슬라이드 제목 없음

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하윤 오
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1 제 2 장 연속

2 2. 연속신호란? 연속신호 (cotiuous-time sigal) 는모든연속적인시간 t 에대하여정의 수학적정의 : 시각 t 과극한적으로매우작은양의실수 e 에대하여 x(t + e) = x(t - e)=x(t) 을만족하면신호 x(t) 는 t 에서연속이라고정의 x(t) t 그림 2. 연속신호의예

3 2. 연속신호란? 단위임펄스함수 (Uit Impulse Fuctio) t 2 x( t) δ ( t) = x(), 단 t < < t t 2 δ(t) p (t) t t 그림 2.2 (a) 단위임펄스함수 (b) 구형파함수의극한 2

4 2. 연속신호란? 단위계단함수 (Uit Step Fuctio) ut (), t > =, t < U(t) t 그림 2.3 연속단위계단함수 3

5 2. 연속신호란? 단위램프함수 (Uit Ramp Fuctio) r( t) = t,, t t < r(t) t 그림 2.4 단위램프함수 4

6 2. 연속신호란? 연속신호분류 x( t) = A cos( Ω o t+ φ ) A -A t a) 주기신호 (a) t b) 비주기신호 (b) 그림 2.6 주기신호비주기신호 5

7 2.2 연속시스템이란? 연속시스템이란입력신호로연속신호를받아들여출력신호로역시연속신호를내보내는모든시스템 일반적으로입력신호 x(t) 은시스템에의하여신호 y(t) 로변형 { x( )} y( t) S t t x (t) y(t) t 입력 연속시스템 출력 그림 2.8 연속시스템 6

8 2.2 연속시스템이란? 연속시스템의분류 선형과비선형시스템 임의의신호 x (t) 과 x 2 (t) 에대하여중첩원리를만족 { a x t) + a x ( t) } = a S{ x ( t) } a S{ x ( )} ( t S + x( t ) x2( t ) a a2 + S y(t ) x( t ) S a + y' ( t ) x2( t) S a2 그림 2.9 중첩의원리 ( 만일 y(t)=y'(t) 이면시스템은선형 ) 7

9 2.2 연속시스템이란? 시변과시불변시스템 시스템의특성이시간에따라변하지않으면시불변시스템이라한다. x(t) y(t) t S t x(t ) y t t ) t ( t S t t t 그림 2. 시불변시스템의입출력관계 8

10 2.2 연속시스템이란? 기억시스템과무기억시스템 기억시스템은출력이과거, 현재, 미래의입력값에따라결정되는반면무기억시스템은오직현재의입력값에따라출력이결정됨 x ( t ) S { x ( t t ), x ( t ) y ( t ) x ( t + t ) } (a) x ( t ) S { x ( t )} y ( t ) (b) 그림 2. (a) 기억시스템 (b) 무기억시스템 9

11 2.2 연속시스템이란? 인과시스템과비인과시스템 어느시각 t 에서시스템의출력이 t 이전의입력값에의하여결정된다면시스템은인과적 (causal) 이라고한다. x(t) y(t) S t t (a) x(t) y(t) t S' (b) t 그림 2.2 (a) 인과시스템 (b) 비인과시스템

12 2.2 연속시스템이란? 안정시스템과비안정시스템 유한한 Mx와 My에대해모든 t가 < x ( t) M <, y( t) x M y x(t) y(t) S t t (a) x(t) y(t) t S' (b) t 그림 2.3 (a) 안정시스템 (b) 비안정시스템

13 2.3 연속선형시불변시스템 연속시스템 = 시스템의입출력이모두연속신호인경우 시스템해석 = 특정입력에대한시스템의출력을결정하는문제 선형시스템해석 선형시불변시스템 (LTI system) 의경우 입출력에대한미분방정식 N d y dt N i M ( t) d y( t) + a = N i i i= dt = b d x( t) dt a 와 b 는시스템특성에따라결정되는매개변수 2

