Spec(L) Diophantine geometry in a very direct sense, in spite of the diversity of techniques Spec(K) Spec(F ) that occur in their study. Should one in

Transcription

1 수학계의 최근동향 Towards a theory of Diophantine geometry 김민형 (포항공과대학교 & Univ. of Oxford) Diophantine geometry is the study of maps Y X between schemes of finite type over Q or Z. The starting point of such an inquiry might be equations f(x 1, x 2,..., x n ) = 0 with f Z[x 1, x 2,..., x n ] and the study of rational or integer solutions. But then one gradually and naturally enlarges the possibilities for both the coefficients and the solutions, starting with algebraic number fields. For example, we quickly run into Q[ζ p ] when studying x p + y p = z p, both as the domain of solutions, but also in the coefficients, when we find it convenient to factorize x p + y p = i (x + ζ i py), (p 3). And then, once we start regarding the equation as defining a geometric object, we are inevitably led to consider maps from other geometric objects 1, such as might be defined by g(x 1, x 2,..., x m ) = 0 or, equivalently, solutions to the original equation in the finitely generated ring Z[x 1, x 2,..., x m ]/(g(x 1, x 2,..., x m )). Thence, it is hard not to find the general geometric formulation rather sensible. Nevertheless, there is some resistance to thinking of all such investigations as falling under the same rubric. Consider the following small list: (1) Galois theory, where one is given a map Spec(K) Spec(F ) between spectra of number fields, and classifies intermediate maps that fit into a diagram: 1 When changing variables, for example, in the most elementary instance. 2 대한수학회소식 제 145호

2 Spec(L) Diophantine geometry in a very direct sense, in spite of the diversity of techniques Spec(K) Spec(F ) that occur in their study. Should one indeed think of them in a uniform manner? (2) Class field theory, where one attempts to classify maps between rings of algebraic integers: Spec(O K ) Spec(O F ). (3) Conjectures and theorems of Shafarevich type, where one proves the finiteness or non-existence of certain kinds of maps to rings of integers [1, 6, 7]: There are no abelian schemes f : A Spec(Z). (Fontaine-Abrashkin) There are at most finitely many smooth proper curves f : X Spec(O F,S ) of genus g 2. (Faltings) (4) Hasse-Minkowski theory, the study of local-to-global principles exemplified by the exact sequence [21]: Indication that such unity may be possible comes from linearized Diophantine geometry. This is the study of maps between objects one obtains by linearizing the category of algebraic varieties to the category of motives [15]. The key step is to replace maps Y X by correspondences: Z Y and formal linear combinations. This idea, suitably adapted, leads to the notion of a linearized map from Y to X as an algebraic cycle Z = n i Z i Y X. i That is, one constructs a new category M and a functor X 0 H 2 (F, G m ) v H 2 (F v, G m ) H : V ar M Q/Z 0. (5) The conjecture of Birch and Swinnerton Dyer [9, 17]: E(Z) Q p Hf 1 (G Q, H 1 (Ē, Q p)) E(Z) < L(E, 1) 0. According to our original definition, all these are conjectures or theorems about thought of as universal homology such that Hom M (H(Y ), H(X)) = CH (Y X) Q, the Q-vector space of algebraic cycles on Y X modulo an appropriate equivalence relation. This idea, refined suitably, is expected to lead to a very harmonious theory with good conjectural properties. For example, 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 3

3 when X and Y are smooth projective varieties over F (possibly Spec(F ) itself), Tate has conjectured that Hom Mhom (H(Y ), H(X)) Q p Hom GF [H et (Ȳ, Q p), H et ( X, Q p )], where H et refers to the dual of étale cohomology, considered inside the category of representations of the Galois group G F = Gal( F /F ). Furthermore, Ext 1 M hom (H(Y ), H(X)) Q p Ext 1 G F,f (Het (Ȳ, Q p), H et ( X, Q p )). There is also supposed to be a numerical criterion for the existence of maps and extensions in terms of L-functions: dimext 1 M hom (H(Y ), H(X)) dimhom Mhom (H(Y ), H(X)) = ord s=1 L(H(X) H(Y ), s) One may well question the efficacy of this methodology, even if all the conjectures were to be true 2. Nevertheless, it is striking that all maps in this theory are treated in a uniform manner, without regard, for example, to the relative dimensions of the objects 3. The obvious problem is that in linearized Diophantine geometry, X will pick up many more virtual Y -points, making it difficult to recover the original maps of interest. That is, the knowledge that Hom M (Y, X) is non-zero may tell us nothing at all about existence of actual maps from Y to X (unless X has some special structure like that of an abelian variety). For example, when Y = F itself, then given a K point x X(K) for a finite field extension K of F, the formal linear combination σ(x), where σ(x) runs over the Galois conjugates of x, will define a map in M from Spec(F ) to X. This obviously tells us nothing about the F points of X. One can attempt to remedy this in various ways, for example, by focusing on zero-cycles of degree one over F. This was, to a certain extent, the (unsuccessful) approach taken by Weil in his thesis towards a proof of the Mordell conjecture [23]. But the approach that is our main concern here is that of replacing H(X) by π(x), a homotopy type, whose precise nature remains undetermined. Weil [24] proposed the use of Bun n (X), the moduli stack of vector bundles of rank n on X. At that time, a precise relation between this and the homotopy of X was not known, but was later established through the work of Narasimhan-Seshadri and Simpson [19, 20]. In the 1980 s Grothendieck [8] proposed the profinite étale π 1 as π(x), at least 2 Can one really compute the L-function? 3 Here, we are starting with Y and X given, and ignoring somewhat the question of classifying all possible Y in a manner that generalizes class field theory. One might view conjectures of Shafarevich type as a preliminary step. To move systematically in this direction, one needs to supplement the usual theory of motives with Langland s reciprocity conjecture [18]. 4 대한수학회소식 제 145호

4 for a certain class of schemes including algebraic number fields and curves of genus 2, while Deligne and Ihara emphazised the importance of rational homotopy types that have a motivic nature [5]. More recently, Toen proposed schematic homotopy types as a suitably refined version of π(x). One might express a fantastic hope in this context to develop non-linear refinements of all aspects of the theory of motives, especially criteria for the existence and classification of morphisms from one scheme of finite type to another. In any case, the motivic theory seems to provide a good starting point from which one can seek fruitful avenues of non-linearization/nonabelianization. * For the remainder of this paper, we will illustrate the general principle of nonabelian lifting with a rather concrete example, that is, an extension of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer to the realm of hyperbolic curves. Phenomena of the type [X (Q)< ] [non-vanishing of L-values]. we have discussed elsewhere [14], even while a precise formulation remains elusive. But equally interesting and perhaps more important is the problem of extending the statement E(Z) Q p Hf 1 (G Q, H 1 (Ē, Q p)) to the hyperbolic setting. For this, let X /Z denote one of the following: - P 1 \ D where D is a reduced horizonal divisor with at least three C-points. - The regular minimal model of a compact smooth curve of genus 2; - The complement of a nonempty reduced horizontal divisor D inside a regular minimal model X of a compact smooth curve of genus 1. Denote by X the generic fiber of X and X its base-change to Q. Denote by b either - an integral point 4 of X ; - or an integral tangent vector to X at an integral point in D ([5], section 15). Note that such a point must remain in the smooth locus of X. For the rest of this paper, p will be an odd prime of good reduction and T a finite set of primes containing all primes of bad reduction for X and p. In the case of X = X \ D as above, T also includes the primes where D Spec(Z) is not étale. Clearly, the main case of genus zero to keep in mind is P 1 \ {0, 1, }, while in genus one we should think about E \ O, where E is the regular minimal model of an elliptic curve and O is its origin. 4 We remind the reader of the elementary fact that in the compact case, X (Z) = X(Q), so that the discussion subsumes the consideration of rational points. 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 5

5 Recall [11] that the Q p -unipotent fundamental group U comes with a lower central series U 1 = U, U n+1 = [U, U n ] and corresponding quotients U n = U/U n+1 that can then be viewed as a projective system U 4 U 3 U 2 U 1 of algebraic groups. For any other point x X (Z), we have P (x) : = π Qp 1 ( X; b, x) = [π et 1 ( X; b, x) U]/π et 1 ( X, b), the homotopy classes of Q p -pro-unipotent étale paths from b to x. Here, γ π et 1 ( X, b) acts on π et 1 ( X; b, x) U by (p, u) (pγ, γ 1 u), and P (x) is the quotient space. This is a right torsor for U with respect to the action [(p, u)]u = [(p, uu )], sometimes called the push-out of the right π et 1 ( X, b)-torsor π et 1 ( X; b, x) via the homomorphism π et 1 ( X, b) U. Both U and P (x) admit compatible actions of G that factor through G T = Gal(Q T /Q). The induced action of the local Galois group G p = Gal( Q p /Q p ) is also crystalline. (For all these facts, we refer to [11].) We get thereby a global Q p -pro-unipotent Albanese map (op. cit.): X (Z) j H 1 f (G T, U); x [P (x)]; to the points of a Q p -moduli scheme H 1 f (G T, U) of torsors for U that are unramified outside T and crystalline at p. Similarly, for each prime v, we get local Albanese maps [16] X (Z v ) j v H 1 (G v, U). such that the component at p factors X (Z p ) j p H 1 f (G p, U) H 1 (G p, U) through the subscheme consisting of crystalline classes. Here and in the following, we will allow ourselves some sloppiness in notationally confusing the Q p points of the moduli schemes and the schemes themselves. It is best to view these maps as towers, which in the global case looks like X (Z).. H 1 f (G T, U 3 ) j j j Hf 1 (G T, U 2 ) Hf 1 (G T, U 1 ) (We will denote the maps at various levels with the same j or j v.) Each of the schemes H 1 f (G T, U n ) is affine and of finite type. Meanwhile, the Albanese maps are compatible with localization X (Z) X (Z v) j j v Hf 1 locv (G T, U n) H 1 (G v, U n) and each loc v is an algebraic map. 6 대한수학회소식 제 145호

6 Now, we come to the important definition of the Selmer scheme: H 1 Z(G, U n ) := v p loc 1 v [Im(j v )] H 1 f (G T, U n ) These are the torsors that are locally geometric, that is, come from points for each place v p. Of course we are still imposing the condition that they be crystalline at p. The reader should be warned that the terminology Selmer scheme (or variety) was used in previous papers with somewhat looser defining conditions. However, the current usage seems to be the most consistent with the situation for elliptic curves. According to [16], each image j v (X (Z v )) H 1 (G v, U n ) is finite for v p, so that H 1 Z (G, U n) is a closed subscheme of H 1 f (G T, U n ). For n=1, Im(j v ) H 1 (G v, U 1 ) is actually zero for v p. We also have Im(j v ) H 1 (G v, U n ) = 0 even for higher n when v / T. To formulate the conjecture, we need to focus on the localization diagram at p: X (Z) X (Z p) j j p HZ(G, 1 locp U n ) H 1 f (G p, U n ) The main problem we wish to address is that of understanding the upper horizontal arrow, that is, recognizing in X (Z p ) the global points X (Z). The strategy to be employed is to focus on the lower horizontal arrow instead, which is an algebraic map of affine schemes. Define X (Z p ) n := j 1 p (loc p [H 1 Z(G, U n )]), the p-adic points that are cohomologically global of level n. For brevity, we will refer also to points in X (Z p ) n as weakly global of level n. From the commutative diagrams X (Z p) H 1 f (G p, U n+1) loc p j p j p H 1 Z (G, U n+1) Hf 1 (G p, U n) loc p HZ(G, 1 U n) we see that there is a non-increasing sequence of refinements X (Z p ) X (Z p ) 1 X (Z p ) 2 X (Z p ) n X (Z p ) n+1 X (Z), each level of which contains the set X (Z) of global points. Finally, we arrive at the Conjecture 0.1. for n >> 0. X (Z p ) n = X (Z) The point of this conjecture is that X (Z p ) n should be computable in principle, suggesting a method of computing X (Z) 5. Note that an appropriate generalization of this conjecture to number fields would open up also the possibility of providing a priori the initial requirement of a base-point. Such a generalization will be discussed in a subsequent paper. The idea behind computability has an easy local portion coming from p-adic 5 Cf. [12], as well as the usual method of descent on elliptic curves. 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 7

