마지막 변경일 2018년 5월 7일 ** 이항분포와 정규분포의 관계 ** Geogebra와 수학의 시각화 책의 3.2소절 내용임. 가장 최근 파일은 링크를 누르면 받아 보실 수 있습니다.

마지막 변경일 2018년 5월 7일 ** 이항분포와 정규분포의 관계 ** Geogebra와 수학의 시각화 책의 3.2소절 내용임. http://min7014.iptime.org/math/2017063002.htm 가장 최근 파일은 링크를 누르면 받아 보실 수 있습니다. https://goo.gl/edxsm7 http://min7014.iptime.org/math/2018010602.pdf 자료의 수정이 필요한 부분이 있으면 언제든지 민은기 E-mail : min7014@nate.com 이경수 E-mail : ksteach81@gmail.com 으로 연락주시면 감사하겠습니다. 강의록을 보기전에 프로그램 설치를 반드시 읽어보시고 꼭 지오지브라 클래 식 5를 설치하시기 바랍니다. https://goo.gl/wqwj6v http://min7014.iptime.org/math/2018011001.pdf * 주요변경내역 * 2017.06.24 Geogebra와 수학의 시각화 책에 엮어 출간. 1

차례 차례 i 제1장 Geogebra를 활용한 통계 1 1.1 이항분포와 정규분포의 관계................... 3 1.1.1 이항분포의 그래프 그리기.................. 3 1.1.2 이항분포 그래프를 동적으로 표현하기........... 4 1.1.3 스프레드시트를 이용하여 표 구성하기........... 6 1.1.4 정규분포 그래프 그리기................... 7 1.1.5 텍스트를 활용하여 내용 구성하기............. 8 찾아보기 17 i

제 1 장 Geogebra 를활용한통계 1

제 1 장 Geogebra 를활용한통계 2

이항분포와 정규분포의 관계 1.1 이항분포와 정규분포의 관계 확률변수 X가 이항분포를 따를 때, 시행횟수가 크면 클수록 이항분포의 모양 은 정규분포의 모양에 가까워지게 됩니다. 이번 장에서는 이항분포가 정규분 포를 닮아가는 과정을 관찰해 볼 수 있는 자료를 만들어 볼 것입니다. 동적으 로 움직이는 자료이기 때문에 단순히 교과서의 정지한 그림을 보고 깨닫는 것 보다는 개념을 정확하게 인지하는데 더 많은 도움이 될 것이라 생각합니다. 1.1.1 이항분포의 그래프 그리기 이항분포는 한 번의 시행에서 어떤 사건의 성공확률과 시행횟수로 결정됩니다. 입력창에 다음과 같이 입력하여 시행횟수가 5회, 성공확률이 0.25인 이항분포 의 그래프를 그려 봅니다. 이항분포[5,0.25] 이항분포[<시행횟수>,<성공확률>] 위의 그림과 같이 6개의 막대가 만들어지게 됩니다. 여기서 x축의 0에 위치한 3

제 1 장 Geogebra를 활용한 통계 막대는 5번의 시행에서 0번 성공할 확률을 나타내고, 1에 위치한 막대는 5번의 시행에서 1번 성공할 확률을 나타냅니다. 그런데 그래프를 그리고 보니 막대의 높이가 낮아 각 확률을 서로 비교하기가 어렵다는 것을 알 수 있습니다. y축은 확률을 나타내는 축으로 1보다 큰 값은 의미가 없기 때문에 아래 그림에서와 같이 y축을 확대해 주도록 하겠습니다. 축의 확대는 도구모음에서 기하창 이 동을 선택하고, 마우스의 축을 잡아 직접 늘려주는 방법이 있습니다. 1.1.2 이항분포 그래프를 동적으로 표현하기 우리는 이 자료를 통해 시행횟수가 커짐에 따라 이항분포의 그래프가 정규분 포의 그래프에 가까워지는 과정을 보려 하는 것입니다. 따라서 지금부터는 그 래프가 시행횟수의 변화에 즉각적으로 반응할 수 있도록 자료를 구성해 보도 록 하겠습니다. 도구모음에서 슬라이더 도구를 선택하고 이어서 기하창을 클 릭하면 슬라이더 설정창이 나옵니다. 그림과 같이 [1,100] 범위의 정수형 변수 n과 [0,1] 범위의 실수형 변수 p를 정의합니다. 4

