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1 R 기초및통계분석 도서출판신아문화사

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3 서 문 Praise the Lord. 2014년 12월 1일제주연구원장으로취임하게되어학교를휴직하고 3년을가르치는일에서떠나게되었는데마지막강의시간에학생들에게다음과같은약속을하였다. 1993년제주대학교에부임하여경제통계학을강의하면서 2시간이론강의및 1시간실습을지켜왔고, 그동안 MSTAT, Excel, SAS, Stata 등다양한통계패키지를가르쳐왔는데지금은빅데이터의시대이고빅데이터처리에최적화되어있는 R 언어를공부해야할때이다. 따라서본인이 3년의임기를마치고학교로복귀하여경제통계학을다시가르치게되는 2018년 1학기에는 R 언어로실습을하겠다고하였다. 이약속은시대의변화에따른것이기도했지만나를채찍질하기위한나와의약속이기도하였다. 눈에보이지않으면곧잊혀진다 (out of sight and out of mind) 는말이있듯이 3년동안연구원업무에집중하다보니항상 R 언어를공부해야한다는생각은있었지만우선순위에서밀려공부를하지못했다. 2017년 12월 1일학교로다시돌아와보니 3년전에학생들과했던약속이떠올랐고 3월초에개강을앞두고마음이급해졌다. 2018년새해들어 R 언어를집중적으로공부하고 2018년 1학기강의안을마련하였다. 다소부족했지만 2018년 1학기강의를마치고, 2학기에강의안을업데이트하였고, 그결과물이 R 기초및통계분석 으로발간되게되었다. 본교재에서사용된데이터는본인의개인홈페이지 ( data/) 에서다운받을수있고, 실습을위한코드는 에서다운받을수있다. R 언어의유용한점중의하나는다양한 packages가있어이를활용하면다양한분석이가능하다는것이다. 본교재에서활용되는 packages들을한번에 install할수있도록 install- packages.r을만들어놓았으므로본교재로실습하기전에먼저 install-packages.r을실행하기를바란다.

4 지난두학기동안 R 언어를가르치면서강조했던단어가 R 언어의열성적인지지자를뜻하는 R Enthusiast이었다. 학생들에게그들의열정을쏟아부어도아깝지않은그무엇을소개하고싶었는데경제통계학과관련해서는그것이바로 R 언어라고몇번을강조하였다. 본교재가나오기까지많은도움이있었다. 무엇보다도 2018년도제주대학교국립대학육성사업의지원이있었기에본교재가출간될수있었다. 처음대하는 R 언어를포기하지않고굳굳하게따라와준학생들에게도감사를드린다. 그리고항상기도로격려를해주는사랑하는아내와두딸셀라와셀리에게도감사의말을전한다 년 1 월 뉴욕에서저자

5 목차 _ 1 목 차 제1장 R 기본사용 3 1. R 개요 4 2. RStudio 시작하기 9 3. 명령어실행방법 수학및통계함수 15 제 2 장 Data set Data set 만들기 데이터관리기본명령어 30 제3장기본분석 그림그리기 ggplot2를이용한그림그리기 기술통계량계산 평균의계산 두확률변수의공분산 59 제4장이론적확률분포 이론적확률분포의관계 베르누이분포 이항분포 포아송분포 73

6 2 _ R 기초및통계분석 5. 균등분포 표준정규분포 분포 t-분포 F-분포 98 제5장표본분포 표본평균의표본분포 중심극한정리 표본분산의표본분포 127 제6장추정 추정및신뢰구간 모평균의구간추정 모분산의구간추정 144 제7장가설검정 가설검정의기초개념 단일집단에대한가설검정 두집단에대한가설검정 161 참고문헌 171 부록 1. R 코드 173 부록 2. 주요통계표 221

7 제 1 장 R 기본사용 1. R 개요 2. RStudio 시작하기 3. 명령어실행방법 4. 수학및통계함수

8 4 _ R 기초및통계분석 제 1 장 R 기본사용 1. R 개요 (1) R 이란? 컴퓨터로통계및계량분석이가능하도록계산과정을정리해놓은프로그램을통계패키지 ( 또는소프트웨어 ) 라고하는데현재시중에는 SAS(Statistical Analysis System), SPSS(Statistical Package for the Social Sciences), Stata(Statistics Data), WinRats-32(Regression Analysis for Time Series), EViews(Econometric Views), Limdep(Limited Dependent model) 등다양한종류의통계소프트웨어가출시되어활용되고있다. 한편, 컴퓨터에명령을내리는데필요한 컴퓨터의언어 를프로그래밍언어 (programming language) 라고하는데전통적으로 Basic, Cobol, Fortran, C, C++ 등이활용되어왔으나최근에는 GAUSS(Matrix programming language), Matlab, S-plus, R 등의사용자가증가하고있다. R은프로그래밍언어로구성된통계분석도구로다양한분석기능을가지고있는통계패키지임에도불구하고무료로제공되고있어세계적으로많은분석가들이사용하고있다. R은오클랜드대학교의 Robert Gentleman과 Ross Ihaka에의해 1995년에처음으로개발되었고현재는 R core team 이 R 프로젝트를운영하고있다. R은데이터의조작 (manipulation) 과연산 (calculation), 그리고그래픽표현 (graphical display) 을통합하는통합패키지로금융공학, 생명공학, 행정학, 의학, 자연과학등여러전문분야에서활용도가높아지고있는데그이유는 R이다음과같은장점을가지고있기때문이다. 첫째, R은간단한명령어만으로복잡한계산을수행할수있는프로그램이기때문에분석을빠르게수행할수있다.

9 제 1 장 R 기본사용 _ 5 둘째, R은 Linux, UNIX, MAC OS X, Windows 등모든운영체제에서실행가능하고, 각종 DBMS(Database Management System) 데이터에접근이가능하고, 별도의패키지를사용하면 R의소스를 Java, Python, C, C++ 등의언어와호환하여사용할수있다. 셋째, R은공개소프트웨어로모든소스가공개되므로자유로운수정및변경이가능하여다양하고정밀한분석을할수있다. 넷째, 경제학, 행정학, 의학, 생물학등다양한학문분야에서사용되는수많은통계분석방법이패키지형태로공개되므로사용자가복잡한계산식을일일이입력하여분석해야하는수고를들수있다. 모든일에혜택과비용이동시에발생하듯이 R은이러한장점을가지고있지만 R 을사용하기위해서는 R 언어를배워야하며, 새로운기능이빠르게추가되고있기때문에지속적으로새로운기능을습득해야하는어려움이있다. (2) RStudio 란 소프트웨어개발과정에서필요한코딩 (coding), 디버깅 (debugging), 컴파일 (compile) 의과정을하나로패키지화한소프트웨어를통합개발환경 (Integrated Development Environment; IDE) 이라고하는데 RStudio는 R의통합개발환경소프트웨어로 RStudio를사용하기위해서는반드시 R이설치되어있어야한다. 코딩 : 프로그래밍언어를이용하여구체적인컴퓨터프로그램을만드는기술 디버깅 : 코드상의오류를찾아내어수정하는과정 컴파일 : 컴퓨터가처리한언어를사람이읽을수있는언어나그림으로변환하는프로그램 RStudio는기존의 R 개발환경에새로운기능들이추가되어사용자효용을높인유틸리티소프트웨어로다음과같은장점을가지고있다. 첫째, RStudio 역시모든운영체제에서실행이가능하며, 모든 R 버전과호환이가능하다. 둘째, 코딩작업에필요한콘솔 (console), 디버깅작업에필요한소스에디터 (source editor), 그리고데이터뷰어 (data viewer) 및도표이력 (plot history) 등통합개발환경의주요요소들이잘통합되어편리하고신속한작업이가능하다.

10 6 _ R 기초및통계분석 셋째, 표시되는구문을종류별로구분하고 ( 예를들어입력문과출력문, 함수등 ) 여러가지다른색으로강조하여표시하는구문강조 (syntax highlight) 기능, 기능과함수의첫글자로함수를자동으로검색하거나함수에포함될요소들을표시해주는코드완성 (code completion), 코드입력시괄호나따옴표가자동으로입력되는기능등이추가되어수식입력과정에서사용자의편의를기하고있다. (3) R 및 RStudio 설치 R의설치파일을다운로드하기위해서는 R의웹페이지 ( 에접속하여다음과같은순서로진행한다. 첫째, 웹페이지초기화면 (< 그림 1-1>) 의좌측상단에있는 CRAN을클릭한다. < 그림 1-1> R 웹페이지초기화면 둘째, CRAN 페이지의국가별목록에서대한민국 (< 그림 1-2>) 의웹페이지주소중하나를클릭한다. < 그림 1-2> CRAN 페이지목록 ( 대한민국 ) 셋째, 운영체제선택메뉴 (< 그림 1-3>) 에서본인의운영체제에해당되는다운로드를클릭한다.

