TOPOLOGY-WEEK 6 & 7 KI-HEON YUN 1. Quotient space( 상공간 ) X 가위상공간이고 Y 가집합이며 f : X Y 가전사함수일때, X 의위상을사용하여 Y 에위상을정의할수있는방법은? Definition 1.1. X 가위상공간, f : X

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아현 봉
5 years ago
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1 TOPOLOGY-WEEK 6 & 7 KI-HEON YUN 1. Quotient space( 상공간 ) X 가위상공간이고 Y 가집합이며 f : X Y 가전사함수일때, X 의위상을사용하여 Y 에위상을정의할수있는방법은? Definition 1.1. X 가위상공간, f : X Y 가전사함수일때, T Y = {U Y f 1 (U) is open set in X} 로정의하면 (Y, T Y ) 는위상공간이된다. 이위상공간을상공간 ( quotient space), T Y 를상위상 (quotient topology) 이라한다. T Y 가 Y 의위상이됨을보이자. (1) = f 1 ( ) 이므로 T Y (2) f 가전사함수이므로 f 1 (Y ) = X. 따라서 X T Y (3) 임의의갯수의 T Y 의원소 U α, α A, 에대하여 f 1 ( α A U α ) = α A f 1 (U α ) 이므로 α A U α T Y 이다. (4) 임의의유한개의 T Y 의원소 U 1, U 2,, U n 에대하여 Example 1.2. 이므로 n i=1 U i T Y 이다. f 1 ( n i=1u i ) = n i=1f 1 (U i ) (1) f : E 1 [0, 1] 이 0 if x < 0 f(x) = x if x [0, 1] 1 if x > 1 로정의되면 f 에의하여유도되는 [0, 1] 의위상은 [0, 1] 의보통위상과같다. (2) E 1 에동치관계 x y iff x y Z 을주어얻어지는함수 q : E 1 E 1 /, q(x) = [x] 에의하여얻어지는상공간 E 1 / 은유클리드공간의부분공간 S 1 과위상동형이다. Date: 2009 년 10 월 6 일 1

2 2 KI-HEON YUN Proposition 1.3. 정규공간 X 와 X 의닫힌집합 C 에대하여다음과같이동치관게 x y iif (x C&y C) 또는 (x = y) 를정의하면상공간 X/ 은 Hausdorff 공간이된다. Proof. X/ 의서로다른임의의두원소 [x], [y] 와상사상 q : X X/ 에대하여 { q 1 {x}, if x C ([x]) = C, if x C 가되므로다음 2가지경우로나누어진다. (1) x, y C인경우 : X가정규공간이므로 x U, y V 인서로소이면서 C와만나지않는열린집합 U, V 가존재한다. 그리고 [x] q 1 (q(u)) = U, [y] q 1 (q(v )) = V 이고 q(u) q(v ) = 이된다. (2) x, y중하나만 C의원소인경우 : x C, y C라가정하자. 그러면 X가정규공간이므로 C U, {y} V 를만족하는서로소인열린집합 U, V 가존재한다. 그리고 [x] q(u), [y] q(v ), q(u) q(v ) = 이고 q 1 (q(u)) = U, q 1 (q(v )) = V 를만족한다. 따라서위의두경우에의해 X/ 은 Hausdorff 공간이된다. Remark 1.4. 위의 Proposition 에서 C 가닫힌집합이란조건은필수적이다. 왜냐하면 X = E 1, C = Q 인경우 E 1 / 은 Hausdorff 공간이되지않는다. 그이유는 Q 는 E 1 에서조밀하므로임의의무리수 s 에대하여 s 를포함하는열린집합은 Q 를포함하는열린집합과공통원소를가진다. 이예로부터우리는 Hausdorffness 는연속인전사함수에의하여보존되지않음을알수있다. Proposition 1.5. f : X Y 가연속함수이고 이 x y iff f(x) = f(y) 로정의된 X 의동치관계일때, ˆf([x]) = f(x) 로정의되는함수 는연속함수이다. ˆf : X/ Y Proof. 임의의 Y 의열린집합 U에대하여 q 1 ( ˆf 1 (U)) = f 1 (U) 이고 f가연속함수이므로 ˆf 1 (U) 는 X/ 의열린집합이다. Theorem 1.6. E 1 에동치관계 x y iff x y Z 을주어얻어지는함수 q : E 1 E 1 /, q(x) = [x] 에의하여얻어지는상공간 E 1 / 은유클리드공간의부분공간 S 1 과위상동형이다. Proof. 연속함수 f : E 1 S 1, f(x) = e 2πix, 와 E 1 의닫힌집합 Z 에대하여 ˆf : E 1 / S 1, ˆf([x]) = f(x) 로정의하면이함수는위의 Proposition의조건을모두다만족한다. 따라서 ˆf 는연속인전단사함수이다. 그리고 E 1 / = q([0, 1]) 이므로 E 1 / 은 compact공간이고 S 1 은 Hausdorff 공간이다. 따라서 ˆf 는위상동형사상이다.

