장1 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 보기 명이 동시에 동전 1개를 던지는 실험을 생각하자. 떨어진 동전이 더이상 움직 이지 않으면, 앞면인지 뒷면인지를 확인하다. 이 시험결과를 어떻게 정리할까? 바닥

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1 장 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 보기.0. 00명이 동시에 동전 개를 던지는 실험을 생각하자. 떨어진 동전이 더이상 움직 이지 않으면, 앞면인지 뒷면인지를 확인하다. 이 시험결과를 어떻게 정리할까? 바닥에 던져진 00개의 동전 전체의 집합을 Ω 라 하자. 함수 X : Ω {0, } 을 다음과 같이 정의하자. X(c) : 0, c가 앞면, c가 뒷면 이때 X ()은 무엇인가? X (0)는 무엇인가? <풀이> 동전의 상태는 앞면, 아니면 뒷면 가지 이다. 따라서 바닦에 있는 동전을 앞면이 나온 동 전과, 뒷면이 나온 동전으로 분리해서 정리하는 것이 좋다. X () {ω ω는 앞면이 나온 동전 }, X (0) {ω ω는 뒷면이 나온 동전 }

2 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 보기.0. 0, 000 명이 동전을 번 던지는 실험을 한다. 던지기가 끝나면 각자는 그 결과를 첫번째 실험, 두번째 실험으로 구분하여 보고한다. 이 시험결과를 어떻게 정리할까? 보고된 결과 전체의 집합을 Ω 라 하자. 함수 X : Ω {0, }, 을 다음과 같이 정의하자. i, 에 대해서 Xi (c, c ) : 0 X : Ω {0, }, ci 가 앞면, ci 가 뒷면 이때 X ()은 무엇인가? X (0)는 무엇인가? X : Ω R을 X : X + X 라 할 때 X ()은 무엇인가? X ()는 무엇인가? <풀이> 각자가 던지 동전을 (ω, ω ) 순서쌍으로 정리하는 것이 편리하다. 그러면 표본공간은 Ω {(ωi, ωi ) i,,, 0, 000}. 여기서 (ωi 은 i-번째 사람이 던지 첫번째 동전의 상태, ωi 는 i-번째 사람이 던진 두번째 동정의 상태를 나타낸다. 즉 Ω 는 동전을 번 던진 결과를 순서쌍으로 모은 것들 의 집합이다. X () {(ω, ζ ) Ω ω }, X (0) {(ω, ζ ) Ω ζ 0}. X () {(ω, ζ ) Ω ω + ζ } 앞면이 딱 번 나온 쌍들의 집합 X () {(ω, ζ ) Ω ω + ζ } 모두 앞면이 나온 쌍들의 집합

3 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 3 정의.0. [표본공간(Sample Space)] 어떤 실험의 모든 결과로 이루어진 집합을 표본공간 이라 한다. Ω 를 표본공간이라 하자. 표본공간의 부분집합 A Ω 를 사건(event)라 한다. 사건 A에 다음 조건을 만족시키는 수 P(A)를 대응시키자. 0 P(A) P(Ω ) 서로 동시에 일어나지는 않는 사건 A, A, A3, 가 주어지면, 즉 i 6 j일 때 Ai A j 0/ 이 되는 사건, P i Ai P(Ai ) i 이 경우 P(A)를 사건 A가 일어날 확률이라 한다. Ω, A, P)를 확률공간이라 한다. 보기.0.3 정상적인 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률이 라는 것은 무슨 뜻인가? <풀이> 예를 들어 동전 던지기를 00만번 시행햇을 때 앞면이 나온 동전의 갯수가 몇개인 지는 정확히 알 수 없지만, 앞면이 나온 동전의 개수를 #(H)라 두면 #(H), 000, 000 라는 뜻이다. 보기.0.4 정상적인 정육면체 주사위를, 000, 000번 던지는 시험을 원소로 하는 집합을 Ω 라 하자.. Ω 를 어떻게 해석할까?. X : Ω R을 X(d) : d의 윗면 눈의 수 라 정의할 때 {d X(d) }는 무엇인가? X, 4) 는 무엇인가? 3. 이 실험에서 주사위를 던질 때 각각의 눈이 나올 확률은 모두 같다는 것은 무슨 뜻인가? <풀이>

4 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 4. Ω 를 드넓은 운동장에 주사위,000,000개거 널부러져 있는것으로 상상하는 것이 충격적 이고 효과적이다.. {d Ω X(d) }는, 000, 000개의 주시위 중에서 눈 가 나온 것들로 이루어진 집합니 다. 물론 이 집합은 X ()로 간단하게 나타낸다. X (, 4) 는 나온 눈의 수가,, 3인 주사위들로 이루어진 집합이다. 3. 집합 A의 원소의 개수를 #(A)로 나타내면 # X () # X () # X (3) # X (4) # X (5) # X (6), 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 인 것을 말한다. n이 충분히 크면 # X (d), d,,, 6 n 6 제. 절 간단한 확률공간 보기.. 정상적인 주사위를 500, 000번 던지는 실험결과를 정리한 것을 Ω 라 하자. Ω 를 운동장에 겹치지 않게 놓여있는 500, 000개의 주사위라 생각하면 좋다. 주사위가 펼쳐져 있는 운동장이 얼마나 큰지 계산해보아라. 함수 X :Ω R 을 다음과 같이 정의하자. X(d) : 주사위 윗 면의 눈의 수. X(Ω )는 무엇인가?. A R에 대해서 # X (A) P(A) : #(Ω ) P(, 0)은 무엇인가? P(X )은 무엇인가? P(X ) + P(X ) + P(X 3) + P(X 4) + P(X 5) + P(X 6)은 무엇인가? 3. FX : R [0, ]을 다음과 같이 정의하자. FX (x) : P(X x) 함수 FX 의 그래프를 그려보아라. <풀이>

5 . 간단한 확률공간 5. X(Ω ) {X(ω) ω Ω } {,, 3, 4, 5, 6}. X (, 0)} {ω Ω X(ω) < 0} 0. / 따라서 P (, 0) 0. # X () P(X ) 500, P(X ) + P(X ) + P(X 3) + P(X 4) + P(X 5) + P(X 6) 3. 지금부터 P(X d) 6, d,, 3, 4, 5, 6라 하자. 실제 실험에서는 이렇게 되지는 않는다. 그러나 개념을 이해하기 위해서는 이렇게 계산을 간편히 하는 것이 필요하다. 그러면 0, x < 0 6, x <, 6, x < 3, F(x) : P(X x) 63, 3 x < 4, 4 6, 4 x < 5, 5, 5 x < 6, 6, 6 x 정상적인 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률이 라는 것은 동전을 충분히 많이 던질 때 P(X ) : #(X ()) #(Ω ) 대략적으로 말하면 동전을, 000, 000 번 던지는 실험을 하면 그 결과는 매번 달라질 수 있다. 그러나,000,000번 던지는 실험을 00번 하면 95번 정도는 앞면이 499,000서 50,000 사이에 나온다. 지금부터는 개념을 익히기 위해서 정상적인 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 로 같다고 하자. 정상적인 주사위를 던질 때 각각의 눈이 나올 확률은 모두 6 로 같다고 하자. 보기.. [평균] 주사위를 던저 나온 눈 수가 x만원인 게임이 있다. 게임당 참가비를 얼마로 해야 적당한가? <풀이> 게임 참가비는 게임당 상금으로 지불해야 할 평균 금액보다 약가 높게 해야한다. 때문에 게임당 평균 상금을 계산하는 것이 중요하다. 평균값을 구하기 위해서 아주 많은 실험 을 해다 가정하면, 상금을 X : Ω R로 두면 E[X] : P(X ) + P(X ) + 3 P(X 3) + 4 P(X 4) + 5 P(X 5) + 6 P(X 6) ( ) 6 7

6 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 6 따라서 3만 5천원이 평균상금이다. 참가비는 35000원 이상으로 해야 한다. 실제로 카지노의 모든 게임 참가비는 평균값보다 높다. 때문에 계속해서 게임을 하면 필연적으로 털린다. 한 두번 해보고 특히 이겼으면 끝내야 한다. 평균값을 Z E[X] XP(dω) Ω 처럼 적분형식으로 표현할 수 있다. 보기..3 시험 시작에 n 명이 제출한 휴대전화를 잘 섞어서, 나갈 때 마음대로 나누어 줄 때, 자신의 전화를 받은 사람의 수는 평균 몇명이라 생각되는가? <풀이> 표본공간이 무엇보다도 중요하다. 막막하지만 휴대전화도 마음대로 섞고, 또 사람 도 휴대전화를 받는 순서도 없으니 어떻게 할 지 모르겠지만, 결과는 휴대전화를 모두 배분한 후 자신의 전화를 받은 사람 수를 세는 것이다. 때문에 사람에 미리 번호를 주고, 전화를 받은 후 번호순으로 서면, 번 사람이 자신의 전화를 받았는지, 번 사람이 자신의 전화를 받았는 지,..., n번 사람이 자신의 전화를 받았는지를 조사하면 된다. 따라서 n명을 한 줄로 세운 후 휴대전화를 마음대로 나누어주는 것을 생각하면 충분한 것을 알 수 있다. 표본공간 Ω 는 n개의 휴대전화를 나열하는 경우의 수. 때문에 표본공간의 원소는 n개이다. Xi : Ω R을, i번째 사람이 자신의 휴대전화를 받음 Xi (ω) : 0, i번째 사람이 자신의 휴대전화를 받지 못함 그려면 자신이 휴대전화를 받은 사람의 수는 X : Ω R, X : X + X + + Xn 을 표현된다. 따라서 자신의 휴대전화를 받게되는 평균 사람수는 Z E[X] : XP(dω) ZΩ X p(dω) + + Ω Z Xn P(dω) Ω E[X ] + E[X ] + + E[Xn ]