11 제 1 장 R 기본사용 _ 7 < 그림 1-3> 운영체제선택메뉴 넷째, Download R for Windows를선택하면세가지메뉴 (< 그림 1-4>) 가나타나는데 base 메뉴를선택한다, < 그림 1-4> 운영체제별메뉴 다섯째, Download R for Windows(< 그림 1-5>) 를클릭하여설치파일을다운로드하고설치한다. 단, 설치시설치언어선택은영문을권장한다. < 그림 1-5> R 설치프로그램다운로드 RStudio 설치파일을다운로드하기위해서는 RStudio의웹페이지 ( 에접속하여다음과같은순서로진행한다. 첫째, 웹페이지초기화면 (< 그림 1-6>) 의우측상단에있는 Download RStudio를클릭한다.

12 8 _ R 기초및통계분석 < 그림 1-6> RStudio 웹페이지초기화면 둘째, RStudio의다양한버전 (< 그림 1-7>) 중무료인 RStudio Desktop Open Source License의 Download를클릭한다. < 그림 1-7> RStudio 의다양한버전 셋째, 운영체제별로분류된 RStudio의설치파일목록에서 RStudio Windows Vista/7/8/10 버전 (< 그림 1-8>) 을클릭하여설치파일을다운로드하고설치한다. < 그림 1-8> RStudio Desktop 버전의 OS 용설치파일

13 제 1 장 R 기본사용 _ 9 2. RStudio 시작하기 RStudio아이콘을클릭하면 < 그림 1-9> 와같이 Sources 창, Console 창, Environment/History 창, Files, Packages/Plots, Help, Viewer 창등 4개의창이나타난다. Source 창 : 프로그램 Source를편집프로그램내의 R 명령어에커서를두고 Ctrl-R로실행 Console 창 : 명령어를입력하고결과를확인상하화살표를이용하여이전명령어를편집및실행 Environment/History 창 - Environment 창 : 변수또는객체의목록과값확인 - History 창 : 명령어 History를확인및검색하고더블클릭하여 Console 창으로보냄 Files, Packages/Plots, Help, Viewer 창 - Files, Packages 창 : 파일과폴더및패키지목록 - Plots, Help, Viewer 창 : 그래프, 도움말, HTML 등명령어실행결과 < 그림 1-9> RStudio 4 개의창

14 10 _ R 기초및통계분석 3. 명령어실행방법 R 에서명령어를실행시키는방법에는직접명령문과할당명령문이있다. (1) 직접명령문 Console 창에서명령어를직접입력하여엔터를쳐서실행하거나 print() 함수를사용하여실행할수도있는데 R을마치계산기처럼사용할수있다. 콘솔의환영메시지는 Edit>Clear Console( 또는 Ctrl+L) 을선택하여지운후 ( 예제 1-1) 과같이명령어를입력하여엔터를치면 ( 예제 1-1) 의실행결과를보여준다. ( 예제 1-1) 직접명령문 1 > 2^3 > 2*3 > 3/3 > 3+3 > 3-3 > q() ( 예제 1-1) 의실행결과 > 2^3 [1] 8 > 2*3 [1] 6 > 3/3 [1] 1 > 3+3 [1] 6 > 3-3 [1] 0 > q()

15 제 1 장 R 기본사용 _ 11 또는 Ctrl+L을실행하여 console 창의내용을지운후 ( 예제 1-2) 와같이명령어를입력하여엔터를치면 ( 예제 1-2) 의실행결과를보여준다. ( 예제 1-2) 직접명령문 2 > print(2^.5, digits=5) > print(2*3, digits=5) > print(2/3, digits=5) > print(3+3, digits=5) > print(3-3, digits=5) > q() ( 예제 1-2) 의실행결과 > print(2^.5, digits=5) [1] > print(2*3, digits=5) [1] 6 > print(2/3, digits=5) [1] > print(3+3, digits=5) [1] 6 > print(3-3, digits=5) [1] 0 (2) 할당명령문 특정한데이터또는연산결과를새로운문자열에할당하여하나의객체를정의하는명령문으로작업결과의반환을요구하지않는다. 할당명령문의형태는할당연산자인 <-( 또는 ->) 를사용하는형태와할당함수인 assign() 을사용하는형태가있는데모두동일한기능을수행한다. 할당명령문에의해생성된객체를제거하려면 rm() 함수를이용하면된다. ( 예제 1-3) 과같이명령어를입력하여엔터를치면 ( 예제 1-3) 의실행결과를보여준다.

16 12 _ R 기초및통계분석 여기서 x<-c(1,2,3,4,5) 는 1부터 5까지 5개의수치형 (numeric) 원소를결합함수인 c() 로묶어길이 5인벡터를생성한후식별문자 x 에할당하는명령문이다. ( 예제 1-3) 할당명령문 1 > x<-c(1,2,3,4,5) > y<-c(1:10) > z<-x+y > x > y > z >rm(z) >z ( 예제 1-3) 의실행결과 > x<-c(1,2,3,4,5) > y<-c(1:10) > z<-x+y > x [1] > y [1] > z [1] > rm(z) > z Error: object 'z' not found 한편, ( 예제 1-4) 와같이명령어를입력하여엔터를치면실행결과를보여준다. ( 예제 1-4) 할당명령문 2 > assign( x, c(1,2,3,4,5)) > assign( y, c(1:10)) > assign( z, x+y)

17 제 1 장 R 기본사용 _ 13 > x > y > z > rm(z) > z ( 예제 1-4) 의실행결과 > assign("x", c(1,2,3,4,5)) > assign("y", c(1:10)) > assign("z",x+y) > x [1] > y [1] > z [1] > rm(z) > z Error: object 'z' not found (3) 코드입력및실행 Source 창에서프로그램 Source를작성, 편집, 저장, 실행, 불러오기등을할수있다. 작성된프로그램을한줄씩실행하는방법은 Run을클릭 ( 또는 Ctrl+Enter) 하고, 여러줄또는모든줄을동시에실행하는방법은여러줄또는모든줄을선택하고 Run을클릭하면된다. b1-ch1-5.r과같이명령어를입력하여모두선택하고 Run을클릭하면다음과같은실행결과를보여준다.

18 14 _ R 기초및통계분석 b1-ch1-5.r 의실행결과 > x<-c(1:10) > x [1] > sort(x) [1] > sort(x, decreasing=t) [1] > mean(x) [1] 5.5 > median(x) [1] 5.5 > quantile(x) 0% 25% 50% 75% 100% > diff(range(x)) [1] 9 > var(x) [1] > sd(x) [1] 작성된프로그램 Source를저장하기위해서는 File/Save As를선택한후 < 그림 1-10> 과같이본인이원하는디렉토리에파일이름 ( 예, b1-ch1-1) 을입력하면되는데프로그램의확장자는 R로지정이된다.

19 제 1 장 R 기본사용 _ 15 < 그림 1-10> 프로그램의저장 저장된파일을불러오기위해서는 File/Open File을선택한후불러올파일이위치한디렉토리에서해당파일을불러오면된다. 4. 수학및통계함수 (1) 수학함수 R에서는다양하고광범위한내장함수를제공하고있어사용자는분석과정에서빈번하게사용되는수식을단순화한함수를사용함으로써작업의효율성을높일수있다. R 에서주로사용되는수학함수와그기능은 < 표 1-1> 과같다. < 표 1-1> 주요수학함수 함수 기능 함수 기능 sum() 모든원소의합 range() 범위함수 abs() 절댓값함수 exp() 지수함수 sqrt() 제곱근함수 log() 자연로그함수 max() 최댓값함수 log10() 상용로그함수 min() 최솟값함수 round() 소수점이하반올림

20 16 _ R 기초및통계분석 b1-ch1-2.r과같이수학함수와관련된명령어를입력하여모두선택하고 Run을클릭하면다음의실행결과를보여준다. b1-ch1-2.r 의실행결과 > a<-c(-3,-2,-1,1,2,3) > sum(a) [1] 0 > abs(a) [1] > as<-a[4:6] > sqrt(as) [1] > max(a) [1] 3 > min(a) [1] -3 > range(a) [1] -3 3 > exp(a) [1] > log(as) [1] > log10(as) [1]