14 현재이이미지를표시할수없습니다. 2.3 연속선형시불변시스템 컨벌루션적분 시스템의선형성과시불변성질을활용해서컨벌루션적분 (covolutio itegral) 이라는결과식을얻을수있다. 단위임펄스함수의체질성질 (siftig property) x ( t) = x( t) δ ( t τ ) dx 시스템출력이 (Impulse respose) 시스템응답은 y( t) = = = S x( t) ] x( τ ) S = S δ ( t τ )] x( τ ) h( t τ ) dx 임의의신호 x(t) 는가중치 x( ) 가곱해진단위임펄스의합으로표현될수있다 δ ( )] h( t) = S t x( τ ) δ ( t τ ) dx 연속신호 x(t) 과임펄스응답 h(t) 와의컨벌루션적분이라고부르고 x(t)*h(t) 으로표기 τ 3

15 2.3 연속선형시불변시스템 그림 2.4 그림으로푸는 컨벌루션적분 ( 계속 ) 4

16 2.3 연속선형시불변시스템 그림 2.4 그림으로푸는컨벌루션적분 5

17 2.3 연속선형시불변시스템 컨벌루션의성질 시간영역에서의 LTI 시스템의입출력해석 교환법칙 - 입력신호와시스템의응답의역할을바꾸어도시스템의출력은같다 x ( t)* h( t) = h( t)* x( t) 그림 2.5 컨벌루션의교환법칙 6

18 2.3 연속선형시불변시스템 결합법칙 - 두개의시스템이종속으로연결된경우두시스템의임펄스응답의컨벌루션을새로운임펄스응답으로갖는하나의시스템으로대체할수있다 t)* h ( t) ]* h ( t) x( t)* h ( t)* h ( )] x = h ( t) = h ( t)* h2 ( t) ( 2 2 t x(t) h ( t) h 2 ( t) y(t) x(t) h() t = h () t h () 2 t y(t) 그림 2.6 컨벌루션의결합법칙 7

19 2.3 연속선형시불변시스템 배분법칙 h ( t) + h ( t) ] = x( t)* h ( t) x( t)* h ( ) x ( t)* t 그림 2.7 컨벌루션의배분법칙 8

20 2.3 연속선형시불변시스템 안정 LTI 시스템 시스템이 BIBO 안정하기위한조건도선형시불변시스템인경우임펄스응답을이용하여다음과같이구할수있다. h (τ ) dx < 식 (2-4) 9

21 2.4 미분방정식으로표현되는시스템 연속시스템의구성요소 M N 다음미분방정식에서인모든유한차원의선형시불변연속시간시스템은다음에설명하는가산기, 감산기, 승산기, 그리고적분기의기본구성요소로구현이가능하다. 적분기 y( t) = y( t) + t t N d y dt x( τ ) dx, 미분방정식으로표현하면 N i M ( t) d y( t) + a = N i i i= dt = t t dy( t) dt = x( t) x (t) y t ) = y ( t ) + x ( τ ) dτ ( t t b d x( t) dt 그림 2.8 적분기 2

22 2.4 미분방정식으로표현되는시스템 가산기, 감산기, 스칼라승산기 x ( ) x t) + x ( ) t ( 2 t 그림 2.9 가산기 x 2( t ) x ( ) x t) x ( ) t _ ( 2 t 그림 2.2 감산기 x 2( t ) x (t) K y ( t ) = Kx( t ) 그림 2.2 스칼라승산기 그림 가산기, 감산기, 스칼라승산기 2

23 y''() t = 3 x() t 2 y() t + 2 x'() t + 5 y'() t yt () = (3 xt () 2 yt ()) dx+ (2 xt () + 5 yt ()) dx 22

24 23

25 해석 미분방정식 y(t)=yh(t)+yp(t) 단위계단응답의미분 구현 yh(t)+yp(t)? BLOCK 선도 실험 Y(t) Covolutio itegral 임펄스응답 y(t)=x(t)*h(t) 24

26 MATLAB(CEMTOOL) 해석 미분방정식 y(t)=yh(t)+yp(t) dsolve, 입력, diff Simtool simuli Symbolic math dsolve BLOCK 선도 시뮬레이션 Y(t)? 임펄스응답 y(t)=x(t)*h(t) 25

27 제 3 장 이산 26

28 3. 이산신호란? 2 장에서배운바와같이연속신호가모든연속적인시간 t 에대하여정의되는 반면이산신호는특정한시각에서만값을갖는신호로정의한다. x( t ) x] 샘플링 t -2-2 (a) (b) 그림 3. (a) 연속신호의예 (b) 이산신호의예 연속신호 x a (t) 를 T s 의일정한간격으로샘플링하면 x] = x a (T s ) 로표현된이산신호를얻게된다. 27

