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서균 금
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1 한국소음진동공학회논문집제 21 권제 12 호, pp. 114~1111, Filtered Velocity Feedback 제어기를이용한양단지지보의음향파워저감 Reduction of Sound Radiated Power of Clamped Beams using Filtered Velocity Feedback Controllers 신창주 * 홍진숙 정의봉 ** Changjoo Shin, Chinsuk Hong and Weuibong Jeong (211 년 9 월 6 일접수 ; 211 년 1 월 21 일심사완료 ) Key Words : Active Vibration Control( 능동진동제어 ), FVF(Filtered velocity feedback), Open Loop Transfer Function( 개루프전달함수 ), Sound Radiated Power( 음향파워 ) ABSTRACT This paper investigates the filtered velocity feedback(fvf) controller for the reduction of the acoustic power radiated from a clamped beam. The instability problem due to the non-collocated sensor/actuator configuration when using PZT actuator should be sorted out. The roll-off property of the FVF controller at high frequency helps to alleviate the instability. The dynamics of clamped beams under forces and moments pair and the FVF controller are first formulated. The formulation of the sound radiated power is followed. The open loop transfer function(oltf) synthesized with 1 modes is used to determine the stability of the control system. The control performance is finally estimated. The levels of the vibration and the sound radiated power are reduced in the wide band below the tuning mode of the FVF controller. * 1. 서론 인간의생활을더욱편리하고윤택하게만들어주는진공청소기, 자동세탁기및자동차등의고성능의기계장비의수가시간이지날수록인간의삶속에서계속늘어가고있다. 이것들을운용하는사용자에게불편함을끼치지않기위해서는진동과소음레벨이낮게설계되어야하며, 저진동, 저소음 교신저자 ; 정회원, 울산과학대학디지탈기계학부 cshong@uc.ac.kr Tel : (52) , Fax : (52) * 정회원, 부산대학교대학원기계공학부 ** 정회원, 부산대학교기계공학부 # 이논문의일부는 211 년추계소음진동학술대회에서발표되었음. 을발생시키는기계장비일수록고부가가치를창출할수있게된다. 진동과소음이신체로전달되는경로는크게구조적인경로및공기를통한경로로나눌수있다. 그러나기계장비를운용하는사용자가인체의불편함을느끼는진동과소음은주로구조적경로를통하여전달된다 (1). 따라서인체의불편함을야기하는진동및소음을저감하기위해서는구조물을통한진동및소음을줄이는것이효과적이다. 구조적경로에의해전달되는진동및소음을줄이기위한전통적인방법은구조물의재설계또는수동적인감쇠를주는것이다 (2). 기존에제작된구조물에서발생하는진동및소음을줄이기위하여구조물의재설계를할경우많은비용이소요된다. 그러나수동적인감쇠를주는 114/ 한국소음진동공학회논문집 / 제 21 권제 12 호, 211 년

