J. Comput. Struct. Eng. Inst. Korea, 29(2) pp.201 208, April, 2016 http://dx.doi.org/10.7734/coseik.2016.29.2.201 pissn 1229-3059 eissn 2287-2302 Computational Structural Engineering Institute of Korea 확장유한요소법을이용한철근콘크리트보의다중균열해석 유현석 1 김한수 2 1 건국대학교건축구조전공, 2 건국대학교건축학과 Simulation of Multi-Cracking in a Reinforced Concrete Beam by Extended Finite Element Method Hyun-Suk Yoo 1 and Han-Soo Kim 2 1 Division of Architectural Engineering, KonKuk Univ., Seoul, 05029, Korea 2 Division of Architectural Engineering, KonKuk Univ., Seoul, 05029, Korea Abstract Recently, extensive research on crack analysis using extended finite element method(xfem) which has main advantages in element re-meshing and visualization of cracks has been conducted. However, its application was restricted to the members of a single material. In this study, the applicability and feasibility of the XFEM to the multiple crack analysis of reinforced concrete beams were demonstrated. ABAQUS which has implemented XFEM was used for the crack analysis and its results were compared with test results. Enriched degree-of-freedom locking phenomenon was discovered and its causes and the ways to prevent it were suggested. The locking occurs when cracks in the adjacent elements simultaneously develop. A modelling technique for multiple cracking similar to test results was also proposed. The analysis with XFEM showed similar results to the tests in terms of crack patterns, spacing of cracks, and load-deflection relationship. Keywords : extended finite element method(xfem), reinforced concrete, three point bending test(3pbt), phantom node methods, crack analysis 1. 서론균열해석연구에있어서과거에는 Cerbenka(1994) 와 Dahlblom(1990) 등에의해서분산균열 (smeared crack) 이나이산균열 (discrete crack) 의방법들에의한연구들이주를이루었으나, 최근에는분산균열의단점인가시성및이산균열의단점인요소망의재구성등의문제점들을보완한수있는확장유한요소법 (extend finite element method, XFEM) 이 Belytschko 와 Black(1999) 에의해서개발된이후이를이용한균열해석이활발히연구되고있다 (Lee et al., 2004; Zi et al., 2005; 2010). 확장유한요소법을이용한다중균열의연구또한 Belytschko(2004), Rabczuk (2007) 에의해서수행되었다. 하지만지금까지확장유한요소 법을이용한균열해석의경우 Zi(2010) 에의해서연구된아스팔트또는 Liu(2012) 의연구에서와같이강재, 그리고 Kim(2015) 의연구와같이콘크리트로만구성된단일재료부재에대한균열해석들이주로수행되어왔다. 2가지이상의복합재료에대한균열들도 Belytschko(2006) 등에의해서연구되어져왔으나, 확장유한요소법을이용한해석은미비한실정이다. 따라서본연구에서는확장유한요소법을이용하여복합재료로이루어진철근콘크리트부재의균열을해석하고실험결과와의비교를통해서그적용성과타당성을알아보았다. 