이항분포와 정규분포의 관계 기하창에 n과 p의 슬라이더가 생성된 것을 볼 수 있습니다. 이제 이 슬라이더 와 이항분포의 그래프를 연결하겠습니다. 대수창에서 수항목에 정의되어 있는 이항분포 a=1 을 더블 클릭하여 재정의 창으로 들어갑니다. 그리고 명령을 다 음과 같이 수정합니다. 이항분포[n,p] 현재 설정되어 있는 n과 p의 값에 따른 이항분포로 모양이 바뀐 것을 확인할 수 있습니다. 이제 슬라이더의 점을 잡고 움직여보면 그래프가 함께 움직여지 는 것을 볼 수 있습니다. 5

제 1 장 Geogebra를 활용한 통계 이제 이항분포의 설정사항으로 들어가 막대의 색상과 불투명도를 적당한 형태 로 설정해 줍니다. 1.1.3 스프레드시트를 이용하여 표 구성하기 지금부터는 기하창에 이항분포의 시행횟수와 성공확률, 평균과 표준편차 등을 나타내는 표를 나타내 보도록 하겠습니다. 우선 상단 메뉴 중 보기에서 스프 레드시트를 선택하여 창을 열어 줍니다. 참고로 스프레드시트 창을 여는 단축 키는 [Ctrl]+[Shift]+[S] 입니다. 스프레드시트 창의 1행에 항목들의 이름을 아 래와 같이 입력합니다. 그리고 2행에는 1행의 계산식을 입력합니다. 시행횟수 (=n), 성공확률(=p), 실패확률(=1-p), 평균(=n*p), 분산(=n*p*(1-p)), 표준편 차(=sqrt(n*p*(1-p))) 위와 같이 입력하면 Excel 과 동일하게 계산식을 처리하여 그 결과를 보여 줍 니다. 이때, 시그마 기호는 입력창을 클릭했을 때, 오른쪽에 나타나는 알파(α) 를 클릭하면 찾을 수 있습니다. 이를 복사하여 사용하면 됩니다. 그리고 글자 가 셀의 너비보다 길어서 안 보이게 될 때는 마우스로 셀의 경계를 잡아 셀 너비를 늘려주면 됩니다. 참고로 Geogebra 스프레드시트가 Excel과 다른 점은 셀에 수뿐만 아니라 행렬이나 좌표, 리스트 등과 같은 대상도 입력 가능하며 그것을 처리할 수 있다는 점입니다. 6

이항분포와 정규분포의 관계 위 그림과 같이 스프레드시트에 입력한 두 행을 드래그한 후 오른쪽 마우스를 클릭합니다. 항목 중 만들기에서 표를 선택합니다. 그러면 기하창에 이 표가 나타남을 확인할 수 있습니다. 그리고 n과 p의 슬라이더를 움직이면 그래프와 표의 값이 함께 변하는 것도 볼 수 있습니다. 1.1.4 정규분포 그래프 그리기 이항분포와 정규분포 그래프를 비교하기 위해 이항분포 그래프 위에 이항분포 의 평균과 표준편차를 인수로 하는 정규분포 그래프를 그려 보겠습니다. 입력 창에 아래와 같이 입력합니다. 정규분포[D2,F2,x] 정규분포[<평균>,<표준편차>,x] 확률변수 X가 정규분포를 따른다고 할 때, 그것을 기호로 X N (m, σ 2 )와 같이 나타냅니다. 그러나 정규분포의 그래프를 그리는 명령어에서는 분산이 7

