. 에라토스테네스의 체 모든 자연수를 을 약수로 삼는다. 즉, 로 나뉜다는 말이다. 또한, 마찬가지로 자기자 신 또한 약수로 삼는다. 그것이 이든, 5든, 혹여는 아주 큰 수든 말이다. 즉 을 제외한 모든 자연수는 최소한 두 개 이상의 약수를 가지고 있는 셈이다. 과

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1 Chapter 소수. 여는 글 아주 오래 전부터, 사람들은 수의 기본 단위를 소수로 믿어왔다. 모든 자연수는 소수의 곱으로 나타낼 수 있고, 소수는 다른 두 수의 곱으로 표현이 불가능하기 때문이다. 하지만 소수는 아직도 베일에 감춰져있는 존재다. 무려 000년, 아니 그 이상 수 많은 수학자들이 소수에 대한 연구를 진행해왔지만, 소수에 대해 더 많은 것을 알면 알수록, 더 많은 의문점을 생겨났다. 아직도 풀리지 않은 의문점의 대표적인 예로는, 900년 힐베르트가 제안한 개의 난제들 중 제 8 문제를 댈 수 있겠다. 제 8 문제는 소수에 관련된 난제들을 해결하라였으며, 그는 리만 가설, 골드바흐의 추측, 쌍둥이 소수 추측을 예로 들었다. 허나, 이들 중 지금껏 해결된 것은 하나도 없으며, 특히나 리만 가설은 힐베르트가 개의 문제를 제시한지 꼭 00년이 지난, 000년 클레이 수 학 연구소가 선정한 7개의 밀레니엄 문제 중 하나로 선정되었으며, 이는 힐베르트의 문제들 중 밀레니엄 문제로 이월된 유일한 문제이다. 오죽하면 힐베르트가 다음과 같은 말을 남겼을까. 내가 만약 000년간 잠에 들다 일어났으면 가장 첫번째로 다음과 같이 물을 것이다: 리만 가설은 해결되었습니까? - 다비트 힐베르트 이번 장에서는 소수가 품고있는 무한한 의문점들, 그리고 그 비밀들에 대해서 차근차근 소개해보고자 한다. 5

2 . 에라토스테네스의 체 모든 자연수를 을 약수로 삼는다. 즉, 로 나뉜다는 말이다. 또한, 마찬가지로 자기자 신 또한 약수로 삼는다. 그것이 이든, 5든, 혹여는 아주 큰 수든 말이다. 즉 을 제외한 모든 자연수는 최소한 두 개 이상의 약수를 가지고 있는 셈이다. 과 자기자신 말이다. 소수는 약수가 단 두 개뿐인 수를 말한다. 앞서 보다 큰 모든 자연수는 기본적으로 과 자기자신을 약수로 삼는다고 하였으니, 소수의 정의는 과 자기자신만을 약수로 삼는 보다 더 큰 수이다. 여기서 보다 더 큰 을 강조하는 이유는, 을 소수로 삼으면 귀찮은 점이 이만저만이 아니게 되므로 은 소수로 치지 않기로 한다.4 예컨데 7은 소수다. 7의 약수는 과 7 자신밖에 없기 때문이다. 반면, 6은 소수가 아니다. 6의 약수는,, 4, 8, 6이기 때문이다. 처음 몇개의 소수를 열거해보면 다음과 같다.,, 5, 7,,, 7, 그렇다면 어떻게 어떤 수가 소수인지 아닌지를 알아낼 수 있는걸까? 다소 고전 적이지만, 가장 정확한 방법은 000년 전, 그리스 시대의 수학자 에라토스테네스가 고안해냈다. 필자는 이 방법을 통해 50보다 작은 소수를 모두 보일 것이다. 방법은 다음과 같다 위와 같이 먼저 수를 일렬로 적는다. 단, 조금 전에 강조했듯, 은 예외로 둔다. 가장 첫번째로 할 일은, 의 배수를 모두 지워주는 것이다. 단, 는 지워주지 않는다. 다음과 같이 말이다 A A A

3 다음으로는 의 배수를 모두 지워주는 것이다. 역시 은 지워주지 않는다 A A A 9 A 는 이미 지워졌으니, 4의 배수를 지워줄 필요는 없다. 이미 의 배수를 지우는 과정에서 모두 지워졌기 때문이다. 즉, 다음으로 지워주어야 하는 것은 5의 배수이다 A A A 9 A 마찬가지로 7의 배수를 지워주면 다음과 같은 표가 완성된다 A A A A 정석대로라면, 이런식으로 의 배수, 의 배수, 계속해서 50보다 작은 소수의 배수까지 모두 지워줄 것이다. 하지만, 똑똑한 독자들이라면 의 배수 이후로는 확 인할 필요가 없음을 알아챌 것이다 그 이유는, 보다 큰 소수, 예컨데 9의 배수를 지워준다고 가정해보자. 하지만, 9의 두배에 해당하는 수는 이미 50을 훌쩍 뛰어넘는 수다. 도 마찬가지이고, 7도 마찬가지다. 즉, 보다 더 큰 소수는 그 배수를 굳이 확인해줄 필요가 없을 것이다. 이보다 더 똑똑한 독자들은 사실 의 배수, 의 배수또한 지워줄 필요가 없음을 알게 될 것이다. 예컨데 의 배수인 는 이기 때문에 이미 의 배수를 지우 는 과정에서 지워졌을 것이다. 마찬가지로 의 배수인 9도, 의 배수인 46도 7의 배수를 지운 이후라면 모두 지워졌을 것이다. 7

4 50보다 작은 소수는 다음과 같다.,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47 50까지의 소수를 알아내는데에 있어 적어도 7의 배수까지는 지워주어야 한다는 사 실을 다시 주목해보자. 어째서 7일까? 어째서 5의 배수까지도 아니고 의 배수까지도 아니고 7일까? 그에 대한 해답은 다음과 같다. 에라토스테네스의 체의 메커니즘을 자세히 살펴보면, 임의의 합성수(소수가 아닌 수)n이 언제 지워지냐는 문제는 n의 약수들 중 가장 작은 약수에 의해 결정된다. 예컨 데 0을 소인수분해하면, 5이다. 즉, 0은 의 배수를 지워줄 때 지워지기에 의 배수를 지울 때, 그리고 5의 배수를 지울 때 이미 사라진 상태이다. 마찬가지로 45 는 5이기 때문에 의 배수를 지우는 과정에서 사라진다. 그렇다면 50까지의 합성수 중 가장 마지막에 지워지는 숫자는 무엇일까? 바로 49 였다. 또한 특기할 점은 7의 배수를 지우는 과정에서 49가 유일하게 지워진 숫자라는 것이다. 왜냐하면, 7의 배수 중 4,, 5 등은 의 배수, 의 배수, 5의 배수를 지우는 과정에서 이미 사라졌고, 그렇기에 7 7 = 49가 처음으로 지워지는 숫자였다. 만약 우리가 50까지가 아니라 00까지였다면, 7 = 77과 7 = 9이 이 때 지워졌을 것이다. 자 다시 원래의 문제로 돌아와보자. 50이하의 합성수들 중 그 소인수가 가장 큰 수가 가장 마지막에 지워진다. 임의의 합성수 n = pq를 가정해보자. (여기서 p, q는 소 수이다.) 만약 p q라고 가정한다면 p n q가 성립한다.5 고로 n은 p의 배수가 지워질 때 지워질 것이다. 즉, n보다 작은 소수의 개수를 알아내는데에는 p < n을 만족하는 최대소수 p의 배수까지 나눠야 한다. 50 = 보다 작은 최대 소수는 7이기 때문에 7의 배수까지만 나눠주는 것으로 충분하다.6 에라토스테네스의 체가 비효율적인 것은 사실이지만, 또 이 만큼 간단하고 정확하 게 소수를 판별하는 방법도 없다. 이는 일반적으로 임의의 합성수가 소인수분해를 하기 힘들다는 특성을 가지고 있기 때문인데, 예컨데 일반 컴퓨터로 자리의 두 소수를 곱해 464자리의 숫자를 만들어내는데에는 기껏해야 분의 시간도 걸리지 않지만, 그 렇게 만든 464자리의 합성수를 소인수분해 하는데는 약 000년의 시간이 소모된다고 한다.7 그리고 이는 현대 문명을 떠받치는 암호체계인 RSA 암호체계의 기원이 된다. 8

