Fraleigh

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1 현대대수학연습문제 - 제 7 판

2 - 차례- 02장이항연산 - 대수학카페참조 - 03장동형인이항구조 - 대수학카페참조 - 04장군 - 대수학카페참조 - 05 장부분군 (p 3) 06 장순환군 (p 18) 08 장치환군 (p 30) 09 장궤도, 순환, 치환과교대군 (p 41) 10 장잉여류와라그랑지정리 (p 50) 11 장직적과유한생성가환군 (p 62) 13 장준동형사상 (p 77) 14 장잉여군 (p 89) 15 장잉여류의계산과단순군 (p 100) 18 장환과체 (p 109) 19 장정역 (p 124) 20 장페르마와오일러정리 (p 132) 21 장정역의분수체 (p 139) 22 장다항식환 (p 144) 23 장체에서다항식의인수분해 (p 153) 26 장준동형사상과잉여환 (p 162) 27 장소아이디얼과극대아이디얼 (p 175) 45 장유일인수분해정역(UFD) (p 185) 46 장유클리그정역(ED) (p 194) 47 장가우스정수와승법노름 (p 204) 29 장확대체의소개 (p 213) 30 장벡터공간 (p 224) 31 장대수적확대체 (p 234) 32 장작도가능성 (p 245) 33 장유한체 (p 249) - 2 -

3 Fraleigh 대수 5 장부분군 문제 1~6 에서주어진복소수의부분집합은덧셈위에서복소수의군 의덧셈에대한부분군이되는가를결정하라 1 이고임의의 에대하여 이므로 은군 의덧셈에대한부분군이된다 2 이지만 이므로 는군 의덧셈에대한부분군이될수없다 3 이고임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 그러면 이성립한다 그러므로 는군 의덧셈에대한부분군이된다 4 0 을포함한순허수의집합 이고임의의 에대하여 이존재해서 를만족한다 그러면 이성립한다 따라서 는군 의덧셈에대한부분군이된다 5 의유리수배의집합 는 의부분집합임은자명하다 또한 는덧셈에대한연산에서군을이룬다 따라서 는군 의덧셈에대한부분군이된다 6 집합 집합 는 의부분집합임은자명하다 하지만 이다 따라서집합 는군 의덧셈에대한부분군이될수없다 7 문제 1~6 중에서복소수의부분집합은곱셈위에서복소수의군 의곱셈에대한부분군이되는 가를결정하라 인경우 0 을포함한다 이경우에 0 에관하여곱셈에대한항등원이존재하지않는다 따라서 은 군 의곱셈에대한부분군이될수없다 인경우는 의부분집합이며곱셈연산에관하여군을이루므로따라서 는군 의곱셈에 대한부분군이다 인경우 0 을포함한다 따라서 는군 의곱셈에대한부분군이될수없다 - 3 -

4 인경우 0 을포함한다 따라서 는군 의곱셈에대한부분군이될수없다 인경우 0 을포함한다 따라서 는군 의곱셈에대한부분군이될수없다 는 의부분집합임은자명하다 또한곱셈에대하여군을이룬다 그러므로 는군 의곱셈에대한부분군이다 문제 8~13 에서, 실수를원소로갖는 인가역행렬이군 의부분군인가를결정하라 8 이일반선형군 의부분집합임은자명하다 또한임의의 에대하여가역행렬이므로 이다 하지만 이다 그러므로 은곱셈에대하여일반선형군 의부분군이될수없다 9 - 생략함 생략함 - 11 곱셈에관한연산에대하여닫혀있지않다 따라서 은일반선형군 의곱셈에관하여부분군이될수없다 12 이일반선형군 의부분집합임은자명하다 또한, 임의의 에대하여 이고 이므로 을만족한다 따라서 은일반선형군 의곱셈에관하여부분군이될수있다 13 이일반선형군 의부분집합임은자명하다 또한, 임의의 에대하여 이고 이므로 을만족한다 따라서 은일반선형군 의곱셈에관하여부분군이될수있다 - 4 -

5 정의역을 로갖는모든실가함수의집합을 라하고 를 내의모든점에 0 이아닌값을함수 로구성된 의부분집합이라하자 문제 7~12 에서유도된이항연산을갖는 의주어진부분집합이 덧셈에대해군 의부분군 곱셈에대한군 의부분군이되는지를결정하라 14 부분집합 1 를만족하지않는다 ( 항등함수 0 이존재하지않는다 ) 2 를만족한다 ( 는 의부분집합임에는자명하다 또한, 임의의 ( ) 에대하여 이므로 이고 이므로 이다 따라서 는곱셈에대하여군 의부분군이다 ) 15 1 를만족한다 ( 는 의부분집합임에는자명하다 또한, 임의의 ( ) 에대하여 이므로 이고, 이므로 이다 따라서 이다 그러므로 는덧셈에대하여군 의부분군이다 ) 2 를만족하지않는다 ( 에대한역원이존재하지않는다 ) 16 1 를만족하지않는다 ( 덧셈의연산에관하여닫혀있지않다 ) 2 를만족한다 ( 가 의부분집합임을자명하다 또한임의의 ( ) 에대하여 이므로 이므로 이다 그리고 이므로 이다 따라서 는곱셈에대하여군 의부분군이다 ) 17 1 를만족하지않는다 ( 덧셈에관한연산에닫혀있지않다 ) 2 를만족한다 ( 가 의부분집합임을자명하다 또한임의의 ( ) 에대하여 이므로 이므로 이다 그리고 이므로 이다 따라서 는곱셈에대하여군 의부분군이다 ) - 5 -

6 18 1 를만족하지않는다 ( 덧셈에관한연산에닫혀있지않다 ) 2 를만족하지않는다 ( 곱셈에관한연산에닫혀있지않다 ) 19 내의모든상수함수들의집합 내의모든상수함수들의집합을 라할때 1 를만족한다 ( 이므로덧셈에관하여군을이룬다 ) 2 를만족하지않는다 ( 0 에관한역원이존재하지않는다) 20 다음에주어진많은군중에서한군이다른어떤군의부분군이되는지의모든관계를찾아보아라 = 덧셈에대한 = 덧셈에대한 = 곱셈에대한 = 덧셈에대한 = 곱셈에대한 = 곱셈에대한 = 덧셈에대한 = 곱셈에대한 6 의모든정수배의집합 = 곱셈에대한 덧셈에관한연산에서는 을만족한다 그러므로 의관계를만족한다 한편, 곱셈에관한연산에서는 을만족한다 그러므로 의관계를만족한다 21 다음각순환군에서적어도 5 개의원소를써라 덧셈에대한 곱셈에대한 - 6 -

7 곱셈에대한 문제 22~24 에서는주어진 2 차정방행렬에의해서생성된일반선형군 의순환부분군의모든원소를나타내시오 22 이므로위수 2 인순환군이다 그러므로 는 에의해생성된순환부분군이다 23 이므로따라서 는 에의해생성된순환부분군이다 24 이므로따라서 는 에의해생성된순환부분군이다 25 는짝수 는홀수 는 에의해생성된순환부분군이다 26 다음군중에서순환군은어느것이며, 각순환군에대해서그군의모든생성원을찾아라 곱셈에대한, 덧셈에대한 순환군인것은 이고이때생성원은각각 이다 - 7 -

8 문제 27~35 에서주어진원소로생성되는군의순환부분군의위수를찾아라 27 3 에의해서생성되는 의부분군 ( 표 510 참조 ) , 3+3=2, 3+3+3=1, =0 이므로 이다 따라서 에의해서생성되는 의부분군의위수는 4 이다 28 에의해서생성되는 의부분군 ( 표 511 참조 ) e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e c, c*c=e, c*c*c=c 이므로 이다 따라서 에의해서생성되는 의부분군의위수는 2 이다 29 에의해서생성되는 의부분군 여기서, 이다 이므로 의위수는 3 이다 따라서 에의해서생성되는 의부분군의위수는 3 이다 30 에의해서생성되는 의부분군 실제로계산해보면 이성립하므로 에의해서생성되는 의 부분군의위수는 5 이다 - 8 -

9 31 에의해서생성되는 의부분군 이므로 의위수는 4 이다 따라서 에의해서생성되는 의부분군의위수는 4이다 32 에의해서생성되는 의부분군 실제로계산해보면 이성립하므로 에의해서생성되는 의 부분군의위수는 8 이다 33 아래의행렬에의해서생성되는역행렬을갖는 의행렬의곱셈에대한군 의부분군 위수는 이성립하므로 2 이다 에의해서생성되는순환부분군의 34 아래의행렬에의해서생성되는역행렬을갖는 의행렬의곱셈에대한군 의부분군 이고 그러므로 에의해서생성되는순환부분군의위수는 이다 4 이다 - 9 -

10 35 아래의행렬에의해서생성되는역행렬을갖는 의행렬의곱셈에대한군 의부분군 그러므로 이고 에의해서생성되는순환부분군의위수는 이다 3 이다 36 비슷한방법으로, 6 개의원소를갖는순환군 에대한표 525 를완성하라 에서주어진군 의부분군 를계산하라 어느원소가 에서주어진군 에대한생성원인가? 1과 5가군 의생성원이다 에대한이들부분군의 도표를작성하라 뒤에이들이 의모든부분군임을보인것이 다 (=<1>=<5>) <2>(=<4>) <3> <0>

11 문제 37 과 38 에서 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 37 A subgroup of a group is a subset of that contains the identity element of and also contains the inverse of each of its elements 군 의부분집합 가군 의부분군이되기위한필요충분조건은다음을만족해야한다 (1) 결합법칙이성립해야한다 이는 가 의부분집합이므로자명하다 (2) 항등원이존재해야한다 이는가정에의하여군 의항등원 를 가포함한다 (3) 역원이존재해야한다 이또한가정에의하여만족한다 (4) 의이항연산에관하여닫혀있어야한다 하지만이는위의조건이보장해주지못하고있다 따라서 의이항연산에관하여 가닫혀있음을첨가해주어야 가 의부분군임을보장해줄수 있다 38 군 가순환군일필요충분조건은 를만족하는 가존재하는것이다 올바른정의이다 39 참, 거짓을판정하라 모든군에서결합법칙이성립한다 군에대한정의에의하여결합법칙이성립함은자명하다 약분법칙을만족하지않는군은있을수있다 군에서역원이존재하고그연산은닫혀있으므로반드시소약법칙은성립한다 모든군은그자신의부분군이다 를군이라하자 그러면 는자기자신의부분집합이고 가군이므로결합법칙이만족하며항등원과역원이존재한다 따라서 는그자신의부분군이다 모든군은꼭두개의비진부분군 (improper) 을가지고있다 인자명군을생각해보자 그러면이군의부분군은자신하나뿐임을알수있다 모든순환군에서는모든원소가생성원이다 은덧셈연산에관하여순환군을이루지만생성원으로 만을갖는다 이군의부분군이된다 다른원소로생성된순환군은

12 순환군은유일하게하나의생성원을갖는다 은덧셈연산에관하여순환군을이루지만생성원으로 를갖는다 따라서순환군은유일하게하나의생성원을갖는것은아니다 덧셈에대한군이되는수의집합은곱셈에대해서도또한군이된다 는군이지만 는군이아니다 부분군은군의부분집합이라고정의해도좋다 는군이다하지만그군의부분집합 은군이아니다 따라서부분군을군의부분집합이라고정의하면이런오류를범할가능성이있다 그러므로부분군을군의부분집합이라고정의하면안된다 는순환군이다 로써생성원 1 이존재한다 따라서 는순환군이다 모든군의부분집합은유도된이항연산에대해서부분군이다 모든군의부분집합은유도된이항연산에대해서결합법칙은성립한다 하지만항등원, 역원이항상존재하는것은아니다 따라서이는잘못된명제이다 [ 참조 ] 40 항등원 를갖는어떤군에서이차방정식 가세개이상의해를가질수도있음을예로 들어라 클레인 - 군 (= ) 을생각해보자 여기서 을만족한다 따라서 를만족하는해는 4 개존재한다 문제 41 과 42 에서 를군 에서군 으로의동형사상이라하자 Write out a proof to convince a skeptic of the intuitively clear statement 41 를군 의부분군이라하자 그러면 가 의부분군이다 즉, 준동형사상은부분군을부분군으로운반한다 이므로 임은자명하다 단, 는각각 의항등원이다 또한 가잘정의되어있으므로 임은자명하다 이제임의의 에대하여

13 를만족한다 여기서 가부분군이고 는 의원소이므로 임을알수있다 따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 42 가순환군이면 또한순환군이다 순환군 준동형사상 따라서 는순환군이다 43 만약 와 가가환군 의부분군이면 는 의부분군이다 라하자 이고 이므로 임은자명하다 또한 와 가 의부분군이므로 이다 이제임의의 에대하여 가존재해서 가성립한다 또한 ( 는가환군이고 는 의부분군이다 ) 이성립한다 단, 는 에서 의역원이다 따라서 는가환군 의부분군이다 44 다음논법에서잘못된곳을찾아라 : 정리 514 의조건 2 는불필요하다 왜냐하면조건 1 과 3 으로부터이것을유도할수있기때문이다 이면조건 증명된다 3 에의해서 이고조건 1 에의해서 는 의원소이다 따라서조건 2 가 [ 정리514] 군 의부분집합 가 의부분군일필요충분조건은다음세조건을만족하는것이다 (1) 는 의이항연산에관하여닫혀있어야한다 (2) 의항등원 가 의원소이어야한다 (3) 모든 에대하여또한 이참이어야한다 항등원이존재한다는가정하여역원의정의는내릴수있다 즉, (2) 를만족하지않는상태에서 (3) 의참 이라고볼수없는데위의논법은 (3) 이참이라는잘못된가정에서출발하는모순을보여주고있다

14 45 군 의공집합이아닌부분집합 가 의부분군일필요충분조건은모든 에대하여 이다 ( ) 가 의부분군이므로임의의 에대하여 는자명하게성립한다 ( ) 다음조건에의하여 는군 의부분군이된다 (1) 결합법칙이성립한다 ( 가군 의부분집합이므로자명하게성립한다 ) (2) 항등원이존재한다 ( 이므로임의의 에대하여 가성립한다 ) (3) 역원이존재한다 ( 임의의 에대하여 이다 ) (4) 닫혀있다 ( 임의의 에대하여 이므로 이다 ) 46 단하나의생성원을갖는순환군이기껏해야두원소를가질수도있음을보여라 순환군은 또는 과동형이다 그러므로 와 에관하여논하여도충분하다 (1) 와동형인경우 의생성원은 1과 -1 이다 따라서순환군의생성원또한두개존재한다 이는위의조건에모순됨을알수있다 (2) 과동형인경우 라하자 에대하여 가생성원이라하자 그러면 이다 즉, 이다 이면자명하게하나의생성원만존재하고원소또한많아야두개이다 인경우 이므로적어도두개의생성원 따라서이경우에는위의조건에모순된다 1과 이존재한다 그러므로 (1) 과 (2) 에의하여단하나의생성원을갖는순환군은 또는 와동형이다 즉, 기껏해야두원소만을가질수있음을알수있다 47 가항등원 를갖는가환군이면, 방정식 를만족하는모든 의집합은 의부분군 를형성함을증명하라 라하자 이제 가가환군 의부분군임을보인다 이므로 이고 임은자명하다 이제임의의 에대하여 가가환군이므로다음이성립한다 따라서 이다 그러므로 는가환군 의부분군이다

15 48 문제 47 를일반화하여 가항등원 를갖는가환군이면, 고정된양의정수 에대하여방 정식 의해의집합 는 의부분군임을증명하라 라하자 이므로 이고 임은자명하다 이제임의의 에대하여 이고 ( : 가환군) ( 역원의성질) ( ) 따라서 이다 그러므로 는가환군 의부분군이다 49 가항등원 를갖는유한군이고 이면, 가되는 가존재함을보여라 임의의 에대하여 가존재하여 이다 ( 가존재하지않는다면 가유한군임에모순된다 ) 그러면소약법칙에의하여다음이성립한다 이제 이라하자 그러면 임을알수있다 그러므로 가되는 가존재함을알수있다 50 군 의공집합이아닌유한집합 가 의이항연산에대해닫혀있다고하면 가 의부분군임을보여라 가 의부분집합이므로결합법칙이성립함을자명하다 그리고가정에의하여 의연산에관하여닫혀있다 이제항등원과역원의존재성만보이면충분하다 가유한집합이므로 라하자 임의의 에대하여 이다 조건에의하여 의이항연산에대하여닫혀있으므로 가성립한다 이제 라면 이므로소약법칙에의하여 임을알수있다 즉, 이다 따라서 이면 이므로 이다 그러면 를만족하는 가존재함을알수있다 그러므로 의항등원은 이존재한다 단, 는 의항등원마찬가지로 를만족하는 가존재한다 그러므로 의역원은 이존재한다

16 51 는군이고 는 의하나의고정된원소이다 가 의부분군임을보여라 우선 이므로 이다 또한 임은자명하다 이제임의의 에대하여 ( 결합법칙) ( ) ( 결합법칙) ( ) ( 결합법칙) 이성립한다 따라서 이다 또한 이성립한다 따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 52 문제 51 을일반화하여 를군 의어떤부분집합이라하자 가 의부분군임을보여라 우선임의의 에대하여 이므로 이다 또한 임은자명하다 이제임의의 와임의의 에대하여 ( 결합법칙) ( ) ( 결합법칙) ( ) ( 결합법칙) 이성립한다 따라서 이다 또한 이성립한다 따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 에서의부분군 는 의중심이라한다 가가환군임을보여라 라하자 (a) 에의하여군임은자명하게보일수있다 이제가환임을보이면충분하다 임의의 와임의의 에대하여가정에의하여다음이성립한다 따라서 는가환이다

17 53 를군 의부분군이라하자 에대하여 일필요충분조건은 이라하자 그러면 은 위에서동치관계임을보여라 1 ( 항등원의존재) 2 이면 이므로 이다 ( 역원이존재) 3 이고 이면 이므로 이다 ( 닫혀있음) 따라서 은 위에서동치관계이다 54 집합 와 에대해서교집합 를 로정의한다 만약 이고 이면 임을보여라 이고 이므로 이고 임은자명하다 이제임의의 에대하여 이고 이므로 가 의부분군이라는가정에의해 이고 을만족한다 따라서 이다 그러므로 또한 의부분군이다 55 모든순환군은가환임을보여라 임의의순환군 에대하여적당한원소 가존재하여 를만족한다 이제임의의 에대하여적당한 이존재하여 를만족한다 그러면 이성립한다 따라서모든순환군은가환이다 56 한가? 를군이라하고 라하자 이 의부분군이되자면 에무슨조건이필요 항등원이존재해야한다 즉, 이되는 이존재해야한다 또한 의범위를명백히해줘야한다 즉, 57 비자명진부분군을갖지않는군은순환군임을보여라 이면자명하다 그러면 인경우에대하여 를비자명진부분근을갖지않는군이라하 자 그러면 인임의의 에대하여 가 의부분군임에는자명하다 하지만가정에서 가 비자명진부분군을갖지않기때문에 일수밖에는없다 따라서 는생성원 가존재한다 그러므로 는순환군이다

18 Fraleigh 대수 6 장순환군 문제 1~4 에서 을 으로나눌때호제법에따라몫과나머지를구하라 1 이므로따라서몫은 4이고나머지는 6 이다 2 이므로따라서몫은 -5이고나머지는 3 이다 3 이므로따라서몫은 -7이고나머지는 6 이다 4 이므로따라서몫은 6이고나머지는 2 이다 문제 5~7 에서두정수의최대공약수를구하여라 5 32 와 24 유클리드호제법에의하여다음이성립한다 따라서 이다 6 48 과 88 유클리드호제법에의하여다음이성립한다 따라서 이다 과 420 유클리드호제법에의하여다음이성립한다 따라서 이다

19 문제 8~11 에서주어진위수를갖는순환군의생성원의개수를구하여라 8 5 5를위수로갖는순환군의생성원의개수를오일러 함수를이용하면 이다 9 8 8를위수로갖는순환군의생성원의개수를오일러 함수를이용하면 이다 를위수로갖는순환군의생성원의개수를 오일러 함수를이용하면 이다 를위수로갖는순환군의생성원의개수를오일러 함수를이용하면 이다 자기자신으로의군동형사상을군자기동형사상이라고한다 다음문제 12~16 에서주어진군의자기동형사상의개수를찾아라 12 를자기동형사상이라하자 의생성원 1 인경우 1에대하여 또는 이다 이므로 이다 이는가정에모순된다 2 인경우 이고이때 는동형사상임에자명하다 따라서 의자기동형사상의개수는 1 개이다 13 를자기동형사상이라하자 의생성원 1 인경우 1, 5에대하여 또는 또는 이다 이므로 이다 이는가정에모순된다 2 인경우

20 이고이때 는동형사상임에자명하다 3 이고이때 는동형사상임에자명하다 따라서 의자기동형사상의개수는 2 개이다 즉, 생성원의개수와같음을알수있다 14 위와비슷한방법으로하면 의자기동형사상의개수는 즉, 이있다 4 개이다 15 의자기동형사상의개수는 2 개이다 즉, 또는 이있다 16 의자기동형사상의개수는 4 개이다 즉, 이있다 문제 17~21 에서주어진순환군의원소의개수를구하라 에의해서생성되는 의순환부분군 이므로원소의개수는 6 개이다 에의해서생성되는 의순환부분군 이므로원소의개수는 7 개이다 19 0 이아닌복소수의곱셈에대한군 의순환부부군 이므로원소의개수는 4 개이다 20 에의해서생성되는문제 19 의군 의순환부분군 이므로원소의개수는 8 개이다

21 21 에의해서생성되는문제 19 의군 의순환부분군 를만족하는 이존재하지않는다 따라서무한위수를갖는순환군이다 그러므로원소 의개수는무한히많다 문제 22~24 에서주어진군의모든부분군을구하고그부분군에대한 도표를그려라 22 주어진군의모든부분군은다음과같다 위의부분군에대한 도표는다음과같다 생략함 생략함 - 문제 25~29 에서주어진군의모든부분군의위수를구하라 25,,, 간략히설명하면, 이고 이므로부분군은 4 개이다 이때위수는 1, 2, 3, 6 이다

22 26 실제로부분군을구하는것은 이순환군이므로각각의원소가생성하는군을생각하면충분하다 그 러므로생략한다 간략히설명하면, 이고 이므로부분군은 4 개이다 또 한이때위수는 1, 2, 4, 8 이다 27 - 생략함 생략함 생략함 - 문제 30 과 31 에서 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 30 군 의원소가위수 를갖을필요충분조건은 를만족하는것이다 를만족하는최소의양의정수라고바꿔야옳은정의이다 31 두양의정수의 옳은정의이다 최대공약수는는그들둘을나눌수있는가장큰양의정수이다 32 참, 거짓을판정하라 모든순환군은가환이다 임의의순환군 에대하여 임의의 에대하여 가존재하여 을만족하고이때 가성립한다 따라서모든순환군은가환임을알수있다 모든가환군은순환적이다 ( 반례) 군은가환이지만순환적이지는않다

23 덧셈에대한군 는순환군이다 가순환적이라고가정하자 그러면 이다 이제 인임의의 에대하여 을만족한다 이는 가정수임에모순된다 따라서 는순환적이지않다 모든순환군의모든원소는그군을생성한다 ( 반례) 는순환군임에는자명하다 하지만 이다 모든유한위수 > 0 를갖는가환군은적어도하나존재한다 임의의유한위수 을갖는순환군 은존재함은자명하다 또한순환군은가환군임은자명하게알고있다 따라서위의명제는참임을알수있다 위수가 4 보다적거나, 같은모든군은순환적이다 ( 반례) 는위수가 4 이지만순환적이지는않다 의모든생성원은소수이다 ( 반례) 의생성원은 1, 3, 7, 9, 11, 17, 19이지만여기서 9 는소수가아니다 와 를군이라하자 그러면 또한군이다 를각각 의항등원이라하자 이면자명하다 그러므로 이라하자 만약 이군이라면항등원 이존재한다 또한 는각각 의부분군이므로 를만족한다 이는모순이다 따라서 인군 에대해서는 또한군이라고할수없다 와 를군 의부분군이라하자 그러면 는군이다 이고 이므로 이고 임은자명하다 이제임의의 에대하여 이고 이므로 가 의부분군이라는가정에의해 이고 을만족한다 따라서 이다 그러므로 또한 의부분군이다

24 위수가 2 보다큰모든순환군은적어도 2 개의서로다른생성원을갖는다 군 를위수 인임의의순환군이라하자 에대하여 임은자명하다 그러면 가군 의생성원일필요충분조건은 이다 여기서 이므로적어도 임을안다 따라서적어도 2 개의서로다른생성원을갖는다 문제 설명하라 33~37 에서주어진성질을갖는군의예를들든지또는그런예가존재하지않는다면이유를 33 순환하지않는유한군 또는 34 순환하지않는무한군 또는 35 단하나의생성원을갖는순환군 또는 36 4 개의생성원을갖는무한순환군 무한순환군은 와동형이다 하지만 는 2개의생성원 1, -1 만을갖는다 이는모순이다 따라서 4 개의생성원을갖는무한순환군은존재하지않는다 37 4 개의생성원을갖는유한순환군 또는 에속하는 1 의 제곱근의곱셈에대한순환군 의생성원을 제 38~41 에서주어진 의값에대하여 1 의원시적 제곱근을구하라 즉, 1 의원시적 제곱근이라부른다 문

25 생략함 생략함 생략함 생략함 - 44 를생성원 를갖는순환군이고 를 와동형인군이라하자 가동형사상이면임의의 에대하여 는 의값에의하여완전히결정됨을보여라 즉, 두동형사상 이 를만족하면임의의 에대하여 를만족함을보여라 임의의 에대하여적당한 가존재해서 을만족한다 그러면 가동형사상이므로 을만족한다 따라서 는 의값에의하여결정된다 즉, 두동형사상 이 이면또한 가성립하여 임을알수있다 45 과 를양의정수라하자 이군 의부분군임을보여라 라하자 일때, 임을알수있다 그러므로 이다 또한 임은자명하다 이제임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 그리고 ( ) 이다 따라서 는 의부분군이다

26 46 와 를군 의원소라하자 가유한위수 을갖는다면 또한위수 을갖음을보여라 라고하자 이므로따라서 이다 한편 이므로따라서 이다 그러므로 이다 즉, 가유한위수 을갖는다면 또한위수 을갖는다 47 와 를양의정수라하자 어떤순환군이생성원으로서 와 의최소공배수를정하라 단, 는 와 의최소공배수이고 는 와 의최대공약수이다 ( 정확하게문제가요구하고있는것이뭔지이해가안됨ㅜ ) 과 의최소공배수는어떤조건하에서 가되는가? 즉, 과 의최대공약수가 1일때최소공배수는 이다 를일반화하여 과 의최대공약수와최소공배수의곱은 임을보여라 이므로최대공약수와최소공배수의곱은 임을알수있다 48 단지유한개의부분군을갖는군은유한군이어야함을보여라 군 가유한군이면라그랑지정리에의하여단지유한개의부분군을갖는것은자명한사실이다 이제군 가무한군일때유한개의부분군이존재하지않음을보이면충분하다 군 가무한군일때, 임의의 에대하여 또한무한이다 그리고 인 에대하여 임은자명하다 그러므로적어도군 의원소에의하여생성된순환부분군의개수만큼은부분군이존재한다 하지만원소의개수가무한이므로단지유한개의부분군이존재하지는않는다 49 정리 66 의다음 역 이참이아님을반례를들어보아라 만약군 적이면 도순환적이다 라하자 그러면진부분군은 로써모두순환적이다 하지만 는순환적이지않다 의모든진부분군이순환

27 50 가군이고 가위수 가정하자 모든 에대하여 임을보여라 [ 기교 : 을고려하여라 ] 모든 에대하여 2 인순환부분군을생성하고이것이그런원소로는유일한것이라고 를만족한다 그러면 의위수는라그랑지정리에의하여 1 또는 2 이다 하지만위수가 1이면 가되어 의위수가 2 인가정에모순된다 한편, 가정에의하여위수 2인원소는유일하므로 이성립한다 즉, 이다 따라서모든 에대하여 이다 51 와 가소수일때, 순환군 의생성원의개수를구하라 오일러 함수에의하여순환군 의생성원의개수는다음과같다 이면 이고 이면 이다 52 가소수일때, 순환군 의생성원의개수를구하라 단, 는 1 이상인정수이다 오일러 함수에의하여순환군 의생성원의개수는 이다 53 위수 인유한순환군 에서방정식 는 을나누는각양의정수 에대하여 내에서정확히 개의해 를가짐을보여라 1 아시다시피 이다 그러므로 인임의의 에대하여 이성립한다 즉, 는군 에서방정식 의해이다 게다가만약 인 가존재해서 를 만족한다면소약법칙에의하여 이고 이다 그러므로 이다 즉, 인임의의 에대하여 는모두서로구별되는방정식 의영점이다 서 에서방정식 의해 는적어도 개를갖는다 2 의해를 라고가정하자 그러면 따라 를만족하고이는군 에서 의해 가많아야 개있음을의미한다 1, 2로부터 의해는정확히 개존재한다

28 54 문제 53 을참고로하여 이고 이 을나누지않는경우는어떠한가? 위의가정하에서는 를만족하는 이존재할수없다 만약존재한다면 이위수라는정의에모순되기때문이다 55 가소수이면 는비자명진부분군을갖지않음을보여라 비자명진부분군을갖는다고가정하고이를 라하자 즉, 이다 그러면 의위수는라그랑지정리에의하여 의위수 를나눈다 따라서 의위수는 또는 1 이다 이는모순이다 그러므로 는비자명진부분군을갖지않는다 [ 다른] 는순환군이므로부분군또한순환군임에는자명하다 그러므로모든원소에대해생성되는순환군이존재하는지그리고그때생성되는순환부분군이비자 명진부분군인지보여주면충분하다 인임의의 에대하여 임에는자명하다 또한 이고 이므로 이다 따라서 이다 그러므로 는비자명진부분군을갖지않는다 56 가가환군이면 와 를 이고 인유한순환부분군이라하자 과 가서로소이면, 가위수 를갖는순환부분군을가짐을보여라 가각각순환군이므로생성원 가존재해서 를만족한다 또한각각의위수가 이므로 를만족한다 단, 는 의항등원이다 이제 의위수가 임을보인다 우선 라하자 ( : 가환군) 이므로 이다 역으로, 을만족한다 가정에의하여 과 가서로소이므로 이고 그러면 이다 그러므로 이고 이다 즉, 이다 따라서군 는위수 인순환부분군 를갖는다 [ 다른] 이제 의위수가 임을보인다 우선 라하자 ( : 가환군) 이므로 이다 역으로, 을만족한다 즉, 이다 ( 이라하자

29 그러면 이므로 이다 역으로 이므로 이다 따라서 이다 ) 이고 이므로 이고 이고 이므로 이고 이므로 따라서군 는위수 인순환부분군 를갖는다 를일반화해서 가 과 의최소공배수인위수를가는순환부분군을포함함을증명한다 가각각순환군이므로생성원 가존재해서 를만족한다 또한각각의위수가 이므로 를만족한다 단, 는 의항등원이다 라하고이때, 라고하자 즉, 이다 그러면 또는 이다 ( 만약 이고 이면 이므로 가최대공약수임에모순된다 ) 단, 는 와 의최소공배수이고 는 와 의최대공약수이다 1 인경우 이고 이므로 에의하여위수 인순환부분군 가존재함을 알수있다 2 인경우 이고 이므로 에의하여위수 인순환부분군 가존재함을 알수있다 실제로 이고 라하자 그러면 이고 이므로 이다 은경우는성립하지않는다 이유인즉, 이기때문이다 참고로위의증명에서의연산은곱셈연산이고예로든연산은덧셈연산이다

30 Fraleigh 대수 8 장치환군 문제 1~5 에서 의다음치환에대한주어진곱을계산하라 1 순환치환의곱으로나타내면다음과같다 그러면 이다 따라서 이다 2 이다 따라서 이다 3 이다 따라서 이다 4 이므로 이다 그러면 이다 따라서 이다 5 이므로 이다 따라서 이다

31 문제 6~9 에서앞의문제 1 에서정의된치환 와 에대해서다음을계산하라 즉, 6 이다 7 이다 8 이므로 이다 따라서 이다 9 이므로 이다 따라서 이다 10 Partition the following collection of groups into subcollections of isomorphic groups Here a superscript means all nonzero elements of the set under addition under multiplication under multiplication under multiplication under addition under multiplication under addition under addition under addition - 생략함 - the subgroup of under multiplication the subgroup of generated by

32 를집합이라하고 라하자 주어진 에대해집합 를 에대한궤도라한다 문제 11~13 에서앞의문제 1 에서정의된치환에대한 1 의궤도를구하라 즉, 표 88 에서 의여섯원소의이름으로 를사용하였다 혹자는이들원소를기 호 를사용하기도하는데 는항등원 이며, 는우리의, 그리고 는우리의 이다 기하학적으로그들의 6 가지표현이 의모든원소를나타내줌을보여라 는위의정삼각형의내심을중심으로 120도회전변환이고 는꼭지점 3과변12의중점을이은선분 을중심으로하는대칭변환이라하면 이 의원소 를나타내줌을 확인할수있다 실제로 임 을알수있다

33 15 문제 14 를참고로해서, 표 812 에서의 의 8 가지원소에대하여다른표현을유도해보자 집합 의원소의수를구하라 의개수를찾아보면충분하다 따라서 개이다 17 집합 의원소의수를구하라 의개수를찾아보면충분하다 따라서 개이다 18 예제 87 의군 에대하여 의순환부분군 와 을구하라, 의모든부분군 ( 진그리고비진 ) 을구하고이들에대한 Lattice 도표를그려라

34 19 Verify that the subgroup diagram for shown in Fig 813 is correct by finding all (cyclic) subgroups generated by one element then all subgroups generated by two elements, etc 1 하나의생성원에의하여생성되는부분군 :,,,,,, 2 3 두개의생선원에의하여생성되는부분군 :,, Lattice 도표그리는것은생략함 4 따라서 에서주어진부분군의다이어그램은옳은표현이다 20 에의해생성되는 의순환부분군에대한곱셈연산표를만들어라 이때, 여섯 개의원소를 그리고 라하면이군은 와동형인가? 이므로 따라서 이고 이들각각의원소의위수는 6, 6, 3, 3, 2, 1 이다 이는 의원소의위수와는다름을알수있다 따라서 와동형이아니다 21 여섯개의행렬 은행렬의곱셈에대하여군을이룸을 증명하라 [ 힌트 : 이들행렬의모든곱을계산하지말고열벡터 에여섯개의각행렬을왼쪽에곱 하면어떻게변형되는가를생각하라 ] 위의여섯개의행렬에열벡터 를각행렬의왼쪽에곱하면다음과같은치환을얻을수있다 이는 와동형임에자명하다 따라서 6 개의행렬은곱셈의연산에관하여군을이룬다 ( 구체적으로군을이룸을보여야겠지만간접적으로증명함) 이절에서연구한군중에서어느것이이여섯행렬의군과동형인가? 와동형이다

35 22 문제 21 를하고난뒤에 와동형되는치환의곱에대해군을형성하는여덟개의행렬을써 라 23~ 27 - 생략함 - 28, 29 에서, correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 28 A permutation of a set is a one-to-one map from to 전사사상임이추가되어야한다 치환은 에서 로의전단사사상이기떄문이다 29 The left regular representation of a group is the map of into is the permutation of that carries each into whose value at 옳은정의이다 문제 30~34 에서주어진함수가 위에서치환인가를결정하라 30 로정의된 이전단사함수이므로치환이다 31 로정의된 가전사및단사가아니므로치환이아니다 32 로정의된 가전단사함수이므로치환이다 33 로정의된 는단사사상이지만전사사상이아니므로치환이아니다 34 로정의된 는전사사상이지만단사사상이아니므로치환이아니다

36 35 참과거짓을판정하라 모든치환은 1-1 함수이다 임의의치환은전단사함수이다 그러므로 1-1 함수이다 함수가치환이되기위한필요충분조건은 ( 반례) [ 문제 33] 은 1-1 이지만치환이아니다 1-1 이다 유한집합에서자기자신위로대응하는함수는 1-1 이어야한다 를유한집합이라하자 그리고 를 에서 위로의사상이라고하자 이제 가 1-1 함수가아니라고가정하자 그러면 에대하여 인 가존재한다 따라서 임을알수있다 이는 인가정에모순이다 그러므로 1-1 함수이다 임의의군 는 의부분군과동형이다 ( 반례) 이라할때, 이고이때위수가 3인 부분군은 로유일하다 하지만 와 는동형이아니다 만약동형이라고가정하면, 의각각의원소들의위수 는같아야한다 하지만다르다 그러므로모순이다 따라서위의명제는잘못된명제이다 1, 3, 3과 의각각의원소들의위수 1, 2, 2 가환군의모든부분군은가환이다 를군 의부분군이라하자 그러면임의의 이므로 가성립한다 따라서 또한가환이다 군의모든원소는그군의순환부분군을생성한다 임의의 에서 가군 의부분군임을보이면충분하다 임의의 에대하여 가존재하여 를만족한다 ( ) 따라서모든원소는그군의순환부분군을생성한다 대칭군 은 10 개의원소를갖는다 개의원소를갖는다

37 대칭군 는순환군이다 [ 문제 18] 을참조하면 의각원소에대하여 가순환군이기위한생성원이존재하지않음을확인할수있다 따라서순환군이아니다 어떤 에대해서도 은순환군이아니다 ( 반례) 일때, 는순환군이다 모든군은어떤치환군과동형이다 Cayley's 정리의의하여참인명제이다 36 비가환군의모든진부분군은가환군일수있음을예로들어증명하라 는비가환군이다 하지만이군의모든진부분군 는모두가환군이다 37 Let be a nonempty set What type of algebraic structure mentioned previously in the text is given by the set all functions mapping into itself under funtion compositon? - 생략함 - 38 Indicate schematically a Cayley diagraph for using a generating set consisting of a rotation through - 생략함 - radians and a reflection (mirror image) See Ex44 문제 40~43 에서 를하나의집합, 를부분집합이라하고 를 의특정한원소라하자 집합이유도된연산에대해 부분군이되는가를결정하라 40 주어진 따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다

38 41, 라하자 그러면 인 에대하여 이다 따라서연산에닫혀있음을보장해주지못한다 42 라하자 이라하자 그러면위의조건을만족하여 가존재한다 하지만 으로 의부분집합이아니다 즉, 연산에대하여역원의존재성을항상보장해주지못한다 예제 87, 810 와비슷하게 일때정 각형을생각하자 그런두개의 각형에서하나를 다른하나에포갤수있는각방법은꼭지점의어떤치환에대응한다 이치환의집합은치환의곱에 대해 차이면체군 ( th dihedral group) 이라불리는군이된다 이군 의위수를구하라 기하학적으 로이군은전체군의꼭반의원소개수를갖는부분군을갖는다는것을설명하라 이므로 이다 또한순환군 는위수가 으로전체군의꼭반의원소개수를갖는부분군임을알수있다 기하학적인설명은생략하며문제14와 15를참조 45 어떤정육면체에꼭들어가는정육면체를생각하자 예제 88 과 810 에서처럼한정육면체를 다른정육면체속에넣을수있는방법은정육면체의꼭지점의어떤대칭군에대응된다 이군이 group of rigid motion of the cube 이다 (12 장에서공부한정육면체의대칭군과혼돈해서는안된다 ) 이군 에는원소가몇개있는가? 이군은적어도 3 개의위수가 4 인부분군을가짐과적어도 4 개의위수가 3 인부분군을가짐을기하학적으로설명하라 개의원소를갖는다 3개의위수가 4인부분군과적어도 4개의위수가 3인부분군을가짐을기하학적으로보이는것은 생략한다

