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1 The Korean Journal of Applied Statistics (2012) 25(4), DOI: A Resetting Scheme for Process Parameters using the Mahalanobis-Taguchi System Changsoon Park 1 1 Department of Statistics, ChungAng University (Received May 10, 2012; Revised June 14, 2012; Accepted July 19, 2012) Abstract Mahalanobis-Taguchi system(mts) is a statistical tool for classifying the normal group and abnormal group in multivariate data structures In addition to the classification itself, the MTS uses a method for selecting variables useful for the classification This method can be used efficiently especially when the abnormal group data are scattered without a specific directionality When the feedback adjustment procedure through the measurements of the process output for controlling process input variables is not practically possible, the reset procedure can be an alternative one This article proposes a reset procedure using the MTS Moreover, a method for identifying input variables to reset is also proposed by the use of the contribution The identification of the root-cause parameters using the existing dimension-reduced contribution tends to be difficult due to the variety of correlation relationships of multivariate data structures However, it became possible to provide an improved decision when used together with the location-centered contribution and the individual-parameter contribution Keywords: Classification analysis, reset procedure, contribution, multivariate data, normal group, threshold 1 서론다변량데이터에서두점간의거리를나타내는도구로는마할라노비스 (Mahalanobis) 거리가있다 P - 변량데이터의평균과공분산을각각 µ 와 Σ라할때, 중심 µ 에서한점 x = (x 1, x 2,, x p ) 까지의마할라노비스거리는다음과같이정의된다 d = (x µ) Σ 1 (x µ) (11) 식 (11) 에서마할라노비스거리 d 는 p 변량정규분포 MVN(µ, Σ) 의결합확률밀도함수에서나타나는 표현으로서이는이점이발생할수있는우도 (likelihood) 와밀접한관계를가짐을알수있다 이마할 라노비스거리는분류분석에서각점을여러집단중하나에분류할때, 집단중심으로부터의거리계산을 통해가장가까운집단으로분류하는데사용되고있다 This research was supported by the National Research Foundation of Korea(NRF) funded by the Ministry of Education, Science and Technology ( ) 1 Professor, Department of Applied Statistics, Chung-Ang University, 221 Heukseok-Dong, Dongjak-Gu, Seoul , Korea cspark@cauackr

