1) 문제해결에서의 문제 1 구체적이고확실한해결의방법을쉽게구하기어렵고문제해결을위해서는다단계에걸친다양한사고가요구되는문제 2 진정한문제는목표는분명하지만그목표에이르는길이즉각적으로주어져있지않는것 3 문제에는 목표 와 장애요인 과 해결자의의식 이수반된다.( 폴리아 ) 2) 좋은문제 1 해결과정에서여러종류의개념과기능을필요로해야한다. 2 다른장면으로일반화, 확장될수있어야한다. 3 다양한해법이존재해야한다.
문제해결행동관련요인 : 숀펠드 (Schoenfeld) 1) 자원 : 문제를해결하기위해개인이사용할수있는도구와기법 ( 수학적지식, 직관, 알고리즘, 법칙에대한이해등 ) 2) 발견술 : 생소하고비정형적인문제를해결하기위한전략과기술 ( 유추, 일반화, 특수화, 보조문제이용하기, 거꾸로풀기등 ) 3) 통제 : 자원과전략의선택과수행에관한전반적인결정능력으로문제해결의모든과정에영향을미친다. ( 계획하기, 감시와평가, 의사결정, 의식적인메타인지적결정등 ) 4) 신념체계 : 학습자가수학에대해가지고있는가치관이나선입견
문제해결이란? 문제해결은하나의과정으로어떤친숙하지않은문제상황이요구하고있는것을만족시키기위해개인이이전에획득한지식, 기능및이해한것을사용하기위한수단. (Krulick & Rudnik) 문제해결과정에서기초적인수학적지식이나기능을보다확실히이해할수있으며, 창의적사고, 비판적사고, 의사결정능력과같은고등정신기능을신장할수있으므로문제해결능력의신장을통해학생의사고력과실생활에의응용력을길러줄수있다.
문제해결과정 & 문제해결과정에서의발문 문제이해 계획작성 계획실행 반성 문제이해단계 : 문제를이해하는단계로문제에서구하려는것과주어진것을알고, 용어의뜻을파악하며, 문제를분석하는것 문제해결계획수립단계 : 문제에서주어진것과구하려는것사이의관계를파악하는단계. 주어진것과구하려는것사이의관련성을즉각적으로발견할수없을때에는보조문제를고려해야함. 계획실행단계 : 해결계획에따라실행하는단계 반성단계 : 문제를해결한고정을처음부터검토해보고, 다른방법으로해결할수는없는지를알아보고, 혹시다른방법이있으면어느방법이더나은지를생각해보는단계
문장으로된조건을수학적기호를사용하여표현하는것. 상황에맞는적절한기호와용어를선택함으로써적절한식을세울수있다. 일반적인관습을지키는것이식을이해하거나다른사람과의사소통할때편리하다. 예를들어어떤산을올라갈때산의거리와걸린시간을알고있고평균속도를구한다면속도 = 거리 / 시간이라는식을세워서값을구할수있다.
주어진문제를해결하기위한적절한전략이생각나지않을경우에주로사용되는전략. 문제에서질문하는것에대한가능한답을예상하는것. 예상한결과는참일수도있고, 거짓일수도있으므로검토해보아야한다. 둘레의길이가주어진사각형중넓이가최대인것은둘레의길이가일정한도형중최대인것이원이라는것을바탕으로원과제일유사한정사각형이넓이가최대일것이라고예상할수있다
문제에서찾고자하는것을알고있다고가정하고그것이성립하기위한전단계를찾는방법을계속하여문제의조건이나가정에도달함으로써문제를해결하는방법. 구하는것에서출발하여이것을얻기위해필요한것을찾고다시이것을얻기위해필요한것을찾는과정을계속하여주어진자료와조건에이르는문제해결전략이다. 4 리터의양동이와 9 리터의양동이를이용하여강에있는물을길어 6 리터의물을만들어볼때쓰일수있는전략이다.
두개의대상이있어서이대상을이루고있는각부분의관계가대응되는것을말한다. 범주가다른사물사이에일정한유사성이있을때, 그유사성에의거하여그것들이다른측면에서도서로유사하거나일치하리라고추론해내는것을말한다. 예를들어사면체의무게중심을찾을때삼각형의무게중심을중선의교점을이용해찾은다음유사하게추측하여사면체의무게중심또한찾는다.