21 제 1 장 R 기본사용 _ 17 (2) 기본통계함수 기초적인통계분석과관련하여 R에서주로사용되는통계함수와그기능은 < 표 1-2> 와같다. 기본통계함수의사용은 b1-ch1-1.r을참고하면된다. < 표 1-2> 기본통계함수 함수 기능 함수 기능 mean() 산술평균 cor() 상관계수 sort() 오름 ( 내림 ) 차순정리 cov() 공분산 median() 중앙값 summary() 요약통계량 quantile() 분위수 cumsum() 누적합 diff() 원소사이의차이 lag() 시차변수만들기 var() 분산 sd() 표준편차 b1-ch1-3.r과같이기본통계함수와관련된명령어를입력하여모두선택하고 Run을클릭하면다음과같은실행결과를보여준다. > x<-c(21,4,13,6,12,7,4,25,22) b1-ch1-3.r 의실행결과 > y<-c(-2,4,-3,8,-7,8,-2,-6,5) > x;y [1] [1] > cov(x,y) [1] > cor(x,y) [1] > summary(x);summary(y) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max

22 18 _ R 기초및통계분석 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max > cumsum(1:10);cumprod(1:10) [1] [1] (3) 확률분포관련통계함수 확률분포와관련된통계함수와그기능은 < 표 1-3> 과같다. < 표 1-3> 확률분포통계함수 분포 R 함수 인수 (arguments) binomial binom() size, prob chi-squared chisq() df, ncp F f() df1, df2, ncp normal norm() mean, sd poison pois() lambda Student s t t() df, ncp uniform unif() min, max 우리가원하는통계량을얻기위해서는함수의이름앞에 < 표 1-4> 와같은접두사를붙여야한다. < 표 1-4> 확률분포접두사 접두사 d p q r 기능확률밀도함수 (PDF) 의확률값, f(x) 누적분포함수 (CDF) 의확률값, F(x) 분위수 (quantile) 값, F -1 (x) 무작위난수생성

23 제 1 장 R 기본사용 _ 19 b1-ch1-4.r과같이확률분포와관련된명령어를입력하여모두선택하고 Run을클릭하면다음과같은실행결과를보여준다. b1-ch1-4.r 의실행결과 > # 수익률평균 =40%, 표준편차 =10% 인정규분포에서수익률이 60% 보다낮을확률 > pnorm(60,mean=40,sd=10) [1] > # 수익률평균 =40%, 표준편차 =10% 인정규분포에서수익률이 60% 보다높은확률 ( 표준화 ) > 1-pnorm(2,0,1) [1] > #P(Z<1.645) > pnorm(1.645, 0,1) [1] > #P(Z<K)=0.95일때, K의값은? > qnorm(0.95, 0,1) [1] > #t-통계량이 , n=16일때 p의값은? > pt(-3.271, 15) [1] > #n=16일때, 5% 유의수준에서기각역 ( 단측 ) > qt(p=0.05, df=15) [1] > round(rnorm(n=20, mean=40, sd=10), digits=2) [1] [15]

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25 제 2 장 Data set 1. Data set 만들기 2. 데이터관리기본명령어

26 22 _ R 기초및통계분석 제 2 장 Data set 1. Data set 만들기 (1) R 에서직접자료를입력하기 R에서숫자나문자를직접입력하여데이터파일을만드는방법에는 Data Editor 창을이용하는방법과명령어를이용하는방법이있다. R Source 창에서다음과같이입력하면 Data Editor 창이뜨는데 < 그림 2-1> 과같이엑셀에서데이터를입력하는방법과유사하게데이터를입력하면된다. > mydata<-data.frame(age=numeric(), gender=character(), weight=numeric()) > mydata<-edit(mydata) < 그림 2-1> Data Editor 창및데이터입력

27 제 2 장 Data set _ 23 한편, 프로그래밍을할경우에는 Data Editor 창을이용한데이터입력방식을사용할수없으므로이경우명령어를활용할수있다. 예를들어나이 (age), 성별 (gender), 몸무게 (weight) 를보여주는데이터는프로그램작성시다음과같이명령어를입력하면된다. age<-c(25,30,56,61,33,30,85,47,27,70) gender<-c("female","male","male","male","female","male","female","female","male","female") weight<-c(52,65,89,68,55,73,60,49,105,58) (2) 외부에서작성된자료를불러들여오기 1 ASCII-TEXT 파일외부에서작성된 ASCII-TEXT 파일을 R로불러들여오기위해서는 b1-ch2-1.r 또는 b1-ch2-2.r을실행하면 ASCII-TEXT 파일을불러오고, 이를행렬로변경하면요약통계량을포함한다양한통계분석이가능하다. b1-ch2-1.r 의실행결과 > sample1<-" > sample_dat<-read.delim(sample1,header=t) > sample_dat year GDP consumption

28 24 _ R 기초및통계분석 > year<-sample_dat$year > gdp<-sample_dat$gdp > consumption<-sample_dat$consumption > min(gdp) [1] > max(consumption) [1] > mean(gdp) [1] > mean(consumption) [1] > median(gdp) [1] > median(consumption) [1] > quantile(gdp) 0% 25% 50% 75% 100%

29 제 2 장 Data set _ 25 > quantile(consumption) 0% 25% 50% 75% 100% > var(gdp) [1] > var(consumption) [1] > sd(gdp) [1] > sd(consumption) [1] > summary(sample_dat) year GDP consumption Min. :2000 Min. : Min. : st Qu.:2004 1st Qu.: st Qu.: Median :2008 Median : Median : Mean :2008 Mean : Mean : rd Qu.:2012 3rd Qu.: rd Qu.: Max. :2016 Max. : Max. : b1-ch2-2.r 의실행결과 > sample1<-" > sample_dat<- as.matrix(read.delim(sample1,header=t),ncol=3) > sample_dat year GDP consumption [1,] [2,] [3,] [4,]

30 26 _ R 기초및통계분석 [5,] [6,] [7,] [8,] [9,] [10,] [11,] [12,] [13,] [14,] [15,] [16,] [17,] > year<-sample_dat[,1] > year [1] [17] 2016 > gdp<-sample_dat[,2] > gdp [1] [9] [17] > consumption<-sample_dat[,3] > consumption [1] [9]

31 제 2 장 Data set _ 27 [17] > colmeans(sample_dat) year GDP consumption > summary(sample_dat) year GDP consumption Min. :2000 Min. : Min. : st Qu.:2004 1st Qu.: st Qu.: Median :2008 Median : Median : Mean :2008 Mean : Mean : rd Qu.:2012 3rd Qu.: rd Qu.: Max. :2016 Max. : Max. : CSV 파일 CSV(Comma Separated Value) 파일은모든항목을콤마 (,) 단위로구분하여저장한데이터파일로엑셀, 워드, 메모장등다양한응용프로그램에서보기및편집이가능하다는장점이있다. b1-ch2-3.r을실행하면 CSV 파일을불러오고, 요약통계량을포함한다양한통계분석이가능하다. b1-ch2-3.r 의실행결과 > sample1<-(" > sample_dat<-read.csv(sample1,header=t,sep=",") > sample_dat year gdp consumption

32 28 _ R 기초및통계분석 > year<-sample_dat$year > gdp<-sample_dat$gdp > consumption<-sample_dat$consumption > summary(sample_dat) year gdp consumption Min. :2000 Min. : Min. : st Qu.:2004 1st Qu.: st Qu.: Median :2008 Median : Median : Mean :2008 Mean : Mean : rd Qu.:2012 3rd Qu.: rd Qu.: Max. :2016 Max. : Max. : Excel 파일 Excel을불러오는방법은다양한방법이있는데웹상에있는 xlsx 파일을불러올수있는방법을설명하고자한다. 이를위해서는먼저 openxlxs 패키지를 install한후 library로불러와야하는데 b1-ch2-4.r을실행하면 Excel 파일을불러오고, 이를행렬로변경하면요약통계량을포함한다양한통계분석이가능하다. 만약에 xls 파일을위와같은방법으로불러오기위해서는 xls 파일을 xlsx 파일로변환시켜주면된다.

