. 수의 체계 우리에게 가장 친근한 무한 은 무엇일까? 여러가지 답을 기대해볼 수 있을 것 같지만, 가장 기본적인 예를 들자면 수 를 꼽을 수 있을 것 같다. 수는 어째서 무한할까? 증 명은 어렵지 않다. 일단, 가장 기본적인 수인 자연수에 대해서, 자연수가 무한하다는

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1 Chapter 무한. 여는 글 예전에 한국예술종합학교의 몇몇 학생들이 주관한 칸토 오스티나토(Canto Ostinato) 라는 곡의 연주회를 관람한 적이 있다. 해당 공연을 주최를 담당한 한 학생의 블로그 에는 미니멀리즘 음악은 무한한 반복과 매우 느리게 감지되는 변화를 특징으로 하는 음악으로, 영원의 단면과도 같은 환영적 세계를 체험하는 장르라 할 수 있다 라는 설 명이 기재되어 있었다. 물론, 일상에서 통용되는 무한이라는 단어의 의미를 감안하면, 비록 음악에 대한 이해와 지식은 부족한 필자이지만, 해당 공연의 설명은 흠잡을 곳이 없다고 생각한다. 다만 아쉬웠던 것은, 설명에 기재된 무한 은 진정한 의미에서의 무한 과는 사뭇 거리가 멀었다는 것이다. 사실 무한이라는 말은 참으로 흥미로운 말이 아닐 수 없다. 무한이라는 단어는 지 난 수십세기에 걸쳐 셀 수 없을 정도로 자주 사용되어져 왔지만, 무한이라는 의미가 수학적으로 정립된 것은 불과 00년도 채 되지 않았기 때문이다. 자, 그렇다면 수학에서 정의하는 무한 이라는 단어는 무엇일까? 본 강의는 수학 에서 다시는 없을 위대한 발견, 무한에 대해서 다뤄볼 예정이다.

2 . 수의 체계 우리에게 가장 친근한 무한 은 무엇일까? 여러가지 답을 기대해볼 수 있을 것 같지만, 가장 기본적인 예를 들자면 수 를 꼽을 수 있을 것 같다. 수는 어째서 무한할까? 증 명은 어렵지 않다. 일단, 가장 기본적인 수인 자연수에 대해서, 자연수가 무한하다는 사실을 증명해 볼 것이다. 물론 친절한 필자는 자연수가 무엇인지 설명해줄 요량도 있고 말이다. 자연수란 흔히들 말하는 딱 떨어지는 수 를 말한다.,, 3, 등. 필자의 나이인 도,3, 필자가 좋아하는 숫자 79도,4 우리에게 익숙한 모든 딱 떨어지는 숫자는 모두 자연수이다.5 명색이 수학 세미나이니 만큼, 멋드러진 수학자들의 표기법을 지나 칠 순 없을 것 같다. 자연수의 집합의 기호로는 Natural Numbers의 앞 글자를 따 N 이라고 쓴다.6 수가 무한히 많다는 것을 증명하기에 앞서 집합이란 무엇인지에 대한 설명이 조금 필요할 것 같다. 집합이란 어떠한 조건에 부합하는 사물, 물건, 혹은 개념등의 모임 을 일컫는다. 여기서 조건이란 누가 보기에도 객관적이어야 한다 는 제약이 붙는다. 예컨데 숫자들의 집합 은 객관적이다. 누가 보기에도 은 숫자이며 철수는 숫자가 아 니기 때문이다. 마찬가지로 고흐가 그린 그림의 집합 이나 한예종 학생들의 집합 등은 객관적인 기준이다. 반면 멋진 남자들의 집합 혹은 향기가 좋은 꽃의 집합 등은 결코 객관적인 기준이 아니다. 집합의 예제로 들었던 고흐가 그린 그림의 집합 으로 돌아와보자. 고흐의 자화상은 해당 집합의 기준에 부합되니 집합에 포함되어있 다 고 할 수 있다. 이 경후 고흐의 자화상은 해당 집합의 원소 라고 일컬어진다. 반면 만종은 밀레의 작품이니 해당 집합의 기준에 부합되지 않는다. 이 경우, 만종은 해당 집합의 원소가 아니다. 집합에 대한 설명은 이 정도면 앞으로의 필자의 증명을 이해하는데 무리가 없을 듯 싶다. 그럼 이제, 자연수의 집합이 무한집합이다, 다시 말해, 자연수는 무한히 많다는 사실을 증명해보자. 물론 수학적인 방식으로 말이다. 정리.. 자연수는 무한히 많다. Proof. 자연수가 무한히 많지 않다고 가정해보자. 즉, 자연수는 유한히 많다고 가정해 보자. 이는, 유한히 많은 자연수를 오름차순으로 정리하면, 가장 마지막자리에 가장 큰 자연수가 오게 된다. 해당 숫자를 M 이라고 표기하자.

3 허나, 임의의 자연수 N 에 을 더한 N + 역시 자연수이다. 즉, M + 은 M 보다 더 큰 자연수이다. 고로 M 보다 더 큰 자연수가 존재한다. 하지만, 우리는 자연수는 유 한히 많고, 그들 중 가장 큰 수를 M 이라고 정의했기에 M 보다 더 큰 자연수는 존재할 수 없어야 한다. 고로 자연수가 유한하다는 가정은 위와 같은 모순을 이끈다. 그러므로, 자연수는 유한히 많다는 가정은 틀렸으며, 자연수는 무한히 많다.7 이러한 증명법은 귀류법이라는 논법으로, 증명하고자 하는 것이 거짓이라는 가정 하에서 모순을 이끌어내는 증명법을 말한다. 즉, 자연수의 개수가 무한하다는 것을 증명하기 위해서 자연수의 개수가 유한하다는 가정 하에서 하지만 가장 큰 자연수 M 보다 더 큰 자연수는 존재한다. 라는 모순을 이끌어 냄으로서 처음 짚었던 유한하 다 라는 가정이 틀렸음을 보여주는 방식이다. 이 방식은 수학에서 약 000년 이상동안 사용되어진 유서깊은 논법이다. 수의 체계에서 자연수는 사실 극히 일부이다. 자연수 말고 또 어떠한 숫자들이 있 을까? 마이너스가 앞에 붙은 음수도 있고, 몇분의 몇 따위의 분수도 있다. 수학자들은 각각의 수를 정확히 어떻게 정의하고 표기할까? 일단 자연수를 포함하고 있는 수로는 정수가 있다. 정수는 양의 정수, 음의 정수, 그리고 0으로 이루어져 있는데, 양의 정수가 앞서 말한 자연수이며, 음의 정수는 자 연수 앞에 마이너스 기호를 붙인 수, 즉,, 3, 따위이다. 정수의 기호는 Z 인데, 이는 자연수와는 달리 영어에서 따온 것이 아니다. Z기호는 독일어로 숫자라는 의미의 Zahlen의 앞글자를 변형시켜 만든 기호라고 한다.8 정수가 자연수와는 크게 다 를 바가 없어보이지만, 실상은 수학에서 가장 오래된 분야인 정수론을 떠받치는 기본 개념으로, 수학에서는 흔히들 사이에서는 자연수보다는 정수를 더 자주 사용한다.9 자연수가 정수에 포함된다는 사실은 정수의 정의만 보더라도 눈치챌 수 있다. 그 렇다면 정수를 포함하고 있는 수는 무엇일까? 다름아닌 유리수이다. 이름만 들으면 어려워 보이지만, 사실 그렇게 복잡한 개념은 아니다. 사실 유리수는 모든 분수 를 말한다. 조금 더 수학적 정의를 빌리자면 다음과 같다. 어떤 수 x가 x = pq 의 형태로 표현이 가능하다면 x는 유리수이다. 다만, 여기서의 p는 정수이며, q는 0이 아닌 정수여야한 다. 예를 들어, 는 분수로 = 의 꼴로 표현이 가능하기 때문에 유리수이다. 위의 예제와 비슷한 논리를 사용하면, 모든 자연수는 유리수라는 사실 또한 알 수 있다. 유 3

4 리수의 기호로는 Q를 사용하는데, 분수를 의미하는 Quotient Numbers에서 따왔다고 한다. 유리수에 대해서 조금 더 살펴보도록 하자. 앞서 이야기했듯, 자연수는 유리수이다. 그렇다면 모든 정수는 유리수일까? 양의 정수, 즉 자연수의 경우는 이미 보여주었으 니, 음의 정수의 경우를 보도록 하자. 이를테면 3은 3 로 표현이 가능하다. 비슷한 원리로 임의의 음의 정수도 모두 분수로 표현이 가능하다. 그렇다면 마지막으로 0도 유 리수일까? 물론이다. 0은 0q 의 형태로 나타낼 수 있다.0 단 여기서 q는 0이면 안된다는 조건이 붙는다. 자 그렇다면 어째서 분자는 0이어도 되지만 분모는 0이면 안되는 것일까? 해답은 간단하다. 수학에서는 어떠한 수도 0으로 나누는 것이 금지되어있기 때문이다. 심지어 0조차도 0으로 나누는 것이 금지되어있다. 수학은 자유로운 사고와 발상의 학문이지 만, 0으로 나누는 것 만큼은 금기 중의 금기이다. 사실 유리수까지만 하더라도, 우리가 상상하는 대부분의 숫자를 표현할 수 있을 것 같아 보인다. 그렇다면 역으로 물어보자. 분수로 표현이 불가능한 수가 과연 있기는 한걸까? 물론 있다. 바로 무리수이다. 중고등학교 과정의 수학을 잘 기억하고 있는 착한 학생이라면, 무리수는 순환하지 않는 무한소수 라는 점을 기억할 것이다. 예컨데, 같이 39의 패턴이 반복하는 무한소수는 분수로 나타낼 수 있으며, 고로 유 리수이다. 심지어 같이 소수점 첫째자리서부터 반복하지 않더라도, 반복되는 구간이 언젠가 나타나기라도 한다면, 역시 그 수는 분수로 표현 가능하다. 고로 유리수이다.3 그렇다면 π는 어떨까? π = 는 무한소수다. 그리고 순환하는 것처럼 보이지 않는다. 고로 무리수다? 글쎄, 수학자들은 그런 증명은 받아들일 수 없다. π 가 00자리마다 순환할지, 000자리마다 순환할지 모르는 일이다. 혹은, 처음 소수 점 천만자리까지는 반복이 없다가, 어느 순간 이후로 반복되는 구간이 나타날 경우도 배제할 수 없다. 다행히도 π는 무리수라는 것이 이미 증명되었다. 허나, π가 무리수라는 것을 증명 하는 건 매우 어려운 일이기 때문에, 해당 증명은 아쉽지만 생략하도록 하겠다.4 π가 유리수가 아니라는 것을 증명하지 못했다고 한 풀 꺾일 필요는 없다. 솔직히 고백하자면 학부를 갓 졸업한 필자역시 해당 증명을 혼자서 진행할 줄 모르기 때문 이다. 자 그렇다면, 어떤 수가 유리수가 아니라는 것을 증명해볼까. 여기 좋은 예제가 4

