 (x) P n 1 (x) 2 P n+1 (x) =2xP n (x) P n 1 (x), n, n (1) (2) 2xP n (x)p n 1 (x) P n (x)(n +1), n,, (+),, (2) P 1 (x) =x 2 1, P 2 (x) =2x 3 2x (1) P n+1 (x) =2xP n (x) P n 1 (x), n +2 n 2xP n + + P n 1 + P n+1 (n +2),,,(2) (3) S 1 =2,S 2 =4,S n+1 =2S n + S n 1 (2) (4) k n =2L(n), L(n)n 2, k n = L(S n ), S n = 1 (1 + 2) n (1 2) n 2 n =2 1 n n i i i=0 i=0 = n 2 i+1 2 i 0 i n i:odd n ( 1) i 2 2 i i
25 n i =2r +1 = n n 1 2r +1 2r +1 2r S n = n 2 r+1 =2n + n 1 2r 2n 2r +1 2r 2r +1 0 r n r n 1 2, 1 r n L(2n)+1 2 r 2n, 2 L(2n)+1 n 1 2r 2 L(2n)+1 1 r n 1 2 2n =2 L(2n) (2t +1)(t N), n 1 2r 1 r n 1 2 2r 2n 2r +1 2 L(2n)+1 n 1 2r 2n, 2r +1 n 1 2r 2r 1 r n 1 2 2r 2n 2r +1 2r 2n 2r +1 =2L(2n)+1 s, S n =2 L(2n) (2t +1)+2 L(2n)+1 s =2 L(2n) (2(t + s)+1) L(S n )=L(2n) =2L(n) {a 1,a 2,a 3, } (i) n, a n =1or 1, (ii) m, n, a mn = a m a n, (iii) n a n = a n+1 = a n (ii) a n = a n a 1, a n 2 = (a n ) 2, a n2 k = a n 2a k a 1 = a 4 = = a n 2 = =+, a n2 k = a k a 2 =, a 5 = a 2 =+ (iii) a 3 =, (ii) a 6 = a 8 = a 9 =+ a 7 = a 10 = a 10 = a 5 a 2 a 5 =,
26 138, (iii) a 2 = a 5 =+ a 4 =+(iii) a 3 = a 6 =, a 6 = a 3 a 2 a 5 = [ ] k a 3k+1 =+,a 3k+2 = a = a 3 a r : n =3 r (3k +1) a n = a r : n =3 r (3k +2), (ii)(iii), a 2 k =0, 1 a 1 = a 4 =+,a 2 = a 5 = 0 k<2l (l 1) k =2l, 2l +1 a 6l+2 = a 2 a 3l+1 =, a 6l+4 = a 2 a 3l+2 =+ a 6l+1 =+, a 6l+5 = a 6l+1 = a 6l+2 = (iii) a 6l = a 6l+3 =+, a 2l = a 2l+1 = a 3 a 4l = a 4l+2 = a 3 (iii) a 4l+1 = a 3, a 12l+3 =+ a 12l+2 = a 12l+3 = a 12l+4 =+ (iii) a 6l+1 =+ a 6l+5 =+ a 6l+3 = a 6l+6 =, a 2l+1 = a 2l+2 = a 3, a 4l+2 = a 4l+4 = a 3, a 4l+3 = a 3, a 12l+9 =, a 12l+8 = a 12l+9 = a 12l+10 = (iii) a 6l+5 = x, y, z, (x + y + z) 2 a(x 2 + y 2 + z 2 ), a
27 (m, n) : (1 + x n + x 2n + + x mn ) (1 + x + x x m ) , n a 1,,a n, a 1 a n n n k, xx n=1 k= n,3 n +1, 1
28 140, ( ) A, B X, AX BX X? B B B, A B X ,,? , 23 37
29 , n 4 n n n, m (, m<n) m m (m 2) m<n m, (m 2), a, b > 0, a, A 1,A 2,b, a, G 1,G 2,b A 1 A 2 G 1 G 2, 224
30 , 8, n, n ( ), n 1 (n 1) X n X X A, B, C, D, A X X ( ) P ( ) X P, n P 2, AB AD
31 BD, BC 1, CD 1 2 BC1 P, CD1 Q C X d ( ) X BC d/2 P, AB d/2 Q [( )( ) ] X,,, (: ( 1 3, 2)), n, 1 n n f(x) 1 n n =0 f(x) 1 f(x) = 1+1 2, n =1 f(x) x + a x x +2a n 2 a 1 <a 2 < <a n 1 n 1 g(x) =(x a 1 )(x a 2 ) (x a n 1 )
32 144 n 1 g(x) M a(x) =f(x)+mg(x), b(x) =f(x) Mg(x) a(x)b(x) f(x), 1n, a 1,,a n 1 g(x) ( ) n ( ), a 1,,a n 1 b 1 <a 1 <b 2 <a 2 < <b n 1 <a n 1 <b n b 1,,b n g(b 1 ),,g(b n ) [b 1,b n ] f(x) A, g(b i ) B, A< MB M a(b 1 ),,a(b n ) b(b 1 ),,b(b n ) a(x) x f(x)mg(x) b(x) x f(x) Mg(x), x ± Mg(x) f(x), a( ), a(b 1 ),, a(b n ) b(b 1 ),, b(b n ),b( ) a(x)b(x) n 225, n n +3, p p! 1 N = p! 1=p 1 p 2 p m, p i p 4n +1, p i p p! p!, 1 N, N4n +1 4n +1 p! 4, N4n +3, 4n +3
33 n +3, k, k 4n +3 p 1,p 2,,p k P = p 2 1 p2 2 p2 k +2 (1) P 4 3 p 2 i 4 1 (2) P p 1,p 2,,p k, p ip 2 1p 2 2 p 2 k, p ip p i2, p i 2, P 4n +3,4n +1 4n +1 4n +1,4n +3 (1) a a n nlim =0 i =1, 2,,n 1 n a n i + a n+i < 2a n n? M n M a n 1 + a n+1 2a n a n+1 a n a n a n 1, α = a M a M 1 a M+1 a M a M+2 a M+1, t, a M+t a M+t 1 + α a M+t 2 +2α a M + tα a M+t M + t a M+t 0 = lim lim t M + t t a M t M + t α M + t + a M+t M + t + 1 M +1 α = α! t
34 , ,,, 6? 6 0, 1,,5, a 1,a 2,,a 6 modulo 6 a i 1 1 a i S S = (mod 6) 6 i S =6 i 0 (mod 6), S modulo a 1,a 2,,a n 1 1, S = a 1 a 2 a 3 a 4 + a 2 a 3 a 4 a a n a 1 a 2 a 3 =0 n4 S 1 1 a 1,a 2,,a n,4 n S 4, S =0, S4 a i +, a i a i, 4
35 a i a i a i S4, S4 (+, ) (4, 0) (0, 4) 4 4 (3, 1) (1, 3) 2 2 (2, 2) (2, 2) S =0,4 S, a i + 4 S a i 1 S 1, n S = n 4 n a 1,a 2,,a 100 a n, a m a 2 n n a 2 m a m a2 m m a 2 n a n a m m a n a n n a m, i =20, 40, 60, 80, 100 a i = 1 i 5 a i =1,?,,, a n, a m a n, a m, a n n + a m a 2 m = n a2 m + a m a 2 + m a2 n + a n na m ma n m ma n na m n = a n n + a m m, S = a a a (a n,a m ) (a n,a m)
36 148 S = i i 1 i ( ) S = 100 i=1 a i i, a i Z ( ) 5,( ) 5 3,( ) 5 2, x, n, [nx] > [x] 1 + [2x] 2 + [3x] [nx] n [t]t (: [π] =3,[ 2]=1) S 1, 0, 1 f : S Sf(x) = x 1 x f (1) (S) f (2) (S) f (n) (S) = φ (, f (n) fn ) f q = x2 1 = q2 p 2 p x pq q 2 p 2 pq f(x) x 1 (q =1 f p = 1 p2 p 1 ) f(s) f 2 (s) = φ
37 x i, s = x i > 0 x, y, z y<0,(x, y, z)(x + y, y, y + z) y<0? 5 f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 )= (x i x i+2 ) 2, i=1 x6 = x 1 x 7 = x 2 y = x 4 < 0,(x 3,x 4,x 5 )=(x 3 + x 4, x 4,x 5 + x 4 ) f, f f = = 2 5 (x i x i+2) 2 i=1 5 (x i2 x 2 i ) 2 i=1 5 (x i x i+2 ) 2 i=1 5 (x ix i+2 x i x i+2 ) i=1 = 2(2x x 3 x 4 +2x 5 x 4 ) = 2sx 4 < 0 2(x 1 x 4 2x 2 x 4 +(x 3 + x 4 + x 5 )x 4 2x 1 x 4 + x 2 x 4 ), f f, f f, 11,
38 150 1 n, a + b =2c a, b, c n n n, ,2 242, 242-1? n 1, n, n +1 (n 1) 4 + n 4 +(n +1) 4 =3n 4 +12n k , {X n }, {Y n } X 0 =1, X 1 =1, X n+1 = X n +2X n 1 (n =1, 2, 3,) Y 0 =1, Y 1 =7, Y n+1 =2Y n +3Y n 1 (n =1, 2, 3,) X : 1, 1, 3, 5, 11, 21, Y : 1, 7, 17, 55, 161, 487, 1
39 n,6 n +1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6 A, B, A B f : N N (N ) (i), (ii), (iii) (i) f (ii) m, n N f(mn) =f(m)f(n) (iii) m = n m n = n m f(m) =n f(n) =m f(30) (ii) f(30) = f(2)f(3)f(5) f(2), f(3), f(5) () f f(n) n,2 4 =4 2 (iii) f(2) = 4 () f(3) f(8) <f(9) f(3) 2 >f(2) 3 =8 2, f(3) > 8 f(243) < f(256) f(3) 5 <f(2) 8 = < 10 5, f(3) < 10 9, f(3) = () f(5) f(24) <f(25) f(5) 2 >f(2) 3 f(3) = 24 2, f(5) > 24 f(125) <f(128) f(5) 3 <f(2) 7 = < 26 2, f(5) < 26, f(5) = 25 f(30) = f(2)f(3)f(5) = 900 f(n) n 2?
