리만 가설

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서일 성
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1 리만가설 김영훈교수서울대수리과학부

2 Wir müssen wissen. Wir werden wissen. 우리는알아야합니다. 우리는알것입니다 년쾨니히스베르크명예시민증수여식에서 힐베르트

3 1900 년파리세계수학자대회 힐베르트연설 : 수학에서가장중요한 23가지문제 20세기수학발전에지대한영향을끼친문제들 서두에페르마의마지막정리언급 1. 연속체가설 :1963년폴코헨 2. 산술공리의무모순성 : 1931년쿠르트괴델의불완정성정리 3. 사면체부피의동등함 : 1901년맥스덴이아님을증명 4. 두점사이의최단거리로서의직선 5. 연속군은미분군인가? :1950년대앤드루글리슨

4 힐베르트의 23 문제 6. 물리학의공리화 : 1933 년안드레이콜모고로프의확률론공리화? 7. a( 0,1) 가대수적수이고 b 가대수적무리수일때, a b 은초월수인가? : 1935 년겔폰트, 슈나이더 8. 리만가설과골드바흐추측 9. 수체의상호법칙 10. 디오판토스방정식이정수해를갖는지판별하는알고리즘 : 1970 년마티야세비치의정리 - 부정적

5 힐베르트의 23 문제 11. 대수적수를계수로갖는이차형식의해구하기 : 부분적해결 12. 유리수체의아벨확장에대한크로네커정리의일반화 13. 변수가 2 개인함수이용하여일반적인 7 차방정식의해구하기 : 콜모고로프와아놀드 14. 대수적불변식에대한힐베르트의정리를모든변환군으로확장 : 1959 년나가타마사요시가거짓임증명 15. 슈베르트의세는기하학의기초제시 : 1978 년풀턴과맥퍼슨이교차이론확립

6 힐베르트의 23 문제 16. 대수곡선과대수곡면의위상 17. 정부호유리함수를제곱으로표현하기 : 1927 년아틴, 뒤보아, 피스터가해결 18. 다면체로공간쪽매맞춤 :1928 년카를라인하르트케플러의추측 (3 차원의가장조밀한공쌓기 ) :1998 년 19. 라그랑지언의해는항상해석적인가? : 1957 년조르지, 존내시가증명 20. 경계값문제

7 힐베르트의 23 문제 21. 주어진모노드로미군을갖는미분방정식의존재 : 리만 - 힐버트대응, regular holonomic 인경우카시와라가해결, 더일반적인경우로확장중. 22. 보형함수를이용한해석적관계의균일화 23. 변분법의발전

8 Millennium Prize Problems 2000 년 5 월 24 일클레이수학연구소가정한 21 세기사회에가장크게공헌할수있는미해결문제 7 가지각문제당 100 만달러의상금 P-NP 문제 호지추측 푸앵카레추측 리만가설 양 - 밀스질량간극가설 나비에 - 스토크스방정식 버치 - 스위너턴다이어추측

9 P-NP 문제 알고리듬 (algorithm): 어떤문제를해결하기위해입력된자료를토대로원하는출력을유도해내는규칙의집합 알고리듬 : 9 세기바그다드지혜의전당의수학자이븐무사알 - 콰리즈미의이름에서유래 알고리듬의효율성 : 계산시간이입력크기의증가보다상대적으로느리게증가한다면효율적 답을얻기위한단계의수가입력크기의거듭제곱에비례한다면 P 클래스, 답이옳다는것을다항작동시간내에확인할수있다면 NP 클래스 P 는 NP 와같은가? 전자상거래, 금융, 암호등에포괄적응용.

10 푸앵카레추측 1904 년앙리푸앵카레가제기한위상수학문제 콤팩트한단순연결된닫힌 3 차원다양체는 3 차원구면뿐인가? 2002 년러시아수학자그리고리페렐만이해결 : 필즈상, 클레이연구소의백만달러거부

11 고무판위의기하학 종이나나무판이아닌탄력있는고무판에서늘이고줄이고구부리는변형을통해모양을바꿀수있다. 이변형에서길이, 각도등은변하지만, 안과바깥, 구멍, 폐곡선은변하지않는다. 3 차원에서젤같은변형가능한도형에서변하지않는예 : 구멍, 매듭

12 푸앵카레의창조적과정 3 단계 1. 준비 : 문제를정확히이해하고엄밀화한후전통적방법으로의식적이고논리적으로공략하며무의식을자극하며무의식에재료를공급 2. 배양 : 문제에대한생각을멈추고다른일을할때, 무의식이여러개념들, 때로는엉뚱하고관계없는듯한개념들을결합하며작동 3. 깨달음 : 영감, 직관