5 있다. 가 유리수가 아니라는 것을 증명해보도록 하자. 물론 그전에 제곱근( )기호 에 익숙하지 않은 독자들을 위해 제곱과 제곱근의 개념을 간단하게 한번 짚어보도록 하겠다. 제곱이란, 어느 수를 여러번 곱했다는 의미이다. 예컨데, 4는 를 두 번 곱한 수이 고, 9는 3을 두 번 곱한 수이다. (두 번 곱했다 와 를 곱했다의 개념을 헷갈리지 않도록 하자.) 물론 4 =, 9 = 3 3으로도 표기할 수 있지만, 수학자들은 4 =, 9 = 3 의 표기법을 선호한다. 두 번만 곱하는 제곱만 있느냐? 물론 아니다. 세 번을 곱하면 세제곱, 네 번을 곱하면 네제곱 등 개념을 확장시킬수도 있다. 표기법은 제곱과 별반 다를 바 없다. 예컨데 6 = = 4 이다. 반면 제곱근이란, 제곱에 반대되는 개념이다. 4는 를 두 번 곱한 수이다. 고로 4 의 제곱근은 이다. 마찬가지로 9의 제곱근은 3이며, 5의 제곱근은 5이다. 표기법으 로는 각각 4 =, 9 = 3, 그리고 5 = 5라고 쓴다. 제곱에도 세제곱, 네제곱이 있듯, 제곱근에도 세제곱근, 네제곱근이 있다. 예컨데 8은 를 세번 곱한 수이니, 8의 세제곱근은 이다. 해당 경우의 표기법은 3 8 = 로 한다. 자, 지금까지 제곱근은 딱 떨어지는 수 의 예제를 보여주었다. 물론 딱 떨어지지 않는 제곱근도 존재한다. 예컨데. 다시 한번 상기시키면 x = 는 x = 를 만족 시키는 수이다. 해당 값은 얼마일까?? 은 너무 작다. 의 제곱, = 인데 이는 에 턱없이 부족하기 때문이다. 그렇다면 는 어떨까? 글쎄. 는 너무 큰 것 같다. = 4 인데, 4는 보다 너무나 크기 때문이다..5는 적절한 숫자일까?.5 =.5, 아쉽게도 보단 조금 더 크다..5도 정답은 아닌 것 같다..4 정도면 괜찮을까?.4 =.96. 아깝게도 0.04정도가 빗나간다. 이 정도면 그래도 만족스러운 값이 아니냐고? 공학이 라면 모르겠지만 아쉽게도 수학에서는 만족스러울 정도의 근사치 는 결코 정답으로 간주하지 않는다. 계산기의 힘을 빌려 계산해본 결과, 의 값은 이 다. 성급한 독자라면 음 딱 봐도 순환하지 않는 무한소수네. 이정도면 는 무리수 라고 봐도 되지? 천만에 말씀이다. 유리수가 순환하지 않는 무한소수 라 했지만, 아쉽게도 순환 에 대한 기준은 매우 관대하다. 앞서 이야기했듯, 가 00자리에 서 혹은 000자리에서. 아니 몇십만, 몇백만 자리의 순환이 없다고 장담할 수는 없는 노릇이다. 그리고 그렇게 순환하는 소수들은 모두 유리수이다. 다시 위에 기재된 의 값을 살펴보자. 주어진 소수가 00자리, 000자리, 아니 엄청나게 큰 자리수마다 순환하지 않는다는 것을 어떻게 확신할 수 있겠는가. 그것이 수학자들이 위의 논리를 5

6 증명으로 치지 않는 이유다. 자, 원래의 정의로 돌아와보자. x가 유리수라면 x = ab 를 만족하는 정수 a와 0이 아닌 정수 b가 있어야 한다. 그렇다면 귀류법을 사용해서 가 유리수라는 사실을 증명해보도록 하자. 정리.. 는 무리수이다. Proof. 가 유리수라고 가정해보자. 그렇다면 는 분수의 형태로 표현이 가능하다. = ab 를 만족하는 기약분수(더 이상 약분이 불가능한 분수) ab 가 있다고 가정해보 자5 a =. b 이제 양변에 제곱을 취해보도록 하자. 등식은 그럼에도 변함은 없다. = a b 는 제곱했을 때 가 나오는 수라고 정의했다. 양변에 제곱을 취함으로써, 다음과 같은 식이 성립하게 된다. a = = b = a b a = b 의 우변, 즉 b 에는 앞에 가 곱해져있다. 임의의 자연수에 가 곱해지면 짝수이니, a 는 짝수여야 한다. 만약 a가 홀수라면, 홀수에 홀수를 곱하면 홀수이니, a 는 홀수가 되어버린다. 즉 a 가 짝수라면 a역시 짝수여야 한다. a가 짝수니 a는 로 나눌 수 있고, 그 나눴을때의 값을 c라고 표기하자. 즉 a = c로 다시 표현이 가능하다. 그럼 다시 위의 등식으로 돌아가보자. b = a = (c) = 4c = b = c 자, 이번엔 b = c 라고 나온다. 위와 마찬가지로, c 가 짝수든 홀수든 상관없이 b 는 짝수여야만 한다. 고로 b는 짝수다. = ab 라고 가정했으며, 해당 분수는 약분이 불가능하다고 가정했다. 즉 a와 b를 동시에 나눌 수 있는 수는 이외에는 없어야 된다는 의미이다. 하지만 a와 b가 동시에 짝수라면 a와 b가 둘다 로 나뉠 수 있다는 의미이다. 즉 우리의 두번째 가정인 ab 는 약분이 불가능하다 가 무너져내렸다. 6

7 다시말해, 를 기약분수인 ab 의 꼴로 표현할 수 없다. 고로 는 유리수가 아니다. 즉, 는 무리수다. 사실 이러한 귀류법적 증명을 처음 접했다면, 의구심이 들 수도 있다. 아니, a와 b가 둘 다 짝수일수도 있지, 언젠가 약분을 계속하다보면 어떤 분수형태로 나올 수 있을 법도 한거 아닌가? 아쉽게도, a와 b가 둘 다 짝수다(다른 말로, a와 b가 둘 다 로 나뉘어진다)는 것이 보여진 순간부터 이미 초반에 가정했던 ab 는 약분이 불가능하 다는 가정이 무너져내렸다. 귀류법은 사실 a가 몇이고 b가 몇이더라 등의 세부사항에 중점을 두는 것이 아니라, 초반에 제시한 가정들이 어떠한 모순을 불러일으키느냐에 중점을 둔다. 여기서는 는 유리수다 라는 가정과 = ab 를 만족하는 분수 ab 는 약분이 불가능한 형태의 분수이다. 라는 두가지 가정이 모순을 이끌어내었다.6 사실 비슷한 증명으로 3, 5등이 무리수임을 보여줄 수 있다. 증명법을 조금 더 확장시키면, n이 제곱수7 가 아니라면 n은 항상 무리수라는 사실 또한 알 수 있다. 도전적인 독자들이라면 5이 무리수라는 사실을 증명해보길 권유한다.8 자 여태껏 우리는 숫자에는 유리수와 무리수가 있다는 사실을 배웠다. 그리고 유리 수와 무리수가 서로 반대되는 개념이라는 것과, 유리수의 예제와 무리수의 예제까지 이해했다. 유리수와 무리수를 모두 합한 개념을 실수라 하는데, 실제로 존재하는 수 를 의미한다.9 표기법으로는 R이며 영어인 Real Numbers의 R자를 따왔다. 아래는 수의 체계의 이해를 돕기 위한 도표이다. 무리수 정수 아닌 유리수 실수(R) 자연수(N) 유리수(Q) 정수(Z) 0 음의 정수 자, 이제 무한을 이해하기 위한 재료들은 얼추 모인 듯 하다. 그럼 이제, 무한을 요 리해보기 위한 기술이 필요하다. 중고등학교때 수학을 싫어했던 학생들께는 미안한 말이지만, 이제부터는 간단한 함수론 을 다뤄볼까한다. 7

8 .3 함수론 함수라니, 이름만 들어도 끔찍하다. 도대체 함수를 왜 알아야 되는거지? 도대체 함수가 무한이랑 무슨 상관이 있는거지? 이런 반응을 예상해본다. 사실 중학교 고등학교 수학교육에서는 함수를 너무 어려운 개념으로 설명하고 있 다. 함수는 이래야 되고, 저래야 되고, 정의역은 무엇이고 치역인 무엇이고 등. 너무 복잡한 설명이 아닐 수 없다. 그래서 필자는 함수를 쉽게 설명하고자 함수를 어떠한 물건에 비유해서 설명해 볼 것이다. 바로 자판기이다. 당신 앞에 자판기 한 대가 있다고 가정해보자. 이 자비로운 자판기는 돈을 지불하지 않아도 버튼만 누르면 음료를 딱딱 내 뱉는다고 한다. 이렇게 착한 자판기에 이름도 붙여주지 않고 넘어갈 수는 없는 노릇이다. 이름은 무엇으로 할까? 아쉽게도 필자는 자판이 라는 이름 말고는 더 괜찮은 이름을 떠올릴 수 없어, 자판이 라고 이름짓기로 하였다. 자판이의 버튼을 차례로 살펴보자. 번에는 코카콜라, 번은 펩시콜라, 3번은 맥콜 등... 당신이 코카콜라를 마시고 싶다고 가정하자. 그렇다면 주저없이 번을 누를 것이다. 그럼 자판기는 코카콜라를 줄 것이다. 자판이가 다른 음료를 내뱉는 일도, 두 가지의 다른 음료를 내뱉는 일 또한 없을 것이다. 자판이는 당신이 어떤 버튼을 누르면 어떤 음료를 주겠다는 약속과 같다. 그리고 그 약속이 바로 함수이다. 이제 버튼을 숫자로 바꿔보자. 자판이라는 함수는 일반적인 수학의 표기법에 따라 f 라고 두자. 그리고 아래 자판이의 메뉴를 살펴보자. 쌍화차 스타벅스 커피 코카콜라 5 펩시콜라 6 여명 맥콜 4 85콜라 9 7 여명 편강탕. 삼다수 깜찍이소다(품절)... 자 당신이 번 버튼을 눌러서 코카콜라를, 3번 버튼을 눌러서 맥콜을 뽑았다라는 것은 수학적인 기호로는 다음과 같이 표기할 수 있다. f () = 코카콜라, f (3) = 맥콜 자 그러면 언제 우리의 친구 자판이가 오작동을 한다고 말할 수 있을까? 일반 자 판기라면 물건이 잘못 나오는 경우를 생각할 수 있겠지만, 우리의 자판이는 그럴 일은 8

