Chapter 1 힐베르트 7번 문제 1.1 여는 글 1900년, 프랑스 파리, 제 2차 세계 수학자 대회가 개최되었다. 세계 대회라고 말하기 초라한 수준의 크기였지만, 자리에 모습을 보인 229명의 수학자들은 전 유럽 각국에서 내노라하는 수학자들이었다.1 집합론 논쟁

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1 Chapter 힐베르트 7번 문제. 여는 글 900년, 프랑스 파리, 제 2차 세계 수학자 대회가 개최되었다. 세계 대회라고 말하기 초라한 수준의 크기였지만, 자리에 모습을 보인 229명의 수학자들은 전 유럽 각국에서 내노라하는 수학자들이었다. 집합론 논쟁에 한창 떠들썩했던 차라 그럴까, 형식주의 수학자들과 구성 주의 수학자들 사이에 미묘한 긴장감이 전 회장을 메웠다. 사회자의 소개가 끝나자, 우뢰와 같은 박수 소리가 청중드르이 귓가를 때렸고, 이윽고 형식주의의 대가, 힐베르트가 단상 앞에 나타났다. 제 2회 ICM 회장석에 앉아있는 구성주의 수학의 대가 푸앵카레의 얼굴은 불편한 기색이 잠깐이나마 스쳤다. 박수 소리가 잦아들자 힐베르트는 입을 열었다. 제 2회 세계 수학자 대회에서 힐베르트가 남긴 연설, 수학 문제(Mathematical Problems 는 수학 역사에서도 명연설로 꼽히는 연설이다. 이 연설에서 힐베르트는 그간 유럽 과학계를 뒤 흔드는 이그노라비무스 논쟁의 무지주의를 힐난하며 수학에 이그노라비무스를 위한 자리는 없다. (중략) 우리는 알아야만 한다, 우리는 알게 될 것이다 라는 명언을 남겼다.2 그 말을 끝으로 힐베르트는 20세기 수학이 도전해야 하는 0개의 문제를 발표했다.3 여기서 제시된 7번째 문제, 이른바 힐베르트 7번 문제가 이번 장에서 우리가 살펴볼 문제다. [보류].2 개요 실수는 유리수와 무리수로 나뉜다. 정수의 비율, 이른바 분수로 표현이 가능한 수(유리수) 와 가능하지 않은 수(무리수)로 말이다. 마찬가지로 복소수는 대수적 수와 초월수로 나뉜다. 유리수 계수 방정식이 해로 삼을 수 있는 수(대수적 수)와 그렇지 않은 수(초월수)로 말이다.

2 그리고 특정한 수가 유리수인지 아닌지, 혹은 대수적 수인지 아닌지 판별하는 문제는 수학계의 안방마님 격이다. 여전히 수많은 수들이 판별되지 않은 채 수학자들을 기다리고 있다. H7는 무리수 난제, 초월수 난제의 정점을 찍었던 문제로, 그 본문은 다음과 같다. 추측.. 힐베르트 7번 문제(Hilbert s Seventh Problem, 이하 H7): a가 0과 이 아닌 대수적 수이고, b가 대수적 무리수일 때, ab 는 초월수이다. H7은 748년 오일러가 제기했던 추측의 확장된 버전으로, 그 추측은 다음과 같다. 추측.2. 오일러 추측(Euler s Conjecture): 두 유리수 a/b 6= 와 c/d에 대해서 다음은 유리수거나 초월수이다. log a b log dc c. = d log ab 위의 추측은 다음과 같이 표현될 수 있다. 추측.3. 오일러 추측(기하급수 버전): r과 s가 0이 아닌 유리수이며 rβ = s라고 가정하자. β는 유리수이거나 초월수이다. 이는 유리수에 무리수인 대수적 수의 제곱을 취해준 값은 유리수가 될 수 없다는 말로 해석될 수 있다. 힐베르트는 이 문제를 소개하면서도 언제 풀릴지 예상조차 되지 않을 정도로 어려울 것이 라고 첨언했다. 이 문제가 FLT와 RH(리만 가설)보다 더 이후에 풀릴 거싱라고 추측했다는 일화는 수학계에서도 유명한 이야기이다. 4 그의 예상과는 반대로 H7는 제기된지 꼭 34년, 앞서 소개했던 난제들과는 달리 비교적 이른 시간내로 해결되었지만,5 그럼에도 이 문제가 수학계에서 꽤 어련 문제였다는 사실을 부정하기는 어려울 것으로 보인다. 이번 장에서는 유리수와 무리수, 대수적 수와 초월수의 역사를 살펴보고, 간단한 무리수 증명과 초월수 증명을 따라가볼 예정이다. 더 나아가, H7가 해결되며 어떤 수들이 초월수라고 증명되었는지, 그리고 연설에서는 간략하게 언급된 힐베르트의 궁극적인 의문 또한 살펴볼 것이다..3 무리수와 초월수의 역사 실수를 크게 두 분류로 나누면, 유리수와 무리수로 나눌 수 있다. 유리수는 임의의 정수 a와 0이 아닌 정수 b에 대해서 a/b꼴로 나타낼 수 있는 수를 말한다. 반대로 무리수는 두 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수를 말한다. 중학교 수학에서는 임의의 수를 소수꼴로 표현했을 때 순환하지 않는 소수를 무리수라고 소개한다. 물론 틀린 정의는 아니다. 다만, 이 순환의 개념은 2

