2019 학년도중등교사임용경쟁시험해설 김동희 2018 년 11 월 27 일

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2 2019 A 기출 학년도 A2 Z 7 [x] 는유한체 finite field) Z 7 위의다항식환 polynomial ring) 이다. Z 7 [x] 의주아이디얼 단항이데알, principal ideal) I = x 2 x 에대하여잉여환 상환, factor ring, quotient ring) Z 7 [x]/i 의단원 unit, unit element) 의개수를구하시오. [2점] 해설. Z 7 [x]/i = {ax + b + I a, b Z 7 }. 여기서임의이 ax + b = ax + b + I 에대하여차수가 1 이하인표현자는유일하다. 따라서적당한 p, q Z 7 에대하여 ax + b)px + q) 1 mod x 2 x) 를만족하는 a, b Z 7 의개수를구하면된다. 그런데 x 2 x이므로위방정식은 ap + aq + bp = 0 따라서 b 0 이고이때 q = b 1 이므로대입하면 bq = 1 a + b)p = a b 만일 a = b 이면해없고, a b 이면해가존재한다. 따라서단원의개수는 6 2 = 36 이다. 별해. Z 7 [x]/ xx 1) 상의단원이란 fx) + I, fx), xx 1)) = 1 꼴의원소다. 따라서그개수는 = 36 1 김동희

3 기출 학년도 A3 다음과같이정의된함수 f : R 2 R가 0, 0) 에서연속이되도록하는자연수 n의최솟값을구하시오. [2점] x n y n x fx, y) = 30 +y, x, y) 0, 0) 30 0, x, y) = 0, 0) 해설. n 15 라고가정하자. f[t, t] = t2n 30 2, n = 15, n < 15 이제 n = 16 일때 f0, y) = fx, 0) = 0 이고, xy 0 이면 x 16 y 16 x 30 + y xy x2 + y 2 4 샌드위치정리에서, lim x,y) 0,0) fx, y) = 0. 곧 n 의최솟값은 16 이다. 별해. 매개화된함수 g θ r) = fr, θ) pol 에대하여극한 이성립하고그수렴이 θ 에대하여균등하면된다. 따라서 n > 15 이고이경우 이다. lim g θr) = 0 r 0 g θ r) = r 2n 30 cos n θ sin n θ cos 30 θ + sin 30 θ cosn θ sin n θ cos 30 θ+sin 30 θ 의상은컴팩트로유계이기때문에그수렴은균등하다. 따라서 n의최솟값은 16 2 김동희

4 기출 학년도 A4 좌표평면에서자연수 n 에대하여영역 D n 이 일때, 다음극한값을구하시오. 단, x 는 x 보다크지않은최대정수이다.) [2 점 ] D n = { x, y) R 2 x y) 2 + x 2 n } lim e x y) 2 +x 2 dxdy n D n 해설. I n = D n e x y)2 +x 2 d x d y 이라하자. x = u, y x = v 로치환하면, x,y) = 1. 따라서 I n = =2π =π u 2 +v 2 <n n 0 n 0 u,v) e u2 +v 2 d u d v, u = r cos θ, v = r sin θ, 0 r, 0 θ < 2π e r2 r d r, s = r 2, d s = 2r d r e s d s = π e 0 + e 1 + e e n 1)) 따라서 lim I π eπ n = = n 1 e 1 e 1 3 김동희

5 기출 학년도 A5 복소평면에서곡선 가 일때, 복소적분 e iπt, 0 t 1 : zt) = t 2, 1 < t 3 x 2 y 2 y ) + i2xy x) d z 의값을구하시오. 단, x, y 는실수이고 z = x + iy 는복소수이다.) [2 점 ] 해설. 피적분함수는 z 2 iz 2y 이다. 적분경로는다음그림과같고반시계방향이다 I = z2 iz d z, J = y d x, K = y d y 라할때 x 2 y 2 y ) + i2xy x) d z = I 2J + 2iK 이다. 코시적분정리에서 I = 0이고닫힌경로적분으로 K = 0. 또한, 그린정리에서 로둘러싸인부분을 D 라할때, J = d A = π 따라서 x 2 y 2 y ) + i2xy x) d z = 2π D 참고. 피적분함수는 z = x + iy 에서 x = z iy 를대입하여 x 2 y 2 y ) + i2xy x) = z 2 iz 2y 로계산할수있다. 별해. 그린정리를사용하여 x 2 y 2 y ) + i2xy x)d x + i d y) = = D =2π P d x + Q d y, P = x 2 + 2ixy ix y 2 y, Q = ix 2 2xy + x iy 2 iy Q x P y d A, Q x P y = 2 4 김동희

