슬라이드 1

Size: px

Start display at page:

Download "슬라이드 1"

병철 육
5 years ago
Views:

1 파트 2 방정식의근과최적화 2.1 개요 2.2 파트의구성

2 2.1 개요 1/2 근 또는영점 이란무엇인가? 2 차, 3 차, 4 차... 근의공식 예 > 2 = a + b + c = 0 에대해 = b ± b 2 4ac 2a 그래프적방법 : 함수 를그려서 축과만나는점을찾음 - 개략적인추정, 정밀성의결여 시행착오법 : 의값을가정하여 = 0 이되도록반복하여조정함 - 실제공학적응용에비효율적임 수치기법 : 체계적인방법을통하여근사해를구함

3 2.1 개요 2/2 최적화 함수의최대값과최소값을구한다. 근구하기 : 함수값이 0 이되는위치를찾음 최적화 : 함수의극점을찾음

4 2.2 파트의구성 5 장 : 방정식의근 : 6 장 : 방정식의근 : 개방법 7 장 : 최적화

5 5 장방정식의근 : 5.1 소개와배경 5.2 그래프를사용하는방법 5.3 과초기가정법 5.4 이분법 5.5 가위치법

6 5 장방정식의근 : 낙하속도를구하는문제를다시살펴보자. 미분방정식 dv dt = g v t c d m 의해석해 척추손상의방지를위해서 항력계수가 0.25 kg/m 로주어질때자유낙하 4 초후에낙하속도가 36 m/s 를초과하는질량은얼마인가? t 대신에 m 에대해서방정식을표현한다! 2 v gm gcd = tanh t cd m gm gc d m = tanh t v t c d m m = 0 을만족하는 m 을구하기 " 근 " 을구하는문제

7 5.1 공학과과학에서의근 1/2 설계분야에사용되는기본원리 기본원리종속변수독립변수매개변수 열평형온도시간과위치매질의열적성질, 시스템의형태 질량보존농도또는질량시간과위치 물질의화학적거동, 물질전달, 시스템의형태 힘의평형힘의크기및방향시간과위치재료의강도, 구조적성질, 시스템의형태 에너지보존 Newton 운동법칙 Kirchho 법칙 운동에너지및포텐셜에너지 가속도, 속도및위치 시간과위치 시간과위치 매질의열적성질, 질량시스템의형태 질량, 시스템의형태, 소산매개변수 전류및전압시간전기적성질 저항, 콘덴서, 유도자

8 5.1 공학과과학에서의근 2/2 외재적표현과내재적표현 v t 매개변수와시간이주어지는경우, v 를직접계산할수있다. - v 는외재적값이다 식의한쪽변에고립되어있음. 속도, 시간, 항력계수가주어지는경우, m을직접계산할수없다. - m 은내재적값이다. gm gcd = tanh t c d m gm gc d m = tanh t vt 0 c = d m

9 예제 5.1 1/2 Q. 자유낙하 4 초후의속도를 36 m/s 로되게하는번지 점프하는사람의질량을그래프적인접근법으로구하라. 항력계수는 0.25 kg/m 이고, 중력가속도는 9.81 m/s 2 이다.

10 예제 5.1 2/2 >> cd = 0.25; g = 9.81; v = 36; t = 4; >> mp = inspace 50, 200; >> p = sqrtg*mp/cd.*tanhsqrtg*cd./mp*t - v; >> potmp,p, grid 근

11 예제 5.1 2/2 >> cd = 0.25; g = 9.81; v = 36; t = 4; >> mp = inspace 50, 200; >> p = sqrtg*mp/cd.*tanhsqrtg*cd./mp*t - v; >> potmp,p, grid >> sqrtg*145/cd*tanhsqrtg*cd/145*t-v ans = >> sqrtg*145/cd*tanhsqrtg*cd/145*t ans =

12 5.2 그래프를사용하는방법 1/2 그림 5.1 하한값 과상한값 사이의구간에서근이존재할수있는몇가지경우를나타낸다. 구간양끝에서함수값의부호가다르면구간내에홀수개의근이존재한다 b, d.

13 5.2 그래프를사용하는방법 2/2 그림 5.2 중근을갖거나불연속함수 인경우에는일반적인경우와다르다.

