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CONTENTS Line Coding Non-Return to Zero (NRZ) Signaling Return to Zero (RZ) Signaling Channel Effects Pulse Shaping Summary Appendix: PSD of Random Pulse Train 제 8 장기저대역전송 2 / 74

Digital Signaling for Baseband Transmission The transmit part of a baseband digital communication system is made up of: Source Coder - to generate seuence of digits (e.g. digitized voice signal (PCM) ) Multiplexer - to combine several sources Þ A channel is time-shared by several messages simultaneously. Line Coder - The output of a multiplexer is changed to electrical pulses or waveforms for the purpose of transmission over the channel. - This process is called line coding. Regenerative Repeater - used at regularly spaced intervals along a transmission line to detect incoming digital signals and regenerate new clean pulses for further transmission 제 8 장기저대역전송 3 / 74

Line Coding information bit seuence (e.g. PCM binary digits) 1 0 1 1 0 0... signaling format "line code" digital signal (electrical pulse) 제 8 장기저대역전송 4 / 74

Line Coding Line Coding 에의해발생된신호 T b : 비트구간 p(t): 기본펄스혹은펄스성형필터의임펄스응답 a k : 데이터비트에의해결정되는계수, {1, 0} 혹은 {1, -1} 신호모델 입력데이터열 펄스성형필터의임펄스응답 출력 제 8 장기저대역전송 5 / 74

Line Coding x( t) x( t ) p( t) y( t) t p( t) T b t y( t) t Polar NRZ 신호의발생모델 제 8 장기저대역전송 6 / 74

Line Coding 펄스파형의예 t t t t t code t 제 8 장기저대역전송 7 / 74

NRZ (Non-Return to Zero) Signaling 1 0 1 1 0 0 0 1 1 unipolar NRZ polar NRZ 제 8 장기저대역전송 8 / 74

NRZ Signaling NRZ 방식의문제점 비트동기를위한 self-synchronization 이어려움 4 각비트의시작과끝을구별하기어려움 4 따라서 1 이나 0 이연속되면출력전압레벨이일정하게되어비트동기가어려움 비트동기의어려움 관찰시점 4 해결방법 detection 결과 1 0 1 1 1 1 0 별도의전용채널에 clock 신호를전송 제 8 장기저대역전송 9 / 74

NRZ Signaling NRZ 방식의문제점 (continued) dc drift 문제 4 수신단에서 1 과 0 의구별 : 관찰시점에서신호레벨과기준값을비교하여판정 기준값은신호의평균전압레벨 4 1 또는 0 이연속되는경우기준값이올라가거나내려가서비트식별오차발생 제 8 장기저대역전송 10 / 74

Power Spectral Density 랜덤펄스열의 PSD 는다음과같다. ( 부록참조 ) [ ] P( f ) = F p( t) 제 8 장기저대역전송 11 / 74

Polar NRZ 신호의 PSD Polar NRZ Signaling 계수의 autocorrelation 한편 a k a k+1 은 1 또는 -1 이된다. 데이터가 1 일확률과 0 일확률이동일하게 1/2 이라면, N 개의항에서 a k a k+1 이 1 인개수와 -1 인개수는동일하게 N /2 가된다. 따라서 제 8 장기저대역전송 12 / 74

Polar NRZ 신호의 PSD PSD NRZ 신호에서이므로 따라서양극성 NRZ 신호의 PSD 는 ( 예제 6.10 참조 ) 제 8 장기저대역전송 13 / 74

Polar NRZ 신호의 PSD S y ( f ) T b - 2-1 1 2 f T b T b T b T b Polar NRZ 스펙트럼의특징 First-null bandwidth 1/T b = R b f = 0 ( 직류 ) 에서 PSD 의값이 0 이아니다. 따라서중계기에서교류정합을사용하는경우직류성분을많이잃어서신호에심각한손상이발생된다. 제 8 장기저대역전송 14 / 74