3 표용적인 편이라, 이 정의를 기반으로 임의의 수가 유리수인지 아닌지 판별하기는 쉽지 않다. 대신 임의의 수가 무리수인 것을 증명하는데에는, 해당 수가 유리수라는 가정에서 모순을 유도 하는 방식을 많이 사용한다. 이 외에도 무리수가 연분수로 표현되었을 때 무한히 긴 연분수가 된다는 성질을 착안한 증명도 종종 있다. 무리수가 처음으로 발견된 것은 그리스 시대로 추측된다. 물론 그보다 이전에 발견되었을 가능성도 배제할 수는 없지만, 현존하는 자료를 기반으로는 그리스 시대가 최초라는 설이 정 설이다. 기원전 그리스 시대의 수학자들은 만물의 수는 정수거나 정수의 비율, 즉 유리수로 이루어졌을 것이라고 생각했다. 허수라는 개념이 없었던 당시에는 아마 이 명제에 대부분의 수 학자들이 동의했을 것이다. 모든 무리수는 유리수로 근사할 수 있으며,6 유리수의 폐포는 전체 실수이기 때문이다.7 하지만 피타고라스의 정리가 발견됨에 따라 사람들은 다양한 직각삼각 형의 빗변의 길이를 측량해봤을 것이며, 그 과정에서 자연스럽게 무리수의 발견이 유도되었을 것이라 추측한다. 전설에 따르면, 피타고라스는 해당 정리를 증명하고 신에게 00마리의 소를 바쳤을 만큼, 이 정리에 애착을 가졌는데, 그의 제자 히파수스가 피타고라스 정리를 기반으로 무리수를 발견하게 되었다고 한다. 무리수의 존재를 부정했던 당시 피타고라스는 히파수스의 발견이 자신의 정리의 반례라고 생각하고 그를 물에 빠뜨려 죽었다는 설이 있다.8 그리스 시대 이외에도 독자적으로 무리수의 존재를 가늠했던 문명은 몇몇 있었다. 대표 적으로 아랍 수학과 중세 유럽 수학 역시 무리수에 대한 연구가 진행되었지만, 딱히 대단한 성과를 거두진 못했다. 요즘은 중학생도 π가 무리수임을 알지만, 사실 이것은 증명된지 300여 년도 채 되지 않은 비교적 근대 수학의 산물이다.(무리수의 역사가 약 2000여 년이라는 사실을 염두에 두자.) 마찬가지로 e가 무리수라는 것도 증명된지 200여 년도 채 되지 않은 따끈따끈한 정리이다. 실수를 두 분류로 나눴듯, 이번엔 복소수를 두 분류로 나눠보자. 허수하고 실수? 그다지 좋은 답은 아닌 것 같다. 왜냐하면 모든 복소수는 허수나 실수로 똑 떨어지진 않기 때문이다. 허수부와 실수부가 둘 다 0이 아닌 수는 허수와 실수의 분류에는 어디에도 포함되지 않는다. 그렇다면 복소수는 어떻게 나눌 수 있을까? 대수학의 기본 정리에 따르면 임의의 상수가 아닌 복소계수 다항식은 영점을 항상 갖고 있다. 이는 임의의 n차 방정식 p(z) = 0은 α(z z )(z z2 ) (z zn )으로 인수분해가 가 능하다는 것을 의미하며, 다른 말로는 복소수 체는 대수적으로 닫힌 체라는 것을 의미한다.9 마찬가지로 유리수를 계수로 삼는 n차 방정식은 n개의 복소수 해를 가지고 있으며, 유리수 계수 방정식 p(x) = 0을 만족하는 복소수 x를 대수적 수(Algebraic Number)라고 부른다. 역 으로 어떤 수가 어떠한 유리수 계수 방정식을 만족하지 않는다면 이를 초월수(Transcendental Number)라고 부른다. 유리수 p/q는 qx p = 0을 만족하므로 대수적 수이며, n q꼴의 수 또한 xn q = 0을 만족하므로 대수적 수이다. 허수도 물론 대수적 수가 될 수 있다. i의 경우 는 x2 + = 0을 만족하므로 대수적 수이다. 정의만 살펴서는 대수적 수가 초월수에 비해서 3

4 월등히 많아 보인다. 실제로는 어떨까? 이 질문에 대한 답은 조금 뒤로 미뤄두기로 하겠다. 무리수와 달리 초월수의 역사는 무리수에 비해 대단히 짧은 편이다. 무리수는 존재보다 발견이 앞섰지만, 초월수는 반대로 발견되기 전에 존재가 증명되었다. 처음으로 초월수에 관 한 추측을 남긴 사람은 스위스의 람베르트(Lambert)라는 수학자로 768년 π가 무리수임을 증명한 논문에서 π와 e가 초월수일 것이라는 추측을 남겼다.0 초월수의 존재가 최초로 증명 되었던 것은 844년, 앞 장에서 소개했던 리우빌 함수를 만든 장본인, 바로 리우빌(Liouville) 이었다.. 그로부터 7년 후, 그는 자신의 이름을 딴 리우빌 상수가 초월수임을 증명해내었다. 리우빌 상수는 아래와 같다. X 0 k = k= 발견된 수 중에서 처음으로 초월수라고 밝혀진 것은 e였다. 873년 에르미트는 자신의 논문에 e가 초월수임을 증명해낸다. 바로 이듬해, 칸토어는 대수적 수의 개수가 가산무한임을 증명 했고, 이로서 초월수가 대수적 수 보다 월등히 많다는 것이 증명된 셈이다. 그리고 882년, 린데만에 의해 π 또한 초월수인 것이 증명이 된다. 초월수와 무리수의 연구는 900년 힐베르트가 제시한 H7로 다시금 촉발된다. 문제는 해 석학, 집합론, 대수학, 위상수학, 기하학 등 다양한 분야의 난제들을 포함하고 있는데, 현재 시점으로 해결된 문제가 개, 부분적으로 해결된 문제가 5개, 어떤 공리계를 사용하느냐에 따라 반대되는 결과를 갖는 문제가 2개, 조건이 미약해 해결될 수 없는 문제가 개, 그리고 아직까지 해결되지 않은 문제가 4개이다. H7가 해결된 것은 935년으로, 이를 계기로 다시금 많은 초월수가 발견되었다..4 무리수 vs 유리수, 대수적 수 vs 초월수 이번엔 다음과 같은 질문을 떠올려볼 수 있을 것 같다. 무리수와 유리수 둘 중 무엇이 더 많을 까? 대수적 수와 초월수 둘 중 무엇이 역시 더 많을까? 물론 둘 다 무한히 많겠다만, 둘은 같은 무한일까 다른 무한일까? 유리수의 개수와 정수의 개수, 그리고 자연수의 개수는 모두 다 동일한 무한이다라는 사 실은 게오르그 칸토어(Cantor)에 의해서 증명되었다. 칸토어의 아이디어는 다음과 같다. 두 집합 A와 B를 가정해보자. 만약 다음의 두 성질을 만족하는 함수 f : A B를 만들어낼 수 있다면 A와 B의 크기(기수)가 같다는 것을 보였다. 단사(Injection): x, y A에 대해서 x 6= y라면 f (x) = f (y)이다. 4

5 그림.: 유리수 나열법 전사(Surjection): 임의의 b B에 대해서 f (a) = b를 만족하는 a A가 항상 존재한 다. 위 두 성질을 동시에 만족하는 함수를 전단사(Bijection)라고 정의한다. 칸토어는 다음과 같은 전단사 함수 f : N Z를 만들어, N과 Z가 같은 무한임을 증명했다. f (x) = x 만약 x가 홀수라면 x 만약 x가 짝수라면 2 2. 두 무한 집합 A와 B의 기수가 같은 경우, A = B라고 표기한다. 즉, 이 경우 N = Z라고 표기해줄 수 있다. 임의의 무한 집합을 상상해보자. 만약 이 무한 집합이 자연수 집합과 같은 기수를 가지고 있 다면, 이는 해당 집합의 모든 원소를 자연수에 대응시킬 수 있다는 뜻이다. 즉, 해당 집합의 모든 원소를 어떠한 규칙으로 하나 하나 세어나갈 수 있다면, 니는 자연수 집합과 동일한 크기라는 뜻이다. 정수의 집합의 경우는 이를 다음과 같이 세어나간 셈이다: 0,,, 2, 2, 3, 3,. 칸토어는 Q의 모든 원소를 그림 4.과 같이 하나 하나 세어나갈 수 있다는 사실을 발견했다.2 그림 4.을 살펴보면 /에서 시작하여 2/, /2, /3, 으로 나아간다. 여기서 주의 할 점은 빨간색 분수는 건너뛴다는 점이다. 즉, /3 다음은 3/이다. 건너뛰는 이유는 해당 분수가 이미 세어졌기 때문이다. 2/2는 /과 같은 값이므로 이를 세지 않고 넘어가는 것이다. 이와 같은 Q 나열법으로 모든 유리수를 세어줄 수 있을 것이다. 해당 나열법은 전단사 함수이므로 N = 5

