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1 <서식5> 탐구보고서 표지 제25회 서울학생탐구발표대회 보고서 출품번호 다층 세포자동자(multi-layer cellular automata)를 이용한 피 포식자 관계 모델링 소 속 청 학 교 명 학 년 성 명(팀명) 서울시 교육청 서울과학고등학교 1 Black Neo [팀원 이름] 강성진 이재범 비고 1. 탐구보고서는 A4 용지에 표지서식 포함 20쪽 이내의 분량으로 작성한 후 좌철 제본 2. 본선 및 고교 예선용 5부 중 4부는 인적사항이 드러나지 않도록 학년만 기록 3. 본문 내용은 탐구동기 및 탐구내용, 탐구절차와 방법, 탐구결과, 결론, 참고문헌 등이 포 함되도록 하며, 신명조 11포인트, 줄간격 160, 좌우 여백 25, 상하 25를 기준으로 함 4. 단체(팀)인 경우, 팀명과 팀원 이름을 기재함 1

탐구보고서는 A4 용지에 표지서식 포함 20쪽 이내의 분량으로 작성한 후 좌철 제본 2. 본선 및 고교 예선용 5부 중 4부는 인적사항이 드러나지 않도록 학년만 기록 3.

2 다층 세포 자동자를 이용한 피 포식자 관계 모델링 1202 강성진, 1408 이재범 지도교사 : 이윤주 초 록 본 연구에서는 다층 세포 자동자(multi-layer cellular automata) 를 이용하 여 자연에서의 생산자 1 차 소비자 (피식자) 2 차 소비자 (포식자) 와의 관계를 알고리즘으로 구현하였고 이를 바탕으로 수학적인 모델을 만들어 개 체 수의 급격한 변화가 없는 평형점에 대해 분석하였다. Ⅰ. 서론 기존의 생태계 포식자 피식자 관계를 모델링 한 것으로 대표적인 예로 Lotka - Volterra 모델을 들 수 있다. [1] 이 모델은 개체 수의 변화를 주안점으로 둔 모델 이다. 하지만 우리의 경우 개체수를 분석하는 것뿐만이 아니라 개체의 2 차원 적인 상호 작용을 고려하기 위하여 세포 자동자(cellular automata) 를 이용하였다. 세포 자동자를 이용한 모델로 대표적으로 Lattice Prey Predator 모델을 들 수 있는데 이 모델에서는 한 셀에 단 한 가지의 정보만 가질 수 있었다. [2] 하지만 우리의 모델에서는 각 개체에 대한 데이터를 여러 개의 층으로 나누어 각각의 층에 서로 대응되는 격자(cell) 가 특정한 알고리즘에 따라 상호 작용한다고 생각하여 개체의 수를 추정할 수 있었다. 이러한 모델을 바탕으로 피식자의 수가 일정하게 나타나는 평형 상태를 분석하였는데 피식자의 평형 상태의 수가 초기 조건에 상관없이 언제 나 일정하게 나타난다는 사실을 확인할 수 있었다. 따라서 우리는 본 연구에서 우 리의 모델에서 어떻게 피식자의 평형 상태에서의 수가 초기 조건과 무관하게 일정 하게 나타나는지를 규명하였고, 평형 상태에 어떻게 도달할 수 있는지 정성적으로 살펴보았다. Ⅱ. 모델 우리의 피식자 - 포식자 모델은 기본적으로 다음과 같은 사실을 가정한다. 1. 모델에 나타나는 모든 개체는 자연사 하지 않는다. 이와 같은 가정을 한 이유는 실제 자연 생태계에서 개체가 다른 동물에 잡혀 먹지 않고 자연사 하는 경우는 극 히 드물기 때문이다. 2

하지만 우리의 경우 개체수를 분석하는 것뿐만이 아니라 개체의 2 차원 적인 상호 작용을 고려하기 위하여 세포 자동자(cellular automata) 를 이용하였다. 세포 자동자를 이용한 모델로 대표적으로 Lattice Prey Predator 모델을 들 수 있는데 이 모델에서는 한 셀에 단 한 가지의 정보만 가질 수 있었다.

