통신이론 2 장주파수해석 성공회대학교 정보통신공학과 1

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1 통신이론 장주파수해석 성공회대학교 정보통신공학과

2 제 장의구성. 시간영역과주파수영역. 푸리에해석.3 푸리에급수.4 푸리에변환.5 특이함수모델.6 푸리에변환쌍.7 푸리에변환과관련된정리들

3 . 시간영역과주파수영역 3

4 시간영역과주파수영역 통신에서의신호 - 시간의흐름에따라전압, 전류, 또는전력의변화량을나타낸것 신호를표시할수있는방법 y 진폭 시간영역에서의표현 x 시간 y 진폭 주파수영역에서의표현 x 주파수 4

5 시간영역과주파수영역 물리적으로같은신호를서로다른관점에서관찰 5

6 시간영역과주파수영역 전기신호의파형을관측하는장비 오실로스코우프 Osillosop - 시간영역에서신호를관찰하는장비 스펙트럼해석기 Sprum lyzr - 주파수영역에서신호를관찰하는장비 6

7 V 방송의스펙트럼예 출처 : 7

8 시간영역과주파수영역 통신에서는주파수영역을자주사용 x FM 방송 반송파 rrir 반송파를중심으로 에너지가집중되어있다 89.MHz 9.9MHz 8

9 시간영역과주파수영역 푸리에변환을이용해시간영역의신호를주파수영역 domi 으로옮겨서해석하는것이편리 9

10 함수의가감승제 함수의덧셈

11 함수의가감승제 함수의곱셈

12 함수의가감승제 함수의나눗셈 3

13 함수의가감승제 Si 함수 x 형 S x x x 형 x x 4

14 함수의가감승제 S 함수 5

15 함수의가감승제 Si 함수 6

16 함수의미분적분 미분 x y,, dx x d? y? 7

17 함수의미분적분 미분 9 x,, y? d dx x? y

18 함수의미분적분 적분 x y 3 x d? y d? 3

19 함수의미분적분 Cos 의적분예 x = x Fx = x d

20 함수의미분적분 미분 / 적분 x x x d d 4

21 복소수의계산 복소수의덧셈과곱셈 φ φ φ φ π π 4 π 3 3 π 3 B 허수 j A 실수 A B j j j j A B? A B? x A B 4 j 3 j 6 hp://hyprphysis.phy-sr.gsu.du/hs/rig.hml 8

22 복소수의계산 복소수의뺄셈과나눗셈 B 허수 j A 실수 A B j j j j A B? A B? j? 9

23 복소지수함수 복소지수함수를실수와허수의성분으로표시하면 허수 j j 실수 j R Im j j j 출처 : hp://h.isory.om/3 3

24 복소지수함수 복소지수함수를실수와허수의성분으로표시하면 허수 j j 실수 j R Im j j j 3

25 . 푸리에해석 3

26 푸리에해석 푸리에 Fourir 해석 주파수해석이라고도한다. 주파수영역에서통신신호를해석하는것 각신호가포함하고있는주파수와그들의크기로표시하는영역 푸리에급수나푸리에변환을통해신호의주파수특성을얻고자하는것 푸리에급수 : 주기함수를해석 푸리에변환 : 주기함수를포함한모든함수를해석 주파수스펙트럼 rquy sprum 시간영역의신호를주파수영역에서나타내어진폭이나위상특성을주파수의함수로표현한것 33

27 주기함수와푸리에급수 푸리에급수 Fourir sris 주기함수의주파수스펙트럼을구한다. 기본주파수 ω 의배수 ω 은정수 에대응하는고조파의간격으로나타나는이산적인주파수스펙트럼 34

28 일반함수와푸리에변환 푸리에변환 Fourir rsorm 일반적인함수의주파수스펙트럼을구한다. 이산치가아닌연속적인함수의형태 비주기함수는고조파의간격이 = 비주기함수의주기를 로둠 35

29 푸리에해석의주파수특성 - 주파수대역은존재하는가? 물리적으로는실제로존재하지않는다. 수학적으로만 - 주파수대역이나타나는것. i= - 허수의존재는? 수학적으로만도입 주파수특성에서진폭스펙트럼은우함수진폭스펙트럼은 ω= 축에대해대칭 - 주파수대역은 + 주파수대역과좌우대칭신호의전력을계산할때는 - 주파수대역도포함 시간영역과주파수영역이서로같은신호를두고해석했기때문에영역이달라도같은전력값이계산 36

30 .3 푸리에급수 37

31 급수 급수 sris 어떤함수를다른함수의합으로표현할때사용 급수전개 : 어떤함수를다른함수합으로수식을펼쳐표현하는것보통은무한급수 한정된원소의합은근사식 g g.3 통신신호해석에서의 Fourir 급수주기신호의주파수성분을구하기위해 여러가지주파수성분을갖는함수의합 으로표현 38

