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근석 국
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1 Stress and strain: Strain tensr 강의명 : 소성가공 (MSA006) 정영웅창원대학교신소재공학부 YJEONG@CHANGWON.AC.KR 연구실 : #5-1 전화 : HOMEPAGE:

2 Strain tensr Strain 물리량은 shape change 를정량적으로표현할때 gemetrical effect 를 * 줄여 * ( 혹은제거하여 ) 나타낸다. Strain 물리량도 stress 와마찬가지로 nd rder tensr 로나타낸다. 앞으로 1 차원의 strain 부터 3 차원까지점점차원을높이면서이해하도록하겠다. Cauchy stress 가역학에서 prevail. 하지만 strain 의경우몇몇구분되는방법들이존재한다. Finite strain thery (nt discussed in the current lecture) Small strain thery (infinitesimal strain thery; small defrmatin thery; small displacementgradient thery and s frth..)

3 Strain tensr 응력텐서를설명할때, 3 차원공간상에 3 개의수직면에작용할수있는응력성분을제시하여설명하였다. 변형률텐서도이와유사하게, 3 차원공간상에 3 개의수직한 선 을가지고설명할수있다. 변형률텐서를배우며가장주의해야할것은전단변형성분이 회전 으로이어질수있으며, 이는 변형률 에서제외되어야한다는점이다.

4 1 차원 strain 1 차원의좌표계로설명이가능한 길이 의무한소로설명하자. $ # 1 차원좌표계 ($ # :basis vectr) 시간 = t " 시간 = t # x x + Δx P at t " Q at t " x + u x + Δx + u + Δu P at t # Q at t # Δx: Initial length Δu: 1D displacement u: translatin 일차원변형률 +, +- 늘어날수있는 1 차원적구조물 ( 선 ) 에서위의해석을생각해보면 위치에따라다른변형가능! 아주짧은시간내에서생긴변화라면, Δu 와 Δx 모두매우작은값 주어진전체물질의아주작은점마다각기다른 strain 을가질수도있다. ( 비균질한변형률발생 )

5 차원 strain# (small strain) 차원의좌표계로설명이가능한 길이 단위의무한소로설명하자. 한점의좌표 : (x ", x $ ) ) $ ) " 차원좌표계 () ", ) $ basis vectrs) 시간 = t ( (x ", x $ ) (x " + Δx ", x $ + Δx $ ) P at t ( Q at t ( Δ7 = Δx ", Δx $ at t = t ( (x " + u ", x $ + u $ ) 시간 Δt (= t " t ( ) 이지나며물질무한소의각점 P, Q 에게는각각 u 0 의이동 (translatin) 과 Δu 0 의변위 (displacement) vectr 가발생했다. (x " + Δx " + u " + Δu ", x $ + Δx $ + u $ + Δu $ ) Q at t " u 0 : translatin ( 전체이동 ) 시간 = t " Δ7 = Δx ", Δx $ at t = t ( P at t " Δu 0 : 변위 주어진전체물질의아주작은점마다각기다른 strain 을가질수도있다. ( 비균질한변형률발생 ) Δ7 = Δx ", Δx $ at t = t ( : = u ", u $ : translatin vectr Δ7 = Δx " + Δu ", Δx $ + Δu $ at t = t " Δ: = Δu ", Δu $ : displacement vectr 차원에서의 nd rder tensr 9 의정의 Δu 0 d 0 = lim 67 ( Δx tensr 9 는 변형률 텐서가아니다 = ;u 0 ;x

6 차원 strain#3 (small strain) Δu " d "# = lim = /u " () + Δx # /x # d 00 = /u 0 /x 0, d 0 = /u 0 /x, d 0 = /u /x 0, d = /u /x, d "# = /u " /x # (i, j = 1,) tensr d 의물리적의미? 무한소물질점에서임의의운동에의해발생하는 ( 무한히작은 ) 길이벡터의변화를설명해준다. 물질에어떠한운동이발생한다면, 특정물질점의길이벡터 (Δ8 ) 에해당하는변위벡터 (Δ9) 를다음과같이구할수있다. Δu " = d "# Δx # Small strain thery 에따르면앞서정의된 d "# 텐서의각성분값은 1 보다무척작아야한다.