Unipolar NRZ 신호의 PSD Unipolar NRZ Signaling 계수의 autocorrelation 데이터가 1 일확률과 0 일확률이동일하게 1/2 이라면, N 개의항에서 a k 가 1 인개수와 0 인개수는동일하게 N /2 가된다. 따라서 a k 와 a k+n 은 1 또는 0 이될확률이동일하게 1/2 이므로 a k 와 a k+n 의곱은 1x1=1, 1x0=0, 0x1=0, 0x0=0 의확률이동일하게 1/4 이된다. 제 8 장기저대역전송 15 / 74

Unipolar NRZ 신호의 PSD R 0 = 1/2 = 1/4 + 1/4 를이용하여 임펄스열의푸리에급수표현 1 1 t - nt = e fb = T j2p nfbt å d ( b) å, n=- Tb n=- 푸리에변환을취하면 - j2p nft b 1 å e n=- b n=- æ n ö = å d ç f - T è Tb ø b 제 8 장기저대역전송 16 / 74

Unipolar NRZ 신호의 PSD 따라서 제 8 장기저대역전송 17 / 74

Unipolar NRZ 신호의 PSD 그런데 n 0 의경우 f = n/t b 에서 sinc(ft b ) = 0 이므로 S y ( f ) æ 1 ö ç è 4 ø T b / 4-2 T b - 1 T b 1 T b 2 T b f 제 8 장기저대역전송 18 / 74

Unipolar NRZ 신호의 PSD Unipolar NRZ 스펙트럼의특징 양극성 NRZ 신호의스펙트럼과 ( 크기만다르고 ) 동일한스펙트럼에 f = 0 에서의임펄스로구성 양극성 NRZ 방식과단극성 NRZ 방식의대역폭은동일 단극성 NRZ 신호는진폭이절반인양극성 NRZ 신호와직류성분의합으로표현할수있다. 그러므로단극성 NRZ 신호의 PSD는양극성 NRZ 신호의 PSD의 1/4 크기와 f = 0에서의임펄스의합이되는것을알수있다. y( t) = + y ( t) 1 y ( t) 2 t t t 제 8 장기저대역전송 19 / 74

RZ (Return to Zero) Signaling 한비트의중간에서신호의파형이 0 volt level 로되돌아가는방식 1 0 1 1 0 0 0 1 1 unipolar RZ polar RZ bipolar RZ or AMI (alternate mark inversion) 제 8 장기저대역전송 20 / 74

RZ Signaling RZ 방식의특징 다음 bit 시작전에 0으로 return Þ timing 정보제공가능 펄스폭이 ½로감소 Þ NRZ에비해대역폭증가 bipolar RZ 방식 4 약간의 error detection 기능 4 dc 성분없음 불가능 : 두개중하나는 error 제 8 장기저대역전송 21 / 74

RZ Signaling RZ 방식의특징 ( 계속 ) Polar RZ 와 bipolar RZ 는 3 level 을가짐 ( 단점 ) 4 두개의 detection threshold 4 BER 높아짐 (reuired power 증가 ) 제 8 장기저대역전송 22 / 74

Polar RZ 신호의 PSD RZ signaling 방식에서의기본펄스 p(t) F Tb æ ftb ö p( t) = P (2 t / Tb ) ¾ P( f ) = sincç 2 è 2 ø Polar RZ: polar NRZ 유도결과이용, p(t) 변경 S y ( f ) T b / 4 2 - T b - 1 T b 1 T b 2 T b f 제 8 장기저대역전송 23 / 74

Unipolar RZ 신호의 PSD Unipolar RZ: unipolar NRZ 유도결과이용 제 8 장기저대역전송 24 / 74

Unipolar RZ 신호의 PSD Unipolar RZ S y ( f ) T b 16 æ 1 ö ç è16 ø æ 1 ö ç 2 è 4p ø - 2 T b - 1 T b 1 T b 2 T b f 제 8 장기저대역전송 25 / 74