2 Filtered Velocity Feedback 제어기를이용한양단지지보의음향파워저감 경우고주파진동및소음에는효과적이나저주파대역의진동및소음에는효율성이매우떨어진다. 따라서저주파대역의진동및소음의저감을효율이좋은능동진동제어 (active vibration control : AVC) 및능동소음제어 (active noise control : ANC) 가부각되었다 (3). 구조적경로에의해전달되는진동및소음을저감시킬때는 AVC가적합하다. AVC를위해사용되는대표적인제어기법은 direct velocity feedback(dvfb) 와 2차필터의특성을지닌 positive position feedback(ppf) 및 acceleration feedback(af) 등이있다 (4). 단순비례제어기인 DVFB 는스카이훅감쇠를이용하여광대역의주파수영역에서구조물의진동을저감시킨다. 또한제작비용이매우낮다. 그러나 PZT를액추에이터로사용하는 DVFB 제어시스템일경우제어기의성능을항상보장할수는없다. 그이유는 PZT 액추에이터의경우모멘트쌍으로써제어력을인가하는위치와센서의위치가일치하지않기때문이다. Cannon (5) 과 Zhang (6) 은센서와액추에이터가동일한위치에있지않을경우제어시스템은물리적으로한계를가지게되며이것이페루프시스템의안정성에영향을끼친다고하였다. Getti (7) 는단순지지보에서 PZT 액추에이터를사용시 DVFB의한계에대하여연구하였다. 그는센서와액추에이터가인가하는제어력이서로동일한위치에상호작용을일으키지못하기때문에제어시스템은조건적안정성을지니게된다고하였다. DVFB 제어기의설계변수는제어게인하나뿐이기때문에수학적으로모델링하기힘든복잡한구조물및플랜트의응답에서불안정성이나타날시제어시스템의안정성을확보하며제어하는것이매우어렵다. 또다른제어기법으로 PPF와 AF가있다. PPF는 Fanson과 Caughy (8) 가제안하였고, AF는 Juang (9) 가제안한것으로모달변위또는모달가속도에기반하는 2차필터특성을가지는제어기이다. 이들제어기는특정모드로진동하는구조물을효과적으로제어할수있다. Kwak (1) 은 PPF 제어기의안정성과성능및설계법에대하여고찰하였다. 또한그는거대격자구조물에 MIMO PPF 제어기를적용하여이론및실험적으로구조물의진동을저감하였다 (11). Preumont (12) 는보에동일한지점에센서와모멘트쌍을제공하는액추에이터를설치하고 AF를 적용하여그특성을알아보고단일주파수에대한이론과실험으로써진동을저감하였다. Shin (13) 은 AF 등과같은 2차필터의설계변수가제어시스템이미치는영향을조사하였다. 제어기의설계변수인게인및감쇠비가제어시스템에미치는영향과 2차필터가가지는저역통과필터의특성과유사한특성을확인하였다. 하지만 PPF와 AF는하나의특정모드를제어하는것이제어기의설계목표이기때문에다중모드제어시여러개의제어기가필요하다. Shin (14) 은단일제어기로다중모드를제어할수있는 filtered velocity feedback(fvf) 제어기법을제안하였다. FVF 제어기는 DVFB의광대역제어특성및 2차필터의특징인저역통과필터와유사한특성을지녀단일제어기로다중모드를제어할수있다. 그는양단지지보에 FVF 제어기를적용하여다중모드진동을제어하였다. AVC이수행되고있는구조물이방사하는음향파워를예측하기위하여 Elliott (15) 은구조물의속도분포를이용하여모달방사저항을구하여음향파워를계산하였다. 따라서이연구에서는 FVF 제어기를복잡한구조물에적용하여음향파워를저감시키기에앞서단순구조물인양단지지보에적용하여관심영역대내에서음향파워가저감되는경향을파악하고자한다. 2절에서는양단지지보의지배방정식과일점하중과 PZT 액추에이터가제공하는모멘트쌍에의한구조물의거동에대한수학적인모델을설명하였다. 3 절에서는 FVF 제어기를설명하였으며 4절에서는구조진동에의해방사되는음향파워를정식화하였다. 5절에서는 FVF 제어기의적용및음향파워저감성능을평가하였으며 6절에서결론을정리하였다. 2. 양단지지보의운동지배방정식 Fig. 1은집중하중과모멘트쌍이동시에입력되는균일양단지지보를보이고있으며이를 Euler- Bernoulli beam의운동방정식으로표현하면다음과같다., (1) 한국소음진동공학회논문집 / 제 21 권제 12 호, 211 년 /115

3 신창주 홍진숙 정의봉 여기서 는 Young 률, 는보단면의관성모멘트, 는구조감쇠, 는밀도, 는보의단면적, 는보에작용하는집중하중그리고 는보에작용하는모멘트쌍이다. 구조물의거동을조화응답으로가정하면 는등가점성감쇠를이용하여 으로표현할수있다. 또한, 는단위임펄스함수로써 전체구간에대하여 그리고 의위치에서는크기 1을, 이외의위치에서는크기 을나타내는함수이다. 보의변위응답을조화운동으로가정한후모드중첩을이용하면행렬식으로나타내면식 (2) 와같다. p, (2) 여기서 는 위치에해당하는모드형상행벡터이며, p 는모달변위열벡터로써다음과같이정의된다., (3) p, (4) 은모드중첩수이다. 모드직교성을이용하면식 (1) 은다음과같이행렬식으로나타낼수있다. Idiag diag p (5) 여기서 은구조물의고유진동수이며 는 위치에해당하는 1차미분된모드형상의행벡터로써식 (6) 과같다.. (6) 그리고 와 는모멘트쌍이발생하는위치로센서가놓인위치 로부터 ±만큼각각떨어진위치를나타낸다. 