6 이다. 더 나아가, 각 칸의 분수 p/q를 (p, q)라고 표기하고 빨간색 분수를 모두 세어줌으로서 N = N N또한 증명된다. N과 Q가 같은 기수라는 사실은 아무래도 쉽사리 와닿지는 않는다. 임의의 두 실수 a < b 에 대해서 [a, b]는 유한개의 자연수(혹은 정수)를 갖고 있지만 그 안에 포함된 유리수는 무한히 많기 때문이다. 하지만 둘은 분명히 같은 무한이다. 이 무한을 세어줄 수 있는 무한 이라 하여 가산 무한(Countable Infinity)이라고 한다. 반면 실수는 가산 무한의 영역이 아니다. 이는 대각선 논법으로 증명할 수 있는데, 귀류법 으로 N과 [0, ]사이 전단사 함수가 존재한다고 가정하자. 각각의 자연수 n에 대응하는 f (n)을 무작위로 상상해보자. 다음과 같이 말이다. f () = f (2) = f (3) = f (4) = f (5) = f (6) = 만약 N과 [0, ]가 같은 크기의 무한이라면 위의 셈법은 0과 사이의 모든 실수를 다 포함할 것이다. 다음과 같은 실수를 가정해보자. 소수점 n번째 자리에서는 f (n)의 n번째 자리와 다른 숫자를 가진 소수를 말이다. 예컨대 위의 경우 f ()의 소수점 첫번째 자리(윗줄이 쳐진 숫자) 가 2였으니, 2가 아닌 다른 0진법 숫자를 소수점 첫번째 자리에 대입한다. f (2)의 경우 두번째 자리가 5였으니, 5가 아닌 숫자를 소수점 두번째 자리에 넣어준다. 이 과정을 반복해서 만들어 낸 실수는 그 어떤 자연수 n에 대해서도 f (n)값이 될 수 없다. 설령 임의의 k에 대해서 f (k)와 이 숫자가 거의 일치한다 하더라도 k번째 자리가 다르게 정의되었기 때문이다. 그러므로 N과 [0, ] 사이에는 전단사 함수가 존재할 수 없으며, 이는 [0, ]이 가산 무한보다 더 큰 무한이라는 것을 암시한다. 이를 셀 수 없는 무한이니 비가산 무한(Uncountable Infinity)이라고 정의한다. 이 아이디어를 확장하면 R이 비가산 무한이라는 사실을 알 수 있다.3 그렇다면 무리수 집합은 어떨까? 유리수와 무리수는 겹치는 원소가 없는 집합, 즉 하나가 다른 하나의 여집합이다. 유리수와 무리수의 합집합이 비가산 무한이며, 유리수가 가산 무한 이라 했다. 가산 무한과 가산 무한의 합집합은 여전히 가산무한이므로, 무리수 집합은 비가산 무한이어야 된다는 결론이 나온다.4 독일의 수학자 데데킨트(Dedekind)는 절단이라는 아이디어로 실수선에 유리수와 무리수 6

7 의 분포를 설명했다. 아주 아주 예리한 칼로 유리수의 나열 Q을 자른다고 생각하자. 어찌나 예리한지 둘로 나뉜 반직선 A와 B는 다시 이어붙이면 A B = Q로 된다고 가정하자. 더 나아가 표기의 혼란을 방지하기 위해 A가 왼쪽 반직선, B를 오른쪽 반직선이라고 정의하자. 그리고 절단이 일어난 점이 B에 포함되어있다고 가정하자. 이는 수학적으로 재정의될 수 있다. 임의의 A와 B에 대해서 다음의 성질이 만족하면 (A, B) 는 Q의 절단이라고 정의한다. A B = Q, A B = A 6=, A 6= Q. 임의의 x < y를 만족하는 x, y Q에 대해서 y A라면 x A. A의 최대 원소는 존재하지 않는다. 임의의 a A와 b B에 대해서 a < b는 항상 성립한다. 예컨대 A = (, 0)과 B = [0, + )는 위의 다섯 조건을 만족하므로 Q의 데데킨트 절단이라 고 할 수 있다. 이 경우 절단은 0에서 일어난다. 임의의 유리수 r Q에 대해서 A = (, r)과 B = [r, + )의 데데킨트 절단을 만들어낼 수 있으며, 이 경우 B의 최소 유리수는 b가 된다. 다음과 같은 데데킨트 절단 또한 상상해볼 수 있다. A = {x Q : x2 < 2 혹은 x < 0} 와 B = {x Q : x2 > 2 그리고 x > 0}. 이 또한 위에 제시된 다섯 조건을 모두 만족한다. 하지만 이 경우는 유리수에 의해 데데킨트 절단이 일어나지 않는다. 위와 같은 표기법으로는 A = (, 2), B = [ 2, + )이며, 이 경우 B에는 최소 유리수는 존재하지 않는다. 위와 같은 발견에 데데킨트는 다음과 같이 말했다. 그러므로 유리수에 의해서 절단이 일어나지 않는다면, 오직 절단이라는 기법만 으로, 우리는 새로운 무리수를 발견하게 된 셈이다. [중략] 그러므로 모든 절단은 그에 대응하는 유리수나 무리수가 존재한다.5 이를 기반으로 실수에서의 유리수와 무리수 분포를 머릿속에서 상상할 수 있을 것이다. 실수선 위에 유리수점은 가산 무한의 개수만큼 산재해 있으며, 그 사이를 무리수점들이 촘촘히 채워 넣는다. 그리고 유리수와 무리수는 골고루 잘 퍼져 있어, 임의의 두 유리수 사이에는 무한히 많은 무리수가, 반대로 임의의 두 무리수 사이에는 무한히 많은 유리수가 있다. 하지만 무리수 집합의 기수는 비가산 무한이며, 유리수 집합의 기수는 가산 무한이다. 그렇다면 이번엔 초월수와 대수적 수의 크기를 비교해보자. 물론 둘 다 무한히 많겠지만, 어떤 무한이 훨씬 더 큰 무한일까? 해당 의문을 해결하기 이전에 대수학의 기본 정리를 알아둘 필요가 있겠다. 대수학의 기본 정리는 다음과 같다. 7