40 a 1 a 2,a 3,, 12345, , , ,,9,, (2 )5(5 ) 1, 3, 7,17mod 3 1 3mod 3 0,1 73 mod 3 1 3, 1 7,3 a 1 = p (> 10), a n+1 =10a n +3, mod p, a 1 0(modp), p10 a k 0(modp), a k, , 2, 3,,27,,, 3?
41 , 2, a, b2 k n 1,n 2,,n k (a) n 1 = a, n k = b, (b) n i n i+1n i + n i+1 (1 i<k) a b ab (i) a a (ii) a b b a (iii) a b, b c = a c (i)k =1, (ii) n 1,n 2,,n k (iii)a b b c a = n 1,,n k = b = n 1,,n k = c, m i = 1 (b) n in i+1 n i n i + n i+1 1 n i n i+1 = n i + n i+1 = n i +n i+1 n i n i+1 n i n i+1 1, 1 n n m 1,m 2,,m k
42 154 (a ) m 1 = 1 a, m k = 1 b, (b ) m i + m i+1 1 n (1 i<k) (1) n n(n 1) 1 n + 1 n(n 1) = 1 n 1 (1 ) kn n(n k) 1 kn + 1 n(n k) = 1 n k (, n>k) 1 (2) n(n 1) n(n 1)(n 2) n(n 1) + 1 n(n 1)(n 2) = 1 n(n 2) (2 ) n(n 1) (n k) n(n 1) (n k 1) (, n>k+1) (3) n(n 1)(n 2) n(n 2) 1 n(n 1)(n 2) + 1 n(n 2) = 1 (n 1)(n 2) (4) n 2n n n(n 1) n(n 1)(n 2) n(n 2) 2n (5) 2n(n 1) (n +1)n(n 1)(n 2) (n +1)(n 2) + 2 = n(n 1), n (1) n(n 1) (4) 2n(n 1) (5) (n +1)n(n 1)(n 2) (2 ) (n +1)n(n 1) (2) (n +1)n (1) n +1 n n +1 a<b a a +1 a +2 b R, ar 2 + br + c dr 2 + er + f 3 2 < R 3 2 a, b, c, d, e, f
43 R 3 2 0, R = 3 2 0, a 3 4+b 3 2+c =2d + e 3 4+f 3 2 a, b, c, d, e, f a = e, b = f, c =2d 2, R 3 2, er 2 + fr +2d dr 2 + er + f 3 2 < R 3 2 (e d 3 2)R 2 +(f e 3 2)R +(2d f 3 2) dr 2 < R er + f (R 3 2) (e d 3 2)R +(f d 3 4) dr 2 < R er + f, R 3 2 (e d 3 2)R +(f d 3 4) < dr 2 + er + f, 3 R>0, d, e, f, (e d 3 2)R +(f d 3 4) <er+ f<dr 2 + er + f, e>d 3 2, f > d 3 4, (d, e, f) =(1, 2, 2)
44 n m, m m,, I,, m, n 6 2m <n (a) n, I m, n (b) I n, m =3 n I = n (a) mn n m, I, ( ) m 1 2 2(m 1) I max = 1 n 2(m 1) = n(m 1) 2 (b) I n P i 2, Q i (i =1, 2,,n), P i = P j Q i = Q j ( ), P i Q i ( ) I n ( ) : P i = P j, Q i = Q j Q i = Q j P ip j, P j P i Q i, P j P ip j P j P i nn =2q I = n q A A q B, AB
45 q 2q, q A, B I a 2 + b 2 + c 2 = a 2 b c/d (d <100) k c = k 73 (k =1, 2, 3,,99) d 100, [x]x n, n, n n,? n 1,n 2,n 3, n k+1 >n nk (k 1) 1, 2, 3, 4,
46 158,? n k n k n k k, n k+1 >n nk k +1>n k, n k = k? n k+1 n nk, a 2,a 3,a 4, n 2,n 3, n k+1 >n nk, n 1 n 1 (n 1 ) n 1 n 2 1,n 3 1,n 4 1, n k = n k+1 1 n k+1 = n (k+1)+1 1 >n nk+1 1=n n k +1 1=n n k,, n 1 = n 2 1, n 2n 3,n 4,,, n k, P, Q ABCD, PAQ < 60
47 , ( ) A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD, CD 1
48 160
49 x 7 2x 5 +10x 2 1= a, b, c, d, a 2 + b 2 =2 c 2 + d 2 =2 ac = bd a 2 + c 2 =2 b 2 + d 2 =2 ab = cd a 2 c 2 = b 2 d 2 =(2 a 2 )(2 c 2 )
50 162 a 2 + c 2 =2 b 2 + d 2 =2 b 2 = c 2, a 2 = d 2 a 2 b 2 = c 2 d 2, ab = cd, ac = bd a, b, c, d ab = cd, (a 2 + b 2 2) 2 +(c 2 + d 2 2) 2 +2(ac bd) 2 =(a 2 + c 2 2) 2 +(b 2 + d 2 2) 2 +2(ab cd) 2, 0 0, n 3 3 1/4 ( ), (3 ), WLOG, x, 1 y, 1 z (xyz 1) x, y, z,?
51 xyz, yz, zx, xy 1 xyz = yz + zx + xy +1, 1 = 1 x + 1 y + 1 z + 1 xyz x y z x =1 x 2 1 x 1 y 1 z > 1 xyz, 1= 1 x + 1 y + 1 z + 1 xyz < 1 x + 1 x + 1 x + 1 x = 4 x x<4 x = 2 or 3 x =3 2 3 = 1 y + 1 z + 1 3yz < 1 y + 1 y + 1 3y = 7 3y 1 2y <7, y =3 3 = 1 z + 1 9z = 10 9z, z = 10 3 x =2 1 2 = 1 y + 1 z + 1 = yz =2z +2y +1 = (y 2)(z 2) = 5 2yz (y 2,z 2) = (1, 5), (x, y, z) =(2, 3, 7) xyz 1= n 3 t(n), n ( ) : t(3) = 1 : n n t(2n 1) t(2n) = x 3 +2y 3 +4z xyz =0 (x, y, z) =(0, 0, 0) mod7 n n 3 0, ±1 (mod7) (1) (x, y, z)(0, 0, 0) x + y + z (A) x, y, z 7 2y 3 +4z 3 0 (mod 7) x 3 +4z 3 0 (mod 7) x 3 +2y 3 0 (mod 7)
52 164 (1) mod x 3 y 3 0, x, y, z 7 ( x 7, y 7, z 7 ), (x, y, z), x, y, z 7 (B) x 3,y 3,z 3 ±1(mod7) n 1, 2, 3 n 3 1 (2) z 3 1 x, y, z, z (mod7) mod 7 x 3 +2y 3 +4+xyz 0 (mod 7) x 3 y 3 1 xyz 0, (x 3,y 3 ) ( 1, 1), ( 1, 1), (1, 1) xyz 1, 2, 3 n 3 1, x 3 y 3 z 3 1, x, y, z 1, 2, 3 xyz 1, 2, 3 1 x 3 y 3 z 3 (xyz) 3 1 WLOG,, P P,, v, e, f e 3v 6, 2e, 3, 3f, 2e 3f
53 P v e + f =2 f =2 v + e 2e 3(2 v + e), e 3v T,,,, T 1, 2, 3 1, 2, 3, T, 1, 2, 3 [ ] 1, 2, 3 T i 12-(12 ) a i, a = a i T 12- a, T 12- a T 3 12-, , a , , 12-, a 123-,, 322
54 <m<3 y =(m +1)x m ,1 1000,,,, 1000?,, [ ] n>2, n n, 1000 d>2 (0,d] d d + kd kd, (0,d], (d, 2d], (2d, 3d],, (1000 d, 1000] d 1000 d d ,2 500,, 0 [ ]
55 n>2 n = 1 n k [1,n/2) nk nn k(= k ), k k (n/2,n 1], n>2, n n/2 nn/2(> 1), n n a 1 <a 2 < <a n n, [0, 1] a, b, c a b + c +1 + b c + a +1 + c +(1 a)(1 b)(1 c) 1 a + b +1, a + b + c x, y f (1) f(x, x) =x (2) f(x, y) =f(y, x) (3) f(x, y) =f(x, x + y), f gcd
56 ,, A A (, ), P, Q P, Q,, ( ) 100 Z, Z 100 A, A A A A A X, A A X A A A A,,, 100, , , 100
57 x 1,x 2, y 1,y 2, : x 1 = y 1 = 3, n 1 x n+1 = x n + 1+x 2 n, y n+1 = 1+ 1+yn 2 n>1 2 <x n y n < 3 y n ,??,,
58 170?, MathLetter proposal MathLetter 59(19963, 4) , a, b, c a P 60 3d, e d, eb, c B, C, PBC a A ABC, P, 332
59 AB C AB, AC, CB k 1, k 2, k 3 k 2k 3 k 2, k 3 D, E C AB k 1 F FDCE 1 D, C, E FDCE F DECF M MC = MD = ME M CDE DCE DE ADC, CEB AC, CB, ADBE, F k 1 F DCE F F, F, F F C k 1, CF CF F F DCF = CDE, F DCE F DCECD DCF = CDE, DCF DCF, F F
60 172 2 F ( 161 ) ABCD, BD < AC EF ABCD, BCAD, LM ACBD LM EF = 1 AC 2 BD BD AC sin 2 kπ k= n f(n) = 4sin 2 kπ 2 n+1 3 k=0, n? (n 1) 2 n f(n) = ( 1) 2n sin 2 kπ 2 n+1 = = 2 n k=0 2 n k=0 k= cos kπ 2 n 1+2cos kπ 2 n