외력과모멘트가동시에작용하는양단지지보의 지점변위응답은식 (7) 과같다. p (7) 만약, 센서가속도센서라면출력되는신호 는식 (8) 과같다. (8) 3. Filtered Velocity Feedback Control FVF의기본지배방정식은다음과같다., (9) 여기서 는제어기의변위, 는제어기의감쇠비, 는제어기의 cut-off 주파수, 그리고 는제어게인이다. 만약 가구조물의공진에튜닝되어있을경우, 1자유도계의운동방정식형태로정의되는 FVF 제어기는해당주파수에서큰응답을나타내기때문에모달제어기와같은역할을하게된다. Fig. 2는 FVF 제어기가적용된시스템의블록다이어그램이다. 외란에의한구조물의거동이속도센서로부터측정되어 가 FVF 제어기 H FVF 로입력된다. H FVF, (1) 여기서 는 FVF 제어기의전달함수로써식 (11) 과같이정의된다. L x x s 2 x s x s1 x p f p T s Fig.1 A clamped beam subjected to a external force and a moment pair 116/ 한국소음진동공학회논문집 / 제 21 권제 12 호, 211 년

4 Filtered Velocity Feedback 제어기를이용한양단지지보의음향파워저감 (11) 그리고제어기의특성변화를관찰하기위한개루프전달함수 (OLTF) 는식 (17) 과같다. 제어기는제어신호 를생성하여구조물에부착된모멘트쌍액추에이터를작동시킨다. 액추에이터작동에의해구조물은속도거동 를보이게된다. 최종적으로외란에의한구조물의거동과액추에이터에의한구조물의거동이합쳐져 의속도를나타낸다. 여기서제어신호 는식 (12) 와같이정의된다. H FVF (12) 그리고, 구조물의플랜트응답 G는 일경우센서위치에서의속도신호정의할수있으며식 (13) 과같다. G Idiag diag. (13) 은 와 의합이므로식 (14) 와같이나타낼수있다. G GH FVF (14) 따라서센서위치에서관찰되는제어된구조물의최종전압인 및제어신호인 는다음과같다. I GH FVF (15) H FVF I GH FVF (16) OLTFGH FVF (17) 식 (17) 는 Nyquist 안정성판별법을적용하기위하여음수되먹임제어 (negative feedback control) 의표준관계식과비교하여표현한것이다. 4. 구조진동에의해방사되는음향파워정식화구조물이외란에의하여진동하면구조진동소음을방사하게된다. 구조진동소음의경우, 구조물의표면의진동레벨을줄임으로써방사되는소음을저감시킬수있다. 이논문에서사용되는구조물인보가무한한강체배플안에있다고가정한다면방사되는음향파워 (SRP) 를계산할수있다. 구조물의모달속도를 a p라하면, 무한한배플로부터방사되는 SRP는식 (18) 과같이표현할수있다. SRP a H Ma, (18) 여기서 M은자기방사저항 (self-radiation resistance) 과상호방사저항 (mutual-radiation resistance) 으로구성된모달방사저항 (modal radiation resistance) 행렬이다. 만약각요소별방사체의속도벡터성분을 라한다면, 각소스 바로앞의음압은식 (19) 와같다. Zv, (19) 여기서 는음향임피던스로대칭행렬이다. 각요소별음원에의해방사되는음향파워는각방사체체적속도의켤레복소수에음압을곱한실수부에비례 Fig.2 Block diagram for active feedback control using FVF controller 한국소음진동공학회논문집 / 제 21 권제 12 호, 211 년 /117

5 신창주 홍진숙 정의봉 하므로음향파워는식 (2) 과같이쓸수있다. SRP Rev H, (2) 여기서 는방사체의면적이다. 식 (19) 를식 (2) 에대입하면 SRP Rev Zv Rev Z, (21) Zv v Rv 여기서 R 은 개의방사요소를가진방사저항행렬로식 (22) 와같다. R sin sin sin sin sin, (22) 여기서 와 는밀도와음향매질내의음속이다. 는음향파수이며, 는요소 와요소 사이의거리이다. 따라서 이며, R 은대칭행렬이다. v a 이므로 SRP 는식 (23) 과같다. SRP a Ra, (23) 식 (18) 과식 (23) 에의해모달방사저항 M 은식 (24) 와같이나타낼수있다. M R, (24) 5. FVF 제어기적용및음향파워저감성능평가 FVF 제어기는 2차필터로써저역통과필터와유사한특성을보인다. 따라서튜닝모드이하의주파수대역에존재하는구조물의응답에크게영향을주는반면, 튜닝모드이상의주파수대역에존재하는구조물의응답에서는제어기의 roll-off 특성에의해영향을거의주지않는다. 따라서 FVF 제어기 를고차모드에튜닝할경우그이하에존재하는구조물의응답들은 FVF 제어기의영향이강하게나타나게된다. 즉, 광대역진동제어가가능해지는것이다. 진동저감성능을높이려면전주파수대역에영향을미치는제어게인을증가시켜야한다. 하지만제어시스템에과도한제어게인의적용될경우제어지점에서새로운경계조건이발생하여구조물의특성이바뀌게된다. 이것을극복하기위하여큰감쇠비를적용한다. 