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1 Some Applications of Levy Processes to Finance 1. B-S model contains the constant volatility A method to improve it : Use stochastic volatility models: Example : Stochastic volatility is an Ornstein - Uhlenbeck process driven by a subordinator T(t)( see Barndorff-Nielsen and Shepard 2001). SV Market model :. where 2. Market is incomplete in Levy - based model There are more than one equivalent martingale measure. So there are more than one option pricing formula. A method to overcome it : Find the minimal entropy martingale measure. Minimal entropy martingale Measures : Incomplete Market 에서는 equivalent martingale measure 가많이 (infinite 일경우도있음 ) 존재하므로 market measure 을가장잘설명하는 risk neutral measure, 즉 와 equivalent 한 martingale measure 을찾아옵션가격또는 hedging 할때사용된다. Market measure 에관한정보를잘반영하는 risk-neutral measure 을찾기위에서는그반영정도를측정하는 와 사이에적절한 metric이있어야할것이다. 그 metric 으로잘알려진것이 Kullback-Leibler 가정의한 relative entropy 이다. 두측도 와 가서로 equivalent 할때. 에관한 의 relative entropy 는 ℇ( ) 로정의한다. 여기서기준이되는 measure 을 prior 라고부른다. 금융모형이론에서는시장측도 와서로 equivalent 한 martingale 가많이있을때, 그들에대한 relative entropy 가최소인것이찾아옵션가격또는

2 hedging 할때사용된다. 이렇게하여찾은 measure를 Minimal entropy martingale measure 라고한다. Relative entropy 개념을이해하기위해예를들어보자. 동전을던지는확률실험 에서앞면이면 1, 뒷면이면 0이라하자. 이때확률을 라고하자. 와 relative entropy measure가최소인 을찾아보자. 인모든 에대하여, 로정의된확률측도 는 Radon-Nykodym derivative 는 는 와서로 equivalent 이고그, 로 ℇ( ) 을최소로하는 여보면 1/2 이된다. 즉 이다. 이므 의값을구하