그리스수학사간추린내용 고려대학교이과대학수학과 김영욱 2011. 03. 1 Anglin 의책에서 1.1 Civil Servant를위한수학아리스토텔레스는수학이이집트의사제들로부터시작했다고생각했다. 그이유로는 그곳에서는사제계급사람들은여가를가질수있었기 때문이라고생각했다 (Metaphysics 981b 23 24). 그러나헤로도토스는기하가만들어진것은나일강이매년범람할때마다땅의구획을다시재고경계를나눌필요가있어어라고믿었다. 실제로데모크리토스는이집트수학자들을 rope-stretcher라고불렀다. 신기하게도철학적인관점에서이집트사람들은수학이신 ( oth) 의영역에서부터나온것이라고생각했다. 이런것을 Platonism이라고부른다. 이의반대로인간의동물적본성에서시작했다는관점을 Aristotelianism이라고한다. 이절의마지막에는 피라미드의크기를재서보니이집트사람들이 π 의값으로 3.14를알았다 고하는생각이사실이아니라는근거를, 이보다 1000년후의 Rhind Papyrus 의 π 값이 3.16 이라는사실에서대고있다. 1.2 수메르, 바빌로니아수메르와바빌로니아의수학은그동네 ( 현이라크 ) 에서발견된점토판의내용에서알수있다. 가장발전했던것은 B.C. 575년경인 Nebuchadnezzar( 성경에서느부갓네살이라고부르는 ) 의통치시대였다. 그러나그대부분의수학은 B.C. 2000년경에이미만들어진것이다. 바빌로니아사람들은 60진법을썼으며이것은그리스시대에 Nicaea의 Hipparchus 에의해서그리스천문학에도입되어현재 1시간에 60분이라는분법으로계승되었다. 그사람들은 pythagorean triples에대해알았다. 그리고제곱근의근사값을구하는데지금뉴튼의반복근사법에해당하는계산을할줄알았다. 1.3 연역법의시작고대의그리스는현재의그리스지역은물론터키의서쪽해변가인 Ionia에서남부이태리까지에걸쳐있었다. B.C. 600년경사람인 Miletus¹ 의 ales는이집트에가서기하를배웠다. 탈레스는몇가지고전기하학의정리를만들었다고알려져있다. 그러나이정리들은그이전의이집트와메소포타미아사람들이알고있던내용이다. 이것을탈레스의이름을붙이는이유는트가이정리들을처음증명했기때문이다. 이 것 이 그 리 스 ¹ 현재터키의남서부해안지역 1
전 의 수 학 과 그 리 수 학 의 본 질 적 인 차 이 이 다. 그리스사람들은수학적결과들사이의논리적관계를세웠으며몇개의전제조건 ( 공리 ) 로부터정리들을이끌어 ( 연역해 ) 내었다. 또탈레스는다음과같은철학적주장들을했다 : 1. 이세상에는하나이상의존재가있다 ; 2. 이세상의존재는단한종류 ( 물, water) 이다 ; 3. 물리적세상은연결되지않은조각 (quark 등 ) 으로이해하면안되고연결된물질 ( 즉, 공간 ) 로이해하여야한다. 현대물리학의내용과비록틀리더라도이러한내용이중요한이유는이 러 한 문 제 를 처 음 제 기 한 것 이 탈 레 스 라 는 점이다. 1.4 Pythagras 학파 Pythagoras는현재터키지방의해안의섬인 Samos에서태어났다. Iamblichus 등의기록에의하면피타고라스는 Babylonia 사람들밑에서공부했다. 점토판에서알수있듯이, 바빌로니아사람들은피타고라스삼각형, 즉피타고라스수 (2uv, u 2 v 2, u 2 + v 2 )² 로잘못되어있음. 수정할것. 에대하여잘알고있었으며, 따라서피타고라스는이것을그들에게배웠을것이다. 따라서그는이정리를발견한것은아니며그증명을처음한정도인지모른다. 피 타 고 라 스 가 피 타 고 라 스 정 리 의 증 명 을 처 음 했 는 지 도 알 수 없 다. 또피타고라스는조로아스터교인즉 Magi 밑에서공부했으며, 인도에서공부했을가능성도있다. B.C. 525년경에피타고라스는이태리남부의 Croton으로옮겨서거기서학파를만들었고이중한명인 eano와결혼했다. 피타고라스는 모든것은수이다 라고주장했다. 이말의뜻은모든현상은자연수 (whole numbers) 와그의비 (ratio) 로설명할수있다는뜻이다. 한변의길이가 1인정사각형의대각선의길이가유리수가아니라는사실을그의추종자들이발견했지만, 피타고라스자신은이사실을알지못했다. 