개념발상법 4 시그마의응용 1. 합의기호 1 의약속 제 항 일반항 2 의성질 ᄀ ᄂ ᄃ 는상수 ± ± ( 복호동순 ) ᄅ 는상수 ᄆ ( 평행이동 ) 3 자연수의거듭제곱 ᄀ ᄂ ᄃ 4 분수의합 ᄀ ᄂ ᄃ ᄅ

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준면 빈
5 years ago
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1 강좌명 EBS 수능특강수 1 서정원선생님의강의자료 강의명 제 34 강 ~42 강 부제명여러가지 (1)~(9) 작성자성명 : 김마음 maeum27@naver.com

2 개념발상법 4 시그마의응용 1. 합의기호 1 의약속 제 항 일반항 2 의성질 ᄀ ᄂ ᄃ 는상수 ± ± ( 복호동순 ) ᄅ 는상수 ᄆ ( 평행이동 ) 3 자연수의거듭제곱 ᄀ ᄂ ᄃ 4 분수의합 ᄀ ᄂ ᄃ ᄅ

3 기타합의공식과성질 n ⑴ kk n n n k ⑵ n k kk k k r r n n n n r n ⑶ k k k k k k k n k n k n ⑷ k k k n k k k k k k n n a ⑸ k fk k fk a a n

4 개념발상법 5 여러가지의응용 1. 의히든카드 1 계차 에서 을계차라하고계차로이루어지는을계차이라한다. ᄀ 단 ᄂ 단 ᄃ n a a a a a a n a a k a k 끼리계차 n k a a a a a a n a a k a k 끼리계차 k [ 예 ] 어떤청량음료수를파는상점에서그음료수를마신빈병을세개씩가져올때마다한 병을거져준다. n 병을사서 f(n) 병을마실수있다. f(n)=100 일때, n 의값을구하시오

5 계차과파스칼삼각형 ᄀ파스칼삼각형의합 ᄂ파스칼삼각형의응용 2 군 에서몇개의항을차례로묶어군으로나눈을군이라한다. ᄀ각군안에서의규칙을찾는다. ᄂ각군안의항수를조사한다. ᄃ각군의첫째항들로이루어진에서일반항을구한다

6 개념발상법 6 계차의응용 - 도형수 1. r- 각수 ( x n ) : x n 1 삼각수 (a n ) : a n 2 사각수 (b n ) : b n 3 오각수 (c n ) : c n 2. 중심 r- 각수 1 중심삼각수 2 중심오각수

7 개념발상법 7 여러가지의응용 (2) 1. 기본적인점화식 (1) 일정 공차가 인등차 (2) 일정 공비가 인등비 (3) 등차중항 등차 (4) 등비중항 등비 (5) 조화중항 조화 2. 중요한점화식 (1) 의꼴 (2) 의꼴 (3) 의꼴 (4) 의꼴 (5) 의꼴 (6) 의꼴 알아둘표현

8 개념발상법 8 여러가지의응용 (3) - 주기성 1. 반복적인수의규칙 주기적으로반복되는 1 a b a b a b 2 a b a b a b 3 a a b a b a a b a b 4 주기를가진점화식 ᄀ a n a n p / a n a n p ᄂ a n a n p a n p c / a n a n p a n p c ᄃ a n p a n p a n ᄅ f f y fx a n p fa n

9 개념발상법 9 연역적사고 한칸또는두칸 a n a n a n 2 한칸, 두칸또는세칸 a n a n a n a n 3 한칸, 두칸,, 또는 n 칸오를수있는사람이 n 계단을오르는방법의수 n km 을운동하는달리기코스의수를 a n 이라하자. 1 a n a n a n 2 a n a n a n a n 3 a n a n a n n명의각각한개의선물을준비하여다른사람과서로교환하는경우에한사람이한개의선물을받는경우의수를 a n 이라하자. 2 n 명의학생이자기의이름표를내어놓고한개의이름표를집을때어느누구도자기의이름표를갖지않는경우의수를 a n 이라하자. 3 함수 f가 f n n 로일대일대응되고, 정의역에속하는모든원소x 에대하여 f x x인경우의수를 a n 이라하자. 03. n 개의원판을반드시한개씩이동하여다른석탑으로이동할때, 큰원판이작은원판에놓이지않도록하는각원판의최소의이동횟수를a n 이라하자. ( 석탑이 3개 : a n a n a 의경우 )