61 n 2 (1) n =1 : 2 f(1) = 1+2cos kπ 2 k=0 = (1 + 2 cos 0) 1+2cos π (1 + 2 cos π) 2 = (1 + 2)(1 + 0)(1 2) = (1 2 2 )=3 (2) n =2 : 4 f(2) = 1+2cos kπ 4 k=0 = (1 + 2) 1+2cos π (1 + 0) 1+2cos 3π (1 2) 4 4 = f(1) (1 + 2)(1 2)=f(1)(1 2) = f(1) = 3 (3) n =3 : f(3) = 8 k=0 1+2cos kπ 8 = (1 + 2) 1+2cos π (1 + 2) 1+2cos 3π (1 + 0) cos 5π (1 2) 1+2cos 7π (1 2) 8 8 = f(2) 1+2cos π 1+2cos 3π 1 2cos 3π = f(2) cos 2 π cos 2 3π 8 8 = f(2) cos π = f(2) ( 1) 2 1+2cos π 4, (2) 1+cos 3π 4 1+2cos 3π 4 f(3) = f(2) f(2) f(1) = f(2) 1 2cos π 8 f(n +1) = f(n) f(2) = = f(n) f(n 1) f(1) = 1 ( )
62 174 ( ) f(n +1) f(n) = = = 2 n+1 l=0 0<l<2 n+1 l: 0<l<2 n l: 1+2cos lπ 2 n+1 1+2cos 1+2cos 2 n lπ 2 n+1 lπ 2 n+1 k=0 1+2cos kπ 2 n 2 n <l<2 n+1 l: lπ 1+2cos 2 n+1 (**) 2 n <l<2 n+1 l: lπ 1+2cos 2 n+1 = = 0<l<2 n l: 0<l<2 n l: 1+2cos (2n+1 l)π 2 n+1 1 2cos lπ 2 n+1, f(n +1) f(n) = = = 0<l<2 n l: 0<l<2 n l: 0<l<2 n l: 1+2cos cos 2 lπ 2 n = ( 1) 2n 1 0<l<2 n l: lπ 2 n+1 1 2cos 1+cos lπ 2 n 1+2cos lπ 2 n lπ 2 n+1 n 2 ( ), f(n +1) f(n) = f(n) f(n 1) (n 2),( ) f(n) f(n 1) f(n) = f(2) f(n 1) f(n 2) f(1) f(1) = ( 1) n 1 3 (n 2), f(1999) = ( 1) =3
63 ABC DEF AD, BE, CF AA = a, BB = b, CC = c A, B, C A BC, B CA, C AB M, M ABC d, 1 a + 1 b + 1 c = 1 d , 2, 3,, 2000 ( ) (+) ( ) 4, 4 4 4,
64 176 ( ),,, ( ), ( ) ( ) 4 4 0, 1, 2, 3, 4,2 2 16, 2 0,1 ( ), (+, +) : 0 (, ) :2 (+, ) :1 (, +) : 1, ( ) 1( ) 0( ), , , ( ), 0 1 ( ), ( ), 4 4 0, 1, 2, 3,
65 n (a i ), (b i ),, (z i ) 0 a 1 b 1 z 1 + a 2 b 2 z a n b n z n a 1b 1 z 1 + a 2b 2 z a nb n z n, (a i ), (b i ),, (z i ) (a i), (b i ),, (z i ) a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n := a 1 b 1 z 1 + a 2 b 2 z a n b n z n z 1 z 2 z n a 1 a 2 a n a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n b 1 b 2 b n z 1 z 2 z n z 1 z2 zn ( ),, a i a 1 <a 2 < <a n, c j >c k (j<k) j k, a j a k b j z j b k z k a j <a k c j >c k
66 178 a j < a k < c j > c k > a j a k < c j ḳ > c, 2 a j c j a k c ḳ a j < ḳ c >, <, (b i a k c j ) (c i ),, (z i ), ( ) n n 1 k k 2 k=0 k
67 C 1,C 2,,C 99, n S n : ( P ) C ic j (1 i, j 99), C i C j S, C j C i S 99m(> 0) nm, n(m) C 1,,C m P n(m) S, C 1 = {x 1 },,C m = {x m } S n(m) <m 1 S C i, C i P, n(m) m 1 n(m) =m 1 m m =1, 2 m m +1 C 1,C 2 a, a a (a- )m 1, (ā- )m 2 (m 1 + m 2 = m +1,m 1,m 2 > 0) (1) a- ā- a, (2) a- P m 1 1 S 1, (3) ā- P m 2 1 S 2, S = {a} S 1 S 2 S 1+(m 1 1) + (m 2 1) = (m +1) 1,(m +1) 1,
68 n a 1,,a n x 1,,x n () a 1 a 2 a n () x k x n (k =1,,n 1), (a 1 + x 1 a 2 )(a 2 + x 2 a 3 ) (a n 1 + x n 1 a n )(a n + x n a 1 ) a 1 a 2 a n (x 1 +1)(x 2 +1) (x n +1),, b i = a i /x i [ ] (b 1 + a 2 )(b 2 + a 3 ) (b n 1 + a n )(b n + a 1 ) (b 1 + a 1 ) (b n + a n ), 0<a 1 a n,0<b k b n (k =1,,n) (b j + a k )(b n + a j ) (b j + a j )(b n + a k ) (1 j<k n) b j b n, a j a k - (j, k) =(1, 2), (2, 3),,(n 1,n) (b 1 + a 2 )(b n + a 1 ) (b 1 + a 1 )(b n + a 2 ) (b 2 + a 3 )(b n + a 2 ) (b 2 + a 2 )(b n + a 3 ) (b n 1 + a n )(b n + a n 1 ) (b n 1 + a n 1 )(b n + a n ) (b n + a 2 ) (b n + a n 1 ) (a, b, c, d), a, b, c, d a>b>c>d>1, a! d! =b! c!
69 (1999KMO ) N, f : N N?, (1) f(2000) = 1999, (2) n, f(n),f(2n),f(3n),,f(kn),, (3) f(f(n)) = 1 11 (3) (2),(1) p, q2 t f(pq t )=q, f(2000) = 1999 f(n) = ABCD [ ] (1) A B C D ABCD 1/9 (2)
70 182
71 4 4-1 A B A B A B? 4-2 n a 1,a 2,,a n f(x) =a 1 sin x + a 2 sin 2x + + a n sin nx x f(x) sin x a 1 +2a na n (1) i =1, 2, 3, P i = x i(i 1) <x 2 i(i +1),x 2, i = j P i P j = ( )
72 184 (2), f f(m, n) = 1 (m + n 2)(m + n 1) + m 2 f(m, n) =f(p, q) m = p, n = q 4-4 T n T 0 =2, T 1 =3, T 2 =6, T n =(n +4)T n 1 4nT n 2 +(4n 8)T n 3 (for n 3) 2, 3, 6, 14, 40, 152, 784, 5168, 40576, {A n }{B n } T n = A n + B n T n, T n
73 5 1 11,, 11 5, 6, 6, 5 5 6, 6 6 (1) 11 = (2), 7 (3), (1)
74 186,, , = 252 5,,,, 2 A, B, C 25 A B C 2, A A A, C, B?, A B C a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 0,1 (A, B, C) = (0, 1, 1) a 3A c B C a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 =25 (1) a 2 + a 3 =2(a 1 + a 3 + a 5 + a 7 ) (2) a 4 =(a 5 + a 6 + a 7 )+1 (3) a 4 = a 1 + a 2 (4) a 1 1 (5) a 2 a 5 + a 7 a 5 + a 7 = b
75 187 a i, (2)a 2 =2a 1 + a 3 +2b (1)a 2 1 (4) a 4(1) a 2 2 (3) a 6 + b (1) a 4 3 3, 2, 1 (1) a 1 + a 2 + a 3 +2a 4 =26 3a 1 +3a 2 + a 3 =26 9a 1 +4a 3 +6b =26 (1 ) a 1 (5) a 1 1, (1 ) 9 3 > 26 a 1 < 3 a 1 =2 4a 3 +6b =8 (a 3,b)=(2, 0), a 2 =2a 1 + a 3 +2b = =6,,, 3 4 A, B, C, D, k 1 B, C, D, k 2 A, C, D, k 3 A, B, D, k 4 A, B, C B k 1k 3 C k 2k 4,,
76 188 5 A, B, C n>ν ν An 2 + Bn + C<n! ν An 2 + Bn + C<n 3 n! ν> A, B, C, 3 ν = A + B + C +3, 6 1 2,, 7 0 <p<q, a, b, c, d, e [p, q], 1 (a + b + c + d + e) a + 1 b + 1 c + 1 d p q e q p,, : p, q 8 K 1, K 2 AB ABK 1 K 2 K 1 P T- (, ), CDAB CPD K 1 C, D
77 189 9 f : n, f(1) = 1,f(3) = 3, f(2n) =f(n), f(4n +1)=2f(2n +1) f(n) f(4n +3)=3f(2n +1) 2f(n) f(n) =n 1988 n f(n) =n 10 nn 3 2n 1 E E k,, E n k k k 11 Q + x, y f(xf(y)) = f(x) y f : Q + Q +, 12 A, B (1) 1 A, (2) A 2 k +2(k =0, 1, 2,),
78 190 (3) B 2 k +2(k =0, 1, 2,), 1988, 1989, 1990 AB, 13 n>1, a 1,a 2,,a nd (i) a k a k 1 = d for k =2, 3,,n, (ii) a i = b mi i for i =1, 2,,n m i (> 1) b i n =3 (a 1,a 2,a 3 )=(1, 25, 49) = (1 2, 5 2, 7 2 ) d =24 (1 2, 5 2, 7 2 ) (r 2, (5r) 2, (7r) 2,w) w (7r) 2 =(7r) 2 (5r) 2 w =73r 2 r =73 (a 1,,a n )=(b m 1 1,,bm n n ) n, n +1 1 rm,,b m n n r m,w)=((b 1 r m/m 1 ) m 1,,(b n r m/m n ) m n,w) (b m1, mm i m i r m n, w b mn n r m = b mn n r m b m n 1 n 1 rm, w =(2b mn n b m n 1 n 1 )rm, r =2b m n bmn 1, n n 1 n>1