32 푸리에급수표현 푸리에급수 Fourir sris 프랑스수학자푸리에 J Bpis Josph Fourir 임의의주기함수는사인과코사인의무한급수로전개됨 을최초로증명사인급수 sris 혹은코사인급수 o sris 라고도한다. 시간적으로주기적인신호 - Fourir 급수로해석해서주파수영역에서의신호의 진폭및위상특성을얻을수있다. 39

33 푸리에급수표현 주기가 인주기함수의정의 : 모든 에대해서 x 삼각함수, 상수 4

34 푸리에급수표현 고조파 Hrmois - 기본파의정수배를 가지는파동 차고조파 - 주파수가 배인파동 어떠한형태의일정한주기를갖는비정현파를분해하면 각기다른진폭의일정한주기를갖는정현파성분을얻음 4

35 푸리에급수표현 가주기함수라면주기함수는여러가지주파수성분을갖는신호들이더해진합성파의형태 Fourir 급수표현푸리에급수는각기다른주파수성분을분리한다. ω =π/ : 기본주파수 : 직류성분 ω= ω 포함신호 : 기본파 udml wv 성분 ω 포함신호 : 차고조파 sod hrmois 성분 ω 포함신호 : 차고조파 h hrmois 성분 4,.5

36 푸리에급수표현 푸리에급수 푸리에계수,

37 푸리에계수구하기 주기함수의푸리에급수표현 푸리에계수 oii.6 위식에서,, 푸리에급수를전개하는것은결국푸리에계수를구하는것 F 44

38 푸리에계수구하기 계수를구하는과정 를한주기구간동안적분 45 d d d d d d d d d.7 의평균치

39 푸리에계수구하기 46 d d B A B A B A B A x dx x x dx x d 우함수기함수 같은구간한주기적분 =

40 푸리에계수구하기 계수를구하는과정 양변에고조파를곱하여한주기동안적분 47 d d d d d d 기함수 = 을제외한나머지는 모두 이됨 d d d d d

41 푸리에계수구하기 계수를구하는과정 양변에고조파 곱하여한주기동안적분 를 d d.8 와 ω 곱의평균치 x = ω, dx = ω d 로나타내면 x x dx 48

42 푸리에계수구하기 계수를구하는과정 양변에고조파를곱하여한주기동안적분 49 d d d d d d 기함수 = 을제외한나머지는 모두 이됨 d d d d d

43 푸리에계수구하기 계수를구하는과정 양변에고조파 곱하여한주기동안적분 를 d d.9 와 ω 곱의평균치 x = ω, dx = ω d 로나타내면 x x dx 5

44 푸리에계수구하기 주기함수의한주기구간표시 [ : ] 일때 [x : π] 이므로,3 구간표현을사용했을때푸리에계수공식은 5

45 Fourir 급수의다양한형태 Fourir 급수를삼각함수의합성으로표현 Si 이나 Co 항으로묶어서표현할수있다 5

46 whr,,,, 단 Si 항으로묶은경우 Fourir 급수의다양한형태 53

47 d d d whr d d,,,, d d 단 Fourir 급수의다양한형태 54 Co 항으로묶은경우

48 복소지수형식의푸리에급수 복소지수형식을사용하면 복소수와지수함수의장점을모두이용 복소수 omplx umr 주파수영역에서진폭과위상 가지성질을함께표현 지수함수 xpoil uio 지수함수끼리곱셈, 나눗셈, 미분, 적분등계산이용이 지수함수와삼각함수와의관계 오일러 Eulr 의공식

49 복소지수형식의푸리에급수 복소지수형식의푸리에급수주기신호 에대한푸리에계수 58,,,, d j j..

50 오일러의공식사용 j j j j Θ 를라하면 j j j j j j j j j j 59 Fourir 급수의복소지수형식

51 j j j j j j j j j j j j j 여기서 j j j j j j 이라하면 Fourir 급수의복소지수형식 6.

52 계수간의관계 j j C 의공액.., d C j j Fourir 복소지수형식 Fourir 급수의복소지수형식 6,,,,

53 C 의증명.9.8 d d j. d d j d j d C j Fourir 급수의복소지수형식 6 d C j.

54 Fourir 급수의복소지수형식 C 의절대값 진폭스펙트럼 C j j j 허수 실수 신호 의 차고조파의선스펙트럼 Li Sprum 또는진폭스펙트럼이라한다. 63

55 실수허수 과, 의관계 j j Fourir 급수의복소지수형식 64 j j j

56 Fourir 급수의복소지수형식 과, 의관계 j 허수 j j j 실수 j 65

57 Fourir 급수의복소지수형식 C 의위상 위상스펙트럼 Phs Sprum 에대한 C 의그래프 복소 Fourir 스펙트럼 A 66