체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x

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소미 사
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1 체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m, b m 0 F, m > 0 에대해 f(x) = g(x)q(x) + r(x) 을만족하는 q(x), r(x) F [x] 가유일하게존재한 다.( 단, deg r(x) deg g(x) = m) Proof. 집합 P = {f(x) g(x)s(x) s(x) F [x]} 을생각하자. r(x) 를 P 에서차수가 가장작은다항식들중의하나라하자. 그리고 r(x) = c 0 + c 1 x + + c t x t, c t 0 F 라두자. 그러면 f(x) = g(x)q(x) + r(x), q(x) F [x] 이다. 만일 t m 이면 f(x) g(x)q(x) (c t b 1 m )x t m g(x) = r(x) (c t b 1 m )x t m g(x) 는차수가 t 1 보다작거난같은 P 에속하는다항식이되어모순이생긴다. 따라 서 t < m 이어야한다. 이제유일성을증명하자. f(x) = g(x)q 1 (x) + r 1 (x), f(x) = g(x)q 2 (x)+r 2 (x), q i (x), r i (x) F [x], deg r i (x) < m 이라하자. 그러면 g(x)(q 1 (x) q 2 (x)) = r 1 (x) r 2 (x) 이고양변의차수를비교해보면 q 1 (x) q 2 (x) = 0 F 임을알 수있다. 그러므로 r 1 (x) = r 2 (x) 이다. Corollary 0.2. ( 인수정리 (Factor Theorem)) F 는체이고 f(x) F [x] 일때 a F 가 f(x) 의해 (zero) 가될필요충분조건은 x a가 f(x) 를나누는것 (x a가 f(x) 의인수가되는것 ) 이다. Proof. 나눗셈알고리듬에의해 f(x) = (x a)q(x) + r(x) 을만족하는 q(x), r(x) F [x] 가존재한다. 그리고 deg r(x) < 1 이므로 deg r(x) = 0 이고따라서 r(x) = c, c F 이다. 이제양변에대입준동형사상 φ a 를작용하면 0 F = f(a) = 0 F q(a) + c 에서 c = r(x) = 0 F 이다. 역으로 f(x) = (x a)g(x), g(x) F [x] 이면양변에대입준동형사상 φ a 를작용해서 f(a) = 0 F g(a) = 0 F 임을알수있다. Corollary 0.3. F 는체이고 f(x) F [x] 에대해 deg f(x) = n 일때 f(x) 의해 (zero) 의개수는기껏해야 n 이다.

2 Proof. a 1 F 이 f(x) 의해라고하자. 그러면인수정리에의해 f(x) = (x a 1 )g 1 (x), g 1 (x) F [x] 이고 deg g 1 (x) = n 1 이다. 만일 g 1 (x) 가해 a 2 F 를가지면다시인수정리에의해 f(x) = (x a 1 )(x a 2 )g 2 (x), g 2 (x) F [x] 이고 deg g 2 (x) = n 2 이다. 이과정을계속하면 f(x) = (x a 1 )(x a 2) (x a t )g t (x), g t (x) F [x] 이고 g t (x) 는 F 안에서해를가지지않는다항식이된다. 이때 t n이므로결국 f(x) 의해의개수는 n 보다작거나같게된다. Corollary 0.4. F 는체이고 < G, > 는 < F, > 의부분군일때 G 는순환군이 된다. Proof. F 는가환환이므로 G 는유한가환군이된다. 따라서유한가환군정리에 의해 G = Z d1 Z dt 을만족하는소수의거듭제곱수 d i 가존재한다. 이제 m := lcm(d 1,, d t ) 이라두 자. a i Z di 에대해 a d i i = 1 Zdi 이므로 a m i = 1 Zdi 이다. 따라서 α G이면 α m = 1 F 이다. 그러므로 G의모든원소는 x m 1 F F [x] 의해가된다. 그런데 x m 1 F 의해의개수는기껏해야 m이므로 G의원소개수 d 1 d t 는 m 보다작거나같다. 결국 m = d 1 d t 임을알수있다. 그러면 d 1,, d t 들은서로소이다. 그러므로 이되어 G 는순환군임을알수있다. G = Z d1 Z dt = Zd1 d t = Z m < 연습 > 1. 다항식 f(x) = x 4 + 3x 3 + 2x + 4 Z 5 [x] 을인수분해하여라. ( 풀이 ) f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) 가 Z 5 에서 0 인지확인하면된다. Definition 0.5. F 는체이고 f(x) F [x] 는상수가아니라고하자. 다항식 f(x) 가 차수가 deg f(x) 보다작은두다항식 g(x), h(x) F [x] 의곱 g(x)h(x) 로표현되지 않으면 f(x) 는 F 상에서기약 (irreducible) 이라고한다.