8 정리.. 대수학의 기본 정리(Fundamental Theorem of Algebra): 상수가 아닌 복소 계수 다항식은 항상 영점을 가진다. 이는 다시 말해 임의의 p(z) = an z n + + a z + a0 이라는 다항식에 대해서 p(α) = 0 을 만족하는 복소수 α가 항상 존재한다는 의미이다. 이는 p(z) = (z α)p (z)라는 의미이며, p (z)는 n 차 다항식이 된다. 그러므로, n차 방정식은 중근까지 고려하여 n개의 복소수 해를 가진다는 유용한 따름정리를 낳는다. 유리수를 계수로 삼는 다항식의 집합을 Q[x]라고 정의하자. 그리고 유리수 계수 n차 방정 S 식의 집합을 Qn [x]이라고 정의하자. 그렇다면 Q[x] = n=0 Qn [x]라고 표기할 수 있을 것이다. 각각의 Qn [x]에 포함된 다항식 p(x) = an xn + an xn + + a0 의 해를 (an, an,, a0 ) 이라고 표기해주자. 이는 Q의 n + 튜플, 즉 Qn+ 의 원소이다. Q = N이라고 증명해주었으니, Qn+ = Nn+ 이겠다. 하지만, 앞서 N = N2 라는 것이 증명했다. 귀납법을 사용해주면 임의의 자연수 n에 대해서 N = Nn 이므로, Q = Qn 가 증명 된다. 즉 Qn [x] = Qn = Q이다. 그러므로 S S n=0 Qn [x] = n=0 Q이다. 그리고 증명은 생략하겠지만 가산 집합의 가산 무한 합집합은 S 여전히 가산 무한 집합이다.6 즉 Q[x] = n=0 Qn [x] = Q이 성립한다. A는 다음과 같이 표현될 수 있음을 상기하자. A= [ {x C : p(x) = 0}. p(x) Q[x] Q[x]의 기수는 N과 같음을 증명했고, 각각의 n차 방정식 p(x)는 중근을 제외하면 n개 이하의 해, 즉 유한개의 해를 가지고 있다. 그러므로 각각의 p(x)에 대해서 p(x) = 0을 만족하는 해의 집합은 유한 집합이며, A은 이러한 유한 집합의 가산 무한히 많은 합집합 이다. 유한 집합 역시 가산 집합이므로, A은 가산 무한 집합이 된다. 반면 R을 포함하는 C는 비가산 집합이고, 초월수의 집합 T = C\A는 비가산 무한 집합이겠다. 그러므로 T는 A보다 월등히 큰 무한이다. R \ Q가 Q보다 월등히 큰 무한이었듯 말이다. 칸토어의 집합론을 조금만 공부해도 초월수의 존재, 더 나아가 초월수가 무한히 많이 존 재한다는 것이 너무나도 쉽게 증명된다. 하지만 8세기까지 초월수의 존재를 증명하기 위해 수학자들이 쩔쩔맸던 이유는 칸토어의 집합론은 9세기 말의 산물이었기 때문이었다. 무리수와 유리수, 그리고 초월수와 대수적 수의 크기 비교도 마쳤겠다, 이번엔 특정한 수가 무리수 혹은 초월수인 것을 증명하는 방법을 한번 살펴보도록 해보자. 8

9 .5 무리수 증명 임의의 수가 유리수인지 아닌지 판별하기는 쉽지 않다. 유리수 판별법이 있는 것이 아니므 로. 그래서 각각의 수가 유리수인지 아닌지인지 일일이 판별할 필요가 있다. 이번 장에서는 무리수의 증명을 몇몇 선보여볼 요량이다. 대표적인 무리수는 2로, 중학교 고등학교 과정을 거친 학생이라면 이 수가 무리수라는 것을 증명하는 방법을 알 것이다.7 이와 비슷한 방법으로 n이 제곱수가 아닐 때 n이 무리 수라는 것을 쉽게 증명할 수 있다. 제곱근의 유리수 판별법은 제법 쉬운 편이다. 또한 loga b의 유리수 판별법 또한 꽤 쉬운 편이다. 예컨대 log2 3가 유리수 m/n라고 가정 해보자. 그렇다면 2m/n = 3이라는 식을 얻을 수 있다. 즉, 2m = 3n 이어야 하는데, 2의 제곱과 3의 제곱이 일치하는 m과 n은 존재하지 않으므로 해당 수는 유리수일 수 없다. 이와 비슷한 방법으로 로그값이 유리수인지 아닌지 쉽게 판별할 수 있다. 그렇다면 다소 어려운 무리수의 증명을 한번 거쳐보도록 해보자. 처음 소개할 것은 e가 무리수라는 것을 증명해보는 것이다. 어떻게 증명해야 할까? 귀류법을 사용하도록 하자. 즉, e가 유리수라고 가정하여 e = a/b를 만족하는 정수 a, b가 있다고 생각해보자. 더 나아가 a와 b의 최대공약수는, 즉 a/b가 기약분수라고 가정하자. 그리고 e는 양수이니 a, b > 0이라고 또한 가정하자. e의 정의를 상기해보자.8 e= X = k!! 2! 3! k=0 그리고 Sn 을 e가 정의된 급수의 처음 n + 개의 항의 부분합이라고 가정하자. 즉 Sn 은 다음과 같다. n X Sn = = k!! 2! k=0 그렇다면 Sn 의 정의에 따라 n이 임의의 자연수일 때, e Sn 이 항상 0보다 크겠다. 이 둘의 차이의 상한은 어떻게 될까? 한번 구해보도록 하자. + + (n + )! (n + 2)! = (n + )! n + 2 (n + 2)(n + 3) e Sn = 임의의 자연수 k > 0에 대해서 (n + )(n + 2) (n + k) > (n + )k 이니, 이의 역수의 경우 9

10 부등호의 방향은 반대로 향하겠다. 이 사실을 기반으로 다음을 유도해낼 수 있다 (n + )! n + 2 (n + 2)(n + 3) < (n + )! n + (n + )2 e Sn = 대괄호 안에 있는 부분은 공비가 /(n + )인 무한등비급수이다. 즉 다음을 유도할 수 있다. " # n+ e Sn < = =. (n + )! n+ (n + )! n n 막 유도한 부등식에 양변에 를 곱해줌으로 다음의 관계식을 얻을 수 있다. 0 < e Sn < = 0 < (e Sn ) <. n n 앞서 e를 유리수라 가정하고 그 기약분수 꼴을 a/b라고 가정했다. 위의 관계식은 임의의 자연 수 n에 대해서 항상 성립했으므로, n > b를 만족하는 임의의 자연수를 채택하자. b > 0이므로 n > 이며, 즉 /n < 이 된다. 즉 e Sn 의 차이는 보다 작게 된다. 이 사실을 염두에 둔 채 다음의 관계식을 따라가보자. a Sn b a = b! 2! a = b 2! (e Sn ) = 여기서 n > b라고 가정했으니 부터 n까지의 곱은 b를 포함할 것이며, 그러므로 은 b의 배수이다. 즉 /b은 자연수이고, 여기에 a를 곱한 값 역시 마찬가지다. 대괄호 안에 포함된 급수도 모두 자연수이다. 임의의 k n에 대해서 /k!는 (k + )(k + 2) (n)이라는 자연수 값을 갖는다. 즉 대괄호 안에 포함된 것 또한 자연수여야만 한다. 즉 (e Sn )은 0보다 크지만 보다 작은 자연수이다. 하지만 그런 자연수는 존재하지 않으므로, e는 유리수가 아니다. 고로 무리수이다. 위 증명은 푸리에의 증명법으로 π가 무리수라는 증명 중 가장 유명한 증명이다.9 이 외에도 오일러의 증명이 있는데, 오일러는 e를 연분수 꼴로 표기하면 [2;, 2,,, 4,,,, 2n,,, ] 이 된다는 것을 발견했다.20 이 연분수는 무한히 기므로 e는 무리수라는 결론이 나온다. 0