2 590 Changsoon Park 다구찌 (Taguchi) 는마할라노비스거리를분류분석에사용할때일반적인가정과는좀다른환경을고려 하였다 먼저전체데이터를두개의그룹으로분류하는데, 한그룹은어떤공통된특성을가지는그룹 으로정의하고이를정상그룹 (normal group) 이라하고, 다른그룹은아무런공통된특징없이정상그룹 에속하지않는데이터들의집단으로정의하고이를비정상그룹 (abnormal group) 이라하였다 즉, 다 구찌는이와같이데이터를정상그룹과비정상그룹으로분류할때마할라노비스거리를사용하는방법 을제안하였고이를마할라노비스 - 다구찌시스템 (Mahalanobis-Taguchi System; MTS) 이라명명하였 다 (Taguchi 와 Jugulum, 2002; Taguchi 등, 2005) 마할라노비스 - 다구찌시스템의절차는다음과같 다 정상그룹과비정상그룹의데이터를각각 X N 과 X A 라하면 x N 11 x N 12 x N 1p x N X N 21 x N 22 x N 2p = x A 11 x A 12 x A 1p x A, X A 21 x A 22 x A 2p = x N n N 1 x N n N 2 x N n N p n N p x A n A 1 x A n A 2 x A n A p n A p 로표시한다 이때정상그룹과비정상그룹의데이터수는각각 n N 과 n A 가된다 정상그룹과비정상 그룹에서각각의데이터는 ( ) X N i = x N i1, x N i2,, x N ip, i = 1, 2,, n N, ( ) X A j = x A j1, x A i2,, x A jp, j = 1, 2,, n A 로표현한다 전체데이터를 X 라하면 X = ( X N X A ) 가된다 이때전체데이터의수는 n = n N + n A 이다 정상그룹의평균벡터를 µ N = (µ N 1, µ N 2,, µ N p ), 공분산행렬을 Σ N 이라하면마할라노비스 - 다구찌거리 (Mahalanobis-Taguchi distance) 는정상 그룹과비정상그룹에대해다음과같이정의한다 d N i = (X ) ( ) N i µ N Σ N 1 ( X N i µ N, i = 1, 2,, nn, d A j = (X ) ( ) A j µ N Σ N 1 ( X A j µ N, j = 1, 2,, na (12) 식 (12) 에서마할라노비스 - 다구찌거리를계산할때정상그룹과비정상그룹에관계없이정상그룹의 중심 (µ N ) 으로부터의마할라노비스거리를계산함을주의할필요가있다 이때그룹의평균과공분산 행렬을계산하는정상그룹에속한데이터들의집합을마할라노비스공간 (Mahalanobis space) 이라고한 다 마할라노비스공간은정상그룹데이터전체가될수도있고또는그일부만될수도있으나판단은 환경에따라다르다 마할라노비스 - 다구찌시스템에의한분류방법은, 어떤경계값 (threshold) T 에대 하여마할라노비스거리 d 가 d T 이면비정상그룹으로분류하고, 그렇지않으면정상그룹으로분류 한다 마할라노비스 - 다구찌시스템에서는분류에도움이되는변수만을선택하기위해수준수가 2(0, 1 로표 시 ) 인직교배열표 (orthogonal array) 와망대특성 (larger-the-better type) 신호대잡음비 (signal-to-noise

3 A Resetting Scheme for Process Parameters 591 Figure 21 The distribution of the abnormal group data according to the direction-variant (a) and the directioninvariant (b) ratio) 를사용하였다 이방법은 L k+1 (2 k ) 직교배열표의열 (column) 에변수를배치하고배열표의값이 0이면변수를포함하지않고 1이면포함한다 그런다음 (k + 1) 개의실험에서각각비정상그룹의데이터에대한마할라노비스거리를계산하고이에대한망대특성신호대잡음비를통해각변수의 gain( 변수를포함할때와하지않을때의신호대잡음비평균의차 ) 이양수인변수를분류에도움이되는변수로판단하는것이다 이와같은변수선택법을사용하면변수의수를줄이면서도효과적인분류를할수있다 마할라노비스 -다구찌시스템은 Kanetaka (1988) 의환자분류에서시작되어오늘에이르고있으나이에대한연구는큰주의를끌지못하고또한많은연구도진행되지않았다 Woodall 등 (2003) 은이방법에대한비평을통해마할라노비스 -다구찌시스템이분류분야에서큰공헌을하지못함을표현하기도하였다 그러나 Taguchi와 Jugulum (2002) 은마할라노비스 -다구찌시스템을기존의분류방법과비교할때신호대잡음비를사용하여변수를선택할수있고, 제곱손실을고려하여경계값을설정할수있다는차이점을들며이방법이분류분야에기여하고있음을설명하였다 