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3 Contents 01 역학 [차동우] 1 02 양자역학 [차동우] 전자기학 [최은하] 교류 회로 실험 [김익수] RL회로를 이용한 유도기전력의 측정 [최우석] 물리 문항 출제 TOOL [노석호] 유체역학 [변태진] 큐리오시티 만들기 [변태진] 빛과 파동1 [남경식] 첨단기기의 탐구수업 활용 [백종민] 아이들이 협력하며 배우는 수업 만들기 [남경운] 운동센서를 이용한 물체의 운동 분석 [공종일] 고체의 열팽창 실험 [조용근] 반도체를 이용한 논리회로(TTL) [강태욱] 생각을 키우는 열역학 수업 [안종제] 일반 학생을 위한 물리수업 방안 [안종제] 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수 운영 안내 225 과학전시관 교사연수 및 체험프로그램 안내 247

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5 역 학 역 학 차 동 우 (인하대학교 교수) 1. 힘 2. 관성계 3. 뉴턴의 운동법칙 4. 에너지 내 용 목 차 1. 힘 힘은 일상생활에서도 널리 이용된다. 힘뿐 아니라 물리에서 채택하는 많은 물리량의 명칭들이 일상생활에서 쓰이는 것들을 그대로 가져다 사용한다. 그 렇지만 그런 용어들이 물리에서 나타내는 의미는 대부분 일상생활에서의 그것 과 아주 똑같지는 않다. 그래서 물리에서는 어떤 물리량을 정하면 제일 먼저 반드시 그 물리량의 정의를 내린다. 여러분은 물리에서 사용되는 물리량의 정 의가 무엇인지 스스로 생각해내려고 해서는 안 된다. 그 정의는 물리학자들이 따로 정해놓았으므로 혼자서 아무리 골똘하게 생각한다고 해도, 우연히 맞출 수는 있지만, 대부분 제대로 알아내는 것은 불가능하다. 새로운 물리량의 이름에 접할 때마다 그것의 정의를 혼자 생각해서 알아내려는 생각을 버리고 그것이 물리에서 어떻게 정의되어 있는지를 찾아보아야 한다. 그러면 물리에서는 힘을 어떻게 정의했을까? 일상생활에서 힘을 배양하자라 던가 힘만이 살길이다 등으로 흔히 말하는 힘이라는 낱말과 물리학에서 힘이 라고 정의된 물리량 사이에는 상당히 큰 차이가 있다. 고등학교 교과서에는 힘이란 물체의 운동 상태를 변화시키거나 물체의 형태를 변화시키는 원인이라 고 정의되어 있는 경우가 많다. 물체의 운동 상태는 그 물체의 속도를 말한다. 1

6 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 그래서 물체의 운동 상태를 변화시키는 원인이라고 말하면 좀 어렵게 들리지 만 사실은 단순히 물체의 속도를 바꾸는 원인이라는 의미이다. 다시 말하면 물체에 힘을 작용하면 속도가 바뀐다는 것이다. 그리고 이렇게 말하는 것이 바로 앞에서 언급하였듯이 뉴턴의 운동 방정식 가 말해주는 내용과 같 다. 이 식은 질량이 인 물체에 힘 를 작용시키면 물체는 만큼의 가 속도를 갖게 된다고 말한다. 그래서 속도가 바뀌고 있는 물체를 보면 즉 가속 도 운동을 하는 물체를 보면 우리는 바로 이 물체는 힘을 받고 있음을 수 있 다. 또는 움직이고 있더라도 속도가 변하지 않는 물체를 보면 우리는 바로 이 물체는 힘을 받지 않고 있음을 알아채려야 한다. 힘이 물체를 움직이도록 만 드는 원인은 아닌 것이다. 물체의 속도가 바뀌는 것을 보면 우리는 물체가 틀림없이 힘을 받고 있음을 알 수 있다. 그렇지만 물체의 속도가 바뀌는 것만 가지고는 그 물체가 힘을 받고 있다는 사실만 알 수 있을 뿐, 어떤 종류의 힘을 받고 있는지 그리고 그 물체가 힘을 받는 원인은 무엇인지에 등에 대해서는 전혀 알 수가 없다. 그러 므로 힘이란 물체의 속도를 바꾸는 원인이라고 말하는 것은 힘의 정의로 충분 하지 못함을 알 수 있다. 단지 물체가 힘을 받고 있다는 것을 알려줄 뿐 그 힘이 무엇인지는 알려주지 않기 때문이다. 그래서 뉴턴의 운동 방정식 가 힘을 정의하는 식이라고 말할 수가 없다. 어떤 고등학교 교과서에서는 를 힘의 법칙이라고 부르기도 하는데 그것은 잘못된 명칭이다. 힘의 법 칙은 힘을 정의하는 법칙이어야 한다. 는 힘을 받는 물체의 운동이 어 떻게 바뀌는지를 알려주는 법칙이고, 그래서 뉴턴의 운동방정식 또는 뉴턴의 운동법칙이라고 불리는 식이다. 나는 힘을 두 물체가 서로 상호작용하는 정도를 나타내는 물리량이라고 정 의하자고 주장한다. 그러면 힘을 그렇게 정의하는 것이 무슨 의미인지 좀 더 자세히 알아보자. 만일 이 세상에 오직 단 하나의 물체만 존재한다면 이 물체에는 어떤 힘도 작용하지 않는다. 힘이란 두 물체 사이의 상호작용에 의해서 작용하게 되므로 물체가 하나밖에 존재하지 않는다면 상호작용할 대상 물체가 없기 때문이다. 그래서 우리가 힘에 대해 말할 때는 꼭 두 물체씩 짝지어 생각해야 한다. 두 물체가 무엇인가를 주고받으며 상호작용하면 그 효과가 힘이 작용하는 것으로 나타난다. 그러니까 물체 A가 힘을 받는다고 말하면 그것은 물체 A에 힘을 작용한 원인이 되는 물체 B가 반드시 존재한다는 것을 함축적으로 의미하며, 두 물체 A와 B가 상호작용한 결과가 A에 힘을 작용하는 것으로 나타났다고 2 서울특별시과학전시관

7 역 학 말할 수 있다. 따라서 힘에 대해서 말할 때는 물체 B가 물체 A에 힘을 작용 한다고 힘을 작용하는 원인과 힘을 받는 대상을 함께 말하는 것이 좋다. 그뿐 아니라 힘이란 두 물체가 서로 상호작용하는 정도를 나타내는 물리량 이라고 힘을 정의하면 힘에 대해 또 다른 중요한 사실도 알 수 있다. 상호작 용이란 일방적으로 하는 것이 아니기 때문에 만일 물체 B가 물체 A에 힘을 작용한다면 동시에 물체 A도 물체 B에 힘을 작용하여야만 한다. 그래서 물체 B가 물체 A에 힘을 작용한다고 말하면, 바로 힘의 정의에 의해서 물체 A도 물체 B에 힘을 작용한다는 것을 알 수 있다. 이것이 바로 유명한 뉴턴의 작용 반작용 법칙이 말해주는 내용이다. 뉴턴의 작용 반작용 법칙은 뉴턴의 운동법 칙 세 가지 중에서 제3법칙에 대한 다른 이름이다. 뉴턴의 제3법칙은 한 술 더 떠서 A가 B에 작용한 힘과 B가 A에 작용한 힘은 크기가 같고 방향이 반 대이라고 말한다. 그러므로 뉴턴의 제3법칙은 바로 힘이란 두 물체의 상호작 용의 정도를 나타내는 물리량이라는 힘의 정의를 천명하는 법칙이다. 자연의 기본법칙인 운동법칙은 뉴턴의 세 가지 법칙 중에서 제2법칙이다. 그런데 뉴 턴의 운동법칙에 제3법칙을 포함시킨 것은 이처럼 운동법칙인 에 나오 는 힘의 본성이 무엇인지를 정의하기 위함임을 알 수 있다. 두 물체가 상호작용한다면 어떻게 한다는 것일까? 우리는 일상생활에서도 상호작용이라는 말을 사용한다. 일상생활에서 두 사람이 상호작용한다고 하면 무엇인가를 주고받는 것을 말한다. 상호작용하는 두 연인들은 눈길을 주고받 을 수도 있고 편지를 주고받을 수도 있다. 상호작용하는 상인과 손님은 물건 을 주고받거나 돈을 주고받는다. 이처럼 상호작용하는 두 물체도 무엇인가를 서로 주고받는다. 물리에서 두 물체가 상호작용하는 방법 중 하나로 일을 주 고받는 경우가 있다. 물리에서는 A가 B에게 힘 를 작용하면서 B가 변위 만큼 이동하게 했다면 A가 B에게 한 일 는 힘과 변위를 스칼라곱한 것으로 라고 정의된다. 힘과 변위는 벡터양이고 일은 스칼라양이 므로 힘을 정의하는 데는 두 벡터양을 곱하여 스칼라양을 만드는 스칼라곱이 적용된다. 일을 정의한 식을 보면 힘과 변위 사이의 사잇각인 가 보다 더 작을 때는 한 일 가 0보다 크다. 그리고 만일 가 딱 라면 한 일은 0이다. 그 리고 가 90 보다 더 크지만 180 보다 작다면 일은 0보다 더 작다. 다시 말하 면 물체가 힘의 방향으로 이동하면 한 일이 0보다 크고 물체가 힘의 방향과 반대방향으로 이동하면 한 일이 0보다 작다. 이때 일이 0보다 더 크면 상호작 용을 하면서 A가 B에게 일을 준 것이다. 즉 A로부터 B에게 일이 이동한 것이 3

8 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 다. 그러나 만일 일이 0보다 더 작으면 A가 B로부터 일을 빼앗은 것이다. 즉 상호작용을 하면서 일이 B로부터 A에게 이동한 것이다. 힘을 이야기할 때 꼭 힘을 작용한 원인이 되는 물체와 힘을 받은 대상이 되는 물체를 함께 표현하여야 힘이 작용하는 모양을 확실하게 묘사할 수 있는 것과 같이 일을 이야기할 때에도 꼭 일을 하는 원인이 되는 물체와 일을 받는 대상이 되는 물체를 함께 표현하여야 일을 하는 의미가 확실하게 전달된다. 그렇게 표현하면, 힘을 작용한 원인이 되는 물체가 힘을 받은 대상이 되는 물체에게 일을 전달한 것이다. 그리고 만일 그 일이 0보다 작다면 힘을 작용한 원인이 되는 물체가 힘을 받은 대상이 되는 물체로부터 일을 가져간 셈이 된다. 물체가 일을 받으면 그 물체에는 어떤 변화가 나타날까? 물체에 전달된 일 은 절대로 없어지거나 물체가 받지 않은 일이 절대로 저절로 생기지 않는다. 물체가 일을 받으면 그 물체는 다시 다른 물체에 그만한 일을 할 능력을 소유 하게 된다. 이 능력을 에너지라고 부른다. 그래서 물체가 다른 물체로부터 일 을 받으면 그 물체의 에너지가 받은 일하고 똑같은 크기만큼 증가한다. 이 때 이 물체에 일을 해준 물체의 경우에는 일을 해준 만큼 자기의 에너지가 감소 한다. 즉 어떤 물체가 다른 물체에 일을 하면 자신의 에너지는 한 일의 크기 와 똑같은 크기만큼 감소한다. 이것은 마치 은행의 예금 통장과 같다. 돈을 입 금하면 통장의 잔고가 많아지고 출금하면 잔고가 줄어든다. 여기서 넣고 빼는 돈이 일에 해당한다면 통장의 잔고가 에너지에 해당한다. 자연은 일과 에너지에 관한 한 그 출납을 정확히 관리한다. 이것을 사람들 은 에너지 보존법칙이라고 부른다. 그런데 일의 잔고인 에너지는 여러 가지 형태로 존재한다. 그래서 에너지를 부를 때는 열에너지, 전기에너지, 운동에너 지, 퍼텐셜에너지, 화학에너지 등 에너지 앞에 수식어를 붙여 말한다. 열에너 지는 물체가 가지고 있는 열 때문에 일할 능력을 갖게 된 것이다. 운동에너지 는 물체가 움직이는 속도 때문에 일할 능력을 갖게 된 것이다. 이런 식으로 물체가 일을 할 수 있는 능력이 무엇인가에 따라 에너지의 이름을 붙인다. 지금까지 우리는 힘이란 무엇인지, 힘의 본성을 알려주는 상호작용이란 무 엇인지, 힘과 상호작용 사이의 관계는 무엇인지, 두 물체가 힘을 통하여 상호 작용할 때 무엇을 주고받는지 등을 살펴보았다. 그리고 뉴턴의 운동법칙에 포 함된 제3법칙인 작용 반작용 법칙은 힘의 본성을 정의하는 법칙이라고 하였 다. 그러므로 힘에 대해 구체적으로 좀 더 잘 이해하기 위해서는 뉴턴의 작용 반작용 법칙에 나오는 작용과 반작용을 확실히 말할 수 있어야 한다. 그렇게 말할 수 있으면 무엇과 무엇이 상호작용하면서 힘을 작용하는지를 제대로 이 해할 수 있게 된다. 4 서울특별시과학전시관

9 역 학 이제 힘에 대해 상당히 많이 알게 되었다. 그러면 힘이 무엇인지 한 개의 공식으로 말하라면 여러분은 어떻게 답변할 것인가? 많은 학생들이 라 고 말하고 싶을지 모른다. 그러나 이 식은 앞에서 설명한 것처럼 힘을 정의한 식이 아니다. 질량이 인 물체의 가속도 를 관찰하고 이 물체가 크기가 인 힘을 받고 있다고 알 수 있는 식이지만 이 물체가 어떤 종류의 힘을 받는 지 알려주는 식은 아니다. 그리고 나중에 자세히 공부하게 되겠지만, 이 식은 물체가 힘을 받고 어떻게 운동하는지를 결정하는 운동 법칙이다. 그래서 이 식을 물체에 적용하여 물체가 어떻게 움직일지 알기 위해서는 물체에 작용하 는 힘을 미리 알아야 한다. 힘은 상호작용을 하는 정도를 나타내는 물리량이다. 그러므로 어떤 상호작 용을 나타내는 힘이냐에 따라 그 힘을 결정하는 방법이 따로 정해진다. 이렇게 힘을 결정하는 방법을 나타낸 식을 힘의 법칙이라 한다. 예를 들어, 물체들이 각 물체의 질량에 의해 서로 잡아당기는 힘을 만유인력이라 부르고 만유인력 은 뉴턴의 만유인력 법칙에 의해 정해진다. 여기서 뉴턴의 만유인력 법칙은 만유인력이라는 힘을 결정하는 힘의 법칙이다. 우리는 만유인력, 전기력, 마찰력, 탄성력 등 여러 가지 종류의 힘에 대한 이야기를 듣는다. 이들 힘은 각각 그 힘을 결정하는 힘의 법칙으로 구분된다. 전기력을 결정하는 힘의 법칙을 쿨롱 법칙이라 하고 탄성력을 결정하는 힘의 법칙을 후크 법칙이라 부른다. 그래서 힘에 대해 말할 때는 우선 어떤 힘의 법칙으로 결정되는 힘인지를 확실하게 아는 것이 좋다. 2. 관성계 뉴턴의 운동법칙 세 가지 중에서 제1법칙은 관성 법칙이라고 불린다. 관성 법칙은 흔히 물체가 힘을 받지 않으면 원래의 속도를 바꾸지 않고 일정한 속 도로 움직인다고 알려져 있다. 이 법칙은 갈릴레이에 의해 맨 처음 제안되었 다. 그 이전에는 오랫동안 물체가 힘을 받지 않으면 즉 가만히 놓아두면 움직 이던 물체도 정지한다고 생각하여 왔으므로 갈릴레이의 제안은 그 자체로도 아주 획기적인 의미를 갖는다고 할 수 있다. 그렇지만 물체가 힘을 받지 않으면 등속도 운동을 한다는 것은 뉴턴의 운동 제2법칙인 운동방정식 에서 힘이 0이면 물체의 가속도가 0이라는 특별 한 경우에 불과하다. 그러므로 제1법칙인 관성 법칙은 별도의 법칙이기보다는 제2법칙에 속하는 특별한 경우라고도 생각할 수 있다. 그럼에도 불구하고 뉴 턴의 운동법칙 세 가지 중의 하나로 제1법칙을 따로 떼어서 지정하는 데는 뉴 5