11 이번엔 π가 무리수임을 증명해보자. 앞서 소개했듯 π가 무리수임이 증명된 것은 76 년이며, 이후 에르미트, 카트라이트, 니벤, 부르바키 등 다양한 수학자들도 다른 방법으로 증 명을 성공했다. 이 중 가장 간단하고 획기적인 증명은 비교적 최근인 947년에 발견된 니벤의 증명으로 고등학생도 충분히 따라갈 수 있을 정도로 쉬운 편이다. 니벤의 증명도 앞서 선보인 푸리에의 증명과 마찬가지로 귀류법으로 시작된다. π = a/b 라고 가정하고, 이를 기반으로 다음과 같은 함수를 상상해보자. f (x) = xn (a bx)n. 이 함수의 분자 부분에는 xn 이 있으므로 x = 0일 때에는 f (0) = 0이 된다. 이번엔 f (π x)를 상상해보자. π = a/b라고 가정했으니, f (π x)는 다음과 같은 꼴을 가질 것이다. (π x)n (a b(π x))n f (π x) = = a b x n (bx)n (a bx)n xn =. 즉 π를 기준으로 (π x) = f (x)라는 대칭성을 갖는다. 이번엔 f (x) = xn (a bx)n 라는 함수를 자세히 살펴보자. 이 함수의 최고차수는 2n이 고, 최저차수는 n이며, 이 다항식의 계수는 모두 정수이다. 즉, f (x)는 an xn + an+ xn+ + a2n x2n 라는 꼴의 다항식으로 표현해줄 수 있다. f (x)를 k번 미분해준 것을 f (k) (x)라고 표기하자. 그렇다면 k < n에 대해서는 f (k) (x)의 최저차수는 n k > 0으로, 상수부가 존재하 지 않는 함수가 된다. 해당 함수에 x = 0을 대입하면, 모든 항이 x를 포함하므로 0이 된다. 즉, k < n에 대해서 f (k) (0)는 모두 0이다. 반면 k n이라면 이야기가 달라진다. k n에 대해서 f (k) (0)을 살펴보자. 일단 k보다 낮은 차수의 항은 모두 0이 되어버린다. 반대로 k보다 높은 차수의 항은 x를 포함하고, x = 0 을 대입하므로 역시 0이 된다. 즉 f (k) (0)은 차수가 k인 항만이 살아남으며, 이 값은 k!ak 가 된다. k n이라고 가정했으니, f (k) (0) = ak (k!/)이고, 이 값은 여전히 정수이다. 그러므로 k가 몇이든 무관하게 f (k) (0)은 항상 정수이다. 마찬가지로 f (π) = f (0)이므로, f (k) (π)역시 모두 정수이다. 위 사실을 염두에 둔 채 다음과 같은 함수를 정의하자. F (x) = f (x) f (2) (x) + f (4) (x) + ( )n f (2n) (x). 그렇다면 다음의 관계식이 성립한다. d 0 F (x) sin x F (x) cos x = F 00 (x) sin x + F (x) sin x = f (x) sin x. dx

12 다시 말해 f (x) sin x를 적분하면 위와 같은 함수가 나와야 한다. 다음의 적분식을 살펴보자. Z 0 π π f (x) sin xdx = F 0 (x) sin x F (x) cos x 0 = F (π) + F (0). 앞서 임의의 k에 대해서 f (k) (0)과 f (k) (π)가 정수임을 보였으니, 이 적분값은 정수여야한다. 임의의 0 < x < π에 대해서, 그래프를 살펴보면 f (x) sin x > 0이다. 이를 기반으로 다음의 부등식이 성립한다. 0 < f (x) sin x < π n an. 하지만 해당 부등식에서 n을 아주 큰 수로 가정하면 우변은 보다 작은 값이 된다. 하지만 f (x) sin x는 정수여야 한다는 모순이 발생한다. 그러므로 π는 유리수가 아니다. 이 외에도 무리수라고 증명된 수는 몇이 더 있다. 증명은 생략하겠다만, 지금까지 발견된 무리수의 예제는 아래와 같다. 유리수 r 6= 0에 대해서 er.2 유리수 r 6= 0에 대해서 cos r.22 0 < θ < 90 이며 θ 6= 60 일 때 cos θ.23 유리수 r 6= 0에 대해서 tan r.24 자연수 n 에 대해서 π n.25 아페리 상수 ζ(3).26.6 초월수 증명 이 장에서는 초월수라고 증명된 숫자들이 어떤 정리로 초월수임이 증명되었는지 소개해볼 것 이다. 역사적으로 가장 처음 초월수로 증명된 리우빌 상수부터 한번 살펴보자. 리우빌 상수가 초월수라는 사실은 리우빌 정리의 따름정리로, 그 본문은 다음과 같다. 정리.2. 리우빌 정리(Liouville s Theorem): 차수가 n인 무리수 x를 가정하자. 그렇다면 임의의 정수 p와 0이 아닌 정수 q에 대해서, x에 좌우되며 다음의 성질을 만족하는 상수 c가 존재한다. x p c n. q q 2

13 일단 대수적 수의 차수가 무엇인지 간략하게 설명해보겠다. 임의의 대수적 수 α에 대해서 p(α) = 0을 만족하는 p(x) Q[x]가 무한히 많이 존재할 것이다. 그 중 차수가 가장 낮은 일 계수 다항식(최고차수의 계수가 인 다항식) p(α)의 차수를 대수적 수의 차수라고 정의한다. 다항식 p(x)의 차수를 p라고 정의할 때, α의 차수가 n이라면 q < n에 대해서 q(α) = 0 을 만족하는 유리수 계수 다항식 q(x)는 존재하지 않는다는 의미이다. 리우빌 정리는 임의의 무리수인 대수적 수는 임의의 유리수에 아주 가깝게 근사할 수 없다는 의미이다. 이는, 다시 말해 어떤 특정한 유리수에 아주 가깝게 근사할 수 있다면, 동시에 그 차이가 0이 아니라면, 이 수는 대수적 수일 수가 없다는 의미가 된다. 리우빌 정리를 증명하는 것은 그렇게 어려운 작업은 아니다. 약간의 해석학(삼각부등식) 만 이해해도 증명을 따라가는데 충분하다. 다만 증명을 떠올리는데 엄청난 직관을 필요로 할 뿐이다. 자세한 증명은 생략하도록 하겠다. 리우빌 정리의 대우는 다음과 같다. 정리.3. 리우빌 정리의 대우(Contraposition of Liouville s Theorem): 무리수 x를 가정하자. 임의의 자연수 n에 대해서, 다음을 만족하는 정수 p와 q > 가 존재한다면, x는 초월수이다. 0< x p < n. q q 그렇다면 이 정리가 왜 리우빌 상수가 초월수라는 것을 의미하는지 한번 살펴보도록 하겠 다. 일단 q = 0 이라고 두자. 그리고 임의의 정수 p에 대해서 x를 다음과 같이 정의하자. x= X p +. q 0k! k=n+ 그렇다면 다음의 부등식이 성립한다. x X 2 2 p = n+ = n+ < n. k! q 0! q q 0 k=n+ n 에 대해서 q 0이므로 마지막 부등식이 성립한다. 그리고 이는 p = 0으로 잡음으로서 리우빌 상수가 초월수라는 것이 증명이 된다. 앞에서 리우빌 상수 다음으로 증명된 초월수는 e와 π라고 언급했다. 린데만이 π가 초 월수라는 것이 증명되면서 자동적으로 e또한 초월수라는 것이 재증명되었기에, 에르미트의 증명보다 린데만이 증명했던 정리에 초점을 맞춰볼까 한다. 에르미트가 처음으로 시도했고, 린데만이 보강하며 바이어스트라스가 완성했기에 이는 종종 에르미트-린데만-바이어슈트라 스, 혹은 줄여서 린데만-바이어슈트라스 정리라고 불린다. 해당 정리는 다음과 같다. 3