33 제 2 장 Data set _ 29 b1-ch2-4.r 의실행결과 > library(openxlsx) > excel_sample1<-read.xlsx(" > excel_sample1 year gdp consumption > excel_sample1_dat<- data.matrix(excel_sample1) > excel_sample1_dat year gdp consumption

34 30 _ R 기초및통계분석 > year<-excel_sample1_dat[,1] > gdp<-excel_sample1_dat[,2] > consumption<-excel_sample1_dat[,3] > summary(excel_sample1_dat) year gdp consumption Min. :2000 Min. : Min. : st Qu.:2004 1st Qu.: st Qu.: Median :2008 Median : Median : Mean :2008 Mean : Mean : rd Qu.:2012 3rd Qu.: rd Qu.: Max. :2016 Max. : Max. : 데이터관리기본명령어 (1) 변수의변환및변수명의변경 기존의변수를이용하여새로운변수를만들어사용할수있는데예를들어 gdp 및 consumption에자연로그를취하여 lgdp 및 lconsumption 변수를만들수있다. 변수명을변경할수있는데하나의변수명을변경하거나 ( 예를들어, consumption 을 cons로 ) 전체변수명을변경할수있다. b1-ch2-5.r을실행하면변수명이바뀐것을확인할수있다.

35 제 2 장 Data set _ 31 b1-ch2-5.r 의실행결과 > library(openxlsx) > excel_sample1<-read.xlsx(" > excel_sample1_dat<- data.matrix(excel_sample1) > year<-excel_sample1_dat[,1] > gdp<-excel_sample1_dat[,2] > consumption<-excel_sample1_dat[,3] > lgdp<-log(gdp) > lconsumption<-log(consumption) > lgdp; lconsumption > names(excel_sample1) [1] "year" "gdp" "consumption" > excel_sample1 year gdp consumption

36 32 _ R 기초및통계분석 > names(excel_sample1)[3]<-"cons" > excel_sample1 year gdp cons

37 제 2 장 Data set _ 33 > names(excel_sample1)<-c("t","y","c") > excel_sample1 T Y C b1-ch2-6.r은엑셀데이터를불러와서시계열로변경하고, 시계열의시차변수를만들고, 전년대비증가율을구한후그림을그린다. 또한시계열의로그를취한후차분값을구하면전년대비증가율의근사치를구할수있음을보여주고있다. > library(openxlsx) b1-ch2-6.r 의실행결과 > excel_sample1<-read.xlsx(" > excel_sample1_dat<- data.matrix(excel_sample1) > year<-excel_sample1_dat[,1]

38 34 _ R 기초및통계분석 > gdp<-excel_sample1_dat[,2] > consumption<-excel_sample1_dat[,3] > graphics.off() > par("mar") [1] > par(mar=c(1,1,1,1)) > y.ts<-ts(gdp, start=2000, end=2016, frequency=1) > c.ts<-ts(consumption, start=2000, end=2016, frequency=1) > lagy<-lag(y.ts, k=-1) > lagc<-lag(c.ts, k=-1) > gy<-(y.ts-lagy)/lagy > gc<-(c.ts-lagc)/lagc > ly.ts<-log(y.ts) > lc.ts<-log(c.ts) > gly<-ly.ts-lag(ly.ts, k=-1) > glc<-lc.ts-lag(lc.ts, k=-1) > (y<-cbind(gy, gly)) Time Series: Start = 2001 End = 2016 Frequency = 1 gy gly

39 제 2 장 Data set _ > (c<-cbind(gc, glc)) Time Series: Start = 2001 End = 2016 Frequency = 1 gc glc

40 36 _ R 기초및통계분석 > par(mfrow=c(2,1)) > plot(gy, type="l", col="red", main="exact Growth Rate vs. Approx. Growth Rate of GDP") > lines(gly, lwd=3, lty=6, col="green") > plot(gc, type="l", col="red", main="exact Growth Rate vs. Approx. Growth Rate of Consumption") > lines(glc, lwd=3, lty=6, col="green")

41 제 2 장 Data set _ 37 (2) 부분자료추출 데이터의일부분을추출할수도있는데예를들어, b1-ch2-7.r을실행하면 2000 년대와 2010년대의자료를각각추출할수있다. > library(openxlsx) b1-ch2-7.r 의실행결과 > excel_sample1<-read.xlsx(" > excel_sample1_dat<- data.matrix(excel_sample1) > year<-excel_sample1_dat[,1] > gdp<-excel_sample1_dat[,2] > consumption<-excel_sample1_dat[,3] > data1<-excel_sample1_dat[1:10,] > data1 year gdp consumption > data2<-excel_sample1_dat[11:17,] > data2

42 38 _ R 기초및통계분석 year gdp consumption

43 제 3 장 기본분석 1. 그림그리기 2. ggplot2를이용한그림그리기 3. 기술통계량계산 4. 평균의계산 5. 두확률변수의공분산

44 40 _ R 기초및통계분석 제 3 장기본분석 1. 그림그리기 (1) 선그래프 데이터를이용하여다양한그림을그릴수있는데예를들어, b1-ch3-1.r을실행하면 2000년부터 2016년까지우리나라의 GDP와 Consumption( 소비 ) 에대한선그래프를그릴수있다. b1-ch3-1.r 의실행결과 > csv_sample1<-" > csv_sample_dat<- as.matrix(read.csv(csv_sample1,header=t),ncol=3) > year<-csv_sample_dat[,1] > gdp<-csv_sample_dat[,2] > consumption<-csv_sample_dat[,3] > gdp [1] [7] [13] > consumption [1]

45 제 3 장기본분석 _ 41 [7] [13] > par(mfrow=c(2,1)) # 한페이지에그림을위아래로나누어그림 > plot(year, gdp, type="l", main="gdp of Korea( )") > plot(year, consumption, type="l", lty=2,main="consumption of Korea( )") GDP of Korea( ) gdp year Consumption of Korea( ) consumption 4e+05 9e year (2) 히스토그램 b1-ch3-2.r을실행하면 2000년부터 2016년까지우리나라의 GDP와 Consumption( 소비 ) 에대한히스토그램을그릴수있다.

46 42 _ R 기초및통계분석 b1-ch3-2.r 의실행결과 > csv_sample1<-" > csv_sample_dat<- as.matrix(read.csv(csv_sample1,header=t),ncol=3) > year<-csv_sample_dat[,1] > gdp<-csv_sample_dat[,2] > consumption<-csv_sample_dat[,3] > gdp [1] [7] [13] > consumption [1] [7] [13] > par(mfrow=c(1,2)) # 한페이지에그림을좌우로나누어그림 > hist(gdp) > hist(consumption, breaks=8, col="red") # 구간의수를 8 개로함 Histogram of gdp Histogram of consumption Frequency Frequency gdp consumption

47 제 3 장기본분석 _ 43 표준정규분포로부터 10,000개의자료를만든후히스토그램을그리기위해서다음의명령을입력하면된다. >set.seed(1234) # 임의의정수 ( 예를들어 1이나 123이나 300이나 12345) 를부여하여재현가능한무작위번호를얻을수있는함수 >x<-rnorm(10000) # 표준정규분포로부터 10,000개의자료를생성 >hist(x, breaks=100) # 구간의수를 100으로하는히스토그램을그림 (3) 산포도 b1-ch3-3.r을실행하면 2000년부터 2016년까지우리나라의 GDP와 Consumption( 소비 ) 에대한산포도 (scatter plot) 를그릴수있다. b1-ch3-3.r 의실행결과 > csv_sample1<-" > csv_sample_dat<- as.matrix(read.csv(csv_sample1,header=t),ncol=3) > year<-csv_sample_dat[,1] > gdp<-csv_sample_dat[,2]

48 44 _ R 기초및통계분석 > consumption<-csv_sample_dat[,3] > gdp [1] [7] [13] > consumption [1] [7] [13] > plot(gdp, consumption, main="scatter plot of GDp and Consunption") Scatter plot of GDp and Consunption consumption 4e+05 6e+05 8e+05 1e gdp