10 29. 다음명제의참, 거짓을판별하시오. 29) (1) 이 이면 이다. (2) 자연수 에대하여 이면 인 의값이존재한다. (3) 이 ( ) 이면 이다. (4) 에대하여 이면 이다. (5) 이 이면 log = 이다. (6) 자연수 에대하여 ( 은유리수 ) 이면 이다. 30. a n 은처음 개항 a a a a a a 이서로다르고 a n a n n 을만족시킨다. 다음과같이정의된 b n 중 a a a a a a 의값이모두나타나는것은? 30) 1 b n a n 2 b n a n 3 b n a n 4 b n a n 5 b n a n 29) 강의참고 30)

31. 268 개의수가원형으로배열되어있다, 어떤 수 을기준으로하여 17번째수는 3, 83번째수는 4, 144번째수는 9 이고모든연속된 20개수의합은 72이다. 즉 a a a a a a a a a a a a a a a 가성립한다. 이때, 210번째수는? 31) 1 2 3 4 5 32.

11 개의수가원형으로배열되어있다, 어떤 수 을기준으로하여 17번째수는 3, 83번째수는 4, 144번째수는 9 이고모든연속된 20개수의합은 72이다. 즉 a a a a a a a a a a a a a a a 가성립한다. 이때, 210번째수는? 31) 개의바둑판에흰돌과검은돌을다음과같은규칙으로놓았을때, 이 개의바둑판에놓인모든바둑돌의개수는? 32) 그림과같이카드를이용하여 층의탑을쌓으면 7 장의카드 가사용된다. 같은방법으로 10 층탑을쌓으려면몇장의카드가필요한지를구하 여라. 33) 31) 1 32) ➄ 33)

12 34. ABC 는둘레의길이가각각 1, 2, 2 인점 P 를지나는원모양의달리기코스이다. 각코스는화살표방향으로만달릴수있다. P 에서출발하여 P 에서끝나는달리기코스를만들려고한다. 길이가 n 인달리기코스의총가지수를 a n 이라할때, 다음중옳은것은? 34) 1 a n a n a n 3 a n a n a n 2 a n a n a n 4 a n a n a n 5 a n a n a n 35. 가로 2개, 세로 n개, 모두 n개의칸을가진원고지가있다. 이원고지에 표시와 X 표시를한다. 이러한, X 표시를표시하는방법의총수를 a n 이라한다. 이때, 임의의자연수 n에대하여 a n ca n da n 이되는상수 c d에대하여 c d의값을구하시오. 35) ( 단, X 표시는가로와세로에연속하여서표시하지않는다.) 36. [ 그림 1] 과같이흰바둑돌과검은바둑돌을번갈아가면서일렬로나열하 였다. 이들바둑돌중인접한바둑돌의자리를 3 번바꾸어 [ 그림 2] 와같이흰바둑돌을모두 왼쪽으로, 검은바둑돌을오른쪽으로이동하였다. 흰바둑돌과검은바둑돌 개씩을번갈아배열한후인접한바둑돌만을바꾸어흰바둑돌을모 두왼쪽으로, 검은바둑돌을모두오른쪽으로이동하는방법의수를 이라고할때, 다음중 과 사이의관계식을바르게나타낸것은? 36) ) 3 35) 3 36)

13 37. 어느고등학교 3 학년전체는 4 개의반으로이루어져있다. 3 학년전체학생 이단축마라톤대회에참석하는데 n 등까지시상하려고한다. n 등까지의명단에 3 학년 1 반학 생의수가짝수인경우의수를 a n, 홀수인경우의수를b n 이라하면 a n b n a b c d a n b n n 이성립한다. 이때, 의값을구하시오. 37) ( 단, n 등안에한명도없는경우도짝수로본다.) 38. 그림과같이일렬로놓인 개의정사각형의각칸에 A 또는 B 를적어넣는데다음규칙을따르기로한다. ( 가 ) 적어도한칸에는A 를적어넣는다. ( 나 )A 는인접하여적어넣지않는다. 이런방법으로개의정사각형에각칸에A 또는 B 를적어넣는모든방법의수를 이라하자. 예를들어 일때, 가능한모든경우의수는 의가지가있으므로 이다. 보기에서옳은것을모두고른것은? 38) 보기 ㄱ. ㄴ. 인경우맨왼쪽칸이 A 로시작하는방법의수와 B 로시작하는방법의수가같다. ㄷ 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 37) 8 38)