39 46 에대해서 은가환군이아님을증명하라 인 에대하여 은 이므로비가환이다 따라서 에대해서 은가환군이아니다 47 문제 46 를확장하여 일때모든 에대해서 를만족하는유일한원소 는항 등치환인 이다 이면임의의모든 에대해서 을만족함은자명하다 이제 라고가정하여모순됨을보이자 ( ) 이라하자 이므로 이라하자 그러면 을만족한다 이는모순이다 따라서위의조건을만족하는유일한원소 는항등치환인 이다 48 문제 11 에서정의한개념을참고로, 모든 에대하여 와 가공통인원소를갖는 다면 임을보여라 이라하자 그러면 ( 단, ), 이므로따라서 이성립한다 즉, 이다 역으로 이므로따라서 이성립한다 즉, 이다 따라서모든 에대하여 와 가공통인원소를갖는다면 이다 49 만약 가집합이고, 모든 에대하여 인 가존재할때, 의부분군 는 위에서이동적이라한다 만약 가공집합이아닌유한집합이면 이며 위에서이동적인 의유한순환부분군 가존재함을보여라 이라하자 그러면 이다 이제 에대하여 임은자명하다 그러므로 이며 위에서이동적인 의유한순환부분군 가존재함을알수있다 [ 다른] 이라하자 또한 라하자 그러면 이고 인 에대하여 를만족한다 따라서순환부분군 이 위에서이동적임을의미한다 즉,

40 50 문제 11 과 49 에서의정의를참고로, 에대하여 가 위에서이동적일필요충분조건은어떤적당한 에대해서 임을보여라 가 위에서이동적이라하자 그러면 는 의모든원소를포함해야한다 즉, 이다 역으로어떤적당한 에대해서 라하자 임의의 에대하여 그러면 을만족한다 따라서 는 위에서이동적이다 51 (78 페이지의주의를보라 ) 를이항연산 를갖는군이라하자 를같은집합 로두고, 위에이항연산 를모든 에대하여 로정의한다 ( 가 에대해군이된다는직관적논법 ) 강의실앞쪽벽이투명한유리로되어있고, 에대 한 의모든가능한곱 와 하에서 에대한모든가능한결합 를 매직으로벽위에썼다고가정하자 앞쪽방에서벽의다른쪽을보았을때무엇을보게될것인가? - 생략함 - 가 에대해군이됨을 의수학적정의에서보여라 - 생략함 - 52 Let be a group Prove that the permutation,, where for and do form a group isomorphic to - 생략함 - 53 A permutation matrix is one that can be obtained from an identity matrix by recordering its rows If is permutation matrix and is any matrix and then can be obtained form by making precisely the same recording of the rows of as the recording of the rows which produced form (a) Show that every finite group of order is isomorphic to a group consisting of permutation matrices under matrix multiplication - 생략함 - (b) For each of the four elements and in the Table 511 for the group give a specific matrix that corresponds to it under such an isomorphism - 생략함

41 Fraleigh 대수 9 장궤도, 순환, 치환과교대군 문제 1~6 에서주어진치환이모든궤도들을구하라 , 단, 이다 5, 단 이다 6, 단 이다 문제 7~9 에서 에서의주어진순환치환의곱을계산하라

42 9 문제 10~12 에서 에서의치환을순환치환의곱으로표현하고호환의곱으로도나타 내어라 Recall that element of a group with identity element has order if and no smaller positive power of is the identity Consider the group (a) What is the order of the cycle (b) State a theorem suggested by part (a) 순환치환의위수는그순환치환의궤도의길이와같다 (c) What is the order of?? of?, (d) Find the order of each of the permutations given in Ex 10~12 by looking at its decompostion inti a product of disjoint cycles,

43 In Ex 14~18, find the maximum possible order for an element of for the given value of 14 최대위수는 6 이다 궤도 2인순환치환과궤도 3 인순환치환의곱으로표현될때최대의위수를갖는다 실제로, 이다 15 최대위수는 6 이다 궤도 6인순환치환또는궤도 2인순환치환과궤도 3인순환치환의곱으로표현될때최대위수를갖는 다 실제로, 이다 16 최대위수는 12 이다 궤도 3인순환치환과궤도 4 인순환치환의곱으로표현될때최대위수를갖는다 실제로, 이다 17 최대위수는 30 이다 궤도 2인순환치환과궤도 3인순환치환그리고궤도 5인순환치환의곱으로표현될때최대위수를갖 는다 실제로, 이다 18 최대위수는 105 이다 궤도 3인순환치환과궤도 5인순환치환그리고궤도 7인순환치환의곱으로표현될때최대위수를갖 는다 실제로, 이다 19 Figure 922 shows a Cayley diaraph for the alternating group using the generating set continue labeling the other nine vertices with elements of expressed as a product of disjoint cycles - 생략함

44 문제 20~22 에서, correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 20 For a permutation of a set an orbit of is a nonempty minimal subset of that is mapped into itself by ( 번역) 집합 의치환 에대하여 의궤도는 에의하여자기자신으로사상되는 의최소의공집합이아닌부분집합이다?? 21 A cycle is a permutation having only one orbit 순환치환은 2 개이상의원소를갖는궤도가많아야하나인치환이다 22 The alternating group is the group of all even permutations 교대군은모든우치환들의집합이므로옳은정의이다 23 참, 거짓을판정하라 모든치환은순환치환이다 ( 반례) 에서 는치환이지만순환치환은아니다 모든순환치환은치환이다 정의에의하여옳은명제이다 우치환과기치환의정의는정리 915 에앞서잘정의될수있었다 임의의치환을우치환과기치환으로둘다표현할수있다면우치환과기치환의정의는혼동을야기한 다 따라서정리 9 15 에의하여우치환과기치환의정의는잘정의될수있었다 기치환은포함하는 의모든비자명부분군 는호환을포함한다 ( 반례) 는기치환이지만 로써호환을포함하지는않는다 는 120 개의원소를갖고있다

45 일때, 은순환군이아니다 ( 반례) 일때, 로써생성원 가존재한다 따라서순환군이다 는가환군이다 로써순환군이다 그러므로가환군이다 은 8 을고정시키는 의모든원소의부분군과동형이다 라하자 단, 는 에서 8 을고정시킨것이다 그러면 는동형사상임에자명하다 따라서위의명제는참인명제이다 은 5 를고정시키는 의모든원소들의부분군과동형이다 라하자 단, 는 에서 5 을고정시킨것이다 그러면 는동형사상임에자명하다 따라서위의명제는참인명제이다 에서기치환은 의부분군을이룬다 기치환간의연산은우치환이다 즉, 닫혀있지않다 그러므로부분군이될수없다 24 예제 87 에있는 의치환중어느것이우치환인가? 그리고교대군 를표로나타내시오 에서우치환인것은 이다 이때, 교대군 으로순환군이다 - 표로나타내는것은생략함! - 25 일때, 에대하여다음사실을증명하라 내의모든치환은기껏해야 개의호환의곱으로나타낼수있다 일때, 에서임의의순환치환 는 의 개의호환의곱으로나타낼 수있다 그리고임의의치환 은유한개의순환치환의곱으로나타낼수있다 이때, 를 유한개의순환치환이라하고 을만족한다고하자 그러면 는위의결과에의하여 개의호환의곱으로나타낼수있다 따라서 내의모든치환은많아야 개의호 환의곱으로나타낼수있다

46 순환치환이아닌 에속하는모든치환은기껏해야 개의호환의곱으로나타낼수있다 임의의치환 이순환치환이아니면 는 2개이상의원소를갖는궤도가 2 개이상이존재한다 즉, 는순환치환의 2 개이상의곱으로이루어져있다 따라서 (a) 에의하여 는 의곱으로이루 어져있으므로많아야 개의호환의곱으로이루어져있음을알수있다 에속하는모든기치환은 개의호환의곱으로쓸수있으며모든우치환은 개의호환 의곱으로표시된다 1 를임의의기치환이라하고, 의호환의개수를 라하자 그러면 (a) 에의하여 를만족한다 여기서, 는홀수이고 도홀수이므로 는짝수이다 이때, 항등치환은짝수개의호환의곱이므로다음을만족한다 단, 는 개의곱이다 따라서 는 개의호환의곱으로쓸수있다 2 를임의의우치환이라하고, 의호환의개수를 라하자 그러면 (a) 에의하여 를만족한다 여기서, 는짝수이고 도짝수이므로 는짝수이다 이때, 항등치환은짝수개의호환의곱이므로다음을만족한다 단, 는 개의곱이다 따라서 는 개의호환의곱으로쓸수있다 28 만약 와 가 의서로다른궤도에속하고 이면 의궤도는 의궤도개수보다하나 적음을그림 - 생략함 처럼그려서설명하라 또한 일때 를반복하라 - 생략함

47 29 일때 의모든부분군 에대하여 에속하는모든치환이우치환이거나혹은 의꼭 반이우치환임을보여라 1 가기치환을갖지않는경우 은유한집합이므로 가닫혀있음을보이면충분하다 실제로 ( 우치환)+( 우치환)=( 우치환) 으로닫혀있다 따라서 는우치환으로만이루어진 은부분군이다 2 가기치환을포함한다고하자 즉, 를기치환이라하자 ( ) 라하자 ( 소약법칙) 또한임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 따라서 는자기동형사상이다 는기치환이므로 는우치환을기치환하나로, 기치환은우치환하나로유일하게대응된다 따라서 는 의우치환의집합을 의기치환의집합으로 즉, 는같은수의우치환과기치환을갖는다 1-1 대응된다 그러므로 가기치환을갖는다면우치환의수와기치환의수는같다 30 가집합 의치환이라하고 이면 가 를움직인다고한다 만약 가유한집합이면길이가 인순환치환 에의해서몇개의원소가움직이는가? 움직인다 가유한집합이라하자 라하자 그러면각각의 일때, 을만족한다 또한 일때, 이다 따라서길이가 인순환치환 에의하여 개의원소가이동된다 31 가무한집합이라하자 의유한개의원소만을움직이는 ( 문제 30 참조 ) 모든 의집합을 라하면, 가 의부분군임을보여라 항등치환은유한개의원소를움직이다 따라서 는공집합이아니다 또한 의임의의두원소 에대하여각각 개의원소를움직인다고하자 그러면 는최대 개의원소를움직일수있다 따라서 는 의원소이다 그리고 가 개의원소를움직이면 또한 개의원소를움직이다 따라서 또한 의원소이다 그러므로 는 의부분군이다 32 가무한집합이라하고, 의원소를기껏해야 는 의부분군인가? 그이유는? 50 개움직이는모든 의집합을 라하자 아니다 의연산에관하여 는닫혀있지않다 ( 반례) 라하자 와 는각각 49개와 3 개를움직이는치환이다 그러므로 의원소이다 하지만 는 52 개의원소를움직이다 따라서 의원소가아니다

48 33 고정된 에대하여 을생각해보고 를고정된기치환이라하자 에속하는모든기치환은 와 에속하는적당한우치환과의곱임을보여라 임의의기치환 에대하여기치환 이고정되었을때, 또한기치환이고 는 우치환이다 따라서 이다 이제 이므로따라서임의의기치환은고정된기치환 와어떤우치환에의하여나타낼수있다 34 가홀수의길이를갖는순환치환이면 도순환치환임을보여라 인길이 인순환치환이라하자 즉, 이면 이다 그러면 이다 따라서 또한길이 인순환치환임을알수있다 35 문제 34 에서제시된방법에따라 과 로표현되는조건하나로다음의내용이하나의정리가되로록완성하라 가길이 인순환치환일때, 도순환일필요충분조건은 36 가군이고 를 의한원소라하자 에대해서 로정의되는사상 는집합 의치환임을보여라 1 ( 군의소약법칙) 따라서 는단사사상이고잘정의되어있는사상이다 2 임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 따라서 는전사사상이다 3 1과 2에의하여 는전단사사상이므로집합 의치환이다 37 문제 36 를참고로하여 는 의부분군임을보여라 단, 는 의모든치환의군이다 1 임이자명하다 2 임의의 에대하여 를만족한다 여기서 이므로따라서 이다 3 임의의 에대하여 이므로따라서 이다 따라서 는 의부분군이다

49 38 8 장의문제 49 를참고로하여문제 37 의 는집합 위에서이동적임을보여라 [ 힌트 : 4 장에있는정리에서즉시얻을수있는따름정리이다 ] 임의의 에대하여 를만족하는 가존재함을보이면충분하다 이제 를만족하는 를선택하자 즉, 이다 그러면위의조건을만족시킨다 따라서 는집합 위에서이동적이다 39 은 에의해서생성됨을보여라 [ 힌트 : 을움직일때 은호환 을 만들게됨을보이고, 모든호환은이들호환의곱임을보인다 ] 일때, 일때, 일때, 일때, 임을알수있다 또한임의의호환 에대하여 이성립한다 임의의치환은유한개의순환치환의곱으로나타낼수있으며순환치환은유한개의호환의곱으로나타 낼수있다 즉, 임의의치환은유한개의호환의곱으로나타낼수있다 따라서 상의임의의치환은각각의 에대하여 의유한번의곱에의 하여나타낼수있다 따라서 이다

50 Fraleigh 대수 10 장잉여류와라그랑지정리 1 의부분군 에대한잉여류를구하라 2 의부분군 에대한모든잉여류를구하라 3 의부분군 에대한모든잉여류를구하라 4 의부분군 에대한모든잉여류를구하라 5 의부분군 에대한모든잉여류를구하라 6 표 812 에서주어진군 의부분군 에대한모든좌잉여류를구하라 따라서군 의부분군 에대한좌잉여류는 이다 7 앞의연습문제를반복해서이번에는우잉여류를구하라 이들은좌잉여류와같은가? 따라서군 의부분군 에대한우잉여류는 이고, 여류과다름을확인할수있다 위의좌잉

51 8 문제 7 에서좌잉여류에나타나는순서를따라표 812 를다시작성하라 위수 4 인잉여군을갖는 다고생각하는가? 그렇다면그것은 와동형인가? 또는 4- 군 와동형인가? 잉여군이될수없다 9 의부분군 에대해문제 6 을반복하라 10 앞의연습문제를반복해서이번에는우잉여류를구하라 이들은좌잉여류와같은가? 이고, 위의좌잉여류롸같음을확인할수있다 11 문제 9 에서의좌잉여류에의해서나타나는순서에따라표 812 을다시작성하라 위수 4 인잉 여군이된다고생각하는가? 그렇다면그것은 와동형인가또는 - 생략함 - 4- 군 와동형인가? 12 군 에서의 의지수를구하라

52 13 예제 107 의기호를사용해서군 에서의 의지수를구하라 14 표 812 에서주어진군 에서의 의지수를구하라 15 Let in Find the index of in 이므로 이다 그러므로 16 Let in Find the index of in 문제 17 과 18 에서 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 17 Let be a group and let The left coset of containing is 가 의부분집합이아니라보다강화된부분군이어야한다 즉, 가군이고 가군 의부분군일때, 를포함하는 의좌잉여류는 이다 18 Let in be a group and The index of in is the number of right cosets of 옳은정의이다 게다가 에서 의지수는좌잉여류의개수와도같다 20 참, 거짓을판정하라 모든군의부분군은좌잉여류를갖는다

53 유한군의부분군의좌잉여류의개수는 의위수를나눈다 : 유한군, 라하자 그러면라그랑지정리에의하여 즉, 이다 이다 따라서, 좌잉여류의개수즉, 에대한 의지수는 의지수를나눈다 위수가소수인모든군은가환이다 위수가소수인군은순환군이다 그리고순환군은가환군이다 따라서위수가소수인군은가환군이다 무한군의유한부분군에는좌잉여류가없다 ( 반례) 는무한군이고 은유한부분군이다 하지만 에대하여 인좌잉여류를갖 는다 군의부분군은그자신의좌잉여류이다 는 의좌잉여류이다 유한군의부분군만이좌잉여류를가질수있다 ( 반례) 는무한군이고 는무한위수를갖는 의부분군이다 하지만 인좌잉여류를 갖는다 일때, 은 내에서지수가 2 이다 라하자 그러면 는군동형사상임을쉽게보일수있다 따라서 이 다 여기서 이므로 이다 라그랑지의정리는훌륭한결과이다 주어진군과부분군의지수와의관계를알게되면서주어진군에대한부분군을찾는데보다유용하게되었다 그런이유에서도라그랑지정리는충분히훌륭한결과이다 모든유한군은그군의위수의모든약수에대하여그약수를위수로갖는원소를포함한다 라그랑지정리의역은일반적으로성립하지않는다 ( 반례) 에서위수 6 인부분군을갖지않는다

54 모든유한순환군은그군의위수의모든약수에대하여그약수를위수로갖는원소를포함한다 를위수 인순환군이라고하자 그러면 에대하여 인 가존재함을보이면충분하다 라하자 그러면 임을알수있다 여기서 임에는자명하다 따라서위의명제는참인명제이다 문제 20~24 에서가능하다면요구하는부분군과군의예를들어라 불가능하면그이유를말하라 20 좌잉여류와우잉여류가서로다른 의분할을생성하는가환군 의부분군불가능하다 가가환군이므로 가성립한다 따라서좌잉여류와우잉여류의개수는같아야한다 21 오직하나의세포로서 의분할을생성하는좌잉여류를갖는군 의부분군 ( 예) 라하면 는오직하나의세포로서 의분할을생성하는좌잉여류 를갖는다 22 6 개의세포로서그군을분할하는좌잉여류를갖는위수 6 인군의부분군 ( 예) 위수 6인 에서부분군 에의하여 인 6 의세포서분할한다 개의세포로서그군을분할하는좌잉여류를갖는위수 6 인군의부분군불가능하다 라그랑지정리에의하여 를만족한다 하지만이는모순이다 24 4 개의세포로서그군을분할하는좌잉여류를갖는위수 6 인군의부분군불가능하다 라그랑지정리에의하여 를만족한다 하지만이는모순이다 25 - 생략함 - 26 정리 101 의관계 이동치관계임을증명하라 1 ( 반사) 일때, 이므로 이다 2 ( 대칭) 일때, 이므로 이다 3 ( 추이), 일때, 이므로 이다 따라서관계 는동치관계에있다

55 27 를군 의부분군이라하고 이라하자 로부터 위로대응하는 함수를정의하 여이함수가 이고 위로의함수을증명하라 라하자 1 임의의 에대하여 ( ) 을만족한다 따라서잘정의되어있으며일대일함수이다 2 따라서위로의함수이다 28 를모든 와모든 에대해서 를만족하는군 의부분군이라하자 좌잉여류 는우잉여류 와같음을보여라 ( ) 임의의 에대하여 모든 가정에의하여 이다 그러면 따라서 이다 ( ) 임의의 에대하여 가정에의하여 이다 그러면 따라서 이다 29 를군 의부분군이라하자 의좌잉여류로서 의분할이 의우잉여류로서의분할과같으면모든 와모든 에대해서 임을증명하라 문제 28 번의역!! ( ) 모든 와모든 에대해서 이므로 가존재해서 를만족한다 따라서 이다 를군 의부분군이라하고 라하자 문제 30~33 에서그명제를증명하거나또는반례를 들어라 30 이면 이다 ( 반례),, 이라하자 그러면 이지만 이고 로써 이다 31 이면 이다 이므로 이다 32 이면 이다 따라서 이다

56 33 이면 이다 ( 반례), 라하자 그러면 이지만 이고 로써 이다 34 가위수 를갖는군이라하자 단, 와 는소수이다 의모든진부분군은순환적임을보 여라 가위수 를갖는군이므로라그랑지정리에의하여부분군 가갖을수있는위수는 이다 1 의위수가 1인경우 는자명군이다 따라서순환적이다 2 의위수가 또는 인경우 소수를위수로갖는군은이미순환적임을알고있다( 증명은생략!!) 따라서 의모든진부분군은순환적이다 35 군 의부분군 의좌잉여류의개수는우잉여류의개수와같음을보여라 즉, 좌잉여류의모임 에서우잉여류의모임위로대응하는 1-1 함수를구성하라 ( 이결과는유한군에대해서는헤아림으로써당연하게됨을주의하자 증명은어떤군에대해서도성립되어야한다 ) 좌잉여류 우잉여류 이라하자 1 ( ) 따라서 는잘정의되어있으며일대일함수이다 2 우잉여류 좌잉여류 따라서 는위로의함수이다 36 4 장의문제 29 에서위수 을갖는모든유한군은위수 2 인원소를포함함을보였다 라그랑지 정리를이용하여 이홀수이면, 위수 인가환군은위수 2 인원소를단하나포함하고있음을보여 라 존재성은이미보였으므로(4장의문제 29) 유일성에대해서살피면충분하다 인 에대하여 라하자 이제 는 의부분군이다 ( 부분군인것을보이는것은유한군이므로닫혀있음을보이면충 분하다 구체적으로보이는것은생략함) 그러면라그랑지정리에의하여 이다 따라서 은 2 의배수이다 하지만이는가정 은홀수임에모순된다 따라서위수 2 인원소는단하나포함함을알수있다

57 37 적어도두원소를가지면서비자명진부분집합을갖지않는군은유한군이며소수를위수로가짐을보여라 인군 이라하자 일때, 는 의부분군임에자명하다 가정에서군 는비자명진부분집합을갖지않으므로 이다 즉, 는순환군이다 여기서 가무한위수를갖는다면 는 와동형이다 하지만 는진부분군을무한히많이갖음을이미알고있다 따라서 는유한위수를갖는다 이라하자 이고 인 가존재하면 는 의비자명진부분군이다 하지만이는가정에모순된다 따라서 가존재하지않는다 즉, 는소수이다 그러므로적어도두원소를가지면서비자명진부분집합을갖지않는군은유한군이며소수를위수로가진다 38 정리 1014 를증명하라 [ 힌트 : 를 에서의 의서로다른좌잉여류의모임이라하고 를 에서의 의서로다른좌잉여류의모임이라하면 가 에서의 의서로다른좌잉여류의모임임을보여라 ] 를 에서의 의서로다른좌잉여류의모임이라하고 를 에서의 의서로다른좌잉여류의모임이라하면 가 에서의 의서로다른좌잉여류의모임임을보이면충분하다 라하자 그러면 그러므로 게다가 이므로 이고따라서 그러면 이다 즉, 이다 이제서로구별됨을보인다 라고가정하자 그러면 이다 즉, 그러므로 ( ) 그러면 이다 즉, 를의미한다 또한군의소약법칙에의하여 이고, 따라서 이다 39 가유한군 의지수 2 인부분군이라하면 의모든좌잉여류는 의우잉여류임을보여라 임의의 에대하여 1 이면 임은자명하다 2 이면가정에의하여 이므로 이다 따라서 이다 따라서좌잉여류와우잉여류는같음을알수있다

58 40 항등원 를갖는군 가유한위수 을갖는다면모든 에대하여 임을보여라 1 이면 이므로자명하다 2 이면라그랑지정리에의하여 를만족한다 라하면 이고 로부터 임을알수있다 따라서군 의위수가 이면모든 에대하여 이다 41 실수들의덧셈에대한군의부분군 의모든좌잉여류는 인 에서꼭하나의대표 를포함함을보여라 ( 존재성) 를 의좌잉여류라하자 를 를넘지않는최대의정수라하자 그러면 이고 이다 ( 유일성) 가 를만족하는 의좌잉여류의대표원소라하자 그러면 이다 가정에서 이므로따라서 이다 그러므로 가 에서 를만족하는유일한대표원소 임을알수있다 42 함수 운실수들의덧셈에대한군 의부분군 의고정된좌잉여류의모든대표에같은 값이대응됨을보여라 ( 따라서, 은잉여류의집합에서잘정의된함수를유도한다 : 한잉여류에대 한함수의값은잉여류의대표 를택해서 를계산함으로써얻어진다 ) - 생략함 - 43 와 가군 의부분군이라하자 위에서 에대하여 로정의한다 ~ 을 일필요충분조건은적당한 와 ~ 이 위에서동치관계임을증명하라 1 ( 반사) 일때, ( ) 이므로 가성립한다 따라서 이다 2 ( 대칭) 일때, 적당한 와 에대하여 를만족한다 그러면 이고이때, 이므로따라서 이다 3 ( 추이), 일때, 적당한 와 에대하여 를만족하고, 적당한 와 에대하여 를만족한다 그러면 이고 이므로따라서 이다 를포함하는동치류내에있는원소들을서술하라 ( 이동치류는이중잉여류라한다 )

59 44 를집합 의모든치환의군이라하고, 를 의특정한원소라하자 는 의부분군 임을보여라 에대하여 를만족한다 따라서 는공집합이아니다 이제임의의 에대하여 이므로 이다 따라서 는 의부분군이다 를 의다른특정한원소라하자 가 의부분군이되는가? 를설명하라 부분군이되지않는다 닫혀있음을보장해주지못하기때문이다 즉, 라하자 그러면 이지만 이다 따라서 이다 그이유 의 를 의부분군 로특정지워라 - 생략함 - 45 위수 인유한순환군은 의각약수 를위수로갖는부분군을꼭하나가짐을증명하고이들 이이군이갖는모든부분군임을보여라 ( 존재성) 를위수 인순환군이라하자 그러면 여기서 를 의약수라하자 그러면 이다 따라서 를약수로갖는부분군 가존재한다 ( 유일성) 를위수 인군 의부분군이라하자 가순환군이므로부분군인 또한순환군이다 그러면 가정에의하여 를만족한다 이므로 그러므로 는 의부분군이다 가정에의하여 이므로결국엔 임을알수있다

60 46 양의정수 에대해서오일러 - 함수는 로정의되어있다 단, 는 보다적으면서 은서로소인양의정수의개수들이다 문제 45 을이용하여 임을보여라 여기서합은 을 나누는모든양의정수 에대해취해진다 [ 힌트 : 의생성원의개수는보조정리 616 에의해 임에유의하라 ] 임의의 에대하여 라하자 이므로임의의 에대하여라그랑지정리에의하여 를만족한다 라하자, 라하자 문제 45에의하여위수 인부분군 는유일하게하나존재한다 게다가 에대하여 이므로필요충분하게 임을알수있다 그러므로 이다 이므로즉, 이므로 이다 [ 다른1] 에서 을나누는위수 를갖는임의의원소는위수 인순환부분군을생성한다 그리고생성원의 개수는보조정리 616에의하여 이다 문제 45에의하여 을나누는위수 를갖는부분군은유일 함을안다 그러므로 은정확히 을나누는각각의위수 의원소들인 를포함한다 의각각 의원소들의위수는 을나누므로 인결과를얻을수있다 [ 다른2]( 정수론적인증명방법) 먼저 이다 다음에 이라하고 를 의표준분해라고하자 이때, 의양의정수는모두 와같은꼴이고또 이므로다음이성립한다 그런데각 에대하여 이므로, 위의등식에의하여 이다

61 47 를유한군이라하면, 각양의정수 에대하여방정식 의 에서의해의개수가기껏 해야 이면 는순환적임을보여라 [ 힌트 : 정리 1012 와문제 46 을이용하여 는위수 인원소를포함함을보여라 ] 를 에대하여 에서위수 인원소의개수라하자 이제 를보이면충분하다 그러면, 즉, 위수 인 가존재한다 다시말해서 는위수 인순환군이 다 ( 정리 1012에의하여임의의 에대하여 이므로 는어떤 에대하여 의해이 다 만약 에대하여 를만족하는 가존재한다면 는서로다른 의 해이다 가정에의하여 는많아야 이 의모든서로다른영점이다 그러므 로 이다 즉, 이면 이다 따라서 또는 이다 문제 만족한다 ) 45에의하여 이므로 을만족하는모든 에대하여 를

62 Fraleigh 대수 11 장직적과유한생성가환군 1 의원소를나열하고각원소의위수를구하라 이군은순환군인가? 이고이때위수 8인원소가없으므로 의생성원이존재하지않는다 따라서순환군이아니다 2 군 에대해문제 1 을반복하라 이고이때위수가 재한다 따라서 는순환군이다 12인원소 이존 문제 3~7 에서주어진직적의원소의위수를구하라 3 에서 4 에서 5 에서 6 에서 7 에서 8 의모든순환부분군의위수중에서가장큰수는얼마인가? 또, 에서는어떠한 가?

63 9 의모든비자명진부분군들을구하라 10 의모든비자명진부분군들을구하라 위수 위수 2 인부분군: 4 인부분군:,,, 11 의위수가 4 인부분군을모두구하라 - 생략함 - 12 의부분군중에서 4- 군과동형인부분군을모두구하라,,, 13 인수들의인수를무시하고 한여러가지방법으로써보아라 과동형이되는두개이상의 꼴의직적으로표현하되가능한 14 공란을채워라 18 에의해서생성되는 의순환부분군은위수 를갖는다 4 의위수는 이다 12 의원소 는위수 이다 군은 과동형이다 2,

64 는유한위수를갖는원소 개를갖는다 8 15 Find the maximum possible order for some element of 이므로최대가능한원소의위수는 12 이다 16 Are the groups and isomorphic? why or why not? 동형이다 유한생성가환군의기본정리에의하여 이고 이다 또한 이므로 임을알수있다 17 Find the maximum possible order for some element of 이므로최대가능한원소의위수는 240 이다 18 Are the groups and isomorphic? why or why not? 동형이아니다 유한생성가환군의기본정리에의하여다음은동형이다 하지만 이다 그러므로 와 는동형이아니다 19 Find the maximum possible order for some element of 이므로최대가능한원소의위수는 180 이다 20 Are the groups and isomorphic? why or why not? 동형이다 유한생성가환군의기본정리에의하여다음은동형이다 따라서 와 는동형이다 문제 21~25 에서앞의예제에서처럼주어진위수를갖는군 ( 동형에관계없이 ) 을모두구하라 21 위수

65 22 위수 위수 위수 720 이므로 25 위수 1089 이므로

66 26 위수 24 인가환군 ( 동형에관계없이 ) 은몇개존재하는가? 위수 25 인가환군은? 그리고위수가 (24)(25) 인가환군은? 1 이므로위수 24인가환군은 3 개존재한다 실제로,, 이존재한다 2 이므로위수 25d니가환군은 2 개존재한다 실제로, 이존재한다 3 이므로위수 (24)(25) 인가환군은 6 개존재한다 실제로,,,,, 이존재한다 27 문제 26 에서제안된사고를따라서로소인양의정수 과 에대하여다음을증명하라 만약위수 인가환군 ( 동형에관계없이 ) 이 개, 위수 인가환군 ( 동형에관계없이 ) 이 개존재한다면, 위수 인가환군 ( 동형에관계없이 ) 은 개존재함을보여라 28 문제 27 을이용하여위수가 인가환군 ( 동형에관계없이 ) 의수를결정하라 위수가 인경우는총 7 개존재한다 또한위수가 인경우도총 7 개존재한다 따라서문제 27에의 하여 이므로위수가 인가환군( 동횽에관계없이) 의수는 49( ) 개존재한다 29 (a) Let be prime number Fill in the second row of the table to give the number of abelian groups of order up to isomorphism number of groups (b) Let and be distinct prime numbers Use the table you created to find the number of abelian groups up to isomorphism of the given order

67 30 Indicate schematically a Cayley digraph for for the generating set 31 Consider Cayley digraphs with two arc types a solid are with an arrow and a dashed one with no arrow and consisting of two regular for with solid arc sides one inside the other with dashed arcs joining the vertices of the outer to the inner one Figure 79(b) shows such a Cayley digraph with and Figure 711(b) shows one with The arrows on the outer may have the same (clockwise or counterclockwise) direction as those on the inner or they may have the opposite direction Let be a group with such a Cayley digraph - 생략함 - 32 참, 거짓을판정하라 가군이면 는항상 과동형이다 라하자 그러면 는동형사상이다 ( 보이는것은생략!) 따라서옳은명제이다 각성분군에서의계산방법을안다면그군의외직적에서의계산은쉽다 외직적에서의계산은각성분군끼리연산을근거로정의되어있으므로각성분군에서의계산방법을안다면외직적의계산을쉽게할수있다 따라서옳은명제이다 외직적은유한위수를갖는군으로서만할수있다 유한생성가환군의기본정리에의하여무한위수를 또한외직적의형태로나타낼수있음을안다 소수를위수로갖는군은두개의비자명진부분군의내직적이될수없다 소수를위수로갖는군은부분군으로자명군과자기자신만을갖는다 따라서두개의비자명진부분군의내직적으로나타낼수없다 는 과동형이다 는순환군이아니지만 은순환군이다 따라서동형이아니다

68 는 과동형이다 의위수는 16이지만 의위수는 이다 따라서위수가다르므로동형이아니다 는 와동형이다 는순환군이지만 는순환군이아니다 에속하는모든원소는위수 8 을갖는다 ( 반례) 의위수는 1 이다 의위수는 60 이다 의위수는 이다 하지만 의원소중에서최대로갖을수있는위수는 60( ) 이다 과 이서로소이든아니든 은 개의원소를갖는다 이므로 의원소의개수는 개임을알수있다 33 모든비자명가환군이두개의비자명진부분군의내직적이되지않음을예를들어설명하라 에서 는비자명진부분군을갖지않는다 단, 는소수그렇기때문에두개의비자명진부분군의내직적이될수없다 34 (a) How many subgroups of are isomorphic to 는순환군이고순환군의부분군이그자신과동형이되는경우는그자신으로유일하다 (b) How many subgroups of are isomorphic to 는 의부분군임에자명하다 또한 라하자 그러면 는동형사상임을쉽게보일수 있다 따라서 이다 그러므로 와동형인 의부분군 는무수히많다

69 35 소수의위수를갖지않는두개의비자명부분군의내직적이아닌비자명군의예를드시오 는위수 6 를갖는다 또한부분군으로 를갖는다 하지 만 는어떠한두개의비자명부분군의내직적으로표현되지않음을알수있다 36 참, 거짓을판정하라 소수를위수로갖는모든가환군은순환적이다 를위수를소수 를갖는가환군이라하자 인임의의 에대하여 는 의부분군임에자명하다 그러면라그랑지정리에의하여 이다 따라서 의위수는 하지만위수가 1 또는 이다 1이면 인가정에모순이다 따라서 의위수는 이다 그러므로 이다 그러므로 는순환군이다 소수의멱을위수로갖는모든가환군은순환적이다 는가환군이면서위수로 4 를갖는다 즉 소수 2 의멱을위수로갖는다 하지만 는순환적이지는않다 은 에의해서생성된다 으로 과다름을알수있다 은 에의해서생성된다 이미 임을알고있다 따라서 5 를포함하는 에의하여생성된부분군은 이다 모든유한군은정리 1112( 유한생성가환군의기본정리 ) 에의해동형에관계없이분류될수있다 는유한군이다 하지만유한생성가환군의기본정리에의하여동형에관계없이분류될수없다 이유는가환이라는조건이성립하지않기때문이다 같은 수를갖는두개의유한생성가환군은동형이다 ( 반례) 와 는같은 수 0 를갖지만동형은아니다

70 5 의배수를위수로갖는모든가환군은위수 5 인순환부분군을포함한다 는유한생성가환군의기본정리에의하여 이다 가정에서 는 5의배수를위수로가지므로 한편, 에서 는위수 5 인순환부분군이다 ( ) 이라하자 그러면 는 의위수 5 인순환부분군임에자명하다 따라서 5의배수를위수로갖는가환군은위수 5 인순환부분군을포함한다 ( 일반적으로소수 의배수를위수로갖는가환군은위수 인순환부분군을포함한다 ) 4 의배수를위수로갖는모든가환군은위수 4 인순환부분군을포함한다 ( 반례) 는 4를위수로갖는가환군이지만 의원소중갖을수있는최대의위수는 2 이다 따라서위수4 를갖는생성원이존재하지않는다 그러므로잘못된명제이다 6 의배수를위수로갖는모든가환군은위수 6 인순환부분군을포함한다 를 6 의배수를위수로갖는임의의가환군이라하자 그러면 는 2의배수이므로 에의하여위수 2인순환부분군 를갖는다 또한 는 3의배수이므로 에의하여위수 3인순환부분군 를갖는다 는순환군이므로 이제 라하자 그러면 는자명하게위수 6 인순환부분군이된다 따라서 6의배수를위수로갖는모든가환군은위수 6 인순환부분군을포함한다 모든유한가환군은 수를 0 으로갖는다 어떤유한가환군 를 수가 0 이아니라고가정하자 그러면유한생성가환군의기본정리에의하여 이다 단, 는소수의멱 따라서 는무한히많은원소를갖는다 하지만이는유한이라는가정에모순이다 따라서모든유한가환구는 수를 0 으로갖는다 37 와 를서로다른소수라하자 위수 을갖는가환군 ( 동형에관계없이 ) 의개수와위수 을갖는가환군 ( 동형에관계없이 ) 의개수를어떻게비교할수있는가? 위수 을갖는가환군의개수는 에의하여결정된다 따라서위수 과 을갖는가환군의개수는서로같다는사실을알수있다

71 38 가위수 72 인가환군이라하자 는위수 8 인부분군을몇개나가지는가? 그이유는? - 생략함 - 는위수 4 인부분군을몇개나가지는가? 그이유는? - 생략함 - 39 가가환군이라하자 에서유한위수를갖는원소는부분군을형성함을보여라 의비꼬임부분군 (torsion subgroup) 이라한다 이부분군이 라하자 1 에대하여 이므로 이다 2 임에자명하다 3 임의의 에대하여 이고 이므로 이다 따라서 이므로 이다 게다가 이므로 이다 ( 이면 이므로 역으로, 이면 이므로 따라서 이다 ) 따라서 는 의부분군이다 이때, 는비꼬임부분군이라한다 40 의비꼬임부분군의위수를구하라 또한 의비꼬임부분군의위수를구 하라 의비꼬임부분군은 이다 따라서비꼬임부분군의위수는 12 이다 또한 의비꼬임부분군은 이다 따라서비꼬임부분군의위수는 144 이다 41 0 이아닌실수의곱셈에대한군 의비꼬임부분군을구하라 라할때, 다음을만족하는 ± 로유일하다 따라서 의비꼬임부분군은 이다 42 0 이아닌복소수곱셈에대한군 의비꼬임부분군 를구하라 의비꼬임부분군은 을만족하는 로복소평면상의반지름이 원소로갖는다 1인원주상의모든점들을

72 43 가유일한유한위수를갖는원소인가환군을비꼬임없는군 (torsion free) 이라한다 정리 1112 를사용해서모든유한생성가환군은비꼬임부분과비꼬임이없는부분군의내직적임을보여라 ( 는비꼬임부분군이며또한비꼬임없는부분군이기도함에주목하라 ) 는유한인가환군이므로유한생성가환군의기본정리에의하여 이다 이제 라하자 그러면 이고 임을알수있다 44 정리 1112 에서의 의분해에서소수의멱을위수로하는부분은 의꼴로 도쓰여질수있다 여기서 에대해 는 을나눈다 그숫자 는유일하게존재함을보일수있으며이를 의비꼬임계수 (torsion coefficient) 라한다 의비꼬임계수를구하라 이므로비꼬임계수는 이다 의비꼬임계수를구하라 이므로비꼬임계수는 이다 순환군의직적의비꼬임계수를구할수있는계산공식을써보아라 라할때, 인서로다른소수라하자 그러면 이고, 이때비꼬임계수는 이다 46 가환군의직적은가환군임을보여라 를가환이라하자 임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 그러면 따라서 는가환이다

73 47 를가환군이라하자 를항등원 와위수 라하면 가 의부분군임을보여라 라하자 1 이고 임은자명하다 2 임의의 에대하여 이므로 이다 2 인 의모든원소들로구성된 의부분집합이 3 임의의 에대하여 ( G: 가환) 이므로 이다 그러면 또는 이다 이면 이므로성립한다 또한 이면정의에의 하여 이다 따라서 는 의부분군이다 48 문제 47 의방법에따라 가항등원 와위수가 합이라면 는부분군이되는가를결정하라 또한 가항등원 와위수가 3 인모든원소들로구성된가환군 의부분집 4 인모든원소들로구성된 가환군 의부분집합이라면 는부분군이되는가? 가항등원 와위수가 인원소들로구성된가 환군 의부분집합이라면어떤양의정수 에대하여 가 의부분군이되는가? 5 장의문제 48 과 비교해보라 (a) 1 이고 임은자명하다 2 임의의 에대하여 이므로 이다 3 임의의 에대하여 ( G: 가환) 이므로 이다 그러면 또는 이다 이면 이므로성립한다 또한 이면정의에의 하여 이다 따라서 는 의부분군이다 (b) 같은경우도위의 (a) 에서의 1, 2는쉽게보일수있다 하지만 4는보일수없다 즉 닫혀있음 을보장해주지못한다 실제로 이면 또는 4 이다 1과 4인경우는위와동일한방법으로쉽게 임을보일 수있지만 인경우는 임을보장해주지못한다 따라서 는부분군이된다는보장을할수없다 (c) ( 단, 는소수) 인경우에한하여 는가환군 의부분군이다 1 이고 임은자명하다 2 임의의 에대하여 이므로 이다 3 임의의 에대하여 ( G: 가환) 이므로 이다 그러면 또는 이다 이면 이므로성립한다 또한 이면정의에의 하여 이다 따라서 는 의부분군이다