10 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 턴의 운동법칙을 설명하는 것과 연관되어 다음과 같은 특별한 의미를 지니고 있기 때문이다. 물체가 움직이는 속도는 누가 관찰하느냐에 따라 다르게 측정된다. 그래서 물체가 등속도 운동을 한다고 하면 누가 측정할 때 등속도 운동을 한 것이냐 는 문제가 대두된다. 동일한 물체를 정지한 관찰자와 그 관찰자에 상대적으로 가속도 운동을 하는 다른 관찰자가 측정한다면, 한 관찰자는 그 물체가 등속 도 운동을 한다고 측정하더라도 다른 관찰자는 가속도 운동을 한다고 측정할 것이다. 그러면 어떤 관찰자의 측정이 그 물체의 운동을 올바로 기술한다고 할 수 있을 것인가? 다시 말하면 물체의 운동은 관찰자에 따라, 또는 측정하 는 기준계에 따라, 다르게 기술되는데, 물체의 운동에 대해 누가 옳은 관찰을 했는가라는 문제가 제기될 수 있다. 제1법칙인 관성 법칙은 바로 이 문제를 확실하게 해주는 법칙이라고 생각할 수 있다. 물체의 운동은, 그 속도가 다르게 측정되는 것처럼, 관찰자에 따라 상대적으로 기술하는 방법이 바뀔지라도, 물체가 받는 힘은, 또는 그 물체와 다른 물체 사이의 상호작용은 관찰자에 따라 상대적으로 바뀌지 않는다. 다시 말하면, 관찰자에 따라 동일한 물체가 받는 힘을 서로 다르게 판단하지 않는 다. 그래서 두 관찰자가 모두 대상 물체가 힘을 받지 않는다고 판단하는데도 불구하고, 한 관찰자는 물체가 등속도 운동을 하고 다른 관찰자는 물체가 가 속도 운동을 한다고 측정하였다면, 제1법칙은 뉴턴의 제2법칙을 적용하기 위 해서는 힘을 받지 않은 물체가 등속도 운동을 하는 것으로 측정한 관찰자에 의해서 물체의 운동이 기술되어야 한다고 말한다. 그리고 역으로 제1법칙은 힘을 받지 않는 물체 또는 작용하는 힘의 합력이 0인 물체의 운동이 등속도 운동으로 기술되는 기준계가 존재함을 천명하는 법칙이라고 생각할 수도 있 다. 그러한 기준계를 관성계 또는 관성기준계라고 부른다. 그리고 어떤 관성계 가 미리 관성계인줄을 알고 있다면, 그 관성계에 대해 상대적으로 등속도 운 동하는 기준계는 모두 관성계이다. 그리고 뉴턴의 제2법칙을 적용하려면 물체 의 운동을 관성계에서 기술하지 않으면 안 된다. 물체의 속도는 관찰자에 따라 다르게 측정되므로 어떤 물체의 진정한 속도는 무엇일까라는 질문이 제기될 수 있다. 지구가 우주의 중심에 움직이지 않고 놓여있다고 생각한 시대에는 그런 질문에 대한 대답이 쉬웠다. 지구에 대해 측정한 속도가 진정한 속도라고 볼 수 있기 때문이다. 그런 경우에 지구를 절 대기준계라고 한다. 진정으로 움직이지 않는 기준이 되는 기준계라는 의미이 다. 그러나 오늘날 우리는 절대적으로 정지해 있는 절대기준계를 생각할 수 없다는 것을 잘 알고 있다. 그래서 물체의 운동을 기술할 때 기준으로 삼는 6 서울특별시과학전시관

11 역 학 기준계가 바로 관성계인 것이다. 절대기준계를 기준으로 측정한 속도를 절대속도라고 한다면 임의의 어떤 기 준계를 기준으로 측정한 속도를 상대속도라고 한다. 절대기준계란 존재하지 않음을 알게 되었으므로 우리가 말하는 속도는 모두 상대속도인 셈이다. 우리 가 흔히 물체의 속도로 인용하는 것은 다른 말이 없으면 대부분 지구에 대한 상대속도이다. 그래서 일반적으로는 물체 A를 기준으로 물체 B의 속도를 측 정하였다면 그 속도를 보통 라고 표시한다. 그래서 물체 A를 기준으로 측 정한 물체 C의 속도를 라 하고, 물체 B를 기준으로 한 물체 C의 속도를 라고 한다면 세 상대속도,, 그리고 사이에는 인 관계가 성립한다. 어떤 기준계가 관성계인지 아닌지 판단하는 방법은 힘을 받지 않거나 작용 하는 힘의 합력이 0인 물체가 등속도 운동을 하는지 아닌지 보는 것임을 이미 배웠다. 관찰의 대상이 되는 물체가 다른 물체로부터 힘을 받는지 아닌지는 힘의 법칙으로부터 잘 알 수 있다. 따라서 어떤 기준계가 관성계인지 아닌지 를 그 관성계 자체의 운동이나 또는 그 관성계에서 측정한 물체의 운동을 보 고 알 수는 없지만 그 관성계에서 측정한 물체가 어떤 힘을 받는지를 보고 판 단할 수 있다. 그러면 관성계가 아닌 기준계인 비관성계에서 물체의 운동을 기술하려고 하 면 어떻게 될까? 예를 들어, 힘을 전혀 받지 않기 때문에, 또는 작용한 힘의 합력이 0이기 때문에 어떤 관성계에서 정지해 있는 물체를 생각하자. 간단한 예로 책상 위에 놓인 책을 들 수 있다. 지구가 책을 잡아당기는 중력과 책상 면이 책을 들어 올리는 수직항력이 서로 상쇄되어 책에 작용하는 합력은 0이 고 그래서 책에 대하여 정지한 기준계에서 본 책은 정지해 있고 이 기준계는 관성계이다. 그런데 그 옆에서 원래 기준계에 대해 가속도 로 가속 운동하는 다른 기 준계에서 이 책의 운동을 관찰한다고 하자. 그 기준계는 관성계에 대해 가속 운동을 하므로 분명히 관성계가 아니고 비관성계이다. 그런데 이 비관성계에 서 책을 관찰하면 책은 정지해 있는 것이 아니라 가속도가 로 가속 운동을 하고 있다. 그러므로 이 비관성계에서 관찰하는 사람은 뉴턴의 운동법칙에 의해 이 책이 인 힘을 받고 있다고 생각한다. 그런데 책이 아무런 힘도 받고 있지 않는 것은 힘의 법칙에 의해 너무 분명 하다. 특히 이 책을 관성계에서 관찰하면, 원래 책이 정지해 있다고 생각하는 관성계 뿐 아니라 모든 다른 관성계에서라도, 책에 작용하는 합력은 0이라는 7

12 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 것을 분명히 알고 있다. 단지 비관성계에서 관찰한 사람만 책에 작용하는 합 력이 0이 아니라고 생각하고, 그에 더해서 그 힘은 책의 질량에 비관성계의 가속도의 음수를 곱한 것과 같다고 생각한다. 비관성계에서만 물체에 작용한 다고 생각되는 이런 종류의 힘을 관성력이라고 부른다. 그래서 관성력은 힘이 아니다. 어떤 힘이 진짜 힘인지 아니면 실제로는 힘이 아닌 관성력인지를 구 별하려면 그 힘의 반작용을 찾아보면 된다. 만일 반작용이 존재하지 않는다면 그것은 힘이 아니다. (가) (나) 관성력을 이해하기 위한 또 다른 예로, 아래 그림 에 보인 버스의 손잡이를 보자. 버스가 정지해 있거 나 등속도로 움직이면 손잡이는 (가)와 같이 연직선 상에 놓여 있다. 그렇지만 버스가 앞으로 점점 더 빨 리 움직이는 가속 운동을 하고 있다면 (나)와 같이 손잡이는 마치 뒤에서 무엇이 잡아당기고 있는 것처 럼 뒤로 기울어져 있다. 그러나 이 손잡이를 뒤에서 잡아당기는 힘은, 우리가 손잡이 뒤쪽을 아무리 살펴 보아도 그러한 힘을 작용하는 원인이 될만한 대상을 찾을 수 없는 것처럼, 존재하지 않는다. 이 손잡이의 운동을 관성계에서 설명해 보자. 손잡 이에는 그림에 보인 것과 같이 중력 와 장력 가 작용한다. 이제 손잡이에 작용하는 모든 힘인 중력과 장력을 더한 합력은 수평방향으로 임을 알 수 있다. 따라서 손잡이의 수평방향 운동에 뉴턴의 운동 방정식을 적용하면, 손잡이가 버스와 똑같은 가속도인 로 가속 운동을 하고 있으므로, 뉴턴의 운동방정식 의 자리에 합력 를 대입하면 됨을 알 수 있다. 8 서울특별시과학전시관

13 역 학 그러면 이번에는 가속도 로 움직이는 버스에 고정된 기준계에서 손잡이의 운동을 기술해 보자. 손잡이의 운동을 관성계에서 기술할 때와 버스에 고정된 비관성계에서 기술할 때의 차이점은, 관성계에서는 손잡이가 버스와 동일하게 가속도 로 움직이지만 비관성계에서는 손잡이가 정지해 있고 그래서 가속도 가 0이라는 점이다. 그런데 손잡이에 작용하는 장력과 중력의 합력은 결코 0이 될 수 없다. 그러므로 손잡이의 가속도가 0이 되기 위해서는 손잡이에 오른쪽 그림에 라고 표현된 다른 힘이 꼭 작용하여야만 한다. 만일 그 힘이 작용한 다면 뉴턴의 운동방정식은 가 되고, 비관성계에서 작용하 는 것처럼 보이는 힘은 이다. 이 힘의 크기는 손잡이의 질량에 비관성계의 가속도를 곱한 것과 같고, 이 힘의 방향은 비관성계의 가속도 방 향과 반대 방향이다. 이런 힘을 관성력 이라 부르고 라고 쓸 수 있다. 이처럼 관성력이란 오로지 물체의 운동을 비관성계에서 기술할 때만 필요한 거짓힘이다. 3. 뉴턴의 운동법칙 우리는 앞에서, 뉴턴이 발표한 운동법칙 세 가지 중에 먼저 제3법칙과 제1 법칙을 알아보았다. 그러나 간단히 뉴턴의 운동법칙이라고 말하면 제2법칙을 의미한다. 제3법칙은 제2법칙에서 이용되는 힘의 본성을 정의한 법칙이고 제1 법칙은 제2법칙을 적용하는 관성계를 정의한 법칙이라고 할 수 있다. 그래서 뉴턴의 운동 제3법칙과 제1법칙은 제2법칙을 분명하게 적용할 수 있도록 보조 하는 의미의 법칙이다. 물리학은 가장 기본이 되는 자연법칙을 다루는 과목이다. 그리고 자연에 존 재하는 기본법칙은 단 한 개다. 그 단 한 개의 기본법칙이 바로 운동법칙이다. 우리가 학교에서 라고 외운 뉴턴의 운동방정식이 바로 운동법칙이다. 이 법칙이 바로 자연의 모든 현상을 설명하는 기본법칙이다. 뉴턴이 이 운동 법칙을 발견하면서 물리학이 시작되었다고 말해도 지나치지 않는다. 뉴턴의 운동 방정식 은 힘을 질량으로 나누어서 가속도를 구하는 간 단한 대수 방정식이 아니다. 이 식은 이라는 미분방정식이다. 방정식 에 미분이 포함되어 있기 때문에 미분 방정식이라고 부른다. 미분방정식의 풀 이는 수가 아니라 함수이다. 미분의 분자에 나오는 변수를 종속변수라 부르고 분모에 나오는 변수를 독립변수라고 부른다. 이처럼 미분이 포함된 미분방정 9

14 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 식의 목표는 종속변수를 독립변수의 함수 로 구하는 것이다. 특별히 를 풀 어 구하는 목표는 종속변수인 를 독립변 수인 의 함수로 즉 를 구하는 것이 다. 그래서 물체가 힘을 받을 때 그 힘을 가지고 뉴턴의 운동방정식을 풀면 물체의 위치인 를 시간의 함수로 구할 수 있다. 그리고 이렇게 구한 풀이 의 에 우리가 알고자 하는 시간 값을 대 입하면 바로 그 시간에 물체의 위치가 무엇인지를 알 수 있는 것이다. 자연의 기본법칙인 운동 방정식이 이처럼 간단하지만, 이 운동 방정식을 실 제로 적용하는 문제는 간단하지 않다. 첫째, 대상 물체가 한 물체에서 여러 물 체로, 그리고 크기를 고려하지 않아도 되는 물체에서 크기를 고려해야 할 물 체로, 또 형태가 변하지 않는 물체에서 유체와 같이 조금만 힘을 받아도 형태 가 변하는 물체로 점점 더 복잡해 질 수 있다. 또한 물체가 받는 힘의 형태가 가장 간단한 변하지 않는 힘에서 위치에 의존하는 힘, 속도에 의존하는 힘 등 으로 더 복잡해 질 수 있다. 여기서는 물체가 가장 간단한 일정한 힘을 받는 경우 운동 방정식을 어떻게 적용할지 보자. 일정한 힘을 받는 물체에 뉴턴의 운동방정식을 적용하는 방법을 배우기 위 해서 옆 그림에 보인 것과 같이 한 물체는 마찰이 없는 경사면 위에 놓여있고 다른 물체는 공중에 매달려 있는 문제를 보자. 두 물체는 도르래를 지나는 줄에 의해 연결되어 있다. 이런 문제에서는 물체가 움직이는 가속도와 두 물체를 잇는 줄에 걸리는 장력을 구하라고 묻는다. 이렇게 뉴턴의 운동 방정식을 적용하는 문제를 풀 때는 다음과 같은 순서를 따르면 좋다. 첫째, 문제에 나오는 물체를 모두 찾는다. 뉴턴의 운동방정식에 서 물체는 그 물체의 질량으로 대표된다. 그리고 뉴턴의 운동방정식은 각 물 체마다 한 번씩 따로 적용된다. 그래서 뉴턴의 운동방정식을 적용할 물체를 찾아내는 것이 가장 중요한 일이다. 둘째, 각 물체에 작용하는 힘을 모두 찾는다. 뉴턴의 운동방정식 에 나오는 힘 로는 이 식의 질량 으로 대표되는 물체가 받는 모든 힘의 합력을 이용해야 한다. 그래서 물체에 작용하는 힘을 하나라도 빠뜨리면 뉴턴의 운동방정식의 풀이가 제대로 맞는 답을 주지 못한 다. 셋째, 마지막으로 각 물체에 물체가 받는 합력을 이용하여 뉴턴의 운동방 정식을 적용해 물체의 가속도를 구한다. 그러면 위의 순서를 따라 그림에 나온 문제를 풀어보자. 첫째, 이 문제에 나 10 서울특별시과학전시관

