숱숰숮숱 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 연필 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숱 숱숰숮숲 쉇쉲쉩숎쉴쉨쉳의 중급 쉊쉡쉣쉯쉢쉩쉡쉮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮

Transcription

1 Hodge 가설이란 무엇인가? 박진현 숨쉋쉁쉉쉓쉔 수리과학과숩 숲숰숱숵년 숸월 요약 클레이 수학연구소에서 정한 새로운 세기에 풀 밀레니엄 문제들 중 하나인 핫지(Hodge) 가설에 대해 알아보고자 한다. 간단히 말하자면, 핫지 가설은, 대수기하적 대상인 대수사이클과 위상수학적 대상인 특이 코호몰로지 군 사이의 연관성에 대한 가설로, 위상수학적인 정보에 대해 얼마 만큼이나 대수기하적인 접근을 할 수 있는지에 대한 가설로 볼 수 있다. 조금 더 엄밀하게는, 유리계수상의 특이 코호몰로지 군의 (p, p) 부분이 대수사이클의 사이클 류 함수 값이 되는지를 묻는 것이다. 이 가설은 당초 정수계수에 대해서 만들어 졌으나, 그 반례를 여러가지 찾게 된 이 후 현재의 형태로 조금 수정한 것은 아직까지 사실인지 여부가 알려져 있지 않다. 본 강연에서는, 학부 고학년에서 대 학원 저학년 수준의 수학 기초지식을 가진 학생들에게 핫지 가설을 이해하기 위한 기초적인 지식을 전달하고, 그 후 이 가설의 현황에 대하여 알아보는 것을 목표로 한다. 차례 차례숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숱 숱 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이란숿 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숲 숲 복소 다양체와 대수다양체숬 특이 코호몰로지 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳 숳 사이클 류 함수 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숷 숴 쉈쉯쉤쉧쉥 분해와 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숹 숴숮숱 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숹 숴숮숲 사이클 류의 타입 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숱숵 숴숮숳 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숱숶 숵 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 맞는 예숺 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺의 숨숱, 숱숩 정리 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숱숸 숶 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 반례들 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숱숸 숶숮숱 쉁쉴쉩쉹쉡쉨숭쉈쉩쉲쉺쉥쉢쉲쉵쉣쉨 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숱숸 숶숮숲 쉔쉯쉴쉡쉲쉯 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숱숹 숶숮숳 쉋쉯쉬쉬숓 쉡쉲 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숲숱 숷 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 맞는 예들 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숲숲 숸 쉈쉯쉤쉧쉥의 일반화된 가설과 쉈쉯쉤쉧쉥숭쉇쉲쉯쉴쉨쉥쉮쉤쉩쉥쉣쉫 가설 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숲숶 숹 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 맞다면숿 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숲숹 숹숮숱 쉈쉯쉤쉧쉥 가설과 쉂쉬쉯쉣쉨 가설 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숲숹 숹숮숲 쉈쉯쉤쉧쉥 가설과 표준 가설 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숲숹 숱숰 쉈쉯쉤쉧쉥 가설에 대한 접근 방법들 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숱 숱

2 숱숰숮숱 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 연필 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숱 숱숰숮숲 쉇쉲쉩숎쉴쉨쉳의 중급 쉊쉡쉣쉯쉢쉩쉡쉮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숳 숱숰숮숳 쉊쉡쉣쉯쉢쉩쉡쉮 숌쉢쉲쉡쉴쉩쉯쉮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숴 숱숰숮숴 노말 함수 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숵 숱숰숮숵 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 숨숱, 숱숩 정리에 대한 고전적 접근 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숵 숱숰숮숶 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 맞는 다른 예들 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숶 숱숱 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 변형시킨 가설들 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숶 숱숱숮숱 쉔쉡쉴쉥 가설 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숶 숱숱숮숲 쉂쉥쉩쉬쉩쉮쉳쉯쉮숭쉈쉯쉤쉧쉥숬 쉂쉥쉩쉬쉩쉮쉳쉯쉮숭쉔쉡쉴쉥 가설 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숷 숱숱숮숳 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 너머에 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숮 숳숹 참고 문헌 39 이 강연은 학부 고학년에서 대학원 초급 정도 이상의 수학적 지식을 갖춘 사람들을 대상으로 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 무엇인지에 대해서 설명하고자 하는 것을 목표로 한다숮 여러 모로 볼 때 이 작업은 쉽지는 않다숮 우선숬 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 다루는 대상은 복소대수기하학에서 다루는 명제로숬 이를 이해하기 위해서 필요한 기초 수학적 지식이 일반적으로 한국의 대학원 초급 수준 교과과정에서 다루는 수학적 내용을 다소 뛰어넘기 때문이다숮 두번째로는숬 본 연사가 이 가설의 인근 분야에 대한 전문지식이 다소 있다고는 하나숬 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 문제에 직접 도전하여 연구 성과를 얻어본 경험이 있지는 않기 때문이다숮 만약 쉈쉯쉤쉧쉥 가설에 대한 전문가들이 넘쳐나는 수학 선진국들에서 이런 강연들을 준비한다면숬 틀림없이 본 연사보다도 더 뛰어나고 경험이 많으며 쉈쉯쉤쉧쉥 가설에 대해 굵직한 기념비적인 업적을 남긴 연사들이 응당 강연을 맡으셨을 것 같다숮 그런 입장에서 본 연사가 이런 중요한 가설에 대한 중요한 강연을 맡게 된 것은 세계적인 수준에서 볼 때에는 다소 민망하다고 느끼고 있으나숬 한국의 학문적 수준이 선진국에 비하면 다소 모자라는 면이 있다는 것을 인정하고 겸손하게 본 연사는 이 기회를 빌어 쉈쉯쉤쉧쉥 가설에 대해 조금 더 깊은 이해를 하고 이러한 이해를 더 많은 국내 수학전공 학생들에게 전파하여숬 향후 학문 후속세대에서는 더 높은 수준의 사유와 업적을 얻을 수 있기를 희망하는 마음으로 이런 강연을 준비하고자 하였다숮 본 강연의 취지는 그렇게 국내의 학문 후속 세대들에게 더 넓은 지식과 기회를 주는 것이 목표 인 만큼숬 강연은 한국어로 진행하고 그 강연록을 한국어로 출판하여 더 많은 사람들에게 읽혀지도록 기획하였다숮 본 강연과 강연록에서 크고 작은 실수가 있다면숬 그것은 본 연사의 능력이 다소 모자란 점에 기인한 것이다숮 이 강연을 통해 한국의 더 많은 학생들이 현대 수학의 주요 흐름을 파악하는 데 도움이 되었으면 한다숮 아래의 강연노트는숬 숲숰숱숵년 숸월 숱숰일부터 숸월 숱숴일까지 숵일간 총 숱숰시간숬 쉋쉉쉁쉓 쉃쉍쉃의 난제기반 강연 시리즈에서 진행한 집중 강연 내용을 정리한 것이다숮 본 강연을 위해 애써주신 쉋쉁쉉쉓쉔 쉃쉍쉃 노희주 선생님과 집행위원 교수님들숬 쉋쉉쉁쉓 쉃쉍쉃의 박선하 선생님을 비롯한 여러 직원 선생님들숬 최재경 센터장님숬 그리고 쉋쉉쉁쉓의 금종해 원장님께 깊은 감사의 말씀을 드린다숮 1 Hodge 가설이란? 청중들 중숬 대수기하학을 전공하는 대학원학생들이라면 아마 등장하는 많은 용어들에 대해서 조금 더 익숙할 것이지만숬 그렇지 않은 사람들이라면 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 명제 자체가 어떤 뜻인지 이해하는데 많은 시간이 걸릴 것으로 생각된다숮 불행히도 수학의 많은 개념들은 많은 정의들의 바탕 위에 등장하 므로 단순한 언어로 간단하고 쉽게 설명할 수 없는 경우가 많다숮 그럼에도 불구하고 최대한의 노력을 해 보도록 하겠다숮 여러 용어들에 대해서 후속 강연에서 조금 더 자세하게 설명을 하도록 하겠지만숬 숲

3 우선은 우리가 다루고자 하는 명제인 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이라는 명제가 무엇인지를 소개하는 것이 좋겠다숮 모르는 용어가 많이 나오더라도 당황하지 말고 인내해 주기를 바란다숮 가설 1.1 숨정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설숩. X를 매끈한 복소 사영 대수다양체라고 하자. p > 숰가 정수일 때, 사이클 류 함수 clx 숺 z p 숨X숩 H 2p 숨X, Z숩의 상(image)는 정확히 숨p, p숩-타입의 코호몰로지 류와 일 치한다. 가설 1.2 숨쉈쉯쉤쉧쉥 가설숩. X를 매끈한 복소 사영 대수다양체라고 하자. p > 숰가 정수일 때, 사이클 류 함수 clx 숺 z p 숨X숩 Q H 2p 숨X, Q숩의 상(image)는 정확히 숨p, p숩-타입의 코호몰로지 류와 일치한다. 우선 무슨 말인지 이해가 잘 가지 않는 사람들도 많을 것이다숮 이 용어들을 차츰 하나씩 설명해 나가는 것도 본 강연에서 추구하는 목표들 중 하나이다숮 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 명제를 이야기하면서 왜 거 의 똑같은 두개의 명제를 적었는지 다소 의아해 할 수도 있겠다숮 미리 말을 하지만숬 불행히도 이 정 수 계 수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은 참이 아니고숬 나중에 이것이 참이 아닌 반례를 몇가지 제시할 것이다숮 쉈쉯쉤쉧쉥 가 처음 가설을 제시하였을 때에는 명확하게 저런 문장으로 적었던 것은 아닌데숬 그 의미는 사실상 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설로 볼 수 있다숮 이 가설에는 정의역에는 대수사이클들의 군이 있고숬 치역에는 특이 코호몰로지 군들이 있다숮 정 의역은 순수히 대수기하학의 영역숬 즉숬 대수적인 대상이고숬 치역은 순수히 위상수학적인 영역이다숮 그래서숬 이 가설을 느슨하게 위상수학적으로 얻어지는 대상들 중 얼마나 많은 부분들이 대수적 대 상으로부터 오는가숿 라는 질문으로 이해할 수도 있겠다숮 본 강연의 목표는 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 해결이 아니라숬 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 무엇인지를 이해하는 것인 만큼숬 우선은 위의 명제들이 무슨 의미인지를 이해하는데 집중하려고 한다숮 이를 위해서 복소 사영 대수다 양체숬 대수사이클숬 특이 코호몰로지숬 숨p, p숩숭타입이 무엇인지 등을 우선 설명해 보려고 한다숮 2 복소 다양체와 대수다양체, 특이 코호몰로지 우선 특이 코호몰로지에 대해부터 먼저 알아보자숮 일반적으로 수학 전공을 하는 대학원 신입생 시절숬 혹은 학부 고학년 시절숬 대수적 위상수학 교과목을 수강하게 되면 배우게 되는 주제가 특이 코호몰 로지 숨쉳쉩쉮쉧쉵쉬쉡쉲 쉣쉯쉨쉯쉭쉯쉬쉯쉧쉹숩이다숮 물론 사실은숬 특이 호몰로지를 먼저 배우게 되겠다숮 대수적 위상 수학을 공부한 학생들에게는 매우 익숙한 주제일 것이다숮 정의 2.1. X가 위상 공간이라고 하자. 숁n 숽 {숨t0,, tn 숩 Rn+1 P ti 숽 숱, 숰 ti 숱}를 n-심 n 플렉스(simplex)라고 부른다. 이때, 임의의 연속함수 f 숺 숁 X를 특이 n-심플렉스 (singular nsimplex)이라고 하고, 이들 특히 n-체인들 위에서 생성된 자유 아벨 군(free abelian group)을 Sn 숨X숩 라고 쓰자. 각각의 숰 i n에 대해서 i번째 면(face) i 숺 숁n 1 숁n 을 정의할 수 있는데, 그 상 (image)은 숁n 에서 ti 숽 숰이 되는 부분공간과 일치한다. 이를 이용하여 di 숺 Sn 숨X숩 Sn 1 숨X숩를 Pn 정의할 수 있고, d 숽 i=0 숨 숱숩i di 라고 정의하자. 이때 d d 숽 숰이 됨을 확인할 수 있어서, d d Sn+1 숨X숩 Sn 숨X숩 Sn 1 숨X숩 은 복합체(complex)가 된다. 이것의 n번째 호몰로지, 즉 쉫쉥쉲숨d숩/im숨d숩를 Hn 숨X숩 숽 Hn 숨S 숨X숩, d숩라 고 쓰고, n번째 특이 호몰로지라고 부른다. 한편, S n 숨X숩 숽 HomZ 숨Sn 숨X숩, Z숩에 대해서는 i 가 유사하게 연산자 δi 숺 S n 1 숨X숩 S n 숨X숩를 Pn 주는데, 이 경우에도 δ 숽 i=0 숨 숱숩i δi 로 정의하면 δ δ 숽 숰임을 보이고 n번째 코호몰로지 H n 숨X숩 숽 H n 숨S n 숨X숩, δ숩를 n번째 특이 코호몰로지라고 부른다. 숳

4 만약 숃가 어떤 가환환(commutative ring)인 경우, Sn 숨X숩대신 Sn 숨X숻 숃숩 숽 Sn 숨X숩 Z 숃, S n 숨X숩 대신 S n 숨X숻 숃숩 숽 HomΛ 숨Sn 숨X숻 숃숩, 숃숩를 사용하면, 이때에는 계수가 숃에 포함된 n번째 특이 호몰로 지, 특이 코호몰로지를 얻어내게 된다. 기본적인 성질들은 대수적 위상수학 수업에서 배운 학생들은 복습을 하고숬 아직 배우지 못한 학 생들은 이번을 동기부여의 기회로 삼으면 좋을 것 같다숮 이들 특이 코호몰로지의 중요한 성질 하 나는숬 위상 공간들에 대해서는 이러한 코호몰로지 이론들이 몇 가지 공리들 숨아일렌버그숭스틴로드 쉅쉩쉬쉥쉮쉢쉥쉲쉧숭쉓쉴쉥쉥쉮쉲쉯쉤 공리들숩을 만족하는 이론으로써 점에 대한 숰번째 호몰로지숬 혹은 코호몰로지가 환 숃이 될 경우숬 주어진 코호몰로지 이론들은 모두 특이 코호몰로지와 동치 이론이 된다는 것이다숮 따라서숬 대수적 위상수학을 다양체숨쉭쉡쉮쉩쉦쉯쉬쉤숩 상에서의 미분형식 숨쉤쉩숋쉥쉲쉥쉮쉴쉩쉡쉬 쉦쉯쉲쉭숩으로 배우게 되 는 경우 등장하는 드람 숨쉤쉥 쉒쉨쉡쉭숩 코호몰로지 등도숬 사실은 R이나 C 계수를 가지는 특이 코호몰로 지와 동치인 군을 주게 된다숮 다양체라는 용어가 나왔는데숬 쉈쉯쉤쉧쉥 가설에 대해서는 다양체들 중 특히 복소 다양체숨쉣쉯쉭쉰쉬쉥쉸 쉭쉡쉮쉩쉦쉯쉬쉤숩에 대해서 다루게 된다숮 이 개념을 조금 설명을 해 보고자 한다숮 아주 엄밀한 정의를 주는 것은 학부 고학년 혹은 대학원 저학년의 미분다양체 혹은 미분기하학 강의에서 배우도록 하고숬 본 강연에서는 아주 간단히 개념적인 정의만을 주도록 하겠다숮 정의 2.2. 위상 공간 X가 n차원 (미분) 다양체(manifold)라고 하는 것은, 느슨하게 말하자면, 각각의 점 p X가, 그 주변이 미분적으로 Rn 의 열린 부분집합과 닮은 때를 말한다. 더 엄밀히 말하자면, 각각의 p X에 대해, 다음의 조건들을 만족하는 어떤 열린 부분공간 Up p가 있는 것을 말한다: 1. 어떤 열린 부분공간 Vp Rn 에 대해 호메오모피즘 (homeomorphism) ϕp 숺 Vp Up 가 있다 만약 Up Uq 숽 이라면, ψpq 숽 ϕ 1 q ϕp 숺 ϕp 숨Up Uq 숩 ϕq 숨Up Uq 숩가 디피오모피즘 (diffeomorphism)이다. 일반적으로는숬 이러한 구조들 {Up, ϕp }들의 모임들의 범주에 쉰쉡쉲쉴쉩쉡쉬 쉯쉲쉤쉥쉲를 준 후숬 이 것에 대해 최대가 되는 구조를 선택한다숮 이러한 것을 다양체의 미분구조라고 부른다숮 위와 같은 다양체를 실 숨쉲쉥쉡쉬숩 다양체라고 부르기도 한다숮 복소수들에 대해서도 다음과 같은 것을 정의할 수 있다숺 정의 2.3. 위상 공간 X가 n차원 복소 다양체(complex manifold)라고 하는 것은, 느슨하게 말하자면, 각각의 점 p X가, 그 주변이 복소해석적으로 Cn 의 열린 부분집합과 닮은 때를 말한다. 더 엄밀하게 말하자면, 각각의 p X에 대해, 다음의 조건들을 만족하는 어떤 열린 부분공간 Up p가 있는 것을 말한다: 1. 어떤 열린 부분 공간 Vp Cn 에 대해 호메오모피즘 ϕp 숺 Vp Up 가 있다 만약 Up Uq 숽 이라면, ψp,q 숽 ϕ 1 q ϕp 숺 ϕp 숨Up Uq 숩 ϕq 숨Up Uq 숩가 양방향으로 복소해 석적(바이홀로모픽biholomorphic)이다. 실 다양체의 가장 기본적인 예는숬 구 S 2 가 있겠다숮 더 일반적으로 n차면 구면 S n 도 있다숮 복소 다양체의 가장 기본적인 예들로는 복소 사영공간들이 있는데숬 그들 중 가장 간단한 것은 P1 이 있다숮 이는 실 다양체로는 S 2 와 같다숮 복소 사영공간은 많이 사용하게 되고숬 또 본 강의를 듣는 학생들이 잘 모를 수도 있으니 아래와 같이 정의를 해 보자숺 정의 2.4. 복소 사영 공간 Pn (혹은 CPn 이라고 쓰기도 하나, 본 강연에서는 Pn 으로 쓰기로 하겠 다.) 라는 것은 아래와 같이 정의된 복소 다양체이다: 우선 집합 Cn+1 \ {0}를 생각하자. 이때 0 숽 숨숰,, 숰숩을 뜻한다. 이 집합에 동치관계 숨a0,, an 숩 숨b0,, bn 숩이라는 것을, 어떤 상수 λ 숴