7 장 기댓값, 분산 기댓값의 개념을 이해하기 위해서 다음 보기를 생각해보자. 보기.0.4 동전을 앞면이 나올 확률이 p, 뒤면이 나올 확률이 q p가 되도록 특수 제작 하자. 이 동전을,000번 던질 때 앞면은 몇 번 나올 것이라 예측되는가? 예측한 값은 얼마나 정확하다고 생각되는가? <풀이> 동전을 000번 던지면 앞면은 0번부터,000번까지 모든 경우가 다 가능하다. 문 제는 누구도 앞면이 0번 나오는 것이 흔한 일이 아니라고 믿는다, 같은 이유로 앞면만,000번 나오는 것도 흔한 일은 아니다. 이 문제를 확률변수의 개념으로 이해하자. 우선 이 특수제작된 동전을,000번 던지 얻어지는 모든 결과로 이루어진 집합 Ω : {(p, p,, p,000 ) pi {0, }, i,,,, 000} 여기서 pi 는 i-번째 던진 동전이 앞면이면, 뒷면이면 0 이다. 참고로 Ω 의 원소의 갯수는 #(Ω ),000. 아주 큰 수이다. 초에 한 세트씩 쉬지 않고 조사한다 해도 약 년이 걸린다. 다음과 같은,000개의 확률변수를 생각하자. Xi : Ω {0, }, Xi (p, p,, p000 ) pi 그러면 동전을 000번 던지 실험에서 앞면이 나온 갯수는 X : X + X + + X000 으로 표현된다. 여기서 중요한 점은 Xi, i,,, 000은 각각 서로 독립인 것이다. 즉 i-번째 던진 동전이 앞면인지 뒷면인지를 아는 것이 j, j 6 i-번째 던진 동진이 앞면인지 뒷면이지를 아는 것에 아무런 의미있는 정보를 주지 못한다. 또한 i-번째 동전의 기댓값은 E[Xi ] 0P[Xi 0] + P[Xi ] 0 ( p) + p p 7

8 기댓값, 분산 8 X의 평균값은 E[X] E[X + X + + X000 ] E[X ] + E[X ] + + E[X000 ] p+ p+ + p 000p 이 식의 의미는 p 이면 약 500번이 평균값이고, 앞면이 더 잘 나와서 p 34 이면 번이 평균값이라는 의미이다. 보기.0.5 동전을 앞면이 나올 확률이 p, 뒤면이 나올 확률이 q p가 되도록 특수 제 작하자. 이 동전을 000번 던질 때 앞면은 평균 000p번 나타난다. 그러면 이 평균값은 값은 얼마나 정확하다고 생각되는가? 왜냐하면 다시 이 동전을 000번 던지는 실험을 할 때에도 처음과 똑 같은 수의 앞면이 나온다 말할 수는 없지 않은가! <풀이> 이문제는 평균값 E[X]를 실제값X와의 차이 X E[X]를 살펴보는 일이다. 여기서 E[X]는 상수 000p인 것에 주의하자. 그런데 평균의 특성상 확률변수 X E[X] : Ω R, (p, p,, pn ) 7 X(p, p,, p000 ) E[X] 의 평균은 항상 0이 되어 쓸모가 없다. 따라서 0이 되지 않도록 해야 되는데 가지 방방이 떠오른다. 절댓값의 평균을 생각하는 방법: E X E[X] 그러나 이 방법을 계산이 불편하다. 제곱을 하는 방법: E[ X E[X] ] 이 방법은 계산이 간편하고 때문에 쓸모가 많다. 이제 E[X]는 상수인 것에 주의하고, (X E[X]) X E[X]X + E[X] 을 이용하면 E[ X E[X] ] E X E[X]X + E[X] E[X ] E[X]E[X] + E[X] E[X ] E[X] 위 식을 말로 표현하면 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 빼면 E (X E[X]). 이제 E[X ] E (X + X + + X000 ) 을 계산할 일이 남았다.

9 기댓값, 분산 9 두 확률변수 X,Y 가 서로 독립이면 E[XY ] E[X]E[Y ] 이 사실의 증명은 다음 기회로 미루고, 당장은 쓰도록 하자. 왜냐하면 독립이라면 이렇게 되어야 한다는 것이 너무도 자연스러워 증명할 필요성도 느끼지 못하기 때문이다. 이제 (X + X + + X000 ) 000 Xi + Xi X j i 이고, Xi Xi 이므로 E[Xi ] E[Xi ] p, i6 j E[Xi X j ] E[Xi ]E[X j ] p 따라서, n 000이라 두고, n E[X ] E Xi +E i Xi X j i6 j n E[Xi ] + E[Xi X j ] i i6 j np + (n n)p 그러므로 E (X E[X]) ] E[X ] E[X] np + (n n)p (np) pn np np( p) q 이 식의 의미는 p 인 동전을 000번 던질 때 평균값과의 차이는 은 q 예상해야 된다는 의미이다. p 43 인 동전의 경우는 를 예상해야 된다는 의미이다. 그러면 p 34 인 동전의 경우가 편차가 약간 작은 이유를 어떻게 설명할까? 정의.0. [분산(Variance)] 확률변수 X : Ω X에 대해서 Var[X] : E (X E[X]) E[X ] E[X] 을 확률변수 X의 분산이라 한다. 이 값이 크면 예측이 힘들다. 생물의 생존기간으로 말하 면 언제 죽을지 모르는 전쟁터 같은 상황? 주식에 큰 돈을 투자했더니 현재 30% 손실이 발생했는데, 원금이 아까워 해지하지도 못하겠는데, 언제 복구될지 모르는 상황?

10 기댓값, 분산 0 제. 절 독립, 종속 동전을 두 번 던지는 실험을 생각하자. 예를 들어 동전 개을 00만번 던졌다 상상해보자. 실험결과 전체를 Ω 로 나타내면 두 함수를 생각할 수 있다. X,Y : Ω R ω Ω 에 대해서 X(ω) 0, 첫번째 동전이 앞면, 첫번째 동전이 뒷면 Y : Ω R은 두번째 동전의 상태로 결정된다. 그러면 E[X Y ] : Ω R 은 다음과 같이 정의되는 함수이다. E[X Y ](ω) : E[X Y Y (ω)] 그러면 E[X Y ]의 함수값은 어떻게 계산할까? E[X Y 0] 0 P[X 0 Y 0] + P[X Y 0] E[X Y ] 0 P[X 0 Y ] + P[X Y ] 따라서 지금 경우는 E[X Y ]는 상수함수 이다. 그런데 E[X] 인 것을 생각하면 두번째 동전이 앞면인지 뒷면이지를 아는 것은 첫번째 돈전이 앞면인지 뒷면이지에 대해서 아무런 정보를 주지 못한다는 뜻이다. 이제 넓은 운동장에 널브러져 있는 동전 00만 쌍을 다음과 같이 정리한 것을 Ω 로 나타내자. Ω : {(0, 0), (0, ), (, 0), (, )} 정상적인 동전이라면 각각의 경우가 나타날 확률은 같다고 생각하는 것이 보통이다. 즉 P(i, j) c, i, j 0, 여기서 c의 값은 P(0, 0) + P(0, ) + P(, 0) + P(, ) 4c 로부터 c 4. 그러면 확률변수 X,Y : Ω R을 그림으로 그리면

11 . 독립, 종속 0,0 0, 0,0, 0,0 0, 0,0, 함수 E[X Y ] : Ω R 을그림으로그려보자. 이함수를이해하는효과적인방법은 Ω 를 Y 의값이같은집합으로분해하는일이다. 즉

12 기댓값, 분산 Ω {(0, 0), (, 0)} {(0, ), (, )} 그러면 E[X Y ] : Ω R은 다음과 같이 그림으로 표현할 수 있다. H0,0L H0,L H,0L H,L 그림을 보면 각각의 집합 {Y 0} : {(0, 0), (, 0)}, {Y } : {(0, ), (, )}에서 E[X Y ]은 X 값의 평균값을 대응시키는 함수인 것을 알 수 있다.

13 . 독립, 종속 3 동전 개를 00만번 던진 실험을 다음과 같이 정리하자. Ω {(ωi, ωi ) i,,, } 여기서 ωi 는 i-번째 던기기에서 첫번째 동전의 상태이다. 앞면이면, 뒷면이면 0라 하자. ωi 는 i-번째 던기기에서 두번째 동전의 상태이다. 앞면이면, 뒷면이면 0라 하자. X,Y : Ω R은 다음과 같다. X(ω, ζ ) ω, Y (ω, ζ ) ζ 이제 3개의 함수 X : Ω R, Y : Ω R, Z : Ω R, X(i, j) i Y (i, j) j Z X +Y 함수 Z : Ω R을 그림으로 그리면 다음과 같다. H0,0L H0,L 0 H,0L H,L 보기.. Z X +Y 에 대해서. E[X Z]를 구하여라.. E E[X Z] 를 구하여라.

14 기댓값, 분산 4 <풀이> 이 문제를 효과적으로 이해하려면 Ω 를 조건 Z에 따라 분해하는 것이 좋다. 즉 Ω 를 함수 Z의 값이 같은 점으로 분해하는 것이다. 그림에서 다음과 같은 분해가 보인다. Ω {(0, 0), (0, ), (, 0), (, )} {(0, 0)} {(0, ), (, 0)} {, }. E[X Z 0] 0 P[X 0 X +Y 0] + P[X X +Y 0] E[X Z ] 0 P[X 0 X +Y ] + P[X X +Y ] 0 + E[X Z ] 0 P[X 0 X +Y ] + P[X X +Y ] 0 + 이것으로 부터 E[X Z] : Ω R은 다음과 같은 함수이다. (0, 0) 7 0 (, 0) 7 (, ) 7 (0, ) 7 이 함수를 그림으로 다음과 같이 표현하자.