15 역 학 오는 물체는 경사면에 놓인 물체와 줄에 매달린 물체 두 개를 생각할 수 있 다. 제대로 하자면 도르래와 두 물체를 연결한 줄도 물체에 포함시켜야 한다. 그런데 도르래를 고려하자면 회전운동을 생각하여야 하는데 우리는 아직 회전 운동을 다룰 준비가 되어 있지 않으므로 도르래를 무시하기로 하자. 문제에 도르래의 마찰이 없다든지 아니면 도르래의 질량이 0이라고 나와 있다면 도르 래를 없다고 취급하라는 이야기와 같다. 그리고 엄밀히 하자면 두 도르래를 연결한 줄도 물체의 하나로 고려하여야 한다. 그런데 줄을 고려하면 문제가 필요이상으로 복잡해진다. 줄의 질량이 0이거나 또는 줄의 가속도가 0이면 줄 의 양끝이 그 끝에 연결된 물체를 잡아당기는 두 장력의 크기가 같다고 놓을 수 있다. 둘째, 그림에서 대상이 되는 두 물체 즉 경사면에 놓인 물체와 줄에 매달린 물체에 작용하는 힘을 모두 찾자. 경사면에 놓인 물체에 작용하는 힘으로는 그림에 보인 것처럼, 지구가 잡아당기는 중력, 줄이 잡아당기는 장력, 그리고 경사면이 물체를 떠미는 수직항력 등 세 가지이다. 오른쪽 줄에 매달린 물체에 작용하는 힘으로는 그림에 표시된 것처럼, 지구가 잡아당기는 중력과 줄이 잡아당기는 장력 등 두 가지뿐이다. 셋째, 이제 경사면에 놓인 물체와 줄에 매달린 물체에 작용하는 힘을 모두 찾았으므로 각 물체에 작용하는 합력을 구한 다음 뉴턴의 운동방정식을 적용 하면 된다. 뉴턴의 운동방정식을 적용하기 위해서는 free-body diagram라고 불 리는 도표를 그리면 편리하다. 그렇게 하기 위해서는 다시 다음 순서를 따른다. 첫째, 좌표계를 정한다. 좌표계를 정한다는 것은 원점을 정하고 좌표축과 각 좌표축의 +방향을 정한다는 것이다. 둘째, 뉴턴의 운동방정식을 적용하려는 물체를 원점에 놓고 그 물체에 작용 하는 힘을 모두 표시한다. 이렇게 하는 것을 free-body diagram을 그린다고 말 한다. 셋째, 물체의 가속도를 각 좌표축 방향의 성분으로 나타내고 가속도의 각 좌표축 성분을 등으로 놓는다. 이때 구속조건에 의해 가속도의 성분 중 일부가 미리 정해져 있다면 그것을 이용 한다. 넷째, 각 좌표축 성분마다 뉴턴의 운동 방 정식을 세워서 푼다. 뉴턴의 운동방정식은 벡터 방정식으로 가 된다. 이런 벡터 방정식을 직접 풀 수는 없다. 이것을 풀려면 11

16 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 각 축 방향 성분으로 와 같이 써야 한다. 먼저 경사면에 놓인 물체의 free-body diagram을 그리자. 좌표계를 정하기 위 해서 좌표축을 옆 그림에 보인 것처럼 정하면 편리하다. 좌표축을 어떻게 정 하더라도 괜찮지만 될 수 있는 대로 많은 수의 힘이 좌표축과 평행하도록 좌 표축의 방향을 정하는 것이 더 편리하기 때문이다. 경사면에 놓인 물체의 질 량을 이라 하고, 이 물체에 작용하는 장력과 수직항력을 각각 과 이라 고 부르자. 그런데 free-body diagram을 위 그림에 보인 것과 같이 좌표축이 수평방향과 연직방향을 향하지 않고 비스듬한 방향을 향하면 이해하기에 약간 불편하기 때문에 아래 그림에 보인 것과 같이 다시 그려보자. 그리고 경사면에 놓인 물 체에 적용하는 뉴턴의 운동방정식을 축 방향 성분과 축 방향 성분으로 나 누어 쓰자. 질량 의 축 방향 가속도를, 축 방향 가속도를 라 하면 두 개의 뉴턴의 운동 방정식은 축 방향 :, 축 방향 : 가 된다. 다음으로 줄에 매달린 물체에 대한 free-body diagram을 그리자. 좌표축을 그 림에 보인 것과 같이 정하면 좋은데 앞 에서 경사면에 놓인 물체에 대해 이미 그려놓은 free-body diagram과 일관되게 정하기 위해 아래쪽을 방향으로 정하 였다. 그러나 이 방향을 어떻게 정하더 라도 결과에는 아무런 영향을 미치지 않는다. 줄에 매달린 물체의 질량을 이라고 하면 물체에는 그림에 보인 것처럼 축의 방향으로 중력 그리고 축 방향으로 장력 가 작용한다. 줄에 매달린 물체의 방향 가속도를 라 하면 줄에 매달린 물체에 대한 뉴턴의 운동 방정식은 축 방향 : 가 된다. 이 물체는 위아래 방향으로만 움직이므로 방향의 운동은 생각해주지 않아도 좋다. 12 서울특별시과학전시관

17 역 학 이제 풀어야 하는 식의 수는 모두 세 개이 다. 그런데 이들 세 식을 이용하여 구해야할 미지수인 물리량은 질량 의 가속도 와, 질량 의 가속도, 질량 에 작용 하는 수직항력 과 장력, 그리고 질량 에 작용하는 장력 등 모두 여섯 개이 다. 구할 미지수는 모두 여섯 개인데 풀 방 정식은 세 개뿐이다. 어떻게 된 일인가? 뉴턴의 운동방정식은 힘이 주어지면 물체의 가속도를 구하는 운동법칙이라 고 하였다. 물체에 작용하는 힘은 힘의 법칙으로 미리 주어진다. 그런데 수직 항력이나 장력과 같은 구속력은 힘의 법칙으로 미리 알 수 있는 힘이 아니다. 구속력은 운동방정식을 풀어서 구해야 한다. 즉 운동법칙에 의해 물체가 움직 이는데 주위 환경에 의해 운동이 구속되기 때문에 작용되는 힘이다. 이렇게 구속력이 작용할 때는 물체의 운동을 제한하는 구속조건이 존재한다는 뜻이고 이 구속조건에 의해 우리는 문제를 풀지 않고서도 알 수 있는 것이 있게 마련 이다. 이 문제의 경우에는 경사면에 놓인 물체는 경사면을 따라서만 움직이도록 구속되어 있다. 그래서 질량 은 축 방향으로는 움직이지 않는다. 그러므로 우리는 문제를 풀지 않고서도 축 방향의 가속도 가 0임을 알 수 있다. 또 두 물체는 줄에 의해 연결되어 있다. 줄이 늘어나지도 줄어들지도 않는다면 두 물체가 움직이는 모습은 똑같아야 한다. 다시 말하면, 질량 의 축 방향 가속도인 와 질량 의 축 방향 가속도인 가 같다는 것을 문제를 풀지 않고서도 알 수 있다. 마지막으로, 나중에 자세히 알게 되겠지만, 질량을 무시 할 수 있는 줄의 양끝이 물체를 잡아당기는 장력의 크기는 같다는 점도 문제 를 풀지 않고서도 미리 알 수 있다. 이 세 가지 구속조건을 식으로 쓰면 구속조건 1 :, 구속조건 2 :, 구속조건 3 : 이 된다. 구속조건을 이용하여 원래 식을 다시 쓰면 우리가 풀어야 할 세 식은,, 가 된다. 13

18 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 4. 에너지 물체가 받는 힘이 일정하지 않고 변하면, 일반적으로는 뉴턴의 운동 방정식 인 미분 방정식을 풀어야 한다. 그렇지만 일과 운동에너지라는 새로운 물리량 을 도입하면 뉴턴의 운동 방정식을 일-에너지 정리라고 알려진 간단한 관계로 표현할 수 있다. 즉 일-에너지 정리는 새로운 법칙이 아니라 뉴턴의 운동방정 식을 다른 형태로 표현한 것에 불과하다. 이제 일-에너지 정리가 뉴턴의 운동 방정식으로부터 어떻게 유도되는지 보자. 뉴턴의 운동방정식의 양변에 을 스칼라곱한 것을 라고 쓸 수 있다. 이 식의 세 번째 등식에서는 의 밑에 위치한 분모에 나온 를 의 밑에 위치 한 분모로 이동하였을 뿐이다. 이제 이 식을 풀기 위해 양변을 적분하자. 양변 을 적분한 결과를 등식으로 만들려면, 정적분을 하 여야 하는데 이 식에서 가장 왼쪽 변의 적분은 에 대한 적분이고 가장 오른쪽 변의 적분은 에 대한 적분이 된다. 위치벡터가 인 곳에 물체가 있을 때 물체의 속력을 이라 하고 위치벡터가 인 곳에 물체가 있을 때 물체의 속력을 라 하면 이 식을 적분한 결과는 라고 쓸 수 있다. 이 식의 좌변은 바로 물체가 인 힘을 받으며 으로부 터 인 곳까지 이동하는 동안 받은 일이다. 그리고 우변은 물체가 그렇게 이 동하는 동안 물체의 운동에너지가 변화한 양이다. 그리고 이 식을 유도하면서 특별히 를 운동에너지라고 부르게 되었다. 한편, 우리는 흔히 물체를 위로 들어 올리면 그 물체의 위치에너지가 증가 한다고 말한다. 그래서 마치 물체의 속력에 의해 그 물체가 지닌 운동에너지 14 서울특별시과학전시관

19 역 학 가 정해지듯이 물체의 높이에 의해 그 물체가 지닌 위치에너지라 불리는 어떤 에너지가 정해지는 모양이라고 생각하기 쉽다. 그러나 위치에너지란 물체가 가지고 있는 에너지가 아니다. 그리고 위치에너지란 영어로 potential energy라 고 부르는 것을 번역한 용어인데 potential이라는 영어 단어는 위치란 의미를 가지고 있지 않다. 그런 이유에서 위치에너지라고 부르는 것을 퍼텐셜에너지 라고 부르는 책이 많아지고 있다. 나도 퍼텐셜에너지라는 용어를 사용하는 것 이 좋다고 생각한다. 퍼텐셜에너지를 제대로 이해하기 위해서 옆의 그림에 보인 것처럼 일정한 속도로 들어 올리는 상자를 생각하자. 그림에서 상자에 작용하는 힘은 두 가 지이다. 하나는 지구가 상자를 연직 아래방향으로 잡아당기는 중력 이고 다른 하나는 내가 줄을 통하여 연직 위 방향으로 들어 올리는 힘 이다. 상자 에 작용하는 합력이 0이어야 하므로 내가 들어 올리는 힘의 크기 는 중력의 크기 와 같고 이 두 힘의 방향은 정 반대이다. 이제 일의 정의를 상자에 작용된 두 힘에 적용해 두 힘에 의해 상자에 한 일을 구해보자. 상자가 변위 만큼 위로 올라갔을 때까지 내가 힘 를 통하 여 상자에 한 일 는 상자에 작용한 힘의 방향과 상자가 이동한 변위의 방 향이 같으므로 이다. 내가 상자에 0보다 더 큰 일을 해 주었 으므로 내가 상자에 한 일만 생각하면 일-에너지 정리에 의해 상자의 에너지 는 증가해 있을 것이다. 그런데 상자가 등속도로 움직이고 있으므로 적어도 상자의 운동에너지는 증가하지 않았다. 상자에는 내가 들어 올린 힘 이외에도 지구가 잡아당기는 중력이 작용하고 있다. 상자가 이동한 변위의 방향과 중력의 방향이 정 반대이므로 지구가 상 자에 한 일 은 로 0보다 작다. 이 일이 0보다 작으므로 지구는 중력을 통하여 상자의 에너지를 빼앗아 갔다고 말할 수 있다. 그런데 지구가 상자로부터 빼앗아 간 일의 양은 내가 상자에 해준 일의 양과 똑같다. 그러므로 내가 상자에 해 준 일을 상자는 고스란히 빼앗겨버린 것이다. 그러 면 이 일은 어디로 갔을까? 이렇게 빼앗긴 에너지는 흔히 위치에너지라고 불 리는 퍼텐셜에너지가 되었다. 이제 퍼텐셜에너지가 무엇인지 자세히 살펴보자. 우리는 앞에서 뉴턴의 운동방정식을 일-에너지 정리로 바꾸는 과정에서 운 동에너지에 대한 표현이 정의되었음을 보았다. 그 식을 여기에 다시 쓰면 15

20 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 이다. 이 식의 는 물체에 작용하는 모든 힘을 합한 합력을 대표한다. 그런 데 여기서는 가 물체에 작용하는 단 하나의 힘으로 중력이거나 또는 탄성 력이라고 하자. 이런 힘들은 퍼텐셜에너지로 대표될 수 있고, 퍼텐셜에너지로 대표될 수 있는 힘을 특별히 보존력이라고 부른다. 마찰력을 제외한 다른 힘 들은 모두 보존력이라고 생각하면 아주 틀리지는 않는다. 보존력 에 대한 퍼텐셜에너지 를 다음과 같이 로 정의한다. 여기서 이 식의 아래 적분 구간인 는 퍼텐셜에너지의 기준점이 라고 부르는 위치를 가리키는 위치벡터로 퍼텐셜에너지의 기준점이란 퍼텐셜 에너지가 0이라고 정한 점을 말한다. 그러면 우리가 잘 알고 있는 몇 가지 보존력에 대한 퍼텐셜에너지가 어떻게 표현되는지 알아보자. 먼저 중력을 생각한다. 질량이 인 물체에 작용하는 중 력을 기술하기 위해 연직 위방향을 방향으로 정하자. 그러면 중력 퍼텐셜 에너지 는 임을 알 수 있다. 중력 퍼텐셜에너지에 대한 표현식을 가만히 보면 만일 기준 점을 라고 정하면 중력 퍼텐셜에너지가 아주 간단하게 로 쓸 수 있음을 알 수 있다. 다음으로 스프링에 연결된 물체에 작용하는 탄성력을 생각하자. 물체가 움 직이는 경로를 축으로 정하고, 스프링이 늘어나지도 줄어들지도 않은 위치를 좌표계의 원점으로 정하자. 그러면 탄성력 퍼텐셜에너지는 가 된다. 여기서는 탄성력 퍼텐셜에너지의 기준점을 으로 하면, 이 식의 우변의 둘째 항이 없어지고, 탄성력 퍼텐셜에너지에 대한 표현이 아주 간단하게 으로 되는 것을 알 수 있다. 마지막으로 만유인력을 생각하자. 그림에 보인 것과 같이 좌표계를 정하면 16 서울특별시과학전시관

21 역 학 만유인력 퍼텐셜에너지 은 이 된다. 그리고 기준점을 로 정하면 만유인력 퍼텐셜에너지가 아주 간 단하게 로 표현됨을 알 수 있다. 우리는 앞에서 물체에 작용한 합력을 통하여 그 물체가 받은 일은 물체의 운동에너지 증가로 나타난다는 일-에너지 정리를 공부하였다. 또한 중력이나 탄성력과 같이 보존력을 받고 있는 물체를 내가 그 보존력이 작용하는 방향과 반대 방향으로 물체를 이동시키면서 물체에 힘을 작용하였을 때를 예로 들어 서 각 보존력에 대응하는 퍼텐셜에너지를 정의하였다. 일-에너지 정리에 퍼텐 셜 에너지 개념을 이용하면 유명한 역학적 에너지 보존법칙을 얻는다. 역학적 에너지 보존법칙은 일-에너지 정리에서 합력이 한 일의 합력 자리에 보존력을 대입하면 바로 나온 다. 일-에너지 정리는 로 주어진다. 이제 물체에 단 하나의 힘만 작용하고 있고 그 힘이 바로 보 존력이라면 이 식의 좌변을 와 같이 바꾸어 쓸 수 있다. 이제 이렇게 보존력이 한 일을 퍼텐셜에너지로 표현하여 일-에너지 정리를 말하는 식에 대입하면 놀라운 결과가 나온다. 그 식은 17