74 49 가가환이라는가정이없을경우문제 47 의반례를구하라 라하자 그러면 이다 하지만 는 의부분군이아니다 왜냐하면 이기때문이다 50 와 가군이고 라하자 자연스럽게 와 가군 의부분군으로나타날수있음을상기하자 이부분군 ( 실제로 ) 와 ( 실제로 ) 가다음성질을가짐을보여라 의모든원소는적당한 와 에대해 의꼴이다 모든 와 에대하여 이다 51 와 를앞의문제에서나열된세성질을만족하는군 의부분군이라하자 각 에대해 이고 에대해표현 는유일함을보여라 그리고 를 로다시이름붙이면 는 구조적으로 와일치함을보여라 [ 힌트 : 위에서군연산을이렇게다시이름붙임으로써 위에서연산에대응한다 즉, 이 로 가 로다시이름붙여지면 는 로됨을보여라 ] ( 유일성) 라하자 단, 그러면 이다 따라서 이다 ( 동형성) 라하자 단, 그러면 라하자 단, 그러면 이므로 이다 위의유일성에의하여단사이고전사임에는 의정의에의하여자명하다 따라서 는동형사상이다 그러므로 이다

75 52 유한가환군이순환군이아닐필요충분조건은그군이적당한소수 인부분군을포함하는것임을보여라 ( ) 가순환군이라하자 그러면군 의부분군 또한순환군이다 하지만 는순환군이아니다 이는모순이다 그러므로 는순환군이아니다 ( ) 는유한인가환군이므로 유한생성가환군의기본정리에의하여 이라하자 에대하여 와동형 이때, 이서로다른소수이면 는순환군이다 따라서적어도하나는같은소수가존재함을알수있다 즉, 에대하여 인 가존재한다 일반성을잃지않으면서 라하자 그러면 이다 이때, 이라하자 그러면 는 의부분군임에자명하다 또한 이다 따라서 가순환군이아니면 와동형인부분군 가존재함을알수있다 53 만약유한가환군이위수를소수 의멱으로가지면, 그군에있는모든원소는위수를 의멱 으로가짐을증명하라 가환성의가정이생략되어도좋은가? 그이유는? 의위수가 이라하자 그러면 에대하여라그랑지정리에의하여 이다 따라서 중에하나임을알수있다 즉, 의원소의위수는 의멱을가진다 가환성은위의증명과정에서사용되지않았으므로가환성이란가정은생략되어도좋다 54 와 를유한생성된가환군이라하자 만약 가 와동형이면, 임을보여 라,, 라하자 단, 는소수 이므로인자들의분해가같음을알수있다 여기서 와 둘다마지막에는 의인자들을가지고있으므로결국 와 의분해에서인 자들의표현은같음을알수있다 따라서 이다

76 55 은 에의해서생성됨을보여라 [ 힌트 : 을움직일때 은호환 을 만들게됨을보이고, 모든호환은이들호환의곱임을보인다 ] 일때, 일때, 일때, 일때, 임을알수있다 또한임의의호환 에대하여 이성립한다 임의의치환은유한개의순환치환의곱으로나타낼수있으며순환치환은유한개의호환의곱으로나타 낼수있다 즉, 임의의치환은유한개의호환의곱으로나타낼수있다 따라서 상의임의의치환은각각의 에대하여 의유한번의곱에의 하여나타낼수있다 따라서 이다

77 Fraleigh 대수 13 장준동형사상 문제 1~15 에서주어진사상 가준동형사상인지를결정하라 [ 힌트 : 에대하여만약 가좌, 우잉여류가같게되는부분군이아니며, 는준동형사상이아니다 ] 1 으로주어진덧셈에대한 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 2, 는 를넘지않는최대의정수로주어진덧셈에대한 ( 반례) 이지만 이다 3 로주어진곱셈에대한 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 4 호제법에서주어진것처럼 (2 로나누었을때 의나머지 ) 로정의된 임의의 에대하여 인 ( ) 가존재한다고 한다 그러면 가성립한 다 따라서 는준동형사상이다 5 호제법에서주어진것처럼 (2 로나누었을때 의나머지 ) 로정의된 ( 반례) 이지만 이다 6 으로주어진, 단 는덧셈, 는곱셈에대한군 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 7 로정의된 단, 이며 는 의항등원이다 이것은단사사상이다 예제 138 와비교해보자 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다

78 8 가어떤군이고 에대하여 로정의된 이고 이다 그러므로 이면 는준동형사상이아니다 실제로 에서 이지만 이다 9 를모든차수의도함수를갖는 에서 로대응하는함수의덧셈에대한군이라하자, 의 2 차도함수로정의된 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 10 를 에서 로대응하는모든연속함수들의덧셈에대한군이라하자 는실수들의덧셈에 대한군이고 으로정의된 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 11 를 에서 로대응하는모든함수의덧셈에대한군이고 로정의된 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 12 을실수를요소로갖는모든 행렬의덧셈에대한군이라하고 를실수의덧셈에대한군이라하자 에대하여, 의행렬식의값으로정의된 ( 반례) 이지만 이다 13 과 를문제 12 에서와같이하자 에대하여대각합 (trace) 는왼쪽상단에서오른쪽하단에이르는 의주대각선상의요소의합일때, 로정의된 임의의 에대하여 이고, 이때, 이성 립한다 따라서 는준동형사상이다

79 14 을역행렬을갖는 행렬의곱셈에대한군이라하고 를실수의덧셈에대한군이라하 자 로정의된, 단 는문제 13 에서정의되어있다 ( 반례) 이지만 이다 15 를모든 에서 자 를 0 이아닌 에서 로대응하는모든연속함수의곱셈에대한군이라하 0 이아닌실수들의곱셈에대한군이라하자 로정의된 이지만 이다 문제 16~24 에서 Computer the indicated quantities for the given homomorphism (See Ex 46) 16 for in Example 133 우치환 기치환이므로따라서 이다 17 and for such that 이므로 는 의생성원이다 따라서 를만족한다 따라서 이다 또한 에서 이므로 이다 18 and for such that 이므로 이다 따라서 이다 또한 에서 이므로 이다 19 and for such that 이므로 이다 따라서 이다 또한 이므로 이다 20 and for such that 이므로 이다 따라서 이다 또한 이다

80 21 and for such that 이므로 이다 따라서 이다 또한 이다 22 and for such that and 이므로 이다 따라서 이다 또한 23 and for such that and 이므로 이다 따라서 이다 또한 이다 24 and for such that and 이므로따라서 이다 또한 이다 25 에서 위로대응하는준동형사상은몇개존재하는가? 또는 이므로 에서 위로대응하는준동형사상은 또는 이다 따라서 2 개존재한다 26 에서 로대응하는준동형사상은몇개존재하는가? 라하자 그러면 는준동형사상임에자명하다 따라서 에서 로대응하는준동형사상은 개만큼존재한다 즉, 만큼존재한다 그러므로무수히많다고볼수있다 27 에서 로대응하는준동형사상은몇개존재하는가? 또는 1 이다 따라서 에서 로대응하는준동형사상은 또는 이다 따라서 2 개존재한다

81 28 가군이고 라하자 가 에대하여 로정의되어져있다고하면어떤 에대하여 가준동형사상이되는가? 가준동형사상이라하자 그러면 를만족한다 따라서 이다 그러므로 일때 는준동형사상이다 29 가군이고 라하자 가 에대하여 로정의되어져있다고하면어떤 에대하여 가준동형사상이되는가? 이므로임의의 와임의의 에대하여 를만족한다 따라서모든 에대하여 가준동형사상이된다 문제 30 과 31 에서 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 30 준동형사상 () 은 을만족하는사상이다 준동형사상은임의의 에대하여 를만족하는 에서 로의사상이다 단, 는 에서의연산이고, 는 에서의연산이다 31 이군준동형사상이라하자 의핵 () 은 이다 단, 는 의항등원이다 옿은정의이다 32 참, 거짓을판정하라 이 의정규부분군이다 임은자명하다 또한 이므로 이다 어떤두개의군 와 에대해서도 에서 로대응하는준동형사상은존재한다 이라하자 그러면 는준동형사상임에자명하다 단, 는 의항등원이다 모든준동형사상은 1-1 사상이다 는준동형사상이지만 1-1 은아니다 단, 는 의항등원이다

82 하나의준동형사상이 ( ) 따라서 는 1-1 일필요충분조건은그것의핵은항등원한원소의군으로구성되어있다 ( : 준동형사상) 이므로 1-1 이다 단, 인사상이며, 는 의항등원이고 는 의항등원이다 ( ) 귀류법증명! 인 가존재한다고하자 그러면 를만족한다 가정에의하여 는 1-1이므로 이다 하지만이는모순이다 따라서 이다 6 개의원소를갖는군의적당한준동형사상에대한상은 4 개의원소를가질수도있다 이므로위의명제는틀린명제이다 6 개의원소를갖는군의어떤준동형사상에대한상은 12 개의원소를가질수도있다 이므로위의명제는틀린명제이다 6 개의원소를갖는군에서 12 개의원소를갖는군으로대응하는준동형사상은존재한다 라하자 그러면 는준동형사상임에자명하다 6 개의원소를갖는군에서 10 개의원소를갖는군으로대응하는준동형사상은존재한다 라하자 그러면 는준동형사상임에자명하다 준동형사상이공집합을핵으로가질수도있다 에대하여 가준동형사상이면 는항상만족한다 따라서 이다 단, 는 의항등원이고 는 의항등원이다 무한군에서유한군으로대응하는준동형사상을가지는것은불가능하다 가능하다 문제 16 참조

83 문제 33~43 에서, 주어진군에대한비자명준동형사상이존재한다면그예를들어라 만약그런준동형사상이존재하지않으면그이유를설명하라 33 존재하지않는다 중에하나값을갖는다 1 우선 이면 는자명준동형사상이다 따라서 이다 2 이면 이고 므로 는자명준동형사상이다 따라서 단, 5는 에서생성원이므로 이 따라서 가준동형사상이면 는자명준동형사상이다 즉, 비자명준동형사상은존재하지않는다 [ 다른] 이므로비자명준동형사상은존재하지않는다 34 존재한다 ( 예) 라하자 그러면 는준동형사상이다 문제 4 참조 35 존재한다 ( 예) 단, 36 존재하지않는다 는 의유한인부분군이다 는무한군이므로유한인부분군 만을갖는다 따라서 이다 하지만이는가정에모순된다 따라서비자명준동형사상은존재하지않는다 37 존재한다 ( 예) 단, 라하자 그러면 는준동형사상이다 38 존재하지않는다 39 존재한다 ( 예) 단, 라하자 그러면 는준동형사상이다

84 40 존재한다 ( 예) 단, 라하자 그러면 는준동형사상이다 41 존재한다 ( 예) 라하자 그러면 는준동형사상이다 42 존재한다 ( 예) 라하자 그러면 는준동형사상이다 43 존재한다 ( 예) 라하자 그러면 는준동형사상이다 44 를군의준동형사상이라하자 만약 가유한이면 도유한이며 의약수임을보여라 이라하자 이므로따라서 이다 즉, 는유한이다 또한임의의 에대하여 이므로 이다 45 를군의준동형사상이라하자 만약 가유한이면 도유한이며 의약수임을보여라 가유한이면 의부분군 의위수또한유한이다 또한라그랑지정리에의하여부분군 의위수는 의약수이다

85 46 군 가 에의해생성된다고하자 단, 는적당한첨수의집합이고 이다 임의의 에대하여 를만족하는 에서 으로의두준동형사상을 와 라하자 임을증명하여라 [ 예를들어순환군의준동형사상은완전히군의생성원의값에의하여결정되어진다 ] [ 힌트 : 정리 76 과준동형사상의정의 131 을이용 ] 임의의 에대하여 가존재해서 ( ) 를만족한다 그러면 ( 는준동형사상이도 ) 따라서 이다 47 가소수일때, 어떤군의준동형사상 도자명준동형사상이거나 1-1 사상중의 하나이어야함을보여라 가소수이면 의위수는 의위수의약수이므로( 문제44) 또는 이다 1 인경우 이므로필요충분하게 2 인경우 1-1 사상임을알수있다 이고 이므로 이다 따라서 를만족한다 그러므로 는자명준동형사상이다 단, 는 의항등원이다 48 우치환의부호는 이고기치환의부호는 이다 의부호로정의된사상 은 에서곱셈에대한군 위로대응하는준동형사상임에주목하라 핵은무엇인가? 예저 133 과비교하라 이고, 곱셈군 은 와동형이다

86 49 와 가군이고 와 가준동형사상이면합성사상 도준동형사상임을보여라 임의의 에대하여 를만족한다 따라서합성사상 또한준동형사상이된다 50 를군준동형사상이라하자 가아벨군일필요충분조건은모든 에대하 여 를만족하는것임을보여라 ( ) 임의의 에대하여 ( : 준동형사상 ) ( : 준동형사상 ) ( : 아벨군 ) 따라서 이다 ( ) 임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 그러면 이다 ( : 준동형사상 ) ( : 준동형사상 ) 따라서 이다 그러므로 는아벨군이다 단, 는 의항등원이다 51 가어떤군이고 가 의원소라하자 를 으로정의되어있다고하면, 가준동형사상임을보여라 의상과 의핵의가능성을기술하라 이고 가준동형사상이므로 은 의항등원이다 이제임의의 에대하여 이다 따라서 는준동형사상이고이때, 의연산은곱셈연산이다 의상은 이며, 의핵은 의부분군이기때문에 의부분군중에하나이다

87 52 가핵 를갖는준동형사상이고 라하자 임을보여 라 라하자 이제 임을보인다 ( ) 임의의 에대하여 따라서 이다 ( ) 임의의 ( ) ( ) 에대하여 ( ) 따라서 이다 단, 는 의항등원이다 53 가군이라하자 이고, 가 으로정의되어있다고하면, 가준동형사상이될 과 에관련된필요충분조건을구하고그것을증명하라 ( ) 이므로 이고 이성립한다 따라서 이다 ( ) 임의의 에대하여 이성립한다 ( ) 따라서 는준동형사상이다 54 앞의연습문제에서설명된사상 가모든 의선택에대해준동형사상이될 에대한필요충분조건을구하라 가군이라하자 이고, 가 으로정의되어있다고하면, 가준동형사상이될필요충분조건은임의의 에대하여 를만족하는것이다 즉, 가아벨군이다

88 55 를군이라하고 를 의원소 은양의정수라하자, 으로정의할때, 가준동형사상이될 에대한필요충분조건을구하라 가준동형사상이될필요충분조건은 를만족하는것이다

89 Fraleigh 대수 14 장잉여군 문제 1~8 에서주어진잉여군의위수를구하라 1 이므로 이다 2 이므로 주어진잉여군의위수는 4 이다 3 4 이므로주어진잉여군의위수는 3 이다 이므로 이다 따라서주어진잉여군의위수는 1 이다

90 문제 9~15 에서주어진잉여군에속하는원소의위수를구하라 9 에속하는 이다 따라서주어진원소의위수는 4 이다 10 에속하는 이다 따라서주어진원소의위수는 6 이다 11 에속하는 이다따라서주어진원소의위수는 3 이다 12 에속하는 이다 그러면 이다 따라서주어진원소의위수는 2 이다 13 에속하는 이다 따라서주어진원소의위수는 4 이다 14 에속하는 이다 따라서주어진원소의위수는 8 이다

91 15 에속하는 이다 따라서주어진원소의위수는 3 이다 16 예제 87 에서의군 의부분군 에대하여 를계산하라 문제 17~19 에서 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 17 A normal subgroup of is one satisfying for all 의정규부분군 는 의부분군이며임의의 에대하여 를만족하는것이다 18 A normal subgroup of is one satisfying for all and all 옳은정의이다 19 An automorphism of a group is a homomorphism mapping into 군 의자기동형사상은 에서 로의동형사상이다 즉, 위의조건에일대일대응이란조건이첨가되 어야한다 20 군 의정규부분군에서중요한것은무엇인가? 임의의 에대하여 이만족한다는사실이중요하다 그근거로는잉여군 가이조건이성립하기때문에군을이룬다 따라서잉여군 를배우기위해서는정규성이중요한부분을차지한다 21 어떤학생에게 가가환군 의정규부분군이면 도가환임을증명하도록요청했다 생의증명은다음과같이시작되었다 가가환임을보여야한다 와 를 의두원소라하자 그학 이증명을읽은교수님은왜이학생의답안지에서터무니없는말을찾게되는가? 와 가 의두원소가될수없다

92 이학생은어떻게썼어야되는가? 와 가 의두원소라하자 증명을완성하라 임의의 에대하여 이성립한다 ( 가아벨군이므로 ) 따라서 는가환군이다 22 비꼬임군 (torsion group) 은모든원소가유한위수를갖는군이다 어떤학생에게 가비꼬임군이면 의모든정규부분군 에대하여 도역시비꼬임군임을증명하도록요청했다 그학생은다음과같이썼다 의각원소가유한위수임을보여야한다 라하자 이증명을읽은교수님은왜이학생의답안지에서터무니없는말을찾게되는가? 는 의원소이지 의원소가아니다 이학생은어떻게썼어야되는가? 라하자 증명을완성하라 임의의 에대하여 가비꼬임군이므로 그러면 이다 따라서 이다 즉, 이다 그러므로 의각원소는유한위수를갖는다 23 참, 거짓을판정하라 잉여군 이다 에대하여이야기하는것이의미를갖기위한필요충분조건은 이군 의정규부분군 이군 의정규부분군일필요충분조건은 이군이다 가환군 의모든부분군은 의정규부분군이다 를군 의부분군이라하자 그러면 가가환이기때문에모든 에대하여 를만족한다 따라서 는정규부분군이다

93 가환군의내적자기동형사상은항등함수뿐이다 ( : 가환) 유한군의모든잉여군은다시유한위수를갖는다, ( ) 인표준준동형사상이라하자 그러면 을만족한다 따라서 의위수가유한이면잉여군 또한위수가유한이다 비꼬임군의모든잉여군은비꼬임군이다 임의의 에대하여 가비꼬임군이므로 그러면 이다 따라서 이다 즉, 이다 그러므로 의각원소는유한위수를갖는다 비꼬임이없는군의모든잉여군은비꼬임이없다 ( 반례) 는비꼬임이없는군이다 하지만 는비꼬임이있다 가환군의모든잉여군은가환이다 임의의 에대하여 이성립한다 ( 가아벨군이므로 ) 따라서 는가환군이다 비가환군의모든잉여군은비가환이다 ( 반례) 는비가환군이다 하지만 는가환군이다 는위수 을갖는순환군이다 제1 동형정리에의하여 이성립한다 는위수 을갖는순환군이다 여기서 이며 는덧셈에대한군이다 임의의 이고 이므로 이다 즉, 이다 따라서 에대하여위의명제는성립하지않는다

94 24 은 의정규부분군임을보이고 을계산하라 즉, 과동형인이미알려진군을 구하라 1 항등치환은우치환이므로 이고, 이 의부분집합임에는자명하다 2 임의의 에대하여 우치환 우치환 우치환 이성립한다 따라서 은 의부분군이다 3 임의의 와임의의 에대하여 우치환 우치환 우치환 우치환 우치환 기치환 우치환 기치환 우치환 기치환 이성립한다 따라서 은 의정규부분군이다 4, 우치환 기치환 라하자 그러면 는전사인준동형사상이다 의핵은 이므로제1동형정리에의하여 이다 실제로 이다 25 Complete the proof of theorem 144 by showing that if is a subgroup of a group and if left coset multiplication is well defined then - 생략함 - 26 가환군 의비꼬임부분군 는 의정규부분군이며 는비꼬임이없는군임을보여라 ( 문제 22 참조 ) 라하자 1 이므로 이다 또한 이다 2 임의의 에대하여 이므로 이다 따라서 이다 그러므로 이다 3 라하자 단, 그러면 이므로 이다 역으로 이므로 이다 따라서 이므로 이다 3 2, 3으로부터 는 의부분군이다 4 가가환군이므로임의의 에대하여 가성립한다 따라서 는 의정규부분군이다 5 가정규부분군이므로 는군임에자명하다 6 가비꼬임군이면문제 22 에의항 또한비꼬임군이되어모순된다 따라서 는비꼬임이없는군이다 즉, 이제 를비꼬임군이라가정하자 그러면 이므로 이다 가정에의하여 는비꼬임군이므 로 따라서 임을알수있다 이는 가유한위수를갖지않는다는가정에 모순된다 그러므로 는비꼬임이없는군이다

95 27 만약 의내적자기동형사상 가존재하여 이면부분군 는부분군 에공액이라 고한다 공액관계는 의부분군의모임에서동치관계임을증명하라 1 ( 반사) 이므로 이다 2 ( 대칭) 이면즉, 이면 이고 이때, 이존재하므로 이다 따라서 이다 3 ( 추이) 이면즉, 이면 이므로 이다 따라서 이다 28 앞의문제에서공액관계에의해서주어진분할의세포속의포함관계를이용해서군 분군을특정지워라 즉, 동치조건을찾아라 의정규부 정규부분군은공액조건을만족하는군이유일하게자기자신만을갖는다 즉, 를 와서로공액인부분군들의모임이라할때, 을만족하는것이다 29 문제 27 를참고로하여 와공액인 ( 예제 87) 의모든부분군을구하라 30 를군 의정규부분군이라하고 라하자 모든 에대하여 임을보여 라 이므로임의의 에대하여 를만족한다 따라서 이다 31 군 의정규부분군의공통집합은다시 의정규부분군임을보여라 를각각 의정규부분군이라하자 를 의항등원이라할때, 이고 이므로 는공집합이아니며 의부분집합임에는자명하다 또한임의의 에대하여 이고 이고 ( ) 를만족한다 따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 이제정규성을보이면충분하다 임의의 에대하여 ( ) 를만족한다 따라서 는 의정규부분군이다

96 32 의고정된부분집합 를포함하는가장적은정규부분군에대하여언급하는것은의미있는것 임을보여라 [ 힌트 : 문제 31 을이용하라 ] 라하자 단, 는 를포함하는 의정규부분군이다 그러면 는문제 31에의하여 의정규부분군이다 또한 를포함하는최소의정규부분군이다 33 let be a group An element of that can be expressed in the form for some is a commntator( 교환자 ) in The preceding exercise shows that there is a smallest normal subgroup of a group containing all commutators in ; the subgroup is the commutator subgroup( 교환자부분군 ) of Show that is am abelian group 임의의 에대하여 이다 가정에의하여 는 에서모든가환자를포함한다 따라서 이다 즉, 이성립한다 따라서 는가환이다 34 여라 유한군 가주어진위수를갖는꼭하나의부분군 만갖는다면 는 의정규부분군임을보 를군 의부분군이라하자 임의의 에대하여 임은자명하다 그러면가정에의하여 임을알수있다 따라서 는 의정규부분군이다 35 와 은 의부분군이며 이 에서정규적이면, 은 에서정규적임을보여라 은 에서는정규적일필요가없음을예로들어보여라 제 2 동형정리의증명!! 1 가 의부분군임에는자명하다 2 임의의 에대하여 이다 ( 이므로 이고, 이므로 에대하여 이다 ) 따라서 는 의정규부분군이다 즉, 이다 3 이라하자 그러면 이지만 는 의정규부분군이아니다 36 가고정된유한위수 를갖는부분군을적어도하나포함하는군이라하자 위수 인 의모든부분군의공통집합은 의정규부분군임을보여라 [ 힌트 : 가위수 를갖는다면모든 에대하여 로위수 를갖음을이용하라 ] 라하자 1 가 의부분군이므로부분군의교집합인 또한 의부분군이다 2 가위수 를갖는최소의부분군이다 임의의 에대하여 이므로 가성립한다 따라서 이므로 이다

97 37 군 의내적자기동형사상은함수합성에대하여군을이루고있음을보여라 임의의두내적자기동형사상의합성은준동형사상의합성이준동형사상이된다는사실로부터준동형사 상임을알수있다 또한 1-1대응의합성은 1-1대응이므로결국에는자기동형사상의합성이자기동형 사상이됨을안다 또한항등사상이항등원의역할을하며, 역사상또한자기동형사상으로역원의역할 을한다는사실을안다 그러므로자기동형사상은함수합성에대하여군을이룸을알수있다 군 의내적자기동형사상은함수의합성에대한모든자기동형사상의군의정규부분군임을보여 라 [ 주의 : 내적자기동형사상들이부분군을이루고있음을반드시보여라 ] 라하자 1 임의의 에대하여 ( ) 를만족한다 따라서연산에관해닫혀있다 는항등원의역할을함에자명하다 그러면위의 로부터 임을알수있다 즉, 가역원의역할을한다 따라서 이다 2 임의의 와임의의 에대하여 를만족한다 따라서 이다 그러므로 이다 단, 는자기동형사상들의모임이다 38 가항등내적자기동형사상 가되는모든 들의집합은군 의정규부분군임 을보여라 라하자 이므로 이다 또한정의에의하여 임에자명하다 임의의 에대하여 ( ) ( ) ( ) 를만족한다 또한 따라서 이고 이다 그러므로 는 의부분군이다 임의의 와임의의 에대하여 ( ) ( ) 를만족한다 따라서 이다 그러므로 는 의정규부분군이다

98 39 와 가군이며 와 는각각 와 의정규부분군이라하고, 가 에서 로대응하는준동형사상이라하자 만약 이면 가자연스러운준동형사상 를유도함을보여라 ( 이사살은대수적위상에끊임없이사용되어진다 ) 임의의 에대하여 라하자 에대하여 라하자 그러면 이고따라서 이다 즉, 이므로 이다 따라서 는잘정의된사상이다 이제임의의 에대하여 는준동형사상이므로 따라서 는준동형사상이다 40 Use the properties and for matrices to show the following; The matrices with determinant 1 form a normal subgroup of 라하자 1 이므로 이다 또한정의로부터 임에는자명하다 임의의 에대하여 이므로따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 2 임의의 와임의의 에대하여 이므로따라서 이다 따라서 는 의정규부분군이다 The matrices with determinant ± form a normal subgroup of ± 라하자 1 이므로 이다 또한정의로부터 임에는자명하다 임의의 에대하여 ± 이므로따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 2 임의의 와임의의 에대하여 ± 이므로따라서 이다 따라서 는 의정규부분군이다

99 41 Let be a group, and let be the set of all subsets of For any,, let us define the product subset Show that multiplication of subsets is associative and has an identity element, but that is not a group under this operation 1 결합법칙이성립함을보인다 - 생략함 - 2 항등원을갖는다 를 의항등원이라하자 그러면 이고곱셈의정의에의하여 이성립한 다 따라서 는 의항등원이다 3 위의연산에대하여군을이루지않음을보인다 가자명군이면군을이룬다 따라서 가자명군이아니라고가정하자 임의의 에대하여 가존재해서 라하자 그러면임의의 에대하여 를만족한다 즉, 와 는역원의관계에있다 하지만 에서역원은유일하게하나존재한다 그러므로 와 는원소를하나만갖는다 여기서 는임의의원소이므로 이다 따라서 는자명군이다 이는가정에모순된다 따라서 는이연산에관하여군을이루지않는다 Show that if is a normal subgroup of,, then the set of cosets of is closed under the above operation on,, and that this operation agrees with the multiplication given by the formula in Corollary 생략함 - Show (without using Corollary 145) that the cosets of in form a group under the above operation Is its identity element the same as the identity element of? - 생략함

100 Fraleigh 대수 15 장잉여류의계산과단순군 문제 1~12 에서유한생성가환군에대한기본정리에따라주어진군을분류하라

101 Find both the center and the commutator subgroup of the group of symmetries of the square in Table 8 12 이고이때, 이다 또한 는비가환군이므로 이다 따라서 이다 14 의중심과교환자부분군을찾아라 - 생략함 - 15 의중심과교환자부분군을찾아라 - 생략함 - 16 의위수가 4 보다적거나같은모든부분군을설명하고, 각각의경우에정리 1112 에서 처럼이부분군을법으로하는 의잉여군을분류하라 즉, 부분군을구하고이부분군을법으로 하는 의잉여군은 와동형인가를조사하여라 [ 힌트 : 는 6 개의위수가 4 인서로다른순환부분군을갖는다 부분군 와같이생성원을 구함으로써그들을설명하라 4- 군과동형인위수 4 인부분군은하나존재하며위수 2 인부분군 은 3 개존재한다 ] 부분군 잉여군 부분군 잉여군

102 문제 17 과 18 에서 17 The center of a group contains all elements of that commute with every element of 군 의중심은 이다 18 The commutator subgroup of a group is 교환자부분군에대한옳은정의이다 19 참, 거짓을판정하라 순환군의모든잉여군은순환적이다 임의의순환군을 라하자 그러면 임의의부분군 라하면순환군의부분군이므로 또한순환군이고 이다 따라서 와동형이다 즉, 순환군의잉여군은다시순환적이된다 비순환군의잉여군은다시비순환군이다 는비순환군이지만 는순환군이다 덧셈에대한 는위수 2 인원소를갖지않는다 는위수 2인 의원소이다 덧셈에대한 는모든 에대하여위수 인원소를갖는다 모든 에대하여 는위수 인 의원소이다 덧셈에대한 는위수 4 인원소를무한개갖는다 이고이때, 가위수 따라서 로유일하다 4 이기위해서는 이다 군 의교환자부분군이 이면 는가환이다 임의의 에대하여 이므로 가성립한다 따라서 는가환이다

103 가가환이면 의교환자부분군 는 를포함한다 정리 1520에의하여 는 의부분군이다 단순군 의교환자부분군은 자신이어야만한다 또는 이어야한다 따라서 자신만이어야한다는것은잘못된명제이다 비가환단순군 의교환자부분군은 자신이어야한다 교환자부분군이 이면 는가환이므로모순된다 모든비자명유한단순군은소수를위수로갖는다 ( 반례) 는단순군이지만위수는 는소수가아니다 문제 20~23 에서 를 에서 로대응하는모든함수의덧셈에대한군이라하고 를 의어떤 점에서도함수값 0 을취하지않는 의모든원소의곱셈에대한군이라하자 20 를상수함수로이루어진 의부분군이라하자 와동형이되는 의부분군을찾아라 또는임의의 에대하여 21 를상수함수로구성된 의부분군이라하자 와동형이되는 의부분군을찾아라 또는임의의 에대하여 22 를 의연속함수의부분군이라하자 위수를 2 로갖는 의원소를찾을수있는가? 그이 유는? 위수를 2로갖는 의원소가존재하고이는 라하자 단, 만약 이면 이므로 는연속함수이다 따라서 이다 이는가정에모순된다 따라서위수를 2로갖는 의원소는존재하지않는다 23 를 의연속함수의부분군이라하자 위수를 2 로갖는 의원소를찾을수있겠는 가? 그이유는? 위수를 2로갖는 의원소가존재하고이는 라하자 단, 만약 이면 이므로 는연속함수이다 따라서 이다 이는가정에모순된다 따라서위수를 2로갖는 의원소는존재하지않는다

104 문제 24~26 에서 를곱셈에대한군 이라하자 24 라하면 가 의부분군임을증명하고, 를계산하라 1 에대하여 이므로 이고 임에자명하다 임의의 에대하여 를만족한다 ( 이므로 이므로 ) 따라서 는 의부분군이다 2 라하자 그러면 이므로 는준동형사상이다 ( 가군이므로소약법칙에의하여) 이므로따라서 는 1-1 사상이고잘정의되어있는사상이다 또한임의의 에대하여 가존재해서 이므로따라서 는전사사상이다 그러므로 와 는동형이다 따라서 이다 25 은이책에서언급된어떤군과동형인가? 라하자 그러면 는전사인준동형사상이고 임을알수있다 따라서제 1동형정리에의하여 이다 26 에대하여 이라하자 은우리가알고있는어떤군과 동형인가? 라하자 그러면 는전사인준동형사상이고 임을알수있다 따라서제 1동형정리에의하여 이다 27 덧셈에대한군 는이책에서언급된어떤군과동형인가? 라하자 그러면 는전사인준동형사상이고 임을알수있다 따라서제 1동형정리에의하여 이다 28 의모든원소는 1 보다큰유한위수를갖지않지만잉여군 의모든원소는유한위수를 갖는군 의예를들어라 는 1보다큰유한위수를갖지않지만 는임의의원소 에대하여 를만족한다 따라서모든원소는유한위수를갖는다

105 29 와 를군 의부분군이라하자 와 는동형이아니지만 일수있음을예로들어보아라, 라하자 그러면 이지만 이다 하지만 이다 실제로 는동형사상이다 30 모든단순군의중심에대해설명하라 아벨군임의의아벨군은정규부분군이다 따라서중심은전체군이다 비아벨군중심은정규부분군이므로 이다 31 모든단순군의교환자에대해설명하라 아벨군아벨군의교환자부분군은 이다 비아벨군교환자부분군은정규부분군이므로 이다 생략함 - 34 유한군 가 에속하는지수 2 인진부분군을포함한다면 는단순군이아님을보여라 인유한군 의부분군 에대하여 라하자 임의의 에대하여 이면 임이자명하다 이면 이므로 이다 따라서 는비자명진부분군이아닌정규부분군이다 따라서 는단순군이아니다 35 를군의준동형사상이라하고 을 의정규부분군이라하자 이 의정규부분군임을보여라 1 이 의부분군임에는자명하다 2 임의의 에대하여 를만족한다 ( 는준동형사상이고 ) 따라서 이다

106 36 를군의준동형사상이라하고 를 의정규부분군이라하자 는 의정규부분군이다 1 이므로 이고 임에는자명하다 이제임의의 에대하여 이존재해서 를만족한다 또한 를만족한다 ( 는준동형사상이고 ) 따라서 이다 그러므로 이 의부분군이다 2 임의의 와임의의 에대하여 이존재해서 를만족한다 또한 를만족한다 ( 는준동형사상이고 ) 따라서 이다 그러므로 이 의정규부분군이다 37 가비가환군이면, 잉여군 는순환군이아님을보여라 대우증명한다!! 잉여군 가순환군이라하자 그러면 이다 이제임의의 에대하여 또한 를만족한다 따라서 는가환군이다 38 위수가 인비가환군 가자명중심을가짐을보여라 단, 는소수 이라하자 그러면라그랑지정리에의하여 이고 이므로 또는 이다 단, 는소수 의위수가소수이면 는순환군이다 이는문제 39에의하여 가비가환군임에모순된다 따라서 이다 즉, 이다 39 주어진단계와힌트를이용하여 은 에단순군임을보여라 이면 은모든 에대하여 은 3- 순환치환을포함한다 3- 순환치환에의하여생성됨을보여라 [ 힌트 : 이고 이다 ] 일때 과 를 의고정된원소라하자 에대하여 은 개의 의꼴을갖는 3- 순환치환에의해서생성됨을보여라 특별한 [ 힌트 : 와 를계산하여모든 3- 순환치환을 특별한 순환치환의곱임을보여라 ] 에대하여 을 의정규부분군이라하자 이하나의다 3- 순환치환을포함한다면 이 [ 힌트 : 이면 에대하여 을계산하여 임을보여라 ] 에대하여 을 의비자명정규부분군이라하자 다음경우중한가지가성립하여야하며각경우에 임을보여라

107 경우 1 은 3- 순환치환을포함한다 경우 2 은적어도하나는길이가 3 보다큰서로소인순환치환의곱이다 [ 힌트 : 의서로소인곱 을포함한다고가정하자 은 에속함을보이고그것을계산하라 ] 경우 3 은 꼴의서로서인곱을포함한다 [ 힌트 : 가 에속함을보이고이것을증명하라 ] 경우 4 은 의꼴의서로소인곱을포함한다 단, 는서로소인호환의곱이다 [ 힌트 : 임을보이고이것을계산하라 ] 경우 5 은 꼴의서로소인곱을포함한다 단, 는짝수개의서로소인호환의곱 이다 [ 힌트 : 가 에속함을보이고그것을계산하여 가속함을 보여라 처음에는 를이용하여 를구한다 단, 이다 라하자 임을보이고그것을계산하라 ] - 순서대로하면되지만복잡하며구지할필요성을느끼지못해생략함 - 실제로 일때, 은 인조성열을갖는다 따라서 은단순군이다 뿐만아니라 일때, 또한단순군이다

108 40 을 의정규부분군이라하고 를 의임의의부분군이라하자 으 로하면 이 의부분군임을보이고, 과 를포함하는가장작은부분군임을보여라 1 라하자 임의의 에대하여 ( 이므로 ) 이성립한다 이므로 이다 따라서 이다 그러므로 이다 2 를 과 를포함하는가장작은부분군이라하자 이제 임을보이자 ( ) 이므로 과 를포함하는부분군이다 따라서 의정의에의하여 이다 ( ) 임의의 에대하여 이존재해서 을만족한다 또한 이고 이다 그러면 이고 이다 ( 이고 ) 따라서 이다 그러므로 이다 41 앞의연습문제를참조로하여 도또한 의정규부분군이라하자 이다시 의정규부 분군임을보여라 문제 40 에의하여 임에는자명하다 임의의 에대하여 (, ) 이성립한다 따라서 이다 42 와 가 인 의정규부분군이라면모든 와 에대하여 이다 [ 힌트 : 교환자 를생각해보자 ] 임의의 와 에대하여 이고 이성립한다 그러면 이다 따라서 이다 즉, 이다

109 Fraleigh 대수 18 장환과체 문제 1~6 에서주어진환에서의곱을계산하라 1 에서 (12)(16) 따라서 에서 (12)(16)=0 이다 2 에서 (16)(3) 따라서 에서 (16)(3)=16 이다 3 에서 (11)(-4) 따라서 에서 (11)(-4)=1 이다 4 에서 (20)(-8) 따라서 에서 (20)(-8)=22 이다 5 에서 따라서 에서 이다 6 에서 따라서 에서 이다 문제 7~13 에서주어진덧셈과곱셈연산이그집합위에서정의되어 ( 닫혀있어 ) 환구조를만드는지를결정하라 환이되지않으면그이유를말하고만약, 환이되면그환이가환환인지, 단위원을갖는지, 체가되는지를설명하라 7 일반적덧셈과곱셈을갖는 이면 으로자명환이된다 일때 는덧셈과곱셈에관하여닫혀있고덧셈에대하여가환환을만족한다 이때 ± 이면 Z 이므로단위원을갖는가환환이지만그이외에는단위원을갖지않는가환환이다 또한 는역원을갖지않기때문에체가될수없다

110 8 일반적덧셈과곱셈을갖는 덧셈과곱셈에관하여닫혀있지만덧셈에대하여역원이존재하지않는다따라서환이될수없다 9 성분에의한덧셈과곱셈을갖는 Z가가환환이므로 또한가환환을이룬다 그리고 는 (1,1) 을단위원으로갖는가환환이다 하지만역원이존재하지않는다 따라서체는아니다 10 성분에의한덧셈과곱셈을갖는 2 Z,2Z가가환환이므로직적 2 또한가환환을이룬다 하지만 이므로단위원을갖지 않는가환환이다 따라서체도될수없다 11 일반적덧셈과곱셈을갖는 단위원을갖는가환환이다 하지만역원이존재하지않으므로체는아니다 12 일반적덧셈과곱셈을갖는 단위원을갖는가환환이다 또한곱셈에대한역원이존재한다 따라서체이기도하다 13 일반적덧셈과곱셈을갖는 에대한모든순허수 들의집합 덧셈에관하여닫혀있지만곱셈에대하여 이되어닫혀있지않다 따라서환이아니다 문제 14 Z -1, +1 14~19 에서주어진환의가역원들을구하라 15 (-1, -1), (-1, +1), (+1, -1),(+1, +1) 16 1, 2, 3, 4 17 Q