5 C 숺숽 C \ {숰}에 대해서 ai 숽 λbi, 숰 i n이 성립하는 때로 정의하자. 그래서 집합으로는 Pn 숽 숨Cn+1 \ {0}숩/ 로 정의하고, 숨a0,, an 숩가 포함된 동치류를 숨a1 숻 숻 an 숩으로 표시하자. 이때, Pn 에는 quotient 위상을 준다. 복소 다양체의 구조를 주려면, 아래와 같은 유한개의 열린 부분집합들을 생각해 보자: 숰 i n 에 대해서 Ui 를 점들 숨a0 숻 숻 an 숩들의 동치류들 중, ai 숽 숰인 것들의 모임이라고 하자. 이때, ϕi 숺 Cn Ui 를, 숨c1,, cn 숩 7 숨c1 숻 숻 ci 1 숻 숱숻 ci+1 숻 숻 cn 숩로 보내는 함수라고 하자. 이 ϕi 는 호메오 1 1 모피즘이 됨을 쉽게 증명할 수 있고, ϕ 1 j ϕi 숺 ϕi 숨Ui Uj 숩 ϕj 숨Ui Uj 숩가 바이홀로모픽임도 쉽게 증명할 수 있다. 그래서 Pn 은 복소 다양체가 된다. 위에서 사용한 Ui 들은 사영 공간을 다룰 때 기본적인 열린 부분집합들이다숮 이제 다양체와 복소 다양체는 정의하였으니숬 대수 다양체를 정의하여 보자숮 대수 다양체도 관념적으로는 비슷한 방식으 로 정의할 수 있는데숬 그 기술의 방법은 다소 조심해야 한다숮 느슨하게는 대수다양체라는 것은 대수 방정식들의 해들의 집합으로 이루어지는 도형을 말하고자 하지만숬 이런 정의는 현대적 의미에서는 소 적 으 로 는 대수방정식들의 해의 자취라고 부 매우 특수한 경우만을 뜻한다숮 직관적으로는 그래서 국 르고자 하지만숬 어떤 의미로 국소적인지를 엄밀하게 정의하는 것은 오래도록 쉬운 문제는 아니었다숮 이를 엄밀하게 하기 위해서 사용하는 현대적인 방법은숬 위상공간 위에 환의 층 숨쉳쉨쉥쉡쉦 쉯쉦 쉲쉩쉮쉧쉳숩 를 붙여서 환이 붙은 위상 공간으로 보고 이를 이용하여 대수 다양체를 정의하는 것이다숮 하나 하나 간단하게 그 의미들을 나열해 보자숺 정의 2.5. X를 위상 공간이라고 하자. 이때, 군의 전층 (presheaf of groups) 이라고 함은, X의 각각의 열린 부분 공간 U X에 군 F숨U 숩를 하나씩 연결짓는 대응 F로써, 다음의 조건들을 만족하는 것들을 뜻한다: 각각의 열린 부분집합들의 쌍 U V 에 대해서 군의 준동형사상 ρvu 숺 F숨V 숩 F숨U 숩 (제한 준동형사상이라고 부른다)가 있는데, 이들은 U V W 를 만족하는 열린 부분집합들에 대해 W V 서는 ρw U 숽 ρu ρv 를 만족한다. 전층 F에 대해서 s F숨V 숩를, V 위에서의 단면(section) 이라고 부른다. 편의상 U V 인 경우, ρvu 숨s숩를 s U 로 쓰고, 이를 U 로의 제한이라고 부른다. 정의 2.6. X를 위상 공간이라고 하자. 이때, 군의 전층 F가 군의 층 (sheaf of groups) 이라고 함 은, 전층의 조건들에 더해서, 임의의 열린 집합 U X의 열린 덮개 {Ui }i I 에 대해서, 다음의 두가지 조건들이 만족되는 경우를 말한다: 1. 만약 s, t F숨U 숩가 U 상에서의 두개의 단면이고, 각각의 Ui 에 대해 제한을 하였을때 s Ui 숽 t Ui 가 성립한다고 하면, s 숽 t가 된다. (즉, 국소적으로 같으면 전체적으로도 같다.) 2. 만약 si F숨Ui 숩가 각각의 i I에 대해서 주어져 있는데, 이들이 모든 순서쌍 i, j에 대해서 si Ui Uj 숽 sj Ui Uj 가 성립되는 경우, 사실은 어떤 s F숨U 숩에 대해서 si 숽 s Ui 가 된다. (즉, 국소적으로 정의된 단면들이 상호 호환성이 있다면, 이는 전체적으로 정의된다.) 층의 정의에서 사용된 조건들은 사실숬 우리가 흔히 함수를 정의할 때에 사용되는 조건들과 유사 하여숬 우리 직관에는 크게 어긋남이 없다숮 단지숬 전층들 중에는 층이 아닌 것들이 상당히 많이 있기 때문에숬 층을 쓰는 것이 바람직한데숬 문제는 전층은 정의하기가 쉬우나 성질이 나쁘고숬 층은 다루기 는 쉬우나 정의하기가 어렵다는 점이다숮 이 문제는 하지만 제법 쉽게 해결할 수 있는데숬 그것은 임 의의 전층 F가 주어져 있다면숬 이에 대응하는 층 F 숨층화쉳쉨쉥쉡숌숌쉣쉡쉴쉩쉯쉮이라고 부른다숩이 존재하고숬 이것은 어떤 범용성질숨쉵쉮쉩쉶쉥쉲쉳쉡쉬 쉰쉲쉯쉰쉥쉲쉴쉹숩를 만족하여 유일하게 결정된다는 것을 증명할 수 있기 때 문이다숮 대수기하학의 기초를 공부할 때에 이 사실의 증명은 평생에 한번은 해 볼 필요가 있다숮 숵

6 한편숬 위에서는 군의 층에 대해서만 다루었지만숬 군 대신에 환숨쉲쉩쉮쉧숩이나 가군숨쉭쉯쉤쉵쉬쉥숩등을 이용 하는 것도 물론 가능하다숮 위에서 나온 ρvu 가 군의 준동형사상이라는 조건 대신숬 환이나 가군의 준동 형사상이라는 것으로 바꾸면 된다숮 사실숬 매우 많은 종류의 구조에 대해서 층을 다룰 수 있는데숬 이 러한 것들은 직접 한번씩 써 보고 익히면 같은 방법으로 다룰 수 있는 것을 어렵지 않게 알 수 있다숮 대수 다양체를 정의하기 위해서는 환의 층을 사용한다숮 정의 2.7. 환이 붙은 위상 공간 (ringed topological space) 라고 함은, 위상공간 X와 그 위에서 정의 된 환의 층 OX 로 이루어진 순서쌍 숨X, OX 숩을 말한다. 만약 각각의 점 p X에 대해서 줄기 (stalk) OX,p 숽 쉬쉩쉭p U OX 숨U 숩가 국소환(local ring)이 될 경우, 이를 국소환이 붙은 위상 공간(locally ringed space) 라고 부른다. 우선은숬 어파인 대수 다양체라는 것을 아래와 같이 정의할 수 있다숺 정의 2.8. 복소체 C상에서 어파인 대수 다양체(affine algebraic variety) 라는 것은, 국소환이 붙은 위상 공간 숨X, On 숩으로써, 위상 공간 X는 어떤 n에 대해서 Cn 내부에서 유한 개의 대수방정식의 해 집합으로써, Zariski 위상(대수방정식들의 해의 자취를 닫힌 집합으로 정의하는 위상)이 있는 공 간과 호메오모픽하며, OX 는 위의 방정식들로 생성되는 아이디얼 I에 대해서, k쉛x1,, xn 쉝/I을 nilradical로 나누어 준 것의 국소화(localization)들로써 얻어지는 환의 층이 되는 것을 뜻한다. 무슨 말인지 알기가 어려울 수도 있겠지만숬 이를 엄밀하게 하려면 가환대수를 잘 알아야 하나숬 청중들이 이를 잘 모를 수도 있으니 모르는 사람들은 단순히 숧대수방정식들의 해의 집합숧이라고 현 단계에서는 생각하고숬 다음에 지식이 더 쌓이면 다시 돌아오는 것이 좋겠다숮 어파인 대수 다양체를 정의했으니 이제는 대수 다양체를 정의할 수 있다숺 정의 2.9. 어떤 환이 붙은 위상 공간 (ringed topological space) 숨X, OX 숩가 대수다양체라고 하는 것 은, 어떤 열린 덮개 {Ui }가 있어서, 각각의 숨Ui, OX Ui 숩는 어파인 대수다양체가 되는 경우를 말한다. 정리하자면숬 대수다양체라는 것은숬 대수방정식들의 해 공간의 모습과 같은 형태를 띈 어파인 대 수다양체라는 것들로 이루어진 덮개를 가진 공간이다숮 즉숬 국소적으로 대수방정식들의 해 공간들의 자취라는 직관적인 우리의 이해를 저런 언어로 기술한 것이다숮 이러한 것들의 예는 매우 다양하겠지 만숬 아까 위에서 복소 다양체의 예로 든 복소 사영공간이 우선 중요한 예가 된다숺 예 Pn 은 복소 다양체일뿐만 아니라, 복소 대수다양체이다. 어파인 대수다양체는 아니다. 정의 복소 다양체 X가, 어떤 홀로모픽 내장 (holomorphic embedding) 함수 f 숺 X Pn 에 의해서 Pn 의 닫힌 부분다양체와 동형이라면, 이런 X를 복소 사영 다양체라고 부른다. 복소 대수다양체 X가, 어떤 대수적 내장 함수 f 숺 X Pn 에 의해서 Pn 의 닫힌 부분대수다양체와 동형이라면, 이런 X를 복소 사영 대수다양체라고 부른다. 이때, 복소 사영 대수다양체가 다양체이기 끈 한 복소 사영 대수다양체라고 부른다. 까지 하다면, 이를 매 Remark 증명이 간단하지는 않지만 매우 중요한 결과로, Chow의 정리라는 것이 있다. 이 정 리는, 임의의 복소 사영 다양체는 항상 복소 대수다양체라는 것을 보여준다. 즉, 사영 공간 내에서 닫힌 다양체가 되는 복소 다양체들은, 사실은 유한개의 대수방정식들의 해로 표현이 가능하다는 결 과이다. 본 Hodge 가설 강연에서는 사실상 매끈한 복소 사영 대수다양체만을 다루게 되는데, 이들은 결과적으로 복소 사영 다양체들과 완벽하게 같은 대상들이라고 할 수 있다. 숶

7 3 사이클 류 함수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설 명제에서 정의역인 대수사이클의 군이 무엇인지 알아보자숮 정의 3.1. X가 차원이 n인 대수다양체라고 하자. 편의상 균질차원(equi-dimensional)이라고 가정하 자. 숰 q n에 대해서, X위의 q차원 대수사이클이라고 함은, q차원의 닫힌 기약 (irreducible) 부 Pm 분 대수다양체들의 집합 위에서 생성된 자유 아벨 군의 원소를 뜻한다. 즉, α 숽 i=1 ni 쉛Zi 쉝 꼴의 유한합이고, ni 는 정수, Zi X가 분해불가인 닫힌 부분 대수다양체이다. 이들의 군을 zq 숨X숩라고 쓴다. 만약 차원 대신 여차원(codimension)을 쓰고 싶을 경우, p 숽 n q에 대해 z p 숨X숩 숽 zq 숨X숩를 사용한다. 대수사이클은숬 대수기하학에서의 교차이론 뿐만 아니라숬 모티브숬 산술기하학 등 많은 분야에서 사용되는 대상이고숬 대수기하학에서 매우 중요한 연구 대상이다숮 어떤 의미로는 쉈쉯쉤쉧쉥 가설도 또한 대수사이클들이 얼마나 많은 위상수학적 정보를 가지고 있는지에 대한 질문이라고 할 수 있다숮 대수사이클의 군에서 특이 코호몰로지로 가는 사이클 류 함수 숨쉣쉹쉣쉬쉥 쉣쉬쉡쉳쉳 쉭쉡쉰숩 clx 이 이제 무엇인지 설명해 보자숮 대수적위상수학을 배운 학생들이라면숬 p숭차원의 부분 대수다양체 Z X가 주어져 있을 때숬 Z의 기본 류숨쉦쉵쉮쉤쉡쉭쉥쉮쉴쉡쉬 쉣쉬쉡쉳쉳숩 쉛Z쉝 H2p 숨X, Z숩와 쉛Z쉝 H 2q 숨X, Z숩를 배운 사람들 도 있을 것이다숮 대수적위상수학을 드람 코호몰로지를 이용하여 배운 사람이라면숬 Z 주변의 튜브형 근방숨쉴쉵쉢쉵쉬쉡쉲 쉮쉥쉩쉧쉨쉢쉯쉲쉨쉯쉯쉤숩을 잡아서 범프 함수숨쉢쉵쉭쉰 쉦쉵쉮쉣쉴쉩쉯쉮숩을 이용한 뽀앙카레 듀얼숨쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 쉤쉵쉡쉬숩 ψz H 2q 숨X, C숩 를 배운 사람이 있을 수도 있겠다숮 갖가지 접근 방법들이 있는데숬 이들 마다 약간식의 차이점이 있기 때문에 무엇이 옳은 방식인지 논하기는 다소 어려우나숬 중요한 것은 이들이 모두 같은 코호몰로지 류를 준다는 사실이다숮 정수 계수 특이 코호몰로지의 경우에 대해서는 이를 한번 처음부터 끝까지 이 정의를 살펴보는 것도 중요한 것이기도 하니숬 본 강연에서 이를 다음과 같 이 한번 시도해 보기로 하겠다숮 숨숱숩 첫번째 방법은숬 상대 코호몰로지와 튜브 주변숨쉴쉵쉢쉵쉬쉡쉲 쉮쉥쉩쉧쉨쉢쉯쉲쉨쉯쉯쉤숩를 이용한 쉔쉨쉯쉭 동형 정리를 사용하는 것이다숮 우선숬 Z X가 매끈한 닫힌 실 부분 다양체라고 하자숮 X는 그냥 다양체이고숬 대수다양체이거나 사영 다양체 등일 필요가 전혀 없다숮 이때숬 증명할 수 있는 것 중 하나는 Z 주변에서 마치 튜브와 같은 어떤 열린 부분 공간 E X가 있다는 점이다숮 이는 해석적인 방법을 사용하여 증명한다숮 이 때 중요한 사실은 E를 Z상에서의 실 벡터 다발로 볼 수 있는데숬 이는 수직 번들숨쉮쉯쉲쉭쉡쉬 쉢쉵쉮쉤쉬쉥숩과 미분기하적으로 같다는 점이다숮 그래서 특이 코호몰로지에 대한 상대 코호몰로지를 보면숬 잘라내기 숨쉥쉸쉣쉩쉳쉩쉯쉮숩 공리에 의해서 H k 숨X, X Z, Z숩 H k 숨E, E 숰E, Z숩이고숬 소위 말하는 쉔쉨쉯쉭 동형 사 상 T 숺 H k 숨E, E 숰E, Z숩 H k r 숨Z, Z숩를 얻어내게 된다숮 숨경우에 따라서는 이를 순수성 동형사상 숨쉰쉵쉲쉩쉴쉹 쉩쉳쉯쉭쉯쉲쉰쉨쉩쉳쉭숩 이라고도 부른다숮숩 여기서 r는 실 부분 다양체로써의 여차원을 뜻한다숮 이것을 k 숽 r인 경우에 적용하면숬 T 숺 H r 숨X, X Z, Z숩 H 0 숨Z, Z숩 Z이고숬 따라서 숱 Z에 대 응되는 원소 T 1 숨숱숩 H r 숨X, X Z, Z숩가 있다숮 한편숬 상대 코호몰로지 긴 쉥쉸쉡쉣쉴 수열의 일부로 jz 숺 H r 숨X, X Z, Z숩 H r 숨X, Z숩이 있으므로숬 우리가 원하는 기본 류 쉛Z쉝 숺숽 jz 숨T 1 숨숱숩숩 H r 숨X, Z숩 를 정의할 수 있게 된다숮 만약에숬 Z X가 매끈한 닫힌 부분 대수다양체로써의 여차원이 p였다면숬 이것의 실 다양체로써의 여차원은 r 숽 숲p가 되어숬 원하던 대로 쉛Z쉝 H 2p 숨X, Z숩가 얻어지게 된다숮 만약에 Z X가 대수다양체로써 특이점을 가지고 있다면숬 이들의 특이점들의 집합들과 매끈한 부분들을 분해하여 단계적으로 사이클 류를 정의할 수 있는데숬 예를들어 Z1 숽 Zsing 이라고 하면 Z1 은 Z보다 차원이 더 낮은 복소 대수다양체가 된다숮 Z1 에 대해 같은 방법을 적용하면 Z Z1 Z2 Zn+1 숽 와 같이 차원이 엄격하게 감소하는 X 내부의 닫힌 대수다양체들의 모임이 얻어지 숷