또한공정관리에서이상원인의탐지에마할라노비스 -다구찌시스템을이용할것을추천하고있다 2 마할라노비스 -다구찌시스템의특성분류분석에는여러종류의분류방법이존재하며이분야에서효율적으로잘사용되어오고있다 그룹의수가 k개일때각그룹이나름의군집을형성하고있으면기존의분류방법으로충분한분류효과를얻을수있다 특히그룹의수가 k = 2일때는분류가효과적이면서용이하다 하지만 k = 2일때도한그룹은나름의군집을형성하지만다른한그룹이군집을형성하지않고단순히첫번째그룹에속하지않는것으로구분될때에는기존의분류방법이그역할을못하는경우가있다 이에대한예는 Figure 21을통해설명한다 Figure 21(a) 는두그룹이각각군집을형성하는경우이다 이경우에판별분석을사용하면대부분의점들이정분류 (correct classification) 가됨을알수있다 그러나 Figure 21(b) 는한그룹은군집을형성하는데다른그룹은군집을형성하지않고단순히첫째그룹에서멀리떨어져있는점들로형성되어있는경우이다 즉, 데이터들이마할라노비스공간으로부터일정한방향성이없이흩어져있는경우이다 이러한경우에판별분석을통한분류는오분류의가능성이너무커서분류방법으로적절치못함을알수있다 이러한경우에마할라노비스 -다구찌시스템을사용하면아주

4 592 Changsoon Park 잘분류를할수있게된다 이와같이마할라노비스 -다구찌시스템은다른그룹이방향성이없이흩어져있을 (directionally invariant) 때에효율적으로사용할수있는분류방법이다 이를다른관점에서보면비정상그룹은마할라노비스공간의중심으로부터일정거리이상떨어져있으나각변수의값이그변수의중심값보다한방향이아닌클수도작을수도있어하나의군집 (cluster) 을형성하지못하는경우에효율적이다 반대로말하면정상그룹과비정상그룹이각각하나의군집을형성하는경우에는기존의다른분류방법과비교할때특별히효율적이지는않다 마할라노비스 -다구찌시스템의또다른특징은마할라노비스공간이정의되면비정상그룹에대한데이터가없이도분류방법을정의할수있다는점이다 즉, 마할라노비스공간으로부터마할라노비스거리를정의하고적절한경계값을설정하면분류방법이정의될수있으며, 이때경계값은마할라노비스공간에서정의된마할라노비스 -다구찌거리의분포를이용하여설정할수있다 따라서마할라노비스 -다구찌시스템은기존의분류문제에서이러한효율성을나타낼수있는경우에적용해볼가치가있다 그한가지예로통계적공정관리분야를들수있다 3 마할라노비스 -다구찌시스템을이용한공정모수의재조정절차다단계제조과정 (multistage manufacturing process; MMP) 은여러단위공정 (unit process) 이직렬로연결되어하나의전체공정 (whole process) 을형성한다 각단위공정에는여러입력모수 (input parameter) 들이있으며, 공정제조환경을최적으로하기위해이입력모수들이특정한값 ( 또는수준 ) 으로설정되어있다 이값들이관리자의의도대로설정이되면관리요인 (control factor; z) 이라하고그렇지않고그수준이나설정값이조정하기힘들거나비용이과도하게들면잡음요인 (noise factor; x) 이라한다 잡음요인은설정된값을중심으로변동을가지고있어이는하나의확률변수로간주하여그통계적특성 ( 평균과분산등 ) 으로알려져있거나지정되지만실제어떤값을가지는지는알수없다 또한여러개의잡음요인들은서로상관관계를가지고변하여다변량분석을통한변화의탐지가필요하다 한단위공정의입력잡음요인으로 p개의서로상관된변수를고려하자 이변수들은공정의출력값 y = f(x; z) 에영향을주고있으나그영향을나타내는식은알려있지않은경우가대부분이다 이런경우에는관리된입력요인하에서이에따른출력값을관측하여통계적방법 ( 회귀분석이나실험계획 ) 으로관리할수밖에없다 그러나다단계공정에서는각단위공정의출력값을측정하지못하는경우가많다 또는측정하더라도오랜시간이경과하여피드백수정 (feed-back adjustment) 이비효율적이된다 따라서이와같은경우에는피드포워드수정 (feed-forward adjustment) 같이공정의입력단계에서입력요인을관리하는방법을생각할수있다 하지만피드포워드수정이가능하려면입력요인의값에따른출력값을추정할수있어야하는데다단계공정에서는이마저도불가능한경우가대부분이다 이와같은공정여건에서발생하는문제를해결하기위해생각할수있는방법은공정요인을재조정 (reset) 하는것이다 공정수정 (process adjustment) 은입력요인의값을일정양만큼작게또는크게하여출력값을원하는수준으로얻기위한통계적추정방법에해당하지만, 재조정 (reset) 은공정모수값을공정의시작때처럼새롭게설정을하는작업이다 공정재조정문제는관리도에서이상원인탐색의문제점을개선하기위해 Park (2012) 이제안하였으며이러한재조정절차는공정수정문제에도적용될수있다 (Park, 2013) 마할라노비스 -다구찌시스템을이용한공정재조정절차는다음과같이설명된다 공정의준비작업이시작되고일정시간이지난후공정이안정되었다고판단되면생산을시작한다 초기에는일정시간간격으로크기 n ( 2) 인표본데이터를일정수 (m) 만큼관측하여이를정상그룹의데이터로간주한다 이기간은관리도의적용에서제 1국면 (phase I) 에해당한다 이기간에관측된 i번째표본데이터

