Fraleigh

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1 현대대수학연습문제 - 제 7 판

2 - 차례- 02장이항연산 - 대수학카페참조 - 03장동형인이항구조 - 대수학카페참조 - 04장군 - 대수학카페참조 - 05 장부분군 (p 3) 06 장순환군 (p 18) 08 장치환군 (p 30) 09 장궤도, 순환, 치환과교대군 (p 41) 10 장잉여류와라그랑지정리 (p 50) 11 장직적과유한생성가환군 (p 62) 13 장준동형사상 (p 77) 14 장잉여군 (p 89) 15 장잉여류의계산과단순군 (p 100) 18 장환과체 (p 109) 19 장정역 (p 124) 20 장페르마와오일러정리 (p 132) 21 장정역의분수체 (p 139) 22 장다항식환 (p 144) 23 장체에서다항식의인수분해 (p 153) 26 장준동형사상과잉여환 (p 162) 27 장소아이디얼과극대아이디얼 (p 175) 45 장유일인수분해정역(UFD) (p 185) 46 장유클리그정역(ED) (p 194) 47 장가우스정수와승법노름 (p 204) 29 장확대체의소개 (p 213) 30 장벡터공간 (p 224) 31 장대수적확대체 (p 234) 32 장작도가능성 (p 245) 33 장유한체 (p 249) - 2 -

3 Fraleigh 대수 5 장부분군 문제 1~6 에서주어진복소수의부분집합은덧셈위에서복소수의군 의덧셈에대한부분군이되는가를결정하라 1 이고임의의 에대하여 이므로 은군 의덧셈에대한부분군이된다 2 이지만 이므로 는군 의덧셈에대한부분군이될수없다 3 이고임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 그러면 이성립한다 그러므로 는군 의덧셈에대한부분군이된다 4 0 을포함한순허수의집합 이고임의의 에대하여 이존재해서 를만족한다 그러면 이성립한다 따라서 는군 의덧셈에대한부분군이된다 5 의유리수배의집합 는 의부분집합임은자명하다 또한 는덧셈에대한연산에서군을이룬다 따라서 는군 의덧셈에대한부분군이된다 6 집합 집합 는 의부분집합임은자명하다 하지만 이다 따라서집합 는군 의덧셈에대한부분군이될수없다 7 문제 1~6 중에서복소수의부분집합은곱셈위에서복소수의군 의곱셈에대한부분군이되는 가를결정하라 인경우 0 을포함한다 이경우에 0 에관하여곱셈에대한항등원이존재하지않는다 따라서 은 군 의곱셈에대한부분군이될수없다 인경우는 의부분집합이며곱셈연산에관하여군을이루므로따라서 는군 의곱셈에 대한부분군이다 인경우 0 을포함한다 따라서 는군 의곱셈에대한부분군이될수없다 - 3 -

4 인경우 0 을포함한다 따라서 는군 의곱셈에대한부분군이될수없다 인경우 0 을포함한다 따라서 는군 의곱셈에대한부분군이될수없다 는 의부분집합임은자명하다 또한곱셈에대하여군을이룬다 그러므로 는군 의곱셈에대한부분군이다 문제 8~13 에서, 실수를원소로갖는 인가역행렬이군 의부분군인가를결정하라 8 이일반선형군 의부분집합임은자명하다 또한임의의 에대하여가역행렬이므로 이다 하지만 이다 그러므로 은곱셈에대하여일반선형군 의부분군이될수없다 9 - 생략함 생략함 - 11 곱셈에관한연산에대하여닫혀있지않다 따라서 은일반선형군 의곱셈에관하여부분군이될수없다 12 이일반선형군 의부분집합임은자명하다 또한, 임의의 에대하여 이고 이므로 을만족한다 따라서 은일반선형군 의곱셈에관하여부분군이될수있다 13 이일반선형군 의부분집합임은자명하다 또한, 임의의 에대하여 이고 이므로 을만족한다 따라서 은일반선형군 의곱셈에관하여부분군이될수있다 - 4 -

5 정의역을 로갖는모든실가함수의집합을 라하고 를 내의모든점에 0 이아닌값을함수 로구성된 의부분집합이라하자 문제 7~12 에서유도된이항연산을갖는 의주어진부분집합이 덧셈에대해군 의부분군 곱셈에대한군 의부분군이되는지를결정하라 14 부분집합 1 를만족하지않는다 ( 항등함수 0 이존재하지않는다 ) 2 를만족한다 ( 는 의부분집합임에는자명하다 또한, 임의의 ( ) 에대하여 이므로 이고 이므로 이다 따라서 는곱셈에대하여군 의부분군이다 ) 15 1 를만족한다 ( 는 의부분집합임에는자명하다 또한, 임의의 ( ) 에대하여 이므로 이고, 이므로 이다 따라서 이다 그러므로 는덧셈에대하여군 의부분군이다 ) 2 를만족하지않는다 ( 에대한역원이존재하지않는다 ) 16 1 를만족하지않는다 ( 덧셈의연산에관하여닫혀있지않다 ) 2 를만족한다 ( 가 의부분집합임을자명하다 또한임의의 ( ) 에대하여 이므로 이므로 이다 그리고 이므로 이다 따라서 는곱셈에대하여군 의부분군이다 ) 17 1 를만족하지않는다 ( 덧셈에관한연산에닫혀있지않다 ) 2 를만족한다 ( 가 의부분집합임을자명하다 또한임의의 ( ) 에대하여 이므로 이므로 이다 그리고 이므로 이다 따라서 는곱셈에대하여군 의부분군이다 ) - 5 -

6 18 1 를만족하지않는다 ( 덧셈에관한연산에닫혀있지않다 ) 2 를만족하지않는다 ( 곱셈에관한연산에닫혀있지않다 ) 19 내의모든상수함수들의집합 내의모든상수함수들의집합을 라할때 1 를만족한다 ( 이므로덧셈에관하여군을이룬다 ) 2 를만족하지않는다 ( 0 에관한역원이존재하지않는다) 20 다음에주어진많은군중에서한군이다른어떤군의부분군이되는지의모든관계를찾아보아라 = 덧셈에대한 = 덧셈에대한 = 곱셈에대한 = 덧셈에대한 = 곱셈에대한 = 곱셈에대한 = 덧셈에대한 = 곱셈에대한 6 의모든정수배의집합 = 곱셈에대한 덧셈에관한연산에서는 을만족한다 그러므로 의관계를만족한다 한편, 곱셈에관한연산에서는 을만족한다 그러므로 의관계를만족한다 21 다음각순환군에서적어도 5 개의원소를써라 덧셈에대한 곱셈에대한 - 6 -

7 곱셈에대한 문제 22~24 에서는주어진 2 차정방행렬에의해서생성된일반선형군 의순환부분군의모든원소를나타내시오 22 이므로위수 2 인순환군이다 그러므로 는 에의해생성된순환부분군이다 23 이므로따라서 는 에의해생성된순환부분군이다 24 이므로따라서 는 에의해생성된순환부분군이다 25 는짝수 는홀수 는 에의해생성된순환부분군이다 26 다음군중에서순환군은어느것이며, 각순환군에대해서그군의모든생성원을찾아라 곱셈에대한, 덧셈에대한 순환군인것은 이고이때생성원은각각 이다 - 7 -

8 문제 27~35 에서주어진원소로생성되는군의순환부분군의위수를찾아라 27 3 에의해서생성되는 의부분군 ( 표 510 참조 ) , 3+3=2, 3+3+3=1, =0 이므로 이다 따라서 에의해서생성되는 의부분군의위수는 4 이다 28 에의해서생성되는 의부분군 ( 표 511 참조 ) e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e c, c*c=e, c*c*c=c 이므로 이다 따라서 에의해서생성되는 의부분군의위수는 2 이다 29 에의해서생성되는 의부분군 여기서, 이다 이므로 의위수는 3 이다 따라서 에의해서생성되는 의부분군의위수는 3 이다 30 에의해서생성되는 의부분군 실제로계산해보면 이성립하므로 에의해서생성되는 의 부분군의위수는 5 이다 - 8 -

9 31 에의해서생성되는 의부분군 이므로 의위수는 4 이다 따라서 에의해서생성되는 의부분군의위수는 4이다 32 에의해서생성되는 의부분군 실제로계산해보면 이성립하므로 에의해서생성되는 의 부분군의위수는 8 이다 33 아래의행렬에의해서생성되는역행렬을갖는 의행렬의곱셈에대한군 의부분군 위수는 이성립하므로 2 이다 에의해서생성되는순환부분군의 34 아래의행렬에의해서생성되는역행렬을갖는 의행렬의곱셈에대한군 의부분군 이고 그러므로 에의해서생성되는순환부분군의위수는 이다 4 이다 - 9 -

10 35 아래의행렬에의해서생성되는역행렬을갖는 의행렬의곱셈에대한군 의부분군 그러므로 이고 에의해서생성되는순환부분군의위수는 이다 3 이다 36 비슷한방법으로, 6 개의원소를갖는순환군 에대한표 525 를완성하라 에서주어진군 의부분군 를계산하라 어느원소가 에서주어진군 에대한생성원인가? 1과 5가군 의생성원이다 에대한이들부분군의 도표를작성하라 뒤에이들이 의모든부분군임을보인것이 다 (=<1>=<5>) <2>(=<4>) <3> <0>

11 문제 37 과 38 에서 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 37 A subgroup of a group is a subset of that contains the identity element of and also contains the inverse of each of its elements 군 의부분집합 가군 의부분군이되기위한필요충분조건은다음을만족해야한다 (1) 결합법칙이성립해야한다 이는 가 의부분집합이므로자명하다 (2) 항등원이존재해야한다 이는가정에의하여군 의항등원 를 가포함한다 (3) 역원이존재해야한다 이또한가정에의하여만족한다 (4) 의이항연산에관하여닫혀있어야한다 하지만이는위의조건이보장해주지못하고있다 따라서 의이항연산에관하여 가닫혀있음을첨가해주어야 가 의부분군임을보장해줄수 있다 38 군 가순환군일필요충분조건은 를만족하는 가존재하는것이다 올바른정의이다 39 참, 거짓을판정하라 모든군에서결합법칙이성립한다 군에대한정의에의하여결합법칙이성립함은자명하다 약분법칙을만족하지않는군은있을수있다 군에서역원이존재하고그연산은닫혀있으므로반드시소약법칙은성립한다 모든군은그자신의부분군이다 를군이라하자 그러면 는자기자신의부분집합이고 가군이므로결합법칙이만족하며항등원과역원이존재한다 따라서 는그자신의부분군이다 모든군은꼭두개의비진부분군 (improper) 을가지고있다 인자명군을생각해보자 그러면이군의부분군은자신하나뿐임을알수있다 모든순환군에서는모든원소가생성원이다 은덧셈연산에관하여순환군을이루지만생성원으로 만을갖는다 이군의부분군이된다 다른원소로생성된순환군은

12 순환군은유일하게하나의생성원을갖는다 은덧셈연산에관하여순환군을이루지만생성원으로 를갖는다 따라서순환군은유일하게하나의생성원을갖는것은아니다 덧셈에대한군이되는수의집합은곱셈에대해서도또한군이된다 는군이지만 는군이아니다 부분군은군의부분집합이라고정의해도좋다 는군이다하지만그군의부분집합 은군이아니다 따라서부분군을군의부분집합이라고정의하면이런오류를범할가능성이있다 그러므로부분군을군의부분집합이라고정의하면안된다 는순환군이다 로써생성원 1 이존재한다 따라서 는순환군이다 모든군의부분집합은유도된이항연산에대해서부분군이다 모든군의부분집합은유도된이항연산에대해서결합법칙은성립한다 하지만항등원, 역원이항상존재하는것은아니다 따라서이는잘못된명제이다 [ 참조 ] 40 항등원 를갖는어떤군에서이차방정식 가세개이상의해를가질수도있음을예로 들어라 클레인 - 군 (= ) 을생각해보자 여기서 을만족한다 따라서 를만족하는해는 4 개존재한다 문제 41 과 42 에서 를군 에서군 으로의동형사상이라하자 Write out a proof to convince a skeptic of the intuitively clear statement 41 를군 의부분군이라하자 그러면 가 의부분군이다 즉, 준동형사상은부분군을부분군으로운반한다 이므로 임은자명하다 단, 는각각 의항등원이다 또한 가잘정의되어있으므로 임은자명하다 이제임의의 에대하여

13 를만족한다 여기서 가부분군이고 는 의원소이므로 임을알수있다 따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 42 가순환군이면 또한순환군이다 순환군 준동형사상 따라서 는순환군이다 43 만약 와 가가환군 의부분군이면 는 의부분군이다 라하자 이고 이므로 임은자명하다 또한 와 가 의부분군이므로 이다 이제임의의 에대하여 가존재해서 가성립한다 또한 ( 는가환군이고 는 의부분군이다 ) 이성립한다 단, 는 에서 의역원이다 따라서 는가환군 의부분군이다 44 다음논법에서잘못된곳을찾아라 : 정리 514 의조건 2 는불필요하다 왜냐하면조건 1 과 3 으로부터이것을유도할수있기때문이다 이면조건 증명된다 3 에의해서 이고조건 1 에의해서 는 의원소이다 따라서조건 2 가 [ 정리514] 군 의부분집합 가 의부분군일필요충분조건은다음세조건을만족하는것이다 (1) 는 의이항연산에관하여닫혀있어야한다 (2) 의항등원 가 의원소이어야한다 (3) 모든 에대하여또한 이참이어야한다 항등원이존재한다는가정하여역원의정의는내릴수있다 즉, (2) 를만족하지않는상태에서 (3) 의참 이라고볼수없는데위의논법은 (3) 이참이라는잘못된가정에서출발하는모순을보여주고있다

