이학계열 문제 점 다음제시문을읽고답하시오 가 수학적귀납법을이용하여자연수 에대한명제 이모든자연수 에대하여성립하는것을증명하려면 다음과같이 과정 과 과정 를보이면된다 과정 과정 일때 명제 이성립한다 일때 명제 이성립한다고가정하면 일때에도명제 이성립한다 나 이 이상의자연수일때

이학계열 문제 점 다음제시문을읽고답하시오 가 수학적귀납법을이용하여자연수 에대한명제 이모든자연수 에대하여성립하는것을증명하려면 다음과같이 과정 과 과정 를보이면된다 과정 과정 일때 명제 이성립한다 일때 명제 이성립한다고가정하면 일때에도명제 이성립한다 나 이 이상의자연수일때 다음과같은명제가있다 임의의 개의양수를 이라고할때 부등식 이성립한다 부등식 이성립함을보이기위하여아래와같은내용을참고한다 두양수 에대하여 부등식 가성립함을보일수있다 는각각 와 의산술평균 기하평균이다 위 에주어진부등식을이용하면네개의양수 에대하여 에주어진부등식을증명할수있다 증명의과정은다음과같다 - 1 -

위의결과로부터부등식 이증명되었다 부등식 에서 단 는자연수 일때 에관한수학적귀납법이란 과정 일때 이성립함을보이고 과정 일때 이성립한다고가정하면 일때에도 이성립함을보이는것이다 위의방법으로 의꼴을가지면 에주어진부등식이성립하는것을보일수있다 이러한결과를이용하여최종적으로 이상의자연수 에대하여 에주어진부등식이성립하는것을보일수있다 에서등호가성립하는경우는 일때이다 식은최댓값과최솟값을구하는다양한문제에서응용될수있다 은 이상의자연수라고가정할때다음문제에답하시오 문제 과 이다음과같이주어졌다 단 에대하여 일때 다 의값을 에관한식으로나타내시오 단 은자연수이 문제 일때제시문에주어진부등식 이성립함을 에관한수학적귀납법에의하여보이시오 단 는자연수이다 문제 단 는자연수 라고가정하자 이런경우라도부등식 를만족하는자연수 가존재한다 - 2 -

따라서 등식 를만족하는자연수 이존재한다 위 문제 과 문제 의결과 그리고등식 를이용하여 일때제시문에주어진부등식 이성립함을보이시오 문제 그림 과같이변의길이 인직육면체모양의상자의부피는 cm 이다 그림 에주어진점선을따라상자를묶었을때의끈의위치를펼친그림인 그림 에점선으로표시하였다 이런방식으로상자를끈으로묶었을때 끈의길이가최소가되는 의값을각각구하시오 이때 다음과같은가정을한다 끈과끈이만나는곳에서의매듭길이는계산에서고려하지않는다 끈은늘어나거나줄어들지않는다 - 3 -

문제 점 다음제시문을읽고답하시오 가 공항에서승객소지품을검사하는보안검색장비는두가지기능 즉총기류검색기능과폭발물 검색기능을수행한다 새로운여객터미널을건설중인 공항에서는시간당 명의승객을 처리할수있는보안검색시스템의구축을목표로 그림 과같은 가지설계안을고려하고있다 설계안 검색장비 기능 총기류검색 처리율 명 시간 검색장비 기능 폭발물검색 처리율 명 시간 명 시간 설계안 검색장비 기능 총기류폭발물동시검색처리율 명시간검색장비 예비장비 기능 총기류폭발물동시검색처리율 명시간 명 시간 검색장비 기능 총기류 폭발물동시검색 처리율 명 시간 설계안 검색장비 기능 총기류 폭발물동시검색 처리율 명 시간 명 시간 검색장비 예비장비 기능 총기류 폭발물동시검색 처리율 명 시간 그림 각설계안비교 각설계안의특징은다음과같다 설계안 검색장비의기능이분리된형태로검색장비 총기류검색 과검색장비 폭발물 - 4 -