5 A Resetting Scheme for Process Parameters 593 를 X 0i 라하면다음과같이표현된다 x i11 x i12 x i1p x i21 x i22 x i2p X 0i = x in1 x in2 x inp 관측된 i번째표본데이터에대해각변수들의평균과분산-공분산은 x ik = 1 n x ijk, k = 1, 2,, p, n j=1 s 2 ik = 1 n 1 s ihl = 1 n 1 n p n (x ijk x ik ) 2, k = 1, 2,, p, j=1 n (x ijh x ih )(x ijl x il ), h l j=1 으로표기되어평균벡터와분산 - 공분산행렬은 X 0i = ( x i1, x i2,, x ip ), S 2 i1 S i12 S i1p S i12 Si2 2 S i2p S i = S i1p S i2p S 2 ip 로표현한다 관측된모든 m 개의표본에대해총평균과총분산 - 공분산은 로표기한다 정상그룹으로부터마할라노비스거리를계산하면 X 0 = ( x 1, x 2,, x p ), (31) S 2 1 S 12 S1p S 12 S2 2 S2p S = (32) S 1p S2p S2 p d(x 0i ) = ( X0i X0 ) S 1 ( X0i X0 ), i = 1, 2,, m 이된다 제 1 국면이후에관측되는데이터 {X 1i, i = 1, 2, } 에대해그평균을 X 1i 라하면이데이 터에대한마할라노비스거리는위식의마할라노비스공간의평균벡터식 (31) 과분산 - 공분산행렬식 (32) 를사용하여다음과같이표현된다 d(x 1i ) = ( X1i X0 ) S 1 ( X1i X0 ), i = 1, 2, 마할라노비스 - 다구찌시스템을이용한공정모수의재조정절차는 이면공정모수를수정한다 d(x 1i ) T

6 594 Changsoon Park 4 경계값의설정재조정절차에서경계값 T 를설정하는문제를생각해보자 재조정절차의사용을위해서는 T 를결정하여야하는데이는데이터가마할라노비스공간의중심에서어느정도떨어져있으면비정상그룹으로간주하느냐의문제로서재조정절차의제 1종오류를결정하는문제와동일하다 흔히관리도에서는제 1종오류가오경보에해당되어아주미세한값 (3σ한계를사용하는경우 00027) 으로설정하는것이보편적방법이다 재조정절차에서는이상원인의탐색과정이없기때문에오경보와같은심각한부작용대신단지불필요한추가적재조정을유발할가능성이있기때문에이확률을어느정도크게하면서제 2종오류를줄여좋은출력값을생산하는것이더바람직하다 또한공정모수의재조정절차에서는모수의관측빈도가관리도보다품질특성치의관측을훨씬자주하게된다 즉재조정절차의설계에가용한데이터의수가많다고할수있다 재조정절차의제 1종오류를 α로하기위해서는정상그룹의마할라노비스거리의순서통계량을사용하여설정할수있다 먼저정상그룹의마할라노비스거리의순서통계량을 d (1), d (2),, d (m) 이라하면, 가우스수 g = [m(1 α + 1/(2m))] 에대해표본마할라노비스거리의상위 α 분위수는 T α = d (g) + m ( ) ( d (g+1) d (g) 1 α g 05 ) m 을설정한다 ( 부록참조 ) 단이때 α > 1/m 이어야한다 마할라노비스 - 다구찌시스템에서는망대특성 (larger-the-better type) 신호대잡음비 (signal-to-noise ratio) 와 L k+1 (2 k ) 직교배열표 (orthogonal array) 를사용하여공정모수재조정에도움이되지않 는 (unuseful) 모수를선별하여모수의차수를축약하는방법을사용하였다 단, 이때에는비정상그 룹의데이터가있어야한다 따라서공정모수의재조정절차에서차수의축약은일정시간이경과한후 비정상데이터가누적되어정상그룹의데이터와비교가가능한크기가된경우에야가능하다 5 재조정모수의선택위의재조정절차에서재조정할경우에는 p개의모수중설정값에서과도하게벗어나마할라노비스거리가재조정한계보다크게하는데기여한변수들만을재조정할수있다면모수전체를재조정하는것보다바람직하다 다만 p개의모수들이서로상관관계를가지고있기때문에이를고려한기여도 (contribution) 를산정할필요가있다 따라서기여도를산정할때에는개개의모수뿐만아니라두모수에의한공동기여도도고려할필요가있다 이들모수의기여도는다양한방법으로측정할수있다 그중 Runger 등 (1996) 은 