1 순위 선수 경기수 타수 안타 타율 타점 홈런 4사구 장타율 출루율 ops 1 김태균 126 416 151 0.363 80 16 92 0.536 0.474 1.010 2 강정호 124 436 137 0.314 82 25 77 0.560 0.413 0.973 3 손아섭

3할 타자 - 유리수 무리수 비 분수식 - 1. 2012년 프로야구 타격 기록 18 2. 3할 타자 20 3. 새로운 타수에서의 안타 여부에 따른 타율 변화 21 4. 유리수와 무리수 26

1 순위 선수 경기수 타수 안타 타율 타점 홈런 4사구 장타율 출루율 ops 1 김태균 126 416 151 0.363 80 16 92 0.536 0.474 1.010 2 강정호 124 436 137 0.314 82 25 77 0.560 0.413 0.973 3 손아섭 132 503 158 0.314 58 5 47 0.396 0.370 0.766 3할 타자 - 유리수 무리수 비 분수식 - 타율 1위 선수의 타수, 안타수, 타율 등을 아래와 같이 그래프(X 축이 타수, Y축이 안타수)로 그려보면, 원점 O(0,0)과 K(416, 151)을 잇는 직선 OK의 기울기(0.363)가 타율이 된다. 1 타율 2위 선수의 타율은 이 그래프 상의 직선 OJ의 기울기이다. 2012년 프로야구 그래프를 이용하면 선수가 각기 얼마나 많은 타수와 안타를 기록 타격 기록 했는지 각 선수의 타율은 얼마인지 등을 한 눈에 알 수 있어 편리 2012년 한국시리즈는 2012. 11. 1.에 삼성이 SK를 물리치고 우승을 하여 종료되었다. 하다(기록은 통계이며, 교과목에서는 확률과 통계 로서 다룬다). 안타수 2012년 정규 시즌의 타율(타율=안타수/타수. 타율은 일종의 비율이 다) 분야에서는 한화의 김태균 선수가 0.363으로 1위를 기록하였다. 200 100 K(416, 151) J(436, 137) 타율 2~3위는 강정호, 손아섭 선수의 순서인데 위 3인의 2012년 시즌 기록은 아래 표와 같다. O 100 200 300 400 500 타수 18 야구수학스파크 SPARK 1 19

2 3할 타자 한국 프로야구는 33년(1982년~2012년)의 역사를 가졌는데 시즌 최고 타율은 첫 해 1982년의 백인천 선수 타율 0.412이다. 시즌 2012년 시즌 타율 3할 이상을 기록한 타율 4할 이상의 기록은 이 기록이 유일하다. 타자는 모두 13명이다. 규정 타석을 채운 3할 타율은 매우 어렵고 수년간 연속으로 3할 타자가 되는 선수는 극히 드물다. 그런데 고 장효조 감독은 10년(1983년~1992년) 통산 3,050타 수에 1,009안타 통산타율 0.331을 기록하였다. 경이적인 기록 2007년경 프로야구의 한 해 이었다. 설가께서 시즌 후반기에 접어들면 보통 정도의 타율을 기록하는 타자의 경우 안타 하나 칠 때마다 타율이 약 2.5리 상승하고, 안타 3 새로운 타수에서의 안타 여부에 따른 타율 변화 안타를 치려면 움직이는 둥근 공을 둥근 방망이를 이용하여 정확 를 못 칠 때마다 약 1리 하락한다. 라고 말씀한 적이 있다. 히 맞추어야 한다. 선수가 손으로 직접 접촉하는 다른 구기 스포 츠와 다른 이러한 점 때문에 안타가 어렵다. 타수가 많아질수록 새로운 타수에서의 안타 여부에 따른 타율 변 화는 작게 일어날 것이다. 그리고 타율의 고저에 따라 새로운 타수 투수는 공을 직접 손을 이용하여 자신의 최대한의 힘과 기술로써 에서의 안타 여부에 따른 타율의 상승률, 하강률이 다를 것이다. 던진다. 또한 방망이로써 제대로 맞추더라도 상대팀의 수비에 의 해 안타로 되지 않는 경우도 많다(예: 직선타). 그래서 10번 타격 실제 계산 해보면 중에 7번 안타를 못 치더라도 좋은 타자이다. 20 야구수학스파크 SPARK 1 21

예1 타자 갑 분수식 계산 타자 갑은 300타수 81안타로서 갑의 타율은 81/300=0.270이다. 이 시점에서 갑이 새로운 타수에서 안타를 칠 경우와 치지 못 할 타수 = Å, 타율 =, 안타수 = Å 로 둔다. 경우를 비교한다. 갑이 안타 칠 경우: 82/301=0.2724로 타율이 변화. 약2.4리 증가 새로운 타수에서 안타 1개 추가, 즉 1안타/1타수 추가 경우: 갑이 안타 못 칠 경우: 81/301=0.2691로 타율이 변화. 약0.9리 하락 (ab+1) (ab+1) (a+1) 타율의 상승률: -b = -b = (a+1) (a+1) (a+1) (ab+1-ab-b) (1-b) = 예2 타자 을 (a+1) (a+1) 타자 을은 400타수 160안타로서 을의 타율은 160/400=0.400이다. 타율이 높을수록 타율 상승율은 작다.(예: 타율을 0.3으로 할 때 이 시점에서 을이 새로운 타수에서 안타를 칠 경우와 치지 못 할 분자 0.7, 타율을 0.2로 하면 분자 0.8) 경우를 비교한다. 을이 안타 칠 경우: 161/401=0.4015로 타율이 변화. 약1.5리 증가 을이 안타 못 칠 경우: 160/401=0.3990로 타율이 변화. 약 1.0리 하락 위 2가지 예에서 보듯이 각 선수의 타율 타수에 따라 새로운 타 수에서의 안타 여부에 따른 타율의 상승률 하강률은 달라지는데 이를 분수식 계산으로 풀 수 있다. 새로운 타수에서 안타 없음, 즉 0안타/1타수 추가 경우: ab (ab+b-ab) b 타율의 하강률: b - = = (a+1) (a+1) (a+1) 타율이 높을수록 타율 하강율은 크다. (예: 타율을 0.3으로 할 때 분자 0.3, 타율을 0.2로 하면 분자 0.2) 1) 타율이 높을 경우, 안타 하나 추가하여도 타율이 별로 크게 상 승하지 않고 안타를 못 치게 되면 많이 하강한다. 타율이 낮을 22 야구수학스파크 SPARK 1 23

경우, 안타 하나 추가하면 타율이 비교적 크게 상승하고 안타 를 못 쳐도 타율의 하강률이 작다. 2) 상승률에서 하강률을 뺀 값(이를 D 라 칭한다.)은 (1-2b)/ (a+1) 이다. 이 수식은 타율(b)가 높을수록 D 값은 작아짐을 말해준다. b=0.270을 대입한 경우의 그래프 상승률 하강률 0.007 0.006 0.005 0.004 주전 선수들의 경우 한 시즌에 100 경기 출장하고 3.8타수/경기 0.003 라 가정하면 총 타수는 380 타수 정도이다. 0.002 0.001 0.270 타율의 타자가 100 타수부터 400 타수까지 출장할 때 새 타수 0 100 200 300 400 로운 타수에서의 안타 여부에 따른 타율의 상승률 하강률 을 아 래의 표와 그림으로 표시할 수 있다. 보다 조밀하게 점들을 찍어 연결하면 점점 곡선에 가까워 진다. b=0.270을 대입한 경우의 표 타수(a) (안타 친 경우) 상승률 (안타 못 친 경우) 하강률 상승률 +하강률 100 0.0072 0.0027 0.0099 120 0.0060 0.0022 0.0082 140 0.0052 0.0019 0.0071 160 0.0045 0.0017 0.0062 180 0.0040 0.0015 0.0055 200 0.0036 0.0013 0.0049 300 0.0024 0.0009 0.0033 400 0.0018 0.0007 0.0025 24 야구수학스파크 SPARK 1 25

4 유리수와 무리수 타율은 비율(혹은 비)이다. 타율은 분 π를 기념하기 위하여 3월 14일 1시 59분(π의 근삿값 3.14159 로부터 유래), 혹은 7월 22일(π의 근삿값 22/7로부터 유래)에 파 수로 나타낼 수 있는데 x 타수 y 안타는 y/x 이다. 이를 먹는 등의 기념 행사를 하기도 한다. 타율을 계산하면 나누어 떨어지거나(예: 200 타수 50 안타 = 0.25), 순환소수(예: 300타수 100안타 = 0.333333 )가 된다. 나누어 떨어지거나 순환소수로 표현되는 수를 유리수 라고 한다. 즉 타율은 무리수가 될 수 없다. 타율은 5/10 등으로 표기될 수 없다. 대표적인 무리수로는 π가 있다. π는 원주율이라고 하며 원주의 길이에 대한 지름의 길이의 비이다. 이 비는 원의 크기가 어떠하 든 일정하다는 것이 알려져 있다(정비례 관계). π는 과학, 공학 등에서 매우 많이 쓰이는 수이다. 거대한 플랜트 의 원기둥 모양의 기름탱크의 부피는 πr 2 h 1) 라는 공식을 이용하여 계산한다. 1) r=기름탱크의 반지름. h=기름탱크의 높이 26 야구수학스파크 SPARK 1 27

Q & A 1 Q. 최강타 선수는 현재 타수 = a, 타율 = b, 안타수 = ab를 기 록하고 있다. 다음 경기에서 m타수 1안타를 기록한 경우 1 타율의 변화량 2 타율이 상승하기 위한 조건을 구하고, 3 m = 3일 경우에 타율이 상승하기 위한 조건을 구하라. A. 다음 경기 후의 타율 = (ab+1)/(a+m) 1 타율의 변화량:((ab+1)/(a+m))-b = (ab+1-ab-mb)/(a+m) = (1-mb)/(a+m) 2 타율이 상승하기 위한 조건: 1-mb>0 mb<1 b<1/m 3 m = 3일 경우에 타율이 상승하기 위한 조건 b<1/3 28 야구수학스파크

2 야구장 안에 피타고라스 있다 야구장 규격 상의 본루-1루 간 거리, 1루-2루 간 거리, 본루-2루 간 거리 등 3자 사이에 피타고라스 정리가 성립한다. 1. 한국야구위원회 경기규칙 1.04 인용 32 2. 피타고라스 정리의 적용 34 3. 실생활에서의 2, 3 과 피타고라스 정리 36

2 로 부터 3루까지의 거리는 127피트 3⅜인치(38.795m)가 된다. 위 한국야구위원회 경기규칙을 그림으로 나타내면 아래의 그림과 야구장 안에 피타고라스 있다 같다. 야구장 규격 상의 본루-1루 간 거리, 1루-2루 간 거리, 본루-2루 간 거리 등 3자 사이에 피타고라스 정리가 성립한다. 3루 27.431m 2루 c 38.795m 27.431m b 한국야구위원회 (b=a) 1 경기규칙 1.04 인용 c 야구장의 규격에 관한 본루 27.431m 1루 한국야구위원회 경기규칙을 인용하면 a 먼저 본루(home plate)의 위치를 정하고, 그 지점부터 2루를 설 정하려는 쪽으로 철강제 줄자로 127피트 3⅜인치(38.795m) 거 리를 재어 2루의 위치를 정한다. 그 다음 본루와 2루를 기점으로 각각 90피트(27.431m)를 재서 본루로부터 오른쪽의 교차점을 1 루로 하고 본루로부터 왼쪽의 교차점을 3루로 한다. 따라서 1루 32 야구수학스파크 SPARK 2 33

2 피타고라스 정리의 적용 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 직각을 낀 양변의 각각의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다. a²+b²=c² (c = 빗변, c = 90 ) (38.795m)²= 1505.052m² 반올림: 1505m² (4) (3)과 (4)가 1505m² 로서 동일하여 야구 경기장의 규격에서 피타 고라스 정리가 성립함을 알 수 있다. 야구장의 경우 위 식의 a=b이어서 직각이등변삼각형이다(앞 항의 식 (1)은 2a = c 의 형태로 변경할 수 있다. 즉 1루-2루 간의 거 그림 참조). 야구장의 규격에 피타고라스 정리를 적용하면 아래와 리의 2배가 본루-2루 간의 거리이다. 이를 아래와 같이 계산해 같은 수식이 성립한다. 보자. a²+ a²= c². 2a²= c² (1) 2 27.431m = 1.414 27.431m = 38.793m 한국야구위원회 경기규칙 상의 규격 27.431m를 식 (1)의 a에 대 이 38.793m는 한국야구위원회 경기규칙 상 본루-2루 간 거리 입시킨다. 38.795m와 거의 일치한다. (27.431m)² = 752.460m² (2) (2)를 2배하면 1504.920m² 반올림: 1505m² (3) 한국야구위원회 경기규칙 상의 규격 38.795m를 식 (1)의 c에 대 입시켜 보자. 34 야구수학스파크 SPARK 2 35

3 실생활에서의 2, 3 과 피타고라스 정리 실생활에서 자주 접하는 수이다. 2, 3 은 우리가 동일한 비로 된다. 이상을 아래와 같은 계산으로 확인한다. (처음) 1: 2 (긴 쪽을 절반으로 나눔) 1:( 2 /2) = 2: 2 =2 2 :2= 2 :1 (다시 긴 쪽을 절반으로 나눔) ( 2 /2):1 = 2 :2 =2:2 2 복사용지 중 A4 용지의 규격은 210mm : 297mm로서 이 비율은 1: 2이다(아래 그림 참조). =1: 2 복사용지는 A0가 원지이며 A4 규격은 A0 원지를 4번 2등분했을 때의 종이 규격이다. 3 364mm 297mm 2 한편 A4 용지의 대각선(d)의 길이는 피타고라스 정리를 이용하여 구할 수 있다. 210mm 1 1²+ ( 2 )² = d² 으로부터 d² = 3. d = 3. 즉 A4 용지의 대각선의 길이는 210mm 3 = 364(mm)이다. 그런데 1: 2 는, 길이가 긴 쪽을 절반으로 나누어도 다시 2 :1 의 비로 되고 또 절반으로 나누어도 1: 2 로 되어 계속 나누어도 36 야구수학스파크 SPARK 2 37

