보험개발연구 제17권 제2호 영향을 분석한다. 실제로 보험경제학에서, 위험성의 증가가 최적의사결정에 주는 영향에 관한 비교정태분석은 특히 보험수요의 모형에서, Rothschild Stiglitz(197)의 위험성증가(Increase in Risk)를 중심으로 자주 연구

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1 보험개발연구 제17권 제2호 26년 1월 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제* The Effects of Increases in Risk on Optimal oss Control: A Stochastic Dominance Approach 홍 순 구** Hong Soon-Koo 이 논문은 손실위험의 위험성의 증가가 최적손실통제에 주는 영향을 분석한다. 구체적으론, 주로 제1차 및 제2차 확률지배이론과 Kimball(199)의 검약도(Degree of Prudence) 개 념을 원용해, 손실위험의 위험성이 제1차 그리고 제2차의 확률지배의 형태를 따라 변화하는 경우 어떻게 최적손실통제의 행태가 바뀌는 가를 규명해 본다. 먼저 우리는 손실위험이 제1차 확률지배의 형태로 증가되는 경우, 일반적인 예상처럼, 리스 크관리자가 손실통제에의 비용지출을 증가시키는데 요구되는 충분조건을 Arro-Pratt의 절 대 그리고 상대위험회피도를 이용한 효용함수에의 제약조건으로 도출했다. 하지만 손실위험이 제2차 확률지배의 형태로 변화되는 경우에는 더욱 복합적이고 제약적인 조건이 요구된다. 특 히 이 경우 Arro-Pratt의 위험회피도는 충분조건을 이끌어 내는 데 제 역할을 다하지 못한 다. 우리는 Arro-Pratt의 위험회피척도를 대신해 Kimball(199)에 의해 개발된 절대검약 (Absolute Prudence) 및 상대검약(Relative Prudence)의 척도를 이용해 비교적 간명한 충분조건을 유도해 낸다. 국문색인어: 손실통제, 확률지배, 위험성, 절대검약, 상대검약 I. 머리말 이 논문은 손실위험의 위험성의 증가 및 위험성의 변화가 최적손실통제에 주는 * 이 논문은 서울산업대학교 학술연구비 지원에 의하여 연구되었다. ** 서울산업대학교 경영학과 교수(soonkooh@snut.ac.kr) - 3 -

2 보험개발연구 제17권 제2호 영향을 분석한다. 실제로 보험경제학에서, 위험성의 증가가 최적의사결정에 주는 영향에 관한 비교정태분석은 특히 보험수요의 모형에서, Rothschild Stiglitz(197)의 위험성증가(Increase in Risk)를 중심으로 자주 연구되었던 주제 이다((Alarie Dionne Eeckhoudt, 1992), (Eeckhoudt Gollier, 1995, Ch.1), (류근옥 홍순구, 22) 등). 또한 확률지배이론은 보험경제학에서도 그 활용도가 높은 주요한 의사결정기준의 하나다((Eeckhoudt Gollier, 1995, Ch.6, Ch.9, Ch.1), (Eeckhoudt Gollier Schlesinger, 1996), (Gollier Schlesinger, 1996), (Doherty, 2, Ch.2), (Eeckhoudt Gollier, 2)). 하 지만 의외로 이 두 주제 즉, 손실위험의 위험성변화와 확률지배이론을 연계시켜 위 험관리행태를 분석한 예는 찾아보기가 쉽지 않다 1). 특히 손실통제의 모형에선, 저 자가 아는 범위에선, 아직 그 분석 예가 없었던 것으로 생각된다. 이 논문에서는, 주 로 제1차 및 제2차 확률지배이론 및 Kimball(199, 1992, 1993)의 검약도 (Degree of Prudence) 개념을 적용해, 손실위험의 위험성이 제1차 그리고 제2차 확률지배의 형태로 변화하는 경우 어떻게 리스크관리자의 최적손실통제의 행태가 바뀌는 가를 분석해 본다. 직관적으로 우리는, 손실위험의 기대값이 증가하거나 또는 손실위험의 변동가능 성(variability)이 증대되는 경우 위험회피형 리스크관리자는 실질적 자산가치의 보호를 위해 위험통제에의 비용지출을 늘릴 것으로 생각하기 쉽다. 하지만 실제 분 석의 결과는 크게 다르다. 유사한 예는 최적 투자포트폴리오의 구성 문제에서 쉽게 찾아볼 수 있다. 예컨대, Fishburn Porter(1976)는 위험자산의 수익이 제1차 확 률지배의 형태로 개선되어도 투자자는 위험자산에의 투자금액을 오히려 감소시킬 수 있음을 입증했고, 또 투자자가 일반적인 예상처럼 투자금액을 증가시키기 위해 선 위험회피성향 이외에 추가적으로 Arro-Pratt의 상대위험회피도(RRA: Degree of Relative Risk Aversion)가 1 보다 작아야 하는 효용함수에의 제약조 1) 예컨대, Eeckhoudt Gollier Schlesinger(1996)는 손실위험이 아닌 외생적 배경위험 (Background Risk)과 제1차 및 제2차 확률지배이론을 결합시켰고, Eeckhoudt Gollier(2)에서는 손실위험의 모형이 아닌 일반 리스크모형에서 제1차 확률지배이론 과 Rothschild Stiglitz(197)의 위험성 증가를 논하고 있다

3 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 건이 요구됨을 보였다. 한편 투자수익이 제2차 확률지배의 형태로 변화되는 경우에 는 더욱 복합적이고 제약적인 조건이 요구된다. 재무관리의 이론에서 잘 알려진 것 처럼 Rothschild Stiglitz(197)의 평균보유확산(MPS: Mean Preserving Spread)은 제2차 확률지배의 특수한 한 형태이다. 보다 우리에게 익숙한 Rothschild Stiglitz(1971)에서의 투자 포트폴리오 선택의 문제를 보면, Rothschild Stiglitz(1971)는 위험자산 수익의 변동위험성이 증가하는 경우(즉, 평균보유확산(MPS)을 하는 경우) 우리의 직관처럼 투자자가 해당 위험자산에의 투자금액을 줄이기 위해서는, 첫째로는 Arro-Pratt의 상대위험회피도가 1 보다 작아야 하고, 둘째로는 상대위험회피도가 증가하는 성향(IRRA: Increasing Relative Risk Aversion)을 보여야 하며, 셋째로 절대위험회피도는 감소(DARA: Decreasing Absolute Risk Aversion)해야 하는, 세가지 조건이 모두 충족되어야 한다는 결과를 제시했다. 요컨대 단순한 위험회피형 투자자는 수익의 위험성이 증 가하는 경우 오히려 투자금액을 증가시킬 수 있는 가능성을 보인 것이다. 투자포트폴리오에서의 이런 간단치 않은 연구결과들은 위험성의 변화가 손실통 제에 미치는 영향이 직관적이지만은 않을 것임을 강력하게 시사해 준다. 이미 언급 한 바처럼 우리는 제1차 및 제2차 확률지배이론과 결부시켜, 손실위험의 위험성 증 가 및 위험성 변화가 최적손실통제에 미치는 영향을 분석해 본다. 다행스러운 점은 우리의 분석은, 예컨대 Rothschild Stiglitz(1971)의 투자 포트폴리오의 연구결 과에서 제시된 일련의 조건들보다, 간명한 충분조건을 제시할 수 있다는 사실이다. 그 이유는 Arro-Pratt의 위험회피척도를 대신해 Kimball(199)에 의해 개발된 절대검약(AP: Absolute Prudence) 및 상대검약(RP: Relative Prudence)의 척 도를 이용할 수 있기 때문이다. 요컨대 우리는 손실통제의 모형에서, 확률지배이론 및 검약도(Degree of Prudence)의 개념과 이론을 적용해 위험성의 변화에 대한 비 교정태분석을 실시한다 2). 구체적으론 그 확률분포가 F A 인 손실위험 A ( )가 F B 의 확률분포를 가진 손실위험 B ( )로 변화하는(즉, A B ) 다음 네가지 경우를 분 2) 우리는 두가지 측면에서 확률지배이론을 원용한다. 첫째로는 제1차 그리고 제2차의 확률 지배의 정의와 그 연관 개념을 손실위험의 증가 및 변화에 적용하는 것이고, 둘째로는 확 률지배이론에서 개발된 방법들을 활용해 우리가 제시하는 각 정리들을 증명한다

