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욱 배
5 years ago
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2 σ σ σσ σ ε σ σ σ σ εσ σ 예제 1.1 ( 행렬식의계산 ) a = [2 1 0; 1 1 4; ] a = >> a(1,1)*det(a(2:3,2:3)) - a(1,2)*det(a(2:3,[1 3])) + a(1,3)*det(a(2:3,1:2)) -23 >> det(a) -23

3 예제 1.3 (Cramer's Rule) 다음선형연립방정식을풀어라. 3x + 2y + 4z = 1 2x - y + z = 0

4 x + 2y + 3z = 1 >> A = [3 2 4; 2-1 1; 1 2 3], b=[1 0 1]' A = b = >> x = det([b A(:,2) A(:,3)]) / det(a) x = >> y = det([a(:,1) b A(:,3)]) / det(a) y = 0 >> z = det([a(:,1) A(:,2) b]) / det(a) z = 예제 1.4 (reduded row echlon 행렬과가우스소거법 ) >> A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 0], b=[366; 804; 351] A =

5 b = >> R = [A b] % Augmented matrix R = >> R(2,:) = R(2,:) - R(2,1)/R(1,1) * R(1,:) R = >> R(3,:) = R(3,:) - R(3,1)/R(1,1) * R(1,:) R = >> R(3,:) = R(3,:) - R(3,2)/R(2,2) * R(2,:) % Row Echlon Form R = >> z = R(3,4) / R(3,3) % Back substitution z = 99 >> y = (R(2,4)-R(2,3)*z) / R(2,2) y = 22 >> x = (R(1,4)-R(1,3)*z-R(1,2)*y) / R(1,1) x = 25

6 예제 1.5 (inv(a) 와가우스소거법 ) >> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 0]; b=[366; 804; 351]; >> x=inv(a)*b % inv(a) 를이용한해법 x = >> x=a\b % 가우스소거법 (LU factorization) 을사용한해법 x = >> A=rand(10,10); b=rand(10,1); % 계산속도의비교, 11!= >> flops(0); x=inv(a)*b; flops % flops 명령은일부버전만제공됨 2645 >> flops(0); x=a\b; flops 1350 >> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; b=[366; 804; 351]; % 계산불능인경우 >> A\b Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = e 예제 1.6 ( 최소자승법의의한해 ) >> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0; 2 5 8] % 4 equations in 3 unknowns A =

7 >> b = [ ]' % a new r.h.s. vector b = >> x = A\b % compute the least squares solution x = >> res=a*x-b % this residual has the smallest norm. res = 예제 1.7 ( 최대영원소해와최소노름해 ) >> A = A' % create 3 equations in 4 unknowns A = >> b = b(1:3) % new r.h.s. vector b = >> x = A\b % solution with maximun zero elements x =

8 >> xn=pinv(a)*b % find minimum norm solution xn = >> norm(x) % Euclidean norm with zero elements >> norm(xn) % minimum norm solution has smaller norm!

12 예제 2.1 ( 투입 - 생산행렬과최종수요 ) >> A = [ ; ; ], D=[2; 1; 3] A = D = >> eye(3)-a >> inv(eye(3,3)-a) >> inv(eye(3,3)-a) * D >> ans - A * ans 예제 2.2 ( 생산과최종수요 ) 한복합기업 (conglomerate) 은세부분으로이루어져있는데컴퓨터와반도체를생산하는곳과사무팀으로나누어져있다. 각각 $1 의생산물을얻기위해서는, 컴퓨터분야는 $.02 어치의컴퓨터와 $0.20 어치의반도체와 0.10 어치의사무력이

13 필요하고, 반도체분야는 $.02 어치의컴퓨터, $.01 의반도체, $.02 의사무력이필요하며, 사무팀은 $.10 의컴퓨터, $.01 의사무력이필요하다. 이복합기업의판매견적서에서컴퓨터분야에 $300,000,000, 반도체분야에 $100,000,000, 그리고사무팀에 $200,000,000 을생산하도록요구했다면, 이요구를만족시키기위해각각의부서들은얼만큼을생산해야할까? >> A = [ ; ; ], D=[3e8; 1e8; 2e8] A = D = >> (eye(3,3)-a)\d 1.0e+008 *

15 예제 3.2 ( 간단한 Markov 모델 ) 한남자는 Chevrolet, Dodge, Mercury 를한대씩을가지고있다. 그는매일차를가지고사무실에출근한다. 그의운전습관은이틀연속으로같은차를타지않는것이다. 만약어느날그가 Chevrolet 으로출근했다면다음날 Dodge 나 Mercury 를탈