9 없다고 가정하자.0 그렇다면 물건이 안 나온다고 오작동한다고 할 수 있을까? 꼭 그 렇지는 않을 것이다. 위의 메뉴판을 다시 보면 번 물품은 이미 품절되었다. 당신이 정말로 깜찍이소다를 원한다 한들 이미 품절된 물품은 아무리 버튼을 눌러도 나오지 않을 것이다. 하지만, 그건 자판이의 잘못은 아니다. 다른 버튼을 눌렀는데 같은 음료 가 나온 경우는 어떨까? 예컨데, 당신은 6번과 7번을 눌렀다. 하지만 둘 다 여명 808 이 나온다. 이런 경우가 자판이가 잘못 작동한 것일까? 물론 아니다. 애시당초 6번과 7번은 여명 808이 나오도록 설정이 되어있기 때문이다. 마지막 경우를 들어보겠다. 당신이 시원한 맥주를 한잔 하고싶다고 가정하자. 하지만 왠걸, 자판이는 누구에게나 열려있는 자판기라, 술은 판매를 하고 있지 않다고 한다. 하지만 그 경우 역시 자판이를 탓할 수는 없는 노릇이다. 그렇다면 어느 경우에 자판이의 오작동을 탓할 수 있을까? 사실 단 하나의 경우밖 에 없다. 당신이 번을 눌렀는데 코카콜라와 펩시콜라가 동시에 나오는 경우다. 물론 현실에서라면 두 개의 음료수가 나오는 것은 이른바 땡잡은 일이지만, 아쉽게도 수 학에서는 그렇지 않다. 두 개의 다른 음료수가 한 버튼을 눌러서 나왔을 때, 그것은 더 이상 제대로 작동하는 자판이가 아니다. 자, 이제 함수로 돌아와보자. 일단, 첫번째로 숫자버튼을 정의역, 그리고 제품을 치역 이라고 정의한다. 조금 더 수학적인 해석으로 해보면, 숫자버튼들의 집합을 X, 제품들의 집합 Y 라고 부르면 우리의 자판이는 f : X Y 라고 쓸 수 있다. 위의 정작동과 오작동의 예제를 다시 한번 살펴보자. 자판이가 버튼을 눌렀는데 물건이 나오지 않는 경우가 있다고 했다. 예컨데, 을 눌렀는데, 음료가 안나온다. 의 예제를 수학에 비유하면, f ()의 값이 정의가 되지 않았다. 의 경우로 생각할 수 의 경우를 생각해 볼 수 있을 것이다. x의 자리에 있다. 예컨데, 함수 f (x) = x 을 대입하면 0 이 나오며 0으로 나눠버리는 사태가 발생한다. 이 경우는 정의가 되지 않는다 의 경우이며, 앞서 자판이의 예제에서 이야기했듯, 이는 자판이의 오작동은 아니다. 즉, 함수가 아닌 건 아니라는 것이다. 또, 두 개의 다른 버튼을 눌렀는데 같은 음료가 나왔다고 자판이의 오작동을 의심할 수는 없다고 했다. 이것은 무슨 의미냐, f (x)라는 함수에 두개의 다른 숫자 x와 y를 대입했는데 f (x) = f (y)와 같이 나와버린 경우이다. 예를 들라면, f (x) = x 를 들 수 있겠다. x에 를 대입해도, 를 대입해도 둘 다 4가 나오기 때문이다. 앞서 이것이 자판이의 오작동이 아니라 말했듯, 이 경우도 아무런 하자없는, 잘 정의된 함수이다. 당신이 원하는 음료가 없다고 해서 그것 또한 자판이의 잘못은 아니라고 위에서 9

10 거론했었다. 이 경우는 무엇이냐, 당신이 어떤 함수 f (x)가 4가 되는 x값을 원한다고 생각하자. 하지만 어떠한 숫자 x도 4를 내뱉지 않는 경우에 해당한다. 하지만, 이 역 시도 이것은 함수가 잘 정의되지 않은 것이 아니다. 자판이가 잘 작동했듯, 함수도 잘 정의된 것이다. 다만, 아쉽게도 이 함수는 4를 내뱉는 일이 없을 뿐이다. 자판이의 오작동은 한 버튼을 눌렀는데 다른 두 음료가 나오는 경우라고 했었다. 이것을 함수에 비유하면 무슨 의미냐? f (x)라는 함수에 x에 4를 넣었다고 가정하자. 근데 왠걸, f (4)가 와 를 동시에 내뱉는 게 아닌가? 이 경우는 함수가 잘 정의되지 않았다고 한다. 즉 함수가 언제 잘못 정의되었냐? 라는 질문의 답은, 하나의 값을 대입했을 때, 두 개 이상의 값이 나오는 경우 라고 할 수 있다. 그렇다면 함수와 함수가 아닌 것에 대한 수학적 예제를 한번 살펴보고 넘어가자. 예컨데 f (x) = x + 은 함수다. 당신이 x = 을 대입하면, f () = + = 3이 나올 것이다. x = 을 대입하면 f ( ) = + = 0이 나올 것이고 말이다. 아주 훌륭한 함수의 예제이다. f (x) = x의 경우는 어떨까? 당신이 x값에 어떤 수를 대입하든, f (x) 는 단 하나의 숫자만을 내뱉을 것이다. 또 하나 f (x) = 0이라는 식을 보자. 아무리봐도 오른쪽 변에는 x가 안보인다. 하지만, 너무 당황할 필요는 없다. 이 식의 의미는 당신이 어떤 x값을 고르던 항상 f (x)는 0 을 내뱉겠다는 의미이다. 이것도 함수일까? 물론이 다. 앞서 말한 여명 808의 극단적인 예제라 할 수 있다. 적어도 한 숫자를 넣었는데 두 다른 숫자가 튀어나온 것은 아니니 함수가 아닐 이유는 없다. 반면 f (x) = ±x같은 경우는 함수가 아니다. x를 대입하면 두가지 다른 숫자인 x 와 x를 내뱉겠다는 의미이다. 예를 들어, x = 라고 하면 이 식은 와 를 동시에 내뱉은 것이다. 즉, 이러한 경우는 올바른 함수라고 할 수 없다. 자 이제 함수의 정의도 알았겠으니, 전사함수와 단사함수에 대해서 알아보도록 하겠다. 자판이를 사랑하는 여러분들에겐 미안한 말이지만, 전사함수와 단사함수의 개념에 대해서 설명하는데에는 자판이가 필요 없어 보인다. 아쉽지만, 돈을 넣지 않아 도 마실 것이 꼬박꼬박 나오는 가상의 자판기와는 이제 그만 작별할 시간이다. 일단 단사함수에 대해서 알아보겠다. 아래의 그림을 살펴보자. 함수에 대한 정의를 다시 한번 상기하자면, 함수 f (x)란, 임의의 x값에 단 하나의 y 값이 나오는 약속이라 하였다. 위의 그림을 보면 왼쪽 집합 X에는 숫자들이, 오른쪽 집합 Y 에는 알파벳들이 기재되어있다. 앞서 이야기했듯, X는 정의역, Y 는 치역이라 고 일컫는다. 위의 그림.: 단사함수와 비단사함수 를 보면, 왼쪽 그림에는 X에 해당하는 모든 숫자가 Y 의 각기 다른 알파벳에 대응되고 있다. 반면 오른쪽 그림에는 0

11 Figure.: 단사함수와 비단사함수 X의 3과 4가 Y 의 C에 대응되고 있다. 단사함수란, 정의역 X에 해당하는 원소들이 모 두 다른 치역 Y 의 원소들에 대응하는 함수를 일컫는다. 오른쪽의 경우는 두개의 다른 정의역의 원소 3과 4가 둘다 치역의 원소 C에 대응하기 때문에 단사함수가 아니다. 그렇다면 임의의 함수가 단사라는 건 어떻게 증명할 수 있을까? 두개의 다른 값 x와 y를 함수에 대입했을 때 f (x) = f (y)가 나와버린다면 함수는 단사가 아니라고 했다. 즉 단사라면, x 6= y 이면 f (x) 6= f (y)여야만 한다는 의미이다. 이는 f (x) = f (y) 이면 x = y이어야 한다는 의미와 동치이다.3 다시말해, f (x) = f (y)면 x = y라는 사실을 보여주면, 자동적으로 함수가 단사라는 것이 증명되어진다. 이제 단사함수와 비단사함수의 예제를 살펴보자. f (x) = x를 보도록 하자. f (x) = f (y)를 성립하는 두개의 다른 값 x와 y가 있을까? f (x) = f (y)라는 의미는 x = y 라는 의미와 같다. 양변의 를 나눠주면 x = y. 즉 f (x) = x일 때, f (x) = f (y)는 자동적으로 x = y을 의미한다. 고로 두개의 다른 값 x, y 가 같은 하나의 값에 대응하는 일은 없다. 다시말해, f (x) = x는 단사함수이다. 반면 f (x) = x 는 단사함수가 아니다. x = 라면 f () = = 4 가 된다. 또 x = 라면, f ( ) = ( ) = 4가 된다.4 고로 f (x) = x 의 경우는 단사함수가 아니다. 자, 이번에는 전사함수에 대해서 알아보도록 하자. 다시 그림.: 단사함수와 비