22 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 로 되는데, 이 식의 각 항들을 이항하여 라고 쓰자. 이 식의 좌변은 물체가 이라는 위치에 있을 때 퍼텐셜에너지 과 운동에너 지 의 합이다. 두 번째 식은 물체가 운 동하다가 라는 위치에 있을 때 퍼텐셜에 너지 와 운동에너지 의 합이다. 그런데 여기서 과 가 어떤 특별한 위치 가 아니라 물체가 운동하는 중 지나가는 아무런 위치나 두 개를 골라놓은 것이다. 따라서 이 식은 물체가 움직이는 중 어느 위치에 있더라도 그 위치에서 퍼텐셜에너지와 운동에너지의 합은 바뀌지 않고 모두 같다고 말하고 이 바뀌지 않는 양으로 퍼텐셜에너지와 운동에너지 의 합인 를 특별히 역학적 에너지라고 부르고 위의 결과를 역학 적 에너지 보존법칙이라고 한다. 그런데 이번에는 옆의 그림에 보인 것처럼, 상자와 마루 사이에 마찰이 존 재한다고 하자. 그러면 상자에 작용하는 힘으로는 내가 상자를 미는 힘 와 마루가 상자에 작용하는 마찰력 를 생각할 수 있다. 천천히 밀고 간다고 말 하면 상자가 등속도 운동을 한다는 의미이며, 그러므로 상자가 받는 합력은 0 이어서, 내가 상자를 미는 힘 와 마찰력 는 크기가 같고 방향이 반대임을 알 수 있다. 여기서 상자는 일정한 속도로 움직이고 있으므로 내가 상자에 해 준 일이 상자의 운동에너지를 증가시키지 않는다. 그렇다고 이 경우는 앞에서 상자를 들어 올리는 경우와는 다르다. 상자를 들어 올리는 경우에는 상자를 가만히 놓으면 상자는 저절로 다시 떨어져 원래 위치로 돌 아온다. 그러나 이 그림의 경우에는 상자를 밀고 가다가 가 만히 놓으면 상자는 원래 자리로 돌아가는 것이 아니라 그 자리에 그대로 서 있게 된다. 이 그림의 경우에 상자에 작용하는 마찰력의 성질이 앞에 서 고려한 중력이나 탄성력의 성질과 다르기 때문에 마찰력 에 의해 상자가 빼앗긴 일이 퍼텐셜에너지로 저장되지 않는 다. 여기서 퍼텐셜에너지로 저장된다는 것은 물체를 가만히 놓으면 물체가 원래의 위치로 돌아가면서 빼앗긴 일이 물체 의 운동 에너지로 다시 회복된다는 의미이다. 그런데 마찰 력의 경우에는 그런 일이 벌어지지 않는다. 중력이나 탄성 력처럼 물체가 빼앗긴 일이 퍼텐셜에너지로 저장되었다가 18 서울특별시과학전시관

23 역 학 다시 토해지게 만드는 힘을 보존력이라 하고 그렇게 만들지 않는 힘을 비보존 력이라 한다. 마찰력은 비보존력의 대표적이며 거의 유일한 경우에 해당하는 힘이다. 그러면 물체가 마찰력에 의해 빼앗긴 일은 어디로 간 것일까? 우리는 흔히 이것이 열로 바뀐다고 말한다. 다시 말하면 마찰력이 한 일은 열에너지로 바 뀐다고 한다. 두 손바닥을 맞대고 비벼보자. 한참 비비면 뜨뜻하게 느낀다. 아 하, 우리는 손바닥과 손바닥 사이의 마찰력에 의해서 내가 손바닥을 비비며 한 일이 열에너지로 바뀌는 것을 느끼는 것인가 보다. 열에 대해서는 나중에 자세히 공부하게 되지만, 우선 열에너지가 무엇인지 알기 위해 옆의 그림을 보자. 이 그림은 지상에서 상자가 중력만을 받으며 떨 어지는 경우를 보여주고 있다. 공중에서 떨어지고 있는 상자에는 중력만 작용 한다. 그래서 일-에너지 정리에 의해 중력이 한 일은 상자의 운동에너지로 바 뀌고 상자는 내려오면서 점점 더 빨리 떨어진다. 그래서 떨어지면서 상자의 운동에너지가 점점 더 커진다. 중력은 지구와 상자 사이의 상호작용이다. 중력 에 의해 지구가 상자에 일을 해주면 지구와 상자 사이의 퍼텐셜에너지가 감소 한다. 그래서 사실은 우리가 흔히 물체가 떨어지면 물체의 퍼텐셜에너지는 감 소하고 물체의 운동에너지는 증가한다고 말하는데, 그 말에서 퍼텐셜에너지가 물체의 에너지는 아니라는 것을, 다시 말하면 물체가 가지고 있는 에너지는 아니라는 것을, 이해하여야 한다. 그런데 이 그림에서 상자가 지면에 닿았을 때를 생각해 보자. 상자가 지면에 닿아 정지하면 상자의 운동에너지는 갑자기 0이 된다. 이 운동에너지는 모두 어디로 간 것일까? 그림에 보인 것처럼, 상자는 질량을 무시할 수 있는 얇은 상자 껍질에 들어 있는 수많은 구슬로 이루어져 있다고 상상하자. 그러면 상자의 질량은 이 구 슬들의 질량의 합과 같다고 생각할 수 있다. 그리고 상자가 떨어진다고 하는 것은 구슬들이 모두 다 똑같은 속도로 떨어진다고 말하는 것과 같다고 볼 수 있다. 그리고 상자 전체의 운동에너지는 구슬 하나하나의 운동에너지를 모두 더한 것과 같다. 그런데 상자가 지면에 닿는 순간 어떤 일이 벌어질까? 그림에 보인 것처럼 상자가 지면에 닿은 직후에 상자 안에서 구슬들은 무질서하게 몸부림치면서 움직이게 된다. 구슬 하나하나는 모두 제멋대로 아무런 방향으로나 움직인다. 만일 우연하게도 구슬들이 모두 다 똑같은 방향으로 움직인다면 상자 전체가 그 방향으로 이동할 것이다. 그런데 지면에 닿은 뒤 구슬들은 비록 상자 안에 서 무질서하게 움직이고 있지만 이들 운동을 모두 더한 상자 전체로는 안 움 19

24 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 직이고 지면에 닿은 뒤 상자 자체는 정지해 있게 된다. 상자가 지면에 닿은 순간, 비록 상자는 정지하게 되더라도 상자를 구성하고 있는 구슬들은 무질서하고 격렬하게 움직이고 있다. 그리고 이렇게 움직이는 구슬 하나하나의 운동에너지를 모두 더하면 상자가 지면에 닿기 직전 상자 전 체의 운동에너지와 정확히 같다. 이와 같이 상자 전체의 운동에너지가 지면에 닿은 직후에는 상자를 구성하는 구성입자들의 무질서한 운동에 의한 운동에너 지로 바뀌었다고 생각할 수 있다. 이와 같이 수많은 입자들로 구성된 계에서 구성입자들의 무질서한 운동이 갖는 운동에너지의 합이 바로 열에너지이다. 비록 계에 속한 구성입자들은 격 렬하게 움직이고 있지만 계 전체는 움직이지 않으므로 계 전체의 운동에너지는 0이다. 이처럼 구성입자들 하나하나의 무질서한 운동이 지닌 운동에너지는 계 전체의 운동에너지와 구별되는 것이다. 한 번 더 설명하면, 물체를 구성하는 입자들이 무질서하게 움직이는 운동에 의해서 그 물체 전체가 움직이게 되지 는 않으며, 그래서 구성입자들의 무질서한 운동에너지는 물체 전체의 운동에 너지에 기여하지 못한다. 에너지라는 물리량이 기가 막히게 멋진 물리량인 이유는 에너지가 도무지 없던 데서 새로 만들어지지도 않고 절대로 없어지지도 않는 성질을 갖고 있기 때문이다. 그래서 에너지 보존법칙이라는 말을 흔히 듣는데, 이 법칙은 아주 쉬운 법칙이다. 어떤 물체 또는 어떤 계가 가지고 있는 에너지는 그 물체가 다른 물체로부터 에너지를 받지 않는 이상 절대로 증가하지 않고 다른 물체에 게 에너지를 주지 않는 이상 절대로 감소하지 않는다는 것이 바로 에너지 보 존법칙이다. 에너지가 보존되는지 아닌지 보는 대상을 한 물체 또는 여러 물체의 모임으 로 삼을 수 있다. 여러 물체의 모임을 우리는 계라고 부른다. 그래서 어떤 주 어진 계의 총에너지는 그 계를 구성하는 물체들이 갖고 있는 에너지를 다 더 하면 된다. 특히 에너지는 스칼라양이므로 각 물체의 에너지를 그냥 수( 數 ) 더 하듯이 더하면 된다. 주어진 계가 외부의 다른 계로부터 에너지를 받으면 그 계의 총에너지는 받 은 에너지와 똑같은 양만큼 증가하고 주어진 계가 외부의 다른 계로 에너지를 방출하면 그 계의 총에너지는 방출한 에너지와 똑같은 양만큼 감소한다. 여기서 한 계가 다른 계와 에너지를 주고받는 방법에는 여러 가지가 있는데 그 중 한 가지가 일이다. 그리고 한 계가 다른 계와 에너지를 주고받는 것을 총칭하여 우리는 두 계가 상호작용을 한다고 말한다. 만일 어떤 계가 외부와 에너지를 20 서울특별시과학전시관

25 역 학 전혀 주고받지 않는다면, 즉 다른 계와 전혀 상호작용을 하지 않는다면, 우리 는 그 계를 고립계라고 부른다. 그러므로 가장 일반적으로 에너지 보존법칙은 고립계의 총에너지는 결코 바뀌지 않고 일정하다고 표현된다. 지금까지 운동에너지와 퍼텐셜에너지 그리고 열에너지 등에 대해 살펴보았 지만 에너지는 이들뿐 아니라 다른 여러 가지 형태로도 존재한다. 위에서 떨 어지는 물체의 운동에너지가 증가하면서 퍼텐셜에너지가 감소하듯이 에너지는 한 형태에서 다른 형태로 바뀔 수 있다. 또한 마찰력을 받으면 역학적 에너지 의 일부가 열에너지로 바뀌기도 한다. 이와 같이 여러 가지 형태의 에너지를 모두 고려하면 에너지는 한 형태의 에너지에서 다른 형태의 에너지로 변환될 수는 있지만 결코 창조되거나 소멸되지는 않는다. 이것이 유명한 에너지 보존 법칙이며 그래서 에너지란 물리량이 매우 신통한 물리량이다. 에너지 이외에 결코 창조되거나 소멸되지 않는 다른 물리량은 없다. 에너지 보존법칙을 좀 더 잘 이해하기 위해 이번에는 화학반응을 보자. 화 학반응의 대표적인 예로 연소가 있다. 초에 불을 붙이면 갑자기 뜨거운 열에 너지가 막 나온다. 이게 어찌된 일인가? 에너지가 창조되는 것이 아닌가? 그 렇다고 초 속에 운동에너지나 퍼텐셜에너지가 숨어 있다가 열에너지로 바뀐 것인가? 그렇지는 않은 것 같다. 화학반응에는 흡열반응과 발열반응이 있다. 반응 전과 반응 후를 비교하여 열이 흡수되는 경우를 흡열반응, 열이 발생하는 경우를 발열반응이라고 한다. 이 때 꼭 에너지가 보존되지 않는 것처럼 보인다. 그런데 이것은 질량과 관계가 있다. 화학 책에 나오는 중요한 보존법칙 중의 하나가 질량 보존법칙이다. 반응 전과 반응 후에 반응 물질의 질량이 바뀌지 않는다는 법칙이다. 그런데 화학 반응에서는 사실 질량이 보존되지 않는다. 발열 반응에서는 반응과 함께 질량이 감소하고 흡열 반응에서는 질량이 증 가한다. 여기서 보존되는 것은 에너지이고 사실은 질량이 에너지의 한 형태이다. 아인슈타인의 특수상대론에서 말하는 유명한 식 이 바로 그것을 말해준다. 21

26 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) Memo 22 서울특별시과학전시관

27 양자역학 양자역학 차 동 우 (인하대학교 교수) 내 용 목 차 1. 서론 2. 슈뢰딩거 방정식 3. 슈뢰딩거 방정식을 푸는 방법 4. 원자의 구조 1. 서론 19세기 말에 이르러 물리학자들은 이제 물리학이 모두 완성되었다고 믿기 시작하였다. 자연현상에 대한 기본법칙은 다 알았고 다만 몇 가지 지엽적인 계산문제만 남았다고 생각하였다. 그러한 생각은 당시 지리상의 발견과도 연 관이 있다. 콜럼버스가 신대륙을 찾아 떠날 때만 하더라도 바다 저쪽으로 멀 리가면 절벽으로 떨어지지나 않을지 걱정하였다. 탐험을 하면 할수록 알지 못 하는 세계와의 경계가 더 넓어지리라고 생각하였다. 그런데 알고 보니까 지구 표면은 유한하였고 19세기 말에 이르러 지상( 地 上 )에는 무엇이 있는지 큰 줄 거리는 다 알았다는 사실을 깨닫게 되었다. 다만 브라질의 아마존 밀림지대를 다 탐험하지 못하였거나 북극 지방을 다 훑어보지는 못하였지만 새로운 큰 발 견은 나오지 않을 것임을 알게 된 것이다. 19세기 말 물리학자의 물리에 대한 생각도 그와 비슷하였다. 당시 알려진 물리학 이론을 보면 이제 더 이상 새로 나올 것이 없다고 판단되었던 것이다. 그래서 혹시 어떤 실험 결과가 기존의 물리학으로 잘 설명되지 않더라도 그것 이 물리학 자체가 더 발전되어야 하기 보다는 단순히 계산상 복잡한 문제이기 때문이라고 심각하게 생각하지 않았다. 그런데 19세기 말부터 한두 가지씩 당 23

28 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 시 알려진 물리학으로는 도저히 설명할 수 없는 현상들이 관찰되기 시작하였다. 그런데 19세기 말까지도 사실 사람들은 원자나 분자에 대해 구체적으로 알 지 못하였다. 단지 추상적으로 원자란 물질의 성질을 갖는 가장 작은 단위라 고 생각하였을 뿐이다. 그런데 놀랍게도 러더퍼드라는 뉴질랜드 출신의 영국 물리학자가 당시에 알려지기 시작한 방사선의 한 종류인 알파선을 이용하여 원자 내부는 아무 것도 없는 텅 빈 공간이고 원자가 가지고 있는 질량의 이상은 원자 중심에 자리 잡고 있는 극히 작은 부피에 모두 모여 있 음을 발견하였다. 그것이 바로 원자핵이다. 그리고 더욱 더 놀라운 일은 원자 내부와 관련된 현상에 대해 측정된 결과 에는 뉴턴 역학이 적용되지 않는다는 것이었다. 뉴턴 역학이 성립하지 않는 세계도 있다는 것이 당시로는 충격적이었다. 뉴턴 역학이 나오기 전인 16세기 까지 사람들은 지상세계와 천상세계의 자연법칙이 다르다고 믿고 있었다. 그 러다가 뉴턴에 의해서 지상세계와 천상세계 모두 뉴턴 역학에 의해 설명될 수 있다는 사실이 밝혀지고 사람들은 무척 감격하였다. 그런데 그 뒤 불과 3백년 도 지나지 않아서 다시 뉴턴 역학이 성립되지 않는 세계가 존재한다는 사실이 발견된 것이다. 원자 내부 세계가 뉴턴 역학의 지배를 받지 않는다는 사실을 알게 되면서 뉴턴 역학이 성립하는 세계를 거시세계라 부르고 뉴턴 역학이 성립하지 않는 원자와 분자의 내부 세계를 미시세계라 부르게 되었다. 미시세계에서는 뉴턴 역학이 성립하지 않는다는 사실을 깨닫고 미시세계에 적용할 수 있는 자연법 칙을 찾아내기까지 오랜 기간이 필요하였다. 사실 거시세계의 자연법칙은 뉴 턴 한 사람에 의해서 모든 것이 단번에 해결되었지만 미시세계의 자연법칙을 알아낼 때는 그렇게 쉽지가 않았다. 굉장히 많은 사람들이 함께 고민에 고민을 거듭한 뒤에 겨우 미시세계 자연법칙의 윤곽이 드러났다. 그리고 미시세계의 자연법칙을 다루는 물리학 분야가 바로 양자역학이다. 거시세계에서 그렇게 완벽하게 성립되는 고전 물리학의 법칙들이 미시세계 에서는 성립하지 않는 증거들이 사실은 사람들이 자연의 진리를 모두 다 알았 다고 쾌재를 부르며 자신감에 차 있을 때 나왔다는 점이 더 흥미롭다. 그래서 학자들은 거시세계의 자연법칙이 미시세계에서는 성립하지 않는다는 증거를 앞에 놓고 두 진영으로 나뉘었다. 비록 당장은 설명이 되지 않더라도 당시 알 고 있던 물리학이 완전한 이론임에 틀림없으므로 앉아서 여유를 가지고 계산 하면 다 설명될 방도가 있을 것이라고 믿는 대부분의 학자들이 한 진영이다. 그러나 다른 진영은, 주로 젊고 창의력이 뛰어난 몇 학자들이 속한 진영이지 24 서울특별시과학전시관

