심화 I. II. 개정

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1 심화 I. II. 개정

2 I II

3 자연수 I

4 소인수분해 소인수분해 1. 소수와합성수 1 소수 : 1 이아닌자연수중 1 과그자신만을약수로가지는수 2 합성수 : 1 이아닌자연수중에서소수가아닌수 2. 소인수분해. 1 인수 : 자연수 a, b, c 에대하여 a =. b c 일때, b, c 를 a 의인수라고한다. 2 소인수 : 소수인인수 3 소인수분해 : 자연수를소수들만의곱으로나타내는것 3. 소인수분해를이용하여약수구하기자연수 a 가 a = p m q n (p, q 는소수, m, n 은자연수 ) 으로소인수분해될때 1 a 의약수 : p m 의약수 (1, p, p 2,, p m ) 와 q n 의약수 (1, q, q 2,, q n ) 의곱 2 a 의약수의개수 : (m + 1) (n + 1) 개 예제 96 에가능한한작은자연수를곱하여어떤자연수의제곱이되게하려고한다. 이때, 곱해야할 가장작은자연수를구하여라. 예제 5 3 의약수의개수가 12 개일때, 다음중안에들어갈수없는것은? I.

5 80 a = b2 을만족하는 a, b 를가능한한작은자연수가되도록할때, a 와 b 의값을각각 구하여라. 자연수 n 에대하여 A(n) 은 n 의약수의개수를나타낼때, A(A(A(360))) 의값을구하여라. 12 a 의약수의개수가 12 개가되도록하는가장작은자연수를 a, 840 을소인수분해하였을때 각소인수들의지수들의합을 b 라할때, a + b 의값은?

6 공약수와최대공약수. 1. 공약수 : 두개이상의자연수의공통인약수 2. 최대공약수 : 공약수중에서가장큰수 3. 최대공약수의성질 : 두개이상의자연수의. 공약수는그들의최대공약수의약수이다. 4. 서로소 : 최대공약수가 1 인두자연수 5. 최대공약수의활용 : 활용문제의문장안에 가능한한많은, 최대한, 가장큰 등의표현이들어있는문제는대부분최대공약수를이용한다. 예제 다음중두수가서로소인것은? 1 8 과 와 와 와 와 39 예제 어떤자연수로 61 을나누면 1 이남고, 50 을나누면 2 가남는다. 이러한수중에서가장큰수를 구하여라. 6 I.

7 가로의길이가 180 m, 세로의길이가 240 m 인직사각형모양의땅둘레에일정한간격으로나무를 심으려고한다. 네모퉁이에반드시나무를심을때, 최소한몇그루의나무가필요한지구하여라. 세개의자연수 166, 131, 96 을자연수 n 으로나누면나머지가각각 4, 5, 6 이다. 이러한 n 은 모두몇개인지구하여라. 가로, 세로의길이가각각 84 cm, 96 cm 이고높이가 120 cm 인직육면체모양의나무토막을가능한 한큰, 같은크기의정육면체로자르려고한다. 이때, 만들어지는정육면체의개수를구하여라. 1. 7

8 공배수와최소공배수. 1. 공배수 : 두개이상의자연수의공통인배수 2. 최소공배수 : 공배수중에서가장작은수 3. 최소공배수의성질. 1 두개이상의자연수의공배수는그들의최소공배수의배수이다. 2 서로소인두자연수의최소공배수는두자연수를곱한수이다. 4. 최소공배수의활용 : 활용문제의문장안에 가능한한적은, 최소한, 가장작은 등의 표현이들어있는문제는대부분최소공배수를이용한다. 예제 3 으로나누면 1 이남고, 4 로나누면 2 가남으며, 5 로나누면 3 이남는자연수중에서가장작은 수를구하여라. 예제 세수 A, B, C 의비가 2:3:4 이고최소공배수가 180 일때, 이세수중에서가장큰수를 구하여라. 8 I.

9 서로맞물려회전하는톱니바퀴 A, B 가있다. A 의톱니의수는 18 개, B 의톱니의수는 24 개일 때, 이톱니바퀴가같은톱니에서처음으로다시맞물리는것은 A 가몇바퀴회전한후인가? 1 3 바퀴 2 4 바퀴 3 5 바퀴 4 6 바퀴 5 7 바퀴 세모서리의길이가각각 4 cm, 6 cm, 9 cm 인직육면체모양의나무토막을쌓아서정육면체모양이 되게하려고한다. 만들수있는정육면체중가장작은정육면체를만들때사용되는나무토막의 개수는? 1 36 개 2 72 개 개 개 개 어느버스정류장에서 A 버스는 15 분마다, B 버스는 10 분마다, C 버스는 25 분마다출발한다고 한다. 10 시정각에세버스가동시에출발하였다면, 처음으로다시세버스가동시에출발하게되는 시각을구하여라. 1. 9

10 최대공약수와최소공배수두 자연수 A, B 의최대공약수가 G, 최소공배수가 L 일때. A = G x. 1 ( 단, x, y 는서로소 ) 라하면 L = x y G B = G y 2 A B = G x G y = x y G G = L G 예제 두자연수의곱이 2430 이고최소공배수가 270 일때, 이두수의최대공약수는? 예제 20 이상의두자연수 A, B 의최대공약수가 12, 최소공배수가 72 일때, A + B 의값은? I.

11 두분수 5 8, 15 의어느것에곱해도그결과가자연수가되는기약분수중에서가장작은수를 12 구하여라. 두수 2m 3 5, n 7 의최대공약수가 12 이고, 최소공배수가 3780 일때, m+n 의값은? a:b = 8:5 인자연수 a 와 b 의최대공약수와최소공배수의합이 287 일때, a, b 의값을구하여라

12 15 a = 24 b = c2 을만족시키는최소의자연수 a, b, c 에대하여이들의합은? 에서 100 까지의자연수중 21 과서로소인수의개수는? 1 53 개 2 55 개 3 57 개 4 59 개 5 61 개 자연수 a 의모든약수들의합을 < a >, 약수의개수를 {a} 로나타내기로한다. 예를들면 8 의약수는 1, 2, 4, 8 이므로 < 8 >= = 15, {8} = 4 이다. < 22 >= x, {x} = y 라할때, < y > 의값을구하여라. 다음두조건을만족시키는자연수 n 을모두구하여라. n 과 15 의최소공배수는 30 이다. n 과 9 의최대공약수는 3 이다. 12 I.