5 . 소수의 특성 이제 소수가 무엇인지도, 무엇이 소수인지도 알았으니 소수가 가지고 있는 재미난 특 성들을 살펴보기로 하자. 그 첫번째는 유일 소인수분해이다. 이는, 임의의 자연수 n은 항상 소인수분해가 가능하며, 그 방법이 유일하다는 것을 말하는데, 예컨데 6은 이며(단 여기서 는 의 순서를 바꿔 준 것이니, 같은 것으로 간주하자.) 이는 6을 소인수분해하는 유일한 방법이라는 것이다. 마찬가지로 는 이며, 이 이외에 다른 방법으로 를 소인수분해하는 방법은 존재하지 않는다. 해당 성질 모든 자연수 n에 대해서 통용되며, 이를 산술의 기본 정리 라고 일컫는다. 해당 증명은 까다로운 편은 아니지만 다소 테크니컬한 편에 속하기에 생략하도록 하겠다. 임의의 숫자 n이 작으면 n을 나눌 수 있는 숫자도 많지 않다. 반면, n이 커지면 커질수록 n을 나눌 수 있는 숫자가 있을 가능성이 점점 더 커진다. 즉, 숫자가 커지면 커질수록 그 숫자가 소수일 확률은 점점 더 작아지게 된다. 예컨데, 에서 00사이에 있는 소수의 개수는 5개지만, 9900에서 0000사이에 있는 소수는 고작 9개 뿐이다. 그렇다면 언젠가 숫자가 아주아주 커지면 소수가 더 이상 멸종되는 일도 일어나지 않을까? 이 질문에 대한 해답을 제일 처음 발견한 것은 무려 000년전의 그리스 수학 자 유클리드였다.8 해당 증명을 살펴보기 전에 일단 간단한 기호와 나눗셈의 성질에 익숙해질 필요가 있다. a라는 숫자가 b를 나눠줄 때, 수학자들은 a b라고 표기한다. 일반적인 나눗셈과는 다르게 이 기호는 몫이 얼마인지 나머지가 있는지 없는지는 염두해두지 않는다. 다만 나누느냐 못나누느냐만이 이 기호가 말해줄 수 있는 전부인다. 예컨데, 4 이다. 반면, 나눠주지 못하는 경우에는 a - b로 한다. 예컨데, 5 - 이다. 이제 나눗셈의 성질을 주목해보자. 예컨데 k가 a + b를 나눠준다고 가정해보자. 즉, 방금 배운 표기법을 따르면, k (a + b)라고 표현할 수 있다. 이 경우 두가지의 가능성 으로 귀결되는데, 하나는 k a이면서 동시에 k b인 경우이고, 또 다른 하나는 k - a 이면서 동시에 k - b인 경우이다. 즉 k가 a + b를 나눠주는 경우에는, a, b둘 중 하나만 나눠주고 다른 하나는 나눠주지 못하는 경우는 있을 수 없다는 것이다. 예컨데, 4 이다. = 8+4이며 또 7+5로 표현이 가능하다. 4 4 과 4 8이지만, 4-5이며 동시에 4-7이다. 역으로말해, 만약 k - a이고 k b이거나, k a이면서 k - b면 k - (a + b)라는 것이 된다. 나누는 수가 소수인 경우에는 다음과 같은 성질이 있다. 어느 합성수 ab에 대해서 9

6 p ab를 만족하는 소수 p가 있다고 가정해보자. (여기서 a, b는 소수일 필요는 없다.) 그렇다면 p a이거나 p b여야만 한다. 예컨데, 5 90이다. 90 = 9 0으로 표현이 가능한데, 9와 0 중 0은 5로 나뉜다. 9 0이 아니라 45 혹은 6 5로 표현해도 항상 최소 둘 중 하나는 5로 나뉜다. 반대로 소수 p가 p - ab라면, p는 p - a이면서 동시에 p - b여야만 한다. 반면 p가 소수가 아니라면 해당 법칙은 성립하지 않는다. 예컨데 6은 6을 나눈지 만 6 = 4 9여도 6은 4도 9도 나누지 못한다. 소수에만 해당 법칙이 성립하는 이유는 소수가 더 이상 분해되어질 수 없다는 특성 덕분이다. 마지막 법칙은 다소 간단한데 임의의 수 a가 a b를 만족한다면, 아무 수 c에 대 해서 a bc역시 만족한다는 것이다. 예컨데 4는 를 나누니, 4는 임의의 의 배수를 나눌 수 있다는 것이라는 의미이다. 위의 특성들을 가지고 아래의 정리를 증명해보자. 정리.. 소수의 무한성: 소수는 무한히 많다. Proof. 소수가 무한히 많지 않다고 가정해보자. 그렇다면 가장 큰 소수 p가 있을 것이 다. 이 모든 소수를 곱한 가상의 수 M = p를 생각해보자. 그리고 M + 을 소인수분해 해보도록 하자. 만약 M + 이 소수라면, M + 은 p보다 큰 소수이다. 즉, p는 가장 큰 소수라는 가정이 무너진다. 반면 M + 이 합성수라면, q (M + )을 만족하는 소수 q가 있을 것이다. 하지만 q가,, 5, p일 수는 없다. 만약에 q가 이들 중 하나라면, q M 이 된다. 하지만 q (M + )이라고 가정했으니, q M 이며 q 이거나 q - M 이며 q - 이어야 한다. 하지만, 둘다 불가능하다.(첫번째의 경우는 임의의 소수 q가 보다 더 크기 때문에 q가 을 나눠주지 못하고, 두번째의 경우는 이미 q M 을 가정으로 삼았기 때문에 q - M 일 수는 없다.) 고로 p보다 작거나 같은 소수 q에 대해서 q - M 이며, 그러므로 q는,,, p중 하나일 수는 없다. 고로 q는 p보다 더 큰 소수일 것이며, 이는 p가 가장 큰 소수다 라는 가정을 무너뜨린다. 그러므로 M + 이 소수든 합성수든간에, p보다 더 큰 소수가 있다는 결론으로 귀결된다. 약간 이해하기가 어렵다면, 다소 계산하기 쉬운 예제들로 한번 살펴보도록 해보자. 소수가,, 5, 7, 밖에 없다고 가정해보자. 그럼 M + = = 40

