굽힘 하중과 내압이 가해지는 미터밴드의 소성하중 Plaic Lad f ired Bend under Inernal Preure and Bending men 민 성 환* 김 윤 재 전 준 영* 이 국 희** in, Sung-Hwan Kim. Yun-Jae Jen. Jun-Yung Lee. Kuk-Hee (논문접수일 : 2009년 9월 28일 ; 심사종료일 : 2009년 12월 8일) 요 지 본 논문에서는 굽힘과 내압이 가해질 때 미터밴드의 한계하중을 3차원 유한요소해석을 이용하여 연구하였다. 재료는 탄 성-완전 소성재료로 가정하였고, 기하학적 선형과 비선형 효과를 고려하여 소성 한계하중을 결정하였다. 본 연구를 위한 해석에서는 다양한 범위의 형상 변수가 고려되었다. 유한요소해석 결과를 바탕으로 굽힘에 관한 보간식을 제시하였다. 핵심용어 : 미터밴드, 유한요소해석, 소성 한계하중 Abrac Baed n hree-dimeninal(3-d) finie elemen limi analye, hi aer rvide limi and TES (Twice-Plaic Lad) lad fr mired ie bend under bending and reure. The laic limi lad are deermined frm FE limi analye baed n elaic-erfecly-laic maerial uing he mall and large gemery change in. A wide range f arameer relaed he mired bend gemery i cnidered. Baed n he finie elemen reul, cled-frm arximain f laic limi and TES laic lad luin fr mired ie bend under bending are red. Keywrd :mired bend, finie elemen analyi, laic limi lad 1. 서 론 미터밴드(mired bend)는 산업 전반에서 널리 쓰인다. 일 반적으로 설계자들은 불연속성이 없는 곡관을 더 선호하지만, 화학 시설이나 담수화 플랜트에서와 같이 복잡한 플랜트 시설 에서는 미터밴드가 공간 활용도가 뛰어나므로 많이 사용된다 (Wd, 2008). 현재까지 곡관에 대한 연구는 다양하게 수행 되었지만(Calladine, 1974; Chaadhyay 등, 2000; Gdall, 1978; Kim 등, 2006; 2007; urad 등, 2000; 2001; Sence 등, 1973; Tan 등, 2002; Tubul 등, 1988) 미터밴드의 연구는 매우 부족하고 일부 연구가 활용가 능하다(Babaii 2003; Kiching 등, 1988; Rbinn 등, 2002). 미터밴드의 굽힘하중이 가해지는 경우 변형 중에 미터 밴드의 단면의 형상 변화를 고려하기 위한 기하학적 비선형 (gemerically nn-linear) 유한요소해석이 기하학적 선형 해석보다 현실적이다. 기하학적 하중지지 능력인 소성하중을 정의하기 위한 방법으로 2배 탄성 구배법(Twice-Elaic- Sle)이 일반적으로 사용된다. 본 연구에서도 2배 탄성 구배 법을 이용하여 최대 하중 지지능력을 정의하고, 이를 TES소성 하중이라 지칭하겠다. 내압이 가해지는 경우 변형 중에 단면의 형상 변화가 많지 않기 때문에 기하학적 선형(gemerically linear) 유한요소해석을 수행하였다. 본 연구에서 유한요소해석을 이용하여 내압과 굽힘하중이 독립적으로 가해지는 미터밴드의 소성하중 해석을 수행하였 고 탄성-완전 소성재료(elaic-erfecly laic)를 사용 하였다. 그리고 미터밴드의 굽힘각과 두께 대비 반경비(r/) 를 체계적으로 변화시키면서 소성하중을 제시하였다. 그리고 실제 사용되는 미터밴드에는 직관이 부착되어 있으므로 충분 책임저자, 고려대학교 기계공학과 교수 Tel: 02-3290-3372 ; Fax: 02-962-9290 E-mail: kimy0308@krea.ac.kr * 고려대학교 대학원 기계공학과 석사과정 ** 고려대학교 대학원 기계공학과 박사과정 이 논문에 대한 토론을 2010년 2월 28일까지 본 학회에 보내주시 면 2010년 4월호에 그 결과를 게재하겠습니다. 한국전산구조공학회 논문집 제22권 제6호(2009.12) 549