8 게 된다숮 여기에서 특이한 점은 Zi Zi+1 은 항상 매끈하므로 위에서 사용한 방법을 적용해 볼 수도 있다는 것이다숮 이를 실제로 하려면 다음의 결과가 유용하다숺 보조정리 3.2. Y X가 닫힌 매끈한 복소 부분 다양체로, 여차원이 k > r이라고 하자. 그러면, l 숲r에 대해서 H l 숨X, Z숩 H l 숨X Y, Z숩는 동형사상이다. Proof. 상대 코호몰로지 긴 쉥쉸쉡쉣쉴 수열 H l 숨X, X Y, Z숩 H l 숨X, Z숩 H l 숨X Y, Z숩 H l+1 숨X, X Y, Z숩 에서 위에서 언급한 쉔쉨쉯쉭 동형사상에 의해서 H j 숨X, X Y, Z숩 H j 2k 숨Y, Z숩가 된다숮 그래서 j < 숲k이면 이 군은 숰이다숮 그런데 l 숲r 숲k 숲 < 숲k이므로 H l 숨X, X Y, Z숩 숽 숰이고숬 l 숫 숱 숲r 숫 숱 < 숲k 숲 숫 숱 < 숲k이므로 역시 H l+1 숨X, X Y, Z숩 숽 숰이다숮 따라서 내부의 화살표는 동형사 상이 된다숮 그러면 아까의 X Z Z1 Z2 로 부터 X Zk X Zk+1 를 얻어내게 된다숮 편의상 Z X의 여차원이 r이었다고 하자숮 그러면숬 Zk Zk+1 X Zk+1 은 여차원이 > r인 매끈한 닫힌 부분 복소 다양체이고 따라서 보조정리 숳숮숲를 반복하여 적용할 수 있다숮 우선 Zn X는 매끈한 여 차원이 > r인 복소 부분다양체이므로 H 2r 숨X, Z숩 H 2r 숨X Zn, Z숩이고숬 다시 Zn 1 Zn X Zn 은 여차원이 > r이므로 H 2r 숨X Zn, Z숩 H 2r 숨X Zn 1, Z숩이다숮 이를 반복하면숬 이 코호몰로지 군은 H 2r 숨X Z1, Z숩와 같다숮 그러면 Z Z1 X Z1 은 여차원이 r인 매끈한 부분 복소 대수다양 체이므로숬 아까 매끈한 경우에 이미 했던 결과에 의해서 쉛Z Z1 쉝 H 2r 숨X Z1, Z숩 H 2r 숨X, Z숩를 얻는다숮 이를 쉛Z쉝 H 2r 숨X, Z숩로 정의하면 된다숮 숨숲숩 위에서 논의한 것들의 일부분을 다른 방법으로 할 수도 있다숮 예를들어 Z X가 매끈한 부분 다양체로 여차원이 r이라고 하자숮 우리가 증명하지는 않았지만숬 잘 알려진 사실로 닫힌 쉩쉭쉭쉥쉲쉳쉩쉯쉮 i 숺 Z, X는 사영적 사상이므로숬 이에 대한 앞으로 밀기숨쉰쉵쉳쉨숭쉦쉯쉲쉷쉡쉲쉤숩 i 숺 H k 숨Z, Z숩 H k+2r 숨X, Z숩 있다는 것을 이용해 볼 수 있다숮 만약 k 숽 숰이라면숬 H 0 숨Z, Z숩 Z이므로숬 i 숨숱숩 숽 쉛Z쉝로 정의하게 되면 이 사이클 류를 얻어낼 수 있게 된다숮 물론숬 쉰쉲쉯쉰쉥쉲 사상에 대해서 앞으로 밀기가 존재한다는 것을 알아야 하는데숬 사실은 이것의 증명을 하는데서 실질적으로 위에서 우리가 사용한 쉔쉨쉯쉭 동형 사상 정리가 사용된다숮 숨숳숩 한편숬 위에서 논의한 것들의 다른 부분도 아래와 같이 해 볼 수 있다숮 이번에는 Z X가 매끈하지 않은 닫힌 부분다양체로 여차원이 r이라고 하자숮 쉈쉩쉲쉯쉮쉡쉫쉡의 특이점 해소 정리 쉛숲숷쉝를 사 용하면 여러 번의 블로우업 과정을 통해 사영적 사상 π 숺 Ze Z를 얻어 낼 수 있다숮 이때 닫힌 쉩쉭쉭쉥쉲쉳쉩쉯쉮 i 숺 Z, X와 합성하면 i pi 숺 Ze X는 여전히 사영적 사상이고숬 이에 대해 앞으로 밀기 e Z숩 H k+2r 숨X, Z숩를 얻어 낼 수 있게 된다숮 그래서 k 숽 숰일때에는 H 0 숨Z, e Z숩 Z 숨i π숩 숺 H k 숨Z, 이라숬 숨i π숩 숨숱숩 숽 쉛Z쉝로 정의할 수 있다숮 이때 사소한 문제 하나는숬 특이점 해소는 Z의 차원이 숱 보다 큰 경우숬 유일하게 결정되는 것이 아니라는 것이다숮 하지만 이 때에도 쉛Z쉝는 잘 정의됨을 아래와 같이 간단하게 보일 수 있다숮 πi 숺 Zei Z 숨i 숽 숱, 숲숩를 두 개의 서로 다른 특이점 해소라고 하자숮 이때숬 U Z를 Z의 매끈한 e1 Ze2 의 상숨쉩쉭쉡쉧쉥숩의 쉚쉡쉲쉩쉳쉫쉩 쉣쉬쉯쉳쉵쉲쉥를 취한 것을 Z3 라 하고숬 Z3 부분이라면숬 대각선 사상 U, Z e3 Z3 를 취하게 될 경우숬 π3 숺숽 pr1 π 숽 pr2 π 숺 Ze3 Z는 또 다른 Z 의 특이점 해소 π 숺 Z 의 특이점 해소이면서도숬 pri 숺 Ze3 Zei 숬 i 숽 숱, 숲숬 라는 특이점 해소들 사이의 사상이 존재하게 된다숮 e1 라는 Z숭사상이 존재한다고 가정하여도 좋다숮 그래서 Ze2 를 Ze3 로 바꾸어치기 하여숬 ϕ 숺 Ze2 Z 숸

9 e1, Z숩는 π1 ϕ 숽 π2 를 만족하면서 또 동시에 ϕ 숺 Z Z는 그러면숬 ϕ 숺 H 0 숨Ze2, Z숩 H 0 숨Z 숱을 숱로 보내는 군의 동형사상이 되므로숬 결과적으로 숨i π1 숩 숨숱숩 숽 숨숱 π2 숩 숨숱숩이 된다숮 즉숬 쉛Z쉝는 특이점 해소의 선택에 독립적이다숮 이렇게 위에서 두 가지 방법으로 사이클 류를 정의하는 방법을 알아보았다숮 이를 아래와 같이 기 록으로 남기자숺 Theorem 3.3. X가 매끈한 복소 사영 대수다양체이고, Z X가 여차원이 p인 닫힌 부분 대수다 양체라면, 사이클 류 쉛Z쉝 H 2p 숨X, Z숩가 존재한다. 환의 준동형사상 Z Q R C를 이용하면, 이 사이클 류 쉛Z쉝는 특이 코호몰로지의 계수를 바꾼 다른 코호몰로지 군들에도 모두 그 원소를 준다. 만약 α 숽 Pm i=1 ni 쉛Zi 쉝 z p 숨X숩일 경우숬 α의 사이클 류 clx 숨α숩를 Pn i=1 ni 쉛Zi 쉝 H 2p 숨X, Z숩로 정의한다숮 이로써숬 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 명제에 등장하는 여러 개념들 중숬 사이클 류 함수 clx 를 얻어낼 수 있게 되었다숮 Hodge 분해와 순수 Hodge 구조 4 이제 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 명제를 이해하는 과정에서 유일하게 설명을 하지 않은 것은 숨p, p숩숭타입 이라는 것이 무슨 뜻인지를 밝히는 것이다숮 이를 제대로 설명하려면숬 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리라는 상당히 고난이 도의 정리에 대해 소개해야 한다숮 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리는 복소 기하학 숨혹은 복소 대수기하학숩에 대한 정리이지만숬 그 증명을 위해서는 위상수학과 복소해석적 지식 뿐만 아니라 함수해석학적 지식도 필 요하다숮 이 내용 자체가 별도의 주제로 여러 시간의 강의가 필요한 주제이기는 하지만숬 본 강의들의 목적은 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 이해에 필요한 주변 지식들을 간단히 짚고 넘어가서 차 후 청중들이 필요에 따라 혼자 공부할 수 있도록 스토리를 알려주는 것에 있는 만큼숬 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리에 대한 간략한 소개를 이번 절에서는 해 보도록 하겠다숮 4.1 Hodge 분해 정리 우선숬 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리가 무엇인지 부터 살펴보자숺 Theorem 4.1. X가 컴팩트 켈러 다양체 (compact Ka hler manifold)라고 하자. 숰 n 숲dimX 가 고정된 정수라고 하자. 그러면, 유한차원 복소 벡터 공간 H n 숨X, C숩은 p 숫 q 숽 n, p, q 숰이 되 는 각각의 정수 쌍 숨p, q숩에 대해서, 숨p, q숩-타입 의 코호몰로지 류들로 구성된 복소 벡터 부분 공간 H p,q 숨X숩 H n 숨X, C숩가 존재하는데, 이들은 아래의 성질들을 만족한다: 1. H n 숨X, C숩 숽 L p+q=n H p,q 숨X숩. 2. H p,q 숨X숩 숽 H q,p 숨X숩. 호몰로지 대수와 Poincare lemma 이를 더 깊히 이해하기 위해서는 몇 가지 추가적인 정리가 필요한데숬 그 중 가장 기본적인 것은 다 음의 결과이다숺 n Theorem 4.2. X를 복소 다양체라고 하자. 이때, C계수를 가지는 특이 코호몰로지를 편의상 Hsing 숨X, C숩 n 로, C 계수를 가지는 매끈한 미분 형식들로 이루어진 드람 (de Rham) 코호몰로지를 HDR 숨X, C숩로, 그리고, H n 숨X, C숩는 상수 층(constant sheaf ) C에 대한 층 코호몰로지(sheaf cohomology)를 뜻한다 고 하자. 숹

10 n n 그러면, Hsing 숨X, C숩 HDR 숨X, C숩 H n 숨X, C숩이다. 아직 소개하지 않은 여러 대상들이 나오는데숬 이들에 대해서 간단한 설명을 곧 할 것이다숮 이 정 리의 증명은 여러가지 도구가 추가적으로 필요하다숮 상대적으로 간단한 방법 하나는숬 위의 숳가지 이 론들이 모두 쉅쉩쉬쉥쉮쉢쉥쉲쉧숭쉓쉴쉥쉥쉮쉲쉯쉤의 공리들을 만족한다는 것을 보인 후숬 그 공리에서 증명할 수 있는 유일성 정리를 이용하는 방법이 있다숮 이를 피하지 않고 하는 방법들도 있는데숬 예를들어숬 두번째 동 형관계는 기본적인 호몰로지 대수학과 더불어 뽀앙카레 보조정리숨쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 쉬쉥쉭쉭쉡숩를 이용하는 방 법이 있다숮 첫번째의 경우숬 체크 코호몰로지를 이용한 체크숭드람 숨쉃쉥쉣쉨숭쉤쉥 쉒쉨쉡쉭숩 정리라는 것과 이 중에 등장하는 스펙트럴 수열숨쉳쉰쉥쉣쉴쉲쉡쉬 쉳쉥쉱쉵쉥쉮쉣쉥숩를 이용하여 할 수 있기도 하다숮 하지만숬 이 모든 것을 본 강연에서 하는 것은 다소 무리이고 이는 청중들이 하나 하나 차 후 직접 찾아보면서 공부를 해 보기를 바란다숮 물론숬 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 보조정리는 곧 소개할 것이다숮 위의 정리의 의미에 대해서 조금 생각해 볼 필요가 있는데숬 본 강연의 청중들의 다수는 대수기 하학이나 복소기하학숬 미분다양체의 기초를 완전히 이해한다고 할 수는 없으니숬 위에서 등장한 정의 들을 차근차근 간단하게라도 설명해 보도록 하자숮 가장 어려운 대상은 층 코호몰로지군 H n 숨X, C숩 이다숮 이것을 정의하고 연구하기 위해서 쉇쉲쉯쉴쉨쉥쉮쉤쉩쉥쉣쉫이 호몰로지 대수학의 기초를 새롭게 썼는데숬 우리는 호몰로지 대수를 하고자 하는 것은 아니니 본 강연을 통해서 동기 부여를 받은 학생들이 한번 차근차근 다시 미래에 공부해 보기를 권하면서 아래와 같은 몇가지 필요한 결과들의 요약을 안내해 보겠다숮 정의 4.3. X가 위상공간이고, F가 X상의 아벨군들의 층이라고 하자. 이 F의 단사 해소 (injective resolution)이라고 하는 것은 어떤 아벨군의 층의 복합체 I 로써, 각각의 I n 이 전사 층(injective sheaf ) 이고, 어떤 ϵ 숺 F I 0 에 대하여 숰 F I0 I1 가 exact 수열이 되는 때를 말한다. 이러한 전사 해소의 존재성은 단사 가군숨쉩쉮쉪쉥쉣쉴쉩쉶쉥 쉭쉯쉤쉵쉬쉥숩의 존재성에 대하여 가환대수나 호몰 로지 대수학 시간에 배운 적이 있는 사람이라면 들어본 적이 있을 것이다숮 이들은 존재하지만 유일 하게 존재하지는 않는다숮 정의 4.4. X가 위상공간이고, F I 가 아벨군의 층 F의 단사 해소라고 하자. 이때, 대역 단면 펑터 숀숨X, 숩에 대하여 숀숨X, I 숩는 여전히 복합체가 된다. 이에 대해 코호몰로지를 택하여 H n 숨X, F숩 숺숽 H n 숨숀숨X, I 숩숩를 F의 X상에서의 n번째 층 코호몰로지군이라고 부른다. 한가지 문제로숬 단사 해소가 유일하지 않기 때문에 위의 층 코호몰로지가 잘 정의되는지에 대 해 걱정하는 사람이 있을 수 있을 것이다숮 이를 해결하는 방법은숬 일반적으로 단사 가군숨쉩쉮쉪쉥쉣쉴쉩쉶쉥 쉭쉯쉤쉵쉬쉥숩에는 일종의 확장 성질 숨쉥쉸쉴쉥쉮쉳쉩쉯쉮 쉰쉲쉯쉰쉥쉲쉴쉹숩가 있어서숬 이를 이용하여 얻을 수 있는 단사 해소에 대한 범용 성질숨쉵쉮쉩쉶쉥쉲쉳쉡쉬 쉰쉲쉯쉰쉥쉲쉴쉹숩을 이용하는 것이다숮 이를 이용하면숬 만약 두개의 서로 다른 단사해소를 택하여 대역 단면들로 이루어진 복합체 숲개를 얻어낼 경우숬 이 두개의 복합체들은 상호간에 쉱쉵쉡쉳쉩숭동형이 되는 것을 증명할 수 있게 된다숮 따라서숬 코호몰로지 군들은 동형이 된다숮 이렇게 층 코호몰로지를 정의하기는 하였으나숬 정의를 이용하여 뭔가의 계산을 구체적으로 하는 것은 매우 어렵다숮 특히 단사 해소는 일반적으로 그 가군들이 너무 거대해서 실제 계산에서는 거의 쓸모가 없다숮 이를 해결하는 방법으로는숬 단사 해소를 구하기 보다는 코호몰로지의 계산에는 충분히 좋은 비순환 해소 숨쉡쉣쉹쉣쉬쉩쉣 쉲쉥쉳쉯쉬쉵쉴쉩쉯쉮숩을 구하는 것이다숺 정의 4.5. X가 위상공간일 때, 아벨군의 층 I가 비순환 (acyclic) 이라고 함은, 모든 i > 숰에 대해 서 H i 숨X, I숩 숽 숰 인 경우를 말한다. 숱숰