검색 가직렬로연결된형태이며각각의시간당처리율은 명 시간 이다 설계안 검색장비 는첨단검색장비로총기류와폭발물의동시검색이가능하다 시간당 처리율은 명 시간 이며 검색장비에고장이발생할경우를대비하여예비검색장비 대를추가배치한다 설계안 검색장비 는첨단검색장비로총기류와폭발물의동시검색이가능하다 시간당 처리율은 명 시간 으로 대를병렬로배치하였으며 검색장비에고장이발생할경우를대비하여예비검색장비 대를추가배치한다 보안검색시스템의신뢰성은목표처리율 즉 명 시간 을달성할확률로정의되고 각검색장비 즉 검색장비 에고장이발생할확률은 즉 로동일하다 공항운영진은검색장비의고장상황에따른손실비용 승객지연 상 업시설매출액감소 공항인지도저하등 을경험적으로알고있으며 그내용은 표 과같다 표 시간당처리율에따른손실비용 시간당처리율 명시간 명시간 명시간 손실비용 억원 억원 원 나 일렬주차로설계된길이 의한강변주차장은총 대의주차면을가지고있으며 현재 총 대의차량이주차되어만차인상태이다 이때한차량이주차장에진입하여 아래의두가지방법가운데어느방법을선택하여주차공간을찾을것인가고민하고있다 방법 주차장중앙 즉 지점 에서정지하고기다리는방법 0 500 대 2 1 지점에 정지 방법 같은속력으로주차장의양끝점을지속적으로왕복하여움직이는방법 0 500 대 2 이때 주차된각차량이첫번째로출발하게될확률은동일하며 두대이상의차량이동시에 - 5 -

출발하는경우는없다고가정한다 또한주차하려는차량의위치와출발하는차량의위치는구간 에서연속확률변수 와 로각각정의된다고가정한다 문제 제시문가 의설계안 의신뢰성을각각구하고 이를근거로신뢰성이가장높은설계안을결정하시오 문제 제시문가 에서공항운영진은최신의통합검색기능이적용된설계안 와 가운데하나를선정하기로결정하였다 아울러 선정을위한기준으로 구축비용과손실비용을포함한총비용을적용하기로하였다 검색장비 와 의대당구축비용은각각 억원 대 억원 대 이다 표 에제 시된고장상황별손실비용을고려하여설계안 와 의총비용 구축비용 손실비용 의기댓값을구하고 이를근거로총비용의기댓값이더낮은설계안을결정하시오 문제 제시문나 의방법 과 에대해 주차하려는차량과첫번째발생하는주차 공간의거리가 이내일확률을각각구하시오 - 6 -

문제 점 다음도표를보고물음에답하시오 표 년환경성과지수 의범주및지표별의미와순위 환경성과지수의범주 환경성질병부담 대기보건 물보건 환경성과지수의지표 영유아사망률 실내공기오염 미세먼지평균노출인구 식수접근성 물위생 환경성과지수의지표의의미 아동이출생후 년에서 년사이에사망할확률 고체연료사용인구비율 인구수를가중치로한미세먼지농도 위생적급수시설사용인구비율 양질의식수를이용하는인구의비율 개국중대한민국지표순위 개국중대한민국범주순위 동식물의보호를위한 보호지역국토면적 서식지국토면적 대비 생물다양성 동식물의보호를위한보호지역 세계보호구역서식지세계보호구역면적면적대비 국가별배타적 해양보호 경제수역중 해양동식물보호지역 삼림 산림손실 년과 사이산림숲의감소비율 년에서 년 사이생산된 당 배출량추이전력대비 량의추이 기후변화 탄소집약도 추이 년에서 년사이탄소집약도추이 탄소집약도에서의 탄소집약도추이변화 년추이와 년추이의 변화 주 환경성과지수 미국의예일대와컬럼비아대가 공동으로환경성질병부담 대기보건 물보건 수자원 생물다양성 삼림 기후변화등의 범주에서 여개지표를활용하여국가별환경보존및개선노력을평가한점수와순위 중국은 위 일본은 위임 탄소집약도 소비한에너지에서발생된 량을총에너지소비량으로나눈값 수자원하수처리폐수처리비율 - 7 -

표 년환경성과지수의범주별점수 순위 년간개선추이 환경성과지수의 환경성과지수의 범주별 개국중 대한민국의범주별 범주 범주별점수 대한민국순위 년간개선추이 환경성질병부담 대기보건 물보건 수자원 생물다양성 삼림 기후변화 종합 표 우리나라환경성과지수의최근추이 구분 연도 환경성과지수 종합 순위 평가대상국가수 위 개국 위 개국 위 개국 전체평가대상국가중 백분율순위 문제 표 표 표 을이용하여우리나라의환경특성을기술하고 개선방안에대해 논술하시오 자내외 - 8 -