굽힘 하중과 내압이 가해지는 미터밴드의 소성하중 그림 2 90 mired bend의 형상 그림 1 참고문헌과의 해석결과 비교 히 긴 직관이 접합된 미터밴드를 고려하였다. 굽힘하중과 내 압이 가해지는 경우 각각에 대해 한계하중을 곡선 보간하여 한계하중식으로 제시하였다. 해석의 타당성을 검증하기 위해 참고문헌(Rbinn 등, 2002)과의 해석결과 비교를 그림 1에 나타내었고, 이를 통 해 이 논문에 기술된 해석결과가 타당함을 알 수 있다. 2. 유한요소 한계해석 2.1 형상과 유한요소망 그림 3 본 연구에 사용된 유한요소망 본 연구에 사용된 90 미터밴드의 형상을 그림 2에 나타내 (reduced inregrain elemen; C3D20R)를 사용하였 었다. 평균 반경과 두께를 과 로 하였다. 중요한 무차원 다. 2160개의 요소와 11445개의 절점을 사용하였다. 두께 변수는 이다. 방향으로 3개의 요소를 사용하고 원주 방향으로 36개의 요 곡관의 형상에 따른 효과를 정량화하기 위해서, 는 5 소를 사용하였다. 50 굽힘각은 15 90 의 범위에서 체계적으로 조사하였다. 곡관이 부착된 직관의 길이는 평균반지름의 20배로 설정하였 2.2 유한요소해석 고 이는 적절한 길이이다(Kim 등, 2007). 그림 3는 본 연 구에 사용된 유한요소 망이다. 비압축성에 수반되는 문제점 ABAQUS v6.7을 이용하여 유한요소해석을 수행하였다. 을 해결하기 위해 ABAQUS의 20노드 3차원 저감적분요소 재료는 탄성-완전 소성으로 가정되고, vn ie 항복조건이 (reduced inregrain elemen; C3D20R)를 사용하였 유한요소해석에서 사용되었다. 유한요소해석에서 탄성 계수 다. 2160개의 요소와 11445개의 절점을 사용하였다. 두께 =200GPa, 포아송 비 =0.3, 한계응력 =200Pa으로 방향으로 3개의 요소를 사용하고 원주 방향으로 36개의 요 설정하였다. 소를 사용하였다. 곡관의 형상에 따른 효과를 정량화하기 위해서, 는 5 2.2.1 내압이 가해지는 경우 50 굽힘각은 15 90 의 범위에서 체계적으로 조사하였다. 내압은 유한요소 모델의 내면에 분포력으로 가하였다. 곡 곡관이 부착된 직관의 길이는 평균반지름의 20배로 설정하였 관 끝단의 닫힘을 고려하여, 내압에 의한 축방향 응력을 곡 고 이는 적절한 길이이다(Kim 등, 2007). 그림 3는 본 연 관 끝단에 가하였다. 탄성-완전 소성 유한요소해석시 수반되 구에 사용된 유한요소 망이다. 비압축성에 수반되는 문제점 는 수렴문제를 해결하기 위해서, ABAQUS의 RIKS 옵션을 을 해결하기 위해 ABAQUS의 20노드 3차원 저감적분요소 사용하였다. 그리고 기하학적 선형 한계 해석을 수행하였다. 550 한국전산구조공학회 논문집 제22권 제6호(2009.12)
민성환 김윤재 전준영 이국희 2.2.2 굽힘하중이 가해지는 경우 굽힘하중이 가해지는 경우, 미터밴드의 끝단의 절점을 ABAQUS의 PC(muli-in cnrain)를 이용하여 구속시키고 충분한 회전을 통해 굽힘을 가하였다. PC로 관의 끝단의 모든 절점을 구속시키고, 중심점을 기준으로 충 분히 큰 회전을 가하고 이에 반하는 굽힘하중을 측정한다. 굽힘하중이 가해지는 경우, 기하학적 선형 가정과 기하학 적 비선형 효과를 고려한 해석을 수행하였다. 굽힘하중이 가 해질 때, 이러한 설정에 따라서 소성하중의 차이가 현저히 나타난다. 굽힘하중이 가해지는 경우, 변형 중에 미터밴드의 단면의 형상이 크게 변한다. 기하학적 선형 유한요소해석에 서는 단면 형상 변화를 고려하지 않고, 초기 단면 형상을 기 초로 해석을 수행한다. 따라서 굽힘하중을 받는 미터밴드의 거동을 정확하게 표현하기 어렵고, 단면의 형상 변화를 고려 하기 위한 기하학적 비선형 유한요소해석이 현실적이다. 