12 단사함수 를 보면, 왼쪽 함수는, f () = D, f () = B, 그리고 f (3) = A이다. 하지만 정의역 X의 어떤 원소도 치역 Y 의 원소 C에는 대응되지 않는다. 이 경우 우리는 해당 함수가 전사함수가 아니다 라고 일컫는다. 반면 오른쪽의 함수는 치역 Y 에 있는 모 든 원소가 정의역 X의 어떠한 원소와는 모두 대응된다. 예컨데, f () = D, f () = B, 그리고 f (x) = C를 만족시키는 x는 무려 개나 된다. 이처럼 Y 의 모든 원소가 소모 된 경우를 전사함수 라고 다. 즉, 전사함수란 f : X Y 가 치역 Y 에 있는 모든 원소가 정의역 X에 있는 어떠한 원소에 각각이 대응되어지는 경우를 말한다. 즉, 이 경우 왼쪽은 비전사함수, 오른쪽은 전사함수라 일컬을 수 있겠다. 그렇다면 어떠한 함수가 전사함수인지 아닌지 어떻게 하면 알 수 있을까? 전사함 수라는 의미는, 다시말해 치역 Y 있는 아무 원소도 정의역 X에 있는 어떠한 원소와 대응된다는 의미이다. 치역 Y 에 있는 임의의 원소를 y라고 둘 때, f (x) = y를 만족하는 x값을 찾아주면 된다. 예컨데, f (x) = x + 라는 함수가 있다고 가정하자. 치역 Y 에 y라는 함수에 대응되는 정의역의 원소는 무엇일까? 아래와 같은 간단한 사칙연산을 통해서 알 수 있다. f (x) = x + = y = x = y = x = 즉, 어떠한 치역의 y도, x 를 y 로 y. 설정한다면, f (x) = y가 성립하게 된다. 전사함수와 비전사함수의 예제로는 무엇이 있을까? 전사함수의 예제는 앞서 말한 y = x + 이 괜찮은 예제라 할 수 있겠다. 반면 f (x) = x 는 전사함수가 아니다. 왜냐하면 y = 4를 만족시키는 정의역의 원소 x가 없기 때문이다.5 그렇다면 그림.의 왼쪽은 단사함수이지만 전사함수는 아니고, 오른쪽은 전사함 수이지만 단사함수는 아닌 경우이다. 전사함수이면서 단사함수인 경우는 없는걸까? 물론 있다. 그림.: 전단사함수 를 살펴보자. 일단 이 함수는 단사함수이다. 왜냐하면, 정의역 X에 있는 어떠한 두 다른 원소도 치역 Y 의 한 원소로 대응되어지지 않기 때문이다. 더 나아가, 치역 Y 에 있는 모든 원소는 정의역 X에 어떠한 원소에 대 응한다. 즉, 이 함수는 단사함수이며 동시에 전사함수이다. 해당 경우를 전단사함수라 부른다. 전단사함수의 그림을 주목하면 특이한 점을 하나 발견할 수 있다. 그것은 정의역 X에 있는 원소의 개수와 치역 Y 에 있는 원소의 개수가 동일하다는 점이다. 다시 그림.로 돌아가면, 왼쪽에 해당되는 단사함수이지만 전사함수가 아닌 함수 는 정의역

13 6 Figure.: 전단사함수 X에 있는 원소의 개수는 3개, 치역 Y 에 있는 원소의 개수가 4개였다. 반면, 오른쪽에 해당되는 전사함수이지만 단사함수가 아닌 함수 는 정의역 X에 있는 원소의 개수는 4개, 반면 치역 Y 에 있는 원소의 개수는 3개였다. 이를 수학적으로 조금만 더 정리해보자. f : X Y 라는 함수가 있을 때, X의 원소의 개수를 X 로, Y 의 원소의 개수를 Y 라고 표시해보자. 그렇다면 f 가 단사함 수일 때에는 X Y 를 의미하고, f 가 전사함수일 때에는 X Y 를 의미한다. 그러므로 f 가 전단사함수라면 X Y 이며 동시에 X Y 라는 의미가 된다. 즉, X = Y 라는 뜻이다. 그래서 X의 원소의 개수랑 Y 의 원소의 개수랑 같다는게 무한이랑 무슨 상관인 대? 라고 반문할 수 있다. 아주 중요한 상관이 있다. 전단사 함수의 정의역의 크기와 치역의 크기가 같다 라는 식은 다음 두가지 의미로 해석되어질 수 있다. 첫번째로, 우리가 두 집합을 연결하는 전단사 함수 f 를 찾아낼 수만 있다면, 두 집합의 크기가 같다는 의미가 된다. 두번째로, 그 집합의 크기가 무한하더라도, 다른 무한한 집합과의 전단사 함수를 찾아낼 수만 있다면, 두 무한은 같은 크기 의 무한이 된다는 의미이다. 이 장황한 함수론 끝에 우리는 이제 무한을 비교할 수 있는 강력한 무기를 손에 넣은 셈이다. 3

14 .4 가산무한 당신이 무언가를 헤아린다고 가정해보자. 예컨데, 당신 학교의 학생 수를 헤아린다고 가정해보자. 그렇다면, 당신은 사람들을 한줄로 세워놓고 한명 한명 가리키면세 숫자 를 셀 것이다. 철수를 가리키며 하나, 영희를 가리키며 둘, 이런 식으로 말이다. 사실 이 과정은, 당신 함수의 역할을 하고 있는 것이며, 한 학생에 한 숫자씩 대응해 나가는 것이다. 현명한 당신은 두 다른 학생을 하나의 숫자에 대입하는 일은 없을 것이다. (단 사함수이다!) 그리고, 모든 학생들에게 각각의 숫자를 하나씩 대응해주었다면, 더 이상 숫자를 세기를 멈출 것이다. (전사함수이다!) 고로 당신은 지금까지 센 숫자의 집합과 학생의 집합 사이의 훌륭한 전단사 함수를 만들어낸 것이다. 고로, 학생의 수는 당신이 센 숫자와 같다. 사물을 헤아린다는 의미는 즉, 사물을 자연수의 집합에 대응시켜 나가는 과정을 일컫는다. 자연수 집합 N이 무한하다는 사실은 이미 증명했다. 고로, 어떠한 집합 Y 와 N를 연결하는 전단사함수 f 가 존재하면 Y 의 원소의 개수는 셀 수 있는 무한 이라고 정의될 수 있다. 셀 수 있는 무한을 가산무한 이라고 일컫는다. 자 그렇다면, 자연수 말고 또다른 가산무한의 예에는 어떤 것들이 있을까? 5보다 큰 자연수의 집합 역시 가산 무한이다. 잠시만, 5보다 큰 자연수의 집합은 자연수의 집합보다 크기가 작지 않아? 원소가 5개나 빈다구! 라는 생각이 든다면, 앞서 소개한 무한을 비교할 수 있는 우리의 무기 함수를 떠올려주길 바란다. 5보다 큰 자연수의 집합을 N5 라고 하면, f : N N5 라는 함수, f (x) = x + 5를 만들 수 있다. 해당 함수 가 전단사함수라는 증명은 지금까지 열심히 읽은 독자여러분들께 맡겨보도록 하겠다. (해당 함수가 전단사라는 가정하에) N에서 N5 의 전단사 함수가 있으므로, 자연수의 개수와 5보다 큰 자연수의 개수는 같다라는 결론이 나온다. 이번에는 f (x) : N Z의 함수를 만들어볼까 한다. 다음의 함수식을 보자. ( f (x) = : x가 홀수일 때 x+ x : x가 짝수일 때 아마 여러분들이 보통 아는 함수와는 사뭇 다른 형태의 함수일 것이다. 이 함수의 규칙은 다음과 같다. x가 홀수라면 f (x) = x+ 이며, x가 짝수라면 f (x) = x 가 된다. 예컨데 x = 3이라면, 3은 홀수이니, f (3) = 3+ = 가 되고, x = 라면, 는 짝수이니, f () = = 0이 된다. 마지막으로 x = 4라면, 4는 짝수이니 4

15 f (4) = 4 = 이다. 해당 함수는 모든 홀수와 짝수를 정의역으로 삼기에, 정의역을 N이라 정의할 수 있고, 양의 정수(x = 4인 경우), 음의 정수(x = 3인 경우), 그리고 0(x = 인경우)을 모두 포함하니, 치역으로는 정수 집합 Z을 기대해볼 수 있을 것 같다. 함수를 만들었다고 끝이 아니다. 이 함수가 전단사함수인지 확인해야만이 N의 크 기와 Z의 크기가 같다는 것이 증명된다. 일단 단사함수인지 확인해보자. 만약 f (x) = 이고 f (y) = y+ 라면 f (x) = f (y)는 x+ = y+ 를 의미하며, 이는 x = y를 x+ x x x 유도한다. 반대로 f (x) = 이고 f (y) = 이면, = y 이다. 각 변에 을 더해주면 x = y, 그리고 각 변에 다시 를 곱해주면 x = y가 나온다. 즉 두 경우 둘 다 f (x) = f (y)는 x = y를 의미한다.7 자 그렇다면 이번에는 이 함수가 전사함수임을 보여보자. 임의의 정수 z가 있다고 가정하자. 만약에 z가 양의 정수라면, f (x) = z를 만족시키는 x값이 있을까? z가 양 의 정수라 했으니, f (x) = x 의 경우여야만 한다. (다시 말하지만 f (x) = x+ x 의 경우는 음의 정수밖에 내뱉지 못한다.) 즉 = z로 둘 수 있다. 해당 식을 풀면 x = (z + )이 나온다. 즉, 임의의 양의 정수 z를 갖기 위해, f (x)라는 함수 에 x = (z + )을 대입하면 된다. 예컨데, z = 0이라면, x = (0 + ) = 를 = 0이 된다. z가 0인 경우는 앞에서 이미 거 대입하면 는 짝수이니 f () = 론했으니(x = 인 경우이다.), z가 임의의 음의 정수인 경우를 생각해보자. 그렇다면 f (x) = x+ = z이다. 즉, (x + ) = z 이며, 고로 x = z 이라는 식이 나온다. 예컨데 z = 5라면, x = ( ) ( 5) = 9로 두면, 9는 홀수이니 f (9) = 9+ = 5 가 된다. 즉 해당 함수는 전사함수이다. 고로 f 는 정의역을 N으로 삼고 치역을 Z로 삼는 전단사 함수 이다. 고로 자연수의 개수는 정수의 개수와 동일하다. 사실 여기까지 본 독자들은 혼란스러울 수도 있다. 아니 척 보기에도, 정수가 자 연수보다 두배는 더 많아 보이는데? 어째서 자연수와 정수의 크기가 같다는 거야? 하지만 앞서 N과 N5 의 예제에서 말했듯, 한 집합 X가 다른 집합 Y 를 포함한다고 X의 크기가 Y 의 크기보다 무조건 큰 것은 아니라고 했다. 자연수의 집합 N이 정수의 집합 Z에 포함되는 건 사실이다. 하지만, 그렇다고 정수의 개수가 자연수의 개수보다 많은 건 아니다. 아니, 오히려 같다. 왜냐하면 자연수와 정수를 전단사함수라는 방식으로 대 대응을 시켰기 때문이다. 자 그렇다면, 이번엔 자연수 N과 양의 유리수 Q+ 를 비교해보자. (양의 유리수란, 분수로 표현이 가능한 모든 양수를 일컫는다.) 이번에는 함수를 만들기보다는, 양의 5

16 유리수를 하나하나 셀 수 있는 방법을 제안할 것이다. 즉 앞서 말한 철수는 번, 영 희는 번 같이 학생을 세는 것과 같이 양의 유리수를 셀 것이다. 이 헤아림의 방식이 하나의 양의 유리수가 두 다른 자연수에 대응되지 않고(단사이고), 모든 양의 유리수가 하나의 자연수에 대응된다면(전사이면), 양의 유리수의 개수는 자연수의 개수와 같다 는 의미일 것이다. 더 나아가, 음의 유리수를 음의 정수에 같은 방식으로 대응시킬 수 있을 것이고 정수의 0을 유리수의 0에 대응시키면 결국에는 정수 Z와 유리수 Q의 크 기가 같다는 것이 증명될 것이다. 하지만 자연수 N의 크기가 정수 Z의 크기와 같다고 했으니, 궁극적으로는 자연수의 개수와 정수의 개수와 유리수의 개수는 무한하다는 것이 증명될 것이다. 8 Figure.3: 양의 유리수의 헤아림 그림.3: 양의 유리수의 헤아림 을 주목해보자. 가장 첫번째 화살표는 에 있다. 이를 에 대응하자. 즉 f () = 이다. 화살표는 을 가리킨다. 이를 에 대응시키자. 즉 f () = 이다. 이와 같은 방식으로 f (3) =, f (4) = 3 에 대응시킬 수 있다. 자세히보 면, 는 빨갛게 칠해져있다. 이 경우는 그 다음으로 넘어가라는 의미이다. 즉 f (5) = 가 아니라, f (5) = 3 이 된다. 이 함수를 보기 쉽게 표로 한번 정리해보았다. 6