참고 오일러의 등식 e πi +1 = 0 i 2 =1을 만족하는 수를 i 라 정의한다. i (= imaginary number)는 허수 라고 번역된다. 숫자 0, 1, π 등에 관한 아름다운 수식을 하나 소개 한다. 바로 e πi +1 = 0 이다. imaginary number, 혹은 허수는 실재하지 않는 수라는 의미이나, 실수 역시 인간이 만들어낸 것일 뿐이며 본래 실 제의 것은 아니다. 예로서 1, 0, -5, 1/2 등은 우리가 눈으 로 볼 수 없고 이 우주 어디에서도 실물을 찾을 수 없다. e, π, i, 1, 0. 이들 다섯 가지 수는 가장 원초적인 숫자들인 데 이들을 이용하여 만든 수식이 0 로 귀결되는 점에서 아 름답고 절묘하다. 수학문제를 풀 때 정답은 맞아떨어지는 것임을 종종 느낀다. 맞아떨어짐, 혹은 그러한 질서를 아름다움이라 표현할 수 있 을 것이다. e는 자연로그의 밑(base) e이다. 근삿값은 2.71828 이다. 자연로그와 e는 특히 자연현상 등에서 자주 나타난다. 38 야구수학스파크 SPARK 2 39

Q & A 2 Q. 황금비를 찾는 공식은 일정한 길이의 선분을 큰 부분과 작 은 부분의 2 부분으로 나누되 (큰 부분의 길이) 2 = (작은 부 분의 길이) (전체 길이)가 되게끔 하는 것이다. 이러한 황 금분할에서 1 (큰 부분의 길이)/(전체 길이)를 무리수로 나 타낸 후 소수점 3째 자리까지 구하고 2 (전체 길이)/(큰 부 분의 길이)를 무리수로 나타낸 후 소수점 3째 자리까지 구하 라(단, 5 =2.236). A. 1 x 1-x 전체 길이=1로 둔다. 큰 부분의 길이= x로 둔다. 작은 부분의 길이=1-x. x 2 =1-x x 2 +x-1=0 위 방정식을 2차 방정식의 근의 공식을 이용하여 풀면 x=( 5-1)/2 0.618 (큰 부분의 길이)/(전체 길이)=x/1=x=0.618. (전체 길이)/(큰 부분의 길이)=2/( 5-1) 위 식의 분자, 분모에 ( 5 +1)을 곱하면 ( 5 +1)/2 1.618. 답 1 ( 5-1)/2 0.618 2 ( 5 +1)/2 1.618 40 야구수학스파크 SPARK 2 41

3 L 선수의 몸무게는 100 kg? 몸무게 100 kg이라는 표현은 유효숫자의 개수가 1개인지, 2개인지, 3개인지 등에 따라 나타내는 의미가 다르다. 1. 유효숫자 44 2. 약속된 표현 47 3. 야구 기록과 숫자 표현 49

3 효숫자가 둘(앞에서부터 1, 0)이라면 104kg을 반올림한 것일 수 도 있다. 유효숫자가 셋(앞에서부터 1, 0, 0)이라면 100.4kg을 반올림한 것일 수 있다. L 선수의 몸무게는 100 kg? 몸무게 100 kg이라는 표현은 유효숫자의 개수가 1개인지, 2개인지, 3개인지 등에 따라 나타내는 의미가 다르다. 다른 예로서 몸무게 60.0kg의 유효숫자는 6,0,0 등 셋이다. 60.0kg은 59.95kg보다 크거나 같고 60.05kg보다 작은 범위의 수를 반올림한 것이다. 1 유효숫자에 관한 아래 문제를 풀어보자. 문 김00 선수 체중이 실제 115.45kg이라고 가정할 경우, 유효 유효숫자 숫자를 몇 개로 할 때 체중을 가장 작게 표현할 수 있을까? L 선수의 몸무게 100kg 의 표현은 답 유효숫자 1개 100.0kg이라는 표현과 같은 의미가 아니다. 풀이 100kg 표현이 정확히 몇 kg을 나타내는가는 유효숫자(수의 정확 도에 영향을 주는 숫자)의 개수에 따라 달라진다. [유효숫자 5개일 때의 표현] 115.45kg [유효숫자 4개일 때의 표현] 115.5 kg [유효숫자 3개일 때의 표현] 115 kg 100kg의 표현에서 유효숫자가 하나(맨 앞의 1)라면 110kg, 149kg 등을 반올림하여 100kg으로 표현한 것일 수도 있다. 유 [유효숫자 2개일 때의 표현] 120 kg [유효숫자 1개일 때의 표현] 100 kg 44 야구수학스파크 SPARK 3 45

유효숫자(Significant figures)의 개수 판단에는 아래의 여러 방 법이 있다. 1 0.00029의 2 앞에 있는 0들은 자릿수를 표시하기 위한 0이므 로 이들 0은 유효숫자 아님. (유효숫자는 2, 9 등 두 개) 2 234.56은 다섯 개(2, 3, 4, 5, 6)가 모두 유효숫자. 모든 자리의 숫자가 0이 아닌 경우 모두 유효숫자로 추정됨. 3 109.16는 다섯 개(1, 0, 9, 1, 6)의 유효숫자를 가짐. 0이 아닌 숫자로 둘러싸인 자리의 0은 유효숫자임. 2 약속된 표현 사람의 몸무게, 야구의 모든 기록 등 은 모두 숫자로 표현할 수 있다. 인간은 정신적 활동을 하고 자신의 생각을 상호간에 표현, 전달 하기 위해서 각 사회, 국가 별로 구성원 상호 간의 약속된 표현 을 창조하여 사용한다. 4 12.2300은 여섯 개(1, 2, 2, 3, 0, 0)의 유효숫자를 가짐. 소숫 이 약속된 표현 이 곧 문자와 숫자이다. 점 아래의 끝자리에 있는 0들은 유효숫자임. 5 2700은 네 개(2, 7, 0, 0)의 유효숫자를 가지나, 십의 자리에 아라비아 숫자는 인류의 정신을 표현하는 수단들 중에서 거의 유 서 반올림한 결과인 경우 두 개(2, 7)의 유효숫자를 가지고(가 일하게 세계 공통의 것이다(수학의 수식에 사용하는 =, >, <, 령 2670을 십의 자리에서 반올림한 경우), 단의 자리에서 반올 % 등의 부호도 세계 공통의 것이다). 림한 경우(가령 2704를 단의 자리에서 반올림한 경우)에는 세 개(2, 7, 0)의 유효숫자를 가짐. 6 아래의 광속, 아보가드로수 등의 과학적 상수의 유효숫자의 개수는 무한대임. 광속 = 299,792,458m/s (=299,792,458.000 m/s) 아보가드로수 = 6.02 10 23 (=6.02000 10 23 ) 아라비아 숫자의 표기는 세계 공통이나, 그 발음은 언어에 따라 다르다. 예로서 1을 영어권에서는 원 (one), 중국어에서는 이, 일본어에서는 이치, 한국어에서는 일 이라고 발음한다. 아라비아 숫자의 시초는 인도에서 0 을 제외한 9개의 숫자를 사 46 야구수학스파크 SPARK 3 47

용한 때이다. 1은 하나를 뜻하는데, 사과 하나도 1이고, 책상 하 나도 1이고, 컴퓨터 한 대도 1이다. 이와 마찬가지로 2, 3, 4, 5, 이처럼 숫자는 측정, 계산, 비교, 순서 표시, 값의 표시, 정보의 표현, 정보 자료 등의 전달 의 기초이다. 6, 7, 8, 9 등의 숫자가 만들어졌다. 야구의 타율에 적용한다면 각 선수의 타율 계산과 비교, 등수 표 이후 수를 표현하는 기수법이 발달하여 자릿수를 나타내는 방법 시, 데이터의 저장 및 전달 등에 숫자가 활용된다. (자릿수 기수법, 특히 십진법)을 사용하게 되면서 0 의 개념이 도입되었다. 예로서, 십진법의 [386640380]은 과거에는 그 표기가 매우 곤 야구 기록과 란한 수이었으나 앞의 0 은 천의 자리, 맨 끝의 0 은 단의 자리 3 숫자 표현 를 나타낸다(십진법 이외에 60진법, 12진법, 8진법, 5진법, 2진 오늘날의 숫자 표현과 자릿수 기수 법 등이 있으며 오늘날 컴퓨터에서 사용하는 것은 2진법이다). 법은 0 의 존재가 없었다면 생각할 수 없으므로 0 은 인류의 역 사, 문화 발전에 있어 막대한 역할을 수행하였다고 볼 수 있다. 위와 같은 기수법의 발달로 인해 천문학, 제조업, 기계공학, 정 보처리학 등의 발전이 가능하였다. 야구에서 선발 투수의 시즌 방어율 0 는 거의 불가능하다. 0 점대 방어율 도 극히 어렵다. 우리나라 프로야구 역사상 선발 투 나아가 스포츠과학, 야구 등에도 이러한 숫자와 숫자에 기초한 과학, 공학이 필수로 되었다. 오늘날 프로야구 팀의 전력분석 요 수의 0점대 방어율은 2번 밖에 없었다(선동열 현재 기아 감독 1986년 0.99, 1987년 0.89). 원들의 주요 업무는 모두 숫자로 요약된다. 선수의 기록 또한 모두 숫자로 나타난다. 우리나라 프로야구 역 48 야구수학스파크 SPARK 3 49

사상 기적의 1984년 한국시리즈 4승을 거둔 고 최동원 투수의 기록은 아래와 같다. 특히 1982년부터 2000년까지 19시즌 존속한 해태 타이거즈는 9 회 한국시리즈 우승(우승 확률 약 47.4%)을 한 경이적인 기록을 갖고 있다. 통산 1983~1990년 8시즌 248경기 1414와2/3 이닝. 평균 자책점(방어율) 2.46. 103승 74패 26세이브. 1984시즌 223탈삼진(한국 프로야구 역사상 최고기록). 참고 최동원 투수는 1983년 프로 입단 전에 국가대표로 맹활약한 후 메이저리그로 갈 수 있는 기회를 갖게 된다. 그러나 막 출범하려 과학적 기수법(Scientific notation) 는 프로야구를 중심으로 한 한국 야구계가 최동원이 없으면 존립 의 위기를 맞을 수 있다는 이유로 그의 메이저리그 진출이 막혔 과학적 기수법은 숫자의 자릿수를 10 n (10의 지수)으로 다는 일화가 있다. 표현하는 것이다. 숫자의 유효숫자 부분 만에 10 n 을 곱하 여 숫자를 표현한다. 개인 기록 이외에 팀에 관한 기록 또한 통계로 산출된다. 한국시 리즈 우승은 야구 선수 최고의 목표이다. 예 3,800,000의 유효숫자가 4개일 때 과학적 기수법으로 나타내면 아래와 같다. 80년대 후반~90년대에는 해태타이거즈가, 2000년대 초반에는 3.800 10 6 현대유니콘스가, 2000년대 후반에는 에스케이와이번스가 한국 시리즈 우승을 많이 하여 각 전성기를 누렸다. 홈런 타구의 비거리 118m, 야구 선수의 몸무게 88.9kg 등 과 같이 숫자 표현은 단위를 수반하는 경우가 대부분이다. 50 야구수학스파크 SPARK 3 51

대표적인 단위인 MKS 단위의 종류는 아래와 같다. 용하여 표현하면 편리하다. 표: 7가지 미터법 기초 단위 접두어 명칭 접두어 기호 지수값 분류 단위명칭 약자 비고 mega- M 10 6 length 길이 meter m kilo- k 10 3 mass 질량 kilogram kg deci- d 10-1 time 시간 second s centi- c 10-2 temperature 온도 kelvin K milli- m 10-3 quantaty 량 mole mol 6.02 10 23 micro- μ 10-6 electric current 전류 ampere A nano- n 10-9 light intensity 광도 candela cd pico- p 10-12 ( 6.02 10 23 : 아보가드로수 ) 등의 계산)에는 과학적 기수법이 편리하다. 위와 같은 미터법은 1790년 프랑스에서 기원되었다. 큰 숫자를 취급하는 경우(예: 지구의 공전속도, 자전속도 위 기초단위로부터 다른 단위가 유도되는데 예로서 넓이는 m 2, 부피는 m 3 이다. ( cgs 단위는 길이는 cm, 질량은 g, 시간은 second를 사용 한다.) 위 MKS 단위를 사용하면 수치를 너무 크거나 작은 값으로 표현하여야 하는 경우가 있어 아래 표와 같은 접두어를 사 지구의 공전속도 지구-태양 거리 1) 1.5 10 8 km (이를 반지름 r로 둔다.) 지구의 태양 주위 1년간 공전 궤적의 총길이(2πr) = 9.42 10 8 km 1년 = 365(일) 24(시간) 60(분) 60(초) = 31,536,000초 위 총길이를 31,536,000초로 나누면 약 30km/sec. 1) 1.4959787700 10 11 m가 정확한 수치이다. 52 야구수학스파크 SPARK 3 53

Q & A 3 지구의 자전속도 지구의 평균 반지름(r 0 ) = 6.37 10 6 m 지구의 둘레(적도 기준) = 2πr 0 = 4 10 7 m 우리나라 북위 37도의 경우 적도 기준의 80%(cos37 0.80)의 반지름을 가진다. r 1 = cos37 r 0 Q. 아래 5개 수의 대소관계를 하나의 식으로 나타내어라. 1 2 2 2.000 ( 는 무한히 계속됨을 의미) 3 2.000 4 1.999 ( 는 무한히 계속됨을 의미) 5 1.999999 6 1.999 r 1 37 37 r 0 북위 37도의 지구의 둘레(2πr 1 ) = 3.2 10 7 m 하루 = 86,400초 위 지구의 북위 37도에서의 둘레를 86,400초로 나누면 약 370m/sec. A. 1=2=3=4>5>6 54 야구수학스파크 SPARK 3 55