그는 10이라는수에특별한의미를두었다. 그는이를신성한수 (divine number) 라고했다. 피타고라스학파는그들의연구결과를모두피타고라스의이름을붙였다. 그러나이가운데진짜로피타고라스가했다고밝혀진것은하나도없다. 중요한결과들에는다음과같은것이있다 : 1. 피타고라스정리의증명 ; 2. 산술평균, 기하평균, 조화평균의성질들 ; 3. 완전수와 amicable pair; 4. 정다면체 ; 5. 2 가유리수가아니라는사실 ; 6. 도형수 ( 삼각수, 사각수등등 ). 1.5 피타고라스학파의수론피타고라스학파는완전수에관심이많았고, 유클리드의원론에서이와관련된사실을볼수있다. 아마도 Archtas(428 347 B.C.) 라는피타고라스학파의일원이증명하였다고생각되는사실은원론 Book IX에나오는정리인 n = 2 m 1 (2 m 1) 꼴의수가완전수라는증명이다. 이증명은가우스가정수의인수분해의유일성 (unique factorization) 을제대로증명할때까지는완전한증명이아니었다. ( 원론에있는이런꼴의자연수에대한인수분해의유일성의증명은완벽하지못하다.) 이이론은메르센느 (Mersenne) 의소수, Lucas의이론, Euler가증명한모든짝수인안전수는이런꼴이라는사실의증명등과연관되어있다. 1.6 피타고라스학파의기하 그들은정다면체 (regular polyhedra) 즉 Platonic polyhedra 에대해관심이많았다. 정다면체는 5 개가있다 : 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정 20 면체, 정 12 면체. 피타고라스는이중앞의 4 개는알고있었지만정 12 ² 앞의버젼에서 (4uv, u 2 v 2, u 2 + v 2 ) 2
면체를발견한사람은 Hippasus(470 B.C.) 이다. 정다면체가 5개뿐이라는것은유클리드의원론에증명되어있다. 원론의마지막책에서이 5개의정다면체의이론을전개한다. 그리스인들은삼각법도미적분도사용하지않고이 5개의정다면체의기본적성질을모두증명하였다. 예를들면원론에는이정다각형의한변의길이와이다각형에외접하는구면의반지름의비를모두계산하였다. 1.7 피타고라스학파와무리수고대그리스사람들은통약 ( 通約, commensurable) 이라는개념을만들어썼다. 이것은두양 ( 예를들면두선분의길이 ) 이동시에어떤작은양의자연수배가된다는개념이다. 이것은이두양의비가자연수의비로나타내어진다는뜻이고, 하나가다른것의유리수배가된다는말이다. 피타고라스학파는정사각형의대각선의길이가한변과통약이아님을알아내었다. 이의증명은아리스토텔레스의 Prior Analytics 41a23-30에있다. 처음에이학파의사람들은이사실을비밀로하였다. Hippasus(470 B.C.) 가이사실을발설하여서수장되어죽었다는이야기가있다. 1.8 무한의발견세상에는단하나의존재밖에없다는것을주장하는사람을 monist라고한다. 이태리지방의 Parmenides는 monist였고그의제자에제논 (Zeno, 450 B.C.) 이있다. monist는세상에는움직임이없다고한다. 움직이는것이있으면그것의출발점과도착점이있어두가지이상의것이있게되기때문이다. 움직임은환상 (illusion) 이라고주장했다. 제논은움직임이없다는그의스승의관점을지지하는 4가지의논증을했다. 이중첫번째것은움직임에대해두번째역설과유사한논리로전개했다. 두번째것은아킬레스와거북이의역설이다. 세번째것은유명한제논의화살의역설이다. 네번째논증은속력의최대값이존재한다고가정하는주장이다. 이모든논증은다음과같은형식을지닌다. 무한이없다고하고, 다른것과비교하면 ( 예를들면공간이연속적이라던가 ) 모순이되어운동이존재할수없다. 이를뒤집어대우를생각하던가하면움직임을가정하고다른것과비교하면무한이존재함을받아들여야한다. 한편그리스북동부의 Abdera 지방의데모크리투스는결정론자였다. 그는 무한한옛날부터 ( 무한한미래까지 ) 모든것은이미결정되어있다 고했다. 1.9 플라톤이전의아테네수학 B.C. 479년에페르시아를몰아내고나서아테네는그리스문명의중심지가된다. 이것은아테네가 B.C. 404 년의펠로폰네소스전쟁에서스파르타에게패전하고나서도계속되었다. 아테네는여자, 노예, 외국인에게는인권이별로없었지만반면에예술과과학을하는사람들에게는좋은환경을제공하였다. Aeschylus, Sophocles, Euripides 같은극작가가배출되고, Socrates, Plato, Aristotle과같은위대한철학가가나왔다. 수학에서는 Hippias, Antiphon, Hippocrates, eaetetus, Eudoxus, Menaechmus 등이배출되었다. 3