13 두자연수 A, B 의최대공약수는 12, 최소공배수는 480 이고, A + B = 156 일때, A B 를구하여라. ( 단, A > B) 가로, 세로, 높이가각각 42, 105, 147 인직육면체가있다. 이것을쪼개어한모서 리가 a 인여러개의정육면체를만들려고할때, a 가될수있는자연수의개수를 구하여라. 자연수 a 의약수의개수를 f (a) 로나타낼때, f (420) f (x) = 96 을만족하는가장작은수 x 를 구하여라. 자연수 A 와 60 의최대공약수는 6 이고 A 와 72 의최대공약수는 18 이다. 세수 A, 60, 72 의 최소공배수가 1080 일때, A 의약수의개수를구하여라

14 100 원짜리동전 43 개와 50 원짜리동전 58 개가있다. 이것을가능한한많은사람에게똑같이나누어 주었더니 100 원짜리는 7 개가남고, 50 원짜리는 2 개가부족하였다. 1 인당나누어준금액은얼마인지 구하여라. 어느해 4 월 24 일은토요일이다. 그해의 8 월 24 일은무슨요일인가? 1 월요일 2 화요일 3 수요일 4 목요일 5 금요일 자연수 M 의양의약수의개수를 n(m) 이라할때, n(36) n(m) = 108 을만족하는최소의자연수 M 과 36 의최대공약수를구하여라. 어떤두자연수의최대공약수는 3 이고최소공배수는 36 이다. 이두수의차가 3 일때, 두수의합은? I.

15 56 에자연수를곱하여어떤자연수의제곱이되게하려고한다. 곱할수있는자연수중세번째로 작은자연수는? 두자연수 a, b 에대하여 a b = (a + b 를 7 로나눈나머지 ), a b = (a b 를 7 로나눈나머지 ) 라고할때, 4 {(8 5) 5} 의값을구하여라. 어떤자연수를 3 으로나누면 1 이남고, 4 로나누면 2 가남는다고한다. 이러한조건을만족하는두 자리자연수중작은수부터차례로배열할때, 앞에서부터두번째로오는수와네번째로오는수의 최소공배수를구하면? 원주위를같은방향으로일정한속도로움직이는세점 A, B, C 가있다. 점 A 는한바퀴도는데 4 초걸리고, 점 B 는 1 분에 10 바퀴, 점 C 는 2 분에 40 바퀴를돈다. 원주위의한점 P 에서세점 A, B, C 가동시에출발했을때출발한이후 30 분동안점 P 를동시에통과하는횟수는?

16 두자연수 a, b 의최소공배수를 a b, 최대공약수를 a b 라고하자. X = (12 15) 18, Y = 8 (24 30) 일때, (X Y ) 32 를구하여라. 자연수 A = 은몇자리수인지구하여라. 자연수 n 은 9 로나누면나머지가 5 인수이다. n 을 3 으로나누었을때의나머지를구하여라. 자연수 a 의약수의개수가 24 개이고, 네자리자연수 2a54 가 3 의배수일때, a 의값을구하여라. 16 I.

17 자연수 1 부터 n 까지의곱을 n! 이라하자. 즉, n! = n 이다. 20! = 2a 3 b 5 c 7 d 으로소인수분해될때, a + b 의값은? 의일의자리의숫자는? a < x b 인 x 중에서 3 과 4 의배수이면서 5 의배수가아닌자연수의개수를 n(a b) 로나타낼때, n(2 150) 의값을구하여라. 갑과을은같은날취직을하였다. 갑은 3 일작업하고하루쉬고, 을은 7 일작업하고 3 일쉰다고한다. 1 년 (365 일 ) 이지났을때갑과을이함께쉰날은며칠인지구하여라

18 다음조건을모두만족하는 x 의값을모두구하여라. ᄀ x 는자연수이다. ᄂ x 와 42 의최대공약수는 6 이다. ᄃ x 와 40 의최대공약수는 8 이다. ᄅ x 는 100 보다작다 n + 1 이자연수가되도록하는 n 의값을모두구하여라. ( 단, n 은자연수 ) 어떤자연수로 300, 262, 205 를각각나누었더니나머지가모두같게되었다. 이같은자연수 a 중 가장큰수를구하여라. 반지름이각각 9, 6, 5 인세원을그림과같이선위로굴릴때, 세원 위의세점 A, B, C 가 m 만큼가서다시만난다. 최소 m 을구하여라. ( 단, 원주율은 3 으로계산한다.) 18 I.

19 어떤자연수 n 이다음수중 표한수들로나누어떨어진다고할때, n 은남은수중또어떤수로 나누어떨어지는지구하여라. 어느사탕공장에서팔고남은사탕을똑같은개수로포장하려고한다. 처음에 10 개씩했더니사탕이 1 개가남았고, 9 개로해도 1 개가남았다. 이렇게계속 8 개, 7 개, 6 개,, 2 개까지해도계속 사탕이 1 개가남았다고하면, 사탕은최소한몇개가있는지구하여라. 1 부터 30 까지의자연수의곱을 P 라고한다. P 를소인수분해한식을 P = 2a 3 b 5 c 7 d 29 라고할때, P 의끝자리부터계속되는 0 은몇개인지구하여라. 어떤두자연수 A, B 에대하여 A 를 B 로나누면몫이 29, 나머지가 75 이다. A 를 29 로나누었을 때의나머지를구하여라

20 자연수 x 를소인수분해했을때나타나는모든소인수의합을 S(x) 라하자. 즉, 1250 = 이므로 S(1250) = = 22 이다. 어떤자연수 m 을소인수분해하면세개의소수가 나타나고, S(m) = 14 라할때, m 의값을모두구하여라. 세자연수 a, b, c 의합은 96 이고최대공약수가 12 이다. a < b < c 일때, 세자연수가될수있는 a, b, c 를모두구하여라. 세자연수 A, B, C 에대하여 A 와 B 의최대공약수는 24, B 와 C 의최대공약수는 16 일때, A, B, C 의최대공약수를구하여라. 두자연수 A, B 의최대공약수는 7 이고, 두수의곱은 735 이다. A, B 가모두두자리의자연수일 때, A + B 와 A B 의최대공약수를구하여라. ( 단, A B > 0) 20 I.