7 이다. 은 소수이니, 앞서 제시한,, 5, 7, 보다 더 큰 소수가 만들어진 셈이다. 소수가,, 5, 7,, 밖에 없다고 가정해보자. 그럼 M + = = 0, 0이다. 0,0은 합성수이지만,,, 5, 7,, 으로 나뉘지 않는다. 예컨 데 이 0,0을 나눈다면, 이 0,00 또한 나누기 때문에 은 0, 0 0, 00 = 도 나눠야 한다. 하지만 앞서 모든 소수는 은 나눌 수 없다고 했으니, 이는 불가능하다. 즉 0,0을 나누는 소수는 보다 커야한다. 실제로 0, 0 = 이다. 그리고 이 두 소수는 모두 보다 훨씬 크다. 사실 소수의 무한성은 유클리드의 증명법 이외에도 여러 증명법이 있지만 유클리 드의 방식이 가장 간단하고 쉬우며 명료하다. 헝가리 출신 수학자이자 0세기 중후반 수학의 정신적 지주인 팔 에르되시(Paul Erdos)는 항상 수학적으로 아름다운 증명을 볼 때 마다, 하늘책9 에 있는 증명이군! 하고 말했는데, 여기서 하늘책이란, 신이 수학에서 가장 아름답고 명쾌한 증명들만을 모아 담아두었다는 상상속의 책이다.0 이후 수학자 마르틴 아이그너(Martin Aigner) 와 귄터 M. 지글러(Guinter M. iegler)이 이러한 명쾌한 증명들을 담은 하늘책의 증명 이라는 책을 공동저술했는데, 그 중 첫번째 나오는 정리가 소수의 무한성이다. 이 정리에는 6개의 증명이 서술되어있는데, 그들 중 가장 첫번째로 나오는 증명이 유클리드의 증명법이었다. 물론 다른 아름다운 증명이 있다. 개인적으로 필자는 오일러의 증명법또한 아름답 다고 생각하는데, 그 증명의 대략적인 방법은 다음과 같다. 오일러는 다음과 같은 사실을 발견해냈다 =. 5 이 식을 눈여겨 보면, 각각의 항, /, /, /5, 은 소수의 역수로서 모두 0보다 크고 보다 작다. 그러므로, 만약 소수가 유한히 많다면, 위의 식은 절대로 무한이 되지 못할 것이다. 하지만, 오일러는 위 급수가 무한임을 증명해냈고, 그렇기에 이 식은 소수 가 무한히 많다는 정리의 증명이 된다. 필자는 개인적으로 이 증명법을 좋아하지만, 아쉽게도 이 책은 하늘책의 증명 에는 실려져있지 않다. 이 외에도 또 흥미로운 소수의 무한성이 있다. 를 제외한 소수들은 모두 홀수이기 때문에(보다 큰 짝수는 로 나뉘기 때문에 소수일 수 없다.) 보다 큰 임의의 소수 p 를 4로 나누었을 때의 나머지는 무조건 이거나 이어야 한다. 그렇다면 나머지가 4

8 인 소수와 나머지가 인 소수의 비율은 어떻게 될까? 를 제외한 처음 개의 소수를 분류해보면 다음과 같다. 5,, 7, 9, 7, 4,, 7,, 9,,, 위의 행은 4로 나누었을 때 나머지가 인 소수들이며, 아래의 행은 나머지가 인 소수들이다. 얼추 봐선 둘의 수가 비슷비슷해 보인다. 앞서 우리는 소수의 개수가 무한 하다는 것을 증명했다. 즉, 나머지가 인 소수의 개수와 나머지가 인 소수의 개수, 둘 중 최소 하나는 무한히 많아야 한다는 의미이다.(둘다 유한히 많다면 소수의 개수는 무한이 될 수 없기 때문이다.) 과연 한 쪽만 무한히 많을까, 아니면 양쪽 다 무한히 많을까? 필자는 다음을 증명해보려 한다. 정리.. 4로 나누었을 때 나머지가 인 소수의 개수는 무한히 많다. Proof. 4로 나누었을 때 나머지가 인 소수의 개수가 유한히 많다고 가정하자. 해당 조건에 부합하는 가장 작은 소수는 일 것이다. 을 제외한 해당 소수들을 오름차순으 로 나열한 것을 p, p,, pk 라고 정의해보자.(즉 p = 7, p =, 이 되는 것이다.) 여기서 이제 다음과 같은 수 N 을 정의해보도록 하자. N = 4p p pk + 주목할 점은, N 은 와 을 약수로 삼지 않는다는 것이다. 일단 - N 인 이유는 N 이 홀수이기 때문이다. 또한 - N 인 이유로는 이 4p p pk 를 나누지 못하니 - N 이다. 이제 본격적으로 N 을 소인수분해 해보도록 하자. N 이 소수라면, pk 보다 더 큰 나머지가 인 소수가 있는 셈이니, pk 가 가장 큰 나머 지가 인 소수라는 가정은 무너져 내린다. 즉, 나머지가 인 소수의 개수는 유한하다. 만약 N 이 합성수라고 가정해보자. 앞서 와 이 해당 수의 약수가 아님을 보였 다. N 은 4로 나누었을 때 나머지가 인 소수들만을 약수로 삼을 수 없다. 왜냐하면 나머지가 인 소수들을 곱하면 4로 나누었을 때 나머지가 이기 때문인 반면, N 은 4로 나누었을 때 나머지가 이기 때문이다. 고로 N 은 보다는 큰 4로 나누었을 때 4

9 나머지가 인 임의의 소수 p를 소인수로 삼는다. 하지만 해당 p는 p,, pk 가 될 수 없다. 왜냐하면 해당 p가 4p p pk 를 나누긴 하지만, p는 보다 크므로 p - 이다. 고로 p - N 이다. 그러므로 N 은 pk 보다 작거나 같은 나머지가 인 소수를 약수로 삼지 않고 pk 보다 큰 나머지가 인 소수를 약수로 삼는다. 즉, p는 pk 보다 더 큰 나머지가 인 소수이며, 고로 나머지가 인 소수의 개수가 유한히 많다는 가정은 틀렸다. 결론적으로 N 이 합성수든 소수든 pk 보다 더 큰 나머지가 인 소수가 존재하니, 이 러한 특성을 가진 소수의 개수가 유한하다는 가정은 틀렸다. 그러므로, 4로 나누었을 때 나머지가 인 소수는 무한히 많다. 그렇다면 4로 나누었을 때 나머지가 인 소수는 얼마나 많을까? 똑같이 무한히 많을까? 아니면 어느 순간에 더 이상 끝이나고 없어질까? 답부터 말하자면 나머지가 인 소수도 무한히 많다. 하지만, 위의 증명과 비슷하지만 조금 더 테크니컬한 편이니 과감히 생략하도록 하겠다. 소수의 무한성에 대한 연구는 사실 이보다 훨씬 더 나아갔다. 수학자 디리클레는 아주 획기전인 발견을 해냈는데, 그 발견을 살펴보기에 앞서 최대공약수의 표기법에 대해서 간단하게 설명하기로 하겠다. 최대공약수란 두 수 a와 b를 동시에 나누는 가장 큰 수를 말한다. 즉 k a이며 k b를 만족하는 최대값 k이다. 이를 k = gcd(a, b)라고 표기한다. 예컨데, gcd(, 0) = 4이다. 왜냐하면 4는 와 0을 동시에 나누며, 4보다 큰 어떠한 자연수도 두 수를 동시에 나누지는 않기 때문이다. 수학자 디리클레가 발견한 정리는 다음과 같다. 정리.. 디리클레 등차수열 정리: gcd(a, b) = 이라면 자연수 n에 대하여 an + b의 꼴인 소수는 무한히 많다. 앞서 보여주었던 4로 나누었을 때 나머지가 인 소수는, 모두 4n + 이라고 표기 가 가능하다. (여기서 n은 자연수이다.) 예컨데, 7은 n = 인 경우이고, 은 n = 인 경우이다. 마찬가지로 4로 나누었을 때 나머지가 인 소수는 4n + 의 꼴을 띈다. 디리클레는 gcd(a, b)가 이라면, 다시말해 두 수의 최대공약수가 인 경우라면, a로 나누었을 때 나머지가 b인 소수가 무한히 많다는 것을 발견해냈다. 단 여기서 최대공 약수가 이어야만 하는 이유는, 임의의 a, b에 대하여 gcd(a, b) = k가 보다 크다면 k a이며 동시에 k b이니, k (an + b)가 된다. 즉, an + b는 k를 약수로 삼기에, 소수일 수가 없게 되어버린다. 마지막 무한성은 고작 0여년정도 전에 발견된 따끈따끈한 정리이다. 4