15 . 독립, 종속 5 0,0 0, 0,0, E[X Z] : Ω R 의그림에서 E[X Z] 는집합 {Z z} 에서 X 값의평균을대응시키는것을볼수있다.. E[X Z] : Ω R 도함수이므로그평균값 E [ E[X Z] ] 가의미가있다. E [ E[X Z] ] E[X Z 0]P[Z 0] + E[X Z]P[Z ] + E[X Z ]P[Z ] 0 P[Z 0] + P[Z ] + P[Z ]

16 기댓값, 분산 6 보기.. Z X +Y 에 대해서. E[Z X]를 구하여라. E E[Z X] 를 구하여라.. Var E[X Z] 를 구하여라. 3. 함수 X E[X Z] : Ω R를 기술하여라. 4. Var[X Z]를 다음과 같이 정의하자: Var[X Z] : E X E[X Z] Z 함수 Var[X Z] : Ω R을 기술하여라. <풀이> Z X +Y 로. 3 E[Z X ] 0 P[X +Y 0 X 0] + P[X +Y X ] + P[X +Y X ] E[Z X 0] 0 P[X +Y 0 X 0] + P[X +Y X 0] + P[X +Y X 0] 이 경우도 E[Z X]는 상수함수가 아니다. 첫번째 동전의 상태를 아는 것은 첫번째 동전과 두번째 동전의 상태에 대한 정보를 준다. 지금 경우도 E E[Z X] E[Z X 0]P[X 0] + E[Z X ]P[X ] 3 P[X 0] + P[X ] 3 + 위 계산에서 E E[X Z] E[X], E E[Z X] E[Z] 가 되는데, 이것은 우연이 아니고, 모든 경우에 E E[X Y ] E[X] 가 성립한다.. 함수 E[X Z] : Ω R의 분산(variance)을 계산하기 위하여 F E[X Z]라 두자. 표현을 간단하게 하기 위해서이다. 앞의 계산에서 F E[X Z]는 0,, 값을 갖는 함수이고

17 . 독립, 종속 7 E[F ] 0 P[F 0] + ( ) P[F ] + P[F ] 0 P[Z 0] + ( ) P[Z ] + P[Z ] 따라서 Var[F] : Var[E[X Z]] E[F ] E[F] 3 8 (E[ E[X Z] ] ) 앞에서함수 E[X Z] : Ω R 은계산했다. E[X Z] 는다음과같은함수이다. Z 0인점. (0,0) 0 Z 인점. (,0),(0,) Z 인점. (,) X : Ω R 은다음과같은함수이다. (0,0) 0,(0,) 0,(,0) 0,(,) 따라서 X E[X Z] 는다음과같은함수이다. (0,0) (0,) 0 (,0) (,) 0 함수 X E[X Z] : Ω R 을그림으로그리면다음과같다.

18 기댓값, 분산 8 H0,0L H0,L 0 - H,0L H,L 4. Var[X Z] : Ω R은 정보 Z가 주어졌을 때 X와 E[X Z]의 차의 제곱을 평균한 것이다. 이런 의미로 Var[X Z] : E (X E[X Z]) Z 앞에서 함수 X E[X Z]를 계산했기 때문에 Var[X Z]를 계산하기가 편리하다. Z 0일 때. 이 경우는 한 점 (0, 0) 뿐이다. 따라서 여기에 해당하는 항은 (X E[X Z]) P[Z 0] (0 0) 0 Z 일 때. 이 경우는 두 점 (0, ), (, 0)가 있다. 따라서 여기에 대응하는 항은 (X E[X Z]) P[Z ] (0 ) P[X 0 Z ] + ( ) P[X Z ] Z 일 때. 여기에 해당하는 점은 (, ) 뿐이다. 따라서 (X E[X Z]) P[Z ] (0 ) 0 + ( ) 0 이것으로 부터 Var[X Z] : Ω R은 다음과 같은 함수이다.

19 . 독립, 종속 9 (0,0) 0 (0,) 4 (,0) 4 (,) 0 함수 Var[X Z] : Ω R 을그림으로표현하면다음과같다. Var 0,0 0, 0,0 4,

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21 장3 이자(interest) 제 3. 절 이자(interest) 돈을 대출받거나 대출하는 기간의 기본 단위는 년으로 하는 것이 보통이다. 예를 들어 돈 M을 년간 빌렸다면, 년 후에 원금 M에 일정한 금액 I를 더한 M + I를 갚아야 하는 것이 당연하다. 이때 i : MI 을 이자율이라 하고 보통 00i%로 주어진다. A P + Pi ( + i)p 보기 을 통장에 저축했다. 년 뒤에 통장의 금액은 050이 되었다. 원금(principal)은 얼마인가? 얻은 이자(interest)는 얼마인가? 연이율(annual interest rate)는 얼마인가? 정의 3.. [년복리(Annual Compound Interest)] 원금 P를 연 이율 00i%로 t년 맡길 때, 원금과 이자의 합(amount value)는 At P( + i)t 보기 은 5년 맡겼더니 7000이 되었다. 이자를 년단위로 계산했다면 이자율은 얼마인가? 이자를 월단위로 계산했다면 이자율은 얼마인가?

22 3 이자(interest) 보기 3..3 신형 휴대전화를 구입하는데 원 이자율 3%로 년동안 매월 균등상환하 기로 했다. 할부금을 월말에 한번씩 번에 갚기로 했다면 할부금을 얼마인가? 대리점에서 은 3%는 8000이므로 원금과 이자의 합은 따라서 매월 을 년에 갚을 것을 권해서 받아들였다면 잘한일인가? 보기 3..4 어떤 계정의 시간에 따른 원금과 이자의 합이 A(t) αt + 0β 로 주어졌다. t 0 일 때 이 계정에 X를 투자했더니 t 4일 때 500이 되었고, t 0일 때 000이 되었다. X는 얼마인가? 보기 세의 여성이 억을 넣으면 넣는 순간부터 매년 그 날짜에 36만을 주는 영구 연금(perpetuity)있다. 5년 후 부터 받기로 하면 매년 748만원을 받을 수도 있다. 이자율이 년 %라 하면 이 영구연금의 현재가격 억을 적절한가? 이자율이 년 3%라 하면 이 영구연금의 현재가격 억을 적절한가? 55세 여성이 이 영구연금을 산후 45년 후(00세)까지 살았다. 이 연금 잘 샀는가? 제 3. 절 Accumulation Function and Amount Function 최초의 투자금을 A(0)로 나타내고, 이 투자금이 t년 자란 금액을 A(t)로 나타내자. 함수 A(t)를 amount function이라 한다. Amount function의 최초의 투자금 A(0)에 대한 비율을 accumulation function이라 한다. 즉 A(t) a(t) : A(0) 특히 모든 경우에, a(0) 인 것에 주의하자. 보기 3.. a(t) α(.)t + βt 인 상품이 있다. 이 상품에 t 0에 00을 투자하면 t 3일 때 70으로 자란다. t 일 때 00을 투자했다면, t 에 얼마로 자라는가? <풀이> 주어지지 않은 값 α, β 가 있는 것에 주의하자.

23 3. Accumulation Function and Amount Function 3 주어진 조건과 A(3) A(0)a(3), A(0) A(0)a(0) 로부터 70 00a(3), a(0) 따라서 α, (.)3 + β 3 이고 β.7 (.) 이것으로 a(t) (.)t t. 다음으로 t 일 때 00이 t 일 때 얼마로 자라는지는 다음과 같이 알아낸다. 중요한 점은 t 에 00을 투자한 것은 t 0일 때 X를 투자한 것으로 생각하는 것이다. 그러면 A() 00 A(0)a() Xa() A() A(0)a() Xa() 모르는 X를 구할 필요는 없다. 왜냐하면 A() A() Xa() a() A() 00 Xa() a() 따라서 t 일 때 자라난 투자금은 A() 00 a() (.) a() (.) a(t) αt + β 이다. 이 상품에 t 0에 00을 투자하면 t 3에 7로 자란다. t 5에 투자한 500은 t 0일 때 얼마로 자라는가??? a(t) αt + 0β 인 상품이 있다. 이 상품에 t 0에 X를 투자하면 t 0에, 000으로 자라고, t 0에는, 000으로 자란다. α, β, X는 얼마인가??? α 00, β 0, X, 보기 3.. 연이율.5%로 계산할 때 지금으로부터 X년 후에 받게되는 4,000의 현재가 (present value)는 38.99이다. X는 얼마인가? <풀이> r 0.05라 할 때 구하는 값 X는 (38.99)( + r)x 4, 000

24 3 이자(interest) 4 따라서 ( + r)x 4, 그러므로 XLog ( + r) Log (.84) 따라서X Log (.84) Log (+0.05) X 8. 보기 3..3 이자율은 r 3.6%이다. 년 뒤에,000을 갚을 것이 있고, 3년 뒤에 3,000을 갚을 것이 있다. 지금 X를 넣어 예정된 금액을 모두 갚으려 한다. X는 얼마인가? <풀이> 주어진 조건으로부터 ( X ( + r), 000 X ( + r)3 3, 000 그러므로 지금 넣어둬야 할 금액 X는 X X + X, 000 3, , r ( + r)3 보기 을 지금 투자하면 30년 후에 4,000으로 자라는 상품이 있다. 이 상품의 이자율 로 계산할 때 0년 후에 받는 0,000의 현재가격은 얼마인가? <풀이> 이자율 r을 알아내야 한다. 조건에서 4, ( + r)30 따라서 구하려는 현재가격은 0, , 000 0, 000, ( + r) ( + r) ) 4, 000 보기 3..5 년이율 3.5%인 상품 A와 년이율 3.75%인 상품 B가 있다. 000년 월 일 상품 A 에 있는 돈이 상품 B에 있는 돈의 배가 되었는데, 그 이후 두 상품에 더이상 추가 투자를 하지 않았다. 05년 월 일에 두 상품에 있는 돈의 합은 00,000. 그렇다면 000년 월 일에 상품 B이 있었던 돈은 얼마인가?

