오일러를앞선 최석정의오일러방진 한국수학사학회가을학술발표회초청강연 2013. 11. 23 송홍엽 hysong@yonsei.ac.kr http://coding.yonsei.ac.kr 연세대학교전기전자공학부 1
발표목차 시작하면서 2008년 8월호월간과학동아기사 2013년과학기술명예의전당헌정자공적보고서 300여년전시작된이야기 마방진, 라틴방진, 직교라틴방진소개 라틴방진의응용 4가지 최석정의 9차직교라틴방진의특성 요약및참고문헌 2
발표목차 시작하면서 2008년 8월호월간과학동아기사 2013년과학기술명예의전당헌정자공적보고서 300여년전시작된이야기 마방진, 라틴방진, 직교라틴방진소개 라틴방진의응용 4가지 최석정의 9차직교라틴방진의특성 요약및참고문헌 3
오일러앞지른최석정 직교라틴방진기록한최초의문헌구수략 글강석기기자 sukki@donga.com 2008년 8월호월간과학동아 연세대전기전자공학부송홍엽교수의노력으로마침내최석정의업적이해외학계에서공인됐습니다. Handbook of Combinatorial Designs 라는책에최석정이나왔습니다. 인터넷에서책의원문을보여주고있습니다. 12 페이지에나옵니다. 최석정의업적이역사적인관점에서매우훌륭하게소개됐다고생각합니다. 지난 6 월 2 일오전, 기자는 KAIST 수학과한상근교수가전날저녁흥분이가시지않은상태에서쓴것으로보이는 e 메일을읽었다. 무슨얘기지? 한교수가알려준사이트에들어가책을보니정말 12 페이지에아래와같은글이있었다. The literature on latin squares goes back at least 300 years to the monograph Koo- Soo-Ryak by Choi Seok-Jeong (1646-1715); he uses orthogonal latin squares of order 9 to construct a magic square and notes that he cannot find orthogonal latin squares of order 10. 라틴방진을다룬문헌은적어도 300 년전최석정 (1646-1715) 의 구수략 까지거슬러올라간다. 그는마방진을만들려고 9 차직교라틴방진을이용했고 10 차직교라틴방진을만드는데는실패했다고적었다. 이날오후기자는연세대송교수의연구실문을두드렸다. 4
2013 년과학기술명예의전당헌정자공적보고서 [ 기본신상정보 ] [ 사진 ] [ 간략소개 ] 최석정崔錫鼎 Choi Seok-Jeong 1646( 인조 24) 1715( 숙종 41). 조선후기의문신 학자. 조합수학의창시자오일러를앞지른조선시대천재수학자 최석정은당시유럽의발달된수학에서도알려지지않았던 9 차직교라틴방진 (PAIR OF ORTHOGONAL LATIN SQUARES OF ORDER NINE) 을발견했다. 이는구수략 ( 九數略 ) 의부록 ( 附錄 ) 인정 ( 丁 ) 편하락변수 ( 河洛變數 ) 에기록되어있으며 2007 년조합론디자인편람 ( 組合論 DESIGN 便覽, Handbook of Combinatorial Designs, Chapman & Hall/CRC 출판 ) 에언급되면서세계최초 ( 最初 ) 임을국제적으로인정받았다. 조합수학 ( 組合數學 Combinatorial Mathematics) 의효시 ( 嚆矢 ) 로알려진레오나드오일러 (Leonhard Euler, 1707-1783) 의직교라틴방진에관한논문발표 (1776) 와비교하자면구수략이최석정의몰년 ( 沒年 ) 1715 년에쓰인것이라가정해도 61 년앞서는결과이다. 5
( 목판본, 1700?) 연세대학교학술정보원 건 ( 갑, 을 ), 곤 ( 병, 정 ) 6
( 목판본 ) 연세대학교학술정보원 7
발표목차 시작하면서 2008년 8월호월간과학동아기사 2013년과학기술명예의전당헌정자공적보고서 300여년전시작된이야기 마방진, 라틴방진, 직교라틴방진소개 라틴방진의응용 4가지 최석정의 9차직교라틴방진의특성 요약및참고문헌 8
약 300 여년전에 최석정 ( 崔錫鼎 ) (1646 년 ~1715 년 ) 영의정 : 1701-1710 구수략 저술. 1710~1715(??) 마방진을만들기위하여직교라틴방진을생성함 Leonhard P. Euler (1707 년 1783 년 ) 스위스출생. 러시아와독일에서활동. 1715(?) 67 년 (?) 61 년 (?) 1782 논문발표 1776 구두발표 그리고약 60 년후에 9
그리고약 210 여년이흘렀습니다. 송홍엽은 1984 년부터미국 USC 에서 전기과대학원공부를시작합니다. University of Southern California 1986 년석사졸업사진 곧이어서 1986 년만난박사과정지도교수 Golomb 교수님은하바드대학수학박사 (1957) 이면서 JPL 에서디지털통신의기초를세우고 USC 에부임 (1963) 하신전기과 / 수학과겸직교수님이었습니다. Jet Propulsion Lab 10
~1991 송홍엽 (USC, EE-SYSTEMS 박사과정 ) Solomon W. Golomb 교수 ( 송홍엽지도교수 ) 헝가리수학자 Jószef Dénes (1932-2002) 는 USC 를자주방문 - Latin Squares and Their Applications, 1974 - Latin Squares New Developments in the Theory and Applications, 1991 ~1993 한상근교수 (KAIST 수학과 ) - 구수략사본 ( 곽도영교수로부터 ) - 한국수학교육학회지 series A 에최석정의 9 차직교라틴방진과마방진에관한내용을발표 세계최초? 11