4 3 아웃 공수 교대와 3진법 야구는 3진법이다. 1. 야구와 3진법 58 2. 야구의 득점 과정은 4진법이다 62

4 나는 이를 야구는 3진법 이라 표현한다. 3(십진법) = 10(3진법) 공수교대 3 아웃 공수 교대와 3진법 야구는 3진법이다. 9(십진법) = 3 2 (십진법) = 100(3진법) 쌍방의 공격회수 27(십진법) = 3 3 (십진법) = 1000(3진법) 쌍방의 공격타자수 1/3(십진법) = 0.333 (십진법) = 3-1 (십진법) = 0.1(3진법) 1 투수의 투구회수를 6과1/3 혹은 6.1 등으로 표현한다. 즉 1/3 이닝을 0.1이닝이라 표현하기도 하는데 이는 3진법에 의한 표현 야구와 이다. 3진법 전광판에는 스트라이크 표시 불이 2개만 십진법이 아닌 3진법이나 5진법 등을 우리는 어려워한다. 그 이 있다. 스트라이크가 3개면 아웃이 되므로 3번째 스트라이크를 표 유는 십진법에 너무나 익숙해 있어 다른 진법에 대하여 십진법 식 시할 필요가 없기 때문이다. 의 사고를 하기 때문이다. 다른 진법을 공부할 때는 십진법을 생 각하지 말아야 한다. S B O 아웃을 표시하는 전광판 불도 2개 이다. 3아웃이 되면 공수교대를 한 다. 9회까지 공격을 마치면 모두 27 아웃이다. 27을 3진법으로 고치는 문제를 풀어본다. 이 때 모든 수의 뒤 의 ( )속에 진법을 표기함이 헛갈리지 않게 하는 방법이다. 수 를 읽는 것도 다른 진법에서는 십진법 식으로 읽지 않고 예로서 58 야구수학스파크 SPARK 4 59

10(삼진법) 은 하나공(삼진법) 으로 읽는 것이 좋다. 27(십진법) = 3(십진법) 3(십진법) 3(십진법) =10 하나공 (삼진 1 하나 (삼진법) = 1(십진법) 0.999999 = 1(십진법) 법) 10 하나공 (삼진법) 10 하나공 (삼진법) = 1000 하나공공공 (삼진법) 참고 참고 주판은 기본적으로 10진법이나 5를 나타내는 윗알이 있으 삼진법을 이용하면 0.999999 = 1 임을 확실히 알 수 있다. 므로 5진법을 혼합한 10진법이다. 0.999999 = 0.111111 9 식(1) 식(1)의 우항은 1/9 9 식(2) 1/9(십진법) = 1/3 2 (십진법) = 1 하나 /100 하나공공 (삼진법) = 0.01 공점공하나 (삼진법) 9(십진법) = 3 2 (십진법) = 100 하나공공 (삼진법) 십진법의 식(2) = 0.01 공점공하나 (삼진법) 100 하나공공 (삼진법) = 1 하나 (삼진법) 60 야구수학스파크 SPARK 4 61

2 야구의 득점 과정은 4진법이다. 야구장의 전광판에서 볼을 I have just one superstition. Whenever I hit a home run, I make certain I touch all four bases. 홈런을 치더라도 4개의 루를 모두 밟는 것만이 중요하다고 생각 표시하는 불은 3개만 있다. 4개째가 되면 1루로 출루하므로 4개째 한다. 는 필요 없다. 어느 루에 주자가 있느냐에 따라 득점 확률이 달라지므로 어느 루 야구의 득점과정은 4진법(0, 1, 2, 3 등의 4가지 숫자를 사용하여 에서 아웃시키느냐에 따라 수비 만족도 도 달라진다. 한 자리씩 올려서 숫자를 표현하는 방법)이라 볼 수 있다. 홈으로 달리는 주자와 포수와의 승부 장면은 야구 경기의 클라이맥 타자가 4구를 얻으면 1루로 진출한다. 이 1루 주자가 2루, 3루를 스이다. 3루에서 홈으로 돌진하다가 아웃되면 공격 팀으로서는 손 거쳐 홈(본루)으로 들어오면 4루 진루라 하지 않고 홈인이라 칭하 실이 크고, 수비 팀으로서는 1점을 획득한 것과 마찬가지의 효과를 고 1점의 득점 1) 을 인정한다. 얻는다. 베이브 루스(미국 야구선수 1895~1948)의 아래와 같은 말 2) 은 득점 과정을 잘 표현해 준다. 야구의 득점 과정과 비교하면 수학문제의 풀이 과정은 쉽다. 한 번 주어진 문제는 변화구처럼 변화를 일으키는 것도 아니고 문제 를 푸는 사람의 공격에 대응하여 문제 스스로가 풀리지 않으려고 1)참고: 한국야구위원회 경기규칙 2.66 RUN or SCORE (런 또는 스코어) - 공격 팀의 선수가 타자에서 주자가 되어 1루, 2루, 3 루, 본루를 차례로 거쳤을 때 주어지는 득점을 말한다. 4.09 득점의 기록 (a) 3아웃이 되어 이닝이 끝나기 전에 주자가 정규로 1루, 2루, 3루, 본루에 닿을 때마다 1점이 기록된다.[부기] 주자가 홈 베이스에 닿았더라도 제3아웃이 다음과 같은 플 레이로 이루어졌을 때는 득점으로 기록하지 않는다. (1) 타자주자가 1루에 닿기 전에 아웃되었 을 때 (6.05, 6.06 참조) (2) 주자가 포스 아웃되었을 때 (7.08(e) 참조) (3) 선행주자가 베이스 를 밟지 못해 아웃되었을 때 (7.10(a),(b) 7.12 참조) 방어를 하는 것도 아니니 말이다. 야구의 득점 과정은 위와 같이 정교하므로 데이터 야구가 필요하다. 2) 출전: 베이브 루스 공식 홈페이지 62 야구수학스파크 SPARK 4 63

야구의 득점 과정과 조직적인 수비의 구조 등을 보면 야구는 논리 참고 에 근거한다. 출루율과 4구 인간은 본래 논리적인 것을 좋아하는 질서본능이 있다고 한다. 야 구가 인기 스포츠가 된 원인이 이러한 논리성에 있다고 하면 지나 한국야구위원회 경기규칙에는 아래와 같이 규정되어 있다. 친 비약일까? 6.08 [아웃될 염려 없이 타자에게 1루가 주어지는 경우] 타자는 다음 경우 주자가 되어 아웃될 염려 없이 안전하 게 1루에 나간다. 단 타자가 1루로 가서 베이스에 닿는 것을 전제로 한다. (a) 심판원이 4구를 선언하였을 경우 위 경기규칙에서 보듯이 4구는 타자에게 매우 유리하다. 타 자가 안타를 치지 못 할 확률이 7할 내외인데 4구는 아웃될 염려 자체가 없다. 또한 4구는 수비수들에게 수비 부담을 가중시킨다. 공수교 대를 위해서는 3아웃을 시켜야 하는데 4구는 3아웃에 역행 하는 것이다. 64 야구수학스파크 SPARK 4 65

Q & A 4 그러나 투수들은 타자에게 4구를 종종 허용한다. 한 가운데 의 실투에 의한 안타를 피하기 위해 제구를 하려 하나 잘 안 되기 때문이다. Q. 십진법의 600을 오진법으로 나타내어라. 제구력은 좋은 투수의 제 1 요건이라고 한다. 스트라이크 존의 사각형의 모서리로 공을 던질 수 있느냐의 싸움이 곧 야구라고 볼 수 있다. 4구는 출루율에 결정적인 영향을 미친다. 출루율을 특히 강 조한 자는 미국의 통계학자이자 야구저술가 빌 제임스(1945 년생~)이다. 미국의 스카우트들은 고교, 대학의 선수들을 한 번 보는 것 만으로 능력을 판단할 수 있는 전문가의 기능 을 중시한다. 이에 반해 빌 제임스는 정량 데이터 를 강조하며 출루율 을 강조하고 특히 4구가 많은 타자를 높이 평가한다(야마 가타 히로오 번역, 수학이 전략을 결정한다, (주)문예춘 추 2007년 발행. 원저자:이안 에아즈(Ian Ayres) 원제 목:Super Crunchers 참조). A. 600(십진법) = 4 5 3 +4 5 2 +0 5 1 +0 5 0 = 4400(오진법) 66 야구수학스파크 SPARK 4 67

5 선수의 연봉 계산과 함수 야구 선수의 연봉 계산에는 함수가 활용된다. 1. 한신타이거즈 김지헌 선수의 연봉 산정과 함수 70 2. 선수의 연봉과 팀 운영 72 3. 야구 속의 함수 73 4. 끝내기 홈런의 함수 75

5 체력, 성격 등)를 종합적으로 고려하여 연봉을 계산한다(연봉은 위 요소들에 의해 결정되는 함수이다). 선수의 연봉 계산과 함수 야구 선수의 연봉 계산에는 함수가 활용된다. 김지헌(가네모토 토모아키-1968년생) 선수의 주요 기록은 아래 와 같다(참고: 김지헌 홈페이지 및 위키백과). 2000년: 3할 30홈런 30도루 이상 달성. 1002타석 연속 무병 1 2008년 ~ 2009년 일본 프로 살 일본 기록. 2006년: 904 시합 연속 전이닝 출장( 出 場 )의 세계신기록 달성. 2010년: 1492 시합 연속 전이닝 출장 세계기록 달성. 한신타이거즈 (1999.7.21.~2010.4.17.). 김지헌 선수의 1992년~2012년 21년간: 2578 경기. 8915 타수. 2539 안타. 연봉 산정과 함수 타율 0.285. 476 홈런. 1521 타점. 야구 한신 타이거즈의 김지헌(재일동포, 일본명: 가네모토 토모아 키), 2007년 ~ 2009년 요미우리 자이언츠의 이승엽 등의 연봉이 매 2012년 6월 8일에 김지헌(별명: 헤이세이의 철인)과 이대호(별 명: 조선의 4번타자)의 일본에서의 격돌이 있었다. 우 큰 금액으로 알려졌는데 연봉 계산에도 수학이 활용된다. 이대호 선수는 2타수 2안타 2볼넷으로 좋은 활약을 하였고, 한신의 프로팀은 선수의 성적 등의 여러 요소(타격성적, 수비실력, 주루 실력, 성실성, 지략, 팀 구성원간의 인화, 연령, 좌타우타 여부, 김지헌 선수는 7회 말 역전 3점 홈런을 터뜨려 한신이 1-3 으로 승 리하는 데에 기여하였다(김지헌 선수는 2012 시즌을 끝으로 은퇴). 70 야구수학스파크 SPARK 5 71

2 선수의 연봉과 팀 운영 이대호 선수는 2011. 11. 19.까지 두 감독의 이러한 견해는 팀 내 기존의 선수들에게 기회를 주는 것이어서 기존 선수들의 의욕을 자극할 수 있었을 것이다. 의 협상에서 롯데 구단의 4년 총액 100억원 제의를 거부하고 결국 일본 오릭스와 2년 7억 3천만 엔에 계약을 체결하였다. 소설과 영화 머니볼 의 주인공인 빌리빈 단장(1962년생, 미국 프 로야구 오클랜드 어슬레틱스 팀 소속)은 연봉이 싼 선수들 중에서 가능성이 큰 선수를 발굴, 선발하여 좋은 성적을 거둔 것으로 유 한국 선수로서 일본 진출 첫 연봉으로는 최고 금액이다. 오릭스의 명하다. 그는 출루율을 특히 중시한다. 오카다 감독은 팀의 우승을 위해서는 우타 거포가 필요하기 때문 에 이대호 선수를 스카웃하였다고 말하였다. 이대호 선수는 2012년 시즌을 끝낸 후 타점 1위(91타점), 홈런 야구 속의 공동 2위(24개) 등의 훌륭한 성적을 거두었다. 3 함수 야구는 함수라 볼 수 있으며 다른 구기 오릭스로서는 이대호 선수의 팀에서의 활약 정도 등을 미리 예측 스포츠에 비하여 독립변수가 많은 특징을 갖는 함수라고 볼 수 있다. 하고 연봉을 함수값 계산에 의해 산정하여 스카웃하였을 것이다. 일정한 독립변수가 정해지면 그 독립변수에 해당하는 하나의 값 선동열 감독과 김기태 감독은 2011년 말 경에 연봉이 높은 외부 이 존재하게 되는 관계 를 함수(function) 라고 한다. FA를 영입하지 않고 팀 내 선수들을 조련하여 기용하겠다는 입장 을 밝힌 적이 있다. 함수: y(함수 값) = f (x). x = 독립변수. 72 야구수학스파크 SPARK 5 73