6 기출 학년도 A6 3차원유클리드공간 R 3 에서곡선 가 = { x, y, z) R 3 y = x 3 ax + a, z = x 1 } 일때, 이곡선의비틀림률 열률, 꼬임률, torsion) τ 를구하시오. 또한점 1, 1, 0) 에서곡선 의곡률 curvature) 이 3이되도록하는 a의값을구하시오. 단, a는상수이다.) [2점] 해설. 이곡선은평면 z = x 1 상에있으므로그열률은 0 이다. 이제 rt) = t, t 3 at + a, t 1 이라하면, vt) = 1, 3t 2 a, 1, at) = 0, 6t, 0 이다. 따라서 v = 2 + 3t 2 a) 2. 이제 t = 1 에서 a T = d v d t t=1 = 6a 3). 또, a = 6. 따라서 a N = a 2 a 2 a 6)a+11 T = 72 a 6)a+11. κ = 3 이므로 a N = κv 2 에서 으를풀면 a = 3 을얻는다. 72 a 6)a + 11 = a) 2) 5 김동희

7 기출 학년도 A7 두개의부붚가와나로구성된시스템이있다. 이시스템의수명은작동을시작한후두부품중하나가고장날때까지걸리는시간이다. 부품가가고장날때까지걸린시간 X 와부품나가고장날때까지걸린시간 Y 는서로독립이고, 두확률변수 X, Y 의확률밀도함수는각각 f X x) = 1 5 e x 5 x > 0) f Y y) = 1 y 10 e 10 y > 0) 이다. 이시스템의수명 Z 에대하여확률 PZ > 10) 을구하시오. [2 점 ] 해설. Z > 10 은 X > 10 그리고 Y > 10 과같은조건이다. 두확률변수가독립이므로 = PZ > 10) = PX > 10 Y > 10) = PX > 10) PY > 10) e x 5 d x 1 y e 10 d y = 1 e 3 6 김동희

8 기출 학년도 A8 특정프로젝트에지원한 5 명의위원 A, B,, D, E 가있다. 다음은이 5 명의위원이작업할수있는요일을각각 기호로표시한것이다. 이프로젝트를수행하기위하여 5명의위원중 4명을선발하여서로다른요일에배치하는 경우의수를구하시오. 단, 선발된위원은일주일중하루만작업한다.) [2점] 요일월화수목금토일위원 A B D E 해설. A, B, 는월화수목, D, E는금토일에배치가능하므로, 두집단에대하여배치요일은서로독립이다. 4명을뽑아야하므로다섯명중에서한명을제외하게된다. A,B,세명을월화수목에서로다른요일에배치하는방법은 B, 를배치하면 A는남은두요일중아무대나배치가능하기때문에 2 + 3) 2 = 12가지가능. A,B,중두명을월화수목에서로다른요일에배치하는방법은 A 를제외할경우 5 가지. B 제외한경우는 먼저선택하고 A를선택하면 9가지. 제외한경우 B 먼저선택하고 A선택하면 6가지. 따라서 = 20. D, E 두명을금토일에배치하는방법은 2가지. 둘중한명을제외하고금토일에배치하는방법은그저동그라미수인 4이다. 구하는경우의수는 = 88 7 김동희