본연구에서는상용유한요소해석프로그램인 ABAQUS 를이용해서확장유한요소해석을수행하였으며, ABAQUS 에서는 Song(2006), Rabczuk(2008) 에의해서연구된팬텀노드 Corresponding author: Tel: +82-2-2049-6110; E-mail: hskim@konkuk.ac.kr Received March 28 2016; Revised April 4 2016; Accepted April 18 2016 C 2016 by Computational Structural Engineering Institute of Korea This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons. org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. 한국전산구조공학회논문집제 29 권제 2 호 (2016.4) 201
확장유한요소법을이용한철근콘크리트보의다중균열해석 (phantom node) 를이용한확장유한요소법이구현되어있다. 본연구의타당성을검증하기위해서 Carpinteri(2011) 가실험한철근콘크리트보의휨실험결과와균열해석결과를비교분석하였다. 해석과정에서인접요소에동시에균열이발생할경우균열로인한불연속성이표현되지않는잠김현상이발견되었으며이에대한원인과해결방안을제시하였다. 또한실험과유사한다중균열이발생되도록하는모델링방안도제시하였다. 철근콘크리트휨부재에균열이발생하게되면구조물의휨강성이저하되고이는곧처짐의증가를초래하기때문에구조물의사용성에큰영향을미칠수있다 (Jouan, et al., 2012). 따라서가시적으로균열진전모습을확인하면서균열폭및처짐을해석할수있는해석기술을확보한다는것은구조물설계기술발전에큰도움이될수있다. 삭제가필요하지않으며 Michael(2009) 에의해연구된것과같이기존해석프로그램에적용하기쉽다. 확장유한요소법을사용할경우균열은요소내부어디에나위치할수있고, 균열경로는요소망과완전히독립적이다. XFEM 에서는균열이존재할경우균열면을경계로변위및응력의불연속성이발생하게되고, 이와더불어균열선단에서의응력집중이발생하게된다. 균열면에서의변위불연속성은식 (1) 와같은계단함수를이용하여나타낸다. (1) 또한 XFEM 에서는균열선단의응력특이성을표현할수있도록식 (2) 과같은특이함수를추가하여균열선단의변위를나타낸다. 2. 확장유한요소법 (XFEM) 이장에서는확장유한요소법의기본개념을소개한후 ABAQUS 에사용된팬텀노드법에대한이론을소개하고자한다. 2.1 부가자유도 (enriched DOF) 확장유한요소법은 Belytschko(1999) 에의하여발표된해석기법으로서기존의유한요소법을확장하여요소망의재구성없이균열진전해석을수행하는방법이다. 확장유한요소법은기존유한요소법의형상함수에균열로인한불연속성및응력특이성을표현하는함수를곱하여추가의형상함수를구성하고해당절점에추가된부가적인자유도를이용하여변위장을구성하는방법이다. 부가된자유도가 0의값을가지면기존의유한요소법과동일하게된다. 확장유한요소법의가장큰장점은요소망의재구성없이균열을요소내부에표현가능하고, 초기균열의위치를지정하거나예상하지않아도균열진전묘사가가능하다는것이다. Fig. 1과같이확장유한요소법에서는균열의묘사가요소내에서이루어지기때문에균열진전에따른절점의추가및 (2) 이때 은균열선단에서의거리, 는균열선단에서의접선에대하여상대적인, 해당절점을향한선분의각도를나타낸다. 불연속을나타내는함수와 4개의특이함수를기존유한요소법의근사변위함수와함께사용하면다음과같이균열에의한불연속성과균열선단에의한응력집중을동시에고려할수있는근사변위함수식 (3) 을얻을수있다. (3) 여기서, 는유한요소법의형상함수이며 는모델에포함된모든절점, 는불연속성을나타내기위한계단함수이고, 는균열이관통하는요소를구성하는절점의집합을나타낸다. 불연속성을표현하는추가적인형상함수이고, 는부가적인자유도이다. 는균열선단이위치한요소를구성하는절점을뜻하며 는균열선단의특이성을표현할수있도록추가된형상함수이고, 는 4개의특이함수에대한부가적인자유도이다. 본연구에서와같이점성균열 (cohesive crack) 을사용한균열진전해석을할경우에는균열선단의응력집중을나타낼필요가없으므로식 (2) 의기저함수와해당자유도는제외된다. 2.2 팬텀노드 (Phantom node) 법 Fig. 1 Crack propagation by XFEM ABAQUS 는확장유한요소법을구현하기위해서 Song 202 한국전산구조공학회논문집제 29 권제 2 호 (2016.4)