3 2. 모든 개체는 격자 형태의 공간에 배치되며, 각 격자 공간에는 0 (개체가 존재 안함) 또는 1 (개체가 존재)의 상태만을 가질 수 있다. 이는 최대한 단순한 모델을 이용하여 결과를 도출하기 위함이다. 우리의 모델을 설명하기 위해서 다음과 같이 기호를 정의한다. Ⅱ-1. 기호 및 용어 정의 먼저 세대 란 알고리즘이 적용된 횟수를 의미하며 처음 무작위로 배열된 상태를 1세대로 한다. II-2에서 설명될 일련의 알고리즘에 따라 이전 세대의 배열 상태에 의해 다음 세대의 배열 상태가 유일하게 결정된다. 셀 은 위에 사용했던 격자 와 동일한 용어로 한 칸을 의미한다. 하나의 셀에는 하나의 정보가 들어가는데 본 알고리즘에서는 1 과 0 의 값을 가질 수 있다. 1 은 개체가 존재하는 것, 0 은 개체가 존재하지 않는 것 이란 맥락으로 이해할 수 있 으나 정확히 몇 마리가 있다고는 단정할 수 없다. 단순히 1 인 셀에는 0 인 셀보다 개체의 수가 더 많다는 정도로만 생각할 수 있다. 어떠한 셀의 값이 0에서 1 로 바 뀌는 것을 탄생, 값이 1 이였던 셀이 다음 세대에서도 1 인 것을 생존, 그리고 1 이었던 셀이 0 으로 바뀌는 것을 소멸 이라고 한다. 또한 변이나 꼭짓점을 공유하 는 셀들은 서로 이웃 하다라고 한다. 그림 1.1 의 오른쪽 그림을 보면 가운데 흰 부분에 이웃하는 셀들이 노란색으로 나타나 있다. 우리의 모델에서 가장 큰 특징인 층 은 생산자, 피식자, 포식자 각각의 개체에 대한 정보라고 볼 수 있다. 각 개체 마다 한 개의 층을 가지므로 3 개의 층이 있다 고 볼 수 있는데, 각각의 층은 N 행 N 열의 2 차원 평면이고, 각 층을 구별하기 위 하여 생산자 층은 정의한 문자를 그대로 사용하고, 피식자 층은 ` 를 붙이고 포식 자 층은 `` 를 붙여서 사용한다. 는 각각 번째 세대의 생산자, 피식자, 포식자 층의 i 행, j 열에서의 셀의 값을 의미한다. 예를 들어 4 번째 세대의 피식자 층의 3 행 2열에 위치한 셀을 나타내기 위해서는 로 표기하면 된다. 는 와 이웃한 셀 들 중 값이 1 인 셀의 개수 이다. 예를 들어 그림 2.2 의 왼쪽 위 그림을 보면 가운데 위치한 풀과 이웃한 셀 중 값이 1 인 것의 개수, 즉 값은 3 이다. 는 번째 세대에서 각 층의 값이 1 인 셀들의 총 개수 이다. 그 림 2.2 의 왼쪽 위 그림의 경우 값이 4 가 된다. 는 각 셀에 평균 적으로 존재하는 개체의 값이다. 3

하나의 셀에는 하나의 정보가 들어가는데 본 알고리즘에서는 1 과 0 의 값을 가질 수 있다. 1 은 개체가 존재하는 것, 0 은 개체가 존재하지 않는 것 이란 맥락으로 이해할 수 있 으나 정확히 몇 마리가 있다고는 단정할 수 없다. 단순히 1 인 셀에는 0 인 셀보다 개체의 수가 더 많다는 정도로만 생각할 수 있다.

4 포식자 피식자 d i, j ( t) 생산자 그림 2.1 생산자, 피식자, 포식자 층과 이웃에 대한 정의 Ⅱ-2. 각 세대별 생산자, 피식자, 포식자의 생존, 탄생, 소멸 조건 모델링 1. 생산자 층 그림 2.2 풀은 생산자, 토끼는 피식자. ⅰ. 생존 조건 ( 일 때 ) : 현재 생산자의 위치에 대응되는 피식자 층의 셀에는 개체가 존재 하지 않아야 한다. (피식자에 의해 먹히지 않을 조건) : 현재 생산자의 이웃들이 피식자 층의 대응되는 셀 의 이웃 수 보다 이상 많아야한다. (이동한 피식자에 의해 먹히지 않을 조건) 두 번째 조건을 그림으로 나타내면 그림 2.2 와 같다. 그림 2.2 는 이 2인 경우 를 나타낸 것이다. 1번 상황은 정 가운데의 생산자의 이웃에 있는 생산자수는 3마 리. 피식자 층에서 대응위치 주위의 피식자 수보다 2개체 더 많아 생존하게 된다. 4

(피식자에 의해 먹히지 않을 조건) : 현재 생산자의 이웃들이 피식자 층의 대응되는 셀 의 이웃 수 보다 이상 많아야한다.