10 정리.4. 그린-타오 정리: 임의의 자연수 n에 대해서, 길이가 n인 등차수열의 소수 수열은 항상 존재한다. 등차수열이란, 각 항의 차이가 일정한 수열을 말한다. 예컨데, 4, 6, 8, 0의 수열은 연속하는 항의 차이가 이며, 항이 총 4개이기 때문에 길이가 4이며 공차가 인 등차 수열이라고 부른다. 마찬가지로 a, a + k, a + k,, a + (j )k 역시 연속하는 항의 차이가 k이며 총 j개의 항이 있기 때문에 길이가 j이며 공차가 k인 등차수열이다. 그 린-타오 정리는 임의의 자연수 n에 대하여 길이가 n인 소수로 이루어진 등차수열이 항상 존재한다는 정리이다. 예컨데, 길이가 4인 등차수열은 다음과 같다. 468, 95, 66, 504, , 87,, 86, 50n 여기서 n은 0에서 까지이다. 즉, 468, 95, 66, 504, 8, 468, 95, 66, 504, , 87,, 86, , 95, 66, 504, , 87,, 86, , 95, 66, 504, , 87,, 86, 50 모두가 소수라는 것이다. 그리고 임의의 자연수 n에 대하여 길이가 n인 소수의 등차 수열은 항상 존재한다는 것이 바로 그린-타오 정리이다..4 소수 정리 소수에 관련된 발견들은 사실 대체적으로 이해하기는 쉽지만 증명하기는 어려운 정 리들이 많다. 그 이유를 골라보라면, 소수의 불규칙성 때문이겠다. 예를 들어, 소수가 언제 나타나는지, 임의의 값이 소수인지 아닌지, 임의의 값보다 작은 소수의 개수가 몇개인지 등을 즉각에 알아내는 방법은 여지껏 발견되지 않았다.4 하지만 그렇다고 아무런 성과가 없었다는 것은 아니다. 적어도 소수가 어떻게 증가하는지 근사적으로 는 예측이 가능하기 때문이다. 해당 정리를 소수정리라 부른다. 하지만, 소수 정리의 44

11 증명은 다소 어려운 관계로 정리만 다루도록 하겠다. 일단 소수정리를 이해하기 위해서는 두 함수 π(x)와 log(x)와 자연상수 e, 그리고 몇몇 기호에 대한 이해가 필수적이다. 어라? π는 그 원주율,.4 가 아닌가요? 여 기서는 아니다. 수학은 점점 발전하고 더 많은 기호를 필요로 하지만, 알파벳은 이것 저것을 끌어다 써도 한정되어있기에, 같은 알파벳이 중복해서 쓰는 경우가 종종 있다. 그 대표적인 예가 바로 π로, π의 대표적인 두 가지 용법으로는, 우리에게 다소 익숙한 원주율과 이번 장에서 다룰 소수계량함수이다.5 소수계랑함수란, 소수의 개수를 재는 함수이다. π(x)는 x보다 작거나 같은 소수의 개수를 의미한다.(여기서 x는 자연수이다.) 예컨데, π(4)는 4보다 작거나 같은 소수의 개수를 의미한다. 4보다 작거나 같은 소수는 과 밖에 없으니, π(4) = 이다. 마찬가 지로 π()은 이하의 소수의 개수, 즉 5이다. 앞서 말했듯, 소수의 개수를 정확하게 계량하는 함수가 없기 때문에 π(x)값을 알기 위해서는 에라토스테네스의 체로 일일 이 소수를 걸러내 세는 방법밖에 없다. 독자들의 이해를 돕기 위해 아래 표로 n이 0 까지의 π(n)값을 표로 정리해보았다. n π(n) n π(n) n π(n) n π(n) 표.n: n이 0이하일 때의 π(n)값들 log(x)는 로그함수로, 제곱과 아주 연관이 깊은 함수다. 다음의 식을 생각해보자. ax = b 이를 로그함수로 표현해주면 다음과 같다. loga b = x 즉, 로그함수는, 몇 제곱을 하는지, 이른바 지수 를 알려주는 함수이다. 예를 들어, 45

12 = 8이니, log 8 = 이 된다. 혹은 05 = 0, 000이니, log0 0, 000 = 5가 된다. 여기 서 중요한 것은, log아래 쓰여진 작은 숫자이다. 예컨데, log 6이라고만 되어있으면, 해당 식을 계산할 수가 없다.6 이것이 log 6이면 4 = 6이니 4일테고, log4 6이면 4 = 6이니 일테니 말이다. 마지막으로 자연상수 e의 사전적인 정의는 다음과 같다. X = e= n! n=0 P 여기서 은 항들을 모두 더하는 덧셈기호로서 시그마라는 그리스어 대문자에서 P 따왔다. 주로 의 기호 아래에는 몇부터 시작하는지, 그리고 위에는 몇까지 더하는 P 지를 적는다. 예컨데, 은 00 n= n로 표기하며, /0 + / + 은 P n=0 /n으로 표기한다. 그렇다면 이번엔!란 무엇이란 말인가.!는 단순히 필자가 숫자를 강조하기 위해 서 느낌표를 찍은 것이 아니다. 이는 팩토리얼(factorial)이라는 기호로, n!은 n보다 작거나 같은 모든 자연수의 곱을 의미한다. 예컨데! = = 6이다. P 위의 식을 보면 기호 아래 n = 0이다. 즉, 0! +! +! + 해서 무한히 많은 수를 더해주는 것이다. 여기서 몇몇 독자들은 다음과 같은 의문을 제기할 수 있을 것 이다. 잠시만, n!은 n이하의 자연수를 모두 곱해준 것이라 했잖아?! = 이라 했듯이. 그렇다면 0보다 작은 자연수는 없으니 0! = 0아닌가? 그럼 분모에 0이 들어가는 거 아닌가? 날카로운 관찰력에 찬사를 보내나, 이에 대해서는 전혀 걱정할 필요는 없다. 왜냐하면 수학자들은 0!을 0이 아니라 이라고 정의하고 있기 때문이다.7 그렇기 때문에 첫번째 항이 이 되는 것이다. 해당 급수는.788 정도가 되는데 이는 수학에서는 아주 중요한 상수 중에 하나이다. 그래서 loge 만큼은 특별한 기호를 사용해주는데, ln이라고 표시한다. 마지막으로 이라는 기호가 있다. 어떤 두 함수가 으로 연결되어 있다면 두 함 수가 비슷하다 라는 의미이다. 예컨데, f (x) g(x)라는 것은 x가 무한히 커질 때 f (x)/g(x)가 이 된다는 의미이다. 예컨데 x와 x + 은 x x + 을 성립한다. 왜냐 하면 x가 아주 큰 수, 예컨데, 0만이라면, 00, 000/(00, ) 이기 때문이다. 그리고 x가 더 커지면 더 에 가까워지게 된다. 반면, x와 x 는 x x 를 성립시키지 못한다. 왜냐하면 x가 무한히 클 때, x/x = /x은 0으로 가기 때문이다. 이런 경우 46