49 제 3 장기본분석 _ 45 (4) 상자그래프 상자그래프 (box plot) 는최솟값, 아래사분위수 ( ), 중위수, 위사분위수 ( ), 최댓값등 5개순서통계량을이용하여자료를요약 정리하는그래프표현방법으로두개이상의집단을상대적으로비교하기쉬운장점이있다. 상자그래프는 과 를연결하는상자를그리고, 그상자안에중위수를나타내는선을그리며, 최솟값과, 그리고 와최댓값을선으로연결하는표현방법으로 5개의순서통계량의위치를관찰하여자료분포의특징을알수있다. b1-ch3-4.r을실행하면중간고사 (mid), 기말고사 (final), 총점 (total) 에대한상자그래프를그릴수있다. > library(openxlsx) b1-ch3-4.r 의실행결과 > sample1<-read.xlsx(" sheet=1, startrow=1, colnames = T) > mid<-sample1$mid > final<-sample1$final > total<-sample1$total > grade<-sample1$grade > summary(sample1) mid final total grade Min. :12.00 Min. :10.00 Min. :27.70 Min. : st Qu.: st Qu.: st Qu.: st Qu.:2.750 Median :60.00 Median :55.00 Median :67.75 Median :4.000 Mean :59.58 Mean :52.08 Mean :67.04 Mean : rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.:5.000 Max. :98.00 Max. :93.00 Max. :95.45 Max. :8.000

50 46 _ R 기초및통계분석 > par(mfrow=c(1,3)) # 한페이지에그림을좌우로 3 개나누어그림 > boxplot(mid, main="box plot of mid") > boxplot(final, main="box plot of final") > boxplot(total, main="box plot of total") Box plot of Test Score mid final total (5) 원그래프 (Pie Chart) 원그래프 (pie chart) 는전체자료가여러개의카테고리로분류되어지는경우개개의카테고리를전체에대한비율에따라원내부의면적을분할한파이 (pie) 모양의도표이다. 즉, 각범주의관측도수의상대적인크기를원을분할한형태로표현하는방법이다. b1-ch3-5.r을실행하면총점 (total) 을 8개의등급으로나누어원그래프를그릴수있다.

51 제 3 장기본분석 _ 47 b1-ch3-5.r 의실행결과 > library(openxlsx) > sample1<-read.xlsx(" sheet=1, startrow=1, colnames = T) > slices<-c(1,2,3,4,5,6,7,8) > lbls<-c("1 등급 ","2 등급 ","3 등급 ","4 등급 ","5 등급 ","6 등급 ","7 등급 ","8 등급 ") > pie(slices, labels=lbls, main="pie Chart of Total Score")> (6) 막대그래프 (Bar Chart) 도수분포표는숫자로관측된양적자료 ( 연속형자료 ) 를일정한구간으로나눈후에각구간에속한개수들의수를도수로나타낸표이다. 도수분포표에서각구간의관측도수를막대형태로표현하여그크기를비교할수있도록하는자료의요약방법이막대그래프이다.

52 48 _ R 기초및통계분석 b1-ch3-6.r을실행하면총점 (total) 을 8개의구간으로나누어막대그래프를그릴수있다. > library(openxlsx) b1-ch3-6.r 의실행결과 > sample1<-read.xlsx(" sheet=1, startrow=1, colnames = T) > mid<-sample1$mid > final<-sample1$final > total<-sample1$total > grade<-sample1$grade > total [1] [12] [23] [34] [45] [56] > grade [1] [35] > counts<-table(total, grade) > barplot(counts, main="bar Chart of Total Score", xlab="grade")

53 제 3 장기본분석 _ 49 Bar Chart of Total Score Grade (7) 잎 - 줄기그래프 (Stem and Leaf Plot) 숫자단위 (1단위, 10단위, 100단위, ) 를이용하여숫자를두부분으로나누어앞부분은줄기로, 그리고뒷부분은잎으로하여자료를요약 표현하는방법이잎-줄기그래프이다. 잎-줄기그래프를그리는방법은먼저숫자를작은것부터크기순서에따라열 (columnize) 로나열하고, 관측값을그숫자가속한위치의줄기에맞추어잎부분을기록하는데줄기내의잎의값들은작은것부터크기순서로정리한다. 이때각줄기에너무많은관측값이주어지면각줄기에두줄을할당하여첫줄에는잎의 0, 1, 2, 3, 4를기록하고, 둘째줄에는잎의 5, 6, 7, 8, 9를기록할수있다. b1-ch3-7.r을실행하면총점 (total) 으로잎-줄기그래프를그릴수있다. > library(openxlsx) b1-ch3-7.r 의실행결과 > sample1<-read.xlsx(" sheet=1,

54 50 _ R 기초및통계분석 startrow=1, colnames = T) > mid<-sample1$mid > final<-sample1$final > total<-sample1$total > grade<-sample1$grade > total [1] [12] [23] [34] [45] [56] > stem(total) The decimal point is 1 digit(s) to the right of the > > stem(total, scale=0.5) # scale=0.5을통해줄기의수를조정할수있음 The decimal point is 1 digit(s) to the right of the

55 제 3 장기본분석 _ > > stem(total, scale=2) # scale=0.5을통해줄기의수를조정할수있음 The decimal point is 1 digit(s) to the right of the ggplot2 를이용한그림그리기 R에서제공하는다양한시각화관련패키지중하나인 ggplot2 패키지는히스토그램, 상자그래프등다양한종류의그래프를그릴수있고글자크기, 폰트, 색상등도원하는형태로설정할수있어 ggplot2만으로도충분히원하는시각화가가능하다. b1-ch3-8.r을실행하면우리나라의 wifi가설치된위치를그림으로그리거나제주지역의행정구역을그릴수있다.

56 52 _ R 기초및통계분석 b1-ch3-8.r의실행결과 install.packages("ggplot2") library(ggplot2) con1<-url(" con2<-url(" load(con1) load(con2) ggplot()+geom_path(data=map, aes(x=long, y=lat, group=group)) ggplot()+geom_path(data=map.jeju, aes(x=long, y=lat, group=group)) lat long

57 제 3 장기본분석 _ lat long 3. 기술통계량계산 데이터의중심을측정하는통계량으로평균, 중위수, 최빈값등이있는데평균과중위수는각각 mean 함수및 median 함수를이용하여구할수있으나최빈값을구하는 Mode는기본기능에없으므로 prettyr이라는패키지를통해구할수있다. 한편, 데이터의흩어짐의정도를측정하는통계량으로범위, 분산, 표준편차등이있다 b1-ch3-9.r을실행하면데이터의중심및흩어짐의정도를측정하는통계량을구할수있다.

58 54 _ R 기초및통계분석 b1-ch3-9.r 의실행결과 > library(prettyr) > ch2_1<-scan(" Read 50 items > ch2_1 [1] [24] [47] > max(ch2_1) [1] 97 > min(ch2_1) [1] 12 > mean(ch2_1) [1] > diff(range(ch2_1)) [1] 85 > var(ch2_1) [1] > sd(ch2_1) [1] > table(ch2_1)[table(ch2_1)[1:length(unique(ch2_1))]==max(table(ch2_1))] 85 3 > median(ch2_1) [1] 65

59 제 3 장기본분석 _ 55 > Mode(ch2_1) [1] "85" > bins<-c(0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 97) > class<-cut(ch2_1, breaks=bins) > table(class) class (0,12] (12,24] (24,36] (36,48] (48,60] (60,72] (72,84] (84,97] > table(class)/length(ch2_1) class (0,12] (12,24] (24,36] (36,48] (48,60] (60,72] (72,84] (84,97] > transform(table(class), Rel_Freq=prop.table(Freq)) class Freq Rel_Freq 1 (0,12] (12,24] (24,36] (36,48] (48,60] (60,72] (72,84] (84,97] > hist(ch2_1) > hist(ch2_1, breaks=bins, main="test Scores", xlab="score") > summary(ch2_1) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max

60 56 _ R 기초및통계분석 > 수치 <-c(70, 17, 8, 3, 2) > 경제책임 <-c(" 정부 ", " 대기업 ", " 금융기관 ", " 근로자 ", " 모두 ") > 경제책임 <-paste( 경제책임, 수치 ) > 경제책임 <-paste( 경제책임, "%", sep=" ") > pie( 수치, labels= 경제책임, col=rainbow(length( 경제책임 )), main=" 경제위기의책임 ")

61 제 3 장기본분석 _ 평균의계산 평균을구하는방법은산술평균 (arithmetic mean), 조화평균 (harmonic mean), 기하평균 (geometric mean) 등이있다. n개의변수의산술평균은변수들의총합을변수의개수 n으로나눈값이다. 조화평균은 n개의양수에대하여그역수들을산술평균한것의역수를말한다. 예를들어, 두지점 A, B를갈때는 'a' km/h의속도로, 올때는 'b' km/h의속도로왕복했다면이사람의평균속력은 a와 b의조화평균에해당된다. n개의양수인변수의조화평균은그변수의역수를산술평균한것의역수이다. 예를들어, 자동차가처음 10km를시속 30km로달리고, 다음 10km를시속 60km로달렸을경우평균시속은산술평균인 45km/h가아니고조화평균인 40km/h 이다. 기하평균은여러개의수를연속으로곱해그개수의거듭제곱근으로구한수로흔히연평균인구증가율이나연평균경제성장률을구할때적용된다. 예를들어, 2014년부터 2017년까지의인구변화가다음의표와같을때전년도대비비율을구하면각각 120%, 130%, 118% 가되는데이경우 2014년부터 2017년까지의연평균인구증가율은산술평균인 이아니고기하평균인 이다. 그이유는 2014년부터산술평균으로구한연평균증가율을매년곱하여 2017년인구를