14 정리.4. 린데만-바이어슈트라스 정리(Lindemann-Weierstrass Theorem): 대수적 수 α,, αn 가 유리수체에서 선형 독립(일차 독립)이라면 eα,, eαn 은 유리수체에 대수적 독립이다. 린데만-바이어슈트라스 정리를 이해하기 위해서는 선형 독립과 대수적 독립의 의미를 알 필요가 있다. 각각의 정의는 다음과 같다. 정의.. 선형 독립(Linear Independence): 임의의 체 F 에 대해서 집합 {vi }ni= 을 가정 하자. 다음의 식을 만족하는 {fi } F 이 0 뿐이라면 {vi }ni= 은 체 F 에 대해 선형 독립이라고 정의한다.27 n X fi vi = f v + + fn vn = 0. i= 정의.2. 대수적 독립(Algebraic Independence): 임의의 체 L의 부분체 K와 L의 부분 집합 S를 가정하자.28 K[x]의 어떤 다항식도 S의 원소를 해로 삼지 않는다면 S가 K의 대수적 독립이라고 정의한다. 선형 독립을 이해하기 위해서는 아무래도 예를 하나 살펴보는 것이 좋겠다. 유리수 체 Q 와 {, 3 2, 3 4}에 대해서 다음과 같은 방정식을 떠올려보자. q + q q3 3 4 = 0. q, q2, q3 Q라고 가정할 때, 위의 식을 만족하는 해는 q = q2 = q3 = 0밖에 존재하지 않 는다. 그러므로 {, 3 2, 3 4}는 Q에서 선형 독립이다. 반면 해당 집합은 R에서는 선형 독립이 아니다. r = 4, r2 = 3 4, r3 = 3 2라는 해에 대해서 다음의 식이 성립하기 때문이다. r + r r3 3 4 = 0. 이번엔 대수적 독립의 정의를 린데만-바이어슈트라스 정리의 관점에서 이해해보자. 복소 수의 집합 C는 각 곱셈의 역원이 존재하는 가환환이므로 체이다. 제 장에서 Q가 체임을 보였으며, Q C이므로 Q는 C의 부분체이다. 만약 C의 부분집합 V 가 Q의 대수적 독립 이라면 그 어떤 p(x) Q[x]에 대해서도 V 의 원소 v는 p(v) 6== 0이라는 의미가 된다. 즉 린데만-바이어슈트라스 정리는 이러한 eα, eαn 이 모두 초월수라는 것을 암시한다. 다음에 살펴볼 정리는 린데만-바이어슈트라스 정리의 동치로, π와 e가 초월수라는 것을 증명하는 결정적인 정리가 된다. 정리.5. α,, αn 가 각기 다른 대수적 수라면 eα,, eαn 는 대수적 수체에서 선형 독립 이다. 4

15 α = 0 그리고 α2 = 이라고 가정하자. 각각은 대수적 수다. 그렇다면 eα = e0 = 과 eα2 = e는 대수적 수체에서 선형 독립이라는 의미가 된다. 즉, 다음을 만족하는 대수적 수 a, a2 는 0 뿐이라는 의미가 된다. a + a2 e = 0. 대수적 수는 체를 이루기에, 임의의 대수적 수의 합과 차, 곱과 비율 역시 대수적 수가 된다. 즉, e = a /a2 를 만족하는 대수적 수 a, a2 가 없다는 의미는 e는 대수적 수가 아니라는 의미가 된다. 즉, e는 초월수가 된다. π가 초월수라는 사실 역시 린데만-바이어슈트라스 정리로 쉽게 증명될 수 있다. π가 대 수적 수라고 가정하면, πi역시 대수적 수일 것이다. 이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 의해 eπi 가 초월수여야 한다는 결론을 낳는다. 하지만 eπi 는 오일러의 등식에 의해 이고 이는 초월수가 아니다. 그러므로 π는 대수적 수가 아니라 초월수여야 한다. 린데만-바이어슈트라스 정리는 초월수의 영역을 확장한.7 H7, 그리고 그 후 앞서 힐베르트 스스로가 H7은 적어도 FLT와 RH(리만 가설)보다 이후에 풀릴 것이라고 추 측했다고 언급했다. 물론 힐베르트가 겔폰트(Gelfond)의 발견을 알고 있었더라면 그러한 코 멘트를 남기지는 않았을 것이다. 겔폰트는 929년 eπ 가 초월수라는 사실을 발견했는데, 이는 겔폰트-슈나이더 정리의 주춧돌이 된다. 겔폰트-슈나이더 정리의 본문은 다음과 같다. 정리.6. 겔폰트-슈나이더 정리(Gelfond-Schneider Theorem, 이하 GST): 대수적 수 a, b에 대해 a 6= 0이고 b가 무리수라면 ab 는 초월수이다. 즉, GST는 H7는 참이다 라는 정리이다. 겔폰트와 슈나이더는 935년 해당 문제를 각각 독립적으로 증명해내는데 성공했고, 그들에 대한 예우로 이 정리의 이름을 겔폰트-슈나이더 정리라고 부르게 되었다. 겔폰트의 경우는 H7를 직접적으로 공격하기 보단 해당 문제와 동치 인 정리를 증명해냈다. 아래에 소개될 명제 2, 3, 4는 모두 GST( )과 동치이며, 겔폰트가 증명했던 명제는 4이다. 정리.7. 아래에 제시된 명제는 모두 동치이다. : 0과 이 아닌 대수적 수 α와, 무리수인 대수적 수 β에 대해서 αβ 는 초월수이다. 2: 0이 아닌 복소수 l과 유리수가 아닌 복소수 β에 대해서 el, β, eβl 중 최소한 하나는 초월수이다. 5