Bipolar RZ 신호의 PSD Bipolar RZ (AMI) 데이터가 0 인경우에는펄스가전송되지않고데이터가 1 인경우에만펄스를전송하는데, p(t) 와 -p(t) 를교대로전송한다. 이와같은방법을사용하면직류성분의크기가변동 (dc drift) 하는현상을방지하여 PSD 가 f = 0 주파수에서 0 이되도록한다. 계수의 autocorrelation 데이터가 0 이면 a k = 0 이고데이터가 1 이면 a k = 1 또는 -1 이므로, 데이터가 1 일확률과 0 일확률이동일한경우 제 8 장기저대역전송 26 / 74

Bipolar RZ 신호의 PSD Time average of a k a k+1 to obtain R 1 데이터두비트의가능한 4 개의상태 00, 01, 10, 11 의분포는동일 데이터가 0 이면 a k = 0 이므로앞의세경우는 a k a k+1 = 0 이된다. 데이터가 1 인경우펄스의극성을반대로하여전송하므로 a k a k+1 = -1 이된다. 그러므로 제 8 장기저대역전송 27 / 74

Bipolar RZ 신호의 PSD Time average of a k a k+2 to obtain R 2 연속한세비트의상태를고려해야한다. 가능한세비트의조합중에서 000, 001, 010, 011, 100, 110 의 6 가지경우는첫번째비트또는세번째비트가 0 이므로 a k a k+2 = 0 이된다. 111 의경우에는첫번째비트와세번째비트가동일한극성이므로 a k a k+2 = 1 이되고, 101 의경우에는첫번째비트와세번째비트가반대극성을가지므로 a k a k+2 = -1 이된다. 따라서전체 N 개항중에서 6/8 은값이 0 이고, 1/8 은값이 1 이고, 1/8 은값이 -1 이다. 그러므로 제 8 장기저대역전송 28 / 74

Bipolar RZ 신호의 PSD Time average of a k a k+n to obtain R n 같은방법으로 x(t) 의 PSD y(t) 의 PSD 제 8 장기저대역전송 29 / 74

Bipolar RZ 신호의 PSD Bipolar RZ S y ( f ) Tb 2 / p - 2 T b - 1 T b 1 T b 2 T b f 제 8 장기저대역전송 30 / 74

Bipolar RZ 신호의 PSD Bipolar RZ 방식의특성 f = 0에서 PSD가 0이된다 로인하여스펙트럼은 f = 0, 1/T b 에서 0을교차하며, 결과적으로 bipolar RZ 신호의주대역폭은 1/T b = R b Hz가된다. 4 NRZ 방식의대역폭과동일하며, 앞서살펴보았던양극성 RZ 및단극성 RZ 신호대역폭의절반이다. 4 p(t) 의펄스폭과상관없이쌍극성신호방식의대역폭은 1/T b 가된다. 제한적이지만에러검출가능 4 만일수신단에서동일한극성의펄스가수신되었다면에러가발생하였다는것을의미 4 따라서한비트의에러검출가능 제 8 장기저대역전송 31 / 74

Bipolar RZ 신호의 PSD Bipolar RZ 방식의특성 RZ 방식과같이좁은폭의펄스를사용하면서도대역폭이 NRZ 방식과같이작으며, 스펙트럼에직류성분이없다는장점이있다. 그러나 3 개의전압레벨을가져서잡음에취약하며 0 이오래지속되는경우클럭신호를유실할수있다. 제 8 장기저대역전송 32 / 74

Manchester Coding Manchester coding ( 또는 Bi-phase signaling) Bit duration 중간마다전압레벨변화 4 전압변화횟수가 NRZ의두배 4 NRZ보다넓은대역폭 예 : Manchester signaling (bi-phase level coding: bi-f-l) 4 binary 1: 처음 ½ 비트구간동안은 +A, 나머지 ½ 비트구간은 -A binary 0: 처음 ½ 비트구간동안은 -A, 나머지 ½ 비트구간은 +A 1 0 1 1 0 0 0 1 1 제 8 장기저대역전송 33 / 74