감쇠비는튜닝모드의응답크기를줄임으로써해당모드의과도한진동제어현상을막아준다. 즉, 큰감쇠비를통해제어기튜닝모드의과도한진동저감현상을막고, 이를통해제어게인을증가시켜광대역진동제어를하는것이다. 제어를통해진동레벨이줄어들면동시에구조물표면의진동속도도줄어든다. 식 (23) 에의해구조물표면의진동속도가줄어들면구조진동에의해방사되는음향파워역시줄어들게된다. 능동진동제어는높은에너지레벨을가진저주파대역의진동을저감하는것이목적이므로이논문은관심주파수대역을 2kHz 이하로설정할것이다. Fig. 3은양단지지보의 위치에서계산된플랜트응답이다. 이계산에적용된물성치는 Table 1과같다. 플랜트의위상응답이 ±9 내부에존재할경우무조건적안정성을가지게되는데, Fig. 3(a) 와같이해석모델은 41차모드 (29.1 khz) 까지무조건적안정성을보였다. 이것은 대비 의비에의한것으로, PZT를액추에이터로사용하는보의플랜트응답은 를만족할경우안정한응답을보이며, 그렇지않을경우불안정한응답을나타낸다고 Hong이검증하였다 (21). 41차모드이상에존재하는플랜트위상응답은 ±9 밖에존재하므로구조물은조건적인불안정성을가지게된다. Fig. 3(b) 는 29.1 khz 이상의응답에서 을내포하는특성을보였다. 이것은플랜트가불안정하다는것을의미한다. 따라서피드백제어시스템구성시해당주파수의개루프전달함수응답들이 Nyquist diagram에서 을감싸고돌지않도록제어기를설계하여야한다. 식 (15) 에의해개루프전달함수응답이 을중심으로하는단위원내부에존재할경우해당주파수에서제어전대비제어후의응답크기가증가하게된다. 반면 을중심으로하는단위원외부에개루프전달함수응답이존재할 118/ 한국소음진동공학회논문집 / 제 21 권제 12 호, 211 년

6 Filtered Velocity Feedback 제어기를이용한양단지지보의음향파워저감 Magnitude (db) Phase (deg.) Frequency (Hz) Frequency (Hz) Image (a) Bode diagram Magnitude(dB) Phase(deg) Image Frequency(Hz) Frequency(Hz) (a) Bode diagram Real (b) Nyquist diagram Fig. 3 Plant velocity response of the clamped beam at Table 1 Mechanical properties of the beam. Parameters Symbol Unit Values Young's modulus GPa 6 Density kg/m 3 28 Loss factor.15 Length m.5 Width m.3 Thickness m.2 Half of actuator length m.12 경우해당주파수에서제어전대비제어후응답의크기가줄어들게된다. Fig. 4는 1851 Hz에튜닝된 FVF 제어기가적용된양단지지보의 지점의개루프전달함수를보이고있다. 적용된제어기의게인은.88, 감쇠비는 1.5이다. Fig. 4(a) 와같이제어시스템은 2kHz 이상의대역에서주파수가증가할수록응답의크기가줄어드는 roll-off 특성을보인다. 이것은제어기가구조물에주는영향이줄어드는것을의미한다. Roll-off 특성으로인해해석모델에서모델링되지못한고주파 Real (b) Nyquist diagram Fig. 4 Open loop transfer function of the FVF control system which is tuned to 1851 Hz using a PZT actuator from 2 to 1 khz for clamped beam at.7 대역에서발생할수있는제어시스템의불안정성을극복할수있다. 2 khz 이상의대역에서위상응답이 ±9 를벗어나므로조건적인안정성을보이는것을확인할수있다. Fig. 4(b) 의 Nyquist diagram을통해 2kHz 이상의대역의개루프전달함수응답이 을중심으로하는단위원내부에존재하는것을확인할수있다. 이것은 roll-off 특성에의해발생되는 FVF 제어기의특징으로주파수가증가할수록그특징이강하게나타나는반면, 튜닝주파수인근대역은그특성이매우약하게나타난다. 따라서튜닝주파수보다상위에존재하는인근모드들은그크기가많이줄어들지못하고 를중심으로하는단위원내부에존재한다. 그로인해제어전대비제어후구조물의응답크기가증가할것이다. 하지만그크기는튜닝주파수에서부터주파수가증가할수록작아지므로고주파응답일수록제어기의영향이작게미치는것을예측할수있다. 또한개루프전달함수응답이 을내포하지않으므로 한국소음진동공학회논문집 / 제 21 권제 12 호, 211 년 /119