7 Krnecker delta and defrmatin gradient 다른하나중요한물리량중하나는 Defrmatin grandient tensr!: " #$ = & #$ + ( #$ ( #$ 는 Krnecker delta 라불리며다음의성질을따른다. If i = j, δ -. = 1 If i j, δ -. = 0 Δ4 at t = t u - : translatin 6 ( 전체이동 ) Δu - : 변위 Δ4 at t = t 6! 의중요성질 : Δx : = F -. Δx. 898 <

8 예제 한물체가다음과같이어떠한운동에의해 균일하게 변형이되었다. Displacement gradient tensr 한점의좌표 : (x &, x, ) *, 3 cm cm t = Δt t = 0 cm 4 cm d && = 'u & 'x & d,, = 'u, 'x, = 4 = 3 d,& = 'u, 'x & = 0 d &, = 'u & 'x, = 0 * & 차원좌표계 (* &, *, basis vectrs) d 3 = F 3 = d 3 + δ 3 = =

9 예제 3 cm 한물체가다음과같이어떠한운동에의해 균일하게 변형이되었다. t = 0 t = Δt d,- = F,- = 한점의좌표 : (x &, x ( ) % ( % & 차원좌표계 (% &, % ( basis vectrs) 4 cm F,- l - = = = F,- l - = = 4 3 F,- des nt accunt fr translatin

10 차원 strain#4 (small strain) 앞서 tensr d 가 strain tensr 가아니라고하였다. 그렇다면 tensr d 는 strain 을나타낼수없는가? 시간 = t # Δ7x 길이변화없이 회전 만발생시키는 displacement ( 변위 ) Δu * 발생 시간 = t $ Δx 가정 : Tensr d 이 strain tensr 라면, 변형이발생하지않았을때모든 cmpnent 가 0 이어야마땅하다. % ' - Small strain thery 는주어진물질무한소의길이보다 훨씬 작은 displacement 발생시에만적용가능함에유의 Tensr d 성분이 0 이아님에도불구하고변형률이 0 인경우가있다. 그런경우는바로 Rigid Bdy Rtatin (RBR) 즉물질전체가한축을기준으로회전하는경우 Tensr d 성분중에일부가 0 이되지않지만변형률은 0 인경우가있다. % $ Δu $ Δu ' 위에서 tan - = /0 1 /3/0 4 하지만 Δx Δu $ 따라서 tan - = Δu ' Δx $

따라서해당변위 (RBR) 에서 d %# 값 + 로근사될수있으며, 이값은작지만 0 은아니므로 길이변화가없는변위에서도 d 의성분이 0 이아님을보인다.

11 차원 strain#5 (small strain) 앞서 tensr d 가 strain tensr 가아니라고하였다. 그렇다면 tensr d 는 strain 을나타낼수없는가? Tensr d 성분이 0 이아님에도불구하고변형률이 0 인경우가있다. 그런경우는바로 rigid bdy rtatin 즉물질전체가한축을기준으로회전하는경우 Tensr d 성분중에일부가 0 이되지않지만변형률은 0 인경우가있다. 따라서해당변위 (RBR) 에서 d %# 값 + 로근사될수있으며, 이값은작지만 0 은아니므로 길이변화가없는변위에서도 d 의성분이 0 이아님을보인다. " % " # + Δu # Δu % 그런데 small strain thery 에서는 + 값이아주작다. 그럴때는 tan + + ( 선형 ) Small strain thery 는주어진물질무한소의길이보다 훨씬 작은 displacement 발생시에만적용가능함에유의 위에서 tan + = -. / 하지만 Δx Δu # 따라서 선형 tan + = Δu % Δx 따라서텐서 d 는변형률을설명하기에적절하지않다.

12 차원 strain#6 (small strain) 적절한변형률텐서는 RBR 을제외한정도를얻어야한다. Rigid bdy rtatin Rigid bdy rtatin+stretching 0 ( d *( > 0 0 * d (* > 0 d *( < 0 d (* < 0 Δu ( tan $ = Δu ( $ Δx * + Δu * Δx * - (* $ $ Δx ( Rigid bdy rtatin Δx * tan $ = Δ. * Δ/ ( + Δ. ( Δ. * Δ/ ( $ - *( $ ( 음수 )

13 차원 strain#7 (small strain) 적절한변형률텐서를구하기위해서는 RBR 을제외하여야한다. d %# = (u % (x # CCW: cunter-clck-wise CW: clck-wise " % 면 1면 " # d #% = () # (* % > 0 d %# = () % (* # > 0 -" # 방향 d #% = () # < 0 d (* #% < 0 %! #% < 0 - %# = () % (* # < 0 -" % 방향 d %# > 0! %# > 0! #% <0 일때 CCW! %# >0 일때 CCW!! %#! #% 전체 CCW 회전평균! %#! #% d %# d #% 34 = = 7 78

14 차원 strain#8 (small strain) ' "# < 0! "# < 0 ' "# >0 일때 CW 임을확인 따라서 0 tensr 에서 ccw 회전을제외한다면, 즉 0 / 을한다면 ccw 의 RBR 을제외한순수변형률을나타낼수있다.! #" > 0 ' #" > 0 따라서 strain tensr 는아래와같이정의된다. = 0 / ' #" ' "# 전체 CCW 회전평균 3,- =!,-!,-! -, =!,- +! -, ' #" ' "# +,- =!,-! -,! #"! "# / = 0 01 Small strain thery = ,- = 1 67, , 비슷하게 strain rate tensr 는 3,- = 1 67, , : = velcity

15 3 차원 strain#9 (small strain) 차원변형률의정의의 3차원으로의확장 앞서다루었던! tensr는 defrmatin tensr (small strain thery) 라고도불림 " tensr는 spin tensr # tensr는 small strain thery에서의 strain tensr.