Manchester Coding Manchester coding ( 또는 Bi-phase signaling) Magnetic recording에사용 dc 값 = 0 장점 4 self clocking ( 자동동기화기능 ) 4 dc-drift 문제해결 단점 4 넓은대역폭 제 8 장기저대역전송 34 / 74

Manchester 신호의 PSD 맨체스터신호의기본펄스파형 제 8 장기저대역전송 35 / 74

Manchester 신호의 PSD 맨체스터신호의 PSD 양극성 NRZ 신호의 PSD 를표현하는식에서맨체스터기본펄스에대한스펙트럼을대입하면된다. 쌍극성방식과같이직류성분이 0 이며, 주대역폭은 2/T b 가된다. S y ( f ) 2 4 b T p - 2 T b - 1 T b 0 1 T b 2 T b f 제 8 장기저대역전송 36 / 74

Line Coding 방식선택시고려사항 Bandwidth: should be as small as possible Manchester coding: large BW Multilevel coding 의경우 BW reduction 가능 Power efficiency: For a given bandwidth and a specified detection error probability, the transmitted power should be as small as possible. Noise immunity NRZ 가 RZ 에비해성능우수 Self-clocking Manchester code has inherent synchronization feature. 제 8 장기저대역전송 37 / 74

Line Coding 방식선택시고려사항 DC component (PSD 의특성 ) f = 0 (dc) 에서 PSD 가 zero 가되는것이바람직함 Magnetic recording system 이나 repeater 의 ac coupling 은저주파신호성분에민감하지않음 Þ low freuency (near dc) information could be lost Manchester 와 bipolar RZ code 는 dc 성분 = 0 Error detection 어떤 code 는 ( 예 : bipolar RZ) error detection 을위한비트를추가하지않고도수신측에서 error detection 가능 제 8 장기저대역전송 38 / 74

Channel Effects Distortionless channel s( t) H ( f ) r( t) = ks( t - t0) s( t ) r( t) h( t) = kd ( t - t ) H ( f ) = ke 0 - j2p ft 0 k H ( f ) ( f ) Þ H ( f ) = k all pass filter f f ( f ) = -(2 pt ) f linear phase 0 제 8 장기저대역전송 39 / 74

Channel Effects Practical channel t T b (a) S t (b) t (c) (a) 송신신호파형 (b) 잡음만있는경우의수신신호파형 (c) 채널대역폭이제한된경우 (d) 대역폭이 (c) 보다더작은경우 (d) t 제 8 장기저대역전송 40 / 74

Channel Effects 심볼간간섭 (ISI: Inter Symbol Interference) 송신기에서는 T b 마다펄스를전송하는데, 채널을통과하여수신된펄스가 T b 보다넓게퍼지게되면이웃하는펄스에간섭을일으키게된다. 이러한현상을심볼간간섭이라하는데현재의심볼 ( 비트 ) 을검출할때인접한심볼의간섭에의해검출오류가발생한다. ISI 는주로채널에의한펄스의퍼짐현상에의해발생하나펄스성형과정에의해서발생하기도한다. ISI 가문제되는것은잡음이존재하지않는경우에도검출오류를발생시킬수있다는것이다. 제 8 장기저대역전송 41 / 74

Eye Diagram Eye diagram 데이터전송과정에서발생하는신호의모양을그림으로살펴볼수있는방법 수신된펄스열을몇개의비트구간으로계속겹쳐서그린파형 오실로스코프에서타이밍신호를심볼구간마다 ( 또는몇개의심볼구간마다 ) 트리거시키고여러심볼 ( 또는비트 ) 구간동안신호를겹쳐 그려서만들수있다. 제 8 장기저대역전송 42 / 74