29 3. 이산신호란? 단위임펄스함수 (Uit Impulse Fuctio) 아래의식과같이정의한다. δ ] = = δ] 는 =에서값이 인단위샘플을의미한다 δ] δ ] (a) 그림 3.2 (a) 단위임펄스함수 (b) (b) 시간이동된단위임펄스함수 28

30 3. 이산신호란? 임의의 x] 을임펄스함수로표현하면 x ] = + x ] δ + ] x] δ ] + x] δ ] + = = x ] δ 4 ] x] 그림 3.3 단위임펄스함수를이용한이산신호의표현 29

31 3. 이산신호란? 단위계단함수 (Uit Step Fuctio) 아래의식과같이정의한다. u ] = < 이 보다크거나같은모든정수에대하여크기가 인값을갖는함수이다. u] 그림 3.4 단위계단함수 3

32 3. 이산신호란? 단위램프함수 (Uit Ramp Fuctio) 아래의식과같이정의한다. r ] = < r] 그림 3.5 단위램프함수 3

33 3. 이산신호란? 지수함수 (Expoetial Fuctio) 아래의식과같이정의한다. x ] = a a 가실수라고하면 x] 도실함수가된다. a = j re θ 만약 a가복소수이면로표현되고 x] 은정현파로표현할수있다. x ] = r = r e jθ cos θ + j si θ ] 32

34 3. 이산신호란? x ] = Acos ω + φ] A 그림 3.7(a) 주기신호 (a) 그림 3.7(b) 비주기신호 (b) 33

35 3.2 이산시스템이란? 이산시스템 (discrete system) 이산신호를가지고정해진연산을수행하도록하는어떤장치나알고리즘. y ] S{ x ]} x] 입력신호 이산시스템 출력신호 y] 그림 3.8 이산시스템 34

36 3.2 이산시스템이란? 덧셈기 두신호를더해서다른신호를만드는일을수행 x ] + y ] = x ] + x2 ] x 2 ] 그림 3.9 덧셈기 상수곱셈기 단순히어떤신호에상수값을곱하는것이다. x] a y ] = ax ] 그림 3. 상수곱셈기 35

37 3.2 이산시스템이란? 신호곱셈기 두신호를곱해서다른신호로만드는동작을한다. x ] y ] = x ] x 2 ] x 그림 3. 신호곱셈기 x 2 ] 단위시간지연기 통과하는신호를단순히한개의샘플만큼지연시키는동작을한다. x ] y ] = x ] z 그림 3.2 단위시간지연기 단위시간선행기 단위시간지연기와는반대로입력신호를한샘플씩먼저출력하게된다. x] y ] = x + ] z 그림 3.3 단위시간선행기 36

38 3.2 이산시스템이란? 선형 (liear) 과비선형 (oliear) 시스템 선형시스템은임의신호에대하여중첩의원리가만족해야함. S { a x ] + a2x2 ]} = as{ x ]} + a2s{ x2 x ] x2 ] a a2 + s ]} y] x ] s a + y' ] x2 ] s a2 그림 3.5 중첩의원리 ( 만일 y] y`] 이면시스템은선형 ) 37

39 3.2 이산시스템이란? 시변 (time-varyig) 과시불변 (time-ivariat) 시스템 시스템의입력과출력의특성이시간에따라변하지않으면시불변시스템이라하고시간에따라변하면시변시스템이다. x] y] S x ] y ] S 그림 3.6 시불변시스템의입출력관계 38

40 3.2 이산시스템이란? 무기억시스템 (memoryless system) 시각에서의이산시스템의출력이같은시각의입력신호에의해서만결정될때그시스템을무기억시스템 (memoryless system) 이라한다. y ] = 3x ] y ] = x ] + 2x 2 ] 기억시스템 (memoty system) 무기억시스템과반대로과거의입력신호가현재의입력시스템에영향을미칠때기억시스템이라한다. y ] = x ] + 2x 2] + 3x ] 39