16 Displacement and strain Gal: Displacement 와 strain 의관계를이해하고더나아가 displacement 에서 strain 을 추출 해낼수있는방법을이해한다. Blank sheet Cup 변형 Translatin Rtatin Extensin (Cntractin) and shear 1. 공통좌표계에서표기. Translatin 제거 3. Rtatin 제거!" %!" # " % Displacement gradient tensr " # Strain = The symmetric part f displacement gradient tensr

!(x $, x & ): displacement vectr field maps varius pints t varius pints. In case! field is unifrm, which means that!

17 Displacement and strain Displacement: 특정한점이차지하던 psitin 을또다른 psitin 으로옮겨준다. P!: displacement vectr P`! vectr maps a single pint P t P` Defrmatin ccurs nly when! field is nt unifrm, which means that! varies when changing the lcatins.!(x $, x & ): displacement vectr field maps varius pints t varius pints. In case! field is unifrm, which means that! is the same fr all pints, the material nly translates in the space (n defrmatin). ( & Warning: there are cases that! field is nt unifrm, but n defrmatin ccurs (We ll get back t this later). ( $

18 Displacement and strain In case!(x $, x & ) is nt unifrm (case 1) Δ,!(x $ + Δx $, x & + Δx & )!(x $, x & ) Displacement vectr 가 ( & 공간상에서다른좌표로따라바뀐차이 Δ! ( $ 파란화살표로옮겨진점의물질은기준이되는점에비해녹색으로표현된만큼차이나는점으로옮겨졌다. ( $ Δ! ( & 주어진좌표계의성분들로 decmpse Δ! = Δu $ ( $ + u & ( & Δ, = Δx $ ( $ + Δx & ( & 좌표에대한함수, 즉 Δ! = Δ!(,)! 가공간에따라어떻게얼마나달라지는지나타내는수학적방법 (gradient) -!(,)., 하자. = /(,) 로표기

19 Displacement and strain In case!(x $, x &, x ' ) is nt unifrm (case 1; pure stretching) In case!(x $, x &, x ' ) is nt unifrm (case ; pure rtatin) Nn-unifrm displacement field des nt always mean that the material is defrmed. Nn-unifrm displacement field may cntain a cntributin frm rtatin. Therefre, if yu want t extract nly the defrmatin, yu have t exclude rtatinal cntributin frm the displacement field.

20 Displacement gradient t strain d "# = lim () + (, - (). = /, - /). ε "# = 1 d "# + d #" 위특성으로인해 ε 4 "# = ε "# ( 즉, symmetry 가진다 )

21 Example! #! " % & mm ( & mm! $ ' & mm 위의금속판재에냉간압연을하여두께, 너비, 길이가각각 ( ), ' ), % ) 으로바뀌었다. 부피변형률 +, - ) - & 값을. )),. //,. 00 요소로표현하여라 = (1) (1) 의양변에자연로그를사용하면 ln : $ = ln < $ + ln > $ + ln? $ : ; < ; > ;? "" $$ ## ; 따라서부피변화가없다면, 즉 ln 1 = 0, $$ "" ## = 0

22 Example 전단변형률은부피변화와무관하다. Let s check

23 Recap Measurement f frce and displacement frm tensin tests Physical quantity t remve the effect f gemetry: engineering stress/engineering strain Tw types f stress (strain): Nrmal (tensin +, r cmpressin -) Shear (frward +, backward -) There are three independent planes in 3D; On each plane 1 nrmal + shears. Thus nine independent cmpnents cmprise the stress (strain) state. Crdinate transfrmatin (axes transfrmatin) Crdinate transfrmatin des nt change the physical quantity (stress, strain) Crdinate transfrmatin changes the values f cmpnents and the directins f planes assciated with the stress (r strain). Practice crdinate transfrmatin using the Excel, Frtran cde, Pythn cde.

24 References and acknwledgements References An intrductin t Cntinuum Mechanics M. E. Gurtin Metal Frming W.F. Hsfrd, R. M. Caddell ( 번역판 : 금속소성가공 - 허무영 ) Fundamentals f metal frming (R. H. Wagner, J-L Chent) (very gd n-line reference) Acknwledgements Sme images presented in this lecture materials were cllected frm Wikipedia.

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05_StrainTensor Strain tensrs 강의명 : 금속가공학특론 (AMB2004) 정영웅창원대학교신소재공학부 YJEONG@CHANGWON.AC.KR 연구실 : #52-212 전화 : 055-213-3694 HOMEPAGE: HTTP://YOUNGUNG.GITHUB.IO Strain tensr Strain 물리량은 shape change 를정량적으로표현할때 gemetrical