본 연구에서는 기하학적 선형 유한요소해석과 기하학적 비선형 유한요소해석을 모두 수행하였다. 2.2.3 TES 소성하중(Plaic Lad)의 정의 그림 4에서 미터밴드의 유한요소해석 결과를 모멘트-회전 변위 곡선으로 나타내었다. 미터밴드의 굽힘하중 0은 직관 의 한계 굽힘하중(4 )으로 무차원화 하였다. 재료는 탄성-완전 소성이라 가정하고, 기하학적 선형 가정을 통해 해석하였을 때, 회전 변위가 증가함에 따라 굽힘하중은 수 렴한다. 수렴하는 굽힘하중을 한계굽힘하중(limi mmen) 이라 한다. 그림을 통해 한계 굽힘하중은 면내 닫힘방향에서 가 장 낮음을 알 수 있다. 기하학적 비선형 효과를 고려하면 탄성-완전 소성으로 가정 하더라도 변위-모멘트곡선이 수렴하지 않는다. 따라서 한계하 중을 나타낼 수 없고, 2배 탄성 구배법(Twice-elaic-le) 을 이용하여 소성하중(laic lad)을 결정할 수 있도록 ASE Biler and Preure Veel Cde(1998)에서 권 장하고 있다. 불안정 하중(inabiliy lad)은 변위-하중 선도에서 최 대 하중을 의미한다. 그림 3의 세 번째 열림방향 굽힘하중 (In-lane bending ening)에서 TES 소성하중이 불안정 하중 보다 큰 굽힘 각도에서 존재한다. 이러한 경우에 TES 소성하중은 불안정 하중과 동일하게 정한다. 그림 4 men-rain 곡선 한국전산구조공학회 논문집 제22권 제6호(2009.12) 551
굽힘 하중과 내압이 가해지는 미터밴드의 소성하중 3.1.1.1 면내굽힘하중 면내 굽힘하중이 미터밴드에 가해지는 경우의 식은 다음과 같다. 기하학적 선형 해석을 한 경우에는 면내 굽힘하중의 열림 방향과 닫힘 방향에 따른 한계하중의 차이는 없다. = [1 ϕ ][1 in ( φ)] r ϕ = ex 0.1 + 4.5 0.33 = ex 0.15 2 + 0.6 (1) 3.1.1.2 면외 굽힘하중 면외 굽힘하중이 미터밴드에 가해지는 경우의 식은 다음과 같다. 기하학적 선형 해석을 한 경우에는 면외 굽힘하중의 열림 방향과 닫힘 방향에 따른 한계하중의 차이는 없다. 그림 5 기하학적 선형을 가정한 경우의 유한요소 결과와 보간식 이 논문에서는 TES 소성하중만을 논의하고 불안정 하중 에 대해서는 논의하지 않겠다. 3. 소성하중 3.1 굽힘하중이 가해지는 경우 미터밴드에 굽힘하중이 가해지는 경우의 소성하중을 유한 요소 해석을 통해서 측정하였다. 기하학적 선형과 기하학적 비선형 조건에서 각각 수행하였다. 보간식에 쓰인 는 직 관의 한계 굽힘하중(4 )이다. 3.1.1 기하학적 선형을 가정한 경우 그림 5는 기하학적 선형 가정을 한 경우의 유한요소 한계 해석 결과를 나타낸다. 무차원 한계하중은 가 증가 함에 따라 감소하고 굽힘각이 증가함에 따라 감소하며 일정값으로 수렴한다. 이러한 경향을 바탕으로 다음 보간식을 제안하였 으며 보간식과 해석결과의 최대오차는 10%이며, 경향성이 유사함을 알 수 있다. = [1 ϕ ][1 in ( φ)] ϕ = ex 0.075 + 9 0.3 = ex 0.19 2.7 + 0.55 3.1.2 기하학적 비선형을 가정한 경우 (2) 그림 6는 기하학적 비선형 효과를 고려한 유한요소해석 결과를 나타낸다. TES 소성하중은 직관의 한계 하중으로 무 차원화 하였다. 무차원 소성하중은 가 증가함에 따라 감 소하고, 굽힘각이 증가함에 감소하며 일정값으로 수렴한다. 이러한 경향을 바탕으로 다음 보간식을 제안하였으며, 보간 식과 해석결과의 최대오차는 15%이며, 유사한 경향을 나타 내지만 기하학적 선형해석의 경우보다 오차가 크다. 하지만 대부분의 경우 보간식은 해석결과보다 보수적으로 나타난다. 3.1.2.1 면내 닫힘방향 굽힘하중 면내 닫힘방향 굽힘하중이 미터밴드에 가해지는 경우의 식 은 다음과 같다. 기하학적 비선형 해석을 한 경우에는 면내 닫힘방향 굽힘하중이 가장 낮게 나타난다. = [1 ϕ ][1 in ( φ)] ϕ = ex 0.1 + 2 0.19 = ex 0.1 3.5 + 0.29 (3) 552 한국전산구조공학회 논문집 제22권 제6호(2009.12)