11 만약 주어진 F가 아벨군의 층일때, 이것의 비순환 해소 라고 함은, 비순환 층들로 이루어진 어 떤 복합체 I 에 대하여, 어떤 사상 ϵ 숺 F I 0 가 있어서, 숰 F I0 I1 가 exact 수열이 되는 것을 뜻한다. 모든 단사 해소는 사실 비순환 해소가 되지만숨연습문제로 증명을 해 보기 바란다숮 간단한 연습 문제는 아니지만숬 이론 전개에서 가장 중요한 부분 중 하나이다숩숬 그 반대는 성립되지 않는다숮 매우 흥미로운 사실은숬 비록 층 코호몰로지는 단사 해소를 이용하여 정의하기는 하였으나숬 만약 단사 해 소가 아닌 비순환 해소를 찾더라도숬 이를 이용하면 코호몰로지 군의 계산에는 전혀 문제가 없다는 사실이다숺 보조정리 4.6. X가 위상 공간이고, F가 아벨군의 층이라고 하자. F I 가 비순환 해소라고 하자. 그러면, H n 숨X, F숩 숽 H n 숨숀숨X, I 숩숩 이다. 이것의 증명은 여러가지 방법으로 할 수 있지만숬 기초적인 스펙트럴 수열을 이용하여 증명하는 것이 가장 간결한 방법이라고 할 수 있다숮 본 강연에서는 하지 않도록 하겠다숮 스펙트럴 수열을 배워 보고자 하는 사람들은 이를 한번 나중에 공부해 본 후숬 위의 보조 정리 증명에 이용해 보기 바란다숮 어쨌거나숬 이제 층 코호몰로지 계산에 대하여 조금 더 많은 도구가 생겼다고 할 수 있으나숬 정작 실제 연구에서는 비순환 층들이 어떤 것들이 있는지를 많이 알지 못한다면 사실 상 이런 정리는 무용지물 이 될 수 있겠다숮 비순환 층들의 중요한 예의 하나는숬 숍쉡쉳쉱쉵쉥 층가 있다숮 이는 U V 가 열린 부분집 합일 때숬 U 상의 모든 단면들은 V 상의 단면으로 확장이 가능한 경우 이렇게 부른다숮 이러한 숍쉡쉳쉱쉵쉥 층들은 모두 비순환층임을 증명할 수 있다숮 또한숬 일반적인 체 상에서의 대수기하학에서는 바로 써 먹을 수 없겠지만숬 복소 대수기하학에서 복소 위상을 사용하여 연구할 때에는 사용할 수 있는 도구들 이 매우 많이 있다는 것이다숮 예를들어숬 어떤 층 F가 단위 분할숨쉰쉡쉲쉴쉩쉴쉩쉯쉮 쉯쉦 쉵쉮쉩쉴쉹숩를 가진다면 이를 섬세 층숨숌쉮쉥 쉳쉨쉥쉡쉦숩라고 부르는데숬 이러한 것이 가능하려면 X가 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 적어도 되어야 한다숮 이러한 모든 섬세 층은 비순환 층이 된다숮 복소 대수다양체를 연구할 때에는 그래서 섬세 층을 이용한 해소가 가장 널리 쓰이는 방법들 중 하나이다숮 아까 위에서 잠시 이름은 나왔으나 명확하게 소개하지는 않았던 것으로 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 보조정리라는 것이 있었다숮 이것에는 여러가지 버전들이 있지만숬 가장 널리 쓰이는 것들은 위에서 말한 섬세 층을 이용한 것들이다숮 쉤쉥 쉒쉨쉡쉭 코호몰로지도 동시에 설명하기 위해서숬 우선은 실 다양체에 대하여 할 수 있는 아래의 버전을 살펴보자숺 보조정리 4.7 숨쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 쉬쉥쉭쉭쉡숩. X가 연결된 m차원 실 다양체라고 하자. 이때, AnX 을 C 인 실수값 을 가진 미분 n-형식이라고 하자. 즉, 국소적으로는 이들은 어떤 C 함수 f 에 대해서 f dx1 dxn 꼴로 생겼다. 이때, d d 숰 R A0X A1X Am X 숰 숨숴숮숱숩 은 아벨군의 층들의 exact 수열이다. 즉, 숨A X, d숩은 상수 층 R의 해소이다. n 0 비슷하게 BX 를 C 인 복소수 값을 가진 미분 n 형식이라고 하면, 숰 C BX 은 아벨군 의 층들의 exact 수열이다. 미분 형식들에 대해서 조금 아는 사람들은숬 임의의 형식 ω이 만약 dω 숽 숰을 만족하면 닫힌 형식숬 ω 숽 dη꼴이 되면 쉥쉸쉡쉣쉴 형식이라는 것을 잘 알 것이다숮 또한숬 d2 ω 숽 숰이라는 것을 잘 알고 있을 것이다숮 즉숬 쉥쉸쉡쉣쉴 형식은 항상 닫힌 형식이다숮 그런데숬 닫힌 형식은 경우에 따라서는 쉥쉸쉡쉣쉴 형식이 숱숱

12 아닐 때가 있는데숬 위의 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 보조정리의 의미는 C 미분형식 들은숬 국소적으로는 숨쉬쉯쉣쉡쉬쉬쉹숩 닫혀 있음과 쉥쉸쉡쉣쉴 임이 동치라는 것을 말한다숮 이 정리의 증명은 쉓쉴쉯쉫쉥쉳 정리와 더불어 Rn 의 열린 공들은 단순 연결숨쉳쉩쉭쉰쉬쉹 쉣쉯쉮쉮쉥쉣쉴쉥쉤숩되어 있다는 사실을 사용하면 할 수 있는데숬 굳이 여기서 하지는 않겠다숮 평생에 수학자라면 한번은 증명을 해 볼 만한 가치가 있는 중요한 결과이다숮 흥미로운 것은숬 다음의 두가지를 주목하는 것이다숮 그 첫번째는숺 정의 4.8. X가 연결된 실 다양체이다. 이때, 위의 숨숴숮숱숩의 A X 의 대역 섹션들을 A X 라고 쓰면, H n 숨A X 숩 n 를 X의 n번째 de Rham 코호몰로지라고 부르고 이를 HDR 숨X, R숩로 쓴다. 비슷하게, H n 숨BX 숩를 X n 의 n번째 복소계수 de Rham 코호몰로지라고 부르고 이를 HDR 숨X, C숩로 쓴다. 즉숬 쉤쉥 쉒쉨쉡쉭 코호몰로지의 정의가 바로 이러한 미분 형식들로 등장한다는 것이다숮 두번째로 주 목할 것은 바로숬 X가 다양체인 경우 자동적으로 파라콤팩트 하우스도르프 공간이 되고숬 C 조건 i 이 붙은 함수들에는 항상 단위 분할숨쉰쉡쉲쉴쉩쉴쉩쉯쉮 쉯쉦 쉵쉮쉩쉴쉹숩가 존재하기 때문에 모든 AiX 숬 BX 들이 바로 섬세 층숨숌쉮쉥 쉳쉨쉥쉡쉦숩가 되어 비순환 층이므로숬 위의 해소들을 층 코호몰로지를 계산하는데 사용할 수 있다는 것이다숮 즉숬 n n 따름정리 4.9 숨쉤쉥 쉒쉨쉡쉭 정리숩. X가 실 다양체일때, HDR 숨X, R숩 숽 H n 숨X, R숩, HDR 숨X, C숩 숽 H n 숨X, C숩 이다. 이때 우변은, 상수 층 R, C 에 대한 층 코호몰로지이다. 이 정리의 중요한 점은숬 일반적으로 층 코호몰로지 군들은 계산이 어렵고 그 코호몰로지 류들을 표현하는 것이 상당히 어려운데숬 사실은 이들을 매끈한 미분 형식들을 이용하여 표현할 수 있다는 사실을 알려주기 때문이다숮 굳이 이러한 과정을 모두 반복하지 않고 이 결과만을 알려주어도 되었 을 것 같은데숬 위의 내용들을 일일이 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 보조정리를 이용하여 설명을 한 이유는숬 X가 매끈한 쉋쉡쉥쉬쉥쉲 다양체인 경우숬 바로 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리 증명과정에서 이와 유사한 것을 다시 이용할 수 있기 때문이다숮 우선 X가 연결된 m차원 복소 다양체라고 하자숮 이때에는 고정된 점 주변의 복소 좌표계를 숨z1,, zm 숩 이라고 한다면숬 실 다양체로 간주하면 실 좌표계 숨z1,, zm, z 1,, z m 숩 를 택할 수 있다숮 그러면숬 국소적으로는 C 이면서 복소수 값을 가지는 n숭미분 형식은숬 p 숫 q 숽 n이 되는 모든 음이 아닌 정 수쌍 숨p, q숩에 대해서 항상 dzi1 dzip dz j1 dz jq 꼴의 형식이 대응되어숬 이들의 합으로 표시된다숮 보통은 편의상 I 숽 {i1,, ip }, J 숽 {j1,, jq }로 쓰고 위의 형식을 fij dzi dz J 로 쓰는 것이 일반적이다숮 만약 다른 복소 좌표계를 선택하였다고 하면숬 함수의 모양 fij 는 바뀌더라도숬 타 입 숨p, q숩는 바뀌지 않음을 증명할 수 있다숮 그래서숬 Ap,q X 를 X위에서 정의된 층으로써숬 타입이 숨p, q숩 인 C 복소계수 숨p 숫 q숩숭미분형식들의 층이라고 정의하자숮 이때 이 층은 섬세 층숨숌쉮쉥 쉳쉨쉥쉡쉦숩이므로 비순환 층숨쉡쉣쉹쉣쉬쉩쉣 쉳쉨쉥쉡쉦숩가 되어숬 코호몰로지 계산에 이용할 수 있다숮 한편숬 주어진 n숭형식 ω에 대하여 dω는 숨n 숫 숱숩숭형식임을 잘 알고 있다숮 하지만숬 타입까지 고려하 자면숬 만약 ω가 숨p, q숩타입의 형식인 경우 dω 숽 ωp+1,q 숫 ωp,q+1 와 같이 숨p 숫 숱, q숩 타입과 숨p, q 숫 숱숩 타입의 두가지 형식으로 나뉘게 된다숮 이를 제대로 활용하기 위해서 홀로모픽 미분 ω 숺숽 ωp+1,q 숬 안티숭홀로모픽 미분 ω 숺숽 ωp,q+1 로 정의하게 되면 d 숽 숫 이 된다숮 손쉽게 증명할 수 있는 사실 2 은 2 숽 숽 숰이고 숫 숽 숰이 된다는 사실이다숮 흥미로운 것은숬 홀로모픽 미분보다는 안티숭 홀로모픽 미분이 우리에게는 더 중요한 정보를 준다는 것이다숮 그중 하나는 다음 버전의 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 보조정리인데숬 이를 일반적으로는 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 숭보조정리라고 하고숬 이로 부터 얻어지는 해소를 흔히 쉄쉯쉬쉢쉥쉡쉵쉬쉴 해소라고 부른다숺 보조정리 4.10 숨쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 숭쉬쉥쉭쉭쉡숩. X가 연결된 m차원 복소다양체라고 하자. 이때, Ap,q 를 C 인 복소계수 값을 가진 타입 숨p, q숩인 미분형식들의 층이라고 하자. 숊pX 는 반면에 홀로모픽인 숨p, 숰숩 숱숲

13 타입을 가진 미분형식들의 층이라고 하자. (이것은 홀로모픽 벡터 다발이 된다.) 이때, p,1 p,2 숰 숊pX Ap,0 X AX AX 는 exact 수열이다. 이것을 숊pX 의 Dolbeault 해소라고 부른다. 이 정리의 증명도숬 고전적인 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 보조정리의 증명에서 쓴 바와 마찬가지로숬 쉓쉴쉯쉫쉥쉳 정리와 n C 의 열린 구들의 단순 연결성을 이용하면 증명 가능하다숮 이것도 평생에 수학자라면 한번쯤은 증 명을 해 보는 것이 좋은 정리라 하겠다숮 한편숬 아까와 마찬가지로숬 쉄쉯쉬쉢쉥쉡쉵쉬쉴 해소는 비순환 해소이 므로숬 아래의 계산 결과를 얻게 된다숺 Theorem 4.11 숨쉄쉯쉬쉢쉥쉡쉵쉬쉴 정리숩. X가 연결된 복소 다양체라고 하자. 그러면, H q 숨X, 숊pX 숩 숽 H q 숨숀숨X, Ap, X 숩, 숩 로 계산된다. 하지만숬 여전히 이 정도로는 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리에 가까이 갔다고 말할 수는 없다숮 Laplace 연산자들과 조화해석 쉈쉯쉤쉧쉥 분해정리에서 남은 부분들 중 가장 기술적으로 난해하고 중요한 부분은숬 어떤 타원적 편미분 연산자 숨라플라스 연산자의 일반화숩에 대한 조화 해석을 하는 부분이다숮 불행히도숬 이 부분을 모두 증명하는 것은 본 강연의 취지와는 전혀 어울리지 않고 또 너무 많은 시간이 걸리게 되므로숬 그 스 토리에 대한 소개만을 해 보도록 하겠다숮 위에서 실 다양체에 대한 경우의 쉤쉥 쉒쉨쉡쉭 정리와숬 복소 다양체에 대한 경우의 쉄쉯쉬쉢쉥쉡쉵쉬쉴 정리 를 사실상 거의 같은 종류의 방법을 이용하여 증명하였다숮 이번에는 컴팩트라는 조건들을 추가하여 실 다양체 경우와 복소 다양체 경우를 따로 보도록 하겠다숮 컴팩트의 조건은 매우 중요하게 쓰이게 되지만숬 우리가 증명을 하지는 않게 되므로 이것이 중요하다는 기억을 별도로 해 주기를 바란다숮 우선 X가 연결된 컴팩트 실 다양체라고 하자숮 이때 X는 리만 다양체숨쉒쉩쉥쉭쉡쉮쉮쉩쉡쉮 쉭쉡쉮쉩쉦쉯쉬쉤숩가 될 수 있어서 리만 측도숨쉒쉩쉥쉭쉡쉮쉮쉩쉡쉮 쉭쉥쉴쉲쉩쉣숩을 하나 줄 수 있다숮 이를 이용하면 C 숨X숩에는 쉰쉲쉥숭 쉈쉩쉬쉢쉥쉲쉴 공간 구조를 줄 수 있고숬 똑같은 방식으로 p숭형식들 Ap 숨X숩에도 이런 공간 구조를 줄 수 있다숮 숨쉰쉲쉥숭쉈쉩쉬쉢쉥쉲쉴 공간이라고 하는 것은숬 쉈쉥쉲쉭쉩쉴쉩쉡쉮 곱, 가 있으나 완비 공간은 아닐 수 있는 공간 이다숮숩 그러면숬 미분 연산자 d 숺 Ap 숨X숩 Ap+1 숨X숩에 대해 유일한 쉡쉤쉪쉯쉩쉮쉴 연산가 d 숺 Ap+1 숨X숩 Ap 숨X숩가 있음을 보일 수 있다숮 그러면숬 미분 d에 대한 쉌쉡쉰쉬쉡쉣쉥 연산자 숁d 숺숽 dd 숫 d d를 정의 하면숬 이것은 숁d 숺 Ap 숨X숩 Ap 숨X숩로 주어진다숮 정의 미분 p-형식들 중 ker숨숁d 숩에 포함되는 것들을 조화 p-형식 (harmonic p-form)이라고 하고, 이들을 Hp 숨X숩 숽 ker숨숁d 숩라고 쓴다. 아주 기본적인 선형대수에 의해서숬 결과적으로 Ap 숨X숩 숽 Hp 숨X숩 숁d 숨Ap 숨X숩숩가 됨을 바로 알 수 있다숮 매우 흥미로운 사실은 다음과 같은 것이다숺 Theorem X가 컴팩트 실 다양체라고 하자. 그러면, (1) Hp 숨X숩는 모든 p에 대하여 유한 차원 실 벡터 공간이고, (2) 모든 조화 p-형식은 닫혀 있으며, (3) 자연스럽게 얻어지는 선형 사상 Hp 숨X숩 H p 숨X, R숩은 사실은 실 벡터 공간들사이의 동형사상이다. 복소계수 C에 대해서도 완전히 똑같은 방 법으로 같은 식의 정리를 얻어낼 수 있다. 위에서 유한차원이라는 사실은 컴팩트 공간 위에서의 타원적 편미분 연산자에 대한 일반적인 함 수해석적 성질에서 얻어 낼 수 있는 사실이다숮 닫힌 형식이라는 것은 d 의 정의를 가지고 작업을 해 숱숳

