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경철 은
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1 숭실대학교일반물리강의자료최신대학물리학 5 판, Seway & Jewett 북스힐 6 장. 계의에너지 6.1 계와환경 6. 일정한힘이한일 6.3 두벡터의스칼라곱 6.4 변하는힘이한일 6.5 운동에너지와일 - 운동에너지정리 6.6 계의위치에너지 6.7 보존력과비보존력 6.8 보존력과위치에너지의관계 6.9 중력과전기력의위치에너지

2 6.1 계와환경 Systems and Envonments 계모형에서, 우주의 ( 작은 ) 한부분, 즉계 (system) 에대해관심을집중하고그계를제외한우주의나머지부분에대한구체적인사항은무시한다. 우주 U 계 S 환경 ε 주어진문제에서특정한계가무엇이든간에, 계의경계 (system bounday) 라는가상의면 ( 꼭물리적인면과동일할필요는없다 ) 이있는데, 이면은우주를계와그계를둘러싼환경 (envonment) 으로분리한다.

3 6. 일정한힘이한일 ok Done by a Constant Foce 어떤계에일정한크기의힘 F 가하는주체가계에한일 (wok) : F cosθ F ( 스칼라량 ) 힘이작용하더라도변위가없으면일은없다. 물체가움직이더라도힘과변위가수직이라면그힘이한일은영이다. 단위 : 1J 1N m kg m /s

4 일은에너지의전달이다. 는계에더해진일 > 0 에너지가계로전달됨 <0 에너지가계로부터환경으로전달됨 계가환경과상호작용한다면이상호작용은계의경계를통한에너지의전달로묘사할수있다. 이결과로계에저장된에너지가변한다. 6.3 두벡터의스칼라곱 The Scala Poduct o Two Vectos 임의의두벡터 A 와 B 의스칼라곱 A B AB cosθ A B B A ( 교환법칙 ) A ( B + C) A B + A C ( 분배법칙 )

5 z kˆ î (,y,z) ĵ y 단위벡터사이의스칼라곱 ˆ ˆ ˆj ˆj kˆ kˆ 1 ˆ ˆj ˆ kˆ ˆj kˆ 0 두벡터를성분으로표시하면 A A + A j+ y A z k B B + B j+ y B z k A B A B + A B + y y A z B z A B 인경우 A A A A + A + A A A A y z 일의표현은 F cosθ F

6 예제 6. 스칼라곱두벡터 A ˆˆ + 3j와 B ˆˆ + j 에대해 (A) 스칼라곱 AB 를구하라. (B) A와 B 사이의각 A를구하라. (A) (B) ( ˆˆˆˆ 3 ) ( ) AB + j + j ˆˆˆˆˆˆˆˆ + j 3j + 3j j (1) + 4(0) 3(0) + 6(1) A A + A () + (3) 13 B B + B ( 1) + () 5 AB AB cosθ cosθ AB 4 4 AB θ cos o

7 예제 6.3 일정한힘이한일 y 평면상에서한입자가 (.0ˆ + 3.0ˆ)m j 의변위만큼움직이는동안 F ( j)N 의일정한힘이작용한다. (A) 힘과변위의크기를각각구하라. F F + F (5.0) + (.0) 5.4N y + + ( ) ( y ) (.0) (3.0) 3.6m (B) F 가입자에한일을계산하라. F (5.0ˆˆˆˆ.0 ) N ( )m + j + j (5.0ˆˆˆˆˆˆˆˆ j+.0j.0+.0j 3.0 j)n m ( )N m 16J

8 6.4 변하는힘이한일 ok Done by a Vayng Foce 힘이변위와나란하고, 힘이일을하는동안힘이변하는경우 F // F F ˆ ˆ 변위 에대해한일 : F 전체변위에대하여더하면 F 구간의크기를 0 으로접근시키면 lm 0 F F d F d

9 어떤계에하나이상의힘이작용할때, 이계에대해한전체일은알짜힘이한일과같다. ( ) k F d F d ( ) ( k) k k k k F F d ( ) 일반적인경우 d ( ) 용수철이한일 Hooke s Law F s k 복원력 (estong oce) : 평형위치로부터의변위 k: 용수철상수 (N/m) 1 k ma