14 45 군 의공집합이아닌부분집합 가 의부분군일필요충분조건은모든 에대하여 이다 ( ) 가 의부분군이므로임의의 에대하여 는자명하게성립한다 ( ) 다음조건에의하여 는군 의부분군이된다 (1) 결합법칙이성립한다 ( 가군 의부분집합이므로자명하게성립한다 ) (2) 항등원이존재한다 ( 이므로임의의 에대하여 가성립한다 ) (3) 역원이존재한다 ( 임의의 에대하여 이다 ) (4) 닫혀있다 ( 임의의 에대하여 이므로 이다 ) 46 단하나의생성원을갖는순환군이기껏해야두원소를가질수도있음을보여라 순환군은 또는 과동형이다 그러므로 와 에관하여논하여도충분하다 (1) 와동형인경우 의생성원은 1과 -1 이다 따라서순환군의생성원또한두개존재한다 이는위의조건에모순됨을알수있다 (2) 과동형인경우 라하자 에대하여 가생성원이라하자 그러면 이다 즉, 이다 이면자명하게하나의생성원만존재하고원소또한많아야두개이다 인경우 이므로적어도두개의생성원 따라서이경우에는위의조건에모순된다 1과 이존재한다 그러므로 (1) 과 (2) 에의하여단하나의생성원을갖는순환군은 또는 와동형이다 즉, 기껏해야두원소만을가질수있음을알수있다 47 가항등원 를갖는가환군이면, 방정식 를만족하는모든 의집합은 의부분군 를형성함을증명하라 라하자 이제 가가환군 의부분군임을보인다 이므로 이고 임은자명하다 이제임의의 에대하여 가가환군이므로다음이성립한다 따라서 이다 그러므로 는가환군 의부분군이다

15 48 문제 47 를일반화하여 가항등원 를갖는가환군이면, 고정된양의정수 에대하여방 정식 의해의집합 는 의부분군임을증명하라 라하자 이므로 이고 임은자명하다 이제임의의 에대하여 이고 ( : 가환군) ( 역원의성질) ( ) 따라서 이다 그러므로 는가환군 의부분군이다 49 가항등원 를갖는유한군이고 이면, 가되는 가존재함을보여라 임의의 에대하여 가존재하여 이다 ( 가존재하지않는다면 가유한군임에모순된다 ) 그러면소약법칙에의하여다음이성립한다 이제 이라하자 그러면 임을알수있다 그러므로 가되는 가존재함을알수있다 50 군 의공집합이아닌유한집합 가 의이항연산에대해닫혀있다고하면 가 의부분군임을보여라 가 의부분집합이므로결합법칙이성립함을자명하다 그리고가정에의하여 의연산에관하여닫혀있다 이제항등원과역원의존재성만보이면충분하다 가유한집합이므로 라하자 임의의 에대하여 이다 조건에의하여 의이항연산에대하여닫혀있으므로 가성립한다 이제 라면 이므로소약법칙에의하여 임을알수있다 즉, 이다 따라서 이면 이므로 이다 그러면 를만족하는 가존재함을알수있다 그러므로 의항등원은 이존재한다 단, 는 의항등원마찬가지로 를만족하는 가존재한다 그러므로 의역원은 이존재한다

16 51 는군이고 는 의하나의고정된원소이다 가 의부분군임을보여라 우선 이므로 이다 또한 임은자명하다 이제임의의 에대하여 ( 결합법칙) ( ) ( 결합법칙) ( ) ( 결합법칙) 이성립한다 따라서 이다 또한 이성립한다 따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 52 문제 51 을일반화하여 를군 의어떤부분집합이라하자 가 의부분군임을보여라 우선임의의 에대하여 이므로 이다 또한 임은자명하다 이제임의의 와임의의 에대하여 ( 결합법칙) ( ) ( 결합법칙) ( ) ( 결합법칙) 이성립한다 따라서 이다 또한 이성립한다 따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 에서의부분군 는 의중심이라한다 가가환군임을보여라 라하자 (a) 에의하여군임은자명하게보일수있다 이제가환임을보이면충분하다 임의의 와임의의 에대하여가정에의하여다음이성립한다 따라서 는가환이다

17 53 를군 의부분군이라하자 에대하여 일필요충분조건은 이라하자 그러면 은 위에서동치관계임을보여라 1 ( 항등원의존재) 2 이면 이므로 이다 ( 역원이존재) 3 이고 이면 이므로 이다 ( 닫혀있음) 따라서 은 위에서동치관계이다 54 집합 와 에대해서교집합 를 로정의한다 만약 이고 이면 임을보여라 이고 이므로 이고 임은자명하다 이제임의의 에대하여 이고 이므로 가 의부분군이라는가정에의해 이고 을만족한다 따라서 이다 그러므로 또한 의부분군이다 55 모든순환군은가환임을보여라 임의의순환군 에대하여적당한원소 가존재하여 를만족한다 이제임의의 에대하여적당한 이존재하여 를만족한다 그러면 이성립한다 따라서모든순환군은가환이다 56 한가? 를군이라하고 라하자 이 의부분군이되자면 에무슨조건이필요 항등원이존재해야한다 즉, 이되는 이존재해야한다 또한 의범위를명백히해줘야한다 즉, 57 비자명진부분군을갖지않는군은순환군임을보여라 이면자명하다 그러면 인경우에대하여 를비자명진부분근을갖지않는군이라하 자 그러면 인임의의 에대하여 가 의부분군임에는자명하다 하지만가정에서 가 비자명진부분군을갖지않기때문에 일수밖에는없다 따라서 는생성원 가존재한다 그러므로 는순환군이다

18 Fraleigh 대수 6 장순환군 문제 1~4 에서 을 으로나눌때호제법에따라몫과나머지를구하라 1 이므로따라서몫은 4이고나머지는 6 이다 2 이므로따라서몫은 -5이고나머지는 3 이다 3 이므로따라서몫은 -7이고나머지는 6 이다 4 이므로따라서몫은 6이고나머지는 2 이다 문제 5~7 에서두정수의최대공약수를구하여라 5 32 와 24 유클리드호제법에의하여다음이성립한다 따라서 이다 6 48 과 88 유클리드호제법에의하여다음이성립한다 따라서 이다 과 420 유클리드호제법에의하여다음이성립한다 따라서 이다

19 문제 8~11 에서주어진위수를갖는순환군의생성원의개수를구하여라 8 5 5를위수로갖는순환군의생성원의개수를오일러 함수를이용하면 이다 9 8 8를위수로갖는순환군의생성원의개수를오일러 함수를이용하면 이다 를위수로갖는순환군의생성원의개수를 오일러 함수를이용하면 이다 를위수로갖는순환군의생성원의개수를오일러 함수를이용하면 이다 자기자신으로의군동형사상을군자기동형사상이라고한다 다음문제 12~16 에서주어진군의자기동형사상의개수를찾아라 12 를자기동형사상이라하자 의생성원 1 인경우 1에대하여 또는 이다 이므로 이다 이는가정에모순된다 2 인경우 이고이때 는동형사상임에자명하다 따라서 의자기동형사상의개수는 1 개이다 13 를자기동형사상이라하자 의생성원 1 인경우 1, 5에대하여 또는 또는 이다 이므로 이다 이는가정에모순된다 2 인경우

20 이고이때 는동형사상임에자명하다 3 이고이때 는동형사상임에자명하다 따라서 의자기동형사상의개수는 2 개이다 즉, 생성원의개수와같음을알수있다 14 위와비슷한방법으로하면 의자기동형사상의개수는 즉, 이있다 4 개이다 15 의자기동형사상의개수는 2 개이다 즉, 또는 이있다 16 의자기동형사상의개수는 4 개이다 즉, 이있다 문제 17~21 에서주어진순환군의원소의개수를구하라 에의해서생성되는 의순환부분군 이므로원소의개수는 6 개이다 에의해서생성되는 의순환부분군 이므로원소의개수는 7 개이다 19 0 이아닌복소수의곱셈에대한군 의순환부부군 이므로원소의개수는 4 개이다 20 에의해서생성되는문제 19 의군 의순환부분군 이므로원소의개수는 8 개이다

21 21 에의해서생성되는문제 19 의군 의순환부분군 를만족하는 이존재하지않는다 따라서무한위수를갖는순환군이다 그러므로원소 의개수는무한히많다 문제 22~24 에서주어진군의모든부분군을구하고그부분군에대한 도표를그려라 22 주어진군의모든부분군은다음과같다 위의부분군에대한 도표는다음과같다 생략함 생략함 - 문제 25~29 에서주어진군의모든부분군의위수를구하라 25,,, 간략히설명하면, 이고 이므로부분군은 4 개이다 이때위수는 1, 2, 3, 6 이다

22 26 실제로부분군을구하는것은 이순환군이므로각각의원소가생성하는군을생각하면충분하다 그 러므로생략한다 간략히설명하면, 이고 이므로부분군은 4 개이다 또 한이때위수는 1, 2, 4, 8 이다 27 - 생략함 생략함 생략함 - 문제 30 과 31 에서 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 30 군 의원소가위수 를갖을필요충분조건은 를만족하는것이다 를만족하는최소의양의정수라고바꿔야옳은정의이다 31 두양의정수의 옳은정의이다 최대공약수는는그들둘을나눌수있는가장큰양의정수이다 32 참, 거짓을판정하라 모든순환군은가환이다 임의의순환군 에대하여 임의의 에대하여 가존재하여 을만족하고이때 가성립한다 따라서모든순환군은가환임을알수있다 모든가환군은순환적이다 ( 반례) 군은가환이지만순환적이지는않다

23 덧셈에대한군 는순환군이다 가순환적이라고가정하자 그러면 이다 이제 인임의의 에대하여 을만족한다 이는 가정수임에모순된다 따라서 는순환적이지않다 모든순환군의모든원소는그군을생성한다 ( 반례) 는순환군임에는자명하다 하지만 이다 모든유한위수 > 0 를갖는가환군은적어도하나존재한다 임의의유한위수 을갖는순환군 은존재함은자명하다 또한순환군은가환군임은자명하게알고있다 따라서위의명제는참임을알수있다 위수가 4 보다적거나, 같은모든군은순환적이다 ( 반례) 는위수가 4 이지만순환적이지는않다 의모든생성원은소수이다 ( 반례) 의생성원은 1, 3, 7, 9, 11, 17, 19이지만여기서 9 는소수가아니다 와 를군이라하자 그러면 또한군이다 를각각 의항등원이라하자 이면자명하다 그러므로 이라하자 만약 이군이라면항등원 이존재한다 또한 는각각 의부분군이므로 를만족한다 이는모순이다 따라서 인군 에대해서는 또한군이라고할수없다 와 를군 의부분군이라하자 그러면 는군이다 이고 이므로 이고 임은자명하다 이제임의의 에대하여 이고 이므로 가 의부분군이라는가정에의해 이고 을만족한다 따라서 이다 그러므로 또한 의부분군이다

24 위수가 2 보다큰모든순환군은적어도 2 개의서로다른생성원을갖는다 군 를위수 인임의의순환군이라하자 에대하여 임은자명하다 그러면 가군 의생성원일필요충분조건은 이다 여기서 이므로적어도 임을안다 따라서적어도 2 개의서로다른생성원을갖는다 문제 설명하라 33~37 에서주어진성질을갖는군의예를들든지또는그런예가존재하지않는다면이유를 33 순환하지않는유한군 또는 34 순환하지않는무한군 또는 35 단하나의생성원을갖는순환군 또는 36 4 개의생성원을갖는무한순환군 무한순환군은 와동형이다 하지만 는 2개의생성원 1, -1 만을갖는다 이는모순이다 따라서 4 개의생성원을갖는무한순환군은존재하지않는다 37 4 개의생성원을갖는유한순환군 또는 에속하는 1 의 제곱근의곱셈에대한순환군 의생성원을 제 38~41 에서주어진 의값에대하여 1 의원시적 제곱근을구하라 즉, 1 의원시적 제곱근이라부른다 문

25 생략함 생략함 생략함 생략함 - 44 를생성원 를갖는순환군이고 를 와동형인군이라하자 가동형사상이면임의의 에대하여 는 의값에의하여완전히결정됨을보여라 즉, 두동형사상 이 를만족하면임의의 에대하여 를만족함을보여라 임의의 에대하여적당한 가존재해서 을만족한다 그러면 가동형사상이므로 을만족한다 따라서 는 의값에의하여결정된다 즉, 두동형사상 이 이면또한 가성립하여 임을알수있다 45 과 를양의정수라하자 이군 의부분군임을보여라 라하자 일때, 임을알수있다 그러므로 이다 또한 임은자명하다 이제임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 그리고 ( ) 이다 따라서 는 의부분군이다

26 46 와 를군 의원소라하자 가유한위수 을갖는다면 또한위수 을갖음을보여라 라고하자 이므로따라서 이다 한편 이므로따라서 이다 그러므로 이다 즉, 가유한위수 을갖는다면 또한위수 을갖는다 47 와 를양의정수라하자 어떤순환군이생성원으로서 와 의최소공배수를정하라 단, 는 와 의최소공배수이고 는 와 의최대공약수이다 ( 정확하게문제가요구하고있는것이뭔지이해가안됨ㅜ ) 과 의최소공배수는어떤조건하에서 가되는가? 즉, 과 의최대공약수가 1일때최소공배수는 이다 를일반화하여 과 의최대공약수와최소공배수의곱은 임을보여라 이므로최대공약수와최소공배수의곱은 임을알수있다 48 단지유한개의부분군을갖는군은유한군이어야함을보여라 군 가유한군이면라그랑지정리에의하여단지유한개의부분군을갖는것은자명한사실이다 이제군 가무한군일때유한개의부분군이존재하지않음을보이면충분하다 군 가무한군일때, 임의의 에대하여 또한무한이다 그리고 인 에대하여 임은자명하다 그러므로적어도군 의원소에의하여생성된순환부분군의개수만큼은부분군이존재한다 하지만원소의개수가무한이므로단지유한개의부분군이존재하지는않는다 49 정리 66 의다음 역 이참이아님을반례를들어보아라 만약군 적이면 도순환적이다 라하자 그러면진부분군은 로써모두순환적이다 하지만 는순환적이지않다 의모든진부분군이순환