민성환 김윤재 전준영 이국희 ϕ = ex 0.095 + 8 0.43 r = 0.025 + 1.85 (4) 3.1.2.3 면외 굽힘하중 면내 닫힘방향 굽힘하중이 미터밴드에 가해지는 경우의 식 은 다음과 같다. = [1 ϕ ][1 in ( φ)] ϕ = ex 0.08 + 5 0.21 = ex 0.14 2 + 0.4 (5) 그림 6의 기하학적 비선형 해석결과는 그림 5의 기하학적 선형 해석결과보다 다소 낮다. 그림 4의 men-rain 곡선에서 볼 수 있듯이 기하학적 단면의 변형을 고려하므로 이 러한 차이가 나타난다. 3.2 내압이 가해지는 경우 미터밴드에 내압하중이 가해지는 경우의 소성 하중을 유한 요소 해석을 통해서 측정하였다. 기하학적 선형해석을 통해 2 소성하중을 측정하였고 직관의 내압식 ( σ 0 )으로 무차원 3 r 화 하였다. 그림 7는 기하학적 선형 가정을 한 경우의 유한요소 한계 해 석결과를 나타낸다. 무차원 한계하중은 가 증가 함에 따라 감소하고 굽힘각이 증가함에 따라 선형적으로 감소한다. 그림 6 기하학적 비선형을 가정한 경우의 굽힘하중의 유한요소 결과와 보간식 3.1.2.2 면내 열림방향 굽힘하중 면내 열림방향 굽힘하중이 미터밴드에 가해지는 경우의 식 은 다음과 같다. 기하학적 비선형 해석을 한 경우에는 면내 열림방향 굽힘하중이 가장 높게 나타난다. = [1 ϕ][1 in ( φ)] 그림 7 기하학적 선형을 가정한 경우의 내압하중의 유한요소 결과와 보간식 한국전산구조공학회 논문집 제22권 제6호(2009.12) 553
굽힘 하중과 내압이 가해지는 미터밴드의 소성하중 4. 결 론 본 논문에서 내압과 굽힘하중이 작용하는 미터밴드의 소성 하중 해석을 수행하였다. 기하학적 비선형 효과를 고려한 3 차 유한요소해석을 수행하였고, 탄성-완전 소성재료를 사용 하였다. 실제 사용되는 미터밴드에는 직관이 부착되어 있으 므로 충분히 긴 직관이 접합된 곡관을 고려하였고, 굽힘하중 이 가해지는 경우 기하학적 선형과 기하학적 비선형 해석을 수행하였다. 무차원 소성하중은 가 증가함에 따라 감소하 고 굽힘각이 증가함에 따라 감소하면서 일정값으로 수렴한 다. 기하학적 선형 해석은 그림 5에 나타내었고 한계하중 식 (1)~(2)를 제안하였다. 기하학적 비선형 해석은 그림 6에 나타내었고 한계하중 식 (3)~(5)를 제안하였다. 내압이 가 해지는 경우 기하학적 선형 한계해석을 수행하였고, 무차원 소성하중은 r/가 증가함에 따라 감소하고 굽힘각이 증가함 에 따라 선형적으로 감소하였다. 참 고 문 헌 ASE Biler and Preure Veel Cde (1998) Secin III. Babaii Kchekeraii, S., Rbinn,. (2003) Parameric Survey f Uer and Lwer Bund Lini Inernal Preure fr Single ired Pie Bend f Variu Gemerie, Inernainal Jurnal f Preure Veel and Piing, 82,.480~488. Calladine, C.R. (1974) Limi Analyi f Curved Tube, Jurnal f echanical Engineering Science, 16,.85~87. Chaadhyay, J., Naahani, D.K., Dua, B.K., Kuhwaha, H.S. (2000) Cled-Frm Cllae men Equain f Elbw Under Inernal Preure and In-Plane Bending men, ASE Jurnal f Preure Veel Technlgy, 122,.431~436. Gdall, I.W. (1978) Lwer Bund Limi Analyi f Curved Tube Laded by Cmbined Inernal Preure and In-Plane Bending men, CEGB rer RD/B/N4360, Cenral Elecriciy Generaing Bard. Kim, Y.J., Lee, K.H., Oh, C.S., Y, B., Park, C.Y. (2007), Effec