4 보험개발연구 제17권 제2호 석의 대상으로 한다 3). B d A +α(단, α는 양(+)의 확률변수 4), 즉 α ) F B () F A () 손실위험의 확률분포상 양(+)의 확률변수가 부가되는 경우 자산의 제1차 확률지배의 경우에 해당 B d A +β(단, β는 기대값이 인 확률변수, 즉 E(β A ) ) z z F B ()d F A ()d 그리고 F B ()d F A ()d 손실위험의 확률분포상 기대값이 인 백색잡음(hite noise)의 확률 변수가 부가되는 경우 Rothschild Stiglitz(197)의 위험성의 증가(MPS)에 해당 손실위험의 기대값은 일정하나 위험성, 예컨대 분산위험(variance)이 증 가하는 경우 B d A + (단, 는 기대값이 양(+)인 확률변수 즉, E( A ) ) B d A +α+β 손실위험의 확률분포상 위에서 정의된 α와β의 확률변수가 동시에 부가 되는 경우 제1차 확률지배와 Rothschild Stiglitz(197)의 위험성의 증가(MPS) 가 결합된 형태 3) 아래의 식들에서 d 는 Rothschild Stiglitz(197)에서 처럼 동일한 확률분포를 가 진 의 의미로 사용된다. 4) α 이므로 α에 관한 정확한 표현은 음(-)이 아닌 확률변수 가 되겠다. 하지만 우리는 보다 직관적으로 이해하기 쉬운 표현으로 양(+)의 확률변수 로 표현하기로 한다

5 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 A d B +δ(δ는 기대값이 음(-)인 확률변수, 즉 E(δ B ) ) z F B ()d F A ()d z 자산의 제2차 확률지배와 연계된 개념. 위의 네가지 위험성의 변화 중 1 의 경우만 손실위험성이 제1차 확률지배의 형 태로 변형되는 경우이고, 나머지 2 4 의 경우는 모두 넓게 보아 제2차 확률지배 의 변형에 해당한다. 우리는 손실위험이 제1차 확률지배의 형태로 증가되는 경우, 일반적인 예상처럼, 리스크관리자가 손실통제에의 비용지출을 증가시키는데 요구 되는 충분조건을 Arro-Pratt의 절대위험회피도(ARA) 그리고 상대위험회피도 (RRA)를 이용한 효용함수에의 제약조건으로 도출한다. 그러나 손실위험이 제2차 확률지배의 형태로 변화되는 경우에는 더욱 복합적이고 제약적인 조건이 요구된다. 특히 이 경우 Arro-Pratt의 위험회피도는 충분조건을 이끌어 내는 충분한 역할을 다하지 못한다. 우리는 Arro-Pratt의 위험회피척도를 대신해 Kimball(199)의 절대검약(AP) 및 상대검약(RP)의 척도를 이용해 비교적 간명한 충분조건을 유도 한다. 우리의 논문은 다음 순서로 진행된다. 다음 제Ⅱ장에선 손실통제의 분석모형을 설정하고, 제Ⅲ장에선 네종류의 위험성증가에 대한 각각의 비교정태분석을 실시한 다. 첫 번째론 위험성의 1차 증가 즉, 손실위험의 위험성이 제1차 확률지배의 형태 로 증가되는 경우, 두 번째론 위험성이 Rothschild Stiglitz(1971)의 평균보유확 산의 형태로 증가되는 위험성의 2차 증가의 경우, 세 번째론 손실위험의 1 2차 위 험성이 동시적으로 발생하는 경우, 그리고 끝으론 손실위험의 위험성이 제2차 확률 지배의 형태로 변형되는 위험성 증가의 경우를 고려해 본다. 제Ⅳ장에서는 우리의 손실통제모형의 분석을 간단히 보험수요의 모형에 적용해 보고, 끝으로 제Ⅴ장에서 는 요약과 함께 향후 제3차 확률지배와 연계시킨 추가적인 후속연구의 가능성을 언 급하면서 이 논문을 마무리한다

6 보험개발연구 제17권 제2호 II. 손실통제의 분석모형 우리는 손실통제에의 전통적인 분석모형을 활용한다 5). 즉, 불포만성(u )과 위 험회피(u )의 성향을 지닌 리스크관리자는 기초자산으로 의 부(ealth)를 보 유하고 있고, 이 자산 는 손실액 ( )의 순수위험에 노출되어 있다. 이제 이 리스크관리자는 손실규모 을 줄이기 위해 손실통제의 조치를 취할 수 있다. 즉, x만큼 손실축소비용을 지출하는 경우, 실제 손해액은 손실통제의 생산함수 h(x)를 거쳐 h(x)로 실현된다. 여기서 h(x)는 비용지출에 따라 손해의 크기가 감 소되는 양상을 나타내는 손실통제의 생산함수로 h(x) 1, h() 1, h( ), h (x), h (x) 등을 가정한다 6). 요컨대, 리스크관리자가 손실통제에 x의 비 용을 투자하면 손실은 [1-h(x)]만큼 감소된다. 특히 우리는 손실통제에 나타나 는 전형적인 특성인데 손실통제 비용의 지출 첫단계에서는 약간의 비용과 노력으로 큰 효과를 거둘 수 있다고 가정한다. 예를 들면 간단한 불조심 경고문이나 소화기의 설치만으로도 화재위험의 상당부분을 효과적으로 관리할 수 있는 것 등이다(정홍 주 홍순구, 제1장, 1996). 이 가정은 h () 또는 같은 의미로 h () - 의 식으로 수식화시킬 수 있겠다. 지금까지 나온 기호들은 다음과 같이 요약된다. 초기( 期 )의 손실; 확률변수 ( ) F() 의 확률분포함수 5) Ehrlich Becker(1972) 이래 흔히 손실통제는 손실예방과 손실축소로 구분되어 왔다. 하지만, 특별한 경우를 제외하면, 실무적으로 손실예방과 손실축소의 실제적인 효과를 구 분하기란 어려운 것으로 알려지고 있다. 이런 맥락에서, 우리의 분석모형에선 손실빈도의 확률분포와 손실심도의 확률분포가 서로 결합(convolution)된 하나의 총손실분포를 가정 하고 분석을 진행한다. 요약하면, 우리의 손실통제는 손실예방과 손실축소를 포괄하는 위 험관리수단이 된다. 6) 이런 가정들의 정당성에 관해서는 Hiebert(1989) 등을 참조할 수 있다

7 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 f() 의 확률밀도함수 x 손실통제에의 지출 비용 h(x) 손실통제의 생산함수; h(x) 1, h( ), h() 1, h (x), h (x) Y 기말( 期 )의 ; 확률변수 (Y ), Y -x-h(x) u(y) 리스크관리자의 위험회피형 효용함수; u (Y), u (Y) 1. 최적위험통제 위에서 정의된 개념과 기호를 이용하면, 의 손실위험에 노출되어 있는 의부를 지닌 리스크관리자가 손실축소의 비용 x를 지출하면 기말자산 Y는 다음과 같이 표 기되고, Y -x-h(x) 리스크관리자가 손실통제의 최적규모 x를 선택하기 위한 기대효용모형 H(x)는 다음과 같이 설정된다. E u(y) u -x-h(x) f()d H(x) 이제 H를 극대화하는 데 필요한 1차조건과 2차조건은 각각 아래의 식으로 나타 나게 된다. H (x) u (Y) -1-h (x) f()d (1) - 9 -