14 보면 얻어낼 수 있고숬 마지막의 동형사상인 것은 쉌쉡쉰쉬쉡쉣쉥 연산자 숁d 의 성질에서 얻어낼 수 있는 결 과이다숮 이 정리의 가장 중요한 의미는숬 컴팩트 다양체 상에서는숬 코호몰로지 류를 쉤쉥 쉒쉨쉡쉭 정리에 의해서 닫힌 미분 형식으로 대표할 수 있을 뿐만 아니라숬 조화 미분 형식으로까지도 대표할 수 있다 는 것이다숮 이 사실 자체를 다양체 상에서의 해석학을 할 때에 아주 중요하게 쓸 수도 있지만숬 우리의 목적은 조금 더 나아가는 것이니숬 이번에는 복소 다양체의 경우로 넘어가 보자숮 그래서 이번에는 X를 연결된 컴팩트 복소 다양체라고 하자숮 이번에는 X는 쉈쉥쉲쉭쉩쉴쉩쉡쉮 측도를 하나 가진 쉈쉥쉲쉭쉩쉴쉩쉡쉮 다양체로 만들 수 있다숮 이를 이용하면 아까와 마찬가지로 모든 Ap,q X 숨X숩에 대해 쉰쉲쉥숭쉈쉩쉬쉢쉥쉲쉴 공간 구조를 줄 수 있고숬 이들에 대해서 두 연산자 숺 Ap,q 숨X숩 Ap+1,q 숨X숩와 숺 Ap,q 숨X숩 Ap,q+1 숨X숩 모두가 쉡쉤쉪쉯쉩쉮쉴 연산자 숺 Ap+1,q 숨X숩 Ap,q 숨X숩숬 숺 Ap,q+1 숨X숩 Ap,q 숨X숩를 유일하게 가짐을 증명할 수 있다숮 그래서숬 두가지 종류의 쉌쉡쉰쉬쉡쉣쉥 연산자 숁 숺 Ap,q 숨X숩 Ap,q 숨X숩와 숁 숺 Ap,q 숨X숩 Ap,q 숨X숩를 얻어 내게 된다숮 즉숬 숁 숺숽 숫 숬 숁 숺숽 숫 로 주어진다숮 첫번째 쉌쉡쉰쉬쉡쉣쉥 연산자 숁 에 대해서는 당장 뭔가 흥미로운 것을 말하기는 어렵지만숬 위에서 쉤쉥 쉒쉨쉡쉭 코호몰로지에 대해서 했던 것과 똑같은 방법으로 쉄쉯쉬쉢쉥쉡쉵쉬쉴 정리에 대해 숁 를 적용하면숬 다 음과 같은 결과를 얻어낼 수 있게 된다숺 정의 미분 형식으로써 타입 숨p, q숩인 것들 중 ker숨숁 숩에 포함되는 것들을 조화 숨p, q숩-형식 (harmonic 숨p, q숩-form)이라고 하고, 이들을 Hp,q 숨X숩 숽 ker숨숁 숩이라고 쓴다. 아까와 마찬가지로숬 Ap,q 숨X숩 숽 Hp,q 숨X숩 숁 숨Ap,q 숨X숩숩임을 알 수 있고숬 다음의 정리가 참이다숺 Theorem X가 연결된 컴팩트 복소 다양체라고 하자. 그러면, (1) Hp,q 숨X숩는 모든 숨p, q숩에 대하여 유한 차원 복소 벡터 공간이고, (2) 모든 조화 숨p, q숩-형식은 에 대해 닫혀 있으며, (3) 자연 스럽게 얻어지는 선형 사상 Hp,q 숨X숩 H q 숨X, 숊pX 숩 숽 H q 숨숀숨X, Ap, 숩, 숩은 복소 벡터 공간들 사이의 동형 사상이다. 하지만숬 여기까지만 해서는 아직까지 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리를 증명할 수는 없는데숬 나머지 마지막으로 남은 반드시 필요한 조건은 바로 쉋쉿 쉡쉨쉬쉥쉲 다양체라는 조건이다숮 이를 설명해 보자숮 정의 X가 복소 다양체라고 하자. 이것이 Ka hler 다양체라고 함은, X상의 어떤 Hermitian 형 식 h숨, 숩에 대해서 ω 숺숽 ℑh가 닫힌 숲-형식일 때를 말한다. 우리에게 실제로 중요한 것은 매끈한 복소 사영 대수다양체들인데숬 이 때는 항상 쉋쉿쉡쉨쉬쉥쉲 다양 체라는 것을 아래와 같이 볼 수 있다숺 숨숱숩 우선숬 사영 공간 Pn 에 대해서는 항상 쉋쉿쉡쉨쉬쉥쉲 형식이 존 재한다숮 이것을 쉆쉵쉢쉩쉮쉩숭쉓쉴쉵쉤쉹 측도라고 하는데숬 이는 복소 사영 좌표계 z 숽 숨z0 숻 숻 zn 숩에 대해서 P z 2 숽 zi 2 로 주면숬 ω 숽 i 쉬쉯쉧 z 2 로 주어진다숮 숨숲숩 이제 임의의 매끈한 복소 사영 대수다양체 X가 있다면숬 이것에 대해 어떤 닫힌 쉩쉭쉭쉥쉲쉳쉩쉯쉮 i 숺 X, PN 가 존재하게 되는데 그러면 ωf S 가 PN 상의 쉆쉵쉢쉩쉮쉩숭쉓쉴쉵쉤쉹 측도라면 i ωf S 가 바로 X의 쉋쉿쉡쉨쉬쉥쉲 형식이 된다숮 그러면 쉋쉿 쉡쉨쉬쉥쉲 다양체라는 추가 조건이 왜 필요할까숿 그 이유는숬 종국적으로는 앞서서 정의한 숳 가지 종류의 쉌쉡쉰쉬쉡쉣쉥 연산자들 사이의 관계식을 증명할 수 있게 되기 때문이다숺 Theorem 숨X, ω숩가 컴팩트 Ka hler 다양체라고 하자. 그러면, 숁d 숽 숲숁 숽 숲숁 이다. 이 정리에 의하면숬 ω가 숨p, q숩숭형식일 때숬 숁d 에 대해 조화 형식인 것과 숁 에 대해 조화 형식인 것 은 동치가 된다숮 게다가숬 ω가 n숭형식일 경우숬 각각의 숨p, q숩 성분들이 조화 형식일 필요 충분 조건은 ω가 조화 형식인 것과 동치가 된다숮 이것은 아래의 두가지 사실을 의미한다숺 숱숴

15 보조정리 X가 컴팩트 Ka hler 다양체일 경우, 조화 형식들에 대해서는 Hn 숨X숩 L p+q=n Hp,q 숨X숩 가 성립한다. 보조정리 X가 컴팩트 Ka hler 다양체일 경우, H p,q H p+q 숨X, C숩가 숨p, q숩-타입 형식으로 대 표되는 코호몰로지 류들의 부분 벡터 공간이라면, Hp,q H p,q 숨X숩숨 H p+q 숨X, C숩숩는 동형사상이 된다. 그래서 위에서 나온 여러가지 정리들을 합치게 되면숬 M H n 숨X, C숩 Hn 숨X숩 숽 Hp,q 숨X숩 p+q=n H p,q 숨X숩 Hp,q 숨X숩 H q 숨X, 숊pX 숩 를 얻게 된다숮 여기에서 바로 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리를 얻게 된다숮 그럼 쉋쉿쉡쉨쉬쉥쉲 라는 조건을 어떻게 이 용하여 정리 숴숮숱숷를 증명할 수 있을까숿 그것은 쉋쉿쉡쉨쉬쉥쉲 형식 ω를 이용하여 우선은 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 연산자 L 숺 H i 숨X, C숩 H i+2 숨X, C숩와 이것의 쉡쉤쉪쉯쉩쉮쉴 연산자 숃 숺 H i+2 숨X, C숩 H i 숨X, C숩를 얻어 낼 수 있는데숬 이 두개의 연산자들이 소위 말하는 쉋쉿쉡쉨쉬쉥쉲 항등식들이라고 불리는 다음의 관계식들을 만족 시키기 때문이다숺 쉛숃, 쉝 숽 i, 쉛숃, 쉝 숽 i 숮 이들을 이용하여 여러 계산들을 해 보면숬 쉌쉡쉰쉬쉡쉣쉥 연 산자들 사이의 관계식인 정리 숴숮숱숷를 얻어 낼 수 있게 된다숮 남은 문제는숬 H p,q 숽 H q,p 임을 보이는 것인데숬 이는 H p,q 의 정의에서 명백하므로숬 엄밀한 증명은 연습문제로 남겨 놓도록 하겠다숮 4.2 사이클 류의 타입 위에서 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리를 논의하여서숬 코호몰로지 군이 복소계수인 경우 여러가지 타입들로 쪼개 지게 됨을 살펴 보았다숮 하지만 이를 정수계수나 유리계수인 경우에도 복소계수 경우를 이용하여 정 의할 수가 있다숺 정의 X가 매끈한 복소 사영 대수다양체라고 하자. 이때, 숿 숽 Z, Q라고 하자. 그러면 우리는 코호몰로지 류 η H n 숨X, 숿숩가 타입 숨p, q숩라고 함은, 자연 사상 H n 숨X, 숿숩 H n 숨X, C숩에 대하여 η 의 상(image)가 타입이 숨p, q숩이 되는 경우를 뜻한다. 한가지 주의할 것은숬 만약에 η H n 숨X, 숿숩가 꼬임숨쉴쉯쉲쉳쉩쉯쉮숩 코호몰로지류라면숬 H n 숨X, C숩로의 자 연 사상 아래에서는 항상 죽게 되어 숨왜냐하면 이것은 벡터 공간이고숬 벡터 공간은 꼬임이 없기 때문 이다숩숬 임의의 숨p, q숩 타입을 가지게 된다는 점이다숮 나중에도 살펴 보겠지만숬 이 꼬임들은 끊임없이 많은 종류의 문제를 일으키게 된다숮 그러면 앞서서 대수사이클 α z p 숨X숩에 대해서 우리는 사이클 류 clx 숨α숩 H 2p 숨X, 숿숩가 있음을 보았다숮 이 사이클 류들은 타입이 어떻게 될까숿 이것은 α가 기약 부분 대수 다양체인 경우에만 계산 해 보아도 충분하다숺 보조정리 기약 부분 대수다양체 Y X의 여차원이 p라면, 사이클 류 cl숨y 숩 숽 쉛Y 쉝는 그 타입 이 숨p, p숩이다. 즉, 숿 숽 Z, Q에 대해서, 사이클 류 cl? 숺 z p 숨X숩 H 2p 숨X, 숿숩의 상은 H p,p 숨X숩 내부에 존재한다. Proof. 코호몰로지 류의 타입은 C계수 코호몰로지 내부로 가서 결정되는 것이다숮 이때숬 H 2p 숨X, C숩 는 쉤쉥 쉒쉨쉡쉭 정리에 의해서 복소 계수 쉤쉥 쉒쉨쉡쉭 코호몰로지와 같으므로숬 쉛Y 쉝에 대응하는 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 R R 듀얼이 숲p숭형식 ϕy 이라고 하면 임의의 닫힌 숨숲dimX 숲p숩숭형식 ω에 대해서 Y ι ω 숽 X ϕy ω라는 숱숵

16 성질을 만족한다숮 쉛Y 쉝의 타입숬 즉숬 ϕy 의 타입이 숨k, l숩숬 k 숫l 숽 숲p라고 하자숮 하지만 이렇게 되면 실 다 R 양체로써의 Y 의 차원이 역시 숲dimY 숲p이므로 ω가 타입 숨dimY p, dimy p숩인 경우에만 Y ι ω 가 숰이 아닐 여지를 남겨놓게 된다숮 하지만 이 경우숬 ϕy ω는 타입이 숨k 숫 dimy p, l 숫 dimy p숩 가 되는데숬 홀로모픽 부분숬 안티숭홀모로픽 부분 모두 dimx여야 하므로숬 k 숫 dimy p dimx와 l 숫 dimy p dimx가 동시에 만족 되어야만 한다숮 허나 k 숫 l 숽 숲p이므로숬 이 두개의 부등식이 동시에 만족되는 가능성은 k 숽 l 숽 p인 경우 뿐이다숮 즉숬 쉛Y 쉝의 타입은 숨p, p숩여야 한다숮 따라서숬 우리는 아래의 정의를 내릴 수 있다숮 정의 X가 매끈한 복소 사영 대수다양체일때, α? 숺 H n 숨X, 숿숩 H n 숨X, C숩를 생각하자. 여기서 숿 숽 Z, Q이다. 이때, Hodge 류 를 Hdg p 숨X, 숿숩 숽 H 2p 숨X, 숿숩 α? 1 숨H p,p 숨X숩숩로 정의하자. 위의 정의에 따르면숬 정수계수 혹은 유리계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이라 함은숬 cl? 숺 z p 숨X숩 Hdg p 숨X, 숿숩 가 전사숨쉳쉵쉲쉪쉥쉣쉴쉩쉶쉥숩인지를 묻는 것이 된다숮 4.3 순수 Hodge 구조 나중에 일반화된 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 명제를 서술하려면숬 여러가지의 개념이 필요하다숮 우선숬 앞서서 소 개한 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리를 조금 더 범주적숨쉣쉡쉴쉥쉧쉯쉲쉩쉣쉡쉬숩 관점에서 살펴보기 위해숬 위에서 등장한 개념 들을 아래의 형식적인 구조로 일반화하는 것이 편리하다숮 정의 숃 숽 Z, Q라고 하자. 유한하게 생성 된 숃-가 군 H가 무게 n Z을 가지는 숃-순수 Hodge 구조 라고 함은, 유한차원 C 벡터 공간 HC 숺숽 H Λ C의 C-부분 공간으로의 분해 HC 숽 L p,q 로, H p,q 숽 H q,p 를 만족하는 것을 뜻한다. p+q=n H 쉈쉯쉤쉧쉥 분해 정리에 의해숬 X가 컴팩트 쉋쉿쉡쉨쉬쉥쉲 다양체인 경우에는 H 숽 H n 숨X, Z숩가 무게 n인 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조를 가지는 예가 된다숮 하지만 모든 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조가 이런 것에서 나오는 것은 아니다숮 예를들어 n이 음수인 경우에도 형식적으로 위의 조건을 만족하는 것들을 정의할 수 있다숮 정의 H가 무게가 n인 숃-순수 Hodge 구조라고 할때, HC 에는 감소하는 여과(filtration) F ℓ+1 HC L F ℓ HC 를, F ℓ HC 숺숽 p ℓ H p,n p 로 정의할 수 있다. 이때, p 숫 q 숽 n인 경우, H p,q 숽 F p F q 이고, HC 숽 F ℓ F n ℓ+1 임을 어렵지 않게 확인할 수 있다. 이런 F 를 Hodge 여과라고 부른다. 흥미로운 사실은숬 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조는 정의 숴숮숲숳와 같이 정의하는 대신 거꾸로 정의 숴숮숲숴에서의 데이터를 이용하여 정의하여도 동치라는 것이다숮 이는 다음의 사실로 알 수 있다숺 명제 H가 유한하게 생성 된 숃-가 군이고, HC 에는 감소하는 여과 F ℓ H C 이 정의되어 있는데, 이들이 모든 ℓ에 대해서 HC 숽 F ℓ F n ℓ 1 을 만족한다고 하자. 그러면, p 숫 q 숽 n인 숨p, q숩에 대해 L 서 H p,q 숺숽 F p F q 로 정의하면, HC 숽 p+q=n H p,q 를 만족한다. 즉, H는 무게 n의 숃-순수 Hodge 구조이다. 증명은 매우 쉬운 연습문제이다숮 한편숬 숃숭순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조들 사이에서도 사상숨쉭쉯쉲쉰쉨쉩쉳쉭숩들을 생각하여 이들 구조들을 범주숨쉣쉡쉴쉥쉧쉯쉲쉹숩의 구성 요소로 볼 수 있다숺 정의 숃 숽 Z, Q 라고 하자. H, H 를 각각 무게 n과 n 인 숃-순수 Hodge 구조들이라고 하자. n 숽 n 숫 숲r이라고 가정하자. 그러면, 숃)-가군의 준 동형사상 f 숺 H H 가 타입 숨r, r숩인 숃-순수 Hodge 구조들의 사상 이라고 함은, fc 숺 HC HC 가 다음 두가지 조건을 만족할 때를 뜻한다: 1. 모든 p에 대해서, fc 숨F p 숩 F p+r. 숱숶

17 2. 모든 p 숫 q 숽 n인 p, q에 대해서 fc 숨H p,q 숩 H p+r,q+r. 정의 H가 숃-순수 Hodge 구조라고 하자. H H가 부분 Hodge 구조 라고 함은, H 자체가 숃-순수 Hodge 구조이고, 포함관계 H H가 숃-순수 Hodge 구조들의 사상인 경우를 뜻한다. 만약 H1, H2 H가 두개의 부분 쉈쉯쉤쉧쉥 구조들인 경우숬 H1 숫 H2 도 또한 H의 부분 쉈쉯쉤쉧쉥 구조 가 됨을 어렵지 않게 증명할 수 있다숮 한편숬 H, H 가 각각 무게 n, n 인 숃숭순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조인 경우숬 이들의 텐서곱 H H 를 숃숭순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조로 정의할 수 있다숮 정의를 직접 써 보기 바란다숮 비슷 하게숬 H가 무게 n인 숃숭순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조일 때숬 이것의 쌍대 쉈쉯쉤쉧쉥 구조 H 도 또한 정의할 수 있다숮 그래서 일반적으로 H, H 가 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조일 경우숬 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조 Hom숨H, H 숩를 H H 로 정의하여 내부 쉈쉯쉭 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조도 만들 수 있다숮 몇 가지 종종 쓰이는 예들을 살펴보자숮 숱숮 Z숨숱숩 라는 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조를 다음과 같이 정의하자숮 우선숬 아벨 군으로는 Z숨숱숩 숺숽 숲πiZ로 정 의하고숬 Z숨숱숩 C 숺숽 H 1, 1 숺숽 C로 정의하자숮 정의에 의해숬 이것은 무게 숲인 Z숭순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조이다숮 이 쉈쉯쉤쉧쉥 구조를 쉔쉡쉴쉥의 쉈쉯쉤쉧쉥 구조 라고 부른다숮 이것의 쌍대 쉈쉯쉤쉧쉥 구조를 Z숨 숱숩으로 쓴다숮 숲숮 만약 n N일 경우숬 Z숨n숩을 Z숨숱숩의 n번 텐서적을 한 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조로 정의하는데숬 이것은 무게가 숲n인 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조가 된다숮 n < 숰인 경우숬 Z숨n숩 숽 Z숨 n숩 로 정의한다숮 숳숮 만약 f 숺 X Y 가 아담한 켈러 다양체들 사이의 복소 다양체로써의 사상이라면숬 간단한 대수 적 위상수학의 결과에 의해 각각의 n에 대해 f 숺 H n 숨Y, Z숩 H n 숨X, Z숩를 줄 수 있다숮 이때숬 이 f 는 타입 숨숰, 숰숩의 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조사이의 사상이 된다숮 숴숮 코호몰로지 군들 사이의 쉈쉯쉤쉧쉥 구조 사이의 사상이 항상 저렇게 복소 다양체의 사상으로부터 신 숨쉣쉯쉲쉲쉥쉳쉰쉯쉮쉤쉥쉮쉣쉥숩 오는 것만은 아니다숮 X, Y 가 매끈한 복소 사영대수다양체일때 중요한 예는 바로 교 이라고 불리는 X Y 상에서의 대수사이클들이 주는 쉈쉯쉤쉧쉥 구조 사이의 사상인데숬 이들은 아래와 같이 주어진다숺 ξ z p 숨X Y 숩 라고 하고숬 dx, dy 는 X, Y 의 차원이라고 하자숮 r 숽 p dx 라 하자숮 그러면숬 ξ는 타입 숨r, r숩인 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조 사이의 사상 ξ 숺 H n 숨X, Z숩/tor H n+2r 숨Y, Z숩/tor를 준다숮 이 증명은숬 상기 코호몰로지 군 들의 꼬임숨쉴쉯쉲쉳쉩쉯쉮숩을 모두 없앤 상태에서 하는 것이므로숬 쉋쉵쉮숭 쉮쉥쉴쉨 정리숬 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 및 쉓쉥쉲쉲쉥 쌍대 정리 등을 혼합하면 얻을 수 있다숮 여기서 하지는 않겠다숮 숵숮 X, Y 가 사영 대수다양체인 경우 임의의 복소 다양체 사상 f 숺 X Y 는 자동적으로 사영 사상 숨쉰쉲쉯쉪쉥쉣쉴쉩쉶쉥 쉭쉯쉲쉰쉨쉩쉳쉭숩이 된다숮 이 경우 r 숽 dy dx 에 대해 f 숺 H n 숨X, Z숩 H n+2r 숨Y, Z숩는 타입 숨r, r숩인 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조들의 사상이 된다숮 f 자체는 호몰로지 군들에 대해 f 숺 H 숨X, Z숩 H 숨Y, Z숩가 자연스럽게 주어지는 것을 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 쌍대를 취하여 코호몰로지 군들에 대해 얻을 수 있다숮 이들이 타입 숨r, r숩인 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조들의 사상임을 보이려면숬 f 숺 X Y 가 주는 그래프 ξ 숽 숀숨f 숩 X Y 를 차원이 dx 인 교신숨쉣쉯쉲쉲쉥쉳쉰쉯쉮쉤쉥쉮쉣쉥숩로 간주하고숬 이것의 여차원이 dy 이므로 r 숽 dy dx 에 대해 바로 위에서 논의한 교신이 주는 쉈쉯쉤쉧쉥 구조 사이의 사상으로 보면 된다숮 특별한 예로숬 j 숺 X Y 이 여차원이 p라면 r 숽 p가 되어 j 숺 H n 숨X, Z숩 H n+2p 숨Y, Z숩은 타입 숨p, p숩인 순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조들의 사상이 된다숮 숱숷