함수관계는 승차시간에 평균속도를 곱하면 승차거리가 결정된 다 는 등의 관계로서 실생활에서 많이 볼 수 있다. 승차시간 - 승 차거리의 관계를 수식으로 나타내면 아래와 같다. 표: 야구 속의 함수 순번 항목 독립변수 결과 1 공격 (주자 없슴) 타자의 타율, 수비수의 위치 및 능력, 투수의 체력, 투수의 능력, 바람의 방향 출루 여부의 결정 y(승차거리) = a(상수, 평균속도) x(승차시간) 2 공격 (주자 있슴) 아웃카운트, 주자의 위치, 주자의 도루 가능성, 투구 동작의 민첩성 적시타의 가능성 결정 3 투수 제구력, 구속, 성적 타자의 출루 여부 결정 위 승차시간-승차거리의 관계를 비롯하여 과거에 우리가 배운 대 부분의 함수는 독립변수가 하나인 함수이다. 4 내야수 수비능력, 순발력 타자의 출루 여부 결정 5 외야수 수비능력, 홈 송구능력, 달리기의 빠르기 타자의 출루 여부 등 결정 야구는 장비를 매개로 하여 공을 접촉하며 수비수 9명이 각각 다 른 역할을 갖고 다른 형태로 수비를 한다. 끝내기 홈런의 4 득점의 과정과 모습, 득점의 수 등도 다양하다. 예로서 만루 홈런 함수 에 의해 4점을 득점할 수도 있고, 만루 상태에서 내야안타와 에러 설정 상황 : 를 묶어서 4점을 득점할 수 있다. 2013 시즌 마지막 경기. R팀은 이 경기에서 이겨야 포스트시즌에 진출 한다. 상대는 현재 4위 M팀. 9회말 2아웃 주자만루 1-2로 지고 있는 상 따라서 다른 구기에 비해 상대적으로 독립변수가 많다. 이러한 많 황에서 R 팀의 다음 타자는 4연속 삼진의 4번 타자 P 선수. R 팀의 J 은 독립변수( 데이터 라고 표현할 수도 있다)를 잘 파악하고 이를 감독은 P 선수를 계속 기용할 것인가? 아니면 대타를 세울 것인가? 운용하는 방법을 수학적으로 잘 연구할 때에 비로소 좋은 결과가 나올 것이며 이를 야구 속의 함수 내지 야구 속의 수학 이라 할 수 있다. 이 문제 역시 함수의 문제이다. 함수(function) 중에서 독립변수 가 여러 개 존재하는 함수를 다변수함수 라고 한다. 74 야구수학스파크 SPARK 5 75

x1 = 통산 주자만루 시 타율[가중치 5, 만점 25점] 다변수함수 식: y(함수 값) = f(x1, x2, x3, x4, x5, ) (x1, x2, x3, x4, x5, = 개개의 독립변수) x2 = 통산 주자 있을 때 타율[가중치 4, 만점 20점] x3 = 최근 2개 시즌 타율[가중치 3, 만점 15점] x4 = 최근 2개 시즌 상대투수 타율[가중치 4, 만점 20점] 극도로 긴박한 위와 같은 상황에서 타자의 적시타 가능성은 여러 x5=최근 2개 시즌 출루율[가중치 4, 만점 20점] 개의 독립변수(x1, x2, x3, x4, x5, )의 대입에 의한 y 값에 의해 가늠할 수 있다. 각 독립변수들을 아래와 같이 가정한다. 식: y = 5x1+4x2+3x3+4x4+4x5 ( 만점의 합계 = 100점) x1 = 통산 주자만루 시 타율 J 감독은 위와 같이 함수 값을 계산(계산기로 계산하듯이 실제로 x2 = 통산 주자 있을 때 타율 계산하는 것이 아니라 머리 속에서 모든 정보, 자료들을 종합하여 x3 = 최근 2개 시즌 타율 순간적으로 판단)한 결과 다른 대타요원들 중에서 P 선수보다 더 x4 = 최근 2개 시즌 상대투수 타율 나은 타자가 없다는 결론을 내린다(J감독은 타자의 당일 타율을 x5 = 최근 2개 시즌 출루율 (통산 타율, 심리적 요소 등도 독립변수에 추가될 수 있을 것이다. 독립변수에서 제외). 감독의 믿음에 따라 P 선수가 역전 끝내기 만루 홈런을 터뜨리는 장면을 상상해 본다. 그리고 감독마다 각 독립변수들을 무엇으로 할지를 달리 선택하 게 된다.) NC 다이노스의 김경문 감독이나 2012년 한국시리즈 우승을 이끈 삼성 라이온즈의 류중일 감독, 일본 오릭스의 오카다 감독은 J감 또한 각 독립변수의 가중치를 어떤 수치로 정할지를 결정해야 한 독과 같이 믿음의 야구 1) 를 한다고 알려져 있다. 다. J 감독은 위 5가지 요소를 모두 5점 만점으로 매기되 각 독립 변수마다 가중치를 아래와 같이 3~5로 부여한다고 가정한다. 1) 믿음의 야구에는 정신의 안정성 을 중시하는 배경이 깔려 있다. 4번 타자는 깊고 넓게 파여진 데 에 뿌리박은 기둥과 같은 존재로서 4번 타자 자리에 대타를 기용함은 팀 혹은 경기의 안정성과 깊이에 저해를 가져온다고 본다. 76 야구수학스파크 SPARK 5 77

야신 감독님은 치밀한 계산을 순간적으로 하여 판단한 결과 더 나 참고 은 대타요원이 있으면 대타요원을 쓸 것이다. 끝내기 홈런 응용력이 강한 야구가 야신 감독님의 특징이다. 선수들은 매 순간 주어진 상황을 정확히 파악하고 계산해 내며, 각자가 그 속에서 해 야 할 일을 자연스럽게 해 낼 정도의 실력과 정신력을 갖추도록 평 소에 훈련, 지도를 받는다. 이렇게 평소 실력을 가진 팀은 승리한다. 한국야구위원회 야구기록규칙 [끝내기 안타( 決 勝 安 打 )의 루 타수 결정] 항목에는 끝내기 안타와 끝내기 홈런에 관하여 아래와 같이 규정한다. 야신의 데이터야구와 김경문 감독의 뚝심야구를 수학적으로 비 1 아래 명시된 2항의 경우를 제외하고 최종회에 타자가 끝 교 설명하면 아래와 같다(동아일보 2009. 2. 7. 자 김경문 인터 내기 안타로 자기 소속팀이 승리하는 데 필요한 득점을 뷰 참고). 얻었을 경우, 그에게는 결승점을 올린 주자가 진루한 것 과 같은 수의 루타수만 기록한다. 더욱이 타자주자는 실 순번 항목 데이터야구 뚝심야구 1 선수교체 빈번하다 자주하지 않는다 2 선발투수 의존도 낮다 높다 3 선수기용 경험 많은 선수들의 노련함 중시 무명 선수의 가능성 중시 4 번트 자주 사용 드물게 사용 5 데이터 활용 6 수학적 분석 7 원리 선수의 각종 데이터(독립변수)를 적극 활용 선수의 각 데이터를 중시하고 이러한 데이터를 감독의 독자적인 노하우를 이용하여 처리 정신력의 원리 -선수들 스스로 자율훈련 선수의 잠재력에 대한 평가를 중시 선수와 감독 간의 신뢰 자체를 주요한 데이터로 보고 계산 신뢰의 원리 -감독의 신뢰에 대한 보답으로 선수들 스스로 자율훈련 제로 그 수만큼의 베이스를 터치하는 것이 필요하다. 2 펜스를 넘어가는 끝내기 홈런으로 경기가 끝났을 경우, 타자 및 모든 주자의 득점을 인정한다. 위 규정으로부터 (펜스를 넘어가는) 끝내기 홈런의 가치를 매우 크게 인정해 줌을 알 수 있다. 78 야구수학스파크 SPARK 5 79

Q & A 5 펜스를 넘어가지 않는 홈런(장내홈런, Inside park home run)의 경우 끝내기 안타로 취급한다. 끝내기 홈런의 순간은 야구에서 가장 극적인 장면이다. Q. S도시의 지하철 요금은 기본 구간(10km 이내)에서는 거 리가 증가하여도 일정한 금액인 기본요금 1,050원이다. 이 기본 구간에서 운행거리-요금 간에 함수관계가 성립하는 가? 일본 프로야구(1946년부터 리그전을 하였으므로 2011년 말을 기준으로 66년의 역사)에서 끝내기 홈런을 가장 많 이 기록한 선수는 기요하라 가즈히로(1967년생. 프로 경력 1986년~2008년 23년. 은퇴 시 오릭스 소속. 격투기 추성 훈 선수의 친구로 우리나라에 많이 알려짐. 2012.7.20. 한 일 레전드 친선경기에 일본 대표로 참가)이며 모두 12개를 기록하였다. 기요하라 가즈히로의 통산 기록은 아래와 같다(기요하라 가 즈히로, 오토코미치( 男 道 ), (주)환동사 2009년 발행 및 위키 백과 참고). 2338 경기. 7814 타수. 2122 안타. 타율 0.272. 홈런 525. A. 함수관계가 성립한다. 운행거리가 달라짐에 따라 각 운행거리에 하나의 요금이 정해지므로 함수관계 이다. 80 야구수학스파크 SPARK 5 81

6 토너먼트 대회, 몇 경기를 치러야 할까? 토너먼트 대회에 n개의 팀이 출전하는 경우 우승팀이 결정되기까지는 (n-1)개의 경기를 치러야 한다. 1. 토너먼트 방식 대회에서의 경기 숫자 84 2. 리그 대회의 경기 숫자 86 3. (n-1)에 대하여 87

6 따라서 (n-1)회의 경기를 하여 (n-1)개의 팀이 탈락하면 우승팀 1팀이 남게 된다. 따라서 토너먼트 대회의 경기수는 (n-1)개이다. 토너먼트 대회, 몇 경기를 치러야 할까? 토너먼트 대회에 n개의 팀이 출전하는 경우 우승팀이 결정되기까지는 (n-1)개의 경기를 치러야 한다. 예로서 32개 팀이 토너먼트를 치르는 경우 31경기를 하여야 우승 팀이 가려진다. 이는 아래와 같이 확인할 수도 있다. 1회전: `(32개 팀이 경기) ` 16 경기` 16 = 2 4 1 준준결승: ` (8개 팀이 경기) ` 4 경기 ` 4 = 2 2 준결승: ` (4개 팀이 경기) ` 2 경기 ` 2 = 2 1 토너먼트 방식 결승: ` (2개 팀이 경기) 1 경기` 1 = 2 0 대회에서의 경기 숫자 토너먼트 방식에 참가한 팀의 수 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 31 가 n 개(1째 팀, 2째 팀, 3째 팀,, (n-1)째 팀, n째 팀 등으로 셀 수 2회전: (16개 팀이 경기) ` 8 경기 ` 8 = 2 3 있다)라고 표현한다. 토너먼트 대회 참가 팀 수에서 1을 뺀 숫자가 우승팀을 가리기 위 한 경기의 수가 되는 것은 부전승이 있는 경우에도 마찬가지이다. 각 경기를 해 나가는데 시간 순에 따라 먼저 패배한 한 팀 씩 탈락 (1회전이든, 준결승이든, 결승이든 관계없이 시간 순에 따라 1팀 씩 탈락)하는 것으로 생각할 수 있다. 예로서 30개 팀이 출전한 토너먼트의 경우 2개 팀이 부전승으로 2회전에 진출한다. 경기 수는 30-1 = 29(경기)이다. 84 야구수학스파크 SPARK 6 85

토너먼트 경기는 과거의 고교야구 전국대회에서 자주 보았다. 과 거 특히 1970년대의 고교야구 경기는 지금의 프로야구 못지않은 n 개 팀이 팀당 p 개 경기를 하면 상대 팀은 (n-1)개. 팀당 경기수 = (n-1) p 인기를 누렸다. 한국 프로야구는 1982년에 창설되는데 성공을 기 대할 수 있었던 것은 당시 고교야구의 인기 때문이었다. 한편 2013년 시즌에는 NC 다이노스가 리그에 참가한다. 그러면 9개 팀이 리그에 참가하여 상대 팀은 8개이며 상대 팀당 경기 수 그리고 1974~1976년 경남고 투수로서 고교야구에서 활동하고 이 는 16경기이다. 후 연세대를 거쳐 1983년에 한국 프로야구에 진출한 고 최동원은 고 교야구의 인기를 한국 프로야구에 접목시키는 중심 역할을 하였다. 2013년 시즌 팀당 경기수 = 8 16 = 128 경기 2 리그 대회의 (n-1)에 대하여 경기 숫자 3 한국 프로야구는 2012년에 8개 자연수를 늘어세울 때, 1, 2,, 팀이 상대 팀당 19경기를 하는 방식이었다(상대 팀은 7개 팀). (n-2), (n-1), n 등으로 늘어세운다면 모두 n 개이다. 팀당 경기수 = 7 19 = 133 경기 그런데 n 개 수의 각 간격의 수는 (n-1)개이다(한 손의 손가락은 5개이나 각 손가락 사이는 4개인 것과 같다). 위 내용을 공식화하면 아래와 같다. 그리고 0부터 정수를 늘어세울 때에는 0, 1, 2,, (n-2), (n- 86 야구수학스파크 SPARK 6 87

Q & A 6 1) 등으로 되어 n 번째는 (n-1)이 된다. 일정한 규칙에 따라 수들을 차례로 나열한 것 을 수열 이라 한다. (n-1)은 수열 등에서 자주 나타난다. 예로서 등차수열의 일반항은 아래와 같다. Q. C선수는 내야수이다. 2013 시즌을 대비하여 2013. 2. 1 ~ 2013. 2. 20 (20일간) 펑고 수비 연습을 할 계획이다. 첫 째날 200개를 시작으로 매일 10개씩 늘려서 끝나는 날인 2013. 2. 20에는 390개를 한다면 총 몇개의 펑고 연습을 하게 되는가? 처음항을 a, 공차를 d, 일반항을 A(n)이라 하자. A(n) = a+d(n-1) 예: 처음항은 4, 공차 5일 경우 일반항은 A(n) = 4+5(n-1) 제5항: A(5) = 4+5 4 = 24 그리고 등비수열의 일반항은 아래와 같다. 처음항을 a, 공비를 r, 일반항을 A(n)이라 하자. A(n) = ar n-1 예: 처음항은 4, 공비 5일 경우 일반항은 A(n) = 4 5 n-1 제5항: A(5) = 4 5 4 = 2500 A. (20/2)(200+390) = 5,900(개) 88 야구수학스파크 SPARK 6 89

7 환상의 타순 - 경우의 수와 계승 L팀의 3, 4, 5번 클린업트리오는 이미 각 정해진 상태이다. 1, 2, 6, 7, 8, 9번 타순에 기용할 6 선수 배치의 경우의 수 는 720가지. 1. 타순 배치의 경우의 수 92 2. 최고의 타자의 타순 배치 95

