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1 상대론특강 자연과학부물리학과 김재업 1

2 일반물리학수업에대한기대 1. 학생들이최초로배우게되는대학레벨의수업. ( 이미배웠다고생각하는학생들, 교사들도많을것이다.). 물리학은쉽지않지만, 대단히재미가있고, 계속배워나가면학생들이상상도할수없을만큼어렵지만재미있는내용들이많다. 3. 그것을가르쳐주기위해, 또한우수한학생들의높은레벨의질문에대응하기위해, 일반물리학을가르치는사람은학생보다 ~3단계는더높은레벨의물리학을공부해익혀두어야한다. ( 상대론으로말하자면고등학교-일반물리-현대물리-고급전공의상대론순서로생각할수있다.) 4. 학생들이교과서를읽게해야한다. ( 특히영어로된교과서를처음만난학생들은 교과서를읽지않는습관을들이는경우가많다.) 수식만읽고눈치껏문제푸는테크 닉을익히는식으로접근해서는안된다. 5. 적절한교과서?

3 History 1905 년에 Albert Einstein 은네편의논문을출판한다. On a Heuristic Viewpoint Concerning the Production and Transformation of Light : 광전효과에대한논문. 초기양자역학의중요한논문으로평가된다. (191년의노벨상은이것을주업적으로하여수여되었다.) On the Motion of Small Particles Suspended in a Stationary Liquid, as Required by the Molecular Kinetic Theory of Heat : 브라운운동에대한논문. 물질의미시적인근원의이해와통계역학의기초에크게기여하였다. On the Electrodynamics of Moving Bodies : 상대론에대한최초의논문. (length contraction, time dilation 등이설명되었다.) Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy Content? 상대론에대한두번째논문. (E = mc 은여기등장한다.) 3

4 Special Relativity 그때까지사람들은길이나시간, 질량이어떻게측정되어야하는지에대한특별한관심이없었다. ( 물론정밀한관측자체는당시에도중요하게여겨졌다.) 과학자들은그런물리량은자연적으로주어지는것이고우리는단지그러한절대값을측정하는것일뿐이라고생각했다. 만약어떤물체가정지해있다면, 그크기를자를대어잴수있을것이다. 만약물체가이동하고있다면어떨까? 측정이란무엇인지에대한정량적인정의가있어야할필요가있다. Measuring an Event Event( 사건 ): 3개의공간좌표와 1개의시간좌표, (t,x,y,z) 를부여할수있는어떠한것을 event라고부른다. 사건이일어난장소는그리어렵지않게특정할수있지만, 사건이일어난시간을정할때는주의를기울일필요가있다. 우리는실제로사건이일어난순간을기록하는것이지, 그사건을우리가관측한시간을기록하는것이아니다. ( 상대론에대한오해중많은것이이것과관련이있다.) +x 방향에서 10억광년떨어진곳에서폭발한초신성을오늘관측했다면, 우리의현재시간과장소를 (t,x) = (0,0) 이라고할때, 그사건은 ( 10억년, 10억광년 ) 에일어난것이다. 4

5 이러한시공간좌표계를다음과같은방식으로설명할수있다. 전체공간을아래와같이막대기와시계로채운다고생각해보자. 1. 공간좌표 : 동일한길이의막대기의배열.. 시간좌표 : 막대기가교차하는지점에 synchronize된시계들. 원점에있는관측자에게이막대기들은모두같은길이이고모든시계는 synchronize되어있다. 단, 그관측자의눈에보이는시간이모두똑같은것은아니다. (1광년떨어진시계는 1년전의시간을가리키는것이보일것이다.) 또한다른관측자도그러한주장에동의한다는뜻은아니다. ( 실제로는이막대와시계가잘못되었다고주장할수있는무수한다른관측자들이존재한다.) Event A: x = 3.6 막대, y = 1.3 막대, z = 0, time = 가장근처의시계를읽어측정. 5

6 Frames of Reference 관성좌표계란뉴튼의제 1법칙이성립하는좌표계이다. ( 해석하기에따라뉴튼의제 1법칙은그러한좌표계가존재한다는것을선언 (?) 한다고생각할수있다.) 한관성좌표계에서움직이는물체는다른관성좌표계에서정지한것일수있다. 모든관성좌표계는동등하게유효하고절대적으로정지해있는물체는없다. 이러한의미의 상대론 은 Einstein 이전에도큰이의없이받아들여지고있었다. 그러면 special relativity의무엇이 special한것일까? Postulates of Special Relativity (Halliday의교과서버전 ) 1. The laws of physics are the same for observers in all inertial reference frames. No one frame is preferred over any other. 앞에서얘기한바와같이뉴튼역학에서도보통이럴것이라고받아들여지고있었다.. The speed of light in vacuum has the same value c in all directions and in all inertial reference frames. 특별한문장인것은맞다. 하지만물리법칙이관성좌표계에무관함은이미 1번에서언급한것아닌가? 6

7 이상하게도 Einstein은결코이런식으로얘기하지않았는데도대부분의교과서는이런식으로표현을하고있다. 실제로 Einstein은어떻게표현하였을까? 1. The same laws of electrodynamics and optics will be valid for all frames of reference for which the equations of mechanics hold good.. Light is always propagated in empty space with a definite velocity c which is independent of the state of motion of the emitting body. 두가정모두많은실험적인테스트를거쳤고, 예외는발견된바없다. 특수상대론은 어렵다 는악평을받는경우가많다. 사실특수상대론의수학적인구조는그렇게까지어려운것은아니다. 하지만, 사건하나하나에대해 누가, 무엇을, 어떻게 측정하는지에대해대단히주의깊게구별해야한다는것이까다롭고, 우리의일상적인경험과상충되는결과가많기때문에이해하기어렵게느껴지는것이다. 우리의상식은느리게움직이는물체들을관측하며얻어진것이고, relativistic 한상황에서는통용되지않을때가많다. ( 상대론에대한공부를오랫동안하면상대론적인상식이어느정도는생기게된다.) 7

8 The Invariance of the Light Speed 지상의관찰자는서치라이트로부터나오는빛의속도를 c = m/s 으로잰다. 로켓은지상으로부터 v = m/s의속도로위로이동한다. 로켓의관찰자에게발광원은자신에게서 m/s의속도로멀어지고있다. 하지만거기에서나오는빛은여전히자신에게 c = m/s 의속도로다가오는것으로관측된다. 어떻게이런결과가초등수학적인계산오류를피할수있는것일까? 각관측자들에게길이와시간이서로다르게측정된다는것을이해해야만이것을납득할수있다.( 속도는길이 / 시간임을기억하라.) 8

9 The Relativity of Simultaneity ( 동시성의상대성 ) v B Sally R v B Sally R Event blue Sam Event red Sam Sam detects both events at the same time v v B Sally R B Sally R Sam Sally detects event Red Sam Sally detects event Blue Event Blue 와 Red : Sam과 Sally 모두자신에게같은거리가떨어진사건으로인식한다. ( 다만 Sam이생각하는거리는 Sally가생각하는것과같지않다.) Sam의관점에서 두사건에서의빛이동시에도착했다. 두사건은동시에일어났다. Sally의관점에서 같은거리만큼떨어진두사건인데, Red 사건이자신에게먼저보이므로이사건이먼저일어났다. 9

10 Who is right? Both are right. 동시성은절대적인개념이아닌상대적인개념이고관측자의움직임에따라바뀔수있다. Time Dilation 움직이는시계는정지한시계보다천천히바늘이움직인다. 앞에서소개한두개의가정으로부터두이벤트간의시간차를서로다른관성좌표계에서측정해보자. Proper Time ( 고유시간 ) proper time t 0 의정의 : 만약두사건이어떤관성좌표계에서같은장소에서일어난것으로관측되면, 그관성좌표계에서잰시간차가 proper time이다. 10

11 어떤다른관성좌표계에서잰시간차도이고유시간보다크다는것을증명할수있다. Time dilation( 시간지연 ) 효과 빛의이동시간을재는왼쪽그림의간단한실험장치를생각해보자. 두거울사이의거리는 L 0 이다. ( 사실우리가뒤에정의할 proper length에해당한다.) 빛이아래쪽거울에돌아올때마다기록계에 tick 을남긴다고하자. 거울들이정지해있는좌표계에서는, 두 tick 사이의시간은 proper time t 0 이다. t 0 L c 0 11

12 이제관찰자기준으로전체장치가오른쪽으로속도 v 로이동하는경우를생각해보자. Einstein 의두번째가정에따라이관찰자가보기에빛은여전히 c 의속도로이동한다. 또는 t t 0 여기에서 v/c 를 β 로표현하면 1 그런데이관찰자에게는 tick 사이에빛이더먼거리를이동하게된다. tick 사이의시간간격이 t 였다고하면피타고라스정리에의해, 1 1 v / c 1 t 1 vt L0 ct L0 / c t0 1 v / c 1 v / c 1

13 t t 0 1 v / c 시간지연에대해혼동해서는안된다. 만약 B가어떤시계를들고있고, 이들이움직이는것으로보이는좌표계에서 A가그시계를관측한다면, B는그시계바늘의움직임의 proper time t 0 를재고있는것이고 A가잰시간차가더크다. 즉, A의입장에서이시계바늘은느리게움직이고있다. B 의입장에서다른누가잰시간도부적절하다고주장할수있지만원칙적으로모든사람들은자기자신의좌표계에서자신만의시간을잴권리가있기에누군가가잰시간이틀린것은아니고, 서로다른시간의흐름을인지하는것때문에생기는 논리적인모순은없다. 시계바늘자체는어떤특별한것이아니고, 같은속도로이동하는모든물체는동일한비율로느려지는것처럼보인다. 사람들의숨쉬는간격, 심장이뛰는간격도더길어질것이다. 모든것이같은비율로느려진다는것은, 그안의세계에서는모든것이정상으로느껴지는다는것이다. ( 그렇지않으면그세계의물리법칙이다르다는의미가된다.) 단지외부의관찰자만이모든것이똑같이느려진것처럼느끼게된다. 13