B.C. 332년에이집트에 Alexandria가건설되면서라이발시대를맞이했지만 A.D. 529년에유스티아누스대제 (Justinian) 가플라톤이세운 Academy를폐쇄할때까지그명성을유지하였다.³ 이시기수학자들의업적에는여러가지가있다. 또 B.C. 430년의장티푸스역병이돌때 Delos 신전에서신탁으로받았다는유명한문제인 입방배적문제 ( 立方倍積問題 ) 가있다. 그리스인들은이문제의근사해를구하는법은잘알고있었다. 그러나이문제는정확한 (exact) 해를작도 ( 구성, construct) 하는방법을묻는문제이다. 소크라테스는수학자는아니지만그의 argument에서논리적방법을많이썼다. 일화로플라톤의 Meno 에남아있는이야기가있다. 이이야기는 uneducated 노예소년에게직관적인사각형넓이문제를물어보고그의틀린답을들은후, 논리적인질문을통해서소년이잘못되었음을자각하도록야도하고계속해서소년이이해하는데까지이르도록만드는것을보여준이야기이다. 이러한방법을문답법또는산파술 (method of elenchus) 이라고한다. 1.10 플라톤이후플라톤은그의스승인소크라테스의처형이후에북아프리카를여행하며현재의리비아인 Cyrene의수학자 eodorus와같이공부하였다. 또나이 40이되어서는이탤리를방문하여피타고라스학파의 Archytas와같이지냈다. B.C. 380년경에 Academy를세웠고그문앞에는 기하학을모르는자는들어오지말것 이라고써놓았다. 그의저서의여러군데에수학을사용한 argument가있다. 아리스토텔레스는플라톤의제자며논리학을연구하였다. Prior Analytics에서 syllogism( 삼단논법 ) 에대하여논하였다. 여기서그는명제를네가지형태로나누고이가운데세개의인과관계가항상참이거나아닌경우에대하여논하였다. Posterior Analytics에서는지금의연역법에대한이론을구성하였다. 이것은유클리드에의하여받아들여져서현재수학으로이어진다. 이방법은공리라는명제들로부터시작하여정리라는명제들을증명한다. 증명의각단계는공리나또는이미증명된정리나논리법칙으로부터정당화되어야한다. 아리스토텔레스는 De Interpretatione에서형식논리를개척했다. 1.11 Eudoxus 플라톤의제자중의하나인 eaetetus는제곱수가아닌자연수의제곱근은무리수임을증명하였다. 그의연구결과들은유클리드원론의 Book X, XIII를이룬다. Eudoxus는원론의 Book V, XII의내용을만들었다. 그는플라톤의학원에공부하러다녔고또플라톤과논쟁을하였다. Eudoxus는원의넓이가그의지름의제곱에비례한다는것을증명하였다. Menaechmus는플라톤과 Eudoxus의제자이다. 그가알렉산더대왕에게다음과같은말을했다. O King, through the country there are private roads and royal roads, but in geometry there is only one road for all. Menaechmus는 2차곡선을발견했다. 그는 2차곡선의성질을연구하고이를사용해서입방배적하는방법을발견했다. 그는아마도다음과같은방법을사용했을것으로생각된다 : 포물선 y = 1 2 x2 과 x = y 2 의교점의 y 좌표는 3 2 이다. 플라톤은그가자와컴파스만사용하지않은것에불만이었지만그것이불가능하다는것을당시에는몰랐다. ³ 이것은플라톤의 Academy 가기독교의교리를받아들이지않았기때문이다. 4