9 기출 학년도 A11 함수 h : R R 가 hx) = 1 0 x 2 x 4 +t 2 dt, x 0 0, x = 0 일때, 극한값 lim x 0 hx) 를풀이과정과함께쓰시오. 또한자연수 n 에대하여함수 h n : R R 가 h n x) = n k=1 nx 2 n 2 x 4 + k 2 일때, R 에서함수열 {h n } 이 h 로평등수렴 균등수렴, 고른수렴, uniform convergence) 하는지를판별하고그이유를 쓰시오. [4 점 ] 해설. x 0 일때, 1 hx) = 0 = x 2 x 4 + t 2 d t, t = x2 tan θ, π 2 < θ < π 2, d t = x2 sec 2 θ d θ arctan 1 x 2 0 x 2 x 4 sec 2 θ x2 sec 2 θ d θ 따라서 = arctan 1 x 2 lim hx) = lim arctan t = π x 0 t 2 이로부터우리는 h nx) 가 hx) 로균등수렴할수없음을알수있다. 이를보이기위하여 h nx) 가 hx) 로균등수렴한다고가정해보자. 그러면 각각의 h nx) 가연속이기때문에 hx) 도연속이어야한다. 그런데 hx) 는 x = 0 에서연속이아니기때문에균등수렴이아니다. 참고로문제에서구체적으로요구하지는않았지만, h nx) 는 hx) 로점별수렴한다는것을보이자면, 먼저 x = 0 일때는 h nx) = h n0) = 0 = h0). 이제 x 0 일때는 n lim hnx) = lim n n k=1 n x 2 1 = lim n x 4 + t 2 t = k=1 k 0 =hx) nx 2 n 2 x 4 + k 2, t k = k n, t = 1 n x 2 x 4 + t 2 d t 8 김동희

10 기출 학년도 A12 실수전체의집합 R 위의위상 T = { U R R U 는유한집합 } { } 에대하여, R, T ) 의두부분공간 subspace) A = [0, 1] [2, 3) 과 B = {3, 4, 5} 의위상을각각 T A, T B 라하자. 집합 X = A B 에서 T A T B 를기저 base, basis) 로하는위상을 T 이라할때, 위상공간 X, T ) 에서집합 = { 3 1 n n N } {3} 의경계 boundary) b) 를구하시오. 또한 X, T ) 이컴팩트공간 compact space) 임을보이시오. 단, [0, 1] = {x R 0 x 1}, [2, 3) = {x R 2 x < 3} 이고 N은자연수전체의집합이다.) [4점] 해설. 먼저 T 은 X 에서여유한위상임을보이자. X 의임의의열린집합 U 에대하여어떤 A와 B 의 T 상대위상에의한열린집합 E 와 F 가존재하여 U = E F 이다. X \ U = A B) \ E F ) =A B) \ E) A B) \ F ) =A \ E) B) A B \ F )) =A \ E) B \ F ) 그런데 A \ E 와 B \ F 는모두유한집합이므로 U 는여유한위상에포함된다. 역으로 X 의여유한위상에서열린집합 V 를하나뽑으면 A \ V ) 와 B \ V ) 는모두유한집합으로 V T 이다. 따라서 T 은그저여유한위상이다. 이제 의경계를생각하자. 는무한집합이므로임의의 X 상의열린집합과만난다. 따라서 의경계는 X 그자체다. 이제 X 의임의의닫힌집합의집합 를생각하자. 의임의의부분집합의교집합이공집합이아니라고가정하자. 이제 의교집합이공집합이아님을보이면컴팩트성의증명이끝이난다. 이를위해서 = 이라고가정해보자. 그렇다면 X 인 가존재한다. 이때 는유한집합이다. 의각원소에대하여그각각을포함하지않는 의원소들이존재한다. 이들의교집합은공집합으로가정에모순된다. 9 김동희