13 x x 로 표기한다. 또 하나의 예로는 x x가 있다. 왜냐하면 x가 몇이든 상관없이 x/x는 항상 이기 때문이다. 이제, 소수정리를 이해하는데 필요한 재료들은 얼추 모인 듯 하니, 소수정리를 살 펴보도록 하자. 소수정리는 다음과 같다. 정리.5. 소수정리: π(x) x/ ln x. 즉 소수정리는 x가 아주 큰 수일때, π(x)대 x/ ln x의 비율이 이 된다는 것이다. 다시말해, 둘은 비슷하게 증가한다는 것이다. 과연 그것이 참일까 궁금한 독자들을 위해서 π(x)와 x/ ln x를 비교하는 표와 둘의 그래프를 아래에 첨부하도록 하겠다. π(x) x/ ln x π(x) x/ ln x π(x)/(x/ ln x) x ,9, , ,498 7, ,579 60, ,76,455 5,48,67,774.06,59, ,847,54 48,54,94 표.: π(x)와 x/ ln x 비교 표8 소수정리의 아이디어를 조금만 더 연장해보자. 왼쪽변과 오른쪽변에 x로 나눠주면 다음과 같은 식이 성립된다. π(x). x ln x 왼쪽변은 x보다 작은 소수의 개수를 x로 나눈 값이다. 이것이 의미하는 건 뭘까? 예 컨데, x를 0으로 둔다면, 0보다 작거나 같은 소수의 개수를 0으로 나눈 수이다. 이 것은 바로 0보다 작은 임의의 숫자를 골랐을 때, 그 수가 소수일 확률을 의미한다. 그리고, 이 값은 x가 아주 크다면 그 확률은 / ln x에 가깝다는 사실을 알 수 있다.9 다시말해, 소수정리는 다음과 같이 해석되어질 수 있다. 47

14 Figure.: π(x)와 x/ ln x 비교 그래프 아주 큰 임의의 정수 N 이 소수일 확률은 에 ln N 가깝다. 이 방식을 이용하면, 임의의 수가 소수인지 아닌지 대략적인 확률을 알 수 있다. 예컨데 06 에 가까운 임의의 수가 소수일 확률은 약 7%이다.(실제로 06 보다 크고 보다 작은 소수의 개수는 6개이다.0 단순확률계산으로, 00개중 6개가 소수이니 7% 에 얼추 들어맞는다.) 마찬가지로, 0억에 가까운 임의의 수가 소수일 확률은 약 4% 정도가 된다. ln x는 아주아주 더디게 무한으로 향하는 함수이다. 그러므로 / ln x는 아주아주 느리게 0으로 향하는 함수라고 이해할 수 있다. 그렇기 때문에, 임의의 아주 큰 수 n 이 소수일 확률은 0에 수렴하게 된다. 하지만 앞서 소수의 무한성에서 증명했듯, 어느 수 n이후로 소수 확률이 0이 되어 소수가 멸종되는 일은 없다. 그 이유를 짧게 설명해보면, 소수정리에서 우리는 π(x)가 x/ ln x와 비슷하게 증 가한다는 사실을 보여주었다. x/ ln x는 x : ln x의 비율이라고 해석되어질 수 있다. 양쪽 모두 x가 무한히 커질 때, 무한으로 향하는 것은 사실이지만, ln x가 무한으로 향 하는 속도는 너무나도 더딘 나머지 x가 커지면 커질수록, x : ln x의 비율도 걷잡을 수 없이 커져버린다. 예컨데, x가 00억이어도 ln x의 값은 고작.05 밖에 되지 48

15 않는다. 양쪽 모두 무한으로 향하는 함수임은 맞지만, 이 두 함수의 비율은 x가 무한히 커질 때 무한으로 향하게 되며, 고로 소수의 개수는 무한히 많다는 의미이다. 즉, 아주 큰 자연수 n이후로 소수가 멸종되는 일은 없을 것이다..5 제타함수의 소수 형식 이번에는 약간 난이도가 있는 제타함수를 소개해볼까한다. 제타함수의 기원을 소개 하기 위해서는 약 50여년의 역사를 거슬러 올라야 한다. 때는 644년, 볼로냐 출신 수학자 피에트로 멩골리가 다음과 같은 문제를 제시하였다. 문제.. 바젤문제: 다음의 식의 값을 구하여. X = n n= 멩골리가 제시한 문제는 오랜 시간에 걸쳐 전 유럽의 수학자들이 도전했다. 일일이 값을 계산하는 것 부터 시작해 여러가지 방법들이 사용되어졌지만, 그들의 노력은 대 부분 허사로 돌아갔다. 정확히 90년이 지난 74년, 애석하게도 멩골리가 이미 세상을 뜬지 약 50년이 되는 때, 불세출의 수학자 레온하르트 오일러는 해당 식의 값이 π6 임을 증명했다. 도대체 자연수의 제곱의 역수의 합에 원주율 π라니, 상상치도 못한 결과가 아닐 수 없다. 도전적이고 열정적인 독자들은 도대체 어디서 π가 튀어나오게 된 걸까 궁금하기도 하겠지만, 아쉽게도 이 증명은 다소 복잡한 관계로 생략하도록 하겠다. 뿐만 아니라, 오일러는 제곱이 아니라 네제곱, 여섯제곱 등 짝수 제곱 의 급수의 정 확한 값들을 모두 제시하였다. 하지만 천하의 오일러도 홀수 제곱 의 급수의 값에 대해서는 침묵할 수 밖에 없었다.4 다른 짝수 제곱의 급수들의 값들은 다음과 같다. 49

16 X n4 n= X n= X n= π4 90 n6 π6 945 n8 π X n0 n= π 표.: 오일러가 제시한 값 오일러는 위의 급수를 해결했을 뿐만 아니라 이것을 함수로서 지정했다. 다음과 같이 말이다. X = s + s + s + 5 ζ(s) = s n n= ζ는 그리스어 알파벳인 제타(eta) 로, 리만은 해당 함수의 이름은 제타함수로 명명하였다. 위에 오일러가 제시한 값을 제타함수의 형식으로 쓰면, ζ() = π6 로 표 현이 가능하다. 제 7장: 난제편에서 더 자세히 소개될 예정이지만, 이 제타함수에서 현대수학의 최대 난제인 리만 가설 이 시작되었다. 그렇다면 연습삼아 이번엔 ζ()의 값을 구해보도록 해보자. 아직 ζ(s)의 표기법이 익숙하지 않은 독자들을 위해 아래 ζ()을 무한급수의 형태로 써보았다. X = ζ() = n 4 n= 이 무한급수의 값은 몇일까? 값은 다름아닌 무한이다. 어째서 이 무한급수의 값은 무한이 되는 것일까? 거기에 대한 아주 간단한 증명이 있다. 이 급수를 다른 급수와 한번 비교해보도록 해보자. 50