25 3. Accumulation Function and Amount Function 5 <풀이> 복리(compounding)의 장점은 계산이 단순한 것이다. 즉 이자율이 r이라면 지금현 재 S가 있다면 년 후에는 S( + r)이 되는 것이다. 주어진 조건에서 투자기간은 5년이다. 따라서 X( )5 + X( )5 00, 000 따라서 X 00, , 000 9, 년이율은 r이다. 다음 세 값이 같다: 6년 후에 받는 0,000의 현재가격 t년 후에 받는 6,000의 현재가격과, t년 후에 받는 56,000의 현재가격의 합 지금 현재의 5,000 ()이자율 r과 () t (3) t + 3년 후에 받느 8,000의 현재가격?? () r.5% () t (3) 년 후에 자동차를 사려 한다. 사려는 자동차 값은 0,000 이다. 그런데 인플레이션은 년 % 이다. () 인플레이션에 따른 5년 후의 자동차 가격은 얼마인가? () 다음 달 일부터 5년동 안 매월 얼마씩 투자해야 0,000을 모을 수 있을까? (투자상품의 이율은 연 3.5%라 계산하자.)?? (),08.6 ().37 보기 3..6 신형 휴대전화를 600을 3년간 대출받아 구입하려한다. 이자율은 3.7% 이다. 두가 지 선택이 있다. 대리점에서 다음 두 가지 방법을 제시했다.. 600의 3년간 이자는 600 ( ) 이므로 매년 를 갚는다 의 3년간 이자는 600 (+0.037) 이고, 기간은 3 36개월이므로, 매월 를 갚는다. 각각의 경우 고객이 지불하는 실제이자는 얼마인가? <풀이>. 매년 3.03를 3년간 낸다면 3.03( ) ( ) 따라서 고객이 지불하는 실제이자율 i는 600( + i) 로부터 i 4.98%

26 3 이자(interest) 6. 매월 8.586을 36개월 동안 갚는다면, 총액은 ( )k k0 따라서 고객이 지불하는 실제이자율 i는 600( + i 36 ) 로부터 i 5.46% 3.5. 이자율은 r이다. 다음 두 경우의 현재가격은 X로 같다. 지금 현재 을 갚고, 년 뒤에 을 갚는다 년 뒤에 44를 갚고, 3년 뒤에 44을 갚는다. () 이자율 r을 구하여라. () X를 구하여라.?? () r 9.09% () X 3.97 보기 3..7 이자율은 r이다. 년 후부터 매년 00씩 n년 동안 받게 되는연금의 현재가격은 4,000. 년 후부터 매년 00씩 3n년 동안 받게되는 연금의 현재가격은 7,000 () r은 무엇인가? () 년후부터 n년 동안 매년 00씩 받게 되는 연금의 미래가격(futuer value)은 얼마인가? <풀이> 주어진 조건에서 ( 00 nk ( + r) k 4, 000 k 7, n k ( + r) 구하려는 것은 매년 00씩 n년가 받게 되는 연금의 미래가격(future value)이다. 따라서 n 을 구해야 한다. 3n 7, ( + r) k k 00 s s3n+, s s +r n 4, ( + r) k k 00 s sn+, s s +r

27 3.3 편리한 기호 7 따라서 s3n 7 s s3n+ n+ 4 s s sn 위 식에서 sn t라 두면 3 7t + 4t 3 (t )(t )(t + 3) 그러므로 조건에 맞는 것은 0.5 그런데 n년 동안 받은 연금을 연이율 r로 투자하면 총액은 sn n X : 00 ( + r)k 00 k0 이 값을 직접 계산하기는 힘들다. 그러나 s 7000s 3n 00 s( sn ) ( + r)n 00 ( + r) s +r 로 3n 해서, s k k0 n 00 s k + 00 k0 n 4000s 3n s k kn n +s X 따라서 X 7, 000s n 4, 000 7, , 000, 400 제 3.3 절 편리한 기호 위 보기의 풀이는 내용에 비해서 복잡하게 보인다. 본질을 이해하기 쉽게 하기 위해서 다음 기호를 생각하자. 우선 이자율 r는 서로 아는 것으로 하고, 기호에 쓰지 말자. 그러면 지금부터 년 뒤부터 n년간 매년 를 이자율 r로 투자하면, n 번째 투자금을 입금하는 순간 투자계정의 돈은 Sn ( + r)n + ( + r)n + + ( + r) + + ( + r) + ( + r) + + ( + r)n r ( + r) ( + r)n ( + r)n An, ν +r ( + r)n 여기서 Sn : + ( + r) + ( + r) + + ( + r)n An : ν + ν + + ν n, ν +r ( + r)n r

28 3 이자(interest) 8 이고 Sn 과 An 사이의 관계는 Sn ( + r)n An, An ν n Sn, ν +r 특히 임의의 m n에 대해서 Sn + ( + r) + + ( + r)n + ( + r) + + ( + r)m + ( + r)m + ( + r)m+ + + ( + r)n Sm + ( + r)m Sn m 따라서 Sn Sm + ( + r)m Sn m, m n 같은 생각으로 An ν + ν + ν m + ν m+ + + ν n ν + ν + + ν m + ν m+ + + ν n Am + ν m ν + ν + + ν n m Am + ν m An m 정리하면 Sn ν n An Sn Sm + ( + r)m Sn m, m An Am + ν An m, m n m n 이제 기호 Sn, An 을 사용해서 보기를 다시 풀어보자. An 은 현재 가격(present value)이고, Sn 의 미래가격(futuer value)이다. 보기 3.3. 이자율은 r이다. 년 후부터 매년 00씩 n년 동안 받게 되는연금의 현재가격은 4,000. 년 후부터 매년 00씩 3n년 동안 받게되는 연금의 현재가격은 7,000 () r은 무엇인가? () 년후부터 n년 동안 매년 00씩 받게 되는 연금의 미래가격(futuer value)은 얼마인가? <풀이> 주어진 조건은 4, An 7, A3n 구하려는 것은

29 3.3 편리한 기호 9 X : 00Sn 00ν n An 그런데 A3n An + ν n An An + ν n An 이므로 00A3n 00An + ν n 00An 00An + ν n 00An 에서 모르는 값 00ν n An 을 소거하 면 X 00ν n An 7, 000ν 3n 4, 000ν 3n 7, 000ν n 4, 000 따라서 3 7t 4t 3, t ν n 이식을 풀면 t ν n 이고, 따라서 X 7, 000 4, 000, 400 4

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31 장4 Force of Motality 제 4. 절 생명보험에서 중요한 수학적 개념 생명보험회사 입장에서 본 표본공간은 무엇인가? 당연히 자기 회사 생명보험에 가입한 고객 이다. 그러나 여기서는 개념 이해를 위해서 우리나라에 사는 사람 전체라 하자. Ω {x x는 대한민국 국민} 그러나 중요한 점은 고객의 생존, 죽음이고, 이것은 객의 나이와 밀접한 관계가 있기 때 문에, 사람을 태어난 나이로 분류하는 것은 의미가 있다. 이것을 졸업과 입학년도가 밀접한 관계가 있기 때문에, 대학생들을 학번으로 분류하는 것과 같은 생각이다. 태어난 후 나이가 t인 사람을 간단하게 (t)로 나타내면 (t) {p p는 나이가 t } 이렇게 사람을 나이에 따라 분류하면 Ω [ (t) t 0 그런데 표현의 시각적인 효과를 위해서 Ωx : (x) 즉 Ωx 는 나이가 x인 사람들의 집합이다. 정의로부터 당연히 s 6 t이면 (s) (t) 0. / 나이가 x인 사람은 나이가 x보다 많은 어떤 때에 죽는다. 이 생존기간을 알 수 없기 때문에 이것을 확률변수 T 로 나타내자. 즉 T : Ω [0, ) R 나이가 x인 사람의 생존기간에 특별한 관심이 있으면 함수 T : Ω [0, )를 나이가 x인 사람 들의 집합을 제한한 함수 Tx : T Ωx : Ωx [0, ), Tx (p) : T (p), p Ωx 즉 Tx 는 나이가 x인 사람의 생존기간이다. 3

32 3 4 Force of Motality 보기 4.. x + Tx 의 의미는 무엇인가? <풀이> x + Tx 는 함수 x + Tx : Ωx [0, ) 이고, 나이가 x인 사람 p Ωx 에서의 함수값은 x + Tx (p) x + Tx (p) 보험회사 입장에서 중요한 것은 T 의 함수값의 분포이다. 구체적으로 나이가 x인 사람들의 집합 Ωx 에 T 을 제한할 때의 함수값 {Tx (p) p Ωx } 의 분포이다. 이것을 알아보기 위해서 새로운 함수 Fx 를 정의하자. 정의 4.. [분포함수(distribution function)] Fx : [0, ) [0, ] Fx (t) : P Tx t 여기서 {Tx t} : {p Ωx Tx (p) t} Ωx 이고 P[Tx t] : #{Tx t} #(Ωx ) 즉 {Tx t}는 나이가 x인 사람 중 생존기간이 t 이내인 사람들의 집합을 나타낸다. 그러므 로 P[Tx t]은 나이가 x인 사람들 중 나이가 x + t 이내에 죽을 확률이다. 따라서 Fx 는 나이가 x인 사람들의 생존분포( lifetime distribution)라 이해하면 좋다. 그러면 나이가 (x)이 사람이 적어도 t년 이상 생존할 확률은 무엇인가? 이것은 P[Tx > t] 이다. 왜냐하면 Ωx {p Tx (p) t} {q Ω Tx (q) > t} {Tx t} {Tx > t}, {Tx t} {Tx > t} 0/