2 유클리드의원론 2.1 원론의배경 원전피타고라스학파 Hippocrates Eudoxus eaetetus 원론의 Book number I, II, VI, VII, VIII, IX, XI III, IV V, XII X, XIII 유클리드의업적은단지이원론을논리적으로정리정돈하는것이었다. 원론은결국소수의정의와가정으로부터모든것을조심스럽게이끌어내는공리적인구조이다. 이구조는다음과같은것들의모델이되었다 : 아퀴나스의 Summa Contra Gentiles, 뉴튼의 Principia, 스피노자의 Ethics. 당시에수나대수의기초나집합등의개념이없는상황에서유클리드가택한것은점과선을기본으로하여출발하여, 셈의법칙을기하를써서나타내었다. 즉유클리드의수는선분이었다. 2.2 이후의그리스수학이후의발전에는다음과같은사람들이있다 : Aristarchus(310 250 B.C.), Archimedes(287 212 B.C.), Apollonius(260 190 B.C.), Eratosthenes(275 195 B.C.). 이시기의수학은원과 2차곡선의이론이다. 이후에 Hipparchus(180 125 B.C.), Menelaus(100 A.D.), Nicomachus(100 A.D. 경 ), Diophantus(250 A.D. 경 ), Pappus(320 A.C. 경 ), Hypatia ( 415 A.D.) 등의수학자가있었다. 이시기의말기에들어서면서그리스수학은단순한주석달기수준에머무르게되고 A.D. 529년에유스티아누스대제가플라톤이세운학원을폐쇄하면서학자들은페르시아로망명했다. A.D. 641년에알렉산드리아가페르시아에패하면서알렉산드리아의도서관이불타고고대그리스의수학은종말을고했다. 당시의그리스학자들은신흥종교인기독교를받아들이지않았고로마제국에서예로부터의학문과새로운종교사이에분열이생김으로인하여로마제국은약화되었고서구문명은오랜동안암흑기로들어가게된다. 이것을다시밝히게되는것은토마스아퀴나스 (1225 1275) 가성경과함께유클리드원론의영향을동등하게받아서만든발전된철학이나오면서부터이다. 3 간추린역사적관점 : 탈레스에서유클리드까지 Eves 에서 그리스수학에서첫 3세기동안에탈레스가증명의방법을도입 (B.C. 600년경 ) 한데서부터유클리드가원론을완성한데 (B.C. 300년경 ) 까지의발전은눈부신것이다. 보통이오니아의탈레스가밀레투스에학교를세운것과피타고라스가 Crotona에학교를세운것을이야기하지만당시그리스지역전역에걸쳐서많은수학의중심지 (center) 들이만들어지고융성했다. 도리아부족이 B.C. 1200년경에척박한땅을떠나남하하면서그리스반도로들어왔다.⁴ 그들중에중심부족인 Spartan이스파르타를세웠다. 이전부터이지방에살던사람들은쫓겨나서흩어졌다. 그들은소아시아, 에게해의이오니아섬들로흩어져서무역을위한그리스들의집단거주지 (Greek trading colonies) 를세웠다. 탈레스의이오니아학교가세워진것이이집단거주지에서시작되었고, 이로부터그리스철학과논증기하가꽃을피웠다. ⁴ 아마도빙하기나소빙하기와연관이있을듯? 확인필요. 5
같은시기에페르시아는강력한군사력의제국이되었고, 노여제도에의존한국가는외부로팽창하면서그리스와충돌하게된다. B.C. 546년에이오니아의도시들과소아시아의그리스인거주지들을복속시켰다. 그결과피타고라스나 Xenophanes 등의 ( 철 ) 학자들은고향을떠나서당시성했던남부이태리의그리스인거주지로옮겨갔다. 이것이피타고라스가세운 Crotona 의학교와 Xenophanes와 Zeno, Parmenides 등이세운 Elea의학교들이다. 이학교는철학과수학학교이다. B.C. 499년에아테네가뒤에서지원하여이이오니아지방의그리스인들이페르시아에반란을도모했으나불발로끝났다. 그러나이사태로페르시아의왕다리우스가그리스를징벌하려고 B.C. 492년에침공하나악천후로실패하고, 그로부터 2년후에다시쳐들어오나 Marathon에서아테네에게참패한다. 이때부터아테네가그리스의중심지로부상한다. B.C. 480년에다리우스의아들 Xerxes가다시침공하여스파르타가이끈육군은 ermophlae에서참패를하지만아테네가이끈 Salamis 해전에서승리하여페르시아를물리치고다음해 Plataea 전쟁에서승리하여페르시아군을몰아낸다. 