10 Fs Fsˆˆˆ k, d d 로표현하면 에서 까지물체가움직일때용수철이한일 S ( ˆˆ s F s d k )( d ) 1 1 ( k) d k k s 1 1 ( k) d k k 외부주체가힘 F app ( 작용력 ) 을가하여물체를 에서 까지가속도없이매우천천히움직이도록한경우 F app F s app F app d 물체의변위에대해작용력 F app 이한일 app app ( k )( d ) kd k k 1 1

11 예제 6.5 용수철의 k 측정하기 용수철은수직으로매달려있고, 질량 m 인물체를그아래쪽끝에매단다. 용수철은 mg 의부하에의해평형위치로부터 d 의거리만큼늘어난다. (A) 0.55 kg 의질량을가진물체가매달려.0 cm 만큼늘어났다면용수철의힘상수는얼마인가? (B) 이길이만큼늘어나는동안용수철이한일을구하라. 풀이 (A) kd mg k mg ( 0.55kg)(9.80m/s ).7 10 N/m d.0 10 m (B) s 0 kd g (.7 10 N/m)(.0 10 m) 물체에중력이한일은 F ( mg)( d)cos0 mgd g (0.55kg)(9.80m/s )(.0 10 m) J J s g! hy? 0 d F mg, ΣF s 0

12 6.5 운동에너지와일 - 운동에너지정리 Knetc Enegy and the ok-knetc Enegy Theoem 물체에알짜힘이작용하여가속도를갖고움직이는경우 v ΣF v net Fd net mad v v mvdv dv m d dt dv dt F ma d dv d d dt vdv d net 1 mv 1 mv K 1 mv : 운동에너지 (knetc enegy) 스칼라량, 단위 : J net K K 일- 운동에너지정리 알짜힘이한일은그계의운동에너지의변화와같다 일 - 운동에너지정리의 K 는두점사이의경로에무관하고처음과나중의속력에만의존한다.

13 예제 6.6 마찰이없는평면에서물체를밀기 6.0 kg 의물체가처음에정지해있다가 1N 의일정한수평힘을받아서마찰이없는수평면을따라오른쪽으로움직이고있다. 물체가 3.0m 움직인후의속력은얼마인가? F ( 1N)(3.0m) 36J 일 - 운동에너지정리를사용하면 1 K K mv 0 v (36J) 3.5m/s m 6.0kg

14 6.6 계의위치에너지 Potental Enegy o a System 책과지구로구성된계를고려하면 dv F Fapp + mg 0 a 0 dt app y mg d mg( y y ) y g F app net K 0 y F d app + g y 0 y y mg F app 가한일은계의에너지변화가운동에너지변화가아니기때문에, 다른형태의에너지로저장되어야한다. 책을들어올린후놓으면낙하할때운동에너지를가지며, 그에너지는책을들어올릴때해준일에서온것이다.

15 책이높은위치에있을때, 계에는운동에너지로바뀔수있는잠재적인에너지가있다. 이러한에너지저장형태를위치에너지 (potental enegy) 라한다. 위치에너지의크기는계를구성하는요소들의배열상태에따라결정된다 app mgy mgy 중력위치에너지 (gavtatonal potental enegy): U g mgy 중력위치에너지는단지지표면위물체의연직높이에만의존한다. 용수철과물체로구성된계를고려하면 app 1 k 1 k 탄성위치에너지 (elastc potental enegy): U s 1 k

6.7 보존력과비보존력 Consevatve and Nonconsevatve Foces 책이탁자에작용하는마찰력이한일을생각하면, 힘의방향은오른쪽이고, 변위도오른쪽이다. 책이탁자표면에한일은양 (+) 이다. 책이멈춘후에도표면은움직이지않는다. 표면에양 (+) 의일이행해졌는데도표면의운동에너지나위치에너지에는변화가없다.