16 3: 0이 아닌 대수적 수 α, β에 대해서 log α와 log β가 유리수체 Q에서 선형 독립이라면, log α와 log β는 대수적 수체 A에서 선형 독립이다. 4: 0이 아닌 대수적 수 α, β에 대해서 β 6= 이고, log α/ log β는 무리수라면, log α/ log β 는 초월수이다. Proof. ( = 2): α, β가 대수적 수이면 αβ 가 초월수라고 가정하자. α = el 이라고 정의한다. α 6= 0, 이라 했으니 l 6= 0이다. el 과 β가 대수적 수라고 가정하자.29 eβl = αβ 는 에 따라 초월수가 되어야 한다. ( 2 = 3): log α0 와 log β 0 가 Q에서 선형 독립이기 위해서는 α0 와 β 0 가 둘 다 이 아님을 의미한다. 더 나아가, log α0 / log β 0 가 무리수임을 의미한다. l = log β 0, β = log α0 / log β 0 라고 두자. el = β 0 와 eβl = α0 가 대수적 수라고 가정하면 β = log α0 / log β 0 는 초월수여야 한다. 즉, log α0 와 log β 0 는 대수적 수체 A에서 선형 독립이다. ( 3 = ): 대수적 수 α, β에 대해서, α 6= 0, 이고 β 6 Q라고 가정하자. β 0 = eβ log α = αβ 가 대수적 수라고 가정하자. 그렇다면 log α와 log β 0 = β log α는 대수적 수 체에서 선형 독립이 아니다. 이는 3에 의해 둘이 유리수 체에서 선형 독립이 아니라는 사실을 낳는다. 이는 β Q라는 의미이며 모순을 낳는다. 그러므로 αβ 는 초월수여야 한다. ( 3 4): log α와 log β가 유리수체에서 선형 독립이려면 적어도 둘 다 0일 수 는 없다. 그러므로 β 6= 이다. log α와 log β가 유리수체에서 선형 독립이라는 것은 log α/ log β가 무리수라는 의미와 동치이다. 마찬가지로 log α와 log β가 대수적 수체에 서 선형 독립이라는 것은, log α/ log β가 초월수라는 것과 동치이다.30 GST는 이전에 소개된 정리들이 판별하지 못했던 수많은 수가 초월수인지 아닌지 판별 하게 해주었다. 대표적으로 힐베르트 스스로가 문제를 제기하며 소개했던 eπ 와 2 2도 H7가 긍정적으로 해결되며 초월수라고 증명되었다. 이 뿐만이 아니다 H7를 떠올려보면 a, b A에 대해서 a 6= 0이고 b 6 Q라면 ab 가 초 월수라고 했다. 이는, 역으로 말해 임의의 수가 0이 아닌 대수적 수 a와 무리수인 대수적 수 b에 대해서 ab 꼴로 표현이 가능하다면 이는 초월수라는 의미이다. 예컨대 eπ 살펴보자. eπ 2 = e iπ 2 = ( ) 2 2의 경우를. 6

17 비록 e와 π 2가 대수적 수가 아니었지만, 해당 식을 적절히 바꾸어 대수적 수 와 유리수 가 아닌 대수적 수 2i로 바꿔냈다. 그러므로 여기에 GST를 적용할 수 있으며, 해당 값은 초월수이다. 힐베르트는 린데만-바이어슈트라스 정리가 해결되며 초월수 이론의 발전을 목적으로 H7를 제기했지만, 사실 그는 그보다 더 큰 의문이 있었다. 그 의문에 대해 자세히 이해하기 위해서는 대수적 함수와 초월 함수라는 개념을 알 필요가 있다.3 대수적 함수란, 함수 y = f (x)가 다항식의 근으로 표현이 가능한 함수를 말한다. 임의의 다항식 p(x)에 대해 함수 y = p(x)는 y p(x) = 0이라는 다항식ㅇ르 만족하므로 대수적 p 함수임은 물론, n p(x)또한 y n p(x) = 0을 만족하므로 역시 대수적 함수이다. 임의의 다 항식 p(x), q(x)에 대해서 y = p(x)/q(x)역시 q(x)y p(x) = 0이라는 다항식을 만족하므로 역시 대수적 함수이다. 기본적으로 유한개의 다항식의 합, 차, 곱, 비, 그리고 유리수 승으로 이루어진 함수는 대개 대수적 함수이다. 반대로 초월 함수는 대수적 함수가 아닌 함수를 말한다. 예컨대 xπ 와 같이 초월수 제곱을 취한 함수, f (x) = xπ 는 유한한 길이의 다항식의 연산으로 표현이 불가능하다. 마찬가지로 f (x) = xx 와 같은 x가 지수로 취해진 함수도, 로그함수나 삼각함수도 대부분 다항식의 연산 으로 표현이 불가능하며, 그러므로 초월 함수이다. 그렇다면 초월 함수와 초월수는 어떤 관계가 있을까? 힐베르트는 다음과 같은 의문을 가 졌다. 초월 함수 f (z)에 대해서 α가 대수적 무리수라면 f (α)는 초월수가 아닐까? 힐베르트는 H7을 소개하며 초월 함수 f (z) = eiπz = ( )z 에 대해서, z가 유리수일 때, 이 값은 분명 히 대수적 수임을 지적하며, 그렇다면 z가 대수적 무리수라면 이 값은 항상 초월수일까 하는 의문을 던졌다.32 GST가 참이라고 증명되며, 임의의 대수적 무리수 α에 대해서 eiπα 가 항상 초월수임이 증명되었다. 그렇다면 이를 기반으로 다음과 같은 의문을 떠올려보자. 함수 f (z) = eγz 가 대수적 수 에서 항상 초월수를 내뱉기 위한 γ의 조건은 무엇인가? 이 질문에 대한 부분적 해답은 이미 거론되었다. 린데만-바이어슈트라스 정리에 의해 0이 아닌 대수적 수 α에 대해서 eα 가 초월수 임을 안다. 마찬가지로 대수적 수인 γ에 대해서, 대수적 수는 곱에 닫혀있으므로 z가 대수적 수일 때 이 값은 초월수가 된다. 또한 GST에 의해서 이 아닌 대수적 수 α에 대해서 γ = log α 여도 된다. eγz = αz 가 되며, z가 무리수라면 이 값은 역시 초월수가 된다. 즉 γ가 0이나 이 아닌 대수적 수 α에 대해서 α거나 log α라면 대수적 무리수인 z에 대해서 f (z) = eγz 는 항상 초월수가 된다. 하지만 그렇다고 모든 초월 함수가 대수적 무리수 z에서 초월수 값을 갖는 것은 아니다. 우리가 기본적으로 알고있는 초월 함수를 적절히 변형시켜 특정한 대수적 수에서 대수적 수를 내뱉게 바꿀 수 있다. 예컨대 β를 임의의 대수적 수라고 가정하고, f (z) = ez β 를 떠올려보자. 해당 함수는 분명히 초월 함수이지만, z = β에서 분명히 대수적 수인 을 낳는다. 즉, 초월 7

18 함수는 대수적 수에서 초월수를 내뱉는 것이 그럴듯해 보이지만, 항상 그런것은 아니다. 물론 이런 예외가 있다는 것은 사실이지만, 그럼에도 초월 함수와 초월수 사이에는 깊은 관련이 있어 보이는 것은 사실이다. 방금 소개한 예외를 잠시 무시하도록 해보자. 린데만-바이 어슈트라스 정리에서 f (z) = ez 가 초월수 값을 갖기 위해서는 z가 대수적 수였다. 마찬가지로 GST에서 αβ 가 초월수이기 위한 조건 역시 α는 0이 아닌 대수적 수, β는 대수적 무리수였다. 힐베르트가 갖던 의문은 이것이었다. 초월 함수 f (z)가 초월수 값을 갖기 위한 조건은 그 z 가 대수적인 수여야 되는 것이 아닐까? 다시 말해, f (z)와 z가 동시에 대수적일 수는 없지 않을까? 물론 반례를 무시할 수 있는 것은 아니다. 반례에t서 대수적 수 β에 대해 f (z) = ez β 는 z = β에서 초월수가 아닌 값을 갖는다. 하지만 z가 β가 아닌 대수적인 수에서는 여전히 f (z) 는 초월수 값을 내놓는다. 즉, 힐베르트의 의문은 다음과 같이 완성될 수 있다. 추측.4. 힐베르트의 의문: f (z)와 z가 동시에 대수적인 경우는 거의 없다.33 힐베르트의 의문은 여전히 해결되지 않은 난제로 남아있다.34.8 닫는 글 보통 초월수 연구의 대표적인 성과를 꼽으라면 20세기 초반에는 GST, 그리고 20세기 후반 에는 베이커 정리를 꼽는다. 그만큼 H7와 GST는 초월수 연구에 거대한 족적으로 남아있다. 하지만 그럼에도 힐베르트의 의문은, 그의 사후 6년째인 지금도 여전히 해결되지 않은 채 남아있다. [보류] 8