29 양자역학 만, 그런 증거들이 고전물리학의 어떤 부분에 근본적인 결함이 있음을 알려준 다고 생각하였다. 시간이 흐를수록 결국 두 번째 진영이 옳았고 미시세계에서 자연현상이 돌아가는 이치는 당시 알려진 물리학으로는 도저히 상상할 수도 없는 것임을 깨닫게 되었다. 그리고 그 미시세계의 자연 법칙 즉 양자역학을 알아낸 우리 인간이 마침내 양자역학의 결과를 이용하여 오늘날의 첨단 과학 기술 문명을 이룩하게 된 것이다. 2. 슈뢰딩거 방정식 20세기 초 미시세계의 자연법칙이라고 밝혀진 양자역학 이론체계를 수립하 는 일이 물리학자들에게 무척 힘든 작업이었다. 여기서 자연법칙이란 운동법 칙을 말한다. 뉴턴의 운동법칙 또는 뉴턴의 운동방정식이라고 알려진 가 바로 거시세계의 운동법칙이다. 미시세계의 자연법칙 즉 미시세계의 운동 법칙이 거시세계의 운동법칙과 다르다는 말은 단순히 운동법칙의 형태가 다르 다는 정도가 아님을 알게 되었다. 미시세계는 거시세계와 완전히 달랐다. 다시 말하면 미시세계에서 일어나는 자연현상을 묘사하는 언어가 거시세계에서 일 어나는 자연현상을 묘사하는 언어와 전혀 같지 않았다. 우리는 20세기 초에 미시세계를 기술할 언어를 가지고 있지 못하였다고 말하는 편이 더 옳다. 그 래서 미시세계의 자연법칙을 알아내는 일이 더 어려웠다. 그렇지만 물리학자들은 결국 해내었다. 미시세계를 기술하는 언어를 찾아내 었고 미시세계의 자연법칙에 해당하는 운동방정식도 알아내었다. 나중에 다 알고 나니 참 그럴듯하였다. 미시세계의 자연현상에 적용되는 운동방정식을 슈뢰딩거 방정식이라고 부른다. 이 장에서는 슈뢰딩거 방정식에 대해서 공부 한다. 그런데 슈뢰딩거 방정식은 이렇게 생겼다고 알려주는 것만으로는 아무 런 쓸모가 없다. 슈뢰딩거 방정식을 어떻게 이용하는지 그 결과를 어떻게 해 석하는지 등을 알아야 한다. 그것이 바로 앞에서 미시세계를 기술하는 언어는 거시세계를 기술하는 언어와 다르다고 말한 의미이다. 그러므로 미시세계의 운동법칙을 알아보기 전에 거시세계에서는 운동법칙을 어떻게 이용하고 어떻게 해석하는지 먼저 살펴보자. 한 물체가 1차원 직선 운 동을 하는 아주 간단한 경우에 뉴턴의 운동방정식을 쓰면 이 된다. 이것은 질량이 인 물체에 라는 힘이 작용할 때 축으로 제한 (1) 25

30 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 된 물체의 위치 가 만족하는 식이다. 뉴턴역학에서는 이 만 구하면 이 물체에 대한 모든 물리량을 구할 수가 있다. 를 시간에 대해 미분하면 물 체의 속도가 나오고, 그 속도에 물체의 질량을 곱하면 물체의 선운동량이 나 오고, 등등, 물체에 속한 물리량은 하나도 빠짐없이 모두 구할 수 있다. 그래 서 뉴턴역학에서는 시간의 함수로 구한 물체의 위치벡터인 가 물체에 대 한 모든 정보를 다 포함하고 있다고 말한다. (1)식은 단 한 물체가 직선 위라는 제한된 공간에서 운동할 때 적용되도록 간단히 만든 경우에 대한 운동방정식이다. 질량이 각각,,, 인 개의 물체가 서로 상호작용하면서 3차원 공간 내에서 움직이는 일반적인 경우에는 풀어야할 뉴턴의 운동방정식이 물체마다 한 개씩 모두 개로 이루어져 있으며 여기서 (2) 가 된다. 여기서 첨자 에는 1부터 까지 대입할 수 있으며 그래서 (2)식은 모 두 개의 방정식이 된다. 그리고 (2)식을 풀어서 구한 개의 위치벡터 를 시간의 함수로 구하면 개의 물체로 이루어진 이 계에 대한 모든 물리량을 얻을 수 있다. 그래서 물체들의 위치벡터가 이 계에 대한 모든 정보를 다 포 함하고 있다고 말한다. 그러나 미시세계의 자연현상에는 (1)식이나 (2)식과 같은 뉴턴의 운동방정식을 적용할 수가 없음을 알았다. 다시 말하면 뉴턴의 운동법칙이 미시세계에서는 성립하지 않는다. 여기서 뉴턴의 운동법칙이 미시세계에서는 성립하지 않는다 는 말이 단순히 뉴턴의 운동방정식의 형태가 좀 수정되어야 한다는 정도를 의 미하는 것이 아니다. 앞에서 설명한 것처럼 거시세계에서는 물체의 위치벡터가 그 물체에 대한 모든 정보를 다 포함하고 있고 그래서 뉴턴의 운동방정식을 이용하여 그 위치벡터를 구하는 것이 역학의 목표인데 미시세계에서는 그렇지가 않다. 그런 방법이 통하지 않는다. 그뿐 아니라 근본적으로 미시세계에 속한 물체의 위치를 시간의 함수로 구할 수가 없다. 미시세계에서는 거시세계에서처럼 물체의 위치를 시간의 함수로 구하여 문 제를 해결하는 방법이 통하지 않는다는 것을 극적으로 알려주는 경험법칙이 바로 하이젠베르크의 불확정성 원리이다. 불확정성 원리를 식으로 쓰면 가 되는데 여기서 는 플랑크상수 를 로 나눈 것과 같다. 와 광속 를 이용하면 플랑크상수 의 값을 기억하기 쉽게 라고 놓을 (3) 26 서울특별시과학전시관

31 양자역학 수 있으므로 사람들은 를 즐겨 이용한다. (3)식에 나오는 대상 물체의 위치에 대한 불확정성 와 선운동량에 대한 불확정성 는 각각 (4) 라고 정의되는데 이 식에서 기호는 평균을 나타낸다. 그래서 위치의 불 확정성 는 의 평균과 의 평균의 제곱 사이 차이의 제곱근과 같다. 그런데 미시세계에서도 대상물체의 위치가 거시세계에서처럼 운동방정식에 의해서 결정된다면 위치를 정확히 아는 것이므로 위치에 대한 불확정성 는 0이다. 그뿐 아니라 물체의 위치가 시간의 함수로 와 같이 주어진다면 를 시간에 대해 미분하여 속도를 구하고 그 속도에 질량을 곱하여 선운동 량도 정확히 정해지므로 선운동량에 대한 불확정성 도 역시 0이다. 그러므 로 미시세계에서 불확정성 원리인 (3)식이 결코 성립될 수 없다. 그러므로 불 확정성 원리가 성립하자면 미시세계에 적용되는 운동법칙은 거시세계에서와 같은 방법으로 주어지는 것이 아님이 분명하다. 다시 말하면 거시세계에서는 원하는 물리량을 나타내는 값이 운동법칙으로부터 직접 구해졌지만 미시세 계에서 불확정성 원리가 성립된다는 것은 미시세계에서는 물리량을 대표하는 값과 같은 것이 운동법칙으로 직접 주어질 수가 없음을 의미한다. 사실 위치 를 대표하는 뿐 아니라, 거시세계에서는 자연법칙으로부터 구하는 변수들이 모두 자연현상으로부터 측정하는 물리량에 대응되지만, 미시세계에서는 그런 방법이 전혀 적용되지 않는 것처럼 보인다. 그런 문제들이 양자역학의 이론체계가 수립되면서 모두 해결되었다. 인간이 결국 미시세계의 자연현상을 설명할 수 있는 자연법칙을 알아낸 것이다. 양자 역학을 발견함으로써 단순히 미시세계에서 성립하는 새로운 운동법칙을 찾았 을 뿐 아니라 자연법칙을 쓰고 풀고 해석하는 방법을 새로 정립하였다. 미시 세계의 자연법칙인 양자역학을 어떻게 알아내게 되었는지 과정을 다 설명하기 에는 너무 긴 이야기들이 많고 어쩌면 여러분이 잘 이해할 수 없을지도 모른다. 그래서 그런 설명은 모두 생략하고 미시세계의 자연법칙은 어떻게 생겼으며 그것을 이용하고 해석하는 방법은 무엇인지 알아보자. 양자역학에서 성립하는 운동방정식을 슈뢰딩거 방정식이라고 부른다. 슈뢰 딩거 방정식은 고전역학에서 뉴턴의 운동방정식과 같은 미시세계의 운동법칙 을 대표하는 방정식이다. 슈뢰딩거 방정식이 미시세계에서 성립하는 운동방정 식이만 양자역학에서 슈뢰딩거 방정식의 위상이 고전역학에서 뉴턴의 운동방 27

32 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 정식이 차지하는 위상처럼 그렇게 절대적인 것은 아니다. 뉴턴의 운동방정식 은 바로 고전역학의 중심이라고 말할 수 있다. 그러나 슈뢰딩거 방정식은 미 시세계에 대한 운동법칙을 표현하는 여러 가지 방법 중 하나에 불과하다. 또 역학은 뉴턴 한 사람에 의해서 시작되고 완성되었지만 양자역학은 수많은 사 람들의 노력이 보태져서 이론체계가 수립되었다. 슈뢰딩거는 그런 많은 노력 중에서 일부분을 기여했다고 보는 것이 옳다. 슈뢰딩거는 당시 알려진 드브로이의 물질파 개념에 기초를 두고 전자( 電 子 ) 의 운동을 파동방정식으로 다루는 방법을 고안해 내었다. 그런 이유로 슈뢰딩 거가 이용한 방법에 따라 계산하는 양자역학을 한 동안 파동역학이라고 부르 기도 하였다. 대상 물체 한 개가 1차원에서만 운동한다고 가정하고 슈뢰딩거 방정식을 쓰면 가 된다. 그리고 개의 물체가 3차원 공간에서 움직이는 일반적인 경우에 슈 뢰딩거 방정식을 쓰면 (5) (6) 가 된다. (5)식 또는 (6)식으로 주어진 슈뢰딩거 방정식이 (1)식 또는 (2)식으로 주어진 뉴턴의 운동방정식과는 아주 다른 것처럼 보이지만 그렇지도 않다. 1 차원 운동의 경우 (1)식을 라고 고쳐 쓴 다음 양변에 를 곱하고 양변을 (8) 와 같이 적분하면 그 결과는 (9) 이 된다. 이 식에서 아래첨자 1과 2는 1이라는 물체가 1이라는 위치 에서 속도가 이고 2라는 위치 에서 속도가 임을 의미한다. 이제 힘 에 대한 퍼텐셜 에너지 와 운동에너지 를 각각 (7) 28 서울특별시과학전시관

33 양자역학 그리고 (10) 이라고 정의한 다음 (9)식을 1이라는 위치에서의 퍼텐셜 에너지와 운동에너지 그리고 2라는 위치에서의 퍼텐셜 에너지와 운동에너지가 되도록 항들을 옮기면 (11) 를 얻는다. (11)식은 뉴턴의 운동법칙으로부터 구한 매우 중요한 결과이다. 이 식은 물 체가 힘 를 받고 움직이면 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동에너지는 끊임없 이 바뀌게 되는데, 물체가 1이라는 위치에 있을 때 퍼텐셜 에너지와 운동에너 지의 합은 물체가 2라는 위치에 있을 때 퍼텐셜 에너지와 운동에너지의 합과 같다고 말한다. 그런데 1이라는 위치와 2라는 위치는 물체가 움직이는 경로 상에서 어떤 특별한 위치도 아니다. 아무렇게나 정한 두 위치일 뿐이다. 그러 므로 (11)식으로부터 일정 (12) 이라고 쓸 수 있다. 이 식은 물체가 어떤 위치에 있거나 물체의 퍼텐셜 에너 지와 운동에너지의 합은 바뀌지 않고 일정하게 유지된다고 말한다. 이 식이 그 유명한 에너지 보존법칙이다. 그리고 (12)식은 방금 뉴턴의 운동방정식인 (1)식으로부터 구하였다. 그래서 에너지 보존법칙은 뉴턴의 운동방정식과 동일 한 법칙이라고 말한다. 뉴턴의 운동방정식을 단순히 새로운 물리량인 퍼텐셜 에너지와 운동에너지로 표현하기만 하면 에너지 보존법칙이 된다는 의미이다. 거시세계에서 뉴턴의 운동법칙과 에너지 보존법칙은 동일한 법칙이다. 동일한 법칙을 서로 다른 물리량으로 표현했을 뿐이다. 그리고 물체가 힘을 받고 운 동하는데 물체의 위치를 시간의 함수로 구하는 경우 그 결과는 뉴턴의 운동방 정식을 이용하여 구하건 에너지 보존법칙을 이용하여 구하건 똑같다. 그런데 여기서 아주 중요한 사실이 있다. 우리는 앞에서 뉴턴의 운동법칙이 미시세계 에서는 성립하지 않는다고 강조하였다. 그런데 에너지 보존법칙은 미시세계에 서도 성립한다. 라고 쓴 뉴턴의 운동방정식이 미시세계에서는 별 쓸모 가 없지만 뉴턴의 운동법칙을 운동에너지와 퍼텐셜 에너지라는 새로운 물리량 으로 표현한 에너지 보존법칙은 미시세계의 자연현상을 설명하는데 요긴하게 이용된다는 말이다. 그리고 (5)식 또는 (6)식으로 주어진 슈뢰딩거 방정식이 에 너지 보존법칙인 (12)식으로부터 구해졌다. 슈뢰딩거가 팔짱을 끼고 사색을 거 듭하다가 갑자기 슈뢰딩거 방정식을 고안해 낸 것이 아니라 고전역학의 가장 29