1994 Dinitz 교수 (U. Vermont) - 아리조나주립대의 Colbourn 교수와함께 CRC Handbook of Combinatorial Designs 을준비시작. - 초판은 1996 년발행 송홍엽 (Senior Engineer at Qualcomm, San Diego) - CRC Handbook of Combinatorial Designs 초판에논문을게재 - Dr. Taylor 추천 12
1997 송홍엽교수 ( 연세대학교전자공학과 ) 독일에서 IEEE ISIT 참석중 Dr. Denes 가찾아와서한국의수학저널에게재된논문한편을찾아달라고요청 한상근교수님의논문을처음접하다 - Dr. Denes 에게발송 - 한상근교수님과최초연락 한상근, " 최석정과그의구수략," 한국수학교육학회소식지, 1998 년 4 월호 Martin BAČA 교수슬로바키아기술대학응용수학과 2002 Dr. Denes (Hungary) has passed away. - 최석정의직교라틴방진에관한내용을공식적으로발표할예정 (?) - 이루어지지못하고잊혀짐 13
2005 송홍엽교수 ( 연세대학교전기전자공학부 ) Dr. Dinitz 로부터 CRC Handbook of Combinatorial Designs 2 판을위한논문 update 를요청받음 2 판에 history of combinatorial designs 가추가된것을확인하고 그간의모든기록을정리하여 Dr. Dinitz 에게발송 2007 2008 월간과학동아 8 월호 강석기기자 14
The page of the book (2007) Showing Choi s POLS of order 9 15
The page of the book (2007) showing Choi s birth place and year. 16
2008 H.-Y. Song, Choi's orthogonal Latin Squares is at least 67 years earlier than Euler's, 2008 Global KMS International Conference, 2008. 10. JEJU ICC, KOREA. 2010 2011 송홍엽, Choi's orthogonal Latin Squares is at least 61 years earlier than Euler's, 서울대학교수리과학부 ε 강연, 2011 년 3 월. - 천정희교수님초청 - 김도한교수님을처음뵙다. 17
2013 김도한교수 ( 서울대수리과학부 ) 대한민국과학기술명예의전당에최석정추천 송홍엽, 최석정선생, 오일러를최소 61 년앞서직교라틴방진을만들다, 대한수학회소식지, 2013 년 9 월호. 송홍엽, 특별기고 : 오일러를앞선최석정의오일러방진, 한국통신학회지, 정보와통신, 2013 년 10 월호. 18
최석정 L. P. Euler 곽도영 한상근 M. Baca 송홍엽 J. Denes S. Golomb H. Taylor Z. Dinitz 천정희 김도한 2013 과학기술명예의전당추천 19
발표목차 시작하면서 2008년 8월호월간과학동아기사 2013년과학기술명예의전당헌정자공적보고서 300여년전시작된이야기 마방진, 라틴방진, 직교라틴방진소개 라틴방진의응용 4가지 최석정의 9차직교라틴방진의특성 요약및참고문헌 20
A magic square of order n with magic constant d is an n ⅹ n array of n 2 integers such that 1. Every row-sum is d 2. Every column-sum is d 3. LR diagonal-sum is d 4. RL diagonal-sum is d. A semi-magic square satisfies only the conditions 1 and 2 above. A normal magic square has entries 1,2,,n 2. Lo Shu [ 洛書 ] ( 낙서 ) 약 BC 650 년경 There have been lots of ways to generalize the magic squares: magic circles, magic cubes, magic graphs, magic series, magic tesseracts, magic hexagons, magic diamonds, magic domino tilings, magic stars, bimagic squares, trimagic squares, etc. 21
Magic square of order 4 (non-normal) S. Ramanujan (1887 1920, India) 22 12 18 87 His birthday! 21 84 32 2 92 16 7 24 4 27 82 26 Magic constant = 139 G. H. Hardy and S. Ramanujan 22