7 Hodge theory and the theory of the De Rham/crystalline fundamental group ([11], section 2), whereby we get a description of as X (Z p ) j p Hf 1 (G p, U n ) Un DR /F 0 A r n j p (z) = (j w p (z)) where each coordinate j w p (z) is a p-adic analytic function defined by iterated Coleman integrals z b α 1 α 2 α n of differential forms on X. That is to say, the triangle on the right of the diagram X (Z) X (Z p) j j p HZ(G, 1 locp U n) H 1 f (G p, U n) (j w p ) r A n is essentially completely understood. The difficult part is to compute H 1 Z(G, U n ) H 1 f (G p, U n ), which should be accessible in principle, being an algebraic map between affine Q p - schemes. More precisely, we would like to compute the defining ideal L(n) for the image of the global Selmer scheme at level n: loc p [H 1 Z(G, U n )] H 1 f (G p, U n ) = A rn, from which we wish to get the set X (Z p ) n as zeros of f j p, as f runs over the generators of L(n). Now, as soon as L(n) 0, X (Z p ) n must be finite ([11], section 3), so we are in any case investigating a finite discrepancy X (Z) X (Z p ) n. As discussed elsewhere (loc. cit.), standard motivic conjectures (Fontaine-Mazur- Jannsen, Bloch-Kato) imply that for n large, j L(n + 1) j L(n), and, in fact, the larger ideal contains elements that are algebraically independent of the elements in j L(n). So something in the common zero set for all n should be there for a good reason, hopefully, that of being a global point. Somewhat unfortunately, this vague expectation is all that can be offered at present as theoretical basis for the conjecture. Numerical evidence for the conjecture will be presented in a forthcoming paper with J. Balakrishnan, I. Dan-Cohen, and S. Wewers. Incidentally, we remark that the said implication of motivic conjectures, in particular, L(n) 0 for n >> 0, has been proved in a range of cases, including P 1 \ {0, 1, }, CM elliptic curves minus their origins, and curves of higher genus whose Jacobians have CM [4, 10, 13]. [참고문헌] [1] Abrashkin, V. A. Good reduction of two-dimensional Abelian varieties. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 40 (1976), no. 2, , 460. [2] Baker, Matthew; Ribet, Kenneth A. Galois Theory and Torsion Points on Curves. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 15 (2003), 대한수학회소식 제 145호

8 [3] Balakrishnan, Jennifer; Kedlaya, Kiran; Kim, Minhyong Appendix and erratum to Massey products for elliptic curves of rank 1. J. Amer. Math. Soc. 24 (2011), no. 1, [4] Coates, John; Kim, Minhyong Selmer varieties for curves with CM Jacobians. Kyoto J. Math. 50 (2010), no. 4, [5] Deligne, Pierre Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points. Galois groups over Q (Berkeley, CA, 1987), , Math. Sci. Res. Inst. Publ., 16, Springer, New York, [6] Faltings, G. Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Invent. Math. 73 (1983), no. 3, [7] Fontaine, Jean-Marc Il n y a pas de variété abélienne sur Z. Invent. Math. 81 (1985), no. 3, [8] Invent. Math. 155 (2004), no. 2, Grothendieck, Alexander Brief an G. Faltings. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 242, Geometric Galois actions, 1, 49 58, Cambridge Univ. Press, Cambridge, [9] Kato, Kazuya Lectures on the approach to Iwasawa theory for Hasse-Weil L-functions via B dr. I. Arithmetic algebraic geometry (Trento, 1991), , Lecture Notes in Math., 1553, Springer, Berlin, [10] Kim, Minhyong The motivic fundamental group of P 1 \ {0, 1, } and the theorem of Siegel. Invent. Math. 161 (2005), no. 3, [11] Kim, Minhyong The unipotent Albanese map and Selmer varieties for curves. The unipotent Albanese map and Selmer varieties for curves. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 45 (2009), no. 1, pp (Proceedings of special semester on arithmetic geometry, Fall, 2006.) [12] Kim, Minhyong Remark on fundamental groups and effective Diophantine methods for hyperbolic curves. Number Theory, Analysis, and Geometry, in memory of Serge Lang. D. Goldfeld et. al. (ed.), Springerverlag (2012). [13] Kim, Minhyong p-adic L-functions and Selmer varieties associated to elliptic curves with complex multiplication. Annals of Math. 172 (2010), no. 1, [14] Kim, Minhyong Galois theory and Diophantine geometry. Non-abelian fundamental groups and Iwasawa theory, , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 393, Cambridge Univ. Press, Cambridge, [15] Kim, M.; Sujatha, R.; Lafforgue, L.; Genestier, A.; Ngô, B. C. Autour des motifs École d été Franco- Asiatique de Géométrie Algébrique et de Théorie des Nombres/Asian-French Summer School on Algebraic Geometry and Number Theory. Volume I. Lecture notes of the school held in Bures-sur-Yvette and at the Université Paris-Sud XI, Orsay, July 17 29, Edited by J.-B. Bost and J.-M. Fontaine. Panoramas et Synthèses. 29. [16] Kim, Minhyong, and Tamagawa, Akio The l- component of the unipotent Albanese map. Math. Ann. 340 (2008), no. 1, [17] Kolyvagin, Victor A. On the Mordell-Weil group and the Shafarevich-Tate group of modular elliptic curves. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I, II (Kyoto, 1990), , Math. Soc. Japan, Tokyo, [18] Langlands, R. P. L-functions and automorphic representations. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978), pp , Acad. Sci. Fennica, Helsinki, [19] Narasimhan, M. S.; Seshadri, C. S. Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface. Ann. of Math. (2) [20] Simpson, Carlos T. Higgs bundles and local systems. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 75 (1992), [21] Skorobogatov, Alexei Torsors and rational points. Cambridge Tracts in Mathematics, 144. Cambridge University Press, Cambridge, viii+187 pp. [22] Toën, Bertrand Champs affines. Selecta Math. (N.S.) 12 (2006), no. 1, [23] Weil, André L arithmétique sur les courbes algeébriques. Acta Math. 52 (1929), no. 1, [24] Weil, André Généralisation des fonctions abéliennes. J. Math Pur. Appl. 17 (1938), no. 9, 년 9월호 The Newsletter of the KMS 9

9 IMO우승 특별기획 국제수학올림피아드 종합 우승의 원인 송용진 (인하대학교, 대한수학회 부회장, 한국수학올림피아드위원회 위원장) 지난 7월 아르헨티나에서 열린 제53회 국제수학 올림피아드(International Mathematical Olympiad, IMO)에서 우리나라가 사상 처음으로 우승을 하였 다. 모두 100개국이 참가한 이 대회에서 우리나라 는 6명 전원 금메달 획득과 더불어 종합 점수 209 점으로 1등을 한 것이다. 이번에 중국은 195점으로 2위, 미국이 194점으로 3위를 차지하였다. 그동안 중국을 이긴다는 것은 거의 불가능한 목표로 여겨 졌고, 당초에 우리의 목표도 2등이었다. 필자에게는 현지에서 겪은 우승의 감동이 아직도 생생하다. 필자는 1995년도에 처음 이 대회에 참가한 이후 모두 열다섯 번 참가하였지만 우리가 1등을 하는 날이 올 것이라고는 기대하지 못 했었다. 지난 3월에 열린 아시아태평양수학올림피아드 (APMO)를 통하여 올해 우리나라가 매우 강하다는 것은 어느 정도 감지하고 있었다. 우리나라는 종합 점수 333점으로 1등을 하였는데, 2등인 미국은 283점, 3위인 태국은 279점, 4위인 러시아는 249 점, 5위인 일본은 241점이었다. 이 대회는 각 나라 에서 동일한 시간에 동일한 문제로 30~40명 정도 의 학생들이 시험을 친 후, 상위 10명의 성적을 비 교하는 대회이다. 총 5문제에 35점 만점으로, 우리 가 333점을 받았다는 것은 각자의 평균이 33.3점 이라는 뜻이다. 이 결과에서 보듯이 우리나라는 최 상위층의 수준이 미국이나 러시아보다 높다(작년에 도 우리가 1등을 하였다). 그러면 그동안 왜 미국 과 러시아가 IMO에서 성적이 우리보다 더 좋았을 까? 비밀은 그 나라들은 IMO 대표학생들을 1년 전 에 선발한다는 데 있다. 우리는 대회 직전에 선발 하여 참가하는 반면, 그들은 대표를 1년 전에 선발 하여 집중교육하기 때문에 성적이 좋았던 것이다. 중국 학생들은 얼마나 셀까? 필자는 이 질문을 자주 받는다. 필자는 이에 대해 종종 이렇게 답한 다. 중국대표 30명과 다른 나라 세계대표 30명이 겨뤄도 아마도 중국이 셀 것이다. 그럼 왜 중국이 그렇게 센가? 사람들은 보통, 많은 인구와 높은 교 육열, 중국인의 우수성 등을 주요 이유로 든다. 하 지만 무엇보다도 주목해야 할 점은, 각 지역의 예 선 대회가 잘 활성화되어 있다는 점이다. 이것은 미국과 러시아도 마찬가지이다. 학생들은 지역예선 에서 최종 본선까지 여러 단계를 거치게 되어 있고, 한 단계를 통과할 때마다 자신감이 붙고 더 공부에 집중하게 된다. 몇 차례의 단계를 거치면서 실력이 향상되고, 마지막 관문을 통과한 대표들은 진정한 강자들인 것이다. 그러면 우리나라는 왜 그렇게 강한가? 1988년 우리나라가 처음 IMO에 참가한 이래, 처음 몇 년 간은 중하위권을 벗어나지 못하다가 1995년에 처 10 대한수학회소식 제 145호

10 음으로 10위 내에 진입하였고, 2000년에 우리나라 에서 IMO를 개최한 이후 줄곧 4~6위권을 유지해 왔다. 대회에 참가한 다른 나라 단장들은 중국, 러 시아, 미국이 잘하는 것은 이해가 되는데 왜 유독 한국이 상황이 비슷한 다른 나라보다 강한지 궁금 해 한다. 우리가 강한 원인으로 가시적이고 단기적 인 목표의 달성에 탁월한 민족성, 높은 교육열, 잘 활성화된 사교육 시장 등을 꼽을 수 있지만, 사실 세계적으로 최고 수준의 학생들을 배출할 수 있었 던 것은 한국수학올림피아드(KMO)를 통한 효율적 이고 수준 높은 교육 시스템 때문이라고 할 수 있 다. 최상위층 학생들을 대상으로 하는 KMO 시험과 교육의 제도가 잘 구성되어 있고, 문제와 교육의 수준이 높다. 출제와 채점, 그리고 교육에 참여하고 있는 교수님들과 학생들의 문제 풀이를 도와주고 있는 대학생 조교들의 수준과 열의가 매우 높다. 최근에는 교수님들의 경험이 축적되고, 또한 KMO 출신의 젊은 교수들의 참여도가 높아지면서, 출제 와 교육의 질이 세계 최고 수준이 되었다고 생각한 다. 다른 나라들의 경우, 국내 올림피아드 관련 일 들을 중등교사들이 맡고 있는 경우가 많다. 북한의 경우, 대표급 학생들을 선발하여 고등학교 졸업 후 에도 대학 진학을 2~3년 늦추어 가며 군대식 집중 교육을 실시함으로써 IMO에서 좋은 성적을 내도록 안간힘을 쓰고 있지만, 우리를 앞서기 힘든 것은 그들에게는 우리와 같은 시스템과 지도 선생님들이 확보되어 있지 않기 때문이다. 기본적으로 우리나라가 강국이라고 하더라도, 이 번에 1등을 한 데에는 특별한 원인이 있을 것이다. 여러 가지 이유가 있겠지만, 우선 다음과 같은 세 가지 주요 원인을 꼽을 수 있다. 첫째, 올해 대표학생들 중 김동률, 장재원 학생의 실력이 특별히 뛰어나서, 그들의 동료들도 같이 실 력이 좋아진 것이다. 올해 IMO에 처음 출전한 김동 률 학생은 IMO에서 싱가포르의 Jeck Lim(42점 만 점)에 이어 2위(40점)를 하였지만, 실제로는 개최국 의 이해하기 힘든 채점 기준 때문에 완벽한 답을 한 4번 문제에서 2점 감점을 당했다. 아마도 실제 실력이나 재능은 지금까지 IMO에 네 번 출전한 Lim을 능가할 지도 모른다. 한편, 장재원 학생은 작년에 이미 우리나라 최고의 에이스였고 올해에도 IMO에서 전체 4위(38점)를 하였다. 장재원 학생도 4번에서 1점을 감점 당했으므로 실제로는 39점이 라 할 수 있다. 우리 팀의 다른 동료 학생들도 이 들에 못지않은 재능들을 갖고 있기 때문에 동반 실 력 향상이 이루어진 것이다. 마치 바둑계의 이창호, 이세돌의 경우와 같다 하겠다. 대표팀의 막내 김동 률 학생(1997년 생)은 2006년도에 한 학기동안 실 시되었던 국가신동 프로그램에서 발굴된 학생으로, 어린 나이부터 재능을 키울 수 있는 기회를 가졌던 학생이다. 대표학생들은 IMO에 참가하기 직전, 4주 간의 집중교육을 통하여 문제를 같이 풀고 서로 논 의하는 시간을 갖는다. 이 기간에 학생들의 실력이 크게 좋아진다. 둘째, 예전에는 약했던 어려운 조합 문제와 기하 문제에 대하여 최근에는 우리 팀이 눈에 띄게 강해 졌다. 그렇게 강해진 이유는 최근에 KMO에 난이도 가 높고 창의적인 조합 문제와 기하 문제를 지속적 으로 출제하여 학생들이 이에 적응되었기 때문이다. 예전에 우리가 중국, 미국, 러시아를 넘지 못했던 것은 우리가 아주 어려운 조합 문제에 약했고, 기 본적으로 기하에 약했기 때문인데, 이번 IMO에서 우리는 가장 어렵다는 3번 조합 문제에서 6명이 합 계 21점을 받았다. 이것은 중국보다도 높은 점수이 다. 북한은 이 문제에서 전원 0점을 받았다. 미국과 러시아는 5번 기하에서 약함을 보였는데, 우리 팀 은 이 문제에서 전원이 만점을 받은 반면, 미국은 두 명, 러시아는 네 명만이 5번 문제를 풀었다. 전 체 참가자 중 가장 어렵다는 3번과 6번 문제를 모 두 푼 학생은 세 명 뿐인데, 그 중 한 명인 미국 학생은 5번을 풀지 못 했다. 최근 KMO 최종시험 의 난이도와 문제의 독창성은 IMO 수준을 오히려 앞선다고 할 수 있다. 매년 KMO 최종시험 문제와 풀이를 소책자로 만들어 각 나라 단장, 부단장에게 나누어 주는데, 우리 문제가 인기가 매우 높다. 셋째, 올해 대표학생들은 유난히 사이가 좋고 분 위기가 좋았다. 그것이 주말교육과 집중교육 때 실력 향상에 도움을 주었고, IMO에서도 서로 심리적인 도움을 주었다. 다른 해에도 학생들 분위기가 그리 나쁘진 않았지만, 그래도 약간씩의 경쟁심, 나만 시 험을 못 보면 어쩌나 하는 불안감 등이 있었는데 이번에는 서로가 믿고, 또 도와주고 하는 분위기가 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 11