34 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 중요한 법칙인 에너지 보존법칙으로부터 슈뢰딩거 방정식을 얻었다는 의미이다. 그러나 에너지 보존법칙인 (12)식이 미시세계에서도 거시세계에서와 똑같은 방법으로 적용된다는 의미는 아니다. 거시세계에서는 계에 속한 물체들의 위 치벡터 를 구한 다음에 우리가 원하는 계에 속한 물리량들을 위치벡터로 부터 계산하였다. 그래서 물체들의 위치벡터가 계에 대한 모든 정보를 가지고 있다고 말하였다. 우리는 그런 방법을 미시세계에서는 이용할 수 없음을 이미 잘 알고 있다. 고전역학에서는 물체의 위치 가 계에 대한 모든 정보를 가 지고 있는 것처럼, 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식인 (6)식을 풀어서 구하는 가 계에 대한 모든 정보를 다 가지고 있는데 이 를 계의 파동 함수라고 부른다. 그렇지만 계의 파동함수 는 우리가 그 계에 대해 측정하는 물리량 중의 하나는 아니다. 양자역학에서는 물리량이 연산자로 대표된다. 예 를 들어선 선운동량 라는 물리량은 물리량 연산자 로, 운동에너지 라는 물리량은 운동에너지 연산자 로 대표된다. 여기서 문자 위에 부친 모자 기호 는 그 문자가 물리량을 대표하는 연산자임을 나타낸다. 그리고 미시세계에 속 한 어떤 계에서 연산자 가 대표하는 물리량을 측정하면 그 측정값은 계의 파동함수 Ψ로부터 (13) 와 같은 방법을 이용하여 구한다. 여기서 를 그 계로부터 구한 물리량 의 기댓값이라고 말한다. 이처럼 양자역학에서는 정보를 모두 포함하고 있 는 파동함수와 물리량을 대표하는 연산자 그리고 우리가 그 계에 대해 실험으 로 측정한 물리량에 대한 측정값들이 모두 따로 정의된다. (13)식으로 정의된 기댓값을 구하는 과정에서 연산자 의 자리에 위치연산자를 대입하면 위치에 대한 측정값이 나오고 선운동량 연산자를 대입하면 선운동량에 대한 측정값이 나온다. 그래서 파동함수 가 계에 대한 모든 정보를 다 포함하고 있다고 말 한다. 그러면 이제 에너지 보존법칙인 (12)식으로부터 슈뢰딩거 방정식이 어떻게 구해지는지 보자. 먼저 속도에 의해 (10)식으로 표현된 운동에너지 를 선운 동량 에 의해 (14) 30 서울특별시과학전시관

35 양자역학 이라고 바꾸어 쓰자. 그러면 (12)식으로 주어진 에너지 보존법칙이 (15) 와 같이 된다. 이 식에는 선운동량 와 위치 그리고 에너지 라는 세 가지 물리량이 나온다. 양자역학에서 이 세 가지 물리량을 대표하는 연산자는 각각 운동량 :, 위치 :, 에너지 : 와 같다. 연산자는 파동함수에 작용하는데 파동함수가 와 같이 위치 와 시간 에 의존한다고 할 때 선운동량 연산자 는 파동함수 를 위치 로 편 미분한다음 그 결과에 를 곱하라고 말한다. 그리고 위치 연산자 는 단순히 파동함수 에 위치 를 곱하라고 말한다. 마지막으로 에너지 연산자는 는 (16)식에 나온 것처럼 파동함수 를 시간 로 편미분한 다음 그 결과에 를 곱하라고 말한다. 어떻게 해서 연산자를 이렇게 정했는지 궁금한 학생들은 양 자역학을 좀 더 본격적으로 공부해보기 바란다. 여기서 그것까지 설명하기는 어렵다. (15)식처럼 표현된 에너지 보존법칙의 선운동량 와 위치 그리고 에너지 자리에 (16)식으로 정의된 연산자를 대신 쓰고 양변을 파동함수 에 작용하도록 만들면 바로 (5)식으로 주어진 슈뢰딩거 방정식이 나온다. 여러분 은 이제 슈뢰딩거 방정식이 거시세계에서도 성립하는 에너지 보존법칙으로부 터 나왔다는 이야기의 의미가 이해되었는지 모르겠다. (15)식의 좌변에 나오는 운동량 와 위치 를 모두 (16)식으로 정의된 연산 자로 바꾸어 쓴 것을 합하여 해밀토니안 연산자 라고 부른다. 그래서 (1)식 으로 주어진 슈뢰딩거 방정식을 간단히 (17) 라고 쓰기도 한다. 우리는 거시세계를 지배하는 자연법칙인 운동법칙은 뉴턴의 운동방정식이고 미시세계를 지배하는 자연법칙인 운동법칙은 슈뢰딩거 방정식임을 알았다. 그 런데 슈뢰딩거 방정식이 (5)식 또는 (6)식으로 주어진다는 것만 알아서는 미시 세계에 대해 이해하고 있다고 말할 수 없다. 미시세계의 자연현상을 설명하는 방법이 거시세계에서 자연현상을 설명하는 방법과 다르기 때문이다. 지금까지 공부한 양자역학의 골격을 다시 정리하면 다음과 같다. 미시세계에서 개의 입자로 이루어진 계가 있다면 이 계의 모든 정보를 포함하고 있는 것은 입자 들의 위치벡터와 시간의 함수로 주어지는 파동함수 이다. 파동 (16) 31

36 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 함수는 그 계에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 구한다. 그렇지만 파동함수 자체는 측정되지 않는 양이다. 자연현상을 대표하는 물리량이 양자역학에서는 연산자 로 대표되는데 그런 연산자에 대응하는 물리량의 값을 알려면 파동 함수로부터 (13)식으로 정의된 기댓값을 계산해야 한다. 사실은 (4)식에서 불 확정성 원리에 나오는 위치와 선운동량에 대한 불확정성 와 를 표현하 는데 이용된 와 도 각각 위치에 대한 기댓값과 선운동량에 대한 기댓값을 나타낸 것이다. 3. 슈뢰딩거 방정식을 푸는 방법 이 장에서는 간단한 경우에 대해서 슈뢰딩거 방정식을 푸는 방법을 익히면 서 미시세계에 대한 운동법칙을 다루는 양자역학이 어떻게 이용되는지 느껴보 도록 하자. (5)식으로 소개된 한 입자가 1차원 운동을 하는 간단한 경우에 대 한 슈뢰딩거 방정식을 어떻게 풀지 생각해보자. 이 식은 미분방정식이다. 그리 고 미분방정식을 푼다는 말은 미분방정식에 나오는 종속변수를 미분방정식에 나오는 독립변수의 함수로 구하는 것을 의미한다고 하였다. (5)식으로 주어진 슈뢰딩거 방정식에서 종속변수는 파동함수 이고 독립변수는 위치 와 시간 이다. 그러므로 (5)식을 푼다는 것은 파동함수 를 위치 와 시간 의 함수로 표현한 를 구한다는 의미이다. 슈뢰딩거 방정식인 (5)식에는 독립변수가 두 개이기 때문에 미분이 편미분으 로 되어 있다. 그래서 (5)식과 같은 형태의 미분방정식을 편미분방정식이라고 부른다. 편미분방정식으로부터 직접 풀이를 구하는 것은 거의 가능하지 않다. 그리고 자연법칙을 표현한 편미분방정식은 거의 모두 적당한 방법으로 독립변 수의 수와 같은 수의 상미분방정식들로 나눌 수 있다. 주어진 편미분방정식이 상미분방정식으로 바뀔 수 있는지 알아보고 그렇게 바꾸는 방법이 변수분리법 이라고 알려진 편리한 방법이다. (5)식과 같이 미분방정식에 종속변수의 1차 항만 포함된 미분방정식을 선형 미분방정식이라고 한다. (5)식에는,, 와 같은 항만 포함되어 있 지 이나 또는 등과 같이 의 제곱 또는 세제곱 항 등은 포함되어 있지 않기 때문에 슈뢰딩거 방정식은 선형 편미분방정식이다. 선형 미분방정식은 항상 (18) 32 서울특별시과학전시관

37 양자역학 와 같이 왼쪽의 연산자 부분과 오른쪽의 종속변수 부분의 곱으로 표현할 수 있다. 선형 미분방정식을 (18)식과 같은 형태로 표현할 때 왼쪽의 인자 L 를 선형 미분연산자라고 부른다. 우리는 주어진 선형 편미분방정식에 나오는 선형 미분연산자의 형태만 보고 변수분리법에 의해 그 편미분방정식을 상미분 방정식으로 바꿀 수 있는지 아니면 없는지를 판단할 수 있다. 그러면 슈뢰딩거 방정식을 풀기 전에 먼저 편미분방정식을 상미분방정식으 로 바꾸는 방법인 변수분리법에 대해 잠시 공부하자. 일반적으로 독립변수가 와 두 개이고 종속변수가 인 선형 편미분방정식 ϕ (20) 을 생각하자. 만일 이 선형 편미분방정식의 선형 미분연산자 L 가 L L L (21) 와 같이 독립변수 에만 의존하는 부분인 L 와 독립변수 에만 의존하는 부분인 L 로 나눌 수 있다고 하자. 그러면 그런 편미분방정식은 변수분리 형태로 되어있다고 말한다. 편미분방정식의 미분연산자가 변수분리 형태로 되 어 있으면 참 좋다. 왜냐하면 그러한 편미분방정식은 반드시 독립변수의 수와 같은 수의 상미분방정식 형태로 바꿀 수 있기 때문이다. 만일 선형 편미분연 산자 L 가 (21)식처럼 분리되어 있어서 변수분리 형태라면 우리는 그 편 미분방장식의 풀이 가 와 같이 항상 오직 만의 함수인 와 오직 만의 함수인 의 곱으로 표현할 있다는 사실이 수학자들에 의해서 잘 밝혀져 있다. 이제 놀라운 일이 벌어진다. (22)식을 (20)식에 대입해보자. 그러면 L L L L L 이 된다. 위의 두 번째 식에서는 L 는 오직 에 대한 미분만 포함하고 있 으므로 좌변의 첫 번째 항에서 는 L 에 대해 상수처럼 행동하고 마찬가 지로 L 는 오직 에 대한 미분만 포함하고 있으므로 좌변의 두 번째 항에 서 는 L 에 대해 상수처럼 행동한다는 사실을 이용하여서 와 가 쓰인 위치를 미분연산자 L 과 L 의 왼쪽으로 옮겼다. 다음으로 (23)식의 양 변을 우리가 구하려는 함수 로 나누자. 그러면 (19) (22) (23) 33

38 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) L L L L (24) 이 된다. 좌변의 첫 번째 항에서는 분자와 분모의 는 약분되지만 분자와 분모의 는 약분되지 못한다. 왜냐하면 L 는 와는 전혀 다른 함수로 바뀔 수 있기 때문이다. 같은 방법으로 좌변의 두 번째 항에서는 분자 와 분모의 만 약분되어 (24)식의 두 번째 식과 같은 결과가 나온다. 이제 (24)식의 두 번째 식 좌변에 나오는 두 항을 자세히 보자. 첫 번째 항 은 독립변수 에만 의존하고 두 번째 항은 독립변수 에만 의존한다. 두 독립 변수는 서로 아무런 관계도 없이 어떤 값이나 가질 수 있기 때문에 임의의 값에서 계산한 첫 번째 항과 임의의 값에서 계산한 두 번째 항을 더해서 0이 되기는 정말 어렵다. 그렇게 될 수 있는 유일한 방법은 첫 번째 항에서 L 를 로 나눈 비가 에 의존하지 않는 상수이고 두 번째 항에서 도 역시 L 를 로 나눈 비가 에 의존하지 않는 상수이며, 이 두 상수가 크기가 같고 부호가 반대인 경우뿐이다. 즉 (24)식의 두 번째 식이 성 립하려면 L L 그리고 (25) 가 만족되어야만 한다. 그런데 (25)식으로 주어진 두 식은 바로 L 그리고 L (26) 으로 주어지는 두 개의 상미분방정식이다. 이렇게 독립변수가 두 개인 편미분 방정식이 앞에서 약속한대로 두 개의 상미분방정식으로 바뀌었다. 그리고 (26) 식으로 주어진 두 상미분방정식을 풀어서 풀이로 와 를 얻었다면 (23) 식으로 주어진 편미분방정식의 풀이 는 (22)식에서 놓은 것과 같이 가 되며 이런 방법으로 편미분방정식을 푼다. 이렇게 편미분 방정식이 풀린 것은 편미분방정식의 미분연산자가 변수분리 형태로 되어 있기 때문이다. 변수분리가 가능한 편미분방정식을 푸는 방법을 특별히 변수분리법 이라고 한다. 그러면 이제 슈뢰딩거 방정식인 (5)식으로 돌아가자. (5)식은 변수분리법을 적용할 수 있는 형태로 되어 있는가? 한번 보기만 하여도 슈뢰딩거 방정식은 정말 변수분리 형태로 되어 있음을 알 수 있다. 그러므로 우리가 구하려는 파 동함수 를 (22)식에서 제안된 것처럼 34 서울특별시과학전시관

39 양자역학 (27) 라고 위치 의 함수인 와 시간 의 함수인 의 곱으로 쓸 수 있다. 그 리고 (27)식을 (5)식에 대입하고 양변을 로 나누면 (5)식을 (28) 라고 쓸 수 있다. 이 식에서 가장 좌변은 오로지 위치 에만 의존하고 가운데 변은 오로지 시간 에만 의존하므로 두 변이 같기 위해서는 두 변 모두 상수 와 같아야 하기 때문에 가장 우변에 와 같다고 표시하였다. 여기서 는 변하지 않는 상수이다. 그러면 슈뢰딩거 방정식을 그리고 와 같은 두 개의 상미분방정식으로 나누어 쓸 수 있다. (29)식에서 두 번째 식으로 주어진 파동함수 중에서 시간에 의존하는 부분 에 대한 미분방정식은 1차 상미분방정식이기 때문에 간단히 적분으로 풀 수가 있다. (29)식에 나온 식을 다음 과 같이 적분하면 우리가 구하는 는 여기서 가 됨을 알 수 있다. 이 식에 나오는 는 (28)식에서 상수로 놓은 와 같은데 이것은 (29)식의 첫 번째 식으로부터 운동에너지와 퍼텐셜 에너지의 합인 총 에너지에 해당한다. 그리고 이 총에너지 는 일정하게 유지된다. 이제 남은 일은 (29)식에 나오는 첫 번째 상미분방정식 를 풀어서 파동함수 중에서 위치에 의존하는 부분인 를 구하는 일만 남았다. (32)식은 해밀토니안 연산자 를 이용하여 간단히 라고 쓸 수도 있다. (5)식만 슈뢰딩거 방정식이라고 부르는 것이 아니라 (32)식도 슈뢰딩거 방정 식이라고 부른다. (5)식으로 주어진 슈뢰딩거 방정식의 풀이인 파동함수 중에서 시간에 의존하는 부분은 어떤 문제에서나 모두 똑같이 (31)식으로 주어지므로 (29) (30) (31) (32) (33) 35

40 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 따로 풀 필요가 없다. (32)식 또는 (33)식과 같이 표현된 시간에 독립인 슈뢰딩거 방정식은 미분방정식 중에서도 특별한 종류의 미분방정식이다. 이런 종류의 미분방정식을 풀려면 종속변수인 만 구하는 것이 아니라 상수 도 함께 구해야 한다. (33)식에 나오는 상수 가 미리 주어지는 것이 아니라 이 식을 풀면서 함께 구해야 한다는 의미이다. (33)식의 좌변에 나오는 해밀토니안 연산자 는 선형미분연산자이다. 그래 서 보통의 경우에는 (33)식의 좌변에 써진 것처럼 어떤 함수 에 선형미분 연산자 를 작용하면 그 결과는 원래 함수 와 다른 함수가 된다. 그런데 (33)식으로 주어진 미분방정식에 의하면 에 선형미분연산자 를 작용하 더라도 그 결과가 원래의 함수 에 상수 를 곱한 것이어야 함을 요구한 다. 다시 말하면 선형미분연산자 를 작용하더라도 함수의 형태가 바뀌지 않 는 것만 (33)식으로 주어진 미분방정식의 풀이라는 이야기이다. 이런 종류의 풀이를 구하는 미분방정식을 특별히 고유값 방정식이라고 부르고 그렇게 구한 풀이인 함수를 고유함수 또 그때 고유함수에 곱하는 상수를 고유값이라고 부 른다. 그래서 시간에 독립인 슈뢰딩거 방정식은 미분방정식 중에서도 고유값 방정식이라는 특별한 종류의 미분방정식이다. (32)식으로 주어지는 시간에 독립인 슈뢰딩거 방정식을 실제로 풀려면 퍼텐셜 에너지 가 주어져야 한다. 슈뢰딩거 방정식에서 퍼텐셜 에너지 는 뉴턴의 운동방정식에서 힘 와 같은 역할을 하는 것이다. 고전역학에서 힘 와 퍼텐셜 에너지 사이에는 (10)식에 주어진 것처럼 서로 그리고 인 관계를 갖고 있다. 그러면 한 예로 힘을 받지 않는 질량이 인 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자. 힘을 받지 않는 입자에 대한 퍼텐셜 에너지는 이라고 놓을 수 있다. 그러면 우리가 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식인 (32)식을 여기서 라고 쓸 수 있다. (35)식에 주어진 것처럼 종속변수 나 종속변수의 미분 또는 앞에 붙은 계수가 모두 독립변수에 의존하지 않는 상수일 때는 그 풀이가 (36) 형태로 주어진다는 것은 잘 알려진 수학적 지식이다. 그래서 (36)식을 (35)식 (34) (35) 36 서울특별시과학전시관

