3 장동수역학 ( 動水力學 ) < 흐름의종류 > Reynolds 의실험 http://vimeo.com/5648342 http://www.youtube.com/watch?v=kqqtob30jws&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=nplrdarmdf8&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=xoll2kediog&feature=related 층류 (laminar flow) 와난류 (turbulent flow) - 층류영역 압력강하 (pressure drop): 평균속도에비례 층상흐름형성 층류 (laminar flow) 와난류 (turbulent flow) - 난류영역 : 혼란상태흐름 압력강하 (pressure drop) 손실헤드 (loss head) Reynolds 수 (Number) - 1 -
- 관성력 inertia force 점성력 viscous force Re : Reynolds 수 ( 무차원수 ) : 유체의동점성계수 : 유체밀도 : 관로직경 : 유속 - 층류 : Re ( 또는 2320) - 천이영역 : - 난류 : - 상임계속도 (upper critical velocity) : 층류에서난류로천이할때의유속 - 하임계속도 (lower critical velocity) : 난류에서속도를줄이면다시층류로되돌아갈때의속도 ( 하임계 Reynolds수 ) EX 내경이 mm인관속의유속이 cms이고동점도가 cm s인유체가흐를때 Re수는얼마인가? m ms, m s EX 의물 ( cm s) 이내경 25mm인원관속을흐를때하임계속도를구하여라. 하임계 Reynolds수는 하임계속도 ms cms EX m s인물이직경 15cm인관내를임계유속으로흐르고있을때최대유속 (ms) 은얼마인가? ( 임계유속은 가 일때의유속 ) ms EX 동점성계수가 m s인물이내경이 mm지름인원관속을흐르고있다. 층류가기대될수있는최대의유량을계산하시오. ( 임계유속은 가 일때의유속 ) m s m ms msec m m s 흐름종류 - 정류 ( 定流 ) 또는定常流 (steady flow) : 시간 (t) 에따라유속 (v), 유량 (Q) 이변하지않는흐름 또는 - 부정류 ( 不定流 ) : 시간 (t) 에따라유속 (v), 유량 (Q) 이변하는흐름 https://www.youtube.com/watch?v=io87_tffzt4 또는 - 등류 ( 等流 ): 정류상태에서위치 (s) 에따라유속, 단면적 (A) 이변하지않는흐름 또는 - 부등류 ( 不等流 ) : 정류상태에서위치 (s) 에따라유속 (v), 단면적 (A) 이변하는흐름 또는 - 유적선 (path line): 물입자가움직인경로 - 유선 (stream line): 속도벡터가접선이되는곡선 - 유관 (stream tube): 유선들의묶음 http://www-mdp.eng.cam.ac.uk/web/library/enginfo/aerothermal_dvd_only/aero/fprops/cvanalysis/node8.html 정류에서는유선과유적선이일치 유적선방정식 2 차원흐름에서유선위의한점에서의유속이 v 일때이동거리를 ds 라하면 - 2 -
dy ds dx dx u x dt dy v y dt 이므로 dx dy vy dt 성립 ux u x : x 방향유속 v y : y 방향유속 w z : z 방향유속 dx dy dz 3차원에서 ux vy wz dt ( 유적선의방정식 ) 속도가 로표현될때도, 유적선방정식은 EX 속도성분 u, v가다음식으로표시될때유선의방정식을구하여라. u= ay, v= bx dx dy dx dy ux vy 에서 ay bx a y dy b x dx bx dx ay dy 이것을적분하면 b x a y C 따라서 a, b가같은부호일때는쌍곡선, a, b가다른부호일때는타원이다. EX 2차원유동의속도장이 V x i y j 와같이주어질때점 (2,1) 을지나는유선의방정식은? dx dy dx dy u v x y ydx xdy 적분하면, xy xy C 즉, xy C 점 (2,1) 을 지나므로 C 따라서, xy 흐름의가속도 속도 가위치 (s) 와시간 (t) 에따라변한다고할때 는 로표시가능. 전미분하면 가속도는시간 (dt) 에따른 의변화율 ( ) 로표시하므로 - : 전가속도 ( 全加速度, total acceleration) - : 대류가속도 ( 對流가속도, convective acceleration) - : 순간가속도 (temporal acceleration) - : 등류 (uniform flow) - - : 정류 (steady flow) - : 부등류 : 부정류 - 3 -