41 3.2 이산시스템이란? 인과 (causal) 시스템과비인과 (ocausal) 시스템 어떤시스템의시각 에서의출력이과거나현재의입력값에만의존하고미래의입력값과는무관할때시스템이인과적 (causal) 이라고말한다. x] y] S (a) x] y ] S' (b) 그림 3.7(a) 인과시스템 (b) 비인과시스템 ( 인과시스템은입력이가해진후에만출력이발생함 ) 4

42 3.2 이산시스템이란? 안정시스템 (stable system) 과비안정시스템 (ostable system) 유한입력유한출력 (BIBO : bouded iput bouded output) 안정도 시스템에인가된유한한입력에대한시스템의출력특성을정의한것 유한한 M x 와 M y 에대해모든 에대하여아래식을만족하면시스템은 BIBO 안정하다고말한다. x ] M < y ] x M y < 4

43 3.2 이산시스템이란? x] y] S x] (a) S' y ] (b) 그림 3.8(a) 안정시스템 (b) 비안정시스템 42

44 3.3 이산선형시불변시스템 선형시스템해석 차분방정식을이용하여시스템을해석하는방법 y( ) = G{ y( y ), y( ), y( 2), N], x ], x ],, x M ]} G 는임의의연산자 선형시불변 (liear time-ivariat : LTI) 에서는 y( ) = N a y ] + M = = b x ] {a } 와 {b } 들은시스템의특성에따른매개변수 43

45 이산선형시불변시스템 입력신호가주어졌을때시스템의동작을해석하는또하나의방법은먼저주어진입력을어떤기본신호의합으로분해하는것이다. 만약기본신호 x ] 에대한시스템응답을 y ] 이라하면 선형시스템이므로 = x c x ] ) ( ]} { ] x S y = = = = = y c x S c x c S x S y ] ]} { ]} { ]} { ]

46 3.3 이산선형시불변시스템 컨벌루션합 x ] δ ] = x ] δ ] x ] = + x ] δ + ] + x] δ ] + x] δ ] + = x ] δ ] = x] (a) x ] 45

47 3.3 이산선형시불변시스템 δ ] (b) x ] δ ] (c) x] 그림 3.9 x] 과 δ-] 의곱 46

48 3.3 이산선형시불변시스템 - Fold Shift h] h ] h ] h ] g (a) Mult iply (b) (c) x] v ] v ] v ] Product sequece Product sequece Product sequece (d) 그림 3.2 그림으로푸는컨벌루션연산 47

49 3.3 이산선형시불변시스템 컨벌루션성질 교환법칙 x ] h ] = h ] x ] x] h] y ] h] x] y] 그림 3.2 컨벌루션의교환법칙 결합법칙 { x ] h h ] = h ]} h ] h 2 2 = ] x ] { h ] h 2 ]} x] h ] h 2 ] y] x] h ] = y] h ] h2 ] 그림 3.22 컨벌루션의결합법칙 48

50 3.3 이산선형시불변시스템 배분법칙 x ] { h ] + ]} x ] h ] + x ] h h2 = 2 ] h ] x] + y ] x] h ] = y] h ] + h ] 2 h 2 ] 그림 3.23 컨벌루션의배분법칙 49

51 5 3.3 이산선형시불변시스템 인과 LTI 시스템 인과시스템은어느시각 에서의출력은 = 의입력신호값에의해서만결정된다고정의 x 를기준으로과거와현재의입력성분과미래의입력성분을구분하면 인과적이기위해서는임펄스응답이다음관계식을만족하여야한다. = = x h y ] ] ] ] 2] 2] ] ] ] 2] 2] ] ] ] ] ] ] ] ] ] = + = = = x h x h x h x h x h x h x h y ] < = h

52 3.3 이산선형시불변시스템 안정 LTI 시스템 시스템이 BIBO 안정하기위한조건도선형시불변시스템인경우 = h ] < 5

53 3.3 이산선형시불변시스템 유한임펄스응답 (fiite-duratio impulse respose: FIR) 시스템 어느유한한구간외에는임펄스응답이 의값을갖는시스템. 컨벌루션식은 h ] = < 과 y ] M = 시스템의출력은유한개의입력샘플의선형조합으로이루어진다. 무한임펄스응답 (ifiite-duratio impulse respose : IIR) 시스템 무한구간에서임펄스응답이존재하는경우를의미 인과시스템인경우 IIR 시스템의출력은 = h ] x ] M y ] = = h ] x ] 52