5 하지만 2번 상황은 정 가운데의 생산자의 이웃에는 생산자가 존재하지 않고 피식자 층에서 대응위치의 이웃에 피식자가 1마리가 존재해 조건을 만족하지 못하게 되어 다음세대에서는 생산자가 죽게 된다. ⅱ. 탄생 조건 ( 일 때 ) : 탄생 전, 그 셀의 이웃에 이상의 생산자가 존재해야 한다. (실제로 생산자가 탄생하려면 수술의 화분과 암술의 밑씨가 만나야 한 다. 따라서 확률적으로 일정 수( ) 이상의 생산자가 주위에 존재해야 한다.) iii. 소멸 조건 이는 특별히 명시해줄 필요가 없는데 왜냐하면 생존 조건을 지키지 못한 셀은 다음 세대에서 자동으로 소멸되게 된다. 아래 피식자, 포식자의 경우도 마찬가지이니 명 시하지 않았다. 2. 피식자 층 그림 2.3 토끼는 피식자, 늑대는 포식자 ⅰ. 생존 조건 ( 일 때 ) : 현재 피식자와 대응위치에 있는 생산자 셀에 생산자가 존재해야 한다. (먹잇감이 있어야 생존할 수 있다.) : 현재 피식자와 대응위치에 있는 포식자 셀에 포식자가 존재하지 않아야 한다. (먹잇감이 되어 먹히지 않아야 생존할 수 있다.) : 현재 피식자와 포식자 층에서 대응 위치에 있는 셀 의 이웃에 있는 포식자의 총수보다 피식자의 이웃에 있는 피식자의 총 5

소멸 조건 이는 특별히 명시해줄 필요가 없는데 왜냐하면 생존 조건을 지키지 못한 셀은 다음 세대에서 자동으로 소멸되게 된다. 아래 피식자, 포식자의 경우도 마찬가지이니 명 시하지 않았다. 2. 피식자 층 그림 2.3 토끼는 피식자, 늑대는 포식자 ⅰ.

6 수가 이상 더 많아야한다. (사냥되는 피식자의 양이 일정하다면 피식자 의 이웃이 많을수록 피식자 자신이 죽을 확률은 줄어든다.) 그림 2.3 은 두 번째 조건을 설명하기 위한 그림이다. 그림 2.3 에서 을 3이 다. 1번 상황은 피식자 주위에 5마리의 피식자가 존재하지만 대응되는 위치의 주위 에 포식자가 2마리만 존재해 위의 부등식을 만족하게 된다. 따라서 정 가운데의 피 식자 개체는 다음세대에 살아남게 된다. 하지만 2번 상황은 주위에 4마리의 피식자 가 존재하며 대응되는 위치의 주위에 포식자가 2마리 존재하므로 위의 부등식을 만 족하지 못해 가운데의 피식자 개체는 다음 세대에 사망하게 된다. ⅱ. 탄생 조건 ( 일 때 ) : 다음세대의 이웃의 수가 마리 이상이어야 한다. (임신 한 개체가 임신기간을 지난 뒤에야 출산을 해 개체가 생성될 것이다.) 3. 포식자 그림 2.4 늑대는 포식자, 토끼는 피식자 ⅰ. 생존 조건 ( 일 때 ) : 포식자의 셀과 대응되는 위치에 있는 피식자 셀에 개체가 존재해 야한다. (가까이에 먹이가 존재해야 한다.) : 포식자 셀과 대응되는 위치의 셀 이웃에 존재하는 피식자의 수는 포식자 셀의 이웃에 존재하는 이웃의 수보다 이상 더 많아야한다. (같은 포식자끼리 먹이경쟁을 해도 살아남으려면 피식자 가 일정한 수 더 많아야한다.) 그림을 통해 두 번째 조건을 설명하면 인 경우 1번 상황에서 주위의 포식 6

하지만 2번 상황은 주위에 4마리의 피식자 가 존재하며 대응되는 위치의 주위에 포식자가 2마리 존재하므로 위의 부등식을 만 족하지 못해 가운데의 피식자 개체는 다음 세대에 사망하게 된다. ⅱ. 탄생 조건 ( 일 때 ) : 다음세대의 이웃의 수가 마리 이상이어야 한다.