11 기출 학년도 A13 3 차원유클리드내적공간 R 3 의세벡터 v 1 = 1, 0, 0), v 2 = 1, 1, 1), v 3 = 0, 1, 1) 에대하여, 두벡터 v 1, v 2 로생성된부분공간을 W 1,2 라하고두벡터 v 1, v 3 으로생성된부분공간을 W 1,3 이라하자. R 3 의벡터 u에대하여부분공간 W 위로의 u의정사영 orthogonal projection) 을 proj W u라하고, 실수 k 에대하여선형변환 T k : R 3 R 3 을 T k u) = proj W12 u + proj W13 u + ku 로정의하자. T k 의역변환 inverse transformation) 이존재하지않도록하는모든 k 의값을풀이과정과함께쓰시오. 또한 T k 의랭크 계수, 계습수, 유효차수, rank) 가 2 인 k 의값을구하시오. 단, 두벡터 u 1 a 1, a 2, a 3 ), u 2 b 1, b 2, b 3 ) 의유클리드내적은 u 1 u 2 = e i=1 a ib i 이다.) [4 점 ] 해설. v 1, v 2 ) 에그람 - 슈미트과정을적용하면 v 2 = v 2 v 2 v 1 v 1 = 0, 1 2, ) 1 2 에대하여 v 1, v 2) 를얻는다. 따라서 u = x, y, z) 에대하여 마찬가지로 v 3 = 0, 1 2, 1 2 ) 일때 proj W12 u) = u v 1 v 1 + u v 2v 2 = proj W13 u) = u v 1 v 1 + u v 3v 3 = x, y + z 2, y + z ) 2 x, y z 2, y + z ) 2 따라서 T k u) = 2x, y, z) + ku 변환 T k 의표현행렬은대각성분만 2 + k, 1 + k, 1 + k 인것이다. 따라서역변환이존재하지않기위해서는 k = 1 또는 k = 2 이다. 이행렬은대각행렬이므로그랭크는대각선성분중영이아닌것의개수다. 따라서랭크 2 인경우의 k 값은 2 이다. 10 김동희

12 기출 학년도 A14 G 는위수 order) 가 150 인군 group) 이다. 위수가 6 인 G 의부분군 subgroup) 이유일하게존재할때, 위수가 30 인 G 의부분군이존재함을보이시오. 해설. 위수가 6인부분군 K 가유일하기때문에 K G이다. 또한 5 150이므로위수 5인부분군 H 가존재한다. 제 2 동형정리에서 HK/K H/K H) 그런데 K 와 H 의위수는서로소이므로 K H =. 따라서 HK = 30 따라서 HK 가위수 30인부분군이다. 11 김동희

13 2019 B 기출 학년도 B2 어느지역고등학생들의몸무게 kg) 는정규붙포 Nµ, 9 2 ) 을따른다고한다. 이지역의고등학생중에서임의로추출한 36명의몸무게에대한표본평균을 X 라하자. P X µ > c ) = 0.1 을만족시키는상수 c 의값을풀이과정과함께쓰시오. 또한 36 명의표본으로부터관측된표본평균의값이 60 일때, 모평균 µ 에대한 90% 신뢰구간 confidence interval) 을풀이과정과함께쓰시오. 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z 에대하여 PZ < 1.64) = 0.95 이고, 모평균에대한신뢰구간은양면신회구간 two-sided confidence interval) 을의미한다.) [4점] 해설. 표본평균 X 는정규분포 N µ, 로나타난다. 이는 X = 3 2Z + µ 임을뜻하고곧 ) 를따른다. 따라서표준화변수 Z 는 Z = X µ 3 2 P X µ > c ) = P Z > 2 3 c ) = 0.1 을풀게된다. 곧, 와같은방정식이니 c = 2.46을얻는다. 이때, 이므로모평균 µ 에대한 90% 신뢰구간은 P Z < 23 ) c = 0.95 P X µ < c ) = 90% [57.54, 62.46] 이다. 12 김동희