8 보험개발연구 제17권 제2호 H (x) E{u (Y) -1-h (x) 2 +u (Y) -h (x) } 우리의 손실통제모형에선 위험회피성향(u ) 및 비용지출에 따른 보수의 감소(h ) 에 의해항상H (x) 이 되므로 2차조건은 쉽게 충족된다. 따라서, 우리가 분석하는 기대효용의 식H(x)는 x에 관하여 잘 정의된 오목함수(elldefined concave function) 가 되고, 1차조건 H (x*) 에서 도출되는 손실통제 비용 x*는 자동적으로 기대효용 H를 극대화시키는 최적지출량이 된다. 우리는 1차조건의 식에서, 앞서 언급한 h () - 에 의해, H () 이 충족 되어 최적 손실통제의 비용은 x* 이 된다고 가정한다. 실제로 x* 에 요구되는 보다 정확한 h ()의 조건은 Y -로 정의하면, 다음과 같이 유도될 수 있다. H () E{u (Y ) -1-h () } E u (Y ) -1-h ()E() -h ()Cov u (Y ), E u (Y ) h () - E u (Y ) E()+Cov u (Y ), 참고로 말하면 위의 식에서 Cov u (Y ), 이 된다. 그 이유는 과 Y 는서로 (-)의 관계에 있으며, 또한 u 이므로 u (Y )와 은 (+)의 관계를 갖기 때 문이다. 또한 우리의 모형에서 은 재산손실로 그 범위를 로 제한했으므로 손실 통제의 지출액은 를 초과하지 않을 것이다. x* 또는 H () 의 조건은, Y -h()로 표기하면, 다음 부등식으로 요약된다. E u (Y ) h () - E u (Y ) E()+Cov u (Y ), - 1 -

9 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 요컨대, 위의 두 부등식을 결합시키면 최적손실통제의 지출이 x* 가 되는 조건은 다음 식으로 요약된다. Cov u (Y ), Cov u (Y ), -h (){ } E()+ E u (Y { } 1 -h () E() ) E u (Y ) 이제 우리는 위의 조건이 충족된다는 가정 하에, 즉 x* 의 범위에서, 분석 을 계속한다. 2. 도움정리 먼저 우리는 표기를 간단히 줄이기 위해 1차조건의 식(1)로 부터 다음과 같은 함 수 Ψ를 정의한다. Ψ() -u (Y) 1+h (x) (2) 그러면 H (x)는 다음과 같이 보다 간략히 표현된다. H (x) Ψ()f()d (3) 이제 위의 기호를 이용하면, 우리가 목적한 바의 손실위험에 대한 위험성의 증가 를 분석하는 데 필요한, 다음의 <도움정리>를 손쉽게 유도할 수 있다

10 보험개발연구 제17권 제2호 (1) H (x) Ψ()- <도움정리> Ψ ()F()d (2) H (x) Ψ()-Ψ () -E() + Ψ () t F(t)dt d (3) H (x) Ψ()-Ψ () -E() +Ψ () - Ψ () t z F(z)dzdt d t F(t)dt d (증명) (1) 우리는 식(3)의 우변을 부분적분한다. u Ψ() 그리고 dv f()d로 놓으 면 du Ψ ()d 및 v t 이 <도움정리>의 식(1)이 유도된다. f(t)dt F()이 되고, 이 식들을 이용하면 다음과 같 H (x) Ψ()f()d Ψ()F() - Ψ ()F()d Ψ()- Ψ ()F()d 위의 식에서 세 번째 등호가 성립하는 이유는 F() 그리고 F() 1이기 때 문이다. (2) 이번엔 <도움정리> (1)의 식 우변의 두 번째 항을 부분적분한다. u Ψ () 그리고 dv F()d로 놓으면 du Ψ ()d 및 v t F(t)dt가 유도된다. 이

11 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 값들을 이용해 두 번째 항을 부분적분하면 다음과 같은 식들이 도출된다. Ψ ()F()d Ψ () t F(t)dt - Ψ () t Ψ () F()d- Ψ () t F(t)dt d F(t)dt d 한편, 위의 식 우변의 첫 번째 항에 F()d -E()를 대입하면 <도움 정리>의 식(2)가 확인된다. 비교적 잘 알려진 내용이지만 F()d - E()이 되는 이유는 E() 1-F() d이기 때문이다. 우리는 이 기대값 의 식이 성립하는 이유를 다음과 같이 확인해 볼 수 있다. 기대값(expeted value)의 정의에 의해 E() f()d가 된다. 따라서 우리는 다음 식을 보이면 된다. f()d 1-F() d 이제 G() 1-F()라고 정의하면 G () -f() 또는f() -G ()이 된 다. f() -G ()을 위의 식 좌변에 대입한 다음, u, dv G ()로 놓고 부분 적분을 하면 우리가 목적한 바의 식이 유도된다. 즉, E() f()dx - G ()d - G() + G()d G()d 1-F(x) dx

12 보험개발연구 제17권 제2호 위의 식에서 세번째 등호가 성립되는 이유는 G() 1-F() 이 되기 때문이다. (3) <도움정리> (2)의 식 세 번째 항을 u Ψ () 그리고 dv t F(t)dtd로 놓 고 부분적분을 하는 것이 필요하다. 그러면 du Ψ ()d 그리고 v t F(t)dzdt이 되고, 이 식을 이용해 세 번째 항을 다음과 같이 부분적분할 수 있다. t z Ψ () t Ψ () t Ψ () F(t)dtd t z t z F(z)dzdt - Ψ () t F(z)dzdt- Ψ () t t z t z F(z)dzdtd F(z)dzdtd 이제 위의 식 우변을 원식에 대입하면 <도움정리>의 식(3)이 확인된다. Q.E.D. 이 논문에서 우리의 주된 논의는 제2차 확률지배와 관련된 위험성의 변화까지만 으로 제한된다. 따라서 위의 <도움정리>의 (1)과 (2) 두 식만으로도 본문의 관련 내 용을 설명할 수 있다. 하지만 논의가 제3차 확률지배까지 연장되는 경우에는 <도움 정리>의 (3)에서 제시되는 삼중적분의 식이 필요하게 된다. 이에 관한 내용은 향후 의 추가적인 후속연구를 위해 제Ⅵ장의 결론 부분에서 간단히 언급된다. III. 위험성의 증가와 최적손실통제 이번 제Ⅲ장에서는 손실위험의 위험성 증가 가 최적손실통제에 주는 영향을 분 석한다. 구체적으론 손실위험 A 가 외생적인 확률분포 상의 변화로 의해 손실위험 B 로 위험성이 증가되는 경우 각각의 최적손실통제의 규모인 x A 와 x B 의 크기를 비교

13 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 하는 비교정태분석(comparative statics analysis)을 실시한다. 우리는 네부류의 위험성 증가를 분석의 대상으로 고려한다. 위험성의 1차 증가 는 제1차 확률지배 원칙(FSD)의 내용을, 그리고 평균보유확산(MPS) 은 제2차 확률지배원칙(FSD) 의 내용 중 두 위험의 기대값이 동일한 경우(즉, E( A ) E( B ))를, 위험성의 2차 증가 는 일반적인 제2차 확률지배원칙(FSD)의 내용을 우리의 손실모형에 적용한 분석을 한다. 이 밖에 제1차 확률지배원칙과 평균보유확산이 결합된 위험성의 증가 도 함께 고려한다. 1. 위험성의 1차 증가와 최적손실통제 가. 위험성의 1차 증가의 개념 우리는 먼저 위험성 증가 의 개념을 정립하는 것부터 시작한다. 우리는 손실위 험 A 와 B 의 확률분포함수를 각각 F A () f A (t)dt와 F B () f B (t)dt로표 기하기로 약속하면 다음과 같이 손실위험에 대한 위험성의 1차 증가 를 정의할 수 있다. <정의 1> 위험성의 1차 증가 우리는 다음 경우에 한해 손실위험 B 는 손실위험 A 의 위험성이 1차 증가 한 위험이라고 정의한다. 1. B d A +α(단, α( )는 확률변수), 또는 2. 모든 ( )에 대해 F B () F A () 위의 정의는 재무관리학에서의 제1차 확률지배원칙 을 우리의 손실모형에 수정 없이 그대로 적용한 개념이 된다. 물론 위의 <정의 1>에서 1 과 2 는서로 동등 한(equivalent) 내용으로 표현방법만 변화시킨 것에 지나지 않는다 7). 이런 위험