21 서로다른한자리의자연수 A 와 B 에대하여항상여섯자리의수 ABABAB 의약수가되는가장작은 소수를구하여라. 60 을 x 로나눈나머지를 < x > 로표현하기로한다. 예를들면 60 을 7 로나눈나머지는 4 이므로 < 7 >= 4 이다. < A >= 5 를만족하는자연수 A 의합을구하여라. 500 이하의자연수중 약수의개수가홀수개인수 의개수를 A, 약수의개수가 3 개인수 의개수를 B 라할때, A B 를구하여라. 다음조건을모두만족하는가장작은자연수 x 를구하여라. x 와 14 의최대공약수는 7 이고, x 는 3 의배수이다. x 는세자리자연수이고, x 를 35 로나누면자연수의제곱수가된다

22 세자리의자연수 abc 를오른쪽과같이 b 로나누었을때, b+c 2a 의값을구하여라. c c b )a b c a 3 a c a 3 4 네수 2613, 2243, 1503, 985 를동일한자연수로나누었을때그나머지가모두같다면나누는수와 나머지를각각구하여라. ( 단, 나머지는 0 이아니다.) 1 에서 500 이하의자연수를연속하는세수끼리묶어다음과같이차례로배열하였다. 이때, 세수의 합이 21 의배수가되는것은몇묶음인지구하여라. (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5),,(498, 499, 500) 22 I.

23 n2 12, n 3 40, n 4 45 이모두자연수일때, 자연수 n 의최솟값을구하여라. 1 보다작은기약분수 a b 여라. 에 2006 을곱하였더니완전제곱수가되었다. 이때, a + b 의최솟값을구하 d 는 0 부터 9 까지의정수의값을갖는다. 자연수 d3739d0 이 60 의배수일때, d 의값을구하여라

24 0, 1, 2,, 8, 9 까지의 10 개의정수를꼭한번씩만사용하여만든열자리의자연수중에서 2, 4, 6, 8, 10, 12 의공배수가되는가장작은수를 1000 으로나누었을때의나머지를구하여라. 다음과같은꼴로소인수분해되는자연수는모두몇개인지구하여라. a b (10a + b) ( 단, a, b 는 1 보다크고 9 보다작은자연수이다.) 자연수에서 2 의배수, 3 의배수, 5 의배수, 7 의배수를지우고남은수를작은수부터차례대로 쓰면 1, 11, 13, 17, 19, 가된다. 이와같이남은수를작은수부터차례대로늘어놓았을때, 23 번째의수를구하여라. 24 I.

25 자연수 m 에대하여 m 을나누는가장작은소수를 p(m) 이라고하자. p(m)4 > m 를만족시키는자연수 m 이가질수있는약수의최대개수를구하여라. 두자연수 A, B 의최소공배수는 455 이고 A 10 B 14 = A B 를만족한다. 이때 A, B 의값을구하여라. 다음세조건을동시에만족시키는 N 을구하여라. ( 가 ) N 은 75 로나누어떨어진다. ( 나 ) N 을소인수분해하면소인수는 3 과 5 뿐이다. ( 다 ) N 은 12 개의약수를갖는최소의양의정수이다

26 100 보다큰자연수중에서 17 로나눌때의몫과나머지가같은수는모두몇개인지구하여라. 72 와 N 의최대공약수는 12 이고, (72 + N) 은 13 의배수일때, 두자리의자연수 N 을구하여라. 수 mn2 가 8 의배수도되고, 9 의배수도되도록 m, n 의값을구하여라. 26 I.

27 양의정수 n 의일의자리의숫자를기호 n 으로약속할때, 을구하여라. 여섯자리수 abcabc 에서 a, b, c 는소수이고, 약수의개수는 24 개일때, a, b, c 를구하여라. ( 단, a < b < c) 오늘은목요일이다 일지나면무슨요일인지구하여라

28 다음에서옳은것을모두골라라. ( 가 ) 90 을소인수분해하면 이다. ( 나 ) 20 이하의자연수중소수는 8 개이다. ( 다 ) 72 의약수는모두 9 개이다. ( 라 ) 30 의소인수들의합은 10 이다. 두수 A = 84, B = 24 3 a b 의최대공약수는 2 2 3, 최소공배수는 2 c 일때, a + b + c 의값은? 에자연수 x 를곱하여어떤자연수의제곱이되게하려고할때, 다음중 x 의값이 될수없는것은? K 공항에서제주행비행기는 30 분마다, 속초행비행기는 45 분마다출발한다. 오전 6 시 30 분에두비행기가처음으로동시에출발했다면, 두비행기는오전중몇번동시에출발하는가? 1 1 번 2 2 번 3 3 번 4 4 번 5 5 번 8 로나누면 5, 6 으로나누면 3, 4 로나누면 1 이남는자연수중에서 100 에가장가까운 수를구하여라. 135 a = 44 b2, 15 c = d2 을만족하는최소의자연수 a, b, c, d 중에서자연수 a 와 c 의 합은? I.

29 42 의약수의개수가 15 개일때, 안의수로알맞은것은? A = 일때 A 의약수중홀수의개수는몇개인가? 1 14 개 2 15 개 3 20 개 4 24 개 5 60 개 60 보다큰두자리의자연수와 21 의최대공약 수가 7 이다. 이러한자연수를모두구하여라. 두자연수 a, b 가 a : b = 3 : 4 이고, a 와 b 의최대공약수와최소공배수의합이 104 일때, a + b 의값은? 다음중옳지않은것은? 1 81 의소인수는 3 하나뿐이다 개의약수를갖는최소의자연수는 48 이다. 3 두자연수 9 와 16 은서로소이다 로나누면 1 이남는수중 200 에가장가까운수는 193 이다. 5 4 와 6 의공배수는 12 의배수이다. 540 의약수중에서어떤자연수의제곱이되는수는모두몇개인가? 1 2 개 2 3 개 3 4 개 4 5 개 5 6 개 1. 29

30 12 25 나 18 어느것으로나누어도자연수가되는 5 분수중에서가장작은분수를구하면? 두개의전구가있는데하나는 7 초동안켜져있다가 5 초동안꺼지고, 다른하나는 8 초동안켜져있다가 8 초동안꺼진다고한다. 두개의전구가동시에한번켜진후다시동시에켜지기까지몇초가걸리는지구하여라. 어떤수로 130 을나누면 4 가남고, 192 를나누면 3 이남는다고한다. 이러한수중에서가장큰수를 8 로나눈나머지는? 그림과같이세변의길이가 84 cm, 156 cm, 120 cm 인삼각형모양의토지둘레에같은간격으로꽃을심으려고한다. 삼각형의꼭짓점에는반드시꽃을심는다고하면최소몇송이의꽃이필요한지구하여라. 자연수 a 에대하여 f (a) 는 a 의약수의개수를 나타낸다고할때, f (24) + f ( f (72)) 의값을 구하여라. 두수 22 3 m 7, 2 3 n 5 의최대공약수가 18, 최소공배수가 3780 일때, 2m + n 의값 은? ( 단, m < n) I.