17 x f (x) x f (x) x f (x) 자 해당 함수는 단사일까? 빨간 숫자의 비밀은 이 함수를 단사로 만드는 데에 있 었다. 예컨데 = = 과 같다. 하지만, f (5) = 에 대응시켜 버린다면 f ()와 f (5) 가 둘 다 이 되어버린다. 이 경우는 f 가 단사가 아니다. f 를 단사로 만들기 위해서 양의 유리수를 헤아리는 과정에 이미 앞서 나왔던 숫자는 과감히 빨갛게 칠해버리고 넘겨버린 것이다. 반면 이 함수는 전사일까? 물론이다. 양의 유리수 Q+ 는 사실 두개의 양의 정수 p와 q로 만들어진다.9 pq 가 기약분수라고 가정해보자. (기약분수가 아니라면 pq 까지 오기 전에 이미 화살표가 해당 기약분수를 지나쳤을 것이다. 마치 4 를 지나치기 전에 이미 화살표가 를 지나쳤 듯이 말이다.) 그리고 이 화살표의 나열은 언젠가는 pq 를 지나치 게 될 수 밖에 없다. 고로 모든 양의 유리수는 결국에 어떠한 자연수에 대응되어지며, 다시말해 f 는 전사가 된다. 결론적으로 f 는 전단사 함수이며, 자연수, N의 크기와 양의 유리수, Q+ 의 크기는 같다는 결론이 나온다. 하지만 앞서 말했듯, 이 방식을 사용하여 음의 정수, Z 에서 음의 유리수, Q 의 전단사함수를 만들어낼 수 있고, 그러므로 양의 정수(자연수) Z+ 와 양의 유리수 Q+ 의 크기가 같고 음의 정수 Z 과 음의 유리수 Q 의 크기가 같으니 정수 Z와 유리수 Q의 크기가 같다는 결론에 도달할 수 있다. 마지 막으로 자연수 N과 정수 Z의 크기가 같으니, 자연수 N의 크기는 유리수 Q의 크기와 같다. 앞서 말했듯, 자연수의 개수는 가산무한이다. 그리고 자연수의 개수와 정수의 개수, 그리고 유리수의 개수 모두 가산무한이다. 이것을 수학적으로는 어떻게 표현할까? X 라는 집합의 크기는 X 라고 표현한다. 이 집합의 크기를 기수 라고 일컫는다. 예컨 데 X라는 집합이 0보다 작은 자연수의 집합 이라면 X = 9라고 표현이 가능하다. 그렇다면, 가산집합의 크기는 어떻게 표현할까? 몇몇 독자들은 무한의 기호가 ( ) 라는 사실을 떠올리고는 N = 라고 표현할 수 있겠네! 하고 생각할 수 있겠지만, 7

18 아쉽게도 집합의 크기를 거론할 때, 수학자들은 기호를 사용하지 않는다. 다만 ℵ0 이 라는 요상한 기호를 사용하는데, 이 기호는 히브리어의 첫번째 알파벳인 알레프이다. 이 기호는 알레프-널(Aleph-null)이라고 읽으며, 집합의 크기가 가산무한 의 크기라 는 의미이다. 즉 우리가 알고있는 세 가지의 가산무한, 자연수의 집합, 정수의 집합, 유리수의 기수에 대한 표기법은 아래와 같다. N = Z = Q = ℵ0. 간간히 기수의 기호를 생략하고는 두 집합의 크기가 같은 무한일 때 다음과 같이 표기하기도 한다. N Z Q. 자 그렇다면, 자연수 집합과 정수 집합과 유리수 집합의 기수는 같다. 그렇다면 실수는 어떨까?.5 비가산무한 자연수와 정수와 유리수는 가산무한 이라 하였다. 즉, 셀 수 있는 무한이었다. 그렇 다면, 셀 수 없는 무한 도 있음을 예상해볼 수 있다. 바로 실수가 그러한 예제이다. 이번에는 0에서 사이의 모든 실수가 자연수의 개수보다 큼을 증명해보일 것이다. 0에서 사이의 모든 실수의 집합은 [0, ]이라고 표기한다. 해당 집합은 닫힌 집합 으로 0과 둘 다 포함되어있다. 반면 열린 집합도 있는데, 이는 (0, )이라고 표기하며, 0과 이 둘 다 이 집합에 포함되어있지 않는 경우를 말한다. 자 임의의 함수 f : N [0, ]이 있다고 가정하자. 자연수집합과 정수집합의 기 수가 같음을 보여줄 때에는 괜찮은 전단사 함수를 만들 수 있었고, 유리수집합과의 기수가 같음을 보일 때에는 천재적인 셈법을 고안해내었다. 하지만, [0, ]은 괜찮은 함수도, 그리고 셈법도 막상 떠오르지 않는다. 일단은 각각의 자연수에 [0, ]에 있는 실수를 아무렇게나 대응시켜보자. 다음과 같이 말이다. 8

19 x f (x) 숫자위에 있는 선은 잠시 무시하자. 무작위로 숫자를 배정한 결과, f () = 에 배정되었다. 해당 함수는 전사함수일까? 잠시 고민해보도록 하자. 오른쪽의 숫자는 0과 사이의 숫자 중에 무작위로 골라진 것이다. 그리고 왼쪽은 모두 자연수이다. 왼 쪽에는 무한히 많은 자연수들이 나열될 것이니, 당신이 생각하는 0과 사이에 어떠한 수가 언젠가는 오른쪽 열에 나타나지는 않을까? 아쉽게도 그렇진 않다. 아니, 오히려 절대로 나타날 수 없는 수 를 무한히 만들어 낼 수 있는 것이 실상이다. 다시 위의 표를 살펴보면, 숫자위에 표시가 있다. f ()에는 소수점 첫번째 자리 위에, f ()에는 소수점 두번째 자리 위에, 이런 식으로 말이다. 즉 f (n)에는 소수점 n번째 자리 위에 작은 표시가 새겨져 있을 것이다. 이 숫자들을 염두해두자. 자 이번에 우리는 [0, ]사이에 있는 어떠한 수를 만들어 볼 것이다. 일단 0보다 크고 보단 작으니 소수점 앞자리는 0으로 시작해야 될 것이다. 소수점 첫번째 자리는 무엇으로 할까? 어떤 숫자를 고르든 자유지만, 단 하나의 제약을 두어보려고 한다.f ()의 소수점 첫번째 자리인 이 아닌 숫자로 골랐으면 좋겠다. 0도 좋고, 도 좋고, 3도 좋고, 무엇이든 좋다. 단 만 아니면 된다. 한번 7을 골라보도록 하자. 즉, 0.7. 두번째 자리는 무엇으로 할까? 이 역시 f ()의 소수점 두번째 자리인 5가 아닌 숫자 였으면 좋겠다. 이번엔 3을 골라보도록 하자. 즉, 마찬가지로 소수점 세번째 자리로는 f (3)의 소수점 세번째 자리수인 8이 아닌 숫자였으면 좋겠고, 소수점 네번째 자리로는 f (4)의 소수점 네번째 자리수인 이 아닌 숫자였으면 좋겠다. 이런 식으로 만든 무한소수가 있다고 가정해보자. 이 숫자는 오른쪽 무한소수의 나열에 합류할 수 있을까? 정답부터 말하자면 합류할 수 없다 이다. 왜냐하면 해당 숫자는 f ()과는 첫번째 자리수가 다르고, f ()와는 두번째 자리수가 다르다. f (n)과는 n번째 자리가 다르 게 맞춰졌다. 설령 우연히 임의의 자연수 k에 대해서 f (k)와 우리가 만든 무한소수 9

20 가 거의 일치하더라도 결국에는 k번째 자리수에서 달리할 것이다. 즉, 무슨 말이냐. f : N [0, ]을 만족시키는 전사함수는 없다는 의미이다. 앞서 이야기했듯, f : A B가 전사함수라면 A B 를 유도한다고 했다. 하 지만 전사함수가 있을 수 없다라는 의미는 A < B 라는 의미이다. 즉, [0, ] 는 N 보다 크다. 훨씬 크다. 비교할 수 없을 정도로 말이다. 이로써 우리는 새로운 사실을 깨 닫게 되었다. 가산무한보다 더 큰 무한이 존재한다는 것이다. 이를 비가산무한 이라 부른다. 왜냐하면 자연수에 대응하여 하나하나 헤아릴 수 없는 무한이기 때문이다. 자 그렇다면, [0, ]과 [0, ]의 기수는 같을까? 예전에 미모의 여성분과 안녕 헤이즐 (Faults in Our Stars) 이라는 영화를 본 적이 있는데, 이 질문과 관련된 대사가 작중에 나온다. 0에서 사이에는 무한히 많은 숫자가 있어. 0.도 있고, 0.도 있고, 0. 도 있고, 그렇게 무한히 많은 숫자가 있겠지. 그리고 물론, 0에서 사이 에는, 혹은 0에서 00만 사이에는 훨씬 더 큰 무한이 서려있을거야. 어떤 무한은 다른 무한들보다 커. 우리가 좋아했던 작가가 준 가르침이야.30 아쉽게도 틀린 말이다. 0부터 까지의 숫자의 개수와, 0부터 까지의 숫자의 개 수는 동일하다. 가 아니더라도, 3, 00만, 아니 몇이든 상관 없이, 두 무한은 같은 무한이다.3 왜 [0, ] 과 [0, ] 는 같은 걸까? 당연히 같지! 왜냐하면 두 집합을 연결하 는 전단사 함수가 있기 때문이다. 아주 간단한 함수가 말이다. 바로, f (x) = x. 해당 함수는 단사이다. f (x) = f (y)라면 x = y이고 x = y이기 때문이다. 또한 전사이다. [0, ]에 있는 임의의 값 y를 골라보자. 그러면 f (x) = y를 만족하는 x가 하나 있다. 다름아닌, x = y 이다. 그러므로, f : [0, ] [0, ]는 훌륭한 전단사함수이니, [0, ]과 [0, ]의 기수는 동일하다는 결론이 나온다. 사실 더 나아가, 어떠한 형태의 닫힌 집합 [a, b]3 (예를 들어 [,3], [-.5,π], [, 3])의 기수들도 모두 [0, ]의 기수와 같으며, 또 한 어떠한 형태의 열린 집합 (a, b)와도 기수가 같다. 심지어 모든 실수인 R도 [0, ]과 기수가 같다. 33 자 그렇다면 다음의 관계를 알아낼 수 있게 되었다. N Z Q 6 R. R이 비가산집합이고 Q가 가산집합이라는 의미는 자동적으로 무리수의 집합이 비 가산집합이라는 결론이 나온다. 만약 무리수의 집합이 가산무한이었다면, R이 비가산 0