14 보험개발연구 제17권 제2호 성의 1차 증가 의 개념은 B 의 손실액이 어떤 임의의 손실액 보다 클 확률이 A 의 손실액이 보다 클 확률보다 큰 것으로 풀이된다. 즉, 위험성의 1차 증가 는 다음 부등식을 의미하게 된다. ( )에 대해 Prob( B ) f B (t)dt f A (t)dt Prob( A ) 보다 쉽게 표현하면, B 의 손실액이 A 의 손실액보다 확률적으로 보다 큰 (stochastically larger) 것으로 생각할 수 있겠다. 이런 경우는 명백히 위험성의 증가에 해당되므로 우리는 위험성의 1차 증가로 명명했다. 물론 B d A +α(α )의 관계에서 E( B ) E( A )임은 쉽게 확인된다 8). 하지만 위험성의 1차 증가 란 개념에는 유의할 점이 있다. 위험성의 1차 증가는 실제로 실현되는 B 의 손실액이 A 의 실제 손실액 보다 반드시 큰 것을 의미하지는 않는다는 사실이다. B 의 손실액 이 A 의 손실액 보다 반드시 큰 경우의 확률변수 간 관련식은 다음과 같이 표시될 수있다. B A +α(단, α는 양(+)의 확률변수, 즉 α ) 특히 우리는 위의 식에서 두 확률변수가 d 가아닌 로 연결되었음에 유 의하자. 재무관리학에서 이런 관련성은 확률지배 보다는 지배(dominance) 라고 표현한다. 7) 위험성의 1차 증가 에 대한 이런 두가지 내용의 동등성(equivalence)에 관해서는 Huang itzenberger(chapter 2: Stochastic Dominance, 1988) 또는 Ingersoll(Chapter 3: The Portfolio Problem, 1987)을 참조할 수 있다. 8) 이 부등식 관계는 보다 엄격하게 다음과 같이 확인해 볼 수도 있다. 즉 E( B ) 1-F B () d 1-F A () d E( A ) F B () F A ()

15 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 나. 비교정태분석 손실위험의 위험성이 1차 증가하는 경우 리스크관리자가 불포만성(u )과 위 험회피의 성향(u )을 가졌다하더라도 반드시 손실통제에의 지출비용을 증가시 키는 것은 아니다. 우리는 다음 <정리 1>에서 손실의 위험성이 1차 증가할 때 리스 크관리자가 손실통제에의 지출을 증가시키기 위한 충분조건을 유도한다. 먼저, 우 리에게 익숙한 개념이긴 하지만, <정리 1>의 유도과정에 필요한 Arro-Pratt의 위 험회피척도를 다시 한 번 소개한다. u (Y) 그리고 u (Y) 인 경우 Arro- Pratt의 절대위험회피도(ARA) 및 상대위험회피도(RRA)는 다음과 같이 측정된다. u (Y) ARA(Y) - u (Y) u (Y) RRA(Y) Y ARA(Y) -Y u (Y) 또한, 우리는 두 기대효용함수 H A 와 H B 를 각각 다음과 같은 함수로 정의하고, H A (x) H B (x) u -x-h(x) f A ()d u -x-h(x) f B ()d x A 와 x B 를 다음과 같이 각각 위의 기대효용을 각각 극대화시킬 수 있는 최적 손실 통제비용으로 정의한다. 즉, H A (x A ) H B (x B ) 이제 우리는 Arro-Pratt의 위험회피도와 위에서 정의된 기호들을 이용하면, 손

16 보험개발연구 제17권 제2호 실위험이 1차 증가하는 경우 리스크관리자가 손실통제에의 지출을 증가시키기 위 한 충분조건은 RRA 1+ARA(h/h +-x)이 됨을 확인할 수 있다. 이 내용은 보 다 간단히 다음 <정리 1>과 같이 요약할 수 있겠다. B d A +α(α )이면, <정리 1> 위험성의 1차 증가와 최적손실통제 h(x) RRA(Y) 1+ARA(Y) +-x x B x A h (x) (증명) 우리는 지금부터 H B (x A )-H A (x A ) 이 되기 위한 조건을 유도해 본다. H B (x A )-H A (x A )가 양(+)의 값을 가지면, H A (x A ) 이기 때문에 H B (x A ) 이 되어 우리가 목적한 바 x B x A 이 되기 때문이다. 먼저 1차조건 H A (x A )과 H B (x A )는 <도움정리>의 식(1)을 이용하면 다음과 같이 나타난다. H A (x) Ψ()- H B (x) Ψ()- Ψ ()F A ()d Ψ ()F B ()d 위의 두 식에서 H B (x A )-H A (x A )은, 각 식의 첫 번째 항이 서로 상쇄되므로, 다 음 식으로 요약된다. H B (x A )-H A (x A ) - Ψ () F A ()-F B () d (4) 우리는 손실위험 B 가 손실위험 A 의 위험성이 1차 증가한 경우라고 정의했으므 로모든( )에 대해 F B () F A ()이 성립하고, 따라서 이제 Ψ () 이 면, H B (x A )-H A (x A ) 이 되기에 충분하다. 그리고 Ψ () 은 다음과 같이 <정리 1>의 충분조건과 일치한다. 즉,

17 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 Ψ () u (Y A )h(x A ) 1+h (x A ) -h (x A )u (Y A ) u (Y A ) -u (Y A ) { - h(x A) 1+h (x A ) +h (x A u (Y )} A ) ARA(Y A )h(x A ) 1+h (x A ) +h (x A ) 한편, RRA(Y) Y ARA(Y) 및h(x) -x-y, 그리고 h (x) 임에 유의하 면 위의 부등식은 다음과 같이 <정리 1>의 충분조건이 된다. 즉, ARA(Y A )h(x A ) 1+h (x A ) +h (x A ) ARA(Y A )h(x A )+h (x A ) ARA(Y A )h(x A )+1 ARA(Y A )h(x A )+h (x A ) ARA(Y A )(-x A -Y A )+1 ARA(Y A )h(x A )+h (x A ) ARA(Y A )(-x A )RRA(Y A )+1 h(x A ) RRA(Y A ) 1+ARA(Y A ) +-x Q.E.D. h (x A ) 지금까지 우리는 손실위험이 1차 증가하는 경우 Arro-Pratt의 위험회피척도를 이용해 리스크관리자의 손실통제비용이 증가하기 위한 충분조건을 제시했다. 우리 의 위험통제모형에서의 충분조건은 다른 투자포트폴리오모형에서의 연구결과와 명 백한 차이점을 보인다. 예컨대 Fishburn Porter(1976) 등에서는 위험자산의 확 률분포가 1차확률지배원칙(FSD)에 의해 개선되는 경우 Arro-Pratt의 상대위험 회피도가 1 보다 작으면(RRA 1) 위험자산에의 투자비율 또는 투자금액이 증가 되었었다. 하지만 우리의 모형에서는 최적손실통제의 생산성 h (x*) 에 의해 상 대위험회피척도(RRA)가 1 보다 큰 경우(RRA 1)도 충분조건의 범위에 속할 수 있다. 예컨대, 손실통제에의 기술혁신으로 h (x*)가 보다 충분히 작아지는 경우 등이다

18 보험개발연구 제17권 제2호 2. 평균보유확산(MPS)과 최적손실통제 앞의 항목에서는 확률적인 손실액의 증가가 최적손실통제에 미치는 영향을 살펴 보았다. 이번 항목에서는 손실위험의 변동성의 증가 와 최적손실통제간의 관련성 을 분석한다. 우리는 보통 Rothschild Stiglitz(197)이래 기대값은 일정하나 손 실위험의 변동가능성이 증가하는 것을 평균보유확산(MPS) 으로 부른다. 이 평균 보유확산(MPS)은, 재무관리학에서 제2차 확률지배원칙(SSD)의 일부를 구성하는 개념이다. 물론 일반적인 제2차 확률지배원칙(SSD)은 평균보유확산(MPS)을 포 함하는 보다 포괄적인 개념이 된다. 제2차 확률지배형 위험증가에 대해선 항목 4 에서 따로이 논의하기로 한다. 가. 평균보유확산(MPS)의 개념 우리는 Rothschild Stiglitz(197)를 따라 평균보유확산(MPS)를 정의한다. 즉 손실위험 B 의 확률분포가 손실위험 A 와 기대값이 인 백색잡음(hite noise) 의 확률변수가 결합한 형태의 확률분포로 이루어지는 경우, 손실위험 B 는 손실위 험 A 의 평균보유확산(MPS) 이라고 정의한다. 이 정의는 백색잡음의 확률변수 β 또는 확률분포함수 F A 와 F B 를 이용해 다음과 같이 표현할 수 있다 9). 9) 평균보유확산(MPS) 에 대한 두 정의의 동등성은 Rothschild Stiglitz(197)에 증명 되어 있다. 특히 2 의 정의에서 F B ()d F A ()d은 실질적으로 E( B ) E( A )임을 의미한다(<보조정리> (2)의 증명과정을 참조바람). 일반적인 제2차 확률지배 원칙(SSD)에서는 바로 이 조건이 제외되어 있다