62 58 _ R 기초및통계분석 구해보면 9228명이되어실제인구 9204명과차이가발생하지만기하평균으로구한연평균증가율을매년곱하여 2017년인구를구해보면 9204명이되어실제인구와동일하게된다. 기하평균의장점중의하나는최초년도부터최종년도까지데이터가모두없어도최초년도와최종년도의데이터만있으면다음의식에의해연평균증가율계산이가능하다는점이다. 최종년도의값, n은경과년도를나타냄최초년도의값 연도 인구 전년대비비율 (%) 전년도인구 전년도인구 b1-ch3-10.r 을실행하면산술평균, 조화평균, 기하평균을각각구할수있다. b1-ch3-10.r 의실행결과 > a<-c(10, 2, 19, 24, 6, 23, 47, 24, 54, 77) > n<-length(a) # now n is equal to the number of elements in a > mean(a) [1] 28.6 > 1/mean(1/a) # compute the harmonic mean [1] > prod(a)^(1/n) # compute the geometric mean [1]

63 제 3 장기본분석 _ 59 > b<-c(30,60) > mean(b) [1] 45 > 1/mean(1/b) [1] 40 > c<-c(120,130,118) > m<-length(c) > round(mean(c),digits=2) [1] > round(prod(c)^(1/m),digits=2) [1] > g<-((9204/5000)^(1/3)-1)*100 > round(g, digits=2) [1] # 연평균증가율이 임을나타냄 5. 두확률변수의공분산 두이산형확률변수의확률분포표가다음과같이주어져있을경우이를이용하여두확률변수의각각의분산과두확률변수의공분산을구할수있다. X Y 합 1 1/6 1/12 1/12 1/3 3 1/12 1/2 1/12 2/3 합 1/4 7/12 1/6 1

64 60 _ R 기초및통계분석 b1-ch3-11.r을실행하면두확률변수의각각의분산을구할수있다. 또한두확률변수의공분산및상관계수를각각구할수있다. b1-ch3-11.r 의실행결과 > data<-c(0.167, 0.083, 0.083, 0.333, 0.083, 0.5, 0.083, 0.667, 0.25, 0.583, 0.167, 1) > mat<-matrix(data, nrow=3, byrow=t) > rownames(mat)<-c("1", "3", " 합계 ") > colnames(mat)<-c("0", "1", "2", " 합계 ") > mat 합계 합계 > mu_x<-1*mat[1,4]+3*mat[2,4] > mu_y<-0*mat[3,1]+1*mat[3,2]+2*mat[3,3] > mu_x [1] > mu_y [1] > var_x<-1^2*mat[1,4]+3^2*mat[2,4]- mu_x^2 > var_y<-0^2*mat[3,1]+1^2*mat[3,2]+2^2*mat[3,3]-mu_y^2 > var_x [1]

65 제 3 장기본분석 _ 61 > var_y [1] > p_xy<-c(0.167, 0.083, 0.083, 0.083, 0.5, 0.083) > xy<-c(0,1,2,0,3,6) > cov_xy<-sum(p_xy*xy)-(mu_x*mu_y) > cov_xy [1] > corr_xy<-cov_xy/sqrt(var_x*var_y) > corr_xy [1]

66

67 제 4 장 이론적확률분포 1. 이론적확률분포의관계 2. 베르누이분포 3. 이항분포 4. 포아송분포 5. 균등분포 6. 표준정규분포 7. -분포 8. t-분포 9. F-분포

68 64 _ R 기초및통계분석 제 4 장 이론적확률분포 1. 이론적확률분포의관계 이론적확률분포는 < 그림 4-1> 에나타나있는바와같이크게이산형확률분포와연속형확률분포로나누어진다. 이산형확률분포에는포아송분포와이항분포가있는데이항분포에서 n이크고, p 가작으면포아송분포와유사하게된다. 이산형확률분포인이항분포에서 n이크고, p가 0.5이면연속형확률분포중정규분포와유사하게된다. 정규분포를평균이 0, 표준편차가 1이되게표준화하면표준정규분포가되는데이분포가연속형확률분포의출발이된다. 서로독립적인표준정규분포의제곱의합은 ( 카이제곱 )-분포에따르게되며, -분포의모양은자유도에의해결정되는데이에대한자세한설명은 -분포에서한다. 표준정규분포에서 n이작고, 분산을모를경우 t-분포에따르게되며, t-분포의모양은자유도에의해결정되는데이에대한자세한설명은 t-분포에서한다. 서로독립적인두개의 -분포의비율은 F-분포에따르게되며, F-분포의모양은분자및분모의자유도에의해결정되는데이에대한자세한설명은 F-분포에서한다. 자유도가 n인 t-분포에따르는 t-통계량을제곱하면분모의자유도가 1이고분자의자유도가 n인 F-분포와동일하다. 이외에도이산형확률분포로서베르누이분포와연속형확률분포로서균등분포등이있다.

69 제 4 장이론적확률분포 _ 65 < 그림 4-1> 이론적확률분포의관계 2. 베르누이분포 실험에서결과가둘중의하나로나타나는실험을베르누이시행 (Bernoulli trial) 이라고하는데그중하나를성공 (success: s) 이라하고다른하나를실패 (failure: f) 라고정의한다. 따라서베르누이시행은실험의결과가 s 또는 f 인확률실험이라고할수있으며, 표본공간은 Ω= {s, f} 가된다. 이실험에서결과가 s일확률이 p라면확률의기본원리에의하여실험결과가 f일확률은 1-p이다. 베르누이시행에서결과가 s이면 1 이고, 결과가 f이면 0 이라고정의된확률변수를베르누이확률변수라고하고, 베르누이확률변수 X의확률분포는다음과같다. 베르누이분포의모양은확률 p의값에의하여결정되므로이분포의모수는 p이므로 X Bernoulli(p) 로정의한다. 베르누이분포의모양은확률 p의값에의하여결정되므로이분포의모수는 p이며, 베르누이분포의평균은 p, 분산은 p(1-p) 이다.

70 66 _ R 기초및통계분석 동일한실험을무한히반복할때한사건에대하여상대도수에의하여계산된확률은고전적의미의확률에접근한다고할수있다. 동전을던지는실험은그결과가앞면과뒷면밖에없는데동전을던지는실험을무한히반복하면동전의앞면이나오는확률은 0.5로점근적으로수렴한다. b1-ch4-1.r을실행하면동전을던지는실험을번복할수록동전의앞면이나오는확률이 0.5로수렴하는것을볼수있다. > set.seed(12345) b1-ch4-1.r 의실행결과 > x<-rbinom(1000, 1,.5) > (table(x)) x > (mean(x)) [1] > cx<-cumsum(x) > heads<-numeric(1000) > for (i in 1:1000) { + heads[i]<-cx[i]/i + } > plot(heads, type="l", xlab="number of Trials", ylab="proportion of Heads", ylim=c(0,1), main="proportion of Heads")

71 제 4 장이론적확률분포 _ 67 Proportion of Heads Proportion of Heads Number of Trials 3. 이항분포 (1) 이항분포의모양 이항분포 (binomial distribution) 는베르누이시행을독립적으로 n번반복했을때나타나는결과에있어서성공 (s) 의횟수에대한분포를구하는것이다. 성공의확률이 p이고실패의확률이 q(q = 1 p) 인베르누이시행을독립적으로 n번반복하였을때나타나는성공의횟수를확률변수 X 라고할때, X를이항확률변수 (binomial random variable) 라하고, X B(n,p) 로정의하며확률분포는다음과같다 이항분포에서모수는각시행에서성공이나타날확률 p와시행횟수 n이며, 이항분포의평균은 np, 분산은 npq이다. 이항분포는성공확률 p가 0.5이면평균 을중심으로좌우대칭인분포를가지며, n과 p의크기에따라모양이결정된다.