Eye Diagram 2 Eye Diagram 2 Eye Diagram 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0-0.5-0.5-1 -1-1.5-1.5-2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time [sec] x 10-3 -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time [sec] x 10-3 이상적인채널에서의 eye diagram (R b = 1 kbps) 대역제한채널에서의 eye diagram (f cut-off = 2500 Hz) 제 8 장기저대역전송 43 / 74

Eye Diagram 2 Eye Diagram 2 Eye Diagram 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0-0.5-0.5-1 -1-1.5-1.5-2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time [sec] x 10-3 -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time [sec] x 10-3 대역제한채널에서의 eye diagram (f cut-off = 800 Hz) 대역제한채널에서의 eye diagram (f cut-off = 500 Hz) 제 8 장기저대역전송 44 / 74

Eye Diagram 2 Eye Diagram 2 Eye Diagram 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0-0.5-0.5-1 -1-1.5-1.5-2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time [sec] x 10-3 -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time [sec] x 10-3 잡음은없고대역제한필터만있는채널 (f cut-off = 800 Hz) 잡음과대역제한필터모두있는채널 (f cut-off = 800 Hz) 제 8 장기저대역전송 45 / 74

Eye Diagram Eye Diagram 의분석 Eye diagram 은데이터전송시스템에서채널의영향을파악하는데매우유용한방법이다. 필터의대역폭이작을수록그리고잡음의전력이클수록눈의모양이더욱닫히게된다. 수신기에서 1 과 0 을판정하기위하여신호를샘플링하는최적의 시간은바로눈이가장크게열리는순간이다. 제 8 장기저대역전송 46 / 74

Pulse Shaping 1, 0 데이터열을전송가능한펄스혹은파형으로변환시키는과정을 pulse shaping 이라고하고데이터열을 pulse-shaping filter 에통과시킴으로써원하는파형을얻을수있다. Design Goal 신호의대역폭조건을만족하고 필터출력에서 ISI 가최소가되도록필터를설계 Signal Bandwidth 신호의전송데이터율이주어진조건하에서 ISI 없이전송할수있는신호의최소대역폭은? 제 8 장기저대역전송 47 / 74

Ideal Pulse Shaping for Zero ISI Rectangular pulse shaping æ t ö p( t) = P ç è Tb ø P( f ) = T sinc( ft ) b b First null BW: 1/T b = 1 MHz, First sidelobe: 13.6 db down 단점 : Large signal bandwidth & Large spurious emission 제 8 장기저대역전송 48 / 74

Ideal Pulse Shaping for Zero ISI Ideal lowpass filter 장점 : signal bandwidth 를최소화 p( t) P( f ) 1 T b -3T b - -Tb 0 Tb 2T b 3T b 2T b t 1-0 2T b W o = 1 2T b f 제 8 장기저대역전송 49 / 74

Ideal Pulse Shaping for Zero ISI Ideal lowpass filter 의출력 펄스들이시간적으로중첩되지만샘플링시점에서는상호영향을미치지않으므로 ISI 가 0 이된다. - -Tb 0 Tb 2T b 3T b 2T b 4T b t sampling 제 8 장기저대역전송 50 / 74

Ideal Pulse Shaping for Zero ISI Practical difficulties in ideal lowpass filter Sinc 함수를사용하여펄스성형을하면신호의대역폭이최소가된다는장점이있지만구현상문제점이있다. Physically unrealizable: infinite number of filter tabs 실제론유한한탭을가진 lowpass filter 를사용하며 Sinc 함수를사용할경우 ISI 및 out-of-band emission 이증가함 따라서 Sinc 함수를사용하는대신 lowpass filter 를설계해야함 (remez.m) 제 8 장기저대역전송 51 / 74