41 양자역학 에 대입한 뒤 그 식을 만족하는 상수 를 구하면 된다. (35)식으로 주어진 를 두 번 미분하면 그리고 (37) 이므로 (37)식을 (35)식에 대입하면 ± 를 얻는다. 그러므로 우리가 구하는 풀이 는 또는 (39) 이다. 그리고 (31)식을 이용하여 와 모두에 의존하는 파동함수 를 구 하면 또는 (40) 가 된다. 이 두 풀이 중에서 은 선운동량 와 에너지가 를 일정하게 유지하면서 방향으로 움직이는 입자이고 는 역시 선운동량 와 에 너지 를 일정하게 유지하면서 방향을 움직이는 입자이다. 그러면 다음에는 다른 간단한 예로 변의 길이가 인 1차원 상자 속에서만 움직이는 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자. 그러한 입자에 대한 퍼텐 셜 에너지를 무한히 깊은 우물 퍼텐셜 에너지라고 하는데 그래프로 그리면 [그림 1]에 보인 것과 같고 이 퍼텐셜 에너지 를 식으로 쓰면 일때 또는 일때 된다. 이 문제에 대한 파동함수는 인 경우와 인 경우 그리고 인 경우 세 가지로 나누어 구한다. 그런데 입자가 상 자 밖으로는 절대로 나갈 수가 없 으므로 인 경우와 인 경 우의 파동함수는 0이다. 그래서 상 자 내부 즉 에서 파동함 수를 구하는 문제만 남아있다. 그 런데 이 구간에서는 퍼텐셜 에너 지가 이므로 슈뢰딩거 방 정식에 대한 일반적인 풀이는 (39) (38) (41) [그림 1] 무한히 깊은 퍼텐셜 우물 37

42 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 식과 같아서 에서 파동함수 를 (42) 라고 놓을 수 있다. 그리고 이 식에서 두 상수 와 는 문제의 경계조건으로 부터 정해진다. 이 문제에서 경계조건은 상자의 양쪽 끝에서 파동함수 값이 0 이어서 (43) 이라는 것이다. 그러므로 (43)식을 (42)식에 대입하여 와 를 구해보자. 먼저 에서의 경계조건을 대입하면 (42)식은 로 된다. 이 결과를 이용하면 에서 파동함수 를 여기서 라고 쓸 수 있다. 이제 (45)식에 두 번째 에서 경계조건을 대입하면 (46) 가 되는데 이 조건이 만족되려면 또는 (47) 가 성립해야 한다. 그런데 만일 라면 상자 안에서 파동함수가 항상 이 되는데 이 풀이는 상자에 입자가 없다는 것을 의미한다. 따라서 이 풀이는 제외된다. 그러므로 두 번째 조건이 성립해야 되고 여기서 라는 조건을 얻는다. 이 결과는 가 아무런 값이나 가질 수 있지 않고 오직 의 배수를 로 나눈 값만 가질 수 있다는 의미이다. 가 (48)식으로 주어진 불연속적인 값을 갖는다는 사실로부터 우리는 와 슈뢰딩거 방정식의 에너지 고유값 사이에 (35)식으로 주어진 관계에 의해서 이 문제의 에너지 고유값 가 불연속적인 값을 갖고 그 값은 (49) 임을 알 수 있다. 지금까지 결과를 정리하면 (41)식으로 주어진 퍼텐셜 에너지 아래서 운동하는 1차원 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 풀이로 구한 파동함수 인 고유함수와 고유값은 (44) (45) (48) 38 서울특별시과학전시관

43 양자역학 (50) 와 같이 계속된다. 여기서 에너지 고유값은 (48)식에서 경계조건으로부터 결정되 었음을 기억하자. 이처럼 입자가 공간의 일부분에 한정되도록 구속받으며 움직 이면 그 입자의 에너지 고유값은 불연속적인 값을 갖게 된다. 그렇지만 앞에서 다룬 퍼텐셜 에너지가 0이어서 공간의 어디에나 존재할 수 있는 자유입자의 경우에는 에너지 고유값이 불연속적이지 않고 연속적인 값이 모두 다 가능하다. 4. 원자의 구조 양자역학은 원자나 분자의 내부세계인 미시세계에 적용되는 자연법칙이다. 그리고 원자 중에서 가장 간단한 것이 수소원자이다. 수소원자에는 전자가 하 나만 포함되어 있다. 수소원자에 대한 정보 중에서 가장 중요한 것이 뜨거운 수소 기체에서 나오는 빛의 진동수이다. 사람들은 뜨거운 수소기체에서는 몇 가지 정해진 진동수의 빛만 나온다는 것을 양자역학이 만들어지기 전에 이미 잘 알고 있었다. 이것을 설명하기 위해 보어가 수소원자모형을 제안하였다. 수 소원자에서 전자들이 안정되게 회전할 수 있는 궤도가 정해져 있고, 전자가 높은 에너지 궤도에서 낮은 에너지 궤도로 이동할 때 그 에너지 차이만큼이 빛으로 나온다는 것이다. 그렇지만 보어의 수소원자 모형만으로는 왜 그렇게 되는지 그 이유를 알 수는 없었다. 이제 원자 문제를 양자역학으로 풀어보자. 원자는 원자핵과 전자로 구성된다. 그런데 원자문제를 양자역학으로 푼다고 하면 슈뢰딩거 방정식을 적용하는 대 상은 원자에 포함된 전자만을 말한다. 원자의 중심부에 자리 잡고 있는 원자 핵은 단순히 전자를 중심방향으로 잡아당기는 전기력을 제공하는 힘의 중심으 로 취급될 뿐이다. 우리가 어떤 문제를 풀고자 할 때 거시세계의 경우에는 문제에서 작용하는 39

44 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 힘만 알면, 그 힘을 가지고 뉴턴의 운동방정 식을 풀기만 하면 풀이가 나올 것이니까 그 문제가 다 해결된 것이나 마찬가지이고, 미시 세계에서도 역시 힘에 해당하는 퍼텐셜 에너 지만 알면, 그 퍼텐셜 에너지를 가지고 슈뢰 딩거 방정식을 풀기만 하면 되니까 그 문제 를 모두 해결한 것이나 마찬가지이다. 그런데 [그림 2] 원자핵과 전자 원자의 경우에 작용하는 퍼텐셜 에너지는 전 기력에 의한 퍼텐셜 에너지뿐이고 이 전기력에 관해서는 우리가 이미 너무 잘 알고 있다. 따라서 원자 문제는 우리가 이미 다 해결한 것이나 마찬가지이다. [그림 2]에 보인 것처럼 전하가 인 원자핵이 원점에 놓여있고 전하가 인 전자가 위치벡터가 인 곳에 놓여있을 때 전자의 전기력 퍼텐셜 에 너지 은 로 주어진다. 여기서 는 원소의 원자번호로 수소의 경우에는 1이고 헬륨은 2 등이다. 원자 문제를 풀기 위해서는 1차원 슈뢰딩거 방정식이 아니라 3차원 슈뢰딩거 방정식을 이용해야 한다. 3차원 슈뢰딩거 방정식은 1차원 슈뢰딩거 방정식인 (5)식을 (51) (52) 과 같이 바꾸어 쓰면 된다. 여기서 은 벡터 미분연산자 두 개를 스칼라 곱한 것으로 직교좌표계와 구면좌표계에서 각각 직교좌표계 : 구면좌표계 : 와 같이 표현된다. 그래서 구면좌표계에서 원자 문제를 계산한다면 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 (51)식으로 주어진 퍼텐셜 에너지 을 이용하여 (54) (53) 40 서울특별시과학전시관

45 양자역학 와 같게 된다. 이 슈뢰딩거 방정식의 독립변수는 등 세 개이므로 (54)식을 풀면 파동함수도 이들 세 독립변수의 함수로 구해지는데, (54)식으로 주어지는 슈뢰딩거 방정식의 선형 미분 연산자를 잘 살펴보면 바로 변수분리가 가능한 형태로 되어 있다는 것을 알 수 있고 그래서 구하는 파동함수 을 에만 의존하는 파동함수 과 각 와 에 의존하는 파동함수 의 곱으로 (55) 라고 쓸 수 있다. 그리고 변수분리법을 적용하여 (54)식으로 주어진 편미분방 정식을 세 개의 상미분방정식으로 바꾸면 그 결과는 방정식 : 방정식 : 방정식 : 가 된다. 슈뢰딩거 방정식인 (54)식으로부터 어떻게 (56)식을 얻게 되는지를 설명하는 것은 우리의 수준을 약간 넘는다. 변수분리를 하면 그냥 (56)식에 도 달한다고만 알아두자. (56)식을 풀면 방정식으로부터 에너지 고유값인, 방정식으로부터 총각운동량 고유값인 그리고 방정식으로부터 각운동량의 성분 고유값인 등을 얻는다. 수소원자의 경우 변수분리 된 슈뢰딩거 방정식인 (56)식 중에서 마지막 방 정식에 을 대입하고 풀면 에너지 고유값인 은 여기서 (56) 와 같이 간단히 주어진다. 이 에너지 고유값에 대한 표현식에서 과 는 각 각 전자의 질량과 전자가 지닌 전하의 크기이다. 그리고 이 에너지 고유값은 앞에서 다룬 무한히 깊은 우물에서와 마찬가지로 불연속적인 값만 가능한데 그 값은 (57)식의 에 1, 2, 3 등의 숫자를 대입해서 얻는다. 즉 일 때는 고유에너지가 이고 일 때는 고유에너지가 이다. 여기서 (57) 41

46 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 에너지 앞에 마이너스 부호가 붙은 것은 전자가 원자핵에서 무한히 멀리 떨어 져 있을 때의 퍼텐셜 에너지를 0으로 놓았기 때문이다. 그래서 수소원자의 바 닥상태에 놓인 전자에 의 에너지를 가하면 이 전자를 수소원자핵에서 무한히 멀리 떼어놓을 수 있다. 그리고 값이 커질수록 값도 더 커지는데, 서로 다른 값에 대응하는 에너지가 바로 보어의 수소원자 모형에서 가능한 궤도들이 갖는 에너지이다. 그리고 서로 다른 값에 대응하는 높은 에너지에 놓인 전자가 더 낮은 에너지로 떨어질 때 그 차이만큼의 에너지가 빛으로 방 출된다. 이렇게 에너지 고유값을 결정하는데 이용되는 과 같은 숫자를 양자수라고 부른다. 수소원자에 포함된 전자의 상태는 이러한 양자수들에 의해서 다른 상 태와 구별된다. 수소원자에 포함된 전자 뿐 아니라 미시세계에 존재하는 상태 들은 모두 이와 같은 양자수로 그 상태를 구별하는데 미시세계의 상태를 지정 하는 데는 대개의 경우 여러 종류의 양자수가 이용되고 이러한 양자수가 모두 같은 두 상태를 동일한 상태라고 부른다. 이렇게 여러 종류의 양자수가 있으 므로 양자수마다 따로 이름을 정해서 이용하는데 수소원자의 경우 에너지 을 결정하는데 이용된 양자수인 을 주양자수라고 부른다. (5)식으로 주어지는 슈뢰딩거 방정식에 들어있는 퍼텐셜 에너지 이 구 면 대칭성을 가질 경우, 즉 퍼텐셜 에너지 의 값이 중심에서 거리를 나타내 는 좌표인 에만 의존하고 방향을 가리키는 좌표인 와 에는 의존하지 않아 서 이라고 쓸 수 있을 경우, 그러한 퍼텐셜 에너지에 의해 결정되 는 고유함수로 기술되는 상태에서는, 그런 상태를 고유상태라고 부르는데, 각 운동량 값도 좋은 양자수로 이용된다. 그래서 그러한 고유상태의 각운동량 값 도 바뀌지 않고 일정한 값을 가질 뿐 아니라 연속되지 않고 띄엄띄엄한 값을 가지고 있다. 다시 말하면 각운동량도 양자화 되어 있다. (51)식으로 주어진 원자에 적용되는 퍼텐셜 에너지도 에만 의존하는 구면 대칭성을 갖는다. 그 러므로 원자에서도 각운동량이 좋은 양자수이다. 각운동량은 벡터양이므로 각운동량이 무엇인지 알려면 그 크기와 방향을 알아야 한다. 회전과 연관된 물리량의 방향은 회전하는 방향으로 오른 나사를 돌릴 때 오른 나사가 진행하는 방향으로 정의된다. 그래서 [그림 3]에 보인 것처럼 회전하는 물체가 있을 때 이 물체의 각운 동량을 벡터로 그리면 그림 3에 표시한 화살표와 같다. [그림 3] 회전하는 즉 위에서 보아 시계 반대방향으로 회전하면 그렇게 회 물체의 각운동량 벡터 42 서울특별시과학전시관

47 양자역학 전하는 물체의 각운동량 벡터는 위로 올라 오는 방향이다. 그래서 이제부터 각운동량 을 벡터로 표시하고 그 벡터가 어떤 방향 을 가리키면 그것이 어떤 방향을 향하며 회전하는지 이해할 수 있어야 한다. 그런데 양자역학 이론에 정해진 것에 따 르면 각운동량은 양자화 되어 있다. 그 이 야기는 어떤 정해진 축에 대한 각운동량의 [그림 4] 각운동량의 양자화 성분을 보면 연속된 값을 갖는 것이 아니 라 [그림 4]에 보인 것처럼 꼭 씩 차이가 나지 않으면 안 된다는 의미이다. 이 축의 이름을 어떻게 불러도 상관없지만 보통 축이라고 부른다. 그리고 각 운동량의 축 성분이 씩 차이나는 값을 가져야만 한다는 것은 미시세계에서 각운동량 벡터가 가리키는 방향이 제한받는 다는 의미이다. 만일 이 축 성분 중에서 가장 큰 값이 의 배라면 그 다음 값은 배 이고 그 다음 값은 배 등이어야 한다. 그리고 이 축 성분 중에서 가장 작은 값은 이어야만 한다. 그렇게 되기 위해서는 이 자연수 또는 자연수 의 홀수배가 아니면 안 된다. 즉 은 0, 1, 2, 3... 이든가 또는 1/2, 3/2, 5/2... 등이어야만 한다. 정말 그런지 확인해 보자. 만일 이라면 이 고 -0.3,, 이기 때문에 이 각운동량의 가 장 작은 축 성분이 될 수 없다. 그리고 어떤 상태가 갖는 각운동량의 축 성분의 최대값이 의 배라면 그 각운동량의 크기 은 로 주어지며, 이 각운동량의 축 성분 는 (58), 여기서 (59) 로 쓸 수 있는데 여기서 값은 부터 까지 1씩 차이를 둔 값을 가질 수 있어서 가능한 값의 수는 모두 가지이다. 수소원자에 포함된 전자의 각운동량의 크기와 방향은 이처럼 두 수 과 값으로 정해진다. 그래서 이 두 수를 각각 각운동량 양자수 그리고 자기( 磁 氣 ) 양자수라고 부른다. 그러므로 수소원자에 들어있는 전자가 속한 상태는 주양 자수, 각운동량 양자수, 그리고 자기 양자수 등 세 개의 양자수로 정해 지고 구별된다. 그런데 앞에서 본 것처럼 수소원자에 포함된 전자의 에너지 을 표현한 (57)식에는 주양자수 만 포함되어 있고 각운동량 양자수 과 자 43