14 5.3 과초기가정법 1/3 초기가정법 - 근을포함하고있는구간의양끝을나타내는초기가정값에서부터시작함 - 항상근을찾지만수렴이느리다 개방법 - 한개또는그이상의초기가정값에서출발하나, 이들값이근을포함할필요는없음 - 근을못찾는경우도있지만, 수렴이빠르다

15 5.3 과초기가정법 2/3 증분탐색법 함수 =0 의근이존재하는구간을찾는다. < 0 이면적어도 과 사이에실근이하나이상존재한다. 증분구간이너무작으면계산시간이많이소요너무크면근을놓치게됨증분구간의크기에관계없이중근은놓칠위험이많음

16 5.3 과초기가정법 3/3 [ 증분탐색법을이용하는 M- 파일 ] nction b = incsearchnc, min, ma, ns % inds brackets o that contain sign changes o % a nction on an interva % inpt: % nc= name o nction % min, ma = endpoints o interva % ns = optiona nmber o sbintervas aong % otpt: % bk,1 is the ower bond o the kth sign changes % bk,2 is the pper bond o the kth sign changes % I no brackets ond, kb =[].

17 5.3 과초기가정법 3/3 [ 증분탐색법을이용하는 M- 파일 ] i nargin <4, ns =50; end % i ns bank set to 50 % Incrementa search = inspacemin, ma, ns; = evanc,; nb = 0, b =[]; % b is n ness sign change detected or k = 1:ength-1 i signk ~= signk+1 % check or sign change nb = nb + 1; bnb,1 = k; bnb,2 = k+1; end end

18 5.3 과초기가정법 3/3 [ 증분탐색법을이용하는 M- 파일 ] i isemptyb ese disp'no brackets ond' % dispay that no brackets were ond disp'check interva or increase ns' disp'nmber o brackets:' %dispay nmber o brackets end dispnb

19 예제 5.2 1/3 Q. incsearch를사용하여구간 [3,6] 사이에서다음함수의부호가바뀌는구간을찾아라. = sin10 + cos3

20 예제 5.2 2/3 풀이 >> incsearchinine'sin10*+cos3*', 3, 6 nb = 0 nmber o brackets: 5 ans = 소구간이너무넓어서 =4.25와 사이의근을놓쳤다. 이를찾기위해서 구간의수를다음과같이늘린다

21 예제 5.2 3/3 >> incsearch inine'sin10*+cos3*',3,6, 100 nb = 0 nmber o brackets: 9 ans = Brte-orce method

22 5.4 이분법 1/7 증분탐색법의변형으로구간폭을항상반으로나누는방법이다. 함수의부호가구간내에서바뀌면구간의중간점에서함수값을계산한다. 나뉜소구간중에서부호가바뀌는소구간에위치한근을구한다. 추정된근의값, r = + 2

23 5.4 이분법 2/7 그림 5.5 이분법의도식적묘사. 이그림은예제 5.3 에서 4 번반복한것을나타낸다.

24 5.4 이분법 3/7 이분법을마치기위한객관적인판단기준은? 근의참값을모르므로를이용할수없다. ε t 근사상대오차, new od r r ε a = 100% new r < ε s

25 예제 5.4 1/3 Q. 이분법을이용하여자유낙하 4초후의속도를 36 m/s로되게하는번지점프하는사람의질량을구하라. 근사오차가 ε s = 0.5% 의종료판정기준이하가될때까지계산을반복하라. 단, 항력계수는 0.25 kg/m 이고, 중력가속도는 9.81 m/s 2 이다.

26 예제 5.4 2/3 반복 구간추정근오차 % r = ε a = % = % εt = = = = =

27 예제 5.4 3/3 그림 5.6 이분법에서의오차. 반복횟수에대해참오차와근사오차가그림으로그려져있다.

28 5.4 이분법 4/7 왜참오차는들쭉날쭉한형태를갖는가? 구간내의어느점이나참근이될수있기때문이다. 참근이구간의중앙에위치할때는 ε 와 ε t a 의차이가크다. 참근이구간의끝쪽에위치할때는 ε 와 ε t a 의차이가작다.