11 특히 좋았던 것 같다. 이런 대회에서는 정신적인 면이 매우 중요하다. 이 세 가지 원인 외에도 몇 가지를 더 든다면, 우선 대표학생들을 대상으로 하는 7주 동안의 주말 교육(매주 토, 일 4시간씩)과 약 4주 동안의 집중교 육(매일 8시간, 자율적 문제 풀이, 공동 풀이와 토 론)의 내용이 좋아진 것을 들 수 있다. 최근에는 강 의, 출제, 채점에 KMO 출신의 젊은 교수들이 대거 참여하고 있고, 집중교육에서는 IMO 대표 출신 대 학생들이 한 주씩 돌아가면서 학생들을 지도한다. 또 다른 원인으로는 최근 상위층이 두터워진 것을 들 수 있다. 우리나라가 상위층이 두터워진 주요 원인은 첫째, 과학고(영재고)의 수가 늘면서 과학고 입학을 원하는 초중학생들 사이에서 수학올림피아 드(다른 과학올림피아드도 마찬가지)에 대한 열기가 고조되고 있고, 둘째, 학생들이 인터넷(대표 사이트 는 mathlink)에서 다양한 수학올림피아드 문제들을 접할 수 있고, 다양한 국내 교재들도 출간되고 있 으며, 사교육도 진화하여 과거에 비해 KMO 문제 경향에 대한 접근성이 좋아졌고, 셋째, 서울과학고 로 최고 수준의 학생들이 몰리면서 한 학교 내에서 적당한 수준의 경쟁, 협조, 정보 교환 등이 이루어 지고 있기 때문이다. 이번 대회에서 가장 어려운 문제인 3번 문제는 조합론 문제로 전체 참가자 중 8명이 이 문제를 풀 었다. 너무 어려워서 한 명도 못 풀면 어쩌나 하는 우려가 나올 만큼 어려운 문제였으나, 미국 학생 3 명과 한국, 러시아, 싱가포르, 세르비아, 불가리아 학생 1명씩이 이 문제를 풀었다. 미국 학생들은 모 두 확률적 조합론(probabilistic combinatorics)의 지식을 이용하여 풀었다고 한다. 하지만 우리 팀의 김동률 학생은 사전 지식 없이 모범답안과 거의 비 슷한 답을 썼다. 그 답을 보면 어떻게 이런 생각을 할 수 있을까 싶다. 이번 IMO에서는 중국 팀으로서는 상상하기 어려 운 일이 발생했는데, 그것은 한 학생이 18점으로 동메달을 받은 것이다. 만일 그 학생이 나머지 다 섯 학생 중 최저점인 33점을 맞았다고 가정한다면, 우리 팀보다 1점을 앞서게 된다. 또 다른 불가사이 한 점은 비교적 쉬운 문제인 4번 문제를 두 명이나 못 풀었다는 사실이다. 이렇게 이번 대회에는 우리 팀에게 다소의 운도 따랐다고 할 수 있다. 우리나라 수학올림피아드는 올해 최고의 성적을 냈고, 최근 몇 해 동안 많은 다른 나라 관계자들의 부러움을 사왔지만, 우리에게도 문제는 있다. 그것 은 지나친 수도권 집중 현상과 여학생 감소 현상이 다. 현재 KMO 최상위권의 경우, 수도권(서울과 경 기 포함, 인천 제외)이 차지하는 비중이 95%를 넘 고 있다. 최근에 이런 현상이 더욱 가속화되는 주 요 이유를 사교육으로부터 오는 불평등 때문으로 보는 이들도 있지만, 그보다는 우선 자기 자녀가 영재라고 판단되면 서울로 이사하는 부모가 많은 것이 주요 이유이다. 조기 유학도 보내는 상황에서 자녀 교육을 위해 서울로 이사하는 것 정도는 별것 아니라고 생각하기 때문이다. 여학생 감소 현상도 신경 써야 할 문제이다. 예 전에는 외국에 비해 최상위권의 여학생 비중이 오 히려 높은 편이었는데, 최근에는 여학생 수가 급격 히 줄고 있다. 얼마 전에 여학생 장려 정책의 일환 으로, 중국여자수학올림피아드(CGMO)에 처음으로 한국 대표팀이 참가하였다. 우리 학생 4명이 당초 예상과는 달리, 금메달 3개와 은메달 1개를 수상하 는 매우 좋은 성적을 올렸다. 은메달을 수상한 학 생은 한 문제를 더 어려운 문제로 착각하여 그 어 려운 문제를 완벽하게 풀었으나, 주최측에서 점수 를 1점 밖에 주지 않아 1점 차이로 은메달을 받게 되었다. 이번 CGMO에는 미국, 러시아, 일본, 싱가 포르, 타이완, 홍콩 등 12개의 외국 팀이 참가하였 는데, 그 중 한국 팀의 성적이 가장 좋았다. 여학생 감소 문제를 걱정해 왔는데, 그나마 좋은 소식이다. 하여간, 여학생이 일정 비율 이상 되는 것이 바람 직하다는 것이 필자의 생각이다. 최상위권 100명 중 최소한 7~8명 정도는 되어야 할 텐데 현재는 그 이하로 비율이 내려가 있다. 지금까지 IMO 대표 로 참가한 여학생이 5명이나 되고, 그중 두 명은 금메달을 두 개나 받았다. 하지만 2007년 이후에는 아직 여학생 대표가 나오지 않고 있을 뿐 아니라 최근에는 최종후보 12명 중에 여학생이 한 명도 없 다. 아직은 저학년으로 내려갈수록 여학생 비중이 높기 때문에 여학생들에 대한 동기 부여 방안을 잘 마련한다면, 이 문제를 해결할 수도 있을 것으로 기대한다. 12 대한수학회소식 제 145호

12 IMO우승 특별기획 2012년 국제수학올림피아드(IMO) 참가 보고 엄상일 (카이스트, 대한수학회 사업이사) <소개> 올해로 53회를 맞는 국제수학올림피아드(International Mathematical Olympiad, IMO)는 중고등 학생 나이의 학생들이 참가할 수 있는 수학경시대 회 중 가장 권위 있는 국제대회이다. 매년 100여 나라가 참가하고 각 나라에서 6명까지 학생들을 참 가시킬 수 있다. 이번 53회 IMO는 아르헨티나의 마르델플라타에 서 열렸다. 우리나라는 1988년 호주에서 열린 29 회 대회부터 참가하기 시작하였으며, 올해는 역대 최초로 참가학생 전원이 금메달을 받음과 동시에 학생들의 총점으로 세계 1위를 차지하는 좋은 결과 를 냈다. 올해 참가한 학생들은 아래와 같다. 김동률(서울과학고 1), 김동효(서울과학고 3) 문한울(세종과학고 2), 박성진(서울과학고 2) 박태환(서울과학고 3), 장재원(서울과학고 3) 대표 6명에는 들지 못했지만 최종후보로 뽑혔던 그 외 7명의 학생들은 아래와 같다. 강내훈(서울과학고 3), 강승연(서울과학고 2) 김재중(서울과학고 3), 배영진(서울과학고 3) 정종욱(신천중학교 3), 지세현(서울과학고 2) 황인재(서울과학고 1) 이번 한국 대표단 단장은 대략 20년간 올림피아 드 사업에 참여하시고 계신 인하대 송용진 교수님 이 수고해 주셨다. 그리고 전 세계 단장들이 뽑은 IMO 자문위원회 위원(IMO AB)이신 서울대 김명환 교수님, 공동 부단장이며 올림피아드 사업에 몇 년 째 봉사하고 계신 영동대 이승훈 교수님이 함께 하 셨다. 나는 올해로 3번째 참가였는데, 이번에 처음 으로 부단장을 맡았다. 그 외에도 채점 과정 등을 돕기 위해 2007년과 2008년 IMO에서 각각 은메달 과 금메달을 받았던 서울대 수리과학부의 이수홍 학생이 참관인으로 함께 참여했다. 한편 한국과학 창의재단, 한국연구재단, 그리고 교육과학기술부에 서도 한 명씩 부단장팀의 일원으로 참관인을 보냈다. IMO에서는 총 2번의 시험을 이틀 연속으로 보는 데, 각각 3문제를 4시간 30분 동안 시험을 치른다. 각 문제는 7점 만점으로 채점하므로 한 학생이 받 을 수 있는 최대 점수는 42점이다. <대회 결과> 이름 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 합계 상 김동률 금 김동효 금 문한울 금 박성진 금 박태환 금 장재원 금 총합 년 9월호 The Newsletter of the KMS 13