이로얻은아테네의융성과 50년동안의평화동안에그리스의학문은눈부시게발전하였다. Pericles와 Socrates 등의도시는민주주의와지적인발전의중심이되었으며⁵, Anaxagoras, Zeno, Hippocrates와같은많은수학자들이그리스전역에서아테네로모여들었다. B.C. 431년에아테네와스파르타사이에펠로폰네소스전쟁이발발하여평화가깨지고, 역병이돌아아테네인구의 1/4이사망하는일을겪은후에 B.C. 404년아테네는패전했고, 스파르타가권력을잡았으나이도 B.C. 371년에다른도시국가에게내주고만다. 이동안은학문의발전은없었고, 전쟁이끝난후에남이탤리의피타고라스학파가다시돌아와 Tarentum에학교를열고재능있고숭앙받았던 Archytas가이를이끌었다. 펠로폰네소스전쟁이끝나고아테네는정치에서는멀어졌지만학문적으로는계속주도권을쥐고있었다. 역병의시기에 Plato가태어나서소크라테스에게서공부하였으며, 수학은북아프리카의도시인 Cyrene 에가서 eodorus에게서배웠다. 그는 Archytas와절친한친구였으며 B.C. 380년에돌아와서유명한학원 (Academy) 을열었다. Eudoxus는 Archytas와 Plato 모두에게배웠으며북소아시아의 Cyzicus에학교를세웠다. Menaechmus는 Eudoxus의학생으로 Plato를도우면서 2차곡선의개념을처음만들었다. 당시에는 eodorus의재능있는학생으로 eaetetus가나왔으며모두유클리드의원론에수록된내용에일조하였다. 3.1 그리스수학의갈래그리스수학은다음 3가지로발전하였다. 우선유클리드의원론에집약된기하학이있으며후에계속하여발전했다. 두번째는무한소와무한및극한의개념에대한것으로 Zeno의역설이나 Antiphon과 Eudoxus에의해사용된 method of exhaustion 등과 Democritus에게서나온 atomistic theory 등이다. 세번째는유명한작도불가능문제를풀기위해서개발된고급기하학이다. 유클리드의기초적인기하학이직선과원을중심으로한것인데반하여고급기하학은직선과원외의곡선과평면이나구면이아닌곡면에대한이론이다. 그리스수학이발전한이유로이작도불가능문제세개가지대한역할을했다는평가가있다. 많은문제를해결할수있는직선과원을사용한작도법이적용되지않는문제를가지고있었으므로이를해결하기위한시도를통해많은새로운이론들이만들어졌다고본다. 이문제는실제로는 2000년이지나서야불가능하다고판결날만큼어려운문제였다. ⁵meaning a lot of discussions 6
3.2 그리스의수학그리스의수학은수의이론을다루는수론 (Arithmetics) 과실질적인계산법을다루는 Logistics로나눈다. 그리고그리스인이다룬것은수와선분이었다. 이것은겉보기에는대수와기하로나뉘는것이지만그내용상보면실제로자연수 ( 정수 ) 와실수를다루는것에해당한다. Greece 수 선분 현대 자연수 실수 3.3 그리스수학의약점그리스에서수를사용할때는처음에는로마와바빌로니아에서이어받은이론을공부했고그쪽의방법을사용했으리라고보이나그리스문자를숫자로활용하는방법이개발되었다. 그리스알파벳으로 1,..., 9, 10,..., 90, 100,..., 900 을각각나타냈다. 모자라는글자는다른문자에서차용했다. 이방법은매우오래동안사용되어 A.D. 15세기까지계속되었다. 이방법은 decimal nonposition system, 즉 10진법이고자리를매기지않는방식이다. 따라서 ιδ = δι = 14이다. 이방법은너무원시적이어서자리매김을사용하는방법에뒤쳐지며이를사용한그리스수학이어느수준이상의발전에한계를갖는원인이되었다고생각된다. 참고문헌 [1] Anglin, W. S., Mathematics: A Concise History and Philosophy, UTM series, Springer, 1994. [2] Nicolaos K. Artemiadis, History of Mathematics, From a Mathematician s Vantage Point, AMS, 2004. [3] Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, 4th ed., ompson Learning, 1976. 7