31 세자연수의비가 5 : 6 : 10 이고최소공배수가 450 일때, 세자연수중가장작은수는? 15 에가능한한작은자연수를곱하여 45 와 54 의공배수가되게하려고한다. 곱해야할 가장작은자연수를구하여라. 사과 60 개, 배 35 개, 감 39 개를가능한한많은사람에게똑같은개수로나누어주려고한다. 사과의개수는꼭맞았으나배는 5 개가남았고감은 6 개가부족할때, 나누어줄사람의 세다람쥐 A, B, C 가쳇바퀴를도는데 1 분에각각 10 바퀴, 15 바퀴, 20 바퀴를돈다고한다. 세다람쥐가쳇바퀴위의한점 P 에서동시에출발한이후, 60 분동안점 P 를동시에통과하는횟수를구하면? 수는? 회 회 회 1 15 명 2 10 명 3 12 명 회 회 4 16 명 5 14 명 가로가 18 cm, 세로가 12 cm, 높이가 8 cm 인직육면체의나무토막을쌓아정육면체를만 들려고한다. 직육면체나무토막이한묶음에 10 개씩포장되어있을때최소몇묶음이필요 한가? 주연이는 4 일마다운동을하고, 9 일마다쇼핑을한다 년 6 월 9 일월요일에운동과쇼핑을모두하였다면 2008 년 3 월에운동과쇼핑을모두한날은? 1 3 월 29 일토요일 2 3 월 29 일수요일 3 3 월 30 일토요일 4 3 월 30 일수요일 5 3 월 31 일토요일 1. 31

32 영이의방에는파란색시계와빨간색시계가있다. 어느날영이는두시계의시간을정확하게맞추었다. 그런데파란색시계는 1 시간에 1 분이빠르고, 빨간색시계는 1 시간에 2 분이느렸다. 다음날아침에일어나보니파란색시계의시각은 7 : 00 이고, 빨간색시계의시각은 6 : 00 였다. 두시계의시각을처음맞추었을때의시각을구하여라. 1 번부터 100 번까지의번호가적힌상자 100 개가있다. 모두뚜껑이열려있는채로일렬로놓여있다. 1 번부터 100 번까지의각각번호를갖고있는 100 명의학생이각자자신의번호의배수가적혀있는상자의뚜껑을열린것을닫고닫힌것을열며차례로한사람씩모두지나갔다. 예를들면첫번째 1 번학생이모든수는 1 의배수이므로모든상자의뚜껑을닫았다. 2 번학생은 2 의배수의상자의뚜껑을열었다. 3 번학생은 3 의배수의뚜껑을닫힌것은열고열린것은닫았다. 이렇게한후에뚜껑이닫혀있는상자는모두몇개인지구하여라. 32 I.

33 There is packet of candies to be shared by some children. The number of candies in the packet more than 50 but less than 65. The candies can be shared by 3 children, 4 children, 5 children or 6 children without leaving a remainder. How many candies are there in the packet? There were 3 colored bulbs on a tree. The green bulb flashed every 4 minutes. The red bulb flashed every 5 minutes. The blue flashed every 10 minutes. If the last time flashed together at 9 : 10 p.m., at what time would they flash together again? 1. 33

34

35 정수와 유리수 II

36 정수와유리수 정수와유리수 1. 정수 1 양의정수 : 자연수에양의부호 (+) 를붙인수 (= 자연수 ) 2 음의정수 : 자연수에음의부호 ( ) 를붙인수 3 0 : 양의정수도음의정수도아니다.. 2. 유리수 : 분자, 분모 ( 단, 분모는 0 이아님 ) 가정수인분수로나타낼수있는수 3. 유리수의분류. 예제 다음중양수가아닌것을모두고르면? 예제 다음중에서음의정수의개수를 a 개, 유리수의개수를 b 개라할때, a + b 의값을구하여라. 12, 6, 0, 45, 9, II.

37 다음중정수아닌유리수의개수를구하여라. 5, 0.14, 4 2, 0, 1 2, 7 3, 3 다음수들에대한설명으로옳지않은것은? 0.2, 3, 1 4, 0, 2.9, 2 3, 2 1 양수는 4 개이다. 2 음의유리수는 2 개이다. 3 음의정수는 1 개이다. 4 정수는 3 개이다. 5 유리수는 6 개이다. 다음세친구의설명중에서인섭이의설명만참일때, 이수로적합한것은? 인섭 : 이수는유리수야. 철호 : 그리고음수이고도해. 동훈 : 그리고이수는정수야

38 수직선과절댓값 1. 수직선 : 한직선위에기준점 0 을원점으로하고, 오른쪽에양수를, 왼쪽에음수를 대응시켜만든직선.. 2. 절댓값 : 수직선위에서어떤수를나타내는점과원점사이의거리를절댓값이라하고, 어떤수 a 의절댓값을 a 로나타낸다. 예제 수직선위에 4 개의점 A, B, C, D 가같은간격으로차례대로배열되어있다. 점 B 와점 D 에 대응하는수가각각 2, 10 일때, 점 A 에대응하는수를구하여라. 예제 두유리수 a 와 b 의절댓값은같고, a 는 b 보다 6 5 만큼크다. 이때, a 의값을구하여라. 38 II.

39 다음중수직선위의두점 A, B 에서같은거리에있는점은? 다음수중절댓값이세번째로큰수를구하여라. 1, +2, 1 4, 0.7, 5 7, 2.1 절댓값이같은두수 a, b 에대하여 a b = 6 일때, a 의값은?