54 3.4 차분방정식으로표현되는시스템 차분방정식의표현법 과거의출력값이현재의출력값을구하는데필요한시스템을재귀시스템 (recursive system) 이라한다. y ] = G{ y ], y 2],, y N], x ], x ],, x M ]} y] 이현재와과거의값만을의존할경우, 이러한시스템을비재귀시스템 (orecursive system) 이라한다. y ] = G{ x ], x ],, x M ]} 선형시불변 FIR 시스템이인과적일경우그시스템은비재귀적이다. 반면에, IIR 시스템은재귀시스템이된다. 53

55 3.4 차분방정식으로표현되는시스템 x]... G{ y ], y... x ],, x M ]}. N], y] z l x] G{ x ], x..., x (a) ], M ]} (b) y] 그림 3.24 (a) 재귀시스템과 (b) 비재귀시스템의기본형태 54

56 차분방정식으로표현되는시스템 모든선형시불변시스템은아래의차분방정식을이용해표현될수도있다. 또는 a 와 b 는상수, 정수 N 은차분방정식의차수 = = + = N M x b y a y ] ] ] ] ] = = = a x b y a N M

57 차분방정식으로표현되는시스템 선형상계수차분방정식의해 이식에서 x-] 는주어진입력, = 인경우 = = + = N M x b y a y ] ] ] = = + = N M x b y a y ] ] ]

58 차분방정식으로표현되는시스템 차분방정식의해는입력이 x]= 인경우에균일해와특수해의합 균일해 (homogeeious solutio) 입력신호 x]= 이라고가정하면동차차분방정식을얻게된다. 미분방정식을풀때와같이해가이라고가정하면또는 ] ] ] y y y p h + = ] = = N y a y h = λ ] = = N a λ ] 2 2 = N N N N N N a a a a λ λ λ λ λ

59 3.4 차분방정식으로표현되는시스템 괄호안의다항식을시스템의특성방정식이라한다. λ, λ2,, 일반적으로 N 개의근이존재한다. 만약근이서로다른근을갖는다고가정을하면방정식의균일해는다음과같다. C, C2,, C N y h 는가중계수이면초기조건으로구할수있다. λ N ] = C λ + C2λ2 + + λ 중근일경우, 예를들어이 P 개중복되고 N-P 의나머지근이서로다르면균일해는다음과같이된다. y ] h P = C + C2λ + + CP λ + CP + λp + λ + + C C N λ N N λ N 58

60 3.4 차분방정식으로표현되는시스템 특수해 (particular solutio) 차분방정식의특수해 y p ] 은입력 x] 이주어졌을때의근이고입력의형태에따라결정된다. 예제 3.9 y ] +.5y ] = x ] = u ] x ] (3.65) u] 은단위계단함수 입력이 에서상수이므로특수해도상수라가정 해를 3.65 에대입하면 y p ] = Ku ] Ku ] +.5Ku ] = u ] (3.66) 59

61 3.4 차분방정식으로표현되는시스템 에대해식 (3.66) 는 K+.5K= 이되고따라서가된다. 그러므로차분방정식의특수해는아래와같다. K =.5 y p ] = u ].5 6

62 - 다음과같은선형정계수차분방정식을고려하자. N a y ] = b x ] a = = = Questio] 초기치와 x ]( for ) 이주어졌을때 y ] ( for )? 일반적으로출력은다음형태로주어짐 여기서 선형정계수차분방정식의해 M y ] = y ] + y ] h ( y ] 는 homgeeous solutio, h y p ] 는 particular solutio) p 해를구하는방법 () direct method (2) idirect method 6

63 차분방정식의해 : Homogeeous solutio() 동차해 (Homogeeous solutio) 는 x ] = 을가정 - 이때차분방정식은다음과같이주어짐 y ] = λ h a y ] = = 윗식을만족하는해를다음형태로가정 : 해를위식에대입하면 N = = N N N λ ( λ + aλ + + an λ+ an) = N a λ 특성다항식 (characteristic polyomial) 62

64 차분방정식의해 : Homogeeous solutio(2) 따라서해는다음과같은형태로주어짐 y ] = Cλ + C λ + + C λ ( C : 초기치에의해결정) h 2 2 N N i 만일중근이존재하면, 해형태가달라짐. 예로 λ 이 m 차중근을갖는다면 y ] = Cλ + Cλ + + C λ + C λ + + C λ m h 2 m m+ m+ N N 63