111 18 (-1,, -1), (-1,, +1), (+1,, -1), (+1,, +1) 19 1,3 20 행렬의환 를생각하면, (a) 이환의위수, 즉이환에속하는원소의수를구하여라 이므로 이다 따라서위수는 16 이다 (b) 이환에서모든가역원을나열하라 인 를찾는다 따라서이환의모든가역원은다음과같다 21 은각각 과 인단위원을갖는환이라하자 이고 인 으로의준동형사상이만약가능하다면예를들어라 라하자 그러면 는 이고 준동형사상이다 22 ( 선형대수학 ) det 는환준동형사상이되겠는가? 왜그렇고왜그렇지않은가? 일때 라하면 이지만 이다 따라서환준동형사상이아니다 일때 은성립한다 하지만 은성립하지않는다 일례로 일때, 이지만 으로서같지않기때문이다 따라서환준동형사상이아니다 그러므로 det 는모든경우에서환준동형사상이될수없다

112 23 Z 에서 Z 로의임의의환준동형사상을나타내라 를임의의환준동형사상이라하자 그러면 또는 이다 (a) 이면 (b) 이면 따라서 는 또는 인환준동형사상을나타낼수있다 24 Z 에서 로의임의의환준동형사상을나타내라 를임의의환준동형사상이라하자 그러면 또는 이다 (a) 이면 (b) 이면 (c) 이면 (c) 이면 따라서 는 또는 또는 또는 인환준동형사상을나타 낼수있다 25 에서 Z 로의임의의환준동형사상을나타내라 를임의의환준동형사상이라하자 그러면 또는, 또는 또는이다 (a) 이고 이면 (b) 이고 이면

113 (c) 이고 이면 (d) 이고 이면 (a)~(c) 는환준동형사상이지만 (d) 는환준동형사상이아니다 따라서 는,, 이환준동형사상이다 26 에서 Z 로의환준동형사상은몇개나있는가? 를임의의환준동형사상이라하자 그러면 또는, 또는, 또는 또는이다 (a) 인경우 (b) 인경우 (c) 인경우 (d) 인경우 (e) 인경우 (f) 인경우 (g) 인경우 (h) 인경우 (a)~(d) 는환준동형사상이지만 (e)~(h) 는환준동형사상이아니다 따라서 로의환준동형사상은 4 개존재한다

114 27 환 에서방정식 의해를구하고자한다 또는 가맞나? 만약아니면가능하다면반례를들어잘못된곳을지적하시오 환 은정역이아니다 따라서 또는 라고볼수없다 ( 반례) 일떄 이지만 또는 이다 28 환 에서방정식 의해를이차방정식의인수분해를통하여모두찾아라 이다 이때환 은정역이므로 또는 또는 이성립한 다 따라서구하고자하는해는 2, 8 이다 다음밑줄친부분의정의가올바르면수용하고그렇지않으면옳게고쳐라 29 0 이아닌단위원을갖은환이다음을만족할때체 F 라한다 F 의 0 이아닌원소에대하여곱셈에관한연산이군을이룬다 곱셈에관한군이아니라곱셈에관한가환군을이룰때 F 를체라한다 그러므로다음과같이수정해 야한다 0이아닌단위원을갖은환이다음을만족할때체 F 라한다 F의 0이아닌원소에대하여곱 셈에관한연산이가환군을이룬다 30 A unit in a ring is an element of magnitude 1 인임의의 에대하여 인 가존재해서 또는 을만족하는원소 를 가역원( 단원) 이라고한다 31 ab=0 이지만 a 와 b 둘다 0 이아닌두원소 a 와 b 를갖는환의예를찾아라 환 에서 2와 3은둘다영이아니지만 이다

115 32 부분환이단위원 과단위원 0 을갖는다는환의예를들어라 [ 힌트 : 직적을생각하거나 의부분환을생각해보라 ] 의단위원은 이지만부분환인 의단위원은 으로써 임을알수있다 33 참과거짓을판단하시오 (a) 모든체는환이다 (True) 단위원을가진가환인나눗셈환이체이다 따라서체는환이다 (b) 모든환은곱에대한항등원을갖는다 (False) 2Z 는환이지만곱에대한항등원을갖지않는다 (c) 단위원을갖는모든환은적어도두개의가역원을갖는다 (False) 인경우는단위원을갖는환이다 하지만가역원은 1 하나뿐이다 (d) 단위원을갖는모든환은기껏해야두개의가역원을갖는다 (False) 의경우는단위원을갖는환이다하지만가역원은 1,2,3,4로서 4 개존재한다 (e) 체의부분집합이유도된연산에대하여환은되지만부분체는안될수도있다 (True) R의부분집합 Z 를생각해보자 Z 는환은되지만부분체는안된다 (f) 환에대한분배법칙은별로중요하지않다 (False) 환이되기위한조건에좌분배법칙과우분배법칙이있다 따라서중요하다 (g) 체에서의곱은가환이다 (True) 체는단위원을가진가환인나눗셈환이다 따라서곱에대해가환이다 (h) 체의 0 이아닌원소는그체에서의곱셈에대한군이된다 (True) 체는 0이아닌원소에대하여닫혀있고단위원 1 을포함하며임의의원소에대한역원이존재한다 따 라서 0 이아닌원소는그체에서의곱셈에대한군이된다 즉 F가체가되기위한필요충분조건은 이둘다가환군을만족할때이다

116 (i) 모든환에서의덧셈은가환이다 (True) 환의정의에서덧셈에대한아벨군이다 따라서덧셈에대하여가환이다 (j) 환의모든원소는덧셈에대한역원을갖는다 (True) 환은덧셈에대한가환군이다 따라서환의모든원소는덧셈에대한역원을갖는다 34 ( 예제 184) 에서주어진함수의집합 F 위에서정의된곱셈은환에대한공리 을보여라 합과곱에대한연산은 로정의한다 임의의 와임의의 x에대하여 이므로곱셈에관한결합법칙이성립한다 따라서공리 가성립한다 또한 이므로우분배법칙과좌분배법칙이성립한다 따라서공리 가성립한다 와 를만족함 35 ( 예제 1810) 의평가함수 는준동형사상이되기위한곱셈에대한조건을만족함을보여라 임의의 와임의의 에대하여 가성립한다 따라서환준동형사상이되기위한곱셈에대한조건을만족한다 36 동형사상은환들의모임위에서동치관계를만든다는사실을증명하기위하여 ( 정의 1812) 다음에객관적논법을완성하라 환 에대하여 (i) 이면 는동형사상이다 (ii) 인사상 가동형사상이면역사상 또한동형사상이다 (iii) 와 인사상 이동형사상이면 또한동형사상이다 37 만약 U 가단위원을갖는환 에서모든가역원의모임이면 군임을보여라 [ 주의 : U 는곱셈에대하여닫혀있음을보이면된다 ] 항등원 이고결합법칙은자명하게성립한다 이때 이므로 이다 또한가역원의정의에의하여임의의원소에대해역원이존재한다 따라서 은군이됨을알수있다

117 38 환 R 에속하는모든 a 와 b 에대하여 일필요충분조건은 R 가가환임을보 여라 ( ) 임의의 a와 b에대하여 이면다음이성립한다 따라서환 R 은가환이다 ( ) 환 R이가환이므로임의의 a와 b에대하여 ab=ba 이다 따라서 이성립한다 39 <R,+> 를가환군이라하고, 모든 에대하여 ab=0 로정의한다면 은환임을보 여라 <R,+> 를가환군이므로 0 을원소로포함한다 그리고조건에의하여모든 에대하여 ab=0 로정 의한다면 이므로곱셈에대하여닫혀있음을알수있다 임의의 에대하여 이므로결합법칙이성립한다 또한 이므로좌분배법칙과우분배법칙이성립한 다 따라서환의모든조건을만족한다 그러므로 은환이다 40 환 2Z 와 3Z 는동형이아님을보여라 체 R 와 C 도동형이아님을보여라 (a) 환 2Z와 3Z 는동형이라고가정하자 그러면 Z/2Z Z/3Z이되어 을만족한다 이는모순이 다 따라서환 2Z와 3Z 는동형이아니다 (b) 은체 R에서는기약이지만 C 에서는가약이다 따라서체 R와 C 도동형이아니다 41( 신입생지수법칙 ) p 를소수라하자 환 에서모든 에대하여 임을보 여라 [ 힌트 : 에대한이항전재가가환환에서는유효함을보여라 ] 환 는가환환이므로다음이성립한다 이때 여기서 일때 이다 이다 따라서환 에서모든 에대하여 이성립한다

118 42 환에대한 ( 문제 32) 과는대조적으로체의부분체의단위원은전체체의단위원과같음을보여 라 체 F의부분체를 S라하고각각의단위원을 이라하자 임의의 와그역 에대하여 이므로다음이성립한다 따라서체의부분체의단위원은전체체의단위원과같음을알수있다 43 단위원을갖는환에서가역원의곱셈에대한역은유일함을보여라 가역원의 a의곱셈에대한역을 b,c 라하자(b c) 그러면 ab=ba=1이고 ac=ca=1 을만족한다 여기서, 환 R 은결합법칙이성립하므로다음이성립한다 b=b1=b(ac)=(ba)c=1c=c 이는모순이다 따라서가역원의곱셈에대한역은유일하다 44 환 R 의원소가 을만족하면멱등원 (idempotent) 이라한다 (a) 가환환의모든멱등원의집합 ( 부울환 ) 은곱셈에대하여닫혀있다 가환환R의모든멱등원의집합을 S 라하자 임의의 에대하여 를만족한다 따라서 이므로가환환의모든멱등원의집합은곱셉에대하여닫혀있다 (b) 환 에서의모든멱등원을찾아라 환 R에서모든멱등원의집합을 B(R) 이라하자 그러면 이다 따라서환 의모든멱등원의집합은다음과같이찾을수있다 B( )= 45 ( 선형대수학 ) Recall that for an matrix, the transpose of is the matrix whose column is the row of Show that if is an matrix such that is invertible then the projection matrix is an idempotent in the ring of the matrices 이므로 P는 n 차행렬환에서멱등원이다

119 46 환 R 의원소 a 가 에대하여 이면, a 를멱영원 (nilpotent) 이라한다 만약 a 와 b 가 가환환에서멱영원을가지면 a+b 도멱영원임을보여라 가환환R의모든멱영원의집합을 N 라하자 임의의 에대하여 가존재해서다음을만족한다 그러면 이고 이때 또는 이므로임의의 에대하여 이다 따라서 그러므로 a,b가멱영원이면 a+b 도멱영원이다 인 이존재함을알수있다 47 환 R 가 0 이아닌멱영원을갖지않을필요충분조건은 0 는 R 에서 보여라 에대한유일한해임을 ( ) 환 R가 0 이아닌멱영원을갖지않는다고하자 그리고 0이아닌 R에서 에대한근 a가존 재한다고가정하자 그러면 이되게하는 가존재하고따라서 a 는멱영원이된다 하지만 이는모순이다 따라서 0는 R에서 에대한유일한해이다 ( ) 환 R가 0 이아닌멱영원을갖는다고가정하자 그러면 0이아닌임의의 a에대하여 가존재해서다음을만족한다 여기서 라고정의하면 정수의정렬성의원리에의하여 (i) 가짝수인경우 E는최소원소 를갖는다 이고따라서 이되어 의최소성에따라방정식 을만족하는 0이 아닌해 가존재하게되어모순이다 (ii) 가홀수인경우 이고따라서 이고 a는 0이아니므로 이되어 의최소성에따라방정식 을만족하는 0이 아닌해 가존재하게되어모순이다 따라서환 R가 0 이아닌멱영원을갖지않는다

120 48 환 R 의부분집합 S 가 R 의부분환이될필요충분조건은다음사실이성립하는것임을보여라 ( ) 환 R의부분집합 S가 R의부분환이면덧셈에대하야가환환이므로첫번째와두번째조건이성 립하며또한곱셈에대하여닫혀있으므로세번째조건도자명하게성립한다 ( ) 이므로 S는공집합이아닌환 R 의부분집합이다 또한환 R 의부분집합 S는자명하게결합 법칙과분배법칙이성립한다 또한조건에의하여 이성립하므로 S는덧셈에대한가환군이며곱셈에 대한반군임을알수있다 따라서 S 는환이다 그러므로환 R의부분집합 S가 R 의부분환이된다 49 (a) 환 R 의부분환들의공통집합은다시 R 의부분환임을보여라 S, T를환 R 의부분환이라하자 이때 이고 이므로 이다 그러면임의의 에대하여 이고 이므로 이고 이다 따라서 이므로 또한환 R 의부분환이된다 (b) 체 F 의부분체들의공통집합은다시 F 의부분체임을보여라 S, T를체 F 의부분체이라하자 이때 이고 이므로 이다 그러면임의의 에대하여 이고 이므로 이고 이다 따라서 이므로 또한체 F 의부분체이된다 50 R 은환이고 a 는 R 의고정된원소라하자 여라 이라하면 는 R 의부분환임을보 을환이라하고 는 의고정된원소라하자 이때 이므로 이다 따라서 이다 그러면임의의 에대하여 이다 따라서 이다 그러므로 는 의부분환이다 51 R 은환이며 a 는 R 의고정된원소라하자 가 a 를포함하는 R 의모든부분환들의공통집합인 R 의부분환이라하면 ( 문제 49 참조 ) 환 는 a 에의하여생성된 R 의부분환이라한다 가환군 < <,+> 는 에의해생성 ( 제 7 장과같은의미에서 ) 됨을보여라 인 의부분환, 라할때 임을보인다 ( ) 는 a 를포함하는부분군이다 따라서 가성립한다 ( ) 이때 는 a를포함하는가환군이므로 이성립한다 따라서 이다 그러므로 을알수 있다

121 52 ( 중국인의나머지정리에관한 2 가지결론 ) Let and be positive integers such that Use the isomorphism in Example 1815 to show that for there exist an integer such that and ( 예제 1815) 에서 은동형사상이다 이라하자 그러면 는 번의합 은 에서는 에그리고 에서는 에대응됨을알수있다 따라서, 라볼수있다 53 (a) State and prove the generalization of Example 1815 for a direct product with factors ( 진술) 이면 인정수 라하자 그러면 이되게하는 가존재한다 ( 증명) -생략- (b) 중국인의나머지정리를증명하시오 : Let for and let for then there exist such that for 은동형사상이다 이라하자 그러면 는 번의합 은 에서 ( ) 에대응됨을알수있다 따라서 ( ) 라볼수있다 54 S 는집합이며, + 와 는 S 위에서이항연산일때다음조건을만족하는 을생각해 보자 <S,+> 는군이다 는덧셈에대한항등원을제외한 S 의모든원소라하면 < <, > 는군이다 모든 에대하여 이고 이다 그러면 이나눗셈환임을보여라 [ 힌트 : 덧셈에대한가환성을증명하기위하여 (1+1)(a+b) 에배분법칙을적용하라 ] 나눗셈환임을보이기위하여 임의의 <S,+> 가환군임을보이면충분하다 a, b S 에대하여분배법칙이성립하므로다음이성립한다 (1) (1+1)(a+b)=1 (a+b) + 1 (a+b)=1 a+1 b+1 a+1 b=a+b+a+b (2) (1+1)(a+b)=(1+1) a+(1+1) b=1 a+1 a+1 b+1 b=a+a+b+b (1)=(2) 이고 <S,+> 는군이므로덧셈에관한소약법칙이성립한다 따라서 a+b=b+a 가성립한다 그러므로 <S,+> 는가환군이다 <S, > 는 0을제외한모든원소에대하여군을이루므로결합법칙과이항연산에대하여닫혀있음을알 수있다 그리고세번째조건에의하여좌분배법칙과우분배법칙이성립하므로 <S,+, > 는환이다 또한 <S, > 0을제외한모든원소에대하여군을이루기때문에단위원 1 을포함하고가역원을갖는다 그러므로 <S,+, > 는나눗셈환이다

122 55 모든 에대하여 이면환 R 를부울환이라한다 모든부울환은가환임을보여라 R 을부울환이라하자 그러면임의의 에대하여다음이성립한다 이고 따라서모든부울환은가환이다 56 ( 집합론의법칙을알고있는학생들을위하여 ) 집합 S 에대하여 를 S 의모든부분집합들의모임이라하자 위에서이항연산 + 와 을다음과같이정의하기로한다 에대하여 또는 이지만 이고 로정의한다 (a) 에대한이항연산 + 와 의연산표를만들어라 단 [ 힌트 : 는 4 개의원소를갖는다 ] + {a} {b} S {a} {b} S {a} {a} S {b} {b} {b} S {a} S S {a} {b} {a} {b} S {a} {a} {a} {b} {b} {b} S {a} {b} S (b) 임의의집합 S 에대하여 <P(S),+, > 는부울환임을보여라 ( 문제 55 번참조 ) { } P(S) 이므로 P(S) 이다 임의의 A, B P(S) 에대하여 A+B, A B P(S) 임은 P(S) 의정의에의하여자명하다 임의의 A, B, C P(S) 에대하여 (A+B)+C={(A B)-(A B)}+C=[{(A B)-(A B)} C]-[{(A B)-(A B)} C] =(A B C)-(A B)-(A C)-(B C) A+(B+C)=A+{(B C)-(B C)}=[A {(B C)-(B C)}]-[A {(B C)-(B C)}] =(A B C)-(A B)-(A C)-(B C) (A B) C=(A B) C=(A B) C=A B C=A (B C)=A (B C)=A (B C) 이성립하여 (A+B)+C=A+(B+C), (A B) C=A (B C) 임을알수있다 따라서덧셈과곱셈에관하여결합법칙이성립한다 여기서 <P(S), > 는반군임을알수있다 { } P(S) 가존재해서모든 A P(S) 에대하여다음을만족한다 A+{ }=(A { })-(A { })=A-{ }=A { }+A=({ } A)-({ } A)=A-{ }=A 따라서 { } 는 P(S) 에서덧셈에관하여항등원임을알수있다 또한모든 A P(S) 에대하여 A+A=(A A)-(A A)={ }

123 이되게하는 A P(S) 이존재하므로 A P(S) 는자기자신을역원으로가진다 그리고임의의 A, B P(S) 에대하여 A+B=(A B)-(A B)=(B A)-(B A)=B+A 이성립한다 따라서 <P(S),+> 는가환군이다 임의의 A, B, C P(S) 에대하여 A B=A B=B A=B A ( 곱셈에관한교환법칙) 이고 A (B+C)=A {(B C)-(B C)}=A {(B C)-(B C)}=[{(A B) (A C)}-{(A B) (A C)}] =[{(A B) (A C)}-{(A B) (A C)}]=[{(A B) (AC)}-{(A B) (A C)}]=A B+A C ( 좌분배법칙) 이성립한다 따라서 (A+B) C=C (A+B)=C A+C B=A C+B C( 우분배법칙) 은자명하게성립한다 그러므로 또한모든 <P(S),+, > 는환이다 A P(S) 에대하여 이성립한다 그러므로 <P(S),+, > 는부울환이다

124 Fraleigh 대수 19 장정역 1 에서방정식 의모든해를구하라 이므로자명하게 0, 3, 11 일때주어진방정식은영이된다 하지만 는영인자를가지므로영인자를갖는경우에대하여추가적으로생각해보아야한다 2 6=3 4=0 이므로다음의경우가나타나는 x의값을찾아보면 5, 8, 9 에서도해가됨을알수있다 따라서구하고자하는모든해는 0, 3, 5, 8, 9, 11 이다 2 체 과 에서방정식 를각각풀어라 (a) 따라서구하고자하는해는 3 이다 (b) 따라서구하고자하는해는 17 이다 3 에서방정식 의모든해를구하라 (a) 인경우 (b) 인경우 이때드장드르기호에의하여해의존재성을살펴보면 이므로 (b) 의경우의이차방정식의 해는존재하지않는다 따라서 (a) 와(b) 에서모두해가존재해야하는데그렇지않기때문에주어진방 정식은 의해는 에서존재하지않는다 4 에서방정식 의모든해를구하라 (a) 인경우 : (b) 인경우 따라서중국인의나머지정리에의하여 그러므로 에서의해는 2 뿐이다

125 문제 5~10 에서주어진환의표수를구하라 5 1 2Z이므로표수는 0 이다 6 (1,1) 이지만 n (1,1)=(0,0) 이되게하는양의정수 n 이다 따라서 의표수는 0 이다 7 (1,1) 이므로 의표수는 0 이다 8 (1,1) 이고 3 (1,1)=(0,0) 이되게하는양의정수 3 이존재한다 따라서 의표수는 3 이다 9 (1,1) 이고 12 (1,1)=(0,0) 이되게하는양의정수 12 가존재한다 따라서 의표수는 12 이다 10 (1,1) 이고 의표수는 따라서 의표수는 6이고 의표수는 15 이다 lcm(6, 15)=30 이다 즉 30(1,1)=(0,0) 이되게하는양의정수 30 이존재한다 11 표수가 4 인단위원을갖는가환환을 R 이라하자 a, b R 에대하여 하라 표수가 4이므로 4 1=0 을만족한다 따라서 a, b R에대하여 이성립하여 임을알수있다 을계산하여간단히

126 12 표수가 3 인단위원을갖는가환환을 R 이라하자 a, b R 에대하여 하라 표수가 3이므로 3 1=0 을만족한다 따라서 a, b R에대하여 이성립한다 이때 이므로 임을알수있다 을계산하여간단히 13 표수가 3 인단위원을갖는가환환을 R 이라하자 a, b R 에대하여 하라 표수가 3이므로 3 1=0 을만족한다 따라서 a, b R에대하여 이성립한다 따라서 임을알수있다 을계산하여간단히 14 에서행렬 은영인자임을보여라 이지만 이므로 은 에서영인자이다 다음밑줄친부분의정의가올바르면수용하고그렇지않으면옳게고쳐라 15 만약 ab=0 이면 a 와 b 는영인자이다 [a 0,b 0 일때] 라는조건이첨가되어야한다 즉, a 0,b 0일때 ab=0 이면 a와 b 는영인자이다 16 환 R 의임의의원소 a 에대하여 n a=0 이면 n 은 R 의표수이다 [ 을만족하는가장작은양의정수] 라는조건이첨가되어야한다 즉, 환 R의임의의원소 a에대하여 n a=0을만족하는가장작은양의정수 n을 R 의표수라한다 17 참과거짓을판단하시오 (a) n 이소수가아니면 nz 는 0 인자를갖는다 (False) n=1일때 Z는 0 인자를갖지않는다 (b) 모든체는정역이다 (True) 임의의체 F에대하여임의의원소 a, b F에대하여 a 0이고 ab=0이면 a는곱셈에대한역원을갖 기때문에 b=0 임을알수있다 따라서체 F 는정역이다

127 (c) nz 의표수는 n 이다 (False) n=1일때 Z의표수는 0 이다 (d) 모든 n 1 에대하여환으로서 Z 와 nz 는동형이다 (False) n>1인경우 Z는곱셈에대한단위원 1 을갖는다 하지만 nz는곱셈에대한단위원 1 을갖지않는다 따라서동형이아니다 (e) 정역과동형인환에서는약분법칙이성립한다 (True) D 를정역, R을정역 D 와동형인환이라하자 그러면임의의 a, b, c R 에대하여 a 0이고 a(b-c)=0이면 R은정역이므로 b-c=0 이성립한다 따라서 ab=ac 이면 b=c 이므로약분법칙이성립한 다 (f) 표수가 0 인모든정역은무한이다 (True) 표수가 0인임의의정역 D 가유한이라가정하자 즉 D의위수를 0이아닌 n 이라하면덧셈군 (D,+) 에 서 1의위수는 n 이다 이는표수가 0 임에모순된다 따라서표수가 0 인모든정역은무한이다 (g) 두정역의직적은다시정역이다 (False) Z는정역이지만 ZxZ 는정역이아니다 즉, (1,0),(0,1) ZxZ 이지만 (0,0)=(1,0) (0,1) 이다 (h) 단위원을갖는가환환에서 0 인자는곱에대한역원을갖지않는다 (True) 갖는다고가정하자 단위원을갖는가환환에서 a를 0 인자라고하자 그러면곱에대한역원 b가존재해 서다음이성립한다 1=ab=ba=0 이는 1=0 이므로모순이다 따라서단위원을갖는가환환에서 0 인자는곱에대한역원을갖지않는다 (i) nz 는 Z 의부분정역이다 (False) n=2 인경우, 2Z 는단위원을갖지않는다 따라서정역이아니다 (j) Z 는 Q 의부분체이다 (False) Z 는체가아니다

128 18 Each of the six numbered region in Fig 1910 corresponds to a certain type of a ring Give an example of a ring in each of the six cells For example a ring in the region numbered 3 must be commutative (it is inside the commutative circle) have unity but not be an integral domain - 생략 - 19 ( 선형대수학의한학기를이수한학생들을위한문제 ) F 를체라하자 0 인자가되는 원소 A 의서로다른다섯가지형태를구하라 - 생략- 의 20 Redraw Fig1910 to include a subset corresponding to strictly skew fields - 생략 생략 생략 - 23 를만족하는환 R 의원소를멱등원이라한다 나눗셈환은꼭두개의멱등원을포함함을 보여라 이다 이제 인 인멱등원이라하자 그러면 이성립한다 이때 R 은나눗셈환이므로 가존재해서다음을만족한다 이는 a 1 임에모순이다 따라서나눗셈환은꼭두개의멱등원을포함한다 24 정역 D 의부분정역의공통집합도역시 D 의부분정역이됨을보여라 H, k 를정역 D 의부분정역이라하자 그러면 1 H 이고 1 K 이므로 1 H K 이다 따라서 H K 인단위원을갖는가환환이다 a 0인임의의원소 a, b H K에대하여 ab=0이면 a, b H 이므로 a 0, ab=0일때 b=0 이고 a, b K 이므로 a 0, ab=0일때 b=0 이다 따라서 b=0 인 b H K 이다 그러므로정역 D의부분정역의공통집합도역시 D 의부분정역이다 25 단위원을갖고 0 인자를갖지않는유환환 R 는나눗셈환임을보여라 ( 가환성을증명하기는어렵 지만이것은실제로체이다 정리 2410) [ 참고 : a 0 가가역원임을보이기위해 R 에서 a 0 의 곱에대한좌측역원 또는 곱에대한우측역 원 임을보여야한다 ] 단위원을갖고 0인자를갖지않는유환환 R은필요충분하게 R 은유한정역이다 여기서유한정역 R이 나눗셈환임을보이면충분하다 R이유한개의원소로이루어져있으므로 이라하자 0이아닌임의의원소 a R에대하여 는 ar R 이다 여기서임의의 에대하여 이면 R 이정역이므로(0 인자를갖지않으므로) 이되어모 순이다 따라서 ar의위수는 n+1 이다 따라서 ar=r 이다 그러므로 ab=1이되게하는원소 b R 가존재한다 따라서 R 은나눗셈환이다

129 26 R 는적어도두개의원소를포함하는환이라하자 0 이아닌각 a R 에대하여 aba=a 를만족 하는유일한 b 가존재한다고가정하자 (a) R 는 0 인자를갖지않음을보여라 0이아닌원소 a를환 R의 0 인자라하자 그러면 0이아닌원소 c가존재해서 ac=0 또는 ca=0 을만 족한다 또한조건에의하여 aba=a를만족하게하는유일한 b 가존재한다 이때 a(b+c)a=aba+aca=aba=a 를만족한다 그러면 b의유일성에의하여 b+c=b이고따라서 c=0이된 다 이는모순이다 따라서 R은 0 인자를갖지않는다 (b) bab=b 임을보여라 0이아닌원소 a에대하여 aba=a 를만족하게하는유일한원소 b 가존재한다고하자 그러면 (bab-b)a=baba-ba=b(aba)-ba=ba-ba=0 이성립한다 여기서 R은 0인자를갖지않고 a 0이므로 bab-b=0 이된다 따라서 bab=b 이다 (c) R 는단위원을가짐을보여라 0이아닌원소 a에대하여 aba=a 를만족하게하는유일한원소 b 가존재한다고하자 0이아닌원소 c에대하여 caba=ca 가성립한다 여기서 0인자를갖지않으므로 a 를오른쪽소약법칙에의하여소거 하면 babc=bc 를만족한다 또한 (b) 에의하여 babc=bc 가성립한다 여기서 0인자를갖지않으므로 b 를왼쪽소약법칙에의하여 소거하면 (ab)c=c 그러면 c(ab)=c=(ab)c 이성립하는 ab 가존재함을알수있다 여기서 ab는단위원 의역할을한다 (d) R 가나눗셈환임을보여라 (c) 에의하여 ab=1 이라하면단위원을갖는다 그리고 0이아닌원소 a에대하여 aba=a 를만족하게 하는유일한원소 b 가존재한다고하자 그러면 (ab-1)a=aba-a=a-a=0 이고 a 0이므로 ab=1 임을알 수있다 또한 a(ba-1)=aba-a=0 이고 a 0이므로 ba=1 임을알수있다 따라서 ab=ba=1이되게하 는 b가존재하므로 R 은나눗셈환이다 27 정역 D 의부분정역의표수는 D 의표수와같음을보여라 정역 D의부분정역을 D' 이라하고각각의표수를 n,m 이라하자 그러면 0이아닌임의의 a D' 에대하 여 a D 이기도하므로다음이성립한다 a m=0=a n 따라서소약법칙에의하여 n=m 이된다 그러므로정역 D의부분정역의표수는 D 의표수와같다

130 28 D 가정역이면 {n 1 n Z} 는 D 의모든부분정역에포함되는 D 의부분정역임을보여라 <1>={n 1 n Z} 라하자 임의의 n,m Z에대하여 n 1-m 1=(n-m) 1이고 n-m Z, (n 1)(m 1)=(nm 1) 이고 nm Z 이므로 <1> 는부분환이다 그리고 1 <1> 이고 (n 1)(m 1)=(nm 1)=(mn 1)=(m 1)(n 1) 이므로단 위원을갖는가환환이다 임의의 n 1, m 1 <1> 에대하여 (n 1)(m 1)=0 이면 n 1, m 1 D이기도하므로 n 1 0, m 1 0 임을알수있다 따라서 <1> 은 0 인자를갖지않는다 그러므로 <1> 는 D 의부분정역이다 29 정역 D 의표수는 0 이거나소수 p 임을보여라 [ 힌트 : D 의표수가 mn 이면 D 에서 (m 1)(n 1) 을생각해보라 정역 D의표수가 0 이아니라고하자 그러면표수는임의의 n 이다 여기서 n이소수가아니라면 n은 합성수이고 n=st(1<s<n,1<t<n) 와같이정수들의곱으로표현된다 여기서표수의정의에의하여 1 n=(1 s)(1 t)=0이고 D가정역이므로 1 s=0 또는 1 t=0 이된다 이는 n이 1 n=0을만족한다는가 장작은양의정수라는표수의정의에모순된다 따라서표수는 0이거나소수p 이다 30 이연습문제에서모든환 R 는 R 과같은표수를갖는환 S 로확장될수있음을보이고있다 만 약, R 의표수 0 을갖는다면 라하고, 만약 R 가표수 n 을가지면 으로하자 S 에서 덧셈은일상의성분에의한덧셈이고곱셈은 로정의한다 단 n r 은 (18 장 ) 에서설명한의미를갖는다 (a) S 가환임을보여라 이환이되기위하여곱셈에대하여결합법칙이성립함을보이면나머지는자명하므로충분 하다 임의의 에대하여 따라서 이성립하고따라서 는환이다 (b) S 가단위원을가짐을보여라 이므로 S 는단위원(0,1) 을갖는다 (c) S 와 R 이같은표수를가짐을보여라 R의표수가 0이면 에대하여 (1,1) S 이고임의의정수 n에대하여 n(1,1) 0 이다 따라서 S의표수도 0 이다 R의표수가 n이면 에대하여 (1,1) S 이고정수 n에대하여 n(1,1)=0 이다 만약 n보다작은정수m 에대하여 m(1,1)=0이면 m 1=0 이되어 의표수가 n 임에모순이다 따라서 S의표수는 n 이다 따라서 S와 R 은같은표수를갖는다

131 (d) r R 에대하여 으로정의된사상 는 S 의부분환위로동형적으로대응한다 임의의 a,b R 에대하여 이므로환준동형사상이다 그리고 이므로단사이다 그러므로 에대하여 는환동형사상이됨을알수있다 여기서 은 S 의부분환임은자명하다

132 Fraleigh 대수 20 장페르마정리와오일러정리 유한체의 0 이아닌원소의곱셈에대한군이순환적임은뒤에알게되겠지만, 다음에주어진유한체에대한생성원을구하여이사실을설명하여라 1 <1>={1}, <2>=<4>={1,2,4}, <6>={1,6}, =<3>=<5> 이므로생성원은 3,5 이고이로부터순환적임을 알수있다 2 =<2>=<6>=<7>=<8> 이므로생성원은 2,6,7,8 이고이로부터순환적임을알수있다 3 =<3>=<5>=<6>=<7>=<10>=<11>=<12>=<14> 이므로 생성원은 3,5,6,7,10,11,12,14 이고이로부터순환적임을알수있다 4 페르마의정리를이용하여 를 23 으로나누었을때의나머지를구하라 페르마정리에의하여 임을알수있다 그러면 이다 그러므로 를 23으로나누었을때의나머지는 4 이다 5 페르마의정리를이용하여 를 7 으로나누었을때의나머지를구하라 페르마정리에의하여 임을알수있다 그러면 이다 그러므로 를 7로나누었을때의나머지는 2 이다 6 을 19 로나누었을때의나머지를계산하라 [ 힌트 : 의 18 을법으로하는나머지를계산할필요가있을것이다 ] 페르마정리에의하여 이므로 이성립한다 따라서구하는나머지는 7 이다

133 7 에대하여 의값을표로만들어라 가소수일때, 를계산하라 가소수일때 이성립한다 9 p 와 q 가서로다른소수일때 를계산하라 p와 q가서로다른소수일때 이성립한다 10 페르마의정리에대한오일러의일반적인정리를이용하여 을 24 로나누었을때의나머지 를구하라 gcd(7,24)=1 이므로오일러의일반적인정리에의하여 이고 이므로 이성립한다 따라서구하는나머지는 1 이다 문제 11~18 에서 ( 예제 2014) 와 ( 예제 2015) 에서했듯이주어진합동방정식의모든해를구하라 11 gcd(2,4)=2이므로 이성립한다 따라서구하고자하는해는 또는 이다 12 따라서구하고자하는해는 이다 13 gcd(36,24)=6이지만 6 15 이므로해는존재하지않는다

134 14 gcd(45,24)=3이므로 이성립한다 따라서구하고자하는해는 이다 또는 이다 15 이고 gcd(3,9)=3이지만 3 8 이므로해는존재하지않는다 16 따라서구하고자하는해는 이다 17 gcd(155,65)=5이므로 이성립한다 따라서구하고자하는해는 이다 18 gcd(39,130)=13 이므로 이성립한다 따라서구하고자하는해는 19 p 를 3 보다크거나같은소수라하자 아래의 ( 문제 28) 을이용하여! 의 p 를법으로하는나 머지를구하라 ( 문제28) 에의하여 이므로 따라서구하고자하는나머지는 1 이다

135 20 아래의 ( 문제 28) 를이용하려 34! 의 37 을법으로하는나머지를구하라 ( 문제28) 에의하여 이므로 따라서구하고자하는나머지는 18 이다 21 아래의 ( 문제 28) 를이용하려 49! 의 53 을법으로하는나머지를구하라 ( 문제28) 에의하여 이므로 따라서구하고자하는나머지는 9 이다 22 아래의 ( 문제 28) 를이용하려 24! 의 29 을법으로하는나머지를구하라 ( 문제28) 에의하여 이므로 따라서구하고자하는나머지는 6 이다 23 참과거짓을판정하라 (a) 모든정수 a 와소수 p 에대하여 이다 (False) a=3, p=3일때 이다 (b) 소수 p 에대한 a 0(mod p) 을만족하는모든정수 a 에대하여 (True) 페르마의정리에의하여성립한다 이다 (c) 모든 에대하여 이다 (True) n=1일때 이고 n 2일때 의꼴이며다음이성립한다 따라서모든 에대하여 이성립한다 (d) 모든 에대하여 이다 (False) n=1일때 이다

136 (e) 에서가역원은 n 보다적으면서 n 과서로소인양의정수이다 (True) a를 에서가역원이라하자 이때 gcd(a,n)=d>1이라가정하면 a (n/d)=(a' d)n'=a'(dn')=a'n=0이된 다 따라서 a는 0 인자가된다 이는모순이다 그러므로 a는 n 과서로소인정수이다 그리고 에서 n 보다큰정수는존재하지않으므로자명하게 a 는보다적어야한다 (f) 에서두가역원의곱은역시가역원이다 (True) U( ) 은곱셈에대하여군을이룬다 그러므로닫혀있음은자명하다 (g) 에서두비가역원의곱은가역원이될수도있다 (False) a와 b 를비가역원이라하자 여기서두비가역원의곱이가역원이될수도있다고가정하자 그러면임 의의 0이아닌원소 e가존재해서 e(ab)=(ab)e=1 을만족한다 a와 b는 0인자이므로 0이아닌원소 c,d 가존재해서다음을만족한다 d=e(ab)d=ea(bd)=ea 0=0 c=c(ab)e=(ca)be=0 be=0 이는모순이다 따라서 에서두비가역원의곱은가역원이될수도없다 (h) 에서가역원과비가역원의곱은절대가역원이될수없다 (True) a 를가역원, b 를비가역원이라하자 여기서가역원과비가역원의곱이가역원이될수도있다고가정 하자 그러면임의의 0이아닌원소 e가존재해서 e(ab)=(ab)e=1 을만족한다 b는 0인자이므로 0이 아닌원소 d 가존재해서다음을만족한다 d=e(ab)d=ea(bd)=ea 0=0 이는모순이다 따라서 에서가역원과비가역원의곱은가역원이될수없다 (i) p 가소수일때모든합동방정식 는해를갖는다 (False) 은해를갖지않는다 (j) d 를양의정수 a 와 m 의최대공약수라하자 d 가 b 를나누면합동방정식 는정확히 (True) d 개의합동이아닌해를갖는다 d가 b 를나누므로해는존재한다 a=a'd, b=b'd, m=m'd라하면 이고 는해를하나갖는다 이때 라하면 로서정확히 d 개의합동이아닌해를갖는다

137 24 에서가역원의곱셈에대한군의연산표를만들어라 그것은위수가 4 인어떤군과동형인 가? U( )={1,5,7,11} 이므로다음과같이군의연산표를만들수있다 생략 생략 과 p-1 은자기자신이곱에대한역원이되는체 의유일한원소임을보여라 [ 힌트 : 방정식 을생각하라 ] 체 에서방정식 의해는많아야두개존재한다 만약두개이상이면정역에모순이다 그러므로 의해는 가체이므로많아야두개존재한다 또는 따라서 1과 p-1은자기자신이곱에대한역원이되는체 의유일한원소이다 28 ( 문제 27) 를이용하여 p 가소수이면 (p-1)! -1(mod p) 라는윌슨의정리를유도하라 [n 이 (n-1)! -1(mod p) 을만족하는 1 보다큰정수이면, n 은소수이다 n 이소수가아니면 (n-1)! 의 법으로하는나머지는무엇인가를생각해보라 ] ( 문제27) 로부터체 에서 1과 p-1 만이자기자신이곱에대한역원임을알았다 즉 1과 p-1이외의수 들은서로다른수들이곱이역원이된다 즉체 에서짝수개의 (p-2)(p-3) (2) 의곱은 1 이된다 따라서 p 3 인경우 (p-1)! (p-1)(p-2) (2)(1) (p-1)(1)(1) p-1-1(mod p) 이다 또한 p=2인경 우 (2-1)! -1 1(mod 2) 이므로따라서 p 가소수이면 (p-1)! -1(mod p) 라는윌슨의정리를유도할 수있다 29 페르마의정리를이용하려임의의양의정수 n 에대하여 은 로나누어짐을보여 라 [ 힌트 :383838=(37)(19)(13)(7)(3)(2) 이다 ] 페르마소정리 임을이용하면다음과같은결과를얻을수있다 따라서필요충분하게 이성립한다 그러므로임의의양의정수 n에대하여 은 로나누어진다