33 4. 생명보험에서 중요한 수학적 개념 33 이므로 #(Ω ) #{Tx t} #{Tx > t} + P[Tx t] + P[Tx > t] Fx (t) + P[Tx > t] #(Ω ) #(Ω ) #(Ω ) 정의 4.. [생존함수(survival function)] 나이가 x인 사람이 t인 이상 생존할 확률을 Sx (t)로 나타내자. 그러면 Sx (t) : P[Tx > t], t 0 따라서 Sx (t) Fx (t) 이 관계를 간단히 Sx Fx, 또는 Fx Sx, 또는 Sx + Fx 로 상황에 맞게 표현한다. 즉 Sx (t)는 나이가 x이 사람이 적어도 t년 생존할 확률을 나타낸다. 이제 어떤 사람 p의 생애를 생각하자. 태어나서 나이가 x가 되기 전에 죽을지도 모른다. 태어난 순간에 생존기간을 계산하는 것은 T0 의 역할이다. 따라서 T0 (p) < x 로 표현할 수 있다. 이제 이 사람 p가 나이가 x가 될 때까지 살았다면 T0 (p) > x. 나이가 x가 된 p의 남은 수명은 Tx (p)로 표현된다. 나이가 x가 된 이 사람 p가 죽는 아니는 x + Tx (p) p가 타어나서 나이가 x가 되고, 이 사람 p가 나이가 x가 된 후, t년 이내에 죽는 것은 p Ωx, Tx (p) t 이고 동시에 T0 (p) x + t 이런 점에서 다음 두 사건 {Tx t}, {T0 x + t} {T0 > x} 는 서로 동등한 사건으로 볼 수 있다. 따라서

34 34 4 Force of Motality P[Tx t] P[T0 x + t T0 > x] P {T0 x + t} {T0 > x} : P[T0 > x] 두 사건 A, B가 일어났을 때 어느 것이 다른 것에 아무런 정보도 주지 못하는 경우도 있지 만 어느 것이 많은 정보를 주는 경우가 많다. 극단 적인 예로 지난 주 내가 산 번호는,, 3,4,5,6 ( 사건 A), 아직 결과를 확인하지 못했다. 잊고 있었는데, 길을 가다 지난주 당첨 번호가 연속인 번호( 사건 B )였다라는 말을 들었다고 하면 수학 필요없고 본능적으로 뭔가 느낌이 온다. 정의 4..3 [조건에 따른 확률(conditional probability)] 두 사건 A, B를 생각하자. 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률을 P[A B] 로 표시한다. 따라서 P[A B]의 값은 P[A B] : P[A B] P[B] 만일 P[A B] P[A] 라면 사건 A가 사건 B에 대해서 아무런 정보를 주지 못하는 것을 말한다. 이런 경우 두 사건 A, B는 서로 독립(independent)이라 한다. 보기 4.. 지난주 로또 복권에서 내가 산 번호는,, 3,4,5,6 ( 사건 A), 아직 결과를 확인하지 못했다. 잊고 있었는데, 길을 가다 자난 주 당첨번호가 연속인 번호( 사건 B )였다라 는 말을 들었다고 하면 P[A B]? P[B A]?

35 4. 생존분포 P[Tx t]와 생존함수 P[Tx > t] 제 4. 절 35 생존분포 P[Tx t]와 생존함수 P[Tx > t] 생존분포함수 Fx (t) : P[Tx t]의 성질을 알아보자. 정의로부터 P[Tx t] P[T0 x + t T0 > x] P {T0 t + x} {T0 > x} P[T0 > x] P[x < T0 x + t] P[T0 > x] 따라서 Fx (t) P[Tx t] P[x < T0 x + t] P[T0 > x] F0 (x + t) F0 (x) S0 (x) F0 (x + t) + F0 (x) S0 (x) S0 (x) S0 (x + t) S0 (x) S0 (x + t) S0 (x) 특히 Sx (t) Fx (t)인 것에 주의하면 Sx (t) S0 (x + t) S0 (x) 위 성질은 생존함수의 대단히 중요한 성질이므로 다음 두 형태로 기억하자. Sx (t) S0 (x + t), S0 (x) S0 (x + t) S0 (x)sx (t), Fx (t) + Sx (t), t 0

36 36 4 Force of Motality 두 사건 A, B가 동시에 일어나는 사건은 A B로 표현하는 것이 맞다. 그러나 표현을 간단하 게 하기 위하여 정의 4.. [동시에 일어나는 사건] 두 사건 A, B가 동시에 일어나는 사건 A B를 간단히 AB 로 표현한다. 그러면 P[B A] P[AB] P[AB] P[B]P[A B] P[A]P[B A] P[A] 보기 4.. 식 S0 (x + t) S0 (x)sx (t)을 말로 표현해보자. <풀이> S0 (x + t)는 지금 태어난 사람이 x + t년 생존할 확률이다. 만일 다음 세 사건 A 태어나서 x년 이상 생존한다 B 태어나 나이가 x가 된 수 t년 더 생존한다 C 태어나 x + t년 이상 생존하다 를 생각하면 C A B : AB이다. P[A] S0 (x), P[B] Sx (t), P[C] S0 (x + t) 따라서 식 S0 (x + t) S0 (x)sx (t)은 S0 (x + t) P[C] P[AB] P[AB] P[A] P[B A] P[A] Sx (t)s0 (x) P[A]

37 4. 생존분포 P[Tx t]와 생존함수 P[Tx > t] 37 보기 4.. 다음 식을 말해보자.. S0 (x + t + u) S0 (x)sx (t + u). S0 (x + t + u) S0 (x + t)sx+t (u) 3. S0 (x)sx (t + u) S0 (x)sx (t)sx+t (u) <풀이>. 태어나서 x + t + u년 이상 생존할 확률은, 태어나서 x년 이상 생존할 확률과, 태어나 x 년이 되었을 때, t년 이상 더 생존할 확률의 곱이다.. 태어나서 x + t + u년 이상 생존할 확률은, 태어나서 x + t년 이상 생존할 확률과, 태어나서 x + t 년이 되었을 때, u 이상 더 생존할 확률의 곱이다. 3. 태어나서 x + t + u년 이상 생존할 확률은, 태어나서 x년 이상 생존할 확률과, 태어나 x 년이 되었을 때, t년 이상 더 생존할 확률과, 태어나 x +t년이 되었을 때, u 이상 더 생존할 확률을 곱이다. 정리 4.. Sx (t + u) Sx (t)sx+t (u) 증명 S0 (x + t + u) S0 (x) S0 (x)sx (t)sx+t (u) S0 (x) Sx (t + u) Sx (t)sx+t (u)

38 38 4 Force of Motality 보기 4..3 다음을 말로 표현해보자.. Sx (0). limt Sx (t) 0 3. t < t 이면 Sx (t ) Sx (t ) 이제 Sx 는 수학적으로 다루기 편한 성질을 갖는 것으로 가정하자. 예를 들어 Sx 는 미분가능하다 limt tsx (t) 0 limt t Sx (t) 0 제 4.3 절 사망률 태어나서 x년에 죽을 확률을 아는 것은 중요하다. 이 사망율을 계산하는 것은 실제 인구 통계를 보고 계산해야 한다. 그러나 이론적으로 x년에 죽을 확률은 h > 0가 아주 작을 때 P[Tx h] h 로 봐도 크게 다르지 않다. 따라서 x년에 죽을 확률을 µx 라 두면 P[T0 x + h T0 > x] h 0 h P[x < T0 x + h] lim h 0 h P[x0 > x] P[T0 x + h] P[T0 x] lim h 0 h ( P[T0 x]) P[T0 x + h] + h P[T0 x] lim h 0 h S0 (x) S0 (x) S0 (x + h) lim h 0 h S0 (x) S0 (x + h) S0 (x) lim S0 (x) h 0 h 0 S (x) 0 S0 (x) 0 log S0 (x) µx : lim 위 식에서 log0 (x) x 인 것을 썼다. 합성함수 미분법에 따라 φ (x) log f (x) 라면

39 4.3 사망률 39 f 0 (x) f (x) φ 0 (x) 인 것에 주의하자. 따라서 µx 0 S00 (x) log S0 (x) S0 (x) (*) 의 의미는 log S0 (x)의 도함수가 µx 인 것을 말한다. 이제 식 (*)를 0부터 x까지 적분하면 Z tx µt dt t0 Z tx t0 0 log S0 (t) dt 따라서 Z tx t0 h µt dt log S0 (t) x t0 log S0 (x) log S0 (0) 그런데 S0 (x)의 의미는 무엇인가? S0 (x) F0 (x) P[T0 x] 이므로 S0 (x)의 의미는 어떤 사람이 태어나서 x년 생존할 확률이다. 따라서 의미있는 것은 살아 태어난 사람이므로( 즉 사산한 경우는 생각하지 않으므로) S0 (0) 이다. 정리하면 log S0 (x) Z x t0 µt dt 또는 S0 (x) exp 또한 S0 (t + x) S0 (x)sx (t) 인 것에 주의하며 Sx (t) S0 (x + t) S0 (x) x+t exp( u0 µu du) Rx exp( u0 µu du) R Z x+t exp( ux Z t exp( 0 µu du) µx+u du) Z x t0 µt dt

40 40 4 Force of Motality 정리 4.3. [사망률(mortality)] 나이 x에 죽는 속도(force of mortality)를 µx 라 두면 µx S00 (x) d log S0 (x) S0 (x) dx 따라서 S0 (x) exp Z x t0 µt dt 생존함수의 성질 S0 (x + t) S0 (x)sx (t)를 이용하면 Sx (t) S0 (x + t) exp S0 (x) Z x u0 µx+u du 여기서 Sx + Fx 인 것에 주의하면 µx S00 (x) F00 (x) F00 (x) F 0 (x) 0 S0 (x) F0 (x) F0 (x) S0 (x) 또한 사망률(force of mortality)는 사망할 확률이 아닌 것에 주의하자. 생존함수 S0 (x)를 이 용하면 당연히 사망률(force of mortality)를 표시화는데 음의부호 가 필요한다. 음의부호를 쓰지않으려면 남은 생명 Tx 의 분포함수 Fx (t) : P[Tx t]를 쓰면 되는데, 위에서 보는 것처럼 µx 의 표현이 아름답지 못하다. 위 식과 같은 µx 의 표현을 기억해두자. 보기 4.3. 연습으로 F0 (x) : P[T0 x] x 6 0 라 하자. F0 (x)의 그래프는 다음과 같다 F0 의 그래프의 모양의 의미를 말해보자.. 사망률(force of mortality ) µx 를 구해보자