13 우리 팀은 참가 사상 처음으로 대표 학생 전원이 금메달을 받았다. 이번 대회 이전까지 최고의 결과 는 2008년과 2006년에 금메달 4개를 받았던 것이 고, 금메달 6개를 받은 것은 이번이 처음이다. 더불 어 개인별 순위에서 김동률 학생은 2위, 장재원 학 생은 4위, 문한울 학생은 9위를 하는 등 10위내에 우리 학생이 3명이나 있었다. 한편 국가순위에서 그동안 선두를 했던 중국과 미국을 제치고 우리 팀이 1등을 하였다. 상위권 나 라의 성적은 아래와 같다. 1. 한국 209점 (금6) 2. 중국 195점 (금5, 동1) 3. 미국 194점 (금5, 은1) 4. 러시아 177점 (금4, 은2) 5. 캐나다 159점 (금3, 은1, 동2) 5. 태국 159점 (금3, 은3) 7. 싱가포르 154점 (금1, 은3, 동2) 8. 이란 151점 (금3, 은2, 동1) 9. 베트남 148점 (금1, 은3, 동2) 10. 루마니아 144점 (금2, 은3, 동1) 11. 인도 136점 (금2, 은3, 장려1) 12. 북한 128점 (금2, 은1, 동3) 12. 터키 128점 (금1, 은3, 동2) 17. 일본 121점 (은4, 동1, 장려1) 이번 대회에는 모두 100개국이 참가하였다. IMO 에서 금메달, 은메달, 동메달은 각각 총 응시자의 에게 수여되는데, 이번 대회의 경우 금 메달 커트라인은 28점, 은메달은 21점, 동메달은 14점이었다. <일지> 인천공항 집결 (7월 5일 목요일) 아르헨티나는 한국에서는 지구 반대편이라서 미 국 경유나 유럽 경유, 혹은 중동 경유를 택하든지 걸리는 시간에는 큰 차이가 없다. 우리는 중동을 거쳐 가는 카타르 항공으로 결정하고 7월 5일 목요 일 저녁 10시 30분에 인천공항에 모이기로 했다. 카타르 항공으로 도하까지 간 다음, 도하에서 상파 울로를 경유하는 비행기로 갈아타고 상파울로에 도 착, 비행기 내에서 1시간 이상 대기한 후 같은 비 행기로 부에노스아이레스까지 가는 총 30시간의 일 정이었다. 아프리카 대륙과 대서양을 가로지르는 인생에서 가장 긴 비행 경험이었다. 공항 도착, 환대 (7월 6일 금요일) 7월 6일 밤 9시 경에 부에노스아이레스 공항에 도착하였는데 아르헨티나 한국대사관에 계신 박미현 교육원장님, 현지 한인회 이승희 부회장님, 윤진호 이사님 등이 마중을 나와 있었다. 대사관에 알리지 도 않았는데, 현지 분들이 IMO에 한국 팀이 올 것 으로 생각하고 부에노스아이레스의 한인여행사에 일일이 전화를 하여, 우리 팀의 일정을 알고 마중 을 나온 것이었다고 한다. 대사님 초청 환영만찬과 부에노스아이레스 투어 (7월 7일 토요일) 오전 11시쯤에 호텔 로비에서 집결해서 인근에 위치한 플로리다 거리에서 점심을 먹었다. IMO AB 회의 때문에 김명환 교수님만 일찍 가시고 남은 일 행은 싼 가격에 아르헨티나의 스테이크 등을 맛있 게 먹었다. 오후에는 가이드를 동반하여 여행을 하였는데 가 이드로 나오신 젊은 한인분의 한국어 능력이 부족 한 관계로 솔직히 큰 도움이 되진 않았다. 하지만 쌀쌀한 날씨에 걸어 다니지 않고 편안하게 버스로 이동하며 부에노스아이레스의 주요 장소들을 둘러 볼 수 있었다. 저녁 6시경에는 한병길 주아르헨티나 대사님 초 청 환영만찬에 참석하러 부에노스아이레스 백구거 리에 있는 한식당으로 갔다. 쇠고기가 워낙 싸다보 니, 한식당에서 구워먹는 쇠고기는 무한리필이라고 하여 깜짝 놀랐다. 한병길 대사님은 대사관에 미리 연락을 하지 않은 점에 관하여 언급을 하시고, 앞 으로 갈 때는 비상시에 대비할 수 있도록 꼭 연락 을 하라고 하셨다. 어린 학생들을 인솔해서 여행을 할 때는 학생들 건강이 제일 염려된다. 박태환 학생은 사랑니로 잇 몸이 부어서 치과에 다녀왔으나 진통제를 3일분밖 에 받지 못해 공항에서 만난 어머님의 걱정이 많았 다. 문한울 학생은 오후에 부에노스아이레스 시내 에서 함께 사먹은 아이스크림을 먹고 혼자 배탈이 나서 한식당에서 잘 먹지 못하고 힘들어 했는데, 다행히 한식당 주인아주머니께서 주신 약으로 괜찮 아졌다. 14 대한수학회소식 제 145호

14 마르델플라타로 이동 (7월 8일 일요일) IMO가 열린 마르델플라타는 부에노스아이레스에 서 400km가량 떨어진 대서양 해변에 위치한 휴양 도시이다. 비행기 시간은 아침 일찍 아니면 늦은 저녁시간이라 너무 불편하여 시외버스를 이용하기 로 했다. 버스터미널은 묵었던 호텔과 매우 가까웠다. 우리는 Express Argentina라는 회사의 버스 중 에 제일 우등인 버스를 탔는데, 가격 대비 대단히 편리하였다. 한국의 우등버스처럼 한 줄에 3명이 앉 는 이층 버스인데, 좌석은 180 로 펼 수 있는 가죽 시트이고 항공기 일등석처럼 개인별 TV가 갖춰져 있었다. 모두 편안하게 잠을 자고 휴식을 취하며 마 르델플라타까지 이동할 수 있었다. 버스는 10시 30 분에 출발하여 버스기사 교대를 위해 잠깐 갓길에 정차한 것 말고는 쉼 없이 달려 5시간 10분쯤 지난 오후 3시 40분쯤 마르델플라타에 도착하였다. 도착해서 우리를 기다리고 있을 가이드를 찾는데 이상하게도 찾기가 어려웠다. 터미널 한쪽 구석에 사람들이 많이 모여 있어 다가가보니 네덜란드 팀 등 다른 나라 팀들과 그 팀들을 마중 나온 가이드들이 있었다. 덕분에 우리 가이드와 연락이 되어 호텔로 이동하여, 호텔에서 우리 팀 가이드를 맡은 권중웅 씨를 만났다. 우리 팀 도착 정보와 북한 팀 도착정 보가 엇갈려서 어제 북한 팀이 묵고 있는 호텔을 찾 아갔다가 허탕 쳤다고 하였다. 권중웅씨는 겨우 4살 때 아르헨티나로 왔음에도 불구하고 우리말을 매우 잘 하여 학생들이 아주 편안하게 지낼 수 있었다. 아르헨티나는 저녁식사 시간이 늦어서 첫날은 저 녁식사가 밤 8시 반에 제공되었다. 다음날부터는 8 시로 당겨졌지만, 점심시간 후 저녁시간까지 상당히 긴 시간이어서 많이 힘들었다. 첫 저녁식사 후 주 변 상점에서 사람들 마실 물과 학생들이 필요로 할 과자류를 사서 다 돌리고 나니 밤 10시가 넘었다. 호텔, 시설 이번 IMO 행사와 시험은 모두 마르델플라타 해 변에 위치한 5성급 NH Provincial 호텔에서 열렸 다. 참가학생들은 2인 1실을 사용하였고, 부단장팀 들은 1인 1실을 사용하도록 비용을 지불했으나, 그 중 이수홍 학생은 아직 대학생이므로 2인 1실을 사 용하도록 예약을 해주었다. 그 사실을 미리 알려줘 야 했는데 깜빡했었다. 나중에 이수홍 학생이 방에 갔다 오더니 룸메이트가 북한분이라 깜짝 놀랐다고 했다. 이수홍 학생의 룸메이트는 평양에서 오신 북 한 팀 부단장이었는데 아마 같은 Korea 사람들끼 리 방을 사용하라고 주최국에서 나름 배려한 것 같 았다. 북한 팀 부단장님은 작년에도 뵌 분으로 유 쾌한 분이라 큰 어려움은 없었을 것이다. 시험장은 500명이 들어갈 수 있는 곳이 필요하 기 때문에 보통은 인근에 있는 체육관이나 강의실 을 빌려 사용하였으나, 이번에는 호텔이 매우 커서 호텔 한 층의 1/3정도 되는 모퉁이 공간에서 전 학 생이 시험을 보는 것이 가능하였다. 머무는 호텔에 서 시험을 볼 수 있어 시험날 일찍 일어나는 부담 도 없고, 함께 온 부단장들도 야외에서 기다리지 않고 숙소에서 편히 기다릴 수 있어 좋았다. 학생들이 어울려 놀 수 있게 만들어둔 레크리에 이션 룸의 공간은 작년 암스테르담의 좁은 방을 수 십 개는 모아야 될 규모였다. 레크리에이션 룸에는 Playstation, Wii, Xbox등 각종 오락기와 함께 당 구대, 악기, 탁구대, 퍼즐, 바둑판, 외발자전거 등 온갖 놀이기구가 있었다. 나도 북한 학생들에게 사 용법을 배워 Xbox360으로 오락을 즐겁게 했었다. 보안도 철저해서 호텔의 정문 출입구 3개중 2개 는 아예 셔터를 내려놓고, 가운데 문은 보안요원이 항상 체크하면서 출입하도록 하였다. 그리고 학생 들은 가이드와 동행하지 않으면 아예 밖에 나갈 수 없도록 하여 사고에 대비하고 있었다. 개회식 (7월 9일 월요일) 개회식은 월요일인 7월 9일 오전에 있었는데, 호 텔에서 9시 반에 출발한다고 하였다. 개회식은 radio city라는 시내에 있는 극장이었는데 도로를 모두 통제하고 악대를 앞세워서 극장까지 걸어서 이동하 였다. 나라이름의 알파벳순으로 좌석이 배정되어 있어서, 우리는 Republic of Korea라서 R쪽 자리 를 배정받아 매우 뒤쪽에 앉게 되었다. 시간이 좀 지나 단장팀이 도착하였는데 단장팀은 시험문제를 알고 있기에 격리되어야 하므로 2층 관 람석으로 입장하였다. 우리보다 먼저 출국하셨던 송 용진 단장님과 부에노스아이레스에서 먼저 가셨던 김 명환 교수님을 멀리서 뵙고 인사를 나눌 수 있었다. 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 15

15 첫날 시험 (7월 10일 화요일) 7월 10일은 첫 번째 시험이 있는 날이었다. 시험 은 9시 시작인데 8시 반에 호텔 0층 로비(아르헨티 나는 출입구가 있는 곳이 1층이 아니라 0층임)에 모이면 시험장으로 입실할 수 있다고 전해 들었다. 그래서 학생들에게 7시 반에 아침을 먹자고 했는 데, 그 시간까지는 생각보다 너무 바빴다. 학생들에게 첫 시험이 끝나고 나서 서로 어떻게 풀었는지 이야기 나누지 말고, 또한 인터넷에 들어 개회식 무대 위 사진 가서 첫날 시험 반응이나 토론을 살펴보는 것도 하 예상보다 늦게 개회식이 끝난 후 점심을 먹고 학 지 말라고 공지를 하였다. 서로 몇 개 풀었는지 물 생들과 잠깐 해변을 산책하였다. 그 후 학생들끼리 어보고 자기가 못 푼 문제를 다시 생각하다보면 둘 방에서 공부하라고 하였는데, 4시 반쯤에 학생들 방 째 날 시험에 영향을 끼치기 마련이다. 부단장팀으 에 가보니 시차 적응 문제인지 김동효 학생은 컴컴 로 오신 분들 전체에게도 학생들 퇴실 후에는 절대 하게 커튼을 치고 자고 있었다. 슬리퍼가 없어서 불 몇 문제나 풀었나, 잘 했느냐 같은 질문은 하지 말 편하다는 학생들이 많아서 사러 다녀봤지만 없었고, 고 수고했다는 식의 격려만 해주라고 하였다. 전에 대신 시험 치러 갈 때 간식이 필요할지 몰라 초콜릿 는 하지 않았던 이런 방침이 이번에 우리 대표학생 같은 것을 사서 호텔로 왔다. 그리고 학생들을 데리 모두가 고르게 좋은 성적을 받는데 조금도움이 되 고 조명이 밝은 식당으로 옮겨 다른 나라의 최근 올 었던 것 같다. 림피아드 시험문제들을 풀어보며 시간을 보냈다. IMO 시험 중 학생들은 첫 1시간동안만 종이에 7시 반에 우리 팀 가이드가 북한 팀을 데리고 왔 질문을 써서 제출할 수 있다. 이번엔 특이하게도 다. 시험 주의사항을 가이드가 전달하는데 북한 팀 학생들의 질의응답을 받을 단장팀이 비밀숙소에서 가이드는 우리말을 하지 못하고 영어도 잘 하지 못 fax로 질의응답을 받지 않고 직접 시험장에 와서 하여 우리 팀 가이드가 한꺼번에 설명을 해주기로 질의응답을 받았다. 보통 보안을 위해 단장팀은 매 했다는 것이었다. 남북한 학생들 모두 설명을 열심 우 먼 곳에 있는 숙소에서 문제를 고르는 작업을 히 들었다. 우리 교수들도 나서서 학생들에게 영어 하는데 이번에는 단장팀 숙소가 그리 멀지 않은지 판, 한국어판 문제를 꼭 다 읽어서 문제를 잘못 읽 단장팀들이 1층 시험장 옆 회의실에 모인 모양이다. 고 풀지 않도록 주의를 주고, 어떤 계산을 하든지 오래전부터 IMO에 참가한 원로급 단장들은 이번 연습지도 꼭 답안지 넣는 폴더에 첨부하라고 당부 경험이 옛날 추억을 되살려 주었다고 하기도 했다. 했다. 이후 남북한 팀 모두 선전을 다짐하며 단체 사진을 찍었다. 학생들이 첫 시험을 보는 동안 부단장팀은 9시 반에 크루즈 투어가 시작된다고 하여 갔으나 출발 이 지체되었다. 10시가 되자 혼란이 있었는데 질의 응답 시간을 마친 단장팀 중 일부 단장이 부단장팀 이 타야할 버스에 타서 서로 만나는 진행 사고가 생긴 것이다. 주최측에서 버스를 돌면서 단장팀인 데 버스를 잘 못 탄 사람들은 모두 내리라고 긴급 공지를 하고 나서야 버스는 크루즈 타는 곳으로 출 발했다. 우리 모두는 크루즈가 무엇일까 기대에 부풀어 항구로 이동하였는데, 말만 크루즈지 작은 유람선 시험 전날 북한 팀과 함께 찍은 사진 16 대한수학회소식 이었다. 날씨도 좋지 않고 배 안에서 특별히 할 일 제 145호