48 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 기 양자수 은 들어있지 않다. 그러므로 각운동량 양자수 과 자기 양자수 은 서로 다르더라도 주양자수 만 동일한 상태에 속한 전자의 에너지는 모 두 같다. 그런데 슈뢰딩거 방정식을 풀면 어떤 주양자수 에 포함된 상태의 각운동량 양자수 는 주양자수 보다 작아야만 한다. 그리고 (59)식에서 본 것 처럼 자기 양자수 의 절대값은 각운동량 양자수 보다 더 클 수 없다. 원자에 포함된 전자의 에너지가 클수록 전자는 원자핵에서 더 먼 곳에 분포 되어 있는데, 전자가 분포된 모습이 마치 구껍질을 이루고 있는 것처럼 보인다. 그래서 원자에 포함된 전자를 주양자수에 따라서 분류하고 주양자수 =1 일 때 K 껍질 주양자수 =2 일 때 L 껍질 주양자수 =3 일 때 M 껍질 (60) 주양자수 =4 일 때 N 껍질 등으로 부른다. 뜨거운 기체가 내는 빛의 선스펙트럼을 조사하여 그 빛의 진동수 로부터 에 의해 그 빛이 어떤 두 상태의 에너지 차이에 의해서 방출된 빛인지 알아낼 수 있다. 그렇지만 전자의 각운동량 상태가 무엇인지는 알 도리가 없 다. 다시 말하면 전자의 각운동량 상태를 직접 측정할 방법은 없다. 그런데 1896년에 네덜란드의 물리학자 제만은 그의 스승인 로렌츠와 함께 빛을 내는 기체를 강력한 자기장 아래 놓았더니 자기장을 가하지 않았을 때와 비교하여 선스펙트럼 수가 더 많아지는 것을 관찰하였다. 그것을 제만 효과라고 부른다. 이 효과는 양자역학이 나온 뒤에 양자역학이 얼마나 큰 위력을 가졌는지 보여 주는 예가 되었다. 전자가 원자핵 주위를 회전하면 마치 전기회로를 형성하는 것과 마찬가지이다. 이러한 전기회로는 자기쌍극자의 역할을 하게 된다. 즉 조 그마한 자석 역할을 하게 되는 것이다. 그리고 이 자기쌍극자에 자기장을 가 하면 자기쌍극자의 퍼텐셜 에너지가 바뀐다. 전기현상에서 전기쌍극자와 자기현상에서 자기쌍극자는 서로 비교하여 살펴 보면 좋다. 전기현상의 경우 크기가 와 인 두 점전하가 [그림 5]의 왼쪽 에 보인 것과 같이 간격 만큼 떨어져 놓여 있을 때 전기쌍극자라고 하며 이 전기쌍극자는 전기쌍극자 모멘트 [그림 5] 전기쌍극자와 자기쌍극자 44 서울특별시과학전시관

49 양자역학 를 가지고 있다고 말한다. 여기서 의 방향은 점전하 에서 를 향하는 방향이다. 한편, 자기현상의 경우에는 그림 5의 오른쪽에 보인 것과 같이 반지 름이 인 원형 회로에 전류 가 흐를 때 이것을 자기쌍극자라고 하며 이 자 기쌍극자는 자기쌍극자 모멘트 를 가지고 있다고 말하고, 여기서 벡터 의 크기는 회로의 넓이인 과 같고 벡터 의 방향은 전류 가 흐르 는 방향으로 오른 나사를 돌릴 때 나사가 진행하는 방향과 같다. 이제 전기쌍극자 를 균일한 전기장 안에 놓을 때의 퍼텐셜 에너지를 라 하고 자기쌍극자 를 균일한 자기장 안에 놓을 때의 퍼텐셜 에너지를 라 하면 그리고 가 된다. 그런데 전자의 자기쌍극자 모멘트 는 전자의 각운동량 과 비례관 계에 있다. 전자가 반지름이 인 회로를 속력 로 회전한다면 이때 회로에는 전자의 전하량 한바퀴 도는데 걸린 시간 인 전류가 흐른다고 생각할 수 있고, 전자의 질량을 이라면 전자의 각운동 량의 크기 은 이므로 자기쌍극자 모멘트의 크기 를 다시 표현하면 이 된다. 여기서 전자가 그림 5에서처럼 회전하면 면벡터 의 방향은 각운동 량 벡터 의 방향과 같다는 것을 이용하여 (63)식의 두 번째 식을 구하였다. 그러면 (63)식으로부터 자기쌍극자 모멘트 의 축 성분 는 각운동량의 축 성분 와의 사이에 (61) (62) (63) (64) 의 관계가 있음을 알 수 있다. 여기서 각운동량의 축 성분인 를 자기 양자 수 에 의해 로 표현하였다. (64)식에서 원자에 속한 전자의 자기쌍 극자 모멘트의 축 성분 가 자기 양자수 에 비례하는 비례상수는 전자의 자기쌍극자 모멘트를 표시하는 단위로 이용되어 특별히 보어 마그네톤 라고 부르는데, 그 값은 (64)식으로부터 (65) 45

50 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) 임을 알 수 있다. 원자를 자기장 아래 놓으면 원자에 포함된 회전 운동을 하는 전자 들의 자기쌍극자 모멘트 가 자기장과 상호작용하여 퍼텐셜 에너지가 바뀐다. 이때 에너지가 바뀌는 정도 는 (61)식에 의해 가 된다. 여기서 은 전자의 자기 양자수로 에서 까지 값을 갖는다. 그 래서 주양자수가 인 상태에 속한 전자의 에너지는 자기장을 가하지 않은 경 우 모두 동일한 에서 자기장을 가하면 (66) (67) 로 바뀌게 된다. 즉 값에 따라 에너지가 다른 여러 상태로 바뀐다. 그래서 그림 6에 보인 것과 같이, 예 를 들어 각운동량 양자수가 1인 상태는 자기장을 가 하지 않았을 때는 1개의 선스펙트럼을 나타내지만 자기장을 가한 뒤에는 선스펙트럼의 수가 3개로 바 뀐다. 이것이 제만 효과가 나타나는 이유이다. [그림 6] 제만 효과 양자역학 발전의 초기에 지금까지 설명한 것으로 원자들에 대한 문제가 모두 순조롭게 해결된 것은 아니었다. 원자에 자기장을 가했을 때 선스펙트럼이 분리되는 수는 각운동량 양자수 이 얼마인지를 알려 준다. 즉 각운동량 양자수가 이면 선스펙트럼이 분리되어 보이는 선의 수는 개이다. 그래서 이 정수이면 분리되는 수는 항상 홀수이어야 한다. 그 리고 당시까지 알려진 것에 따르면 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 상태의 각운 동량 양자수 은 항상 0보다 작지 않은 정수이어야만 하였다. 그런데 자기장을 가하였을 때 원자의 선스펙트럼이 짝수 개로 갈라지는 것을 관찰하게 되었다. 그런 현상을 그때는 도저히 설명할 수 없었기 때문에 비정상 제만 효과라고 불렀다. 이 문제는 전자의 각운동량에 대해 아주 중요한 성질을 발견하는 계기가 되 었다. 1922년에 독일의 물리학자 슈테른과 게를라흐는 각운동량이 0이라고 생 각되는 은 원자를 균일하지 않은 자기장에 통과시키는 실험을 수행하면서 이 들이 두 개의 성분으로 나뉘는 것을 관찰하였다. 이것은 자기장 내에서 선스 펙트럼이 나뉘는 현상과는 조금 다르지만 아무튼 두 개로 나뉜다면 그것은 각 운동량 양자수가 정수가 아니라 임을 의미하는 것이었다. 46 서울특별시과학전시관

51 양자역학 그때까지 각운동량이라는 것은 물체가 회전 운동할 때 갖는 것으로 알고 있 었다. 그런데 슈테른과 게를라흐가 발견한 것은 전자가 공간에서 회전운동을 하지 않더라도 각운동량을 갖고 있는 것처럼 행동한다는 사실이었다. 다시 말 하면 회전운동을 하지 않는 전자도 마치 각운동량 양자수가 인 경우와 같 은 자기쌍극자 모멘트를 갖고 있었던 것이다. 이와 같은 전자의 각운동량을 전자의 고유스핀이라고 부른다. 전자의 고유스핀이 발견된 것을 계기로 원자 내의 전자 상태를 구분하는데 주양자수 과 각운동량 양자수, 그리고 자기 양자수 과 더불어 네 번째로 전자의 고유 스핀과 연관된 스핀 양자수 에 의해서도 구분되는 것을 알게 되었으며 비정상 제만 효과를 제대로 이해할 수 있게 되었다. 그리고 수소원 자보다 더 큰 원자에서 관찰되는 모든 선스펙트럼을 제대로 설명할 수 있게 되었다. 그 때 이용된 것이 파울리의 배타원리이다. 배타원리란 원자에 포함된 전자들은 어떤 두 개의 전자도 위에서 설명한 네 개의 양자수가 모두 동일한 값을 가질 수는 없다는 것이다. 파울리의 배타원리를 적용하면 (60)식으로 주어진 각 껍질에 들어갈 수 있는 전자의 수가 제한된다. 예를 들어, 주양자수가 인 K껍질을 보자. 원자에 속한 전자의 에너지 고유값은 (57)식에 의해 주양자수 만에 의해 결정되므로, K껍질에 포함된 전자의 에너지는 모두 V이다. 그런데 K껍질에서 가 능한 각운동량 양자수 은 주양자수 보다 작아야 하기 때문에 만 가능하다. 그리고 자기 양자수 은 부터 까지 가능하기 때문에 만 가능하다. 마지막으로 스핀 양자수 는 항상 ± 등 두 가지가 가능하다. 그러므로 K껍질에 들어갈 수 있는 전자의 수는 모두 2개이다. 이런 방법으로 주양자수가 인 껍질에 들어갈 수 있는 전자의 수 을 계산하면 가 된다. 이식의 우변에서 처음 숫자 2는 어떤 조합에 대해서도 두 개의 스핀 양자수 가 가능함을 표사하는 것이고, 각운동량 양자수 에 대한 더하 기는 주어진 주양자수 에 대해 각운동량 양자수는 에서 까지 가 능함을 표시하는 것이며 더하는 수 은 각 각운동량 양자수 에 대하여 자기 양자수 의 수가 가지 있음을 표시하는 것이다. (68)식에 의해 계 산하면 처음 몇 개의 껍질에 들어갈 수 있는 전자의 수의 최대값은 K껍질 2개, L껍질 8개, M깝질 18개, (69) (68) 47

52 2013 중등 과학과 1 2급 정교사 자격연수(물리) N껍질 32개, O껍질 50개, P껍질 72개 등이다. 이렇게 하여 원자번호에 따라 비슷한 성질의 원소가 다시 나타나는 원소의 주기율표에 나타난 성질을 잘 이해할 수 있게 되었다. 원자번호가 인 원소의 경우에는 (69)식으로 주어진 방법에 따라 가장 낮은 에너지 껍질부터 차례로 전자들이 채워지는데, 만일 가장 높은 에너지 껍질에 단지 전자가 1개 만 들어 있으면 알칼리 금속이라 불리는 1족 원소가 된다. 그리고 가장 높은 에너지 껍질에 전자가 (69)식으로 주어진 숫자만큼 꽉 차 있으면 비활성 기체 라 불리는 18족 원소가 되며 꽉 차있는 수에서 1개가 모자라는 만큼 차 있으 면 할로겐 원소라 불리는 17족 원소가 된다. 그런데 파울리의 배타원리를 이용하여 이렇게 원소의 주기율표에 나타난 원 자들의 성질을 잘 이해할 수 있게 되었지만, 파울리의 배타원리가 왜 성립하 는지에 대한 의문은 역시 양자역학이 해결하여 주었다. 원자에 포함된 전자에 대한 모든 정보는 그 전자를 대표하는 파동함수 에 포함되어 있다고 말 할 수 있다. 여기서 는 네 개의 양자수가 정해지면 결정되는 상태를 지칭한다. 그러면 원자에 포함된 두 전자를 대표하는 파동함수 를 어떻게 쓸 수 있을까? 한 가지 생각할 수 있는 방법은 (70) 라고 쓰는 것이다. 이 식은 첫 번째 전자는 라는 상태에 놓여있고 두 번째 전자는 라는 상태에 놓여있음을 의미한다. 그런데 전자( 電 子 )와 같은 미시세계에 속한 입자들은 모두 동일하게 생겼다 는 특징이 있다. 그래서 두 전자를 서로 바꾸어 놓더라도 도저히 구별할 수 없다. 앞에서 설명한 것처럼, 파동함수 자체는 그 파동함수가 대표하는 입자에 대한 모든 정보를 포함하고 있을 뿐이지 직접 측정되는 물리량과는 아무런 관 계가 없다. 그런데 파동함수의 절대값을 제곱한 은 대상 입자가 위치 에 존재할 확률을 가리킨다. 그래서 두 입자를 대표하는 파동함수인 (70)식이 그 두 입자를 바꾸어 놓더라도 바꾸었는지 아닌지 구별할 수 없다는 성질을 만족하려면 는 ± (71) 를 만족하여야 한다. 그러나 (70)식으로 표현된 두 입자 파동함수는 (72) 이기 때문에 (71)식으로 주어진 두 입자가 동일 입자일 조건을 만족하지 못한다. 그 조건을 만족할 수 있는 방법으로 두 가지가 가능한데, 그것은 48 서울특별시과학전시관

53 양자역학 ± 이다. 대입해보면 바로 확인할 수 있는 것처럼 ± ± 이다. (73)식으로 표시되는 두 입자의 파동함수에 대한 두 가지 표현 중에서 가운 데 부호가 +인 경우를 대칭 파동함수라 하고 -인 경우를 반대칭 파동함수라 한다. 그런데 반대칭 파동함수의 경우에는 만일 라면, 즉 두 상태를 대표 하는 양자수들이 모두 같다면 (75) 이 된다. 그래서 이런 경우에는 어떤 두 입자도 동일한 상태에 존재할 수 없다. 바로 이것이 파울리의 배타 원리가 성립된 이유이다. 즉, 미시세계에 속한 입 자들은 모두 똑같이 생겨서 두 입자를 바꾸어 놓더라도 구별할 수 없는데, 그런 성질을 만족하려면 어떤 두 입자도 모든 양자수가 동일한 상태에 놓일 수가 없게 된다. 이처럼 양자역학은 파울리의 배타원리가 성립한 이유를 자동으로 제공하여 주는 것을 볼 수 있다. 그런데 물론 파울리의 배타원리가 적용되지 않는 경우도 있다. 그것은 (73) 식에서 두 입자의 파동함수가 대칭 파동함수인 경우이다. 여기서 놀라운 일이 있다. 미시세계에 속한 입자들을 바로 두 입자의 파동함수를 대칭 파동함수로 쓰느냐 반대칭 파동함수로 쓰느냐에 따라 두 가지로 분류할 수 있다는 점이 다. 전자( 電 子 )의 파동함수는 항상 반대칭 파동함수로 써야 한다. 그런데 파이 메존이라고 불리는 미시세계에 속한 입자의 파동함수는 항상 대칭 파동함수로 써야만 한다. 전자와 같이 파동함수를 반대칭 파동함수로 쓰는 입자들을 한꺼 번에 페르미온이라고 부르고 파이메존과 같이 파동함수를 대칭 파동함수로 쓰 는 입자들을 한꺼번에 보존이라고 부른다. 페르미온은 이태리 출신의 유명한 핵물리학자 페르미의 이름을 따온 것이고 보존은 인도 출신의 유명한 물리학 자 보제의 이름을 따온 것이다. (73) (74) 49

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