41 4.3 사망률 그림 4. Force of mortality µ x 그림 4. 생존함수 S 0 (x) 그림 4.3 logs 0 (x) 0

42 4 4 Force of Motality 제 4.4 절 기대수명 나이가 x인 사람들의 집합 Ωx 를 생각하자. 정의 4.4. [확률변수 Tx ] 함수 Tx : Ωx [0, ) 는 나이가 x인 사람의 생존수명을 나타낸다. 예를 들어 Tx (p)는 나이가 x인 사람 p Ωx 의 남은 수명을 나타댄다. 이렇게 해석하면 {Tx t} : {p Ωx Tx (p) t} 는 나이가 x인 사람 중에서 기대수명이 t년 이내인 사람들이다. 즉 태어나서 x년 산 사람 중 에서 x + t년 이내에 죽는 사람들의 집합이다. 그런데 Tx 3, 즉 태어나서 x년 산 사람중에서 정확하게 x + 3년에 죽은 사람들을 생각하는 것은 큰 의미가 없다. 왜냐하면 정확하게 x + 3년 에 죽는 사람이 어디에 있겠나! 이런 이유로 Tx u 와 같은 부등식이 즐겨 사용된다. 그럼에도 이론적인 면에서 임의의 양수 h에 대해서 {t < Tx t + h} 를 생각하고 싶다. 말로하면 태어나서 x년 산 사람 중에서 t와 t + h 사이에 어떤 시점에 죽 는 사람들의 집합이다. 더 중요한 것은 {t < Tx t + h}의 확률 P[t < Tx t + h]을 표현하는 일이다. 정의 4.4. [분포함수(distribution function)] F : R R가. F는 증가함수, 즉 x, y, R, x y F(x) F(y). F는 오른쪽에서 연속, 즉 F(x) lim F(x + h) h 0 를 만족시키면 F를 분포함수라 한다. 가장 중요한 분포함수는 확률변수로부터 얻어지는 분포함수이다. 지금 우리의 경우는 확 률변수 Tx : Ωx [0, ) 로부터 얻어지는 함수

43 4.4 기대수명 43 Fx (t) : P[Tx t] P {p Ωx Tx (p) t} 는 분포함수이다. Fx 의 특징을 보면 t 0이면 Fx (t) 0 t 00이면 Fx (t). 태어나서 00년 이상 사는 사람 없다고 생각되지 않나! 이 분포함수 Fx 를 이용하면 {Tx t + h} {Tx t} {t < Tx t + h} 이고, {Tx t} {t < Tx t + h} 0/ 인 것에 주의하면 P[t < Tx t + h] P[Tx t + h] P[Tx t] Fx (t + h) Fx (t) 그러면 Fx (t + h) Fx (t)를 보면 즉시 떠오르는 생각이 있다. 아주 좋은 경우를 생각하자. 정의 [확률밀도함수(probability density function)] 확률변수 X : Ω R에 대응되는 분포함수 FX : R [0, ], FX (t) : P[X t] 를 생각하자. 만일 FX (t) : P[X t] Z t f (x)dx 가 되는 함수 f : R [0, )이 있으면, 이 함수 f 를 확률변수 X의 확률밀도함수라 한다. 사람들은 하나 하나 독립된 삶이 있기 때문에 미분적분을 적용할 수 있는 그런 것이 아니다. 그러나 사람들의 생존기간들은 실수집합의 부분집합이고 더욱 사람 수가 많기 때문에 실수집 합의 어떤 구간으로 이해하는 것이 이론을 풍성하게 한다. 이런 이유로 Tx 의 분포함수 Fx 가 확률밀도함수 fx 를 갖는다 하자. 따라서 Z t Fx (t) fx (s)ds

44 44 4 Force of Motality 정리 4.4. [미분적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)] 적분가능한 함수 f : [a, b] R 를 생각하자. 예를 들어 연속함수는 적분가능하다. 연속함수가 아니더라 도 증가함수(감소함수)는 다 적분가능하다. 사실 불연속점들이 유한개이거나 가산인 무한 (countably infinite)이면 적분가능하다. 적분을 이용해서 함수 F : [a, b] R를 Z x f (t)dt F(x) : ta 로 정의하면. F는 연속함수이다.. f 가 연속인 점 c [a, b]에서는 F는 미분가능하고 F 0 (c) f (c) 우리는 나이가 x인 사람들의 생존기간 Tx 가 어떻게 생겼는지 모른다. 그러나 통계자료를 해 석하면 fx 가 연속함수라 생각해도 통계자료와 맞지 않는 큰 오류가 없고, 더욱 fx 를 연속이라 생각하는 것이 재료 해석에 다양한 방법이 가능하기 때문에 fx 가 연속이라 가정하자. 그럼면 d Fx (t) fx (t) dt 특히 P[t < Tx t + h] P[Tx t + h] P[Tx t] Fx (t + h) Fx (t) Fx (t + h) Fx (t) h h fx (t)h 이 식으로부터 fx (t)를 해석하면, fx (t)는 나이가 x인 사람이 x + t년에 사망할 밀도(density)를 나타낸다. fx 는 증가함수 Fx 의 도함수이기 때문에 항상 0과 같거나 크다. 그러나 그 값은 아주 큰 양수 도 될 수 있다.

45 4.4 기대수명 45 정리 4.4. [기대수명(Expectation of Life)] 나이가 x인 사람들이 기대수명을 아는 것은 중 요하다. 이것을 통계자료를 보고 계산할 일이다. 이론적인 면에서 기대수명을 E[Tx ]로 나 타내면 Z E[Tx ] : Zt0 t0 t fx (t)dt tdfx (t) jhp[t + jh < Tx t + ( j + )h] j0 E[Tx ]는 함수 Tx : Ωx [0, )의 평균값이다. 그 의미는 나이가 x년 사람은 E[Tx ] 년 이내에 죽는다는 말이다. 이런 의미로 E[Tx ]는 나이가 x인 사람의 기대수명이라 이해하면 좋다. Tx : Ω [0, )의 분산(variance)를 계산하기 위하여 E[Tx ]을 계산하여 보자. 이를 위해서 다음 부분적분 공식을 이용하자. G0 (x) g(x)라 두면 Z Z f gdx f dg f G Z Gd f f G Z G f 0 dx 이제 Fx (t) + Sx (t) 인 것에 주의하면 E[Tx ] Z t0 t dfx (t) Z t0 t dsx (t) t Sx (t) Z + Sx (t)dt t0 t0 Z lim t Sx (t) + t t0 tsx (t)dt 사람은 영원히 살지는 않기 때문에 limt t Sx (t) 0라 생각해도 무리가 없다. 따라서 정리 Tx : Ωx [0, )의 분산 Var[Tx ]는 Var[Tx ] E[Tx ] E[Tx ] Z t0 tsx (t)dt Z t0 tdsx (t)

46 46 4 Force of Motality t 보기 4.4. F0 (t) : P[T0 x] ( 0 ) 6, 0 x 0이라 하자. 물론 t < 0이면 F0 (t) 0 이고, t 0이면 F0 (t) 인 것을 표현이 복잡하니 서로 아는 것으로 하자.. E[T30 ]을 구하여라.. Var[T30 ]을 구하여라. <풀이> fx (t) dtd Fx (t)라 두자. 그러면 E[T30 ]을 계산하려면 f30 (t)을 알아야 한다. 따라서 일반적으로 F0 (t)로 부터 Fx (t)를 알 필요가 있다. Fx (t)를 계산해보자. Fx (t) P[Tx t] P[T0 x + t T0 > x] P[x < T0 x + t] P[T0 > x] F0 (x + t) F0 (x) F0 (x) S0 (x) S0 (x + t), S0 (x) S0 (x + t) S0 (x) 따라서 fx (t) : S0 (x + t) d Fx (t) 0, dt S0 (x) Fx (t) + Sx (t) S0 (u) ( 여기서 주의할 점은 관계식 Fx (t) + Sx (t) 로 부터, 실제로는 S0 (u). E[Tx ]., u 0 6 u ( 0 ), 0 < u 0 0, u 0 u )6 0

47 4.4 기대수명 47 Z 0 E[Tx ] t0 Z 0 t0 tdfx (t) t fx (t)dt 0 ts0 (x + t)dt S0 (x) t0 0 Z 0 x tds0 (x + t) S0 (x) t0 Z 0 x 0 x ts0 (x + t) t0 + S0 (x + t)dt S0 (x) S0 (x) t0 Z 0 S0 (u)du 0+ S0 (x) ux Z 0 u ( ) 6 du S0 (x) ux 0 Z x 0 u u 0( )6 ( ) 6 d( ) ux x 6 u 7 0 0( ) 6 ( ) ux 6 (0 x) 7 Z 특별히 E[T30 ] 67 (0 30) Var[Tx ] 우선 Var[Tx ] E[Tx ] E[Tx ] u 6 여기서 E[Tx ]는 이미 계산했기 때문에 E[Tx ]을 계산하자. S0 (u) ( 0 ) 에 주의하면, E[Tx ] Z 0 t0 Z 0 t0 t dfx (t) t fx (t)dt 0 x t S00 (x + t)dt S0 (x) t0 Z 0 (u x) S00 (u)du S0 (x) ux Z 0 (u x) ds0 (u) S0 (x) ux Z 0 0 (u x) S0 (u) ux S0 (u)d(u x) S0 (x) ux Z 0 (u x)s0 (u)du S0 (x) ux Z 0 u (u x)( ) 6 du S0 (x) ux 0 Z u 이 적분을 계산하는 것은 0 때문에 힘들다. 이 복잡한 것을 한 문자로 바꾸자. u v 0

