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영필 내
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1 Signal Procssing & Sysms 신호및시스템 연속비주기신호의주파수 해석 Pro. Ja Young Choi 최재영교수 Signal Procssing & Sysms 014 Fall Pro. Ja Young Choi

2 HW Fourir Sris Malab Implmnaion HW 논문 Click his box

3 HW Fourir Sris Malab Implmnaion

4 HW Fourir Sris Malab Implmnaion

5 HW HW 첨부논문을읽고 Scion.3 에 Malab 코드를작성. 작성코드결과그림들을얻고그림에대한해석과토의 discussion 내용을첨부논문 Scion 1 과 Scion.1,.,.3, and.4 를참고하여작성하시오. 숙제제출기한 dadlin: 18 h Dcmbr, 014

6 학습목표 주기신호로부터비주기신호를얻는과정을살펴본다. 연속시간푸리에변환식의이해와유도과정을살펴본다 다양한푸리에변환의성질을알아보고예제를통해학습한다 연속선형시불변시스템의시스템해석을가능하게하는컨벌루션을살펴본다. 연속신호의주파수해석을통합적으로정리해본다.

7 목차 1. 연속비주기신호의주파수해석. 연속시간푸리에변환 3. 연속시간푸리에변환의성질 4. 연속신호의통합적주파수해석

8 기본신호의직교특성 Rviw a,b 구간에서직교정의 Φ k* 는신호의공액복소수 complx conjuga, E k 는신호의에너지 δl-k 는크로네커 Kronckr 델타함수 : 사인신호의직교성 : 정규직교집합 orhonomal s : 직교집합신호중에서에너지가 1 인경우 사인파함수들의정규직교집합 : k l E k l k l E d k b a k k l 0,, * k l k l k l 0, 1, n m n m d n m d n m 0,, sin sin * k l k l k l d b a k l 0, 1, *, sin, sin, sin3 sin 4,

9 일반화된푸리에급수gnralizd Fourir sris Rviw Φ i 는 a<<b 범위에서정규직교집합, x 는동일구간에서유한에너지신호 일반화된푸리에급수 : 신호 x 를 Φ i 의집합으로표현 i x c i i 상수 C i 는다음으로정의된다. Φ i 가직교집합일경우 c c i b * i x i a d, 1 b * x i d, i E a i i 0, 1, 0, 1, Fourir Sris Tuorial 푸리에급수의계수 Fourir sris coicins : 상수 C i

10 Scion 01 연속비주기신호의주파수해석 주기신호는특별한형태, 일반적인비주기신호의주파수성분을구하는방법필요 비주기신호의개념 ~ x 주기신호의주기 T 를무한대로증가시켜무한주기를갖는신호 x 생성. 주기가무한대인신호가비주기신호

11 Orhogonal Basis 보충

12 Concp o Fourir Sris 보충 Wighd linar combinaion o orhogonal basis uncions

13 연속비주기신호의주파수해석의개념 주기신호의푸리에급수와계수 : x 주기 T 의무한대확장 : k ~ jk 0 k 0 k 0 1, T 선스펙트럼주파수은간격이조밀해져서결국연속이된다., T k 1 lim T T 1 T / ~ j k x T / d 무한히작은크기 0 d k 0 푸리에급수계수에적용 : k d j ~ x d 주기신호급수에대입 ~ x 는비주기신호 x 에근접, 얻어진푸리에급수의계수를푸리에 j 0 j k x d x d k

14 연속비주기신호의주파수변환유도 연속비주기신호의푸리에급수 이산주파수 k 0 가연속의 로변경 : jk0 j, k j j x d x d x d j j d 내부적분은주파수성분이므로주파수함수가된다. x j d 그리고 x j d

15 연속시간푸리에변환과역변환 연속시간푸리에변환 coninuous-im Fourir ransormaion x j d 비주기신호 x 의주파수함수 연속시간푸리에역변환 invrs coninuous-im Fourir ransormaion x j d 주파수함수 로부터비주기신호 x 를구하는것 연속시간푸리에변환의스펙트럼 주기신호의푸리에급수의계수가선스펙트럼 비주기신호의푸리에변환의계수는연속스펙트럼

16 비주기신호의생성과주파수영역표현 시간영역에서주기신호의주기 T 가계속증가하여무한대에접근하게되면비주기신호가생성 주파수영역에서는푸리에급수의계수들이기본주파수 0 가작아질수록간격이좁아져서최종적으로 0 가 0 에접근할때연속스펙트럼형성

17 Scion 0 연속시간푸리에변환

18 Scion 0 연속시간푸리에변환

19 Scion 0 연속시간푸리에변환

20 Scion 0 연속시간푸리에변환

21 Scion 0 연속시간푸리에변환

22 Scion 0 연속시간푸리에변환

23 Scion 0 연속시간푸리에변환 1 j cos 1 sin j j j j

24 Scion 0 연속시간푸리에변환

25 연속시간푸리에변환표 1 sgn 시그넘 함수 표 -7

26 연속시간푸리에변환표 표 -7

27 Scion 03 연속시간푸리에변환의성질 3.1 선형성 두연속비주기신호의푸리에변환결과 x 1, x 1 푸리에변환은선형성 linariy 을만족다음결과를얻는다. ax1 bx a1 b 여기서 a 와 b 는임의의상수 선형성의활용 F F a x b x 1 a x Fb x Y 1 1 두비주기연속신호의선형결합이푸리에변환된다면, 각각의구성신호에대한푸리에변환결과를선형결합한결과와동일 Y