f Bend Angle n Plaic Lad f Pie Bend Under Inernal Preure and In-Plane Bending, Inernainal Jurnal f echanical Science, In Pre, (Acceed anucri, Available nline 23 arch 2007). Kim, Y.J., Oh, C.S. (2006) Cled-Frm Plaic Cllae Lad f Pie Bend Under Cmbined Preure and In-Plane Bending, Engineering Fracure echanic, 73,.1437~1454. Kim, Y.J., Oh, C.S. (2006) Limi Lad fr Pie Bend Under Cmbined Preure and In-Plane Bending Baed n Finie Elemen Limi Analyi, Inernainal Jurnal f Preure Veel and Piing, 83,.85~90. Kim, Y.J., Oh, C.S. (2007) Effec f Aached Sraigh Pie n Finie Elemen Limi Analyi f Pie Bend, Inernainal Jurnal f Preure Veel and Piing, 84,.177~184. Kiching, R., Rahimi, G.H., S, H.S. (1988), Plaic Cllae f Single ired Pie Bend, Inernainal Jurnal f Preure Veel and Piing, 38,.129~145. urad, H.., Yunan,.Y.A. (2000), Limi Lad Analyi f Pie Bend Under u-f-lane men Lading and Inernal Preure, Tran. ASE, Jurnal f Preure Veel Technlgy, 124,.32~37. urad, H.., Yunan,.Y.A. (2000), The Effec f deling Parameer n he Prediced Limi Lad fr Pie Bend Subjeced u-f-lane men Lading and Inernal Preure, Tran. ASE, Jurnal f Preure Veel Technlgy, 122,.450~456. urad, H.., Yunan,.Y.A. (2001), Nnlinear Analyi f Pie Bend Subjeced u-f-lane men Lading and Inernal Preure, Tran. ASE, Jurnal f Preure Veel Technlgy, 123,.253~258. Rbinn,., Babaii Kchekeraii, S. (2002) Parameric Survey f Uer and Lwer Bund Lini in-lane Bending men fr Single ired Pie Bend f Variu Gemerie, Inernainal Jurnal f Preure Veel and Piing, 79,.735~740. Sence, J., Findlay, G.E. (1973) Limi Lad fr Pie Bend Under In-Plane Bending, Prc. 2nd In. Cnf. On Preure Veel Technlgy, San Anni, 1~28,.393~399. Tan, Y., Wilkin, K., azen, V. (2002), Crrelain f Te and FEA Reul fr Elbw Subjeced u-f-lane Lading, Nuclear Engineering and Deign, 217,.213~224. Tubul, F., Ben Djedidia,., Acker D. (1988) Deign Crieria fr Piing Cmnen Again Plaic 554 한국전산구조공학회 논문집 제22권 제6호(2009.12)
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