14 기출 학년도 B3 자연수 m 에대하여집합 T m 을 T m = { a N a ϕ8m) 1 } mod 8m), 1 a 8m 으로정의할때, 집합 T m 의원소의개수가 4ϕm) 이되도록하는 100 이하의자연수 m 의개수를풀이과정과함께 쓰시오. 단, N 은자연수전체의집합이고, ϕn) n N) 은 n 이하의자연수중에서 n 과서로소인수의개수로 정의되는오일러 ϕ- 함수이다.) [4 점 ] 해설. 자연수 m 에대하여만일 a, 8m) = 1 이라면 a ϕ8m) 1 mod 8m) 이다. 역으로 a ϕ8m) 1 mod 8m) 이라면 a, 8m) = 1이다. 따라서 T m 의원소의개수는 ϕ8m) 이다. 이제 m = 2 t M, 2 t m, 2 M 이라하자. 그러면 ϕ8m) = ϕ 2 t+3 M ) = 2 t+2 ϕm). 이것이 4ϕm) 과같다면 ϕm) = ϕ 2 t M ) = 2 t ϕm) 곧, t = 0으로 m이홀수인조건이된다. 따라서이를만족하는 100이하의자연수 m의개수는 50이다. 13 김동희

15 기출 학년도 B4 실숫값을갖는두함수 ux, y), vx, y) = e y x cos x y sin x) 와복소수 z = x + iy x, y 는실수 ) 에대하여, fz) = ux, y) + ivx, y) 가정함수 entire function) 이다. 곡선 가 x = cos t, y = sin t 0 t 2π) 로정의된원일때, yux, y)dx + xux, y)dy = 6π 이다. f0) 의값과함수 ux, y) 를각각풀이과정과함께쓰시오. [4 점 ] 다음정리는필요하면증명없이사용할수있다. 복소평면의열린집합 D 에서해석적인함수 f : D 에대하여, r > 0 이고 {z z z 0 r} D 이면 f z 0 ) = 1 2π 2π 0 f z 0 + re it) dt 해설. 코시리만방정식에서 곧 u x = v y = e y y 1) sinx) x cosx)) u = e y y cosx) x sinx)) + gy) u y + v x = g y) 이므로 gy) = g 로상수다. 주어진정리에서 yux, y)dx + xux, y)dy = u d θ + i v d t = 2πg u d t = 6π 그런데 g 는실수이므로 6π = 2πg, 곧, g = 3 이다. 따라서 f0) = 3, ux, y) = e y y cosx) x sinx)) + 3 이다. 14 김동희

16 기출 학년도 B5 3차원유클리드공간 R 3 에서곡면 M : z = 1 4 x 4 + y 4) 과평면 H : x + y z = d가한점 p에서접할때, 상수 d의값을구하시오. 또한접점 p 에서곡면 M 의가우스곡률 Gaussian curvature) K 의값을풀이과정과함께쓰시오. [4점] 해설. gx, y, z) = x4 +y 4 4 z 라하자. 접점에서 g = x 3, y 3 1 1, 1, 1 이다. 따라서접점에서 x = y = 1, z = 1 2. 곧, d = 3 2. 이제좌표조각 x = x, y, x4 +y 4 에대하여, x x = 1, 0, x 3, x y = 0, 1, y 3, U = 1 W x x x y ), W = 1 + x 6 + y 6. 4 E = x x x x = 1 + x 6, F = x x x y = x 3 y 3, G = x y x y = 1 + y 6. x xx = 0, 0, 3x 2, x xy = 0, x yy = 0, 0, 3y 2. L = x xx U = 3x2 3y2 W, M = 0, N = W. G = LN M 2 9x 2 y 2 W 2 = 1 + x 6 + y 6 ) 2 = 1 15 김동희