3 TOPOLOGY-WEEK 6 & 7 3 같은방법으로 D 2 = {(x, y) x 2 + y 2 1}, C = D 2 = {(x, y) x 2 + y 2 = 1} 에대하여 가된다. D 2 / C = S 2 2. Local compactness and one point compactification Definition 2.1. 위상공간 X 의임의의점 x X 에대하여 U 가 compact 가되는 x 의열린근방 U 가존재하면 X 를국소 compact(locally compact) 라한다. Example 2.2. (1) E 1 은국소 compact 공간이다. (2) 임의의 compact 공간은국소 compact 공간이된다. (3) E 1 의부분공간 Q 는국소 compact 가아니다. 이것을보이기위하여거리공간의부분공간은거리공간이고거리공간에서 compact 와점열 compact 는동치이므로 Q 의임의의열린집합이점열 compact 가아님을보이면된다. Proposition 2.3. X 가국소 comapct Hausdorff 공간일때, 집합 X = X { } 에위상 T = {U U T X } {X \ K K 는 X 의 compact set} 을주면 (X, T ) 는 comapct Hausdorff 공간이된다. Definition 2.4. 위에정의된 (X, T ) 를위상공간 X 의한점 compact 화 (one point compactification) 이라한다. Proof. 우리는다음세가지를증명할것이다. (1) (X, T ) 는위상공간이다. (2) (X, T ) 는 Hausdorff 공간이다. (3) (X, T ) 는 compact 공간이다. 3. Tietze Extension Theorem Definition 3.1. 연속함수열 {f n : X E 1 n N} 이임의의주어진 ɛ > 0 에대하여 n, m N 이면 f n (x) f m (x) < ɛ 을만족하는자연수 N 을 x 와상관없이잡을수있을때이함수열이균등수렴한다 ( converges uniformly) 고말한다. Proposition 3.2. 균등수렴하는연속함수열 f n : X E 1 은점별수렴하고점별수렴으로얻어지는함수 f : X E 1, f(x) = lim n f n (x), 는연속함수이다. Theorem 3.3 (Tietze extension Theorem). X 가정규공간이고 A 가 X 의닫힌부분집합이고 f : A [0, 1] 이연속함수이면 ˆf A = f 인연속함수 이존재한다. ˆf : X [0, 1]

4 4 KI-HEON YUN Proof. 주어진연속함수 f : A [ c, c] 에대하여 C = g 1 ([ c, c 3 ]) D = g 1 ([ c 3, c]) 라하면 C, D 는 X 의닫힌집합이고따라서 Urysohn s Lemma 로부터 ĝ : X [ c 3, c 3 ], ĝ(c) = c 3, ĝ(d) = c 3, ĝ(x) c 3 을만족하는연속함수 ĝ 가존재한다. 이로부터 임을쉽게알수있다. 연속함수 에위의과정을적용시키면 인연속함수를얻고 g ĝ A = sup{ g(x) ĝ(x) } 3c x A 2 f : A [ 1, 1] f 1 = ˆf : X [ 1 3, 1 3, f f 1 A 2 3 g 1 := f f 1 : A [ 2 3, 2 3 ] 은연속함수가된다. g 1 에위의과정을적용시키면 f 2 = ĝ 1 : X [ 2 3 2, ], g 1 f 2 A = f (f 1 + f 2 ) A ( 2 3 )2 인연속함수가얻어진다. 이과정을반복하면다음과같은연속함수열 을얻을수있고이함수열은 f n : X [ 2n 1 3 n, 2n 1 3 n ] f (f 1 + f f n ) A ( 2 3 )n 을만족한다. S n := f 1 + f f n 이라하면 n > m인자연수에대하여 n 2 k S n S m = f m+1 + f m f n 3 k+1 < (2 3 )m 이성립하고따라서연속함수열 {S n } 은균등수렴하는함수열이된다. 그러므로이함수열의점별극한함수 f = k=1 f k는연속함수이고 f f A = 0가된다. 그리고 f f k 1 k=1 k=m