p개의모든모수를사용하여계산한마할라노비스거리와특정한하나의모수를제외하고 (p 1) 개의모수를사용하여계산한마할라노비스거리와의차로서특정한하나의모수에대한기여도를나타내었다 이논문에서는특정한하나의모수를제외하는경우뿐만아니라두개의모수를제외하는경우도추가로고려하였다 이는두모수간의상관관계에의한기여도도고려하기위함이다 이러한방법은모수의수가 (p 1) 또는 (p 2) 로줄어드는경우의마할라노비스거리를고려하였기때문에차원축소기여도 (dimension-reduced contribution; DRC) 라하고다음과같이표현한다 모든모수를다사용하여계산된마할라노비스거리를 d, 모든모수들중에서 i번째모수만을제외하고계산된마할라노비스거리를 d {i}, i와 j번째모수를제외하고계산된마할라노비스거리를 d {i,j} 라

7 A Resetting Scheme for Process Parameters 595 하자 하나의모수, 즉 i번째모수에의한일모수 (one parameter) 차원축소기여도는 Ri D = d d {i}, i = 1, 2,, p 두개의모수, 즉 i와 j번째모수에의한이모수 (two parameter) 차원축소기여도는 Rij D = d d {i,j}, i j (= 1, 2,, p) 로정의한다 기여도가크다는것은특정하나또는두개의모수가마할라노비스거리를크게하는데기여하는상대적크기를의미한다 따라서재조정절차에의해재조정신호가발령되면모든 p(p + 1)/2개의기여도를비교하여상대적으로큰모수들에대해재조정의필요가있는지를검토해야한다 다만여기서제안하기는한꺼번에여러모수를재조정하는것보다는기여도가가장큰하나 ( 일모수기여도로부터 ) 또는두개 ( 이모수기여도로부터 ) 의모수만을재조정하는것이바람직하다 이와같이일차재조정후에다음관측값에대한마할라노비스거리를통해재조정의효과를관측할수있다 재조정후의마할라노비스거리가경계값보다작으면재조정이적절한조치임을알수있고그렇지않으면추가적인재조정이반복되어야한다 차원축소기여도의계산에서는제외되는모수를고려하지않고마할라노비스거리를계산하기때문에공분산행렬의차수도줄어들며따라서남아있는모수와제외되는모수간의상관관계도고려되지못함을알수있다 이기여도의효용성을알아보기위해다음의예를들어보자 공정모수로서 p = 4개의잡음요인이있을때서로상관관계를가지고있으면서분산이알려져있는경우상관행렬이 Σ N = 와같다고하자 공정모수의평균, 분산또는상관관계의변화를알아보기위해이상상태 (out of control; OC) 를나타내는모수로서다음을고려한다 OC1 : µ = (2, 0, 0, 0), OC2 : µ = (2, 0, 0, 3), OC3 : σ3 2 = 9 관리상태일때평균이 µ = (0, 0, 0, 0), 공분산이 Σ N 인다변량정규분포로부터 m = 50개의데이터를얻고이후의 n 1 = 50개의데이터는세종류의이상상태환경에서얻어졌다 이데이터를통해마할라노비스거리를얻은결과는 Figure 51과같다 Figure 51에서보면이상원인의발생후에는마할라노비스거리가발생전보다확연히커져재조정신호가신속하게발령될수있음을보이고있다 세종류의이상원인에대한마할라노비스거리를비교해보면평균의변화 (OC1, OC2) 인경우가분산 (OC3) 의변화보다일관되게커서훨씬용이하게탐지될수있으나분산의변화는상대적으로신속한탐지가어려움을나타내고있다 또한 OC2에서는 4번째모수의평균이 OC1에비해추가적으로더크게변화하였지만그것이마할라노비스거리를오히려더작게하는결과를초래하여일반적인예상을뒤엎는결과를보여주고있다 이러한현상은다변량분포에서의모수간상관관계에기인한것으로일관된분석을어렵게하고있다 세종류의이상원인에따른차원축소기여도는 Figure 52, Figure 53, Figure 54와같다 각그림에서는차원축소기여도가행렬로배치되어있다 즉, (i, j) 번째그림은 Rij D 이다 Figure 52에서는첫번째

8 596 Changsoon Park Figure 51 The changes in the Mahalanobis distance according to assignable causes OC1, OC2 and OC3 Figure 52 The changes in the dimension-reduction contribution according to the assignable cause OC1 평균만이표준편차의 2배가되었으나기여도에서는 R1 D 뿐만아니라그와관련된 R12, D R13, D R14 D 가다같이커지는경향을나타냄을알수있다 뿐만아니라첫번째모수와직접적관련이없는나머지모든기여도도같이커지는경향이있어구체적으로어느모수에변화가발생하였는지를알기어렵다 이와같이특정모수의변화에직접적으로관계없는모수의기여도가커지는현상은이상상태 OC2, OC3의경우에도유사하게나타난다 (Figure 53, Figure 54 참조 ) 즉, 차원축소기여도를사용하여서는이상상태를유발한특정모수를지적하기에는어려운점이있음을알수있다 6 중심위치기여도와개별모수기여도 앞절에서차원축소기여도는이상상태를유발한특정모수를지적하기에는크게효율적이지못함을보 였다 이와같은문제점은기여도를알아보고자하는모수를완전히제외한다음마할라노비스거리를