Pulse Shaping: Raised Cosine Filter Raised cosine filter ISI를최소화할수있는보편적인 pulse-shaping filter é cos( p rt / T ) ù b p( t) = hrc ( t) = sinc( t / Tb ) ê 1 (2 / ) 2 ú ë - rt Tb û 0 r 1: roll-off factor Transition band 의주파수응답이 cosine 모양 ìtb f < Wo - fd ï ïtb ïì æ p ( f - f1 ) öïü P( f ) = H rc ( f ) = í í1 + cos ç ý Wo - fd < f < Wo + f ï 2 ïî è 2 fd øïþ ï î0 f > Wo + fd 대역폭 : D 제 8 장기저대역전송 52 / 74

Pulse Shaping: Raised Cosine Filter 이론적최소대역폭 W o 를넘는추가대역폭 f D 를초과대역폭 (excess bandwidth) 이라한다. H ( ) ( ) rc f = P f T b f D f D 1 Wo = 2Tb minimum bandwidth filter raised cosine filter -W o f 1 W o 0 W f excess bandwidth f D 제 8 장기저대역전송 53 / 74

Pulse Shaping: Raised Cosine Filter Roll-off factor 0 r 1 r = 0 (f D = 0) 이면이상적인 sinc 펄스성형필터가된다. Raised cosine filter 의대역폭 제 8 장기저대역전송 54 / 74

Pulse Shaping: Raised Cosine Filter Roll-off factor 와필터의특성 초과대역폭 f D 가클수록 ( 또는 roll-off factor r 이클수록 ) 펄스성형필터의차단특성이완만해져서구현이쉬워지고 임펄스응답의크기가빠르게감소하여타이밍에러에덜민감하게된다. 초과대역폭이최대인경우 ( 즉 r = 1 인경우 ) 주파수응답 T é æ b p f öù æ f ö P( f ) = H rc ( f ) = ê1 + cosç ú P ç 2 ë è 2W o øû è 4W o ø T æ p f ö æ f ö ç ç 2 è 2Rb ø è 2Rb ø b 2 = cos P 4 대역폭이 R b Hz 가되어이론적최소대역폭의두배가된다. 제 8 장기저대역전송 55 / 74

Pulse Shaping: Raised Cosine Filter Roll-off factor 와필터의특성 초과대역폭이최대인경우 ( 즉 r = 1 인경우 ) 임펄스응답 ( 펄스파형 ) écos( pt / T ) ù b hrc ( t) = sinc( t / Tb ) ê 2 2 ú ë 1-4 t / Tb û 4 임펄스응답의감쇠속도가 1/t 3 로상당히크다. 4 따라서타이밍지터에의한영향을작게받는다. 제 8 장기저대역전송 56 / 74

Pulse Shaping: Raised Cosine Filter Roll-off factor 와필터의주파수응답 H ( ) ( ) rc f = P f T b r = 0 r = 0.5 r =1 0 W o 1.5W o 2W o f (a) W = W + f = (1 + r) W o D (1 + r) Rb = 2 o 제 8 장기저대역전송 57 / 74

Pulse Shaping: Raised Cosine Filter Roll-off factor 와필터의임펄스응답 1 제 8 장기저대역전송 58 / 74

Pulse Shaping: Raised Cosine Filter [ 예제 ] 음성신호 (300~3000Hz) 를샘플링율 f s = 8000 samples/sec로샘플링한다고가정하자. (a) PAM 신호를 roll-off 계수가 r = 0.5인 raised cosine 필터를사용하여펄스성형을하여전송한다고가정할때 ISI 없이 PAM 신호를검출할수있도록하는시스템의최소대역폭을구하라. (b) PAM 샘플을 256개레벨로양자화한다고가정하고, 이진 PCM 신호를 ISI 없이수신할수있도록하는시스템의최소대역폭을구하라. 제 8 장기저대역전송 59 / 74