138 30 ( 문제 29) 을참고로하여모든양의정수 n 에대하여 을나누는 보다큰수를찾아 라 도성립하므로 5(383838)= 으로도나누어진다

139 Fraleigh 대수 21 장졍역의분수체 1 C 의부분정역 의분수체 F 를구하라 여기서 구하라 는것은 C 에서 D 의 분수체를형성하는 C 의원소를구하라는의미이다 또는 2 R 의부분정역 의분수체 F 를구하라 ( 문제 1 과같은의미에서 ) 또는 다음밑줄친부분의정의가올바르면수용하고그렇지않으면옳게고쳐라 3 A field of quotients of integral domain D is a field F which D can be embedded so that every nonzero element of D is a unit in F 해석) 정역 D의분수체 F는임의의 0이아닌 D의원소는 F 에서가역원으로포함될수있는체이다 맞는정의인듯!! 4 참과거짓을판정하라 (a) Q 는 Z 의분수체이다 (True) 이므로 Q는 Z 의분수체이다 (b) R 는 Z 의분수체이다 (False) 인 가존재하지않는다 (c) R 는 R 의분수체이다 ) (True) R은체이므로 이성립한다 따라서 R는 R 의분수체이다

140 (d) C 는 R 의분수체이다 는 (False) R 의원소가아니다 (e) D 가체이면 D 의임의의분수체는 D 와동형이다 (True) D가체이므로임의의 에대하여 이성립한다 따라서 D의분수체를 F라할때다음 이성립한다 그러므로 D가체이면 D의임의의분수체는 D 와동형이다 (f) D 가 0 인자를갖지않는다는사실은정역 D 의분수체 F 의구성도중에여러번사용되었다 (True) 라고할때, 이고이때 D가 0인자를갖는다면 에서 이되어정의되지않는다 이처럼분수 체의 F의구성중에서두원소의곱이정의되기위해서는 0인자를갖지않는다는사실을사용해야한 다 따라서 D가 0인자를갖지않는다는사실은정역 D의분수체 F 의구성도중에여러번사용되었다 (g) 정역 D 의모든원소는 D 의분수체 F 에서가역원이다 (False) 이지만 0은분수체 F에서가역원이아니다 (h) 정역 D 의 0 이아닌모든원소는 D 의분수체 F 에서가역원이다 (True) 이면 이존재해서다음을만족한다 따라서정역 D의 0이아닌모든원소는 D의분수체 F 에서가역원이다 (i) 정역 D 의부분정역 D' 의분수체 F' 는 D 의분수체의부분체로간주할수있다 (True) 임은자명하고 은체이므로부분체로간주할수있다 (j) Z 의모든분수체는 Q 와동형이다 (True) 의임의의분수체는 이고 는자기자신과동형이다

141 5 정역 D 의진부분정역 D' 의분수체 F' 가 D 에대한분수체가될수있음을예를들어보여라 이고 6 단계 3 의앞부분이모두성립할때단계 3 의 2( 덧셈은결합적임 ) 를증명하라 ( 참고 : 덧셈에관한연산은다음과같이정의되어있다 ) 따라서 가성립함을알수있다 그러므로덧셈에관하여결합적이다 7 단계 3 의앞부분이모두성립할때단계 3 의 3 를증명하라 ( 은 F 에서덧셈에관한항등원이다 ) 8 단계 3 의앞부분이모두성립할때단계 3 의 4 를증명하라 ( 은 F 에서 의덧셈에관한역원이다 ) 9 단계 3 의앞부분이모두성립할때단계 3 의 5( 곱셈에관하여결합적 ) 를증명하라 ( 참고 : 곱셈에관한연산은다음과같이정의되어있다 ) 따라서 가성립함을알수있다 그러므로곱셈에관하여결합적이다 10 단계 3 의앞부분이모두성립할때단계 3 의 6 를증명하라 (F 는곱셈에관하여가환적이다 )

142 11 단계 3 의앞부분이모두성립할때단계 3 의 7 를증명하라 (F 는분배법칙이성립한다 ) 따라서좌분배법칙이성립한다 ( 문제10 번) 에의하여곱셈에관하여가환적이므로우분배법칙도자명 하게성립한다 그러므로 F 는분배법칙에관하여닫혀있다 12 R 이가환환이고, T { } 은곱에대하여닫혀있는공집합이아닌 R 의부분집합이라하고, T 가 0 인자를포함하지않는다고하자 로시작하여이절의구성을똑같이따르면 R 가부분분수환 에포함됨을알수있다 이런과정이가능한이유를생각하여다음사실들을증명하라 (a) R 이단위원을갖지않더라도 는단위원을갖는다 1 R인환 R 이라하자 임의의 에대하여 이존재하고이때임의의원 소 에대하여 이성립한다 따라서 는단위원 인 을갖는다 (b) 에서 T 의 0 이아닌모든원소들은가역원이다 임의의 에대하여 라정의하자 는 0인자를갖지않으므로 이고 이존재해서다음을만족한다 여기서 인 은 의항등원이므로따라서 에서 T의 0이아닌모든원소 들은가역원임을알수있다 13 ( 문제 12) 로부터 0 인자가아닌원소 a 를포함하는모든가환환은단위원을갖는환으로확장될 수있음을보여라 19 장의문제 30 번과비교해보라 인경우를생각해보면 (19장의문제30 번) 과전혀다른점을발견할수있다 14 ( 문제 12) 을참고로하여환 와동형이되는 R 의부분환을구하라 임은자명하고 는체이고표수가 0이므로 는 Q 와동형인소체를갖는다 따라서 이성립한다 그러므로 이다 [ 문제4 번이 (j) 에의해서도 는 Q 와동형임을알수있다)

143 15 ( 문제 12) 을참고로하여환 와동형이되는 R 의부분환을구하라 임은자명하고 는체이고표수가 0이므로 는 Q 와동형인소체를갖는다 따라서 이성립한다 그러므로 이다 16 ( 문제 12) 을참고로하여 T 가 0 인자를갖지않는다는조건을제외하고, 공집합이아닌 T { } 가곱셈에대해닫혀있다고가정하자 R 를 T 의모든 0 이아닌원소가가역원이되는단위원을갖는가환환으로확장되도록하기위해서는, 0 인자는가역원이될수없으므로 T 가 0 인자를포함하지않아야한다 본문에서와같이우선 로시작하는환을구성할때, 처음으로문제가생기는곳을찾아보아라 특히, 와 T={1,2,4} 에대하여, 처음으로문제가발생하는곳을설명해보아라 [ 힌트 : 단계 3 을참조할것 ] 라하자 그러면 이므로 이므로 이성립한다 하지만 이므로 이다 즉 추이적성질을만족하지않는다 따라서곱셈에대한소약법칙이닫혀있지않음을알수있다

144 Fraleigh 대수 22 장다항식환 문제 1~4 에서주어진다항식환에속하는다항식의합과곱을구하라 1 에서 2 에서, 3 에서 4 에서 5 에서 3 차이하의다항식의개수는몇개인가?(0 포함 ) 3 차이하의다항식의모양의다음과같다 따라서다항식의개수는 16(= ) 개이다 6 에서 2 차이하의다항식의개수는몇개인가?(0 포함 ) ( 문제5) 를참고하면다항식의개수는 125 개이다 문제 7~8 을 ( 정리 224) 에서 이라두고주어진평가준동형사상에대하여계산하라 7 C상에서

145 8 C상에서 문제 9~11 을 ( 정리 224) 에서 이라두고주어진평가준동형사상에대하여계산하라 9 상에서 10 상에서 11 상에서 문제 12~15 에서계수를주어진유한체에서갖는다항식들의모든근을구하라 [ 힌트 : 한가지방법은하나하나대입해보는방법이다 ] 12 에서 따라서구하는해는 1 이다 13 에서 는체이므로 0 인자가존재하지않는다 으로부터해를찾으면 2와 4(=-3) 이다 14 에서 하나하나대입해보면 따라서구하고자하는해는 0, 4 이다

146 15 에서 단 이고 이다 는체이므로 0 인자가존재하지않는다 따라서구하고자하는해는 0, 2, 4 이다 16 를정리 224 에서처럼평가준동형사상이라하자 페르마의정리를사용하여 을계산하라 이고 gcd(3,5)=1이므로페르마의정리를이용 하면 가성립한다 그러면 임을알수있다 17 페르마의정리를사용하여 의 에서의모든근을구하라 0 은주어진방정식의근이다 이제 x 0인근이라하면페르마의정리에의하여 하여주어진방정식은다음과합동이된다 여기서, 가성립, 이므로 은해를갖지않는다 따라서 에서 0 이유일한근이다 18 A polynomial with coefficients in a ring R is an infinite formal sum where for 환 R에서계수를가진다항식은유한항을제외한무한항의계수가 0인다음과같은형식적인무한합이 다 where for 19 Let F be a field and let A zero of is an such that where is the evaluation homomorphism mapping x into 옳은정의이다

147 20 의원소 에대하여생 각해보자 의원소로간주되도록 를다시써보라 21 평가준동형사상 를생각해보자 의핵에속하는여섯개의원소들을구하라 22 에서가역원이되는차수가 0 보다큰다항식을구하라 이라하면 이므로 이다 23 참, 거짓을말하라 (a) 다항식 가 0 일필요충분조건은 에대하여 이다 (True) 에대하여 이면자명하게다항식 가 0 이다 역으로 이면 은기저이므로 에대하여 이다 (b) R 이가환환이면 R[x] 도가환이다 (True) 임의의 에대하여 따라서 R이가환이면 R[x] 도가환이다 (c) D 가정역이면 D[x] 도정역이다 (True) 임의의 에대하여모두가영다항식이아니면 이 정역이므로성립하여 는영다항식이아님을알수있다 그러므로 D[x] 는정역이다 D가 (d) R 가 0 인자를포함하는환이면 R[x] 도 0 인자를포함한다 (True) a R가 R에서 0인자이면 R R[x] 이므로 R[x] 도 0 인자를포함한다

148 (e) R 가환이고 R[x] 에속하는 f(x) 와 g(x) 이차수가각각 3 과 4 이면, f(x)g(x) 는차수가 8 이될수도있 다 (False) 일반적으로임의의 에대하여 이성립한다 따라서 f(x) 와 g(x) 이차수가각각 3과 4 이면, f(x)g(x) 는차수가 7 이하로만될수도있다 그러므로차수가 8일수 는없다 (f) R 가환이고 R[x] 에속하는 f(x) 와 g(x) 이차수가각각 3 과 4 이면, f(x)g(x) 는차수가 7 이다 (False) 에대하여 이라하면 이지만 이다 (g) F 가체 E 의부분체이고 가 의근이면 는모든 에대하여 의근이다 (True) 가 의근이므로 이고모든 에대하여 이므로 의근이다 (h) F 가체이면 F[x] 의가역원은 F 에속하는가역뿐이다 (True) 0이아닌임의의 에대하여 0이아닌 가존재해서다음을만족한다 그러면 이성립하고 그러므로 이다 F가체이므로따라서 임을알수있다 (i) R 가환이면 x 는 R[x] 에서결코 0 인자가아니다 (True) 부정원 x는벡터차원에서의기저의역할을할뿐 R[x] 에서의덧셈과곱셈의연산에있어서영향을주지 는않는다 따라서 0 인자가아니다 (j) R 가환이면 R[x] 에속하는 0 인자는 R 에속하는 0 인자뿐이다 (False) 이고 이지만 이다 24 D 가정역이면 D[x] 가정역임을보여라 임의의 에대하여모두가영다항식이아니면 이 정역이므로성립하여 는영다항식이아님을알수있다 그러므로 D[x] 는정역이다 D가

149 25 D 가정역이고 x 가부정원이라하자 (a) D[x] 에속하는가역원을구하라 (b) Z[x] 에속하는가역원을구하라 (c) 에속하는가역원을구하라 26 R 이환이고 x 는부정원일때 R[x] 에대한좌측배분법칙을증명하라 에대하여 단 단 여기서 가성립하므로따라서 가성립하여좌분배법칙이성립함을알수있다 27 F 를표수가 0 인체, 그리고 D 를형식적다항식도함수사상, 즉 (a) 는 에서그자신으로대응하는준동형사상임을보여라 이때 D 가환준동 형사상이되는가? 임의의 에대하여 이므로군준동형사상이다 하지만 으로서 임을알수있다 그러므로 D 는환준동형사상은아니다

150 (b) D 의핵을구하라 따라서 (c) F[x] 의 D 에대한상을구하라 그러므로 이다 28 F 를체 E 의부분체라하자 (a) 에대하여정리 224 에서와비슷한평가준동형사상 를정의하라 (b) 일때 를계산하라 (c) f(x) 의근에대한이책에서정의와비슷하게다항식 의근의개념을정의하라 임의의 에대하여 이되게하는 을 의근이라한다

151 29 R 를환이라하고 를 R 에서 R 로대응하는모든함수의집합이라하자 에대하여 를 로곱 를 로정의하면 가환임을보여라 단 이고 은함수의합성이아니다 곱셈과덧셈에관하여닫혀있음은자명하고 따라서덧셈에관하여결합적이다 따라서덧셈에관한항등원 이존재한다 여기서 으로정의된사상이다 따라서덧셈에관한역원이존재한다 여기서 는 의역사상이다 따라서덧셈에관하여가환적이다 그러므로 는가환군이다 따라서곱셈에관하여결합적이다 따라서곱셈에관하여가환적이다 그러므로좌분배법칙이성립함을보이면우분배법칙은자명하게성립한다 따라서분배법칙이성립한다 그러므로 는환이다

152 30 ( 문제 29) 을참고하여 F 를체라하자 의원소 를모든 에대하여 를만족 하는 에존재하면, 를 F 위에서다항식함수라한다 (a) F 위에서모든다항식함수의집합 는 의부분환임을보여라 이므로 이고 임은자명하다 임의의 에대하여 임은자명하다 따라서 F위에서모든다항식함수의집합 는 의부분환이다 (b) 환 는 F[x] 와반드시동형일필요가없음을보여라 [ 힌트 : F 가유한체이면 와 F[x] 는같은원소의수를갖지않음을보여라 ] 인경우를생각보자 의원소의개수는 27(= ) 개이지만 의원소의개수는무한이다 따라 서반드시동형일필요는없다 31 ( 문제 29) 와 ( 문제 30) 을참조하여다음물음에답하라 (a) 에속하는원소의개수를구하라 또한 에속하는원소의개수는? 의원소의개수는 4 개이고, 의원소의개수는 27 개이다 (b) 유한생성가환군에대한기본정리인정리 1112 에의하여 < <,+> 와 < <,+> 를분류하라 의표수는 2이고 의표수는 3이므로유한생성가환군에대한기본정리에의하여 이고 임을알수있다 (c) F 가유한체이면 = 임을증명하라 [ 힌트 : 물론 이다 F 가원소 를갖는다고하자 만약 이면 에대하여 이며값 는 의선택에의해조절될수있다 여 F 위의모든함수는다항식함수임을보여라 ] 다항식 를다음과같이정의하자 즉 에대하여 이고그외는 라고한다 이사실을이용하 이고 라고하자 또한 로정의한임의의 라하자 그러면 이성립한다 그러므로 에대하여 이고따라서 에서모든사상 는다항식함수이다 따라서 이다

153 Fraleigh 대수 23 장체에서다항식의인수분해 문제 1~4 는호제법에서설명했던 r(x) 의차수가 g(x) 보다낮은다항식으로써 f(x)=g(x)q(x)+r(x) 가되도록 q(x) 와 r(x) 를구하라 1 에서 와 에서 2 에서 와 에서 3 에서 와 에서 4 에서 와 에서 문제 5~8 는주어진유한체의곱셈에관한단원군의모든생성원을구하라 5 이고 따라서주어진체의곱셈에관한단원군의모든생성원은 2,3 이다 6 이고 따라서주어진체의곱셈에관한단원군의모든생성원은 2,3,4,5,6 이다 7 이고 따라서주어진체의곱셈에관한단원군의모든생성원은 2,3,4,,15,16 이다

154 8 이고 따라서주어진체의곱셈에관한단원군의모든생성원은 2,3,4,,22 이다 9 다항식 는 에서일차인수로인수분해될수있다 그인수분해를구하라 에서다음과같이일차인수로인수분해된다 10 다항식 는 에서일차인수로인수분해될수있다 그인수분해를구하라 에서다음과같이일차인수로인수분해된다 11 다항식 는 에서일차인수로인수분해될수있다 그인수분해를구하 라 에서다음과같이일차인수로인수분해된다 12 는 의기약다항식인가? 그이유를설명하고이다항식을 의기약다항식의곱으로표현하라 인평가준동형사상이라하자 이므로 는 를인수로갖는다 따라서기약다항식이아닌가약다항식이고 에서 와같은기약다항식의곱으로표현할수있다 13 는 에서기약다항식인가? 그이유를설명하고이다항식을 의기약 다항식의곱으로표현하라 인평가준동형사상이라하자 이므로 는 에서기약다항식이다 따라서 에서 ( ) 와같은기 약다항식의곱으로표현할수있다

155 14 는 Q 위에서기약임을보여라 가 R 위에서기약인가? C 위에서서기약 인가? Q 위에서 은 2 1, 2 8, 2-2, 4-2 이므로 Eisenstein 판정법에의하여기약이 다 하지만 R과 C 위에선기약이아니고다음과같이인수분해된다 15 를 로바꾸어 ( 문제 14) 을반복하라 Q 위에서 은 3 1, 3 6, 3 12, 9 12 이므로 Eisenstein 판정법에의하여기약이 다 또한 R 위에서도판별식 D/4 < 0 이므로기약이다 하지만 C 위에선기약이아니고다음과같이 인수분해된다 16 은 Q 위에서기약임을설명하라 일때 라하자 그러면 이다 여기서 3 1, 3 9, 3 24, 9 12 이므로 Eisenstein 판정법에의하여 는기약이다 따라서 도기약이다 그 러므로 는 Q 위에서기약이다 17 은 Q 위에서기약임을설명하라 (1) 일차식으로인수분해되는경우 이 Q에서가약이면 상수항의계수 최고차항의계수 의약수 1,-1 을근으로갖는다 하지만 으로 0 이아니다 그러므로 은 Q 위에서기약이다 (2) 이차식으로인수분해되는경우 즉, 이면근과계수와의관계에의하여 이다 지만이를만족하는 상의해는존재하지않는다 그러므로 은 Q 위에서기약이다 (1) 과 (2) 에의하여 은 Q 위에서기약이다 하 문제 18~21 에서 Z[x] 에속하는다음다항식은 Q 위에서기약성에대한 Eisenstein 의공식을만족하는지결정하라 18 여기서 3 1, 3-12, 9-12 이므로 Eisenstein 판정법을만족한다 19 여기서 3 8, 3 6, 3-9, 3 24, 9-24 이므로 Eisenstein 판정법을만족한다

156 20 여기서 3 4, 3-9, 3 24, 3-18이지만 9-18 이므로 Eisenstein 판정법을만족하지않는다 21 여기서 5 2, 5-25, 5 10, 5-30, 이므로 Eisenstein 판정법을만족한다 22 의 Q 에서의모든근을구하라 여기서 는기약이므로근은 로유일하다 다음밑줄친부분의정의가올바르면수용하고그렇지않으면옳게고쳐라 23 A polynomial f(x) F[x] is irreducible over the field F iff f(x) g(x)h(x) for any polynomial g(x), h(x) F[x] 인임의의다항식 에대하여 은다항식 f(x) F[x] 가 F 위에서기약이다 f(x) g(x)h(x) 일필요충분조건 24 A nonconstant polynomial f(x) F[x] is irreducible over the field F iff in any factorization of it in F[x] one of the factors is in F 상수가아닌 f(x) F[x] 이체F 위에서기약일필요충분조건은 f(x)=g(x)h(x) 로인수분해될때 g(x) 또 는 h(x) 가 F 의가역원임을뜻한다 25 참, 거짓을구하라 (a) x-2 는 Q 위에서기약이다 (True) 2 1, 2-2, 4-2 이므로 Eisenstein 판정법에의하여 Q 위에서기약이다 (b) 3x-6 은 Q 위에서기약이다 (True) 2 3, 2-6, 4-6 이므로 Eisenstein 판정법에의하여 Q 위에서기약이다 (c) 은 (True) Q 위에서기약이다 3 1, 3-3, 9-3 이므로 Eisenstein 판정법에의하여 Q 위에서기약이다

157 (d) 은 에서기약이다 (False) 에서 이므로가약이다 (e) F 가체이면 F[x] 의가역원은 F 의 0 이아닌원소와일치한다 (True) 0이아닌임의의 에대하여 0이아닌 가존재해서 다음을만족한다 그러면 이성립하고 F가체이므로따라서 임을알수있다 그러므로 이다 따라서다항식환 F[x] 의가역원은 F 의가역원과같다 (f) F 가체이면 F(x) 의가역원은 F 의 0 이아닌원소와일치한다 (False) 유리식체 F(x) 의가역원은 0 아닌모든원소가될수있다 즉 이면 가존재해서 을만족한다 (g) 체 F 에서계수를갖는차수가 n 인다항식 f(x) 는기껏해야 n 개의근을갖는다 (True) n+1 개의근을갖는다고가정하자 나눗셈정리에의하여각각의근을인수로갖는일차다항식이존재한 다 f(x) 는일차다항식들의곱이고따라서 n+1 개의일차다항식의곱으로나타낼수있다 하지만이는 f(x) 의차수가 n 이라는데모순이다 따라서차수가 n인다항식 f(x) 는기껏해야 n 개의해는갖는다 (h) 체 F 에서계수를갖는차수가 n 인다항식 f(x) 를 F E 인임의의체 E 에서기껏해야 n 개의근을갖 는다 (True) (g) 에의하여확대체E에서도기껏해야 n 개의해를갖는다 F에서근이존재하지않는경우에도확대체 E 에서는근이존재할수있다 하지만어떠한확대체이든차수가 n인다항식에서근은많아야 n 개존재한다 [ 참고 복소계수다항식에서 n차다항식은정확히 n 개의근을갖는다 이를대수학의기본정리라한 다 ]

158 (i) F[x] 에속하는차수가 1 인모든다항식은체 F 에서적어도하나의근을갖는다 (True) F가체이므로차수가 1인일차다항식 ax+b=0 (a 0) 은다음을만족한다 의덧셈에대한역원 덧셈에관한결합법칙과역원의정의 의곱셈에대한역원 곱셈에관한결합법칙과역원의정의 따라서 을근으로갖는다 그러므로적어도하나의근을갖는다고할수있다 (j) F[x] 에속하는각다항식은체 F 에서기껏해야유한개의근을갖는다 (True) 다항식은정의에의하여유한차수를갖는다 따라서 (g) 에의하여기껏해야다항식의유한차수만큼의유한개의근을갖는다는것을알수있다 26 가 에서 의인수가되는모든홀수인소수 p 를구하라 라할때 이인수가되기위해서는 에서 이되게하는소수 p 를찾아야한다 그러면 이고따라서 인소수 그러므로찾고자하는소수 p 는 3, 5 이다 p 를찾으면된다 문제 27~30 에서주어진환에속하는정해진차수를갖는기약다항식을모두구하라 27 에서차수가 2 이고여기서 는 0 또는 1 을근으로갖지않는다 따라서기약다항식은 하나뿐이다

159 28 에서차수가 3 이고여기서 는 0 또는 1 을근으로갖지않는다 따라서기약다항식은 이다 29 에서차수가 2 이고여기서 는 0, 1, 2를근으로갖지않 는다 따라서기약인다항식은 이다 30 에서차수가 3 기약다항식은다음과같다

160 31 에속하는기약인 2 차다항식의개수를구하라 단, p 는소수이다 [ 힌트 : 형태의기약이아닌다항식의개수를구하고, 기약이아닌 2 차다항식의개수를구하 여전체 2 차식의개수에서이것을뺀다 ] 총경우의수 : (p-1)p p 중근을갖는경우: (p-1)p, 서로다른근을갖는경우: (p-1)p(p-1)/2 그러면 ( 기약다항식) 의개수=( 총다항식) 의개수-( 가약다항식) 의개수 =(p-1)p p-[(p-1)p + (p-1)p(p-1)/2] = 따라서 에속하는기약인 2차다항식의개수는 개이다 32 - 생 략 생 략 - 34 에서다항식 는임의의 에대하여기약이아님을증명하라 (1) 일때 는가약이다 (2) 인소수일때 그러므로다항식 는 를인수로갖는다 ( 페르마의소정리) (1),(2) 에의하여모든소수에대하여가약임을알수있다 따라서임의의 에대하여 에서다항식 는기약이아니다 35 F 가체이고 a 0 가 F[x] 에속하는 의근이면 은 의근임을보여라 이 의근이면다음이성립한다 따라서 의근임을알수있다

161 36 ( 나머지정리 ) F 가체일때, f(x) F[x] 이고 라하자 f(x) 를 로나누었을때, 나머지 r(x) 는호제법과일치하여 임을보여라 유클리드호제법에의하여다음이성립한다 이때 이고 이므로따라서 인상수임을알수있다 37 을 에대하여 를 으로나눈나머지 로정의된준동형사상이라하자 (a) 를 로정의할때, 는 Z[x] 에서 위로대응하는준동형사상임을보여라 임의의 에대하여 이준동형사상이므로다음이성립한다 따라서 은환준동형사상이다 (b) f(x) Z[x] 와 둘다차수 n 을갖고 가 에서차수 n 보다낮은두다항식으 로인수분해되지않는다면 f(x) 는 Q[x] 에서기약임을보여라 대우증명한다!! 가 에서차수 n 보다낮은두다항식으로인수분해된다고하자 즉 이존재해서 을만족한다고하자 그러면 이성립한다 이때 이다 따라서 가 에서차수 n보다낮은두다항식 으로인수분해된다 (c) (b) 를이용하여 은 Q[x] 에서기약임을보여라 [ 힌트 : 계수를간단히만들수있도록소수 m 을정하여보라 ] 이고이때 으로서근을갖지않는다따라서기약이다 그러므로 (b) 에의하여 은 Q[x] 에서기약이다

162 Fraleigh 대수 26 장준동형사상과잉여환 1 에서 로대응하는모든환준동형사상을적어라 이 의기저이므로 에대 응될수있다 (1) 인경우 (2) 인경우 (3) 인경우 (4) 인경우 (5) 인경우 (6) 인경우 (7) 인경우 (8) 인경우 (9) 인경우 (10) 인경우 (11) 인경우 (12) 인경우 (13) 인경우 (14) 인경우 (15) 인경우 (16) 인경우 여기서 인환준동형사상을찾을수있다 2 와동형이되는부분환을포함하는 을만족하는양의정수 n 을모두찾아라 f 를환준동형사상이라사상이라하자 그러면 는 {f(0), f(1)} 를부분군으로갖는다 이때 f(0)=0임은자명하고 f(1)=m(m 0) 일때 f(1)+f(1)=0이므로 2m=n을만족하고 또한 f(1)f(1)=f(1) 이므로 m m=m 을만족한다 여기서 m 1=m, m 2=0, m 3=m 2+m 1=m, m 4=m 2+m 2=0 m m=m이기위해서는 m 의형태는홀수이어야한다 이므로 따라서찾고있는양의정수 n=2m=2(2k+1)=4k+2 (k 0 인정수)=2,6,8, 이다

163 3 의모든아이디얼 N 을구하고각경우에 을계산하라 즉잉여환과동형이되는환을 구하라 우선 의부분군을찾는다 {0}, <1>={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}=, <2>={0,2,4,6,8,10}, <3>={0,3,6,9}, <4>={0,4,8},<6>={0,6} 여기서 {0} 와 <1> 은자명하게아이디얼임을알수있고나머지에대하여임의의 a 에곱에관하여 닫혀있는지알아보자 p=2,3,4,6 에대하여 <p> 는 에서 p 의배수들의모임이다 따라서 ap=pa <p> 임을쉽게알수있다 따라서주어진 6개의부분군이모두 의아이디얼이됨을알수있다 이때 /{0}, / {0}, 수있다 /<2>, /<3>, /<4>, /<6> 와동형임을알 4 에대한덧셈과곱셈연산표를구하라 와 는동형환인가? 덧셈에관한연산에서는동형이지만곱셈에관한연산에서는동형이아님을알수있다 따라서동형환이아니다 다음밑줄친부분의정의가올바르면수용하고그렇지않으면옳게고쳐라 5 An isomorphism of a ring R with a ring R' is a homomorphism such that 동형이되기위해서는환준동형사상인조건과전단사의조건이있어야한다 그런점에서위의정의에는전사인조건이추가되어야한다 6 An ideal N of a ring R is an additive subgroup of <R,+> such that for all r R and all n N we have rn N and nr N 아이디얼( 이데알) 에관한옳은정의이다 7 The kernel of a homomorphism mapping a ring R into a ring R' is 와같이바뀌어야옳은정의가된다

164 8 f 를 R 에서 R 로대응하며, 모든차수의도함수를갖는모든함수의환이라하자 도함수는사상 를만든다 단 이다 는준동형사상인가? 그이유는? 이문제와예제 2612 사 이의관계를구하라 에대하여 이므로환준동형사상이 아니다 9 R 는단위원 의예를들어라 을가지며, 이라하면이는환준동형사상이고 또한 이지만 는 S 에대한단위원이아닌환준동형사상 Z 단위원을갖고 이지만 (1,0) 은 의단위원은아니다 10 참, 거짓을판정하라 (a) 환준동형사상의개념은잉여환의개념과밀접한관계가있다 (True) 환동형정리에의하여잉여환과동형인환을찾을수있는데그과정에서환준동형사상이중요한역할을한다 (b) 환에서준동형사상은군에서동형사상과같은것이다 (False) 환에서준동형사상은군에서준동형사상과같은역할을한다 다 동형사상과같은역할을하는것이아니 (c) 환준동형사상이 1-1 이될필요충분조건은그핵이 {0} 일때이다 (True) ( ) 이고 1-1 이므로다음이성립한다 ( ) 이고 으므로다음이성립한다 (d) Q 는 R 에서아이디얼이다 (False) 이지만 이므로 Q는 R 의이데알이아니다 (e) 환에서모든아이디얼은그환의부분환이다 (True) 환 R의임의의아이디얼을 I 라고하면다음이성립한다 (1) 임의의 a,b I에대하여 a-b I 가성립한다 (2) 임의의 r R과임의의 a I에대하여 ra I, ar I 가성립한다 이제아이디얼 I가환 R 의부분환이기위하여다음이성립함을보이면된다 (3) 임의의 a,b I에대하여 a-b I 가성립한다

165 (4) 임의의 a,b I에대하여 ab I 가성립한다 여기서 (3) 임은 (1) 에의하여자명하고 (4) 임은임의의 b I R이므로임의의 a I에대하여 ab I 임을알수있다 그러므로임의의아이디얼 I는환 R 의부분환이다 (f) 모든환에서모든부분환은그환의아이디얼이다 (False) R에서 Q 는부분환이지만아이디얼은아니다 (g) 모든가환환의모든잉여환은다시가환환이다 (True) 환 R이가환환이고 M을환 R 의아이디얼이라하자 임의의 a,b R/M에대하여 cd R가존재하여다 음이성립한다 a=c+m, b=d+m ab=(c+m)(d+m)=cd+m=dc+m=(d+m)(c+m)=ba ( 여기서 cd+m=dc+m은환 R이가환환이기때문에성 립한다) 따라서임의의가환환이모든잉여환은다시가환환이다 (h) 환 와 는동형이다 True 를 로나눈나머지 라하면 는전사인환준동형사상이고 이때 이므로환제 1 동형정리에의하여둘은동형이다 (i) 단위원을갖는환 R 에서아이디얼 N 가 R 전체가될필요충분조건은 1 N 이다 (True) ( ) 1 N 이라가정하자 그러면 N+<1> 은다음을만족한다 N N+<1> R 하지만이는 N=R 임에모순이다 그러므로 1 N 이다 ( ) 1 N이면아이디얼의정의에의하여임의의 a R에대해 a 1 N 이성립한다 그러므로 R=N 이 다 (j) 환에서아이디얼의개념은군에서정규부분군의개념과같다 (True) 잉여환에서의동형정리와잉여군에서의동형정리를보면알수있다 11 R 를환이라하자 {0} 와 R 는둘다 R 의아이디얼임을관찰하자 잉여환 R/R 과 R/{0} 는실제로 연관이있는가? 그이유는? {0} 과 R 이덧셈에대한가환군이됨은자명하므로다음을보인다 임의의 a R, 0 {0} 에대해 0 a=0 {0}, a 0=0 {0} 이므로 {0} 은 R 의아이디얼이다 또한임의의 a R, b R에대해 R이환이므로 ab R, ba R이다따라서 R은 R 의아이디얼이다 그리고 R/R {0}, R/{0} R 이됨을알수있다

166 12 정역의잉여환이체가될수있음을보여라 이고여기서 가체이므로 또한체이다 13 정역의잉여환이 0 인자를가질수있음을보여라 이고여기서 가 0 인자를가진다 그러므로 는 0 인자를갖는다 실제로 (2+4Z)(2+4Z)=0+4Z 이다 14 0 인자를갖는환의잉여환은정역일수도있음을보여라 15 환 에서아이디얼이아닌부분환을구하여라 16 어느학생에서환 R 에서아이디얼 N 을법으로하는잉여환이가환이될필요충분조건은모든 r,s R 에대하여 <rs-sr> N 임을증명하도록하였다 그학생은다음과같이시작하였다 R/N 이가환이 라가정하면모든 r,s R 에대하여 rs=sr 이다 (a) 이것을읽은교수님이의미가없다고하는이유는무엇인가? R/N 에서가환의정의를잘이해하지못하고잘못쓰고있기때문에 (b) 이학생이무엇이라고썼어야옳은가? R/N 이가환이면임의의 (a+n),(b+n) R/N 에대해 (a+n)(b+n)=(b+n)(a+n) 이성립한다 (c) 이것을증명하라 ( 필요충분조건 임에주의할것 ) R/N이가환이면임의의 a+n, b+n R/N 에대해다음이성립한다 (a+n)(b+n)=ab+n=ba+n=(b+n)(a+n) 여기서 ab+n=ba+n 이면 (ab+n)-(ba+n) N이고그러므로 ab-ba N 이성립한다 역으로 ab-ba N이면 ab+n=ba+n 이성립한다 따라서 (a+n)(b+n)=(b+n)(a+n) 이성립한다

167 17 Let and R' consist of all matrices of the form Show that R is a subring of where where R( 실수체 ) and that R' is a subring of (1) 이 R( 실수체) 의부분환임을보이자 우선 R 임은자명하다 is an isomorphism 임의의 에대하여 이존재하여다음을만족한다 이때 이고 이성립한다 그러므로 이 R( 실수체) 의부분환이다 (2) 가 의부분환임을보이자 우선 임은자명하다 임의의 에대하여 이존재하여다음을만족한다 이때 이성립한다 그러므로 은 의부분환이다 (3), 가동형사상임을보이자 이때 이성립하므로 는환준동형사상이다 또한 이성립하므로 는전단사인사상이다 위의결과들에의하여따라서 는동형사상이다 for a,b Z Then show that

168 18 체의각준동형사상은 1-1 이거나모든것이 0 에대응하는사상임을보여라 F를체라하고임의의준동형사상을 라하자 ker f=0이면자명하게준동형사상은 1-1 이다 따라서 ker f 0 이라가정하자 그러면 v 0인 v가존재해서 f(v)=0 을만족한다 이때 F는체이므로 v의역원 v' 이존재하고 f가준동형사상이므로 f(1)=f(v) f(v')=0 f(v')=0 을만족한다 따라서 F의모든것이 0 에대응하는사상임을알수있다 그러므로체의각준동형사상은 1-1이거나모든것이 0 에대응하는사상임을알수있다 19 R, R' 와 R" 가환이고 와 가준동형사상이면 합성함수 도준동형사상임을보여라 임의의 에대하여 이성립한다 따라서합성함수 도준동형사상이다 20 R 은단위원을갖고소수인표수 p 를갖는가환환이라하자 으로정의된사상 가준동형사상임을보여라 ( 이준동형사상을 Frobenius 준동형사상이라한다 ) 임의의 에대하여 가성립한다 여기서가환환 R의표수가 p 이므로 p 1=0이다 그러면 0<i<p 에대하여 따라서 이성립한다 임을알수있다 그러므로 는환준동형사상이다 21 R 과 R' 가환이며 는 를만족하는환준동형사상이라하면 R 는단위원 1 를 가지고 R' 가 0 인자를갖지않으면 는 S 에대한단위원임을보여라 임의의 에대해 이존재해서 를만족한다 그러면 이성립한다 또한 이성립한다 이제 이 의단위원임을보이자 이면 이되어 임에모순이다 이제 이고 을 의단위원이라하면 이고 이 0인자를갖지않으므로 임을알수있다 따라서 은 의단위원임을알수있다

169 22 는환준동형사상이고 N 은 R 의아이디얼이라하자 (a) 은 의아이디얼임을보여라 임은자명하고 이고다음이성립한다 가환준동형사상 는 의아이디얼 또한 이고다음이성립한다 가환준동형사상 는 의아이디얼 따라서 은 의아이디얼이다 (b) 이 R' 의아이디얼일필요는없음을예를들어보여라 실수체 라하자 그러면위의관계를만족한다 하지만 2Z는 R( 실수체) 의아이디얼은아니다 (c) N' 은 와 R' 의아이디얼이라하자 은 R 의아이디얼임을보여라 임의의 에대하여 이존재해서 을만족한다 이때 이므로 이성립한다 따라서 는덧셈에대한가환군을이룬다 임의의 와임의의 에대하여 이존재해서 을만족한다 이때 는 의아이디얼이므 로 이성립한다 마찬가지로 는 의아이디얼이 므로 이성립한다 그러므로 은 R 의아이디얼이다 23 F 가체이고 S 가 n 개의직적 의임의의부분집합이라하자 S 의각원소 을근으로갖는모든 의집합 는 에서아이디얼임을보여라 이사실은대수기하에서아주중요하다 인전사인평가준동형사상이라하자 이때 임을알수있다 위에서 는다음과같이정의되고있으므로 임을알수있고여기서 는 의아이디얼이므로따라서 은 의아이디얼임을알수있다 24 체의잉여환은한원소를갖는자명환이거나그체와동형임을보여라 임의의체를 F라하면체F 의아이디얼은 {0} 과자기자신 F 뿐이다 따라서 F/{0} F, F/F={0} 이성립함을알수있다

170 25 R 가단위원을갖는환이고 N 이 N R 인 R 의아이디얼이면 R/N 은 0 이아닌단위원을갖는환임 을보여라 N R이므로 1 N 이다 그러면 1+N 0+N이고임의의 a+n R/N에대하여 (a+n)(1+n)=a+n=(1+n)(a+n) 이성립한다 그러므로 R/N은 0 이아닌단위원을갖는환임을알수있다 26 R 가가환환이고 a R 라하면 는 R 의아이디얼임을보여라 임의의 에대해 이므로 이성립한다 임의의 과임의의 에대해 이므로 가성립한다 따라서 는 R 의아이디얼이다 27 환 R 에서의아이디얼의공통집합은다시아이디얼임을보여라 를환 R 의아이디얼이라하자 임의의 x,y 에대하여 x,y 이고 x,y 이므로다음이성립 한다 x-y 이고 x-y 그러므로 x-y 이성립하여덧셈에대한가환군임을알수있다 또한임의의 r R과임의의 x 에대하여 x 이고 x 이므로 ra, ar 이고 ra, ar 이성립한다 따라서 ra, ar 이 고그러므로 는 R 의아이디얼이다 28 R 와 R' 를환이라하고 N 과 N' 를각각 R 와 R' 의아이디얼이라하자 가 R 에서 R' 로대응하는 준동형사상이라할때 이면 는표준준동형사상 를유도할수있음을보 여라 인준동형사상이라하자 이때 으로정의하자 이성립하므로 는잘정의된사상이다 이제임의의 에대하여 이존재해서다음을만족한다 그러면 이성립한다 따라서 는표준준동형사상 을유도할수있다