21 무한집합이 될 수 없기 때문이다.34 가산무한의 기수를 ℵ0 이라고 표시하는 반면, 비가산무한의 기수는 무엇으로 표시 할까? ℵ? 아니면 ℵ? 아쉽게도 모두 아니다. 다소 뜬금없지만, c를 사용한다. 이는 [0, ]처럼 연속된 숫자들의 집합, 즉 연속체를 의미하는 continuum의 앞글자를 따온 것이다. 도대체 왜 그 멋드러진 히브리어 알레프를 사용하지 않고 갑자기 무슨 변덕으 로 알파벳으로 건너 뛰었냐고 묻고 싶은 독자들을 위해서, 필자는 잠깐 옛날 이야기를 해볼까 한다..6 연속체 가설과 불완전성 정리 수학에는 4년에 한 번씩 찾아오는 이벤트 가 있다. 마침 작년, 04년에는 서울에서 열린 이 이벤트의 이름은 세계 수학자 대회(International Congress of Mathematicians) 로 수학자들이 모여 연구와 결과에 대해 이야기를 나누며 이른바 국제단위의 학문적 사교 를 이루는 거대한 만남의 장이다. 약 주일가량 열리는 이 세계 수학자 대회의 메인 이벤트는 앞길이 창창한 젊은 수학자에게 수학의 노벨상이라 일컫는 필 즈상 시상식이라 할 수 있겠다.35 만 40세 이하의 수학자들 중 지난 4년간 가장 훌륭한 수학적 업적을 이룬 4명의 수학자에게 수여되는 상으로서, 주최국의 대통령이 거행하 는 것을 관행으로 한다. 특히나 지난번 서울의 필즈상 시상식에는 최초의 여성 필즈상 수상자 마리암 마르자키니의 목에 한국의 최초의 여성 대통령이 메달을 걸어준 것은 참으로 의미가 깊은 일이 아닐 수 없었다. 세계 수학자 대회의 유서는 00년이 훌쩍 넘는데, 이러한 국제규모의 수학자 모임 을 처음 구상한 사람은 클라인의 병을 제안한 유명한 수학자 펠릭스 클라인과, 우리가 지금까지 봐온 무한 을 개척한 수학자, 게오르그 칸토어였다.36 제 회 세계 수학자 대회는 897년 스위스, 취리히에서 열렸으나, 이는 6개국출신 00여명37 의 수학자가 참석한 생각보다 작은 모임이었다.38 이로부터 3년 뒤, 프랑스 파리에서 제 회 세계 수학자 대회가 열렸는데, 당시 기조연설을 맡은 수학자는 다비트 힐베르트로 다음의 연설을 남긴 것으로 유명하다. 모든 수학 문제는 풀 수 있다는 확신은 수학자들을 움직이는 강력한 원 동력입니다. 우리는 우리 안에서 다음과 같은 외침을 듣습니다. 문제가 있다, 해를 찾아라. 오로지 이성, 그것 만을 통해서 답을 찾을 수 있습니

22 다. 왜냐하면 수학에는 무지 39 를 위한 자리는 없기 때문입니다.40 해당 연설 이후에, 그는 0세기 수학자들이 도전해야할 3개의 문제를 지정했는데, 그 중 가장 첫번째 문제가 바로 연속체 가설이다. 연속체 가설을 간단하게 축약하면 다음과 같다. 가설.. 연속체 가설: Z보다 높지만 R보다 낮은 기수를 갖는 집합은 존재하지 않 는다. 해당 가설은 사실 미해결 가설 은 아니다. 왜냐하면, 해당 가설이 제시된지 63년이 지난 963년에, 미국의 수학자 폴 코헨(Paul Cohen)이 긍정적으로도 부정적으로도 해결이 불가능함 을 보였다. 아니 이게 무슨 소리란 말인가? 만약 연속체 가설이 참이라고 해결된다면, ℵ0 의 바로 윗 단계가 R의 기수라는 사 실을 알게 된다. 그렇기 때문에 R의 기수로 ℵ 을 채택해도 아무런 하자가 없다. 반면, 가설이 거짓이라고 해결된다면, ℵ0 보다는 상위지만 R보다는 하위의 무한이 있을 수 있다는 의미가 되어버리기 때문에 R의 기수로 ℵ 의 기호를 채택하지 못하는 상황이 되어버린다. 그리고 폴 코헨은 해당 가설의 증명을 발견해내었다. 그것은 증명이 불 가능하다 이다. 아니 어째서 증명이 불가능하다. 라는 것이 증명 일 수 있겠는가? 그 점을 설명하기에 앞서, 잠시 0세기의 위대한 발견인 불완전성 정리 에 대해서 소개해볼까한다. 9세기 말, 게오르그 칸토어는 집합론 을 창제하며 무한에 대한 연구를 획기적으 로 이끌어냈다. 하지만, 당시 집합론은 이것이 수학이냐 아니냐 거센 토론이 오갔다. 지금에서는 해당 분야는 수학의 구조 를 연구하는 이산수학(Discrete Mathematics) 에 속해있지만, 당시에는 이 분야가 수학으로 포함되어야 하는지 말지 논란이 심했 었다. 집합론은 지금까지의 수학을 체계화하는데 훌륭한 도구였는 반면, 당시 구성 주의4 수학자와 직관주의 수학자들은 칸토어의 집합론을 후대들이 치료해야 할 0 세기 수학이 걸린 질병 이라고 비난했으며4 반면 힐베르트는 집합론을 칸토어가 만 들어낸 수학자의 낙원 이라고 극찬하였다. 그리고 해당 논란은 공리와 논증을 주장한 힐베르트파와 직관과 자유로운 사고를 주장한 푸앵카레파 사이에서 수십년간 논란이 되어왔다. 하지만 논란을 새로운 방향으로 이끌었던 것은, 외딴 촌동네 섬나라출신의 논리학자, 다름아닌 버트런드 러셀이었다. 러셀은 힐베르트파의 열렬한 지지자였는데, 그는 어느날 다음과 같은 역설을 발견했다.

23 역설.. 러셀의 역설: 자기 자신을 포함하지 않는 모든 집합들의 집합 M 은 자기 자신을 포함하는가? 아니 이게 당최 무슨 소리야? 말이 다소 어려우니 예제와 함께 살펴보도록 하자. 화창한 어느 날, 문화시민인 당신은 마침 어제 완공한 도서관을 찾아가기로 마음 억었다. 그 도서관에는 이 세상에 있는 모든 책들이 있는 아주 거대한 도서관이었다. 당신은 딱히 빌리고 싶은 책이 없었기에, 발길 닿는대로 도서관 안에서 정처없이 돌 아다니며 눈에 띄는 책들을 고르기로 마음먹었다. 얼마나 긴 시간을 헤맸을까, 마침내 당신의 눈길을 끄는 책 한권을 발견했다. 그 책은 아주 두껍고 무거웠는데, 책 커버에는 금색 자수로 멋드러지게 러셀의 목록 이라고 적혀져 있었다. 책을 몇쪽을 훑어본 당신은 이 책이 일반 책과 매우 다르다는 사실을 알아차렸다. 책은 방대하게 많은 책 제목들 만이 빼곡히 알파벳 순으로 적혀져 있었다. 당신은 가 장 첫번째 장을 찾아 폈다. 책에는 작가의 말도, 목차도 없었는데, 다음과 같은 간략한 소개가 적혀져 있었다. 이 책은 책 제목이 책 안에서 거론되지 않은 책 들의 제목을 담은 책이다. 당신은 궁금해서 당신이 아는 책들의 제목을 조금 찾아보았다. 마침 어제 읽었던 생텍쥐베리의 어린 왕자가 떠오른 당신, 어린 왕자의 책에는 똑똑하게 어린 왕자 라는 단어가 언급된다. 만약 이 책의 규칙대로라면 어린 왕자 는 이 책에 적혀져 있 지 않을 것이다. 당신은 ㅇ 장으로 넘어가 어린 왕자를 찾아보았지만, 역시나 있지 않았다. 다른 책은 어떨까, 당신은 집안에 굴러다니는 책 한권이 떠올랐다. 바로 아포스 톨로스 독시아디스 작의 사람들이 미쳤다고 말하는 외로운 수학 천재 이야기. 이 자비없이 긴 제목이 책에 그대로 언급될 일은 없다고 판단한 당신은, 이번엔 ㅅ 장으로 넘어가 하나하나 찾아보았다. 과연, 사람들이 미쳤다고 말하는 외로운 수학 천재 이야기 는 책 안에서 책 제목이 거론되지 않기에, 이 책에 있었다. 이 외에도 당신은 당신이 아는 몇 권의 책들을 더 찾아보았다. 역시나 책 제목이 책 내용 안에서 그대로 언급된 책들은 모두 러셀의 목록 에서 제외되어 있었다. 반면, 책 제목이 책 내용안에서 그대로 언급되지 않은 책들은 모두 러셀의 목록 에 있었 다. 여기까지 생각이 미친 당신, 갑자기 궁금한 것이 생겼다. 과연 러셀의 목록 은 러셀의 목록 에 있을까? 만약 러셀의 목록 이 러셀의 목록 에 나오지 않는다고 가정하면, 러셀의 목록 은 러셀의 목록 에 포함될 자격이 있다. 그러므로 러셀의 목록 은 러셀의 목록 에 3