특별한예들을관찰하고조합함으로써일반적인법칙을발견하는과정이다. 수학적귀납법은특별한종류의정리를증명하기위해수학에서만사용된다. 1³=1² 1³+2³=3² 1³+2³+3³=6² 1³+2³+3³+4³=10² 마찬가지로수학적귀납법에의거하여처음부터 n 개의세제곱수의합은제곱수이다의명제를제안할수있다.
문제에주어진조건이나관계를이용하여관련된성질과규칙을찾아내어그규칙성을적용해감으로써문제를해결하는전략을말한다. 규칙성이문제의특별한경우에해당하는체계적인목록으로만들어일반화될때, 유용하다. n 개의직선으로평면이최대 an 개의영역으로나누어질때 a12 의값을구한다고하면 1 개의직선을긋는것부터차례대로한개의직선을더해나갈때마다나누는영역의개수가얼마나늘어나는지규칙을찾으면 an+1=an+(n+1) 임을알수있다 a1=2 므로구하는 a12=a1+(2+3+ +12)=79
문제에서주어진상황이복잡하거나변수가많을경우, 간단한상황으로바꾸거나변수를줄인문제를풀어원래의문제를해결하는전략이다. 규칙성을찾아해결하기, 표를만들어서해결하기등의문제와관련이깊으며다른전략의보조역할의미에서중요하다. 12 명의학생이다른학생모두와악수를한다면악수의총횟수를구하고자할때 2 명의학생만있다고단순화시키면악수의횟수는 1 회이고한명이더들어온다고하면악수의횟수는 2 회더해지고이러한상황이계속되어 12 번째학생이들어오면 11 명과악수하여 1+2+3+4+ +11=66 회이다.
문제의조건에해당되는특수한경우를고찰하여원래문제를해결하는전략이다. 자연수 n (n>=2) 으로나누었을때, 몫과나머지가같아지는자연수를더한값을 A 이라할때 A>500 을만족시키는자연수 n 의최솟값은 n=4 일때의특수한경우를생각하여몫과나머지가모두 1 인경우 : 4X1+1=5 몫과나머지가모두 2 인경우 : 4X2+2=10 몫과나머지가모두 3 인경우 : 4X3+3=15 그래서 n=4 인경우는 30 이다이런특수한경우에생각한것을바탕으로 몫과나머지가모두 n 인경우 : nx(n-1)+(n-1)=(n-1)(n+1) 를모두더한경우에서 n 의최솟값은 11 이란것을알수있다.
어떤수에서 112 를빼야할것을잘못하여더하였더니 605 가되었다. 바르게계산한답은얼마일까? 거꾸로풀기 어떤수와어떤수바로뒤의수의합이 1111 입니다. 어떤수는얼마일까? 식세우기 길이가 84m 인도로양쪽에똑같은간격으로 16 그루의나무를심으려고하고처음과끝에도나무를심는다면나무사이의간격은몇 m 인가? 그림그리기
1. 문제제기 문제제기는새로운문제를만들어내거나주어진문제를명료화하는것을의미한다. 문제제기는문제를능동적으로취급함으로써학생들을수동적인문제해결자에서능동적인문제해결자로변화시킬뿐만아니라수학적발견의경험을제공하여문제해결능력을개발할수있도록해준다.
폴리아에의하면, 관찰은수학적발견의풍부한원천이며, 귀납은수학자의창조적인사고에서본질적인역할을한다. 수학은귀납과유추를통해발견에이르는 관찰과학 으로서자연과학과매우유사하다. 폴리아는문제해결활동에서단지주어진문제의해결에만몰두하는것은충분하다고할수없으며, 주어진문제가어디에서비롯된것인지, 유사한문제를풀어본적이있는지, 본래의문제를변형하여새롭게제기된문제를해결할수있는지, 더나아가해결된문제를활용하여또다른새로운문제를해결할수있는지등의유용한질문을요구된다. 이처럼수학적문제해결교육에서주어진문제만을다룰것이아니라이를발전적으로취급하여새로운문제를제기하는과정을함께다루어야할것이다.