유현석 김한수 Fig. 2 The principle of phantom nodes methods; solid and hollow circles denote the original nodes and the added phantom nodes, respectively (2006) 에의해서연구된팬텀노드법을이용하였다. 앞서설명한확장유한요소법에서는절점에자유도를부가하는방식으로변위장을추가하였지만, 팬텀노드법은균열의발생에의해서상상 (phantom) 의절점을생성함으로써부가되는자유도를대신한다. Fig. 2는팬텀노드법을나타낸그림이다. 여기서 는기존도메인을의미하며, 는팬텀노드에의해규정되는도메인을의미하고, 각도메인의윗첨자의 +,- 기호는균열면을결정하는함수에의한도메인의불연속성을나타낸다. 팬텀노드법은 Fig. 2에서와같이균열이발생한요소를균열면이포함된 2개의요소를중첩하는방법으로균열을나타낸다. 기존확장유한요소법에서는절점에부가적인자유도를추가함으로써절점당자유도수가달라지지만팬텀노드법에서는절점당자유도수는일정하게된다. 하지만중첩된요소를위하여팬텀노드에해당하는절점과팬텀노드를가지는요소를추가해야하는복잡함은여전히존재한다. 팬텀노드법은 Hansbo(2004) 에의해서연구된 Hansbo 방법을이용해서요소방정식을중첩한것으로도볼수있다. 팬텀노드법은저차요소에쉽게적용이가능하고, 특히가우스적분점이 1개인요소들에특히유용하다. 팬텀노드법을보다쉽게설명하기위하여아래의 Fig. 3과같은 1차원요소에서불연속성이발생할경우를생각해볼수있다. 균열이발생하면팬텀노드 3과 4를추가하여기존의절점 1과 2로구성되었던요소를절점 1과 4로구성된요소 1과절점 2와 3으로구성된요소 2로나눈다. 식 (3) 의부가자유도를이용할경우의 1차원요소의변위장은식 (4) 와같이나타낼수있다. 여기서는균열선단의특이함수는제외하고균열로인한불연속만을포함하였다. (4) 를요소1에서의팬텀노드인절점4의자유도, 를요소2에서의팬텀노드인절점3에서의자유도 라고하면, 식 (4) 는식 (5) 과같이쓸수있다. 이때윗첨자는요소번호를아래첨자는요소에서의절점번호를의미한다. (5) 식 (5) 을통해서 Fig. 3에서나타낸것과같이팬텀노드에연결된추가적인요소를표현함으로써균열에의해서발생하는변위의불연속을표현할수있음을알수있다. 2차원요소와 3차원요소의불연속변위함수에대해서는 Belytschko (2006) 에서확인할수있다. 3. 다중휨균열해석 3.1 균열실험및해석모델확장유한요소법을이용한복합재료부재의다중균열해석의적용성및타당성을확인하기위하여 Carpinteri(2011) 가 (a) Longitudinal section Fig. 3 Phantom nodes methods in one dimensional element; solid circles denote the real nodes and hollow circles denote phantom nodes (b) Cross section Fig. 4 Dimension of test model 한국전산구조공학회논문집제 29 권제 2 호 (2016.4) 203
확장유한요소법을이용한철근콘크리트보의다중균열해석 수행한철근콘크리트보의균열실험결과와해석결과를비교하였다. 철근콘크리트보의 3점휨실험의모델은 Fig. 4와같다. 실험에서는 5개의철근비에따라각 4개의시편을제작하여유사정적조건의변위하중을가하여실험을수행하였다. 지점과보의중간부분, 그리고보경간의 2/3 의지점에서변위를측정하였으며, 균열의경로와진전과정은디지털카메라로측정하였다. 실험에서는무근콘크리트보를포함하여 Fig 4(b) 에나타낸 4가지단면에대한실험을수행하였다. 본연구에서는가장보편적인철근비이며수직균열과사인장균열이복합적으로나타나는 1.13% 의철근비를가지는경우에대하여해석을수행하여실험결과와비교하였다. 평면응력요소와트러스요소를이용하여 Fig 4(a) 와동일하게 2차원해석모델을작성하고 2φ12 의철근의단면적에해당하는 226.2mm 2 를트러스의단면적으로하였다. 해석에사용한재료물성은 Carpinteri(2011) 에서제시한재료물성을바탕으로 Table 1의값을적용하였다. Table 1에서 는철근의항복강도를 는철근의극한강도를 는콘크리트의항복강도를 E는탄성계수를 는콘크리트의파괴에너지를의미한다. 철근의재료모델은 Fig. 5와같은이중선형 (bilinear) 소성재료모델을적용하였다. Table 1 Material property of analysis model Steel bars (MPa) (MPa) 12 572 646 - Concrete (MPa) (MPa) (N/m) 36.75 33,058 111.5 Fig. 5 Material property of reinforcement 본논문의목적이확장유한요소법을이용한복합재료부재의균열해석이므로콘크리트의인장균열은재료모델이아닌확장유한요소법에의한불연속을표현하는형상함수에의하여표현될수있도록콘크리트의재료모델은단순한선형탄성모델로하였다. 하중은아래쪽방향으로해석모델의윗변중앙부에 20mm 의변위를시간에따라선형으로증가 시켰다. 확장유한요소해석의설정에필요한균열의시작기준은최대주인장응력 (Maxps) 으로설정하고 3MPa 을적용하였다. 