14 시간의흐름은상대적이지만, 다른좌표계에서본다고해서시간이거꾸로흐르는일은일어나지않는다. 보다엄밀하게말하자면, 어떤좌표계의특정장소에서세개의사건 1,, 3이 t 1 < t < t 3 의시간에일어났다고하자. 모든다른좌표계의관찰자에게있어이세사건의순서는 1,, 3으로보인다. 내가속옷을입은후겉옷을입었다면, 어느누가봐도 ( 옷을천천히입을수는있지만 ) 겉옷을먼저입는것처럼보이지는않는다. ( 그러한과정이어떤식으로보이게될지상상도할수없을것이다.) 앞에서언급한 논리적인모순 은이런종류의상황을얘기하는것이다. Causality( 인과율 ) 은특수상대론에서절대로깨어지지않는다. 대부분의현대적인물리이론들은 Causality가깨어지지않도록만들어져있다. 14

15 Speed of Light Violation and Time Travel 만약빛의속도보다빠르게정보나물질을한점에서다른점으로이동시킬수있다면, 특수상대론에따르면, 어떠한관성좌표계에서는그러한정보나물질이과거로이동하는것으로보인다. 아래의다이어그램에서, 어떤물체가 S에서사라지고, 약간의시간후에 E에나타나는것이A의좌표계에서관측되었다고하자. (A에게는이것이시간여행으로여겨지는것은아니다.) A의입장에서오른쪽으로속도 v로이동하는 B라는관찰자의입장에서는물체가 E에나타나는사건이더먼저일어나게된다. B에게는이물체가과거로시간여행을하는것이다. ( 이러한상황을정량적으로확인하기위해서는 Lorentz transform을해보아야한다.) Position S Observer A Position E Position S Observer B ( velocity v) Position E 15

16 Galilean Transformation 두개의관성좌표계, S 와 S 을가정해보자. S 은 S에대해v = (v,0,0) 의속도로움직이고있다. (S 의원점이 S좌표계에서는시간 t에 (vt,0,0) 에있다 ). S 좌표계에서어떤사건이 (x,y,z) 의위치에시간 t 에일어났다고하자. S 좌표계에서이사건은다음의장소와시간에서일어난다. x xvt t t 낮은속도에서는근사적으로맞는식이지만, 이식은특수상대론의기본가정을만족시키는것이불가능하다. Lorentz Transformation Lorentz transform은발광원의움직임에무관하게빛의속도가언제나일정하도록만들어줄수있다. 1 1 v / c x xvt y y z z t tvx c 위식은사실x 방향의 boost에만해당하는변환식이다. 공식적으로는임의의방향의 boost와임의의방향의 rotation을모두포함한변환을 Lorentz Transform이라고부른다. 16

17 앞의식은 S 좌표계에서의사건을 S 좌표계에서의사건으로변환하는식이다. 만약 S 좌표계에서의사건을 S 좌표계에서으로바꾸려하면어떻게될까? and x x vt t t vx c Method 1: 앞의선형변환식들을 x와 t를구하는식으로다시풀어쓴다. Method : 앞의식을그대로이용하되속도의방향을바꾼다. vv 두사건사이의공간과시간의간격은어떻게변환이될까? x x x and t t t 1 1 x x x and t t t x x vt 1. x xvt. t t vx c. t tvx c 17

18 입구와출구모두관찰자 A에게서 300,000 km 떨어져있고, 한물체가 t = 0 에입구로들어가 t = 0. s 에출구로나왔다고하자. 즉, 두사건은 (t 1, x 1 ) = (0 s, km) 와 (t, x ) = (0.s, km) 에일어났다. 물체의평균속도는빛의속도의 10배이지만, 이것자체로 A가시간여행을관측했다고생각하지는않는다. y x Entrance Observer (A) Exit v Observer (B) 이제이사건을관찰자 B의입장에서분석해보자. 시간 t = t = 0 일때B의 x 좌표가 A 와일치한다. B의좌표계에서는, vx vx vx t t vx c t t vx c t c c c vx tt t 1 t c 이물체가시간여행을할조건은 ( t < 0) v t c /x 0.1c 18

19 Doppler Effect 만약음원이당신에게접근하고있거나, 당신이음원에가까이가고있는경우, 소리의주파수는원래음원이내는주파수보다높아지게된다. f f 0 1 v/ c s 1 V / c s 소리의도플러효과 여기에서 c s 는소리의속도, v 는음원을향한관찰자의속도, V 관찰자를향한음원의속도이다. 이결과는관찰자가움직이고있는지음원이움직이고있는지에따라달라진다. 이두상황을어떻게구분할수있을까? 이경우에는소리의매개체 ( 공기, 물등 ) 가정지한좌표계가절대적인좌표계이다. 그러나빛의경우엔, 전달되는매체가존재하지않고, 광원과관찰자의상대적인속도만이중요하다. 19

20 Transverse Doppler Effect 하나의광원이있다고하자. 만약광원이내는빛의주파수가자기자신의좌표계에서 f 0 라고하면, 전기장이최대가되는주기는 t 0 = 1/f 0 이라고할수있다. t 0 라는표현을사용한이유는, 이것이고유시간이기때문이다. 현재의애니메이션에서그주기는 Hz이다. 이제광원이관찰자에수직한방향으로이동하는경우를고려해보자. 관찰자에게는 전기장이최대가되는주기는다음과같다. t t 0 1 v / c 관찰자가측정하고있는것이비고유시간이기때문에, 관찰자가보기에광원이천천히깜박이는것이고주파수는감소하게된다. 관찰되는주파수는, f f0 1 v / c Transverse Doppler effect 0

21 대체어느쪽이느려지는것인지혼동될지도모른다. 적절한직관적인답을찾을수없는경우엔, 누가 proper time을재고있는지따져보는것이좋다. 이경우엔, 광원이보내는신호가관찰자의좌표계에서움직이고있고, 관찰자가 proper time을재고있지않다. 광원자신이 proper time을가지고있고, 관찰자가재는시간, 즉광원의주기는이것보다길어지는것이다. 광원이보기엔관찰자가느려지지않느냐는생각이들수있다. 물론틀린말은아니지만, 그런사실은지금우리가하고있는계산에아무런영향을끼치지않는다. Observer Moving Toward or Away from the Source 자, 이제는광원이관찰자에게서 v의속도로멀어지는경우를고려해보자. ( 관찰자가광원에서멀어지는경우라고할수도있지만조금만생각해보면이경우에는어떤계산을하는것이극도로골치아파진다.) 관찰자의입장에서는광원은여전히 ( 일반적인의미에서 ) 앞에서계산한 t의주기로깜박이고있다. 하지만 t의시간이지난후에는광원이 vt만큼멀어져있을것이고, 그빛이관찰자에게도착하기까지 vt/c 만큼의시간이더걸리게된다. 그러므로전기장 의최대치가관찰자의눈에도달하는시간차는다음과같다. 1

22 즉, 관측되는주파수는 vt 1 v/ c 1 v/ c T t t0 t 0 c 1 v / c 1 v/ c f f 0 1 v/ c 1 v/ c 같은방법으로 ( 대칭성을고려해 v를 v 로바꿔넣어도무방함 ) 광원이관찰자에게가까워질때는, f f 0 1 v/ c 1 v/ c Length Contraction 어떤물체가정지해있다면그것의길이를재는것은간단한일이다. 이렇게잰물체의길이L 0 를 proper length( 고유길이 ) 라고한다. 이물체가움직이는것으로보이는다른좌표계에서잰어떠한길이도이고유길이보다짧아진다. 하지만, 움직이는물체의길이를어떻게재야할까? 가장자연스러운방법은, 물체의양끝점을어떤특정한시간에재고그거리를기록하여물체의길이로인정하는것이다. 이러한방법도추후에시도하겠지만, 여기에서는실제로길이가줄어들었다는것을확인시켜줄수있는방법을하나제시하도록하겠다. ( 우리가물체의양쪽끝의현재위치를동시에볼수없다는것때문에, 실제물체가짧아져보이냐는질문에대 한답은더복잡하다.)

23 Length Contraction Derivation 다음과같은장치를이용해어떤막대의길이를잰다고하자. 빛이거울에서반사되어빛이출발한막대의끝으로돌아오는동안까지의시간을재는것이다. Light source rod mirror 막대가정지해있는관성좌표계에서, 빛이여행한시간이 t 0 로기록되었다고하자. ( 이시간은 proper time이다.), 이막대의길이는, L ct / 0 0 이고, 이길이가 proper length 이다. 이제막대가속도 v 로이동하는것으로보이는관측자의입장에서상황을분석해보자. velocity v 3

24 이관측자에게는막대의길이가 L이라고하자. 이관측자의입장에서, 빛이거울에도달할때까지의시간 t 1 과거울에서막대의끝으로돌아오는데걸린시간 t 는각각다음과같다. ( 빛이돌아올때는, 막대의끝과빛과의상대속도가 c를넘는다.) ct1 L vt1 ct L vt L L L/ c t t t cv cv 1 v / c t0 L0 / c t 1 v / c 1 v / c 그러므로전체시간은 1 그런데이시간 t와 proper time t 0 와의관계는다음과같아야할것이다. velocity v 두식을비교해보면 L L 1 v / c L / 0 0 물체가정지한것으로보이는좌표계에서잰고유길이는어떤물체의가능한가장큰길이이다. 물체가움직이는것으로보이는좌표계에서는더짧은길이가측정된다. 4

25 Another Demonstration of Length Contraction 샘은기차역의벤치에앉아있다. 줄자를이용하여샘은기차역의길이를잴수있고, 이길이는고유길이 L 0 이다. 샐리는역을지나가는기차에타고있다. 샐리가잰기차역의길이 L은얼마인가? 샘에따르면샐리는속도 v 로기차역을지나가고있고, A Sally Train v Sam B 점 A와 B 사이를지나가는데걸린시간은다음과같다. ( 점 A와 B는샘의입장에서는다른점이다.) Δt = L 0 /v : L0 vt (Sam) 샘은 A와 B에두개의시계를배치하고샐리가지나간시간을재야한다. length of train station 샐리의입장에서는기차역이속도 v로그녀를지나쳐가고, 본인이점 A와 B를각각지나갈때그점들은자신의좌표계에서는같은장소 ( 원점 ) 에있다. L vt 0 (Sally) L vt0 1 L0 = or L L vt 0 샐리는하나의시계로자신이두점을지나가는사이의시간을잴수있다. (proper time). 5