19 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 <정의 2> 평균보유확산(MPS) 우리는 다음 경우에 한해 손실위험 B 는 손실위험 A 의 위험성이 2차 증가 한 위험이라고 정의한다. 1. B d A +β(단, E(β A ) ), 또는 2. 모든 z( z )에 대해 z z F B ()d F A ()d이고 F B ()d F A ()d 위의 정의에서 임은 명백하다. 즉, 평균보유확산(MPS) 은, 확률적으로 더 큰 손실액을 의미했던 위험성의 1차 증가 와 비교해 표현하면, 예상손해액은 같으나 변동가능성이 더 큰(more volatile) 위험을 의미한다. 나. 비교정태분석 이제 손실위험의 경우 위험의 평균보유확산(MPS)이 손실통제에의 비용지출에 미치는 영향을 확인해 본다. 그런데 이 내용은, 다음 <정리 2>에서 확인되는 것처 럼, 위험성이 1차 증가하는 경우와는 달리 Arro-Pratt의 위험회피척도로는 충분 한 표현이 어려워진다. 효용함수에의 보다 강력한 제약이 필요하다. 우리는 Arro-Pratt의 위험회피척도를 대신해 Kimball(199)에 의해 개발된 절대검약 (AP: Absolute Prudence) 및 상대검약(RP: Relative Prudence)의 척도를 이용 해 분석을 시도한다. 절대검약(Absolute Prudence) 및 상대검약(Relative Prudence)의 정도(degree)는 u (Y) 및 u (Y) 그리고 u (Y) 인 경우 다 음과 같이 정의된다. u (Y) AP(Y) - u (Y) u (Y) RP(Y) Y AP(Y) -Y u (Y)

20 보험개발연구 제17권 제2호 요컨대, Arro-Pratt의 위험회피척도가 인간이 얼마나 위험 및 불확실성을 싫어 하고 기피하는가를 측정하는 개념이라면, Kimball의 검약척도는 인간이 불확실성 에 대비해 미리 준비하려는 성향의 정도를 측정한다(Kimball, 199, 1992, 1993). Kimball의 검약척도는 최근 보험수요의 분석에 광범위하게 활용되고 있는 개념인데((Eeckoudt Kimball, 1992), (Eeckoudt Gollier Schlesinger, 1996), (Eeckoudt Gollier, 2), (Eeckhoudt Mahul Moran, 23), (Garratt Marshall, 23)) 우리의 손실통제모형에서도 유용하게 활용된다. 즉 손실위험이 평균보유확산하는 경우, RP 2+AP(h/h +-x)이면 손실통제의 지 출은 증가하게 된다. 이 내용은 다음 <정리 2>에서 확인할 수 있다. <정리 2> 평균보유확산(MPS)과 최적손실통제 B d A +β(단, E(β A ) )인 경우 h(x) RP(Y) 2+AP(Y) +-x x B x A h (x) (증명) 앞의 <도움정리>의 식(2)를 이용하면 H B (x A )-H A (x A )의 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. H B (x A )-H A (x A ) -Ψ () E( A )-E( B ) + Ψ () t F B (t)-f A (t) dt d Ψ () t F B (t)-f A (t) dt d E( A ) E( B ) 위의 식 우변에서의 적분값은 평균보유확산(MPS) 의 정의에 의해 t z F B (z)-f A (z) dz 이 된다. 따라서 Ψ () 이면 H B (x A )-H A (x A ) 이되고, Ψ () 의 식은 다음과 같이 변형될 수 있다

21 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 Ψ () h(x A ) {-h(x A )u (Y A ) 1+h (x A ) +2h (x A )u (Y A )} u (Y A ) h(x A ) u (Y A ) { - h(x A ) 1+h (x A ) +2h (x A ) u (Y A ) } h(x A ) u (Y A ) {AP(Y A )h(x A ) 1+h (x A ) +2h (x A )} 위의 식에서, h 그리고 u 이므로 Ψ () 의 조건은 위의 식 대괄호 { } 의 조건과 일치한다. 또한 대괄호 { } 안의 식에서 RP(Y) Y AP(Y) 및 h(x) -x-y임에 유의하면 위의 부등식은 다음과 같이 충분조건의 식이 된다. AP(Y A ) h(x A ) 1+h (x A ) +2h (x A ) AP(Y A )h(x A )+h (x A ) AP(Y A )(-x A )-RP(Y A )+2 h(x A ) RP(Y A ) 2+PA(Y A ) +-x Q.E.D. h (x A ) 우리는 Ψ()이 볼록함수(즉, Ψ )이어야 하는 <정리 2>의 충분조건을 Kimball(199)의 검약도로 비교적 간단히 표현했다. 하지만 이 조건은 상당히 제 약적일 수 있다. 요컨대 리스크관리자가 위험회피성향을 가졌다 하더라도, Ψ() 이 볼록함수가 아니라면, 손실위험의 변동위험성(riskiness)이 증가하는 경우 리스 크관리자는 손실통제의 투자를 오히려 줄일 수도 있게 된다. 한편 <정리 1>과 <정리 2>의 결과를 비교하면서 우리가 유의할 점은 <정리 2>의 충분조건인 RP 2+AP(h/h +-x) 는 <정리 1>의 충분조건인 RRA 1+ ARA(h/h +-x)의 성립여부와는 관계없이 독립적으로 요구되는 조건이었다. 하 지만 이제 우리는 <정리 1>과 <정리 2>의 충분조건을 결합시키면 손실위험 위험성 의변화 에 관한 보다 다양한 비교정태분석을 실시할 수 있다. 다음 항목의 위험성 의 1차 증가와 평균보유확산(MPS)이 동시 발생하는 경우 및 항목 4에서의 위험성 의 2차 증가에 대한 비교정태분석이 이에 해당한다

22 보험개발연구 제17권 제2호 3. 위험성의 1차증가와 평균보유확산(MPS)이 동시적으로 발생 하는 경우 우리의 정의에서 위험성의 1차 증가 는 확률적으로 보다 큰 손실액을 의미하고, 손실위험 평균보유확산(MPS) 은, 위험성의 1차 증가 와는 대조적으로, 손실의 기대값은 변하지 않고 손실의 변동가능성이 증가하는 경우였다. 이번엔 손실위험의 1차 위험성 그리고 평균보유확산(MPS)이 동시에 발생하는 경우를 고려해 본다. 이런 경우, 우리는 손실위험 A 와 B 간에 다음과 같은 확률분포상의 관련성을 정의 할수있다. B d A + (단, E( A ) )) 여기서 는 그 실현되는 값이 음(-)의 값을 가질 수도 있는 점에서 위험성의 1 차 증가에서 정의되는 α와는 다르고, 또한 평균보유확산(MPS)에서 정의되는 β와 는 그 기대값이 양(+)이라는 차이점이 있다. 요컨대 우리는 가 다음과 같이 α와 β의 확률분포가 결합된 경우라고 생각할 수 있다. 즉, B d A + d A +E( A )+ -E( A ) 위의 식에서 E( A )는 α그리고 -E( A )는 β라고 간주하면 다음 식이 된다. B d A +α+β(단, α, E(β A +α) ) 이제 손실위험 B 는 손실위험 A 에서 1차 위험성과 평균보유확산(MPS)이 동시 에 발생한 위험으로 정의된다. 위의 식에서 우리는 손실위험의 기대값이 증가하는 것 즉, E( B ) E( A )은 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 손실의 변동가능성의 변화를 판단하는 데는 다소 세심한 주의가 필요하다. 예를 들어 Var( B ) Var( A )의 가능 성을 확인하는 데는 E( A ) c (단, c는 상수) 등의 추가적인 제약조건이 필