24 나와야만 한다. 반면, 러셀의 목록 이 러셀의 목록 에 나온다고 가정하면 러셀의 목록 은 자기자신을 이미 책 안에서 거론하는 셈이다. 고로 러셀의 목록 에 포함되면 안된다. 자, 그렇지 않다 라고 가정하면 그렇다 가 유도되어 버리고, 그렇다 라고 가정하면 그렇지 않다 라는 신기한 결론이 나온다. 이것이 바로 러셀의 역설이다. 러셀의 역설과 비슷한 예로는 거짓말쟁이 역설이 있는데, 이는 다음과 같다. 역설.. 거짓말쟁이 역설: 이 문장은 거짓이다. 위 문장이 거짓이라면, 이 문장은 거짓이다 라는 명제가 참이 된다. 반면 위 문 장이 참이라면, 이 문장은 거짓이어야 한다. 이러한 역설은 자기반박에서 나오는데, 이는 칸토어가 만들어낸 집합론에서는 도저히 해결할 수 있는 기미가 보이지 않았다. 해당 역설의 발견으로 집합론을 반대하던 수학자들은 러셀을 영웅으로 삼았지만, 반면 집합론을 옹호하던 수학자들에게 러셀은 공공의 적 이었다. 러셀 스스로가 집합론을 옹호한 힐베르트파에 속해있다는 사실을 상기해보면, 이는 학자로서 크나큰 수치이자 비극이 아닐 수 없었을 것이다. 해당 역설은 90년에 제기되었는데,43 이로부터 딱 30년이 지난 93년 러셀 자신 도 포기해버린 즈음에 쿠르트 괴델이라는 수학자가 해당 역설에 관련된 정리를 펼쳤다. 0세기 최고의 수학적 발견이라 불리는 이 정리가 아인슈타인의 상대성 이론과 폴 디 랙의 불확정성 원리와 더불어 과학사에 길이 남을 3대 발견중 하나인 괴델의 불완전성 정리(Incompleteness Theorem) 이다.44 불완전성 정리를 매우 쉽게 요약하면 우리의 논리 체계에서는 증명도 반증도 할 수 없는, 다시 말해, 참인지 거짓인지 알 수도 없고 판단할 수도 없는 명제들이 존재한다 라는 것이다. 그리고 그의 대표적인 예가 러셀의 역설이다.45 집합론의 대변인, 힐베르트는 집합론에 대한 강직한 믿음이 있었기에, 러셀의 역설 이 잘 못되었다는 것을 증명하기 위해 애를 썼다. 또한 그는 앞서도 이야기했듯, 인간의 지성의 무한한 가능성에 대한 확고한 믿음이 있었기에 다음의 두 명언을 남겼다. 누구도 우리를 칸토어가 창조한 낙원(집합론)에서 우리는 쫓아낼 수 없 다. 46 우리는 알아야 합니다. 우리는 알게 될 것입니다. 47 4

25 하지만, 안타깝게도 불완전성 정리는 힐베르트의 신념에 마침표를 찍었다. 더이상 그가 생각하는대로, 집합론은 한계가 있으며, 모든 명제는 참이거나 거짓인 것만은 아 니었다. 그리고 그의 절망을 비웃기라도 하는 듯, 그가 발표한 3대 문제중 가장 첫번째, 연속체 가설 은 폴 코헨에 의해 체르멜로-프렝켈 집합론 의 공리계와는 독립적인 질문이다라는 것이 증명되었다. 다시말해, 우리가 갖고있는 수학적 공리체계에서는 연속체 가설은 해결할 수 없다는 것이다. 그렇기에 독자분들과 필자 본인의 소망과는 달리, R의 기수를 ℵ 로 표현이 불가 능하게 되었다. 대신, 실수가 연속된 숫자들의 모임 이기에, 그를 의미하는 연속체 (continuum)의 앞글자를 따, 실수의 기수를 c로 표기하게 되었다..7 닫는 글 적지 않은 수학자들이 무한과 집합론, 그리고 논리학을 탐구하는데에 희생되어졌다. 그렇다, 희생. 희생이라는 표현이 정확한 것 같다. 무한을 연구하던 칸토어는 말년에 정신병을 앓아 격리되었으며, 러셀의 역설을 발견한 러셀은 일생동안 학자로서의 죄책 감에 시달려 왔다. 더욱이, 힐베르트는 칸토어의 천국에 남기를 소원했지만, 불완전성 정리를 인정해야만 한다는 사실은 그에게 적지 않은 절망감을 안겼을 것이다. 마침, 이 일련의 사건들에 대한 적절한 문구가 있다. 바로, 프리드리히 니체의 명언이다. 당신이 심연을 들여다본다면, 심연도 당신을 들여다 볼 것이다. 괴물과 싸우는 자는 스스로 괴물이 되지 않도록 주의해야한다. - 프리드리히 니 체 하지만 이 학자들의 인생은 비극으로 보여질지 몰라도, 불완전성 정리는 힐베르 트파와 푸앵카레파의 기나긴 논쟁은 마침표를 찍었으며, 더 나아가, 0세기 중반에 새로운 수학의 시대를 이끌어냈다. 이른바 협력의 시대가 열리게 되었다. 몇몇의 위 대한 수학자들의 시대는 이제 없다. 다만, 수 많은 수학자들이 힘을 합치는 시대가 도래하게 된 것이다. 이제는 수학적 진리를 찾아 힘쓰는 이들이라면 누구나 남녀노소 인종을 불문하고 누구나 수학앞에서 자유롭고 평등하게 되었다. 그들은 서로를 장려 하고자 상을 제정했고, 연구의 결실을 나누고자 대회를 만들었다. 세계 수학자 대회를 처음 제안했던 칸토어가 꿈꿨던 시대가 마침내 이뤄지게 된 것이다. 5

26 힐베르트에게는 미안한 말이지만, 어쩌면 칸토어가 만들어낸 천국이란, 집합론이 아니라 지금 이 곳이 아닐까. 6

27 .8 부록: 힐베르트의 호텔 힐베르트 호텔의 지배인 다비드 힐베르트는 오늘도 걱정이다. 객실이 만원이고 손님은 하나도 나가려는 기미가 보이지 않기 때문이었다. 물론, 손님이 만원이면 좋지 않냐 하겠지만, 힐베르트는 그렇게 마음이 모질지 못해서 들어오는 손님을 거절하기도, 그 렇다고 이미 들어와 있는 손님보고 나가라고 할 위인은 못 되기 때문이었다. 특이하게도 힐베르트 호텔은 객실이 무한히 많았다. 아, 여기서 무한은 가산무한 이다. 투숙객은? 물론 무한히 많다. 그래서 걱정인 것이다. 한두명 손님이 빠져나가는 걸로는 의미가 없었다. 어쩌다가 방의 갯수도, 투숙객의 수도 모두 무한이 되었는지는 모르겠지만, 힐베르트는 매일매일 혹시 손님이 더 오면 어떡하지? 노심초사였다. 하지만 프론트에서 일하는 칸토어는 아무런 걱정이 없는 모습이었다. 프론트가 참 팔자가 좋네 힐베르트는 핀잔이라도 주고 싶었다. 얼마 지나지 않아, 호텔 문이 열렸다. 하마터면 제기랄! 하고 힐베르트는 소리칠 뻔 했다. 손님 한명이 새로 찾아들어온 것이다. 여기가 그 유명한 힐베르트 호텔이죠? 듣자하니, 호텔 방이 무한히 많다면서요. 저 역시 오늘은 여기서 묵고 싶은데, 저를 위한 방도 있겠지요? 힐베르트가 죄송하다고 말하려는 찰나 칸토어가 웃으며 대답했다. 물론이죠, 저희 호텔은 지금 머무르시는 분들께도, 앞으로 머무르실 분들께도, 누구에게나 최고급 방이 마련되어있습니다. 절대 찾아오는 손님의 기대를 저버리지 않는 호텔이지요. 잠시만 기다려주세요. 칸토어의 천연덕스러운 거짓말에 힐베르트는 당장이라도 그에게로 뛰어가 멱살 이라도 잡고 싶었다. 하지만 손님이 있는 앞이라 그럴 수는 없는 노릇이었다. 이윽고 손님이 잠시 로비에 위치한 소파에 몸을 맡기자, 힐베르트는 프론트로 가서 칸토어에게 따졌다. 방도 없는데 어쩌자고 거짓말을 하는건가? 하지만 천연덕스럽게 칸토어는 웃으며 답했다. 방이 없다면 만들면 되죠. 방? 방을 어떻게 만들어? 갑자기 하늘에서 방 떨어지기라도 하겠는가? 하지만, 방이 솟아날 방법은 있습니다. 걱정하지 말고, 저 칸토어에게 맡겨주세 요. 칸토어의 자신감에 힐베르트는 말문이 턱 막혔다. 아니, 기왕에 이렇게 된 거 칸토 7

28 어에게 전면 맡겨보자는 심산으로 그는 칸토어를 말없이 바라보았다. 하지만 한숨을 푹푹 내쉬는 건 막을 수 없었다. 반면 칸토어는 싱글벙글 웃으며, 마이크를 잡더니, 모든 호텔이 들릴 수 있게 쩌렁쩌렁한 목소리로 말했다. 힐베르트 호텔을 이용해주시고 계신 손님 여러분, 안녕하십니까? 불편을 드려 죄 송하지만, 방을 모두 한칸씩 옮겨주시길 바랍니다. 호실 분은 호실로, 호실 분은 3 호실로, n호실 분은 n+호실로 옮겨주시길 바랍니다. 감사합니다. 안내방송을 들은 힐베르트는 칸토어의 지혜에 탄복했다. 번 방의 손님은 번 방 으로, 번 방의 손님은 3번 방으로. 즉 f (n) = n + 이라는 전단사 함수를 이용해서 모든 손님들에게 방을 재배치해드린 것이었다. 거기에 번방이라는 빈 방이 하나 생긴 셈. 칸토어는 정중히 중년의 신사에게 걸어가서 호실의 열쇠를 드렸다. 그렇게 힐베르트의 호텔은 오늘도 손님하나 쫓아내거나 거절하는 일 없이 하루를 잘 마칠 수 있었다고 한다. 8

29 Notes to chapter. 평을 들은 음악을 전공하던 일행은 이래서 수학하는 놈들이란 이라는 평을 남겼다. 3. 필자는 만 나이를 사용한다. 한 살이라도 더 들어보이는 건 안타까운 일이 아닐 수 없기 때문이다. 4. 해당 숫자는 라마누잔이 처음 제안한 택시수 이다. 5. 단 0은 논란이 있다. 자연수에 0을 제외하는 수학자들도 있고 포함하는 수학자들도 있지만, 사실 그렇게 큰 논란을 일으키지는 않는다. 한국 수학교육은 전자를 따른다. 6. 0을 자연수로 포함하지 않는 사람들은 자연수와 0의 집합을 N0 으로 간간히 표기하 기도 한다. 7. 물론 수학에서의 증명이 이렇게 말이 많진 않지만, 논리학적 기호를 모두 말로 풀 어서 설명하면 그 아이디어는 동일하다. 8. Miller, Jeff ( ). Earliest Uses of Symbols of Number Theory. Retrieved 오히려 N의 표기법을 따르지 않고 양의 정수라는 의미에서 Z+ 라는 기호를 따르는 수학자들도 종종 있는 편이다. 0. 다시한번 상기시키자면, p는 0이어도 상관 없다. 0이 될 수 없는 것은 q 뿐이다.. 0으로 나눌 수 없는 이유를 간략하게 설명하자면, 임의의 수 k를 0으로 나눈 수 d 가 있다고 가정하자. 즉, 등식으로는 k 0 = d이다. 자 그렇다면 양 변에 0을 곱해 보자.(a b = c 라면 a = c b라는 초등학교 연산을 상기해주길 바란다.) 그렇다면 k = 0 d. 하지만, 0에는 어떠한 수를 곱해도 0이다. k가 0이 아니었다면, 해당 공식은 성립할 수 없었으며, 설령 k가 0이라면, 해당 공식을 성립시키는 d가 무수히 많다는 결론이 나온다.. 증명은 이렇다. x = 라고 가정해보자. 그렇다면 00x = 이다. 고로 00x x = 99x = = 39. 즉, 해당 무한소수는 39 = 3 이다. 순환하는 소수는 이 방식으로 모두 분수의 형태로 바꿀 수 있으며, x = 그렇기에 유리수이다. 3. 이 경우, 를 x로 치환한 뒤, 00000x 000x를 해주면 쉽게 풀린다. 4. 매우 열성적인 독자들을 위해서 아주 간략하게 설명을 해보도록 하겠다. 수학자 요 한 람베르트는 tan(x) 함수의 특이한 성질을 발견했는데, 그것은 tan(x)값이 0이거나 9