13 리만가설에대하여 리만가설은정말중요한문제이고, 그로부터아주많은것들이따라나온다. 오늘날수학계에서리만가설이특별한위치를차지하게된것은, 리만가설을가정하자 라고시작한후환상적인결론을도출하는논문이오백개도넘게있기때문이다. 만약리만가설이참이라면이것들모두 정리 theorem 가될것이다. 이한가지를해결함으로써오백개이상의정리를단번에증명한셈이될것이다. 피터사낙 ( 프린스턴 )

14 소수에대하여 소수의분포에대하여당신가슴에영원히새겨질만큼분명하게확신시키고자하는두가지사실이있다. 첫째는소수가수학자들이연구하는것중에서가장제멋대로이고성질고약한대상이라는것이다. 소수는자연수사이에서마치잡초처럼자라고, 우연의법칙외에는어떤다른법칙도따르지않는것처럼보이며, 누구도다음소수가어디서불쑥솟아날지예측할수없다. 둘째는훨씬더놀랍다. 왜냐하면그것은정확히첫번째의정반대, 즉소수들이깜짝놀랄만한규칙성을보인다는점을말하기때문이다. 소수들의움직임을지배하는법칙이있고, 소수들은마치군대처럼정확하게이법칙들을따른다. 돈자기에 ( 막스플랑크 )

15 수학연구의방법 수학자들이연구를수행하도록해주는훌륭한기법들이있다. 정의의틀을잡기 구성하기 이질적인개념들과수학적분야들을연관시키는유사성을공식화하기 앞으로나아가는가능한방법을정리해내는가설세우기 주장하는바에대한난공불락의증명제공하기 정리확립하기

16 수에대한생각들 피타고라스학파 : 수는만물의근원이다. 고대전통적인물질의 4 대구성요소흙, 공기, 불물보다도수라는개념이더근본적이라고생각 크로네커 : 신이정수를만들었다. 나머지는인간의창조물이다. 톨스토이 : 사람은분수와같다. 분자는그가누구인가를, 분모는그가자기자신을어떻게생각하는가를나타낸다. 분모가더클수록분수는더작아진다.

17 수 자연수 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 정수 :, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 유리수 : 두정수의비 p/q (q 0) 실수 : 유리수들로이루어진수열의극한 복소수 : 두실수의순서쌍

18 소수란? 소수는 1 보다큰자연수중에서자신보다작은두자연수의곱으로인수분해할수없는수다. 임의의자연수는소수들의곱으로유일하게분해된다. 소수는마치원자와같다. 큰수의소인수분해는컴퓨터로도매우어렵다. ( 연습문제 : 을소수들의곱으로분해해보라.) 주어진소인수분해가맞는지확인하는것은매우쉽다. ( =?) 이를이용해만들어진암호체계가 RSA 이고현재표준이다.

19 소수는무한히많다 소수가 m개뿐이라하자. 이들을 p 1, p 2,..., p m 이라하면 p 1 p 2...p m +1은 p 1,p 2,..., p m 중어떤소수로도나누어지지않으므로, m개보다많은소수가존재해야한다. 이는모순. 큰소수? 메르센소수 ( 거의 1300 만자릿수 ) (GIMPS 프로젝트에의해 2008 년에발견 (?)) Time 지가선정한 2008 년최고의발명 50 개중하나 연습문제 : (1) 2 n -1 이소수 ( 메르센소수 ) 이면 n 도소수다. (2) 2 n +1 이소수 ( 페르마소수 ) 이면 n 은 2 의거듭제곱이다. (3) 위명제들의역은성립하는가?

20 쌍둥이소수추측 쌍둥이소수추측 : 그차가 2 인소수들의순서쌍은무한히많은가? 5-3=2, 7-5=2, 13-11=2, 19-17=2, 그차가 4 나 6 인소수들의순서쌍은무한히많은가? 2013 년이탕창 : 그차가 을넘지않는소수들의순서쌍이무한히많다. 이제그차가 246 을넘지않는소수들의순서쌍이무한히많다는것을안다.

21 에라토스테네스의체 소수걸러내기 의배수걸러내기 의배수걸러내기 의배수걸러내기

23 소수의개수세기, 소수의비율 10 보다작은소수 : 2, 3, 5, 7 4/10= 보다작은소수 : 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19 8/20= 보다작은소수 : 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 14/50= 보다작은소수 : 25/100= 보다작은소수 :168/1000=0.168 백만보다작은소수 : 78498/ =

24 소수의계단 소수가하나나올때마다한칸씩올라가는계단 y = π(x) : x 이하의소수의개수

26 100 까지소수의비율

27 1000 까지소수의비율

28 10000 까지소수의비율

29 르장드르의추측 년유리베가와안톤펠켈이소수표이용하여다양한값이하의소수의개수계산 1804 년르장드르의정수론교과서 π(x)~x/(log x ) log x = y 는 x = e y 라는뜻. 여기서 e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + = 오일러상수. log e = 1, log e 2 = 2, log e 3 = 3,, log e n = n,