17 위의 급수는 제시된 ζ()이고, 아래 급수는 분모를 의 제곱으로 삼는 분수들이 몇번씩 반복되며 더해진다. 는 한번, 4 는 두번, 8 은 네번, 임의의 자연수 n에 대하여 은 n 번 더해진다. 이 두 급수를 비교해보도록 하자. n 어떤 값이 더 클까? 단순히 그 값을 비교하는 것은 어려워 보인다. 차라리 항을 하나하나 비교해보는 것은 어떨까? 가장 첫번째 항과 두번째 항의 값은 같으니 비교 를 넘어가도록 하자. 세번째 항에서 처음으로 값이 다른데, 위의 급수는 이고 아래 급수는 4 이다. > 4 이니, 세번째까지 더한 값에 있어서는 위의 급수가 더 클 것이다. 네번째항도 같은 값이니, 이번엔 다섯번째 항으로 넘어가자. 다섯번째, 여섯번째, 일 곱번째 항을 비교해보면, 5 > 6 > 7 > 8 이니, 위의 급수가 아래의 급수보다 더 크다는 것을 알 수 있다. 이런식으로 비교를 계속해 나가다보면, 위의 급수가 아래 급수보다 더 크다는 사실을 알 수 있다. 그렇다면 아래 급수의 값을 계산해보도록 하자 = = = + 위의 식에서 같은 분모를 가진 항들을 살펴보면, /4는 두 번, /8은 네 번, 그리고 임의의 자연수 n에 있어 /n 은 n 번 더해진다. 즉 이 값들을 더한 값들은 모두 / 가 된다. 다시말해, 위의 식은 /를 무한히 많이 더한 꼴이니, 무한이다. 하지만 우리 는 앞서 ζ()값이 이보다 더 큰 값이라는 것을 보여주었다. 그러므로 ζ()또한 무한이 되어버리는 것이다. 여기까지 읽은 독자들 중 일부는 다음과 같은 의문이 들 수도 있을 것이다. 그래, ζ()에 π가 튀어나오는 것도, ζ()이 무한으로 가는 것도 참 흥미로운데, 이번 장은 5

18 소수 에 관련된 장 아니었나? 도대체 제타함수가 소수랑 무슨 관련이지? 아주 깊은 관 련이 있다. 지금부터 필자는 제타함수를 소수로 표현하는 이색마술을 선보일 것이다. 일단 제타함수의 정의로 돌아가보자. ζ(s) = + + s + s (.) 일단 가장 첫번째 항 s 는 s가 몇이든 상관없이 항상 이기 때문에 로 대체해 주었다. 여기서, 만약 제타함수에 /s 를 곱해보면 어떻게 될까? 간단한 지수법칙인 s = 을 이용하면 다음과 같이 된다. s a b (ab)s ζ(s) = s + s + s + s 4 6 (.) 이번에는 식 (.)에서 (.)을 빼보도록 해보자. ζ(s) s ζ(s) = + s + s s 4s 6s (.) 식 (.)의 왼쪽 변에는 ζ(s)으로 묶을 수 있으며, 오른쪽에는 분모가 짝수인 항들을 지워 없앨 수 있다. 즉 식 (.)은 다음과 같이 표현이 가능하다. s ζ(s) = + + s + s + s 5 7 (.4) 이번에는 식 (.4)에 s 을 곱해보도록 해보자.(식 (.4)의 우변에는 분모가 홀수인 항들만 있다는 것을 염두해두자.) s s ζ(s) = + s + s + s + s 9 5 (.5) 이번엔 (.4)에서 (.5)를 빼보도록 해보자. 5

19 s ζ(s) s s ζ(s) = + s + s + s (.6) 5 7 s 9s 5s s 식 (.)을 (.4)로 표현했던 방식을 사용하면 식 (.6)또한 다음과 같이 표현이 가능해진다. s ζ(s) = + s + s + s + s + s 5 7 (.7) 식 (.7)을 보면 좌변에 ζ(s)앞에 s s 이 곱해지자, 우변의 무한급 수에는 의 배수거나 의 배수의 분모의 항들은 모두 사라졌다. 즉 좌변에 5s 를 곱해주면, 우변의 무한급수에는 5의 배수의 분모의 항들 역시 모두 사라질 것이다. 다음처럼 말이다. s s = + s + s + s + s + s (.8) 좌변에 7s, s, s 을 곱해줌에 따라 우변의 무한급수에는 7의 배수, 의 배수, 의 배수의 분모의 항들또한 모두 사라지게 될 것이다. 최종적으로 p가 소수일 때, 좌변에 ps 을 곱해주면 우변의 모든 p의 배수를 분모로 가진 항 들이 사라질 것이다. 이를 모든 소수 p에 반복하면, 결국 우변에 있는 모든 분수들은 사라질 것이다. 다음과 같이 말이다. ζ(s) s s s s = 5 7 이제 식 (.9)의 좌변에 있는 ps (.9) 를 우변으로 옮겨주자. 5

20 ζ(s) = s s 5s 7s (.0) 분모에 일일이 모든 소수들을 곱해주는 게 다소 지저분해 보인다. 지저분한 걸 싫 P 어하는 수학자들은 무한히 많은 항들의 덧셈을 을 사용해 표현해줬듯, 무한히 많은 Q 항들의 곱을 로 표현해준다. 다음처럼 말이다. ζ(s) = Y p는 소수 s p (.) 마지막으로 ζ(s)를 무한급수의 형식으로 다시 써주면 다음과 같은 훌륭한 관계식을 얻을 수 있다. X = Y s n n= s p (.) p는 소수 놀랍지 않은가. 그 무한히 많은 항들의 합이 모두 소수의 항들의 곱으로 표현이 가능해진 셈이다. 지금까지 소수의 규칙성에 대해서 수천년의 연구가 있어왔고 많은 수학자들이 좌절되어왔다. 하지만 마침내 리만은 소수의 규칙성을 연구하는 방법에 새로운 가능성을 제안한 것이다. 제타함수 말이다. X 이제 제타함수의 새로운 형식에 을 대입해보자. 기존의 ζ() = = 였으니, n n= 이 새로운 식 역시 무한을 내뱉을 것이다. 54

21 ζ() = Y p는 소수 = p 5 7 = = 4 6 = 5 (.) 7 분수안에 분수가 나온다고 너무 걱정할 필요는 없다. 이러한 분수는 다음의 형식 으로 다시 써줄 수 있기 때문이다. a b = b a 위의 관계식을 이용해 식 (.)을 다시 표현하면 다음과 같다 = = 4 6 ζ() = (.4) 위의 분수식을 자세히 보면 분자는 모두 소수의 곱이고 분모는 모두 각 소수에 을 뺀 값들의 곱이다. 만약에 소수의 개수가 유한하다면, 위의 분수의 분자와 분모에는 유한히 많은 항들의 곱일 것이다. 그러므로 해당 분수의 값은 결코 무한이 되는 일은 없다. 즉, ζ()이 무한이라는 의미는 소수의 무한성의 또다른 증명이 된다..6 소수에 관련된 난제들 마지막으로 소수에 관련되어 해결되지 않은 문제들을 소개해보고자 한다. 가장 첫번 째로 소개할 난제는 쌍둥이 소수 추측이다. 이는 힐베르트의 제 8 문제 중 하나로, 그 55