7 자 수 2 마리가 주위의 피식자 수보다 4 마리 보다 2 만큼 적어 부등식을 만족하 지 못해 생존하지 못하지만 2번 상황에서는 3마리 적어 생존을 위핸 부등식을 만족 하게 된다. 따라서 가운데 개체는 다음 세대까지 살아남게 된다. ⅱ. 탄생 조건 ( 일 때 ) :다음세대의 이웃의 수가 마리 이상이어야 한다. (임신 한 개체가 임신기간을 지난 뒤에야 출산을 해 개체가 생성될 것이다.) Ⅲ. 시뮬레이션 Ⅲ-1. 초기조건 위 알고리즘을 바탕으로 R 언어와 C 언어를 이용하여 시뮬레이션을 수행하였다. R 언어의 경우 C 에 비해 계산 속도가 느리지만 결과를 눈으로 확인하는 데에는 편리하기 때문에 아래 시뮬레이션 결과를 보기 위해서는 R 언어를, 단순히 수치적 인 데이터만은 C 언어를 이용하였다. 각각의 상수 값은 다음과 같이 설정하였다. Ⅲ-2. 시뮬레이션 결과 1) Lotka-Volterra 모델과의 연관성 그림 3.1 은 시뮬레이션의 N을 50으로 설정하고 39세대 이후의 모습을 나타낸 것이다. 왼쪽부터 생산자 층, 피식자 층, 포식자 층이다. 또한 그림에서 동그라미는 셀의 값이 1임을 뜻한다. 그림 3.1 N=50 일 때 39 번째 세대의 생산, 피식, 포식자 층의 모습 7

R 언어의 경우 C 에 비해 계산 속도가 느리지만 결과를 눈으로 확인하는 데에는 편리하기 때문에 아래 시뮬레이션 결과를 보기 위해서는 R 언어를, 단순히 수치적 인 데이터만은 C 언어를 이용하였다. 각각의 상수 값은 다음과 같이 설정하였다. Ⅲ-2.

8 그림 3.2 N=50, 39 세대까지의 총 생산자, 피식자, 포식자의 개체 수 변화. 초기 조건은 피 식자, 포식자, 생산자 모두 동일한 수로 맞추었다. 그림 3.2 의 그래프는 39세대까지 시뮬레이션을 진행시킨 뒤, 생산자는 초록색, 피식자는 검은색, 포식자는 빨간색 선으로 각 종의 총 개체수의 변화를 나타낸 것 이다. 그래프를 보면 일정 순간부터 3종의 개체수가 작은 진동을 하며 생태계 평형 에 도달한 것을 알 수 있다. 또한 평형 상태에서 생산자, 피식자, 포식자의 극값들 (위의 점선으로 표시) 를 보면 일정한 세대 차이를 기준으로 나타남을 알 수 있다. 이는 Lotka-Volterra 모델에서 나타나는 기본적인 성질을 잘 반영했다고 볼 수 있 그림 3.3 N = 100 일 때 40 세대까지 시뮬레이션 한 모습으로 y 축은 피식자 수, x 축은 포식자 수 이다. 8

그래프를 보면 일정 순간부터 3종의 개체수가 작은 진동을 하며 생태계 평형 에 도달한 것을 알 수 있다.

9 그림 3.4 그림 3.3 의 안정한 부분 (피식자 수는 4700~5000, 포식자 수는 1250~1500) 을 확대한 그림 다. 피식자와 포식자의 개체수의 변화를 각각 축과 축의 그래프로 나타내보면 그림 3.3과 같다. 그림 3.3 에서 피식자와 포식자의 개체 수는 초기에는 매우 큰 사이클을 그리며 상당히 불안정한 모습을 보이다가 몇 세대가 지나게 되면 변화의 사이클이 매우 작아지면서 상당히 안정한 모습을 보여줌을 알 수 있다. 안정된 모 습을 보이는 사이클을 확대해보면 그림 3.4 와 같다. 그림 3.4 를 통해서 피식자와 포식자 개체 수는 일정한 주기를 가지며 제한된 개체 수에서 순환되는 형태가 됨을 알 수 있다. 이러한 형태는 Lotka-Volterra 모델에서 나타나는 순환되는 형태와 주 기성에 일치한다. 따라서 우리가 모델을 위해 가정한 사실들이 실제 자연 생태계를 잘 묘사하고 있다고 볼 수 있다. 2) 피식자의 평형 상태에서의 개체 수 모든 시뮬레이션에서 동일하게 나타나는 특징은 바로 우리의 시뮬레이션에서 모 든 개체는 언제나 안정한 상태를 찾아간다는 것과, 피식자의 평형 상태는 외부 요 인에 영향을 받지 않는다는 점이였다. 그림 3.4 와 그림 3.5 는 피식자의 평형 상 태가 초기 포식자나 생산자의 초기 개수에 관련이 없음을 보여주고 있다. 그림 3.5 는 포식자의 초기 개수를 변화시키며 살펴본 것이고 그림 3.6 는 생산 자의 초기 조건만을 변화시켜서 살펴 본 것인데 이 두 경우 모두 동일한 평형 상태 에 도달하였다. 또한 그림 3.7 에서는 포식자와 생산자의 초기조건을 동시에 변화 9