72 68 _ R 기초및통계분석 b1-ch4-2.r을실행하면 n과 p에따라이항분포의모양이변하는것을확인할수있으며, p=0.5이고 n이커질때좌우대칭의정규분포와유사함을확인할수있다. set.seed(12345) b1-ch4-2.r 의실행결과 r< binom1<-rbinom(r, 10, 0.1) binom2<-rbinom(r, 10, 0.5) binom3<-rbinom(r, 20, 0.5) par(mfrow=c(1,3)) hist(binom1, breaks=100, xlab="n=10 p=0.1") hist(binom2, breaks=100, xlab="n=10 p=0.5") hist(binom3, breaks=100, xlab="n=20 p=0.5") Histogram of binom1 Histogram of binom2 Histogram of binom3 Frequency Frequency Frequency n=10 p=0.1 n=10 p=0.5 n=20 p=0.5

73 제 4 장이론적확률분포 _ 69 b1-ch4-3.r을실행하면 n이주어진상태에서 p에따라이항분포의모양이변하는것을확인할수있으며, p=0.5에가까울수록좌우대칭의정규분포와유사함을확인할수있다. b1-ch4-3.r 의실행결과 par(mfrow=c(2,2)) # 한페이지에그림을좌우상하하나씩 4개를그림 > par(mfrow=c(2,2)) > n<-25 # 시행횟수 > p_list<-c(0.1, 0.2, 0.5, 0.7) # 발생확률 > for (i in 1:length(p_list)) { + p_x<-dbinom(x=1:n, n, p_list[i]) + plot(x=1:n, p_x, xlab="x", ylab="p(x=x)", + ylim=c(0, 0.3), xli... [TRUNCATED] p= 0.1 p= 0.2 P(X=x) P(X=x) x x p= 0.5 p= 0.7 P(X=x) P(X=x) x x

74 70 _ R 기초및통계분석 (2) 이항분포의확률분포표 n이 5이고성공확률 p가다음의표와같을때주어진성공확률에서다음과같이 5 번시행하여 a번성공하는누적확률을구할수있다. a b1-ch4-4.r을실행하면위와동일한누적이항확률분포표를만들수있음을확인할수있다. > binom11<-rep(na,5) b1-ch4-4.r 의실행결과 > binom12<-rep(na,5) > binom13<-rep(na,5) > binom11[1]<-pbinom(0, 5, 0.1) > binom12[1]<-pbinom(0, 5, 0.2) > binom13[1]<-pbinom(0, 5, 0.3) > for(i in 2:5) { + binom11[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.1) + }

75 제 4 장이론적확률분포 _ 71 > for(i in 2:5) { + binom12[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.2) + } > for(i in 2:5) { + binom13[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.3) + } > (binom<-cbind(binom11,binom12, binom13)) binom11 binom12 binom13 [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] > source('~/.active-rstudio-document', echo=true) > binom11<-rep(na,5) > binom12<-rep(na,5) > binom13<-rep(na,5) > binom14<-rep(na,5) > binom15<-rep(na,5) > binom16<-rep(na,5) > binom17<-rep(na,5) > binom18<-rep(na,5) > binom19<-rep(na,5) > binom11[1]<-pbinom(0, 5, 0.1)

76 72 _ R 기초및통계분석 > binom12[1]<-pbinom(0, 5, 0.2) > binom13[1]<-pbinom(0, 5, 0.3) > binom14[1]<-pbinom(0, 5, 0.4) > binom15[1]<-pbinom(0, 5, 0.5) > binom16[1]<-pbinom(0, 5, 0.6) > binom17[1]<-pbinom(0, 5, 0.7) > binom18[1]<-pbinom(0, 5, 0.8) > binom19[1]<-pbinom(0, 5, 0.9) > for(i in 2:5) { + binom11[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.1) + } > for(i in 2:5) { + binom12[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.2) + } > for(i in 2:5) { + binom13[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.3) + } > for(i in 2:5) { + binom14[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.4) + } > for(i in 2:5) { + binom15[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.5) + }

77 제 4 장이론적확률분포 _ 73 > for(i in 2:5) { + binom16[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.6) + } > for(i in 2:5) { + binom17[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.7) + } > for(i in 2:5) { + binom18[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.8) + } > for(i in 2:5) { + binom19[i]<-pbinom(i-1, 5, 0.9) + } > round((binom<-cbind(binom11,binom12, binom13,binom14,binom15, binom16,binom17,binom18, binom19)),digits=3) binom11 binom12 binom13 binom14 binom15 binom16 binom17 binom18 binom19 [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] 포아송분포 (1) 포아송분포의모양 포아송분포 (poison distribution) 는주어진단위시간, 거리, 영역등에서어떤사건이발생하는횟수를측정하는확률분포를말한다. 특정지역에서제한된시간내에발생하는교통사고수의분포나자동생산라인에서특정시간에발생하는불량품수의분포등이대표적인포아송분포에따른다.

78 74 _ R 기초및통계분석 단위구간내에서어떤사건이평균 회발생한다고하고, 확률변수 X를사건의발생횟수라고할때, X Poisson (µ) 로표현하며사건이 k번발생될확률은다음과같다. ( 예제 ) 최근올림픽도로에서는하루평균 5건의교통사고가발생한다. 교통사고의발생횟수가포아송분포를따른다고할때, 다음의확률을계산하라 1 어느날교통사고가전혀일어나지않을확률은얼마인가? > poi1<-ppois(0, 5.0) # 평균이 5인포아송분포에서 P(x=0) 일확률 > poi1 [1] 어느날교통사고가 3 번이상일어날확률은얼마인가? > poi2<-1-(ppois(2, 5.0)) # 평균이 5인포아송분포에서 1-P(x<3) 일확률 > poi2 [1] 포아송분포에서모수는평균 이며, 포아송분포의평균은 이고, 분산도 이다. 포아송분포의모양은평균이작을때는좌우비대칭이나평균이증가함에따라평균을중심으로좌우대칭의모양으로변한다. 즉, 정규분포에가까워지고, 분산은커진다. b1-ch4-5.r을실행하면평균 에따라포아송분포의모양이변하는것을확인할수있으며, 평균 가커질때좌우대칭의분포에가까워지는것을확인할수있다. b1-ch4-5.r 의실행결과 set.seed(12345) n<-10000;

79 제 4 장이론적확률분포 _ 75 poi025<-rpois(n, 0.25) poi1<-rpois(n, 1) poi2<-rpois(n, 2) poi4<-rpois(n, 4) par(mfrow=c(2,2)) hist(poi025, breaks=100, xlab="mu=0.25") hist(poi1, breaks=100, xlab="mu=1.0") hist(poi2, breaks=100, xlab="mu=2.0") hist(poi4, breaks=100, xlab="mu=4.0") Histogram of poi025 Histogram of poi1 Frequency Frequency mu= mu=1.0 Histogram of poi2 Histogram of poi4 Frequency Frequency mu= mu=4.0 b1-ch4-6.r을실행하면평균 에따라포아송분포의모양이변하는것을확인할수있으며, 가커질수록좌우대칭의정규분포와유사함을확인할수있다. b1-ch4-6.r 의실행결과 > par(mfrow=c(2,2)) # 한페이지에그림을좌우상하하나씩 4 개를그림 > lambda_list<-c(3, 5, 10, 15) # 평균

80 76 _ R 기초및통계분석 > x_list<-30 # 발생횟수를 1 부터 x 축에보여줄최대값 > for (i in 1:length(lambda_list)) { + p_x<-dpois(x=0:x_list,lambda_list[i]) + plot(x=0:x_list, p_x, xlab="x", ylab="p(x=x)", ylim=c(0, 0.25),... [TRUNCATED] lambda= 3 lambda= 5 P(X=x) P(X=x) x x lambda= 10 lambda= 15 P(X=x) P(X=x) x x (2) 포아송분포의확률분포표 평균 가다음의표와같을때어떤사건이발생되는횟수의누적확률을구할수있다. 기댓값

81 제 4 장이론적확률분포 _ 77 c b1-ch4-7.r을실행하면위와동일한누적포아송확률분포표를만들수있음을확인할수있다. > poi11<-rep(na,5) b1-ch4-7.r 의실행결과 > poi12<-rep(na,5) > poi13<-rep(na,5) > poi14<-rep(na,5) > poi15<-rep(na,5) > poi16<-rep(na,5) > poi17<-rep(na,5) > poi18<-rep(na,5) > poi11[1]<-ppois(0, 0.02) > poi12[1]<-ppois(0, 0.04) > poi13[1]<-ppois(0, 0.06) > poi14[1]<-ppois(0, 0.08)