79 a,(a 2 1)(b 2 1) = c (b, c) 15 f f(x) : x, f(x +1)=f(x)+1, 3 )=(f(x)) 3 n f(x + n) =f(x)+n ( ), 1 (y 3 ) (f ),? x, f NQ + p q Q+ (, p, q N) p 3 p 3 f q + q2 = f q 3 +3p2 +3pq 3 + q 6 p 3 = f +3p 2 +3pq 3 + q 6 q p p p f q + q2 = f q + q2 = f + q 2 q 3 2 p p p = f +3 f q 2 +3f q 4 + q 6 q q q
80 192 t = p p 3 3 p q ( ), f q 3 = f, q p(p + q 3 )=q 2 t 2 + q 4 t (qt p)(qt + p + q 3 )=0 qt + p + q 3 > 0 t = p p q, f q = p q 16 a m + a 1 a n + a 2 1 a m, n 3 1 x m + x 1=q(x)(x n + x 2 1) + r(x) q(x), r(x), x r(x) N(x n x +1)<Mx n 1 N, M m, n (Nr(x), M = nn ) x, x>m x>m x n + x 2 1 >x n >Mx n 1 > r(x) r(x), x n + x 2 1 r(x) 0, (x n + x 2 1) (x m + x 1) 2 m n x m + x 1=x m n (x n + x 2 1) + (1 x)(x m n+1 + x m n 1) (1 x)x n + x 2 1 (x n + x 2 1) (x m n+1 + x m n 1)
81 193 m n +1 n m 2n +1 0 (x m n+1 + x m n 1) x m 2n+1 (x n + x 2 1) = x m n x m 2n+3 + x m 2n+1 1 (x n + x 2 1) (x m n x m 2n+3 + x m 2n+1 1) f(x) =x n + x 2 1, g(x) =x m n x m 2n+3 + x m 2n+1 1 m n m 2n +3, m 2n +1 0, m =5,n =3( ) g(x) < 0 for all x (0, 1) f(0) = 1, f(1) = 1 f(x) (0, 1),(m, n) =(5, 3), x 5 + x 1 x 3 + x 2 1 = x2 x n 3,Γ 1, Γ 2,,Γ n 1 O 1,O 2,,O n 1 (n 1)π O i O j 4 1 i<j n O i Γ j 2x ij sin x ij = 1, x ij > 1 O i O j O i O j x ij = x ji, 1 i<j n x ij (n 1)π 4 ( ) O i (O i ) H k O 1 O k, O k+1,,o n H
82 194 (1) H O i (i>k), Γ j 2x ij 2x ij, 4x ij, 4x ij < 2π (k <i n) j(=i) 1 2 2x ij < (n k)π (1) i>k j=i (2) H O i (i k) O i Γ j 2x ij, O i H y i 2x ij <y i + x i(i 1) + x i(i+1) (1 i k, x 10 = x 1k ) j(=i)
83 195 H yi =(k 2)π 2x ij < (k 2)π + i k j=i 1 i k 2x i(i 1) 2x i(i 1) (1) 4x i(i 1) 2π 1 i k, 2x ij < (k 1)π (2) i k j=i (1), (2) 4x ij = 2x ij < (n 1)π i<j i=j ( ),,, 18 n n, n n,,, 19 x i? n x1 + + x n x 1! x 2! x n!! n (, [y]y )
84 196 x i 0 n x i 1 f(n) =ln(n!) f(n +1)=f(n)+ln(n +1) ln(n +1) (1,f(1) (2,f(2) (n, f(n) F F Jensen F (x 1 )+ + F (x n ) n x1 + + x n F n x i F (x i )=f(x i )=ln(x i!), F (x) F ([x]) = f([x]) = ln([x]!), x1 + + x n ln(x 1!) + +ln(x n!) n ln! n ln (F x i ),,, 2 (A) n =2 t n =1 ( ) n =2 x 1, x 2 m x 1 =[m]+d + e, x 2 =[m] d (e =0 1), x 1! x 2! ([m]!) 2 ([m]+d + e)! [m]! [m]! ([m] d)! ( d = e =0,x 1 = x 2 ) n = k n =2k n =2 x 1! x 2k!=(x 1!x 2!)(x 3!x 4!) (x 2k 1 x 2k )! 2 2 x1 + x 2 x2k 1 + x 2k!! =(1) 2 2 x i, x 2i 1 + x 2i,
85 197 x 1 + x 2, 2 x1 + x 2 x3 + x 4 x2k 1 + x 2k (1) =!!! x1 + x 2 =! x x 4 + x 2k! x2k 1! x1 +x x 3 +x x 2k 2k 1+x 2k 2! =(2) k,[x + n] =[x]+n, n = x n (x, n ) x1 +x 2 + +x 2k 2k 2k 2 x1 + + x 2k (2) =! =! k 2k n =2k (1) x 2i 1 = x 2i (2) x 2i 1 + x 2i x i (B) n = k +1 n = k m = 1 k (x x k ) x k+1 =[m], n = k +1 k+1 x1 + + x k +[m] x 1! x k! x k+1!=x 1! x k![m]!! =(3) k +1 (3) = [x] k+1 [km + m]! =([m]!) k+1 k +1 x 1! x k! ([m]!) k n = k x i (A), (B) - (backward induction) n, x i,,, 20 a, b, c 1 a + 1 b + 1 c =1 a + bc + b + ca + c + ab abc + a + b + c
86 198 1 a = x, 1 b = y, 1 c = z xyz, x + y + z =1 yz + x + zx + y + xy + z 1+ xy + yz + zx yz + x x + yz, xy + z z + xy, zx + y y + zx z =1 x y xy + z = xy x y +1= (1 x)(1 y) = (z + y)(z + x) (z + yx ) 2 = z + xy,, 21 N = {0, 1, 2,} x, y N xf(y)+yf(x) =(x + y)f(x 2 + y 2 ) f : N N 1 f(x) c xc + yc =(x + y)c f f(y) f(x) > 0 f(y) f(x), (x + y)f(y) >xf(y)+yf(x) > (x + y)f(x), (x + y) f(y) >f(x 2 + y 2 ) >f(x) f(x 2 + y 2 ) f(x) > 0 f(y) f(x), f 2 [ 1] g(x) f(x) f(0) g(0) = 0, g(x) f(0) xg(y)+yg(x) =(x + y)g(x 2 + y 2 ) f
87 199 [ 2] y =0 x>0 g(x 2 )=0 g(1) = g(4) = 0, x = y =1 g(2) = 0, (x, y), x 2 + y 2 = z 2 z (x, y) g(y) = y x g(x) ( ) (x, y) =(3, 4) g(3) = 0, g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = 0 [ 3] x =2n>4 x =2n +1> 4, (x, y) =(2n, n 2 1), (x, y) =(2n +1, 2n 2 +2n) y>x, x>4 ( ) y(> x) [ 4] g g(x 0 ) = 0x 0 > 4 ( ) g(x i+1 )= (x i+1 /x i )g(x i ) x 0 <x 1 <x 2 < g(x i+1 ) > g(x i ), g g(x i ) < f(0) x i g(x) f(0) [ 5], g, f 1 f 3 f f(0) = k, S = {x N : f(x) =k} y =0 f(x 2 )=k, x 2 S (1), x 2 + y 2 = z 2 x S y S (2),2 2n =(2 n ) 2 S, x = y =2 n 2 2n+1 S, n 2 n S (3) n p(n) n p(n),( ) [ ] x 1 > 1, x 12 t x 1,x 2,,x r (a) x 2 i + x2 i+1 (i =1, 2,,r 1) (b) p(x 1 ) p(x 2 ) p(x r )=2
88 200 x 12 n = x 1,x 2,,x r p(x r )=2 x r2, (3) x r S (2) x 1 S x 2 S x r S, n = x 1 S SN
2
rev 2004/1/12 KAIST 2 6 7 1 13 11 13 111 13 112 18 113 19 114 21 12 24 121 24 122 26 13 28 131 28 132 30 133 (recurrence) 34 134 35 4 2 39 21 39 211 39 212 40 22 42 221, 42 222 43 223, 45 224 46 225, 48
1 1,.,
,.,. 7 86 0 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 70 7 7 7 75 74 7 7 7 70 79 78 77 76 75 74 7.,. x, x A(x ), B(x ) x x AB =x -x A{x } B{x } x >x AB =x -x B{x } A{x } x =[ -x(xæ0) -x (x
2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3,
(M 2 ) 2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3, 3,,, 2003 8, 4 1 7 11 8 12 26 2 39 21 40 22 54 23 67 24 80 3 93 31 n! 94 32 101 33 115 4 131 41 132 6 42 146 5 163 51 164 52 180 1 8 11 4 4?!,? 2??,?
10-2 삼각형의닮음조건 p270 AD BE C ABC DE ABC 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 2 -
10 단원 : 도형의닮음 10-1 닮음도형 p265 ABC DEF ABC DEF EF B ABCD EFGH ABCD EFGH EF A AB GH ADFC CF KL 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 1 - 10-2 삼각형의닮음조건 p270 AD BE C ABC DE ABC 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 2 -
-주의- 본 교재는 최 상위권을 위한 고난이도 모의고사로 임산부 및 노약자의 건강에 해로울 수 있습니다.