27 50 가군이고 가위수 가정하자 모든 에대하여 임을보여라 [ 기교 : 을고려하여라 ] 모든 에대하여 2 인순환부분군을생성하고이것이그런원소로는유일한것이라고 를만족한다 그러면 의위수는라그랑지정리에의하여 1 또는 2 이다 하지만위수가 1이면 가되어 의위수가 2 인가정에모순된다 한편, 가정에의하여위수 2인원소는유일하므로 이성립한다 즉, 이다 따라서모든 에대하여 이다 51 와 가소수일때, 순환군 의생성원의개수를구하라 오일러 함수에의하여순환군 의생성원의개수는다음과같다 이면 이고 이면 이다 52 가소수일때, 순환군 의생성원의개수를구하라 단, 는 1 이상인정수이다 오일러 함수에의하여순환군 의생성원의개수는 이다 53 위수 인유한순환군 에서방정식 는 을나누는각양의정수 에대하여 내에서정확히 개의해 를가짐을보여라 1 아시다시피 이다 그러므로 인임의의 에대하여 이성립한다 즉, 는군 에서방정식 의해이다 게다가만약 인 가존재해서 를 만족한다면소약법칙에의하여 이고 이다 그러므로 이다 즉, 인임의의 에대하여 는모두서로구별되는방정식 의영점이다 서 에서방정식 의해 는적어도 개를갖는다 2 의해를 라고가정하자 그러면 따라 를만족하고이는군 에서 의해 가많아야 개있음을의미한다 1, 2로부터 의해는정확히 개존재한다

28 54 문제 53 을참고로하여 이고 이 을나누지않는경우는어떠한가? 위의가정하에서는 를만족하는 이존재할수없다 만약존재한다면 이위수라는정의에모순되기때문이다 55 가소수이면 는비자명진부분군을갖지않음을보여라 비자명진부분군을갖는다고가정하고이를 라하자 즉, 이다 그러면 의위수는라그랑지정리에의하여 의위수 를나눈다 따라서 의위수는 또는 1 이다 이는모순이다 그러므로 는비자명진부분군을갖지않는다 [ 다른] 는순환군이므로부분군또한순환군임에는자명하다 그러므로모든원소에대해생성되는순환군이존재하는지그리고그때생성되는순환부분군이비자 명진부분군인지보여주면충분하다 인임의의 에대하여 임에는자명하다 또한 이고 이므로 이다 따라서 이다 그러므로 는비자명진부분군을갖지않는다 56 가가환군이면 와 를 이고 인유한순환부분군이라하자 과 가서로소이면, 가위수 를갖는순환부분군을가짐을보여라 가각각순환군이므로생성원 가존재해서 를만족한다 또한각각의위수가 이므로 를만족한다 단, 는 의항등원이다 이제 의위수가 임을보인다 우선 라하자 ( : 가환군) 이므로 이다 역으로, 을만족한다 가정에의하여 과 가서로소이므로 이고 그러면 이다 그러므로 이고 이다 즉, 이다 따라서군 는위수 인순환부분군 를갖는다 [ 다른] 이제 의위수가 임을보인다 우선 라하자 ( : 가환군) 이므로 이다 역으로, 을만족한다 즉, 이다 ( 이라하자

29 그러면 이므로 이다 역으로 이므로 이다 따라서 이다 ) 이고 이므로 이고 이고 이므로 이고 이므로 따라서군 는위수 인순환부분군 를갖는다 를일반화해서 가 과 의최소공배수인위수를가는순환부분군을포함함을증명한다 가각각순환군이므로생성원 가존재해서 를만족한다 또한각각의위수가 이므로 를만족한다 단, 는 의항등원이다 라하고이때, 라고하자 즉, 이다 그러면 또는 이다 ( 만약 이고 이면 이므로 가최대공약수임에모순된다 ) 단, 는 와 의최소공배수이고 는 와 의최대공약수이다 1 인경우 이고 이므로 에의하여위수 인순환부분군 가존재함을 알수있다 2 인경우 이고 이므로 에의하여위수 인순환부분군 가존재함을 알수있다 실제로 이고 라하자 그러면 이고 이므로 이다 은경우는성립하지않는다 이유인즉, 이기때문이다 참고로위의증명에서의연산은곱셈연산이고예로든연산은덧셈연산이다

30 Fraleigh 대수 8 장치환군 문제 1~5 에서 의다음치환에대한주어진곱을계산하라 1 순환치환의곱으로나타내면다음과같다 그러면 이다 따라서 이다 2 이다 따라서 이다 3 이다 따라서 이다 4 이므로 이다 그러면 이다 따라서 이다 5 이므로 이다 따라서 이다

31 문제 6~9 에서앞의문제 1 에서정의된치환 와 에대해서다음을계산하라 즉, 6 이다 7 이다 8 이므로 이다 따라서 이다 9 이므로 이다 따라서 이다 10 Partition the following collection of groups into subcollections of isomorphic groups Here a superscript means all nonzero elements of the set under addition under multiplication under multiplication under multiplication under addition under multiplication under addition under addition under addition - 생략함 - the subgroup of under multiplication the subgroup of generated by

32 를집합이라하고 라하자 주어진 에대해집합 를 에대한궤도라한다 문제 11~13 에서앞의문제 1 에서정의된치환에대한 1 의궤도를구하라 즉, 표 88 에서 의여섯원소의이름으로 를사용하였다 혹자는이들원소를기 호 를사용하기도하는데 는항등원 이며, 는우리의, 그리고 는우리의 이다 기하학적으로그들의 6 가지표현이 의모든원소를나타내줌을보여라 는위의정삼각형의내심을중심으로 120도회전변환이고 는꼭지점 3과변12의중점을이은선분 을중심으로하는대칭변환이라하면 이 의원소 를나타내줌을 확인할수있다 실제로 임 을알수있다

33 15 문제 14 를참고로해서, 표 812 에서의 의 8 가지원소에대하여다른표현을유도해보자 집합 의원소의수를구하라 의개수를찾아보면충분하다 따라서 개이다 17 집합 의원소의수를구하라 의개수를찾아보면충분하다 따라서 개이다 18 예제 87 의군 에대하여 의순환부분군 와 을구하라, 의모든부분군 ( 진그리고비진 ) 을구하고이들에대한 Lattice 도표를그려라

34 19 Verify that the subgroup diagram for shown in Fig 813 is correct by finding all (cyclic) subgroups generated by one element then all subgroups generated by two elements, etc 1 하나의생성원에의하여생성되는부분군 :,,,,,, 2 3 두개의생선원에의하여생성되는부분군 :,, Lattice 도표그리는것은생략함 4 따라서 에서주어진부분군의다이어그램은옳은표현이다 20 에의해생성되는 의순환부분군에대한곱셈연산표를만들어라 이때, 여섯 개의원소를 그리고 라하면이군은 와동형인가? 이므로 따라서 이고 이들각각의원소의위수는 6, 6, 3, 3, 2, 1 이다 이는 의원소의위수와는다름을알수있다 따라서 와동형이아니다 21 여섯개의행렬 은행렬의곱셈에대하여군을이룸을 증명하라 [ 힌트 : 이들행렬의모든곱을계산하지말고열벡터 에여섯개의각행렬을왼쪽에곱 하면어떻게변형되는가를생각하라 ] 위의여섯개의행렬에열벡터 를각행렬의왼쪽에곱하면다음과같은치환을얻을수있다 이는 와동형임에자명하다 따라서 6 개의행렬은곱셈의연산에관하여군을이룬다 ( 구체적으로군을이룸을보여야겠지만간접적으로증명함) 이절에서연구한군중에서어느것이이여섯행렬의군과동형인가? 와동형이다

35 22 문제 21 를하고난뒤에 와동형되는치환의곱에대해군을형성하는여덟개의행렬을써 라 23~ 27 - 생략함 - 28, 29 에서, correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 28 A permutation of a set is a one-to-one map from to 전사사상임이추가되어야한다 치환은 에서 로의전단사사상이기떄문이다 29 The left regular representation of a group is the map of into is the permutation of that carries each into whose value at 옳은정의이다 문제 30~34 에서주어진함수가 위에서치환인가를결정하라 30 로정의된 이전단사함수이므로치환이다 31 로정의된 가전사및단사가아니므로치환이아니다 32 로정의된 가전단사함수이므로치환이다 33 로정의된 는단사사상이지만전사사상이아니므로치환이아니다 34 로정의된 는전사사상이지만단사사상이아니므로치환이아니다

36 35 참과거짓을판정하라 모든치환은 1-1 함수이다 임의의치환은전단사함수이다 그러므로 1-1 함수이다 함수가치환이되기위한필요충분조건은 ( 반례) [ 문제 33] 은 1-1 이지만치환이아니다 1-1 이다 유한집합에서자기자신위로대응하는함수는 1-1 이어야한다 를유한집합이라하자 그리고 를 에서 위로의사상이라고하자 이제 가 1-1 함수가아니라고가정하자 그러면 에대하여 인 가존재한다 따라서 임을알수있다 이는 인가정에모순이다 그러므로 1-1 함수이다 임의의군 는 의부분군과동형이다 ( 반례) 이라할때, 이고이때위수가 3인 부분군은 로유일하다 하지만 와 는동형이아니다 만약동형이라고가정하면, 의각각의원소들의위수 는같아야한다 하지만다르다 그러므로모순이다 따라서위의명제는잘못된명제이다 1, 3, 3과 의각각의원소들의위수 1, 2, 2 가환군의모든부분군은가환이다 를군 의부분군이라하자 그러면임의의 이므로 가성립한다 따라서 또한가환이다 군의모든원소는그군의순환부분군을생성한다 임의의 에서 가군 의부분군임을보이면충분하다 임의의 에대하여 가존재하여 를만족한다 ( ) 따라서모든원소는그군의순환부분군을생성한다 대칭군 은 10 개의원소를갖는다 개의원소를갖는다

37 대칭군 는순환군이다 [ 문제 18] 을참조하면 의각원소에대하여 가순환군이기위한생성원이존재하지않음을확인할수있다 따라서순환군이아니다 어떤 에대해서도 은순환군이아니다 ( 반례) 일때, 는순환군이다 모든군은어떤치환군과동형이다 Cayley's 정리의의하여참인명제이다 36 비가환군의모든진부분군은가환군일수있음을예로들어증명하라 는비가환군이다 하지만이군의모든진부분군 는모두가환군이다 37 Let be a nonempty set What type of algebraic structure mentioned previously in the text is given by the set all functions mapping into itself under funtion compositon? - 생략함 - 38 Indicate schematically a Cayley diagraph for using a generating set consisting of a rotation through - 생략함 - radians and a reflection (mirror image) See Ex44 문제 40~43 에서 를하나의집합, 를부분집합이라하고 를 의특정한원소라하자 집합이유도된연산에대해 부분군이되는가를결정하라 40 주어진 따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다

38 41, 라하자 그러면 인 에대하여 이다 따라서연산에닫혀있음을보장해주지못한다 42 라하자 이라하자 그러면위의조건을만족하여 가존재한다 하지만 으로 의부분집합이아니다 즉, 연산에대하여역원의존재성을항상보장해주지못한다 예제 87, 810 와비슷하게 일때정 각형을생각하자 그런두개의 각형에서하나를 다른하나에포갤수있는각방법은꼭지점의어떤치환에대응한다 이치환의집합은치환의곱에 대해 차이면체군 ( th dihedral group) 이라불리는군이된다 이군 의위수를구하라 기하학적으 로이군은전체군의꼭반의원소개수를갖는부분군을갖는다는것을설명하라 이므로 이다 또한순환군 는위수가 으로전체군의꼭반의원소개수를갖는부분군임을알수있다 기하학적인설명은생략하며문제14와 15를참조 45 어떤정육면체에꼭들어가는정육면체를생각하자 예제 88 과 810 에서처럼한정육면체를 다른정육면체속에넣을수있는방법은정육면체의꼭지점의어떤대칭군에대응된다 이군이 group of rigid motion of the cube 이다 (12 장에서공부한정육면체의대칭군과혼돈해서는안된다 ) 이군 에는원소가몇개있는가? 이군은적어도 3 개의위수가 4 인부분군을가짐과적어도 4 개의위수가 3 인부분군을가짐을기하학적으로설명하라 개의원소를갖는다 3개의위수가 4인부분군과적어도 4개의위수가 3인부분군을가짐을기하학적으로보이는것은 생략한다

39 46 에대해서 은가환군이아님을증명하라 인 에대하여 은 이므로비가환이다 따라서 에대해서 은가환군이아니다 47 문제 46 를확장하여 일때모든 에대해서 를만족하는유일한원소 는항 등치환인 이다 이면임의의모든 에대해서 을만족함은자명하다 이제 라고가정하여모순됨을보이자 ( ) 이라하자 이므로 이라하자 그러면 을만족한다 이는모순이다 따라서위의조건을만족하는유일한원소 는항등치환인 이다 48 문제 11 에서정의한개념을참고로, 모든 에대하여 와 가공통인원소를갖는 다면 임을보여라 이라하자 그러면 ( 단, ), 이므로따라서 이성립한다 즉, 이다 역으로 이므로따라서 이성립한다 즉, 이다 따라서모든 에대하여 와 가공통인원소를갖는다면 이다 49 만약 가집합이고, 모든 에대하여 인 가존재할때, 의부분군 는 위에서이동적이라한다 만약 가공집합이아닌유한집합이면 이며 위에서이동적인 의유한순환부분군 가존재함을보여라 이라하자 그러면 이다 이제 에대하여 임은자명하다 그러므로 이며 위에서이동적인 의유한순환부분군 가존재함을알수있다 [ 다른] 이라하자 또한 라하자 그러면 이고 인 에대하여 를만족한다 따라서순환부분군 이 위에서이동적임을의미한다 즉,