3 Example 0.6. x 2 2 Q[x] 는 Q 상에서기약이다. 그러나 R 상에서는기약이아니다. 왜냐하면 x 2 2 = (x 2)(x + 2) 이다. Example 0.7. f(x) = x 3 +3x+2 Z 5 [x] 는 Z 5 상에서기약이다. 그이유는다음과같다. 만일 f(x) 가기약이아니면 f(x) 는일차식과이차식의곱으로표현되어야한다. f(x) 의인수가되는일차식을 x a Z 5 [x] 이라하면 f(a) = 0이된다. 그러나 f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) 는 Z 5 안에서 0이아니므로모순이된다. Theorem 0.8. F 는체이고 f(x) F [x] 에대해 deg f(x) = 2 또는 3일때 f(x) 가기약이되지않을필요충분조건은 f(x) 가 F 안에서해를가지는것이다. Proof. f(x) 가기약이아니면 deg f(x) 보다작은차수를가지는다항식 g(x), h(x) F [x] 에대해 f(x) = g(x)h(x) 이된다. 양변의차수를비교해보면 deg g(x) = 1이거나 deg h(x) = 1이어야한다. 만일 deg g(x) = 1이면 g(x) = x a이고따라서 g(a) = 0 F 에서 f(a) = 0 F 임을알수있다. deg h(x) = 1인경우도같은논리를적용할수있다. 결국 f(x) 는 F 안에서해를가진다. 역으로 f(x) 가 F 안에서해 a를가지면 f(x) = (x a)p(x), p(x) F [x] 이다. 따라서 f(x) 는기약이아니다. Theorem 0.9. f(x) Z[x] 일때 f(x) 가 Z 상에서기약이되는필요충분조건은 f(x) 가 Q 상에서기약인것이다. Proof. Z Q이므로 f(x) 가 Q 상에서기약이면 f(x) 는 Z 상에서도기약이다. 만일 f(x) 가 Q 상에서기약이아니면 deg f(x) 보다작은차수를가지는두다항식 g(x), h(x) Q[x] 에대해 f(x) = g(x)h(x) 이다. 이때 g(x), h(x) 에적당한정수 a, b를곱해서 ag(x) = g 1 (x), bh(x) = h 1 (x) Z[x] 가되게할수있다. 그리고 ab = c라고하면 cf(x) = g 1 (x)h 1 (x) 가된다. 이제다항식 f(x), g 1 (x), h 1 (x) Z[x] 에대해계수들의최대공약수를묶어내는원리를통해 f(x) = c 1 f 1 (x), g 1 (x) = d 1 g 2 (x), h 1 (x) = d 2 h 2 (x) 이고 f 1 (x), g 2 (x), h 2 (x) 의계수들은서로소가되게할수있다. 결국 cc 1 f 1 (x) = d 1 d 1 g 2 (x)h 2 (x) 에서 cc 1 (d 1 d 2 ) 이고 (d 1 d 2 ) cc 1 이므로 f 1 (x) = ±g 2 (x)h 2 (x) 이다. 그러므로 f(x) = c 1 f 1 (x) = ±c 1 g 2 (x)h 2 (x) 에서 f(x) 는 Z 상에서기약이되지않는다.