Intensive Math 극악 모의고사 - 인문계 등급 6점, 등급 점으로 난이도를 조절하여 상위권 학생들도 불필요한 문제에 대한 시간 낭비 없이 보다 많은 문제에서 배움을 얻을 수 있도록 구성하였습니다. 단순히 어렵기만 한 문제들의 나열이 아니라 수능에 필요한 대표 유형을 분류 하고 일반적인 수험환경에서 흔하게 배울 수 있는 내용들은 과감하게 삭제 수능시험장
3 x =2y x =-16y 1 4 {0 ;4!;} y=-;4!; y x =y 1 5 5'2 2 (0 0) 4 (3-2) 3 3 x=0 y=0 x=2 y=1 :: 1 4 O x 1 1 -:: y=-:: 4 4 {0 -;2!;} y=;2!; l A y 1
= =-6 {0;!;}=-;!; = 5 5' (00) (-) =0=0 == :: -:: =-:: {0-;!;}=;!; 0 l :: -:: =:: F 5 0cm =- = =- (0)=- =6 =0 =- (0)=- - =- {-;#;0}=;#; =- - =- (0)=- = =8 -:: :: =:: - =- 98 R l Q P B S r rb l Q P B lb
ÀÎÅͳÝ-°ø°£µµÇüÇØ
.. Q.... M M : M Q : Q M : //Q.,.. I FG FE F FG, HG EH H HG F G FG ;!;_F _FG ;!;_G _F ;!;_'_;!; F F... 5. 5. 6. 5 7. 0 8. 7 9. ' FG, HG H G, H F E G H '. FG HG F, H. FH ' FH ' ' {} +{} -(') cos h -;!;
#수Ⅱ지도서-4단( )
IV 4 3 4 5 5 exponent 3 3 Archimedes B.C. 87~B.C. Diophantos?00~?84 a m _a n =a m+n (mn=0y) Stifel M. 487~567 Arithmetica integra y-3--03y y ;8!; ;4!; ;!; 48y Stevin S. 548~60 xx x ()()(3) x ;!; x ;3!;
121_중등RPM-1상_01해(01~10)ok
1-01 00 11 03 1804 4 05 3506 45 07 5 65 0001 000 0003 0004 0005 01 4 4 6 5 6 9 Í = + =,, Í=Í=Í = = Í Í Í,, 0006 0007 0008 0009 0010 0011 001 7c 5c 3, 3 3, 6, 6 +50 =180 =130 130 +90 +30 =180 =60 60 =60
Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, =0.04, (-0.) = , =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, , -0. 8, -8 6, '7 ' '
0 06 0 4 4 9 4 8 5 40 45 5 57 Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, -6 0-0. =0.04, (-0.) =0.04 0.04 0., -0. 8 =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, -7 0. 0., -0. 8, -8 6, -6 0-7 7 '7 ' 0.5 0.5 -' 0.5 ;!; ;!; æ;!; '7 '
( )EBS문제집-수리
www.ebsi.co.kr 50 024 www.ebsi.co.kr 025 026 01 a 2 A={ } AB=2B 1 4 B a 03 æ10 yæ10 y 10000 y (log )( log y) Mm M+m 3 5 7 9 11 02 { -2 1} f()=-{;4!;} +{;2!;} +5 Mm Mm -21-18 -15-12 -9 04 a =1a«+a«=3n+1(n=1,
수리 영역 가 형 5. 다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 개가 한 모서리씩을 공유하 면서 각 면이 평행 또는 수직 관계를 유지한 채로 한 평면 위에 놓여있 다. 그림의 세 꼭짓점 A, B, C에 대한 두 벡터 BA 와 BC 가 이루는 각 의 크기를 h라 할 때,
제``교시 수리 영역( 가 형) 시간:00분 점수:00점 성명 수험 번호 쭚 반드시 본인이 선택한 유형( 가 형 또는 나 형)의 문제인지 확인하시오. 쭚 문제지와 답안지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오. 쭚 MR 답안지에 성명, 수험 번호, 응시 유형 및 선택 과목, 답 등을 표기할 때에는 반드시 수험생이 지켜야 할 사항 에 따라 표기하시오. 쭚 문항에
중등수학2팀-지도서7
3 6~7 8~3 3 ª 33~37 4-38~39 40~45 4 46~53 5 54~58 3 59-60 ~6 6~63 64 VII. 4 9 (Klein F849~95) (rlangen Program) (group of transformation) ' O' =k O ' O k O ' O ' O ' ' ' ' (topology) = = O O' =k O ' '
2 A A Cs A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2
www.ebsi.co.kr 2 A A 1 133 Cs 1 11 1 A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2 www.ebsi.co.kr A B t B A ;2!;t v v= = (3_t)+(6_0.5t) v=4 m/s t+0.5t 3 m/s 6 m/s
A 001~A 036
4 3 2 0 8 91 0 1 2 3 4 5 6 08 09 00 01 02 03 04 18 19 10 29 20 22 23 39 30 31 32 33 48 49 40 41 59 50 69 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 7 10 13 1 2 3 4 5 6 rev. C C r C a f h f h L h h nrpm f h f n L C 3 P L
A y y y y y # 2#
0. 9 A 0 0. 0-0.5748 0 0.454545 04 0.4 05 0.5 06 0.4 07-0.555 08 0.9666 09 5@ 5@ 00 0.5 0 5 5 5@ 5 # # 7 0.07 0.5 0.55 4 0.5 5 0.06 6 7 8 \ 9 \ 0 \ 0.^ 40-.4^0^ 4 50.^5^ 5 55.0^5^ 6 0.4^857^4857 7 0.^8^8
°ø±â¾Ð±â±â
20, 30, 40 20, 30, 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.1 6.3 9.4 12.6 15.7 18.8 22.0 25.1 28.3 31.4 2.4 4.7 7.1 9.4 11.8 14.1 16.5 18.8 21.2 23.6 7.1 14.1 21.2 28.3 35.3 42.4 49.5 56.5 63.6 70.7 5.9 11.9 17.8 23.7
(001~042)개념RPM3-2(정답)
- 0 0 0 0 6 0 0 06 66 07 79 08 9 0 000 000 000 000 0 8+++0+7+ = 6 6 = =6 6 6 80+8+9+9+77+86 = 6 6 = =86 86 6 8+0++++6++ = 8 76 = = 8 80 80 90 00 0 + = 90 90 000 7 8 9 6 6 = += 7 +7 =6 6 0006 6 7 9 0 8
파이널생명과학1해설OK
EBS EBS 00 Finl E d u c t i o n l B r o d c s t i n g S y s t e m CO A B A~C CHON CHONP N.5 % 86.5 % 5.... 5. 6.. 8. 9. 0..... 5. 6.. 8. 9. 0. X Y X X 6 G DNA DNA S (A) (B) G DNA DNA (A)=; ;=;6!; (B)=;
13일등예감수학1-1정답(077~120)
- ~8 0 00,,, 00,, 8, 9, 0 00 00,,, 9 00,,,, 9 00 00 008 009 0 00 8 0 0 fi 0 0 0 9fi 0 0 fl 08 _ 09 _ 00 _ _ 0 _ _ 0 { } ~ 0 _ _ 0 0 _ _ fi _ 0,, 0,,, 8 08,, 9 09, 00,,,,, 8,, 0,,, 0,, 0 0 0 0 0 0, 0, 08,,
0 cm (++x)=0 x= R QR Q =R =Q = cm =Q =-=(cm) =R =x cm (x+) = +(x+) x= x= (cm) =+=0 (cm) =+=8 (cm) + =0+_8= (cm) cm + = + = _= (cm) 7+x= x= +y= y=8,, Q
. 09~ cm 7 0 8 9 8'-p 0 cm x=, y=8 cm 0' 7 cm 8 cm 9 'åcm 90 'åcm T T=90 T T =" 8 - =' (cm) T= T= _T _T _'_ T=8' (cm ) 7 = == =80 -_ =0 = = _=(cm) M = = _0= (cm) M M =" - = (cm) r cm rcm (r-)cm H 8cm cm
기본서(상)해답Ⅰ(001~016)-OK
1 1 01 01 (1) () 5 () _5 (4) _5_7 1 05 (5) { } 1 1 { } (6) _5 0 (1), 4 () 10, () 6, 5 0 (1) 18, 9, 6, 18 1,,, 6, 9, 18 01 () 1,,, 4, 4 1,,, 4, 6, 8, 1, 4 04 (1) () () (4) 1 (5) 05 (1) () () (4) 1 1 1 1
Unknown
0 THEME!!!_!_!_!_!=_6=8 pp. ~8!!!_!=70 0, P =_=, 0, _=9, _=9,, +9+9=0 6 6!=70, f, l, w, r P _!= =88 70-88= THEME (-)!=!!!_!=6 (-)!=!!!_!= 6 (-)!=! 6_!=6_= 6 (6-)!=!=0 0_=60, 6! 6 = =60 _ e, t l, r 6! =80!!
Áß2±âÇØ(01~56)
PRT 0 heck x=7y=0 x=0y=90 9 RH RHS 8 O =8 cmp =6 cm 6 70 7 8 0 0 0 SS 90 0 0 0 06 07 08 09 0 cm 6 7 8 9 0 S 6 7 8 9 0 8cm 6 9cm 7 8 9 cm 0 cm x=0 y=00 0 6 7 9 8 9 0 0 cm 6 7 8 9 60 6 6 6 6 6 6 7 8 7 0
LTUR Q X 01 LTUR LTUR K 6 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, b= =: :=8.5 a+b= cm , = =: 7 := a+b+c 0 =1 a+b+
우공비 중등 수학 (하) 특강편 SLUTIN LTUR K WRK K 0 LTUR Q X 01 LTUR LTUR K 6 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10 8+9 b= =: :=8.5 a+b=17.5 17.5 1 159 cm 6 9 58 6, 7..5 01 = +0+1++++ 7 =: 7 := a+b+c 0 =1 a+b+c=6 6+8+1 =:
II 2 72 90 % 0 % 74 80 % 80 % 90 % 0 % 00 90 0 80 % 0 80 % 8 20 % 9020 % 8 268 ;2 6;=0307y 3 % (90) 72 8 (0) 2 8 74 26 75 0 02 2 5 25 A B AB AB pq A B p+q 2 5 5 2 np r =n(n-)y(n-r+) np r n! nc r = 2 =
금안13(10)01-도비라및목차1~13
ISSN 1975-667 13. 1 13. 1 1 1 8 8 6 6 5 5 1, 3.8 8 6 1.7 1.9 5 3.8 1 1 5-5 -1-1 5-5 6 3 67.7 3 1 8 65. 96.1 96.9 1 8 5 5 188.5 15 17.7 15-1 -.1 -.3 -.9-1 - -1.7 - -3-3 - - -5-5 -6-5.5-6
14일등예감수학2-2교사(001~026)
9 8 8 9 0 0 09 0 9 8~9 / [~] [~] [0~] 0 [~] 0 00 00 [~9] 8 9 8 0 00 00 0~ / [~] [~] 8 8 0 0 8 9 0 - ~ / [~] [0~] 0 0 [~9] [~] 0 8 8 9 0 0 - ~ / [~] 8 9 0 [~] ~ /0 8 0 9 0 0 0 8 0 8~9 /0 0 ;#; 0 0 0 8
수-적분2-1(126~153)eps교
.. 0 0 6 03 04 (+x)«05 7 06 84~93 «P ~5 94~96 «H 6~7 97 8 98~0 03 04~05 06 07 9 ~0 ~3 07 6~7/3 94~96 «H 3 8 08 8 64 6 Brahmagupta598670 n n(n-)(n-) y BhaskaraA485 n k n(n-)(n-) y (n-k+) k(k-)(k-) y 7 Pascal
, _ = A _ A _ 0.H =. 00=. -> 0=. 0= =: 0 :=;^!;.0H =.0 000=0. -> 00= 0. 00= =: 0 0 :=;()$; P. 0, 0,, 00, 00, 0, 0, 0, 0 P. 0.HH= = 0.H =0. 0=. -> =0.