16 확률은똑같다. 만약 Dodge 로출근했다면다음날 Chevrolet 을몰확률은 0.7 이고, 만약 Mercury 로출근했다면다음날 Chevrolet 으로출근할확률은 0.4 이다. 그렇다면, 만약그가월요일에 Dodge 로출근했다면이틀후수요일에 Mercury 를몰고나갈확률은얼마인가? >> P = [0.5.5;.7 0.3;.4.6 0] P = >> [0 1 0] * P^ 즉, 수요일 Mercury 로출근할확률은 35% 이다. 예제 3.3 ( 고정점과확률벡터 ) [8, 9] 가 의고정점임을보이고, P의고정점인확률벡터를찾아라. >> format rat % format 명령은일부버전에만제공됨 >> P = [1/4 3/4; 2/3 1/3], A = [8 9] P = 1/4 3/4 2/3 1/3 A = 8 9 >> A*P

17 8 9 >> A / sum(a) 8/17 9/17 예제 3.4 ( 정규변환행렬 ) 변환행렬 는 regular 임을보이고, 행렬 는 regular 가 아님을보여라. >> P = [0 1; 1/4 3/4] P = 0 1 1/4 3/4 >> P*P 1/4 3/4 3/16 13/16 >> P = [1 0; 0 1] P = >> P*P

18 예제 3.6 ( 정규변환행렬과고정점 ) Asma Corporation(A), Bronkial Brothers(B), Coufmore Company(C) 는각각의회사가시장의 1/3 씩을점유했을때, 동시에새로운담배를선보이기로결심했다. 그러자그해동안다음과같은경우가발생했다 : (1) A 는소비자의 40 퍼센트를얻고 B 에 30 퍼센트를, C 에 30 퍼센트를잃었다. (2) B 는소비자의 30 퍼센트를얻고 A 에 60 퍼센트를, C 에 10 퍼센트를잃었다. (3) C 는소비자의 30 퍼센트를얻고 A 에 60 퍼센트를, B 에 10 퍼센트를잃었다. 각각의회사는 2 년말에시장에서얼마의몫을차지하고있겠는가? 또, 이제품을계속생산한다고가정하면, 이세회사의시장점유율은얼마에서안정되겠는가? >> format rat >> P = [.4.3.3;.6.3.1;.6.1.3], X=[1/3, 1/3, 1/3] P = 2/5 3/10 3/10 3/5 3/10 1/10 3/5 1/10 3/10 X = 1/3 1/3 1/3 >> X*P^2 % 2년후의시장점유율 37/75 19/75 19/75 >> format >> P^ >> P^4 % 4년후의시장점유율

19 >> P^6 % 6년후의시장점유율 오랜시간후에는 Asma Corporation 이시장의약 50% 를장악하고 Bronkial Brothers 와 Coufmore Company 는각각대략시장의 25% 를얻을것이다.

21 예제 4.2 ( 흡수체인의기본행렬 ) 앞의게임의예에대한 absorbing Markov chain 의 fundamental matrix 를계산하고결과를설명하라.

22 N 의원소들은 Mr. Slipstik 이만약 $1, $2, $3 을가지고시작한다면 absorption 전에똑같은양을가지는각각의횟수의 expected number 이다. 예를들어, 2 행 1 열의 15/13 은 $2 로시작했을때 $1 을가질횟수의 expected number 이다. 더욱이만약그가 $2 로시작했다면 N 의 2 번째행의원소들의합인 15/ / /13 = 50/13(3 에서 4 회사이 ) 은 absorption 전의경기의 expected number 를말해준다.

23 예제 4.4 ( 흡수상태로의확률 ) 예제 4.2 에서, (a) Mr. Slipstik 이돈을모두잃을확률과 (b) Mr. Slipstik 이총 $4 를가지게될확률을구하라. >> R = P(3:5, 1:2) R = 3/ /5 >> C = inv(eye(3)-s)*r 57/65 8/65 9/13 4/13 27/65 38/65 따라서, $2 로시작할때 MR. Slipstik 이돈을모두잃을확률은행렬 C 의두번째행과첫번째열의원소로주어진다. 즉, 45/65=9/13. C 의두번째행과두번째열의원소로부터그가총 $4 를가질확률은 20/65=4/13 이다.

25 예제 5.1 ( 정규변환행렬의극한 ) >> P = [1/2 1/2 0; 1/4 1/2 1/4; 0 1/2 1/2] P = >> P*P % P^2의모든성분이양수이므로 P는정규변환행렬이다 >> P^ >> P^ >> P^8 % 시간이지남에대라 P^k의각행은 [1/4 1/2 1/4] 로수렴한다.

예제 1.1 ( 관계연산자 ) >> A=1:9, B=9-A A = B = >> tf = A>4 % 4 보다큰 A 의원소들을찾을경우 tf = >> tf = (A==B) % A

예제 1.1 ( 관계연산자 ) >> A=1:9, B=9-A A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B = 8 7 6 5 4 3 2 1 0 >> tf = A>4 % 4 보다큰 A 의원소들을찾을경우 tf = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 >> tf = (A==B) % A 의원소와 B 의원소가똑같은경우를찾을때 tf = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> tf