82 78 _ R 기초및통계분석 > poi15[1]<-ppois(0, 0.1) > poi16[1]<-ppois(0, 0.2) > poi17[1]<-ppois(0, 0.3) > poi18[1]<-ppois(0, 0.4) > for(i in 2:5) { + poi11[i]<-ppois(i-1, 0.02) + } > for(i in 2:5) { + poi12[i]<-ppois(i-1, 0.04) + } > for(i in 2:5) { + poi13[i]<-ppois(i-1, 0.06) + } > for(i in 2:5) { + poi14[i]<-ppois(i-1, 0.08) + } > for(i in 2:5) { + poi15[i]<-ppois(i-1, 0.1) + } > for(i in 2:5) { + poi16[i]<-ppois(i-1, 0.2) + } > for(i in 2:5) { + poi17[i]<-ppois(i-1, 0.3) + } > for(i in 2:5) {

83 제 4 장이론적확률분포 _ 79 + poi18[i]<-ppois(i-1, 0.4) + } > round((poi<-cbind(poi11,poi12,poi13,poi14,poi15,poi16,poi17,poi18)),digits=3) poi11 poi12 poi13 poi14 poi15 poi16 poi17 poi18 [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] 균등분포 균등분포 (uniform distribution) 는연속형분포에서가장단순한분포형태로특정구간내의값들이나타날가능성이균등한분포를말한다. 연속형확률변수 X가실수구간 [a,b] 에서나타날가능성이균등할때, X는균등분포를따른다고하며 X U(a,b) 로표현한다. X의확률밀도함수는다음과같다 다른곳에서 확률변수 X가 X U(a,b) 라고할때, X의평균은, 분산은 이다. b1-ch4-8.r을실행하면 X U(1,2), X U(2,4), X U(4,8), X U(5,10) 에서 X 가각각실수구간에서나타날가능성이균등함을확인할수있다.

84 80 _ R 기초및통계분석 b1-ch4-8.r 의실행결과 set.seed(12345) n<-10000; min_list<-c(1,2,4,5) max_list<-c(2,4,8,10) par(mfrow=c(2,2)) unif1<-runif(n, min=1, max=2) unif2<-runif(n, min=2, max=4) unif3<-runif(n, min=4, max=8) unif4<-runif(n, min=5, max=10) (munif1<-mean(unif1)) (munif2<-mean(unif2)) (munif3<-mean(unif3)) (munif4<-mean(unif4)) (vunif1<-var(unif1)) (vunif2<-var(unif2)) (vunif3<-var(unif3)) (vunif4<-var(unif4)) for (i in 1:length(min_list)) { hist(runif(n, min=min_list[i], max=max_list[i]), freq=f, breaks=100, xlab="x", main=paste("min =", min_list[i], " max =", max_list[i])) }

85 제 4 장이론적확률분포 _ 81 min = 1 max = 2 min = 2 max = 4 Density Density x x min = 4 max = 8 min = 5 max = 10 Density Density x x 6. 표준정규분포 정규분포란다음의 < 그림 4-2> 와같이분포의형태가종을엎어놓은모양인분포 를말하며, 분포의형태는평균 와분산 에의해결정된다. < 그림 4-2> 정규분포의모양및확률밀도함수

86 82 _ R 기초및통계분석 확률변수 X가평균 와분산 을갖는정규분포를따른다면 라고표현하며, X의확률밀도함수는다음과같다., 확률변수 Z가평균이 0이고분산이 1인정규분포를따를때 Z는표준정규분포를따른다고하며, 로표현하고, Z의확률밀도함수는다음과같다., 표준정규분포의형태는 < 그림 4-3> 과같으며, 중심 0에서부터양의값 z까지의확률은색칠한부분의넓이와같다 < 그림 4-3> 표준정규분포의모양및확률밀도함수 z 가 0.45 이면 0 부터 z 까지의확률은 이된다. z

87 제 4 장이론적확률분포 _ 83 b1-ch4-9.r을실행하면위와동일한표준정규분포표를만들수있음을확인할수있다. b1-ch4-9.r의실행결과 > z00<-rep(na,10) > z01<-rep(na,10) > z02<-rep(na,10) > z03<-rep(na,10) > z04<-rep(na,10) > for(i in 1:10) { + z00[i]<-pnorm((i-1)/100, 0, 1) } > (z00<-round(z00, digits=4)) [1] > for(i in 10:19) { + z01[i]<-pnorm(i/100, 0, 1) } > (z01<-round(z01[10:19], digits=4)) [1] > for(i in 20:29) { + z02[i]<-pnorm(i/100, 0, 1) } > (z02<-round(z02[20:29], digits=4)) [1] > for(i in 30:39) { + z03[i]<-pnorm(i/100, 0, 1) } > (z03<-round(z03[30:39], digits=4))

88 84 _ R 기초및통계분석 [1] > for(i in 40:49) { + z04[i]<-pnorm(i/100, 0, 1) } > (z04<-round(z04[40:49], digits=4)) [1] > zdist<-rbind(z00,z01,z02,z03,z04) > (zdist<-round(zdist, digits=4)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] z z z z z 분포 (1) - 분포의모양 표준정규분포의제곱의합이카이제곱분포에따른다. 확률변수 이서 로독립적으로표준정규분포에따를때, 의제곱합 은자유도가 n 인 - 분포를따른다. 자유도가 n 인 - 분포의평균은 n, 분산은 2n 이다. b1-ch4-10.r을실행하면자유도가 5인 -분포및 density를그려주고있는데평균이 5에근사함을확인할수있다.

89 제 4 장이론적확률분포 _ 85 b1-ch4-10.r 의실행결과 > set.seed(12345) > n<-10000; > z1<-rnorm(n,0,1) > z2<-rnorm(n,0,1) > z3<-rnorm(n,0,1) > z4<-rnorm(n,0,1) > z5<-rnorm(n,0,1) > chi5<-z1^2+z2^2+z3^2+z4^2+z5^2 > hist(chi5, freq=f, col="grey", xlab="", xlim=c(0, 25), breaks=100) > par(new=t) > plot(density(chi5), axes=f, main="", xlim=c(0, 25), lwd=2, col="blue") Histogram of chi5 Density N = Bandwidth = 0.425

90 86 _ R 기초및통계분석 b1-ch4-11.r을실행하면각각자유도가 5, 10, 20, 30인 -분포를그려주고있는데자유도에따라 -분포의모양이변하는것을확인할수있다. > set.seed(12345) b1-ch4-11.r 의실행결과 > n<-10000; > df_list<-c(5,10,20,30) > par(mfrow=c(2,2)) > for (i in 1:length(df_list)) { + hist(rchisq(n, df=df_list[i], ncp=0), breaks=100, xlab="chisq", main=paste("df=", df_list[i])) + } df= 5 df= 10 Frequency Frequency chisq chisq df= 20 df= 30 Frequency Frequency chisq chisq - 분포는자유도가모수이므로자유도의크기에따라분포의형태가달라진다.

91 제 4 장이론적확률분포 _ 87 b1-ch4-12.r을실행하면각각자유도가 1, 4, 6, 8인 -분포를그려주고있는데자유도에따라 -분포의모양이변하는것을확인할수있으며, 자유도가클수록정규분포와근사한분포형태를갖는다. > n_list<-c(2,5,7,9) # 표본수 (n) b1-ch4-12.r 의실행결과 > df_list<-n_list-1 # 자유도 > curve(dchisq(x, 1, ncp=0), add=t, col="blue", xlim=c(0, 16), ylim=c(0, 0.8), xlab="chisq", ylab="f(chisq)") > curve(dchisq(x, 4, ncp=0), add=t, col="red", xlim=c(0, 16), ylim=c(0, 0.8), xlab="chisq", ylab="f(chisq)") > curve(dchisq(x, 6, ncp=0), add=t, col="green", xlim=c(0, 16), ylim=c(0, 0.8), xlab="chisq", ylab="f(chisq)") > curve(dchisq(x, 8, ncp=0), add=t, col="black", xlim=c(0, 16), ylim=c(0, 0.8), xlab="chisq", ylab="f(chisq)") > par(mfrow=c(2,2)) > for (i in 1:length(df_list)) { + + curve(dchisq(x, df_list[i], ncp=0), add=f, xlim=c(0, 16), ylim=c(0, 0.8), xlab="chisq", ylab="f(chisq)", mai... [TRUNCATED]