171 29 가단위원을갖는환 R 에서환 R' 위에대응하는준동형사상이라하고 u 는 R 에서가역원이라 하자 가 R' 에서가역원이될필요충분조건은 R 의임의의가역원이 의핵에속하지않을때임 을보여라 ( ) 임의의 에대하여 이라하자 그러면 이존재해서다음을만족한다 이제 이 에서의항등원임을보이자 임의의 에대하여 이므로 은 에서의항등원이고이때 는 의부분환이므로항등원의유일성에의하여 은 의항등원임을알수있다 따라서 임을알수있다 ( ) 인 이존재한다고가정하여모순됨을보인다 이므로 이존재하여 이성립한다 이때 는환준동형사상이므로다음이성립한다 이는 이 의곱셈에관한항등원임에모순된다 그러므로임의의 에대하여 임 을알수있다 30 환 R 의원소 a 가만약적당한 에대하여 를만족하면 a 를멱영원이라한다 가환 환 R 에서모든멱영원의모임은아이디얼임을보여라 이아이디얼을 R 의근기 (radical) 라한다 S를 R 의근기들의모임이라하자 이므로 이다 이제 S가 R 의아이디얼임을보인다 임의의 에대하여 가존재해서 을만족한다 그러면 이고 여기서 이므로임의의 에대하여 을만족한다 따라서 을만족하는 가존재한다 그러므로 이다 임의의 과임의의 에대하여 가존재해서 을만족한다 그러면 이성립하는 이존재함을알수있다 따라서 이다 그러므로 S는 R 의아이디얼이다 31 ( 문제 30) 에서주어진정의를참고로하여환 의근기를구하고이것이 ( 문제 3) 에서찾은 의아이디얼중의하나임을관찰해보라 Z 의근기는무엇이며 의근기는무엇인가? 은곱셈에관하여닫혀있으므로 Z 의근기가될수없다 이제남은원소는 0,2,3,4,6,8,9,10 이있다 여기서 2,3,4,8,9,10 은 2와 3을동시에갖지않았으므로 인 가존재하지않는다 따라서 의근기 이다 이제 Z 의근기는자명환 {0} 이며 의근기 임을알수있다

172 32 ( 문제 30) 을참고로하여 N 이가환환 R 의근기이면 R/N 은자명아이디얼 {0+N} 을근기로가짐 을보여라 0+N 이외의원소가존재한다고가정하여모순됨을보이자 a N인 a+n이 R/N에서멱영원이라고가정 하자 즉 이되게하는양의정수 k 가존재한다고하자 그러면 이고이 는 이되게하는양의정수 따라서 R/N 의근기는 {0+N} 이다 s가존재해서결국은 임을알수있다 이는모순이다 33 R 를가환환그리고 N 을 R 의아이디얼이라하자 ( 문제 30) 을참고로하여 N 의모든원소가멱영 원이고 R/N 의근기가 R/N 이면 R 의근기는 R 임을보여라 임의의 a R에대하여 (1) a N 이면가정에의하여멱영원이다 (2) a N이면 a+n 0+N이고 R/N의근기가 R/N이므로 이되게하는양의정수 k 가존재한다 그러면 이고이는 이되게하는양의정수 s가존재해서결국은 a 가멱영원임을알수있다 따라서 R의모든원소가멱영 원이므로 R의근기는 R 이다 34 R 를가환환그리고 N 을 R 의아이디얼이라하자 적당한 에대하여 을만족하는모 든 의집합 을 N 의근기라한다 이용어가 ( 문제 30) 에서주어진것과일치하는가? 일치하지않는다!! 다만 R의아이디얼 N 의멱영원들의집합인경우는일치한다 (1) (R 의근기(radical))= (2) = 여기서 N은 R 의아이디얼이다 [(1) (2)] 임의의 의근기에대하여 이성립한다 여기서 0은 N의덧셈에 관한항등원이므로다음이성립한다 따라서 이성립한다 [(1) (2)] ( 반례) ( 단, N 이멱영원의집합일경우)[(1) (2)] 임의의 에대하여 이성립한 다 그러면 따라서 의근기이다 그러므로 의근기 이라고볼수있다 35 ( 문제 34) 를참고로하여가환환 R 의진부분아이디얼 N 의예를들어다음을보여라 (a) 은 N 과같을필요가없다

173 (b) 은 N 과같을수도있다 36 ( 문제 34) 의아이디얼 과 R/N 의근기와의관계는어떠한가? ( 문제 30 참조 ) 대답을조심스럽 게해라 이면 ( 문제32) 에의하여 임을 이면 임을알수있다 37 에대하여 로정의된 는 동형사상임을보여라 임의의 에대하여 이성립하므로 는환준동형사상이다 이고 이므로 는단사이다 여기서 이므로따라서 임을알수있다 C 와 의부분환 의 38 R 를단위원을갖는환, 그리고 Hom(<R,+>) 를 24 장에서설명한 <R,+> 의자기준동형사상의환이라하자 x R 일때 a R 그리고 를 로정의하자 (a) 는 <R, +> 의자기준동형사상임을보여라 이성립하므로 는준동형사상이다 따라서자기자신에서자기자신으로의준동형사상이므로자기준동형사상임을알수있다 (b) 는 Hom(<R,+>) 의부분환임을보여라 임의의 에대하여 이성립하므로 은곱셈에관하여닫혀있다 또한 이성립하므로 은덧셈에관하여가환군이다 따라서 은 의부분환이다

174 (c) (b) 의 R' 는 R 와동형임을보임으로써 R 에대한 Cayley 의정리와유사한정리임을증명하라, 로정의된사상이라하자 (b) 에의하여 이성립하여환준동형사상임을알수있다 전사임은 (b) 에의하여자명하므로단사임을보이자 따라서 는전단사이고그러므로 는환동형사상이다 이므로

175 Fraleigh 대수 27 장소아이디얼과극대아이디얼 다음주어진환에서의모든소아이디얼과모든극대아이디얼을구하라 1 단위원을가진가환환이유환환일때극대아이디얼과소아이디얼은동일한개념이므로그점에유념하여소아이디얼과극대아이디얼을찾는다 M: 극대아이디얼 R/M: 체이므로 R/M이되가되기위한극대아이디얼 M 을찾는다 여기서잉여환은 와동형이될수있으므로다음과같은소아이디얼과극대아이디얼을찾을수있다 소아이디얼 : {0,2,4},{0,3} 극대아이디얼 : {0,2,4},{0,3} 2 극대아이디얼에의한잉여환이 와동형이될수있으므로다음과같은소아이디얼과극대아이디얼을찾을수있다 소아이디얼 : {0,2,4,6,8,10},{0,3,6,9} 극대아이디얼 : {0,2,4,6,8,10},{0,3,6,9} 3 극대아이디얼에의한잉여환이 와동형이될수있으므로다음과같은소아이디얼과극대아이디얼을찾을수있다 소아이디얼 : {(0,0),(0,1)},{(0,0),(1,0)} 극대아이디얼 : 4 소아이디얼 : 극대아이디얼 :

176 다음주어진잉여환 의형태가체가되게하는모든 을구하여라 5 : 체 : 기약다항식이므로 이기약다항식이되게하는모든 을구하면된다 그러면 일때 : 에서가약 일때 : 에서기약 일때 : 에서 따라서구하고자하는 c=2 뿐이다 기약 6 일때 : 에서가약 일때 : 에서가약 일때 : 에서기약 따라서구하고자하는 c=2 뿐이다 7 일때 : 에서가약 일때 : 에서가약 일때 : 에서기약 따라서구하고자하는 c=2 뿐이다 8 일때 : 에서가약 일때 : 에서기약 일때 : 에서기약 일때 : 에서가약 일때 : 에서가약 따라서구하고자하는 c=1,2 뿐이다

177 9 일때 : 에서가약 일때 : 에서기약 일때 : 에서가약 일때 : 에서가약 일때 : 에서기약 따라서구하고자하는 c=1,4 뿐이다 다음밑줄친부분의정의가올바르면수용하고그렇지않으면옳게고쳐라 10 환 R 의극대아이디얼은은 R 의다른임의의아이디얼을안에포함하지않는아이디얼이다 극대아이디얼은환R 과극대아이디얼사이에임의의다른아이디얼을포함하지않는아이디얼이다 11 가환환 R 의소아이디얼은은임의의소수 p 에대하여 인조건이추가되어야한다 의형태의아이디얼이다 12 소체는는진부분부분체를갖지않는체이다 소체는가장작은부분체이다 즉체의모든부분체들의교집합이다 13 단위원을가진가환환의주이데알 N 은다음과같은성질을갖는아이디얼이다 가존재할때 은 를포함하는가장작은아이디얼이다 옳은정의이다 14 참과거짓을판단하시오 (a) 단위원을갖는모든가환환에서모든소아이디얼은극대아이디얼이다 (False) Z 는단위원을갖는가환환이다 여기서 (0) 은소아이디얼이지만 이므로극대아이디얼은아니다

178 (b) 단위원을갖는모든가환환에서모든극대아이디얼은소아이디얼이다 (True) 단위원을갖는임의의가환환을 R 이라고하고 M을극대아이디얼 P 를소이데알이라고하자 R 이단위원을갖는가환환이므로다음이성립한다 M이극대아이디얼 R/M: 체이면 R/M: 정역 R/M: R/P: 정역 P: 소아이디얼 따라서극대아이디얼이면소아이디얼임을알수있다 체 (c) Q 는그자신이소부분체이다 (True) Q는체이고표수는 0 이므로 Q 와동형인부분체를갖는다 따라서그자신이소부분체이다 (d) C 의소부분체는 R 이다 (False) C의표수는 0 이므로소부분체는 Q 이다 (e) 모든체는소체와동형이되는부분체를포함한다 (True) 임의의체F 는정역이다 따라서표수는 0또는소수p 이다 F의표수가소수p이면 와동형이되는부 분체를포함하고 F의표수가 0이면 Q 와동형이되는부분체를포함한다 여기서, Q는임의의체F에 서가장작은체이므로소체이고따라서모든체는소체와동형이되는부분체를포함한다 (f) 0 인자를갖는환은부분환으로서소체중의하나를포함할수있다 은 (True) 0인자를갖는환으로써부분환으로 를갖는다이때 는소체이므로 0인자를갖는환은부분환 으로서소체중의하나를포함할수있다 (g) 표수 0 을갖는모든체는 Q 와동형인부분체를포함한다 정수환 (True) Z에대하여사상 (1은 F 의단위원) 으로정의할때 모든 에대하여 이므로 는환준동형사상이다 따라서환제1 동형정리에의하여다음이성립한다 한편, 인정수 그런데표수가 따라서 0이므로핵 이다 n 이존재한다 여기서 라고하면 D는 F의부분환으로서 Z의동형이므로 D 는정역이다 이제 Q(D) 를

179 F에포함되는분수체라고하면 이고 Q(D) 는 F 의부분체이다 한편유리수체 Q와부분체 Q(D) 사이의다음과같은동형사상임을보일 수있다 그러므로 F는유리수체 Q 와동형인부분체를포함한다 (h) F 를체라하자 F[x] 는 0 인자를갖지않기때문에 F[x] 의모든아이디얼은소아이디얼이다 (False) 소아이디얼의성질에의하여 이므로 인경우 이성립하므로소아이디얼이아니다 (i) F 를체라하자 F[x] 의모든아이디얼은주아이디얼이다 (True) 를 의임의의아이디얼이라하자 이때 임을보이자 이면 이고 이면 이므로주아이디얼이다 이고 인경우즉, 라가정하자 에속하는원소중에서상수다항식이아닌다항식중에서차수가가장작은다항식을라하자 러면 가성립한다 또임의의 에대하여 임을보인다 이므로나눗셈정리에의하여다음이성립한다 여기서 이므로 의최소성에의하여 이다 그러므로 이다 그 (j) F 를체라하자 F[x] 의모든아이디얼은극대아이디얼이다 (False) 인경우즉 인상수다항식인경우 를만족한다 이때 는극대아이디얼이아니다 참고 ) 인경우대해서는극대아이디얼이된다 15 의극대아이디얼을찾아라 는소수이고여기서 는체이므로 의극대아이디얼은 또는 의형태이다 따라서 도극대아이디얼이되는한예이다 16 에서극대가아닌소아이디얼을찾아라 이고여기서 디얼이아닌예가될수있다 Z는체가아닌정역이므로 은소아이디얼이지만극대아이

180 17 에서소아이디얼이아닌진부분비자명아이디얼을찾아라 이므로 는소아이디얼이아닌진부분비자명아이디얼이다 이지만 이다 18 은체인가? 그이유는? 체가아니다 과같이가약이기때문에 은극대아이디얼이아니고따라서 은체가아니다 19 은체인가? 그이유는? 체이다 상에서 은 Eisenstein 판정법에의하여기약이므로이디얼이고따라서잉여환 은체이다 은극대아 생략 - 24 R 가단위원을갖는유한가환환이라하자 R 의모든소아이디얼은극대아이디얼임을보여라 R이단위원을갖는가환환이고 P를 R의임의의소아이디얼이라고하자그러면필요충분하게 R/P는 정역이된다 이때조건에의하여 R이유환환이므로 R/P은유환인정역이다따라서 R/P는체이고그 러므로필요충분하게 P 는극대이데알임을알수있다 25 [ 따름정리 ][R 이단위원을갖는환이고표수가 이라하면 R 는 과동형인부분환을포함 한다 또, R 의표수 0 을가지면 R 는 Z 와동형이부분환을포함한다 ] 에서단위원을갖는모든환은 Z 또는 과동형이되는부분환을포함함을알았다 단위원을갖은환이 에대하여 과동형인 부분환과 과동형인부분환을동시에포함할수있는가? 가능하다면예를들고, 불가능하다면증명해 보아라 가능하다 같은경우 만족한다 26 ( 문제 25) 를계속하여단위원을갖는환이서로다른두소수 에대하여체 와동형인부분환과체 와동형인부분환을동시에포함할수있는가? 가능하다면예를들고, 불가능하다면증명하라 가능하다 같은경우, 을만족한다

181 27 ( 문제 26) 의개념에따라 이고 와 가소수일때, 와동형인부분환을포함하는정역 이존재할수있는가? 이유를들거나예를들어보아라 존재할수없다 존재한다고가정하자 이때정역을 D라하고동형인부분환을 H 라하자 그러면 D의표수는 H 와같다 그리고 H의표수는 와동형이므로 p 이다 또한 H의표수는 와동형이므로 q 이다 그러면 p=q이고 이는 임에모순된다 28 단위원을갖는가환환 R 의모든극대아이디얼은소아이디얼임을극대아이디얼과소아이디얼 의정의를이용하여직접보여라 [ 힌트 : M 은 R 의극대아이디얼이고 이면 이라가정하라 a 와 M 에의하여생성되는 R 의 아이디얼을생각해보아라 ] M을 R 의극대아이디얼이라고가정하자 일때 이면 임을보이면된다 이므로 a와 M에의하여생성되는 R 의이데알<M,a> 는다음을만족한다 가정에의하여 M이극대아이디얼이므로 이다 즉 이고따라서 가되게하는 가존재한다 조건에의하여 이고 M은아이디얼이므로 이 다 그러므로극대아이디얼은소아이디얼이다 29 N 이환 R 의극대아이디얼이될필요충분조건은 R/M 인단순환일경우이다 즉, 이것은진부분 비자명아이디얼을포함하지않는다 ( [ 정리 ]M 이극대정규부분군이될필요충분조건은 G/M 이단순군 이다와비교해보라 ) (a) N이환R의극대아이디얼이면 R/M 은체이다 따라서 R/M의아이디얼I는 I (0) 일떄항상가역원을 원소로포함하므로 I=R/M 이다따라서 R/M 은단순환이다 (b) 군에서의정규부분군과환에서의아이디얼은유사한역할을한다 그런점에서극대아이디얼과극 대정규부분군도환과군에서의역할이유사함을알수있다 30 F 가체이면 F[x] 에모든진부분비자명소아이디얼은극대아이디얼임을증명하라 (1) F가체이면 F[x] 는주아이디얼정역이다 따라서임의의진부분비자명소아이디얼을 P라할때 가존재함을할수있다 여기서 이면 P는자명아이디얼이고 이면 P는가역원을포함하므로 F[x] 가된다 따라서이는가정에모순이므로 P는 을만족하는주아이디얼이다 (2) 인 는극대아이디얼임을보이자 인 F[x] 의아이디얼I에대하여 임을보인다 가 이므로 이므로 ( : 소아이디얼) 그러면 그러면 이고 지않으므로따라서 이다 0인자가존재하

182 그러면임의의 에대하여 이다 따라서 이다 그러므로 일때 은극대아이디얼이다 (2) ( 다른) 인 는극대아이디얼임을보이자 인 F[x] 의아이디얼 에대하여 임을보인다 가 이므로 가소아이디얼이므로기약다항식이고 이므로 ( 즉, 이므로 ) 이다 ( 만약 이면 가기약다항식이므로 이다 그러면 이다 이는모순이다 따라서 이다 ) 그러면 이다 따라서 이다 그러면임의의 에대하여 이다 따라서 이다 그러므로 일때 은극대아이디얼이다 31 F 가체이고 라하자 가 를나누기위한필요충분조건은 일때임을보여라 ( ) F가체이고 라하자 이므로 를만족하는 가존재한다 따라서 이성립한다 ( ) 이므로 를만족하는 가존재한다 따라서 이성립한다 32 F 가체이고 라하자 가 의아이디얼임을보여라 만약, 와 가서로 다른차수를갖고 이면 와 는둘다 (a), 임을보이자 F 위에서기약일수없음을보여라 ( ) 라고하자 그러면유클리드호제법에의하여 인 가존재한다 그러면 이고따라서 이성립한다 ( ) 임의의 이라하자 그러면 가존재해서 을만족한다 이므로, 이다 그러면 을만족한다 따라서 이다그러므로 이성립한다 그러므로 N은 F[x] 의아이디얼이다 (b) 이라면유클리드호제법에의하여 인 가존재한다 이는 임에모순이다따라서 이다 즉 는둘다기약일수없다 33 - 생략함

183 34 만약 A 와 B 가환 R 의아이디얼이면 A 와 B 의합 A+B 는 로정의된다 (a) A+B 가 R 의아이디얼임을보여라 A,B가 R 의아이디얼이므로각각다음이성립한다 그러면 을만족하고따라서 A+B는 R 의아이디얼이다 (b) 이고 임을보여라 이므로자명하다 35 A 와 B 가환 R 의아이디얼이라하면 A 와 B 의곱 AB 는 로정의된다 (a) AB 가 R 의아이디얼임을보여라 이때 이므로 AB는 R 의아이디얼이다 (b) 임을보여라 이고 이므로자명하게 이다따라서 가성립한다

184 36 A 와 B 를가환환 R 의아이디얼이라하자 A 의 B 에의한몫 A : B 는 모든 에대하여 로정의된다 A : B 는 R 의아이디얼임을증명하라 A:B 가덧셈에대하여가환군임을보이면충분하다 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 A:B는 R 의아이디얼이다 37 F 가체이고 에대하여 형태의모든행렬들의집합 S 는 의우아이디얼이지만 좌아이디얼은아님을보여라 즉 S 는 의원소를오른쪽에서곱하는데대하여닫혀있지만, 왼쪽 에곱하는데대해서는닫혀있지않은부분환임을보이면된다 이때 는체 를만족한다 따라서집합 S는 의우아이디얼이지만좌아이디얼은아니다 38 행렬들의환 는단순환임을보여라 즉 는진부분비자명아이디얼을갖지않는 다 -생략

185 Fraleigh 대수 45 장유일인수분해정역 (UFD) 문제 1-8 에서주어진원소가기약원인가아닌가를결정하라 1 Z 에서 5 기약원이다 Z에서 5 를나눌수있는값이 +1,-1 뿐이고이는모두가역원이기때문이다 2 Z 에서 -17 기약원이다 Z에서 -17 을나눌수있는값이 +1,-1 뿐이고이는모두가역원이기때문이다 3 Z 에서 14 기약원이아니다 Z에서 14 를나눌수있는값이 +1,-1 이외의 +2,-2,+7,-7 과도나눌수있기때문이다 즉 <14> <2> 또는 <14> <7> 이다 4 Z[x] 에서 2x-3 기약원이다 Z가정역이므로 D(Z[x])=D(Z)={+1, -1} 이고 0이아닌값으로 2x-3을나눌수있는값이 가역원+1, -1 뿐이므로 Z[x] 에서 2x-3 은기약원이다 5 Z[x] 에서 2x-10 기약원이아니다 Z가정역이므로 D(Z[x])=D(Z)={+1, -1} 이고 0이아닌값으로 2x-10을나눌수있는 값이가역원이외의값 2로도나눌수있으므로기약원이아니다 6 Q[x] 에서 2x-3 기약원이다 Q가정역이므로 D(Q[x])=D(Q)=Q-{0} 이고 0이아닌값으로 2x-3을나눌수있는값이가 역원뿐이므로 Q[x] 에서 2x-3은기약원이다 7 Q[x] 에서 2x-10 기약원이다 Q가정역이므로 D(Q[x])=D(Q)=Q-{0} 이고 0이아닌값으로 2x-10을나눌수있는값이 가역원뿐이므로 Q[x] 에서 2x-10은기약원이다 8 에서 기약원이다 가정역이므로 이고 0이아닌값으로 2x-10을나눌 수있는값이가역원뿐이므로 에서 2x-10 은기약원이다

186 9 을 의원소로간주하여가능하다면 4 개의서로다른동반원소를구하여라 또한 을 와 로간주하여 4 개의동반원소를구하여라 (a) Z가정역이므로 D(Z[x])=D(Z)={+1, -1} 이다 따라서서로다른동반원소 2개뿐이고이는 2x-7, -2x+7 이다 (b) Q가정역이므로 D(Q[x])=D(Q)=Q-[0] 이다 따라서서로다른동반원소 4개를찾으면 이다 (c) 가정역이므로 이다 따라서서로다른동반원소 4개를찾으면 이다 10 을정역 의원소로간주하여기약원의곱으로인수분해하여라 또한 와 의원소로간주하여인수분해하여라 (a) Z가정역이므로 D(Z[x])=D(Z)={+1, -1} 이다 따라서 0과가역원이아닌원소로써기약원이될수 있는것은 이다 그러므로준식은 와같이기약원의 곱으로인수분해할수있다 (b) Q가정역이므로 D(Q[x])=D(Q)=Q-[0] 이다 따라서 0과가역원이아닌원소로써기약원이될수 있는것은자기자신뿐이다 그러므로준식은 로서더이상인수분해되지않는다 (c) 가정역이므로 이다 따라서 0과가역원이아닌원소로써기약 원이될수있는것은 (x+4), (4x+2) 이다 그러므로준식은 와같이기약 원의곱으로인수분해할수있다 문제 에서주어진다항식을지정된 UFD 에서용량과원시적다항식의곱으로표현하라 11 에서 Z가정역이므로 D(Z[x])=D(Z)={+1, -1} 이다 원시다항식은계수들사이의공약수가가역원이어야하 므로다음과같이용량과원시적다항식의곱으로표현할수있다 12 에서 Q가정역이므로 D(Q[x])=D(Q)=Q-{0} 이다 원시다항식은계수들사이의공약수가 Q[x] 의가역원이 므로그자신인과용량의곱으로다음과같이 으로표현할수있다 13 에서 Z가정역이므로 D(Z[x])=D(Z)={+1, -1} 이다 원시다항식은계수들사이의공약수가 Z[x] 의가역원 이므로그자신인과용량의곱으로다음과같이 으로표현할수있다

187 14 에서 Q가정역이므로 D(Q[x])=D(Q)=Q-{0} 이다 원시다항식은계수들사이의공약수가 Q[x] 의가역원이므 로그자신인과용량의곱으로다음과같이 으로표현할수있다 다음밑줄친부분의정의가올바르면수용하고그렇지않으면옳게고쳐라 18 정역 D 의원소 a 와 b 가동반원일필요충분조건은정역 D 에서그들의잉여 a/b 가가역원이다 맞는정의이다!! 또한 a와 b 가동반원이면필요충분하게 <a>=<b> 도성립한다 19 정역 D 의원소가 D 에서기약일일필요충분조건은 D 의두개의원소들의곱으로인수분해되어나 타낼수없는것이다 단순히두개의원소들의곱으로인수분해되어나타낼수없는것이아니라 0과가역원이아닌두 개의원소들의곱으로인수분해되어나타낼수없는것이다 따라서 [0 과가역원이아닌] 이란조건이 첨가되어야한다 20 정역 D 의원소가 D 에서소원일필요충분조건은 D 에서보다작은두개의원소들의곱으로인 수분해되어나타낼수없는것이다 단순히 D 에서보다작은두개의원소들의곱으로인수분해되어나타낼수없는것이아니라 D에서 0 과가역원이아닌보다작은두개의원소들의곱으로인수분해되어나타낼수없는것이다 따라서 [0 과가역원이아닌] 이란조건이첨가되어야한다 21 참과거짓을판단하시오 (a) 모든체는 UFD 이다 (True) 임의의체F는 PID 이고 PID는 UFD 이므로체F는 UFD 이다 (b) 모든체는 PID 이다 (True) 임의의체F는아이디얼을자기자신F=<1> 과자명아이디얼<0> 만을갖는다 따라서체F는 PID 이다 (c) 모든 PID 는 UPD 이다 (True) (i) 임의의 D를 PID이라하고 인 을유한개의기약원의곱으로나타내어지지않 는원소라고가정하자 이때, 은기약원이아니므로 은 의꼴로나타내어진다 그런데 b와 c 가모두유한개의곱으로나타내어지면 도유한개의곱으로나타내어지므로 의인수 b와 d 중에서 적어도하나는유한개의곱으로나타내어지지않는다

188 이제 의이러한인수를 라하면 과 는서로다른원소의동반원이아니므로 이다 이와같은과정을되하면, D의아이디얼로이루어진무한열 을얻게된다 이들아이디얼의합집합 은 D의아이디얼이고 D는 PID이므로 인 원소 가존재한다 그런데, b는적당한이데알 에속하고 이때 이므로 으로되어모순이다 따라서, 0도아니고가역원도아닌 D 의원소는모두유한개의곱으로나타내어진다 (ii) 0도아니고가역원도아닌원소 에대하여 는기약원 이라고가정하자 이때 이므로 인기약원 가존재하고 이때이때 과 는 D의극대아이디얼이므로 이다 인가역원 아존재하므로 과 는서로동반원이다 이제 의순서를재조정하여 j=1이라놓으면 이므로 즉 이와같은과정을되하면 따라서 PID이면 UFD 이다 s=t이고또각 가적당한 와동반원임을알수있다 (d) 모든 UFD 는 PID 이다 (False) Z[x] 는 UFD이지만 PID 는아니다 (e) Z[x] 는 UFD 이다 (True) Z가 UFD 이므로 Z[x] 는 UFD 이다 (f) UFD 에속하는임의의두기약원은동반원소이다 (False) Z에서 3과 5는기약원이다하지만 3 5(+1) 또는 3 5(-1) 이다 (g) D 가 PID 이면 D[x] 도 PID 이다 (False) Z는 PID이지만 Z[x] 는 PID 가아니다 즉 인다항식f(x) 가존재하지않 는다 실제로 이라고가정하면 결국 <f(x)>=z[x] 가된다 하지만이때 이지만 이성립하지않는다 따라서 Z[x] 는 PID 가아니다

189 (h) D 가 UFD 이면 D[x] 도 UFD 이다 (True) - ( 정리4529) 참조 - (i) UFD 에서기약원 p 에대하여 p a 이면 p 는 a 의인수분해에서나타난다 는 (False) UFD이고 이지만 는기약원이다 따라서 의인수분해에 2 는나타나지않는다 (j) UFD 는 0 인자를갖지않는다 (True) UFD 는정역이다 따라서 0 인자를갖지않는다 22 D 를 UFD 라하자 D 에서기약이면 D[x] 에서기약임을설명하시오 또한 F 를 D 의분수체라할 때 F[x] 에서기약임을설명하시오 D가 UFD이면 D[x] 는 UFD이므로 D[x] 에서원시적이다 따라서 D에서기약이면 D[x] 에서기약이다 또한 ( 보조정리4527) 에의하여 F[x] 에서기약이다 23 ( 보조정리 4527) 에서 D 가분수체 F 를갖는 UFD 이면, D[x] 의상수가아닌기약원 f(x) 는 F[x] 의기약원임을알수있다 F[x] 의기약원 는 D[x] 의기약원이될필요가없음을예로들어설명하라 라하자 그러면 는 에서기약이지만 에서는기약이아니다 24 이절에서의모든연구는정역으로제한되어있다 단위원을갖는가환환에대하여이절의모든 정의를똑같이택하였을때 에서의기약원의인수분해를생각해보라 무슨일이일어나겠는가? 특 히 (1,0) 을생각해보라 에서는 0 이아니고가역원도아닌원소가기약원으로인수분해된다고볼수없다 왜냐면 은가역원이아니지만 ± 의인수를갖는다 여기서 ± ± 이므로기약이아니다 25 p 가정역 D 의소원이면 p 는기약원임을보여라 p가정역 D의소원이므로일단은 0 과가역원이아닌원소이다 이제 p=ab 라고가정하자 이때 b p, a p이고또 p ab이므로소원의정의에의하여 p a 또는 p b 이다 따라서 p a, a p 또는 p b, b p 이므로 a 또는 b 는 p 의동반원이다 그러므로 p 는기약원이다 26 p 가 UFD 의기약원이면 p 는소원임을보여라 p가 UFD의기약원이면 0 과가역원이아닌원소이다 또한 p=ab라고가정할때 a또는 b는 p의동반원 이다 따라서 또는 이성립한다 그러므로 p 는소원이다

190 27 정역 D 에대하여 a 가 b 의동반원소 ( 즉, D 의가역원 u 에대하여 a=bu) 이면, 관계 a~b 라하면, ~ 이 D 위에서동치관계임을증명하라 ( 반사) a~a 이면 a=1a 이고또한 a =a이므로 a~a 가성립한다 ( 대칭) a~b 이면 D의가역원 u에대하여 a=bu이성립하도 a = 이므로 b~a 가성립한다 ( 추이) a~b, b~c이면 D의가역원 u,v에대하여 a=bu, b=cv 가성립한다 따라서 a=c(vu) 가성립하고 이때 vu는가역원의원소이므로따라서 a~c 가성립한다 따라서 ~ 이 D 위에서동치관계임을알수있다 28 D 를정역이라하고 U 가 D 의가역원의집합일때 (18 장연습문제, 37 번 ) 에서 <U, > 는군이됨 을보았다 0 을제외한 D 의가역원이아닌원소의집합 는곱셈에대하여닫혀있음을보여라 또, 이집합 는 D 의곱셈에대하여군이되는가? (1) ( 닫혀있음) 임의의 에대하여 라고가정하여모순됨을보이자 이면 가존재해서 이성립한다 하지만이는 가가역원이되게하는원소 가존재함을의미하기때문에이는 가가역원이아님에모순이다 따라서 이다 (2) 군이아니다 이지 이다 따라서곱셈에대한항등원 1이존재하지않으므로집합 은군이되 지는않는다 29 D 를 UFD 라하자 D[x] 에속하는원시적다항식의상수가아닌약수도다시원시적다항식임을 보여라 를 에서원시적다항식이라하자 D가 UFD이므로 또한 UFD 이므로다음이성립한다 는기약다항식 는가역원 가원시적다항식이므로 이성립한다 그러므 로 이다 여기서각각의 은 이므로원시적다항 식이고이들의곱셈으로이루어진 의상수가아닌약수를 라하면 이므로 또한원시적다항식임을알수있다 ( 여기서 의최고차항의계수이다)

191 30 PID 에서모든아이디얼은극대아이디얼에포함됨을보여라 임의의정역 D를 PID 라하자 를택할때 인 에대하여 은 인 여기서 이극대아이디얼이아니라고하면 을만족하는 인 D의아이디얼 D 에서의가장작은아이디얼이다 가존재하고 D는 PID이므로 인 가존재함을알수있다 그러한과정을반복하면 와같은 D 의아이디얼의증가열을만들수있다 이때 라정의하면여기서 PID 의상쇄조건(ACC) 에의하여 는유 한길이를갖는다 즉 인 가존재한다 여기서 이므로 가존재해서 이성립한다 그러므로 인아이디얼 가존재하면 임을알수있다 따라서 는 D에서극대아이디얼이고 D 의모든아이디얼은극대아이디얼에포함된다 31 을 에서기약원으로인수분해하고각인자들이기약임을보여라 에서 으로인수분해할수있다 여기서 는기약임이자명하 므로 이 에서기약임을보이면충분하다 보조정리 2317에의하여 은 Q 에서기약이다 만약 이 에서가약이 면 또한 에서가약이다 이는모순이다 그러므로 는 에서기약이다 32 R 를임의의환이라하자 R 의아이디얼의모든증가열 가유한길이를갖는다면 R 에서아이디얼에대한승쇄조건 (ACC) 을만족한다고한다 만약 R 의아이디얼의공 45 집합이아닌모든 집합 S 가 S 의다른아이디얼에완전히포함되지않는아이디얼을가진다면 R 의아이디얼에대한극대조 건 (MC) 를만족한다고한다 R 의각아이디얼 N 에대해 을포함하는 R 의모든아이디얼의공통집합 이 N 이되는유한집합 이존재한다면 R 의아이디얼애대한유한기저조건 (FBC) 을 만족한다고하며, 을 N 에대한유한기저라한다 모든환 R 에대한조건 ACC, MC, FBC 는동치임을 보여라 (1) R의아이디얼의모든증가열 가유한길이를갖는다면 R에서아이디얼에대한승쇄조 건 (ACC) (2) R의아이디얼의공집합이아닌모든집합S가 S의다른아이디얼에완전히포함되지않는아이디얼 을가진다면 R 의아이디얼에대한극대조건(MC) (3) R의각아이디얼 N에대해 을포함하는 R의모든아이디얼의공통집합이 N이되는유한집합 이존재한다면 R 의아이디얼에대한유한기저조건(FBC) [(1)ACC (2)MC] R 의아디디얼에대한승쇄조건(ACC) 을만족하자 여기서 R의아디디얼에대한극 대조건(MC) 을만족하지않는다고가정해서모순됨을보이자 즉, R의아이디얼의공집합이아닌모든집합S가 S 의다른아이디얼에포함된다고하자 그러면 S의

192 임의의아이디얼을포함하는 S 의아이디얼이존재한다 이제 S의한아이디얼을 이라하자 그러면 인 가존재한다 또한마찬가지로이유로 인 가존재한다 이런 과정을반복하면 인아이디얼의무한증가열을얻을수있다 이는 ACC 에모순이다 따 라서 R 의아디디얼에대한극대조건(MC) 을만족한다 [(2)MC (3)FBC] R 의아디디얼에대한극대조건(MC) 을만족한다고하자 여기서 R의아디디얼에대 한유한기저조건(FBC) 을만족하지않는다고가정해서모순됨을보이자 즉, R의각아이디얼 N에대해 을포함하는 R의모든아이디얼의공통집합이 N이되는유한집합 이존재하지않는다고하자 이라하자 그러면 은 을포함하는 N 에포함하는가장작은아이디얼이다 또는 는 N 에대한기저이다 인 을선택할수있다 이제 를 를포함하는 N 에포함하는가장작은아이디얼이자 그러면 이지만 는 N 에대한기저라고할수없으므로 이다 그러면 인 을선택할수있다 그리고 를 를포함하는 N 에포함하는가장작은아이디얼이자 그런과정을반복하면 이유한기저를 갖지않는다는사실로부터우리는 R의아이디얼의무한증가열 을구성할수있다 하지만그러면 는아이디얼의집합이고 에대해각각은서로다른아이디얼 에포함된다 이는 R 의아이디얼에대한극대조건(MC) 에모순이다 따라서 R의아디디얼에대한유한 기저조건(FBC) 을만족한다 [(3)FBC 러면 (1)ACC] R의아이디얼의증가열 이라하자그리고 N 은아이디얼의합집합이므로아이디얼임은자명하다 이라하자 그 이제 을 N 에대한유한기저라하자 그리고 라하자 을첨자 의극대값이 라하면 이성립한다 여기서 이고 은 을포함하는모든아이디얼의교집합이다 그러면 이다 그러므로 이성립한다 따라서 R에서아이디얼에대한승 쇄조건(ACC) 를만족한다 33 R 를임의의환이라하자 R 에서아이디얼의모든감소열 가유한길이를갖는다면 R 의아이디얼에대한감쇄조건 (DCC) 을만족한다고한다 R 의아이디얼의임의의집합 S 에대하여집합 S 에속하는다른아이디얼을완전히포함하지않는 S 의아이디얼이존재한다면 R 의아이디얼에대한 극소조건 (mc) 을만족한다고한다 모든환에대한조건 DCC 와 mc 는동치임을보여라 (1) R에서아이디얼의모든감소열 가유한길이를갖는다면 R의아이디얼에대한감쇄조 건 (DCC) (2) R의아이디얼의임의의집합S에대하여집합 S에속하는다른아이디얼을완전히포함하지않는 S 의아이디얼이존재한다면 R 의아이디얼에대한극소조건(mc) [(1)DCC (2)mc] R 의아디디얼에대한감쇄조건(DCC) 을만족한다고하자 여기서 R의아디디얼에 대한국소조건(mc) 을만족하지않는다고가정해서모순됨을보이자 즉 R의아이디얼의임의의집합S에대하여집합 S 에속하는다른아이디얼에포함된다고하자 그러면 S의임의의아이디얼에속하는 S 의아이디얼이존재한다 이제 S의한아이디얼을 이라하자 그러면 인 가존재한다 또한마찬가지로이유로 인 가존재한다 이런과정을반복하면 인아이디얼의무한감소열을얻을수있다

193 이는 R 의아이디얼에대한감쇄조건(DCC) 에모순이다 그러므로 R 의아디디얼에대한극소조건(mc) 을 만족한다 [(2)mc (1)DCC] 을만족하는 R의아디디얼의열을 라하자 그리고 라하자 극소조건(mc) 임에의하여 S의어떤원소 은집합 S에속하는다른 아이디얼을완전히포함하지않는다 그러면 이므로따라서 R의아이디얼에대 한감쇄조건(DCC) 을만족한다 34 ACC 는성립하지만 DCC 는성립하지않는환의예를들어라 ( 문제 32 와 33 을보라 ) Z는 PID이므로 ACC 를성립한다 하지만 는아이디얼의열이고 와같은무한감소열임을알수있다 따라서 DCC는 Z 에서성립하지않는다

194 Fraleigh 대수 46 장유클리드정역 (ED) 문제 1-5 에서주어진정역애대해다음함수 가유클리드부치가되는가를설명하라 1 Z 에서 0 이아닌 에대하여 으로정의된함수 (1) 임의의 에대하여 이성립함을알수있다 (2) 임의의 에대하여 인원소 따라서 q,r Z 이존재한다 (1),(2) 에의하여 는유클리드부치가된다 2 Z[x] 에서 인 에대하여 의차수 로정의된함수 (1) 임의의 에대하여 이성립함을알수있다 하지만 (2) 일때 인 이지만 이다 따라서 (2) 조건이성립하지않으므로 는유클리드부치가아니다 3 에서 0 이아닌 에대하여 의 이아닌최고차항의계수의절대치 로정의된함수 (1) 임의의 에대하여 이성립함을알수있다 하지만 (2) 일때 인 존재하지만 이다 따라서조건(2) 를만족하지않으므로 는유클리드부치가아니다 4 Q 에서 0 이아닌 에대하여 으로정의된함수 (1) 임의의 에대하여 이다 따라서조건(1) 를만족하지않으므로 는유클리드부치가아니다