9 A Resetting Scheme for Process Parameters 597 Figure 53 The changes in the dimension-reduction contribution according to the assignable cause OC2 Figure 54 The changes in the dimension-reduction contribution according to the assignable cause OC3 계산하기때문에제외된모수와남아있는모수간의상관관계가전혀고려되지않기때문에발생한다고볼수있다 이같은단점을보완하기위해기여도를알아보고자하는모수를완전히제외하는대신그모수를여전히포함하지만그모수의값은마할라노비스공간의 ( 즉, 정상그룹일때 ) 중심값으로지정한다음마할라노비스거리를계산하는방법이다 이렇게마할라노비스거리를계산할때에는공분산행렬을그대로사용하여모든모수간의상관관계가여전히고려되는장점이있다 이기여도는중심위치기여도 (location-centered contribution; LCC) 라하고다음과같이표현한다 모든모수들중에서 i번째모수만을그모수의중심값으로지정하고계산된마할라노비스거리를 d c{i}, i와 j번째모수를그모수의중심값으로지정하고계산된마할라노비스거리를 d c{i,j} 라하자 하나의모수, 즉 i번째모수에의한일모수 (one parameter) 중심위치기여도는 Ri L = d d c{i}, i = 1, 2,, p

10 598 Changsoon Park Figure 61 The changes in the location-centered contribution according to the assignable cause OC1 Figure 62 The changes in the location-centered contribution according to the assignable cause OC2 두개의모수, 즉 i와 j번째모수에의한이모수 (two parameter) 기여도는 Rij L = d d c{i,j}, i j (= 1, 2,, p) 로정의한다 이경우마할라노비스거리를계산할때공분산행렬은동일한행렬을사용하기때문에남아있는모수와제외되는변수간의상관관계가반영됨을알수있다 중심위치기여도의효용성을알아보기위해이를앞절의예에적용해보자 세종류의이상원인에따른개별모수기여도는 Figure 61, Figure 62, Figure 63과같다 중심위치기여도의값은음수가될수있으나이때에는그모수의기여도가낮은것을의미하므로그림에서는기여도가높은경우를위주로판단하기위해음수는모두 0으로표현하였다 각그림의 (i, j) 번째그림은 Rij L 이다 Figure 61은이상원인 OC1의경우인데중심위치기여도에서는앞절의차원축소기여도에서와마찬가지로 R1 L 뿐만아니라그와관련된 R12, L R13, L R14 L 가다같이커지는경향을나타냄을알수있다 하지만첫번째모수

11 A Resetting Scheme for Process Parameters 599 Figure 63 The changes in the location-centered contribution according to the assignable cause OC3 Figure 64 The changes in the individual-parameter contribution according to the assignable cause OC1 와직접적관련이없는나머지중심위치기여도는두드러지게커짐을보이지않기때문에구체적으로첫번째모수와관련하여변화가발생하였음을알수있다 Figure 62에서는이상원인 OC2인경우인데유독 (1, 4) 번째그림만이두드러지게커짐을보이고있어첫번째모수와네번째모수가공동으로마할라노비스거리를크게하는데기여하고있음을암시하고있다 Figure 63에서는이상원인 OC3의경우인데 i = 3인경우와 j = 3인경우에만두드러지게커짐을보이고있어세번째모수의기여도가유의함을나타내고있다 이와같이중심위치기여도는변화를유발한모수와관계가없는모수에대해서는기여도가커지지않아차원축소기여도와비교할때상대적으로원인모수를탐지하는데도움이됨을알수있다 중심위치기여도를보완하는장치로는개별모수 (individual parameter) 기여도를고려할수있다 개별모수기여도는다른모수는고려하지않고오직보고자하는모수만을사용하여마할라노비스거리를계산하고그크기를기여도로간주하는것이다 하나의모수, 즉 i번째모수에의한일모수 (one param-