7 할 사람은 갑, 을, 병, 정, 무, 기 등으로 정해졌는데 그 배치 방법 을 고민하고 있다. 위 6명으로써 1, 2, 6, 7, 8, 9 번을 정하는 방 법은 720가지(6!= 720)이다. 환상의 타순 - 경우의 수와 계승 L팀의 3, 4, 5번 클린업트리오는 이미 각 정해진 상태이다. 1, 2, 6, 7, 8, 9번 타순에 기용할 6 선수 배치의 경우의 수 는 720가지. 6!인 이유: 먼저 6명 중에 1명을 선택하므로 6가지 방법, 다음 으로 남은 5인 중에 1명을 선택하므로 6 5 = 30 가지 방법, 다 음으로 남은 4인 중에 1명을 선택하므로 30 4 = 120 가지 방 1 타순 배치의 경우의 수 L팀의 K감독은 2013 시즌 각 경기의 법, 다음으로 남은 3인 중에 1명을 선택하므로 120 3 = 360 가지 방법, 다음으로 남은 2인 중에 1명을 선택하므로 360 2 = 720 가지 방법. 위 2인 중의 1명 선택 시에 남은 1명도 자연히 선택되므로 더 이상 곱할 숫자는 없다. 그리고 곱한다면 1을 곱 하는 것인데 이는 의미 없다. 그러므로 6 5 4 3 2 1 = 720(가지). 스타팅멤버의 타순(배팅 오더)을 정하려 한다. 계승(n!)은 1부터 어떤 양의 정수(n)까지를 모두 곱한 것으로서 아래의 상황마다 타순의 경우의 수 가 달라진다. 경우의 수와 순열, 조합 등에서 사용하는 부호이다. 따라서 갑, [상황 1] 3번 손, 4번 전, 5번 강 선수 등으로 클린업트리오는 정 을, 병, 정, 무, 기 등의 6명으로써 1, 2, 6, 7, 8, 9 번을 정하는 방 법은 6!가지. 해진 상태이다. 따라서 3, 4, 5번은 경우의 수를 발생시키지 않으 므로 고려하지 않아도 된다. 남은 1, 2, 6, 7, 8, 9번 타자에 기용 [상황 2] 3번 손, 4번 전, 5번 강 선수 등으로 클린업트리오는 정 92 야구수학스파크 SPARK 7 93

해진 상태이다. 그리고 테이블세터를 1번 무, 2번 기 선수로 정 하였다. 이 상황에서는 남은 6, 7, 8, 9번에 갑, 을, 병, 정 등의 4 선수를 배치하면 된다. 그 방법은 4!= 24가지이다. 2 최고의 타자의 타순 배치 타순 결정은 많은 요소들 특히 클린업트리오를 정한 후 출루율이 높은 두 선수가 있어 별다른 고민 없이 1번 타자와 2번 타자를 정할 수 있다면 감독의 정신적 부담은 720에서 24로 급격히 줄어든다(1/30로 줄어든다). 각 선수의 타율, 타점 능력, 출루율, 장타율, 주루 능력, 작전 수행 능력 등을 고려하여 절묘한 조합을 찾아야 한다. 감독 중에는 최고의 타자가 4번이 아니라 3번 타순을 맡아야 한 다는 견해를 가진 자도 있다. 미국 프로야구 클리블랜드 인디언스 [상황 3] 1, 2번에 무 선수와 기 선수를 기용하되 그 순서를 정 하여야 하고, 3, 4, 5번에 손, 전, 강 선수를 기용하되 그 순서를 정하여야 하고, 6, 7, 8, 9번에 갑, 을, 병, 정 선수를 기용하되 그 순서를 정하여야 한다. 이러한 경우에 전체 타순을 구성하는 경 우의 수는 아래와 같은 식으로 구할 수 있다. 에서 2012년 9월 경까지 감독직을 수행했던 매니 악타이다. 그는 자신의 주장의 근거에 대하여 2011년 2월 아래와 같이 말했다. 최고의 타자가 1회에 타석에 설 수 있게 하고 2회에 주자 없이 최고의 타자가 첫 타자로 나서는 것을 막기 위해서이다. 2! 3! 4!= 2 6 24 = 288(가지). 9선수(손, 전, 강, 갑, 을, 병, 정, 무, 기)를 1~9번에 임의로 배 치하는 방법은 9!=362,880(가지)이다. 매니 악타 감독은 자신의 견해에 따라 최고의 타자 추신수 선수를 3번에 기용하겠다고 하였다(추신수 선수 2010년 시즌 성적: 105 경기 출장, 타율 0.300, 22홈런, 22도루, 90타점). 결론적으로 일정한 인원수의 선수들을 배열하는 경우의 수는 계 승(!)이다. 추신수는 부상 등으로 2011년 시즌에 최고타자로서의 활약을 보 여 주지는 못 하였다(추신수 2011년 시즌 성적: 84경기 출장, 타 94 야구수학스파크 SPARK 7 95

Q & A 7 율 0.259, 8홈런, 36타점). 그러나 추신수 선수는 2012년에는 1번 타자에 배치되어 시즌 종 Q. S팀의 불펜 투수들은 K1, K2, K3, K4 등의 4명이다. 이들 의 등판 순서는 몇 가지인가? 료 시에 좋은 성적을 거두었다. 나는 어릴 적부터 최고의 타자가 1번 타자가 되는 것이 옳을 수 있다고 생각하였다. 득점은 1루로 출루하여야만 가능한데 최고의 타자가 1번 타순에 배치되어 한 번이라도 더 타석에 들어서 출루 의 기회를 잡게 하는 것이 승리의 열쇠라고 생각하였다. 그러나 최고의 타자라 하더라도 그의 출루율도 높고 주루 능력이 크게 뒤지지 않아야 1번 타자 배치가 가능할 것이다. A. 4!= 24가지. 96 야구수학스파크 SPARK 7 97

8 P 선수 사인볼을 찾을 확률 유소년 야구단원 27명이 P 선수 사인볼 9개를 추첨을 통해 선물 받는다 (추첨한 공은 다시 상자 속에 넣지 않는 비복원추출 ). 1번째 유소년부터 27번째 유소년까지 각자의 당첨 확률은 9/27로서 동일. 1. 복원추출에서의 당첨 확률 100 2. 비복원추출에서의 당첨 확률 101 3. 확률의 정의 102

8 속 다음 유소년이 추첨(이를 복원추출 이라 한다)한다면 항상 당첨 확률은 9/27, 즉 1/3 이다. P 선수 사인볼을 찾을 확률 유소년 야구단원 27명이 P 선수 사인볼 9개를 추첨을 통해 선물 받는다 (추첨한 공은 다시 상자 속에 넣지 않는 비복원추출 ). 1번째 유소년부터 27번째 유소년까지 각자의 당첨 확률은 9/27로서 동일. 2 비복원추출에서의 당첨 확률 앞에서와 달리 유소년 한 명 1 씩 추첨하고 그 볼을 상자에 도로 집어넣지 않고 계속 다음 유소년 이 추첨(이를 비복원추출 이라 한다)한다면 2번째 이하 27번째 유 복원추출에서의 소년까지의 각 당첨 확률은 얼마일까? 당첨 확률 P 선수가 27명의 유소년 야구 답은 2번째 이하 27번째 유소년까지의 각 당첨 확률 역시 모두 선수들을 지도하는 모임을 가졌다. 9/27, 즉 1/3이다. 비복원추출의 경우에도 복원추출과 동일한 확 률이다. P 선수 사인볼을 추첨에 의해 나누어 주는 행사를 하였는데 추 첨용 상자에 볼 27개를 준비하고 27개 중 사인볼 9개를 준비하 였다. 위 답은 아래와 같은 직관으로 파악할 수 있다. 앞서 추첨한 유소 년이 뽑은 볼(들)은 상자 안에 남아 있는 볼(들)과 시간적, 공간적 으로 분리되나 이 시간적, 공간적 분리가 의미가 없는데 이는 다 이 때 유소년 한 명씩 추첨하고 그 볼을 상자에 도로 집어넣고 계 음과 같은 이유 때문이다. 100 야구수학스파크 SPARK 8 101

먼저 뽑은 볼(들)을 상자 밖의 바로 옆에 둔다고 할 때, 다음 추첨 자는 손을 상자 밖 바로 옆의 볼(들)을 뽑을 수도 있으나 규칙에 따라 뽑지 못 할 뿐이다. 편평한 동전의 던지기를 한 결과 9번 모두 앞면이 나온 후라면 10 번째는 뒷면이 나올 확률이 1/2보다 커질까? 아니다. 동일하게 1/2 이다. 그렇다면 상자 밖의 볼은 그것이 상자 밖에 있든 상자 안에 있든 이는 각 동전던지기가 독립시행 1) 이기 때문이다. 그것이 갖는 가치, 역할은 동일하다. 따라서 비복원추출의 경우의 확률 역시 복원추출의 확률과 동일하다. K타자는 2013년 8월 00일 현재 270타수 90안타로서 0.333의 타 율을 기록하고 있다. 그런데 12타수 연속 무안타이다. 그 다음 타수 3 에서는 안타를 칠 확률이 100%가 될까? 아니다. 여전히 0.333이다 (단, 상대 투수가 누구인지 등의 변수들은 고려하지 않는다). 확률의 정의 확률의 정의(Definition): 사건의 전 체 경우의 수 중에서 특정 사건이 일어날 경우의 수의 비율. 예: 주 사위 던지기에서 1이 나올 확률은 1/6. 동전은 양면이 모두 동일하게 편평하다고 하면 동전던지기의 결 과 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 동일하게 각 1/2이다 (동일하게 편평하지 않다면 울퉁불퉁한 면이 나올 확률이 좀 더 높다고 한다). 1) 일정한 시행(예:주사위 던지기, 동전 던지기 등)을 반복할 때 각 시행의 결과가 독립일 경우의 시행 102 야구수학스파크 SPARK 8 103

참고 서 보다 적은 수의 게임을 치른 팀의 승률이 높다. 마찬가 지로 게임차가 같은 양 팀이 모두 5할 미만의 승률일 경우 승률과 게임차 보다 적은 수의 게임을 치른 팀의 승률이 보다 낮다. 게임차 = [(상위팀승수 - 하위팀승수) + (하위팀패수 - 상위팀패수)] 2 이상의 내용을 양 팀 간의 비교가 아닌 한 팀의 전후 간을 비교하여 확인해 보자. (무승부는 없는 것으로 가정한다.) 전체 게임 중 일정한 수의 게임을 A, B팀이 각 소화한 상태 추가하여 120경기 65승 55패를 하는 과정을 아래 표와 그 에서 양 팀 모두 5할 초과의 승률이고 게임차가 동일할 때, 래프로 도시한다. 보다 적은 수의 게임을 치른 팀의 승률이 보다 높다. 그 이유 경기수 승수 패수 승률 를 아래에서 살펴본다. 30 20 10 0.67 현재 5할 초과 승률에서 게임수를 더 많이 진행하고서도 게 임차가 0 이 되려면 2n(n=자연수) 게임을 더 진행하여서 승수와 패수가 같아야 한다. 즉 새로이 진행하는 2n게임에 서 5할의 승률을 거두어야 한다. 이는 보다 높은 승률에서 5할에로 수렴하는 과정이다. 따라 A팀이 30경기 20승 10패의 성적을 거둔 후 45승 45패를 36 23 13 0.64 42 26 16 0.62 50 30 20 0.60 60 35 25 0.58 70 40 30 0.57 80 45 35 0.56 90 50 40 0.556 100 55 45 0.550 120 65 55 0.54 104 야구수학스파크 SPARK 8 105

Q & A 8 0.6 0.4 승률 Q. 2013년 프로야구에서 10월 현재 4위 L팀과 5위 K팀은 맞대결 1경기를 남겨두고 있다. L팀과 K팀 간의 게임차 는 0.5게임이다. 그런데 최근 K팀은 5연승이고 시즌 승률 0.490, 맞대결 승률 0.450이고 L팀은 10연패로서 시즌 승 률 0.505, 맞대결 승률 0.550이다. 마지막 경기의 L팀과 K 팀의 대결에서 이길 확률이 큰 팀은? 0.2 경기수 30 50 60 90 120 다음으로 A팀, B팀 양팀 간의 승률을 비교한다. A팀이 90 경기 50승 40패(승률 : 0.556), B팀이 100경기 55승 45패 (승률 : 0.550)의 경우에 게임차는 아래와 같이 계산할 수 있다. 게임차 = [(50-55) + (45-40)] / 2 = 0 그리고 승률은 약0.006 차이로 A팀이 높다. A. L팀.(독립시행이므로 시즌 승률 및 맞대결 승률이 앞선 L팀의 이길 확률이 크다.) 106 야구수학스파크 SPARK 8 107

9 투수가 던진 공은 포수 미트에 도달하지 않는다? 투수가 야구공을 던져 야구공이 포수 미트에 도달할 때까지 (17.00m라 전제) 그 절반의 지점(투수로부터 8.50m 지점)을 통과 하여야 하고 다시 남은 거리의 절반의 지점을 통과하여야 하고, 다시 남은 거리의 절반의 지점을 통과하여야 하므로 무한한 수의 지점을 통과해야 하므로 도달하지 않는다 라는 파라독스는 잘못된 것임을 극한 의 개념을 통해 확인한다. 1. 제논의 역설 (Zenon's paradoxes) 4가지 110 2. 이분법의 역설 - 역설 3 112 3. 아킬레스-거북이 경주 의 역설 - 역설 1 116 4. 야구공의 운동과 정지의 관계 - 역설 2 117

9 투수가 던진 공은 포수 미트에 도달하지 않는다? 투수가 야구공을 던져 야구공이 포수 미트에 도달할 때까지 (17.00m라 전제) 그 절반의 지점(투수로부터 8.50m 지점)을 통과하여야 하고 다시 남은 거리의 절반의 지점을 통과하여야 하고, 다시 남은 거리의 절반의 지점을 통과하여야 하므로 무한한 수의 지점을 통과해야 하므로 도달하지 않는다 라는 파라독스는 잘못된 것임을 극한 의 개념을 통해 확인한다. 그 중 하나는 아킬레스-거북이 경주 의 역설(역설 1)이다. 이 경주는 아킬레스는 a 지점에서 출발하고 거북이는 아킬레스보다 앞선 b지점에서 출발하도록 정해져 있다. 아킬레스가 b지점에 도 착하면 거북이는 c지점으로 가 있다. 다시 아킬레스가 c지점에 오 면 거북이는 d지점으로. 이렇게 아무리 계속된다 한들 한없이 가까워지기는 해도 아킬레스는 거북이에게 도달할 수도 없고 거북 이를 영원히 추월할 수 없다. 1 제논의 역설 4가지 중 1가지는 생략하고 나머지 2가지를 변형하 여 소개한다. 제논의 역설 (Zenon's paradoxes) 역설 2 : 투수가 포수에게 투구할 때 투구 거리는 17.00m임을 4가지 고대 그리스의 철학자 전제한다. 투수가 투구한 야구공은 포수 미트에 들어가기까지는 제논 은 운동 1) 을 인정하지 않았다. 운동하고 있다고 보아야 할 텐데 그렇지 않다. 예로서 절반 가량 진행한 8.33m 지점 만에서 보면 야구공은 정지하고 있다. 운동 개념의 부정과 관련된 유명한 역설은 제논의 역설 Zenon's paradoxes 4가지이다. 역설 3 : 투수가 야구공을 던져 야구공이 포수 미트에 도달할 때까지 그 절반의 지점(투수로부터 8.50m 지점)을 통과하여야 1) 運 動 motion 물리학에서 물체가 다른 물체나 어떤 기준좌표계에 대해서 상대적으로 위치를 변경하는 것. (브리태니커 사전) 하고 다시 남은 거리의 절반의 지점을 통과하여야 하고, 다시 남 은 거리의 절반을 통과하여야 하므로 무한한 수의 지점을 통 110 야구수학스파크 SPARK 9 111