26 만약많은물체가있는지상에서빛의속도에가까운속도로움직이면무엇을보게될까? 당신이 x 방향으로움직이는경우, x 방향으로만 length contraction이일어나오른쪽그림과같은것을볼것으로상상하기쉽다. after boost 하지만현실은그렇지않다. 1959년 (!!) 사각형물체는마치회전한것처럼보인다는것이발견되었다. 물체의서로다른부분에서관측자에게도달하는빛의시간차효과때문에, 관측자에게서멀어져가는물체는짧아져보이고, 관측자에게다가오는물체는길어져보이게된다. 옆을지나쳐가는물체는마치회전한것처럼찌그러져보이게되는데이러한현상을 Terrell rotation이라고부른다. after boost 이것을 length contraction 개념자체가잘못되었다는뜻으로받아들여서는안된다. What you see is not what they are. It is what they were. 이것이상대론과연관된많 은오해의근원이된다. 6

27 Demonstration of length contraction Another example 다시한번강조하지만, 비디오에서는관측자가받는광학적인정보를보여주고있고, 그것은물체의과거위치를가르쳐준다. 지금까지유도한공식들은그러한효과와는무관한데, 우리가 (t,x) 라고쓸때는그사건이일어난순간의시간과장소를가리키고있고, 대부분의관찰자들은그사건을즉시확인하는것이불가능하다. Explanation to the length contraction1 Explanation to the length contraction 7

28 Re-Evaluate Time Dilation and Length Contraction 만약두사건이 S 좌표계에서서로다른장소에서동시에일어났다면, vx vx c c Simultaneity t t 0 S 좌표계에서는속도 v 의함수인시간차가존재한다. t t Time Dilation 0 t 0, x 0 만약두사건이 S 좌표계에서같은장소에일어났다면, ( 이시간차는 proper time 이다.) t t vx c t t0 t0, x 0 만약어떤막대가 S 좌표계에서정지해있다면, ( 이길이는 proper length 이다.) L 0 0 x S 좌표계에서길이를잴때는양끝을동시에재야한다. t 0 Length Contraction L x xvt xl 0 = L L 0 8

29 Muon Decay Example 뮤온이라고불리는불안정한입자는우주에서날아오는고에너지입자에의해수십 km 상공에서생성된다. 전자와비슷한성질을가지는뮤온은전자보다 07 배무겁다. Muon decay : e, e e e 뮤온의평균수명 (?) 은 t 0 = s 이다. 만약우주에서날아오는어떤뮤온이 v = 0.998c의속도를가졌다면, 간단한계산으로는뮤온의평균이동거리는 vt 0 = 0.66 km이된다. 그러나, 많은뮤온입자들은그보다훨씬먼거리를날아지상에도달하고있다. 이미스터리는시간지연으로설명할수있다 s의붕괴시간은뮤온자신의관성좌표계에서측정한수명이다. ( 그러므로 proper time이고, t 0 로표현할수있다.) 지표면의관측자에게있어이시간은다음과같이측정된다. t t s 1 v / c 즉, 뮤온의평균이동거리는 vt = 10.4 km 이고많은뮤온들이지표면에도달할수있다. 9

30 하지만뮤온자신의좌표계에서는붕괴시간이여전히 s인데대체어떻게그렇게먼거리를이동할수있을까? 길이수축이이미스터리를풀어준다. 뮤온과지상과의거리는다음과같이수축하게된다. L v c L 1 / km 이것이뮤온의입장에서자신이실제로이동한거리이다. vt km 길이수축과시간지연은밀접한관계에있다. 하나의효과만을취하고다른하나를무시하는것은불가능하다. 30

31 Twin Paradox 딕과제인이 0세일때딕이우주여행을떠난다. 딕은 0.80c의속도로지구에서 0광년떨어진목적지를향해갔다가다시돌아온다. 지구에남은제인은딕이천천히나이를먹는것으로느낀다. 딕의생체시계는제인이보기에다음의팩터만큼느리게간다. 1 v / c 0.60 제인의시계에따르면딕의왕복여행은 0/0.8 = 50 년이걸린다. 딕이돌아왔을때제인은 70세가된다. 제인의관점에서딕은 ( 느려진생체시계를고려하면 ) 항해에 30년을보냈다. 그러므로딕은귀환시 50세이다. 그리고 여기에는어떠한패러독스도없다. 많은어설픈교양서적과문서들에왜패러독스가있어야만하는지잘못된주장이많고, 이런패러독스는가속을고려하는일반상대론의영역에서만해결이가능하다고설명한다. 그러나이문제에서가속의역할은단지관성좌표계를바꾸는것을도와줄뿐, 이상황자체는충분히주의를기울이면특수상대론만으로완벽하게설명이가능 하다. 31

32 Q1: 만약가속을무시한다면, 이상황은서로에게완벽히대칭적이지않나? 그런데어떻게제인이딕보다나이가많은게가능한가? A1: 이상황은전혀대칭적이지않다! 딕의관점에서이상황을분석해보자. 가장중요한질문하나는이것이다. 딕의입장에서자신이움직인거리는얼마인가? 딕이즉각적인가속으로 0.8c의속도를얻었다고하자. ( 건강을위해그리선호되는방법은아닐것이다.) 그러한속도에도달하자마자, 딕은목적지까지의거리가더이상 0광년이아니라는것을깨닫게된다. (muon의여행을상기해보라.) 길이수축에의해목적지까지의거리는다음과같게된다. 0 ly 1 v / c 1 ly 딕은목적지를향해 0.8c로움직이게된다. 더정밀하게상황을설명하자면딕은정지한자신을향해목적지가 0.8c의속도로다가오는것을보게된다. 이여행은 1/0.8 = 15 년이걸리게된다. 똑같은논리가지구로귀환하는여행에도통용되고왕복여행 에 30 년이걸리게된다. 3

33 이문제의 paradox 는딕과제인의상황이대칭적이라고생각하는데근원이있는데실제로는절대로대칭적인상황이아니다. Lorentz transform을이용한좀더수학적인분석을해보면, 딕이하나의관성좌표계에서다른관성좌표계로갈아타는순간, time dilation을이용한단순한나이계산이실패하게되지만, 제인의계산은언제나유효함을알수있다. 제인의좌표계에서딕의출발이 (t 1,x 1 ) = (0,0) 에일어났다고하자. 딕이목적지에도착하는것은 (year, light-year) 단위계에서 (t,x ) = (5,0) 이다. 딕의좌표계에서는어떻게표현될까? t t vx c / x x vt / t 0 x 딕이운동방향을바꾼다음엔어떻게될까? 제인의현재좌표계를그대로유지하고싶다는생각이들것이고, 그것에는아무런문제가없다. 이좌표계에서딕의귀환여행의출발은 (t,x ) = (5,0) 에일어나고지구로귀환하는것은 (t 3,x 3 ) = (50,0) 이다. 딕의입장에선어떨까? 딕은새로운좌표계를도입해야만하는데, 단순하게생각하면좌표계간상대속도의부호만바꾸어서이렇게쓰고싶을것이다. t tvx c x xvt 33

34 그러나이식들이틀렸음을확인하는것은어렵지않다. 원래의 Lorentz transform은 t = t = 0에서 x = x = 0이되도록두좌표계간의상대시간과위치를고정시켜놓았을때통용되는식이지만현재상황에서의적절한초기조건은이것이아니다. 정말로이러한형태의식으로계속진행하고싶다면, 적절한상수들을더해초기조건을맞추어주는것은가능하다. 다음의못생긴 (?) 식이그옳은변환식이다. t tvx c 160 / 3 x xvt 00 / 3 이것을이용하면, (t,x ) = (5,0) 은여전히 (t,x ) = (15,0) 으로변환된다. 최종적으로 (t 3,x 3 ) = (50,0) 을변환식에넣어보면 (t 3,x 3 ) = (30,0) 임을확인할수있고, 제인의간단한나이계산이옳았음을알수있다. 정말로간단한계산을하나더해보자. 어떤특정시간에딕은지구를떠나고시간이지난후그가목적지에도착하게된다. 이두사건사이의시간차를두사람각각잰결과는어떻게될까? 딕의좌표계에서, 이두사건은 x = 0 인같은장소에서일어나게되고딕은 proper time을재고있다. 그가지구로귀환하는여행을할때도, 출발과도착은그가새로택한좌표계를기준으로하면같은장소에서일어나고있다. 양쪽여행에서딕은사건들사이의고유시간을재고있고, 제인은비고유시간을재고 있다. 둘중누가더짧은시간을재게되는지이제명백하게보일것이다. 34

35 Q: 여전히뭔가이상하다. 딕의관점에서는양방향의여행모두에서제인의생체시계가천천히흐르지않나? 어떻게지구에도착하는순간제인이갑자기자기보다나이가많다는걸발견할수있나? 가속하는도중에일반상대론을써서계산을해야만이해가가능한무슨일인가가발생하는것아닌가? A: 우선다음의문제를풀어보자. 딕과제인은여행기간동안각각 1년에한번전파신호를보낸다. 딕이받는신호의개수는몇개인가? 제인이받는신호의개수는? 이사고실험의답을찾는방법은여럿있을수있지만, 도플러효과공식을쓰는것이가장간단하다. 서로멀어져갈때, 각자신호를받는주기는다음과같다. T 1 v/ c 10.8 T0 1 v/ c y 35

36 서로접근하고있을때는, 각자신호를받는주기는다음과같다. T 1 v/ c T0 y 1 v/ c 딕에게첫번째여행은 15년이걸리고그동안제인에게 15/3 = 5개의신호를받는다. 목적지에서있는딕의나이는 35세이고딕이망원경으로제인을본다면, 딕의눈에보이는 (!) 제인은 5세이다. ( 물론 (t,x) 로표현되는제인의나이는 5세가아니다.) 귀환을위해돌아서는즉시 1년에 3개씩의신호를받게되는데, 15 3 = 45개가지구에도착하는순간까지받는신호의개수이다. 그러므로딕의입장에서제인은 50세나이를더먹고, 자신은 30세만나이를더먹게된다. 제인의스토리는꽤다르다. 제인의좌표계에서딕은 0/0.8 = 5 년걸려목적지에도착한다. 그러나목적지가 0광년떨어져있으므로딕이목적지에도착한것을관측하는데는 = 45 년이걸린다. 그러므로, 첫 45년간제인은딕의신호를 3년에하나의비율로 15개를받는다. 목적지에서있는딕을제인이망원경으로본다면 65세의제인의눈에보이는딕은 35세이다. 다음 5년동안제인은딕이급격히 ( 매년 4광년의거리를움직이는듯이!) 가까워지는것처럼느끼고, 이동안5 3 = 15개의신호를받는다. 결론은위와같이자신은 50세 나이를더먹고, 딕은 30 세만나이를더먹게된다. 36