제 1 장 Geogebra를 활용한 통계 아닌 표준편차를 넣어주어야 합니다. 이것은 일반적인 표현과 다른 부분이라 자칫 실수할 수 있기 때문에 주의가 필요합니다. 1.1.5 텍스트를 활용하여 내용 구성하기 마지막으로 이 자료가 설명하고자 하는 내용을 글로 보여주는 부분을 만들어 보도록 하겠습니다. 텍스트 도구를 이용하여 기하창에 아래 문장을 입력합니 다. 시행횟수 n, 성공확률 p인 독립시행에서 X를 성공횟수라 하면 X는 다음 이 항분포를 따른다. 이때 시행횟수 n이 충분히 크면 확률변수 X는 다음 정규분포를 따른다고 할 수 있다. 8

이항분포와 정규분포의 관계 이제 위에서 작성한 각각의 내용을 통계 기호를 사용하여 나타내 보겠습니다. 텍스트 도구를 이용하여 다음과 같이 작성합니다. 위의 왼쪽 그림과 같이 n(시행횟수), p(성공확률)를 키보드에서 문자로 입력해 주는 대신 설정창의 대상에서 변수를 찾아 입력해주게 되면 기하창에 표시되 9

제 1 장 Geogebra를 활용한 통계 는 문자열에서도 n과 p의 값이 구체적인 값으로 나타날 뿐만 아니라 동적인 상황에서 변화하는 변수의 값을 그대로 보여주게 됩니다. 위의 오른쪽 그림과 같이 평균과 분산의 값도 슬라이더의 값에 따라 변하는 값으로 보여 지도록 대 상에서 찾아 설정해 줍니다. 참고로 표시는 설정창의 기호에서 찾아서 입력 하도록 합니다. 다음으로 [0,k] (k는 정수) 범위에서 이항분포와 정규분포의 확률을 서로 비교 해 볼 수 있는 내용을 작성해 보도록 하겠습니다. 먼저 k라는 이름의 슬라이 더를 [0,n] 범위의 정수로 만들어 줍니다. 최댓값을 n으로 하는 이유는 k가 총 시행횟수 n을 넘을 수 없기 때문입니다. 슬라이더를 만들어 확인해 보면 k의 최댓값은 n의 값에 따라서 달라집니다. 먼저 이항분포에서 0회 이상 k회 이하 성공할 확률을 구하기 위해 성공 횟수에 대한 확률을 구하는 방법을 알아보도 록 하겠습니다. 입력창에 다음 내용을 입력합니다. 조합[n, 3]*p**3*(1 - p)**(n - 3) 조합[<수n>,<수r>] : 서로 다른 n개 중 r개를 택하는 조합의 수 10

이항분포와 정규분포의 관계 이는 n회의 독립시행에서 3회 성공할 확률을 구하는 식 n Cr p3 (1 p)n 3 이며, 이항분포의 그래프에서 왼쪽 4번째 막대의 높이입니다. 우리는 모든 막대의 높 이를 알아야 합니다. 그러나 이것을 제각각 계산하는 것은 매우 번거로운 작업 이므로 다음과 처리해 보도록 하겠습니다. 대수창에서 앞서 구한 3회 성공의 확률을 삭제합니다. 그리고 입력창에 다음과 같이 입력합니다. 수열[조합[n, t]*p**t *(1 - p)**(n - t), t, 0, n] 수열[<표현식>,<변수>,<시작값>,<끝값>] : 표현식의 해당 변수에 시작 값부터 끝값까지 대입하여 리스트를 구성 수열 이란 명령어는 표현식에서 지정한 변수의 값을 시작값에서 끝값까지 대 입하고, 그 값들을 리스트로 묶어주는 역할을 합니다. 가독성을 높이기 위해 리스트의 이름은 BinomialList로 수정합니다. 이름 수정 은 마우스의 오른쪽 버튼을 클릭하면 나오는 항목 중 이름 다시 붙이기를 선 택해 주면 됩니다. 그러면 아래와 같은 창에서 이름을 수정할 수 있습니다. 11