A Latin Square of order n is an n ⅹ n array of n different symbols such that each row and each column is a permutation of these n symbols. 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3 1 2 2 3 1 2 1 4 3 3 4 1 2 2 3 1 3 1 2 3 4 1 2 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 4 3 Diagonal latin square has a diagonal which is also a permutation of n symbols. Double-Diagonal latin square has both diagonals which are permutation of n symbols. Symmetric latin square is a symmetric matrix along the main diagonal Two latin squares A=(a ij ) and B=(b ij ) of order n are called a pair of orthogonal latin squares (POLS, or a graecolatin square, or an Euler square) of order n if the n 2 ordered pairs (a ij,b ij ) are all distinct for 1 i,j n. In this case, we say that A is orthogonal to B or vice versa.
Euler s 36 officers Problem (1776/1782) 여섯개의서로다른군부대각각에서소위 / 중위 / 대위 / 소령 / 중령 / 대령을한명씩모아서총 36명을 6열x6행으로세우는데, 모든열과행의여섯사람들이부대도모두다르고계급도모두다르게세울수있는가? 24
Euler s 36 officers Problem (1776/1782) 9 officers (toy) problem? YES, a solution exists. 1 2 3 3 1 2 2 3 1 소중대중대소대소중 1 소 2 중 3 대 3 중 1 대 2 소 2 대 3 소 1 중 A Latin square of order n has an orthogonal mate if and only if it can be decomposed into n disjoint transversals. 25
오일러의 36 장교문제 = 6 차직교라틴방진이존재하는가 Euler further conjectured that there do not exist POLS of orders 4k+2 for ALL k = 1, 2, 3, 4,... Euler, L., Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques (1776/1782). It turns out that no POLS of order 6 exists. It turns out HOWEVER that there exists a POLS of all the other remaining orders of the form 4k+2 for k 2. Tarry, G. "Le problème de 36 officiers." Compte Rendu de l'assoc. Français Avanc. Sci. Naturel 1, 122-123, 1900. Parker, E. T. "Orthogonal Latin Squares." Not. Amer. Math. Soc. 6, 276, 1959. Bose, R. C.; Shrikhande, S. S.; and Parker, E. T. "Further Results on the Construction of Mutually Orthogonal Latin Squares and the Falsity of Euler's Conjecture. Canad. J. Math. 12, 189, 1960. 26
발표목차 시작하면서 2008년 8월호월간과학동아기사 2013년과학기술명예의전당헌정자공적보고서 300여년전시작된이야기 마방진, 라틴방진, 직교라틴방진소개 라틴방진의응용 4가지 최석정의 9차직교라틴방진의특성 요약및참고문헌 27
Application I: 스도쿠 France late 19 th not exactly of this form USA - 1979 by Dell Magazines as Number Place (the earliest known examples of modern Sudoku). Japan - 1984 28
Application II: 이동통신시스템의채널코딩 Dae-Son Kim, Hyun-Young Oh, and Hong-Yeop Song, "Collision-free Interleaver composed of a Latin Square Matrix for Parallel-architecture Turbo Codes," IEEE Communications Letters, vol. 12, Issue 3, pp. 203-205, March 2008. INTERLEAVER PARALLELIZE?? 29
Application III: 병열접속문제 Kichul Kim and Viktor K. Prasanna, Latin Squares for Parallel Array Access," IEEE Transactions and Parallel and Distributed Systems, vol. 4, Issue 4, pp. 361-370, April 1993. 30