37 이제서로간의상황이다른이유를좀더이해하게되었을것이다. 딕이 되돌아서는 사건을만드는사람이기때문에, 되돌아선순간부터딕은제인이자신에게가까워지는것을보게된다. 제인의입장에서는딕이되돌아섰다는것을실제로관측하는데시간이걸리게되므로상황이대칭적이지않음을또한번확인할수있다. A continues: Twin paradox에 time dilation을적용할때발생하는가장큰오해중하나는다음의내용이다. 만약누군가가내입장에서상대적인운동을하고있고, 내가그를망원경으로관찰을하고있다고하자. 내가보기에그는 슬로비디오 로움직이고있나? Yes/No? 답은 No이다. 그가내게접근하고있는경우엔, time dilation이발생함에도불구하고그의생체시계가빠르게흐르는것처럼내눈에는보인다. 다시한번강조하지만시간지연자체는언제나적용된다. 하지만시간지연으로생체시계가느려진누군가라고해도, 내게접근하면서조밀한간격으로빛을보내게되면망원경으로보게되는시간의흐름은내시간의흐름보다빠를수있다. 이제어떤경우엔자신보다느리게늙는것으로보이고, 어떤경우엔자신보다빠르게늙는것으로보이던누군가가, 전부합하고나니자신보다나이가많은것이불가능하지않음을이해할수있을것이다. 37

38 많은경우에사람들은 모든게상대적이라니내가너를관찰할때는 t = γt이고네가나를관찰하면 t = γt 인가보다 라고생각한다. 특수상대론에그런나이브한논리는존재하지않는다. 사건이정의되면사건들사이의고유시간이정해지고, 고유시간을재는좌표계는단하나뿐이다. 그리고어떤다른좌표계에서잰시간도고유시간보다길어질수밖에없다. 혼동이된다면고유시간과고유길이를누가재고있는지를잘따져보는것이좋을것이다. 그런정도로는여전히답을알수없다면 모든사건을 (t,x) 의형태로정의하고 Lorentz transform을적용해보는것을추천한다. Your common sense lies. Your eyes lie. Even your brain lies. The Lorentz transform does not lie. 38

39 Lances of Two Knights 다음과같은간단한문제를생각해보자. 두명의기사가고유길이 L 0 인랜스를들고서로에게돌진을한다. ( 둘간의상대속도가 v라고하자.) 오른쪽의기사의입장에서는자신에게상대적인운동을하는왼쪽기사의랜스는길이수축에의해짧아진다. 그렇다면자신의랜스가먼저상대에게도달하여자신이승리할수있을것이다. 하지만왼쪽기사도자신의랜스가먼저상대에게도달하리라고확신하고있다. 39

40 실제로 Lorentz transform을써서이상황을분석해보자. 오른쪽기사의좌표계를 S, 왼쪽기사의좌표계를 S 이라고하고, 오른쪽기사의가슴의위치를 x = 0, 랜스의끝의위치를 x = L 0 라고하자. 그가보기에왼쪽기사의위치는계속변하고있는데, 왼쪽기사의가슴의위치는 x = vt, 랜스의끝의위치는 x = vt+ L 0 /γ 이라고할수있다. 그의입장에서자신의랜스는 L 0 = vt 즉, t = L 0 /v 라는시간에 L 0 의위치에서상대에게닿고상대의랜스는 vt+l 0 /γ = 0 즉, t = L 0 /γv 의시간에 0의위치에서자신에게닿는다. 즉, t = (1 1/γ)L 0 /v 이고 x = L 0 이다. S 좌표계에서는이두이벤트의시간차가어떻게보일까? Lorentz transform 의결과는, t tvx c 1L0 vl 0 L0 vl0 L0 v L0 L t v c v c v c v v 이되어왼쪽기사의입장에서는자신의랜스가먼저닿는것이맞다. 그렇다면문제가있다는것을확인했을뿐이지문제를해결한게아니지않느냐고말하는이가있을지모른다. 사실그냥결과가비직관적일뿐, 아무런문제가없는게맞다. 이것을굳이 paradox 형태로만들고싶은사람은, 한쪽기사가공격이성공한후상대의랜스를피하는식의스토리를가정하곤한다. 불안하면 (?) 실제로계산해보면된다. 공격이성공했다는정보가빛의속도로자신에게도달하기전에상대의랜스가 먼저도달하게되고, 공격성공을확인한이후에피하는스토리는절대로불가능하다. 40

41 Barn-Pole Paradox y x v B Back Door Train Platform C Front Door 이 paradox는사다리를예로들어설명하여 ladder paradox라고불릴때도있다. 여기에서는다음과같은식으로문제를구성해보자. 고유길이가 L 0 인기차가있고, B라는사람이기차의중앙에서있다. C라는사람은고유길이가 L 0 인기차역의한가운데에서있다. 기차는 C의입장에서 +x 방향으로 v의속력으로이동하고있다. B의입장에서는기차역의길이는 L 0 /γ로측정되므로이기차는어느순간에도일부분만이기차역안에들어가있을뿐이다. 그러나 C의입장에서는기차의길이가 L 0 /γ로측정되므로 B가자신의위치에오는순간앞문과뒷문을모두닫으면기차를가둘수있다. 이번에도 Lorentz transform으로이상황을분석해보자. C의좌표계를 S, B의좌표계가 S 이라고하면 C가원하는것은 t = 0 의시간에 L 0 /, L 0 / 위치의두문을동시에닫는것이다. 그리고분명히그것은가능하다. 하지만이번에는 B의입장에서생각해보자. 41

42 y x v B Back Door Train Platform C Front Door t, x (0, L /) t, x (0, L /) x x vt L / t t vx c vl c x x vt L / t t vx c vl c 0 0 즉 B의관측으로는자신이 C의위치에오기전에앞문이먼저닫히며자신이 C의위치에오는순간에도뒷문은여전히열려있다. C를지나친이후에야뒷문이닫히게된다. 앞문을타이밍좋게열어주지않으면기차가앞문과충돌하게되겠지만, 그것역시특별한모순이발생하는사건은아니다. C의입장에선뒷문이닫힌이후에기차가앞문과충돌하는것이고, B는기차가앞문에먼저충돌하고나서뒷문이닫히는것이다. 4

43 Velocity Addition 전통적인의미의속도의정의는상대론에서도여전히옳다. 즉물체가이동한거리를시간으로나눈것이속도의크기가된다. 주의해야하는것은그관성좌표계에서잰거리와시간을사용해야올바른속도가나온다는것이다. x x vt t t vx c x x vt t t vx c u x t and u x t x x t v t 1v x t c u u v (relativistic velocity transformation) 1 uv c u u v (classical velocity transformation) c 의극한에서 43

44 u u v 1 uv c 만약 u' = c라면이공식은 u = c를주어einstein의두번째가정이만족함을알수있다. y 와 z 방향의속도더하기공식도같은방식으로얻을수있다. u y y and t u y y t u y u y u 1 y v / c u 1 v / c 1uv c 1 x z u z uv x c uy 1 v / c u 1 v / c 1 vu / c 1 vu / c z u z x x 44

45 Relativistic Aberration 이용어는관측자의운동에따라빛이온방향이달라져보이는현상을가리킨다. 어떤관측자 A가별을보았더니지표면에서 θ인고도에보였다고하자. 이제 A에대해상대속도 v로다가오고있는또다른관측자 B의입장에서생각해보자. B v A θ 둘의위치가정확히겹친순간 B 의눈에보인별의고도를계산해보자. 먼저비상대론적인계산으로부터출발해보자. 별이 A에게쏘아보낸빛은 x방향속도가 c cos θ, y방향속도가 c sin θ 이다. 비상대론적인속도합을구해보면, B의입장에서는 x방향속도가 c cos θ v 이고 y방향속도가 c sin θ 인빛을관찰하게된다. 이에따라 B가관측하는별의고도는다음과같다. tan sin cos v/ c 45

46 B v A θ 이제상대론적인계산을해보자. 아래의식에서 u x = c cos θ 이고 u y = c sin θ 이다. u x u 1 / x v u v c 1uv c 1 vu / c y x y u y x cos sin / sin / u c v x u c tan 1 v/ c cos 1 v/ c cos cos v/ c 위의식은해를찾기약간까다로운영역이있는데, singular하지않는게보장되는답을원할때는cos 함수로표현하는것이바람직하다. ( 빛의속도가 c로불변하기때문에 cos 계산이더편한면도있다.) ccos v cos c vcos 발광원과관측자가가까워지는경우 θ 이 θ 보다작아지게되는데, 빛이몰려서오게되어더밝게보이는효과가존재한다. 이를 relativistic beaming 또는 headlight effect라 고부른다. 46

47 지구에서천체현상을관측하다보면멀리떨어진천체가겉보기에빛보다빠르게움직이는경우가있다. 상대론에대해충분한이해가있어야이런현상을설명할수있다. 그림과같이지구에서 L 떨어진어떠한천체가있다고하자. 이천체는지구를향해 θ 만큼기울어진각도로속도 v로다가오고있다. 점 a 에서출발한물체는시간 t 후에점 b에도달하게된다.( 거리가충분히멀면수직해보이는두선이사실상평행하게된다.) 이제지구에서이천체까지의거리는, L Lvtcos b 이고, a, b 두점에서출발한빛이지구에도달한시간은각각다음과같다. T L/ c T t Lvtcos / c a b 지구에서보기에이천체는 s 만큼의거리를이동한것처럼보인다. 즉, 겉보기속도는다음과같이계산할수있다. u s vsint vsin T t Lvtcos / cl/ c 1 v/ c cos 47

48 약간의계산을더해보면 v가일정할때 u의최대값은 cos θ = v/c 일때일어남을알수있고, 이때의겉보기속력은, u v 1 v/ c max 1 v/ c v 즉, v 가 c/ 보다크고각도 θ 가적당한값이면겉보기속력이 c 보다커보일수있다. 48