16 도 없어서 남북한 사람들 모두 한 테이블에 모여 마르델플라타 경치를 보다가 내렸다. 호텔에 돌아 오니 12시 반이 넘어서 1층 로비에 자리를 잡고 학생들 시험이 끝나기를 기다렸다. 첫날 시험지가 배부되어 받았는데, 1번 문제가 기하, 2번 문제가 부등식, 3번 문제가 조합이었다. 1, 2번 문제는 우리 학생들이 자신있어하는 부등식 문제가 있어 좋은 느낌이 들었다. 3번의 경우 어려 워 보이긴 하는데 문제가 두 부분으로 나뉘어 있고 첫 부분은 쉬울 것 같았다. 이전까지 우리 학생들 이 최고 수준의 어려운 문제는 잘 해결하지 못했지 만, 이번에는 적어도 부분점수는 많이 기대할 수 있을 것으로 생각했다. 1시 반이 되어 학생들이 시험장에서 나왔다. 시 험장에서 나오는 1층 복도는 마치 이산가족 상봉이 라도 하는듯한 분위기였다. 미리 집결 장소를 약속 하지 않았더니 몇 명은 0층에 가있고 몇 명은 1층 에서 바로 만나는 등 조금 혼란스러웠다. 매우 궁 금했으나 약속한대로 학생들에게 수고했다고 격려 만 하고 결과를 묻지 않기로 한 약속을 지켰다. 하 지만 사실 매우 궁금했다. 식당 입구에서 식사 준비가 되기를 기다려 식당 이 열리자 바로 자리를 잡고 식사를 하였다. 식사 를 먼저 하였더니 학생들이 좋아하는 메뉴가 많아 만찬이 벌어졌다. 어제 식사에서는 불평하던 학생 들이 오늘은 매우 만족스러워했다. 점심식사 후 모두들 해변 산책에 나섰다. 산책도 중에 북한 팀을 만나서 마르델플라타에 한국인이 하는 서울호텔이라는 곳에 대한 이야기를 듣게 되 었다. 북한 팀은 우리보다 일찍 현지에 와서 휴식 을 취했는데 묵었던 숙소가 바로 이 호텔이었다. 원래 식당을 하는 곳은 아닌데 학생들을 위해 한식 요리를 해주었다고 하는 것이다. 이왕이면 남북한 팀 모두 모여 한자리에서 식사를 할까 하여 전화해 보니 식사할 수 있는 공간이 우리 팀 12명, 북한팀 7명, 거기에 가이드 2명까지 함께 먹기에는 너무 좁다고 하였다. 결국 북한 팀과 함께 가는 것은 포 기하였지만 한식을 먹자는 의견이 높아 전화예약을 하였다. 산책 후 어제처럼 모여서 문제를 풀까했더니 학 생들이 오전에 시험을 치러서 그런지 힘들어 해서 오후에는 레크리에이션 룸에서 신나게 놀고 방에서 쉬면서 휴식을 취한 듯 했다. 저녁 식사를 하기위해 서울호텔에 7시 20분쯤 도착했다. 우리 팀 13명이 앉기에도 좁은 곳이었지 만, 주인아주머니께서 정성스럽게 만든 음식이 매 우 맛있었고 푸짐하게 주셔서 모두 만족하였다. 둘째 날 시험 (7월 11일 수요일) 첫 시험날 아침 식사를 7시 반에 갔더니 자리도 없고 바빴던 것을 감안해서 시험 둘째 날에는 7시 20분에 만나 식사를 하러 가기로 했다. 이승훈 교 수님 등이 일찍 식당에 자리를 잡아두셔서 어제보 다는 편안하게 아침식사를 마쳤다. 둘째 날도 모두 모여 화이팅을 외치고 학생들은 8시 30분에 입실 하였다. 시험장에서 둘째 날 시험을 기다리고 있는 김동효 학생 이제 단장팀은 격리상태에서 벗어나 학생들을 만 날 수 있으므로 이쪽으로 옮기기로 되어있었는데, 특이하게도 학생들이 있는 호텔이 아닌, 길 건너에 있는 Heritage 호텔에 묵도록 되어있었다. 그리고 부단장도 단장 옆으로 옮기라는 연락을 받았는데 학생들과 떨어져 다른 호텔을 가려고 하니 불만이 었다. 또 Heritage 호텔방에 좀 실망을 했다. 원래 묵었던 호텔과 달리 창이 바다 방향이 아닌 도시 방향이라 파도 소리가 아닌 자동차 소리만 들을 수 있었다. 방을 나오다 체크인 하러 오신 송용진 교수님을 만났다. 만나자마자 둘째 날 출제된 문제를 확인하 였다. 관건인 6번 문제는 어려운 정수문제가 나왔 고, 4번 문제는 함수방정식, 5번은 기하문제였다. 문제 구성을 보니 우리 학생들이 자신감을 갖고 도 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 17

17 전할 수 있을 것으로 생각되었다. 곧 김명환 교수 님도 만나 모두 모여 반갑게 인사를 나누었다. 그리고는 송용진 교수님이 받아오신 학생들의 첫 날 답안지 원본을 볼 수 있었다. 김동률 학생의 3 번 답안이 모범답안과 거의 같다며 어려운 문제를 잘 풀었다고 모두 기뻐했다. 3번 문제를 검토해보 니 그렇게 생각하기가 매우 어려웠는데 대단했다. 점심 식사 후 Provincial 호텔 1층 로비에서 북 한 팀 단장, 부단장을 만나 인사도 나누고, 함께 학 생들을 기다렸다. 학생들 시험이 끝난 후, 잘 했는 지 물어보느라 정신이 없었다. 북한 팀 학생들은 북한 팀 단장이 몇 문제나 풀었는지 보고하라고 하 는데 기대만큼 성적이 안 좋았는지 북한 팀 단장, 부단장이 모두 낙담한 것으로 보였다. 다른 나라 단장이나 부단장을 만나봤더니, 우리 팀이 느낀 것 과 다르게 의외로 문제가 어려웠던 것 같았다. 저녁 식사 전인 7시 40분쯤 김명환 교수님으로 부터 학생들의 둘째 날 답안지를 받았다는 연락을 받았다. 기쁜 마음으로 한번 살펴보는데 모든 학생 이 대체로 잘한 느낌을 받았다. 각자 문제를 나눠맡고 답안 검토를 하는데 나는 조합 전공자답게 3번 문제를 주로 보고 2번 문제와 4번 문제도 좀 검토를 하였다. 2번은 부등식 문제 인데 틀린 것이 거의 없이 완벽한 답안들이었다. 비록 산술기하평균부등식이라는 쉬운 길을 두고 괜 히 미분까지 해서 어렵게 푼 답안도 있긴 했다. 김동률 학생의 3번 답안은 거의 완벽한데 마지막 부등식이 이상했다. 큰 에 대해 라는 식이 적혀있었는데, 말이 되지 않았다. 이수홍 학생이 이 부분 오류를 발견하고는 이상하다고 큰 걱정을 했는데 다시 생각해보니 와 를 바 꾸어 쓴 오식(typo)에 불과했다. Coordination 1일차 (7월 12일 목요일) IMO에서 답안 채점은 코디네이터들과 참가국 단 장, 부단장 및 기타 참관인들이 만나 점수를 협의 해서 결정하는 방식으로 정해진다. 이러한 과정을 코디네이션(Coordination) 이라 부르는데, 각 나라 별, 문제별로 코디네이션 할 시간과 장소가 미리 정해져있다. 예년에는 코디네이션을 이틀 동안 진 행했는데, 올해는 하루를 추가하여 3일 동안 코디 네이션이 진행되어 예년보다 비교적 충분한 시간을 가지고 검토를 할 수 있었다. 코디네이션 첫 날 우리 팀은 오후 3시에 2번 문 제, 5시 30분에 1번 문제를 코디네이션 하기로 되 어있었다. 오전에는 각자 맡은 문제를 나눠서 학생들 답안 을 검토하였다. 오전에 있었던 기쁜 소식은 김동효 학생의 5번 문제 풀이인데 풀이의 수식 좌우변이 맞지 않아 감점될 것으로 예상을 했었는데, 이수홍 학생이 한참 보더니 좌변에 분수의 분모에 있는 을 분모에서 빼서 분수 전체에 을 하는 것으 로 바꾸면 식이 정확히 맞다는 것을 알아냈다. 이 에 모두 안도의 한숨을 내쉬었다. 그리고 오전에 있었던 나쁜 소식은 4번 문제 채 점기준표에서 나왔다. 채점기준표가 1부 있었지만 우리 팀 인원이 많아서 몇 부를 더 받아와서 꼼꼼 히 읽어보는데, 함수방정식을 푸는 4번 문제의 채 점기준표에 의하면 답으로 구한 함수가 실제로 문 제의 원식을 만족하는지 계산하지 않으면 2점 감점 이라는 무지막지한 기준이 있다는 것을 발견하게 되었다. 아울러 it is easy to verify 식으로 쓰기 만 하는 것은 전혀 점수를 줄 수 없다는 문구까지 적혀 있어 황당했다. 김동률 학생의 4번 답안을 검 토해보니 구한 답이 문제 조건을 만족하는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 로만 적혀 있어서 채점기준 표를 문자 그대로 적용하면 2점 감점이 되게 되었 다. 조금이라도 부분점수를 더 받을 수 있을까 검 토하느라 김동률 학생의 4번 답안은 합쳐서 30번 은 넘게 봤을 것이다. 3번 문제 검토에서는 좋은 소식이 있었다. 우리 팀 학생들 대부분이 첫 번째 부분을 정확하게 해결 한 것을 확인하였는데, 이것이 부분점수 3점에 해 당하므로 3번, 6번처럼 어려운 문제에서 0점을 많 이 받던 우리 팀에는 매우 좋은 소식이었다. 아울 러 장재원 학생이 3번 답안에서 채점기준표에 부합 하는 방식으로 지수적으로 증가하는 가중치 값을 잡아 문제를 해결하는 아이디어를 썼기에 1점을 더 받을 수 있겠다는 생각이 들었다. 이번에는 코디네이션에 문제별로 2명만 들어오라 는 규칙이 생겨서 많은 불평이 있었다. 2번 문제 코디네이션은 그 룰이 깐깐하게 적용되기 전이라 18 대한수학회소식 제 145호