1 차원흐름의연속방정식 (continuity equation) : 물질보존의법칙 2 1 ds 1 ds 2 단면적 : A 1 유속 : v 1 ds 1 : dt 동안이동거리 단면적 : A 2 유속 : v 2 ds 2 : dt 동안이동거리 지점 1, 과지점 2 사이의물질수지 지점사이질량의시간변화율 유입질량 유출질량 ds A ds A dt A V A V 질량보존의법칙에의해질량변화가없다고가정한다면 따라서, v A v A M ([M/T], 질량유량 ), 양변에 g를곱하면 g v A g v A v A v A G ([F/T], 중량유량 ) 만약 또는 이면 ( 즉, 밀도가변하지않는비압축성유체이면 ) v A v A Q ([L 3 /T], 체적유량 ) 단면적 이크면유속 ( ) 은느리고, 좁은단면적에서는유속이빨라진다. 평균유속 (mean velocity) 와점유속 여기서 : 평균유속 (mean velocity) : 점유속 (point velocity) : 단면적 : 유량 - 4 -
EX3-8 그림과같이지름이 350mm 에서 200 로축소된관으로물이흐르고있다. 이때중량유량을 150kg f /sec 라하면작은관에서의평균속도는? kg f sec 중량유량 에서속도 m sec kg f m EX 3-9 그림과같이배관을통하여할론 1301 의정상흐름 (steady flow) 이일어나고있다. 이흐름이 1 차원유동이라고할때 2 지점에서의할론 1301 의밀도 (kg/ m3 ) 는얼마인가?( 단, 1, 2 지점에서의내부면적단면의직경은 50mm, 25mm 이다.) 질량유량 M A V A V 식을이용 kgm ex 3-11 수심 d인어떤하천에서연직유속분포가다음그림과같이되어있고이때하천바닥 ( 하상 ) 에 서 y되는곳의점유속 (v) 과수면에서생긴최대유속 ( max ) 사이의관계식이 v V max 과같이주어졌다. 만약수심 d=2m, 하천폭 b=7m이고, 최대유속 max =3m/sec라고했을때이하천의유량은? max max - 5 -
EX 3-12 그림과같이직경이 50cm 였던관이 20cm 로줄어든관로에서 4KN/sec 의유량이흐른다면각관로에서의평균유속 과 를구하라. ( 단, 유체는물이다.) knsec, knm kg f m, Nsec Nm m sec msec, msec EX 3-13 그림과같은소화배관에있어서 3 지점의유속은얼마인가?( 단, 1 지점유속 4m/sec, 2 지점유속 5m/sec) π, π, π π 1 차원흐름에서의 Euler 방정식, Bernoulli 방정식 ( 에너지보존의법칙 ) ds s da p p s ds dz http://www.youtube.com/watch?v=rrj_i9ckp-y&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=gk6rnfvc1gs http://www.youtube.com/watch?v=xczckkumd4w&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=fghvc55akig&feature=related p https://www.youtube.com/watch?v=krr2y-kphjk W= g ds da ds : 이동거리 da: 단면적 p : 작용압력 W : 미소체적 (dv) 내물의중량 z : 높이차 유선 S 위의힘 dv v v p m dt dv vs t pda p s dsda W sin dz 그런데, dv da ds, W g ds da, sin ds 이므로 v v p dz da dsv s t s ds da g ds dads - 6 -
정상류 ( ) 을가정하고정리하면 dv dp dz v ds ds g ds dv dp dz vds ds g ds dp v dp vdv gdz 또는 d g dz (1차원 Euler 운동방정식 ) 적분하면 v p g z 일정 H 속도수두압력수두위치수두 (Bernoulli 정리 ) v p g z 모두길이차원 이상유체가유선위의임의점에서보유하는여러에너지 ( 압력, 위치, 속도 ) 꼴의총합은일정불변이다. Bernoulli식유도의가정 1 이상유체 (ideal fluid): 비점성유체가정 2 에너지손실 ( 비점성유체의마찰손실 ) 를고려하지않음 3 정상류 (steady flow, ) 을가정 4 유선 (stream line) 을따라성립 Bernoulli 정리의변형 - 기본형 v g p z 일정 H 속도수두 압력수두 위치수두 - 단위질량유체의비에너지표시 p v gz gh 비압력E 비운동E 비위치E 단위질량 ( 예를들면 1kg) 의유체가가지는에너지의총합은유선에따라변하지않는다. - 압력의차원으로표시 P v z H 정압 동압 퍼텐셜압력 (static pressure) (dynamic pressure) (potential pressure) 에너지를압력의단위 로나타낸것으로비압축성유체를다룰때사용 Bernoulli 정리의도식적표현 v 1 2 /2g 에너지선 EL: Energy Line v 2 2 /2g p 1 / H v 1 p 2 / v 2 動水경사선 HGL: Hydraulic Grade Line z 1 z 2 기준면 v g p v z g p z H - 7 -