49 Four-Vectors in Relativity 이쯤에서간략하게 four-vector와그에관련된대수적인도구들을도입하도록하겠다. 시공간을표현하는 contravariant four-vector x μ, μ = 0,1,,3, 는다음과같이정의된다. (index을올려쓰는것에유의해야한다.) x ct x x x y x z Lorentz transform 에따른 four-vector 의변환식은 3 0 x x x ( 같은 index 가두번쓰이면 Sum 을하는 Einstein Summation 이사용되고있다.) Λ μ ν에대한깊이있는논의는피하기로하고, 현재로서는 Λ 라는행렬의 (μ,ν) 번째항정도로생각하기로하자. 예를들어, x 방향의 boost를표현해보면, Λ v/ c ; ; 다른모든항은 0 이다. 앞에서언급하였듯이일반적인 Lorentz transform은모든방향의 boost와회전을포함하고있으므로 Λ μ ν의모양은이보다훨씬복잡해질수있다. 49

50 Lorentz transform으로좌표계를바꿨을때 (x 0,x 1,x,x 3 ) 와같은방식으로변환되는것들은모두four-vector로부를수있다. a a 시공간의 metric g μν 를다음과같이정의하였을때, 하나하나의 contravariant fourvector 에대응되는 covariant four-vector 를다음과같이만들수있다. g x g x g x0 ct x1 x x y x3 z g μν 는엄밀히말하면 g 1 로부터구해야하지만, 현재의 metric 이자기자신의 inverse 이므로 g μν 와같게생각해도무방하다. 한줄요약 : (x 0,x 1,x,x 3 ) 의 covariant 한형태는 (x 0, x 1, x, x 3 ) 이다. 50

51 이제부터인덱스 0,1,,3이사용될때는그위치에따라 contavariant와 covariant 벡터를구분하고, x, y, z 가사용될때는 three-vector의성분을나타내는것으로간주하겠다. Three-vector는보통볼드체로 x처럼쓰지만쓰지만 four-vector는 x μ 라고쓰거나, 아예 x라고쓰기도한다. 이제 four-vector간의내적을다음과같이정의할수있다. ab g ab g ab ab ab ababab ab aa a x ct, x, y, z x ct, x, y, z I xx x ct x y z gx x 일반적으로 curved space-time을표현할때는 non-trivial한 metric이필요해진다. 여기에서우리가선택한 sign convention (+,,, ) 은 Timelike convention인데, 책에따라 ( 1,1,1,1) (Spacelike convention) 이사용될때도많다. 51

52 four-vector 의예 ct, x ( E / c, p) ( c, j), A x xvt y y z z t tvx c p p ve / c x p y p z p p y z E Evp x x 앞에서얘기한바와같이일반적인 four-vector a μ 는 Lorentz transform 으로변환된다. p E c p p p p p p / x y z p p p g p p g p p E c p p p p p p 0 / 1 x y 3 z three-vector의경우벡터의제곱은스칼라이다. 당연히어떤회전변환한좌표계에서도이값은변하지않기때문이다. x y z x y z 일반적으로두 three-vector의내적은스칼라이고회전변환에따라값이변하지않는다. a bab x x ab y y ab z z 5

53 Four-vector 의경우로이개념을확장하면 Lorentz scalar 라는것을정의할수있다. Lorentz invariance 의예 aba b a b a b a b 이내적의결과물은임의의 boost와 rotation에대해불변이다. 다음의 I는한특수한 Lorentz scalar이다. (Lorentz invariance라고도부른다.) I ct x y z ct x y z Proper time: Rest mass: 0 x / t t c p m E / c / c 53

54 이러한 invariance의개념은단순히하나하나의입자들에만적용되는것이아니다. 예를들어어떠한계의전체에너지와운동량에대해 invariance를계산하는것도가능하다. p E / c constant tot 위에서계산하고있는것은사실이시스템의 rest mass이다. 움직이고있는다수의물체들로이루어진계는외부에서보았을때실제로이런질량을가진것처럼행동한다. tot 보존되는물리량은하나의주어진관성좌표계에서시간이지남에따라변화하지않는것이다. (mass-energy 보존또는운동량보존등 ) Invariant quantity라는것은어떤관성좌표계에서관측해도똑같게되는물리량이다. 이러한개념에익숙해지는데시간이걸리지만뒤에보듯이많은상대론적인문제를푸는데큰도움을준다. 어떠한 four-vector a μ 에대해a = a μ a μ 는불변량인데, 만약 a > 0, a μ 는 timelike하다고한다. 만약 a < 0, a μ 는 spacelike하다고한다. 만약 a = 0, a μ 는 lightlike하다고한다. 54

55 Energy and Momentum 자, 이제명왕성행로켓을타고이동하는상상을해보자. 이로켓은광고에따르면 0.8c의속도로움직인다고한다. 그런데, 그광고된속도의의미는무엇일까? 거리 / 시간이라고답을하고싶지만, 어떤거리이고어떤시간을사용한것일까? 가장자연스러운답은이것일것이다. d v x x와 t는지구의관측자가잰위치와시간. dt 하지만, 언제점심식사를하는것이좋을지궁금하다면, 지구의관측자가잰시간이아니라내손목시계를보는것이더유용할것이다. 지구의시간은 dt만큼증가하고있더라도내손목시계는 dτ = dt/γ로더느리게증가하고있다. dτ 는내손목시계의고유시간이고, 이것은 Lorentz scalar이다. ( 어떤좌표계에서도다음의방식으로고유시간을잴수있다.) / d dt dx c 이런관점에서보면, proper velocity라고불리는물리량을다음과같이정의하는것이유용하다. dx dx η v d 1 v / cdt 55

56 η는 c를넘어설수있다는데유의해야한다. 이것에는아무런모순이없다. 충분히빠르게움직이면내시계로 100년이내에안드로메다은하에도착하는것이가능하다. Proper velocity에 0번째성분을더해 four-vector를만드는것이가능하고이를 fourvelocity라고부른다. dx dx d dt cv, x, vy, vz c, vx, vy, vz v c c vx vy vz c 1 c η μ 가실제로 four-vector임을확인하는것은어렵지않다. x μ 는 four-vector이고 τ는 Lorentz scalar이므로이미분값은 four-vector가되어야만한다. 그렇기때문에다른관성좌표계에서잰 four-velocity의값은lorentz transform을통해구할수있다. 우리가일반적으로정의하는속도는 four-vector의일부분이아니고그것이 velocity transform 식이상당히복잡하게생긴이유이다. dx u v dy u dz u u u u x y z x y z dt 1 vux / c dt 1 x / dt 1 x / vu c vu c 56

57 Four-velocity에 Lorentz scalar인 rest mass m을곱하여또다른 four-vector를만들수있다. m mc, mv, mv, mv x y z 이것이잘알려진 energy-momentum four-vector, p μ 이다. 이 four-vector의 0번째성분은 (total energy)/c이다. E cp cm mc 0 0 mc 1 v / c v = 0 에서도이에너지가 0 이아님에유의해야한다. 이것을 rest energy 라고부른다. Erest mc 일부의문헌에서는 ( 특히오래된책들 ) relativistic mass 를다음과같이정의한다. ( 요즘에는이런방식이선호되지않는다.) m R 이런식으로표현할때는물체가정지한좌표계에서잰 rest mass를따로m 0 로써주는것이적절하다. 이렇게정의하면물체가움직이는방향의운동량이 m R v로쓰여진다. m 0 1 v / c 57

58 그러나그런해석에도문제가있다고알려져있고, 여기에서는 m 자체를 proper (or rest) mass의기호로사용하여상대론적인운동량을다음과같이표현한다. mv p mv 1 v / c Energy-momentum four-vector 간의내적을해보면, E E p m, px, py, pz p, px, py, pz c c 고전역학에서의운동에너지와운동량간의관계 : E p p m c c p p mv mv / mkm 상대론적인에너지와운동량간의관계 : E mc pc (Note E is the total energy) 58

59 Sample Problem: Find the acceleration of a particle of mass m and velocity v when it is acted upon by the constant force F, where F is parallel to v. d d v x dvx 1 vx(1 / ) vx / c Fx mvxm m 3/ dt dt 1 vx / c dt 1 vx / c 1 vx / c 1 vx / c vx / c 3 ma x ma 3/ 3/ 1 vx / c 1 vx / c Simply replacing m to γm does not always give you the right result. This is one reason why the concept of relativistic mass is abandoned. If the force is acting on the perpendicular direction, x d d F mv m y y dt y vy0, vz0 dt 1 vx vy vz / c v v 0, v 0 y z dv v (1 / ) v / c 1 v v v / c 1 v v v / c m d v y y y y mv y 3/ ma y dt dt x y z x y z v 0, v 0 v 0, v 0 y z y z For both cases, as v c, F/a increases, i.e. it gets more and more difficult to accelerate. It is impossible to accelerate something over the speed c. 59

60 Proof of Mass-Energy Equivalence 어떤물체가같은에너지 (E) 인두개의photon을반대방향으로내뿜는다. 보낸다. 관성좌표계 S에서는이물체는정지해있다. 이물체의질량에는어떤변동이있는가? Mass M Stationary in Frame S Photon momentum E/ c E/ c E hf hc/ pc Mass M =? 이물체가처음상태에서왼쪽으로 βc의속도로이동하는것처럼보이는관성좌표계 S 을가정해보자. 이좌표계에서는두개의 photon이나온이후에도이물체의속도는똑같아야할것이다. 1 E 1 c 1 E 1 c v c Moving with velocity v in Frame S v c 도플러효과에의해두 photon 의 frequency와운동량이변하게된다. 60

61 Mass M Photon momentum E/ c E/ c Mass M =? 1 E 1 c 1 E 1 c v c v c 좌표계 S 에서의원래운동량 : pin Mv 운동량보존에의해 p in = p out 나중의운동량 : p out E 1 1 Mv c Ec Ec M M c E 1 1 v 1 v 에너지가방출될때질량은변해야만한다. 물체에숨어있는전체에너지 : E = Mc. 61

62 Example Problem: A stationary body explodes into two fragments each of mass 1.0 kg that move apart at speeds of 0.6c relative to the original body. Find the mass of the original body. mc m c m m 1.0 / kg kg의물질은 J의에너지로변환이된다. 1 kg의다이너마이트가폭발할때는단지 kg의질량이에너지로변환될뿐이다. 엄청난양의에너지가질량의형태로얼어 (!) 있기는하지만, 질량을다른형태의에너지로바꾸는것은대단히힘든일이다. 6