Pulse Shaping: Raised Cosine Filter [ 풀이 ] 1 1 (a) W = Wo (1 + r) = (1 + r) Rs = (1 + 0.5) 8000 = 6 KHz 2 2 (b) R b = 8R = 64Kbps s 1 1 Wmin = Wo = Rb = 64000 = 32 KHz 2 2 제 8 장기저대역전송 60 / 74

Summary Various line coding schemes have been studied for the transmission of baseband digital signals over the channel along with their spectral characteristics. The intersymbol interference due to channel and eye pattern have been addressed. The design issues for the pulse-shaping filter to change data seuences into the waveform suitable for the transmission over the channel have been studied. The pulse-shaping filter should satisfy Signal bandwidth reuirement Small intersymbol interference 제 8 장기저대역전송 61 / 74

Appendix 랜덤펄스열의전력스펙트럼밀도 제 8 장기저대역전송 62 / 74

Random Pulse Train Line Coding 에의해발생된신호 T b : 비트주기 p(t): 기본펄스 4 NRZ 방식인경우펄스폭이 T b 인구형펄스 4 RZ 방식인경우펄스폭이 T b /2인구형펄스 a k : 데이터비트에의해결정되는계수 4 양극성인경우 +1, -1 4 단극성인경우 +1, 0 제 8 장기저대역전송 63 / 74

Random Pulse Train p( t) t (a) T b y( t) kt ( k + 1) T b b t (b) 제 8 장기저대역전송 64 / 74

Random Pulse Train 의발생모델 x( t ) p( t) y( t) = x( t) * p( t) S ( ) x f P( f ) S ( f ) = P( f ) S ( f ) y 2 x 제 8 장기저대역전송 65 / 74

x(t) 의 Autocorrelation x( t) = lim xˆ ( t) D 0 R 1 T /2 ˆ ( ) lim ˆ( ) ˆ x t = x t x ( t t ) dt T T ò + -T /2 제 8 장기저대역전송 66 / 74

x(t) 의 Autocorrelation 제 8 장기저대역전송 67 / 74

x(t) 의 Autocorrelation Autocorrelation 은우함수이므로 제 8 장기저대역전송 68 / 74

x(t) 의 Autocorrelation Rx ˆ ( t ) R -T b -D D DT 0 / b T b R DT 1 / b 2T b 3T b t (d) 제 8 장기저대역전송 69 / 74

x(t) 의 Autocorrelation 겹치는부분이없으므로 autocorrelation = 0 의 k 번째펄스가의 k+1 번째펄스와겹치게된다. 제 8 장기저대역전송 70 / 74

x(t) 의 Autocorrelation 지연시간이다시증가하여 T b +D 보다커지면펄스가겹치지않아서자기상관함수의값은 0 이되고, 좀더증가하여 2T b 에근접하면 k+1 번째펄스와 k+2 번째펄스가다시겹치게된다. 이와같은관계는 t = ±nt b 근방에서계속일어난다. 따라서의자기상관함수는중심이 t = ±nt b 에있고크기는 R n /DT b 이며, 폭이 2D 인삼각펄스열이된다. 즉, v) R ( t ) = lim R ( t ) x R xˆ 1 æ t - ntb ö ( t ) = å Rn ç 1 -, DTb n=- è D ø D 0 xˆ D 0 면삼각형은크기가 1인단위임펄스가되므로 제 8 장기저대역전송 71 / 74

x(t) 의 autocorrelation x(t) 의 Autocorrelation Rx ˆ ( t ) R -T b -D D DT 0 / b T b R DT 1 / b 2T b 3T b t (d) R ( ) x t R / 0 Tb R / 1 Tb R / 1 Tb -T b 0 T b 2T b R / 2 Tb 3T b t (e) 제 8 장기저대역전송 72 / 74

x(t) 의 PSD x(t) 의 PSD 제 8 장기저대역전송 73 / 74

y(t) 의 PSD Since Random pulse train y(t) 의 PSD 제 8 장기저대역전송 74 / 74