23 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 요하다 1). 1차 위험성 및 평균보유확산(MPS)의 동시적 발생이 반드시 변동위험성 예컨대, 분산위험(variance)까지도 증가시키는 것은 아니다. 요컨대 우리는 손실위험 A 에서 1차 위험성 및 평균보유확산(MPS)이 모두 적용 된 손실위험 B 로 변화하는 경우, <정리 1>과 <정리 2>의 결과를 그대로 종합해 다 음 <정리 3>으로 그 비교정태분석의 결과를 요약할 수 있겠다. <정리 3> 1차 위험성의 증가와 평균보유확산(MPS)이 동시에 발생하는 경우 B d A + (단, E( A ) )이면 h(x) { RRA(Y) 1+ARA(Y) +-x h (x) h(x) RP(Y) 2+AP(Y) +-x h (x) x B x A 4. 위험성의 2차 증가와 최적손실통제 이제 우리는 제2차 확률지배 에 수반되는 확률분포를 따라 손실위험성의 변화를 정의한다. 먼저 간단히 제2차 확률지배 의 개념을 소개하면, 자산 B의 수익률이 자산 A의 수익률을 제2차 확률지배 하는데 필요한 적분요건(integral condition) 은 다음 식으로 나타난다. 1) 예컨대, 분산의 경우 E( A ) c (단, c는 양(+)의 상수)이면, Var( B ) Var( A )이 되는 것을 다음과 같이 간단히 확인해 볼 수 있다. 즉, 1) Var( B ) Var( A )+Var()+2Cov( A, ) Var( A )+Var( ) Var( A ) 1) 위의 식에서 두 번째 등호가 성립하는 이유는 모든 A 에대해E( A ) c 이면, 즉 c 가 양(+)의 상수이면, Cov( A, ) 이 되기 때문이다. 이에 대한 엄격한 증명은 Brumelle(1974)에서 확인할 수 있다. 하지만 E( A )가 A 에 대해 감소함수이면, 1) 즉, E( A ) 이면, Cov( A, ) 이 되고, 이런 경우 Var( B ) Var( A )도 A 가능하다

24 보험개발연구 제17권 제2호 z z 모든 z (, )에 대해 F B (R)dR F A (R)dR F A ( ) 자산 A 수익률 R A 의 누적확률분포함수 F B ( ) 자산 B 수익률 R B 의 누적확률분포함수 물론 이 적분요건은 E(R B ) E(R A )을 포함하는 개념이 된다. 이제 위의 제2차 확률지배 의 개념을 이용하면, 우리는 확률분포함수 F A 와 F B 를 이용해 또는, 동등한 내용이지만, 아래와 같이 정의되는 확률변수 를 적용해 손실위험에 대한 위험성의 2차 증가 의 개념을 정리할 수 있다 11). <정의 3> 위험성의 2차 증가 우리는 다음 경우에 한해 손실위험 B 는 손실위험 A 의 위험성이 2차 변화 한 위험이라고 정의한다. 1. A d B +δ(단, E(δ B ) ), 또는 2. 모든 z( z )에 대해 z z F B ()d F A ()d 위의 확률분포요건은 평균보유확산(MPS)과는 E( B ) E( A )의 조건 즉 F B ()d F A ()d이 제외되었다는 점이 다르다. 요컨대 A 에서 B 로의 11) 물론 다음 <정의 3>에서의 위험성의 2차 증가 는 재무관리학에서 개발된 제2차 확률 지배 의 개념을 그대로 수용한 내용이다. 여기서 소개되는 두가지 정의의 동등성 (equivalence)은 제2차 확률지배 에 관한 여러 정리(theorem)들에 의해 명백히 증명 되어 있다. 보다 쉽게 풀이한 내용으로, 예컨대, 독자들은 구본열 국찬표(제5장 확률지 배이론과 MPM이론, 21) 및 Huang itzenberger(chapter 2: Stochastic Dominance, 1988) 또는 Ingersoll(Chapter 5: Generalized Risk, Portfolio Selection, and Asset Pricing, 1987) 등을 참조할 수 있다

25 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 위험성의 2차 변화는 그 기대손실액을 명백히 증가시킬 수 있다(즉, E( B ) E( A )) 12). 이런 위험성의 2차 증가가 발생하는 경우, RRA 1+ARA(h/h +-x) 과 RP 2+AP(h/h +-x)이 동시에 충족되면 이제 리스크관리자의 최적손실 통제에의 지출은 증가하게 된다. <정리 4> 위험성의 2차 증가와 최적손실통제 A d B +δ(단, E(δ B ) )이면 h(x) { RRA(Y) 1+ARA(Y) +-x h (x) h(x) RP(Y) 2+AP(Y) +-x h (x) x B x A (증명) 앞에서 H B (x A )-H A (x A )의 식은 다음과 같이 나타났다. H B (x A )-H A (x A ) -Ψ () E( A )-E( B ) + Ψ () t F B (t)-f A (t) dt d 위의 식 우변에서, 위험성이 2차 변화하는 경우, 첫번째 항 안의 E( A )-E( B )은 t 음(-)의 값을 갖고 두번째 항 안의 z F B (z)-f A (z) dz도 음(-)의 값을 가진 다(<정의 4>의 2 참조). 따라서 H B (x A )-H A (x A ) 의 조건은 Ψ () 과 Ψ () 이 동시에 성립하는 것이고, 이 조건은 각각 <정리 1>과 <정리 2>로부터 12) 하지만 변동위험성의 경우는 와 A 간의 통계학적 상호의존성에 따라 Var( B ) Var( A )및Var( B ) Var( A )의 가능성을 모두 유추할 수 있다. 예컨대 δ와 A 가독 립적이거나 또는 모든 A 에 대해E(δ A ) c (단, c는 상수)이면Var( B ) Var( A )가 된다

26 보험개발연구 제17권 제2호 각각 RRA 1+ARA(h/h +-x) 및RP 2+AP(h/h +-x)이 된다. Q.E.D. <정리 4>에 나타난 두 충분조건은, Ψ () 과 Ψ () 으로부터, 동등한 표 현으로 다음과 같이 표현할 수도 있다. -2h (x) AP(Y) 2ARA(Y) (5) h(x) 1+h (x) 우리는 위의 조건이 상당히 제약적임을 알 수 있다. 먼저, 위의 조건은, AP 그리고 h 이므로, 1+h (x) 이 충족되는 의 구간에서만 성립하는 식이 된다. 또한 위의 부등식에서 AP 2ARA의 관계는 일정절대위험회피(CARA) 및 증 가절대위험회피(IARA) 그리고 일부의 감소절대위험회피(DARA) 효용함수에서 성 립할 수 있는 식이다. 그 이유는 비감소절대위험회피형(non-decreasing absolute risk aversion) 효용함수에서는 절대위험회피도(ARA)가 절대검약도(AP)보다 같 거나 큰 값을 갖기 때문이고(Kimball, 199), 또한 DARA에서는 ARA AP이므로 그 일부에서만 AP 2ARA이 되기 때문이다 13). Ⅳ. 보험수요모형에의 적용 확률지배이론은 보험경제학에서 빈번히 언급되는 이론임에도 불구하고 (Eeckhoudt Gollier, 1995), (Eeckhoudt Gollier Schlesinger, 1996), 13) Kimball(199)은 다음의 결과를 입증했다. 13) DARA ARA AP 13) IARA ARA AP 13) IARA 13) 즉, 절대검약도 AP는 효용함수가 DARA(IARA)의 성향을 보이는 경우에만 한해(if and only if) 절대위험회피도 ARA보다 큰(작은) 값을 가지게 된다