따라서 우리가 모델을 위해 가정한 사실들이 실제 자연 생태계를 잘 묘사하고 있다고 볼 수 있다. 2) 피식자의 평형 상태에서의 개체 수 모든 시뮬레이션에서 동일하게 나타나는 특징은 바로 우리의 시뮬레이션에서 모 든 개체는 언제나 안정한 상태를 찾아간다는 것과, 피식자의 평형 상태는 외부 요 인에 영향을 받지 않는다는 점이였다. 그림 3.4 와 그림 3.

10 그림 3.5 다양한 초기조건 하에서 피식자의 개체수 변화. 피식자의 수는 전체 셀 중 33%만 큼 피식자로 설정하였고, 포식자 만 초기조건을 50%, 33%, 20%, 10%, 2% 로 변화시킴. (N=1000, 80 세대까지 계산, 생산자 수는 고정) 그림 3.6 다양한 초기조건 하에서 피식자의 개체수 변화. 피식자는 전체 셀 중 33% 로 절정 하였고, 생산자 만 50%, 33%, 25%, 20% 로 변화시켰다. (N=500, 80 세대 까지 계산, 포 식자 수는 고정) 10

11 그림 3.7 N=150 이며, 피식자의 수는 1/3 의 확률로 초기에 탄생하도록 고정하였다. 반면 에 생산자와 포식자의 경우 1/(생산자 확률)과 1/(포식자 확률)을 (2,5) 부터 (8,20) 까지 변화시키며 (즉 (2,5), (2,6)... (2,20), (3,5),... (8,19), (8,20) 까지 총 112 회 시뮬레이션 함) 피식자의 평형 상태에서의 수 (여기서 평형상태는 80 번째 세대의 피식자의 수를 일컫 는다) 를 평형상태에서의 피식자의 수로 가정하였다. 시키며 비교한 것이다. 그림 3.7 을 보면 생산자와 포식자의 초기 조건을 어떻게 변화시키든지 간에 피식자의 평형 상태에서의 수는 언제나 일정하게 나옴을 알 수 있다. Ⅳ. 피식자 개체수의 평형 상태 규명 수식을 간단하게 나타내기 위해 몇 가지 함수들을 정의하였다. 11

.. (8,19), (8,20) 까지 총 112 회 시뮬레이션 함) 피식자의 평형 상태에서의 수 (여기서 평형상태는 80 번째 세대의 피식자의 수를 일컫 는다) 를 평형상태에서의 피식자의

12 는 값이 1 인 셀 주위에 존재하는 값이 1 인 이웃의 수의 평균을 8 로 나 눈 것으로. 다시 말해 값이 1 인 셀의 이웃의 평균적인 값이라 볼 수 있다. 마찬가 지로 는 값이 0 인 셀 주위에 존재하는 값이 1 인 이웃의 수의 평균을 8 로 나눈 값이다. 한편 정의에 의하여 와 는 다음과 같은 관계식을 만족한다. 1. 생산자의 평형 상태 먼저 평형 상태에서는 평형 상태가 어떻게 유지되는지부터 살펴보자. 생산자의 탄생 조건은 인데 이를 만족할 확률은 로 나타낼 수 있다. 보통 평형 상태에서 인데, 이 때 이 확률을 계산하면 로 거 의 1 과 다름없다고 볼 수 있다. 즉, 평형 상태에서 0 이였던 셀은 무조건 다음 세 대에 1 이 된다고 볼 수 있다. 다음으로 평형 상태에서 생산자의 생존 조건도 계산 해보자. 일 확률은, 일 확률은 이므로 전체 확률은 로 볼 수 있다. N=200 일 때 평형 상태에서 의 평균값인 과 의 평균 값인 을 넣으면 위 값은 가 나온다. 위 두 값을 바탕으로 생산자 개체 수의 변화의 폭을 계산해보면 생산자의 평형 상태에서 평균적인 수인 을 이용하면 로 변동의 폭이 전체 개체수인 에 비해 1.2% 로 아주 작게 나온다. 즉, 평 형 상태가 지속적으로 유지된다고 볼 수 있다. 2. 피식자의 평형 상태 피식자의 평형 상태를 분석하기 위해서 한 개의 셀만 살펴보도록 하자. 이 셀의 1 세대에서 피식자가 태어났다고 하면 이 피식자 이웃에는 적어도 1 개 이상의 피 식자가 존재한다. (피식자의 탄생 조건) 이 때 이웃에 존재하는 피식자의 수를 n 12