18 송용진 교수님, 나, 그리고 이수홍 학생, 이렇게 3 명이 들어갔다. 사실 답지를 펴지도 않고 우리가 all 7을 제시하고 코디네이터도 all 7에 바로 동의 해서 금방 해결하였다. 3시 시작이었는데 1분도 걸 리지 않았다. 1번 문제 코디네이션부터 2명만 들어 오라고 되었다. 1번 검토는 이승훈 교수님이 주로 하셨기에 송용진 교수님과 이승훈 교수님 두 분이 5시 반쯤 들어가서 금방 all 7을 받아왔다. Coordination 2일차 (7월 13일 금요일) 코디네이션 2일차인 7월 13일은 우리 팀에게 매 우 중요한 날이었다. 우리 팀은 3문제나 코디네이 션이 예정되어 있었고 3번 문제도 어떤 점수를 받 을지 매우 궁금하였다. 오전 중에 다시 한 번 4번 답안 검토를 해보니, 장재원 학생 답안도 함수방정식 답이 맞는지 그냥 대입하면 된다고만 적혀있고 실제 대입을 해서 계 산한 흔적이 없었다. 채점 기준대로라면 2점 감점 될 상황이라 상당히 당황스러웠다. 오전 11시 30분에 있었던 3번 문제 코디네이션 은 나와 송용진 교수님이 들어가기로 하였다. 앞 테이블이 너무 오래 걸려서 40분 넘게 기다려 불평 을 제기하고 나서야 들어갈 수 있었다. 우리 팀의 3번 채점을 맡은 코디네이터들 중 한 명은 매우 꼼 꼼하고 머리도 대단히 좋은 사람이었다. 김동률 학 생 답안의 숫자 오식을 잘 파악하고 있었고, 문한 울 학생의 답안에 갈겨쓴 부분이 있었는데 그 부분 이 흥미롭다며 설명을 요구했다. 그 부분은 너무 갈려 쓴 부분이고 3번 문제 뒷부분에 점수를 받을 것으로 생각하지 않아서 유심히 살피지 않았기에 한 줄 한 줄 함께 읽어나갔다. 읽다보니 그 부분이 장재원 학생과 동일하게 2의 몇승 꼴로 가중치를 줘서 해결을 시도하는 부분이었고, 채점기준표대로 하면 1점을 더 받을 수 있었다. 한편 장재원 학생 3번 답안을 보는데 이수홍 학생과 내가 미처 파악 하지 못하였던 오류를 코디네이터가 발견하여 깜짝 놀랐다. 장재원 학생의 3번의 첫 부분 풀이는 다른 학생과 다른 좀 특이한 방식을 사용하였기 때문에 상당히 헷갈렸었다. yes일 때와 no일 때 다른 전략 을 사용하는 식이었는데 그 내용이 바뀌어 있어서 그 부분의 yes, no를 바꾸어야 정확한 답이 되는 것이었다. 우리는 이것을 오식이라고 주장하였는데, 코디네이터들은 다른 팀에도 비슷한 경우가 있을 수 있다며 결정을 미루기로 하였다. 그래서 오후 6시 반으로 코디네이션 시간을 다시 잡고 되돌아왔다. 5번 문제는 별 탈 없이 끝나고 모두 7점을 받을 수 있었다. 현황판을 보니 미국 팀의 5번 성적이 그리 좋지 않아, 계산을 해보니 미국 팀은 앞지를 수 있을 것 같았다. 현황판은 Heritage 호텔 0층에 일부 점수가 가려진 채로 공개되었다. 5번 코디네이션이 진행 중이던 3시 반쯤 방에 있었는데, 김명환 교수님께서 급히 카카오톡으로 연락을 주셔서 점심 전에 만났던 3번 코디네이터들 이 갑자기 5번 코디네이션 끝나자마자 보자고 한다 고 해서 방에서 바로 나갔다. 장재원 학생의 실수 는 그냥 오식으로 인정해서 감점 없이 처리해주겠 다고 하여 바로 동의하고 3번 채점을 마쳤다. 4번 문제 코디네이션이 문제였다. 4번의 채점 기 준이 불만족스러워서 이미 많은 나라들이 항의하며 서명을 안 하고 있다는 소문이 돌았다. 이스라엘 단장이 주도하여 채점기준의 수정을 요구하는 사발 통문에 몇몇 나라들이 서명했다는 소문이 돌았다. 소문대로 4번 코디네이터는 매우 깐깐하였다. 김동 률, 장재원 학생 말고도 다른 학생의 답안에서도 실제로 mod 나 mod 로 함수들을 체크한 부분 은 자기들이 봤는데, 제곱함수가 답이 되는지 계산 으로 확인한 부분은 어디 있냐고 꼼꼼하게 물어봤 다. 알고 보니 답안지 제일 하단에 써놓아서 복사 할 때 복사가 되지 않았던 것이었다. 이 부분을 설 명해주고 나서야 7점을 받을 수 있었다. 이렇게까 지 꼼꼼하게 체크한다는 것을 알고 나니, 김동률, 장재원 학생의 답안이 수학적으로는 완벽함에도 불 구하고 7점을 받을 수 있을 가능성은 거의 없어보 였다. 코디네이터들은 이 학생들의 답안에서 함수 들이 방정식을 만족시키는지 체크한 부분이 없다며 5점을 제시하였고, 우리는 처음엔 5점은 심하지 않 느냐며 이야기 해보았지만 어쩔 수 없어 일단 시간 을 좀 가지고, 함수 중 하나라도 검증한 부분이 있 는지 더 찾아보겠다고 하며 점수에 서명하지 않고 나왔다. 사실 이 문제의 답을 구하고 나면 그 함수 가 함수방정식을 만족하는지 체크하는 것은 이런 똑똑한 학생들에게는 눈으로도 쉽게 가능할 계산인 데, 이걸 직접 계산한 부분이 있어야만 점수를 준 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 19

19 다니 매우 안타까운 일이었다. 일단 4번 문제 코디 네이션을 다음날 12시 반으로 넘겼다. 학생들은 수족관 투어를 하루 종일 다녀왔다. 오 전 10시에 출발하여 오후 4시에 되돌아오는 일정 이었는데 예정보다 많이 늦어지고 야외에서 구경하 는 것이 많다보니 추워서 일찍 돌아오고 싶어 하는 학생들도 많았으나 교통편이 없어 돌아오지 못해 불만들이 많았던 모양이다. Coordination 3일차 (7월 14일 토요일) 어제 4번 문제 코디네이션을 마치지 않아서 코디 네이터들을 다시 만나야 한다는 것이 매우 신경 쓰 인 날이었다. 오전 내내 김동률 학생과 장재원 학 생의 4번 답안을 분석하였다. 그런데 장재원 학생 의 연습장을 꼼꼼히 보다가 만세를 불렀다. 이라고 암호처럼 적힌 부분이 있고 그 오 른쪽 위로, 과 같은 수식이 mod 로 모든 경우에 대해 적혀있었다. 이것은 으로 치환한 후에 나온 를 로 잘못 적은 후 그 가 선형함수라는 것을 증명한 것으로 볼 수 있었다. 혹시나 싶어서 김동률 학생의 이튿날 시험 연습 장을 찾느라 큰 소동이 있었다. 모든 답안지 파일 을 다 열어서 김동률 학생의 연습장이 잘못 끼워졌 나 확인해 보았지만 전혀 찾을 수 없었다. 연습장 없이 계산이나 증명을 하진 않을 텐데 도대체 어떤 일인지 의아했다. 나중에 물어보니 연습장을 답지 넣는 폴더에 첨부하지 않고 그냥 책상 위에 두고 나왔다고 한다. 만일 김동률 학생이 연습장을 첨부 하였고, 연습장에 어떠한 계산 흔적이라도 있었다면 장재원 학생처럼 1점을 더 받을 수 있었을 것이다. 3일차에는 가장 어려운 문제인 6번 문제가 있었 다. 6번 문제는 김명환 교수님과 이수홍 학생이 주 로 검토를 하였다. 장재원 학생의 6번 답안이 완벽 하진 않고 조금 실수가 있었는데 7점을 받을지, 감 점이 될지 예상하기가 어려웠다. 그 부분을 검토하 느라 김명환 교수님께서 이틀을 고민하셨다. 결국 6번 코디네이션 후에 장재원 학생이 7점을 받아 매 우 기뻤고, 아울러 최악의 경우 2점을 예상했던 박 성진 학생도 3점을 받게 되어 기뻤다. 이 부분이 어떻게 처리된 것인지 잘 모르겠는데, 코디네이터 들이 장재원 학생의 실수가 사소한 것이라고 결정 한 것으로 생각된다. 나중에 듣기로, 우리 팀 가이 드인 권중웅씨가 전날 밤 코디네이터들에게 불려가 서 장재원 학생 답안의 한글로 적힌 부분을 번역해 주었고 그 자리에서 여러 코디네이터들이 모여서 갑론을박을 벌였다고 한다. 이렇게 6번 점수가 우 리 예상보다 높게 나오자 우리 팀이 중국과 1, 2점 차이일 것으로 예상되었다. 6번 코디네이션 때문에 밖에서 기다리고 있는데 4번 코디네이터가 와서 어제하던 것을 마무리하자 고 해서, 11시 40분쯤 4번 코디네이션에 들어갔다. 오전에 찾은 장재원 학생의 연습장에서 찾은 부분 을 설명하고 1점을 더 인정받을 수 있었다. 그러나 김동률 학생은 어쩔 수 없이 2점 감점될 수밖에 없 었다. 수학적으로 완벽한 답안에 감점이 생겨 너무 속상했다. 하지만 더 이상 논의가 불가능하므로 이 정도에서 동의하고 모든 문제의 코디네이션을 끝냈 다. 이때가 11시 54분이었다. 마침 문한울 학생이 11시에 탁구 토너먼트에 진 출한다는 소식을 들어서 레크리에이션 룸으로 가보 았다. 잠시 후 탁구 경기를 하는데 첫 상대에게 3:0으로 승리를 거두었다. 그러나 잠시 쉴 틈도 없 이 다음 상대와 경기를 하는데 그 학생은 프로 같 았다. 심지어 IMO에 오면서도 본인의 탁구채를 가 지고 와서 하는데, 모든 각도에서 공에 스핀을 넣 어서 문한울 학생이 전혀 받지를 못하고 3:0으로 완패하고 말았다. 나중에 보니 그 학생이 우승을 하였고 나는 국제수학올림피아드에서에서 탁구 챔 피언 했다. 는 식의 글귀가 적힌 티셔츠를 부상으 로 받았다. 모든 코디네이션이 끝나서 우리는 점수를 다 알 고 있었지만 학생들은 아직 다 모르는 상태였다. 레크리에이션 룸에서 우리 학생들을 만난 김에 학 생들에게 우리 성적을 알려주었다. 특히 김동률 학 생은 본인이 만점이 아닌 것을 알면 충격을 받을까 염려되어 미리 따로 불러서 자초지종을 설명해주었 다. 학생들에게는 모두 금메달은 거의 확정적이고 아마 국가순위도 2등은 될 것 같고, 1등도 중국 점 수에 따라 가능하다고 전해주었다. 모두 매우 기뻐 했다. 오후 4시쯤 김명환 교수님이 소문과 알려진 점수 20 대한수학회소식 제 145호