27 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 (Eeckhoudt Gollier, 2), (Doherty, Ch.2, 2))의외로 위험성과 관련해 명백하게 보험수요 의 모형에 적용된 예는 찾아보기가 쉽지 않다. 특히 외견상 가 장 간단하게 활용할 수 있을 것처럼 보이는 제1차 확률지배(FSD)의 경우는 더욱 그 분석의 예가 드물다. 그 이유는 단적으로 위험성의 변화가 보험요율산정에 영향 을 미칠 수 있기 때문인 것으로 이해된다. 이것이 손실통제의 모형과의 가장 큰 차 이점이다. 예컨대, 보험료가 보험계리적인 순보험료에 비례하는 경우, 손실위험의 위험성이 1차증가하면 순보험료의 스케쥴이 변하기 때문에 우리가 지금까지 분석 의 틀로 사용한 식(4)을 활용하기가 어렵다. 예컨대, 위험성의 증가( A B )에 의해 보험료가 변하는 경우(P A P B ), 같은 양의 보험을 구입하더라도 기말자산의 크기가 달라지기 때문에(Y A Y B, Y A Y B ), 식(4)은 다음의 형태가 된다 14). H B (x A )-H A (x A ) Ψ A ()-Ψ B () - Ψ A ()F A ()-Ψ B ()F B () d 위의 식으로 부터는 어떤 의미있는 충분조건을 유도해 내기가 어렵다. 하지만 위 험성이 평균보유확산(MPS)하는 경우는 보험수요모형에서도 분석이 가능하다 ((Alarie Dionne Eeckhoudt, 1992), (류근옥 홍순구, 22)). 순보험료에 비 례하는 영업보험료를 가정하면 위험성의 2차증가는 순보험료 즉, 부보위험의 기대 값에는 영향을 주지 않기 때문이다 15). 14) 물론 이 식은 보험수요의 모형이 아니고 손실통제모형에서 빌려온 식이다. 단지 지적하 고 점은 보험의 경우, 손실통제와 비교해, 위험성 변화에 따라 보험료 스케쥴이 변하면 식이 이렇게 다루기 힘든 형태로 변형된다는 것이다. 관련 보험모형의 식은 뒤에 나오는 식(6)을 참조하기 바란다. 15) 보험수요의 이론에서 가장 자주 활용하는 보험료 산정 모형이다(Schlesinger, 2). 보험실무에서도, 보험사는 위험분산을 목적으로 다수의 동질적 위험들이 결합시키고, 또 이 때 보험가격은 일반적으로 평균손실액 즉, 순보험료를 기준으로 산정된다(Witt Hogan, 1993)

28 보험개발연구 제17권 제2호 1. 평균보유확산(MPS)과 최적보험 수요 먼저, 우리의 분석모형에서, 보험계약은 비례보험계약(coinsurance contract)이 가능하고, 보험료는 보상금액의 기대값인 순보험료와 그에 비례하는 부가보험료로 결정됨을 가정한다. 예컨대, a( a 1)를 비례보험계수 그리고 λ( )를 부가 보험료 요인 으로 정의하면, 만큼 보험을 구입하는 경우 보험계약자가 납입하는 보 험료는 다음과 같은 크기를 지니게 된다. a 1 ap (1+λ) ae(), λ 위의 보험료스케쥴을 이용하면, 이제 초기의 부 를 보유하고 있는 보험계약자가 비례보험을 구입하는 경우, 기간말 보험계약자의 와 그 기대효용은 각각 다음과 같이 표시될 수 있다. Y -ap-(1-a) E u(y) u -ap-(1-a) f()d K(a) K를 극대화하는 데 필요한 1차조건은 아래의 식으로 나타난다 16). K (a) u -ap-(1-a) (-P+)f()d K (a) Φ()f()d 16) K (a) u -ap-(1-a) (-P+) 2 f()d - 3 -

29 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 위의 1차건으로 부터 최적보험계수 a*가 a* 1이 될 부가보험료 요인의 조 건은 K () 및K (1) 에서 다음 식으로 정리된다. Cov u (Y), λ E u (Y) E() 우리는 위의 부가보험료 조건이 충족된다고 가정하고 분석을 계속한다. 1차 조건 의 식에서 Φ() u -ap-(1-a) (-P+)으로 정의하면, <보조정리>의 식(2)에서와 같이 K (a)는 부분적분을 통해 다음과 같이 변형될 수 있다. K (a) Φ()-Φ () -E() + Φ () t F(t)dt d 우리는 손실위험 B 는 손실위험 A 의 위험성이 2차 증가 한 위험이라고 정의하 고, 아울러 다음과 같이 손실위험 A 및 B 에서의 최적 보험수요를 각각 a A 및 a B, 그 리고 손실위험 A 및 B 에서의 기대효용을 각각 K A 및 K B 라고 표기하기로 한다. 즉, K A (a A ) K B (a B ) 이제 위의 개념과 기호들을 이용하면 우리는 손실위험의 위험성이 2차 증가하는 경우 보험수요가 증가하기 위한 충분조건을 유도할 수 있다. 요컨대 손실위험의 위 험성이 평균보유확산(MPS)하는 경우, RP(Y) 2+AP(Y) (-P)이면 보험구 입량은 증가한다. <정리 5> 평균보유확산(MPS)과 최적보험수요 A d B +β(단, E(β B ) )이면 RP(Y) 2+AP(Y) (-P) a B a A

30 보험개발연구 제17권 제2호 (증명) a B a A 이 되기 위해선 다음 식 K B (a A )-K A (a A )는 양(+)의 값을 가져야 만한다. K B (a A )-K A (a A ) Φ () t F B (t)-f A (t) dt d (6) 위의 식에서 Φ () 이면 K B (a A )-K A (a A ) 이 된다. 그리고 Φ ()은 다 음과 같은 식이 된다. Φ () -(1-a 1 )u (Y)(-P+)+u (Y) Φ () (1-a 1 ) u (Y)(-P+)+2u (Y) 위의 식에서 Φ () 의 조건은 위의 식 괄호 의 조건과 일치한다. 한 편 의 조건은, AP(Y) -u (Y)/u (Y)와 RP(Y) Y AP(Y) 및 (-ap-y)/(1-a)임에 유의하면, <정리 6>에서 제시한 충분조건과 일치하는 것 을 확인할 수 있다. 즉, u (Y 1 )(-P+)-2u (Y 1 ) RP(Y) 2+AP(Y) (-P) Q.E.D. <정리 5>의 충분조건은 보다 간단히, AP 그리고 P 임을 기억하면, 보험계 약자의 상대검약도(RP)가 2 보다 작은 경우 손실위험성의 평균보유확산(MPS)에 대해 보험계약자는 보험구입량을 증가시키는 것으로도 표현할 수 있겠다 17). 한편 위의 Φ () 식은 Rothschild Stiglitz(1971)의 방법론을 따라 정리하면 17) 우리의 모형에서 은 재산위험의 손실액으로 그 범위가 로 제한되어 있으므로 보험구입이 가능한 보험료범위는 P 이 된다

31 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 다음 식이 된다 18). Φ () (1-a 1 ){u (Y 1 )RRA (Y 1 )-u (Y 1 ) 1-RRA(Y 1 ) } +(1-a 1 )u (Y 1 )(-P) 19) 따라서 Φ () 의 조건은 부보위험의 위험성이 평균보유확산(MPS)하는 경 우, (1) 보험계약자의 효용함수가 감소하는 절대위험회피성향(DARA) 및(2) 증 가하는 상대위험회피성향(IRRA) 을 보이고 또한 (3) 상대위험회피도(RRA)가 1 보다 작으면, 보험계약자는 더 많은 보험을 구입하는 것으로도 해석된다. 위의 풀이 는Φ () 의 조건을 Arro-Pratt의 위험회피도로만 해석했기 때문에 일련의 복합적인 조건으로 표현됐다. 하지만, 우리는 더욱 제약적인 효용함수의 개념 AP 및 RP를 이용해 Rothschild Stiglitz(1971)에서 보다 간명하게 표현할 수 있었다. V. 요약 및 맺음말 확률지배이론은 불확실성하의 주된 의사결정기준의 하나임에도 불구하고 의외로 보험경제학 분야에서는 그 활용의 예가 많지 않다. 이 논문에서는, 주로 제1차 및 제2차 확률지배이론을 원용해, 위험성의 증가 및 위험성의 변화가 최적손실통제에 미치는 영향을 분석해 보았다. 우리의 손실통제모형에서, 특히 자산의 제2차 확률 지배원칙 을 손실위험의 위험성에 적용시키는 데는 보다 제약적인 효용함수의 조 건이 요구된다. 우리는 위험성의 제2차 확률지배 적 변화가 리스크관리자의 최적 손실통제에의 지출을 증가시킬 수 있는 충분조건을 Kimball(199)의 절대검약도 (AP) 및 상대검약도(RP)의 개념을 이용해 유도해냈다. 우리의 연구결과는 다음 18) 다음 식의 유도과정과 해석은 류근옥 홍순구(22)에서 확인할 수 있다. d d Yu (Y) 19) 위의 식에서 RRA (Y 1 ) RRA(Y) - 로 정의된다. dy dy u (Y)