Application IV: 군통신용코드설계 Hong-Yeop Song, "Total Number of Tuscan Squares of order n," The R. C. Bose Memorial Conference on Statistical Design and related Combinatorics, Colorado State University, in Fort Collins, Colorado, June 7-11, 1995. Hong-Yeop Song and Jeffrey H. Dinitz, "Tuscan Squares," Part IV, Chapter 48 of CRC Handbook of Combinatorial Designs, edited by Charles J. Colbourn and Jeffrey H. Dinitz, CRC Press, pp. 480-484, 1996. 31
발표목차 시작하면서 2008년 8월호월간과학동아기사 2013년과학기술명예의전당헌정자공적보고서 300여년전시작된이야기 마방진, 라틴방진, 직교라틴방진소개 라틴방진의응용 4가지 최석정의 9차직교라틴방진의특성 요약및참고문헌 32
특성 1. 마방진을생성한다 33
월간과학동아, 2008 년 8 월호, 강석기기자 (REALLY?) Proof of the constant row-sums and column-sums: any row sum n p ( p 1) Question: What about the diagonal sums? Will it work for ANY pair of orthogonal Latin squares of order n? q q any column sum 34
Consider, for example, the earlier example of POLS of order 4. 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 11 2 2 3 3 4 4 23 1 4 4 1 3 2 34 4 3 1 2 2 1 42 3 1 2 4 1 3 We call it a canonical map 4(p-1)+q 1 6 11 16 7 4 13 10 12 15 2 5 14 9 8 3 column-sum = row-sum = 34 = magic constant LR-diagonal-sum = 1+4+2+3 = 10 RL-diagonal-sum = 13+14+15+16 = 58 The above shows that the canonical map NOT ALWAYS constructs a magic square from a POLS. Theorem [CD]: For any given pair of orthogonal Latin squares of order n, one can construct a (normal) semi-magic square of order n (by the canonical map). It will be magic if either 1. Both diagonals are transversals in both Latin squares (called double-diagonal latin squares), or 2. n=odd and two of the four diagonals of the squares are constant and equal to (n+1)/2. 35
월간과학동아, 2008 년 8 월호, 강석기기자 n=odd=9 and two of the four diagonals of the squares are constant and equal to (n+1)/2 = 5 36
특성 2. 대칭성이있다 37
최석정의 9 차직교라틴방진 5 6 4 8 9 7 2 3 1 4 5 6 7 8 9 1 2 3 6 4 5 9 7 8 3 1 2 2 3 1 5 6 4 8 9 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 1 2 6 4 5 9 7 8 8 9 7 2 3 1 5 6 4 7 8 9 1 2 3 4 5 6 9 7 8 3 1 2 6 4 5 1 3 2 7 9 8 4 6 5 3 2 1 9 8 7 6 5 4 2 1 3 8 7 9 5 4 6 7 9 8 4 6 5 1 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 9 5 4 6 2 1 3 4 6 5 1 3 2 7 9 8 6 5 4 3 2 1 9 8 7 5 4 6 2 1 3 8 7 9 Rows are palindromes. 38
특성 3. Kim&Prasanna의직교라틴방진과사실상같다 39