14 39. 다음그림은한마리의훈련된비둘기가 A 지점을출발하여걸어가거나날아서 A 지점에도달하는한가지방법을나타낸것이다. 이비둘기가 A 지점을출발하여걸어가거나날아서 A 지점에도달하는모든경우의수를구하시오. 39) ( 단, 이비둘기는 A i (i 지점에서만날아가기시작하거나착륙할수있고A 지점방향으로만갈수있다.) 40. 아래의표는 ( 은자연수 ) 의계수구 조를위에서부터차례로나열한것이다. 예를들면, 세번째행의숫자는 의전개식의각항의계수를 의미한다. 이표를적당히이용하여 의값 을구하면? 40) 다음과같이귀납적으로정의된 이있다., ( ) 이때, 의값을구하시오. 41) ( 단, 는 보다크지않은최대의정수이다.) 39) 89 40) 4 41)

15 42. 번부터 번까지의 명의학생이번호순서대로일렬로서있다. 이학생들에게다음규칙에따라구슬을나누어주었다. 규칙1 :번학생에게는 개의구슬을준다. 규칙2 : 이웃한두학생의구슬의개수의합은두학생중앞번호학생의번호의제곱과같다. 이때, 번학생이가지는구슬의개수는? 42) 그림과같이좌표평면에서직선 ( ) 가곡선 과제사분면에서만나는점을 P 라하자. 또, 축위의한점 A 에대하여직선 AP 가곡선 과제 사분면에서만나는점을 Q 라하자. 점 Q 의 좌표를 라할때, 의값을구하시오. 43) 44. 자연수 에대하여좌표평면위의동점 P 은다음과같은규칙으로움직인다. P 의좌표는 이다. 이면, 이고 이면, 이다. 이때, 의값을구하시오. 44) 42) 4 43) 44)

16 45. 이 을만족시킬때, 의값은? 45) 단 에서 의값은? 46) 46. 으로정의된 집합 에대하여다음두조건을만족시키는함수 의개수를 이라하자. 함수 는일대일대응이다. 의값을구하시오. 47) 45) 5 46) 1 47)

17 48. 인실수 에대하여 을다음과같이정의한다. 이되도록 이상의홀수 과 를정한다면, 의값이최대일때, 의값은 ( 는서로소인자연수 ) 이다. 이때, 의값을구하시오. 48) 49. 자연수 에대하여 log 의정수부분을 소수부분을 이라하자. 예를들어, log 이다. 을만족하는 의값중작은것부터 차례대로 이라할때, 의값을구하시오. 49) 50. 의일반항 을 에가까운자연수 라하자. 예를들어 이다. 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? 50) 보기 ㄱ. ㄴ. 를만족시키는자연수 의개수는 이다. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 48) 49) 50)

18 51. 이차함수 의그래프가오른쪽그림과같다. 의첫째항부터제항까지의합을 이라하면모든자연수 에대하여 이성립한다. 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? 51) ㄱ. ㄷ. 보기 ㄴ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 52. 자연수 에대하여 에가장가까운정수를 이라하자. 예를들 어, 이다. 이때, 의값을구하시오. 52) 53. 각자리의숫자가 또는 이고, 각자리의숫자의순서를반대로바꾸어얻어진수와원래의수를합하면모든자리의숫자가 이되는두자리이상의자연수가있다. 예를들어자연수 에대하여, 자연수 에대하여 이다. 이러한자연수를작은것부터차례대로 이라할때, 의각자리의숫자의합을구하시오. 53) 51) 3 52) 53)

19 54. 이상의자연수 에대하여한변의길이가 인정각형의한꼭짓점에서 개의대각선을그려나누어지는 개의삼각형의넓이를원소로하는집합이있다. 이집합의원소의개수를 이라할때, 다음그림은 임을나타내는것이다. 임의의자연수 가 를만족시킬때, 상수 에대하여 의값은? 54) ) (1) 에대하여 log 일때, 을만족시키는자연수 의최솟값을구하시오. (2) 은 로정의한다. 는서로소인자연수 ) 라할때, 의값을구하시오. (3) 로정의된 에서 의배수인항을작은수부터 차례로 이라할때, 는몇자리수인지구하시오. ( 단, log log 로계산한다.) 54) 5 55) (1) (2) (3)