40 50 문제 11 과 49 에서의정의를참고로, 에대하여 가 위에서이동적일필요충분조건은어떤적당한 에대해서 임을보여라 가 위에서이동적이라하자 그러면 는 의모든원소를포함해야한다 즉, 이다 역으로어떤적당한 에대해서 라하자 임의의 에대하여 그러면 을만족한다 따라서 는 위에서이동적이다 51 (78 페이지의주의를보라 ) 를이항연산 를갖는군이라하자 를같은집합 로두고, 위에이항연산 를모든 에대하여 로정의한다 ( 가 에대해군이된다는직관적논법 ) 강의실앞쪽벽이투명한유리로되어있고, 에대 한 의모든가능한곱 와 하에서 에대한모든가능한결합 를 매직으로벽위에썼다고가정하자 앞쪽방에서벽의다른쪽을보았을때무엇을보게될것인가? - 생략함 - 가 에대해군이됨을 의수학적정의에서보여라 - 생략함 - 52 Let be a group Prove that the permutation,, where for and do form a group isomorphic to - 생략함 - 53 A permutation matrix is one that can be obtained from an identity matrix by recordering its rows If is permutation matrix and is any matrix and then can be obtained form by making precisely the same recording of the rows of as the recording of the rows which produced form (a) Show that every finite group of order is isomorphic to a group consisting of permutation matrices under matrix multiplication - 생략함 - (b) For each of the four elements and in the Table 511 for the group give a specific matrix that corresponds to it under such an isomorphism - 생략함

41 Fraleigh 대수 9 장궤도, 순환, 치환과교대군 문제 1~6 에서주어진치환이모든궤도들을구하라 , 단, 이다 5, 단 이다 6, 단 이다 문제 7~9 에서 에서의주어진순환치환의곱을계산하라

42 9 문제 10~12 에서 에서의치환을순환치환의곱으로표현하고호환의곱으로도나타 내어라 Recall that element of a group with identity element has order if and no smaller positive power of is the identity Consider the group (a) What is the order of the cycle (b) State a theorem suggested by part (a) 순환치환의위수는그순환치환의궤도의길이와같다 (c) What is the order of?? of?, (d) Find the order of each of the permutations given in Ex 10~12 by looking at its decompostion inti a product of disjoint cycles,

43 In Ex 14~18, find the maximum possible order for an element of for the given value of 14 최대위수는 6 이다 궤도 2인순환치환과궤도 3 인순환치환의곱으로표현될때최대의위수를갖는다 실제로, 이다 15 최대위수는 6 이다 궤도 6인순환치환또는궤도 2인순환치환과궤도 3인순환치환의곱으로표현될때최대위수를갖는 다 실제로, 이다 16 최대위수는 12 이다 궤도 3인순환치환과궤도 4 인순환치환의곱으로표현될때최대위수를갖는다 실제로, 이다 17 최대위수는 30 이다 궤도 2인순환치환과궤도 3인순환치환그리고궤도 5인순환치환의곱으로표현될때최대위수를갖 는다 실제로, 이다 18 최대위수는 105 이다 궤도 3인순환치환과궤도 5인순환치환그리고궤도 7인순환치환의곱으로표현될때최대위수를갖 는다 실제로, 이다 19 Figure 922 shows a Cayley diaraph for the alternating group using the generating set continue labeling the other nine vertices with elements of expressed as a product of disjoint cycles - 생략함

44 문제 20~22 에서, correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 20 For a permutation of a set an orbit of is a nonempty minimal subset of that is mapped into itself by ( 번역) 집합 의치환 에대하여 의궤도는 에의하여자기자신으로사상되는 의최소의공집합이아닌부분집합이다?? 21 A cycle is a permutation having only one orbit 순환치환은 2 개이상의원소를갖는궤도가많아야하나인치환이다 22 The alternating group is the group of all even permutations 교대군은모든우치환들의집합이므로옳은정의이다 23 참, 거짓을판정하라 모든치환은순환치환이다 ( 반례) 에서 는치환이지만순환치환은아니다 모든순환치환은치환이다 정의에의하여옳은명제이다 우치환과기치환의정의는정리 915 에앞서잘정의될수있었다 임의의치환을우치환과기치환으로둘다표현할수있다면우치환과기치환의정의는혼동을야기한 다 따라서정리 9 15 에의하여우치환과기치환의정의는잘정의될수있었다 기치환은포함하는 의모든비자명부분군 는호환을포함한다 ( 반례) 는기치환이지만 로써호환을포함하지는않는다 는 120 개의원소를갖고있다

45 일때, 은순환군이아니다 ( 반례) 일때, 로써생성원 가존재한다 따라서순환군이다 는가환군이다 로써순환군이다 그러므로가환군이다 은 8 을고정시키는 의모든원소의부분군과동형이다 라하자 단, 는 에서 8 을고정시킨것이다 그러면 는동형사상임에자명하다 따라서위의명제는참인명제이다 은 5 를고정시키는 의모든원소들의부분군과동형이다 라하자 단, 는 에서 5 을고정시킨것이다 그러면 는동형사상임에자명하다 따라서위의명제는참인명제이다 에서기치환은 의부분군을이룬다 기치환간의연산은우치환이다 즉, 닫혀있지않다 그러므로부분군이될수없다 24 예제 87 에있는 의치환중어느것이우치환인가? 그리고교대군 를표로나타내시오 에서우치환인것은 이다 이때, 교대군 으로순환군이다 - 표로나타내는것은생략함! - 25 일때, 에대하여다음사실을증명하라 내의모든치환은기껏해야 개의호환의곱으로나타낼수있다 일때, 에서임의의순환치환 는 의 개의호환의곱으로나타낼 수있다 그리고임의의치환 은유한개의순환치환의곱으로나타낼수있다 이때, 를 유한개의순환치환이라하고 을만족한다고하자 그러면 는위의결과에의하여 개의호환의곱으로나타낼수있다 따라서 내의모든치환은많아야 개의호 환의곱으로나타낼수있다

46 순환치환이아닌 에속하는모든치환은기껏해야 개의호환의곱으로나타낼수있다 임의의치환 이순환치환이아니면 는 2개이상의원소를갖는궤도가 2 개이상이존재한다 즉, 는순환치환의 2 개이상의곱으로이루어져있다 따라서 (a) 에의하여 는 의곱으로이루 어져있으므로많아야 개의호환의곱으로이루어져있음을알수있다 에속하는모든기치환은 개의호환의곱으로쓸수있으며모든우치환은 개의호환 의곱으로표시된다 1 를임의의기치환이라하고, 의호환의개수를 라하자 그러면 (a) 에의하여 를만족한다 여기서, 는홀수이고 도홀수이므로 는짝수이다 이때, 항등치환은짝수개의호환의곱이므로다음을만족한다 단, 는 개의곱이다 따라서 는 개의호환의곱으로쓸수있다 2 를임의의우치환이라하고, 의호환의개수를 라하자 그러면 (a) 에의하여 를만족한다 여기서, 는짝수이고 도짝수이므로 는짝수이다 이때, 항등치환은짝수개의호환의곱이므로다음을만족한다 단, 는 개의곱이다 따라서 는 개의호환의곱으로쓸수있다 28 만약 와 가 의서로다른궤도에속하고 이면 의궤도는 의궤도개수보다하나 적음을그림 - 생략함 처럼그려서설명하라 또한 일때 를반복하라 - 생략함

47 29 일때 의모든부분군 에대하여 에속하는모든치환이우치환이거나혹은 의꼭 반이우치환임을보여라 1 가기치환을갖지않는경우 은유한집합이므로 가닫혀있음을보이면충분하다 실제로 ( 우치환)+( 우치환)=( 우치환) 으로닫혀있다 따라서 는우치환으로만이루어진 은부분군이다 2 가기치환을포함한다고하자 즉, 를기치환이라하자 ( ) 라하자 ( 소약법칙) 또한임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 따라서 는자기동형사상이다 는기치환이므로 는우치환을기치환하나로, 기치환은우치환하나로유일하게대응된다 따라서 는 의우치환의집합을 의기치환의집합으로 즉, 는같은수의우치환과기치환을갖는다 1-1 대응된다 그러므로 가기치환을갖는다면우치환의수와기치환의수는같다 30 가집합 의치환이라하고 이면 가 를움직인다고한다 만약 가유한집합이면길이가 인순환치환 에의해서몇개의원소가움직이는가? 움직인다 가유한집합이라하자 라하자 그러면각각의 일때, 을만족한다 또한 일때, 이다 따라서길이가 인순환치환 에의하여 개의원소가이동된다 31 가무한집합이라하자 의유한개의원소만을움직이는 ( 문제 30 참조 ) 모든 의집합을 라하면, 가 의부분군임을보여라 항등치환은유한개의원소를움직이다 따라서 는공집합이아니다 또한 의임의의두원소 에대하여각각 개의원소를움직인다고하자 그러면 는최대 개의원소를움직일수있다 따라서 는 의원소이다 그리고 가 개의원소를움직이면 또한 개의원소를움직이다 따라서 또한 의원소이다 그러므로 는 의부분군이다 32 가무한집합이라하고, 의원소를기껏해야 는 의부분군인가? 그이유는? 50 개움직이는모든 의집합을 라하자 아니다 의연산에관하여 는닫혀있지않다 ( 반례) 라하자 와 는각각 49개와 3 개를움직이는치환이다 그러므로 의원소이다 하지만 는 52 개의원소를움직이다 따라서 의원소가아니다

48 33 고정된 에대하여 을생각해보고 를고정된기치환이라하자 에속하는모든기치환은 와 에속하는적당한우치환과의곱임을보여라 임의의기치환 에대하여기치환 이고정되었을때, 또한기치환이고 는 우치환이다 따라서 이다 이제 이므로따라서임의의기치환은고정된기치환 와어떤우치환에의하여나타낼수있다 34 가홀수의길이를갖는순환치환이면 도순환치환임을보여라 인길이 인순환치환이라하자 즉, 이면 이다 그러면 이다 따라서 또한길이 인순환치환임을알수있다 35 문제 34 에서제시된방법에따라 과 로표현되는조건하나로다음의내용이하나의정리가되로록완성하라 가길이 인순환치환일때, 도순환일필요충분조건은 36 가군이고 를 의한원소라하자 에대해서 로정의되는사상 는집합 의치환임을보여라 1 ( 군의소약법칙) 따라서 는단사사상이고잘정의되어있는사상이다 2 임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 따라서 는전사사상이다 3 1과 2에의하여 는전단사사상이므로집합 의치환이다 37 문제 36 를참고로하여 는 의부분군임을보여라 단, 는 의모든치환의군이다 1 임이자명하다 2 임의의 에대하여 를만족한다 여기서 이므로따라서 이다 3 임의의 에대하여 이므로따라서 이다 따라서 는 의부분군이다

49 38 8 장의문제 49 를참고로하여문제 37 의 는집합 위에서이동적임을보여라 [ 힌트 : 4 장에있는정리에서즉시얻을수있는따름정리이다 ] 임의의 에대하여 를만족하는 가존재함을보이면충분하다 이제 를만족하는 를선택하자 즉, 이다 그러면위의조건을만족시킨다 따라서 는집합 위에서이동적이다 39 은 에의해서생성됨을보여라 [ 힌트 : 을움직일때 은호환 을 만들게됨을보이고, 모든호환은이들호환의곱임을보인다 ] 일때, 일때, 일때, 일때, 임을알수있다 또한임의의호환 에대하여 이성립한다 임의의치환은유한개의순환치환의곱으로나타낼수있으며순환치환은유한개의호환의곱으로나타 낼수있다 즉, 임의의치환은유한개의호환의곱으로나타낼수있다 따라서 상의임의의치환은각각의 에대하여 의유한번의곱에의 하여나타낼수있다 따라서 이다

50 Fraleigh 대수 10 장잉여류와라그랑지정리 1 의부분군 에대한잉여류를구하라 2 의부분군 에대한모든잉여류를구하라 3 의부분군 에대한모든잉여류를구하라 4 의부분군 에대한모든잉여류를구하라 5 의부분군 에대한모든잉여류를구하라 6 표 812 에서주어진군 의부분군 에대한모든좌잉여류를구하라 따라서군 의부분군 에대한좌잉여류는 이다 7 앞의연습문제를반복해서이번에는우잉여류를구하라 이들은좌잉여류와같은가? 따라서군 의부분군 에대한우잉여류는 이고, 여류과다름을확인할수있다 위의좌잉

51 8 문제 7 에서좌잉여류에나타나는순서를따라표 812 를다시작성하라 위수 4 인잉여군을갖는 다고생각하는가? 그렇다면그것은 와동형인가? 또는 4- 군 와동형인가? 잉여군이될수없다 9 의부분군 에대해문제 6 을반복하라 10 앞의연습문제를반복해서이번에는우잉여류를구하라 이들은좌잉여류와같은가? 이고, 위의좌잉여류롸같음을확인할수있다 11 문제 9 에서의좌잉여류에의해서나타나는순서에따라표 812 을다시작성하라 위수 4 인잉 여군이된다고생각하는가? 그렇다면그것은 와동형인가또는 - 생략함 - 4- 군 와동형인가? 12 군 에서의 의지수를구하라