일 확률은, 일 확률은 이므로 전체 확률은 로 볼 수 있다. N=200 일 때 평형 상태에서 의 평균값인 0.336 과 의 평균 값인 0.4437 을 넣으면 위 값은 0.2254 가 나온다.

13 개라 하자. 그렇다면 0 세대 때 주위에 마리의 피식자가 존재한다고 볼 때 0 세대에서 1 세대로 오면서 사망한 피식자는 마리라 볼 수 있다. 따라서 주 위에 대략 마리의 포식자가 존재한다고 볼 수 있다. 또한 피식자 1 세대 때 자신의 위치에 생산자가 있다고 확신할 수 있는데 왜냐하 면 이전의 계산에서 아무 것도 없던 곳에 생산자가 생길 확률이 0.98 이나 되었기 때문이다. 따라서 피식자 1 세대 때 자신의 자리에 생산자가 있을 확률은 1 로 부 아도 무방하다. 따라서 고려해야 될 사실은 0 세대 때 그 자리에 포식자가 있었는 지의 여부이다. 만일 0 세대 때 그 자리에 포식자가 있었더라면 피식자 1 세대 때 포식자는 사망 해서 없었을 것이고 0 세대 때 포식자가 없었더라면 1 세대 때 그 자리에 포식자의 생성 조건을 분석해야만 한다. 0 세대에서 1 세대로 오면서 마리의 포식자 가 다음 세대까지도 살아남았다고 볼 수 있다. 따라서 1 세대 때 그 자리에 포식자 가 생성되지 않기 위해서는 을 만족해야 한다. 그런데 1 세대의 피식자 가 다음 세대에도 살기 위한 조건인 을 고려하면 을 만족해야 하므로, 을 만족해야만 한다. 이 때 평형 상태에서 의 평균값인 0.34 를 이용하면 두 범위를 모두 만족하기 위해서는 임을 알 수 있다. 따라서 어떤 특정한 피식자가 2 세대까지 살아남기 위해서는 피식자 주위에 다음 세대까지 살아남는 피식자의 수가 1.7 마리 이상이면 된다는 사실을 알 수 있다. 피식자가 2 세대까지 살아남을 확률을 라고 정의하고 함수 을 로 정의한다면 은 다음 세대까지 특정한 피식자 주위에 개 이상 살아남 을 확률이라 볼 수 있다. Mathematica 를 통해 위 함수를 실수 범위로 확장할 수 있었고 이를 통해 을 계산할 수 있었는데 이 값은 당연히 가 된다. 따라 서 는 의 해 임을 알 수 있다. Mathematica 를 통해 의 그래프를 그려본 결과 그림 4.1 과 같이 나타났다. 13

만일 0 세대 때 그 자리에 포식자가 있었더라면 피식자 1 세대 때 포식자는 사망 해서 없었을 것이고 0 세대 때 포식자가 없었더라면 1 세대 때 그 자리에 포식자의 생성 조건을 분석해야만 한다. 0 세대에서 1 세대로 오면서 마리의 포식자 가 다음 세대까지도 살아남았다고 볼 수 있다.