폴리아는문제제기의중요성을문제해결을위한수단으로서의측면과문제를한후그결과를이용하여새로운문제를지기하는두가지측면에서고찰하였다. 1. 본래의문제를변형하여새롭게문제를제기할수있는지, 해결된문제를이용하여새로운문제를해결할수있는지를생각할수있게해준다고하였다. 2. 일반화, 특수화, 유추 등의전략을이용하여학생들은문제로부터다시사고하게되고, 문제에대한계획을세우려시도하는과정들에서자신의생각을통하여문제해결활동에능동적이고적극적으로참여하면효과적인문제제기활동이가능하다고하였다.
문제제기를 수용단계, 도전단계 로나누엇다 수용단계 탐구과정에서주어진것을있는그대로받아들이는단계 도전단계 - 체계적으로문제를만드는단계
0 단계 - 출발점선택하기 1 단계 속성열거하기 : 문제를구성하고있는요소나속성을모두열거해본다. 2 단계 속성부정하기 : 전단계에서열거한속성이 만약그렇지않다면어떻게될것인가 3 단계 질문과문제제기하기 : 전단계에서생각한의문을기초로새로운문제를만든다. 4 단계 설정된문제분석하기 : 새로만든문제를분석하거나해를찾는다.
0 단계 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,. 인피보나치수열을출발점으로선택 1 단계 : 속성열거하기 1) 이수열은처음두수가같고그것은 1 이다. 2) 만일연속하는임의의두항에무언가를한다면다음항을얻는다. 3) 우리가하는것은덧셈연산이다. 2 단계 : 나열한속성중어느하나에 What-If-Not 을수행 1) 만일처음두수가 1 이아니라면어떻게될까? 2) 처음두수가 10,7 이라면 10, 7, 17, 24, 41, 65, 3 단계 : 다음단계에서변형된현상에대하여몇가지새로운질문을던진다. 1) 연속된항의비에대한극한은어떤값일까? 2) 그수열의제 n 항을만드는명시적인공식은무엇일까? 3) 이수열의성질과원래수열의성질과는어떻게비교될까? 4 단계 : 최종적으로이질문을분석해본다. 두항의비에주목하여보자. 10/7=1.429, 7/17=0.412, 17/24=0.70 106/171=0.620 이고이를계속해보면 0.618 황금비에매우가까워지고원래피보나치수열또한황금비에가까워짐을알수있다. 왜이러한일이일어나고있는지분석함으로써원래의현상에대한분석으로되돌아간다.
1. 창의적능력이나특별한수학적능력의발현에도움 2. 탐구지향적인학습태도를길러준다. 3. 학생들의수학에대한이해정도를파악할수있는수단이된다. 4. 학생들에게이미배운지식을종합적으로이용할수있는기회를제공한다. 5. 학력수준이낮은학생들에게도의미있는수학학습활동을제공한다. 6. 수학에대한긍정적인성향을함양시키는수단이된다.
수학을학습하는중요한목적중의하나는실생활의여러가지문제를수학을이용하여해결하기위한것이다. 실생활문제를해결하기위하여수학을이용한다는것은실생활문제를수학적문제로변환한다음그문제를해결한결과를해석하여실생활문제를해결하는것이다. NCTM 에서는실세계현상을수학적기호나식, 그래프, 도형등과같은수학적방법으로나타낸추상적모델을수학적모델의개념으로사용할수있다고하였다.
1. 실세계문제상황을단순화하여실제적문제를구성한다. 2. 구성된문제를방정식, 그래프등을이용하여수학적모델로나타낸다. 3. 수학적모델을변형하여수학적해를구한다. 4. 수학적해를구성된실제적문제에맞게해설한다. 5. 실제적문제의해가실세계문제상황에타당한지를확인한다.
실세계현상 관찰, 해석, 형식화 수학적모델 적용 분석 결론, 판단 해석 수학적결론
경우에따라서는문제상황이매우복잡하여이를해결하기위한수학적모델을만들기가어렵거나복잡하여이를해결하기위한수학적모델을만들기가어렵거나복잡하여수학적모델링의과정이쉽지않은경우가있다. 그러므로수학적모델을구한구한다음변인의수를점차적으로늘리면서더욱정교한해를구할수있게변형하는것즉수학적모델링의정교화과정을사용한다.