12 600 Changsoon Park Figure 65 The changes in the individual-parameter contribution according to the assignable cause OC2 Figure 66 The changes in the individual-parameter contribution according to the assignable cause OC3 eter) 개별모수기여도 Ri I 는 i번째모수만을사용한마할라노비스거리를의미하고, 두개의모수, 즉 i와 j번째모수에의한이모수 (two parameter) 개별모수기여도 Rij I 는 i와 j번째모수만을사용한마할라노비스거리를의미한다 개별모수기여도가중심위치기여도에보완적으로사용될수있음을알아보기위해이를앞절의예에적용해보자 세종류의이상원인에따른중심위치기여도는 Figure 64, Figure 65, Figure 66과같다 각그림의 (i, j) 번째그림은 Rij I 이다 Figure 64에서 OC1의경우에는개별모수기여도가중심위치기여도와마찬가지로 R1 I 뿐만아니라그와관련된 R12, I R13, I R14 I 가다같이커지는경향을나타내지만, 첫번째모수와직접적관련이없는나머지개별모수기여도는두드러지게커짐을보이지않기때문에구체적으로첫번째모수와관련하여변화가발생하였음을알수있다 Figure 65에서는이상원인 OC2인경우인데유독가운데네개의그림 ( 즉, (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)) 만이거의변화를보이지않아이역시첫번째모수와네번째모수가공동으로마할라노비스거리를크게하는데기여하고있음을암시하

13 A Resetting Scheme for Process Parameters 601 고있다 Figure 66에서는이상원인 OC3의경우인데 i = 3인경우또는 j = 3인경우에만다른그림에비해변화를보이고있어세번째모수의기여도가유의함을나타내고있다 이와같이개별모수기여도도변화를유발한모수와관계가없는모수에대해서는기여도가커지지않아중심위치기여도와함께사용하면원인모수를탐지하는데더효과적이라고판단된다 7 다변량 T 2 관리도와의유사성및차이점마할라노비스 -다구찌시스템을이용한공정모수의재조정절차는다변량 T 2 관리도와동일한통계량을사용함을알수있다 다변량 T 2 관리도의목적은평균을검색하는절차이지만마할라노비스 -다구찌시스템은특정모수의비교가아닌다변량분포가정상그룹에해당되는지를판단하는것이다 목적에관계없이제 5절의예를통해마할라노비스거리는평균의변화에민감하면서도일치적 (consistent) 임을알수있다 다변량 T 2 관리도는 Alt (1985) 이후 Lowry와 Montgomery (1995) 와 Jensen 등 (2006) 이외에도많은연구가되어오고있다 동일한통계량을사용하여도두절차의사용환경은사뭇다르다 먼저관리도에서는공정출력치를대상으로하지만재조정에서는공정의입력모수가대상이다 데이터의관측시점을기준하면관리도는피드백관리이고재조정은피드포워드관리이다 관리도에서는데이터의빈번한측정이어려울수있지만재조정은상대적으로빈번하여짧은시간에많은데이터를얻을수있다 관리도에서는오경보를줄이기위해제 1종오류를아주작은값이되게관리한계를설정해야하지만재조정에서는불필요한재조정도심각한문제를야기하지는않기때문에제 1종오류를어느정도큰값으로설정할수있어제 2종오류를줄일수있다 어느정도큰값의제 1종오류는정상그룹으로부터원하는분위수를설정할수있고따라서모수의분포에무관한 (distribution-free) 경계값을설정할수있다 공정모수에대한다변량분포는알려지지않은경우가많고정규분포를가정했을때위배시특성이심각하게다를수있다는문제점이있다 이를고려하면분포무관경계값을설정할수있다는점은이재조정절차의큰장점에해당한다고할수있다 8 결론마할라노비스 -다구찌시스템은마할라노비스거리를사용하여정상그룹으로방향성없이동떨어진형태를나타내는비정상그룹을구분하는하나의분류방법이다 이논문에서는마할라노비스 -다구찌시스템의이런특성을공정모수의재조정문제에적용하는방법을제안하였다 또한공정모수의재조정시에는모든모수를동시에조정하는것보다이상원인을유발하는데주된역할을하는하나또는두개의모수를우선조정하기를제안하였고이를위해기여도를연구하였다 기존의기여도연구는모두한변수의기여도만을고려하였으나여기서는두변수간의상관관계가존재함을고려하여두변수에의한기여도를고려하였다 뿐만아니라차원축소에의하면제외하는모수와남아있는모수간의상관관계를고려할수없는문제에착안하여모수를제외하는대신그모수의중심값으로대체하는중심위치기여도를고려하였으며결과적으로마할라노비스거리를크게하는데주된역할을하는모수의식별에향상된효과가있음을보였다 또한모수의식별에개별모수기여도를같이사용하여원인모수의탐지능력을증가시킬수있다 일반적인분류문제에서는정상그룹과비정상그룹의데이터가모두가용할때에만분류기준을설정할수있지만이논문에서는마할라노비스거리의분포무관분포를사용하여재조정경계값의설정방법을제시하였다 기여도에대해서는다양한조건 ( 공분산구조, 이상원인의다양성등 ) 에대해앞으로더면밀한연구가