40 수의대소관계 1. 수직선위에서수는오른쪽으로갈수록커지고왼쪽으로갈수록작아진다.. 2. 유리수의대소관계 1 양수는 0 보다크고음수는 0 보다작다.. 즉, ( 음수 ) < 0 < ( 양수 ) 2 양수에서는절댓값이클수록크다. 3 음수에서는절댓값이클수록작다. 3. 부등호의사용 1 a 는 b 보다크다. ( 초과 ) a > b 2 a 는 b 보다작다. ( 미만 ) a < b 3 a 는 b 보다크거나같다. ( 작지않다, 이상 ) a b 4 a 는 b 보다작거나같다. ( 크지않다, 이하 ) a b 예제 a < 0, b < 0 이고 a < b 일때, 0, a, b 의대소를비교하여부등호로표현하여라. 예제 유리수 x 가 5 < x 3 을만족할때, 다음중 x 의값이될수없는것은? II.

41 다음조건에알맞은수 A 를구하여라. ( 가 ) 2 < A < 4 ( 나 ) A 는정수이다. ( 다 ) A > 2 두유리수 7 3 과 2 5 사이에있는정수를모두써라. 41 보다작은수중에서가장큰정수를 a, a, b 의값을각각구하여라. 보다큰수중에서가장작은정수를 b 라할때, 1. 41

42 다음설명중옳은것을모두고르면? 1 가장작은정수는 0 이다. 2 모든정수는유리수이다. 3 유리수는양수와음수로나누어진다. 4 음수는절댓값이클수록크다. 5 절댓값이 a (a > 0) 인수는 +a, a 의두개가있다. 다음의조건을만족시키는서로다른세정수 a, b, c 의대소관계를부등호를사용하여나타내면? a 는 5 보다크다. b 와 c 는 5 보다크다. a 는 b 보다 5 에서더가깝다. c 의절댓값은 5 의절댓값과같다. 1 a < b < c 2 b < a < c 3 b < c < a 4 c < a < b 5 c < b < a 두유리수 4 3 와 7 4 사이에있는분모가 12 인기약분수의개수를구하여라. 수직선위에서 0 을나타내는점에서 6 만큼떨어진점을 A, 1 을나타내는점에서 3 만큼떨어진점을 B 라고하자. 이때두점 A, B 에서같은거리에있는점이나타내는정수중두번째로작은정수를 구하여라. 42 II.

43 x 가 x 의절댓값이라할때 x 5 = 3 인수 x 를구하여라. 다음조건을모두만족하는음의정수 x, y 의순서쌍 (x, y) 를모두구하여라. ( 가 ) x > y ( 나 ) x + y = 5 그림의수직선위에서선분 AB 를 9 : 5 로나누는점 C 의좌표를 구하여라. 두정수 x, y 에대하여 x 의절댓값은 y 의절댓값의 5 배이고, 수직선에서 x, y 에대응하는두점 사이의거리가 12 일때, 다음중 x 의값으로알맞지않은것을모두고르면?

44 두정수 a, b 가다음의두조건을만족할때, (a, b) 의개수는? a < b a 와 b 의절댓값의합이 5 이다 개 2 9 개 3 8 개 4 7 개 5 6 개 두정수 A, B 에대하여 A 는 B 보다 12 만큼작고, A 의절댓값은 B 의절댓값의 3 배이다. 정수 A, B 의값을모두구하여라. 다음의조건을만족하는서로다른네개의정수 a, b, c, d 의대소관계로옳은것은? b 는 c 보다크다. b 와 d 는절댓값이같다. a 의절댓값은 d 의절댓값보다작다. a 와 d 는수직선에서 0 보다오른쪽에있다. c 는수직선위에서 a 보다 b 에더가까이있다. 1 a < d < b < c 2 b < c < a < d 3 b < c < d < a 4 c < b < a < d 5 c < b < d < a 44 II.

45 [x] 가 x 보다크지않은최대정수를나타낼때, 다음식의값은? [ 7.6] + [5.3] [ 12] 두정수 a, b 가 a a b = 7 를만족할때, a + b 의최솟값을구하여라. 네수 1 7, x, y, 14 7 구하여라. 가크기순으로나열되어있고네수사이의간격이일정할때, x + y 의값을 1. 45

46 7 과 4.6 사이에있는정수중에서절댓값이가장큰정수와 1 3 절댓값이가장작은수의합을구하여라. 과 6.3 사이에있는유리수중에서 두정수 A, B 가 A = 5, B = 10 일때, 2 A B 의최댓값과최솟값을구하여라. 다음조건을만족하는정수 a 의값을구하여라. ( 가 ) 20 < a 30 ( 나 ) a 와부호가같은정수 b 에대하여 a > b 일때, a < b 이다. ( 다 ) a 의약수의개수는 3 개이다. 46 II.

47 정수 a, b 가 b a < 0 이고 a = 4, b = 3 일때, (a b)2 의값을구하여라. A = B + 3 2, A B < 0, A > B, A + B = 5 2 를만족하는정수 A, 유리수 B 의값을각각구하여라. 다음수는어떤규칙에의하여나열되어있다. 안에알맞은수를써넣어라. 2 3, 1 3, 1 6, 1 12,, 1. 47

48 [ ] x 4 기호 [a] 는 a 를넘지않는최대정수라고약속한다. 이때, 3 < < 7 을만족하는정수 x 의 3 개수를구하여라. 다음에서옳은것을모두고르면? 가 : 1 < a < 0 이면 a < 1 a 이다. 나 : b < a < 0 이면 a < b 이다. 다 : b < 0 < a 이면 b a < 0 이다. 1 가 2 나 3 다 4 가, 나 5 나, 다 m, n 은양의정수이고 91 n, 105 n, m n 은모두정수이다. 91 n < 105 n < m n 을만족시키는 m n 작은수를택할때, m 의값을구하여라. 중에서가장 48 II.