실세계현상 관찰, 해석, 형식화 No 수학적모델 적용 Yes 해는의미있는가? 분석 결론, 판단 해석 수학적결론
Q) 높은빌딩에서물체를지면으로떨어뜨리고이를관찰하여떨어진시간과떨어진거리의관계를알아보자 < 실세계상황 > 높은빌딩에서플라스틱볼을지면으로떨어뜨린다음, 일정시간간격으로공이떨어진거리를관찰하고그결과를표와그래프로나타내어본다. < 단계 1 : 실제문제 > x( 초 ) 1 2 3 4 y(cm) 5 20 44 78
8 0 4 0 2 4
X 1 4 9 16 y 5 20 44 78 80 40 4 8 12 16
자신의사고과정에대한지식 조종또는자동조절 신념과직관에관한범주의지적행동 (By Schoenfeld) 문제해결에서요구하는발견술적전략을세우기 자신의사고활동을조절하고통제하는능력
메타인지적지식 문제를효율적으로해결하기위해필요한기능, 전략, 지식 메타인지적기능 성공적인문제해결을위해메타인지적지식을실행방법및시기를결정하는것과관련된결정능력
John Dewey, Jean Piaget, Richard R. Skemp 메타인지라는용어를사용하지않았지만, 반성적사고, 반영적추상화, 반성적지능등과같은메타인지적기능을강조하였다. Schoenfeld 메타인지적지식, 메타인지적기능, 지적행동의세가지관련된다른영역에초점을둠. 메타인지적지식과메타인지적기능을신념체계와함께메타인지의중요한측면으로강조
Joe, Garofalo & Frank K. Lester, JR. 학생들의문제해결력을개선하려는많은연구가실패한이유가발견술적기능의개발을지나치게강조하였기때문임 George Polya 문제해결 4 단계에모두영향을미침 특히반성단계가메타인지와밀접한관련을갖음.
우리가할수있는것이무엇이지? 계획을가지고있니? 더풀기전에우리가확실히문제를이해한거니? 이것이왜사실이라고생각하지? 지금무엇을하고있니? 왜그것을하고있니? 그것이너에게어떤도움을주지?
성공적인문제해결을위해수학적지식뿐만아니라문제해결메타인지활동또한중요하므로, 메타인지습관은중요한습관. 메타인지습관을기르기위한방법 문제해결활동후학생들에게메타인지사용여부질문및토론. 메타인지체크리스트를스스로체크해보게함.( 체크리스트는책 P132 참고 )
문제중심학습 (Problem-based Learning) 실생활에서접하게되는문제와유사한비구조적인문제상황의제시로부터학습을시작. 학습자가문제를해결하기위해필요한지식및정보를스스로탐구하여적절한해결안을찾는과정을통해학습을하는교수 - 학습방법 수학과 PBL 은학습자가가지고있는지식을모두활용하여문제를해결하여수학적개념과원리를학습시킴.
문제상황에직면한학생들이그문제를해결하기위하여기존의지식사용한다는점에교수학적기초를둠. 문제해결과정에서새로운지식과이해를구성한다는측면에서문제중심학습과같은맥락을가짐.
문제로부터시작 학습자중심 교사의역할은조력자의역할 협동학습과자기주도적학습강조 평가는학습자중심으로다양한방법으로이루어짐. 지식획득의출발점으로서문제를사용
학습의시작으로서의문제 실제적인문제 비구조적인문제 교육과정에기초한문제 (PBL문제의예 - P135 참고 )
학습하고자하는수학적개념을주어진문제상황에서수학적으로해석하고수학적으로해결하는과정을통해수학을학습.( 문제상황을수학적상황으로이해, 중요한내용을수학적개념과연결 ) 학습자가주도적으로문제를해결하고, 학습하고자하는수학적개념이나원리에대한정의와학습하고자하는개념에대한정리과정포함.
문제이해하기 문제해결계획세우기 탐구하기 미니강의 문제해결하기 정리
문제이해하기 흥미유발문제제시수학적문제상황으로이해하기 문제해결계획세우기 과제수행계획서작성하기학습목표공유및문제재정의하기 탐색하기 미니강의 문제해결하기 해결안고안하기해결안발표및고안하기 정리 해결안에대한교사의정리해결안점검및해결안수정성찰저널작성