해석모델은 Fig 6(a) 와같이작성되었으며, 콘크리트는감소적분 (reduced integration) 을사용하는 4절점평면응력요소로, 철근은트러스요소로모델링하였다. 철근은 embedded region 기능을이용하여콘크리트와완전결합시켰으며, 요소망의크기는보의깊이방향으로충분한수의콘크리트요소를만들기위해서 10mm 로설정하였다. 해석에사용된요소의수는평면응력요소 2,800개, 트러스요소는 20mm 길이로하여 70개이다. (a) cracking pattern (b) initial cracking Fig. 6 Analysis result 3.2 다중균열해석의문제점휨균열해석에서는가장큰인장응력이발생하는곳에서부터초기균열이발생하기때문에하중이가해지는중앙부밑면부분에서균열이발생할것으로예상된다. 해석모델에서균열이발생한요소의수평방향인장응력은균열발생이전까지는파괴기준인 3MPa 까지선형으로증가하다가파괴기준에도달하여균열이발생한이후에는균열이발생한요소의인장응력은이완되어야한다. 하지만 ABAQUS 의확장유한요소법으로균열해석을초기수행한결과는 Fig. 6(a) 와같고, 실제균열의발생양상과는큰차이를보인다. 해석결과를분석해보면 Fig. 6(b) 처럼초기균열이인접한요소에서동시에발생하고이후균열이상부로진전된다. 또한균열이발생한요소의시간에따른 ( 수직변위중가에따른 ) 수평방향인장응력은 Fig. 7과같이선형으로계속증가하는양상을보인다. Fig. 7에서빨간색점선은파괴기준으로적용한최대주인장응력을의미한다. 이런오류는확장유한요소법에서인접한두요소에서균열이동시에발생할경우, 부가자유도가공유됨으로써균열이발생한인접한요소사이에인장력이전달되기때문이다. ABAQUS 에서구현된팬텀노드법에서도마찬가지로균열이동시에발생한두인접요소사이의팬텀노드가공유됨으로써동일한잠김현상이발생한다. 본논문에서는이같은현상을부가자유도잠김 (enriched dof locking) 또는팬텀노드잠김 (phantom node locking) 204 한국전산구조공학회논문집제 29 권제 2 호 (2016.4)
유현석 김한수 Fig. 7 Tensile stress of x axis in cracked element 이라고부르기로한다. Fig. 8에서와같이인접한요소 2와 3에서균열이발생하는경우팬텀노드법에의해서요소 2와 3은각각요소 2-1 과 2-2, 그리고 3-1 과 3-2 로나뉜다. 이때요소 2-2 의우변팬텀노드와요소 3-1 의좌변의팬텀노드가공유됨으로써요소 2와 3 사이에잠김현상이발생한다. 만일공유되지않고추가의팬텀노드가생성된다면원래있던절점의자유도는구속을받지않는자유도로서해를구할수없는상태가된다. Fig. 8 Phantom node locking; solid circles denote the real nodes and hollow circles denote phantom nodes 팬텀노드잠김현상을 Fig. 9와같이 1차원요소를이용하여나타내면보다이해하기가쉽다. 절점 1과 2, 그리고 2와 3으로구성된요소에서불연속이동시에발생하게되면팬텀노드 4,5,6,7 이생성되고 5와 7이공유된다. 따라서절점 1의인장력은공유된 5-7 을통하여 3으로전달됨으로써뷸연속이없는것처럼거동한다. 만일공유되지않고독립적으로 거동한다면절점 2는팬텀노드 4와 6으로만연결된구속을받지않는절점이되어해를구할수없게된다. 부가자유도또는팬텀노드잠김현상을방지하기위해서는초기균열이인접한요소에서동시에발생하지않도록하여야한다. 이를위하여다음과같은 3가지의방법을제시할수있다. 첫번째는초기균열의위치를지정하는것이다. 그러나이방법은확장유한요소법의장점인초기균열의위치를지정하거나예측하지않아도된다는것을포기하는해석법이기때문에좋은방법은아니다. 두번째는해석의하중증분을작게하는것이다. 이경우단일요소에서만최대주인장응력을초과하는수준의하중증분크기를설정하여균열을해석한다. 세번째는요소크기를작게하여해석모델의요소수를늘리는방법이다. 응력집중이발생하는요소영역을축소하여단일요소에서초기균열이발생하도록하는것이다. 두번째와세번째방법은해석시간을증가시키지만확장유한요소법의장점인초기균열의발생위치를특정할필요가없고정확한해석이가능하기때문에유용하다. 본연구에서는앞서제시한세가지방법중두번째방법인하중증분을작게하여초기균열이단일요소에서발생하도록해석을수행하였으며, 그결과는 Fig. 10과같다. Fig. 10(a) 에서는 Fig. 6(a) 와는다르게단일균열이묘사되는것을볼수있다. 균열이발생한요소의수평방향인장응력역시 Fig. 10(b) 와같이균열발생이후에응력이이완되는것을확인할수있다. 인장응력이일시적으로파괴기준값인 3MPa 을넘어서는것은파괴기준응력을계산하는지점과수평응력을계산하는지점이다르기때문이다. Fig. 10의결과를통하여초기균열이인접한요소에서동시에발생하지않으면확장유한요소법의문제인부가자유도잠김현상을해결할수있음을알수있다. 하지만일반적으로철근콘크리트부재에서균열이발생하는경우 (a) a single crack Fig. 9 Phantom node locking in one-dimensional element; solid circles denote the real nodes and hollow circles denote phantom nodes (b) Tensile stress in a cracked element Fig. 10 Analysis result with a single crack 한국전산구조공학회논문집제 29 권제 2 호 (2016.4) 205