14 602 Changsoon Park 필요하며특히데이터의분포에따른특성은이방법이분포무관하게사용될수있는지의여부를판단할수있는중요한연구가되어추후연구로합당하다고판단된다 표본크기가 n = 1인경우에는 Tracy 등 (1992) 과 Williams 등 (2006) 이제안한방법을사용하여마할라노비스 -다구찌시스템을수정하여사용할수있으며이에대한연구도추후연구과제로돌린다 특히비용문제를고려한경제적재조정절차의설계는관리도의경제적설계와유사하게연구될수있으며공정엔지니어들에게는통계적설계보다더필요한연구가된다 부록 정상그룹의마할라노비스거리의순서통계량 d (i) 에대해표본분포함수는수정항을사용하여 F m (d (i) ) = i m 1 2m, i = 1, 2,, m 이라정의한다 상위 α 분위수를결정하기위해서는표본분포함수의값 (1 α) + 1/(2m) 을포함하는 두순서통계량을찾아보간법을사용한다 편리상다음을정의한다 [ ( g = m 1 α + 1 )] 2m 포본분포함수로부터 F m(d (g) ) = g 05 m 1 α < Fm(d (g+1)) = g + 05 m 의관계를알고보간법에의해마할라노비스거리의상위 α 분위수는 을설정한다 T α = d (g) + m ( d (g+1) d (g) ) ( 1 α g 05 m ) References Alt, F B (1985) Multivariate quality control, Encyclopedia of Statistical Sciences, 6, NL Johnson and S Kotz, (eds) Wiley, New York Jensen, W A, Jones-Farmer, L A, Champ, C W and Woodall, W H (2006) Effects of parameter estimation on control chart properties: A literature review, Journal of Quality Technology, 38, Kanetaka, T (1988) Application of Mahalanobis distance, standardization and quality control, Japanese Standards Association, 41(5 and 6) Lowry, C A and Montgomery, D C (1995) A review of multivariate control charts, IIE Transactions, 27, Park, C (2012) Economic design of charts when signals may be misclassified and the bounded reset chart, IIE Transactions, To be published Park, C (2013) An economic design of the bounded reset chart using the integral controller for batchoriented processes, Communications in Statistics-Theory and Methods, DOI: / X Runger, G C, Alt, F B and Montgomery, D C (1996) Contributors to a multivariate statistical process control signal, Communications in Statistcs - Theory and Method, 25, Taguchi, G, Chowdhury, S and Wu, Y (2005) Taguchi s Quality Engineering Handbook, John Wiley & Sons, Inc, ASI Consulting Group, LLC, Livonia, Michigan Taguchi, G and Jugulum, R (2002) The Mahalanobis-Taguchi Strategy, John Wiley & Sons, Inc, New York

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