14 그림 4.1 N = 200, 일 때의 값을 토대로 의 그래프를 그려 본 것. 위 함수의 근으로 0 이라 할 수 있지만 이는 무의미한 값이므로 결과적으로 오 차의 범위 내에서 위 함수의 근으로 기울기가 일정한 지점의 정 가운데를 이 함수의 근사적인 근으로 택하였고 이 값은 대략 이다. 정리해보면 포식자가 0 세대에 없을 확률은 이고 있을 확률은 로 보면 이 나왔다. 이 때 는 평균값인 을 사용하였는데 사실 평형 상태를 조금 분석해보면 포식자의 평형 상태에서의 값은 0에서 0.1 사이를 꽤 크게 변함을 알 수 있다. 하지만 를 를 기준으로 그림 4.2 의 그래프로 x 축은 이다. 이 때, 이 값의 변화가 0.35에서 0.45 사이로 크지 않다는 사실을 알 수 있다. 14

2774 이다. 정리해보면 포식자가 0 세대에 없을 확률은 이고 있을 확률은 로 보면 이 나왔다. 이 때 는 평균값인 0.

15 그래프를 그려보면 그림 4.2 와 같이 나온다. 이 때 주목할 점은 가 크게 변하 여도 의 값은 크게 변하지 않는다는 점이다. 다시 말이 이를 통 해 어째서 피식자는 초기조건에 크게 상관없이 동일한 평형 상태를 이루는지를 이 해할 수 있게 된다. 또한 피식자는 3 세대 이상 생존할 수 없는데, 만일 피식자가 1 세대 생존하였다 고 하면 이에 대응하는 위치에 있는 생산자는 두 번째 세대 때 사망하게 된다. 따 라서 두 번째 세대에는 대응하는 위치에 생산자가 없기 때문에 세 번째 세대에 사 망하게 된다. 따라서 어떠한 피식자도 3 세대 이상 생존할 수 없다. 마지막으로 피식자의 탄생 조건을 살펴보아야 하는데 탄생 조건은 다음 세대까지 살아남는 이웃한 피식자의 수가 1 개 이상이여야지만 탄생하게 된다. 이는 간단히 앞서 구한 함수 의 만을 대입해서 계산하면 되는데 이는 0.57 이 된다. 따라서 피식자 개체 수의 변화를 살펴본다면 이 된다. 이 값은 전체 피식자 개체의 8% 정도 되는 양이다. 이는 실제 시뮬레이션 결과인 1.5% 정도의 변동 보다 많지만 위 근사를 통한 오차를 고려하면 만족할만 한 값이라 생각된다. Ⅳ-2. 평형 상태에 도달하는 이유 먼저 생산자의 경우부터 생각하자. 초기에 평형 상태와 거리가 먼 값을 가지고 있었다고 가정한다. 다시 말해 에서 와 모두 변수로 취급한다는 뜻이다. 만일 이 매우 크다면 그림 4.3에서 볼 수 있듯 이 함숫값이 거의 0 이 되어 변수의 생존이 불가능 하고, 이 0 에 가까울 수 록 가 작아도 함숫값이 1 에 가깝게 된다. 15

마지막으로 피식자의 탄생 조건을 살펴보아야 하는데 탄생 조건은 다음 세대까지 살아남는 이웃한 피식자의 수가 1 개 이상이여야지만 탄생하게 된다. 이는 간단히 앞서 구한 함수 의 만을 대입해서 계산하면 되는데 이는 0.57 이 된다. 따라서 피식자 개체 수의 변화를 살펴본다면 이 된다. 이 값은 전체 피식자 개체의 8% 정도 되는 양이다.

16 그림 4.3 축은, y 축은 이다. 를 그린 것으로 x 따라서 초기 상태가 가 매우 큰 상태였다면 다음 세대에서 생산자는 거의 멸 종 되다 시피 할 것이다. 피식자 입장에서는 이 때문에 이 되어 그 다음 세대에 대부분 멸종 되어 버릴 것이다. 따라서 이 때문에 가 아주 작아지게 되 는데 생산자의 경우 일부 남아 있는 생산자들을 바탕으로 의 확률 로 탄생하게 된다. 이 때, 이전에 급격히 멸종 했던 것과는 달리 기존에 남아 있던 것 주위로 탄생하게 되므로 증가 속도가 앞서 멸종 했던 속도 보다는 느리지만 생 존 확률은 1 에 가깝기 때문에 생산자 인구가 평형 상태를 향해 증가되게 된다. 한 번 평형 상태에 돌입하게 되면, 예를 들어 가 0.6 정도만 되어도 탄생 확률은 1 에 달하기 때문에 그 개체수를 유지할 수 있게 된다. 피식자의 경우도 비슷하다. 생산자가 꽤 빠른 속도로 평형에 도달하기 때문에 의 값 만 고려해도 무방하게 된다. (생산자의 수가 매우 작았을 때 에는 이 함수 값보다는 오히려 일 확률이 더 지배적으로 작용) 16

이 때, 이전에 급격히 멸종 했던 것과는 달리 기존에 남아 있던 것 주위로 탄생하게 되므로 증가 속도가 앞서 멸종 했던 속도 보다는 느리지만 생 존 확률은 1 에 가깝기 때문에 생산자 인구가 평형 상태를 향해 증가되게 된다.