48 48 4 Force of Motality 라 두면 u 0 0v가 된다. 따라서 Z 0 (u x)( ux u ) 6 du 0 Z u0 (u x)( ux Z 0 0v0 u ) 6 du 0 (0 0v x)v 6 d(0 0v) 0 0vx Z 0 x v (0 x)v 6 0v 6 d( 0v) Z x 0 7 (0 x)v 6 0v 6 dv v0 6 6 x 7 x 3 0 (0 x) ( ) 6 0 ( ) x 0 ( ( ) (0 x) 6 9 따라서 E[Tx ] 7 (0 x) 9 드디어 Var[Tx ] E[Tx ] E[Tx ] (0 x) (0 x) (0 x) 특별히 Var[T30 ] (0 30) 위 보기처럼 실제 상황가 비슷한 문제는 계산이 복잡하다. 다음과 같은 개념 익히는 문제를 풀어보자. 보기 4.4. F0 (t)가 다음과 같다. F0 (t). E[Tx ]를 구하여라.. Var[Tx ]를 구하여라. <풀이> Fx (t)를 구해야 한다. 0, t 0 4t, 0 t, t

49 4.4 기대수명 49 Fx (t) P[Tx t] P[T0 x + t T0 > x] P[x < T0 x + t] P[T0 > x] F0 (x + t) F0 (x) F0 (x) S0 (x) S0 (x + t), S0 (x) S0 (x + t) S0 (x) 따라서 fx (t) : Fx (t) + Sx (t) S0 (x + t) d Fx (t) 0 dt S0 (x) 이제 Fx (t) + Sx (t) 으로부터 S0 (t) F0 (t), t 0 4 t, 0 t 0, t 지금 경우는 함수가 간단하니 직접 계산하면 0, t <0 (x+t) fx (t), 0 < t < x, x 4 0, t > x 위 식에서 fx (t)가 0이 아닌 t 값의 범위가 0 < t < 가 아니라 0 < t < x 인 것에 주의하자. 그러면. E[Tx ] Z E[Tx ] tdfx (t) t0 Z x t0 t fx (t)dt 4 x Z x t(x + t)dt t0 (8 x x ) 3( + x). Var[Tx ] Var[Tx ] E[Tx ] E[Tx ]

50 50 4 Force of Motality 우선 그러므로 Var[T x ] ( x) (6 + x) 6( + x) E[Tx ] t df x (t) t0 4 x x t0 ( x) (6 + x) 6( + x) t (x +t)dt ( (8 x x )) 8 6x + 4x + x 3 3( + x) + 6x

51 장5 Acturial Notations 어떤 분야는 그 분야의 사람들이 즐겨 사용하는 표현이 있다. 보험 분야도 다르지 않다. 이 절에서는 보험분야에서 주로 사용하는 표현을 익혀보자. 정의 [ 기호의 정의] F0 (t) : P[T0 t] : t q0 S0 (t) : F0 (t) P[T0 > t] t p0 따라서 t p0 + t q0 t 가 변수인 것에 주의하자. Fx (t) : P[Tx t] : t qx Sx (t) : P[Tx t] P[Tx > t] : t px 따라서 Fx (t) + Sx (t) 으로부터 t px + t qx 여기서 t가 변수인 것에 주의하자. u t qx : P[u < Tx u + t] 따라서 u t qx P[u < Tx u + t] P[Tx u + t] P[Tx u] Fx (u + t) Fx (u) Fx (u + t) + Fx (u) Sx (u) Sx (u + t) 정리하면 Fx (u + t) Fx (u) u t qx Sx (u) Sx (u + t) 5

52 5 5 Acturial Notations u t qx 라는 기호를 기억하기 어렵다. 다음 설명을 보자. : 태어나서 t년 이내에 죽을 확률. q를 quit라 생각하자. t가 앞에 있는 것은 예측이기 때문이라 생각하자. t p0 : 태어낸 사람이 t년 이상 살 확률. p는 prosper라 생각하자. t qx : 나이가 x이 사람이 t년 이내에 죽을 확률. 이 사람은 태어나서 x + t년 이내에 죽는 사람들에 속한다. t px : 나이가 x인 사람의 t년 이상 살 확률. 이 사람은 태어나서 x + t년 이상 사는 사람들에 속한다. u t qx : 나이가 x인 사람의 x + u년과 x + u + t년 사이에 죽을 확률 t q0 제 5. 절 Force of Mortality 시간에 따른 위치의 변화를 속도(velocity)라 한다. 시간에 따를 거리의 변화를 속력(speed)라 한다. 사람이 죽는 것도 시간에 따른 변화이므로 나이가 x가 됐을 때 죽는 속도를 아는 것은 관심 갖을 일이다. 죽는 것은 피할 수 없는 일이므로 속도란 말 대신에 Force of Mortality란 표현을 쓴다. 정의 5.. [ Force of Mortality] 태어나 나이가 x인 사람들의 t년에 죽는 속도(Force of mortality)는 µx (t) : lim t+h qx t qx t px h 0 h 위 식에서 분모에 t px P[Tx > t] 가 있는 것은 t년에 죽는 속도를 계산하려면 최소한 t년 이상 사는 사람을 대상으로 해야 하기 때문이다. 태어난 사람들이 나이 x에 죽는 속도는 x+h q0 x q0 h 0 h x p0 P[T0 x + h] P[T0 x] lim h x p0 h 0 F0 (x + h) F0 (x) lim h 0 p h x 0 f0 (x) d, f0 (x) : F0 (x) S0 (x) dx µ0 (x) : lim 정리하면 µ0 (x) 그런데 f0 (x), S0 (x) f0 (x) : d F0 (x) dx

53 5. Force of Mortality 53 S0 (x) + F0 (x) 인 것을 이용해서, 양변을 x로 미분하면 d d d S0 (x) + F0 (x) S0 (x) + f0 (x) 0 dx dx dx 따라서 µ0 (x) S0 (x) d f0 (x) 0 log S0 (x) S0 (x) S0 (x) dx 여기서 S0 (0) 인 것에 주의하며 S0 (x) exp Z x t0 µ0 (t)dt 정리 5.. [Force of Mortality 와 Survival Function] µ0 (x) d log S0 (x), dx S0 (x) exp Z x t0 µ0 (t)dt 여기서 S0 (x) : P[T0 > x] 즉 S0 (x)는 태어난 사람이 x년 이상 살 확률이다. 음의 부호 가 있는 것은 죽는 것은 사는 것과 대척점에 있기 때문이다. t px 는 태어나 나이가 x인 사람이 t년 이상 더 살 확률이다. 따라서 t px : P[Tx > t] P[T0 > x + t T0 > x] P[{T0 > x + t} {T0 > x}] P[T0 > x] P[T0 > x + t] P0 > x] S0 (x + t) S0 (x) 정리하면 t px P[Tx > t] S0 (x + t) exp S0 (x) Z x+t ux µ0 (u)du

54 54 5 Acturial Notations 정리 5.. [µx (t)] 태어나서 나이가 x이 사람이 t년 후에 죽는 속도 µx (t) (force of mortality) 는 µx (t) µ0 (x + t) <풀이> 상식으로 생각해도, 나이가 x이 사람이 t년 후에 죽는 속도는, 태어낸 사람이 x + t 년에 죽는 속도와 같다. 계산으로 확인하면 우선 Fx (t) + Sx (t) 양변을 t 로 미분하면 fx (t) + d Sx (t) 0 dt 따라서 d d Sx (t) t px fx (t) dt dt 그런데 t px S0 (x+t) S0 (x) 이므로 d t px dt S0 (x + t) 0 S0 (x) S00 (x + t) S0 (x + t) S0 (x + t) S0 (x) fx (t) µ0 (x + t)t px 정리하면 fx (t) µ0 (x + t)t px 다은 한편으로 정의로부터 바로 µx (t) : lim t+h qx t qx h 0 t px h fx (t) t px 두 식으로부터 µx (t) fx (t) µ0 (x + t)t px µ0 (x + t) t px t px 나이가 x인 사람의 u년과 u + t년 사이에 죽을 확률 u t qx 은 u t qx P[Tx u + t] P[Tx u] P[Tx u] P[Tx u + t]) u px u+t px

55 5. Force of Mortality 55 보기 5.. S0 (x) e ax 라 하자.. f0 (x)를 구하라.. µ0 (x)를 구하여라. <풀이> d d. f0 (x) dx F0 (x) dx S0 (x) ae ax d d ln S0 (x) dx. µ0 (x) dx ax a 보기 5.. µ0 (x) a +x 라 하자.. S0 (x)를 구하라.. f0 (x)를 구하여라. <풀이> 먼저 S0 (x)를 구하자. S0 (0) 인 것에 주의하면. S0 (x) exp. f0 (x) Z x d d dx F0 (x) dx 0 x a dt exp ln( + x) ( + x)a t0 + t Z µ0 (t)dt exp S0 (x) a (+x)a+ 보기 5..3 강원개발에서 만든 제품 A의 보증기간 x를 x년을 버티지 못하는 제품 비율율을 t % 이내로 하고 싶다. 만일 제품이 고장나는 속도(force of mortality)를 µ0 (t) 500 이라 할 때, x으로 타당한 값을 구하여라. <풀이> 다른 말로 하면 99%가 x년을 버티도록 하면 된다. 따라서 S0 (x) exp 따라서 S0 (x) 0.99가 되려면 Z x t0 x t dt exp( ) 000 t0 500 Z µ0 (t) exp x

56 56 5 Acturial Notations x ln(0.99) x 000 ln(0.99) 따라서 보증기간은 x 3년으로 하는 것이 타당하다. x a 보기 5..4 S0 (x) 00 라 하자. a,, 인 경우에 60 p0 을 구하여라. <풀이> t px S0 (x+t) S0 (x) 인 것에 주의하면 a 일 때, 60 p0 a 일 때, 60 p0 4 a 일 때, 60 p0 6 위 계산은 지금 상황에서는 µ0 (x) d d x a ln S0 (x) a ( ) dx dx x 인 것에 주의하면, a가 a로 되면 force of mortiality 는 배로 커지고, 이에 따라 살아남을 확률은 제곱으로 줄어든다.