0 P. 8 -, 0, -, 0. p 0 0., 0., =0. =0.., 0., 0., 0., =. =0. =0. =0. P. 0,.8 0.H 8, 0.H8,.H, 0.HH,.HH, 0.H, 0.HH 0.8 0.. 0. 0, - p k k k 0.=0.H 8 0.888=0.H8.=.H 0.=0.HH.=.HH 0.=0.H 0.=0.HH P., 0.H, 0.HH,
0 000., 000 0., 000-0., 000 0.666, 0 0.H6 0 0 0.0H8 0 06 07 08 9 09 6 00 0.H 0.H8 000 0.87, 0006-0.66, 0007 0.8, 0008 0.097, 0009 6, 0.H6 000,.HH 0 00
~9 0~6 0 0 0 7 0 0 0 06 6 07 6 08 69 09 78 0 8 9 0 0 0 000., 000 0., 000-0., 000 0.666, 0 0.H6 0 0 0.0H8 0 06 07 08 9 09 6 00 0.H 0.H8 000 0.87, 0006-0.66, 0007 0.8, 0008 0.097, 0009 6, 0.H6 000,.HH 0
3 g.06 g > 3.06>3 < 3+.06< { }< 歯Ky2002w.PDF
1 geometry geometrein (geo :, metrein : )., (thles of miletus),.. < >,. 17 18. (nlytic geometry ),. 17. 18 2. 18 (differentil geometry ). 19 (priori) (non- eucliden geometry ),,,. 2 E 2 3 E 3. E 2 E 3
경제학 최종마무리 박 태 천 편저 미시경제학 3 경제학의 기초 및 수요공급이론 제1회 01 기회비용에 대한 서술로서 가장 옳지 않은 것은? 1 욕구충족에 아무런 제약이 없으면 기회비용이 생기지 않는다. 2 예금하지 않은 현금의 보유에 따른 기회비용은 예금으로부터의 이자소득이다. 3 의무교육제도 아래서 무상교육은 개인적으로는 무료이지만,사회적으로는 기회비용이
(01-16)유형아작중1-2_스피드.ps
01 p.10 0001 000 61 0003 4 8 3 4 5 7 4 3 3 3 6 8 9 5 1 1 3 7 9 6 0 1 0004 4 0005 0006 3 0007 6 0008 30 0009 3 19 0010 10 ~14 14 ~18 9 18 ~1 11 1 ~16 4 16 ~0 4 30 0011 160 cm 170 cm 001 10 cm 5 0013 135
01 02 03 01 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 CO C CO C C CO 04 05 06 RNA DNA 07 A B C C B A 08 TMV TMV TMV TMV 09 02
w w w. e b s i. c o. k r 01 02 03 01 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 CO C CO C C CO 04 05 06 RNA DNA 07 A B C C B A 08 TMV TMV TMV TMV 09 02 10 ADH 11 A CO H O NH B AB 12 2 1 DNA 02 01 02 03 04 05
특목고 8-나 해설Ⅰ(001~024)OK
I II III I Step - - - - - - - - 8 - - 0 - - - 9 - - 9 - - 00-8 - 90 - - 80-0 8-0 - - - - - 0 0 0-0 - - 8 - - - 00 8-00 8-0 0 8 - ( 8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 a a b b aabb bbaa abba baab abab baba
dnu.pdf
ISODNU 1 ISO DNU/DNUL DNU DNUL 32 40 50 63 80 Gx G G Gy Gy G M10x1.25 M12x1.25 M16x1.5 M16x1.5 M20x1.5 M20x1.5 [mm] 19 21 23 23 30 30 4 [MPa] 1.2 [ C] 20 80 0.6MPa [N] 482 753 1178 1870 3015 4712 415 633
1
절대수학 검은 대장간 인문 Blacksmith Day 1 최석호 1. 그림과 같이 A B C D E의 다섯 개의 영역에 빨강, 노랑, 파 랑, 초록의 네 가지 색으로 색칠을 하려고 한다. 네 가지 색 중 한 색 은 두 번 사용하고 나머지 세 가지 색은 한 번씩만 사용하여 칠하는 데, 인접한 영역에는 서로 다른 색을 칠하기로 할 때, 색칠하는 방법 의 수를 구하시오.
HWP Document
CODE A00-B99 A00-A09 A00 KOR_TITLE 특정 감염성 및 기생충성 질환 창자 감염 질환 콜레라 A00.0 비브리오 콜레리 01 전형균에 의한 콜레라 A00.0 전형균에 의한 콜레라 A00.1 비브리오 콜레리 01 엘토르형균에 의한 콜레라 A00.1 엘토르형균에 의한 콜레라 A00.9 상세불명의 콜레라 A01 A01.0 장티푸스 장티푸스
1.기본현황 연 혁 m 본면은 신라시대 ~고려시대 상주목에 속한 장천부곡 지역 m 1895.5.26한말에 이르러 장천면(76개 리동),외동면(18개 리동)으로 관할 m 1914.3.1행정구역 개편으로 상주군 장천면과 외동면이 병합하여 상주군 낙동면 (17개 리,25개
목 차 1.읍면동 기본현황 2.지방세 징수현황 3.소규모 주민숙원사업비 집행현황 4.예산 집행현황 5.예산 미집행 현황 6.고액체납자 현황 및 징수(독려)현황 7.관외체납세 징수(독려)현황 8.특수시책 확인자 낙 동 면 장 김 진 숙 (인) 부 면 장 차 정 식 (인) 주 민 생 활 지 원 담 당 김 영 욱 (인) 민 원 담 당 전 용 희 (인) 산 업 담
( )서술특쫑 3학년해설_교사용.pdf
3 . 3 ab;ba;(b+0) 0 p. 00 ' 00="ç0 =0 "ç3.h9='4=" = ' 8=" 9 =9 9 ;5@; 30 4 0. 'ß -' 0. 3'6 4Æ;5#;!7'7 @' 49=" 7 =7' 49-'7 #(-5) =5(-5) ' 5=" 5 =5 a='7b=-'7c=5a+b+c=5 a+b+c=5 4 A D E F p. 0 0 993-3 9'9'9="
0
Kr 0 i 1 http://downloadcenter.nikonimglib.com/ 2 A 0 ii D A 0 iii 0 0 0 0 0 iv A http://downloadcenter.nikonimglib.com/ http://downloadcenter.nikonimglib.com/ v vi i i vii P S A M M viii ix R i i x D
+ F F P. = = = F = F F = = 0 cm =x cm =(x+)x x=0 =0 cm cm cm x cm = =0(cm) P. 0 x=y= x= cm FF cm 0 x= x= =x(0-x) x= 0 (+)=x x= (+)=y 0 y= x= x= = 0= 0
= = = = = - =-=0 0 F ==0 +=0 +F=0 =F ªF F = F =0 F =F = F = 0= x= x= y= y= z= z= x+y+z=++= x y z x+y+z = = ªSS = y` = = (cm) ª 0% 0% P. ªªªF =. =. =. 0 =. F =. =0 = F =. F = 0 F ªF F = =F = x=, y= x=,
A 0 D5-a (XQD Card Type) D5-b (CF Card Type)
Kr http://downloadcenter.nikonimglib.com/ A 0 D5-a (XQD Card Type) D5-b (CF Card Type) D A 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ii A http://downloadcenter.nikonimglib.com/ http://downloadcenter.nikonimglib.com/ iii i
목 차 1. 공통공시 총괄 1 2. 살림규모 6 2-1 세입결산 3 2-2 세출결산 5 2-3 중기지방재정계획 7 3. 재정여건 8 3 1 재정자립도 8 3 2 재정자주도 9 3-3 재정력지수 10 3-4 통합재정수지 11 4. 채무 및 부채 12 4-1 지방채무 현황
2014년도 연천군 지방재정공시 연 천 군 목 차 1. 공통공시 총괄 1 2. 살림규모 6 2-1 세입결산 3 2-2 세출결산 5 2-3 중기지방재정계획 7 3. 재정여건 8 3 1 재정자립도 8 3 2 재정자주도 9 3-3 재정력지수 10 3-4 통합재정수지 11 4. 채무 및 부채 12 4-1 지방채무 현황 12 4 1-1지방채발행 한도액 및 발행액 14
A n s w e r 4 0 0 20 13 40 13 14 1 13 14 15 16 17 20 % 13 13 5 13 2 47.0 ml 55.0 15.0 13 14 15 5.0 g/cm 1.8 kg B E A C 13 14 LNGLPGLNG LPG 15 << 13 A<
우공비Q 과학 2 (하) 정답 및 채움해설 빠른 정답 찾기 2~4 Ⅴ. 물질의 특성 1. 물질의 특성 ⑴ 5 2. 물질의 특성 ⑵ 9 3. 혼합물의 분리 13 Ⅵ. 일과 에너지 전환 4. 일 21 5. 에너지 27 Ⅶ. 자극과 반응 6. 감각 기관 39 7. 신경계 44 8. 항상성 48 13강 일차방정식의 풀이 1 A n s w e r 4 0 0 20 13
a b c d e f^xh= 2x 2 + ax a f^1+ hh -f^1h lim 6 h 0 h = " A B C D E A J an K O B K b 1O C K 1 1 c 1 0O D K O 0 d K O E Le 1
b c d e + + + + x + x f^+ hh -f^h lim 6 h h " A B C D E A J N K O B K b O C K c O D K O d K O E Le P - - 5 A B C D E A J N K O B K b O C K c O D K d O K O E Le P f^+ hh - f^h lim 6 h " h f l^h 6 x + x
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SB-800 Kr " " "! $ ' " " $ % & 2 ' ( # # # # " & " # # "! 3 " " # ' # $ # " " " " " 4 " " " " ( # " " " " 5 # $ " " # " " " ( # " 6 " # $ " " # " " " ( # ' " " 7 8 9 k k k k k k k k k u 10 k k k k k 11
ÃÖ»óÀ§5³ª-Á¤´ä(01~23)
2.4 3 5.26 8.225m 4523.3 8 0 36.63 3.26 46.7 4670-46.7=4523.3. _ 0. 3 422222 (_3) (_3) (_3) 422222. 4 5 _3 5 =5 _3 4 = _3+ _3+5=, _3=6 =2 ++=2++5=8 2.5 4 =2.5_4-7_.2=0-8.4=.6, 7.2 0.3 7.3 =0.3_7.3-.5_0.5.5
(001~007)수능기적(적통)부속
0 6 06. C : k d=k+c k «+-, : «d= «± +C + =- : d=: ;[!; d=l +C : kf()d=k: f()d k : { f()+g()} d=: f()d+: g()d : { f()-g()} d=: f()d-: g()d : si d=-cos +C : cos d=si+c 008 : sec d=ta +C : cosec d=-cot +C
I 0 ( C) 80 35 0 30 60 90 0 0 0 03 _ fi 64 ;3!; (5 ' ) ' a>0b>0 a a =a + a a =a - (a ) =a (ab) =a b log 4 log ;4!; a>0a+ N>0 a =N HjjK =logån 3 f()=3+ f:x Y Y =f() X f 3 4 5 0 4 8 = =a a>0 a= =a (a>0a+)
32
3 1 32 3 3 20 1 21 N G O re f o rm u l a t i o n 1 2 1 2002 p 458 34 2 g e n d e r 2 3 5 36 3 c a re 4 5 e s s e n t i a l i s m M a rg a re t T h a t c h e r I n d i r a G a n d h i w a r r i o r 2 3
<C3D1C1A4B8AE20303120B0E6BFECC0C720BCF620323030B9AE2E687770>
1. 1. 1) 1. 경우의 수 주사위를 한 개를 던질 때, 다음 경우의 수 (1) 소수 4. 4. 4) 집에서 학교로 가는 버스는 3 개 노선, 지하철은 4 개 노선이 있다. 버스나 지하철을 이용하여 집 에서 학교로 가는 방법은 모두 몇 가지인가? (2) 5의 약수 2. 2. 2) 1~10 숫자에서 하나를 뽑을때, (1) 3의 배수 경우의수 5. 5. 5)
1. A B C 4. ABC B C A B A B C A C AB BC ABC. ABC C + A + B C A B A B C A B C B A C B C A C A B C B A 5. AB xy pqr x B xy p -y AB. A. A. B. TV B. C. AB
018 학년도대학수학능력시험문제및정답 1. A B C 4. ABC B C A B A B C A C AB BC ABC. ABC C + A + B C A B A B C A B C B A C B C A C A B C B A 5. AB xy pqr x B xy p -y AB. A. A. B. TV B. C. ABC lålılç lå
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2005 7
2005 7 ii 1 3 1...................... 3 2...................... 4 3.................... 6 4............................. 8 2 11 1........................... 11 2.................... 13 3......................