30 무리수라면 x값이 유리수라는 사실을 발견한 것이다. tan( π4 ) = 로, 은 유리수이니, π 는 무리수가 된다. 고로 π는 무리수이다. (왜 π4 가 무리수이면 π도 무리수인지는 한번 4 독자여러분들이 생각해보길 권유한다.) 5. 약분에 대한 개념은 본문에는 서술하지 않았지만, 아무래도 개념을 설명하지 않고 4 넘길 수는 없어 각주로 설명을 남긴다. 임의의 분수가 있다고 가정하자. 예컨데 0 을 보자. 해당 분수의 분자와 분모는 0이 아닌 수로 곱해주거나 나눴을 때도 항상 그 값을 4/ 8 4 = 0 도 로 둘다 나눈 0/ = 5 도 모두 같은 유지한다. 분자 분모를 로 둘다 곱한 0 값의 분수이다. 여기서 약분이란 개념이란, 분자와 분모가 더 이상 간단히 될 수 없는 4 8 꼴을 말한다. 예컨데, 0 과 0 을 약분한 꼴은 5 이다. 어느 분수가 약분이 가능한지 아닌 지를 알기 위해서는 분자와 분모를 동시에 나누는 이 아닌 자연수가 있는지 확인하는 8 4 의 경우 분자 분모는 로 나뉠 수 있었고, 0 의 경우는 4로 나뉠 수 있었다. 것이다. 0 고로 둘은 약분이 가능하다. 그리고 어떠한 수가 유리수라면, 다시말해 어떠한 수가 분수로 표현이 가능하다면 더 이상 약분이 불가능한 분수가 꼭 하나는 있어야된다. 6. 사실 쉽사리 받아들이기 어렵다. 필자역시 해당 증명을 처음 봤을 때, 신선하다는 인상과 뭔가 약장수의 꼬드김에 넘어간 듯한 야리꾸리한 감정이 교차했다. 7. 제곱수란, 어떠한 자연수를 제곱해서 만든 수이다. 예를들어,, 4, 9, 6, 등이 있다. 8. 힌트를 주자면, 방식은 거의 비슷하다. 단, 이번엔 짝수라는 것 보다는 5의 배수라는 사실에 초점을 맞추면 된다. 9. 실제로 존재하지 않는 수도 있단 말인가? 물론이다. 해당 수를 허수 라 부른다. 하지만, 허수와 실수, 그리고 그 상위의 개념인 복소수의 대한 설명은 생략하도록 하 겠다. 0. 굳이 이 경우를 함수에 해당하면, 잘못 계산했다 라는 가능성밖에 없다. 하지 만 이것은 함수의 잘못이 아니라 계산을 실수한 우리의 잘못이니, 이 경우는 예외로 하겠다.. 사진출처: f (x)값이 정의되지 않는 경우도 단 하나의 값을 내뱉는 경우라고 생각할 수 있다. 3. A라면 B다 라는 식의 조건절을 상상해보라. 그렇다면 이 명제의 대우는 B가 아니 라면 A가 아니다 라는 조건절이 된다. 예컨데, 사람이라면 죽는다. 의 대우는 죽지 않는다면, 사람이 아니다. 이다. 이 경우는 두 명제가 모두 참이다. 반면 짝수라면 로 나뉘지 않는다. 와 그 대우인 로 나뉜다면 짝수가 아니다. 는 둘다 거짓이다. 30

31 두 명제가 대우관계라면 두 명제 모두 참이거나 모두 거짓이어야 한다. 다시 예제로 돌아가보면, x 6= y면 f (x) 6= f (y)의 대우는 f (x) 6= f (y) 가 아니라면, x 6= y도 아니다 라는 말이다. 이다. 즉 f (x) = f (y) 면, x = y다 라는 의미와 같다. 4. 마이너스 곱하기 마이너스는 플러스라고 중학생때 배웠던 기억이 있을 것이다. 그 이유를 이 자리에서 설명해볼까 한다. 곱셈은 분배법칙이라는 성질이 있는데, 해당 성 질은 다음과 같다: a (b+c) = a b+a c. 어떠한 수에다가도 을 곱하면 자기자신이 나오기 때문에 = 이라는 사실 또한 자명하다. 마지막으로, 어떠한 수에도 0 을 곱하면 0이 된다. 자, 다음의 식을 보라 0 = ( ) 0 = ( ) (( ) + ) (0 = ( ) + ) = ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) (곱셈의 분배법칙) (( ) = 이라는 사실을 사용) 해당 식이 성립되어지기 위해서는 ( ) ( ) = 이어야만 한다. 5. 사실 전사함수이냐 아니냐는 f : X Y 에서 Y 가 어떤 집합이냐에 따라서 전사 함수가 될 수도, 안 될 수도 있다. 예컨데, f 가 양의 실수에서 양의 실수로 정의되어 졌다면, 해당 함수는 전사함수이다. y = 4의 경우는 치역에 포함되어있지 않으니 말이다. 반면, 모든 실수에서 모든 실수로 정의되어있다면, y = 4가 치역에 포함되 고, f (x) = 4를 만족시키는 x값이 실수에는 없기 때문에, 전사함수가 아니게 된다. 하지만 이 경우는 독자들과 필자의 편의를 위해 모든 실수로 한정지었다. 6. 사진출처: 이고 f (y) = y 의 경우를 생각하지 않느냐 반문할 수 있다. 7. 왜 f (x) = x+ 사실 이 함수는 x가 홀수일 때는 음의 정수로, x가 짝수일 때에는 0이거나 양의 정수로 보내게 설계되어있다. 음의 정수이면서 양의 정수이거나, 음의 정수이면서 0인 수는 없기 때문에 이 경우는 사실상 불가능한 경우이다. 8. 사진출처: 9. p와 q가 둘 다 음수인 경우도 사실 가능은 하다. 또한, 원래 유리수는 p가 0이어도 되 지 않느냐 할 수 있는데, 틀린 말은 아니다. 유리수 라면 q만 0이 아니면 된다. 하지만, 이 경우는 양의 유리수 로 한정을 지었기 때문에 p가 0이라면, pq = 0이 되어버려서 양의 유리수가 되지 않는다. 0은 양수가 아니다. 30. 한국어판 자막 대사를 찾을 수 없어서 임의로 번역하였다. 3

32 3. 수학적 정의감이 투철한 나는 이 설명을 미모의 여성분께 하는 참사를 벌였고, 그 이후로는 연락이 끊겨버렸다는 슬픈 이야기가 있다. 3. 단 a < b를 만족해야 한다. a = b라면 [a, b] = 이 되어버린다. 33. [0,]과 어떠한 형태의 열린 집합의 기수가 같다 하였으니, ( π, π )와도 기수가 같다. 그렇다면 f : ( π, π ) R라는 전단사함수를 떠올릴 수 있는데, 해당 함수는 f (x) = tan(x)이다. 이 함수는 π 보다 크고 π 보다 작은 어떠한 수도 R에 대 대응을 시킨다. 34. 예를 들어, Z는 양의 정수라는 가산집합과 음의 정수라는 가산집합의 합이다. (0 도 있지만, 0은 잠시 잊어두자.) 하지만 그럼에도 Z는 여전히 가산집합이다. 즉, 가산 집합의 결합은 여전히 가산집합이다. 35. 물론 필즈상 시상식만 있는 것은 아니다. 이외에도 네반리나 상, 릴라바티 상, 천 상, 가우스 상 시상식또한 병행된다. 36. THE INTERNATIONAL MATHEMATICAL UNION AND THE ICM CONGRESSES. Accessed December 3, 작년 서울에서 개최된 세계 수학자 대회에는 00여개국 출신의 5000여명의 수학 자들이 모였다. 39. 여기서는 무지 라 번역하였지만, 원문은 이그노라비무스(Ignorabimus) 이다. 이 는 독일출신 생리학자인 에밀 듀 보이레이몬이 주장했던 인간의 인식의 한계를 설명하 는 라틴어 표어 Ignoramus et ignorabimus(우리는 모르고, 모를 것이다.) 를 비판하고 자 힐베르트가 인용한 것이다. (참조: et_ignorabimus) 40. 이 문장은 책 로지코믹스 와 독어를 아는 지인의 도움을 바탕으로 해석하였 다. 4. 구성주의란 예컨데 어떠한 조건을 만족시키는 무언가가 있음을 증명하기 위해서 그 조건을 만족하는 무언가를 만들어내는 것만을 증명으로 받아들이는 수리철학이 었다. 예컨데 그 조건을 만족하는 것이 없다면 이라는 가정으로 모순을 이끌어내는 귀류법은 증명으로 치부하지 않았다. 4. 이 말은 프랑스계열 직관주의 수학자 앙리 푸앵카레가 했다는 설이 있지만, 신빙 성은 다소 떨어진다. 43. Godehard Link (004), One hundred years of Russell s paradox, p. 350, ISBN 3

33 Rebecca Goldstein (006), Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Go del (Great Discoveries) 45. 조금 더 자세히 설명하면, 우리의 논리체계란 건전적 인데, 이는 증명과 반증이 둘 다 가능한 명제는 없다 는 것이다. 즉, 한쪽이 참이다 라고 증명한 명제는 무 슨 수를 써도 거짓이다 는 증명이 불가능하다는 것이다. 반면 우리의 논리체계는 완전 치는 않은데, 이는 참도 거짓도 둘 다 증명할 수 없는 명제가 존재한다 는 것 이다. 불완전성 정리는 우리의 논리체계가 건전하면서 동시에 완전할 수 없다는 것을 암시한다. 46. Mathematische Annalen 95, (96) 년 9월 8일 쾨니히스베르크에서 열린 독일 과학자 물리학자 모임에서 건넨 연설 33

34 수학하기좋은날 34