18 정수계수 Hodge 가설이 맞는 예: Lefschetz의 (1, 1) 정리 5 정수 계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은 여차원 p 숽 숱인 경우에는 성립한다숮 이는 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺에 의해서 처음 증명되 었는데숬 이 방법은 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥가 고안한 노말 함수숨쉮쉯쉲쉭쉡쉬 쉦쉵쉮쉣쉴쉩쉯쉮숩 이라는 도구를 이용한 것이다숮 이 정리를 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺의 숨숱, 숱숩정리라고 부른다숮 노말 함수는 요즘에도 매우 유용한 도구이기는 한데숬 이 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 숨숱, 숱숩정리의 증명에는 조금 더 개념적으로는 간단한 현대적 방법이 있어숬 이를 우선 소 개하고자 한다숮 Theorem 5.1 숨쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 숨숱, 숱숩정리숩. X가 매끈한 복소 사영 대수다양체라고 하자. 그러면, clx 숺 z 1 숨X숩 Hdg 1 숨X, Z숩는 전사함수이다. 즉, 정수계수 Hodge 가설은 여차원 p 숽 숱일 때 성립한다. f Proof. 급수 수열숨쉥쉸쉰쉯쉮쉥쉮쉴쉩쉡쉬 쉳쉥쉱쉵쉥쉮쉣쉥숩 숰 Z OX OX 숱로부터 쉥쉸쉡쉣쉴 수열 H 1 숨X, OX 숩 g H 2 숨X, Z숩 H 2 숨X, OX 숩를 얻는다숮 이때 z 1 숨X숩 CH 1 숨X숩 숽 P ic숨x숩 숽 H 1 숨X, OX 숩은 전사함수 이고숬 H 2 숨X, OX 숩 숽 H 0,2 숨X숩이고숬 g는 사실은 αz 숺 H 2 숨X, Z숩 H 2 숨X, C숩 와 쉈쉯쉤쉧쉥 분해에 대 한 사영 숨쉰쉲쉯쉪쉥쉣쉴쉩쉯쉮숩 pr 숺 H 2 숨X, C숩 숽 H 0,2 H 1,1 H 2,0 H 0,2 의 합성으로 주어진다숮 만약 c Hdg 1 숨X, Z숩라면숬 αz 숨c숩 H 1,1 숨X숩이므로 pr숨c숩 숽 숰이다숮 따라서숬 c im숨clx 숩이므로 clx 가 전사함수임을 증명하였다숮 사실 쉈쉯쉤쉧쉥가 정수계수에 대한 가설을 내 놓게 된 이유 중 하나가 바로숬 위의 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 숨숱, 숱숩 정리가 정수계수에서 참이기 때문이었다숮 하지만숬 p 숲부터는 정수계수를 사용할 경우 여러가지의 반례가 존재함을 지난 수십년 간 여러가지 방법을 통해 알 수 있게 되었다숮 정수계수 Hodge 가설의 반례들 6 p 숲에서 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립할 수 없는 반례가 현재 여러가지 방법을 통해 알려져 있다숮 그 중 몇 가지를 소개해 보고자 한다숮 6.1 Atiyah-Hirzebruch 쉁쉴쉩쉹쉡쉨와 쉈쉩쉲쉺쉥쉢쉲쉵쉣쉨는 숱숹숶숱년 쉛숶쉝숬 당시 대수적 K숭이론이 쉇쉲쉯쉴쉨쉥쉮쉤쉩쉥쉣쉫에 의해 등장한 이후 그 아 이디어를 빌어 새로 등장한 위상적 K숭이론을 이용하여숬 특이 코호몰로지와 위상적 K숭이론을 연결하 는 스펙트럴 수열을 하나 고안해 낸다숮 이를 흔히 쉁쉴쉩쉹쉡쉨숭쉈쉩쉲쉺쉥쉢쉲쉵쉣쉨 스펙트럴 수열이라고 한다숮 이 쉁쉴쉩쉹쉡쉨숭쉈쉩쉲쉺쉥쉢쉲쉵쉣쉨 스펙트럴 수열은 차 후 쉂쉬쉯쉣쉨숭쉌쉩쉣쉨쉴쉥쉮쉢쉡쉵쉭 쉛숱숳쉝숬 쉆쉲쉩쉥쉤쉬쉡쉮쉤쉥쉲숭쉓쉵쉳쉬쉩쉮 쉛숲숳쉝에 의해 서 모티빅 코호몰로지와 대수적 K숭이론을 연결하는 스펙트럴 수열로 확장되었고숬 최근에는 쉈쉯쉰쉫쉩쉮쉳숭 쉍쉯쉲쉥쉬숭쉈쉯쉹쉯쉩쉳 쉛숳숰쉝에 의해 모티빅 코호몰로지와 대수적 코보디즘을 연결하는 수열로 더욱 확장되기 도 하였다숮 어쨌거나숬 본 강연의 목표에서 너무 벗어나게 될 가능성 때문에 위상적 K숭이론이 무엇인지숬 스펙 트럴 수열이 무엇인지숬 그리고 이를 이용하여 어떻게 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은 일반적으로 참이 될 수 없는지를 증명해 냈는지를 모두 설명하지는 않겠다숮 몇 가지 중요점 만을 간결하게 말하도록 하겠다숮 우선 위상적 K숭이론들을 코호몰로지 이론 K q 숨X숩로 보면숬 쉁쉴쉩쉹쉡쉨숭쉈쉩쉲쉺쉥쉢쉲쉵쉣쉨 스펙트럴 수열은 E2pq 숽 H p 숨X, K q 숨pt숩숩 K p+q 숨X숩 의 형태를 띈다숮 이때 pt는 점을 뜻한다숮 그래서 K q 숨pt숩는 어떤 계수 아벨군으로 간주된다숮 스펙트럴 수열이 무엇인지숬 일반적으로 무엇을 뜻하는지 등은 사실 간단치 않다숮 게다가 이 스펙트럴 수열은 숱숸

19 특히 여러가지 수열들 중에서도 가장 복잡한 것들 중 하나이다숮 그래서 이를 설명하기는 다소 어려 운데숬 분명한 것은 어떤 코호몰로지 류가 대수사이클에 기원한다면숬 이는 어떤 특별한 위상수학적인 조건을 만족해야만 하고숬 이것이 성립하지 않는 경우가 있다는 것을 이 두 사람이 증명하였다숮 6.2 Totaro 숱숹숹숰년대에숬 쉔쉯쉴쉡쉲쉯 쉛숴숹쉝는 당시까지는 대수기하학에서는 거의 쓰인 적이 없었던 일반화된 코호몰 로지 이론 인 복소 코보디즘 M U 를 사용하여 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 왜 일반적으로는 참이 아닌 지에 대한 반례를 보여주었다숮 이 과정에서 이 반례를 넘어서 더 강력하고 중요한 수학적 결과들을 다수 얻어 내었다숮 우선은 몇 가지 수학적으로 중요한 스토리를 이야기를 해 보겠다숮 일반화된 코호몰로지 라는 것은숬 공간의 상대 쌍 숨X, A숩들의 범주 위에서 정의되는데숬 흔히 호모토피 공리 숨두 호모포픽한 사상 은 호몰로지 위에서 같은 사상을 준다숩숬 쉥쉸쉡쉣쉴쉮쉥쉳쉳 공리 숨상대 쌍에 대한 긴 쉥쉸쉡쉣쉴 수열숩숬 잘라내기 공리 숨쉥쉸쉣쉩쉳쉩쉯쉮숻 숨X, A숩에서 U A가 성립하는 경우 h숨x \ U, A \ U 숩 h숨x, A숩는 동형사상이다숩 의 숳가지를 만족하는 코호몰로지 이론이다숮 여기에서 추가로 차원 공리 숨 hi 숨pt숩 숽 숰숬 i 숽 숰숩까지 추가되면 이를 상숨쉯쉲쉤쉩쉮쉡쉲쉹숩 코호몰로지 이론이라고 한다숮 이 숴가지 공리를 가정하게 되면 코호몰로 지 이론은 h0 숨pt숩에 의해서 유일하게 결정됨을 쉅쉩쉬쉥쉮쉢쉥쉲쉧숭쉓쉴쉥쉥쉮쉲쉯쉤 정리라고 한다숮 우리가 다룬 특이 코호몰로지 등은 모두 상 코호몰로지 이론이다숮 하지만숬 차원 공리를 만족하지 않는 이론들이 매우 많은데숬 이들 중에는 위에서 잠시 언급한 위상수학적 K숭이론과 복소 코보디즘등이 있다숮 일반적으 로숬 대학원 석사 숱년차 정도에서는 일반화된 코호몰로지 이론을 배우는 경우가 많지 않다숮 현대 대수적위상수학의 일부인 호모토피 이론숬 특히 안정 호모토피 이론 숨쉳쉴쉡쉢쉬쉥 쉨쉯쉭쉯쉴쉯쉰쉹 쉴쉨쉥숭 쉯쉲쉹숩에서 성취한 가장 놀라운 것중 하나는숬 위상 공간들의 범주에서 코호몰로지등을 다루지 말고숬 소 위 말하는 스펙트럼 숨쉳쉰쉥쉣쉴쉲쉵쉭숻 위상수학에서 쓰이는 용도숩의 범주로 위상 공간들을 보내게 되어숬 여기에 안정 호모토피 동치라는 모델 구조 숨쉭쉯쉤쉥쉬 쉳쉴쉲쉵쉣쉴쉵쉲쉥숩 라는 것을 주게 되면 숨쉣쉦숮 쉛숲숸쉝숩숬 모 든 일반화된 코호몰로지 이론들은 사실은 하나의 스펙트럼에 의해서 주어져서숬 스펙트럼은 공간들의 모임이기도 하지만 이들이 또한 코호몰로지 이론도 결정한다는 것을 증명할 수 있다숮 이를 쉂쉲쉯쉷쉮 대표가능성 정리숨쉲쉥쉰쉲쉥쉳쉥쉮쉴쉡쉢쉩쉬쉩쉴쉹 쉴쉨쉥쉯쉲쉥쉭숩 이라고 부른다숮 숨쉛숱숷쉝숬 쉛숱숸쉝숩 굳이 스펙트럼이 무엇인지는 중요하지는 않으나 잠시 언급만 하자면 숨여러분이 호모토피 기초론 에 나오는 스매쉬 곱과 서스펜션 등에 대해서 안다고 가정하자숩숬 이것은 점이 있는 위상 공간들의 무한 수열 숨E0, E1, 숩로써숬 σn 숺 S 1 En 숽 숆En En+1 라는 구조 사상들이 모든 n에 대해서 있 는 것을 말한다숮 예를들어 점이 지정된 위상 공간 X가 주어져 있으면 숆 X 숽 숨X, 숆X, 숆2 X, 숩와 같이 어떤 스펙트럼도 하나 지정할 수 있다숮 그래서 모든 일반화된 숨코숩호몰로지 군들은 어떤 스펙 트럼 E에 대해 H n 숨X숩 숽 쉛X, E쉝 n 숬 Hn 숨X숩쉛S, E X쉝n 꼴로 표시된다숮 여기서 S는 숨S0, S1, S2, 숩 로 표현되는 구숨쉳쉰쉨쉥쉲쉥숩 스펙트럼이고숬 쉛, 쉝는 사상들의 호모토피 류들을 뜻한다숮 만약 E가 어떤 가환군 숃에 대해서 쉅쉩쉬쉥쉮쉢쉥쉲쉧숭쉍쉡쉣쉬쉡쉮쉥 스펙트럼 H숃인 경우숬 특이 숨코숩호몰로지를 얻게 된다숮 자세 한 이야기는 쉛숱쉝를 참조하기 바란다숮 여기에서 우리가 사용할 복소 코보디즘 M U 는 쉒숮 쉔쉨쉯쉭의 유니터리 군 U 숨n숩들에 대한 쉔쉨쉯쉭 스 펙트럼으로 만들어지는 일반화된 코호몰로지이론이다숮 이것에 대한 연구의 선구자는 쉔쉨쉯쉭과 쉎쉯쉶쉩쉫쉯쉶 였다숮 순전히 위상적으로 정의가 되었지만숬 이를 조금 더 공리적으로 생성자와 관계식들로 표현한 것은 쉑쉵쉩쉬쉬쉥쉮 쉛숴숵쉝이었다숮 쉔쉨쉯쉭의 정리를 따라가는 대신에 더 편리하고 우리 강연과 연관이 있는 쉑쉵쉩쉬쉬쉥쉮의 표현을 요약하자면 아래와 같다숮 쉔쉨쉯쉭 스펙트럼이 주는 n번째 복소 코보디즘을 M U n 숨X숩 이라고 쓰기로 한자숮 편의상 X를 차원이 n인 컴팩트 복소 다양체라고 하자숮 Theorem 6.1 숨쉑쉵쉩쉬쉬쉥쉮숩. M U i 숨X숩는 실 차원이 숲n i인 닫힌 약하게 복소적인 다양체 들 M 에 숱숹