Choi s POLS of order 9 (1715, KOO-SOO-RYAK) for magic square 5 6 4 8 9 7 2 3 1 4 5 6 7 8 9 1 2 3 6 4 5 9 7 8 3 1 2 2 3 1 5 6 4 8 9 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 1 2 6 4 5 9 7 8 8 9 7 2 3 1 5 6 4 7 8 9 1 2 3 4 5 6 9 7 8 3 1 2 6 4 5 palindromic pair 1 3 2 7 9 8 4 6 5 3 2 1 9 8 7 6 5 4 2 1 3 8 7 9 5 4 6 7 9 8 4 6 5 1 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 9 5 4 6 2 1 3 4 6 5 1 3 2 7 9 8 6 5 4 3 2 1 9 8 7 5 4 6 2 1 3 8 7 9 Kim and Prasanna s POLS of order 9 (1993, IEEE Trans P.D.S) for parallel access 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 0 1 2 6 7 8 0 1 2 3 4 5 2 0 1 5 3 4 8 6 7 5 3 4 8 6 7 2 0 1 8 6 7 2 0 1 5 3 4 1 2 0 4 5 3 7 8 6 4 5 3 7 8 6 1 2 0 7 8 6 1 2 0 4 5 3 symmetric pair 0 3 6 2 5 8 1 4 7 1 4 7 0 3 6 2 5 8 2 5 8 1 4 7 0 3 6 3 6 0 5 8 2 4 7 1 4 7 1 3 6 0 5 8 2 5 8 2 4 7 1 3 6 0 6 0 3 8 2 5 7 1 4 7 1 4 6 0 3 8 2 5 8 2 5 7 1 4 6 0 3 NOT Sudoku Leads to a magic square by the canonical map Sudoku - All the 3 x 3 window sum is equal to the magic constant. Leads to a magic square by the canonical map 40
PROOF that Choi s and K&P s are not essentially different Start with this (CHOI) 5 6 4 8 9 7 2 3 1 4 5 6 7 8 9 1 2 3 6 4 5 9 7 8 3 1 2 2 3 1 5 6 4 8 9 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 1 2 6 4 5 9 7 8 8 9 7 2 3 1 5 6 4 7 8 9 1 2 3 4 5 6 9 7 8 3 1 2 6 4 5 4 5 3 7 8 6 1 2 0 3 4 5 6 7 8 0 1 2 5 3 4 8 6 7 2 0 1 1 2 0 4 5 3 7 8 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 0 1 5 3 4 8 6 7 7 8 6 1 2 0 4 5 3 6 7 8 0 1 2 3 4 5 8 6 7 2 0 1 5 3 4 Row permutation: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 0 1 2 6 7 8 0 1 2 3 4 5 2 0 1 5 3 4 8 6 7 5 3 4 8 6 7 2 0 1 8 6 7 2 0 1 5 3 4 1 2 0 4 5 3 7 8 6 4 5 3 7 8 6 1 2 0 7 8 6 1 2 0 4 5 3 Symbol substitution: 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 End up with this (K&P) Thus, they are NOT essentially different!!! 41
발표목차 시작하면서 2008년 8월호월간과학동아기사 2013년과학기술명예의전당헌정자공적보고서 300여년전시작된이야기 마방진, 라틴방진, 직교라틴방진소개 라틴방진의응용 4가지 최석정의 9차직교라틴방진의특성 요약및참고문헌 42
발표요약 라틴방진의역사는매우오래되었지만, 직교라틴방진의개념은오일러가세계최초로생각한것으로지금까지알려져있었음. 오일러는마방진을만들기위해이러한직교라틴방진을도입했음 이보다최소한 61 년앞서조선의최석정이 9 차직교라틴방진을만들어서이를가지고 9 차마방진을생성하였다는기록이있음 이를언급한 ( 세계 ) 최초의논문은 1993 년국내논문 (KAIST 한상근교수 ) 이를언급한해외최초의문헌은 2007 년출간된 Handbook of Combinatorial Designs 2 nd ed., Chapman Hall & CRC ( 연세대송홍엽교수 ) 2013 년, 대한민국과학기술명예의전당에최석정헌정 ( 서울대김도한교수등등 ) 최석정의 9 차직교라틴방진의특성 construct a magic square of order 9 using the canonical map symmetry NOT essentially different with those by Kim & Prasanna (1993) 라틴방진 / 직교라틴방진의응용 마방진생성 / 스도쿠생성 이동통신용채널코드설계 병렬접속네크워크설계 군통신용코드설계 실험계획 What s next? 43
Articles related with Choi Seok-Jeong ( 최석정관련자료모음 ) http://coding.yonsei.ac.kr/csj.htm Domestic ( 국내발표 ) 최석정, 구수략 ( 목판본 ), ~1715. < 연세대학교학술정보원국학자료실 ( 중앙도서관 5 층 ), 고서 ( 이춘호 ) 510.95 최석정구 -1 > 최석정, 구수략 조선시대산학총서, 정해남, 허민옮김, 교우사, 2006. 오윤용, 한상근, 최석정과그의마방진, 한국수학교육학회지시리즈 A < 수학교육 >, 1993 년 6 월호. 한상근, 우리나라수학이야기 : 조선시대최석정, 서울대학교수리과학부소식지, 2010 년 12 월. 