4 위정리에서 f(x) Z[x] 가 Z[x] 안에서차수가 r, s 인다항식들의곱으로표현되는 것과 Q[x] 안에서차수가 r, s 인다항식들의곱으로표현되는것이필요충분조건이 됨을알수있다. Corollary f(x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Z[x], a 0 0 이고 f(x) 가 Q 상에서해를가지면 f(x) 는 Z 상에서해 m 을가지며이때 m a 0 이다. Proof. f(x) 가 Q 안에서해를가지면 Q[x] 에서일차식의인수를가진다. 그러면 f(x) 는 Z[x] 안에서일차식의인수를가진다. 따라서 f(x) = (x m)(x n a 0 m ), m Z 이다. f(x) Z[x] 이므로 a 0 m Z 이다. 그러므로 m a 0 이다. Example f(x) = x 4 2x 2 + 8x + 1는 Q 상에서기약임을설명해보자. 위정리를적용하면 f(x) 가 Z 상에서기약임을보이면된다. 만일 f(x) 가 Z 상에서일차식의인수를가진다면 f(a) = 0이되는정수 a가존재하고 a 1이된다. 따라서 a = ±1이다. 그러나 f(1) = 8, f( 1) = 8이되어이것은모순을낳는다. 그러므로 f(x) 는일차식의인수를가지지않는다. 이제 Z[x] 안에 f(x) = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d 이된다고하자. 그러면양변의계수를비교하여 bd = 1, ad + bc = 8, ac + b + d = 2, a + c = 0 을얻는다. 그러나 b = d에서 b(a + c) = 8이되어이것도모순이생긴다. 결국 f(x) 는 Z 상에서기약이다. Theorem (Eisenstein 다항식 ) 정수 p는소수이고 f(x) = a n x n + +a 1 x+ a 0 Z[x] 는 p a n, p a i, 0 i < n, p 2 a 0 을만족한다. 그러면 f(x) 는 Q 상에서기약이다. Proof. f(x) 가 Z 상에서기약임을보이자. f(x) 가 Z[x] 안에서 f(x) = (b r x r + + b 0 )(c s x s + + c 0 ), b r = 0, c s 0, r, s < n

5 이라고하자. a 0 = b 0 c 0 이므로 p b 0 이고 p c 0 가동시에될수는없다. 이제 p b 0 이고 p c 0 이라고하자. 그리고 a n = b r c s 이므로 p b r 이고 p c s 이다. m 을 p a k 이 성립하는가장작은 k 라고두자. 그러면 a m = b 0 c m + b 1 c m b m i c i, 0 i < m 을만족하는 i 가존재한다. p b 0 이고 p c j, 0 j < m 이므로 p a m 이다. 따라서 m = n 이고나아가 s = n 이되어 s < n 에모순이된다. Corollary p 가소수일때다항식 은 Q 상에서기약이다. Φ p (x) = xp 1 x 1 = xp 1 + x p x + 1 Proof. g(x) := Φ p (x + 1) 이라고두자. 그러면 p 1 ( ) p g(x) = x p k 1 k k=0 이다. Eisenstein 다항식성질에의해 ( 소수 p 를적용 ) g(x) 는 Q 상에서기약임을알 수있다. 이제차수가 p 1 보다작은다항식 r9x), h(x) Q[x] 에대해 Φ p (x) = r(x)h(x) 라고하자. 그러면 g(x) = Φ p (x + 1) = r(x + 1)h(x + 1) 이되어모순이 생긴다. < 연습 > 1. 다항식 x 4 22x 2 + 1은 Q 상에서기약임을보여라. 2. 다음다항식들이 Q 상에서기약인지를판별하여라. (1) 8x 3 6x 2 9x + 24 (2) 2x 10 25x x x x + 36은 Q 상에서기약임을보여라. ( 풀이 ) 3. f(x) = x x + 36이라두자. f(x) 의계수들을 5로나눈다항식을생각하자. 즉, f(x) x 3 + 2x + 1 (mod 5) 이다. 그러면다항식 g(x) = x 3 + 2x + 1은 Z 5 상에서 g(0), g(1), g(2), g(3), g(4) 가 0 이아니므로일차식을인수로가질수없다. 따라서 g(x) 는 Z 5 상에서기약이된다. 그러므로 f(x) 는 Q 상에서기약이다.