20 를 종합해서, 우리가 종합 1등 확정이라며 문자를 주셨다. 중국 학생 한 명이 5번 문제에서 3점을 받 은 소식에 이미 알려진 점수, 그리고 가려진 점수 를 모두 맞추었다고 가정해도 우리 팀이 앞선다는 소식이었다. 4시 반에는 싱가포르 학생 Jeck Lim이 42점 만 점을 받았다는 소식도 전해졌다. 어제 송용진 교수 님이 싱가포르 단장을 만났을 때는, 그 학생도 4번 답을 체크하지 않아 어려움이 있다고 해서 감점될 걸로 생각했는데, 아마 연습지 안에 검증한 부분이 모두 있었던 모양이었다. 김동률 학생이 공동 1등 을 할 수도 있었는데 매우 아쉬웠다. 좋은 성적을 자축하며 바깥에서 저녁식사를 하기 위해 서울호텔에 연락해보니 주인아주머니께서 부 에노스아이레스에 계셔서 음식을 해주실 수가 없어, 한식을 먹을 수 없었다. 대신 추천을 받은 중국 식 당에 가서 맛있게 먹고 기쁨을 나누었다. Jury Meeting과 폐회식 (7월 15일 일요일) 새벽에 일어나보니 한국과학창의재단 장순범 선 생님께서 밤에 보도자료 초안을 마무리해서 보낸 이메일이 와있었다. 열어보니 미흡한 부분이 있어 서 아침부터 보도 자료를 고치느라 매우 바빴다. 아침 9시에 한국에 계신 학생 부모님들과 대한수 학회 분들에게 성적을 알려드리고, 보도 자료가 나 가기 전까지 보안을 당부하는 문자를 보냈다. 많은 분들이 기뻐해 주셨다. 9시 30분에 있었던 Jury Meeting에서는 4번 문 제의 채점기준에 대한 항의가 많이 있었다. 미국 학생 한 명이 같은 식을 적어두었음에도, 더 이상 전개하지 않았 다는 이유로 5점밖에 제시받지 못했는데, 미국 팀 단장이 그에 동의하지 않고 Jury Meeting까지 가 지고 왔다. 많은 단장들이 미국 팀 의견에 동조해 아마 IMO 역사상 처음으로 이 학생의 점수가 투표 를 거쳐 6점으로 수정되었다. 이런 회의와 투표 과 정 때문에 Jury Meeting이 길어지고 있었다. 나는 보도 자료를 마지막까지 다듬느라 노트북을 들고 Jury Meeting에 앉아 있었는데, 옆에 있던 여러 분 들이 노트북을 넘겨받아 문구를 수정하였다. 메달 커트라인이 정해지는 시간이 되어 점수 분 포가 처음으로 공개되었는데, 그 점수 분포를 보고 우리 팀 모두 깜짝 놀랐다. 우리 학생들 중에 2위 뿐 아니라 4위, 9위 등 매우 높은 순위에 든 학생 이 많았다. 곧 바로 보도 자료를 수정하여 10위 안 에 든 학생들이 많다는 문장도 추가하였다. Jury Meeting이 늦게 끝나 잠깐 쉬는데 벌써 폐 회식에 갈 시간이었다. 예전에 참관인으로 올 때는 양복을 챙겨오지 않았는데, 이번엔 부단장인지라 양복을 입고 길을 나섰다. 이번엔 학생들을 점수 순으로 입장하도록 하고 의자에 점수를 붙여놓아서 입장할 때 같은 나라 금메달 수상자끼리는 나란히 입장하는 풍경이 없어 아쉬웠다. 사회자가 외국인 이름을 잘 읽지 못하여 중간에 박태환 학생이 자기 이름이 들리지 않았다고 무대 에 올라가지 않고 순서가 지나가는 일이 있었다. 박태환 학생이 안절부절못하고 있어 내가 진행요원 에게 달려가 항의를 하여 사회자에게 겨우 연락이 되어 금메달 수여가 끝나기 전에 박태환 학생이 혼 자 무대에 올라가 금메달을 받을 수 있었다. 작년 네덜란드의 경우엔 학생들 이름이 화면에 다 떴기 때문에 문제가 없었는데, 이번에는 Jury Meeting이 너무 늦게 끝나고 바로 폐회식이 진행되느라 준비 가 어려웠던 것 같았다. 금메달을 받은 학생들이 메달을 받는 순서가 끝 나고, 만점을 받은 싱가포르 Jeck Lim 학생만 단독 으로 무대에 올라가 금메달을 받고 모든 관중이 기 립박수를 보내는 순서가 있었다. 올해 우리 학생도 저런 영광을 누릴 가능성도 있었는데 하며 속으로 매우 아쉬워했다. 폐회식이 끝나고 다른 나라 학생들과 많은 기념 사진을 찍었는데, 찍다보니 뉴질랜드와 남아프리카 공화국에도 한국인 대표학생이 출전하였기에 깜짝 놀랐다. 우리 학생들만의 기념사진을 밝은 야외에 서 많이 찍었어야 했는데 아쉬웠다. 아침에 작성해서 보낸 보도 자료는 교과부를 통 해 한국시간으로 7시, 아르헨티나 시간으로 저녁 7 시쯤 배포된 모양이었다. 송용진 교수님이 저녁 파 티 및 식사 중에 걸려오는 기자들의 전화를 받느라 매우 고생하셨다. 그래도 이번 IMO 소식을 대부분 의 언론에서 매우 크게 다뤄주어서 IMO에 대한 국 민들의 관심을 확인할 수 있었다. 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 21

21 현지 출발 (7월 16일 월요일) 너무 죄송한 일이라 차마 전화를 하지 못하고, 지 교수들끼리 모여 자축하며 맥주를 마시느라 새벽 난번 대사관 초청 만찬 자리에서 인터뷰를 하고 받 3시쯤 잠들었는데 7시에 휴대폰 진동 소리에 잠을 은 부에노스아이레스의 BueNews라는 현지신문의 깼다. 한국에서 언론에 배포할 사진을 긴급히 원한다 김종진 이사님이 생각이 나서 전화를 했더니 흔쾌 고 하여 사진을 카메라에서 내려 받아 사진을 확인해 히 도와주시겠다고 하셨다. 7시 15분쯤 BueNews 보니 카메라 렌즈를 닦지 않고 찍는 바람에 어두운 김종진 이사님이 친구분과 오셔서 여권을 전해주시 실내에서 찍은 사진은 모두 엉망이었다. 내가 가진 고, 아울러 지난번 대사 만찬 때 우리 사진이 실린 사진을 있는 대로 모아 한국으로 보내고 정신을 차릴 신문 여러 부와 이번 IMO 결과가 실린 신문 여러 때 쯤, 교육과학기술부 참관인인 김민정씨 카메라를 부를 가져다 주셨다. 매우 감사드린다. 컴퓨터와 연결하여 사진을 뽑을 수 있었다. 이 사진 이번 공항버스는 한 줄에 4명씩 앉는 버스라 폭 들을 한국으로 보냈으면 좀 더 품질 좋은 사진들이 이 좁아 한국의 우등고속보다 불편했다. 공항에 갔 언론에 나왔을 텐데 하며 매우 아쉬워했다. 더니 여기저기 IMO 대표팀들이 눈에 띄었다. 북한 공항으로 가기 위해 11시 반쯤 호텔 앞에 집결 팀도 만났는데, 두바이 경유로 가는 항공편이라 우 했다. 작은 버스를 타고 마르델플라타의 공항버스 리 보다 두 시간 가량 일찍 출발하는 항공편이었다. 회사로 이동한 다음 거기서 다른 버스를 타게 되었 새벽에 부에노스아이레스 시내로 가는 버스로 이동 다. 특이하게도 시외버스임에도 불구하고 여권을 하여 공항에 왔다고 했다. 보여 달라고 하여 모두 여권을 모으는데, 6명 대표 학생들의 여권은 모두 내가 보관하고 있어서 문제 한국 도착 (7월 18일 수요일) 가 없었으나 한 분이 여권을 부에노스아이레스에서 30시간이 넘는 비행이 끝나고 한국에 도착했다. 묵었던 호텔방 금고에 넣어두고 온 것 같다고 하였 공항에 학부모님들, 대한수학회 이사분들과 직원분 다. 일단 버스회사에서는 여권 없이 타도록 해주어 들이 나와 환영해 주셨고, 예전엔 본적 없던 신문 버스를 타고, 송용진 교수님께서 호텔에 전화하여 사 기자까지도 나와 사진도 찍고 인터뷰도 했다. 방 금고에 여권이 있는지 확인하셨는데 찾았다는 예년에 몇 명은 은메달을, 몇 명은 금메달을 받 연락을 받았다. 매우 다행이었다. 하지만 부에노스 았을 때, 은메달을 받은 학생도 매우 자랑스러워해 아이레스에 도착하여 여권을 받을 시간이 없을 텐 야 함에도 불구하고 너무 힘들어해서 분위기가 썩 데 어떻게 하나 걱정을 했다. 어려운 일 있으면 연 좋지 않았었는데 이번에는 모두 금메달을 받아 모든 락하라는 대사관 분들의 명함을 만지작거리다가, 사람들이 매우 기뻐했다. 중앙일보 기자가 촬영해준 공항 단체사진 (왼쪽부터) 이승훈 교수, 엄상일 교수, 송용진 교수, 김동률, 김동효, 문한울, 박성진, 박태환, 장재원, 이수홍, 김명환 교수 22 대한수학회소식 제 145호

22 대학교육 대학 수학전공과목 교수법: 윈도우 태블릿 노트북 활용 기법 정영복 (전남대학교) 전통적으로 수학전공 과목의 수업은 주로 칠판을 이용한 판서로 이루어져 교수와 학습자간의 시간적 공간적인 제약을 많이 받아왔다. 특히 이론 위주 수업의 학부 고학년 수학전공과목 강의에서는 여러 칠판을 쓸 수 없는 현실을 감안할 때 썼던 내용을 지운 후 그 내용을 학생들에게 다시 설명해야 하므 로 피드백 및 복습의 진정한 효과를 보기가 어려웠 다. 또한, 과제 부여 시 또는 시험이후의 피드백은 수업 보조요원이 전무한 상태에서는 전혀 고려할 수 없어 수업의 이해력은 더욱 낮아질 수밖에 없 다. 따라서 필자는 수년 동안 태블릿 노트북을 이 용한 강의 경험을 바탕으로 얻은 교수법을 통해 수 학전공과목의 수업에 대한 장점을 파악하고 태블릿 노트북을 사용하여 강의를 희망하는 대학 강사들에 게 조금이나마 도움을 주고자 한다. 본 내용은 주로 필자가 이용한 방법을 소개하는 글이다. 소프트웨어의 설치 및 사용법은 온라인에 서 쉽게 구할 수 있으므로 생략하고 강의 방법을 중심으로 간략하게 설명한다. 1. 태블릿 노트북을 이용한 수업의 주요 특징 1) 강의노트 공개로 학생들의 복습효과가 있다. 2) 실시간 강의 녹화(동영상) 공개로 학습자는 시 간 장소에 구애받지 않고 복습 및 이해력이 증 진되고 피드백을 활성화할 수 있다. 3) 강사는 내실 있는 교재연구 및 수업 준비가 가능 하다. 4) 전자파일 강의노트 이용으로 종이를 사용하는 비용이 절감된다. 5) 교수 보조원의 일부 역할 대체로 재정적인 절감 이 기대된다. 6) 온오프라인을 통하여 학생 교수간의 소통이 강화 된다. 7) 휴강으로 인한 온라인 수업(보강)이 대체 가능 하다. 8) 고전적인 칠판사용을 지양하고 전자칠판을 이용 함으로써 강의 진행이 친환경적이다. 9) 강의노트, 동영상 강의록, 과제물 등 디지털 매 체의 영구보존이 가능하다. 2. 필요한 교육매체 1) 하드웨어 - 태블릿 노트북 (윈도우 OS 탑재, 와콤팬 장착) - 빔프로젝터 (강의실에 설치) - 모니터 케이블 (노트북과 빔프로젝터 연결용) - 노트북 AC 어댑터 및 전선 확장 멀티탭 (필요시) - 보조 모니터 또는 추가 노트북 (선택사항, 강의 시 강의노트 참고용) 2) 소프트웨어 - MS Onenote (MS Office Pro 패키지에 있음) 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 23

23 - Camtasia Recorder ( (실시간 녹화 프로그램, 유료, Onenote에도 녹 화기능이 있으나 녹화 전문 프로그램이 아님) - CursorAttention ( /~afkjm/penattention) (스크린 위에 마우스 또 는 펜 포인터 표시용, 무료) 그러면 아래와 같이 고급해석학 과목 노트창이 열리는데 위쪽의 [새 섹션 1] 부분을 강의 로 이 름을 변경한다. (마우스 오른쪽 버튼을 눌러 [이름 바꾸기]를 선택하여 강의 를 입력한다. 같은 방법 으로 [강의] 옆의 탭을 눌러 [준비], [숙제], [기 타]를 만든다.) 3. 소프트웨어의 간단한 사용법 1) MS Onenote Onenote를 실행하여 자신에게 맞는 환경설정을 한다. 메뉴판에서 [파일]-[옵션]을 선택하면 새 창 이 뜨는데 이때 [빠른 실행 도구 모음]을 클릭한다. 아래 그림과 같이 왼쪽은 Onenote에서 사용할 수 있는 명령어 모음이고, 오른쪽은 사용자가 Onenote 창의 제일 위쪽에 등록하여 필요할 때 빨리 실행할 수 있도록 하는 사용자 지정 도구 명령어이다. 왼 쪽 박스에서 주로 쓰는 명령어를 택하여 가운데의 [추가] 버튼을 클릭하면 오른쪽에 등록된다. 예를 들어 고급해석학 과목 강의노트 를 만들어 보겠다. Onenote 창에서 [파일]-[새로 만들기]를 선택한다. 그리고 아래 그림과 같이 [전자 필기장 저장]에 [내 컴퓨터]를 선택하고(3번), [이름]에 고급해석학 을 입력하고(4번), [위치]에 적당한 폴 더를 지정(5번)하여, 마지막으로 [전자필기장 만들 기] 클릭(6번)한다. 참고로 [강의]는 수업시간에 필기할 노트, [준 비]는 수업시간 전에 미리 작성한 강의노트, [숙 제]는 학생들에게 부여할 과제, [기타]는 시험문제, 그림파일 등 기타 참고자료의 저장소를 의미한다. 다음으로 고급해석학 첫 시간 강의노트를 만들 어 보겠다. 아래 그림과 같이 [준비]섹션을 택한 후 오른쪽 [새 페이지]를 클릭하여 본문 위쪽 공간 에 제목 을 삽입하면 그 내용은 동시에 오른쪽 페 이지 제목 목록에도 나타난다. 이렇게 해서 고급해 석학 교재 섹션 1.1의 강의 노트를 준비한다. 24 대한수학회소식 제 145호