과해야 하여 유한한 시간 내에서는 포수 미트에 도달할 수 없다 은 틀린 것이다. (일명 이분법의 역설 ). 위에서 이분( 二 分 ) 무한한 이분 을 요구하는데 이분법의 역설 위 제논의 역설 3가지는 잘못된 것이다. 실제에서는 아킬레스가 은 일정한 시점에 이분을 중단하기 때문에 잘못이다. 거북이를 추월해버린다. 그리고 야구공은 운동하며 포수 미트에 도달한다. 과연 제논의 역설은 어디가 잘못일까? 이분을 중단하면 포수 미트에 도달할 수 없고 무한히 이분하면 포 수 미트에 도달한다. 다만 무한히 이분하는 행위는 관념상의 행위 2 이다. 일정한 시간의 경과 속에 무한한 이분 행위가 존재한 것으 로 생각할 수 있다. 이분법의 역설 그리고 위 무한히 이분한다 는 개념은 극한 개념이다. 극한 개념 - 역설 3 이분법의 역설은 어디가 잘못되었을까? 은 미적분의 기초를 이루는 개념이다. [투수가 야구공을 던져 야구공이 포수 미트에 도달할 때까지 그 절반의 지점(투수로부터 8.50m 지점)을 통과하여야 하고 다시 남 은 거리의 절반의 지점을 통과하여야 하고, 다시 남은 거리의 절 수학에서의 극한(limit = 접근 개념을 바탕으로 하는 수학적인 개 념. 브리태니커 사전)은 1에 한없이 가까워지는 것과 1은 같은 값 이라는 말이다. 반을 통과하여야 하므로 무한한 수의 지점을 통과해야 하여] 이 까지는 맞다. 그러나 이를 사람들은 직관적으로 받아들일 수가 없었다. 도대체 한없이 가까워지는 것이 어찌하여 그 가까워지는 대상과 같을 수 그런데 유한한 시간 내에서는 포수 미트에 도달할 수 없다 부분 있느냐는 것이다. 또한 수학 학계에서조차 극한에 대한 수학적 정 112 야구수학스파크 SPARK 9 113

의가 내려지기까지 많은 시행착오를 겪고서야 그것이 진리임을 깨닫게 되었다. 0.999999 = 1 의 다른 증명방법=증명 2(방정식 이용) 무한순환소수 0.999999 와 1은 똑같은 값이다 라는 명제가 과 연 옳은지 밝힘으로써 극한을 이해해 보자. 증명: 0.999999 = x 로 둔다. 양항에 10 하여 좌항/우항의 위치를 바꾸면, 10x=9.99999. 식(2) 식(2)의 우항=9+0.99999 = 9+x 0.999999 = 1 의 증명 1 식(2)는 10x=9+x 로 된다. 10x=9+x. 식(3) 식(3)의 양항에서 각기 x를 빼면 9x=9. 식(4) 식(4)의 양변을 9로 나누면, x=1. 증명 끝. 증명: 0.999999 는 자연수 1에 한없이 가까워지는 무한소수이 다. 0.999999 를 9로 나눈다. 그러면 0.111111 이 된다. 0.111111 을 분수로 표기하면 1/9이 된다. 0.111111 = 1/9. 식(1) 식(1)의 양변에 9를 곱한다. 그러면 0.999999 = 9/9가 된다. 9/9는 1이다. 따라서 0.999999 =1. 증명 끝. 114 야구수학스파크 SPARK 9 115

3 아킬레스- 거북이 경주 의 역설- 역설 1 주 의 역설 (역설 1)이 잘못임을 밝혀 보겠다. 이번에는 아킬레스-거북이 경 4 야구공의 운동과 정지의 관계 - 역설 2 투수의 투구 시 투수의 손으 로부터 야구공이 떨어져 나가는 순간을 0t(t=시점 혹은 시간. 단위 는 보통 초 이다)라고 정해 둔다. 위에서 본 바와 같이 0.999999 = 1 이듯이, 아킬레스가 거북 이에게 무한히 접근하면 결국 도달하게 되고 도달하게 되면 추월 이 가능해지므로 제논의 역설은 잘못된 것이다. 그런데 이 손에서 떨어져 나가는 순간을 특정하기가 매우 어렵 다. 0.00000 1초라도 앞선 순간은 손에 쥐고 있는 순간이며, 0.00000 1초라도 늦은 순간은 이미 손에서 떠난 순간이다. 거북이 있던 곳까지만 아킬레스가 가되 그러한 주행을 무한히 반 복하면 거북이에게 도달한다. 그러한 주행을 멈추면 안 된다. 손에서 떨어져 나가는 이 시점은 인간의 측정 한계로는 포착하기 어려운 신의 영역이나 인간이 위 시점을 0t로서 설정하는 것은 가 0.999999 에서 무한히 9를 반복하여야 하는데, 어디선가 9를 반 능하다. 복하지 않고 중단한 것이 제논의 오류이다. 중단하는 순간 1이 될 수 없다. 투수 플레이트로부터 포수 플레이트 간의 거리는 18.44m이나 계 산의 편의상 투수와 포수 간의 투구 거리를 17.00m 라 가정한다. 그리고 투수가 던진 공의 구속을 150km/hr(41.67m/sec)로 가 정하고 이 야구공은 등속도운동을 하는 것으로 가정한다. 그러면 0.41초 만에 투수가 던진 공이 포수에게 도달한다. 116 야구수학스파크 SPARK 9 117

0.00초~0.41초 사이의 시간의 거의 중간인 0.20초의 시점 (t=0.20초)에서의 야구공을 고찰한다. 일정한 시점과 다른 시점 사이의 간격을 시간(예:0.41초)이라 표 현하고, 시간을 무한히 잘게 나눈 한 순간을 시점이라고 표현한다. 이 순간에는 야구공이 투수로부터 약 8.33m 진행한 지점에 존재 한다. 이상을 그래프로 아래에 나타낸다. 시점의 무한한 연속이 시간이 되므로, 시간 단위에서는 야구공이 운동하고 시점에서는 야구공이 정지하는 것으로 생각할 수 있다. 그러나 아래의 점을 고찰해야 한다. 거리(S) 0.41초 시간 동안의 야구공의 운동은 무한한 수의 정지로 나눌 17.00m 수 있으므로 정지=운동을 무수히 쪼갠 것 이다. 그리고 운 동=무수히 많은 정지의 연속 이다. 8.33m 야구공의 정지가 연속되면 바로 야구공의 운동이 되므로, 운동과 정지는 별개일 수 없고 서로가 서로를 포함하며 양자는 통일성을 갖는다. 0.20초 0.41초 시간(t) 그래서 t = 0.20초의 시점에서의 야구공은, 정지 라고 볼 수 있 으나 그 정지는 운동을 포함하는 정지 이다. 위 직선 그래프는 일정한 기울기를 갖는데 기울기가 곧 속도(v) 이다. 마찬가지로 0.41초 시간 동안의 야구공은 운동 이라고 볼 수 있 으나 그 운동은 정지를 포함하는 운동 이다. 118 야구수학스파크 SPARK 9 119

Q & A 9 Q. 투수가 던진 공이 등속도운동을 한다고 가정하고 속도(V) = 41.67m/sec라고 할 때 시간(t) = 0.40sec의 시점까지 공이 나아간 거리를 구하라. A. 41.67m/sec 0.40sec = 16.67m. 120 야구수학스파크

10 1루까지 전력질주하라 타자가 타격한 후 1루까지 달리는 거리는 시간의 함수이다. 거리를 나타내는 함수를 미분하여 속도함수를 구하고, 속도함수를 미분하여 가속도를 구한다. 1. 전력질주의 필요성에 대한 의문 124 2. 가속도 = 속도를 미분한 것 125 3. 미분의 정의 2가지 130 4. 미분의 응용 133

10 프로야구 중계방송의 대부분의 해설자는 전력질주가 기본이라고 강조하였다. 그런데 일부 선수들은 전력질주를 하지 않는다. 1루까지 전력질주하라 타자가 타격한 후 1루까지 달리는 거리는 시간의 함수이다. 거리를 나타내는 함수를 미분하여 속도함수를 구하고, 속도함수를 미분하여 가속도를 구한다. 과연 전력질주는 필요한 것인지 아래에서 수학의 미분을 통해 확 인한다. 1 가속도 = 속도를 2 미분한 것 전력질주의 거리는 시간의 함수로 표시된다. 필요성에 대한 의문 홈에서 1루까지 타자주자가 전력질 1루까지 타자주자가 달리는 거리를 시간의 함수로 표시한 식이 주를 한다면 그 속도는 일정한 속도일까? 아니면 빨라질까, 느려 아래와 같다고 가정한다. 질까, 빨라졌다 느려졌다 진동 형태로 변화할까? S(t) = 0.2t 2 +6t 식(1) - 그래프 1 [아래 그림] 어릴 때부터 품은 이 의문에 대한 답은 알 수 없었으나 이후 고교 에서 미분을 배우면서 (+) 가속도가 붙어 빨라질 수 있다는 것을 알게 되었다. 124 야구수학스파크 SPARK 10 125

거리 S(t) 0.2t 2 +6t=27.4m 0.2t 2 +6t-27.4=0 30 25 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 풀면 t 4.0초 ( t의 음의 값은 버림) -30 0 4.0 시간(t) 수비수는 타자가 친 공이 배트를 떠난 후 4.0초 이내에 1루수에게 공을 전달하면 아웃을 시킬 수 있다. 4.0초의 싸움이다. 이제 미분을 이용하여 1루까지 전력질주를 하여야 할 당위성에 대하여 알아본다. -45 거리의 미분은 속도이다. 식(1)을 미분하면 아래 식(2)가 된다. 위 식(1)의 발견 과정 : 1루까지 거리가 약27.4m이고 이 거리를 약4.0초의 시간에 달려서 1루에 도달한다. 타자의 주루에 등가 속도(시간에 관계없이 동일한 가속도)가 존재하려면 2차 방정식 ( 공식: x n 을 미분하면 nx n-1 을 이용 1) ) v(t)=0.4t+6 식(2)-그래프2 [아래 그림] [미분한 결과를 도함수라고도 한다.] 이 되어야 한다. 한편 그 가속도의 크기는 그다지 크지 않다. 그 리고 타자의 주루 속도는 기본적으로 초당 6m로 설정한다. 1루까지 거리는 27.4m이므로 걸리는 시간 t를 아래 방정식으로 풀어본다. 1) 공식의 적용례: x 3 의 미분은 3x 2 126 야구수학스파크 SPARK 10 127

v(t) (m/sec) 4.0초의 시간이므로 체력 저하로 인한 속도 감소가 일어나지 않 을 가능성이 크다. 그러므로 달리기의 가속도를 이용하여 전력질 주를 하면 더욱 빨라지고 수비 팀은 전력질주에 당황하여 실책을 6 할 가능성이 높아진다. 따라서 전력질주가 필요하다. 다만 타자의 타구가 어느 방향으로 갔는지, 담당 수비수는 누구인 t(sec) 지, 담당 수비수의 현재 수비 상황은 어떤지, 1루 주루코치의 동 0 1 2 3 4 5 작은 어떤지, 관중들의 태도는 어떤지, 주자가 있을 때 주자의 움 직임은 어떤지 등의 변수들을 순간적으로 파악한 결과 세이프의 위 그래프로부터 타자가 타격 후 처음 출발할 때는 6m/sec의 속 가능성이 거의 없는 쪽일 때에는 전력질주를 하지 않는 것이 체력 도로 달리고 시간의 경과에 따라 속도가 증가함을 알 수 있다. 낭비를 막는 방법이라고 생각할 수 있다. 한편 위 속도 v(t)를 다시 미분하면 가속도 a(t)가 된다. 그러나 전력질주는 타자 자신의 정신력을 보여주고, 상대팀에 대 한 압박으로 작용하며, 관중과 경기 자체에 대한 예의가 아닐까? a(t) = 0.4 m/sec 2 식(3) 위 속도 그래프의 직선의 기울기가 0.4인데 이것이 곧 가속도이다. 식(3)으로부터 1초당 0.4m/sec의 (+)가속도가 발생하여 점점 더 빨리 달릴 수 있음을 알 수 있다. 128 야구수학스파크 SPARK 10 129

3 미분의 정의 2가지 할선의 기울기 = y/ x = 변화량의 비율(평균 변화율) 1 미분의 정의는 접선의 기울기 이다. x를 왼쪽 그래프보다 작게 하면 가운데 그래프로 된다. 미분은 아래 오른 쪽 그래프에서 보듯이 곡선의 접선의 기울기로 나타난다. 왼쪽 그래프의 x를 극히(무한히) 미세하게 하여 x가 무한소 로 되게 한다. 이것이 미분이다.[미분 = 극히 미세하게 쪼갠다] y x 점선을 접선(Tangent line) 이라 한다. 결국 미분은 위 오른 쪽 그래프에서 보듯이 곡선의 접선의 기울기 (순간 변화율)로 나타난다. 접선 할선 할선 y 위 과정을 거치면 위의 오른 쪽 그래프로 된다. 오른 쪽 그래프의 참고 설명 기울기 = y x x 왼쪽 그래프의 x를 극히(무한히) 미세하게 하여 x가 무한소 로 되게 한다. 왼쪽 그래프의 점선을 할선(Secant line) 이라 하며 x가 일정한 크기를 갖는다. 현실에서 위와 같이 왼쪽 그래프의 x를 극히(무한히) 미세하 게 하려고 하면 현실과 이상의 충돌이 발생한다. 무한한 시간이 소요되기 때문이다. 왼쪽 그래프의 x를 극히(무한히) 미세하게 130 야구수학스파크 SPARK 10 131