29 5.4 이분법 5/7 이분법은일반적으로다른방법에비해수렴속도가느리다. ε a 는 ε t 이줄어드는일반적으로추이를나타낸다. ε a 는참오차의상한이므로 ε t 보다항상크다 절대오차, Ea = = 반복을시작하기전 0 1 E a = 1번반복후 2 0 n E n 차례반복후 a = n 2 0 og / E a, d 만약 E a,d 가원하는오차라면,. n = = og 2 og 2 Ea, 위의예에서 8번반복후에는된다. E a = = d 이 또는 n = 150 og 2 =

30 5.4 이분법 6/7 [ 이분법을수행하기위한 M- 파일 ] nction root = bisectionnc,,, es, mait % ses bisection method to ind the root o a nction % inpt: % nc= name o nction %, = ower and pper gesses % es = optiona stopping criterion % % mait = optiona maimm aowabe iterations % otpt: % root = rea root i evanc,*evanc, >0 % i gesses do not bracket a sign error 'no bracket' % dispay an error message retrn % and terminate end

31 5.4 이분법 6/7 [ 이분법을수행하기위한 M- 파일 ] % i necessary, assign deat vaes i nargin<5, mait = 50; end % i mait bank set to 50 i nargin<4, es = 0.001; end % i es bank set to % bisection iter = 0; r = ; whie 1 rod = r; r = + /2; iter = iter + 1; dispiter; dispr % dispay cacated rest

32 5.4 이분법 6/7 [ 이분법을수행하기위한 M- 파일 ] i r ~= 0, ea = absr-rod/r*100; end test = evanc,*evanc,r; i test < 0 = r; esei test > 0 = r; ese ea =0; end i ea <= es iter >= mait, break, end end root = r;

33 5.4 이분법 7/7 >> bisection'nc1', 50, 200, 0.001, ans =

34 5.5 가위치법 1/3 선형보간법이라고도하는이다. 이분법과매우유사하다. 구간을반분하기보다는 과 를연결하는직선과 축의교점으로새로운근을구하는방법이다. 가위치법공식 r =

35 장방정식의근 5.5 가위치법 2/3 가위치법공식의유도닮은꼴삼각형에서서로곱하면정리하여로나누면 r r = r r = ] [ r = r = 5 :

36 장방정식의근 5.5 가위치법 3/3 가위치법공식의유도를더하고빼면항을모으면즉 r + = r + = r = 5 :

37 예제 5.5 1/2 Q. 가위치법을사용하여예제 5.1 의방정식의근을구하라. 풀이 첫번째반복에의해 r = = = 200 ε t = 23.5% = = =

38 예제 5.5 2/2 두번째반복에의해 = r r = 50 = = = = = ε t = 13.76%, ε a = 8.56%

39 예제 5.6 이분법이가위치법보다바람직한경우 1/3 Q. 이분법과가위치법을사용해서 = 0과 1.3 사이에서 = 10 1 의근을구하라. 풀이 이분법 반복 r ε a % ε t %

예제 5.6 이분법이가위치법보다바람직한경우 2/3 가위치법 반복 r ε a % ε t % 1 2 3 4 5 0 0.09430 0.18176 0.26287 0.33811 1.

40 예제 5.6 이분법이가위치법보다바람직한경우 2/3 가위치법 반복 r ε a % ε t %

41 예제 5.6 이분법이가위치법보다바람직한경우 3/3 가위치법이이분법보다항상우수한것은아니다. 계산결과가빨리수렴되는지를검사할필요가있다. 구간의끝점중의하나가고정되어한쪽방향으로만수렴한다. 느린수렴속도

Microsoft PowerPoint - m05_Equation1(Print) [호환 모드]

Microsoft PowerPoint - m05_Equation1(Print) [호환 모드] Chap. 5 비선형방정식의해법 (1) - 구간법 CAE 기본개념소개 비선형방정식의개요 증분탐색법 이분법 가위치법 1 Chap.5 비선형방정식 (1) 비선형방정식 (Nonlinear Equation) 선형방정식 : Ax = b 해석적인방법으로방정식을만족하는해의계산이용이함한번의계산으로해를구할수있음 x = A -1 b (Direct calculation) Example: