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이슬 최
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1 고등고체역학및유한요소법교육 경상대학교전만수교수

2 - - 단조시뮬래이션으로무엇을얻을수있는가? AFDEX

3 단조시뮬래이션적용예 -AFDEX D Predcted Publshed, Trans. ASME, J. Eng. Mat. Tech., Publshed, Int. J. Mach Tools Manuf., 000 Publshed, Trans. ASME, J. Eng. Mat. Tech.,

4 Szng process Bendng process 단조시뮬래이션 적용예-AFDEX 3D Publshed, Fnte Element Analyss and Desgn,

5 단조시뮬래이션 적용예-AFDEX Rng Rollng Etruson Rollng Drawng Forgng -5-

6 단조시뮬래이션 적용예-AFDEX -6-

7 예비지식 참고서적 1. 고등고체역학과유한요소법 ( 전만수 ). 연속체역학에서유한요소법까지 ( 전만수외 1)

8 자연과함수 - 8 -

9 자연과함수 - 9 -

10 자연과함수

11 인간과함수

12 인간과함수 - 1 -

13 함수의정량화

14 미지의함수

15 상미분과기울기 평균변화율 y v( ) 미분 v( ) dv d a b 평균변화율 : v( b) v( a) b a v( b) v( a) v( a ) v( a) v( ) v( ) v( a) lm lm v( ) lm ba b a 0 0 보에서갖는 v( ) 의물리적의미 d d v( ) V ( ) ( EI ) ( EIv ( )) d d EIv( ) M ( ) M ( ) V( ) b V( ) ( EIv ( )) b

16 편미분과구배 (Gradent) 응력 (, y) (, ) (, ) lm y y lm 0 0 y fed ( y (, ), ) y ( y, ) (, y) 산의높이 h h(, y) h h(30,10) h(0,10) y 10 h h(0,15) h(0,10) y y 5 0 y 10 h h(, y) h(, y) h lm lm 0 0 y fed (0,15) y (0,10) (30,10)

17 편미분및편미분방정식바로읽기 비압축성재료에대한연속방정식 v (, y y) y v v y y q q y 0 k k 0 y y y q k, qy k y y y 0 정상상태의열전도방정식 ( 발열 =0) 평형방정식 기타 v (, y) v (, y) y 0 u 0 y y v (, ) y y y y 미소면적 y y vy v (, ) y (, y) q (, ) y y 미소면적 y q (, y y) y qy q (, ) y (, y) qy qy(, y y) qy(, y) y y y q q(, y) q(, y)

18 행렬의정의 행렬 : 수의규칙적인배열 mn 행렬 : 용어정의 : A 행벡터 (row vector) : 열벡터 (column vector) : 정방행렬 (square matr) : a a a n [ a ] a1 a an j 1 n a a a m1 m mn 행렬 m1 비대각항 (off-dagonal term) : 행렬 n n 행렬 a ( j) j 상삼각행렬 (upper trangular matr) a a a U 0 a a 0 0 a n n 하삼각행렬 (lower trangular matr) a L a1 a 0 a n an a nn nn 대각항 (dagonal term) : 영행렬 (zero matr) n n정방행렬에서 a ( 1,,, n) 대각행렬 (dagonal matr) a D 0 a a nn 단위행렬 (unt matr) I [ ] j Kronecker delta

19 행렬의변환기능과응용 행렬의역할 : A = y 수학적오퍼레이터 (operator) 전달함수 (transfer functon) 및변환 (transformaton) 의역할 Transformaton A Mappng y 벡터량의좌표변환법칙 : < 행렬의역할 > F cos sn F T cos sn ' Fy' sn cos Fy sn cos F cos F F ' y' F cos F F y' y ' sn sn F cos sn F ' F sn cos F y y' 변환행렬 T=[t, ] 1 t t cos, sn sn,cos T 1 T t t t 1, t t 직교단위행렬 (orthonormal matr) T T 1 T cos sn j sn cos j < 좌표변환 >

20 - 0 - 행렬의변환기능과응용 역학문제에서의행렬 변위-하중관계식 L 1 1 Q u AE 1 1 P u y AF=U L L AE Qu, AE 1 1u Q L 1 1 u y P KU=F AE Pu, y 변위 - 하중관계식 y z f 0 y z y yy zy f y 0 y z z yz zz f z 0 y z 유한요소보간미분방정식의근사해법 강성행렬 KU F K M U =, ( ) =0 변위벡터 하중벡터

21 - 1 - 행렬의판별치 (determnant) 행렬의판별치 : a a D a a a a det A a a 3 3 행렬의판별치 : a a a a a a a a a D det A a a a a a a a a a a a a a 33 a 31 a n n 행렬의판별치 : a11 a1 a1 n a a3 an a1 a an det A a1 a an a3 a33 a3n a a a n D a a1 a a a a a a a a a n1 n nn n n3 nn n1 n3 nn n n j j j j j j j j 1 1 D a C a C ( j 1,,, n), C ( 1) M ( C : 여인자 (cofactor)) a M a M a C a C D( 1) n n j aj ( 1) j M j ajm j 1 1 M j : 마이너 (mnor), -행과 j-열을소거하여얻은 (n-1) (n-1) 부분행렬의판별치

22 - - 행렬의판별치 판별치의일반적성질 1 A A T AB = BA = A B 3 행렬의한행또는한열에상수 c를곱하여만든행렬의판별치는본래행렬의판별치의 c 배임 4 어떤행렬의임의의두행 ( 또는두열 ) 을교환하여만든새로운행렬의판별치는본래행렬의판별치의부 (negatve) 의값을가짐 5 어떤행렬의한행 ( 또는하나의열 ) 에다른행 ( 또는열 ) 의상수배를더하여만든새로운행렬의판별치는본래행렬의판별치와동일함 6 행 ( 또는열 ) 벡터가선형종속이면판별치는 0임 예제 a a a a a a a a a 1 D det A a a a a a a a a a a a33 a3 a33 a a a11 a1 a13 D det A ca1 ca ca3 cdet A a a a a11 a1 a13 D det A a31 a3 a33 det A a a a 1 3

23 - 3 - 역행렬 n n 행렬 A의역행렬 : A -1 행렬의곱의역행렬 ( AB) B A -1-1 AA I 또는 A A I ( ABCD ) D C B A -1 1 T 1 * A [ Cj ] [ Aj ] det A det A 선형연립방정식 * T [ Aj ] [ Cj ] : [ A ] j 행렬 C C C C C C C C C 11 1 n1 * 1 n 1n n nn 직교단위행렬과변환행렬 A의어조인트 (adjont) A b A A A b, I A b, A b 1 참고사항 : Kronecker delta f j j 0 f j I j AA T D 일때, 행렬 A 를직교행렬 (orthogonal matr) 이라고함 T AA I a a 일때, 행렬 A 를직교단위행렬 (orthonormal) 이라고함., j j 변환행렬은직교단위행렬임. 즉, TT T I 임. 따라서 T -1 T T 임 A A -1 T

24 - 4 - 상사변환 상사변환 (smlarty transformaton) 의정의 A RAR 1 상사변환의성질 A A 와의고유치는동일 1 고유벡터의관계 : = R ( : 행렬 A 의고유벡터, : A의고유벡터 ) 상사변환의응용 T T T ' j ' ' p j ' q pq T ' p pq j ' q T T ' p' ' p pq j ' q

25 고유치문제 제차선형연립방정식 (homogeneous lnear equaton) : = 0 : 무의미해 (trval soluton) IF : A = 0 0 A = 0 고유치문제 : A = 또는 ( A I ) = 0 nn 행렬 ( A I ) 의행벡터또는열벡터는선형종속이어야함 : 고유치 (egenvalue) 또는특성치 (charactoerstc value) : 고유벡터 (egenvector) 또는특성벡터 (characterstc vector) 특성방정식 (characterstc equaton) : nn A I n nn A 행렬의랭크가 n 보다작기위한조건또는행렬가특이행렬이될조건 차의비선형방정식 행렬가대칭이면, n 개의실근존재 고유벡터의직교성 : ( ) ( j ) = 0 A, A () () ( ) ( j ) ( j ) ( j ) T ( A A ) ( ) ( j) T ( ) ( ) ( j) ( ) ( j) A I T ( ) ( j) ( ) ( j) ( ) ( j) If A A 0, ( ) j j A I,,, A 1 0 T T T T T A, A ( ) ( ) ( ) ( j ) ( j ) ( ) ( j ) n - 5 -

26 - 6 - 고유치문제 - 보충설명 제차선형연립방정식의예 문제 풀이 y0 cy 1 1 c c y 특성방정식 0 c ( ) 0 c : y :1 제차선형연립방정식의예 문제 y z n 0 y yy yz n y 0 z zy zz n z 0 풀이 y z 3 y yy yz I1 I I 3 0 1,, 3 z zy zz 특성방정식

27 총론 - 자연현상의지배법칙총정리 기본법칙응용법칙및원리, 파생원리수식비고 뉴톤의운동법칙 에너지보존법칙 질량보존법칙 구성방정식 기타 평형조건식 평형방정식 운동방정식 열전도방정식 에너지보존방정식 연속방정식 후크법칙 소성유동법칙 Fourer 의열전도법칙 변위 - 변형률관계식 속도 - 변형률속도관계식 필수경계조건 자연경계조건 F ma, M I j, j f 0, j j j, j f v k, q, g c t k, q, g c, jv j t v, 0 v, 0 t 1, 1 E j j 3 q k j j k k j j j k k j, 1 u u 1 v v j, j j, j, j j, u u, v v, n t n t, q k q j j, Naver-Cauchy 방정식 Naver-Stokes 방정식 고체 유체 비압축성물질 압축성물질 열역학제 법칙을자동적으로만족시켜야함 - 7 -

28 총론 - 고체역학문제의총정리 구분탄성역학소성역학사용자준비 문제의정의 V P S t De S c V S t St s St 미지수 u v, p S 평형방정식, f 0 n V j j X 변위-변형률관계속도-변형률속도관계구성방정식 1 u u j, j j, j j k k j 1 1 E j j k k j 1 v v j, j j, j 3 j X E, 또는,,, 비압축성조건 일반적으로불필요특별한경우 u v, 0, 0 X 경계조건 u u on S u n t on S j j t v v on S v n t on S j j t or u u on S on t n c n n c mk S u, t m u n v 또는 - 8 -

29 - 9 - 수학적및기계공학적배경 - 기계량과좌표계 기계량 연속체에대한온도, 변위, 응력등의기계량 (Mechancal quantty) 은질점의위치의함수 위치는기준좌표계에대한질점의상대적위치, 즉좌표 ( 성분 ) 에의해표현됨 기계량의정의는좌표계와불가분의관계에있음 직각좌표계 (Rectangular or Cartesan coordnate system) 벡터량과좌표변환 벡터 F의수학적표현 y좌표계 : F, F ' y ' 좌표계 : F, F ' '' y '' 좌표계 : F, F '' y y' y'' 성분사이의관계 : 좌표변환 F' cos sn F F y' sn cos F y F T F or F' = TF ' ' j j j 동일점의좌표와그점에서의기계량은서로다른좌표계에서보았을때그수치가다르며, 두좌표계사이에정의되는일정한변환법칙을따른다. 좌표계에따라대상물체또는질점을표현하는좌표값과기계량의수치는다르게표현되지만대상물체의기하학적모양과기계량의물리적의미를변화시키지않는다. T : 변환행렬, 직교단위행렬 T 또는 T 는 축과 축이이루는각도의 cosne값 j ' j ' j k k TT k j k j TT k k j j 또는 T TT = I

30 수학적및기계공학적배경 - 기계량의분류와좌표변환 0 차텐서량 ( 스칼라량 ) 차텐서량 ( 다이아딕량, Dyadc) 밀도, 온도, 에너지등 C, ' 3, C 좌표변환 : ' 1차텐서량 ( 벡터량 ) 좌표, 변위, 속도, 가속도, 힘, 열유량( Heat flu) 등 P,4 P' 3, cos sn 1 3 sn cos 4 30 좌표변환 : P T P ' ' j j j 응력, 변형률, 변형률속도, 편차응력, 편차변형률등 110.0, 50.0, 40.0 y y y 19.6, 30.4, 변환행렬, ' ' y' y' ' y' ' ' ' y' cos sn y cos sn sn cos sn cos y' ' y' y' y y y 30 좌표변환 : ' j' T ' ptj ' q p q p q T T ' j T cos, ' j ' j 차원평면 cos T sn sn cos O y y θ T 는직교단위행렬( Orthogonal matr): T T T

31 수학적및기계공학적배경 - 텐서량및주요공식의지수표현 좌표축의지수표현, y, z 축,, 축 기계량의지수표현 단위벡터의지수표현 1 3, y,, y 또는 y e 3 j k u u u u e 1 1 e 1 편미분규약 j,,, j,, j, j, j j j 덧셈규약 교반기호 jk 3 j1 j, j j, j 자유지수(Free nde) : 한항에한번만나옴 단순지수(Dummy nde) : 한항에두번나옴 덧셈규약 : jk f 0 f 0 0 f j or j k or k 1 f, j, k 1,,3 or,3,1 or 3,1, 1 f, j, k 1,3, or,1,3 or 3,,1, j, k e, e, e 텐서량의지수표현 u u 또는 u y z j j 1 3 y y y y z z z y z z 크로네커델타 (Kronecker delta) δ j 지수표현의예 W ab W a b c ab c a b grad dv v curl v 발산이론의일반형,,, j k j k j k k, j Tangental plane n j 0 1 f f j j V Q dv Q n ds j k.. m, S j k.. m 여기서 n는면s상의점에서정의된접촉면의외향법선단위벡터임 S

32 - 3 - 수학적및기계공학적배경 - 주요기계량의이해 좌표 (Coordnate), 변형률 (Stran), j 편차성분 (Devatorc components) 기준좌표계에대한질점의상대적위치 T ' ' j j 변위 (Dsplacement), 질점의위치변화를표현하기위한기계량 u T u ' ' j j u 차텐서량으로표현되는무차원수 1 u u T T j, j j, ' j ' ' p j ' q pq 변형률속도 (Stran rate), j 대각항에대각항의평균값을뺀텐서 편차응력텐서 : kk 3 j j j 편차변형률텐서 : kk 3 j j j 속도 (Velocty), 변위의시간변화율, T ' ' j j u du dt 한순간에서단위시간당변형률변화량 1 j, j j, T T ' j ' ' p j ' q pq 편차변형률속도텐서 : kk 3 j j j 가속도 (Acceleraton), 응력 (Stress), j 정수압 (Hydrostatc pressure) 속도의시간변화율, T ' ' j j du dt 단위면적당작용하는힘 T T ' j' ' p j' q pq 평균응력의부 p m 3

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