쪼개고 있을 수는 없다. 바로 왼쪽 그래프의 x를 극히(무한히) 미세하게 쪼개었다고 가정하고 개념 조작을 진행하여야 한다. 위 그래프의 t=1.0, t=2.0, t=3.0 등의 순간에서의 곡선의 접선 의 기울기가 곧 그 순간에서의 순간속도이고 미분이다. 2 미분의 정의는 순간속도 이다. v(t) = 0.4t + 6(m/sec) 시간에 대한 거리의 함수의 접선의 기울기는 순간속도이다. S(t) = 0.2t 2 +6t 식(1) - P 126의 그래프 1의 일부확대 [아래 그림] t = 1.0 t = 2.0 t = 3.0 v(t=1.0) = 6.4(m/sec) v(t=2.0) = 6.8(m/sec) v(t=3.0) = 7.2(m/sec) 거리 S(t) 미분의 응용 30 4 미분을 응용하여 아래 그림과 같이 25 증가함수/감소함수를 구별할 수 있다. y 증가함수 감소함수 x 2.0 4.0 시간(t) a b f (x)>0 f (x)=0 f (x)<0 132 야구수학스파크 SPARK 10 133

왼쪽 그래프 : 증가함수 (접선의 기울기 +일 때) f '(x) 0 신 으로 불릴 정도로 뛰어난 활약을 하였다. 오른쪽 그래프 : 감소함수 (접선의 기울기 -일 때) f '(x) 0 그의 공은 뱀처럼 2번 휘어들어와 뱀직구 라는 표현이 사용되었 다음으로 미분을 응용하여 아래 그림과 같이 아래로볼록/위로볼 록을 구별할 수 있다. 다. 이 공은 전체 동선의 약 70% 까지 진행할 시에는 좌로 볼록이 었다가 나머지 동선은 우로 볼록으로 휜다고 가정한다. y y 여기서 볼록의 방향이 바뀌는 점을 수학의 변곡점 이라 볼 수 있다. x x 아래로 볼록 위로 볼록 왼쪽 그래프 : 아래로 볼록 (접선의 기울기가 증가) f ''(x) 0 오른쪽 그래프 : 위로 볼록 (접선의 기울기가 감소) f ''(x) 0 변곡점: f ''(x) = 0 임창용 투수는 2008년 일본 진출 이후 별명이 야쿠르트의 수호 134 야구수학스파크 SPARK 10 135

참고 투수가 던진 공의 구속의 변화를 알아내기 위하여 시간에 돌직구의 수학 대한 공의 비행거리, 구속, 가속도 등을 수식을 사용하여 아래와 같이 도출하였다. 나는 오래 전부터 던져진 공의 속도는 정지할 때까지 일정 한지 아니면 변화하는지 의문을 가졌으며 속도가 서서히 감 소할 것으로 추정하였다. 투수가 던진 공의 포수 미트까지의 비행 거리 S(t)를 공의 비행시간 t(초)에 대한 함수로 나타낸 식이 아래와 같다고 가정한다. 그런데 최근 야구 중계를 보면서 투수가 던진 공의 구속을 초속(초기 속도)과 종속(포수 미트 도달 시의 속도)으로 구 S(t) = -2t 2 +40t [ 이 식은 투수의 공의 초속이 40m/sec 분하여 나타내 주는 것을 보았고, 속도가 감소한다는 것을 라고 보고 음의 등가속도를 가지려면 이차방정식의 계수 알게 되었다. 가 음이어야 한다는 사실 및 아래 이차방정식의 해가 0.45 초임을 확인하여 도출] 종속이 초속에 비해 크게 떨어지지 않는 공의 대명사는 오 승환의 돌직구이다(2012년 SK-삼성의 한국시리즈 5차전 9회초 1-2로 뒤진 SK 공격 1사 1-3루에서 오승환은 2타 자 연속 3진의 명장면을 연출해 내었다). 포수 미트까지의 거리를 18.0m로 가정하고 포수 미트 에 도달하는 데에 걸리는 시간 t를 아래 방정식으로 풀 어본다. 투수가 던진 공의 속도는 조금씩 느려지고 음의 값의 가 속도를 가지는데 이 가속도는 속도의 미분이다. -2t 2 +40t = 18.0-2t 2 +40t-18.0 = 0 136 야구수학스파크 SPARK 10 137

이차방정식의 근의 공식을 이용하여 풀면 t = 0.45초. 즉 초당 -4m/sec의 가속도가 발생하여 투수가 던진 공은 앞에서 본 바와 같이 거리의 미분은 속도 v(t). 점점 더 느려지며 포수 미트에 도달한다. v(t) = -4t+40 [아래 그래프] 이상을 시속으로 표현한다. v(t) (m/sec) 40 초기속도 40m/sec = 144km/hr 0.45초 후의 속도 38.2m/sec = 137.5km/hr 위 양자의 평균: 140.75km/hr = 39.1m/sec v(t)=-4t+40 39 평균 구속 39.1m/sec 일 때 18m 를 비행하는데 걸리는 시 간을 계산하면 아래와 같다. 38.2 38 18/39.1 = 0.46초 ( 앞에서 계산한 0.45초와는 0.01초, t(sec) 0 0.1 0.5 약 40cm 차이로서 거의 일치하므로 계산이 맞다 는 것을 알 수 있다.) (초속이 40m/sec이고 초당 4m/sec 감소. 예로서 0.25초 후에는 39.0m/sec, 0.45초 후에는 38.2m/sec) 앞에서 본 바와 같이 속도를 다시 미분하면 가속도 a(t) a(t)=-4 m/sec 2 138 야구수학스파크 SPARK 10 139

Q & A 10 Q. 투수가 던진 공의 포수 미트까지의 비행 거리 S(t)를 공의 비행시간 t(초)에 대한 함수로 나타낸 식이 아래와 같다고 가정한다. S(t) = -1.5t 2 +40t(m). 이 경우의 투수가 던진 공의 가속도를 구하라. A. v(t) = -3t+40(m/sec) a(t) = -3(m/sec 2 ) 140 야구수학스파크

11 땅볼, 포물선을 그리다 땅볼이 그리는 포물선(2차 함수)의 바운드 직전의 접선의 기울기를 미분으로써 구해 보자. 1. 포물선을 그리는 땅볼 144 2. 실책을 줄이는 방법 146 3. 땅볼을 잡을 때에는 낮은 자세로 147

11 y 땅볼, 포물선을 그리다 땅볼이 그리는 포물선(2차 함수)의 바운드 직전의 접선의 기울기를 미분으로써 구해 보자. - 5-1 1 5 제1바운드 1/2 제2바운드 x 1 그래프를 그리는 방법은 아래와 같다. 포물선을 먼저 x = 0 를 대입하여 y절편 = 1/2 을 구한 후 (0, 1/2)을 표 그리는 땅볼 기한다. y = 0 를 대입하여 x절편 = 5 를 구한 후 (- 5, 0), 타자가 친 타구가 땅볼일 경우 수비 ( 5, 0)를 표기한다. 위 3 점을 잇는 곡선을 그리되 x 2 앞의 계수 수는 바운드 직전 혹은 바운드 직후에 잡아야 실책을 줄일 수 있다. 가 (-1/10)이므로 위로 볼록이면서 비교적 편평한 곡선을 그림으 로써 그래프를 완성한다. 아래 그림은 타자가 친 공이 땅볼이 되어 포물선을 그리며 진행하 는 경우의 일례로서 1째 바운드부터 2째 바운드까지 만을 나타낸 그림이다. y의 미분 즉 y' = (-1/5)x 이다. x가 - 이면 y' 0 즉 증 가함수이고, x가 + 이면 y' 0 즉 감소함수이다. 그리고 y" = -1/5이므로 그래프는 위로 볼록 이다. 포물선의 수식은 y = (-1/10)x 2 + 1/2 (m)이다. 144 야구수학스파크 SPARK 11 145

2 실책을 줄이는 방법 위 그림에서 내야수가 2번째 바운 경우가 있다. 이 경우 바운드된 직후에 공을 잡는 것이 좋다. 제2 바운드 직전의 각도는 접선의 기울기이며 미분으로 구할 수 드되기 직전에 공을 잡는 것으로 표시하였다. 있다. 위 그래프에서는 y' = (-1/5)x, x = 5 에서는 y' = - 5 /5(약 -0.45)이다. 이와 같이 바운드되기 직전에 공을 잡는 것이 실책 1) 을 줄이는 방 법인데 그 이유는 아래 3가지이다. 제2 바운드 직후의 기울기는 -0.45의 절대값인 0.45와 유사할 것으로 예측하여 공의 위치를 파악할 수 있다. 1 공중에서 공을 잡을 때에는 공의 운동 방향을 계산하기 어렵 다. 반면에 포물선의 대칭성을 이용하여 제1바운드로부터 최고 점까지의 이동경로를 파악하여 이로부터 최고점으로부터 제2 바운드 직전까지의 이동경로를 예측할 수 있다. 땅볼을 잡을 때에는 2 야수가 낮은 자세로 지면을 기준점(축)으로 하여 글러브 질을 3 낮은 자세로 하면 안정적이어서 실책을 줄일 수 있다. 바운드 직전, 직후에 타구 3 바운드 직후에 공을 잡으면 불규칙 바운드(irregular bound) 를 잡을 때에 수비수의 자세도 낮아야 한다. 의 가능성이 있으므로 상대적으로 바운드 직전에 공을 잡는 것 이 더 좋다. 바운드 직전에 공을 잡으려 하나 스텝이 맞지 않는 수비수의 낮은 자세는 위치에너지(E=mgh)를 작게 함으로써 안 정화시켜 실책을 줄일 수 있게 한다. 1) 한국야구위원회 경기규칙 10.13 실책(ERROR): 타자의 타격 시간을 연장시키거나 아웃될 주자(타자주자 포함)를 살려주거나 주자에게 1개 베 이스 이상 진루를 허용한 미스 플레이(공을 잡다가 놓치는 것, 공을 떨어뜨리는 것, 악송구 등) 는 실책으로 기록한다. m: 질량 146 야구수학스파크 SPARK 11 147

Q & A 11 g: 중력가속도 h: 높이 땅볼을 잡을 때에 자세를 낮추어 무게중심을 아래로 하지 않으면 엉거주춤한 자세가 되고 제대로 된 동작이 나올 수가 없다. Q. 야구공이 수직의 아래로 떨어질 때의 운동 방정식은 s = (1/2) gt 2 +v 0 t 이다. 여기서 자유낙하 즉 v 0 = 0라고 가정하고 야구공을 100m 상공에서 자유낙하하였을 때 공이 지면에 닿을 때의 속력을 구하라(단 중력가속도 g = 9.8m/sec 2 ). 외야수도 땅볼을 잡을 때에는 무게중심을 낮추어 잡는 것이 안정 적이다. 100m A. s를 미분하여 v를 구하면 v = gt 한편 s = (1/2)gt 2, t = (2s)/g 따라서 v = g (2s)/g, v = 2gs 식 1 위 식 1에 g = 9.8, s = 100을 대입하면 v = 1960 = 44.27(m/sec) 148 야구수학스파크 SPARK 11 149

12 투수가 던진 공의 궤적이 이루는 부피와 적분 투수가 던진 공의 궤적은 길이 18m 가량의 원기둥이 되는데 이 원기둥의 부피를 정적분(구분구적법)으로 구해 본다. 1. 적분의 뜻 152 2. 직구의 궤적의 부피 155 3. 변화구의 궤적의 부피 156 4. 직구/변화구 궤적의 부피의 비교 158

12 y Q 투수가 던진 공의 궤적이 이루는 부피와 적분 S T 투수가 던진 공의 궤적은 길이 18m 가량의 원기둥이 되는데 이 원기둥의 부피를 정적분(구분구적법)으로 구해 본다. P x O x R 적분의 뜻 1 위 OPQR의 면적을 구하기 위해서 OR을 7개의 x로 나누면 7개 적분은 미분과 매우 밀접한 관련을 갖 의 직사각형들의 면적을 합한 면적이 OPQR의 면적과 비슷해 진다. 는다. 미분과 적분은 동일한 것의 양 측면이라 볼 수 있다. 나아가 x를 무한히 미세하게 하면 개의 직사각형이 생기고 적분은 곡선 아래의 면적을 구하는 방법 이다. 아래 그림을 보자. 개의 직사각형들의 면적을 합한 면적은 OPQR의 면적과 동일 해진다. 다음 그림을 보자(위 그림의 SQT를 확대한 그림). 152 야구수학스파크 SPARK 12 153

Q 2 직구의 궤적의 부피 S x 1 공의 지름 7.4cm, 2 공은 직선으로 이동함(직구) 3 공이 투 수로부터 포수에게까지 도달하는 거리 18m 등을 가정하고, 공을 대원으로 자르는 면적 s(x)가 지나간 궤적의 총 부피를 정적분을 T 이용하여 구해 본다. (아래 그림). x 0 이면 SQT 는 0가 된다. 18m s(x) 위와 같은 원리에 의거하여 OPQR의 x를 무한히 0에 접근시 켜 잘게 나눈 후( 미분 ), 그 잘게 나눈 부분별 면적을 모두 더한 것( 적분 )이 곡선 아래의 면적 즉 OPQR의 면적이다. 반지름 0.037m [정적분] dx V = 18 0 s(x)dx = 18 0π(0.037) 2 dx = π(0.037) 2 1 8 0 1 dx = π(0.037) 2 18 154 야구수학스파크 SPARK 12 155