한상근, " 최석정과그의구수략," 한국수학교육학회소식지, 1998 년 4 월호 강석기, 오일러앞지른최석정 - 직교라틴방진기록한최초의문헌구수략, 과학동아 2008 년 8 월호. 김성숙, 강미경, 최석정의직교라틴방진, 한국수학사학회지제 23 권제 3 호 (2010 년 8 월 ) 21 31. 송홍엽, Choi's orthogonal Latin Squares is at least 61 years earlier than Euler's, 서울대학교수리과학부 ε 강연, 2011 년 3 월, 서울대학교. 송홍엽, 최석정선생, 오일러를최소 61 년앞서직교라틴방진을만들다, 대한수학회소식지, 2013 년 9 월호. 김영욱, 최석정, 17 세기의영의정수학자, 대한수학회소식지 2013 년 9 월호. 송홍엽, " 오일러를앞선최석정의오일러방진," 정보와통신, 한국통신학회학회지, 2013 년 10 월호. 송홍엽, " 오일러를앞선최석정의오일러방진," 한국수학사학회가을학술발표회, 성균관대학교, 2013 년 11 월 23 일. International ( 해외발표 ) L. Euler, Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques (Investigations on a new type of magic squares), presented to the St. Petersburg Academy on March 8, 1776, and published in Verhandelingen uitgegeven door het zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen 9, Middelburg 1782, pp. 85-239. C. Colbourn and J. Dinitz (co-editors), Handbook of Combinatorial Designs, 1st edition, CRC Press, 1996, 2nd edition, Chapman & Hall/CRC, 2007. H.-Y. Song, Choi's orthogonal Latin Squares is at least 67 years earlier than Euler's, 2008 Global KMS International Conference, 2008. 10. JEJU ICC, KOREA. K.-W. Lih, A Remarkable Euler Square before Euler, Math. Mag. Vol. 83, No. 3, pp. 163-167, 2010. H.-Y. Song, "Euler Square in Korea before Euler," in preparation for Journal of Combinatorial Designs. 관련기타자료 E. T. Parker, "Orthogonal Latin Squares," Proceedings of National Academy of Sciences, 1959. J. Dénes and A. D. Keedwell, Latin squares and their applications, Academic Press, 1974. Hong-Yeop Song and Jeffrey H. Dinitz, Tuscan Squares, Part IV, Chapter 48 of The CRC Handbook of Combinatorial Designs, edited by C. J. Colbourn and J. H. Dinitz, CRC Press, pp. 480-484, 1996. 김동진, 오영환, 지수귀문도의특성및해를구하는알고리즘, 한국정보과학회봄학술발표회논문집, 1989. 전용훈, 수학사의미스터리마방진, 과학동아 1999 년 7 월호. 문병도, 지수귀문도해결의열쇠유전자알고리즘, 과학동아 2003 년 7 월호. 박경미, 수학콘서트, 동아시아, 2006 라틴방진응용자료 D.-S. Kim, H.-Y. Oh, and H.-Y. Song, Collision-free Interleaver composed of a Latin Square Matrix for Parallel-architecture Turbo Codes, IEEE Communications Letters, vol. 12, Issue 3, pp. 203-205, March 2008. K. Kim and V. K. Prasanna, Latin Squares for Parallel Array Access, IEEE Transactions and Parallel and Distributed Systems, vol. 4, Issue 4, pp. 361-370, April 1993. Hong-Yeop Song, "Total Number of Tuscan Squares of order n," The R. C. Bose Memorial Conference on Statistical Design and related Combinatorics, Colorado State University, in Fort Collins, Colorado, June 7-11, 1995. Robert Mandl, "ORTHOGONAL LATIN SQUARES: AN APPLICATION OF EXPERIIWEUT DESIGN TO COMPILER TESTING," Communications of the ACM, vol. 28, no. 10, Oct. 1985. 44