52 13 예제 107 의기호를사용해서군 에서의 의지수를구하라 14 표 812 에서주어진군 에서의 의지수를구하라 15 Let in Find the index of in 이므로 이다 그러므로 16 Let in Find the index of in 문제 17 과 18 에서 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 17 Let be a group and let The left coset of containing is 가 의부분집합이아니라보다강화된부분군이어야한다 즉, 가군이고 가군 의부분군일때, 를포함하는 의좌잉여류는 이다 18 Let in be a group and The index of in is the number of right cosets of 옳은정의이다 게다가 에서 의지수는좌잉여류의개수와도같다 20 참, 거짓을판정하라 모든군의부분군은좌잉여류를갖는다

53 유한군의부분군의좌잉여류의개수는 의위수를나눈다 : 유한군, 라하자 그러면라그랑지정리에의하여 즉, 이다 이다 따라서, 좌잉여류의개수즉, 에대한 의지수는 의지수를나눈다 위수가소수인모든군은가환이다 위수가소수인군은순환군이다 그리고순환군은가환군이다 따라서위수가소수인군은가환군이다 무한군의유한부분군에는좌잉여류가없다 ( 반례) 는무한군이고 은유한부분군이다 하지만 에대하여 인좌잉여류를갖 는다 군의부분군은그자신의좌잉여류이다 는 의좌잉여류이다 유한군의부분군만이좌잉여류를가질수있다 ( 반례) 는무한군이고 는무한위수를갖는 의부분군이다 하지만 인좌잉여류를 갖는다 일때, 은 내에서지수가 2 이다 라하자 그러면 는군동형사상임을쉽게보일수있다 따라서 이 다 여기서 이므로 이다 라그랑지의정리는훌륭한결과이다 주어진군과부분군의지수와의관계를알게되면서주어진군에대한부분군을찾는데보다유용하게되었다 그런이유에서도라그랑지정리는충분히훌륭한결과이다 모든유한군은그군의위수의모든약수에대하여그약수를위수로갖는원소를포함한다 라그랑지정리의역은일반적으로성립하지않는다 ( 반례) 에서위수 6 인부분군을갖지않는다

54 모든유한순환군은그군의위수의모든약수에대하여그약수를위수로갖는원소를포함한다 를위수 인순환군이라고하자 그러면 에대하여 인 가존재함을보이면충분하다 라하자 그러면 임을알수있다 여기서 임에는자명하다 따라서위의명제는참인명제이다 문제 20~24 에서가능하다면요구하는부분군과군의예를들어라 불가능하면그이유를말하라 20 좌잉여류와우잉여류가서로다른 의분할을생성하는가환군 의부분군불가능하다 가가환군이므로 가성립한다 따라서좌잉여류와우잉여류의개수는같아야한다 21 오직하나의세포로서 의분할을생성하는좌잉여류를갖는군 의부분군 ( 예) 라하면 는오직하나의세포로서 의분할을생성하는좌잉여류 를갖는다 22 6 개의세포로서그군을분할하는좌잉여류를갖는위수 6 인군의부분군 ( 예) 위수 6인 에서부분군 에의하여 인 6 의세포서분할한다 개의세포로서그군을분할하는좌잉여류를갖는위수 6 인군의부분군불가능하다 라그랑지정리에의하여 를만족한다 하지만이는모순이다 24 4 개의세포로서그군을분할하는좌잉여류를갖는위수 6 인군의부분군불가능하다 라그랑지정리에의하여 를만족한다 하지만이는모순이다 25 - 생략함 - 26 정리 101 의관계 이동치관계임을증명하라 1 ( 반사) 일때, 이므로 이다 2 ( 대칭) 일때, 이므로 이다 3 ( 추이), 일때, 이므로 이다 따라서관계 는동치관계에있다

55 27 를군 의부분군이라하고 이라하자 로부터 위로대응하는 함수를정의하 여이함수가 이고 위로의함수을증명하라 라하자 1 임의의 에대하여 ( ) 을만족한다 따라서잘정의되어있으며일대일함수이다 2 따라서위로의함수이다 28 를모든 와모든 에대해서 를만족하는군 의부분군이라하자 좌잉여류 는우잉여류 와같음을보여라 ( ) 임의의 에대하여 모든 가정에의하여 이다 그러면 따라서 이다 ( ) 임의의 에대하여 가정에의하여 이다 그러면 따라서 이다 29 를군 의부분군이라하자 의좌잉여류로서 의분할이 의우잉여류로서의분할과같으면모든 와모든 에대해서 임을증명하라 문제 28 번의역!! ( ) 모든 와모든 에대해서 이므로 가존재해서 를만족한다 따라서 이다 를군 의부분군이라하고 라하자 문제 30~33 에서그명제를증명하거나또는반례를 들어라 30 이면 이다 ( 반례),, 이라하자 그러면 이지만 이고 로써 이다 31 이면 이다 이므로 이다 32 이면 이다 따라서 이다

56 33 이면 이다 ( 반례), 라하자 그러면 이지만 이고 로써 이다 34 가위수 를갖는군이라하자 단, 와 는소수이다 의모든진부분군은순환적임을보 여라 가위수 를갖는군이므로라그랑지정리에의하여부분군 가갖을수있는위수는 이다 1 의위수가 1인경우 는자명군이다 따라서순환적이다 2 의위수가 또는 인경우 소수를위수로갖는군은이미순환적임을알고있다( 증명은생략!!) 따라서 의모든진부분군은순환적이다 35 군 의부분군 의좌잉여류의개수는우잉여류의개수와같음을보여라 즉, 좌잉여류의모임 에서우잉여류의모임위로대응하는 1-1 함수를구성하라 ( 이결과는유한군에대해서는헤아림으로써당연하게됨을주의하자 증명은어떤군에대해서도성립되어야한다 ) 좌잉여류 우잉여류 이라하자 1 ( ) 따라서 는잘정의되어있으며일대일함수이다 2 우잉여류 좌잉여류 따라서 는위로의함수이다 36 4 장의문제 29 에서위수 을갖는모든유한군은위수 2 인원소를포함함을보였다 라그랑지 정리를이용하여 이홀수이면, 위수 인가환군은위수 2 인원소를단하나포함하고있음을보여 라 존재성은이미보였으므로(4장의문제 29) 유일성에대해서살피면충분하다 인 에대하여 라하자 이제 는 의부분군이다 ( 부분군인것을보이는것은유한군이므로닫혀있음을보이면충 분하다 구체적으로보이는것은생략함) 그러면라그랑지정리에의하여 이다 따라서 은 2 의배수이다 하지만이는가정 은홀수임에모순된다 따라서위수 2 인원소는단하나포함함을알수있다

57 37 적어도두원소를가지면서비자명진부분집합을갖지않는군은유한군이며소수를위수로가짐을보여라 인군 이라하자 일때, 는 의부분군임에자명하다 가정에서군 는비자명진부분집합을갖지않으므로 이다 즉, 는순환군이다 여기서 가무한위수를갖는다면 는 와동형이다 하지만 는진부분군을무한히많이갖음을이미알고있다 따라서 는유한위수를갖는다 이라하자 이고 인 가존재하면 는 의비자명진부분군이다 하지만이는가정에모순된다 따라서 가존재하지않는다 즉, 는소수이다 그러므로적어도두원소를가지면서비자명진부분집합을갖지않는군은유한군이며소수를위수로가진다 38 정리 1014 를증명하라 [ 힌트 : 를 에서의 의서로다른좌잉여류의모임이라하고 를 에서의 의서로다른좌잉여류의모임이라하면 가 에서의 의서로다른좌잉여류의모임임을보여라 ] 를 에서의 의서로다른좌잉여류의모임이라하고 를 에서의 의서로다른좌잉여류의모임이라하면 가 에서의 의서로다른좌잉여류의모임임을보이면충분하다 라하자 그러면 그러므로 게다가 이므로 이고따라서 그러면 이다 즉, 이다 이제서로구별됨을보인다 라고가정하자 그러면 이다 즉, 그러므로 ( ) 그러면 이다 즉, 를의미한다 또한군의소약법칙에의하여 이고, 따라서 이다 39 가유한군 의지수 2 인부분군이라하면 의모든좌잉여류는 의우잉여류임을보여라 임의의 에대하여 1 이면 임은자명하다 2 이면가정에의하여 이므로 이다 따라서 이다 따라서좌잉여류와우잉여류는같음을알수있다

58 40 항등원 를갖는군 가유한위수 을갖는다면모든 에대하여 임을보여라 1 이면 이므로자명하다 2 이면라그랑지정리에의하여 를만족한다 라하면 이고 로부터 임을알수있다 따라서군 의위수가 이면모든 에대하여 이다 41 실수들의덧셈에대한군의부분군 의모든좌잉여류는 인 에서꼭하나의대표 를포함함을보여라 ( 존재성) 를 의좌잉여류라하자 를 를넘지않는최대의정수라하자 그러면 이고 이다 ( 유일성) 가 를만족하는 의좌잉여류의대표원소라하자 그러면 이다 가정에서 이므로따라서 이다 그러므로 가 에서 를만족하는유일한대표원소 임을알수있다 42 함수 운실수들의덧셈에대한군 의부분군 의고정된좌잉여류의모든대표에같은 값이대응됨을보여라 ( 따라서, 은잉여류의집합에서잘정의된함수를유도한다 : 한잉여류에대 한함수의값은잉여류의대표 를택해서 를계산함으로써얻어진다 ) - 생략함 - 43 와 가군 의부분군이라하자 위에서 에대하여 로정의한다 ~ 을 일필요충분조건은적당한 와 ~ 이 위에서동치관계임을증명하라 1 ( 반사) 일때, ( ) 이므로 가성립한다 따라서 이다 2 ( 대칭) 일때, 적당한 와 에대하여 를만족한다 그러면 이고이때, 이므로따라서 이다 3 ( 추이), 일때, 적당한 와 에대하여 를만족하고, 적당한 와 에대하여 를만족한다 그러면 이고 이므로따라서 이다 를포함하는동치류내에있는원소들을서술하라 ( 이동치류는이중잉여류라한다 )

59 44 를집합 의모든치환의군이라하고, 를 의특정한원소라하자 는 의부분군 임을보여라 에대하여 를만족한다 따라서 는공집합이아니다 이제임의의 에대하여 이므로 이다 따라서 는 의부분군이다 를 의다른특정한원소라하자 가 의부분군이되는가? 를설명하라 부분군이되지않는다 닫혀있음을보장해주지못하기때문이다 즉, 라하자 그러면 이지만 이다 따라서 이다 그이유 의 를 의부분군 로특정지워라 - 생략함 - 45 위수 인유한순환군은 의각약수 를위수로갖는부분군을꼭하나가짐을증명하고이들 이이군이갖는모든부분군임을보여라 ( 존재성) 를위수 인순환군이라하자 그러면 여기서 를 의약수라하자 그러면 이다 따라서 를약수로갖는부분군 가존재한다 ( 유일성) 를위수 인군 의부분군이라하자 가순환군이므로부분군인 또한순환군이다 그러면 가정에의하여 를만족한다 이므로 그러므로 는 의부분군이다 가정에의하여 이므로결국엔 임을알수있다

60 46 양의정수 에대해서오일러 - 함수는 로정의되어있다 단, 는 보다적으면서 은서로소인양의정수의개수들이다 문제 45 을이용하여 임을보여라 여기서합은 을 나누는모든양의정수 에대해취해진다 [ 힌트 : 의생성원의개수는보조정리 616 에의해 임에유의하라 ] 임의의 에대하여 라하자 이므로임의의 에대하여라그랑지정리에의하여 를만족한다 라하자, 라하자 문제 45에의하여위수 인부분군 는유일하게하나존재한다 게다가 에대하여 이므로필요충분하게 임을알수있다 그러므로 이다 이므로즉, 이므로 이다 [ 다른1] 에서 을나누는위수 를갖는임의의원소는위수 인순환부분군을생성한다 그리고생성원의 개수는보조정리 616에의하여 이다 문제 45에의하여 을나누는위수 를갖는부분군은유일 함을안다 그러므로 은정확히 을나누는각각의위수 의원소들인 를포함한다 의각각 의원소들의위수는 을나누므로 인결과를얻을수있다 [ 다른2]( 정수론적인증명방법) 먼저 이다 다음에 이라하고 를 의표준분해라고하자 이때, 의양의정수는모두 와같은꼴이고또 이므로다음이성립한다 그런데각 에대하여 이므로, 위의등식에의하여 이다

61 47 를유한군이라하면, 각양의정수 에대하여방정식 의 에서의해의개수가기껏 해야 이면 는순환적임을보여라 [ 힌트 : 정리 1012 와문제 46 을이용하여 는위수 인원소를포함함을보여라 ] 를 에대하여 에서위수 인원소의개수라하자 이제 를보이면충분하다 그러면, 즉, 위수 인 가존재한다 다시말해서 는위수 인순환군이 다 ( 정리 1012에의하여임의의 에대하여 이므로 는어떤 에대하여 의해이 다 만약 에대하여 를만족하는 가존재한다면 는서로다른 의 해이다 가정에의하여 는많아야 이 의모든서로다른영점이다 그러므 로 이다 즉, 이면 이다 따라서 또는 이다 문제 만족한다 ) 45에의하여 이므로 을만족하는모든 에대하여 를

62 Fraleigh 대수 11 장직적과유한생성가환군 1 의원소를나열하고각원소의위수를구하라 이군은순환군인가? 이고이때위수 8인원소가없으므로 의생성원이존재하지않는다 따라서순환군이아니다 2 군 에대해문제 1 을반복하라 이고이때위수가 재한다 따라서 는순환군이다 12인원소 이존 문제 3~7 에서주어진직적의원소의위수를구하라 3 에서 4 에서 5 에서 6 에서 7 에서 8 의모든순환부분군의위수중에서가장큰수는얼마인가? 또, 에서는어떠한 가?