17 기출 학년도 B6 유리수체 Q위에서대수적인두실수 a, b에대하여단순확대체 simple extension) K = Qa + bi) 가 Q위의갈루아확대체 정규확대체, Galois extension field, normal extension field) 이고갈루아군 Galois group) GK/Q) 가아벨군 abelian group) 이라하자. a 2 +b 2 Q이고 b 0일때, GK/Q) 의위수 order) 는짝수임을보이시오. 또한 GK/Q) 의위수를 2m 이라할때, 자연수 m 의각각의양의약수 d 에대하여 Q[z] 에속하고모든근이실수이며차수가 d 인, Q 위의기약다항식 irreducible polynomial) 이존재함을보이시오. 단, i = 1 이고 Q[x] 는 Q 위의다항식환 polynomial ring) 이다.) [5점] 해설. 복소수 a + bi 의유리계수최소다항식을 fx) 라하자. K 가갈루아확대체이므로 fx) 의모든근을포함한다. 따라서 a bi K. 따라서 a K 이다. 곧, E = Qa) 라할때, K E Q는중간체이다. 또한, b 0이고 E R이므로 x 2 2ax + a 2 + b 2 E[x] 가 E[x] 위에서기약이며따라서 K 는 E 위에 2차확장체다. GK/Q) = [K : Q] = [K : E] [E : Q] 이므로 [E : Q] = m이라할때 GK/Q) = 2m이다. GK/Q) 가가환이므로 GE/Q) 도가환이다. 따라서 GE/Q) 에라그랑주정리의역이성립하여임의의 d m에대하여위수 d인부분군이존재한다. d m에대하여위수 m/d인부분군을 H 라하면 E 의부분체로 H 에대한고정체를 F 라할때 [F : Q] = d이고표수 0 에서 F = Qα) 이므로 Irrα, Q) 는정확히 d개의실근을가지는 d차다항식일뿐아니라그근은모두 E K 에있다. 16 김동희

18 기출 학년도 B7 실수열 {a n } 을 a 1 = 1, a n+1 = 2a 2 n + 1 ) 1 5 n 1) 로정의하자. 모든자연수 n 에대하여 1 a n 2 임을보이고, 수열 {a n } 이수렴함을보이시오. [5 점 ] 해설. 모든자연수 n 에대하여 1 a n 2 이다. 이것을수학적귀납법으로증명하자. 먼져 n = 1 일때는 a 1 = 1 이므로 성립한다. 이제 n = k 일때성립했다고가정하자. fx) = 2x 2 + a ) 1 5 라하면 fx) 는 0 x 에서증가함수다. 1 = f0) < f1) fa k = a k+1 = fa k ) f2) < f 따라서수학적귀납법에의하여 1 a n 2 가임의의자연수 n 에대하여성립한다. a 2 = > a 1 이다. 이제어떤 k 에대하여 a k > a k 1 이라고가정해보자. 그러면 ) 31 = 2 2 a k+1 = fa k ) > fa k 1 ) = a k 가성립한다. 따라서 {a n } 은증가수열이다. {a n } 은증가하며위로유계이므로수렴한다. 17 김동희

19 전공수학합격전략설명회 이경호수학교육론, 김동희전공수학합격전략설명회 강사 날짜 시간 이경호수학교육론 10:00 ~ 10:50 12/18 화 ) 김동희전공수학 11:00 ~ 12:30 < 세부내용 > 이경호수학교육론 1. 이경호수학교육론연간강의계획안내 - 출제경향에근거하여재구성된교재및강의소개 학년도수학교육론기출분석 2. 강의에대한질의응답 김동희전공수학 1. 김동희전공수학연간강의계획안내 - 출제경향에근거하여재구성된교재및강의소개 학년도전공수학기출분석 2. 강의에대한질의응답 < 접수방법 > 박문각임용고시학원 홈페이지왼쪽하단 < 설명회신청 > 배너를클릭후 이경호수학교육론, 김동희전공수학 2020 학년도대비합격전략설명회신청 < 문의사항 > 이경호수학교육론블로그 김동희전공수학카페 블로그 18 김동희

2018 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학, 해석학, 복소해석, 위상수학, 정수론, 선형대수, 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 1

2018 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학, 해석학, 복소해석, 위상수학, 정수론, 선형대수, 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 1 8 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학 해석학 복소해석 위상수학 정수론 선형대수 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 8년 수학 임용고시 기출풀이 (안내) 제가 작성한 8년 수학 임용시험 기출 풀이 참고 답안입니다. 8년 임용 시험을 치르신 분들과 앞으로 준비 하시는 분들께 참고가 되었으면 좋겠습니다. 혹시 풀이에 오류가 있다면 제 이메일(junmomath8@gmail.com)