49 수직선위에유리수 1, a, b, 0, c, d, 1 이순서대로표시되어있을때, 1 a, 1 b, 1 c, 1 d 을큰수부터차례로써라. 양수 x 의십의자리미만을올림한수를 [x] 라하자. 예를들면 [3] = 10, [18.3] = 20 이다. 다음물음에 답하여라. (1) [0.5] 의값을구하여라. (2) x 가 1 에서 10 까지의정수일때, x [x] 의최댓값과최솟값을구하여라. 서로소인두개의자연수 a, b 에대하여 0.06 < b < 0.07 이성립한다고할때, a b 의값을구하여라. a ( 단, 20 < a < 30 ) 1. 49

50 수의계산 유리수의덧셈과뺄셈 1. 유리수의덧셈. 1 부호가같은두수의합 : 절댓값의합에공통인부호를붙인다. 2 부호가다른두수의합 : 절댓값의차에절댓값이큰수의부호를붙인다.. 2. 유리수의뺄셈 : 뺄셈은빼는수의부호를바꾸어더한다. 3. 덧셈의계산법칙 1 덧셈에대한교환법칙 : a + b = b + a 2 덧셈에대한결합법칙 : (a + b) + c = a + (b + c) 예제 어떤정수에 3 을더해야할것을잘못하여빼었더니그결과가 +6 이되었다. 바르게계산된값은? 예제 다음두수 A, B 에대하여 A 의절댓값과 B 의절댓값의차를구하면? ( A = + 2 ) ( + ( 2) + 5 ), B = II.

51 a = 4, b = 7 일때, a b 의값중최댓값을 M, 최솟값을 m 이라하자. 이때, M m 의값을 구하여라. 어떤유리수에서 2 7 를빼어야할것을잘못하여더하였더니그결과가 3 15 계산한값을구하여라. 이되었다. 바르게 어떤정수 a 에 5 를더하면양수가되고, 3 을더하면음수가된다. 이때, a 의값을구하여라

52 덧셈과뺄셈의혼합계산. 1. 뺄셈은모두덧셈으로바꾸어계산한다. 2. 앞에서부터순서대로계산하는것이좋다.. 3. 덧셈에대한교환법칙과결합법칙에따라계산순서를바꾸어도상관없다. 4. 괄호가없는식은덧셈기호 (+) 가생략된것으로생각하여계산한다. 예제 다음수직선위에있는세개의점에대응하는수를각각 A, B, C 라할때, A B +C 의값은? 예제 식 2 ( 5 + A 3 ) = 에서 A 에알맞은수를구하면? II.

53 다음을계산하여라. 1 [ 34 { 15 ( )}] 2 오른쪽그림의전개도를접어정육면체를만들면, 서로마주보는 면의수의합이 3 이된다고한다. 이때, a+b c 의값을구하여라. ( 1 ) A = 이고, B 1 3 = 1 2 일때, A + ( B) 의값을구하여라

54 유리수의곱셈 1. 유리수의거듭제곱 1 양수의거듭제곱 지수에관계없이 + 2 음수의거듭제곱 지수가짝수이면 +, 홀수이면. 2. 유리수의곱셈 1 부호가같은두수의곱 : 절댓값의. 곱에양의부호 (+) 를붙인다. 2 부호가다른두수의곱 : 절댓값의곱에음의부호 ( ) 를붙인다. 3 어떤수와 0 의곱은항상 0 이다. 3. 곱셈의계산법칙 1 곱셈에대한교환법칙 : a b = b a 2 곱셈에대한결합법칙 : (a b) c = a (b c) 예제 다음중계산결과가바르지않은것을모두고르면? ( 1) 101 = ( 1) 7 = ( 1) 3 ( 3) ( 1) 11 ( 2) = 6 2 ( 2) 3 ( 3) 2 = ( 5) 2 = 33 예제 2 3 보다 3 4 작은수를 A, x = 6 인 x 중큰수를 B 라고할때, A B 의값을구하여라 II.

55 다음중계산결과가다른하나는? ( 1 9 ) ( + 10 ) ( ) ( 14 ) ( ) (+9) 3 ( 4 (+15) 9 ) ( + 2 ) ( ) ( 9 ) ( 8 ) 개의유리수 2, 2 3, +3, 3 중에서세수를뽑아곱한값중에서가장큰값을구하여라. 2 ( 1) + ( 1)2 + ( 1) ( 1) ( 1) 1000 을계산하면?

56 유리수의나눗셈 1. 유리수의나눗셈 1 부호가같은두수의나눗셈 : 절댓값끼리나눈몫에양의부호 (+) 를붙인다. 2 부호가다른두수의나눗셈 : 절댓값끼리나눈몫에음의부호 ( ) 를붙인다. 2. 역수를이용한나눗셈. 1 역수 : 두수의곱이 1 이될때, 한수를. 다른수의역수라고한다. 2 역수를이용하면나눗셈이곱셈으로변형된다. 이방법으로계산하면더편리하다. 3. 곱셈과나눗셈의혼합계산 1 나눗셈은모두역수를이용하여곱셈으로바꾼다. 2 거듭제곱으로표현된수를먼저계산한다. 3 곱셈에대한교환법칙, 결합법칙을이용하여편리하게계산순서를바꾸어계산해도된다. 예제 0.4 의역수를 a, 의역수를 b 라할때, a + b 의값은? 예제 a = ( 7 4 ), b = ( 2) 3 43 ( 일때, a b 의값을구하여라. 2) 56 II.

57 두정수 a, b 에대하여 a 를 2 로나누면 3 이되고, b 에 4 를곱하면 16 이될때, a b 의 값을구하여라. 1.5 의역수를 a, 5 3 역수를구하면? 의역수를 b, 5 의절댓값을 c 라할때, a b c = k 이다. 이때, k 의 ( ) = 에서안에알맞은수는?

58 복잡한식의계산 1. 유리수의덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의혼합계산. 1 거듭제곱이있으면거듭제곱을먼저계산한다. 2 괄호가있으면괄호안을먼저계산한다. 이때, 괄호는소괄호 ( ), 중괄호 { }, 대괄호 [ ] 의순서로계산한다. 3 곱셈, 나눗셈을계산한다.. 4 덧셈, 뺄셈을계산한다. 2. 분배법칙 세수 a, b, c 에대하여다음식이성립한다. a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c 예제 다음을계산하여라. { ( ) } ( ( 3) 3 5) 3 예제 다음식을계산하는과정에서분배법칙이쓰인곳은어디인가? 58 II.