최초의확률적추측 칼프리드리히가우스 (1824-1908) 1791년일곱자리수까지의수의로그값과

30 최초의확률적추측 칼프리드리히가우스 ( ) 1791년일곱자리수까지의수의로그값과 까지의소수표가들어있는책을보고연구 년수학일기에기록 x이하의소수의개수는대략 π x x log x π x x 1/log(x)

31 가우스곡선 x 이하의소수의개수는 x/(x 의자릿수의개수 ) 에비례한다. x 까지의자연수중소수의개수는, 대략 x 를 x 의자릿수의두배로나눈만큼 100 보다작은소수의개수는대충 100/2*2=25 = 보다작은소수의개수는대충 1000/2*3~167~ 보다작은소수의개수는대충 /2*6~83333( 근사값 )~78498( 참값 )

32 1/log(x) 의그래프아래부분의 넓이와소수의개수

33 Li(x) x 이하의소수들의개수인 π x 의근삿값에대한대략적인추측이함수 x/log(x) 가우스더세련된형태의추측 : x 가소수일 확률 은그수의자릿수의역수에비례 : 1 log x π x 의근삿값이 2부터 x까지 1/log(x) 의그래프아래에놓인영역의면적 Li x ( 로그적분 (logarithmic integral)] 의약자 ) π(x)~li x = 2 x 1/ log t dt

34 Li(x), π(x), x/log(x) 의그래프 Li(10 24 )= π = /(log(10 24 )-1)=

35 소수정리 (Prime Number Theorem) Li(x) 와 π(x) 는같은속도로무한대로간다. x/log(x) 와 π(x) 는같은속도로무한대로간다 년경체비쇼프가해석학을이용하여 x/log(x) 와 π(x) 는비슷한속도로무한대로감을증명 1896 년자크아다마르, 샬레드라발레푸생이소수정리증명 오차는?

36 좋은근사란? 원주율 π 의근삿값 : 3.14, 제곱근오차 : 정도의수를추정하는데오차범위 100= 이내에서근삿값을찾았다면제곱근오차범위에서좋은근삿값이라할수있다. Li(10 24 )= π = Li π =

37 리만가설 임의의실수 x 에대하여 x 보다작은소수들의개수는대략 Li(x) 이고이근사는제곱근정확도를가진다. 리만가설은 Li 와 π 의차이가 x 의크기와비교할때상당히작다고말한다.

38 리만가설의또다른공식화

야곱베르누이 S 1 N = 1 + 2 + 3 + + N = N N+1 2 S 2 N = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + N 2 = N N+1 (2N+1) 6 S 3 N = 1 3 + 2 3 +

39 야곱베르누이 S 1 N = N = N N+1 2 S 2 N = N 2 = N N+1 (2N+1) 6 S 3 N = N 3 S 1 N = N ~ log N 조화급수 : 무한대로발산 S 2 N = N 2 수렴?

레온하르트오일러 S 2 N = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + + 1 N 2 π2 리만제타함수 ζ s = ζ 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + = π2 ζ

40 레온하르트오일러 S 2 N = N 2 π2 리만제타함수 ζ s = ζ 2 = = π2 ζ 4 = = π n=1 n s = p s 소수 p ζ s 는 s>1이면수렴한다. 이함수를복소수 s=x+iy까지확장하면?

41 미적분학 / 해석학 아이작뉴턴 라이프니츠

42 미적분학 어떤양이다른양에대해어느정도로변하는가를나타내는함수라는개념과그변화율을나타내는 작은조각들의무수히많이더하는과정을통해길이, 면적, 부피등을계산하게해주는적분 미분과적분이라는두과정이사실은서로의역과정임을인식 미적분학을이용하여물체의운동, 천체의움직임등많은물리적인현상들을수학적으로설명하고예측할수있게되면서비약적인과학의발전

43 복소해석학 함수의변수로실수뿐아니라복소수를받아들이며해석학의범위가실해석학에서복소해석학으로확장 복소해석학에서미분가능한함수 ( 해석적함수 ) 는실해석학에서미분가능한함수보다훨씬더좋은성질들을가짐 자연수의산술적특징들을복소함수를이용하여표현할수있고이새로운방법을이용하여정수론적함수들의특수한특징들을발견

44 리만가설 리만제타함수ζ s = 1 n=1 = 1 n s 소수 p 1 p s를복소수 s에관한함수로생각하면 s=x+iy의실수부 x가 1보다클때수렴한다. 복소해석학이론을이용하여이함수를 s=1 을제외한전체복소평면으로확장시킬수있다. 이함수의로그를취한후그도함수를고려하면소수의거듭제곱들의위치를알수있다. 리만가설 : 리만제타함수 ζ(s) 의모든자명하지않은영점들은복소평면에서그실수부가 1/2 인복소수로이루어진수직선위에놓여있다.