63 9 의모든비자명진부분군들을구하라 10 의모든비자명진부분군들을구하라 위수 위수 2 인부분군: 4 인부분군:,,, 11 의위수가 4 인부분군을모두구하라 - 생략함 - 12 의부분군중에서 4- 군과동형인부분군을모두구하라,,, 13 인수들의인수를무시하고 한여러가지방법으로써보아라 과동형이되는두개이상의 꼴의직적으로표현하되가능한 14 공란을채워라 18 에의해서생성되는 의순환부분군은위수 를갖는다 4 의위수는 이다 12 의원소 는위수 이다 군은 과동형이다 2,

64 는유한위수를갖는원소 개를갖는다 8 15 Find the maximum possible order for some element of 이므로최대가능한원소의위수는 12 이다 16 Are the groups and isomorphic? why or why not? 동형이다 유한생성가환군의기본정리에의하여 이고 이다 또한 이므로 임을알수있다 17 Find the maximum possible order for some element of 이므로최대가능한원소의위수는 240 이다 18 Are the groups and isomorphic? why or why not? 동형이아니다 유한생성가환군의기본정리에의하여다음은동형이다 하지만 이다 그러므로 와 는동형이아니다 19 Find the maximum possible order for some element of 이므로최대가능한원소의위수는 180 이다 20 Are the groups and isomorphic? why or why not? 동형이다 유한생성가환군의기본정리에의하여다음은동형이다 따라서 와 는동형이다 문제 21~25 에서앞의예제에서처럼주어진위수를갖는군 ( 동형에관계없이 ) 을모두구하라 21 위수

65 22 위수 위수 위수 720 이므로 25 위수 1089 이므로

66 26 위수 24 인가환군 ( 동형에관계없이 ) 은몇개존재하는가? 위수 25 인가환군은? 그리고위수가 (24)(25) 인가환군은? 1 이므로위수 24인가환군은 3 개존재한다 실제로,, 이존재한다 2 이므로위수 25d니가환군은 2 개존재한다 실제로, 이존재한다 3 이므로위수 (24)(25) 인가환군은 6 개존재한다 실제로,,,,, 이존재한다 27 문제 26 에서제안된사고를따라서로소인양의정수 과 에대하여다음을증명하라 만약위수 인가환군 ( 동형에관계없이 ) 이 개, 위수 인가환군 ( 동형에관계없이 ) 이 개존재한다면, 위수 인가환군 ( 동형에관계없이 ) 은 개존재함을보여라 28 문제 27 을이용하여위수가 인가환군 ( 동형에관계없이 ) 의수를결정하라 위수가 인경우는총 7 개존재한다 또한위수가 인경우도총 7 개존재한다 따라서문제 27에의 하여 이므로위수가 인가환군( 동횽에관계없이) 의수는 49( ) 개존재한다 29 (a) Let be prime number Fill in the second row of the table to give the number of abelian groups of order up to isomorphism number of groups (b) Let and be distinct prime numbers Use the table you created to find the number of abelian groups up to isomorphism of the given order

67 30 Indicate schematically a Cayley digraph for for the generating set 31 Consider Cayley digraphs with two arc types a solid are with an arrow and a dashed one with no arrow and consisting of two regular for with solid arc sides one inside the other with dashed arcs joining the vertices of the outer to the inner one Figure 79(b) shows such a Cayley digraph with and Figure 711(b) shows one with The arrows on the outer may have the same (clockwise or counterclockwise) direction as those on the inner or they may have the opposite direction Let be a group with such a Cayley digraph - 생략함 - 32 참, 거짓을판정하라 가군이면 는항상 과동형이다 라하자 그러면 는동형사상이다 ( 보이는것은생략!) 따라서옳은명제이다 각성분군에서의계산방법을안다면그군의외직적에서의계산은쉽다 외직적에서의계산은각성분군끼리연산을근거로정의되어있으므로각성분군에서의계산방법을안다면외직적의계산을쉽게할수있다 따라서옳은명제이다 외직적은유한위수를갖는군으로서만할수있다 유한생성가환군의기본정리에의하여무한위수를 또한외직적의형태로나타낼수있음을안다 소수를위수로갖는군은두개의비자명진부분군의내직적이될수없다 소수를위수로갖는군은부분군으로자명군과자기자신만을갖는다 따라서두개의비자명진부분군의내직적으로나타낼수없다 는 과동형이다 는순환군이아니지만 은순환군이다 따라서동형이아니다

68 는 과동형이다 의위수는 16이지만 의위수는 이다 따라서위수가다르므로동형이아니다 는 와동형이다 는순환군이지만 는순환군이아니다 에속하는모든원소는위수 8 을갖는다 ( 반례) 의위수는 1 이다 의위수는 60 이다 의위수는 이다 하지만 의원소중에서최대로갖을수있는위수는 60( ) 이다 과 이서로소이든아니든 은 개의원소를갖는다 이므로 의원소의개수는 개임을알수있다 33 모든비자명가환군이두개의비자명진부분군의내직적이되지않음을예를들어설명하라 에서 는비자명진부분군을갖지않는다 단, 는소수그렇기때문에두개의비자명진부분군의내직적이될수없다 34 (a) How many subgroups of are isomorphic to 는순환군이고순환군의부분군이그자신과동형이되는경우는그자신으로유일하다 (b) How many subgroups of are isomorphic to 는 의부분군임에자명하다 또한 라하자 그러면 는동형사상임을쉽게보일수 있다 따라서 이다 그러므로 와동형인 의부분군 는무수히많다

69 35 소수의위수를갖지않는두개의비자명부분군의내직적이아닌비자명군의예를드시오 는위수 6 를갖는다 또한부분군으로 를갖는다 하지 만 는어떠한두개의비자명부분군의내직적으로표현되지않음을알수있다 36 참, 거짓을판정하라 소수를위수로갖는모든가환군은순환적이다 를위수를소수 를갖는가환군이라하자 인임의의 에대하여 는 의부분군임에자명하다 그러면라그랑지정리에의하여 이다 따라서 의위수는 하지만위수가 1 또는 이다 1이면 인가정에모순이다 따라서 의위수는 이다 그러므로 이다 그러므로 는순환군이다 소수의멱을위수로갖는모든가환군은순환적이다 는가환군이면서위수로 4 를갖는다 즉 소수 2 의멱을위수로갖는다 하지만 는순환적이지는않다 은 에의해서생성된다 으로 과다름을알수있다 은 에의해서생성된다 이미 임을알고있다 따라서 5 를포함하는 에의하여생성된부분군은 이다 모든유한군은정리 1112( 유한생성가환군의기본정리 ) 에의해동형에관계없이분류될수있다 는유한군이다 하지만유한생성가환군의기본정리에의하여동형에관계없이분류될수없다 이유는가환이라는조건이성립하지않기때문이다 같은 수를갖는두개의유한생성가환군은동형이다 ( 반례) 와 는같은 수 0 를갖지만동형은아니다

70 5 의배수를위수로갖는모든가환군은위수 5 인순환부분군을포함한다 는유한생성가환군의기본정리에의하여 이다 가정에서 는 5의배수를위수로가지므로 한편, 에서 는위수 5 인순환부분군이다 ( ) 이라하자 그러면 는 의위수 5 인순환부분군임에자명하다 따라서 5의배수를위수로갖는가환군은위수 5 인순환부분군을포함한다 ( 일반적으로소수 의배수를위수로갖는가환군은위수 인순환부분군을포함한다 ) 4 의배수를위수로갖는모든가환군은위수 4 인순환부분군을포함한다 ( 반례) 는 4를위수로갖는가환군이지만 의원소중갖을수있는최대의위수는 2 이다 따라서위수4 를갖는생성원이존재하지않는다 그러므로잘못된명제이다 6 의배수를위수로갖는모든가환군은위수 6 인순환부분군을포함한다 를 6 의배수를위수로갖는임의의가환군이라하자 그러면 는 2의배수이므로 에의하여위수 2인순환부분군 를갖는다 또한 는 3의배수이므로 에의하여위수 3인순환부분군 를갖는다 는순환군이므로 이제 라하자 그러면 는자명하게위수 6 인순환부분군이된다 따라서 6의배수를위수로갖는모든가환군은위수 6 인순환부분군을포함한다 모든유한가환군은 수를 0 으로갖는다 어떤유한가환군 를 수가 0 이아니라고가정하자 그러면유한생성가환군의기본정리에의하여 이다 단, 는소수의멱 따라서 는무한히많은원소를갖는다 하지만이는유한이라는가정에모순이다 따라서모든유한가환구는 수를 0 으로갖는다 37 와 를서로다른소수라하자 위수 을갖는가환군 ( 동형에관계없이 ) 의개수와위수 을갖는가환군 ( 동형에관계없이 ) 의개수를어떻게비교할수있는가? 위수 을갖는가환군의개수는 에의하여결정된다 따라서위수 과 을갖는가환군의개수는서로같다는사실을알수있다

71 38 가위수 72 인가환군이라하자 는위수 8 인부분군을몇개나가지는가? 그이유는? - 생략함 - 는위수 4 인부분군을몇개나가지는가? 그이유는? - 생략함 - 39 가가환군이라하자 에서유한위수를갖는원소는부분군을형성함을보여라 의비꼬임부분군 (torsion subgroup) 이라한다 이부분군이 라하자 1 에대하여 이므로 이다 2 임에자명하다 3 임의의 에대하여 이고 이므로 이다 따라서 이므로 이다 게다가 이므로 이다 ( 이면 이므로 역으로, 이면 이므로 따라서 이다 ) 따라서 는 의부분군이다 이때, 는비꼬임부분군이라한다 40 의비꼬임부분군의위수를구하라 또한 의비꼬임부분군의위수를구 하라 의비꼬임부분군은 이다 따라서비꼬임부분군의위수는 12 이다 또한 의비꼬임부분군은 이다 따라서비꼬임부분군의위수는 144 이다 41 0 이아닌실수의곱셈에대한군 의비꼬임부분군을구하라 라할때, 다음을만족하는 ± 로유일하다 따라서 의비꼬임부분군은 이다 42 0 이아닌복소수곱셈에대한군 의비꼬임부분군 를구하라 의비꼬임부분군은 을만족하는 로복소평면상의반지름이 원소로갖는다 1인원주상의모든점들을

72 43 가유일한유한위수를갖는원소인가환군을비꼬임없는군 (torsion free) 이라한다 정리 1112 를사용해서모든유한생성가환군은비꼬임부분과비꼬임이없는부분군의내직적임을보여라 ( 는비꼬임부분군이며또한비꼬임없는부분군이기도함에주목하라 ) 는유한인가환군이므로유한생성가환군의기본정리에의하여 이다 이제 라하자 그러면 이고 임을알수있다 44 정리 1112 에서의 의분해에서소수의멱을위수로하는부분은 의꼴로 도쓰여질수있다 여기서 에대해 는 을나눈다 그숫자 는유일하게존재함을보일수있으며이를 의비꼬임계수 (torsion coefficient) 라한다 의비꼬임계수를구하라 이므로비꼬임계수는 이다 의비꼬임계수를구하라 이므로비꼬임계수는 이다 순환군의직적의비꼬임계수를구할수있는계산공식을써보아라 라할때, 인서로다른소수라하자 그러면 이고, 이때비꼬임계수는 이다 46 가환군의직적은가환군임을보여라 를가환이라하자 임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 그러면 따라서 는가환이다

73 47 를가환군이라하자 를항등원 와위수 라하면 가 의부분군임을보여라 라하자 1 이고 임은자명하다 2 임의의 에대하여 이므로 이다 2 인 의모든원소들로구성된 의부분집합이 3 임의의 에대하여 ( G: 가환) 이므로 이다 그러면 또는 이다 이면 이므로성립한다 또한 이면정의에의 하여 이다 따라서 는 의부분군이다 48 문제 47 의방법에따라 가항등원 와위수가 합이라면 는부분군이되는가를결정하라 또한 가항등원 와위수가 3 인모든원소들로구성된가환군 의부분집 4 인모든원소들로구성된 가환군 의부분집합이라면 는부분군이되는가? 가항등원 와위수가 인원소들로구성된가 환군 의부분집합이라면어떤양의정수 에대하여 가 의부분군이되는가? 5 장의문제 48 과 비교해보라 (a) 1 이고 임은자명하다 2 임의의 에대하여 이므로 이다 3 임의의 에대하여 ( G: 가환) 이므로 이다 그러면 또는 이다 이면 이므로성립한다 또한 이면정의에의 하여 이다 따라서 는 의부분군이다 (b) 같은경우도위의 (a) 에서의 1, 2는쉽게보일수있다 하지만 4는보일수없다 즉 닫혀있음 을보장해주지못한다 실제로 이면 또는 4 이다 1과 4인경우는위와동일한방법으로쉽게 임을보일 수있지만 인경우는 임을보장해주지못한다 따라서 는부분군이된다는보장을할수없다 (c) ( 단, 는소수) 인경우에한하여 는가환군 의부분군이다 1 이고 임은자명하다 2 임의의 에대하여 이므로 이다 3 임의의 에대하여 ( G: 가환) 이므로 이다 그러면 또는 이다 이면 이므로성립한다 또한 이면정의에의 하여 이다 따라서 는 의부분군이다