59 { } 4 ( 3) 3 ( 1)6 ( 2) 을계산하면? 다음을계산하여라. [ ] ( 2)2 {5 ( 2) 6} 11 4 ( A = ) { ( 3 ) 3 ( 2 2 ) 2 } ( 2) 4 일때, A 의값을구하여라

60 다음조건을만족하는정수 B 를구하여라. ( 가 ) A = 2 B ( 나 ) A B = 2 ( 다 ) A B = 6 두유리수 a, b 사이에 a b > 0, ab < 0 인관계가있을때, a 와 b 의절댓값의합과같은것은? 1 a + b 2 a b 3 a + b 4 a b 5 b a A = 3 2 { 1 ( ) ( 4 1 ) 3 }, 3 2 B = ( 3) 2 {1 12 ( 2) ( 3)} 일때, A B 의값을구하여라. ( 2 3 ) ( 5 8 ) ( 5 ) = 일때, 안에알맞은수를구하여라. 60 II.

61 n 이홀수일때, ( 1)n + ( 1) n+1 + ( 1) n+2 + ( 1) n+3 + ( 1) n+4 의값을구하여라. 다음식을계산할때 X 의값은? ( ) ( 4 2 ) X ( 3) 42 = 계산기호, 를다음과같이약속하였다. 이때, (2 4) (4 5) 를계산하면? 3 4 = , 2 3 = 세수 1 6, +2 3, 1 에서서로다른두수를선택하여 a, b 라할때, a b 의값중가장큰값과 2 가장작은값의곱을구하여라

62 오른쪽그림에서네변에놓인세수의합이모두같도록하는정수 A, B, C 에대하여 A B +C 의값을구하여라. 다음조건을모두만족하는정수 a, b, c 의값을구하여라. ( 가 ) a + b + c = 7 ( 나 ) b = 2 ( 다 ) c < b < 0 < a ( 라 ) a = b + 5 A = [ 하여라. 3 2 { ( 1 3) 3 ( 3 ) 2 } ( + 2 ) 2 ] ( 1 3 일때, A 값에가장가까운정수를구 2 3 2) 세수 2 3, 0.5, 11 에서두수를선택하여곱하고그수에서나머지수를뺀값을 x 라고하자. 이렇게 4 구한 x 값중절댓값이가장큰수를 a, 절댓값이가장작은수를 b 라고할때, a b 의값을구하여라. 62 II.

63 1 < a < 0 일때, 다음중그값이가장큰것은? 1 a 2 2 a 2 3 a 2 4 ( a) 2 5 ( a) 2 ( 1)50 ( 1) 99 ( 1) n = 1 을만족하는자연수 n 에대하여다음식의값을구하여라. ( 1) n+1 + ( 1) n+2 + ( 1) n+3 A = 16 B = 42 { 1 ( 1 ) 4 } { ( 1 1 )}, 2 2 ( ) 7 C = 6 7 ( ( 4), ) 4 15 ( ) 일때, A, B, C 의대소관계를구하여라. 다음은유리수의덧셈에관한식을나열한것이다. 8 번째식의값을구하여라 = 1 2, = 1, = 3 2, = 2,

64 a = 1 일때, 다음중가장작은수와가장큰수의합을구하여라. 3 a, a, a 2, a 2, 1 a, 1 a, 1 a 2, 1 a 2 a b c > 0, 1 < b < a < c, c > 0 일때, 다음을큰순서대로나열하여라. ( 단, a, b, c 중에는 부호가다른것이반드시있다.) 1 a, 1 b, c, 1 c, a2 다음등식이성립하도록안에 +,,, 의적당한기호를넣어라 = 1 64 II.

65 1 2 = , 1 3 = , 1 4 = ,, 1 99 = 1 A + 1 B 이라할때, A + B 의값을구하여라. a + 3 = 5, 2 b 1 = 3 일때, a b 의최댓값을 M, 최솟값을 m 이라하자. 이때, 2M + m 의 값을구하여라 = ( ), 3 ( = 1 ( ), 5 ) 의값을구하면? = 1 ( ) 을이용하여식

66 ab 서로다른두유리수 a, b 에대하여 a b = a + b 라약속할때, 1 ( ) 의값을구하여라. 4 두유리수 a, b 에대하여 a b = a + b 2, a b = a b 라약속할때, {3 ( 4)} (9 1) 을 계산하여라. 오른쪽그림의왼쪽 5 개의수중에서 3 개를뽑아오른쪽식의 안에넣었을때, 다음중식의값이될수없는것은? ( 단, 같은수는한번만사용한다.) II.

67 두수 a, b 중에서절댓값이큰쪽을 [a, b] = a ( a > b ) 로나타내기로하자. 예를들면, [ 3, 1] = 3 일때, [, 2] + [7, 8] = 15 가성립하는안에알맞은수를구하여라. 오른쪽그림에서가로, 세로및대각선의합이모두같도록 A, B, C, D 에알맞은수를 구하여라. 다음안에알맞은수를써넣어라. ( 1 2 {( ( 3) 2) 2 4 ) + ( 2) 2 5 } =

68 [x] 를 x 보다크지않은최대의정수라하자. 예를들면 [3.2] 는 3.2 보다크지않은최대의정수로 [3.2] = 3 이다. 이를이용하여다음식의값을구하면? [ [3.2] 7 2 [ 2] 5 ] { ([ ] ) 1 + ( 3) + [3.2] 1 } a > b 인두정수 a, b 에대하여 a 와 b 의절댓값의합이 6 이될때, a b 의값중가장큰수와 가장작은수의차를구하면? 두유리수 A, B 에대하여 A B = (A2 B 2 ) 1 4 이라할때, ) ( 의값을구하여라. 68 II.

69 분배법칙을이용하여두수 a = , b = 의대소관계를구하여라. 다음을계산하여라 n 0 일때, 1 n 1 n + 1 = 1 n(n + 1) 임을이용하여 을계산하여라

70 다음을계산하여라 등식 = x + 1 y + 1 z 을만족하는자연수 x, y, z 에대하여 x + y + z 의값을구하면? 다음을계산하여라. ( 단, n 번째괄호안의수는 1 + 2n + 1 ( )( )( )( ) n 2 이다. ) ( ) II.