19 Notes to chapter. Albers, Alexanderson, Reid, International Mathematical Congresses: An Illustrated History , Springer-Verlag, New York, ICM/History/history.ocr.pdf 2. 이그노라비무스 논쟁이란, 9세기 말 프랑스의 생리학자 보아레이몬이 인류 지성이 아무리 발전해도 해결하지 못할 일곱 문제를 발표함으로서 촉발되었다. 그 슬로건이 이그노라무스 엣 이그노라비무스(Ignoramus et ignorabimus; 우리는 모르고 모를 것이다.)였기에 이그노 라비무스 논쟁이라 불렸다. 이 때문에 과학에 대한 회의주의가 한 때 유럽에 스며들었는데, 힐베르트는 이 태도에 대해 적대적이었다. 3. 정화히는 23개의 문제를 지정했고, 해당 연설에서 0개만 발표했다. 연설 당시에 발표했던 문제는, 2, 6, 7, 8, 3, 6, 9, 2, 그리고 22번 문제이다. 4. C. L. Siegel, Transcendental Numbers 949, Princeton University Press. p 참고로 FLT는 995년, RH는 여전히 미해결 난제이다. 수학 문제가 언제 풀릴지 예상하는 것이 얼마나 무의미한 짓인지 알려주는 훌륭한 일화다. 6. 다른 말로는, 주어진 무리수로부터 임의의 오차 > 0내에 있는 유리수는 항상 존재한다. 7. 집합의 폐포란, 해당 집합을 포함한 가장 작은 집합이다. 즉, 집합과 해당 집합의 극한점을 모두 포함한 집합인데, 모든 무리수는 유리수로 근사할 수 있으므로 유리수의 극한점이고, 그러므로 유리수의 폐포는 유리수와 무리수의 합집합, 즉 전체 실수가 된다. 8. 어디까지나 전설이기 때문에 피타고라스 정리를 증명한 이와 히파수스를 빠뜨려 죽인 이가 피타고라스인지 피타고라스 학파의 사람인지조차 불분명하다. 9. 체가 대수적으로 닫혀있다면, 체의 원소를 계수로 삼는 방정식은 항상 차 다항식으로 분 Q 해가 가능하다. 이 경우 p(z) C[z]는 α ni= (z zi )와 같이 n개의 차 다항식의 곱으로 나타내줄 수 있다. 0. Lambert, Johann Heinrich (768). Me moire sur quelques proprie te s remarquables des quantite s transcendantes, circulaires et logarithmiques. Me moires de l Acade mie royale des sciences de Berlin: Aubrey J. Kempner (October 96). On Transcendental Numbers. Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 7 (4): By Cronholm44 (Own work) [GFDL ( CC-BY-SA-3.0 ( or CC BY-SA ( via Wikimedia Commons 3. 정확히는 (a, b)와 [a, b]가 같은 무한임을 증명하고, 적당히 조정한 탄젠트 함수가 (a, b)와 9

20 R를 연결하는 전단사 함수임을 증명하면 된다. 4. 정수는 양의 정수(자연수)와 0을 포함한 음의 정수의 합집합으로 볼 수 있는데 각각은 자연수 집합에 대응시킬 수 있다. 즉 정수는 두 가산 집합의 합집합으로 여겨줄 수 있으며 이 두 집합의 합집합인 정수 집합은, 앞서 증명했 듯, 자연수 집합과 같은 기수를 가진다. 5. Dedekind, Richard, Essays on the Theory of Numbers, Continuity and Irrational Numbers, Dover: New York, ISBN 증명의 대략적인 개요는 다음과 같다. {Si } i= 를 가정하자. 각각의 Si 는 가산 무한 집합이 라고 가정하자. 즉 Si 의 원소는 각각 자연수에 대응해줄 수 있다. Si 에 j에 해당하는 원소를 si,j 라고 표기하고, (i, j)를 N = Q를 증명했을 때 처럼 표로 나열한다. 이를 칸토어의 유리 S 수 나열법을 이용해서 세어줄 수 있다.(중복되는 원소는 건너뛴다.) 그러므로 i= Si = N이 성립한다. 7. 2가 유리수라는 가정하에 a/b꼴로 표현해주고 무한강하법을 유도하면 된다. 8. 0! = 이라고 정의한다. /0! = 이니 너무 걱정할 것 없다. 9. de Stainville, Janot (85). Me langes d Analyse Alge brique et de Ge ome trie [A mixture of Algebraic Analysis and Geometry]. Veuve Courcier. pp [a0 ; a, a2, ]는 a0 + a + a 2 + 이라는 뜻이다. 2. Niven, I. M. Irrational Numbers. New York: Wiley, IBID 23. IBID 24. Stevens, J. Zur Irrationalita t von pi. Mitt. Math. Ges. Hamburg 8, 5-58, Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, Ape ry, R. Irrationalite de ζ(2) et ζ(3). Aste risque 6, -3, 보통 선형 독립은 벡터 공간에서 정의되며, 그 경우 임의의 체가 아닌 임의의 n차원 벡터 공간에서 정의된다. 린데만-바이어슈트라스의 경우 유리수 체는 차원 벡터 공간이므로 체 자체에서 정의해도 무방하다. 28. 즉, K는 체의 성질인 각각의 연산자에 대해서 닫힘, 결합법칙, 교환법칙이 성립하고, 항등 원과 역원의 존재해야한다. S는 L의 부분 집합이므로 아무런 성질을 만족할 필요가 없다. 29. 어차피 문제는 el, β, eβl 셋 중 적어도 하나는 초월수임을 증명하고 싶은 것이다. el 과 β 가 둘 중 적어도 하나가 대수적 수가 아닐 경우엔 자동적으로 제시된 세개의 수 중 하나가 초월수인 것이 된다. 즉, el 과 β가 대수적 수일 경우만 생각해주어도 충분하다. 30. Filaseta, M. University of South Carolina, Graduate Course, The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results., 20

21 Math785/Math785Notes8.pdf 3. 사실 설명의 순서가 반대로 되었다. 초월함수라는 개념으로부터 초월수라는 개념이 파생된 것이다. 32. 임의의 기약 분수 p/q에 대해서 ( )p/q 는 xq + = 0의 해임을 기억하자. 지수가 무리수의 경우는 이와 같은 논법이 통하지 않는다. 33. 여기서 거의는 유한개의 반례를 제외하고 라는 의미이다. 즉, f (z)와 z가 동시에 대수적일 수는 있지만, 그러한 경우는 유한개 뿐이라는 의미이다. 34. 이번 장은 콜로라도 대학원 수학과 교수 로버트 텁스(Robert Tubbs)의 H7 강의 메터 리얼을 기반으로 했음을 알려드립니다. courses.html 2