7 신창주 홍진숙 정의봉 Velocity Level(dB ref. 1m/s) Frequency (Hz) Fig. 5 Velocity level of the clamped beam at.7, excited by concentrated force at.2 and subjected to control moment pair at.7 - without control(solid line) and with control(dashed line) 267 Hz는관심대역을밖일뿐만아니라, 1차모드응답의크기에비하여약 15 db 차이가나므로해당주파수의진동증가는허용할수있다. Fig. 6은.2 에서집중하중,.7 에서제어모멘트쌍이동시에작용하는양단지지보의제어전및제어후의방사하는음향파워이다. 제어후구조물의속도응답이줄어든패턴과유사하게 2kHz 이하에존재하는저주파소음에대하여방사되는음향파워를줄여주는좋은성능을보이고있다. 음향파워역시 15 Hz에서 38.2 db 저감되어가장높은소음제어성능을보였다. 2.6 khz 이상의대역에서소음레벨이증가하는경향을보이는데, 이것은관심대역밖이므로배제할수있다. Acoustic Power (db ref. 1W) Frequency (Hz) Fig. 6 Acoustic power level of the clamped beam at.7, excited by concentrated force at.2 and subjected to control moment pair at.7 - without control(solid line) and with control(dashed line) 설계된제어시스템은안정하다고할수있다. Fig. 5는.2 에서집중하중,.7 에서제어모멘트쌍이동시에작용하는양단지지보의.7 위치에서제어전응답과제어된구조물의속도응답이다. 개루프전달함수에서예측한바와같이튜닝된모드이하의주파수대역에존재하는구조물응답의크기가줄어들었다. 15 Hz에서가장큰제어효과를보이고있는데, 이것은해당주파수에서개루프전달함수의응답크기가가장컸기때문이다. 2 khz 이상의주파수대역에서구조물의응답중제어후 267 Hz에서 db를보였으며해당주파수에서제어전대비최대 4.3 db 증가하였다. 하지만최대응답크기를보이는 1차모드는제어후 -6.9 db를보였다. 6. 결론이연구에서는 FVF 제어기를이용하여양단지지보에서방사되는음향파워를저감시켰다. 관심대역주파수를설정후, FVF 제어기를이용하여제어시스템의안정성을확보하고능동진동제어를하였다. 구조물표면의진동속도가줄임으로써구조진동에의해방사되는음향파워를줄였다. FVF 제어기의특성에의해튜닝주파수보다상위에존재하는인근모드에서구조물의속도응답과구조물이방사하는음향파워가일부증가하는것을볼수있었다. 하지만응답이증가하는주파수대역은관심영역을밖이므로이는허용가능하였다. FVF 제어기를구조물의 9차모드에튜닝한결과, 1~8차모드까지양단지지보구조진동응답및방사되는음향파워의크기를줄일수있었다. 참고문헌 (1) Griffin, M. J., 199, Handbook of Human Vibration, Elsevier Academic Press, London. (2) Shin, C. J., Hong, C. S. and Jeong, W. B., 28, Active Vibration Control of Cantilever Beams Using PZT Actuators, Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 18, No. 12, pp. 1293~13. (3) Reza Moheimani, S. O., Halim, D. and Feming, A. J., 23, Spatial Control of Vibration 111/ 한국소음진동공학회논문집 / 제 21 권제 12 호, 211 년

8 Filtered Velocity Feedback 제어기를이용한양단지지보의음향파워저감 Theory and Experiments, World Scientific. (4) Andre Preumont, 1997, Vibration Control of Active Structures, Kluwer Academic Publishers. (5) Cannon Jr., R. H. and Rosenthal, D. E., 1984, Experiments on Control of Flexible Structure with Noncolocated Sensors and Actuators, Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol. 7, pp. 546~553. (6) Zhang, Q., Shelley, S. and Allemang, R. J., 1991, Active Damping Design of Flexible Structures Based on SISO and SIMO Noncollocated Sensor/ Actuator Velocity Feedback, Journal of Dynamic Systems Measurement