20 대해서 함수들 쉛M X쉝들로 생성되고, 관계식은 쉛M1 a M2 X쉝 숽 쉛M1 X쉝 숫 쉛M2 X쉝, 쉛 W X쉝 숽 숰, dimw 숽 숲n i 숫 숱, 으로 주어진다. 두번째 조건을 보통은 보디즘 관계(bordism relation) 이라고 부른다. 약하게 복소적인 다양체들라는 것은 경우에 따라서 쉜안정적으로 복소구조숨쉳쉴쉡쉢쉬쉹 쉣쉯쉭쉰쉬쉥쉸 쉳쉴쉲쉵쉣숭 쉴쉵쉲쉥숩를 가지는 실다양체숢 라고도 불린다숮 다양체 M 이 이러한 다양체라는 뜻은숬 M Rk 가 어떤 적 절한 k에 대해 복소다양체의 구조를 가진다는 뜻이다숮 숨쉎숮쉂숮 안정적으로 거의숨쉡쉬쉭쉯쉳쉴숩 복소구조를 가지는 실다양체도 정의 가능한데숬 잘 알려진 사실 쉛숱숶쉝은숬 이 것은 안정적으로 복소구조를 가지는 것과 동치라는 점이다숮 숩 중요한 사실 하나는숬 복소 코보디즘을 점 쉰쉴 에 대해서 계산을 하며 이를 L 숽 M U 숨pt숩라고 쓰면숬 이는 정수계수의 변수가 무한인 다항식이 되는데숬 이것은 숱숹숵숰년대에 연 구된 쉌쉡쉺쉡쉲쉤 환 쉛숳숶쉝과 같다는 것이다숮 쉌쉡쉺쉡쉲쉤는 계층 환숨쉧쉲쉡쉤쉥쉤 쉲쉩쉮쉧숩이고숬 숰번째 계층이 Z이므로숬 자연스러운 전사 환 준동형사상 L Z가 존재하여숬 Z는 L숭가군숨쉭쉯쉤쉵쉬쉥숩이 된다숮 쉔쉯쉴쉡쉲쉯의 중요한 업적 쉛숴숹쉝은숬 복소 대수다양체 X에 대하여 숨편의상 매끈하다고 가정하자숩숬 기존의 사이클 류 함수 cl 숺 z i 숨X숩 H 2i 숨X, Z숩를 더 높은 차원으로 들어올린 아래와 같은 가환 다이어그램이 존재한다는 것을 주목한 것이다숺 M U 2i 숨X숩 L Z 8 clt z i 숨X숩 숨숶숮숱숩 γ / H 2i 숨X, Z숩. cl 여기에서 clt 는 아래와 같이 정의할 수 있다숺 Z X가 여차원 i인 기약 닫힌 부분대수다양체라면숬 e Z, X를 얻을 수 있다숮 이때 이 쉛p 숺 Ze X쉝를 X상에서 쉈쉩쉲쉯쉮쉡쉫쉡 쉛숲숷쉝의 특이점 해소 p 숺 Z 의 코보디즘 사이클로 간주하여숬 clt 숨Z숩 숺숽 쉛p 숺 Ze X쉝 숱으로 정의한다숮 이것이 잘 정의된 것 을 보이려면숬 특이점 해소의 선택에 의존하지 않음을 보여야 하는데숬 이것의 증명은 약간의 작업이 필요하다숮 이미 사용한 H 2i 숨X, Z숩의 사이클 류 정의에서 썼던 일부 방법에 더해서 몇 가지 도구를 사용하여야 한다숮 한편숬 우리의 강연과는 크게 상관이 없지만숬 잘 알려진 사실은 cl이 대수사이클의 유리 동치관계 숨쉲쉡쉴쉩쉯쉮쉡쉬 쉥쉱쉵쉩쉶쉡쉬쉥쉮쉣쉥숩뿐만 아니라 대수 동치관계 숨쉡쉬쉧쉥쉢쉲쉡쉩쉣 쉥쉱쉵쉩쉶쉡쉬쉥쉮쉣쉥숩까지 보존한다는 것인데숬 쉔쉯쉴쉡쉲쉯는 clt 도 이러한 성질을 만족하며숬 심지어는 CHalg 숨X숩 숽 z 숨X숩/ alg 에 대해서 위의 clt 가 계층 환의 준동형사상 숨쉨쉯쉭쉯쉭쉯쉲쉰쉨쉩쉳쉭 쉯쉦 쉧쉲쉡쉤쉥쉤 쉲쉩쉮쉧쉳숩까지 됨을 증명하였다숮 숨쉆쉵쉬쉴쉯쉮의 교차이론 숨쉩쉮쉴쉥쉲쉳쉥쉣쉴쉩쉯쉮 쉴쉨쉥쉯쉲쉹숩 쉛숲숴쉝의 방법을 그대로 반복하여 이를 증명한다숮숩 중요한 사실은숬 이 함수 γ 숺 M U 숨X숩 L Z H 숨X, Z숩가 항상 단사 함수도숬 전사 함수도 아 니고숬 대신 커널과 코커널이 모두 꼬임숨쉴쉯쉲쉳쉩쉯쉮숩으로 구성된다는 사실이다숮 위에서 등장한 쉁쉴쉩쉹쉡쉨숭 쉈쉩쉲쉺쉥쉢쉲쉵쉣쉨 스펙트럴 수열을 이용하면숬 만약 H 숨X, Z숩가 꼬임을 전혀 가지지 않을 경우에는 γ는 동형사상숨쉩쉳쉯쉭쉯쉲쉰쉨쉩쉳쉭숩이 된다숮 는 것도 증명할 수 있다숮 다시 우리의 본 강연 목표인 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설로 돌아가면숬 γ가 동형사상인 경우는 굳이 주 어진 정수계수 코호몰로지 H숨X, Z숩와 같은 M U 숨X숩 L Z 같은 복잡한 대상을 이용할 필요가 없다숮 그래서숬 복소 코보디즘을 이용하여 반례를 찾아보겠다면 H숨X, Z숩에 꼬임이 있는 X을 들여다 보여야 한다숮 그럼 아래의 사실을 증명해 보자숺 Theorem 6.2. X가 γ가 전사함수가 아닌 매끈한 복소 사영대수다양체라고 하자. 그러면, 이 X에 대해서 정수계수 Hodge 가설은 성립하지 않는다. 숲숰

21 Proof. α H 2i 숨X, Z숩가 γ의 상에 들어가지 않는 어떤 코호몰로지 류라고 하자숮 그러면 γ의 코커널 은 꼬임이므로 α는 꼬임이고숬 따라서 H 2i 숨X, Z숩 H 2i 숨X, C숩로 가는 함수에 대한 α의 상은 숰이다숮 숨벡터 공간은 꼬임이 없기 때문이다숮숩 따라서숬 정의에 의해 α Hdg i 숨X, Z숩이다숮 한편숬 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 참이라면숬 α는 함수 cl의 상 안에 포함되어야 하나숬 그럴 경우 가환 다이어그램 숨숶숮숱숩에 의해서 α는 γ의 상에 포함되어야 한다숮 허나숬 α에 대한 주어진 가정에 의해 이는 모순이다숮 따라서 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은 거짓이다숮 쉔쉯쉴쉡쉲쉯가 복소 코보디즘을 대수기하학에 활용한 논문에서는 사실숬 γ가 전사함수가 되지 않는 예 보다는 훨씬 더 어려운 과정을 거쳐 γ가 단사함수가 되지 않는 예를 찾아내는 것에 주력한다숮 이 결 과를 이용하면 정수계수에 대해서 소위 표준가설 숨쉄숩 라고 불리는 것이 성립하지 않는 다는 것도 유도해 낼 수 있다숮 이는 본 강연자의 정리인데숬 뒤에서 짧게 소개하도록 하겠다숮 6.3 Kolla r 쉁쉴쉩쉹쉡쉨숭쉈쉩쉲쉺쉥쉢쉲쉵쉣쉨가 찾은 반례쉛숶쉝와 쉔쉯쉴쉡쉲쉯가 찾은 반례 쉛숴숹쉝 두가지 모두숬 H 숨X, Z숩에서 꼬임인 코 호몰로지 류에 대하여 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립하지 않는 다는 것을 보인 결과이다숮 숨유리계수숩 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은 Q숭계수를 놓고 살펴보는 것이니 이런 꼬임들은 애당초 모두 없어지게 되나숬 Q계수를 가지고 살펴본다는 것은 엄밀하게 말하자면 꼬임만 없애고 연구하는 것 보다는 더 강력하다숮 그래서숬 위의 쉁쉴쉩쉹쉡쉨숭쉈쉩쉲쉺쉥쉢쉲쉵쉣쉨와 쉔쉯쉴쉡쉲쉯의 반례를 놓고 나서도 여전히 그렇다면 X가 만약 H 숨X, Z숩가 꼬임을 전혀 가지지 않는 종류의 매끈한 대수 사영다양체라면숬 그러면 이 때에는 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립하는가숿 하고 질문을 해 볼 수도 있겠다숮 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은숬 일단 성립한다면 유 리계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설도 성립하게 만들기 때문에 경우에 따라서는 더 강력할 수도 있기 때문이다숮 이 러한 꼬임이 없는 경우에는 γ가 동형사상이 되고숬 위에서 말한 쉁쉴쉩쉹쉡쉨숭쉈쉩쉲쉺쉥쉢쉲쉵쉣쉨숬 쉔쉯쉴쉡쉲쉯의 방법은 전혀 통하지 않게 된다숮 이 문제에 대해서도 사실은 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립하지 않는다는 것은 비교적 최근에 알 려졌는데숬 쉊숮 쉋쉯쉬쉬숓 쉡쉲 쉛숳숲쉝가 발견한 것들이다숮 이에 대해 간략히 논의해 보도록 하겠다숮 X를 P4 의 일반적인 매끈한 하이퍼 곡면으로 차수가 d라고 하자숮 이때숬 숰 l 숳에 대해서숬 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 초평면 단면숨쉨쉹쉰쉥쉲쉰쉬쉡쉮쉥 쉳쉥쉣쉴쉩쉯쉮숩 정리에 의하면 제한 함수 H l 숨P4, Z숩 H l 숨X, Z숩는 동 형사상이다숮 우리는 l 숽 숲인 경우에 관심이 있는데숬 H 2 숨P4, Z숩는 항상 초평면에 의해서 생성되므로 H 2 숨X, Z숩은 초평면 단면의 류 H에 의해 생성된다숮 즉숬 자유 아벨 군으로는 Z쉛H쉝으로 쓸수 있다숮 한 편숬 쉐쉯쉩쉮쉣쉡쉲숓쉥 쌍대정리에 의해서 H 4 숨X, Z숩는 그러면 α 쉛H쉝 숽 숱인 어떤 류 α에 대해 자유 아벨군 Z α로 쓰여진다숮 흥미로운 사실은숬 X의 차수가 d이므로 쉛H쉝3 숽 d이고 dα와 쉛H쉝2 는 같은 코호몰로지 류를 준다는 것이다숮 그러므로숬 dα H 4 숨X, Z숩는 대수사이클로부터 숨쉛H쉝2 숩 온다는 것을 알 수 있다숮 우선 다음의 중요한 사실을 서술해 보자숮 Theorem 6.3 숨쉋쉯쉬쉬숓 쉡쉲숩. X P4 가 일반적인 매끈한 하이퍼 곡면으로 차수가 d 숽 p3 이라고 하자. 여기서 p 숵는 소수이다. 그러면, X상의 임의의 닫힌 대수 곡선 C는 그 차수가 p로 나누어진다. 이것의 증명은 아주 간단하지는 않고숬 앞으로 나올 내용에서 응용이 되지는 않으므로 생략토록 하겠다숮 Theorem 6.4. Theorem 6.3의 X에 대해서, α H 4 숨X, Z숩 숽 Hdg 2 숨X, Z숩는 대수사이클로 부터 오지 않는다. 즉, 정수계수 Hodge 가설은 이런 X에 대해서 참이 아니다. Proof. 만약 α가 대수사이클로부터 온다면숬 α는 X상의 대수곡선들 C들의 정수계수 유한합에 대한 사이클 류여야 한다숮 그런데숬 이러한 C 각각의 차수가 dc 이라면숬 쉔쉨쉥쉯쉲쉥쉭 숶숮숳에 의해 p dc 이고숬 숲숱

22 P P H 4 숨X, Z숩안에서는 쉛C쉝 숽 dc α이다숮 따라서숬 α 숽 nc 쉛C쉝 숽 nc dc α인데 α.쉛h쉝 숽 숱이므로 쉛H쉝를 P 좌우변에 곱하면 숱 숽 nc dc 가 된다숮 하지만숬 p dc 이므로 p 숱이 되어 모순이다숮 7 Hodge 가설이 맞는 예들 앞서서숬 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설들은 참이 아닌 예들이 자주 등장한다는 것을 보였다숮 하지만숬 이들이 정확하게 언제 참이 아닌지를 아는 것은 대수사이클 류나 코호몰로지 류의 꼬임을 이해하는데 중요한 화두가 되므로 여전히 많은 사람들이 이들을 연구하고 있다숮 한편숬 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 만약에 성립한다면 자동적으로 숨유리계수숩 쉈쉯쉤쉧쉥 가설도 또한 성립하게 되는 점도 중요하다숮 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립하는 예들 중 몇가지 알려진 것들을 나열해 보기로 하자숮 숱숮 가장 먼저 우리가 다룬 것은숬 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설도 성립하는 경우로숬 p 숽 숱인 때가 있었다숮 이를 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 숨숱, 숱숩 정리로 불렀었다숮 숲숮 위의 p 숽 숱인 경우를 이용하면숬 차원이 숱인 대수사이클의 경우의 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 증명할 수 있다숮 이는 소위 강한 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 정리 숨쉈쉡쉲쉤 숯 쉓쉴쉲쉯쉮쉧 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 쉴쉨쉥쉯쉲쉥쉭숩라는 것을 이용하여 증명 할 수 있는데숬 이 정리의 명제는 일반적으로 아래와 같다숺 숨이 정리의 이름에 강한 이라는 이 름이 붙은 것은 현재까지도 어려운 정리라서 그런 것이라고 하기 보다는숬 최초에 쉇쉲쉯쉴쉨쉥쉮쉤쉩쉥쉣쉫 이 이름을 붙일 때에 그런 이름 숨불어로 쉶쉡쉣쉨쉥숩 을 붙인 것에 기여한 것이다숮 그냥 고유명사로 취급하여 보는 것이 합당하다숮숩 Theorem 7.1 숨강한 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 정리숩. X가 매끈한 복소 사영 다양체라고 하자. η H 2 숨X, Q숩 를 초평면 단면(hyperplane section)의 코호몰로지 류라고 하자. 그러면 모든 숰 i n 숺숽 dimx에 대해서 Lefschetz 연산자 L 숺 H i 숨X, Q숩 H i+2 숨X, Q숩를 ξ 7 η ξ로 정의할 수 있다. 그러면, i n에 대해서 Ln i 숺 H i 숨X, Q숩 H 2n i 숨X, Q숩 은 동형사상이다. 이 증명은 다른 곳에서 찾아보는 것이 바람직하다숮 흥미로운 사실은숬 L는 타입이 숨숱, 숱숩인 대수 사이클을 교차하여 얻는 연산이므로 쉈쉯쉤쉧쉥 분해에 대해서도 H p,q 를 H p+1,q+1 로 보내는 연산 자라는 점이다숮 따라서숬 i 숽 숲p n인 경우숬 Ln 2p 숺 Hdg p 숨X, Q숩 Hdg n p 숨X, Q숩가 된다숮 이 Ln 2p 는 대수사이클의 교차로 주어진 대상이므로숬 우리는 아래의 가환 다이어그램을 얻어낼 수 있다숺 clp CH p 숨X숩 Q / Hdg p 숨X, Q숩 Ln 2p CH n p 숨X숩 Q cln p Ln 2p / Hdg n p 숨X, Q숩. 강한 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺에 의해 오른쪽 수직 사상이 동형사상이고숬 만약 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 여차원 p에 대 해서 성립한다면숬 상부 수평 사상 clp 은 전사사상이다숮 따라서숬 하부 수평 사상 cln p 도 전사사 상이 된다숮 그러나숬 이는 여차원 n p에 대한 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 된다숮 정리하자면숬 이러하다숺 Theorem 7.2. n 숽 dimx라 하자. 만약 여차원 p에 대해 숲p n 인 경우 Hodge 가설이 성립 되면, 여차원 n p에 대해서도 Hodge 가설이 성립된다. 숲숲

23 그런데숬 이미 첫번째 경우 숱숮 에서숬 여차원 p 숽 숱인 경우에는 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 숨숱, 숱숩 정리에 의해 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립하므로숬 여차원 n 숱숬 즉숬 숱차원 대수사이클들에 대해서 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성 립하게 된다숮 숳숮 숰차원 대수사이클들에 대해서는 어떨까숿 이 경우는 사실 특별한 논의를 요하지 않는다숮 그 이 유는숬 x X가 점인 경우 cl숨x숩 H 2n 숨X, Q숩를 주는데숬 이 최고차 코호몰로지는 Q와 같은데 다가숬 그 값은 항상 숱이 되기 때문이다숮 따라서숬 z n 숨X, Q숩 Q는 전사사상이라 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은 매우 명백하게 참이다숮 비슷하게숬 여차원이 숰인 경우숬 cl숨x숩 H 0 숨X, Q숩를 주는데숬 이 경우도 코호몰로지 군은 Q과 같고숬 cl숨x숩는 숱의 값을 가지므로숬 이 경우 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은 참이다숮 숴숮 n 숽 dimx 숳인 경우숬 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은 모든 여차원 p n에 대해서 참임을 이제 알 수 있다숮 우선 여차원 숰숬 차원 숰인 경우는 증명할 것이 없음을 위에서 보았다숮 여차원 숱인 경우 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 숨숱, 숱숩에 의해 참이고숬 강한 쉌쉥쉦쉳쉣쉨쉥쉴쉺 정리를 이용하여 차원이 숱인 경우에도 성립함을 보였다숮 그런데 n 숽 숰이라면 증명할 것이 없고숬 n 숽 숱인 경우 발생할 수 있는 모든 여차원은 숰, 숱뿐이라 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 증명함을 알수 있고숬 n 숽 숲인 경우 모든 여차원은 숰, 숱, 숲인데숬 숲인 경우는 차원 이 숰이라 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 모두 성립하고숬 n 숽 숳인 경우 가능한 여차원 숰, 숱, 숲, 숳들 모두 위에서 논의한 경우들이다숮 따라서 n 숳인 모든 매끈한 복소 사영 대수다양체들에 대해서는 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립한다숮 숵숮 복소 사영공간의 일반화로 그라스만 다양체가 있다숮 이를 조금 더 일반화 한 것으로 깃발 다양 체숨숍쉡쉧 쉶쉡쉲쉩쉥쉴쉩쉥쉳숩가 있는데숬 이는 아래와 같이 정의할 수 있다숮 n > 숱이 주어진 정수라고 하고숬 숰 < d n 값에 대해서 주어진 정수들의 수열 숱 a1 < a2 < < ad < n들이 있다고 하자숮 이때숬 깃발 다양체 F 숨a1,, ad, n숩는 Cn 의 d개의 복소 부분 공간들 L1 Ld Cn 들의 수열들 중숬 dimlj 숽 aj 인 것들의 모임을 뜻한다숮 이러한 집합에는 대수다양체의 구조를 줄 수 있다숮 사실 복소 사영공간과 그라스만 다양체들 모두 이런 깃발 다양체의 특수한 경우로 볼 수 있다숮 깃발 다양체들에게 특이한 점은숬 이들에 대해서 일종의 세포적 분해 숨쉣쉥쉬쉬쉵쉬쉡쉲 쉤쉥쉣쉯쉭쉰쉯쉳쉩숭 쉴쉩쉯쉮숩이라는 것이 있는데숬 각각의 세포숨쉣쉥쉬쉬숩들이 바로 깃발 다양체들의 정수계수 코호몰로지 군들의 자유 생성자를 하나씩 주게 된다는 중요한 사실이다숮 그래서숬 이러한 깃발 다양체들은 모든 여차원 p에 대해서 쉈쉯쉤쉧쉥 가설들을 모두 만족한다숮 숶숮 복소 사영 대수다양체들 중 저차원인 것들에 대해서는 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 이미 논의하여 보았다숮 이제는 거꾸로숬 복소 사영 공간 내에서의 여차원이 숱로 간단한 것들숬 즉숬 초곡면들에 대해서 알아보자숮 이 경우는 아직 완벽하게 해결되지는 않았지만 어느 정도는 알려져 있다숮 논의를 위 해서 X Pn+1 이라고 하고 숨그래서 n이 X의 차원이다숩숬 차수숨쉤쉥쉧쉲쉥쉥숩가 d라고 하자숮 d 숽 숱 인 경우는 X Pn 이 되어 이미 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 성립함을 알기 때문에 d 숲라고 가정하자숮 우선숬 η H 2 숨X, Q숩를 초평면 단면의 류라고 하자숮 이것은 정의에 의해 대수사이클로부터 온 다숮 그러면숬 H j 숨X, Q숩는 j가 홀수인 경우에는 숰이고숬 j이 짝수 숲m이면서 j 숽 n인 경우에는 Qη m 와 같음을 증명할 수 있다숮 숨증명에는 여러 방법이 있겠지만숬 예를들어 쉇쉹쉳쉩쉮 수열을 이용 하여 증명을 시도해 볼 수 있다숮 연습문제숮숩 η m 은 초평면 단면의 류의 m번 교차이므로숬 역시 대수사이클로부터 온다숮 j가 홀수인 경우는 쉈쉯쉤쉧쉥 가설과 연관이 없으니 무시할 수 있다숮 j가 짝수인 경우숬 여차원 p 대수사이클들에 대해서 H 2p 숨X, Q숩는 숲p 숽 n인 경우 위의 계산에 의해 숲숳