5 이므로 TOPOLOGY-WEEK 6 & 7 5 f : X [ 1, 1] 이된다. 이연속함수가우리가원하는 f : A [ 1, 1] 의확장함수이다. Corollary 3.4. 정규공간 X 와 X 의닫힌집합 A 에대하여임의의연속함수 f : A [0, 1] n 는 X 로확장된다. Proof. 1 k n 에대하여 f k := p k f : A [0, 1] 로정의하면이함수는 Tietze 확장정리의모든조건을만족하므로확장함수 f k : X [0, 1] 이존재한다. f = ( f 1, f 2,, f n ) : X [0, 1] n 이우리가원하는확장함수가된다. Remark 3.5. 위의따름정리에서 [0, 1] n 을임의의위상공간 Y 로바꾸면위의명제는참이아니다. 예를들면 X = [ 1, 1], Y = { 1, 1} 일때, 은 [ 1, 1] 로확장되지않는다. id : { 1, 1} { 1, 1} 4. Baire Category Definition 4.1. (1) S X이고 U가 X의열린집합일때, S U U를만족하면 S가 U에서조밀하지않다 (not dense) 고말한다. (2) S의임의의열린집합에대하여 S가조밀하지않을때, S가조밀한곳이없다 (nowhere dense) 고한다. (3) S가가산개의조밀한곳이없는집합의합집합으로표현될때제1범주 (first category) 라한다. (4) S가제1범주가아닐때, 제2범주 (second category) 라한다. Example 4.2. (1) 유클리드공간의부분공간 Q 는제 1 범주이다. (2) E 1 의부분공간 S 에내점이있으면 S 는제 2 범주이다. Theorem 4.3 (Baire Category Theorem). 완비거리공간은제 2 범주이다. Corollary 4.4. 완비거리공간의부분공간이내점을가지면제 2 범주이다. Example 4.5. 평면 E 2 는가산개의직선의합집합으로표현할수없다. 연습문제다음에제시된문제는 Kahn 의 Topology 책의 6 장연습문제에기반을둔것입니다. 1. Torus T 2 = S 1 S 1 은 D = {(x, y) (x, y) E 2, 0 x 1, 0 y 1} 에동치관계 { (x, 0) (x, 1), all 0 x 1 (0, y) (1, y), all 0 y 1

6 6 KI-HEON YUN 를주어얻어지는상공간 D/ 과위상동형임을보이시오. 2. 유클리드공간 E 1 에동치관계 x y iff x y Z 를주어얻어지는위상공간 E 1 / 은 Hausdorff 공간이아님을보이시오. 3. 임의의위상공간 X 에정의된동치관계 에의하여유도되는함수 ρ : X X/, ρ(x) = [x] = {y X x y} 는연속인전사함수임을보이시오. 따라서 X 가 compact ( connected ) 이면 X/ 도역시 compact (connected) 임을보이시오. 4. S n 은 E n 의한점옹골화 (one point compactification) 과위상동형임을보이시오. 5. [0, 1) 의한점옹골화를찾으시오. 6.X 가정규공간, A 가 X 의 compact 집합, f : A E n 이유계인연속함수이면 f 는 X 로확장될수있음을보이시오. 7. Tietze 확장정리에서 A 가닫힌집합이란조건이빠지면안됨을보이시오. 8. X 가길연결인정규공간일때다음두명제가동치임을보여라. (1) f : X [0, 1] 인연속인전사함수가존재한다. (2) X 는 2 점이상의원소를갖고있다. 만일 X 가정규공간이아니어도위의동치관계는성립하는가? 9. 유클리드공간의부분공간으로무리수의집합은제 2 범주임을보여라. 10. 완비거리공간의닫힌부분공간은완비거리공간이됨을보여라. 11. 위의사실과 Baire 범주정리를이용하여 S 2 는가산개의원의합집합으로표현될수없음을보여라. 12.R l 을실수집합에아래끝위상을준위상공간이라할때, R l R l 은정규공간이아님을보여라. 13. f : E 1 E 1 이모든무리점에서연속이고모든유리점에서불연속일수있는가? 또는, 모든유리점에서연속이고모든무리점에서불연속일수있는가?

함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition 0.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function space) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과

함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition 0.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function space) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과 함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function spce) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과같음을볼수있다. 각 x X에대해 Y x = Y 라하자. 그리고 F := Y x x X 이라하자.