57 5. Life Table 57 제 5. 절 Life Table 나이가 x인 사람들의 집합을 Ωx 로 표시했다. #(Ωx ) `x 라 하자. 따라서 `x 는 나이가 x이 사람 들의 수이다. 정의 5.. 나이가 x의 사람들이 집합을 Ωx 로 나타내자.. `x : # Ωx. t px : 나이가 x이 사람의 t년 이상 살 확률. 따라서 t px : P[Tx > t T0 > x] 3. t qx : 나이가 x인 사람이 t년 이내에 죽을 확률. 따라서 t qx : P[Tx t T0 > x] 정의로부터 t px + t qx. 정의 5.. [이항확률변수( Binomial Random Variable)] 성공할 확률이 p, 실패할 확률이 q p인 실행이 있다. 이 실행을 독립적으로 n 번 한 결과는 Ω : {ω (ω, ω,, ωn ) ωi {0, }} 로 표현할 수 있다. 여기서 성공은, 실패는 0로 표시하기로 하자. 그러면 각각의 확률변수 Xi : Ω R, Xi (ω) : ωi, i,,, n 는 서로 독립이고, 특히 P[Xi ] p, P[Xi 0] q, i,,, n 이때 확률변수 X : Ω R, X : X + X + + Xn 을 이항확률변수(Binomial Random Variable)이라 한다. 이항확률변수의 편리한 점은 평균(mean)과 분산(variance)를 구하기 쉽다. 주의할 것은 Xi, i,,, n서 서로 독립인 것이다. 그러면

58 58 5 Acturial Notations E[X] E[X ] + E[X ] + + E[X n] p+ p+ + p np Var[X] E[X ] E[X] n E[ Xi X j ] (np) i, j n E[Xi X j ] (np) i, j n E[Xi ] + E[Xi ]E[X j ] (np), i i 6 j이면 Xi, X j 는 독립 i6 j E[Xi ] + (n n)p (np) i np + (n n)p (np) np( p) npq, q p. `x : # Ωx 지금 이항확률변수를 말하는 것은 나이가 x이 사람이 t년 이상 살 확률은 t px 인 것이 앞면()이 나올 확률일 t px 이 동전 던지기와 같은 상황이기 때문이다. 따라서 다음을 얻 는다. `x+t t px `x 이 식은 # Ω `x 이므로, 이항확률변수의 평균에 해당한다. # Ωx+t `x+t E[X] np `x t px t px # Ωx 다음에 주의하자: t px # Ωx+t `x+t `x # Ωx `x 에서 `은 Live 라 기억하자. dx : `x `x+ # Ωx # Ωx+ dx 는 나이가 x인 사람이 x + 이 되기 전에 죽은 사람들의 수이다. 따라서 dx : `x `x+ # Ωx # Ωx+ 이 식을 정리하면 dx `x `x+ `x+ `x `x px `x `x qx

59 5. Life Table px px, qx qx 이것은 표현을 간단하게 하기 위한 것이다. 이 표현을 쓰면 dx `x `x+ `x+ `x `x px `x `x qx 4. u t qx u t qx 는 나이가 x인 사람이 x + u년과 x + u + t년 사이에 죽을 확률이다. 따라서 이 계산에 필요한 것은 # Ωx # Ωx+u # Ωx+u+t 따라서 # Ωx+u # Ωx+u+t u t qx # Ωx `x+u `x+u+t `x 물론 # Ωx+u # Ωx+u+t u t qx # Ωx `x+u `x+u+t `x x+u px x+u+t px

60 60 5 Acturial Notations 보기 5.. 위표를보고다음을구하여라.. l 0. 0 p 0 3. q q 5 5. 현재나이 5인사람이 35에서 38에죽을확률. l p 0 l 0+0 l q 35 q 35 l 35 l35+ l % 4. 0q 5 0 p 5 l 0+5 l q 5 l 35 l 38 l % %

61 5. Life Table 6 보험수학 숙제 0 제출기한: 06년 05월 04일 보기 5... Ω {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, ), (, 3), (, 4)}라 하자. P {(i, j)} ci. a. c의 값을 구하여라. b. 두 확률변수 X : Ω R,Y : Ω : R가 다음과 같이 정의되어있다. X(i, j) i + j, Y (i, j) i j i. E[X], E[Y ]를 구하여라. ii. Var[X],Var[Y ]를 구하여라. iii. E[X Y ]를 구하여라. iv. E[Y X]를 구하여라. v. Z E[X Y ]라 할 때, Var[Z]를 구하여라. vi. Var[X Y ]를 구하여라. <풀이> 지금 경우는 각 사건이 일어날 확률이 같지 않은 것에 주의하자. a. P[Ω ] 은 언제나 성립해야 한다. 따라서 P[Ω ] P[(i, j)] i, j c i j,4 i ] 4c i i 4c( + ) 6c 따라서 c 6. b. i. E[X], X(i, j) i + j

62 6 5 Acturial Notations E[X] i, j X(i, j)p[(i, j)] i, j c + c i, j i, j 8c + c i 8c + 0c 8c + 5c 3c 3 6 i i j i 4 j j i (i + j) c i c ( + j i ) i, j E[Y ] i, j c c Y (i, j)p[(i, j)] (i j) c i, j i c j i, j 4 i j i 0c 0c 0 i j 0 6 ii. Var[X],Var[Y ] 0 3 Var[X] E[X ] E[X] i, j X(i, j) P[(i, j) ( 3) 6 (i + j) c i, j i ( )

63 5. Life Table 63 Var[Y ] E[Y ] E[Y ] Y (i, j) P[(i, j) i, j 0 3 c 0 (i j) i 3 i, j 35 9 iii. E[X Y ] 우선 E[X Y ] : Ω R는 Y 값이 같은 집합 {Y y}에서 상수함수인 것에 주의하자. Ω 를 Y 값에 따라 분류하면 Ω {(, )} {(, ), (, )} {(, 3)} {(, ), (, 4)} {(, 3)} {(, 4)} {(, )}에서는 E[X Y ] P[X Y ] {(, ), (, )}에서는 조심해야 한다. 왜냐하면 각 사건일 일어날 확률이 갖지 않기 때문이다. 따라서 P[ω (, ) Y ] P[ω (, ) Y ] E[X Y ] X(ω)P[ω (, ) Y (ω) ] + X(ω)P[ω (, ) Y (ω) ] {(, 3)} 에서는 E[X Y 3] 4 {(, ), (, 4)}에서는 E[X Y 4] X(ω)P[ω (, ) Y (ω) 4] + X(ω)P[ω (, 4) Y (ω) 4] {(.3)}에서는 E[X Y 6] 5 {(, 4)}에서는 E[X Y 8] 6

64 64 5 Acturial Notations,,,3,4,,3, ,4 6 E[Y X],,,3,4,,3, ,4 8 Var [ E[X Y ] ] 앞에서함수 E[X Y ] : Ω R 은구했다. 또한 인것도알고있다. 따라서 직접계산하면 m 3 6 을해서 E [ E[X Y ] ] E[X] 3 6 Var [ E[X Y ] ] E [ E[X Y ] ] E[X] 7

65 5. Life Table 65 Var [ E[X Y ] ] [ (E[X [ ] ] E Y ] E E[X Y ] ) ( m) 6 + (3 m) 4 + (4 m) ( 4 3 m) 4 + (5 m) + (6 m) 7 Var[X Y ] E [ (X E[X Y ]) Y ] 중요한것은 Var[X Y ] : Ω R 은 {Y y} Ω 에서상수함수인것을아는것이다. Ω 를 Y 값에따라분류하면 Ω {(,)} {(,),(,)} {(,3)} {(,),(,4)} {(,3)} {(,4)} 여기서함수 X : Ω R 을보면,,,3, , 4,4,3 5,4 6 따라서 X E[X Y ] : Ω R 은

66 66 5 Acturial Notations 0 H,L H,L H,L H,3L H,4L H,L H,3L 5 H,4L 6 함수 X E[X Y ] : Ω R의 그림을 보면, (i, j) (, 4), (, 4) Var[X Y ](i, j) 9 0, 위와 다른 경우 앞에서 Var E[X Y ] 7 인 것을 알았다. 다음 식을 확인해보자: 7 53 Var[X] E Var[X Y ] +Var E[X Y ] 보기 5..3 다음 가시 선택을 생각하자. 계산의 편의를 위해서 현재를 월 일이라 하자.. 내년 월 일부터 0년간 매년 월 일에 5,000을 받는다.. 내년 월 일부터 40년 동안 매년 월 일에 X를 받는다. 이자율이 %로 유지된다 가정할 때, 두 선택이 동등하게 되는 X를 구하여라. (계산의 편의를 위해서 40년을 살 수 있다 가정하자) <풀이> 현재가격 또는 미래가격 계산에 아주 유용한 공식은 등비급수의 합이다. 예를 들어 S + r + r + r3 + r n0 의 값을 구하는 문제를 생각하자. 이 식을 다음과 같이 둘로 나누자.

67 5. Life Table 67 따라서 S + r + r + r r + r + + r n + r n+ + r n+ + + r + r + + r n + r n+( + r + r + r 3 + ) + r + r + + r n + r n+ S + r + r + + r n S( r n+ ) ( r n+ ) r r rn+ r. 현재가격을계산하면. 같은방식으로현재가격을계산하면 P r ( + r) ( + r) ( + + r + r + + ) ( + r) ( + r) ( ( + r r + r )0) 5000 ( ) r ( + r) 0 P X + r + X X + r X + r + r X r 위두값이같기위해서는 r 0.0 로계산해서 ( + r) + + X ( + r) 40 ( + + r + + ) ( + r) 39 ( ( r + r )40) ( ) ( + r) 40 (+r) X (+r) ( + )( + ) (+r) 0 (+r)