24 서 Q숭벡터 공간으로 숱차원이고숬 사실은 정확히 Hdg p 숨X, Q숩이면서 대수사이클로 생성됨을 알 수 있다숮 즉숬 숲p 숽 n인 경우 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은 성립한다숮 문제는 코호몰로지 차수 j 숽 숲p가 정확하게 n이 되는 경우이다숮 즉숬 n이 짝수이고 j 숽 숲p 숽 n 인 경우인데숬 이 때에는 코호몰로지가 상당히 다양하게 나올 수 있다숮 이 경우들에 대해서 아 직까지 완전히 모든 결과가 알려져 있지는 않고숬 아래의 몇가지 결과들은 알려져 있다숮 이 결과 들은 현재까지 나온 모든 것을 업데이트하고 있지는 않은데숬 아래의 숨d, n숩쌍을 확장하는 어떤 종류의 결과라도 수학적으로 매우 큰 의미가 있는 도전해 볼 만한 결과이다숺 쉡숩 d 숲이고 모든 n에 대해서 H 숨X, Q숩는 모두 대수사이클로 생성된다숮 쉈쉯쉤쉧쉥 가설보다 더 강력한 결론이 나온다숮 쉢숩 숨d, n숩 숽 숨숳, 숴숩숺 쉇쉲쉩숎쉴쉨쉳숬 쉂쉬쉯쉣쉨숬 쉚쉵쉣쉫쉥쉲 쉛숵숳쉝숬 쉥쉴쉣숮는 노멀 함수 숨쉮쉯쉲쉭쉡쉬 쉦쉵쉮쉣쉴쉩쉯쉮숩을 사 용하여 증명하였고숬 쉃쉬쉥쉭쉥쉮쉳는 X상의 직선들 숨쉆쉡쉮쉯다양체숩를 이용하여 증명하였으며숬 쉍쉵쉲쉲쉥는 X가 일숭유리숨쉵쉮쉩쉲쉡쉴쉩쉯쉮쉡쉬숩임을 이용하여 증명하였다숮 쉣숩 숨d, n숩 숽 숨숴, 숴숩숺 쉂쉬쉯쉣쉨숭쉍쉵쉲쉲쉥 쉛숱숴쉝가 쉐쉲쉹쉭숭쉔쉹쉵쉲쉩쉮 다양체 쉛숴숸쉝등을 이용하여 연구하였다숮 쉃쉬쉥쉭쉥쉮쉳는 여전히 X상의 직선들을 이용하였다숮 쉤숩 숨d, n숩 숽 숨숵, 숴숩숺 쉃쉯쉮쉴쉥숭쉍쉵쉲쉲쉥 쉛숱숹쉝는 X상의 숲차 곡선들을 이용하였고숬 쉌쉥쉷쉩쉳는 X상의 직 선들을 이용하였다숮 쉥숩 등등등숮 숷숮 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립하는 다양체들에 어떤 연산들을 적용한 후에 얻어지는 다양체들이 다시 쉈쉯쉤쉧쉥 가설들을 만족하는 경우들도 많이 있다숮 그런 예들을 몇 개 살펴보자숮 쉡숩 Y1 은 매끈한 복소 사영 대수다양체로숬 모든 H 숨Y1, Q숩가 대수사이클로부터 온다고 하자숮 Y2 는 차원이 숳인 매끈한 복소 사영 대수다양체라고 하자숮 그러면 X 숽 Y1 Y2 에 대해서 쉈쉯쉤쉧쉥 가설은 성립한다숮 이 증명은숬 쉋쉵쉮쉮쉥쉴쉨 정리에서 간단하게 증명 가능하다숮 쉢숩 f 숺 X Y 가 매끈한 복소 사영 대수다양체들 사이의 전사 사상이라고 하자숮 만약 X가 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 만족한다면숬 Y 도 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 만족한다숮 숨연습문제로 해 보기를 권한다숮 간단하지는 않은데숬 상대적으로 쉽게 하는 방법 하나를 힌트를 주자면숬 Y 를 스킴으로 보 고 일반점숨쉧쉥쉮쉥쉲쉩쉣 쉰쉯쉩쉮쉴숩 η의 역상 f 1 숨η숩를 κ숨η숩숭스킴으로 보고숬 닫힌 점 ξ f 1 숨η숩를 하나 선택하면숬 κ숨ξ숩는 κ숨η숩의 유한 확장이 된다숮 따라서 ξ는 Y 와 스킴으로써의 차원이 같은 X의 닫힌 부분 다양체에 대응된다숮 이와 함께숬 유리계수 특이 코호몰로지의 사영 공식숨쉰쉲쉯쉪쉥쉣쉴쉩쉯쉮 쉦쉯쉲쉭쉵쉬쉡숩를 이용하면 증명이 가능하다숮숩 쉣숩 Y 가 차원이 숳인 매끈한 복소 사영 대수다양체라고 하고 E Y 가 벡터 다발이라고 하자숮 그러면 X 숽 P숨E숩는 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 만족한다숮 이는 쉃쉨쉯쉷 군과 특이 코호몰로지 군 들이 모두 사영 다발 공식숨쉰쉲쉯쉪쉥쉣쉴쉩쉶쉥 쉢쉵쉮쉤쉬쉥 쉦쉯쉲쉭쉵쉬쉡숩를 만족함을 이용하여 어렵지 않게 증명 가능하다숮 쉤숩 나중에 숨숸숮숱숩에서 나올 쉥쉸쉡쉣쉴 수열을 이용하여 증명할 수 있는 것으로 아래와 같은 것도 있다숺 X를 매끈한 복소 사영 대수다양체라고 하자숮 만약 Y X가 닫힌 부분 대수다양 체로써 숨매끈할 필요가 없음숩 어떤 특이점 해소 π 숺 Ye Y 에 대해 Ye 가 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 만족하고숬 또한 어떤 매끈한 U 숺숽 X \ Y 의 콤팩트화 X 이 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 만족한다면숬 X 도 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 만족한다숮 숲숴

25 쉥숩 위의 사실을 사용하면 이것도 증명할 수 있다숺 X가 매끈한 복소 사영대수다양체이고숬 Z X가 매끈한 닫힌 부분다양체라고 하자숮 만약 X, Z가 모두 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 만족한 다면숬 BlZ X도 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 만족한다숮 쉦숩 쉈쉯쉤쉧쉥 가설 성립 여부는 숵차원까지는 쉢쉩쉲쉡쉴쉩쉯쉮쉡쉬 쉩쉮쉶쉡쉲쉩쉡쉮쉴이다숮 숸숮 아까 위에서 등장한 매끈한 초곡면들의 경우에서 숨d, n숩 숽 숨숵, 숴숩인 경우 쉃쉯쉮쉴쉥숭쉍쉵쉲쉲쉥가 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 증명하였다고 소개하였다숮 사실 이를 조금 더 일반화 할 수 있다숮 우선숺 정의 7.3. 대수다양체 X가 uniruled라는 말은, X의 일반 점을 통과하는 유리 곡선이 조재하는 경우를 뜻한다. 동치조건으로는, 일반 유한 유리 사상 (generically finite rational map) P1 Y 99K X가 어떤 대수 다양체 Y 에 대해서 존재하는 것이다. Theorem 7.4 숨쉃쉯쉮쉴쉥숭쉍쉵쉲쉲쉥숩. 4차원의 매끈한 복소 사영 uniruled 대수다양체 X는 Hodge 가 설을 만족한다. Proof. X가 쉵쉮쉩쉲쉵쉬쉥쉤라면숬 위에서 말한 f 숺 P1 Y 99K X가 존재한다숮 Y 는 특이점이 있을 수 있지만숬 Y 를 특이점 해소 Ye Y 한 것도 여전히 일반 유한 유리 사상이므로숬 Y 를 Ye 로 교체하여 Y 를 매끈한 사영 다양체라고 가정해도 무방하다숮 이때숬 이 유리 사상 f 가 정의되지 않는 부분을 쉢쉬쉯쉷숭쉵쉰을 통해 제거한 쉢쉬쉯쉷숭쉵쉰들의 합성을 π 숺 X P1 Y 라면숬 아래와 같은 가환 다이어그램이 존재한다숺 X g π P1 Y f # / X. 이때 Y 는 차원이 숳이므로 위에서 논한 바와 같이 P1 Y 에 대해서는 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립 하고숬 또 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립하는 다양체의 쉢쉬쉯쉷숭쉵쉰도 쉈쉯쉤쉧쉥 가설을 만족하므로 X 에 대해서 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립한다숮 한편숬 g는 전사 사상인데 X 에 대해 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립하므로숬 X에 대해서도 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립한다숮 잘 알려진 사실은숬 Pn+1 의 매끈한 초곡면의 차수가 d일때숬 이 초곡면이 쉵쉮쉩쉲쉵쉬쉥쉤일 필요충분 조건은 바로 d n 숫 숱이라는 것이다숮 그래서숬 예를들어 숨d, n숩 숽 숨숵, 숴숩였던 이전의 경우숬 X는 매끈한 복소 사영 쉵쉮쉩쉲쉵쉬쉥쉤 대수다양체가 되어 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이 성립하게 된다숮 숹숮 위에서 매끈한 초곡면들의 차수 d가 d n 숫 숱인 경우 쉵쉮쉩쉲쉵쉬쉥쉤 임을 사용하였다숮 하지만숬 사 실은 이런 매끈한 초곡면들의 경우에는 이 조건이 쉆쉡쉮쉯 다양체가 되는 것과도 동치이다숮 쉆쉡쉮쉯 다양체를 곧 소개하겠다숮 일반적으로는숬 쉆쉡쉮쉯 1 유리적으로 연결됨숮 2 쉵쉮쉩쉲쉵쉬쉥쉤 가 성립한다숮 여기서 1 는 쉋쉯쉬쉬숓 쉡쉲숭쉍쉩쉹쉡쉯쉫쉡숭쉍쉯쉲쉩의 정리 쉛숳숳쉝숬 쉛숳숴쉝이고숬 2 는 정의에 의해서 명백하다숮 하지만 반대 방향은 항상 성립하지는 않는다숮 숨참고로숬 쉆쉡쉮쉯라는 것은숬 쉣쉡쉮쉯쉮쉩쉣쉡쉬 다 발 ωx 숽 숊dimX 의 쌍대숨쉤쉵쉡쉬숩가 풍부숨쉡쉭쉰쉬쉥숩한 경우를 뜻한다숮 Pn+1 의 매끈한 초곡면들 X X 에 대해서는숬 이 차수 d n 숫 숱이 성립함과 쉆쉡쉮쉯임이 동치임은 쉁쉤쉪쉵쉮쉣쉴쉩쉯쉮 공식에서 나온다숮 숲숵

26 유리적으로 연결된다는 것은숬 일반적인 두 점을 연결하는 유리 곡선이 늘 존재하는 경우를 뜻 한다숮숩 그래서숬 d n 숫 숱인 경우에는 더 강력한 것들도 기대해 볼 수 있다숮 아래의 정리가 그러한 한발짝 더 나간 것을 보여준다 숨쉛숳숵쉝숩 Theorem 7.5 숨쉌쉡쉴쉥쉲쉶쉥쉥쉲숩. 매끈한 복소 사영 다양체 X가 유리적으로 연결되어 있고 차원이 숵인 경우, Hodge 가설이 성립한다. 증명은 매끈한 유리 연결 다양체 X에 대하여숬 대각선 숁 X X가 간단한 종류의 두가지 대수사이클의 합으로 표현된다는 쉂쉬쉯쉣쉨숭쉓쉲쉩쉮쉩쉶쉡쉳 쉛숱숵쉝 정리를 사용한다숮 물론숬 이 정리를 이용 하면 n 숽 숵숬 d 숶인 초곡면들에 대하여 쉈쉯쉤쉧쉥 가설들을 모두 얻어 낼 수 있게 된다숮 8 Hodge의 일반화된 가설과 Hodge-Grothendieck 가설 쉈쉯쉤쉧쉥는숬 위에서 소개한 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설이나 유리계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설 뿐만 아니라 더 일반적인 경우에 대한 가설이 아마 참일 것으로 예상하였는데 쉛숲숹쉝숬 이를 쉠일반화된 쉈쉯쉤쉧쉥 가설숧이라고 부를 수 있다숮 하지만숬 정수계수 쉈쉯쉤쉧쉥 가설과 마찬가지로 이 쉠일반화된 쉈쉯쉤쉧쉥 가설숧도 반례가 알려졌는데숬 이러한 이유로 이 강의에서는 이를 쉈쉯쉤쉧쉥의 일반화된 쉈쉯쉤쉧쉥 가설 이라는 다소 이상한 이름으로 부르기로 하겠다숮 이 반례를 찾아낸 것은 쉇쉲쉯쉴쉨쉥쉮쉤쉩쉥쉣쉫인데 쉛숲숵쉝숬 쉇쉲쉯쉴쉨쉥쉮쉤쉩쉥쉣쉫은 그의 혼합 쉈쉯쉤쉧쉥 구조에 대한 철학 숨쉄쉥쉬쉩쉧쉮쉥가 이를 실제로 논문으로 썼다 쉛숲숰쉝숬 쉛숲숱쉝숩을 바탕으로 쉈쉯쉤쉧쉥의 경제는 참 일 수 없고 대신 다른 명제를 제안하였다숮 우리는 이를 일반화된 쉈쉯쉤쉧쉥 가설 로 부르고자 한다숮 혼란을 피하기 위해 이를 쉈쉯쉤쉧쉥숭쉇쉲쉯쉴쉨쉥쉮쉤쉩쉥쉣쉫 가설 이라고 부를 수도 있겠다숮 일반화된 쉈쉯쉤쉧쉥 가설의 명제를 서술하려면숬 여러가지의 개념이 필요하다숮 이를 위해 우선 다음의 결과 하나를 논의해 보자숺 보조정리 8.1. X는 매끈한 복소 사영 대수다양체이고, j 숺 Y X는 임의의 여차원이 p인 닫힌 부분다양체라고 하자. (매끈할 필요가 없다.) Zariski 열린 부분 집합 i 숺 X \ Y, X에 대해서, i 숺 H n 숨X, Q숩 H n 숨X \ Y, Q숩를 생각해 보자. 이때, ker숨i 숩은 H n 숨X, Q숩의 부분 Hodge 구조를 가진다. Proof. 엄격한 의미에서 이 정리를 완전히 증명하려면 쉄쉥쉬쉩쉧쉮쉥의 혼 합 쉈쉯쉤쉧쉥 구조의 정의 및 논의를 따라가야 하는데숬 이를 모두 다 하기에는 시간이 부족하니 몇가지 아이디어만을 차용하여 스케치를 해 보자숮 첫번째 경우로 Y 가 매끈한 경우를 생각하자숮 이 경우숬 쉔쉨쉯쉭 동형사상과 상대 코호몰로지의 긴 쉥쉸쉡쉣쉴 수열을 이용한 쉇쉹쉳쉩쉮 긴 쉥쉸쉡쉣쉴 수열 i j H n 2p 숨Y, Q숩 H n 숨X, Q숩 H n 숨X \ Y, Q숩 에서 ker숨i 숩 숽 im숨j 숩이 된다숮 그런데 Y 가 매끈하므로 H n 2p 숨Y, Q숩은 Q숭순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조이고숬 j 은 Q숭순수 쉈쉯쉤쉧쉥 구조들의 사상이므로숬 im숨j 숩 숽 ker숨i 숩은 H n 숨X, Q숩의 부분 쉈쉯쉤쉧쉥 구조를 가 진다숮 두번째 경우로 Y 가 매끈하지 않다고 가정하자숮 이 경우가 엄밀하게 모든 증명을 하기는 어렵지 만 아이디어를 스케치해 보자숮 이때에는 쉔쉨쉯쉭 동형사상이 성립하지 못해서 쉇쉹쉳쉩쉮 긴 쉥쉸쉡쉣쉴 수열은 없다숮 하지만 아래의 방법을 쓸 수 있다숮 사실상 쉄쉥쉬쉩쉧쉮쉥가 혼합 쉈쉯쉤쉧쉥 구조를 정의하는 방식이 내 부적으로 들어가 있다고 볼 수 있다숮 숨쉛숲숰쉝숬 쉛숲숱쉝의 숸숮숲숮숸을 보라숮숩 숲숶