71 수직선위의점 A 에대응하는수를 [A] 로나타내고선분 AB 의중점을 A B 로나타낸다. [A] = 3, [B] = 7, [C] = 16 3 일때, [A B] = [C X] 인 [X] 를구하여라. 11 분수 52 = 1 1 a + 1 b + c + 1 d 일때, a + b + c + d 의값을구하여라. ( 단, a, b, c, d 는자연수 ) A 1, A 2, A 3, A 4, 가다음과같을때, A 2002 의값을구하여라. A 1 = 1 2, A 2 = , A 3 = 1 1, A 4 = ,

72 다음의수에대한설명으로옳지않은것은? 다음의계산과정에서계산법칙이옳게짝지어 진것은? +2, 2 5, 15, 0, 1.78, 정수는 3 개이다. 2 자연수는 2 개이다. 3 정수가아닌유리수는 2 개이다. 4 수직선에서 1.78 과 +2 사이에있는정 수의개수는 3 개이다 보다절댓값이큰유리수는 2 개이다. 1 ᄀ분배법칙 2 ᄂ덧셈에대한결합법칙 3 ᄂ곱셈에대한교환법칙 4 ᄃ덧셈에대한교환법칙 5 ᄃ곱셈에대한결합법칙 다음중옳은것은? > > > > 6 5 다음수들을수직선위에나타내었을때, 왼쪽 에서 3 번째오는수를구하면? > 5 6 3, 2.5, 1 2, 2 3, ( ) ( 4) 2 ( 1) ( 2)2 을계산하여라. < a, b > 는 a, b 중크지않은수를나 타내기로한다. 예를들어 < 3, 2 >= 1 3, < 4, 5 >= 4 이다. 이때, 2, , 3 를구하여라 II.

73 영희와철수는주사위놀이를하고있다. 소수의눈이나오면그눈의수의 2 배만큼점수를얻고, 소수가아닌눈이나오면그눈의수만큼 A = B, A > B 이고, A, B 에대응하는두점 사이의거리가 12 5 일때, B 의값을구하여라. 점수를잃는다고한다. 두사람이주사위를 4 번 던져나온눈이다음과같을때, 영희와철수가 얻은점수의차는? 1 회 2 회 3 회 4 회 영희 철수 a < 0 일때, 다음중음수인것은? 1 a 2 a 3 ( a) 4 ( a) 3 5 a 3 네유리수 5 4, 6, 1, 12 중에서서로다른 3 세수를뽑아곱한값중가장큰수를 M, 가장 작은수를 m 이라할때, M m 의값을구하 여라. 다음중옳은것을모두고른것은? ᄀ자연수는모두유리수이다. ᄂ음의정수가아닌정수는 0 과자연수이다. ᄃ양수의절댓값이음수의절댓값보다크다. ᄅ모든유리수는수직선위에나타낼수있다. ᄆ두정수사이에는또다른정수가반드시 다음의수중에서값이다른하나는? A : 3 보다 5 만큼큰수 7 B : 에가장가까운정수 4 C : 1 보다 3 만큼작은수 D : 2 와절댓값이같고부호는반대인수 E : 두유리수 3 2 과 4 사이에있는정수의 5 개수 존재한다. 1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 1 ᄀ, ᄂ 3 ᄀ, ᄂ, ᄅ 5 ᄃ, ᄅ, ᄆ 2 ᄂ, ᄅ 4 ᄀ, ᄃ, ᄆ 2. 73

74 다음수직선위에점 A 는두점 B, C 사이의거리를 4 : 3 으로나눈점이다. 두점 B, C 가각각 2 5 와 1 7 일때, 점 A 가나타내는수를 20 구하면? n 이홀수이고, n > 1 일때, ( 1)n 1 ( 1) n ( 1) n+1 ( 1) n+2 을계산하여라 보다 21 5 만큼큰수를 a, 4 보다 7 3 만큼작은수를 b 라고하자. a 보다크고, b 보다 작은유리수중에서분모가 15 인기약분수는 모두몇개인가? 다음조건을만족하는서로다른세정수 a, b, c 의대소관계는? ( 가 ) b 는 3 보다크다. ( 나 ) a 와 c 는 3 보다크다. ( 다 ) b 는 c 보다 3 에서더가깝다. ( 라 ) a 와 3 은원점에서같은거리에있다. 1 a < b < c 2 a < c < b 3 b < a < c 4 b < c < a 5 c < b < a 아래그림은정육면체의전개도이다. 이전개도를접어정육면체를만들었을때, 마주보는면에적혀있는두수는서로역수이다. A, B, C 를차례대로구하면? 1 A = 4, B = 3, C = 2 2 A = 3 4, B = 1 3, C = 1 2 어떤수 a 에 3 을곱했더니 1 2 이되었고, 어떤수 b 를 3 으로나누었더니 8 9 이되었다. 이때, a b 의값을구하여라. 3 A = 2, B = 1 3, C = A = 2, B = 3, C = A = 1, B = 3, C = II.

75 a = b, a b = 5 인 a, b 의값을각각구하면? ( ( 2) + 1 ( 2) + 6 ) ( 1) 5 을계산 하면? 1 a = 5 2, b = a = 10, b = 10 3 a = 5 2, b = a = 5, b = 5 5 a = 5 2, b = 5 2 세유리수 a, b, c 에대하여 a b < 0, b c < 0, a b < 0 이성립할때, 옳지않은것은? ( 1 ) 2 ( 2 ) = 15 8 일때, 안에알맞은수를구하여라. 1 a c > 0 2 ( b) 3 c > 0 3 ( a 2 ) ( b) > 0 4 ( a) 2 b c b > 0 5 ( b) + ( c) 2 a < 0 x = 3 4, y = 2 이고, x y 의값중가장큰 5 것을 M, 가장작은것을 m 이라할때, M m 의값을구하여라. A = ( 1)3 ( 2 3 구하여라. {( 1 ) ( 4 )} 2 3 이고 ) 2 + B 1 3 = 2 3 일때 A B 의값을 2. 75

76 어떤도시에는지하 6 층, 지상 10 층의건물이있다. 영재가이건물의엘리베이터를타고지상 10 층에 올라갔다가다시 15 층내려간후다시 7 층을올라갔다. 그런데그만수위아저씨에게들켜버렸다. 영재는수위아저씨께꾸짖음을들은후엘리베이터를타고내려와건물밖으로나왔다. 영재는수위 아저씨께들킨층으로부터엘리베이터를타고얼마를이동해서건물밖으로나왔는지구하여라. 나 을이용한관계를다음과같이약속할때, 의값을구하여라. = 7, = 27, = II.

77 If q + 17 = q 17, and q is real number, what is the value of q? If = x 33, what is the value of x 3?

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