and Control - Transactions of the ASME, Vol. 113, Issue 2, pp. 259~266. (7) Gatti, G., Brennan, M. J. and Gardonio, P., 27, Active Damping of a Beam Using a Physically Collocated Accelerometer and Piezo Electric Patch Actuator, Journal of Sound and Vibration, Vol. 33, Issues 3~5, pp. 798~813. (8) Fanson, J. L. and Caughey, T. K., 1987, Positive Position Feedback Control for Large Space Strutures, Proceedings of the 28th Structural Dynamics Conference, Monterey, CA, pp. 588~598. (9) Juang, J. N. and Phan, M., 1992, Robust Controller Design for Second-order Dynamic Systems : A Virtual Passive Approach, Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol. 15, No. 5, pp. 1192~1198. (1) Kwak, M. K., Han, S. B. and Heo, S., 24, The Stability Conditions, Performance and Design Methodology for the Positive Position Feedback Controller, Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 14, No. 3, pp. 28~213. (11) Kwak, M. K. and Heo, S., 27, Active Vibration Control of Smart Grid Structure by Multiinput and Multioutput Positive Position Feedback Controller, Journal of Sound and Vibration, Vol. 34, Issue 1-2, pp. 23~245. (12) Preumont, A. and Loix, N., 1994, Active Damping of a Stiff Beam-like Structure with Acceleration Feedback, Experimental Mechanics, Vol. 34, No. 1, pp. 23~26. (13) Shin, C. J., Hong, C. S. and Jeong, W. B., 21, Active Control of Clamped Beams Using Acceleration Feedback Controllers, Transactions of the Korean Society of Noise and Vibration Engineering, Vol. 2, No. 12, pp. 119~1199. (14) Shin, C. J., Hong, C. S. and Jeong, W. B., 211, Active Vibration Control of Clamped Beams Using Filtered Velocity Feedback Controllers, Transactions of the Korean Society of Noise and Vibration Engineering, Vol. 21, No. 5, pp. 447~454. (15) Elliott, S. J. and Johnson, M. E., 1993, Radiation Modes and the Active Control of Sound Power, Journal of Acoustical Society of America, Vol. 94, Issue 4, pp. 2194~224. 한국소음진동공학회논문집 / 제 21 권제 12 호, 211 년 /1111

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<B3EDB9AEC1FD20B8F1C2F F E687770> 한국소음진동공학회논문집제 21 권제 1 호, pp. 94~95, 211. http://dx.doi.org/1.55/ksnve.211.21.1.94 Filtered Velocity Feedback 제어기를이용한평판능동진동제어 Active Vibration Control of Plates Using Filtered Velocity Feedback Controllers