출제의도 채점기준 모범답안 이학계열 출제의도 문제 수학적귀납법의내용을이해하여적용할수있는능력이있는지알아본다 두개의 양수에대한산술평균과기하평균의관계를제시하고이러한관계를 개의양수에 대한식으로확장할수있는논리적사고를측정한다 제시문의내용을이해하여주어진 문제에적절히적용할수있는응용력을지니고있는지테스트한다 또한 응용문제를해결하는과정에서기하학적사고와산술적인전개능력을측정한다 문제 실제현장에서발생하는문제에내포된확률적문제의본질을이해하고이를수학적으로해결하는능력을평가하고자한다 특히 확률변수의및확률분포에대해정확히이해하는지를평가한다 문제 우리나라환경특성을환경성과지수를통해이해하고 부족한부분을어떻게개선할 수있을지를종합적으로제시할수있는지를평가한다 따라서학생들의도표에대한분석력 도표간종합 문제해결대안제시의창의력이주요평가항목이다 채점기준 문제 문제 문자로주어진수식의정의를이해할수있는지평가한다 점 문제 제시문에주어진내용을이해하여확장적용할수있는지평가한다 점 문제 문제 과 문제 의결과와주어진등식을응용 확장하여문제를해결할수있는지평가한다 점 문제 제시문의내용과앞의문제에서보인결과를응용문제에적용할수있는지평가한다 점 문제 문제 계산과정과결과의정확성을기준으로채점 점 문제 계산과정과결과의정확성을기준으로채점 점 문제 확률변수의정의및계산과정 결과의정확성을기준으로채점 점 문제 점만점 표 표 표 의분석 점 예시답안의첫번째 참조 - 9 -

각표에서주요특징도출 구체적인수치인용도중요함 고려사항 와같이단순히표를해석하여 개이상쓰면 우수 와같이앞의분석을종합하는경우가있어야 만점 표 표 표 의분석을기반으로문제해결방안제시 점 예시답안의두번째 참조 나름의카데고리및논리를구축하여방안을제시하는것이중요 세가지이상의방안을논리적으로제시하면만점 분석결과혹은문제점을단순히반복 예 단순히 개선이필요하다 고기술 하면점수를 주지말것 모범답안 문제 점 문제 배점 점 이므로 답 문제 과정 배점 점 점 점 점 일때 이므로 을보이면된다 위의결과에의하여 이다 - 10 -

따라서 점 과정 의별해 제시문에서 식을증명하는과정중에두양수에대한산술평균과기하평균 의관계를이용하므로이런사실을언급하고아래부등식이성립한다고밝히면 과정 을보인것으로한다 점 과정 즉 일때 제시문에서주어진부등식 이성립한다고가정하자 즉 임의의 개의양수에대하여부등식 이성립한다고가정하자 임의의 개의양수 에대하여 점 가정에의하여 과정 에의하여 위의결과로부터다음과같은부등식을얻는다 위의부등식에서오른쪽식을정리하면다음과같다 따라서 즉 일때 제시문에서주어진부등식 이성립한다 점 - 11 -

문제 배점 점 점 점 점 임의의 개의양수 에대하여 이고 일때 점 문제 의결과이용 문제 의결과이용 점 위의결과는 와 로부터 위의식을정리하면 위의결과로부터 즉 일때제시문에주어진부등식 이성립한다 점 문제 상자의부피가 이므로 이다 끈의길이를 이라고할때 가된다 문제 와 문제 에의하여부등식 이성립함을보였기때문에 점 위부등식의오른쪽을정리하면 - 12 -

위의결과로부터 위의부등식에서등호가성립하는경우는 점 일때이므로 라고하면 이다 따라서 위 에대한이유 에서등호가성립하는경우는 일때라는내용이 제시문에주어졌다 답 점 - 13 -

문제 점 문제 점 설계안 가목표를달성하지못할확률 를구하고 이를토대로각설계안의신뢰성 을계산한다 각설계안의시간당처리율을 라하면 으로정의된다 를이용하여 를계산하면다음과같다 이때 주어진조건에의해 각검색장비 에고장이발생할확률은 로동일하다 여기서 설계안 의신뢰성 정답이아닌경우 설계안 의신뢰성 정답이아닌경우 설계안 의신뢰성 정답이아닌경우 따라서 가장신뢰성이높은설계는설계안 이다 - 14 -