74 49 가가환이라는가정이없을경우문제 47 의반례를구하라 라하자 그러면 이다 하지만 는 의부분군이아니다 왜냐하면 이기때문이다 50 와 가군이고 라하자 자연스럽게 와 가군 의부분군으로나타날수있음을상기하자 이부분군 ( 실제로 ) 와 ( 실제로 ) 가다음성질을가짐을보여라 의모든원소는적당한 와 에대해 의꼴이다 모든 와 에대하여 이다 51 와 를앞의문제에서나열된세성질을만족하는군 의부분군이라하자 각 에대해 이고 에대해표현 는유일함을보여라 그리고 를 로다시이름붙이면 는 구조적으로 와일치함을보여라 [ 힌트 : 위에서군연산을이렇게다시이름붙임으로써 위에서연산에대응한다 즉, 이 로 가 로다시이름붙여지면 는 로됨을보여라 ] ( 유일성) 라하자 단, 그러면 이다 따라서 이다 ( 동형성) 라하자 단, 그러면 라하자 단, 그러면 이므로 이다 위의유일성에의하여단사이고전사임에는 의정의에의하여자명하다 따라서 는동형사상이다 그러므로 이다

75 52 유한가환군이순환군이아닐필요충분조건은그군이적당한소수 인부분군을포함하는것임을보여라 ( ) 가순환군이라하자 그러면군 의부분군 또한순환군이다 하지만 는순환군이아니다 이는모순이다 그러므로 는순환군이아니다 ( ) 는유한인가환군이므로 유한생성가환군의기본정리에의하여 이라하자 에대하여 와동형 이때, 이서로다른소수이면 는순환군이다 따라서적어도하나는같은소수가존재함을알수있다 즉, 에대하여 인 가존재한다 일반성을잃지않으면서 라하자 그러면 이다 이때, 이라하자 그러면 는 의부분군임에자명하다 또한 이다 따라서 가순환군이아니면 와동형인부분군 가존재함을알수있다 53 만약유한가환군이위수를소수 의멱으로가지면, 그군에있는모든원소는위수를 의멱 으로가짐을증명하라 가환성의가정이생략되어도좋은가? 그이유는? 의위수가 이라하자 그러면 에대하여라그랑지정리에의하여 이다 따라서 중에하나임을알수있다 즉, 의원소의위수는 의멱을가진다 가환성은위의증명과정에서사용되지않았으므로가환성이란가정은생략되어도좋다 54 와 를유한생성된가환군이라하자 만약 가 와동형이면, 임을보여 라,, 라하자 단, 는소수 이므로인자들의분해가같음을알수있다 여기서 와 둘다마지막에는 의인자들을가지고있으므로결국 와 의분해에서인 자들의표현은같음을알수있다 따라서 이다

76 55 은 에의해서생성됨을보여라 [ 힌트 : 을움직일때 은호환 을 만들게됨을보이고, 모든호환은이들호환의곱임을보인다 ] 일때, 일때, 일때, 일때, 임을알수있다 또한임의의호환 에대하여 이성립한다 임의의치환은유한개의순환치환의곱으로나타낼수있으며순환치환은유한개의호환의곱으로나타 낼수있다 즉, 임의의치환은유한개의호환의곱으로나타낼수있다 따라서 상의임의의치환은각각의 에대하여 의유한번의곱에의 하여나타낼수있다 따라서 이다

77 Fraleigh 대수 13 장준동형사상 문제 1~15 에서주어진사상 가준동형사상인지를결정하라 [ 힌트 : 에대하여만약 가좌, 우잉여류가같게되는부분군이아니며, 는준동형사상이아니다 ] 1 으로주어진덧셈에대한 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 2, 는 를넘지않는최대의정수로주어진덧셈에대한 ( 반례) 이지만 이다 3 로주어진곱셈에대한 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 4 호제법에서주어진것처럼 (2 로나누었을때 의나머지 ) 로정의된 임의의 에대하여 인 ( ) 가존재한다고 한다 그러면 가성립한 다 따라서 는준동형사상이다 5 호제법에서주어진것처럼 (2 로나누었을때 의나머지 ) 로정의된 ( 반례) 이지만 이다 6 으로주어진, 단 는덧셈, 는곱셈에대한군 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 7 로정의된 단, 이며 는 의항등원이다 이것은단사사상이다 예제 138 와비교해보자 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다

78 8 가어떤군이고 에대하여 로정의된 이고 이다 그러므로 이면 는준동형사상이아니다 실제로 에서 이지만 이다 9 를모든차수의도함수를갖는 에서 로대응하는함수의덧셈에대한군이라하자, 의 2 차도함수로정의된 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 10 를 에서 로대응하는모든연속함수들의덧셈에대한군이라하자 는실수들의덧셈에 대한군이고 으로정의된 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 11 를 에서 로대응하는모든함수의덧셈에대한군이고 로정의된 임의의 에대하여 이성립한다 따라서 는준동형사상이다 12 을실수를요소로갖는모든 행렬의덧셈에대한군이라하고 를실수의덧셈에대한군이라하자 에대하여, 의행렬식의값으로정의된 ( 반례) 이지만 이다 13 과 를문제 12 에서와같이하자 에대하여대각합 (trace) 는왼쪽상단에서오른쪽하단에이르는 의주대각선상의요소의합일때, 로정의된 임의의 에대하여 이고, 이때, 이성 립한다 따라서 는준동형사상이다

79 14 을역행렬을갖는 행렬의곱셈에대한군이라하고 를실수의덧셈에대한군이라하 자 로정의된, 단 는문제 13 에서정의되어있다 ( 반례) 이지만 이다 15 를모든 에서 자 를 0 이아닌 에서 로대응하는모든연속함수의곱셈에대한군이라하 0 이아닌실수들의곱셈에대한군이라하자 로정의된 이지만 이다 문제 16~24 에서 Computer the indicated quantities for the given homomorphism (See Ex 46) 16 for in Example 133 우치환 기치환이므로따라서 이다 17 and for such that 이므로 는 의생성원이다 따라서 를만족한다 따라서 이다 또한 에서 이므로 이다 18 and for such that 이므로 이다 따라서 이다 또한 에서 이므로 이다 19 and for such that 이므로 이다 따라서 이다 또한 이므로 이다 20 and for such that 이므로 이다 따라서 이다 또한 이다

80 21 and for such that 이므로 이다 따라서 이다 또한 이다 22 and for such that and 이므로 이다 따라서 이다 또한 23 and for such that and 이므로 이다 따라서 이다 또한 이다 24 and for such that and 이므로따라서 이다 또한 이다 25 에서 위로대응하는준동형사상은몇개존재하는가? 또는 이므로 에서 위로대응하는준동형사상은 또는 이다 따라서 2 개존재한다 26 에서 로대응하는준동형사상은몇개존재하는가? 라하자 그러면 는준동형사상임에자명하다 따라서 에서 로대응하는준동형사상은 개만큼존재한다 즉, 만큼존재한다 그러므로무수히많다고볼수있다 27 에서 로대응하는준동형사상은몇개존재하는가? 또는 1 이다 따라서 에서 로대응하는준동형사상은 또는 이다 따라서 2 개존재한다

81 28 가군이고 라하자 가 에대하여 로정의되어져있다고하면어떤 에대하여 가준동형사상이되는가? 가준동형사상이라하자 그러면 를만족한다 따라서 이다 그러므로 일때 는준동형사상이다 29 가군이고 라하자 가 에대하여 로정의되어져있다고하면어떤 에대하여 가준동형사상이되는가? 이므로임의의 와임의의 에대하여 를만족한다 따라서모든 에대하여 가준동형사상이된다 문제 30 과 31 에서 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 30 준동형사상 () 은 을만족하는사상이다 준동형사상은임의의 에대하여 를만족하는 에서 로의사상이다 단, 는 에서의연산이고, 는 에서의연산이다 31 이군준동형사상이라하자 의핵 () 은 이다 단, 는 의항등원이다 옿은정의이다 32 참, 거짓을판정하라 이 의정규부분군이다 임은자명하다 또한 이므로 이다 어떤두개의군 와 에대해서도 에서 로대응하는준동형사상은존재한다 이라하자 그러면 는준동형사상임에자명하다 단, 는 의항등원이다 모든준동형사상은 1-1 사상이다 는준동형사상이지만 1-1 은아니다 단, 는 의항등원이다

82 하나의준동형사상이 ( ) 따라서 는 1-1 일필요충분조건은그것의핵은항등원한원소의군으로구성되어있다 ( : 준동형사상) 이므로 1-1 이다 단, 인사상이며, 는 의항등원이고 는 의항등원이다 ( ) 귀류법증명! 인 가존재한다고하자 그러면 를만족한다 가정에의하여 는 1-1이므로 이다 하지만이는모순이다 따라서 이다 6 개의원소를갖는군의적당한준동형사상에대한상은 4 개의원소를가질수도있다 이므로위의명제는틀린명제이다 6 개의원소를갖는군의어떤준동형사상에대한상은 12 개의원소를가질수도있다 이므로위의명제는틀린명제이다 6 개의원소를갖는군에서 12 개의원소를갖는군으로대응하는준동형사상은존재한다 라하자 그러면 는준동형사상임에자명하다 6 개의원소를갖는군에서 10 개의원소를갖는군으로대응하는준동형사상은존재한다 라하자 그러면 는준동형사상임에자명하다 준동형사상이공집합을핵으로가질수도있다 에대하여 가준동형사상이면 는항상만족한다 따라서 이다 단, 는 의항등원이고 는 의항등원이다 무한군에서유한군으로대응하는준동형사상을가지는것은불가능하다 가능하다 문제 16 참조

83 문제 33~43 에서, 주어진군에대한비자명준동형사상이존재한다면그예를들어라 만약그런준동형사상이존재하지않으면그이유를설명하라 33 존재하지않는다 중에하나값을갖는다 1 우선 이면 는자명준동형사상이다 따라서 이다 2 이면 이고 므로 는자명준동형사상이다 따라서 단, 5는 에서생성원이므로 이 따라서 가준동형사상이면 는자명준동형사상이다 즉, 비자명준동형사상은존재하지않는다 [ 다른] 이므로비자명준동형사상은존재하지않는다 34 존재한다 ( 예) 라하자 그러면 는준동형사상이다 문제 4 참조 35 존재한다 ( 예) 단, 36 존재하지않는다 는 의유한인부분군이다 는무한군이므로유한인부분군 만을갖는다 따라서 이다 하지만이는가정에모순된다 따라서비자명준동형사상은존재하지않는다 37 존재한다 ( 예) 단, 라하자 그러면 는준동형사상이다 38 존재하지않는다 39 존재한다 ( 예) 단, 라하자 그러면 는준동형사상이다

84 40 존재한다 ( 예) 단, 라하자 그러면 는준동형사상이다 41 존재한다 ( 예) 라하자 그러면 는준동형사상이다 42 존재한다 ( 예) 라하자 그러면 는준동형사상이다 43 존재한다 ( 예) 라하자 그러면 는준동형사상이다 44 를군의준동형사상이라하자 만약 가유한이면 도유한이며 의약수임을보여라 이라하자 이므로따라서 이다 즉, 는유한이다 또한임의의 에대하여 이므로 이다 45 를군의준동형사상이라하자 만약 가유한이면 도유한이며 의약수임을보여라 가유한이면 의부분군 의위수또한유한이다 또한라그랑지정리에의하여부분군 의위수는 의약수이다

85 46 군 가 에의해생성된다고하자 단, 는적당한첨수의집합이고 이다 임의의 에대하여 를만족하는 에서 으로의두준동형사상을 와 라하자 임을증명하여라 [ 예를들어순환군의준동형사상은완전히군의생성원의값에의하여결정되어진다 ] [ 힌트 : 정리 76 과준동형사상의정의 131 을이용 ] 임의의 에대하여 가존재해서 ( ) 를만족한다 그러면 ( 는준동형사상이도 ) 따라서 이다 47 가소수일때, 어떤군의준동형사상 도자명준동형사상이거나 1-1 사상중의 하나이어야함을보여라 가소수이면 의위수는 의위수의약수이므로( 문제44) 또는 이다 1 인경우 이므로필요충분하게 2 인경우 1-1 사상임을알수있다 이고 이므로 이다 따라서 를만족한다 그러므로 는자명준동형사상이다 단, 는 의항등원이다 48 우치환의부호는 이고기치환의부호는 이다 의부호로정의된사상 은 에서곱셈에대한군 위로대응하는준동형사상임에주목하라 핵은무엇인가? 예저 133 과비교하라 이고, 곱셈군 은 와동형이다

86 49 와 가군이고 와 가준동형사상이면합성사상 도준동형사상임을보여라 임의의 에대하여 를만족한다 따라서합성사상 또한준동형사상이된다 50 를군준동형사상이라하자 가아벨군일필요충분조건은모든 에대하 여 를만족하는것임을보여라 ( ) 임의의 에대하여 ( : 준동형사상 ) ( : 준동형사상 ) ( : 아벨군 ) 따라서 이다 ( ) 임의의 에대하여 가존재해서 를만족한다 그러면 이다 ( : 준동형사상 ) ( : 준동형사상 ) 따라서 이다 그러므로 는아벨군이다 단, 는 의항등원이다 51 가어떤군이고 가 의원소라하자 를 으로정의되어있다고하면, 가준동형사상임을보여라 의상과 의핵의가능성을기술하라 이고 가준동형사상이므로 은 의항등원이다 이제임의의 에대하여 이다 따라서 는준동형사상이고이때, 의연산은곱셈연산이다 의상은 이며, 의핵은 의부분군이기때문에 의부분군중에하나이다

87 52 가핵 를갖는준동형사상이고 라하자 임을보여 라 라하자 이제 임을보인다 ( ) 임의의 에대하여 따라서 이다 ( ) 임의의 ( ) ( ) 에대하여 ( ) 따라서 이다 단, 는 의항등원이다 53 가군이라하자 이고, 가 으로정의되어있다고하면, 가준동형사상이될 과 에관련된필요충분조건을구하고그것을증명하라 ( ) 이므로 이고 이성립한다 따라서 이다 ( ) 임의의 에대하여 이성립한다 ( ) 따라서 는준동형사상이다 54 앞의연습문제에서설명된사상 가모든 의선택에대해준동형사상이될 에대한필요충분조건을구하라 가군이라하자 이고, 가 으로정의되어있다고하면, 가준동형사상이될필요충분조건은임의의 에대하여 를만족하는것이다 즉, 가아벨군이다