24 수업시간에는 칠판 대신 위의 [강의]섹션에 전 자 판서를 한다. 제목을 날짜별로 입력하면 나중에 참고하기가 쉽다. 학생들은 강사가 쓰는 Onenote 필기 내용을 실시간으로 보면서 수업에 임한다. 2) Camtasia Recorder 본 프로그램을 이용하면 노트북 화면의 어느 영 역이든 원하는 대로 실시간 녹화가 가능하다. 녹화 저장 파일은 Camtasia Studio 프로그램을 사용하 여 편집할 수 있도록 기본으로 확장자가.camrec 이지만 강의 목적으로만 저장하길 원한다면.avi파 일로 저장해도 된다. - 환경설정: [Tools]-[Options...]-[General]탭 에서 Saving-[Record to]:.avi 선택 - F9키를 누를 때마다 재생과 정지가 반복 - 녹화 정지: F10키 또는 [Stop]버튼 7) 수업 5분 전 도착 (시간 절약을 위함) 8) 수강생에게 태블릿 노트북 강의 준비 셋업 요청 (스크린 펼치기, 빔프로젝터 켜기, 모니터 케이블 연결, AC어댑터 연결, 강의실 앞쪽 전등 소등 등) 9) 출석체크 10) 빔프로젝터에 맞는 노트북 해상도 조정 5. 실제 강의 1) Onenote 실행 2) Camtasia Recorder 실행, 녹화화면 사이즈 조정, [재생]버튼 클릭하여 녹화준비 3) [재생]버튼 클릭하여 녹화시작, Onenote 위에 강의(필기) 시작 4) 강의 종료 후 [재생]버튼 클릭하여 녹화 정지 6. 강의 후 작업 1) Recorder의 [Stop]버튼을 클릭하여 녹화물을 파일(avi)로 저장 2) 녹화된 동영상 파일을 온라인 사이트에 업로드 (학생 복습용) 3) 강의노트(정지영상) 파일을 pdf파일로 변환하여 온라인 사이트에 업로드(학생 복습용) 4) 다음 시간 강의노트 준비 4. 강의 전 준비사항 1) Onenote를 사용하여 강의노트 미리 작성 2) 여분의 노트북 (미리 작성한 강의노트 참고용) 또는 강의노트 프린트물 준비 3) 보조 교재 (그림 스캔 화면 등) 4) 태블릿 노트북 (강의용) 5) 모니터 케이블 (강의실에서 노트북과 빔프로젝 터 연결용) 6) 노트북 AC 어댑터 및 전선 확장 멀티탭 (필요시) 7. 글을 마치며 태블릿 노트북을 이용하여 강의할 수 있는 소프 트웨어는 Onenote 외에도 Blue Beam(pdf 편집 기), Windows journal 등이 있다. 소프트웨어마다 장단점이 있지만 Onenote의 가장 큰 장점은 노트 내용의 분량에 관계없이 자유롭게 쓸 수 있는 프로 그램이라 할 수 있다. 그런데 이것이 단점으로 작 용할 때도 있다. 프린트할 때인데 페이지와 페이지 사이의 내용이 중복되게 출력된다는 것이다. 이상으로 태블릿 노트북 및 Onenote를 사용한 교수법을 아주 간단하게 살펴보았다. 학생들에게 조금이나마 복습의 기회를 주기위한 현실적인 대안 으로 본 교수법을 생각했으나 사실은 이러한 방법 으로 강의를 하는 강사 입장에선 많은 준비와 그에 대한 노력이 필요하다. 본 내용은 어디까지나 필자 의 주관이 많이 작용하였다. 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 25

25 원로수학자 와의 대화 소중한 만남 이경배 교수님 김성숙 (배재대학교) 미국에 계신 이경배 교수님의 한국 방문일정에 맞 추어 지난 5월 21일(목)에 찾아뵙고 인터뷰를 진행 하였습니다. 인터뷰에 응해주신 이경배 교수님께 감사드립니다. 교수님을 만나 뵙고 이렇게 인터뷰를 진행하게 되어 영광 입니다. 제가 영광입니다. 교수님께서 미국에 가신지 오래 되셨다고 알고 있는데요. 미국에 가시게 된 동기와 그 때 상황을 말씀해주세요. 제가 석사학위만 마치고 당시의 시대적 상황 때문 에 아직 공부를 충분히 못한 상태에서 서울대학교에 전임이 되었지만 항상 마음속에 공부를 더 했으면 하 는 생각을 가지고 있었지요. 물론 혼자 공부해서 미 국 논문집에 논문이 실리기도 했지만요. 마침 Frank Raymond 교수가 한국을 방문해서 내가 쓴 논문을 한 뭉치 드렸더니 돌아간 다음, Michigan 대학으로 오라고 편지가 왔어요. 그 일이 계기가 되어 미국으 로 가게 되었지요. 학부 졸업한지 11년이 지나 유학 을 갔으니 요즘에 비하면 그렇게 빠른 건 아니지요. 특별히 수학을 전공하신 계기가 있으셨나요? 수학을 아주 어렸을 때부터 좋아했고, 또 수학을 곧잘 했어요. 그런데 대학 갈 때에는 공과대학을 가 려고 마음을 먹었는데 눈이 색맹이라 갈 수가 없게 되었어요. 그래서 찾아보니까 이과에서 색맹과 관계 없이 유일하게 갈 수 있는 곳이 수학과 밖에 없었지 만 그 일이 오히려 잘 되었다고 생각해요. 공학보다 는 수학이 얼마나 깨끗하고 아름다운 학문이에요? 교수님께서 서울사대 들어가셨을 때, 학창시절에 대해 서 말씀해주세요. 그때는 어려운 시절이었죠. 우리가 입학할 때는 5.16이 나기 전이라 사회도 상당히 어지러웠고 청계 천도 복구가 안 됐던 시절이에요. 거의 모든 학생들 이 가난했어요. 대학도 요즈음과 달리 교수진도 부족 했고요. 지금 생각해보면 그때 교수님들은 그런 어려 운 환경에서도 애를 많이 쓰셨어요. 서울대학교 수학 교육과에는 작고하신 김응태 교수님께서 현대대수학, 복소수함수론, 정수론 등 그 어려운 과목을 혼자서 전부 가르치셨어요. 교수가 부족하다보니 강의 시수 도 많았는데 지금 생각해보면 초인간적이었지요. 또 책도 없어서 어떤 경우에는 일본책을 번역해 놓은 것, 미국책을 타이프한 것으로 공부했지요. 우리는 그런 환경에서 공부했고, 지금 생각해보면 재미가 있 었지만 어려운 시절이었어요. 그 당시에 서울사대에는 어떤 교수님들이 계셨나요? 서울대 사대에는 이성현, 김응태, 박한식 교수님, 그리고 우리 졸업하고 나서 김연식 교수님이 오셔서 네 분밖에 안계셨어요. 그리고 연세대학교에 계시던 김치영 교수님이 꾸준히 강사로 나오셨지요. 가장 인상에 남으시는 교수님은 어느 분이세요? 역시 김응태, 김치영 교수님으로부터 많이 배웠지 요. 그리고 석사과정에서는 김재필 교수님 도움을 많 26 대한수학회소식 제 145호

26 이 받았지요. 김재필 교수님은 상당히 무서운 분이라 고 알려져서 학생들이 다 무서워했어요. 그런데 나하 고 만나면 얼마나 잘해주셨는지 통금시간 될 때 까지 계속 수학에 관한 얘기를 하시고 아주 잘해주셨어요. 김재필 교수님께 석사 논문지도를 받으셨나요? 네. 사실 공식적으로는 박을룡 교수님으로 되어있 는데 실질적으로는 김재필 선생님이 내 논문을 읽어 주셨어요. 교수님께서 서울대학교에서 강의하실 때의 이야기를 들 려주세요. 사실은 석사 마치기 전부터, 당시의 시대적 상황에 서 교수님들 대신에 강의를 한 경우가 많았어요. 교 수님들 이름으로 강의가 개설되어도 형편상 강의할 수 없는 경우가 있었으니까요. 요즘은 박사 학위 받 고 나서 강의를 시작하잖아요. 근데 그때는 석사도 받기도 전에, 강의하는 경우가 있었지요. 그게 군대 제대 한 후이니 67년도라고 생각 되요. 나중에는 고 려대학교에서도 강의를 약 7년간 맡았어요. 그때 당 시에는 강사료가 차비와 점심값도 안 될 정도로 적었 는데 선배들이 부탁하니까 봉사하는 마음으로 나간거 지요. 그래서 가르치는 시간들이 무척 많았어요. 지 금 생각해보면 그때 가르친 것이 시간은 많이 빼앗겼 지만 내게도 도움이 많이 됐지요. 제 기억에 교수님께서는 Rudin의 Principle of Mathematical Analysis의 해답지도 만드셨던 걸로 기 억되는데, 맞습니까? 네. 조교할 때부터 제가 그 Rudin 책 강의를 총 6~7번 강의했어요. 학생들에게 연습문제를 풀라고 해도 풀지도 못하고 그렇다고 내가 그것을 풀어줄 시 간적인 여유도 없고 그때는 데모가 많아서 휴강이 많 았어요. 근데 휴강이 되면 날짜를 계산해서 챕터, 섹 션 몇 개는 강의를 한 것으로 하여 시험을 본다고 하 고 강의를 하지 않고 띄어 넘는 수밖에 없었어요. 왜 냐하면 그 책을 끝내야 한다고 생각했기 때문이지요. 그래서 차라리 해답을 주고 학생들이 공부하게 하는 것이 낫지 않은가 싶어 만들었어요. 그때 Rudin한테 해답지를 만들어도 되겠냐고 묻는 편지를 썼어요. Rudin은 해답지를 만들어도 좋은데, 당신 클래스 학 생들에게만 볼 수 있도록 하라고 그러더군요. 그래서 해답지를 만들었지요. 그런데 다른 학교에도 상당히 많이 퍼졌다고 들었어요. 그 뒤에 한참 지나서 Rudin 을 만나서 그 얘기를 했더니 내 편지에 자기가 답장 을 보내놓고도 잊어버리고 그런 일이 있었냐고 그러 면서 웃더라고요. 많은 학생들이 공부하는데 도움이 됐을 것 같습니다. 어떤 면에서는 도움이 됐을지 모르겠지만 다른 면 에서는 해가 될 수 있어요. 왜냐하면 해답이 없다면 자기들이 스스로 해결을 해야 하고 할 수 있어야 했 는데 해답이 있으니 그렇게 안 되잖아요. 그래서 어 떤 면에서는 내가 죄를 지었지 않나 하는 생각도 들 어요. 교수님께서는 몇 년도에 미국으로 공부를 하러 가셨나요? 제가 65년에 대학 졸업을 하고 군대 갔다 와서 조 교를 하면서 석사학위를 마치고 70~76년도 까지 전 임교수로 서울대학교에서 근무를 했어요. 1975년 관 악산에 들어가서 조교수로 있으면서 1976년에 사직 을 하고 미국으로 가게 되었습니다. 미국에서 공부끝나시고 나서의 생활을 말씀해주세요. 저는 운이 좋아서 지도교수를 잘 만났어요. Raymond 교수가 정말 많이 도와주셔서 어려움이 전 혀 없었어요. 나에겐 아버지나 형님 같은 분이지요. Michigan 대학에서는 학생신분이었지만 거의 교수대 우를 받았지요. 학위 마친 뒤 Purdue 대학에 가서 2 년을 있다가 Oklahoma 대학으로 가게 되었습니다. 그 후 지금까지 Oklahoma에 계시면서 박사과정 학생 들을 많이 양성하신 것으로 들었는데. 실제적으로 학위논문 지도를 한 사람은 많지만 공식적으로 내 지도 하에 박사과정 학위를 받은 사람 들은 많지 않아요. 현재 있는 학생이 3번째입니다. 교수님께서 박사과정을 직접 지도는 안했지만 한국의 많은 교수님들이 교수님께 배우려고 많이 방문한 것으로 알고 있습니다. 그동안 방문한 사람 수가 20여명 되지 않을까 생 각해요. 그중에 꽤 많은 사람들이 같이 공부하고 그 분들이 한국에 돌아와서 자기 독자적으로 우리가 하 던 것을 계속 공부해서 좋은 저널에 논문도 나오는데 그런 때는 아주 흐뭇하고 보람을 느끼지요. 2006년 충남대에서 세미나를 마치고 2012년 9월호 The Newsletter of the KMS 27