195 5 Q 에서 0 이아닌 에대하여 으로정의된함수 (1) 임의의 에대하여 이성립함을알수있다 (2) 임의의 에대하여 Q가체이므로 인원소 따라서 q,r Q 이존재한다 (1),(2) 에의하여 는유클리드부치가된다 6 ( 예제 4611) 을참고로하여 일때 gcd 23 을 의형태로표현하라 [ 힌트 : ( 예제 4611) 의계산끝에서둘째줄에의해 23=(138)3-391 이며, 바로그위줄에서 138=3,266-(391)8 이다 따라서, 이식을대입하면 23=[3,266-(391)8]3-391 을얻는다 이런식으로거 꾸로계산하여, 와 의값을구한다 23=(138)3-391 이고 138=3,266-(391)8이므로 23=(3,266-(391)8)3-391=3(3,266)-29(391) 이고여기서 391=3,266-(2,875) 을대입하면 23=3(3,266)-29(3,266-(2,875))=-26(3,266)+29(2,875) 이다 끝으로 2875=22471-(3266)6을대입하면 23=-26(3,266)+29(22,471-(3,266)6)=200(3,266)+29(22,471) 임을알수있다 따라서 임을알수있다 7 Z 에서 49,349 와 15,555 의 gcd 를구하라 49,349=3(15,555)+2,684 15,555=5(2,684) ,684=1(2,135)+549 2,135=3(549) =1(488) =8(61)+0 따라서구하고자하는 49,349와 15,555의 gcd는 61 이다 8 ( 문제 6) 의개념과 ( 문제 7) 을참고하여 Z 에서 49,349 와 15,555 의양의 gcd 를 의형태로표현하라 61=549-1(488) 에 2,135-3(549)=488를대입하면 61=549-1( 2,135-3(549))=-(2,135)+4(549) 이고 이에 2,684-1(2,135)=549를대입하면 61=-(2,135)+4(2,684-1(2,135))=-5(2,135)+4(2,684) 이고 이에 15,555-5(2,684)=2135을대입하면 61=-5(15,555-5(2,684))+4(2,684)=-5(15,555)+29(2,684) 이고 이에 49,349-3(15,555)=2,684를대입하면 61=-5(15,555)+29(49,349-3(15,555))=-92(15,555)+29(49,349) 임을알수있다 따라서 임을알수있다 에대하여

196 9 에서 과 gcd 를구하라 의 따라서 이다 10 유클리드정역의원소 의 n 개의원소의최대공약수를유클리드호제법사용법을통하여 설명하시오 의최대공약수를 d라할때 를만족하는 가존재한다 11 ( 문제 10) 을통하여발견한방법을통하여 2178, 396, 792 그리고 726 의최대공약수를찾아라 gcd(2178, 396, 793, 726)=66 12 Z[x] 에대해생각해보자 (a) Z[x] 는 UFD 인가 그이유는? Z는 UFD이므로 Z[x] 는 UFD 이다 (b) 는 Z[x] 의아이디얼인가? 라정의하고 I가 Z[x] 의아이디얼임을보이자 임의의 에대하여 가존재해서다음을만족한다 이때 ( ) 또한, 임의의 ( ) 와임의의 ( ) 에대하여 ( ) 이성립한다 따라서 I가 Z[x] 의아이디얼임을알수있다

197 (c) Z[x] 는 PID 인가? ((b) 를참고하라 ) 아니다 인 f(x) Z[x] 가존재하지않는다 실제로 이기위해 서는 f(x) 는 1 이어야한다 f(x) 가 1 이면결국 <f(x)>=z[x] 가된다 하지만이때 이 성립하지않는다 이유인즉 x+2는 Z[x] 의원소이지만 의원소는아니기때문이다 (d) Z[x] 는유클리드정역인가? 그이유는? Z[x] 는 PID 가아니다 따라서 ED 가아니다 13 참과거짓을말하여라 (a) 모든유클리드정역은 PID 이다 (True) 임의의정역D를 ED라하고 를유클리드부치라하자 또한 I를 D 아이디얼이라하자 I={0} 이면 I=<0> 인주아이디얼이므로 I {0} 이라하자 이때 라하면자연수의정렬성의원리에의하여최소원소 가존재한다 이때 이고유클리드부치의정의에의하여 임의의 에대하여 또는 여기서 이므로 이고 의최소성에의하여 r=0 이성립하는 가존재한다 r=0 이다 따라서 이다 그러므로 이다 따라서 ED이면 PID 이다 (b) 모든 PID 는유클리드정역 (ED) 이다 ( 반례) (False) 는 이고 따라서 는정역이다 한편 는 PID이지만 ED 는아니다 (Montzkin[42], Wilson[58] 참조) (c) 모든유클리드정역은 UFD 이다 (True) 임의의 ED는 PID이고 PID이면 UFD 이다 따라서 ED이면 UFD 이다 (d) 모든 UFD 는유클리드정역이다 (False) UFD는 PID 가아니다 PID가아니면 ED 가아니다 그러므로 UFD는 ED 가아니다

198 (e) Q 에서 2 와 3 의 gcd 는 이다 Q에서 (True) (1) (2) 따라서 2와 3의최대공약수는 이다 * Q 가체이므로최대공약수는무의미하다? 는생각이듬!! 왜냐면유일하지않으니까 (f) 유클리드호제법은두정수의 gcd 를구하기위한실질적방법이다 (True) 유클리드호제법에의하여쉽게두정수의최대공약수를찾을수있으므로실질적인방법이라고볼수 있다 ( 정리469) 참조!! (g) 가유클리드정역 D 의유클리드부치이면 0 이아닌모든 에대하여 이다 (True) 가유클리드부치이므로정의에의하여다음이성립한다 (h) 가유클리드정역 D 의유클리드부치이면 0 이아닌모든 에대하여 이다 (False) 가유클리드부치이므로정의에의하여다음이성립한다 a가가역원인경우 을만족하는 a' 이존재한다 따라서 이성립한다 (i) 가유클리드정역 D 의유클리드부치이면 0 이아니고가역원도아닌모든 에대하여 이다 임의의 (True) 0이아니고가역원도아닌모든 에대하여 이라가정해서모순됨을보이자 D가 ED이므로유클리드호제법에의하여 또는 이성립하는 가존재 한다 여기서 이성립하면이는 임에모순된다 따라서 이고 가된다 이는 가가역원이아님에모순된다 그러므로 이다 (j) 임의의체 F 에대하여 F[x] 는유클리드정역이다 (True) 단 이라하면다음이성립하여 는유클리드부치이다 (1) 임의의 에대하여 이성립 한다 (2) 임의의 에대하여 인 가존재한다 그러므로 는 ED 이다

199 14 유클리드정역 D 의연산구조는특정한유클리드부치 의선택에어떤방법으로영향으로미치 는가? 그이유는? 유클리드정역 D의연산구조는특정한유클리드부치 의선택에영향을미치지않는다 정역 D의연 산구조는덧셈과곱셈에관한이항연산에의해서완전히결정된다 유클리드부치 가존재한다면유클 리드부치 를통해연산의구조를이해하는데도움을줄수는있지만유클리드부치 의선택에연산 구조가어떤방법으로영향을미친다고볼수없다 즉, 유클리드부치 의선택은유클리드부치가되 기위한두가지조건에만부합하면어떤값을같던지연산구조와상관없이선택할수있다 15 D 를유클리드정역, 그리고 를 D 의유클리드부치라고하고 a 와 b 가 D 에서동반원소이면 임을보여라 을유클리드부치라하고 a와 b 가동반원소라하자 그러면 은가역원 이성립한다 따라서 이다 16 D 를유클리드정역, 그리고 를 D 의유클리드부치라하자 0 이아닌 에대해 일필요충분조건은 b 가 D 의가역원이아님을보여라 [ 힌트 : ( 문제 15) 을이용하여 일필요충분조건은 b 가 D 의가역원이아님을보여라 유클리드 호제법을이용하여 에서 임을보인다 따라서, b 가가역원이아니면, 임으로결론짓는다 ] ( ) 대우증명한다!! b가가역원이라가정하자여기서 b가가역원이면 a와 ab 는동반원이다 그러면 ( 문제15) 번에의하여 이다 ( ) b 가가역원이아니라고하자 또한유클리드부치의정의에의하여 을부정해서 이라가정해서 임을보여가정에모순됨을보인다 가성립하므로 가성립한다 유클리드호제법에의하여 인 가존재한다 여기서 이면 이므로 이성립한다 b가가역원이아니므로 이성립한다 이는모순이다 이고따라서 그러므로 이다 그러면 이고 이성립해서 임을알수있다 따라서 이성립한다 그러면 는동반원이다 이는 b 가가역원이아님에모순이다 따라서 이다

200 17 다음명제가참이면증명하고, 거짓이면반례를들어라 가유클리드정역 D 의유클리드부치 이면 은 거짓이다 ( 반례) 이라하자 D 의아이디얼이다 이지만 이성립한다 따라서주어진집합은덧셈에관한연산에닫혀있 지않기때문에 Z 의아이디얼이아니다 18 모든체는유클리드정역임을증명하라 임의의 에대하여유클리드부치를 라정의하면 (1) 임의의 에대하여 가성립한다 (2) 임의의 에대하여 인 가존재한다 따라서유클리드부치가존재하므로임의의체는 ED 이다 19 가유클리드정역 D 의유클리드부치라하자 (a) 이고 이면 0 이아닌모든 에대하여 로정의된 는 D 의유클리드부치임을보여라 여기서 는 D 의 0 이아닌원소들의집합이다 임의의, 에대하여 이므로 가성립한다 또한 가유클리드부치이므로다음이성립한다 (1) 임의의 에대하여 이성립한다 (2) 임의의 에대하여 인 가존재한다 (b) 에대해 보여라 o 이아닌 에서 로정의된 는 D 의유클리드부치임을 이므로 >0 이성립한다 또한 가유클리드부치이므로다음이성립한다 (1) 임의의 에대하여 이성립한다 (2) 임의의 에대하여 인 가존재한다

201 (c) 0 이아니며가역원도아닌모든 에대하여 이면 인 존재함을보여라 이라하자 그러면 (b) 에의하여 는유클리드부치이다 그리고 라하자 그러면 (a) 에의하여 또한유클리드부치이다 여기서 이라하자 그러면 이성립함을알수있어주어진조건을만족한다 이제 0이아니며가역원도아닌임의의 에대하여 따라서 인 D 의유클리드부치가존재함을알수있다 D 의유클리드부치가 20 D 를 UFD 라하자 D 의원소 c 에대하여, 만약 a c, b c 이며, c 가 a 와 b 를둘다나누는모든 D 의원소 c 를두원소 a 와 b 의최소공배수 (lcm) 라한다 유클리드정역 D 의 0 이아닌두원소 a 와 b 는 D 에서 lcm 을가짐을보여라 [ 힌트 : a 와 b 의모든공배수는 D 의아이디얼을이룸을보여라 ] 인 가존재함을보인다 는 를포함하고 의배수들을원소로갖는 아이디얼이고 는 를포함하고 의배수들을원소로갖는아이디얼이다 또한아이디얼의교집합 은아이디얼임이므로 는아이디얼이다 여기서 이므로 임은자명하게알수있다 또한주어진조건에서 D는 ED이므로 PID 이다 따라서 인, 가존재한다 여기서 는주아이디얼의정의에의 하여 의배수들과 의배수들의교집합의가장작은원소이다 따라서위의정의 [ 만약 a c, b c이 며, c가 a와 b를둘다나누는모든 D의원소 c를두원소 a와 b 의최소공배수(lcm) 라한다] 가성립 하여 c 가최소공배수가됨을알수있다 21 ( 정리 469) 의마지막명제를사용하여두개의 0 이아닌 가군 를생성할필요충 분조건은 r 와 s 가 ( 정역 Z 에속하는정수로간주하여 ) 서로소, 즉 gcd 가 1 을가짐을보여라 ( ) 임의의 에대하여 이라하자 임은자명하므로 임을보인다 임의의 에대하여 ( 정리 469) 의마지막유클리드호제법에의해 를만족하는 가 존재하고그러면 이성립한다 따라서 임을알수있다 ( ) 이므로 에대하여 가존재해서 을만족한다 이제 1이 의최대공약수임을보이자 (1) 임은자명하다 (2) 따라서 이다

202 22 ( 정리 469) 의마지막명제를사용하여 0 이아닌 에대해합동방정식 는 a 와 n 이서로소일때 Z 에서해를가짐을증명하라 이라하자 그러면 을만족하는 가존재한다 양변에 를곱하면 이고 이다 이로부터 가 의하나의해가될수있음을알수있다 그러므로 는 Z 에서해를가진다 23 ( 문제 22) 를일반화하여 0 이아닌 에대해합동방정식 가 질필요충분조건은 Z 에서 a 와 n 의양의 gcd 가 b 를나눔을증명하라 이결과를환 에서해석해보아라 Z 에서해를가 이면 ( 문제22) 번에의하여자명하므로 이경우에한하여성립하는지보이 자 ( ) 이라하자 그러면 을만족하는 가존재한다 양변에 를곱 하고 로나누면 이고 는 a, n이최대공약수이므로 이성립한다 이로부터 가 의하나의해가될수있음을알수있다 그러므로 는 Z 에서해를가진다 ( ) 이라하자 가해를갖는다면 인 가존재한다 그러면 가성립해서 이므로 가성립한다 환 에서말한다면 [0이아닌 에대해일차방정식 가 에서해를가질필요충분조건은 에서 a와 n의 양의 gcd가 b 를나눌수있어야한다] 로볼수있다

203 24 ( 문제 6) 와 ( 문제 23) 의개념에따라 0 이아닌 에대해합동방정식 가해를 갖는다면 Z 에서해를구하는실질적방법을개괄적으로설명하고, 이방법을이용하여합동방정식 의해를구하라 (1) 유클리드호제법에의하여 a, n의최대공약수 d 를찾는다 (2) 을만족하는 를찾고 의형태로표현한다 (3) 는 의해가된다 의경우에위의방법을적용하면 라하자 이제 (1) 22,42 의최대공약수를찾는다 42=1(22)+20 22=1(20)+2 20=10(2)+0 따라서최대공약수는 2 이다 (2) 2=22-1(20)=22-(42-22)=2(22)-42 가성립한다 따라서 이다 (3) 그러면 임을알수있다 그러므로구하고자하는해는 이다

204 Fraleigh 대수 47 장가우스정수와승법노름 문제 1~4 에서가우스정수 에속하는기약원의곱으로인수분해하라 [ 힌트 : 의기약인인수는노름을 1 보다크게가지고 를나누기때문에주어진 의가능한기약인수로간주되는가우스정수 는유한개만이존재한다 에서 를그들각각으로나누고그몫이다시 에속하는가를알아보라 1 5 이므로 이어야만한다 (1) 이면 는 의가역원이다 (2) 이면 이 의가역원이다 (3) 일때 이면 이므로 ± ± ± ± 이다 이고여기서 은 이므로노름이 로기약원이다 5인소수이므 2 7 이므로 이어야만한다 (1) 이면 는 의가역원이다 (2) 이면 이 의가역원이다 (3) 일때 이면 이다 하지만 을만족하는정수해는존재하지않는다 따라서 7은 에서기약원이다 3 이므로 이어야만한다 (1) 이면 는 의가역원이다 (2) 이면 이 의가역원이다 (3) 일때 이면 이므로 ± ± ± ± 이다 여러가지경우를통하여 임을알수있다 여기서 의노름이각각 5 인소수이므로기약원이다 4 - 생략

205 5 6 은 에서유일하게 ( 동반원에관계없이 ) 기약원들로인수분해되지않음을보여라 두개 의서로다른인수분해를나타내보여라 (1) 와 은정수해를갖지않으므로 2와 3은둘다 에서기약원이다 (2) 를기약원이아니라면 가가역원이아니고 가가역원이아닐때 이성립한다 이고 일때는해를갖지않으므로 이다 그러면 또는 은가역원이다 이는모순이다 따라서 은기약원이다 (3) 에서가역원은 ± 뿐이다 하지만 2도 3 도 ± 가아니므로 은 UFD 가아니다 (4) 따라서 은서로다른인수분해이다 6 에속하는 와 를생각해보자 이며 를만족하는 에속하는 와 를구하라 [ 힌트 : 문제 14 의힌트에서주어진구성방법을이용하라 ] 이라고하면 이고 이다 따라서 이다 7 의유클리드호제법을사용하여 에서 와 의 를구하여라 (1) 이라고하면 (2) 이라고하면 따라서 와 의 는 이다 그밖에최대공약수로는단원인 ± 을곱한 도될수있다

206 8 참, 거짓을판정하라 (a) 는 이다 True 는 ED이고 ED는 PID이므로 는 PID 이다 (b) 는유클리드정역이다 True 에대하여 이라고정의하면, 임의의 에대하여다음이성립한다 특히각 에대하여 이므로함수 가정의되고또다음이성립한다 이제 에대하여 이라고하고 를각각유리수 에가장가까운정수라고하자 즉 이때 이라고하면 이고또다음이성립한다 따라서 이므로 은 이다 (c) 에속하는모든정수는가우스정수이다 True 를가우스정수들의집합이라하자 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 Z 에속하는모든정수는가우스정수이다 (d) 모든복소수는가우스정수이다 F 이므로 이다 따라서모든복소수가가우스정수인것은아니다 (e) 에서유클리드호제법이성립된다 는 T ED 이므로유클리드호제법이성립한다

207 (f) 정역의승법노름은때때로정역의기약원을구하는데도움이된다 T [ 정리 477] 에의하여때때로정역의승법노름은때때로정역의기약원을구하는데도움이될수있음을알수있다 (g) 이정역 의승법노름이면 의모든가역원 에대하여 이다 T 를승법노름 을갖는정역이라하면 이고 이므로 이다 또한 가 의가역원이면 이고 는음이아닌정수이므로 이다 (h) 가체이면 의차수 로정의된함수 은 위에서승법노름이된다 F 이지만 이다 (i) 가체이면 에대하여 의차수 이고, 로정의된함수는정의에의하 여 에서승법노름이다 T (a) 임의의 에대하여 의차수 이다 (b) 의차수 (c) 임의의 에대하여 이다 따라서 은 위에서승법노름이된다 (j) 는정역이지만 는아니다 T (a) 은정역이다 ( 은 0과 1 을포함하는복소수의부분집합이므로정역임은당연하다) (b) 는 가아니다 ( (1) 와 은정수해를갖지않으므로 2와 3은둘다 에서기약원이다 (2) 를기약원이아니라면 가가역원이아니고 가가역원이아닐때 이성립한다 이고 일때는해를갖지않으므로 이다 그러면 또는 은가역원이다 이는모순이다 따라서 은기약원이다 (3) 에서가역원은 ± 뿐이다 하지만 2도 3 도 ± 가아니므로 은 UFD가 아니다 )

208 9 를 에대하여 이될필요충분조건이 가 의가역원임을만족하는승법노름 을갖는정역이라하자 가 에대하여 을만족하는 중에서 가최소가되는원 소라하면 는 의기약원임을보여라 라하면 을얻게된다 이때 이고 이라고하면 또는 이므로가정에서 가 이최소가되는원소라는가정에모순된다 따라서 또는 이다 이는조건에의하여필요충분하게 가 의가역원이거나 가 의가역원이다 그러므로 는 의기약원이다 10 (a) Show that 2 is equal to the product of a unit and square of an irreducible in Z[i] - 생략 - (b) Show that an odd prime p in Z is irreducible in Z[i] iff p 3(mod4) (Use Thm 4710) - 생략 - 11 보조정리 472 를증명하라 라할때 (1) (2) (3) 따라서 [ 보조정리 472] 는성립한다 12 예제 479 의 이승법즉, 에대하여 임을증명하라 에대하여 이성립함을알수있다

209 13 를 에대하여 이될필요충분조건은 가 의가역원임을만족하는승법노름 를갖는정역이라하자 0 이아니고가역원도아닌모든 의원소는 의기약원으로인수분해됨을 보여라 라하자 수학적귀납법에의하여증명한다 (1) 인경우 2가소수이므로정리 477에의하여 자신이기약원이다 (2) 에서모든 의원소는기약원으로인수분해된다고가정하자 그리고 라고 하자 만약 가기약원이면당연하다 가기약원이아니라면 ( 단, 는둘다가역원이아니다) 이라둘수있다 그러면 이고 이므로 이다 즉 이다 가정에의하여 는기약원으로인수분해된다 따라서이둘의곱은 또한기약원으로인수분해됨을알수있다 14 의유클리드호제법을사용하여 에서 와 의 를구하여라 [ 힌트 : 정리 474 의증명에서의모순을사용한다 ] [ 문제7] 번과같은방법으로 (-생략-) 따라서 이다 그밖에최대공약수로 도될수있다 15 를 에서 0 이아닌주아이디얼이라하자 (a) 가유한환임을보여라 [ 힌트 : 호제법을이용하라 ] 정역 에대해서주아이디얼 에의한 이환임은당연하다 이제유환환임을보이자 임의의 에대하여 가 UFD이므로 유클리드호제법에의하여 를만족한다 그러면 이므로 그러므로 에의한모든잉여류는 보다작은노름을갖는다 에서 보다작은노름을갖는원소가유한개뿐이므로 따라서 은유한환이다 (b) 가 의기약원이면 는체임을보여라 가 PID 이므로다음은서로동치이다 가 의기약원이다 는 의극대아이디얼이다 는체이다

210 (c) b) 를참고로하여다음각체들의위수와표수를구하라 ⅰ) 위수는 9이고표수는 3 이다 ⅱ) 위수는 2이고표수는 2 이다 ⅲ) 위수는 5이고표수는 5 이다 16 를어떤소수의제곱으로나누어지지않는수 ( 이런수를 square free 라한다 ) 라할때 라하자 (a) 에대하여 으로정의된노름 이 에서승법노름임을보여라, 에대하여 (1) 임은당연하다 (2) 임을알수있다 (3) 임을알수있다 따라서노름 이 에서승법노름이다 (b) 에대하여 일필요충분조건은 가 의가역원임을보여라 ) 에대하여 이면 일때 이다 그러면 ± 또는 ± 이다 (1) ± 인경우 ± 은 의가역원이므로 는 의가역원이다 (2) ± 인경우 은가우스정수이므로유클리드정역이다 따라서 이면 는 의가역원이다 ) 이면 이고 는양의정수이므로 이다

211 (c) 가역원도아니고 0 이아닌모든 은 에서기약원으로인수분해를가짐을보여 라 [ 힌트 : b) 를이용하라 ] (a),(b) 에의하여 은승법노름 을갖는다는사실과 라는사실을알수 있다 그러면 [ 문제13] 에의하여가역원도아니고 0이아닌모든 은 에서기약원 으로인수분해를가짐을알수있다 17 에속하는 에대하여 으로정의된 을갖는 에대하여문제 16 을반복하라 (a) 에대하여 으로정의된노름 이 에서승법노름임을보여라, 에대하여 (1) 임은당연하다 (2) 임을알수있다 ( ⅰ) 이면 이다 ( ⅱ) 이면 이다 하지만이는 이제곱수가아닌가정에모순이다 따라서 이다 (3) 임을알수있다 따라서노름 이 에서승법노름이다 (b) 에대하여 일필요충분조건은 가 의가역원임을보여라 ) 에대하여 이면 일때 이다 즉, ± 이다 그러면 따라서 는가역원이다 ) 이면 ± 이고 이다 이고 는양의정수이므로 이다

212 (c) 가역원도아니고 0 이아닌모든 은 에서기약원으로인수분해를가짐을보여라 [ 힌트 : b) 를이용하라 ] (a),(b) 에의하여 은승법노름 을갖는다는사실과 라는사실을알수있 다 그러면 [ 문제13] 에의하여가역원도아니고 0이아닌모든 은 에서기약원으로 인수분해를가짐을알수있다 18 에서이정역의 0 이아닌원소 에대하여 로정의하면 에대하여호제 법이성립됨을정리 474 의증명에있어서모순됨을이용하여보여라 ( 문제 16 참조 ) ( 따라서, 이들 정역은유클리드정역이다 정역 an 와 이유클리드정역임을 Hardy 와 Wright [29] 에 잘설명되어있다 ) 이 ED 임을보이면충분하다 에대하여 이라고정의하면, 임의의 에대하여다음이성립한다 특히각 에대하여 이므로함수 가정의되고또다음이성립한다 이제 에대하여 이라고하고 를각각유리수 에 가장가까운정수라고하자 즉, 이때 이라고하면 이고또다음이성립한다 따라서 이므로 은 이다

213 Fraleigh 대수 29 장확대체의소개 문제 1~5 에서 를만족하는 를찾음으로서주어진수 가 위에서대수적임을보여라 1 일때 이고여기서양변을제곱하면 이다 이를정리하면 을얻는다 따라서 임을알수있다 2 일때 이고여기서양변을제곱하면 이다 이를정리하면 을얻는다 또한이를양변제곱하면 이다 이를정리하면 이고따라서 임을알수있다 3 일때 이고여기서양변을제곱하면 이다 이를정리하면 을얻는다 따라서 임을알수있다 4 일때양변을제곱하면 이다 이를정리하면 이고이를양변세제곱하면 을얻는다 따라서 임을알수있다 5 일때양변을제곱하면 이다 이를정리하면 이고이를양변세제곱하면 을얻을수있다 여기서양변제곱하여정리하면 을얻는다 따라서 임을알수있다

214 문제 6~8 에서주어진대수적수 에대하여 와 를구하라 또한다항식이 위에서기약임을보여라 6 일때양변을제곱하면 이다 이를정리하면 이고이를양변 제곱하면 이고이를정리하면 이다 이제 이라하면 는 이므로 Eisenstein 판정법에의하여 위에서 기약이다 따라서 이고 이다 7 일때양변을제곱하면 이다 이를정리하면 이고이를 양변제곱하면 이다 여기서양변에 9를곱하고정리하면 이다 이제 이라하면 는 이므로 Eisenstein 판정법에의하여서기약이다 따라서 이고 이다 위에 8 일때 이고이를양변제곱하면 이다 이를정리하면 이고이를양변제곱하면 이다 이를정리하면 이다 이제 이라하면 는 위에서기약이다 ( (1) 일차항을인수로갖지않는다 상수항 ( 의약수 : ± ± ± 이지만첫째항 ±, ±, ± 이므로 위에서일차항을인수로갖지않는다 ) (2) 이차항을인수로갖지않는다 ( 이차항을인수로갖는다면 이차항 이차항 의꼴이다 그러면 이다 즉, 이다 하지만 를 근으로갖는이차방정식은존재하지않는다 이는모순이다 따라서이차항을인수로갖지않는다) (1),(2) 로부터 는 위에서기약이다 ) 따라서 이고 이다

215 문제 9~16 에서주어진 가주어진체위에서대수적인지초월적인지를분류하라 만약, 가 위에서대수적이면 를구하라 9 대수적이고이때 이다 10 대수적이고이때 이다 11 초월적이다 12 대수적이고이때 이다 13 대수적이고이때 이다 14 초월적이다 15 대수적이고이때 이다 16 대수적이고이때 이다

216 17 예제 2919 를참고하여, 다항식 은 에서근 를가지며 에서일차인수들의곱으로인수분해되어야한다 이인수분해를구하라 [ 힌트 : 임을이용하여 을 로나누어라 ] 이라할때 라하자 이라할때 이므로따라서 는 을인수로갖는다 따라서 으로인수분해된다 여기서 이다 ( 이면 인조건으로부터 이되어모순이다 ) 18 다항식 이 에서기약임을보여라 인평가준동형사상이라하자 그러면 에대하여 을만족한다 따라서 은 에서기약이다 가 의확대체에서 의근이라하자 예제 2919 에서처럼 그 리고 의순서로쓰여진 의 9 개원소들의곱셈과덧셈연산표를만들어라 에의하여 은 에서기약이므로 이다 또한조건에의하여 이다 이때 9 개의원소들의곱셈과덧셈연산표는다음과같다

217 문제 19~22 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 19 An element of an extension field of a field if algebraic over iff is a zero of some polynomial 어떤다항식에대한구분이명확하지않다 따라서옳은정의로는 가체 의확대체일때 가 위에서대수적일필요충분조건은 가 상의다항식 이존재해서 을만족하는것이다 20 An element of an extension field of a field is transcendental over iff is not a zero of any polynomial in 가체 의확대체일때 가 위에서초월적일필요충분조건은 가 상의임의의다항식 에대하여 을만족하는것이다 따라서주어진표현은옳은표현이다 21 A monic polynomial in is one having all coefficients equal to 1 모든계수가 1 인다항식을말하는것이아니라 최고차항의계수가 1 인다항식을말한다 즉, 상에서모닉다항식은최고차항의계수가 1 인다항식을말한다 22 A field is simple extension of a subfield iff there exists some such that on proper subfiled of contains 를포함하는 의진부분체가아니라 가부분체 와 를포함하는최소의체와같아야한다 즉, 체 가부분체 의단순확대체일필요충분조건은 를만족하는 가존재하는것이 다 23 참, 거짓을판정하라 수 는 위에서초월적이다 T 는 의단순확대체이다 T 이므로 는 의단순확대체이다 체 의모든원소는 위에서대수적이다 T 임의의 에대하여 이다 따라서체 의모든원소는 위에서대수적이다

218 는 의확대체이다 T 임은자명하고둘다표수가 0인체이므로 는 의확대체이다 는 의확대체이다 F 를 의확대체하고하자 그러면 의표수는 의표수와같다 그러면 가된다 이는모순이다 따라서 는 의확대체가아니다 가 위에서차수 인대수적인원소라하자 만약 0 이아닌 에대해 이면 이다 T 에대하여 일때 를포함하는최소차다항식을 라하면 에 대하여 이면 을만족한다 따라서 이다 가 위에서차수가 인대수적인원소라하자 만약 0 이아닌 에대해 이 면 이다 F 는 위에서 2차인대수적인원소이지만 에대해 이지만 이다 에속하는상수가아닌모든다항식은 의적당한확대체에서근을갖는다 T 를 의대수적폐체라고하자 그러면 인 에대해 을만족하는 인 이존재한다 따라서 는 의적당한확대체 에서근을갖는다 에속하는상수가아닌모든다항식은 의모든확대체에서근을갖는다 F 일때 인확대체 에서 은근을갖지않는다 만약 가부정원이면 이다 T 만약 가부정원이라할때, 로정의된전사인평 가준동형사상이라하자( 전사임과준동형사상은자명하다) 또한 이다 ( 이라 가정하면 인 에대하여 이다 하지만 에서 는초월적이므로 인가정에모순이다) 따라서 이다

219 24 앞에서 와 가 위에서초월적임을증명없이진술만하였다 가 위에서차수 3 인대수적인원소가되도록 의부분체 를구하라 이다 ( 이고 ) 이 위에서차수 5 인대수적인원소가되도록 의부분체 를구하라 이다 ( 이고 ) 25 이 위에서기약임을보여라 인평가준동형사상이라하자 그러면 에대하여 을만족한다 따라서 은 위에서기약이다 를 의확대체에서 의하나의근이라하자 실제로인수분해해보임으로서 이 에서일차인수들로인수분해됨을보여라 [ 힌트 : 의모든원소는 에대해 의형태이다 을 로나누면그몫도 에서군을가짐을 의여덟개의원소를조사해봄으로서보이고인수분해를완성하라 ] 이라할때 가 의하나의근이므로 을만족한다 다른근을 라하면 ⑴ 인경우, 이므로근이아니다 ⑵ 인경우, 이므로근이아니다 ⑶ 인경우, 이므로조건에의해근이다 ⑷ 인경우, 이므로근이다 ⑸ 인경우, 이므로근이아니다 ⑹ 인경우, 이므로근이아니다 ⑺ 인경우, 이므로근이아니다 ⑻ 인경우, 이므로근이다 따라서 으로인수분해될수있다

220 26 를 의확대체그리고 를 위에서차수가 3 인대수적인원소라하자 유한생성된가 환군의기본정리를따라군 와 을분류하여라 단, 는 의 0 이 아닌원소들의집합이다 는유한인가환군이다 또한 이므로유한생성된가환군의기본정리에의하여 임을알수있고 는위수 7인가환군이므로순환군 과동형이다 27 를체 의확대체그리고 가 위에서대수적이라하자 를 위에서 에대한최소차다항식이라고한다 이용어가왜적당한가그이유를설명하라 적당하다 그이유는 을대입했을때 0 이되는최소차수다항식이기때문이다 28 - 생략 - 29 를 의확대체, 그리고 라하자 가 위에서초월적이지만 위에서대수적이라 가정하면 는 위에서대수적임을보여라 (1) 기 에서대수적이라가정하자그러면 는 위에서의대수적확대체이다 가대수적확대체이므로 는 의대수적확대체이다 는 의대수적확대체이고 는 위에서의대수적확대체이다 는 위에서의대수적확대체이다 대수적확대체의정의에의하여 는 에서대수적확대체이다 이는모순이다 그러므로 는 에서초월적이다 (2) 는 에서초월적이므로 이다 가정에의하여 기 에서대수적이므로 이다 이제 이라고두자 그러면 ( 단, ) 위의식을 β 에관하여정리하면 이제 라두자 그러면 이고또한 이다 따라서 는 에서대수적이다

221 30 를 개의원소를갖는유한체 의확대체, 그리고 는 위에서차수 인대수적인원소라하자 는 개의원소를가짐을보여라 체 와 인확대체 에대하여 이고 이므로 이다 여기서 는서로일차독립이므로따라서 이다 31 에서차수 3 인기약다항식이존재함을보여라 라할때 이므로 는일차항을인수로갖지않는다 따라서 에서기약다항식 가존재함을알수있다 로부터 27 개의원소를갖는유한체가존재함을보여라 [ 힌트 : 문제 30 를이용하라 ] 의원소의개수는 3개이고 로부터차수 3 인기약다항식이존재함을알수있다 가존재해서 을만족한다 는 의유한확대체이고차수는 이다 문제 따라서 30에의하여 개의원소를갖는다 27 개의원소를갖는유한체가존재함을알수있다 32 표수 인소체 에대하여생각해보자 에대하여 의모든원소가 의원소의제곱이아님을보여라 [ 힌트 : 에서 이다 헤아림에의해원하는결론을유추하여라 ] 인군준동형사상을생각해보자 그러면 이므로 이다 즉, 이다 따라서 의원소중에는 의원소의제곱이아닌원소가존재함을알수있다 를이용하여 의모든소수 에대하여 개의원소를갖는유한체가존재함을보여라 에의하여 인 가존재한다 그러므로 라할때 는 에서기약 이다 이제 이확대체를 라할때 에대해 이라고하자 그러면 이고, 문제30번에의하여 는 개의원소를갖는유 한체이다 따라서 의모든소수 에대하여 개의원소를갖는유한체 가존재함을알수있 다

222 33 를체 의확대체, 그리고 를 위에서초월적이라하자 에속하지않는 의모든원소는또한 위에서초월적임을보여라 에대하여 에서대수적이라고가정하여 가 에서초월적임에모순됨을보인다 에대하여 가 에서초월적이므로다음이성립한다 그러면어떤 에대하여 이다 가 에서초월적이고 이므로 가 에서대수적이라고가정하자 그러면 이제 이라두자 그러면 이다 여기에양변에 을곱하면 이다 위의식을 에관하여정리하면 인 에대하여 이다 이제 라두자 그러면 이고 이다 따라서 가 에서대수적이다 이는모순이다 그러므로 는 위에서초월적이다 34 체의공리들을보이는것대신에 이절에서사용된개념을이용하여 가 의부분체임을보여라 이고 은 에서기약이다 그러므로 는 의확대체임을알수있다 또한 이고 은모두체이므로 이성립 한다 따라서 은체 의부분체이다 35 문제 31 의방법에의해각각 8 개, 16 개, 그리고 25 개의원소를갖는체가존재함을보여라 (1) 위에서 은기약이다 ( ) 그러므로 이되는근을 라 할때 이다 따라서문제31의방법에의하여 개의원소를갖는체 가존재함 을알수있다 (2) 위에서 은기약이다 ( ) 그러므로 이되는근을 라 할때 이다 따라서문제31의방법에의하여 개의원소를갖는체 가존재 함을알수있다 (3) 위에서 은기약이다 ( ) 그러므로 이되는근을 라할때 이다 따라서문제31의방법에의하여 개의원소 를갖는체 가존재함을알수있다

223 36 는표수 를갖는유한체라하자 의모든원소는 의소체 위에서대수적임을보여라 [ 힌트 : 를 의 0 이아닌원소들이라하면 가순환군을이룸을이용하여 가 의형태의 의다항식의근임을보여라 ] 는표수 를갖는유한체이므로 와동형인소체 가존재한다 그리고 는유한체이므로 그러면 는위수 인순환군이다 임의의 에대하여위수의정의에의하여 이고 이다 즉, 이다 이제 라두자 그러면 위에서 이고 이다 그러므로임의의 에대하여 위에서대수적이다 [ 다른] 는유한체, 는 의유한차원확대체이므로 는 위의벡터공간으로서 이고 이다 는위수 인순환군이다 임의의 에대하여위수의정의에의하여 이고 이다 이제 라두자 그러면 위에서 이고 이다 그러므로임의의 에대하여 위에서대수적이다 37 문제 30 와 36 을이용하여, 모든유한체는소수의멱을위수로가짐을보여라 즉, 그체는어떤 소수의멱의개수를원소로갖는다 는임의의유한체라하자 가체이므로표수는 여기서 가유한체이므로 의표수는 를만족한다 0 또는적당한소수 이다 ( 의표수가 0이면 와동형인소체를갖고이는유한임에모순 ) 그러면 와동형인소체 가유일하게존재한다 는유한체이고 는 의유한확대체이므로 그러면 는 위의벡터공간으로서 이므로따라서 이다

224 Fraleigh 대수 30 장벡터공간 1 어느두개의기저에도공통으로벡터를갖지않는 - 생략함 - 위에서 의기저들을세개구하라 문제 2~3 에서벡터들의주어진집합의 위에서 에대한기저가되는지결정하라 2 주어진벡터로이루어진행렬의기본행변환에의하여 이다 따라서주어진벡터는 에대한기저임을알수있다 기저가되는지알아보기위해서는생성조건과일차독립임을확인하면된다 3 주어진벡터로이루어진행렬의기본행변환에의하여 이다 그러면주어진벡터는 를생성할수없다 따라서주어진벡터는 에대한기저가아니다 문제 4~9 에서체위에서주어진벡터공간에대한기저를구하라 4 위에서 이고이때벡터공간에대한기저는 이다 5 위에서 이고이때벡터공간에대한기저는 이다 6 위에서 이고이때벡터공간에대한기저는 이다

225 7 위에서 이고이때벡터공간에대한기저는 이다 8 위에서 이고이때벡터공간에대한기저는 이다 9 위에서 이고 이때벡터공간에대한기저는 이다 10 정리 3023 에의해예제 2919 에서주어진 에서 에대한기약다항식을구하라 의원소 는 위에서대수적이다 에대하여예제 그러면 위에서 의기저는다음과같다 2919에서 를만족한다 즉, 기저는 이다 그러면 에서 에대한기약다항식은예제 2919에서주어진 에대한기약다항식과같은 이다 11~14 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 11 The vectors in a subset of a vector space over a field span iff each can be expressed uniquely as a linear combination of the vectors in 체 위의벡터공간 의부분집합 안의벡터가 를생성할필요충분조건은각각의 가 안의벡터들의유일한일차결합으로나타낼수있는것이다 맞는정의인듯!! 12 The vectors in a subset of a vector space over a field are linearly independent over iff the zero vector cannot be expressed as a linear combination of vectors in 체 위의벡터공간 의부분집합 안의벡터가 위에서일차독립일필요충분조건은영벡터가 안의 벡터들의일차결합으로나타낼수없는것이다 영벡터가 안의벡터들의일차결합으로나태낼수없는것이아니라 영벡터가 안의벡터들의일 차결합으로표현되는유일한방법은모든스칼라가 0 일때이다