20 56. 모든자연수를다음과같은규칙으로배열하였다. ( 가 ) 제행에는 을배열하고, 제행에는 를배열한다. ( 나 ) 모든자연수 에대하여제 행의가장작은수는제행의가장큰수보다 만큼크다. ( 다 ) 모든자연수 에대하여제 행에는 개의연속한홀수를, 제 행에는 개의연속한짝수를작은것부터차례로배열한다. 다음은위의규칙대로자연수를배열한것의일부분이다. 제 행부터제 행까지나열된수의집합을, 자연수 부터제 행의가장큰자연수까지연속한모든자연수의집합을 이라하자. 예를들어, 이다. 차집합 의원소의최댓값과최솟값의합을구하시오. 56) 행 행 행 행 행 행 행 행 57. 두문자 F 와 M 을다음규칙에따라 F 부터시작하여그림과같이적어나 간다. 제행에는 F를적는다. 제행 에적힌각 F에대하여제 행에는 F와 M을적는다. 제행 에적힌각 M에대하여제 행에는 F만적는다. 제 행에적힌 F의개수를, M의개수를 이라하자. 예를들어, 이다옳은 것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? 57) 보기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 56) 57)

21 58. 좌표평면위의원 의현중에서점 P 을지나고길이가자연수인서로다른현의개수를 이라할때, 의값을구하시오. 58) 59. 정사면체 의모든모서리의삼등분점을잡는다. 의각꼭짓점에서가까운삼등분점 개와그꼭짓점을모두이어서만든사면체 개를잘라내어팔면체 를만든다. 다시팔면체 의모든모서리의삼등분점을잡는다. 의각꼭짓점에서가까운삼등분점 개와그꼭짓점을모두이어서만든사면체 개를잘라내어이십면체 을만든다. 이와같은방법으로다면체,, 을만들때, 다면체 의면의개수는? 59) 다음과같은규칙으로수를배열한다. 제행에는 을 개배열한다. 제 행에는제행의수를그대로배열한다음이웃한두수의합을그두수사이에적는다. 제 행에배열된수의개수를, 제행에배열된모든수의합을 이라할때, 의값 은? 60) ) ) 5 60)

22 61. A 화원에서는매월 일에화분을분갈이하여보유하고있는모든화분에대하여 개의화분을 개로늘리기로하였다. 그런데분갈이하기전에 A 화원이보유하고있는전체화분이 개보다많으면이중 개를 B 화원으로보낸다음나머지화분만분갈이하기로하였다. 이러한과정을계속반복할때, 월 일에분갈이한직후 A 화원의전체화분이 개였다면 A 화원이보유하게되는화분이처음으로 개보다많아지는것은 월 일부터몇개월후인가? 61) ( 단, 화분의개수는매월 일에분갈이한직후에센다.) 1 개월후 2 개월후 3 개월후 4 개월후 5 개월후 62. [ 그림 1] 과같이두변 이 축과 축위에있고, 한꼭짓점이직 선 위에있는정사각형을 개 그린다. [ 그림 2] 와같이 [ 그림 1] 에서그린정사각 형의한변위에합동인정사각형을 개 그린다. 이때, 왼쪽끝에있는정사각형의한변은 축위에있고, 오른쪽끝에있는정사각형 의한꼭짓점은직선 위에있다. [ 그림 3] 과같이 [ 그림 2] 에서정사각형을그린방법으로합동인정사각형을 개그린다. 이와같은방법으로정사각형을계속그려나갈때, 첫번째그려진 개의정사각형의한변의 길이를, 두번째그려진 개의정사각형중에서 개의정사각형의한변의길이를,, 번째그려진 개의정사각형중에서 개의정사각형의한변의길이를 이라하자. 이때, 1 의값은? 62) ) 2 62)

완벽한개념정립 _ 행렬의참, 거짓 수학전문가 NAMU 선생 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에

완벽한개념정립 _ 행렬의참, 거짓 수학전문가 NAMU 선생 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에대하여 AB=BA 1 가성립한다 2 3 (4) 이면 1 곱셈공식및변형공식성립 ± ± ( 복호동순 ), 2 지수법칙성립 (은자연수 ) < 거짓인명제 >