1 1 x + # 0 x - 6 x 0 # x # 2r sin2x- sin x = 4cos x r 3 r 2r 5 r 3r
# 0 0 # # si si cos # 0 # 0 ^ h ^h^h# 0 ^! 0, h ^h^h# 0 ^! 0, h si si cos sicos si cos si ^cos h ^cos h si ^cosh^cos h 0 ^sih^cos h 0 0 # # cos cos, ^ si! h,, ` 0 # 혼자하는수능수학 0 년대비 9 월 A B, y f^h f^h, 0
제 9 도는 6제어항목의 세팅목표의 보기가 표시된 레이더 챠트(radar chart). 제 10 도는 제 6 도의 함수블럭(1C)에서 사용되는 각종 개성화 함수의 보기를 표시하는 테이블. 제 11a 도 제 11c 도까지는 각종 조건에 따라 제공되는 개성화함수의 변화의
(19) 대한민국특허청(KR) (12) 특허공보(B1) (51) Int. Cl. 5 B66B 1/18 (45) 공고일자 1993년09월28일 (11) 공고번호 특1993-0009339 (21) 출원번호 특1989-0002580 (65) 공개번호 특1989-0014358 (22) 출원일자 1989년03월02일 (43) 공개일자 1989년10월23일 (30) 우선권주장
8, Aug, 08, 008
8, Aug, 08, 008 8, Aug, 08, 008 3 8, Aug, 08, 008 4 8, Aug, 08, 008 5 8, Aug, 08, 008 6 8, Aug, 08, 008 7 8, Aug, 08, 008 8 8, Aug, 08, 008 9 8, Aug, 08, 008 0 8, Aug, 08, 008 8, Aug, 08, 008 0.00% KTB
체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x
![체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x](/thumbs/104/164761863.jpg "체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x")
체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m, b m 0 F, m > 0 에대해 f(x) = g(x)q(x) + r(x) 을만족하는
436 8., {(x, y) R 2 : y = x, < x 1} (, 1] φ(t) = (t, t), (, 2] ψ(t) = (t/2, t/2), [1, ) σ(t) = (1/t, 1/t).. ψ φ, σ φ. (φ, I) φ(i) φ : I φ(i). 8.2 I =
![436 8., {(x, y) R 2 : y = x, < x 1} (, 1] φ(t) = (t, t), (, 2] ψ(t) = (t/2, t/2), [1, ) σ(t) = (1/t, 1/t).. ψ φ, σ φ. (φ, I) φ(i) φ : I φ(i). 8.2 I =](/thumbs/40/20549855.jpg "436 8., {(x, y) R 2 : y = x, < x 1} (, 1] φ(t) = (t, t), (, 2] ψ(t) = (t/2, t/2), [1, ) σ(t) = (1/t, 1/t).. ψ φ, σ φ. (φ, I) φ(i) φ : I φ(i). 8.2 I =")
8. 8.1 ( ).,,,.. 8.1 C I R φ : I R m φ (φ I ) φ(i) = {x R m : x = φ(t), t I} C, t, I. C C = (φ, I). x R m C C. 1 x, a R m. φ(t) := ta + x R ( 2). x a. R m. 2 φ(t) = (cos t, sin t) [, 2π].. 435 436 8.,
사용자 설명서 SERVO DRIVE (FARA-CSD,CSDP-XX)
A3 : 30W 10 : 1kW A5 : 50W 15 : 1.5kW 01 : 100W 20 : 2kW.... 08 : 800W 50 : 5kW CSD series CSDD series CSDF series CSDS series CSDH series CSDN series CSDX series A : AC110V B : AC220V S : / P : 20?C
hapter_ i i 8 // // 8 8 J i 9K i? 9 i > A i A i 8 8 KW i i i W hapter_ a x y x y x y a /()/()=[W] b a b // // // x x L A r L A A L L A G // // // // /
![hapter_ i i 8 // // 8 8 J i 9K i? 9 i > A i A i 8 8 KW i i i W hapter_ a x y x y x y a /()/()=[W] b a b // // // x x L A r L A A L L A G // // // // /](/thumbs/82/85567894.jpg "hapter_ i i 8 // // 8 8 J i 9K i? 9 i > A i A i 8 8 KW i i i W hapter_ a x y x y x y a /()/()=[W] b a b // // // x x L A r L A A L L A G // // // // /")
A p p e n d i x Notation hapter_ i i 8 // // 8 8 J i 9K i? 9 i > A i A i 8 8 KW i i i W hapter_ a x y x y x y a /()/()=[W] b a b // // // x x L A r L A A L L A G // // // // // // // 8 b hapter_ hapter_
< D312D3220C0CCB5EEBAAFBBEFB0A2C7FC E485750>
다음 1)1) 2)2) 다음 가 3) 3) 4) 4) 나 다 5) 5) 라 6) 6) 다음 7) 7) 8) 8) 다음 1. zb 다음그림과같이 AB = AC인 ABC 에서 BC = BD 이고, BDC = 65 일때, DAB - ABD 의크기는? AB = AD 1 BC = DC 2 ( 다 ) 3 1, 2, 3으로부터대응변의길이가같으므로 ABC ( 라 ) BAC
¹ÌÀûºÐ-±³°úA(001~007)
. x«.,,,..,. 2008 96..,.. 86. 0 F(x)=x«(=, 2, 3, ) F'(x)=f(x).. F(x) F'(x)=f(x) x x x x xfi 2x 5x 6xfi x«. f(x) f'(x). f(x). ( ) idefiite itegral. : f(x)dx f(x) f(x)dx. F(x) f(x), F'(x)=f(x), F(x) f(x),
(72) 발명자 김창욱 경기 용인시 기흥구 공세로 150-20, (공세동) 박준석 경기 용인시 기흥구 공세로 150-20, (공세동) - 2 -
(19) 대한민국특허청(KR) (12) 공개특허공보(A) (11) 공개번호 10-2014-0034606 (43) 공개일자 2014년03월20일 (51) 국제특허분류(Int. Cl.) H01M 4/525 (2010.01) H01M 4/505 (2010.01) H01M 4/48 (2010.01) H01M 4/131 (2010.01) (21) 출원번호 10-2012-0101151
2004math2(c).PDF
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특허청구의 범위 청구항 1 앵커(20)를 이용한 옹벽 시공에 사용되는 옹벽패널에 있어서, 단위패널형태의 판 형태로 구성되며, 내부 중앙부가 후방 하부를 향해 기울어지도록 돌출 형성되어, 전면이 오 목하게 들어가고 후면이 돌출된 결속부(11)를 형성하되, 이 결속부(11
(51) Int. Cl. (19) 대한민국특허청(KR) (12) 등록특허공보(B1) E02D 29/02 (2006.01) E02D 17/20 (2006.01) E02B 3/14 (2006.01) (21) 출원번호 10-2010-0089517 (22) 출원일자 2010년09월13일 심사청구일자 (56) 선행기술조사문헌 JP2006037700 A* KR100920461
*세지6문제(306~316)OK
01 02 03 04 306 05 07 [08~09] 0 06 0 500 km 08 09 307 02 03 01 04 308 05 07 08 06 09 309 01 02 03 04 310 05 08 06 07 09 311 01 03 04 02 312 05 07 0 500 km 08 06 0 0 1,000 km 313 09 11 10 4.8 5.0 12 120
2004math2(a).PDF
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14고등확통지도서2권(159~179)
[01~02] 01 3 5 1 6 6 3 3 6 2 5 5 1 2+1=3 04 7 2 3 5 7 4 7 7 1 7 7 4+1-1=4 02 1 6 6 1 3 5 3 2 4 6 3 3+3=6 [05~06] 05 2 3 a b (a b) a+b=2 (1 1) 1 a+b=3 (1 2) (2 1) 2 1+2=3 [03~04] 1 10 10 1 03 4 5 4 4 8
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VP7-6 Series VP7-6-FPG-D- (FG-S) (FG-D) (YZ-S) (YZ-D) Closed center (FHG-D) Exhaust center (FJG-D) (FPG-D) Pressure center(fig-d) VP7-6-FHG-D- VP7-6-FG-S- VP7-6-FG-D- (V) (A) ) (A) ) (V) ) 0.15~0.9{1.5~9.}
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: C, Y, =0, (Crook et al.(2007) ) ( ) 1 2 3 4 5 966 967 967 967 967 4,834 234 383 462 516 508 2,103 (A) 1 661 1,629 2,623 3,802 7,613 3,806 1,040 1,636 2,175 2,788 4,193 2,629 (B) 2,128 2,676 3,492