32 보험개발연구 제17권 제2호 <표 1>로 요약될 수 있겠다. 현실적으로, 우리 논문의 분석결과는, 손실위험의 기대값이 증가하거나 또는 손 실위험의 변동가능성(variability)이 증대되는 경우, 우리의 직관과는 다르게, 위험 회피형 리스크관리자는 위험통제에의 비용지출을 오히려 감소시킬 수 있는 가능성 을 함께 제기해 준다. 예를 들어 리스크관리자의 상대위험회피도(상대검약)가 1(2) 보다 충분히 큰 경우, 손실통제의 기술수준에 따라 다르기는 하지만, 위험성 의 1차(2차)에 대해 손실통제에의 투자지출을 줄일 수도 있게 된다. 이런 이론적인 의문점은 실증분석을 통해 보다 명확한 답을 기대할 수 있을 것이다. 하지만 손실통 제의 경우는, 효용함수에 관한 추정 외에도, 실증분석에의 추가적인 어려움이 있을 것으로 예상된다. 무엇보다 손실통제의 기술수준에 관한 계량화가 필요하기 때문이 다. 아마도 상대적으로 보다 손쉬운 검증방법은 주식시장의 투자자 및 보험시장의 피보험자를 대상으로 한 행태분석일 것으로 추정된다. 특히 제Ⅳ장에 서술된 우리 의 보험수요 분석에서, 부보위험의 위험성이 평균보유확산(MPS)하는 경우 보험계 약자는 더 많은 보험을 구입하기 위한 핵심조건의 하나로 상대위험회피도가 1 보 다 작을 것이 요구됐었다. 하지만 상대위험회피도가 1 보다 작아야 하는 조건은 종종 다른 실증분석들의 연구결과와 일치하지 않는다. 많은 경우 상대위험회피도는 2 또는 3 의 크기를 나타낸다(Eeckhout Gollier, Ch.1, 1995). 이런 결과들 은 위험성의 증가가 보험구입을 감소시킬 수 있는 현실적 가능성을 뒷받침해 준다. 요컨대 우리의 이론적 분석 결과를 확인하기 위해서는 1차적으로 보험시장에서의 보다 정교한 검증이 요구된다. 우리의 연구결과를 뒷받침하기 위한 실증분석은 효 용함수에 관한 형태를, 특히 절대검약 및 상대검약의 크기를, 추정하는 것으로부터 시작되어야 할 것이다. 우리의 이론적 논의는 Whitemore(197)에 의해 개발된 제3차 확률지배이론에 까지 확장될 수 있다. 예컨대 우리의 분석모형에서 <도움정리> (2)의 식을 한 번 더 부분적분하면 Ψ ()을 포함하는 최적조건의 식 <도움정리> (3)을 유도할 수 있는 데, 이 식에 Kimball(1992)의 절대절제(AT: Absolute Temperance) 및 상대절제 (RT: Relative Temperance)의 개념을 적용하면 손실위험의 위험성이 제3차 확률 지배의 형태로 변형되는 경우에 대한 비교정태분석이 가능하다 2). 하지만 이런 경

33 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 우 손실위험에 대한 위험성의 변화를 직관적으로 파악하기가 쉽지 않아 위험성의 증가에 대한 보다 정교한 개념설정이 필요하다. 또한 절대절제(AT) 및 상대절제 (RT)의 효용함수 개념도 아직은 그 활용도가 매우 낮아 우리에게 익숙치 않은 개념 이기도 하다 21). 이에 관한 연구는 후일을 기약하기로 한다. 2) 절대절제(AT) 및 상대절제(RT)의 정도(degree)는 u (Y), u (Y), u (Y) 및 u (Y) 의 가정 하에 다음과 같이 정의된다. u (Y) u (Y) AT(Y) -, RT(Y) Y AT(Y) -Y u (Y) u (Y) 21) 드물지만, 보험학 관련분야에서 절대절제(AT)의 활용예는 Eeckhoudt Gollier Schlesinger(1996)에서 찾아볼수있다

34 보험개발연구 제17권 제2호 <표 1> 위험성의 변화와 손실통제증가에의 충분조건 구분 확률변수의 확률분포의 요건 손실통제 증가에의 요건 충분조건 비고 위험성의 1차 증가 B d A +α α( )는 확률변수 F B () F A () RRA 1+ h ARA( ) +-x h 1차 확률지배 형태의 위험 증가 E( B ) E( A ) 평균보유확산 (MPS) B d A +β E(β A ) z F B ()d z F A ()d, F B ()d F A ()d RP 2+ h AP( ) +-x h 보험수요 증가에의 충분조건: RP 2+AP(-P) 평균보유확산 (MPS) 형태의 위험 증가 E( B ) E( A ) Var( B ) Var( A ) 위험성의 1차 증가와 평균보유확산 (MPS)의 동시적 발생 B d A + E( A ) RRA(Y) 1+ h ARA(Y)( ) +-x h RP 2+ h AP( ) +-x h 제1차 확률지배와 평균보유확산 (MPS)이 결합된 형태의 위험 증가 E( B ) E( A ) 위험성의 2차 증가 A d B +ε E(ε A ) z F B ()d z F A ()d RRA 1+ h ARA( ) +-x h RP 2+ h AP( ) +-x h 제2차 확률지배 형태의 위험 증가 E( B ) E( A )

35 확률지배이론으로 분석한 위험성의 증가와 최적손실통제 참고문헌 구본열 국찬표, 제5장 확률지배이론과 MPM이론, 현대재무론, 제3판, 서울: 비봉 출판사, 21, pp.159~176. 류근옥 홍순구, 위험성의 증가와 최적보험수요, 리스크관리연구, 제13권, 제2호, 한 국리스크관리학회, 22, pp.61~95. 정홍주 홍순구, 제1장 위험과 위험관리, 보험경제론, 보험연수원, 1996, pp. 5~42. Alarie, Y., G. Dionne, and. Eeckhoudt, Increase in Risk and the Demand for Insurance, in Contributions to Insurance Economics, ed. by G. Dionne, Kluer Academic Publishers, 1992, pp.275~29. Brumelle, Shelby., When does Diversification Beteen to Investments Pay?, Journal of Financial and Quantitative Analysis, June 1974, pp.473~482. Doherty, N. A., Chapter 2: Risk and Utility: Economic Concepts of Decision Rules, Integrated Risk Management: Techniques and Strategies for Managing Corporate Risk, McGra-Hill Companies, Inc., 2, pp.17~6. Eeckhoudt,., and C. Gollier, Chapter 6: A Smorgasbord of Subjects, Risk Evaluation, Management and Sharing, Harvester Wheatsheaf, 1995, pp.84~98., Chapter 9: Portfolio Choices Under Uncertainty, Risk Evaluation, Management and Sharing, Harvester Wheatsheaf, 1995, pp.117~152., Chapter 1: The Demand for Insurance, Risk Evaluation, Management and Sharing, Harvester Wheatsheaf, 1995, pp.153~186., The Effects of Changes in Risk on Risk Taking: A Survey, in Handbook of Insurance, ed. by G. Dionne, Boston: Kluer, 2, pp.117~13. Eeckhoudt,., and C. Gollier, and Harris Schlesinger, Changes in Background Risk and Risk Taking Behavior, Econometrica, Vol.64, No.3, May 1996, pp.683~689. Eeckhoudt,., and M. S. Kimball, Background Risk, Prudence and the Demand for Insurance, in Contributions to Insurance Economics, ed. by G

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38 보험개발연구 제17권 제2호 Abstract We examine the effects of increases in risk on optimal loss control decision. We focus our attentions on the cases that the increases in risk take the form of both first degree and second degree stochastic dominance changes in risk. In particular, e derive a set of conditions, for each type of risk increases, that is sufficient for a risk averse decision maker to increase his investment level on loss control. For the case of risk change in type of first degree stochastic dominance the results of the comparative statics depend on Arro-Pratt measures of risk aversion in a more or less complicated ay. Hoever in the case of risk change in type of second degree stochastic dominance Arro-Pratt measures of risk aversion is no more useful tool to study the comparative statics. In essence, e obtain some meaningful comparative statics results by utilizing Kimball(199) s measures of Absolute and Relative Prudence. Key Words: loss control, stochastic dominance, risk, absolute prudence, relative prudence - 4 -