확장유한요소법을이용한철근콘크리트보의다중균열해석 균열이발생한요소의응력이철근에의해서주변의요소들로재분배가되면서단일균열이아니라다중균열이발생한다. 그러나 Fig. 10(a) 의해석결과에서는단일균열만이묘사되고있다. 또한해석모델에서단일균열이발생한보의중심부외에도보경간의 2/3 지점요소의수평방향인장응력이파괴기준을초과하는값을가지지만, 균열의발생이나진전은보이지않는다. Fig 10(a) 와같은단일균열의발생은 ABAQUS 의확장유한요소의영역이 1개의영역으로지정될경우균열을추적에사용하는레벨셋함수 (level set function; Stolarska et al., 2001) 의값이균열을기준으로부호를갖는거리 (signed distance) 로표현되는데단일균열의발생이후이값이변하지않기때문이다. 따라서동일한해석모델에대하여 Fig. 11(a) 와같은단일영역대신에 Fig. 11(b) 와같이 7개의영역별로각각의 enriched 영역을적용하면균열의불연속성을묘사하는함수를다중으로구현하여이러한문제를해결할수있고, Fig. 12와같은다중균열의해석이가능하다. Fig. 13 Cracked deform shape of test specimen (a) Single region (b) Multi region Fig. 11 Assignment of enriched region 3.3 비교분석본연구에서는해석한철근비가 1.13% 인실험체의균열양상 (Carpinteri, 2011) 은 Fig. 13과같다. 실험한철근콘크리트보의균열양상을살펴보면초기균열의위치나발생한균열의숫자등은다르지만균열의진전방향이보의상단중심을향하고있는균열의발생양상을확인할수있다. Fig. 12의다중균열의발생양상또한균열의발생이보의상단중심을향하고있는것을확인할수있다. 응력재분배에의한균열발생순서와균열개구부의폭등에대한정보가실험논문에포함되어있지않기때문에정확한 Fig. 14 Comparison of load-displacement curve between experiment results and ABAQUS analysis results 비교를통한분석이어렵지만, 다중균열의위치와간격과같은부분에있어서는매우유사한결과를보인다. Fig. 14는실험논문의하중-변위곡선의결과와균열을해석한경우의하중- 변위곡선의결과를같이도시한것이다. mode independent 는균열면에서의전단강성을고려하지않은것이고, shear retention 은균열면에서의전단의효과를고려한균열해석의결과를보인다. 해석모델에서는부착-슬립의효과나건조수축과크리프의효과를포함하지않고변위장의불연속성만으로균열을나타낸점을고려하면초기강성이나최대하중의크기등의면에서실험결과와상당히유사한결과를보여준다고할 Fig. 12 Cracking pattern with multiple cracks 206 한국전산구조공학회논문집제 29 권제 2 호 (2016.4)
유현석 김한수 수있다. 한편, 해석모델에서철근은이중선형소성모델을적용하고콘크리트는선형탄성모델을적용했기때문에콘크리트의압축파괴가발생하지않으므로실험결과처럼내력이감소하는형태를보이지는않는다. 4. 결론본논문에서는기존의단일재료부재에적용되었던확장유한요소법을이용한균열해석을철근콘크리트와같은복합재료부재에적용하였으며부재내에서응력의재분배에따른다중균열의발생까지도묘사가가능하다는것을확인하였다. 인접한요소에동시에균열이발생할경우의부가자유도잠김현상을규명하고그해결방법을제시하였다. 실제실험결과와비교분석을통하여해석의타당성을검증하였으며다음과같은결론을얻을수있었다. 1) 확장유한요소법을이용하여단일재료부재뿐만아니라복합재료부재인철근콘크리트보의다중휨균열을묘사할수있다. 2) 확장유한요소법에서인접요소에서균열이동시에발생하는경우균열의불연속성이반영되지못하는부가자유도또는팬텀노트잠긴현상이발생한다. 초기균열이단일요소에서발생하도록함으로써잠김현상을해결할수있다. 3) 균열을추적하는레벨셋값이별도로생성될수있도록부가영역을다수로설정함으로써다중균열의묘사가가능하다. 4) 휨해석에서는수직균열및사인장균열이구조물의거동을지배하므로균열과철근의항복만으로도실험과유사한최대내력과처짐을구할수있다. 5) 확장유한요소법을이용한균열해석에있어서콘크리트의소성재료모델, 부착 -슬립모델, 건조수축과크리프와같은시간종속적인효과가미치는영향에대한추가의연구가필요하다. 