45 주어진수보다작은소수들의 개수에관하여 ( 리만의 1859 년논문 ) 모든근들이실수일가능성이매우높다. 여기서누군가는분명히더엄밀한증명을바랄것이다. 그러나나는수차례의헛된시도후에이연구는잠정적으로제쳐놓았다. 나의다음연구목표에는이연구가불필요해보였기때문이다.

46 리만가설이참이라면 π x Li x = O( x log x ) 5040 이상의모든자연수 n 에대하여 n 의약수의합은다음수보다작다. e γ n log(log n) (γ = 오일러상수 ) 소수 p와그다음소수사이의격차는 p log p의상수배를넘지않는다. (1936년크라메르 )

47 일반화된리만가설 리만제타함수와비슷하게정의되는일반적인디리클레 L- 함수의모든근의실수부가 ½ 이다. 일반화된리만가설이참이라면 : 1) 체비쇼프의추측이참 (4k+3 꼴의소수가 4k+1 꼴의소수보다흔하다 ) 2) 홀수골드바흐추측 (5 보다큰모든홀수는 3 개의소수의합이다 ) 이참 3) 밀러의소수성판별법의효율성

48 리만가설의일반화 수학의다양한분야에서리만제타함수와유사한함수의정의, 리만가설과유사한가설들이등장 그중몇가지는참임이실제로증명 : 1974 년들리뉴가유한체에서의다양체에대한유사한명제증명. 셀베르그제타함수에대해서도유사한명제증명

49 리만가설의실험적근거 리만의제타함수의영점계산 1 2 ± i, 1 2 ± i, 1 2 ± i 1903 년요르겐그람 : 처음 10 개의쌍계산 1935 년티치마시 : 195 쌍확인 1936 년티치마시, 컴리 : 1041 쌍확인 1953 년앨런튜링 : 컴퓨터사용하여 1104 쌍이임계선위에있음을추론 2004 년사우테, 드미셸 : 10 조쌍확인

50 실험적근거가정확한증명이될수는없다! 예 : 스큐즈수 (Skewes number) 항상 π x < Li(x) 인가? Li(x), π(x), x/log(x) 의그래프

51 1914 년리틀우드는 π x Li(x) 의부호가무한히바뀜을증명 1933 년리틀우드이제자스큐즈가리만가설이참이라면 을넘지않는 x 에서다음이성립함을증명 π x > Li(x) 1955 년경리만가설가정하지않고그런 x 의존재를 증명하였으나추정치는 현재대략 까지스큐즈수개선 계산상 x < 에서는 π x < Li(x)

52 해석학적근거 하디, 리틀우드 : 임계선위에무한히많은영점들이있음을증명 셀베르그 : 임계선위에있는영점들의비율이 0 보다크다고증명 레빈슨 : 임계선위의영점들의비율이 1/3 보다크다고증명 현재그비율은 40% 이상임이증명

53 수학자들은 "In the broad light of day mathematicians check their equations and their proofs, leaving no stone unturned in their search for rigour. 낮의밝은불빛에서수학자들은방정식과증명을확인하고엄밀성의추구에한치의빈틈도없도록노력한다. But, at night, under the full moon, they dream, they float among the stars and wonder at the miracle of the heavens. They are inspired. Without dreams there is no art, no mathematics, no life." 하지만만월의밤에그들은꿈을꾸고별들사이를떠다니며우주의기적에대해탐구한다. 그들은영감이넘친다. 이러한꿈이없다면예술도, 수학도삶도설자리를잃는다. Sir Michael Atiyah 마이클아티야경

54 참고문헌 위대한수학문제들, 이언스튜어트, 반니출판사 리만가설, 배리메이저, 윌리엄스테인, 승산출판사 소수의음악, 마커스드사토이, 승산출판사 그림출처 : 리만가설책, 위키디피아

제 3강 역함수의 미분과 로피탈의 정리

제 3강 역함수의 미분과 로피탈의 정리 제 3 강역함수의미분과로피탈의정리 역함수의미분 : 두실수 a b 와폐구갂 [ ab, ] 에서 -이고연속인함수 f 가 ( a, b) 미분가능하다고가정하자. 만일 f '( ) 0 이면역함수 f 은실수 f( ) 에서미분가능하고 ( f )'( f ( )) 이다. f '( ) 에서 증명 : 폐구갂 [ ab, ] 에서 -이고연속인함수 f 는증가함수이거나감소함수이다 (