- 동수경사선 (HGL: Hydraulic Grade Line) 위치수두와압력수두를더하여연결한선 움직이는유체의수면 ( 水面 ) 의선 - Energy 선 (Energy Line) "HGL( 위치수두 + 압력수두 )+ 속도수두 " 를연결한선 전체에너지선 이상유체에서는에너지손실이없으므로일정 실제유체에서는흘러감에따라손실수두만큼감소 EX 3-13 내경 100mm 의수평배관내로물이 5m/sec 의속도로흐르고있다. 배관내에작용하는압력은 2.5kg/ cm2이다. 이배관내의전수두 (mh O ) 는얼마인가? (1) 속도수두 m (2) 압력수두 m 전수두 = 속도수두 + 압력수두 m EX 3-14 내경이 100mm 의수평배관내로물이흐르고있는데이때압력이 3kg/ cm2이고이때전수두는 39m 이다. 배관내를흐르는물의유속은얼마인가? msec kg f cm cm m kgf m m EX 3-15 지름 d 1 =40cm 에서 d 2 =80cm 로확대되는수평관로속을물이흐르고있다. 단면 1 의유속과압력이각각 =4m/sec, p =98kPa 일때단면 2 에서의압력 p 을구하면?, kpa ms EX 3-16 수평도관으로공기가흐르고있다. 관단면적이 0.5m2에서 0.12m2로감소하는축소관이다. 손실이없는것으로하여 6.66N/sec의공기 ( 비중량 12.1N/ m3 )) 가흐를때정압 ( 靜壓 ) 의감소는얼마인가? G ga V ga V G, Q g m s 따라서 에의하여 msec, msec p v p z g z ( 수평이므로 ) v v p p g g Nm3 Nm - 8 -
EX 3-16 그림과같은관을물이흐를때단면 Ⅱ의압력P 2, 속도v 2, 압력수두를구하여라.( 단, kgcm, ms, cm, cm이다.) 에서 여기서 cm m, cm m, s이므로 ms 베르누이정리에서 여기서, m, kgcm kgm m kgm kgcm 수정 Bernoulli 정리 https://www.youtube.com/watch?v=tdfdhuyo47i - 실제유체와이상유체의차이 흐름에의해점성으로인한에너지손실수두 (head loss) 존재 펌프등에의한기계적에너지의증가 이상유체 (h=0) 의 E.L(Energy Line) 실제유체 ( ) 의 E.L(Energy Line) A h 1 p v p v g z g z h m : 손실수두 (loss head) v g 실제유체 ( ) 의 HGL h 손실수두 h 2 B EX 3-18 다음그림과같이내경이각각 100mm, 50mm인두배관이수평으로직결된상태에서화살표의방향으로정상류의물이흐르고있다. 이때압력계A, B에서의지시수압은각각 4.5kg f / cm2및 4.0kg f / cm2이며, 내경 100mm의배관에서측정된유속은 1m/sec이었다. A-B 간에발생된마찰손실수두는얼마인가?( 단, 중력가속도는 9.8m/sec 2 이며, 물의열역학적인상태변화는무시한다.) v A v B P P g g H m EX3-19 지름이 200mm인관에서속도는 0.2m/sec이고압력은 300kPa로유동하는물이지름이 100mm인수축된수평관으로연결되어흐를때압력은몇 kpa인가?( 단, 수축전후의손실수두 2m임.) d v d v p v p v ms, g z g z H, z z, p kpa Bernoulli 정리응용 - Torricelli 의정리 A, B 지점에대해 Bernoulli 정리적용 v A p A v B p B g z A g z B, v A, p A p B ( 대기압 ), z A z B h v B g h g, vb gh v gh - 9 -
Bernoulli 정리응용 - 벤츄리미터 (venturi meter) https://www.youtube.com/watch?v=unbwi6mv_ly 벤츄리미터 : 관의일부에단면을축소하여압력수두차가생기게하여유량을측정하는계량기 v v p p g z g z, p p h, A v A v 세조건을대입하여풀면 A v A A A A gh, Q A v A A gh Bernoulli 정리응용 - 피토관 (pitot-tube) 피토관 : 양단이개구되어있는 개의관으로정압과동압차를측정하여국부유속을측정하는장치 h v a 1 2 v p v p g z g z z z v a a H g z g z v v gh p a p a h v EX 3-22 오른쪽그림과같이유체의높이 20m 되는탱크의밑면에서유출되는유체의속도 (m/sec) 는? sec EX 3-23 깊이 1m까지물을놓은물탱크의밑에오리피스가있다. 수면에대기압이작용할때의 2배유속으로오리피스에서물을유출할때수면에는얼마의압력을가하면되는가?( 단, 손실은무시한다.) m msec, msec, m, p H Nm m kp a EX 3-24 다음그림과같은물탱크에노즐 (nozzle) 을달았을경우출구속도와유량은? msec m sec 연습문제 객관식문제중 6. 17, 35, 41 번제외 ( 문제 5, 문제 38 의답은 1,2,3 임 ) 주관식문제중 18 번제외 - 10 -