17 그림 4.4 을 x 축을, y 축을 로 잡았다. 이 때, 평 면과 만나는 점에 주목한다. 이 때, 이다. 그림 4.5 을 x 축을, y 축을 로 잡았다. 이 때 평면과 만나는 점에 주목한다. 이 때, 이다. 17

18 그림 4.4 는 이 비교적 작을 때 경우의 모습이다. 평면과 함수가 만나는 교선이 바로 우리가 원하던 각 경우에 대한 값이라 볼 수 있다. 예를 들 어서 이 비교적 작을 때, 즉 1 정도 일 때 값은 0 이라 볼 수 있다. 다시 말해 생존이 불가능하다 라는 뜻이다. 탄생도 마찬가지로 가 작을 수 록 힘들어지게 된다. 이는 그래프를 위에서 아래로 보면서 평면과 만나는 교선을 기준에 대해 축 방향으로 1.0 에 도달했을 때의 값을 보면 알 수 있다. 그림 4.5 는 가 클 때의 모습으로 평면과 그래프가 두 가지 부분에서 만나는 데 당연하게도 가 클 수 록 값이 커지고 역시 생존 확률도 증가되는 것을 볼 수 있다. 하지만 이렇게 되면 생산자가 영향을 받게 되는데 에서 가 0.6 정도만 되어 도 함숫값이 급격히 작아지는 것을 볼 수 있다. 따라서 이 때문에 더 이상 일 확률을 무시하지 못하게 되므로 다시 개체수가 줄어들게 된다. 이러한 기작으로 점차 평형 상태에 도달한다는 점을 알 수 있다. Ⅴ. 결론 우리의 다층 세포 자동자를 이용한 피포식자 모델을 이용하여 생태계의 평형 상태 를 분석할 수 있었다. 또한 아주 간단한 몇 가지 규칙들을 정했음에도 불구하고 어 떠한 상황에서도 평형 상태에 도달할 수 있는 계를 보고 생태계의 평형이 다른 외 부 요인의 작용으로 인한 것이 아니라 그 자체의 정의만으로도 유도될 수 있는 결 론이라는 사실을 알았다. 덧붙여서 아직 증명을 하지는 못했지만 우리의 모델로부 터 몇 가지 더 발견한 사실을 쓰지만 우리의 모델에 의해 나타나는 피식자의 수치 적 데이터가 감쇄 진동과 유사한 형태를 띤다는 점이다. 또한 특정한 셀 주위에 분 포하는 셀의 개수도 주목할 점인데, 이 이웃한 셀의 개수 분포 그래프가 꼭 강제 진동의 진폭 그래프와 빼닮았다는 점인데 이러한 사실들을 통해 감쇄 진동과 우리 의 모델과의 관계를 규명할 수 있을 것이다. Ⅵ. 참고 문헌 1. J.D. Murray, 'Mathematical Biology: I. An Introduction (Interdisciplinary Applied Mathematics) (Pt. 1)' 2. Javier E. Satulovsky, (1996) Lattice Lotka-Volterra models and negative cross-diffusion., Journal of Theoretical Biology 18

하지만 이렇게 되면 생산자가 영향을 받게 되는데 에서 가 0.6 정도만 되어 도 함숫값이 급격히 작아지는 것을 볼 수 있다. 따라서 이 때문에 더 이상 일 확률을 무시하지 못하게 되므로 다시 개체수가 줄어들게 된다. 이러한 기작으로 점차 평형 상태에 도달한다는 점을 알 수 있다. Ⅴ.

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04 ÇÐ¼ú_±â¼ú±â»ç 42 s p x f p (x) f (x) VOL. 46 NO. 12 2013. 12 43 p j (x) r j n c f max f min v max, j j c j (x) j f (x) v j (x) f (x) v(x) f d (x) f (x) f (x) v(x) v(x) r f 44 r f X(x) Y (x) (x, y) (x, y) f (x, y) VOL.