22 질문은 다음과 같다. 가설.. 쌍둥이 소수 추측: 쌍둥이 소수는 무한히 많은가? 쌍둥이 소수란 p와 p + 가 동시에 소수인 소수들을 말한다. 예컨데 과 5는 둘 다 소수이며 차이가 난다. 이런 경우 과 5는 쌍둥이 소수라고 일컫는다. 마찬가지로 5 와 7, 과, 7과 9 모두 쌍둥이 소수이다. 이러한 형식의 소수가 무한히 많은지 아닌지 아직 증명이 되지 않은 상태이다. 위의 추측을 증명하는 방법으로는 두가지를 제시할 수 있는데, 하나는 단순히 p, p+ 꼴의 소수들이 무한히 많은지 찾아내는 것이고, 다른 하나는 소수 간극을 연구하는 법이다. 소수 간극이란, 두 연속된 소수의 차이를 말한다. 소수 간극을 연구하는 방법을 쉽게 요약하면, 정해진 k값에 대하여 p < q p + k를 만족하는 소수 p, q꼴이 무한히 많음을 보여주는 것이다. 여기서 k가 라면 p < q = p + 를 만족하는 두 소수 p, q가 무한히 많음을 보여주는 것이니 쌍둥이 소수 추측에 대한 증명이 될 수 있다. 소수 간극의 연구를 약간 언급해보면, 0년 중국계 수학자 장이탕은 차이가 7 천만보다 작은 소수의 개수가 무한히 많다는 것을 증명해냈다. 즉, p < q p 을 만족하는 두 소수 p, q가 무한히 많다는 것이다.6 물론 7천만은 에 비해 터무니 없이 크지만, 전혀 성과가 없었던 것은 아니다. 이 연구에서 영감을 얻은 난제들에 도전하는 수학자 단체, 폴리매스 프로젝트는 0년 7월, 이 7천만이라는 값을 4680 까지 줄였으며7, 0년 월 제임스 메이나드는 이 값을 또 600까지로 줄였다.8 더 나아가, 메이나드의 아이디어를 이용해 폴리매스 프로젝트는 해당 값을 마침내 46까 지로 줄였다.9 물론 아직 갈 길이 멀다만, 이것이 비약적인 발전이라는 것에 동의하지 않을 수학자는 없다. 수학에서는 가끔씩 증명되지 않은 가설들을 참이라는 가정하에서 수학 연구를 진 행하곤 하는데, 예컨데 엘리엇-하버스탐 가설이 참이라는 가정하에서 연구를 진행한 결과 소수 간극이 6까지 압축되었다고 한다.0 이것은 무슨 의미이냐, 수학자 테렌스 타오가 미국의 코미디 토크 쇼인 콜버트 리포트에서 언급한 것을 인용해보겠다. (상략)...사촌 소수는 4 차이가 나는 소수 쌍을 말합니다. 7과 처럼 말 이죠. 쌍둥이 소수 만큼 가까운 사이는 아니지만, 그래도 꽤 가까운 소 수입니다. 그리고 섹시 소수라는 것도 있어요. 6 차이가 나는 소수 쌍을 말합니다. 우린 쌍둥이 소수가 무한히 많은지, 사촌 소수가 무한이 많은지, 56

23 섹시 소수가 무한히 많은지는 모릅니다. 그런데 올해, 뭐 어떤 가설이 참 이라는 가정 하에, 그들 셋 중 최소한 하나는 무한하단 겁니다...(하략) 테렌스 타오 즉 둘의 차이가 6 이하인 소수쌍이 무한하다는 것은, 적어도 쌍둥이 소수, 사촌 소수, 섹시 소수 중 하나는 무한하다는 것을 의미한다. 물론 모두가 무한히 많을 수도 있고, 둘만 무한히 많은 것일수도 있다. 다만, 안타깝게도 무엇이 무한히 많은지는 아직은 알지 못한다. 쌍둥이 소수 추측 만큼이나 유명하고 오래된 추측이 하나 더 있다. 가설.. 골드바흐의 추측: 4 이상의 모든 짝수는 두 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 누구나 이해할 수 있지만 아무도 해결하지 못한 추측으로, 수학계에서는 거의 무명 이던 골드바흐라는 이름을 불멸로 만들어 준 장본인이다. 아니, 장본 문제라 해야하나. 골드바흐의 추측은 긍정적으로 해결되거나 부정적으로 해결되는 두가지 시나리오가 있는데, 긍정적으로의 해결은 모든 짝수가 두 개의 소수의 합이라는 것을 증명하는 것이고 부정적으로의 해결은 두 개의 소수의 합으로 나타낼 수 없는 짝수를 찾는 것이 다. 아베이로 대학의 전기, 통신, 정보학과 교수 토마스 올리베이라 E. 실바는 컴퓨터 프로그래밍으로 4 08 이하의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현이 가능하다는 것을 보였다. 아무래도 반례를 찾기는 다소 힘들어보인다. 이와 관련된 추측으로는 약한 골드바흐의 추측이 있는데 그것은 다음과 같다. 가설.. 약한 골드바흐의 추측: 7 이상의 모든 홀수는 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다. (해결) 이것이 약한 골드바흐의 추측인 이유는 골드바흐의 추측이 참이면 자동적으로 약한 골드바흐의 추측 역시 참이 되어버리기 때문이다. 하지만 안타깝게도 약한 골드 바흐의 추측이 참이라 해도 그것이 골드바흐의 추측이 참이라는 증거가 되진 못한다. 약한 골드바흐의 추측은 0년 페루의 수학자 아랄드 헬프고트가 증명해냈다.4 다음과 같은 추측도 있다. 가설.4. 소피 제르맹 소수는 무한히 많다. 57

24 소피-제르맹 소수란 p가 소수일 때 p + 또한 소수인 소수쌍을 말한다. 예컨데 5 는 소수이며 5 + = 또한 소수이다. 이럴경우 을 안전소수라 부르며 5를 소 피-제르맹 소수라 부른다. 쌍둥이 소수 추측과 마찬가지로 소피-제르맹 소수가 무한히 많은지 아닌지는 역시 여전히 밝혀지지 않았다. 이러한 무한성 추측의 또다른 예로는 n n 꼴의 메르센 소수나 + 꼴의 페르마 소수, n + 꼴의 소수 등이 있다. 각각의 소수의 형태들이 무한히 많은지 아닌지 역시 미해결 문제로 남아있다. 마지막으로 또 한종류의 소수에 관련된 가설들로는 소수의 분포에 관련된 가설들이 있다. 대표적인 추측으로는 르장드르 추측과 두번째 하디-리틀우드 가설이 있겠다. 가설.5. 르장드르 추측: 임의의 자연수 n에 대해서, n 보다 크고 (n + ) 보다 작은 소수는 항상 존재한다. 가설.6. 두번째 하디-리틀우드 가설: 이상의 자연수 x, y에 대해서 π(x + y) π(x) + π(y)이다. 58

25 .7 닫는 글 종종 인류의 가장 마지막 개척지를 우주로 표현하곤 한다. 필자는 수학의 가장 최초의 개척지이자 가장 최후의 개척지가 바로 수라고 생각하고, 특히나 소수라고 생각한다. 지난 수천여년의 수학의 역사동안, 다양한 수학의 분야들이 떠올랐고 정복되어졌다. 하지만, 여전히 소수라는 분야는 정복될 날이 멀기만 하다. 인류의 무지를 비웃기라도 하는 듯, 소수에 대한 의문점은 날이 가면 갈수록 점점 많아지고 있으며, 새로운 수학 연구들을 제시한다. 모르는 것은 점점 더 많아지고, 과연 우리가 이 의문들을 모두 해결할 수 있을까 회의감이 드는 것도 사실이다. 하지만, 오히려 필자는 다행이라 생 각한다. 그 소수에 대한 경이로움이 완전히 정복되어지지 않았기에 완전히 파헤쳐지지 않았기에, 그 가치가 더 아름답게 느껴지는게 아닌가. 그런 생각이 든다. 누가 과연,,,4, 같이 단순한 자연수가,,5,7 같이 불가해한 소수를 낳았을 것이라고 상상이나 했겠습니까? - 이안 스튜어트5 소수를 연구하는 수학자들의 앞으로의 행보를 조금은 기대해주길 바라며, 이만 소수의 장을 마치도록 하겠다. 59