88 55 를군이라하고 를 의원소 은양의정수라하자, 으로정의할때, 가준동형사상이될 에대한필요충분조건을구하라 가준동형사상이될필요충분조건은 를만족하는것이다

89 Fraleigh 대수 14 장잉여군 문제 1~8 에서주어진잉여군의위수를구하라 1 이므로 이다 2 이므로 주어진잉여군의위수는 4 이다 3 4 이므로주어진잉여군의위수는 3 이다 이므로 이다 따라서주어진잉여군의위수는 1 이다

90 문제 9~15 에서주어진잉여군에속하는원소의위수를구하라 9 에속하는 이다 따라서주어진원소의위수는 4 이다 10 에속하는 이다 따라서주어진원소의위수는 6 이다 11 에속하는 이다따라서주어진원소의위수는 3 이다 12 에속하는 이다 그러면 이다 따라서주어진원소의위수는 2 이다 13 에속하는 이다 따라서주어진원소의위수는 4 이다 14 에속하는 이다 따라서주어진원소의위수는 8 이다

91 15 에속하는 이다 따라서주어진원소의위수는 3 이다 16 예제 87 에서의군 의부분군 에대하여 를계산하라 문제 17~19 에서 correct the definition of the italicized term without reference to the text if correction so that it is in a form acceptable for publication 17 A normal subgroup of is one satisfying for all 의정규부분군 는 의부분군이며임의의 에대하여 를만족하는것이다 18 A normal subgroup of is one satisfying for all and all 옳은정의이다 19 An automorphism of a group is a homomorphism mapping into 군 의자기동형사상은 에서 로의동형사상이다 즉, 위의조건에일대일대응이란조건이첨가되 어야한다 20 군 의정규부분군에서중요한것은무엇인가? 임의의 에대하여 이만족한다는사실이중요하다 그근거로는잉여군 가이조건이성립하기때문에군을이룬다 따라서잉여군 를배우기위해서는정규성이중요한부분을차지한다 21 어떤학생에게 가가환군 의정규부분군이면 도가환임을증명하도록요청했다 생의증명은다음과같이시작되었다 가가환임을보여야한다 와 를 의두원소라하자 그학 이증명을읽은교수님은왜이학생의답안지에서터무니없는말을찾게되는가? 와 가 의두원소가될수없다

92 이학생은어떻게썼어야되는가? 와 가 의두원소라하자 증명을완성하라 임의의 에대하여 이성립한다 ( 가아벨군이므로 ) 따라서 는가환군이다 22 비꼬임군 (torsion group) 은모든원소가유한위수를갖는군이다 어떤학생에게 가비꼬임군이면 의모든정규부분군 에대하여 도역시비꼬임군임을증명하도록요청했다 그학생은다음과같이썼다 의각원소가유한위수임을보여야한다 라하자 이증명을읽은교수님은왜이학생의답안지에서터무니없는말을찾게되는가? 는 의원소이지 의원소가아니다 이학생은어떻게썼어야되는가? 라하자 증명을완성하라 임의의 에대하여 가비꼬임군이므로 그러면 이다 따라서 이다 즉, 이다 그러므로 의각원소는유한위수를갖는다 23 참, 거짓을판정하라 잉여군 이다 에대하여이야기하는것이의미를갖기위한필요충분조건은 이군 의정규부분군 이군 의정규부분군일필요충분조건은 이군이다 가환군 의모든부분군은 의정규부분군이다 를군 의부분군이라하자 그러면 가가환이기때문에모든 에대하여 를만족한다 따라서 는정규부분군이다

93 가환군의내적자기동형사상은항등함수뿐이다 ( : 가환) 유한군의모든잉여군은다시유한위수를갖는다, ( ) 인표준준동형사상이라하자 그러면 을만족한다 따라서 의위수가유한이면잉여군 또한위수가유한이다 비꼬임군의모든잉여군은비꼬임군이다 임의의 에대하여 가비꼬임군이므로 그러면 이다 따라서 이다 즉, 이다 그러므로 의각원소는유한위수를갖는다 비꼬임이없는군의모든잉여군은비꼬임이없다 ( 반례) 는비꼬임이없는군이다 하지만 는비꼬임이있다 가환군의모든잉여군은가환이다 임의의 에대하여 이성립한다 ( 가아벨군이므로 ) 따라서 는가환군이다 비가환군의모든잉여군은비가환이다 ( 반례) 는비가환군이다 하지만 는가환군이다 는위수 을갖는순환군이다 제1 동형정리에의하여 이성립한다 는위수 을갖는순환군이다 여기서 이며 는덧셈에대한군이다 임의의 이고 이므로 이다 즉, 이다 따라서 에대하여위의명제는성립하지않는다

94 24 은 의정규부분군임을보이고 을계산하라 즉, 과동형인이미알려진군을 구하라 1 항등치환은우치환이므로 이고, 이 의부분집합임에는자명하다 2 임의의 에대하여 우치환 우치환 우치환 이성립한다 따라서 은 의부분군이다 3 임의의 와임의의 에대하여 우치환 우치환 우치환 우치환 우치환 기치환 우치환 기치환 우치환 기치환 이성립한다 따라서 은 의정규부분군이다 4, 우치환 기치환 라하자 그러면 는전사인준동형사상이다 의핵은 이므로제1동형정리에의하여 이다 실제로 이다 25 Complete the proof of theorem 144 by showing that if is a subgroup of a group and if left coset multiplication is well defined then - 생략함 - 26 가환군 의비꼬임부분군 는 의정규부분군이며 는비꼬임이없는군임을보여라 ( 문제 22 참조 ) 라하자 1 이므로 이다 또한 이다 2 임의의 에대하여 이므로 이다 따라서 이다 그러므로 이다 3 라하자 단, 그러면 이므로 이다 역으로 이므로 이다 따라서 이므로 이다 3 2, 3으로부터 는 의부분군이다 4 가가환군이므로임의의 에대하여 가성립한다 따라서 는 의정규부분군이다 5 가정규부분군이므로 는군임에자명하다 6 가비꼬임군이면문제 22 에의항 또한비꼬임군이되어모순된다 따라서 는비꼬임이없는군이다 즉, 이제 를비꼬임군이라가정하자 그러면 이므로 이다 가정에의하여 는비꼬임군이므 로 따라서 임을알수있다 이는 가유한위수를갖지않는다는가정에 모순된다 그러므로 는비꼬임이없는군이다

95 27 만약 의내적자기동형사상 가존재하여 이면부분군 는부분군 에공액이라 고한다 공액관계는 의부분군의모임에서동치관계임을증명하라 1 ( 반사) 이므로 이다 2 ( 대칭) 이면즉, 이면 이고 이때, 이존재하므로 이다 따라서 이다 3 ( 추이) 이면즉, 이면 이므로 이다 따라서 이다 28 앞의문제에서공액관계에의해서주어진분할의세포속의포함관계를이용해서군 분군을특정지워라 즉, 동치조건을찾아라 의정규부 정규부분군은공액조건을만족하는군이유일하게자기자신만을갖는다 즉, 를 와서로공액인부분군들의모임이라할때, 을만족하는것이다 29 문제 27 를참고로하여 와공액인 ( 예제 87) 의모든부분군을구하라 30 를군 의정규부분군이라하고 라하자 모든 에대하여 임을보여 라 이므로임의의 에대하여 를만족한다 따라서 이다 31 군 의정규부분군의공통집합은다시 의정규부분군임을보여라 를각각 의정규부분군이라하자 를 의항등원이라할때, 이고 이므로 는공집합이아니며 의부분집합임에는자명하다 또한임의의 에대하여 이고 이고 ( ) 를만족한다 따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 이제정규성을보이면충분하다 임의의 에대하여 ( ) 를만족한다 따라서 는 의정규부분군이다

96 32 의고정된부분집합 를포함하는가장적은정규부분군에대하여언급하는것은의미있는것 임을보여라 [ 힌트 : 문제 31 을이용하라 ] 라하자 단, 는 를포함하는 의정규부분군이다 그러면 는문제 31에의하여 의정규부분군이다 또한 를포함하는최소의정규부분군이다 33 let be a group An element of that can be expressed in the form for some is a commntator( 교환자 ) in The preceding exercise shows that there is a smallest normal subgroup of a group containing all commutators in ; the subgroup is the commutator subgroup( 교환자부분군 ) of Show that is am abelian group 임의의 에대하여 이다 가정에의하여 는 에서모든가환자를포함한다 따라서 이다 즉, 이성립한다 따라서 는가환이다 34 여라 유한군 가주어진위수를갖는꼭하나의부분군 만갖는다면 는 의정규부분군임을보 를군 의부분군이라하자 임의의 에대하여 임은자명하다 그러면가정에의하여 임을알수있다 따라서 는 의정규부분군이다 35 와 은 의부분군이며 이 에서정규적이면, 은 에서정규적임을보여라 은 에서는정규적일필요가없음을예로들어보여라 제 2 동형정리의증명!! 1 가 의부분군임에는자명하다 2 임의의 에대하여 이다 ( 이므로 이고, 이므로 에대하여 이다 ) 따라서 는 의정규부분군이다 즉, 이다 3 이라하자 그러면 이지만 는 의정규부분군이아니다 36 가고정된유한위수 를갖는부분군을적어도하나포함하는군이라하자 위수 인 의모든부분군의공통집합은 의정규부분군임을보여라 [ 힌트 : 가위수 를갖는다면모든 에대하여 로위수 를갖음을이용하라 ] 라하자 1 가 의부분군이므로부분군의교집합인 또한 의부분군이다 2 가위수 를갖는최소의부분군이다 임의의 에대하여 이므로 가성립한다 따라서 이므로 이다

97 37 군 의내적자기동형사상은함수합성에대하여군을이루고있음을보여라 임의의두내적자기동형사상의합성은준동형사상의합성이준동형사상이된다는사실로부터준동형사 상임을알수있다 또한 1-1대응의합성은 1-1대응이므로결국에는자기동형사상의합성이자기동형 사상이됨을안다 또한항등사상이항등원의역할을하며, 역사상또한자기동형사상으로역원의역할 을한다는사실을안다 그러므로자기동형사상은함수합성에대하여군을이룸을알수있다 군 의내적자기동형사상은함수의합성에대한모든자기동형사상의군의정규부분군임을보여 라 [ 주의 : 내적자기동형사상들이부분군을이루고있음을반드시보여라 ] 라하자 1 임의의 에대하여 ( ) 를만족한다 따라서연산에관해닫혀있다 는항등원의역할을함에자명하다 그러면위의 로부터 임을알수있다 즉, 가역원의역할을한다 따라서 이다 2 임의의 와임의의 에대하여 를만족한다 따라서 이다 그러므로 이다 단, 는자기동형사상들의모임이다 38 가항등내적자기동형사상 가되는모든 들의집합은군 의정규부분군임 을보여라 라하자 이므로 이다 또한정의에의하여 임에자명하다 임의의 에대하여 ( ) ( ) ( ) 를만족한다 또한 따라서 이고 이다 그러므로 는 의부분군이다 임의의 와임의의 에대하여 ( ) ( ) 를만족한다 따라서 이다 그러므로 는 의정규부분군이다

98 39 와 가군이며 와 는각각 와 의정규부분군이라하고, 가 에서 로대응하는준동형사상이라하자 만약 이면 가자연스러운준동형사상 를유도함을보여라 ( 이사살은대수적위상에끊임없이사용되어진다 ) 임의의 에대하여 라하자 에대하여 라하자 그러면 이고따라서 이다 즉, 이므로 이다 따라서 는잘정의된사상이다 이제임의의 에대하여 는준동형사상이므로 따라서 는준동형사상이다 40 Use the properties and for matrices to show the following; The matrices with determinant 1 form a normal subgroup of 라하자 1 이므로 이다 또한정의로부터 임에는자명하다 임의의 에대하여 이므로따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 2 임의의 와임의의 에대하여 이므로따라서 이다 따라서 는 의정규부분군이다 The matrices with determinant ± form a normal subgroup of ± 라하자 1 이므로 이다 또한정의로부터 임에는자명하다 임의의 에대하여 ± 이므로따라서 이다 그러므로 는 의부분군이다 2 임의의 와임의의 에대하여 ± 이므로따라서 이다 따라서 는 의정규부분군이다

99 41 Let be a group, and let be the set of all subsets of For any,, let us define the product subset Show that multiplication of subsets is associative and has an identity element, but that is not a group under this operation 1 결합법칙이성립함을보인다 - 생략함 - 2 항등원을갖는다 를 의항등원이라하자 그러면 이고곱셈의정의에의하여 이성립한 다 따라서 는 의항등원이다 3 위의연산에대하여군을이루지않음을보인다 가자명군이면군을이룬다 따라서 가자명군이아니라고가정하자 임의의 에대하여 가존재해서 라하자 그러면임의의 에대하여 를만족한다 즉, 와 는역원의관계에있다 하지만 에서역원은유일하게하나존재한다 그러므로 와 는원소를하나만갖는다 여기서 는임의의원소이므로 이다 따라서 는자명군이다 이는가정에모순된다 따라서 는이연산에관하여군을이루지않는다 Show that if is a normal subgroup of,, then the set of cosets of is closed under the above operation on,, and that this operation agrees with the multiplication given by the formula in Corollary 생략함 - Show (without using Corollary 145) that the cosets of in form a group under the above operation Is its identity element the same as the identity element of? - 생략함