감사의글본연구는 2015년도미래창조과학부의재원으로한국연구재단이주관하는기초연구사업 ( 과제번호 2013R1A1A2013203) 의지원을받아수행되었습니다. References Belytschko, T., Black, T. (1999) Elastic Crack Growth in Finite Elements with Minimal Remeshing, Int. J. Numer. Methods Eng., 45(5), pp.601 620. Belytschko, T., Budyn, E. Zi, G., Moes, N. (2004) A Method for Multiple Crack Growth in Brittle Materials without Remeshing, Int. J. Numer. Methods Eng., 61, pp.1741 1770. Belytschko, T., Rabczuk, T. (2006) Application of Particle Methods to Static Fracture of Reinforced Concrete Structures, Int. J. Fract., 137, pp.19 49. Carpinteri, A., Carmona, J.R., Ventura, G. (2011) Failure Mode Transitions in Reinforced Concrete Beams-Part2: Experimental Tests, ACI Struct. J., 108, pp.286 293 Cervenka, J., Saouma, V.E. (1994) Discrete Crack Modeling In Concrete Structures, Fracture Mechanics of Concrete Structures. Dahlblom, O., Ottosen, N.S. (1990) Smeared Crack Analysis Using Generalized Fictitious Crack Model, J. Eng. Mech., 116, pp.55 76. Hansbo, P., Hansbo, A. (2004) A Finite Flement Method for the Simulation of Strong and Weak Discontinuities in Solid Mechanics, Comput. Methods Appl. Mech. & Eng., 193, pp.3523 3540. Jouan, G., Kotronis, P., Collin, F. (2012) Numerical Modeling of A 3 Point Bending Test of A Reinforced Concrete Beam Using a Second Gradient Theory, European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering. Kim, H.S., Yoo, H.S. (2015) Drying Shrinkage Crack Analysis of Concrete using Optimized Prony Series, J. Arch. Inst. Korea, 31, pp.27 34. Lee, S.H., Song, J. H., Yoon, Y.C., Zi, G., Belytschko, T. (2004) Combined Extended and Superimposed Finite Element Method for Cracks, Int. J. Numer. Methods Eng., 59, pp.1119 1136. Liu, P.F., Zhang, B.J., Zheng, J.Y. (2012) Finite Element Analysis of Plastic Collapse and Crack behavior of Steel Pressure Vessels and Piping using XFEM, J. fail. anal. & Prev., 12, pp.707 718. Michael, J.M. (2009) Implementation of The Extended Finite Element Method in the ABAQUS Sofrware Package, Georgia Institute of Technology, Master of Science in Mechanical Engineering, p.51. Rabczuk, T., Bordas, S., Zi, G. (2007) A Threedimensional Meshfree Method for Continuous Multiple-crack Initiation, Propagation and Juction 한국전산구조공학회논문집제 29 권제 2 호 (2016.4) 207
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