6 Theorem F 는체이고 p(x) F [x] 는기약이라하자. p(x) 가두다항식 r(x), s(x) F [x] 의곱, r(x)s(x) 을나누면 p(x) 는 r(x) 를나누거나또는 s(x) 를나눈다. Proof. 증명은아이디얼이론을이용하여나중에한다. Corollary F 는체이고 p(x) F [x] 는기약이라하자. p(x) (r 1 (x)r 2 (x) r n (x)), r i (x) F [x], 1 i n 이면 p(x) r k (x) 가되는 k 가존재한다. Theorem F 는체이고 f(x) F [x] 는상수가아니라고하자. 그러면 f(x) 는 F [x] 안에서기약다항식들의곱으로표현되고이표현방법은순서를무시하고상수곱차이를무시할때유일하게결정된다. Proof. 이정리는증명을이해하기보다정리의내용이더중요하므로증명을생략한다. 정리의의미 : 우리는자연수를소인수분해하는것을알고있다. 이를이용하면정수에서도소인수인수분해를할수있다. 그리고곱의순서와 ± 의차이를무시하면이소인수분해는유일하게결정된다. 이와유사한성질이체의원소를계수로하는다항식환에서도성립한다는것이이정리가말해주는내용이다. 비가환체의보기여기서는역사적으로처음등장한비가환체 quaternions에대해소개한다. Q = R R R R이라고하자. 그러면 Q는덧셈연산 (a 1, a 2, a 3, a 4 ) + (b 1, b 2, b 3, b 4 ) := (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3, a 4 + b 4 ) 에대해가환군이된다. 이제 Q 상에서곱셈을정의해보자. 먼저 1 := (1, 0, 0, 0), i := (0, 1, 0, 0), j := (0, 0, 1, 0), k := (0, 0, 0, 1) 이라두자. 그러면 (a 1, a 2, a 3, a 4 ) = a a 2 i + a 3 j + a 4 k 이다. Q 상에서곱셈을정의하기위해우선다음을정의한다. a1 = 1a = a, a Q,

7 i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = k, kj = i, ik = j. 그리고 Q 의두원소의곱은분배법칙이성립하도록다음같이정의한다. (a a 2 i + a 3 j + a 4 k)(b b 2 i + b 3 j + b 4 k) = (a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 )1 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 a 4 b 3 )i (a 1 b 3 a 2 b 4 + a 3 b 1 + a 4 b 2 )j + (a 1 b 4 + a 2 b 3 a 3 b 2 + a 4 b 1 )k. Theorem Q 는위에서정의된두연산에대해비가환체이다. Proof. 비가환체가가되기위한당연히성립하는성질들은제외하고여기서는가 장중요한성질인 0 Q 아닌원소들이단원이된다는것만증명해보자. v = a 1 1+a 2 i+a 3 j+a 4 k 0 Q 이라고하자. 그리고 v := a a a a 2 4 이라고 하자. 이때 v 1 := 1 v (a 11 a 2 i a 3 j a 4 k) 이라두면 vv 1 = v 1 v = 1 이됨을알수있다.

3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로

3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로성립한다. Theorem 7 두함수 f : X Y 와 g : X Y 에대하여, f = g f(x)