3 변화구의 궤적의 부피 변화구는 아래 그림과 같이 직구와 [정적분 (구분구적법)] V = π(0.037) 2 x 1 + π(0.037) 2 x 2 + π(0.037) 2 x 3 +... + 동일하게 진행하다가 홈 플레이트 근처에서 아래로 꺾여 진행한다 π(0.037) 2 x k +... + π(0.037) 2 x n 고 가정한다. n = π(0.037) 2 x k 식(1) k=1 18m 식(1)에서 n을 무한히 크게 하면 x 1 x 3 x 2 n lim π(0.037) 2 x k = π(0.037) 2 n lim x k n= k=1 n= k=1 xk x n = π(0.037) 2 18 [부피 계산의 방법] 위 직선거리 18m의 변화구의 경로를 무한히 잘게 나누어 본다. 그러면 무수히 많은 원기둥(각 원기둥의 높이는 0에 한없이 가 까우나 0는 아님)이 존재한다. 각 원기둥의 높이를 각각 x 1, x 2, x 3,, x k,, x n 이라 한다. 여기서 n은 무한대로 접근한다. 그리 고 잘게 나눈 원기둥을 다시 연결시켜 쌓아 본다. 계산은 아래와 같이 될 것이다. 156 야구수학스파크 SPARK 12 157

Q & A 12 4 앞에서 보듯이 변화구의 궤적에 대한 정적분 계산 결과와 직구의 궤적에 대한 정적분 계산 결과는 동일하다. 직구/변화구 궤적의 부피의 비교 Q. 원의 넓이를 아르키메데스는 소거법이라는 방법을 사용하여 구하였다. 이 방법은 원에 내접하는 다각형을 그리고 다각형 을 삼각형들로 나누어 삼각형 넓이의 합을 구하는 방법으로 서 다각형을 n 각형이라 할 때 n을 무한히 크게 하는 방법이 다. 이 방법으로써 원의 넓이를 구하라(단, 원의 둘레 L=2πr r=반지름). 그리고 위 계산 결과 값은 우리가 알고 있는 공식인 πr 2 h(r=반 지름, h=높이)와도 같다. A. π = 3.14로 두면, 3.14 (0.037) 2 18 = 0.08(m 3 ) 원을 무수히 많은 삼각형으로 나누면 각 삼각형의 밑 변은 s 0.08m 3 = 80,000cm 3 1, s 2, s 3,, s n 이다.원의 둘레 L=s 1 +s 2 +s 3 + = 80리터 +s n 이고 여기서 n은 무한대로 간다. 삼각형의 높이 는 h로 둔다. 1번째 삼각형의 넓이는 (1/2)(s 1 )h. 2번째 삼각형의 넓이는 (1/2)(s 2 )h. n번째 삼각형의 넓이는 (1/2)(s n )h. s 1 r h는 n이 무한대로 가면 r로 된다. 삼각형의 넓이를 전부 더하면 원의 넓이가 된다. 원의 넓이=(1/2)(s 1 )h+(1/2)(s 2 )h+ +(1/2)(s n )h =(1/2)(r)(s 1 +s 2 + +s n )=(1/2)(r)L=(1/2)(r)2πr=πr 2 158 야구수학스파크 SPARK 12 159

13 프로야구 관중 수는 몇 명으로까지 증가할까? 2012년 기준 C 도시의 프로야구 관중 수가 100만 명/1년이고 매년 극히 작은 비율로 증가한다고 가정하면 무한대의 시간이 지난 후에는 약 271만 8천 명/1년으로 된다. 1. 프로야구 관중 수 증가와 e 162 2. 폭포수 커브와 y=e x 그래프 164 3. 자연로그의 밑수 e 에 대하여 166

13 (1+1/x) x 식 (1) 그런데 위 식(1)에서 x에 1, 2, 3, 4, 5, 등을 차례로 대입시 프로야구 관중 수는 몇 명으로까지 증가할까? 2012년 기준 C 도시의 프로야구 관중 수가 100만 명/1년이고 매년 극히 작은 비율로 증가한다고 가정하면 무한대의 시간이 지난 후에는 약 271만 8천 명/1년으로 된다. 킨 후의 값은 2부터 시작하여 점점 커지며 x 인 경우 이 값은 2.718 (자연로그의 밑수 e)로 수렴해 간다. x =1 : 2.00 1 x =2 : 2.25 x =3 : 2.37 x =4 : 2.44 프로야구 관중 수 x =5 : 2.49 증가와 e x =10 : 2.59 2012년 기준 C 도시의 프로야 x =100: 2.70 구 관중 수가 100만 명/1년이고 매년 극히 작은 비율로 증가한다고 x : 2.718 가정하면 무한대의 시간이 지난 후에는 약 271만 8천 명/1년으로 된다. 따라서 무한대의 시간이 지난 후의 관중 수는 약 271만 8천 명이 된다. 무한대의 시간이 지난 후의 관중 수는 100만 명에 아래 식(1)의 극한값을 곱하면 산출 가능하다. 162 야구수학스파크 SPARK 13 163

2 폭포수 커브와 y=e x 그래프 낙차 큰 커브(일명: 폭포수 커브) y = e x, y = l n x의 그래프는 위와 같다(두 그래프는 y = x 그래 프를 축으로 대칭). 는 고 최동원 투수의 특기 중의 하나이었다고 기억한다. 함수 y = e x 는 미분을 하여도 그대로인 함수이다(y' = e x ). 즉 x 값의 변화에 따른 함숫값 y가 그 x값에서의 접선의 기울기와 일 낙차 큰 커브볼이 타자 앞에서 아래로 크게 휘는 궤적은 함수 y = 치한다. e x (e=자연로그의 밑수 e), y = l n 1) x 등의 그래프 모양과 유사하다. 이는 폭포수 커브의 야구공이 포수 쪽으로 갈수록 꺾이는 각도가 점점 커지는 것과 유사하다(단, 아래 위는 반대). 폭포수 커브볼의 y y=x 궤적을 y=ae bx (a, b=양수) 형태 그래프로 나타낼 수 있다. 여기 3 서 a, b 값의 크기에 따라 커브볼이 휘는 정도와 궤적이 달라진다. e y = e x 2.5 2 1.5 1 0.5 y = lnx -2-1 1 2 3 e x 1) l n = 자연로그 (natural logarithm). 지수와 로그의 관계 : 예로서 10 2 =100을 로그로 나타내면 log 10 100=2.(10=밑) 밑이 10인 로그를 상용로그 라 한다. 밑이 e인 로그를 자연로그 라 한다. 164 야구수학스파크 SPARK 13 165

3 아래와 같다. 자연로그의 밑수 e 에 대하여 lim ( 1 + 1 ) x = e x x e 로 귀결되는 극한값의 정리는 : 정리 (1) 파인만(Richard Phillips Feynman, 1918~1988)은 수학 을 모르는 자는 자연의 가장 깊숙한 곳에 깃들어있는 아름다움 을 포착하기 어렵다(To those who do not know mathematics it is difficult to get across a real feeling as to the beauty, the deepest beauty, of nature.) 라고 하였다. 야구와 자연, 그리고 e 는 모두 하나의 진리로서 통일되는 것 이 라 생각한다. 위 정리를 보면, x가 무한대로 갈수록 1/x는 0 으로 수렴하고 1/x에 1을 더한 값을 x(지수)번 곱하게 되는데, 지수 x는 무한대 e 및 자연로그(자연로그와 e는 역의 관계)는 물리현상, 자연현상 로 커진다. 즉 e는 극한값이다. 등에서 많이 발견되므로 세계적으로 수학자들은 e 를 기념하기 위하여 2월 7일을 e-day 로 정하여 행사를 갖는다. 이 e의 값은 2.7 이다. 변수 x가 무한대로 가는 경우의 극한값이 e라는 사실 로부터 자 연의 본질은 극한 내지 e의 성질과 연관된 것 이라 생각한다. 생성률 0 참고 폭포수 커브도 자연의 일부이므로 y = e x 그래프와 닮았다고 생각 한다. 우리가 생각하는 우주는 약 137억 년 전에 빅뱅에 의해서 거의 현재와 같은 모습을 갖추었다고 한다. 약 137억 년 전 166 야구수학스파크 SPARK 13 167

Q & A 13 에 무에서 유가 갑자기 생성되었으므로 생성률은 무한대 라는 이론이다. Q. 자연로그는 l n 으로 표기한다. y=2l n x의 함수의 그래프를 그리고 x = e 2 에서의 y 값을 구하라. 이 견해가 대부분의 과학자들의 지지를 얻고 있다. 그러나 수학적으로는 [물질은 생성된 것이 아니다. 생성률 = 0]가 더 아름다우므로 옳은 해석일 가능성이 크다 라는 A. 제리킹의 견해가 있다(10 lessons, 제리킹 저, 박영훈 역, 1 그래프: 과학동아북스 2011년 발행, 제434~435면 참조). y 나는 제리킹의 견해에 찬동한다. 왜냐하면 약 137억 년 전 4 에 무 였다면 그 무는 무엇이 없다는 의미에서 무인가 라 y=2l n x 는 물음에 답하지 못 할 것이기 때문이다. 2 원래부터 생성될 것도 없고 소멸하는 것도 없다는 의미에서 1 3 y=l n x 생성율은 0 라고 생각한다. e e 2-1 1 2 3 4 5 6 7 x 2 y=2l n x 에 x=e 2 을 대입하면, y=2l n e 2 =4l n e=4 168 야구수학스파크 SPARK 13 169

부록 참고문헌 부록 172 참고문헌 175

부록 한국야구위원회 경기규칙 (일부 발췌 인용) (5) 2루타(two-base hit 2B) (6) 3루타(three-base hit 3B) (7) 홈런(home run HR) (8) 루타(total base on safe hits TB) 2.07 BASE ON BALLS (베이스 온 볼스 볼넷) - 타자가 타격할 때 스 트라이크 존을 벗어난 투구 4개를 골라 1루에 출루하는 것을 말한다. 10.21 통계 총재는 공식통계원을 임명하여 10.02에 규정되어 있는 바와 같이 선 10.02 소정의 공식기록지는 영구적인 기록 통계를 작성하는 데 편리 수권대회에 출전한 모든 선수의 타격, 수비, 주루 및 투수 성적을 집 한 양식으로서 다음에 열거하는 각 항목의 숫자를 기입한다. 계하여 보존하게 한다. (a) 타자와 주자의 기록 항목은 다음과 같다. 통계원은 시즌이 끝난 뒤에는 선수권대회 경기의 개인 및 팀 기록이 (1) 타격을 완료한 횟수, 즉 타수(at bat AB). 단, 다음의 경우에는 기재되어 있는 보고서를 작성하여 총재에게 제출하여야 한다. 이 보 타수로 계산하지 않는다. 고서에는 각 선수의 성명을 명시하고, 타자는 좌타 우타 및 스위치히 (ⅰ) 희생번트 및 희생플라이 터를 구별하고 야수와 투수는 우투 좌투를 구별하여 기재한다. (중략) (ⅱ) 4구(base on balls 볼넷) (ⅲ) 사구(hit batter 타자맞힘) 10.22 율(PERCENTAGE)의 결정 (ⅳ) 방해 또는 주루방해로 1루에 나갔을 경우 각 율( 率 )의 계산법은 다음과 같다. (a) 승률은 승리경기수를 승, 패의 합계로 나눈다. (중략) (b) 타율은 안타수를 10.02(a)에 규정된 타수로 나눈다. (c) 장타율은 10.02(a)에 규정된 루타수를 타수로 나눈다. (2) 득점(run scored R)의 수 (d) 수비율은 풋아웃, 어시스트의 합계를 풋아웃, 어시스트, 실책의 합 (3) 안타(safe hit H)의 수 계로 나눈다. (4) 타점(run batted in RBI)의 수 (e) 투수의 평균자책점(earned run average, 방어율)은 자책점 합계에 172 야구수학스파크 부록 173

9를 곱하고 투구횟수로 나눈다. 참고문헌 [부기] 프로야구에서는 평균자책점을 계산할 때 ⅓, ⅔회 등 이닝의 일부분까지 포함한 투구횟수를 기준으로 한다. 1. 국내 문헌 [예] 9⅓회를 던져 자책점이 3이면 방어율은 2.89이다. (3 9 9⅓ = 2.89) 아마추어 야구에서는 평균자책점(방어 김성근, 김성근이다, (주)다산북스, 2011. 율)을 계산할 때 투구횟수의 ⅓은 버리고 ⅔는 반올림하여 계 빌브라이슨 저 이덕환 역, 거의 모든 것의 역사, 까치, 2003. 산한다. [예] 200⅓회는 200회로, 200⅔회는 201회로 한다. 제리킹 저 박영훈 역, 10 lessons, 과학동아북스, 2011. [주] 율을 산출할 때는 소수점 이하 4자리까지 계산하여 반올림 로버트 어데어 지음 장석봉 역, 야구의 물리학, 도서출판 한승, 2006. 한다. 노구치 유키오 저 김용운 역, 초학습법, 중앙일보사, 1996. (f) 출루율(on-base average)은 안타수, 4사구의 합계를 타수, 4사구, 네가미 세이야 지음 고선윤 옮김, 수학시크릿, 바다출판사, 2009. 희생플라이 합계로 나눈다. [부기] 출루율을 계산할 때는 방해나 주루방해에 의한 출루는 포함 2. 외국 문헌 시키지 않는다. Ron Larson Robert P. Hostetler Bruce H. Edwards, CalculusΙ Eighth Edition, Houghton Mifflin Company, 2006. Neil D. Jespersen, Ph.D., AP chemistry, Barron's Educational Series, Inc. 2003. 야마가타 히로오 번역, 수학이 전략을 결정한다, (주)문예춘 추 2007. 원저자:이안 에아즈(Ian Ayres), 원제목:Super Crunchers. 기요하라 가즈히로, 오토코미치( 男 道 ), (주)환동사, 2009. 사쿠라이 스스무, 재미있어 잠 못 자는 수학, 주식회사 PHP 에디터즈 그룹, 2010. 174 야구수학스파크 참고문헌 175

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