63 Example Problem: Solar energy reaches the earth at the rate of about 1.4 kw per square meter of surface perpendicular to the direction of the sun. By how much does the mass of the sun decreases per second owing to this energy loss? The mean radius of the earth s orbit is m. The total power radiated by the sun is equal to the power received by a sphere whose radius is that of the earth s orbit. The mass loss rate is the power divided by c. dm dt r 1.4 kw/m kg/s c 태양의질량은 kg이다. 만약태양이현재내뿜는에너지를다음 10억년동안내뿜는다고가정하면, 태양의질량변화는다음과같다 kg 여전히전체태양의질량에비해서는작은값이다. 63

64 Kinetic Energy at Low Speeds mc K 1mc mc 1 v / c v/c 가작다고가정하고 Taylor 전개를사용하면, nn ( 1) n 1 x 1 nx x 4 v 3v K 1 mc mc mv mv / c 4 c 8c 8 ~~~~~~~~ leading order correction term v = 10 7 m/s = 0.033c에서조차도고전역학적인표현, mv /의에러는단지 0.08퍼센트일뿐이다. 그러나, 입자의질량이 c에근접함에따라운동에너지가급격히증가한다. 빛의속도에가까운영역에서는, 물체의속도를기술하기보다는물체의전체에너지를기술하는것이보통이다. 그래서 a proton with 100 GeV energy 같은표현이흔히쓰인다. 64

65 Massless Particles 에너지와운동량의관계를되짚어보면, ( 정지 ) 질량이없는입자는 c의속도로이동해 야한다. m = 0으로놓으면, E = pc E mc pc E hf hc/ pc Momentum-energy four-vector는, p p, p,0,0 Massless particle의예들 1. Photon: 그질량이있더라도 ev 이하임이증명되어있다. 거의틀림없이질량이없을것으로추측된다.. Graviton: 아마도존재하리라고추측되지만전혀발견된적은없고앞으로도절대발견되지않을것이다. 3. Gluon: Strong force를매개하는입자이다. 그러나자유롭게돌아다니는 gluon은발견된바없다. ( 아마도그런 gluon은존재하지않을것으로추정된다.) 4. Neutrino: 한때는질량이없다고여겨졌으나지금은아주작은질량을가지고있다는것이정설이다. 65

66 이제는 Neutrino의속도가빛의속도를넘을수없다는것에대해더강한확신이생겼을것이다. 1987년대마젤란성운에서초신성이폭발하였을때 neutrino는지구에빛보다 3시간먼저도착하였다. 그차이는아마도초신성의중력붕궤메커니즘상빛과뉴트리노의발생시간의차이로추정된다. Mass and Energy Unit 1 ev는 1 볼트의전기장차이에의해가속된전자가얻는에너지이다 ev = J 수소의이온화에너지는 13.6 ev 이다. 상온에서, k B T = 0.05 ev 몇몇소립자의정지질량 Electron: MeV/c Proton: MeV/c Neutron: MeV/c Electron Neutrino: < 0. ev/c Example Problem: An electron and a photon both have momenta of.000 MeV/c. Find the total energy of each. For the electron, E mc pc MeV For the photon, E pc.000mev 66

67 Relativistic Kinematics 이제부터몇개의상대론적인역학문제를다루어보도록하겠다. 푸는도중에몇개의유용한팁이제공될것이다. Example 1. 질량이각각 m인두개의물체가 3c/5의속도로정면충돌후달라붙었다. Question: 최종결과물의질량 M은얼마인가? /5 4 전체에너지는 5 5 E mc mc mc mc 4 1 운동량보존은트리비얼한결과로최종결과물이충돌후정지해있다는것을알려준다. 그러므로물체의최종질량은 M = 5m/. 67

68 Example. 정지해있는질량 M인입자가질량이 m인입자두개로쪼개진다. Question: 각각의입자가날아가는속도는? 운동량보존은두입자가반대방향으로같은속력으로날아가는것을알려준다. 에너지보존으로부터, mc Mc, v c 1 m / M 1 v / c M이 m보다큰경우에만이식이의미를갖는다. 중수소의핵인 Deuteron (mass MeV/c ) 은 proton과 neutron (combined mass MeV/c ) 으로붕괴하기위한충분한질량을가지고있지못하므로안정하게존재한다. 만약여러입자가합쳐진입자가각각의구성성분의합보다무거우면자발적으로붕괴하게된다. 68

69 Example 3. 정지한파이온 (π) 이뮤온 (μ) 과뉴트리노 (ν) 로쪼개진다. Question: 뮤온의속력을구하라. 파이온의질량을 m π, 뮤온의질량을 m μ, 뉴트리노는질량이없는것으로간주하라. Strategy 1: 입자의에너지와운동량의관계를다음의 invariance 를이용하여구한다. E p c m c 4 운동량보존으로부터뮤온과뉴트리노는정확히반대방향으로움직이게된다. 만약그운동량의크기를 p μ, p ν 라고쓰면 E m c E c m c p E p c p c 마지막식에운동량보존이반영되었다. 에너지보존에의하면 mc c mc p pc mc mc p p mc p mc p mc m pc mc p c m m m 69

70 뮤온의에너지는 p m m c m E c m c m c m m 4mm m m c m m Strategy : 에너지와운동량이알려진입자의속도는다음의식으로구할수있다. 뮤온의속력은 v pc / E m m v pc / E c m m 상대론적인계산을처음해보는학생들의대부분은이것과유사한방법으로이문제에접근한것이다. 그렇게해서는안되는것은아니지만 four-vector를잘이용하면계산이훨씬더빠르게될수도있다. 에너지와운동량보존법칙을 four-vector의형태로써보면 (index를생략하고일반이탤릭체로 four-vector를표현하였다.) 70

71 오른쪽식의양변을제곱하면 ( 제곱의의미는자기자신과의내적이다.) 그런데, 다음의식을참조하면 E ν = p ν c = p μ c p p p or p p p v p p p p p p 0 p mc p mc p p me 이에따라 E μ 를즉시다음과같이계산할수있다. 같은방식으로, 0mc mc me E m m c /m p p pv p p p p pv E c E c v mc mc mc me v 그리고속도 v μ 는 strategy 에따라계산할수있다. me v m m c p E c E m m m c c Strategy 3: Four-vector와 invariant한내적을적극적으로활용하라. 모든입자에게 p = m c 임을잊지말라. 71

72 Strategy 4: CM 좌표계에서풀었을때쉽게풀리는문제가많이있다. 다만, 좌표계변환을위해때로는 Lorentz transform 을해야한다. v p c CM TOT TOT 이전에언급하였듯이, 어떤입자들의계에있어전체에너지와운동량으로부터 invariant quantity를계산할수있다. ( 이것이바로계의정지질량이다.) p tot tot / E E / c constant 보존량과 invariance의차이에대해다시한번강조할타이밍이다. 에너지는보존되지만좌표계를바꾸면달라지기때문에 invariant하지는않다. 반면에 energy-momentum four-vector로부터만든 Lorentz scalar는 invariant하고그값은입자들간의충돌이전과이후에동일하다. ( 다음문제를보라.) 7

73 Example 4. Berkeley의 Bevatron은반양성자를만들어내는목적으로만들어졌다. 고에너지의양성자를정지한양성자에충돌시키면 3개의양성자와 1개의반양성자가만들어진다. 이러한반응이일어나게하기위해입사하는양성자가가져야하는최소에너지는얼마인가? 실제실험실에는이과정은그림 (a) 와같이보이지만, CM 좌표계에서는그림 (b) 처럼보인다. 최소에너지로 4개의입자가만들어졌을때에는 CM 좌표계에서는네입자모두정지해있을것이다. ( 그래야운동에너지로소모되는에너지가최소가된다.) 실험실좌표계에서입사하는입자의운동량이 p lab ( 크기는 p lab ) 이고에너지는 E lab 이었다고하자. 충돌이전에실험실좌표계에서의전체에너지-운동량 four-vector는다음과같다. Etot Elab mc, ptot, x, ptot, y, ptot, z, plab,0,0 c c 충돌이후에 CM 좌표계에서의에너지 - 운동량 four-vector 는다음과같다. 4 mc,0,0,0 73

74 Lorentz invariance 를이용하면, E c lab mc plab 4mc 하나의입자의 energy-momentum 관계로부터 E lab p lab c mc Elab Elab melab mc mc 4mc c c 위의식을풀면답은, E lab 7 mc 이것은실험실좌표계에서의입사양성자의전체에너지이다. 운동에너지로답을하면 rest energy의 6배의운동에너지를주어야한다. 74

75 Example 5. 질량이 m이고운동에너지가 T인두개의동일한입자가정면충돌을한다. Question: 하나가정지한좌표계에서보았을때다른입자의운동에너지 T 을구하라. 물론다양한방법으로이문제를풀수있고, 가장먼저떠오르는것은직접속도를계산한후 Lorentz transform을찾는것이다. 여기더세련된방법이있다. CM 좌표계에서각입자의에너지가 E라고하자. 그리고실험실좌표계 ( 그림 (b)) 에서 A의에너지와운동량을각각 E and p 이라고하자. 이제두좌표계에서의에너지-운동량 four-vector는다음과같다. Lorentz invariance 를계산해보면, E E mc,0,0,0, p,0,0 c c E E mc c c p 입자하나의에너지-운동량관계로부터 p mc E E mc E mc c c c E c 75

76 E Emc mc E 4E mc Emc 운동에너지는 T = E mc. T mc mc T mc mc T 4mc T mc T 최종답은 T T 4T1 mc 고전역학적인답은 4T 이고 c 극한에서이답이얻어짐을확인할수있다. 76

77 General Relativity 특수상대론은가속이없는좌표계에서중력이없는경우에대해서다룬다. 1916년경, Einstein은중력의작용과가속하는좌표계에있는것을구별하는것은불가능하다는 Equivalence Principle을제안하고이를토대로일반상대론을발표하였다. ( 그런가정에따르면 gravitational-inertial mass equivalence의미스터리 (?) 가자동적으로풀린다..) 질량이큰물체의작용은그물체가공간에휘어짐을주어근처의물체들을끌어당기는것처럼설명을한다. 일반상대론은특수상대론과는무관하게갑자기튀어나온것이아니다. 특수상대론이완벽히옳다면일반상대론의결과들의상당수는자연스럽게얻어지는것이다. ( 물론아주정밀한식을특수상대론만으로얻을수는없다.) 77