26 Notes to chapter. 일반인들에게는 단순히 상금 00만 달러가 걸려있는 수학문제로 알려져 있지만, 단순히 수학을 넘어서 물리학과 컴퓨터이론에 관련된 문제도 다뤄진다. 리만가설과 더불어 양-밀스 질량 간극 가설, P-NP문제, 나비에-스토크스 방정식, 호지 추측, 버 치와 스위너톤-다이어 추측, 그리고 00년에 해결된 푸앵카레 추측 이렇게 7문제가 있다.. Mathematical Mysteries : The Beauty and Magic of Numbers (999) by Calvin C. Clawson, p 소수의 정의에 따르면 은 소수가 맞는 것 처럼 보인다. 은 과 자기자신만을 약수로 삼기 때문이다. 하지만, 을 소수로 간주해주면, 이후에 언급될 수의 유일 소인수분해 성질이 깨지기 때문이다. 그 이외에도 여러가지 편의를 위해서 은 소수로 간주하지 않는다. 5. p, q 둘 다 n보다 작거나, 클 수는 없다. 6. 왜 n이 세개의 소수의 곱, 혹은 더 많은 소수의 곱인 경우에는 생각해주지 않냐고 반문할 수 있다. 만약 n = pqr라면 (여기서 p, q, r은 소수이며, p q r이라고 가정 해보자.) p < n를 성립시킨다. 즉, p < n < n이니, 이는 두 소수의 곱인 qr보다 이전에 지워질 것이다. 고로 소인수가 더 많을수록 더 일찍 지워지기 때문에, 소인수가 가장 크게 될 수 있는 경우인 n = pq의 경우만 살펴보면 충분하다. 7. single-core. GHz AMD Opteron-based computer 기준, org/00/ 지금까지 남아있는 자료로서 처음이라는 것이지, 이 이전에 발견되었지만 증명이 유 실된 경우를 배제할 수는 없다. 하지만, 수학자들은 소수의 무한성 의 최초 발견자를 유클리드로 동의한다. 9. 원어로는 The Book이라 그 책 이 맞겠지만, 어째선지 한국에서는 하늘책 이라고 해석되어졌다. 0. 호프만, 폴 (999). 우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다. 신현용 역. 승산. ISBN 하지만 반대의 경우는 성립하지 않는다. 0보다 크고 보다 작은 항이 무한번 더해 졌다고 무한이 되는 건 아니다. 예컨데 / + /4 + /8 + 는 에 수렴한다. 60

27 . 다소 이해하기 어렵다면 한번 계산을 통해 증명해보도록 하자. 4로 나눴을 때 나머 지가 인 임의의 수 a, b를 생각해보자. 그렇다면 a = 4k +, b = 4m + 로 표현이 가능 하다.(여기서 m, k는 자연수이다.) 이들의 곱 ab는 (4k+)(4m+) = 6km+4k+4m+ 로, 이 수를 4로 나눈다고 가정해보자. 6km, 4k, 4m은 모두 4로 나뉘는 반면, 은 그 렇지 않다. 그러므로 이 수는 4로 나눴을 때 나머지가 인 수이다. 이렇듯, 4로 나눴을 때 나머지가 인 수를 몇번이고 곱해도 그 수를 4로 나누면 나머지는 항상 이 된다.. Green, Ben; Tao, Terence (008). The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. Annals of Mathematics 67 (): arxiv:math.nt/ doi:0.4007/annals MR 그리고 앞으로도 꽤 오랜 시간동안 발견하기 힘들지 않을까 예측해본다. 5. 물론 이 외에도 몇몇 용법이 있다. 예컨데 호모토피 기본군도 π를 기호로 채택한다. 6. 사실 계산할 수 없다는 말은 어폐가 있다. 어떤 분야냐에 따라 다른데, 대부분의 수학 교과서에서 log로 표기되어있다면 loge 를 의미한다. 여기서 e는 자연대수이다. 그 외의 로그 표기에 작은 숫자가 생략되어있다면 상용로그로써 log0 을 의미한다. 7. 아무런 이유도 없이 그렇게 정의한 것은 아니다. (n )!은 부터 n 까지의 곱이다. 즉, 부터 n까지의 곱에서 n을 나눠준 것이기에 (n )! = n!/n이라 쓸 수 있다. 여기에 n에 을 대입하면, ( )! = 0! =!/ = 이라는 사실을 구할 수 있다. 8. OEIS: A006880, A 이는 단순확률계산이다. 예컨데 위의 식을 사용해 0이 소수일 확률은 / ln 0 이라고 말하기는 어려운 것이, 0이 소수냐 아니냐는 이미 정해져있는 일이기 때문 이다. 0은 소수가 아니며, 그러므로 그 확률은 0이다. 그래서 주로 임의의 n이 소수일 확률 이라고는 하지만, 정해진 n이 소수일 확률 이라는 표현은 피한다 이것이 어째서 소수의 무한성을 의미하는지 쉽게 이해하기 힘들다면, n이후로 소 수가 멸종된다고 가정해보자. 그렇다면 가장 큰 소수는 n보다 작을 것이다. 고로, 가장 큰 소수가 있을 것이며, 이는 소수의 개수가 유한하다는 것을 의미한다.. Ayoub, Raymond (974). Euler and the zeta function. Amer. Math Monthly, 8: doi:0.07/904. 대략적인 증명의 방법을 제시해보면, sin x함수를 무한히 많은 일차식의 곱으로 전개해준 뒤, 방정식을 푸는 것이다. 사실 미적분을 수강한 학생들에게 해당 증명을 이해시킬 수 있는 수준의 증명이지만, 그 증명을 떠올리는데에는 엄청난 직관력을 6

28 필요로한다. 4. 지금까지도 홀수 제곱들의 급수의 정확한 값은 알려지지 않았다. 그나마 위안인 것은, 수학자 아페리가 978년에 세제곱 급수의 값이 무리수라는 것을 밝힌 상태이다. 5. 일반적으로 수학에서 변수는 x로 쓰는 것이 일반적이지만, 특이하게도 리만은 x가 아니라 s를 사용했다. 수학에서는 기호를 처음 제안한 사람의 표기법을 따르는 것을 관행으로 삼기에 제타함수에서 만큼은 변수를 s로 사용한다. 6. hang, Yitang (04). Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics 79 (): 74. doi:0.4007/annals MR primes 8. Maynard, James (05). Small gaps between primes. Annals of Mathematics 8 (): 8 4. doi:0.4007/annals MR DHJ Polymath (04). Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes. Research in the Mathematical Sciences (). doi:0.86/s primes. 콜버트 리포트 04년 월 일자: 6wtwlg/terence-tao. 예컨데 k라는 홀수는 k 이라는 짝수에 을 더한 꼴로 나타낼 수 있다. 골드바 흐의 추측이 참이라면 k 은 두 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있으니, 자동적으로 k는 세 개의 소수의 합으로 표현이 가능해지게 되는 것이다 harald-andres-helfgott 5. Jumping Champions, Scientific American, December 000 6