226 13 The dimension over of a finite-demensional vector space over a field is the minimun number of vectors requires to span 체 위의유한차원벡터공간 의 위의차원은 를생성할수있는최소의벡터수와같다 맞는정의인듯!! 14 A basis for a vector space over a field is a set of vectors in that span and are linearly dependent 체 위의벡터공간 의기저는 를생성하고일차종속인 에서의벡터들의집합이다 일차종속이아니고일차독립이다 15 참, 거짓을판정하라 두벡터의합은벡터이다 T 체 위에서벡터공간을 라할때, 두벡터의합은연산에대해닫혀있으므로벡터이다 두스칼라의합은벡터이다 F 체 위에서벡터공간을 라할때, 스칼라는체 의원소이고덧셈연산에관하여닫혀있으므로 의원소이다 따라서벡터공간이아니고스칼라이다 두스칼라의곱은스칼라이다 T 체 위에서벡터공간을 라할때, 스칼라는체 의원소이고곱셈연산에관하여닫혀있으므로 의원소이다 따라서두스칼라의곱은스칼라이다 스칼라와벡터와의곱은벡터이다 T 벡터공간의정의에의하여스칼라와벡터의곱은벡터이다 모든벡터공간은유한기저를갖는다 F 위에서 는유한기저를갖지않는다 기저에속하는벡터는일차종속이다 F 가기저이면 에속하는원소는일차독립이다 0- 벡터는기저의원소가될수있다 F 벡터공간 에대하여 0- 벡터가기저의원소가될수있다면그기저는일차종속이다 이는모순이다

227 이고, 가체 위에서대수적이면 도 위에서대수적이다 T 이면 이므로체 위에서대수적이다 일때, 이라하자 가 위에서대수적이므로 (1) 이짝수인경우 이를 에관하여정리하면 이제 라고하면 이고 을만족한다 따라서 도 위에서대수적이다 (2) 이홀수인경우 이를 에관하여정리하면 이제 라고하면 이고 을만족한다 따라서 도 위에서대수적이다 위의경우에의하여 도 위에서대수적이다 [ 다른 ] 이고 는 위의대수적확대체이므로 또한 위의대수적확대체이다 따라서 는 위에서대수적이다 이고, 가체 위에서대수적이면 도 위에서대수적이다 T 이므로 이고 는 위의대수적확대체이므로 또한 위의대수적확대체이다 따라서 는 위에서대수적이다 모든벡터공간은기저를갖는다 T 기저는벡터공간을이루는가장기본적인원소들의모임이다 따라서모든벡터공간은기저를갖는다

228 다음연습문제들은벡터공간에대해서다룬것이다 다른대수적구조에대하여공부한것과비슷한개념을벡터공간에대해서정의하도록해보자 이들연습문제들은대수에관련된상황들을이해하는능력을향상시켜줄것으로믿는다 이연습문제에서는앞장에서정의된개념을알고있다고가정한다 16 가체 위에서벡터공간이라하자 위에서벡터공간 의부분공간을정의하라 체 위의벡터공간 의부분집합 가 의덧셈과스칼라곱셈에관하여벡터공간을이룰때, 를 의부분공간이라고한다 ( ) 의부분공간의공통집합은다시 위에서부분공간임을증명하라 를벡터공간 의부분공간들의집합족이라하자 그러면 이다 따라서 또한 의부분공간이다 17 를체 의벡터공간, 그리고 를 에속하는벡터의공집합이아닌모임이라하 자 문제 16 의 를이용하여 에의해생성된 의부분공간을정의하라 에의하여생성된부분공간은 의모든원소를포함하는가장작은 의부분공간을말한다 즉, 이다 에의하여생성된 의부분공간에속하는벡터들은 에속하는벡터들의 ( 유한 ) 일차결합임을증 명하라 ( 정리 76 과비교하라 ) - 생략함 - 18 을체 위에서벡터공간이라하자 에대해서벡터공간 의직합 을정의하고그직합은다시 위에서벡터공간임을보여라 라고덧셈과스칼라곱셈을다음과같이정의하자 그러면벡터공간 의직합 은 위의벡터공간임이명백하다

229 19 임의의체 에대해서체 위에서 의원소의 순서쌍의벡터공간 을얻기위해예제 302 을일반화하라 또, 에대한하나의기저를구하라 체 위에서 의원소의 순서쌍의벡터공간 은 와같이일반화할수있고, 이때하나의기저로는 이있다 20 체 에서벡터공간 에서와같은체 위에서벡터공간 로대응하는동형사상을정의하라 위에서두벡터공간 와 에대하여사상 가벡터공간의덧셈과스칼라곱셈을보존시킬때, 즉다음두조건을만족시킬때, 를 에서 으로의선형사상이라고한다 (1) (2) 사상 가선형사상인동시에일대일대응일때, 를 에서 위로의벡터공간의동형사상이라고한다 21 가체 위에서유한차원벡터공간이면 의부분집합 이 에서 에대한기저가 되기위한필요충분조건은 에속하는모든벡터가 의일차결합으로유일하게표현됨을증명하라 가체 위의유한차원벡터공간이라하자 ( ) (1) 일차결합으로나타낼수있음을보이자 벡터공간 의부분집합 이 에서 에대한기저라고하자 그러면 이므로임의의 에대하여 와같은일차결합으로표현된다 (2) 유일성에대하여보이자 라고하자 그러면 이고 여기서 는일차독립이므로 이다 따라서 를나타내는방법은유일하다 ( ) 에속하는모든벡터가 의일차결합으로유일하게표현된다고하자 그러면 임은자명하다 그러므로 가일차독립임을보이면충분하다 이라하자 그러면일차결합의유일성에의하여 이다 따라서 는일차독립이다 그러므로 는 에대한기저이다

230 22 가체일때 개의미지수를갖는 개의연립일차방정식 을생각해보자 단, 이다 이연립방정식이해를가질필요충분조건은 의벡터 이벡터 가 생성하는 의부분공간에속함을보여라 ( 해의정의에의해이결과를증명하기는쉽지만, 실제로연립방정식의공통해의기본존재정리를고 려해보아야한다 ) - 생략함 - 로부터 이고 이 에대한기저이면이연립방정식은항상단하나의해를 가짐을보여라 이 상의기저이면 ( 문제21) 에의하여 들의일차결합으로유일하게표 현된다 이는 (a) 부분에의하여이연립방정식이단하나의해를가짐을의미한다 따라서 이 의기저이면이연립방정식은항상단하나의해를갖는다 23 체 위에서차수가 인모든유한차수의벡터공간은 ( 문제 19) 의 과동형임을증명하라 체 위에서차수가 인유한차수의벡터공간을 라하자 을 에서의기저라고하고 인사상으로정의하자 그러면 에서의덧셈과스칼라곱셈에대하여다음이성립한다 ( ) 는 에서의기저이므로 에서의모든벡터는이들의일차결합에의하여나타낼수있다 그러므로 는 에서 위로의사상이다 또한 ( 문제21) 에의하여 안의벡터는 의유일한 일차결합으로나타낼수있다 그러므로 는 에서 로의일대일사상이다 따라서 는동형사상임을알수있다

231 24 와 를같은체 위에서벡터공간이라하자 함수 가모든 와 에대해다음조건을만족하면 를 에서 로대응하는일차변환이라한다 만약 가 위에서 에대한기저이면일차변환 는벡터 에의해서결정됨을보여라 가 위의기저이므로임의의 에대하여 가존재해서 이다 이때, 는일차변환이므로 이다 이는 가 에의하여결정됨을보여준다 따라서일차변환 는벡터 에의해서결정된다 를 에대한기저, 그리고 를 의서로다를필요가없는임의의벡터들의집 합이라하자 을만족하는일차변환 가단하나존재함을증명하라 - 생략함 - 25 와 를체 위에서벡터공간그리고, 를일차변환이라하자 군과환의대수적구조에서배운어떤개념이일차변환의개념에대응하는가? 벡터공간에서의일차변환의개념은군에서의준동형사상의개념에대응할수있다 의핵 (kernel) 을정의하고그것이 의부분공간임을보여라 의핵의정의는 이다 이므로 이고 임은자명하다 이제 의부분공간임을보이자 (1) 임의의 에대하여 이다 따라서 이다 (2) 임의의 와임의의 에대하여 이다 따라서 이다 (1) 과 (2) 에의하여 는 의부분공간이다 가 에서 로대응하는동형사상이될때를설명하라 가일대일대응인일차변환이면 는 에서 으로대응하는동형사상이다

232 26 가체 위에서벡터공간, 그리고 가 의부분공간이다 잉여공간 를정의하고그것이 위에서벡터공간임을보여라 잉여공간 는 이라고정의할수있다 그리고잉여공간 위에덧셈과스칼라곱셈을다음과같이정의하자 이제 위에서벡터공간임을보이자 먼저 는아벨군이다 또위에서정의한스칼라곱셈은잘정의된다 즉, 이다 또한스칼라곱셈에관하여다음을만족한다 따라서 는 위에서벡터공간이다 27 와 를체 위에서벡터공간, 그리고 가 위에서유한차원이라하자 는 위에서벡터공간 의차원을나타내며 가일차변환이라하자 가 의부분공간임을보여라 이제 임은자명하다 이제 가 의부분공간임을보이자 (1) 따라서 이다 (2) 와 따라서 이다 그러므로 는 은부분공간이다 임을보여라 [ 힌트 : 정리 3019 에서사용된 에대한편리한기저를택하라 예를들어 에대한기저를 에대한기저로확대하라 ] 가 위의 차원벡터공간이라하자 그러면 이면 이므로 이다 따라서 이면다음이성립한다 그리고 이면, 분명히 이므로 이고따라서 이다 이제 이라하고, 을 의기저라고하자 이때 에 개 의벡터 를첨가하여 의기저 을얻을수있다 이제 가 의기저임을증명한다 먼저 이므로 이다

233 다음에 이라고가정하면 즉, 이므로적당한 에대하여 으로나타내어진다 그런데위의등식에의하여 이고 는 의기저이므로 이다 따라서 는일차독립이다 그러므로 는 의기저이고 이다 따라서 이다

234 Fraleigh 대수 31 장대수적확대체 문제 1~13 에서주어진확대체의차원과기저를구하라 1 위에서 주어진확대체의차원은 이므로 이다 또한주어진확대체에서의기저는 이다 2 위에서 이므로 주어진확대체의최소차다항식은 이다 따라서 이다 또한, 이때기저는 이다 3 위에서 주어진확대체의기저는 이므로확대체의차수는 이다 4 위에서 위에서 의기저는 이고, 위에서 의기저는 이므 로 위에서 의기저는 이다 이때차원은 이다 5 위에서 위에서 의기저는 이고 위에서 의기저는 이므로 위에서 의기저는 이다 이때, 차원은 이다 6 위에서 이므로 주어진확대체의최소차다항식은 이다 따라서 이다 또한, 이때기저는 이다

235 7 위에서 이므로 이므로차원은 이다 또한기저는 이다 8 위에서 위에서 의기저는 이고 위에서 의기저는 이므로 위에서 의기저는 이다 이때, 차원은 이다 9 위에서, 그리고 이다 따라서 이다 이때기저는 이다 10 위에서 이므로 위에서 의차원은 이고이때기저는 이다 11 위에서 이므로 위에서 의차원은 이고이때기저는 이다 12 위에서 이므로 이고이때기저는 이다 13 위에서 이고 이므로 위에서 의차원은 이고이때기저는 이다

236 14~17 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 14 An algebraic extension filed is a field where each is a zero of some polynomial in 체 의대수적확대체는 에서각각의 가 인 에서의어떤다항식을갖는다??? 번역이미숙하여이해못함 ㅜ 15 A finite extension field of a field is one that can be obtained by adjoining a finite number of elements to 체 의유한확대체는 에유한번의원소를첨가하여얻을수있는체이다 맞는정의인듯!! 보충설명하자면유한확대체는대수적확대체이고차원이유한차원이므로유한개의원소를첨가하여얻을수있는단순확대체이기도하다 16 An algebraic closure of a field in an extension field of is the field consisting of all elements of that are algebraic over 체 의확대체 라할때, 의대수적폐체다 맞는정의인듯!!! 는 위에서대수적인 의모든원소로이루어진체이 17 A field is algebraically closed iff every polynomial has a zero in 체 가대수적으로닫혀있을필요충분조건은 위에서모든다항식이영점을갖는것이다 모든다항식이영점을갖는것이아니라 일차이상의다항식이영점을갖는것이다 그러므로옳은 정의로는체 가대수적으로닫혀있을필요충분조건은 위의상수가아닌모든다항식이근을갖는 것이다 18 체 의확대체 에대하여 에서 의대수적폐포가대수적으로닫혀있을필요가없음을예를들어보아라 단, 이다 이라고하자 그러면 에서 의대수적폐포이지만 은 에서근을갖지않는다 즉, 대수적으로닫혀있지않다

237 19 참, 거짓을판정하라 체의모든유한확대체는대수적확대체이다 T 체 의임의의유한확대체를 라하자 그러면 임의의 에대하여 은 개의원소이므로일차종속이다 그러면 이제 이라하자 그 ( 적어도한 에대하여 ) 인 가존재한다 러면 인체 위의다항식이고 이므로 이다 따라서 는체 위에서대수적이다 그러므로 는체 위의대수적확대체이다 체의모든대수적확대체는유한확대체이다 F 위에서 는대수적확대체이지만 위에서 은유한확대체가아니다 체의유한확대체들의유한탑에서맨위의체는맨아래체의유한확대체이다 T 이체라고하고각 에대하여 은 의유한확대체라고하자 그러면 이성립하므로 은 의유한확대체임을알 수있다 는대수적으로닫혀있다 F 은체 위에서근이존재하지않는다 그러므로 은대수적으로닫혀있지않다 는자신이 에서대수적폐포이다 즉, 는 에서대수적으로닫혀있다 F 가 의대수적폐포라고하자 하지만 은 위에서의다항식이지만 위에서해가존재하지않 는다 이는대수적으로닫혀있음에모순된다 따라서 은 의대수적폐포가아니다 는 에서대수적으로닫혀있다 단, 는부정원이다 T 는대수적폐체임은자명하다 이제 이라하자 이때, 대수학의기본정리에의하여 는근 에서근을가지므로 이다 즉, 여기서 이면자명하고 이면 는대수학의기본정리에의하여근 를가지고이때 이과정을반복함으로써 에서 는일차인수들의곱으로분해된다 따라서 는 에서대수적으로닫혀있다

238 는대수적으로닫혀있다 단, 는부정원이다 F 반례를찾기가쉽지않아서잘모르겠다 다만, 어디에서성립하는지조건이불명확한게오류가능성을내포한다는생각이들뿐 ㅎㅎ 가모든대수적수들을포함하기때문에체 는대수적폐포를갖지않는다 F 는 를대수적폐포로갖는다 대수적으로닫혀있는체는표수 F 0 이어야한다 ( 반례) 모든체는대수적폐포를가지므로 에대하여 를대수적폐포라하자 그러면 이다 하지만표수는 이다 단, 는임의의소수 는무한체 가 의대수적으로닫혀있는확대체이면 는대수적확대체이다 F ( 반례) 는 의대수적으로닫혀있는확대체이지만 는 의대수적확대체가아니다 ( 문제 36 번참조) 생략함 - 22 이며 에대하여 이면 임을보여라 이며 에대하여 이고 는체 과 를포함하는최소의체이므로 이다 역으로 그러면 이다 따라서 이다 그러므로 이다 [ 다른1] 와 는 상의다항식 의영점이다 그래서 는 에서영점을갖지않고 이다 그러면 는 위에서기약이다 즉, 따라서 [ 다른2] 는명백하다 즉, ( ) 그러므로 는 의유한확대체이다 한편 이므로 이다 그러면 이성립한다 여기서 이고 이다 그러면 이고따라서

239 23 가체 의유한확대체이고 가소수이면 가 의단순확대체이며실제로 에속하지 않는모든 에대하여 이다 가체 의유한확대체라고하고 ( 단, 는소수) 라고하자 그러면 임은자명하다 임의의 에대하여 는 의유한확대체이고 는 의유한확대체이다 그러면다음이성립한다 이므로 이다 따라서 이고이는즉, 이므로 이다 24 이 위에서기약임을보여라 이므로 는 위에서유한확대체이다 또한 이므로 는 위에서유한확대체이다 그러면 이고 이다 라가정하자 그러면 이성립한다 이므로 가성립한다 즉, 이다 하지만이는모순이다 그러므로 이다 그러면 은 에서영점을갖지않고차수는 2 차이다 그러므로 는 에서기약이다 25 에서제곱수가아닌 의원소의제곱근을체 에첨가시키고, 이렇게하여얻어진새로운체에제곱수가아닌원소의제곱근을첨가시키는등의작업을계속하여얻어지는확대체의차수는얼마인가? 이사실에서 에서 의근은 의원소들의제곱근들의유리함수, 제곱근들의유리함수의제곱근등등으로표현될수없음을보여라 1 는어떤 의제곱근이라하자 ( ) 그러면 는 의영점이다 이므로 위에서 는기약이다 그러면 이고 이다 2 는어떤 의제곱근이라하자 ( ) 그러면 는 의영점이다 이므로 위에서 는기약이다 그러면 이고 이다 이제 이므로 가성립해서위의사실 로부터 을얻을수있다 3 위의과정을반복하면 을얻을수있다 단, 는어떤 의제곱근이다 따라서제곱근에의하여얻을수있는확대체의위수는어떤 에대하여 의꼴이어야한다

240 4 일때, 아이젠스타인판정법에의하여 에서 는기약이다 그러므로이다항식의임의의근을 라할때, 이다 는임의의 에대하여 를나누지않는다는사실로부터제곱근에의하여얻을수있는임의의 체에놓여있다고볼수없다 그러므로 는제곱근들의유리함수, 제곱근들의유리함수의제곱근등등 으로표현될수없다 26 가 의유한확대체이고 가 를만족하는정역이면 가체임을보여라 우선 가정역이므로단위원 을갖는가환환이다 그러면 에대하여가역원이존재함을보이면충분하다 임의의 에대하여 는체 위의유한확대체이므로대수적확대체이다 그러면 이므로 ( 이면 임에모순이다 ) 으로부터 임을알수있다 그러면 ( 이고 이므로 이다 ) 따라서가역원이존재하므로 는체이다 27 임을상세히증명하라 이므로 임은자명하다 이제 이라하자 그러면 또한다음이성립한다, 이므로 이다 따라서 은체 와 을포함하는최소의체이므로 이 다 그러므로 이다 28 문제 27 을일반화하여 에속하는모든 에대하여 이면 임을증명하라 [ 힌트 : 을계산하라 ] 임의의 에대하여 이면자명하다 그러므로 인경우에성립함을보이면충분하다 이므로 임은자명하다 이제 이라하자 그러면 또한다음이성립한다 이므로 이다

241 , 따라서 은체 와 을포함하는최소의체이므로 이다 그러므로 이다 29 가체 의유한확대체이고 가 위에서기약이고, 갖는다면 는 에서근을가질수없음을보여라 의약수가아닌차수를 가 에서근을갖는다고가정하여모순됨을보이자 가 에서근을갖는다고가정하자 즉, 주어진가정에의하여 는 위에서기약이므로 이고따라서 는 위의유한확대체이다 그러면 이므로 이다 하지만이는 인가정에모순이다 따라서 는 에서근을가질수없다 30 가체 의유한확대체이고 가 위에서홀수차수를갖는대수적원소이면 도 위에 서홀수차수를갖는대수적원소이고 임을보여라 가 위에서대수적이면 이 위에서대수적임은자명하다 그리고 이므로 임이자명하다 이제 임을보이면충분하다 주어진가정에의하여 이므로 는체 와 를포함하는최소의체이므로 이다 따라서 이다 [ 다른] 이라가정하여모순됨을보이자 은 위에서기약이지만 위에서 이므로기약이아니다 그러므로 는 의대수적확대체이고 이 므로 이다 그러면 이다 하지만가정에서 는홀 수이므로모순이다 따라서 이다 31 그리고, 가 를만족하는체이면 가 위에서대수적일필요충분조건은 가 위에서대수적이고 가 위에서대수적임을보여라 ( 유한확대체라고가정해서는안된다 ) ( ) 를 의대수적확대체라하자 그러면임의의 에대하여 를만족하는다항식 이존재한다 그리고 를만족하는다항식 이존재한다 이는 가 의대수적확대체 임을보여준다 물론각각의 의원소는또한 의원소이므로 는 의대수적확대체이다 ( ) 임의의 에대하여

242 는 의대수적확대체이므로 를만족한다 0이아닌다항식 이존재해서 는 위에서대수적이므로 는 위에서대수적이다 ( ) 그러므로 는 위에서어떤유한위수 을갖는확대체이다 는 의차수 를갖는대수적원소이므로 는차수 를갖는 의유한확대 체이다 따라서유한확대체는대수적확대체이므로 는 위에서대수적이다 32 가체 의확대체라면 에서 의대수적페포초월적임을증명하라 결론을부정하여 를 위에서대수적이라하자 에속하지않는모든 는 위에서 그러면 는 위에서대수적이고정의에의하여 는 위에서대수적이다 문제 31에의하여 이 위에서대수적이고그래서 는 위에서대수적이다 하지만 는가정에모순된다 그러므로 는 위에서초월적이다 33 가체 의대수적으로닫혀있는확대체라면 에서 의대수적폐포 는대수적으로닫혀 있음을보여라 ( 이문제를 와 에적용하면모든대수적수들의체는대수적으로닫혀있는체임을 알수있다 ) 라하자 가 에서영점을가짐을보이면충분하다 이므로 이성립하여 임을알수있다 는대수적으로닫혀있는체이므로 는 위에서대수적이므로 는 의대수적확대체이다 그러면 이고 는 의정의에의하여 의대수적확대체임에자명하다 는문제 31에의하여 의대수적확대체이다 그러므로 는 에서 위의대수적원소이다 그러면 그러면 는 에서영점을갖는다 따라서 의정의에의하여 이다 는대수적으로닫혀있다 는대수적으로닫혀있는체이고 또한대수적으로닫혀있는체이므로 는비자명확대체를갖지않는다 하지만 이고 이다 그러므로 와 은 의대수적확대체가아니다 34 가체 의대수적확대체이며모든 의 에속하는근들을포함한다면 가대수적으로닫혀있는체임을보여라 이고 는차수 을갖는다고하자 는 에서 으로인수분해된다 가정에의하여 에서 는모든영점을가지므로또한 에서도성립한다 즉, 에서또한같은인수분해가나타난다

243 그러므로 이고따라서어떤 에대하여 를만족한다 이로부터 임을알수있다 의정의로부터 와 의대수적인원소를모두포함한다 즉, 이고그러므로대수적으로닫혀있음을알수있다 35 홀수표수를갖는유한체는대수적으로닫혀있지않음을보여라 ( 실제로표수 2 인유한체도대수적으로닫혀있지않다 ) [ 힌트 : 헤아림에의해서그런유한체 에대해서어떤다항식 는 에서근을가질수없다 단, 이다 29 장의문제 32 참조 ] 를홀수표수를갖는유한체라하자 그러면 위에서 이다 이므로 의제곱근의원소는기껏해야 상의 개의원소이다 그러면어떤 가존재해서제곱근이아님을알수있다 그러므로다항식 는 위에서영점을갖지않는다 따라서 는대수적으로닫혀있지않음을알수있다 [ 참고] 위의사실로부터유한체는대수적으로닫혀있지않음을알수있다 만약 의대수적확대체 라고하면 는무한체이다 36 본문에서설명했듯이 에서 의대수적폐포는 의유한확대체가아님을증명하라 1 임의의 와 에대하여 는 위에서 일때, 판정법에의하여기약이 다 그러면임의의 와 에대하여 는 의유한확대체이다 2 를 의유한확대체라하자 그러면 는 의대수적확대체이다 는 의대수적폐포이므로 는 의최대의대수적확대체이다 그러면 의모든대수적확대체는 에포함된다 따라서 이다 3 가 의유한확대체라가정하자 그러면 이제 그러면 1에의하여임의의 에대하여 는 인 의유한확대체이다 2에의하여 가성립한다 그러므로 이성립해서 이므로 이다 이는모순이다 따라서 는 의유한확대체가아니다

244 37 의모든유한확대체는 자신이나 와동형임을증명하라 의유한확대체를 라하면 는대수적확대체이므로 그러면 이성립한다 ( 는대수적폐체이므로 는 의부분체이다 ) 한편, 이고 2는소수이므로 이다 따라서 의확대체는 자신이거나 와동형이다 38 의보조정리를이용하여단위원을갖는환 의모든진부분아이디얼은어떤극대아이디 얼에속함을증명하라 를단위원 를가진환, 을 의진부분아이디얼이라하자 그러면 을만족하는어떤 의극대아이디얼 이존재함을보인다 이라하자 이므로 이다 에대하여 이면 라정의하자 그러면 는일부분은순서집합이다 를 에서연쇄라하자 즉, 는 의전체적인순서부분집합이다 이제 라놓자 앞으로 가 에서 의상계임을보이면충분하다 와 에대하여 는 에서연쇄이므로 또는 이다 1 일때, 에대하여 이므로 ± 이다 그러면 ± 이성립해서 이다 2 일때, 에대하여 이므로 ± 이다 그러면 ± 이성립해서 이다 이제 1과 2에의하여 이다 즉, 는 의아이디얼이다 모든 에대하여 는 의진부분아이디얼이므로모든 에대하여 는 의진부분집합이다 그러면 또한 의진부분집합이다 그러므로 또한 의진부분아이디얼이다 모든 에대하여 이므로 이성립한다 따라서 는 을포함하는 의진부분아이디얼이므로 이다 모든 에대하여 이므로모든 에대하여 이다 따라서 는 에서 의상계이다 그러므로 의보조정리에의하여 에서극대인 이존재한다 임에명백하다 이제 이 의극대아이디얼임을보이자 이고 이라하자, 이고 이므로 는 을포함하는 의진부분아이디얼이다 그러므로 이다 은 에서극대이므로 이다 이는위의정의에의하여 이다 따라서 이다 그러므로 은 을포함하는 의극대아이디얼이다

245 Fraleigh 대수 32 장작도가능성 1 Prove the trigonometric identity from the Euler formula, 로부터 실수부는실수부끼리허수부는허수부끼리동치이므로다음이성립한다 위의사실로부터실수부끼리비교하면다음과같다 따라서 인사실을유도할수있다 2 참, 거짓을판정하라 자와콤파스로서어떤작도가능한크기의모서리를갖는정육면체를 T (b) 가참이므로특수한경우의 (a) 도참이다 2 배하는것은불가능하다 자와콤파스로서모든작도가능한크기의모서리를갖는정육면체를 T 모든작도가능한크기의모서리를갖는정육면체는결국단위길이인 에단위길이에대해서만성립함을보이면충분하다 2 배하는것은불가능하다 1에대해서작도가능하기때문 주어진정육면체의한모서리의길이를 1 이라고하면, 이정육면체의부피는 1 이다 따라서그 2배의 부피를가지는정육면체의한모서리의길이는 이다 한편, 이므로 인데 3은 2 의거듭제곱이아니므로 [ 보조정리 328] 에의하여 는작도불가능이다 자와콤파스작도로서작도가능한반경을갖는원과같은면적을갖는정사각형은작도불가능하다 T 주어진원의반지름의길이를 1이라고하면그원의넓이는 이다 따라서작도하려면정사각형의한 변의길이는 이다 만일 가작도가능하다고가정하면, [ 정리 326] 과 [ 보조정리 328] 에의하 여 는유리수체 위에서대수적이어야하고, 도 위에서대수적이어야한다 그러나이것 은 가 위에서초월적이라는사실에모순이다 따라서작도불가능하다 어떤작도가능한각도자와콤파스로서삼등분할수없다 F 크기가 인각을작도하는것은실수 를작도하는것과같다 라하면 는조건에서작도가능이므로 이고 인사실로부터 이고 이다

246 그러면유한확대체의성질로부터 임을알수있고, 따라서 [ 보조정리 328] 에의하여차수가 2 의거듭제곱이아니므로작도불가능하다 모든작도가능한수는적당한 에대해서 위에서차수 을갖는다 T 실수 가작도가능하면, [ 정리 326] 에의하여다음조건을만족시키는양의실수 이존재한 다, 이때, 이고각 에대하여 이 므로 이다 한편 이므로 이다 그런데 이므로 이고따라서적당한정수 에대하여 이다 적당한정수 에대해서 위에서 의차수를갖는모든실수는작도가능이다 T 실수 에대하여가정에의하여다음이성립한다고하자 그러면갈로아정리에의하여 이다 군의위수가 이면실로의정리에의하여 인모든 에대하여위수가 인부분군이존재한다 따라서다음과같은군의열을생각할수있다 의위수는 이며 의위수는 이고,, 의위수는 2 이다 갈루아정리에의해이러한부분체는갈루아군의부분군과일대일대응이되며다음과같다 그리고각각의체의차수는모두 로부터 2 가된다 2의차수를가진확대체는모두작도가능수이므로이를유한번올라가게되면 역시 작도가능수의집합이된다 따라서 역시작도가능하게된다 가 UFD 라는사실이정리 329 과 3211 의결론을유도하는데유용하게되었다 T UFD라는사실은정리 329와 3211의 위에서의최소다항식의기약성을판단하기위해사용되었다 헤아림에의한증명방법은아주중요하게쓰이는증명방법이다 T 일례로정 각형등의작도가능성을확인하기위해서도헤아림에의한증명방법은중요하다 임의의작도가능한수는단위길이로주어진선분에서시작하여자와콤파스를유한번사용하여얻을수있다 T 작도가능한수의정의에의하여자명하다

247 주어진단위길이의선분으로부터미리한정된횟수만큼자와콤파스를사용하여작도가능한전체수를찾을수있다 F 한정된횟수만큼자와콤파스를사용하여작도가능한전체수를찾을수있다고가정하자 그러면 가작도가능한수이므로한정된횟수로표현이가능하다 이는곧 가유한개의원소를가짐을뜻하고이는모순이다 따라서한정된횟수로전체수를찾을수없다 3 정리 3211 을이용하여정 9- 각형은작도불가능함을보여라 정 9- 각형이작도가능이라고하자 그러면한내각 도작도가능이다 그러면 [ 정리 3211] 에의하여 도작도가능이다 한편, 정 3-각형은작도가능이므로 도작도가능이다 따라서 의삼등분각 가작도가능하게된다 이는 [ 문제 2]-(d) 에모순이다 4 의각을작도할수있음을대수적으로보여라 크기가 인각을작도하는것은실수 를작도하는것과같다 그러면 이므로 이고 이다 따라서 [ 보조정리 328] 에차수가 2 의배수이므로작도가능이다 [ 다른] 정 3-각형이작도가능함은자명하므로 는작도가능이다 한편각의이등분은가능하다 즉, 대수적으로차원이 2 이다 따라서 는작도가능이다 5 그림 3213 을참고하여정 10 각형은작도가능함을보여라 ( 정 8 각형도작도가능하다 ) [ 힌트 : 삼각형 OAP 는삼각형 APQ 와닮은꼴이다 대수적으로 이작도가능함을보여라 ] 정 5각형이작도가능하므로 도가작도가능하고, 그러면이각의이등분각인 또한작도가능하다 따라서정 10 각형이작도가능하다 위의에근거하여그림과관련지어풀면된다 그림첨부하지못한관계로직접적인는생략ㅎㅎ

248 문제 6~9 에서의진술이참임을보이기위해서필요하다면문제 5 의결과를사용하여라 6 정 20- 각형은작도가능하다 T [ 문제5] 에의하여정 10 각형이작도가능하면, 크기가 인각이작도가능하고 또한이각을이등분하는작도인 도작도가능하다 그러므로정20(= ) 각형도작도가능하다 7 정 30- 각형인작도가능하다 T 정3각형과정10각형이작도가능이고 3과 10은서로소이므로정30 각형또한작도가능이다 8 각 는삼등분될수있다 정 F 5각형이작도가능하므로 는작도가능한각이다 하지만 [ 문제 2]-(d) 에의하여각 는삼등분될수없다 9 정 15 각형은작도가능하다 T 정 3각형과정 5각형은작도가능하고 3과 5는서로소이므로정15 각형은작도가능하다

249 Fraleigh 대수 33 장유한체 문제 1~3 에서주어진원소의수를갖는유한체가존재하는지판단하여라 1 존재한다 ( 유한체의위수는 이다 단, 는소수이다 주어진원소는 이므로주어진원소의수를갖는유한체가존재한다 ) 2 - 생략함 생략함 - 4 에속하는단위원의원시 8 제곱근의수를구하라 가우스함수를이용하면, 이다 따라서단위원의원시 8제곱근의수는 4 개이다 5 에속하는단위원의원시 18 제곱근의수를구하라 가우스함수를이용하면, 이다 따라서단위원의원시 18제곱근의수는 6 개이다 6 에속하는단위원의원시 30 제곱근의수를구하라 가우스함수를이용하면, 이다 따라서단위원의원시 30제곱근의수는 8 개이다 7 에속하는단위원의원시 10 제곱근의수를구하라 는위수 22 인순환군이다 하지만 22인순환군에는위수 10 인부분군이존재하지않는다 따라서단위원의원시 그러므로개수는 0 이다 10 제곱근의수는존재하지않는다

250 8 참, 거짓을판정하라 유한체의 0 이아닌원소들은곱셈에대한순환군을이룬다 T 임의의유한체를 라하자 는곱셈에관하여가환군이므로유한가환생성군의기본정리에의하여다음과동형이다 ( 단, 은소수의멱이다 ) 이제 임을보이자 순환군의정의에의하여 임은자명하다 의위수를구하자 우선 는서로서로소이다 ( 만약아니라면 가영인자를갖게되고이는 가체임에모순이다 ) 그러면다음이성립한다 따라서 이다 그러므로 는순환군과동형이다 즉, 는곱셈에관하여순환군을이룬다 유한체의원소들은덧셈에대한순환군을이룬다 F ( 반례) 를 의유한차원확대체라하고그차수를 2 라하자 그러면 는유한체이고 이다 각각의원소에대하여덧셈에관한순환군는다음과같다 하지만이중어느것도 와동형인순환군은존재하지않는다 에속하는 의근들은곱셈에대한순환군을이룬다 T 이고이때, 은원주등분다항식의기약성에의하여 위에서기약이다 그러므로 를 의근들을첨가하여얻은확대체라할때, 는유한체이다 즉, 는 위의원본확대체이다 그러므로 는곱셈에관하여순환군을이룬다 따라서주어진방정식의근들은곱셈에대한순환군을이룬다 60 개의원소를갖는유한체가존재한다 F 60 은소수의멱이아니다 따라서 60 개의원소를갖는유한체는존재하지않는다 125 개의원소를갖는유한체가존재한다 T 이므로즉, 소수의멱이므로따라서 125 개를갖는유한체가존재한다

251 36 개의원소를갖는유한체가존재한다 F 36 은소수의멱이아니다 따라서 36 개의원소를갖는유한체가존재하지않는다 복소수 는단위원의원시 4 제곱근이다 T 이므로복소수 는단위원의원시 4 제곱근이다 에속하는차수 58 인기약다항식이존재한다 T 이기약임은자명하다 그러므로주어진명제는옳다 의 0 이아닌원소들은체의곱셈에대하여순환군 를이룬다 F 는곱셈에관하여순환군을이루지않는다 따라서체의곱셈에대하여순환군이아니다 가유한체이면 에서 의대수적폐포 사상이다 T 의부분체위로대응하는모든동형사상은 의자기동형 가정에의하여단사사상이고준동형사상임은만족하므로 임을보이면충분하다 를 에서 의대수적폐포 의부분체위로대응하는임의의동형사상이라하자 를어떤양의정수 에대하여 개의원소를갖는유한체라하자 단, 는소수 그러면 는단사사상이므로 또한 개의원소를갖는다 가 개를갖는 의부분체이므로 에서 개를갖는부분체를존재한다 이제 와 가각각 개를갖는부분체라하자 그러면문제 15번에의하여 와 는동형이다 따라서 임을알수있다 그러므로 는 에서 로의전단사인동형사상이므로자기동형사상이다 9 를 의대수적폐포라하고, 를각각 의근이라하자 결과를사용하여 임을보여라 이절의 를각각 의근이라하자 과 은모두 위에서기약이다 그러면각각의확대체의차원은다음과같다 [ 정리 333] 에의하여 는체 위에서의다항식 의분해체이므로 다음과같은동형사상 가존재한다 (1) (2) 모든 에대하여 그러므로 이다

252 10 에속하는모든기약다항식은적당한 에대해서 의인수임을보여라 임의의 가 위에서기약이라고하자 의대수적폐체를 라고하면, 그러면 는유한차원확대체이므로 는곱셈에관하여순환군이므로위수의정의로부터 이고, 이다 따라서 상에서 의모든영점을갖게하는원소에대하여 이영점을가지므로 따라서 는 의인수임을알수있다 11 는소부분체 를포함하고 개의원소를갖는유한체라하자 가 의 의순환군 의생성원이면 임을보여라 0 이아닌원소 이므로 이다 하지만 는곱셈군 의생성원이므로 이다 여기서 이므로 이다 12 개의원소를갖는유한체는 의각약수 에대하여 개의원소를갖는부분체를단하나 가짐을증명하라 1 ( 존재성) 개의원소를갖는유한체를 라하자 그리고 는 의대수적폐체라하자 그러면 는 와동형인소체를갖으며 의분해체이다 인 에대하여 는 의약수이다 ( 라할때, 어떤 가존재해서 이므로 ) 이제 의분해체를 라하자 그러면 의근은모두 의근이므로 는 개의원소를갖는 의부분체이 다 따라서 개를갖는부분체 가존재한다 2 ( 유일성) 문제 15에의하여 에관계없이단하나존재한다 개의원소를갖는부분체가존재한다면그들은서로동형이므로동형 13 는 에속하며 을나누는차수 를갖는모든모닉기약다항식의곱임을보여라 를 위에서의 의기약인수라하고그차수를 라고하자 이때, 는 의근전체로이루어진집합이므로 즉, 분해체이므로 는 내에서 개의근을가진다 이제 를 의근이라고하면, 이므로 이다 따라서문제 12에의하여 이다 다음에 의양의약수 에대하여 를 위에서의 차의기약다항식이라고하자

253 이때, 를 위에서의 의분해체내의근이라고하면, 이므로 이고따라서 는 위에서의 의분해체이고, 특히 는 의근이다 그런데 이므로 는 의근이다 한편, 이므로 이다 14 를홀수인소수라하자 인 에대하여합동방정식 가 에서근을가질필요충분조건은 임을보여라 [ 힌트 : 유한체 에서동치인명제를만들고순환군의이론을사용하라 ] 가 에서해를갖는다 가 에서해를갖는다 단, 는 를 로나눴을때나머지이다 위의사실에근거하여 는 을위수로갖는순환군이다 그러면순환군의원소 는생성원의짝수인멱을갖는제곱근이므로 따라서 일때, 가 에서해를갖을필요충분조건은 수있다 임을만족한다 임을알 를이용하여 이 에서기약인지아닌지를결정하라 따라서 에서영점을갖지않으므로기약이다 15 같은위수 을갖는두유한체는동형임을보여라 [ 힌트 : 가차수 인기약다항식이면 개의원소를갖는모든체는 와동형임을보여라 ] 와 를위수 를갖는유한체라하자 와 는 와동형인소체 와 를갖으며 의분해체이다 또한 와 는유한체의유한확대체이므로단순확대체이다 그러므로 를만족시키는 가존재한다 이제 를다음과같이정의하자 1 2 모든 에대하여 그러면 는동형사상이다 여기서, 와 는동형사상이므로 인동형사상이존재한다 따라서 와 는동형이다