78 중력은질량이있는물체들을끌어당긴다. Photon과같은정지질량이없는물체는어떨까? 이질문이일반상대론의영역인것은맞지만, 특수상대론에대한지식만으로몇가지생각을해볼수있다. m m 질량이 m인물체가반지름 R이고질량이 M인행성위에있다고하자. 이물체가먼외우주로탈출을하는상황을생각해보자. 중력에거슬러야하기때문에에너지를소모해야만그렇게움직일수있다. 외부에서에너지를제공해주지않는다면, 이물체의질량이 mass-energy 보존법칙을만족시키도록줄어야할것이다. 간단한근사계산은다음과같다. M GMm 1 R mc m c m m GM Rc 물론중력하에서특수상대론이어떻게수정되어야하는지우리가정확히알지는못하고, 위식이완벽하게옳다고생각할수는없다. 하지만특수상대론이맞다면, 어느정도의질량변화가없을수는없다는것은충분히이해할수있을것이다. 78

79 이제좀다른시나리오를생각해보자. 이물체를우리가어떤적당한과정을거쳐주파수 f인 photon으로바꾸었다고하자. 그런물리적과정이반드시제시되어야한다고생각한다면, 질량 m인물질과반물질두개가만나주파수 f인 photon 두개가되었다고생각해도실질적인차이는없다. m m 이제변환된 photon이외우주로탈출을한다. 그리고그곳에서다시물질로변환이된다. 만약 photon이그과정에서에너지를얻거나잃지않았다면, 그주파수는그대로일것이고다시변환된물질의질량은 m이된다. 즉, 이과정은에너지를소모하지않고질량을중력에거슬러움직이는과정이된다. M 안타깝게도, 혹은다행히도, the nature is usually smarter than you, 그리고그런과정은허용될리가없다. Photon은에너지를잃어야만하고주파수가감소해야만한다. 사실, 앞페이지의계산은주파수가얼마나변해야하는지도대략적으로가르쳐준다. GM GM mc hf m m1 mc hf f f 1 Rc Rc 79

80 이런식으로정지질량이없는 photon이라고해도중력에의해영향을받아야만한다는것을알수있는데일반상대론의직접적인결론중의하나가이것이다. 똑같은결론을 equivalence principle을이용해얻을수있다. 가속하고있는실험실안에서빛을쏘면이빛은실험실밖의관성좌표계에서는직진을하지만실험실안의사람이보기에는휘어져야만한다. Arthur Eddington은일식을관찰하여태양주변의별빛들이휘어진다는증거를확인하였다. 중력렌즈효과는멀리떨어진 quasar와같은물체가여러개의물체로보이게만드는효과가있다. 80

81 Gravitational Red Shift 앞의논리를인정하면, 각각의 photon은 effective mass m = hf/c 를가지고있다고생각할수있다. GMm GMhf f GM hf hf hf 1 R Rc f Rc f GM f Rc 이동도중의 effective mass 변화가고려되지않았고, 일반상대론에서중력방정식이어떻게바뀌는지에대한정보가없기때문에이것역시근사적인계산이다. 보다정밀한계산을하면다음과같은표현을얻을수있다. f f 1 GM Rc 모든원자들은정해진주파수의빛을낸다고알려져있다. 멀리떨어진별에서이런주파수들이어떻게변화되어나오는지를보면, 중력에의한적색편이효과를확인하는것이가능하다. 대부분의별들에서는미미한정도이지만 white dwarf와같은별들 에서는아주큰적색편이가관측된다. 81

82 Example Problem: The increase in energy of a fallen photon was first observed in 1960 by Pound and Rebka at Harvard. In their work H was.5 m. Find the change in frequency of a photon of red light whose original frequency is Hz when it falls through.5 m. The effective mass (inertial and gravitational) of photon is p hf m c c Using the energy conservation equation (H is much smaller than the Earth radius.) hf hf mgh hf hfgh / c hf 1 gh / c f f gh c f f fgh c 1 / / 1.8 Hz 8

83 Other Findings of General Relativity Bertrand s theorem 에따르면거리제곱에반비례하는 central force는안정되고닫힌타원궤도를만든다. 그러나, 수성의궤도는완벽한타원이아님이알려져있다. 지구에서관측하면수성의근일점은 1세기에 1.6도정도이동하고있는데, 이중대부분은지구자체의자전축변화때문이고 574초만이실제수성의 precession이다. 다른행성의영향을전부고려한후에도 43초의크기는설명되지않고있었다. 일반상대론은이미스터리를해결하였다. 일반상대론에따르면매회전마다근일점은다음의각도만큼변화한다. 6 GM ac 1 ( 수성의 major axis 길이 a는작다.) Sources of the precession of perihelion for Mercury Amount (arcsec/julian century) ± Cause Gravitational tugs of the other planets Oblateness of the Sun (quadrupole moment) 4.98 ±0.04 General relativity ±0.69 Total ±0.65 Observed 83

84 Other Findings of General Relativity Gravitational wave( 와그양자화된형태인 graviton) 는오랫동안예측되어왔고, 그것이존재한다는간접적인증거는많이있었다. 1년쯤전에 (016) 중력파에의한길이변화가직접관측되었다. Gravitational redshift 와 gravitational time dilation 이확인되었다. 만약큰중력의물체바깥으로탈출하며빛의주파수가줄어든 f f 1 GM Rc 다면, 다른모든것도같은비율로느려져야만한다. 어떤사람 A가깊은중력우물밑에있는경우를생각하자. 예를들어 A가중성자성의위에서있다. A는외부로 1 Hz의신호를보내고있는데, 멀리떨어진관측자 B는중력에의한적색편이에의해 0.5 Hz로줄어든주파수의빛을본다고하자. 만약 A의심장이자신의시간으로 1초에한번씩뛴다면, 그의심장박동과빛의방출이 synchronize되어있고 B도그렇게관측할수밖에없다. 즉, B가보기에 A의심장이 초에한번씩뛰며 A가천천히나이를먹는것으로보인다. ( Interstellar 에서본것을상기해보라.) 중력에의한시간지연효과는언제나한방향으로만작동한다는데유의해야한다. A와 B 양쪽모두 A가 B보다나이를느리게먹는다는데동의하고, 이것에어떠한모순도없다. 중력에의한시간지연이왜피할수없는현상인지설명하는또하나의예를보자. 84

85 Gravitational Time Dilation 에대한간단한계산 위그림과같이무중력공간에일정한각속도 ω로회전하는원판이있고, 그위에두개의시계가있다. 시계 1은원판의중심에있고, 시계 는중심에서거리 R만큼떨어진지점에서원판에붙어회전하고있다. 시계 1 위에서있는사람이측정하였을때시계 1에서흐른시간과, 시계 에서흐른시간의관계는다음과같다.( 원운동은실제로는가속운동이지만, 순간적으로는원의접선방향으로등속운동을하는것처럼계산하였다.) t t 1 R c 1 시계 위에서있는사람입장에서는시계 1이자신에대한상대적인운동을하고있어얼핏생각하면시계 1이더느려질것같다. 그럼에도불구하고실제로는시계 가더느리게움직인다. 이효과는가속에의한추가적인시간지연팩터B에의한것이다. R t B t 1 B 1 c R c 1 85

86 Gravitational Time Dilation 에대한간단한계산 이렇게결론내릴수있는이유는, 이문제의경우엔두사람이바로옆에있기때문에언제라도실험을중단하고시계를맞춰볼수있고, 그러므로어느쪽이얼마나느려지는지에대해두사람모두정확히동의하여야만모순이없기때문이다. 특수상대론에서의시간지연에서는그즉시시계를맞춰볼방법이없으므로서로상대가느려진다고관측하여도아무런모순이없다. 86

87 Gravitational Time Dilation 에대한간단한계산 시계 가받는가속도는 a = Rω 이므로 B 1 1 c R ar c 일반상대론의등가원리를적용하여, 이가속도대신질량 M인물체에서 R만큼떨어진물체가받는중력가속도를위식에대입하면, GM g B 1 R GM Rc 이것이바로중력장에의한 time dilation 효과를나타내는식이다. 87

88 Black Holes 앞에서유도했던식을그대로받아들이면, f f 1 GM Rc GM/Rc = 1이되면빛의주파수는 0이되어더이상존재할수없게된다. 만약별의모든질량이위조건의반지름이내에존재하게되면블랙홀이만들어지게된다. Schwarzschild 반지름은 R S GM c 블랙홀은빛이탈출할수없으므로통상적으로블랙홀은볼수없는물체이다. 우리가블랙홀에대해가진모든증거는강착원반에서나오는 X-ray와같은간접적인것들이다. 이우주에는많은블랙홀들이존재하리라고생각되어진다. 88

89 블랙홀은별의 evolution cycle (supernova와 hypernova 참조 ) 의마지막에존재하는큰별들의잔해일수도있고, 백색왜성이나중성자성과같은고밀도의천체가물질을더모아블랙홀이만들어질수도있다. 모든은하의중심에는 supermassive black hole 이있는것으로생각되는데그질량은태양의수십만배에서수십억배에이른다. 89

90 The True Meaning of Mass-Energy Equivalence and General Relativity C의물1kg이 60 kj의에너지를얻으면수증기가된다. 그결과중력질량과관성질량은 1kg + 60 kj/c 이된다.. 1kg의질량의스프링이있다고하자. 스프링을압축시켜서 100J의에너지를저장했다면, 스프링의질량은 1kg + 100J/c 이된다. 3. Photon들은정말로질량이없을까? 만약거울로벽을막은방을준비하고에너지 E 인 photon N개를집어넣었다고하자. 그방의질량을재보면 NE/c 만큼증가하게된다. 4. 두개의수소원자가만나수소분자를만들면에너지를방출하게된다. 두수소원자질량에서수소분자질량을뺀후 c 을곱한것이그방출된에너지이다. 모든화학반응은질량변화를동반한다. 5. 온도가증가함에따라분자들의내부운동에너지가증가하게된다. 측정되는물질의질량또한증가하게된다. ΔM = ΔK/c 6. 짧게말해중력은질량이아닌에너지에걸리는것이고중력으로질량을판별하는방식은사실은에너지를판별하고있는것이다. (Einstein의논문제목이 Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy Content? 였음을기억하라 ") 7. 태양이 photon 을끌어당기듯이 photon 도태양을끌어당긴다. 당연한가? 90