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F 69 6; 1101 ;99 7 7; 7 주간기술동향 `FM Ð Ë Ð æ ý æ ÿ Ð F F æ OFG` c_x] `FM Ð î `FM `Z ` cf_ c_ Mc` ` `]2 î ý F 5 F 6 MM MM; ý 5 Ð ý7 `FM Ð O 5D 5 5 Ð í 5 5 5 ý7 5 `FM Ð 5 ÿ í `FM Ð ý7 목 차 M K M Y]Z Z ] a `_
Contents... 테마1. 도형의합동과닮음 평행선의성질 2. 평행선과선분의길이의비 3. 삼각형의합동조건 4. 직각삼각형의합동조건 5. 도형의닮음 6. 직각삼각형에서의닮음 테마2. 삼각형 이등변삼각형의성질 8. 삼각형의중점연결정리 9. 삼
수능을향한기분좋은첫걸음!! 30 개의테마로정리하는 수능에꼭필요한도형의성질 수능특강기하와벡터이창희선생님 Contents... 테마1. 도형의합동과닮음... 2 1. 평행선의성질 2. 평행선과선분의길이의비 3. 삼각형의합동조건 4. 직각삼각형의합동조건 5. 도형의닮음 6. 직각삼각형에서의닮음 테마2. 삼각형... 8 7. 이등변삼각형의성질 8. 삼각형의중점연결정리
G5 G25 H5 I5 J5 K5 AVERAGE B5 F5 AVERAGE G5 G24 MAX B5 F5 MIN B5 F5 $G$25 0.58 $H$25 $G$25 $G$25 0.58 $H$25 G24 H25 H24 I24 J24 K24 A5 A24 G5 G24, I5
C15 B6 B12 / B6 B7 C16 F6 F12 / F6 F7 G16 C16/C15 1 C18 B6 B12 / B6 B8 B9 C19 F6 F12 / F6 F8 F9 G19 C19/C18 1 1 G5 G25 H5 I5 J5 K5 AVERAGE B5 F5 AVERAGE G5 G24 MAX B5 F5 MIN B5 F5 $G$25 0.58 $H$25 $G$25
(01~80)_수완(지학1)_정답ok
www.ebsi.co.kr 01 THEME 005 ABC abcd C A b 20~30 km HR HR 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 (=1) 10 1 10 _1 10 _2 10 _3 10 _4 10 7 30000 10000 6000 3000 (K) 11111111 11111111 10 8 10M 6M 10 9 3M 10 10 1M 10 11
16중등빨이수학3-2교부(01~23)
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실사구시학파의 실증적 학풍이 일어나므로 서구적인 과학사상의 유입을 본 것 등이 인식 의 대상이 될 것이다. 그러나 이조 봉건사회 최종의 절대적 왕권주의자 대원군에 의하여 그 싹은 잘리고 말았다. 따라서 다단한 전기가 될 근대적 개방에 의하여 재건하려던 서구적 교육 즉
朝 鮮 科 學 史 JB409.11-1 洪 以 燮 (홍이섭) 著 - 東 京 : 三 省 堂 出 版 ( 株 ) 1944년( 昭 和 19) [서론] 一. 과학사의 방법 인류의 행복의 증진은 과학과 자연과의 투쟁에 관련된다. 국가의 국방적 건설과 국토 계획 이야말로 국민생활의 최고의 지표인데 그 기초적 문제는 과학에 있다. 그러므로 현대 인류생 활의 기술적 문제로서의
212.
ISSN 1975-667 212. 212. 3 1 1, 8 8 6 6 2 2 8 8 - - 5 3 2 16 1 12 1-8 -8 1 6 8 1 1 5 5 1 1-5 -5 8 8-1 -1 6 6 2 2 8 8 - - 1 8 6 1 8 6-8 -8 2 2-2 -2 5 3 2 2 38 1 3 2 5 1 1 3 3-1 -2-5 1 8 6 2
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조사보고 08-03 2008 인터넷중독 실태조사 연 구 기 관 한국정보문화진흥원 연 구 책 임 자 박효수 (정보화역기능대응단장) 공 동 연 구 원 고영삼 (미디어중독대응팀장) 김정미 (미디어중독대응팀 선임연구원) 자 문 위 원 나은영 (서강대학교 신문방송학과 교수) 배은주 (동명중학교 교사) 이수진 (국민대학교 교육학과 교수) 정 훈 (서울애화학교 교사) i
EL EL A229
E E 229 230 P5 P6 PN W17, 21, 27, 35, 50 20 15 30 30 25 230 P5 P6 PN PC K5 K6 KN KC F5 F6 FN FC Z0 Z1 Z3 ZT ZZ C D C D H H B W2 W3 B W17 E 0~245 156 112 W21 E 0~294 181 130 W27 E 0~390 226 167 W35 E 0~490
2005년 6월 고1 전국연합학력평가
제 1 교시 2015학년도 9월 모평 대비 EBS 리허설 2차 국어 영역(B형) 김철회의 1등급에 이르게 해 주는 [보기] 활용 문제 미니 모의고사(문학편) 1 유형편 [1]다음 글을 읽고 물음에 답하시오. 1. 를 참고하여 (가)를 이해할 때, 적절하지 않은 것은? (가) 머리는 이미 오래 전에 잘렸다 / 전깃줄에 닿지 않도록 올해는 팔다리까지 잘려
LTUR OOK Q OX 0 6 (, 5), (, 4), (, ), (4, ), (5, ) 5 0- x+y=0 (x, y) (, 4), (4, ), (6, ) 0,, 5, 7 4 0-4,,, 4, 6, 8,, 4 8 8 0 5. 000 ( ) 0 500 ( ) 4 5
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InRow RP TDM KO.book
InRow RP 냉각수 / 직접 확장 - 50/60 Hz 공냉식 ACRP100 ACRP101 ACRP102 냉각수 ACRP500 ACRP501 ACRP502 기술 데이터 American Power Conversion 법적책임 부인 American Power Conversion Corporation 은 본 설명서에 제공된 정보가 믿을 수 있으며 오류가 없거나
낙랑군
낙랑군( 樂 浪 郡 ) 조선현( 朝 鮮 縣 )의 위치 -낙랑군 조선현의 평양설 및 대동강설 비판- 이덕일 (한가람역사문화연구소 소장) 1. 머리말 낙랑군의 위치는 오랜 쟁점이었고, 현재까지도 한 중 일 사이의 역사현안이기도 하다. 낙랑군 의 위치에 따라서 동북아 고대사의 강역이 달라지기 때문이다. 낙랑군의 위치 중에서도 가장 중요한 것은 낙랑군의 치소( 治
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R Series ø, ø, ø, ø, ø, ø, ø, ø (3mm/s) ~ 3,. ø,,, 1 (R-, kg,.mpa mm 3 J 1. s 2. mm 1 R Series (). mm/s, kg) 3mm/s, kg) q w e kg,mm/sø) r. t R Series 1-1 1-1 M=kg St=mm To=.s R J R 1J R 4J R 4J R 33J mm/s
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2015 빙해운항선박지침 G C-14-K 한국선급 - i - - iii - (m ) cos sin sin 및 Nm N m s Nm Nm m s Nm Nm s Nm arctantan sin 및 Nm N m s Nm Nm m s Nm Nm s Nm Δ ton k UIWL LIWL 1.2 m 1.0 m 0.9 m 0.75 m 0.7 m 0.6 m 0.7 m
480제 생물Ⅰ 해설
001~023 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 01 001 정답찾아가기 B 3L/100kg A 2L/100kg B A 1.5 오답피하기 A B 002 정답찾아가기 A B A B B A 27æ 003 정답찾아가기 D D D 오답피하기
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[부산 ] 2009년 08월 28일 ( 金 ) 1경주 국 5(마령)1000M 발주 13:00 종합 인기도 출전 착순 출주 10 11 5 검은요정 국5 한2 암 김재섭 영준 53 3착 선행 5 5 5 15 1 6 3 0.3 주 10 랜드레이디 국5 한2 암 강형곤 현명 53 3착 선행 10 5 6.3 10 10 4 8 4 2 4 주 11 일맥상통 국5 한3 암
ELECTRICAL PARTS LIST (CA-6215) Ref No. Part No. Description Value Qty AMP B'D ( B ) C1406 C CAP NPP POLY 152J 2J 152P 2 C140
2 C H P O W E R E D MIXER CA-6215 ELECTRICAL PARTS LIST (CA-6215) Ref No. Part No. Description Value Qty AMP B'D ( 4003487400B ) C1406 C1506 3698152198 CAP NPP POLY 152J 2J 152P 2 C1408 C1508 3678050177
IV L E V E L 11 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1 2 3 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL LEVEL 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 IV L E V E L 11 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1 2 3 01
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213. 11. 21 Fixed Income Outlook CREDIT MARKET RESEARCH 214년 크레딧 시장: 보이지 않는 손 - 정부 214년 크레딧물의 발행시장은 활발하지 않을 것으로 예상. 공기업의 부채관리로 신규사 업 정체, A등급 이하 회사채의 낮은 차환가능성으로 인한 순상환, 은행의 바젤III 대비를 위한 선자금조달 완료 등으로 순발행액은
III 3 0 0 03 04 6 «P! «C = 34= 343 r! r!(-r)! 3 5 0 6 7 8 9 0 4 8 4 0 A p A r «C p (-p) -r ( r=0y) () {()_() } = 3 ( ) 4 P(X=x)E(X)V(X)r(X) H T S S={(TT)(TH)(HT)(HH)} T H H H Tyy(TT) Hyy(TH) Tyy(HT)
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