문제 점 설계안 의상황별총비용 시간당처리율 총비용 억원 명시간 명시간 명시간 설계안 의총비용기대값 억원 수식은맞고정답이아닌경우 설계안 의상황별총비용 시간당처리율 총비용 억원 명시간 명시간 명시간 설계안 의총비용기대값 억원 수식은맞고정답이아닌경우 설계안 의총비용기대값 설계안 의총비용기댓값 설계안 선택 별해 설계안 구축비용 대 억원 대 억원 상황별손실비용 시간당처리율 손실비용 억원 명시간 명시간 명시간 손실비용기대값 억원 총비용기댓값 구축비용기댓값 손실비용기댓값 억원 억원 수식은맞고정답이아닌경우 설계안 구축비용 대 억원 대 억원손실비용 개통연도 시간당처리율 총비용 억원 명시간 명시간 명시간 손실비용기대값 억원 총비용기댓값 구축비용기댓값 손실비용기댓값 억원 억원 수식은맞고정답이아닌경우 - 15 -

설계안 의총비용기대값 설계 의총비용기댓값 설계안 선택 문제 점 타당한설명을제시하지않고없이수자로답만구한경우 점 확률변수 주차하려는차량과출발하는차량의거리 지점에정지하는하는경우 점 표본공간 정답이아닌경우 점 Y 2Km 1Km 0.2Km 0.2Km 표본 공간 1Km 2Km X 왕복하는경우 점 표본공간 그림의빗금친부분면적 전체면적 전체면적 아래삼각형면적 전체면적 계산오차 점 - 16 -

Y 2Km 0.2Km 0.2Km 2Km X 표본공간과확률값 문제 점 첫째 우리나라환경특성을기술하면다음과같다 도표 에서는실내공기오염 물위생 하수처리 유아사망률등은상위권에 미세먼지평균노출인구 보호지역 국토면적 보호지역 세계보호구역면적 탄소집약도추세변화 탄소집약도추세 당 배출량추세등은타국에비해낮은수준을나타내고있다 도표 에서환경성과지수의범주별특징을살펴보면 환경성질병부담 물보건 수자원등에서는상위권에 대기보건 생물다양성 기후변화등에서는매우낮은수준을나타내고있다 도표 에서는또한환경개선을위한노력정도를살펴볼수있다 생물다양성 물보건 로우리나라평균이상의 대기보건의경우 로낮은노력정도를나타내고있다 수있겠다 도표 에서는환경개발지수로살펴볼때 총점 로 개국중 위 상위 에해당하는위상을나타내고있다 전세계적기준으로볼때 환경상태는어느정도양호한것으로평가할 수있다 또연도별로순위가계속상승하고있어개선노력이어느정도성과를나타내는것으로볼수있다 이상을종합하면 실내공기오염 물위생 하수처리 영유아사망률등국민생활관련영역에서는매우우수하나 미세먼지평균노출인구 보호지역관련 생물다양성 배출이나탄소집약도추세 기후변화 등자연환경이나산업시설관련부분은낮은수준으로나타나고있다 둘째 이러한분석을기초로우리나라환경을개선하기위해서는개인인식및생활변화 환경친화적정부정책및과학기술발전 국제협력등다양한분야에서구체적인방안을제시하고자한다 개인인식과생활변화 가장증요한것은국민개인의자연에대한인식의전환이다 자연은개발의대상이아니라 인간이그일부로함께공존하는생태계라는관점을가져야한다 생태계내의모든개체는가치있고 존중되는평등혹은공생해야한다는원칙을가져야한다 나아가후대 - 17 -

역시환경의이용권이있다는생각을하여야한다 이런인식을바탕으로환경개선을위한쓰레기 줄이기 물절약 자동차이용제한등일반생활에서도환경을고려한행동을전개하여야한다 또 이는생물다양성 기후변화 자원보호를촉진하는계기가될것이다 환경친화적정부정책및과학기술발전 그동안정부는국민편의및경제성장 또이를위한자연개발중심정책을추구하였다 이에도시화 공장건설등을우선시하였다 이제는숲이나공원조성 풍력수력 조력 태양열 지열등재생에너지산업육성등환경친화적인산업및과학기술 지원정책을적극적으로시행할것이요구된다 국제협력 생태계에서는어느한부분에서의문제가전체공동체에영향을미친다 중국에서의미세먼지는우리나라나일본에영향을미친다 따라서한국 중국 일본등이함께미세먼지에대한대응책을함께세워나가야한다 또기후변화대응책의하나인 탄소배출권거래 의경우 선진국과 후진국간에첨예한이해대립이존재한다 우리는이들사이에서협력을적극적으로이끌어낼 수있도록중재하고 또주도적으로대응해나가는노력이필요하다 이상살펴본바와같이환경개선을위해서는개인 국가 국제등다양한수준에서적극적노력이필요하다 그러나그출발점은우리자신의인식과행동의변화라하겠다 - 18 -