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1 (Construct Surfaces from Knots) Hun Kim, Kyoung Il Park and R.Jooyoung Park Dept. of Mathematics and Computer Science, Korea Science Academy of KAIST Baekyanggwanmun-ro, Busanjin-gu, Busan , Korea Abstract 3 S 1 R 3 2 A Knot, in the language of mathematics, is an embedding of a circle S 1 into Euclidean 3-space, R 3. And a knot, as a simple closed curve in R 3, is the boundary of an orientable surface called a Seifert surface. In this workshop, participants will make Seifert surface from a knot using color cray. In fact, any orientable compact surface can be classified by calculating Euler characteristic and counting number of holes. So, participants will calculate Euler characteristic using a graph on the Seifert surface to classifing surface. (Knots) 3 S 1 R 3 1: [9] R 3

2 2: [9] 3 3: [9] 4 3 1, 3 (Seifert Surfaces) 3

3 (a) 1 (b) 2 (c) 3 4: [9] 5: 6 = = 6:

4 = = 7: = = 8: (Classification of Surfaces) 9: v e + f v e f 10 11,

5 10: v = 11, e = 14, f = 5 14, 5 v e + f = = = = = 11: = 12: 13 0

6 13: v e + f = = n n (a) (b) (c) 14: # 15: 3 3 v e + f = (10 3) (20 3) + (10 2) = 2 n v e + f = (n 5 (n 1) 3) (n 10 (n 1) 3) + (n 5 2 (n 1)) = 2 2n (1) k n k (1)

7 k k n v e + f = (n 5 (n 1) 3) (n 10 (n 1) 3) + (n 5 2 (n 1)) k = 2 2n k (2) 16 16: 16 v e + f = = 2 2 n (2) 2 2n k = 2 2n 2 = (Activity)

8 = = 그림 17: 활동 참고문헌 [1] Colin C. Adams. The Knot Book: An Elementary Introdcution to the Mathematical Theory of Knots. AMS, [2] Gerhard Burde and Heiner Zieschang. Knots. Walter de Gruyter, [3] J.C. Cha and C. Livingston. Knotinfo: Table of knot invariants. knotinfo. [4] David W. Farmer and Theodore B. Stanford. Knots and Surfaces: A Guide to Discovering Mathematics, volume 6 of Mathematical World. AMS, [5] Louis H. Kauffman. On Knots. Princeton University Press, [6] Dale Rolfsen. Knots and Links. AMS CHELSEA PUBLISHING, [7] Mereke van Garderen and Jarke J. van Wijk. Seifert surfaces with minimal genus. Proceedings of Bridges 2013, [8] Jarke J. van Wijk and Arjeh M. Cohen. Visualization of seifert surfaces. IEEE Trans. on Visualization and Computer Graphics, 12(4), [9] Wikipedia. Knot theory.

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