91 또한실제의물질이나정보가아닌어떠한것들은 c 이상의속도로움직일수있다. 91

92 Relativistic Dynamics 뉴튼의제 1법칙은이미상대론의기본가정에들어가있다. 제 법칙은상대론적인운동량을사용한다는가정하에서다음과같은형태로쓰면유효하다. d F p dt 힘이한일은예전부터그랬듯이힘의선적분의결과물이다. W F d x Work-energy theorem 을상대론적으로써보면다음과같다. 이때, dp dp dx dp W dx dt dt dt dt dt v dt dp d mv dv m mv / c v v v 3/ dt dt 1 v / c dt 1 v / c 1 v / c 1 v / c 1 v / c dv mv d mc de 3/ dt dt dt 9

93 그러므로 de W dt Efinal E dt initial 앞의두법칙과는달리, 뉴튼의 3 법칙은일반적으로상대론적인영역으로확장되지 않는다. 어떤시간 t에 A가 B에주는힘이F였다고하고, B가 A에그순간에 F(t) 의힘을주었다고하자. 이관성좌표계에서는제 3법칙이유효하다고할수있다. 그러나움직이는관찰자입장에서는이크기는같고방향이반대인힘들이서로다른시간에일어난것으로느낄것이다. ( 동시성의문제를생각하라.) 직접접촉해서힘이일어나는경우에만제 3법칙이옳을수있는것이다. 3법칙의직접적인결과물인운동량보존법칙은사실상대론적인세계관에서도엄격하게유효하다. F는운동량을보통의시간으로미분한것이라속도가가진복잡성을그대로유지하고있다. 한관성좌표계에서다른관성좌표게로이동할때분자, 분모모두변환되어야하는것이다. dpy dpy dpy / dt Fy F y dt dt dx / c 1 dx / cdt 1 v / c F z Fz 1 v / c x x 93

94 x 성분은더욱복잡하다. / / dpx dpx de / c dpx / dt de / cdt Fx c de dt F x dt dt dx / c 1 dx / cdt 1 v / c x 앞에서계산했던 de/dt 을이용하면, F x F x / cfv 1 v / c x 만약어떤물체가 S 좌표계에서정지해있었다면, 계산이꽤간단해진다. 1 F F F F 이런복잡한계산을피하는방법으로보통의시간대신에 proper time으로미분을하여 proper force를도입하는게어떨까하는생각을할수있다. K dp d 이것을 Minkowski force라고부르고이것은확실히 four-vector이다. 이것의공간성분은보통의힘으로다음과같이표현된다. 94

95 K dt dp d dt F 0 번째성분을체크해보자. K 0 0 dp 1 d de c d 굳이설명을하자면물체에전달되는 proper power를 c로나눈값이다. Minkowski force를이용한상대론적인역학은훨씬간단한수식으로표현되는장점이있지만입자의궤적을보통의시간의함수로구할필요가있을때는보통의힘을이용한해석이더편할때도많다. Lorentz force와같은알려진고전적인식들을상대론적으로확장하고자할때필요한질문이있다. 어떤폼이옳은것일까? or q F q EvB K EvB 사실은상대론적인세계에서도우리가알고있던첫번째식이맞는식이고, Minkowski force를사용하고싶다면그에맞는수식전개를따로해야한다. 95

96 References: Principles of Physics by David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker Concepts of Modern Physics by Arthur Beiser Introduction to Electrodynamics by David Griffiths Introduction to Elementary Particles by David Griffiths 96

97 97

98 명왕성은이제왜행성으로분류되며 Kuiper belt 물체의하나로인식된다. 카이퍼벨트너머로 scattered disc 와 ( 아마도 ) Oort Cloud 가존재한다. 카이퍼벨트는행성너머로태양계를감싸고있는디스크인데, 해왕성궤도바깥, 태양에서 50AU 정도에이르는영역이여기에속한다. Scattered disc 에는얼어붙은작은 ( 왜 ) 행성들이낮은밀도로분포하여있다. 그들의궤도는대형가스행성들의중력에의해 scattering 된결과로생각되며, 해왕성에의한섭동에영향을받고있다. 100 AU 가훨씬넘는곳에까지그런천체들이분포해있다. Oort 구름은그바깥에존재할것으로추측되는가상의구름이다. Oort 구름은 50,000 에서 00,000AU 정도에까지뻗어있다고생각된다. 98

99 핼리혜성은최근 (?) 1986 년에태양주변을지나갔으며 eccentricity 인궤도를 76 년주기로공전하고있다. T a 3 4 MG 로부터 1/3 S m GM T a 4 태양으로부터의최소, 최대거리는 1 10 rmin.6810 ( ) m 1 1 rmax.6810 ( ) m 최소거리는금성궤도안쪽, 최대거리는해왕성바깥이다. 168 년에그혜성을관측한후, 핼리는 1684 년뉴튼에게만약태양이행성을거리제곱에반비례하는힘으로잡아당기면행성의궤도가무엇이되는지를물었다. 뉴튼이대답하기를, Why, in ellipses, of course. ( 뉴튼의프린키피아는 1687 년에출판되었고, 뉴튼은그의미적분계산방식을 1693 년까지는발표하지않았다.) 99

100 Quasars 1950 년대부터정체불명의외계물체들이관측되어왔다. 강력한 Redshift 를고려하면지구와이물체들간의거리는보통수십억광년이상. 그러나그러한거리를인정하면퀘이사의밝기는우리은하전체밝기의최대 100 배에달한다. ( 그때문에우리은하내의천체현상이라는학설역시과거에는존재했다.) 현재받아들여지는정설에따르면 Quasar 는은하중심의 supermassive 블랙홀이주변의성간물질이나항성을빨아들이면서내는빛이다. 빛은블랙홀을탈출할수없으므로그에너지는 event horizon 바깥의중력 stress 와물질간의마찰력에의해발생하는것이다. 이러한과정에서전체질량의 10% 정도를빛으로방출한다. ( 물질 - 반물질반응을제외하면현재알려진가장효율이높은에너지원이다.) 우리은하를포함한모든은하가초기의어떤시점에퀘이사로서의단계를거쳤을지도모른다. 100

101 Supermassive Black Holes 수십년전만해도그존재가불확실하였으나, 지금은모든은하의중심에는거대블랙홀이존재한다고믿어진다. 그질량은태양질량의수십만배에서부터수십억배정도이다. 궁수자리 A* 궁수자리 A* 는우리은하중심에존재하는매우밝고작은 radio source 이다. 그주변의별의움직임으로보아이물체의질량은태양의 400 만배이상이고, 이곳에우리은하의 Supermassive 블랙홀이있을것으로생각된다. 101

102 Eta Carinae 밤하늘에가장밝은별은무엇인가? Eta Carinae 는우리에게서 7500 광년정도떨어져있고, 처음에는 4 등급의별로기록되었다 년에서 1856 년간의 Great Eruption 기간동안이별은크게밝아졌으며, 1843 년 3 월 11 일에서 14 일사이에는밤하늘에서두번째로밝은별이었다. ( 0.8 등급, supernova imposter) 이후맨눈으로관측되지않을정도로어두워졌다가최근다시밝아져 014 년에는 4.5 등급의별이되었다. Supernova imposter 이후수년후에실제로초신성폭발을한경우들이있으므로, 일부의학자들은예측하에발생하는최초의 Supernova 혹은 Hypernova 폭발을기대 (?) 하고있다. ( 9 등급정도의밝기로예측된다.) 현재까지인류가발견한가장밝은별은 R136a1이다 (010년발견 ). Messier Objects 중의하나인대마젤란성운내에있는이별의질량은태양의 315배, 밝기는태양의 871만배이다. 온도는 53,000K이고모든파장대의에너지를전부감안한 Bolometric 절대등급은 1.5등급인데, 그뜻은 10파섹 (3.6광년) 떨어진거리에서도보름달 (!) 만큼의빛을비출수있다는뜻이다. ( 단, 전체빛의 99% 이상이자외선영역에서방출된다.) 10

103 Hypernova 이전까지인식되던밤하늘의가장화려한이벤트는 Supernova 이다. 일반적인 Supernova 보다수십 ~ 수백배의에너지를방출하는경우를 Hypernova 라고부르고있다. 태양질량의 100~300 배정도의별들이그후보인데, 하이퍼노바라는용어로불리지만, 질량에따라그폭발메커니즘은상당히다를것으로예측된다. 예를들어, R136a1 정도의항성의최후에는태양질량수십배의철이남을것으로예측된다. ( 지구상에철이상대적으로풍부한이유로거론된다.) Gamma Ray Burst 감마레이는고에너지의빛을총칭한다 년대이후, 먼우주에서감마레이가짧은시간 (10 ms 에서수시간 ) 동안날아오는이벤트들이감지되기시작했다. 애초에는우리은하내부의이벤트로의심하였으나, 이후에수십억광년떨어진곳에서날아온다는것으로확인되었다. 그본질에대해최근까지상당한논란이있었지만, 여러직접적, 간접적인증거들에의해최소한 GBR 의일부는 Hypernova 이벤트라고받아들여지고있다. GRB 의에너지스케일은현재의이론으로는 1/000 Solar Mass 정도인데태양이 5 억년동안방출하는전체에너지에해당한다. 103

104 Dark Matters 뉴튼의중력법칙을간단히적용하면, 은하계내의물체들의적절한회전속도를계산할수있다. A 는은하계내에서우리가볼수있는물질들만으로계산한회전속도이고 B 는실제로관측되는회전속도이다. 뉴튼의중력법칙이은하계규모에서틀리지않았다면, 엄청난질량이숨겨져있다고생각하는것이합리적일것이다. Dark Matter 의몇가지후보가존재한다. i) 우리가알고있는수소, 헬륨, 규소, 철등의물질로이루어진 Dark Matter 이론 (MACHOs 등 ) ii) 블랙홀등의후보 iii) 우리가지금껏알지못하는새로운입자 (WIMPs 등 ) 104

105 Dark Energy 우주가점점빠른속도로팽창하는것을설명하기위해최근에도입된가설이다. 공간이존재하는것만으로필요한에너지가존재한다는게그핵심인데, 아직일반적으로받아들여지는일관된그림은없다. ( 그냥단순히, 에너지가보존되지않는다고말하는게더솔직할지도모른다.) 아이러니하게도진공이처음발견되었을때, 사람들은그아이디어에강하게저항하였다. 아무것도없는게있다 는것을받아들일수없었던것인데, 어떤의미로그들이옳았던셈이다. 아무것도없는게아니라, 진공이있다. 다시한번밤하늘을보자 상상력과과학적호기심, 두가지가학생시절 ( 그리고그이후에도 ) 자신이배우는것을결정한다. 105