제 1 장 Geogebra를 활용한 통계 이제, 이항분포에서 성공횟수가 0회 이상 k회 이하일 확률을 구해 보겠습니다. 입력창에 다음 내용을 입력합니다. 합[BinomialList,k+1] 합[<리스트>,<원소의수>] 두 번째 인자가 k+1인 이유는 k회 성공할 확률이 왼쪽 k+1번째 직사각형에 대응되기 때문입니다. 위의 명령에 의해 정의된 수의 이름을 BinomialProb로 정의 하겠습니다. 이제 정규분포에서 확률변수가 0 이상 k 이하일 확률을 구 해보도록 하겠습니다. 입력창에 다음 내용을 입력합니다. 적분[f,0,k] 적분[<함수>,<처음값>,<마지막값>] 위의 명령에 의해 정의된 수의 이름을 NomalProb로 정의하겠습니다. 12

이항분포와 정규분포의 관계 마지막으로 [0,k] 범위에서 두 분포의 확률을 기하창에 나타내 보도록 하겠습 니다. 텍스트 도구를 이용하여 편집창에 다음 내용을 입력합니다. P(0 X k) = \left \ { \ begin{array}{ll} BinomialProb \ & \ textrm{binomial Prob} \ \ NormalProb \ & \ textrm{normal Prob} \ \ \ end{array} \right. 여기서 k, BinomialProb, NormalProb는 편집창 아래 대상을 클릭하여 선택해 야 합니다. 내용을 모두 입력한 후 LaTeX 체크 박스에 체크를 해 주면 아래 그 림과 같이 두 개의 수를 하나의 중괄호로 묶어 표현한 기호가 그려지게 됩니다. 13

제 1 장 Geogebra를 활용한 통계 두 값의 차이를 더 정확하게 비교하려면 아래 그림과 같이 선택사항 메뉴에서 반올림 자리수를 조정해 주면 됩니다. 마지막으로 그래프의 색상과 스타일을 보기 좋게 설정하면 다음과 같이 이항 분포와 정규분포의 관계를 관찰할 수 있는 자료가 완성됩니다. 14

이항분포와 정규분포의 관계 지금까지 이항분포와 정규분포의 관계에 대한 자료를 만들어 보았습니다. 이 자료에서 시행횟수를 늘려가며 두 분포의 확률을 비교해 보면, 시행횟수가 많 아질수록 두 분포의 차이가 작아짐을 확인할 수 있습니다. 15

찾아보기 수열, 11 이항분포, 3 이항분포와정규분포의관계, 3 적분, 12 정규분포, 7 조합, 10 합, 12 17

찾아보기 그동안 했던 강의 자료 중 일부를 책으로 엮음. http://min7014.iptime.org/math/2017063002.htm https://ggbm.at/gsarcqs5 책자료실(지오지브라 튜브) 18

[ 참고 ] [ 민은기선생님의수학자료실 ] Homepage : http://min7014.iptime.org Facebook Page : https://www.facebook.com/mineungimath YouTube Channel : https://goo.gl/jpzu5i [ 이경수선생님블로그 ] http://blog.naver.com/evening07 [GeoGebra 5.0.363.0-3D (03 June 2017) 설치파일 ] Installer : https://goo.gl/yvjscv (From Home Page) Installer : https://goo.gl/n69yel (From Google Drive) [GeoGebra 5.0.462.0-d (02 May 2018) 설치파일 ] Installer : https://goo.gl/ssdfbd (From Home Page) Portable : https://goo.gl/fxjxes(from Home Page) Installer : https://goo.gl/dqtbfk (From Google Drive) Portable : https://goo.gl/zwundc(from Google Drive) 19