65 차분방정식의해 : Particular solutio() 다음식에의해표현되는시스템을고려하자 N M a y ] = b x ], ( a = ) = = 이때출력 y p ] 는입력의종류의의해결정되고, 이러한출력은 particular solutio이라고한다. 입력출력형태입력출력형태 A AM M A K KM M M K + K + + K M M A Acosω Asiω A K K K M M M ( ) K cosω + K siω 2 K cosω + K siω 2 64

66 차분방정식의해 : Particular solutio(2) ( 예 ) x ] = 2 ( ) 일때, 다음시스템의출력을구해보자. 5 y ] = y ] y 2] + x ] 6 6 이때출력은다음과같은형태로추정 이를윗식에대입하면 y ] = K2 p K2 u ] = K2 u ] K2 u 2] + 2 u ]

67 차분방정식의해 : Particular solutio(3) K2 u ] = K2 u ] K2 u 2] + 2 u ] = 2 를만족하는을윗식에대입하면 ( 예 : ) 4K = 2K K + 4 K = y ] = 2 ( ) p

68 차분방정식의전체해 (total solutio)() 전체해는다음형태로주어짐 ( 예 ) y ] = y ] + y ] h y ] + ay ] = x ] α p x ] = u ], y ] = 일때다음시스템의해를구해보자 먼저동차해 (homogeeous solutio) 을구하면 y = + = h ] λ λ aλ λ = a 67

69 차분방정식의전체해 (total solutio)(2) Particular solutio y ] p 은 y ] = Ku ] 이므로, Ku ] + aku ] = u ] p 인임의의 을대입하면, K+ ak= K= + ] ( + a ) y ] = C( a ) + β ( + a ) 즉, α 에서 β 에서 y] + ay ] = y] = a y] = C+ = C = ( + a ) ( + a ) ( a ) y = + a ( ) 제로상태응답( y ] = ) 68

70 차분방정식의전체해 (total solutio)(3) 만일 y ] 이면 α y] + ay ] = y] = ay ] + β y] = C+ ( + a ) C+ = ay ] + ( + a ) a C= ay ] + ( a ) y = a y ] ( ) ] ( ) + a 제로입력응답 제로상태응답 + a 69

71 정계수선형차분방정식의임펄스응답 (2) 임펄스응답을구하는법 () 동차해 (homogeeous solutio) 을구함 N N h ] = λ ] = = = y c h c λ (2) 제로상태 (zero-state), x ] = δ ] 을가정하여 ci 결정 7

72 정계수선형차분방정식의임펄스응답 (3) ( 예 ) 다음시스템의 h ] 을구해보자 y ] 3 y ] 4 y 2] = x ] + 2 x ] homogeeous solutio 은다음과같다. = 일때, =일때, y ] = c ( ) + c (4) c h 2 y] 3 y ] 4 y 2] = x] + 2 x ] = = y] = y] = 5 = = + c = c =, c2 = c + c2 = y] 3 y] 4 y ] = x] + 2 x] = = = = 7

73 해석 차분방정식 y()=yh()+yp() ) 제차차분방정식의해 ( 초기조건고려한영상태응답 ) 2) 직접계산 ) yh()+yp() 2) 직접계산? BLOCK 선도 Y() 임펄스응답 y()=x()*h() Covolutio sum ) 그래픽방법 2) 직접계산 72

74 MATLAB(CEMTOOL) 해석 차분방정식 y()=yh()+yp() Impseq, filter, stem filter,stem BLOCK 선도 Y() cov cov_m 임펄스응답 y()=x()*h() 73

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PowerPoint Presentation Signal Processing & Systems ( 신호및시스템 ) 연속시스템 ( 최재영교수 ) 학습목표 연속시스템정의, 다양한분류학습 연속선형시불변시스템의특징, 시스템해석법학습 컨벌루션적분에대한연산방법연습 연속선형시불변시스템의기본적인특징이외에추가되는특징학습 미분방정식을이용하여연속선형시불변시스템의해석학습 목차 1. 연속시스템과분류 2. 연속선형시불변시스템