28 3.1 선형성

29 3.1 선형성

30 3.1 선형성

31 3.1 선형성

32 Scion 03 연속시간푸리에변환의성질 3. 대칭성 가실수의연속비주기신호라고하면, 다음의대칭성을만족 여기서 * 는공액복소수 대칭성의증명 x* 의푸리에변환을구하면, x 가실수이면 따라서다음의결과를얻는다. 양변에공액복소수를취하면공액의대칭을얻는다. * d x d x x F j j * * * * * * x, x * x x * * * * *

33 3. 대칭성 주파수영역표현에서 를극형식 polar orm 으로표현하면 양측에공액복소수를취하면, - 의극형식은 대칭성 -= * 에의해서다음결과를얻는다. 크기스펙트럼은주파수의우함수이며, 위상스펙트럼은주파수의기함수이다. j * j j

34 3. 대칭성 보충 1 주파수스펙트럼복소수로표현 실수 ral 와허수 imaginary 부분

35 3. 대칭성 보충 대칭성 허수 j 성분 즉위상스펙트럼 만변함 크기 Magniud 스펙트럼 spcrum 은우함수대칭성을가짐 위상스펙트럼 spcrum 은기함수대칭성을가짐

36 Scion 03 연속시간푸리에변환의성질 3.3 주파수및시간전이 시간전이 시간전이된신호 x-τ 의푸리에변환 : -τ= 이라고하면 다음과같은결과를얻을수있다. 시간전이성질의활용 d x x F j j j j j j j d x d x d x x F ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' j j x x j 1

37 3.3 주파수및시간전이 주파수전이 -ρ 의푸리에역변환 : -ρ= 로치환하면 따라서다음과같은결과를얻을수있다. d F j 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1 x d d d F j j j j j j x x j j

38 Scion 03 연속시간푸리에변환의성질 3.4 시간척도조절 신호의크기는그대로유지하면서신호의너비를늘이거나줄이는것으로신호파형의길이를증감시킨다. 신호파형의길이를감소시키는것을압축이라고하며, 증가시키는것을확장이라고한다. 시간척도조절신호의주파수스펙트럼응답 시간축에서신호길이를줄이면, 주파수는원래보다높은주파수가되고스펙트럼의모양이좌우로확장된형태가된다. 시간축에서좌우로확장된신호는변화율이낮아져서주파수가낮아지고스펙트럼모양은좌우가압축된형태가된다.

39 시간척도조절신호의주파수스펙트럼응답

40 시간척도조절신호에대한푸리에변환 정의식으로부터 a= 로치환하면, = /a 의관계를얻고다음과같이정리된다. 푸리에변환관계는

41 3.4 시간척도조절

42 3.4 시간척도조절

43 Scion 03 연속시간푸리에변환의성질 3.5 파스벌의정리 신호의총평균전력과신호의푸리에변환평균전력은동일 연속비주기신호의에너지 E * x d x x d x 의푸리에역변환식을적용 E x * j d d 적분의순서를변경하고정리하면 E * x j dd * d d 두표현간의에너지는동일하므로다음과같이정리할수있다. E x d d

44 Scion 03 연속시간푸리에변환의성질 3.6 컨벌루션 연속선형시불변시스템의컨벌루션적분의정의식 : 컨벌루션적분에대한푸리에변환 다음의과정을통해서 d h x d h x h x d d h x h x F j * H d x H d H x d d h x h x F j j j

45 3.6 컨벌루션 시간영역의컨벌루션적분은주파수영역의곱셈과동일 x * y Y x y * Y

46 3.6 컨벌루션

47 3.6 컨벌루션

48 3.6 컨벌루션

49 3.6 컨벌루션

50 Scion 04 연속신호의통합적주파수해석 연속주기신호와연속비주기신호의스펙트럼을구하는과정 연속시간푸리에변환은연속시간푸리에급수로표현되는주기신호의주기를무한대로확장한개념으로, 두방법은근본적으로주파수를구하는동일한개념 연속시간푸리에급수와연속시간푸리에변환을통일해서한가지의방법만으로주파수스펙트럼을구할수있다.

51 Scion 04 연속신호의통합적주파수해석 주기임펄스신호 : p k kt 주기임펄스신호의푸리에급수의계수 : P k 1 T T T 1 0 jk d T 0 jk 0 1 T p 의스펙트럼 : P p 기본주파수는 0 =1/T 1 T k k k T k 의범위가무한대이므로존재하는모든푸리에급수의계수는 Pk 이다.

52 Scion 04 연속신호의통합적주파수해석 임의의신호 x 와 p 의컨벌루션적분연산결과 y

53 Scion 04 연속신호의통합적주파수해석 컨벌루션결과

54 Scion 04 연속신호의통합적주파수해석 시간영역에서의컨벌루션적분은주파수영역에서는곱 y x * p Y P y 를주파수영역에서표현하면 Y 는 의 =k 0 위치에서만값을취하고크기는 1/T 로조정 1 Y k0 T k 신호 y 는주기신호라고생각할수있고한주기에만해당하는신호 x 를푸리에변환하고표본화 sampling 과정을거쳐 Y 를구할수있다.

55 푸리에변환을이용한통합적방법

56 시간영역과주파수영역에서의반복표현과표본화의관계

통신이론 2 장주파수해석 성공회대학교 정보통신공학과 1

통신이론 2 장주파수해석 성공회대학교 정보통신공학과 1 통신이론 장주파수해석 성공회대학교 정보통신공학과 제 장의구성. 시간영역과주파수영역. 푸리에해석.3 푸리에급수.4 푸리에변환.5 특이함수모델.6 푸리에변환쌍.7 푸리에변환과관련된정리들 . 시간영역과주파수영역 3 시간영역과주파수영역 통신에서의신호 - 시간의흐름에따라전압, 전류, 또는전력의변화량을나타낸것 신호를표시할수있는방법 y 진폭 시간영역에서의표현 x 시간 y