17 6.7 보존력과비보존력 Consevatve and Nonconsevatve Foces 책이탁자에작용하는마찰력이한일을생각하면, 힘의방향은오른쪽이고, 변위도오른쪽이다. 책이탁자표면에한일은양 (+) 이다. 책이멈춘후에도표면은움직이지않는다. 표면에양 (+) 의일이행해졌는데도표면의운동에너지나위치에너지에는변화가없다. 이경우표면이다소따뜻해졌으며, 계의온도와연관된에너지를내부에너지 (ntenal enegy) 라고하고, E nt 로나타낸다. 중력이물체에한일은연직으로떨어지거나경사면을미끄러지거나하는중간과정에의존하지않는다. 중요한것은물체의고도변화이다. 그러나경사면에서의마찰에의한내부에너지로의변환은물체가미끄러지는거리에의존한다. 이러한경로의존성에따라힘을보존력과비보존력으로구분한다. 중력 : 보존력 / 마찰력 : 비보존력

18 보존력 (Consevatve Foces) 1. 두점사이를이동하는입자에보존력이한일은이동경로와무관하다.. 폐경로를따라이동하는입자에보존력이한일은영이다. ( 폐경로는출발점과도착점이같은경로를말한다 ). 일반적으로계의구성요소중한물체가한점에서다른점으로이동할때, 보존력이한일 c 는계의위치에너지의처음값에서나중값을뺀것과같다. c U U U 보존력이한일은위치에너지감소와같다.

19 비보존력 (Nonconsevatve Foces) 보존력에대한성질 1 과 를만족하지못하는힘을비보존력이라고한다. 마찰력이대표적인비보존력이다. 역학적에너지 (mechancal enegy): 계의운동에너지와위치에너지의합을라고정의한다. Emech K + U 계내부에서작용하는비보존력은역학적에너지의변화를초래한다.

20 6.8 보존력과위치에너지의관계 Relatonshp Between Consevatve Foces and Potental Enegy 보존력 F 가한일은위치에너지 U 의감소와같다. 1 차원에서 c U U F d U U 보존력방향으로움직일때위치에너지는감소한다. U, U ( ). : 기준점, U U U ( ) s 0 s U ( ) Fd + U F 0 d 기준점에서 U 0 의값을종종영으로잡는다. 실제로 U 0 를어떤값으로잡든지 관계가없다. 왜냐하면영이아닌값은 U 를상수만큼만이동시킬뿐이고, 물리적으로의미를갖는것은위치에너지변화이기때문이다.

21 만약힘의작용점이미소변위 d 만큼움직인다면, 계의미소위치에너지변화 du 는 du F d F du d 용수철이갖는위치에너지는 U s 1 k 이므로 F s du d s k 위치에너지곡선의기울기가보존력의크기에대응한다. 기울기가 0 인점은힘이작용하지않는평형점에해당한다.

22 6.9 중력과전기력의위치에너지 Potental Enegy o Gavtatonal and Electc Foces 지구가입자에작용하는중력 ˆ GM Fg () F () Em ; F () ˆ : 지구로부터입자를향하는단위벡터 중력이하는일 F g () d F() d 보존력이하는일은위치에너지감소와같다. U U U U GM m E 1 GM Em U GM d E, U 0 U, U () F() d 1 m 1 U g GM Em U ()

23 두입자계의중력위치에너지 U g GM Em U g Gm m 1 세입자계의중력위치에너지 U U + U + U tot mm mm + mm G

24 예제 6.8 위치에너지의변화 질량 m 인입자가지표면위에서수직으로작은거리 y 만큼이동한다. 이경우식 (6.30) 로주어지는중력위치에너지의변화는우리에게친숙한 U g mg y 임을보여라. 지표면에서중력 GM m mg R U g GM Em 1 1 U g GM Em GM Em E E g 물체의중력위치에너지 위치에너지의변화 y E E GM R E E R GM m U g y mg y R E

25 쿨롱의법칙 F e k e qq 1 같은부호의전하 qq 1 > 0, F > 0( 척력) 반대부호의전하 qq 1 < 0, F < 0( 인력) 전기위치에너지 (electc potental enegy) U e k e qq 1 같은부호의전하 U e > 0, e e U e 반대부호의전하 U e < 0, U e

26 6 장. 숙제 Homewok poblems 문제번호 관련내용

실험1.일차원 운동량 보존

실험1.일차원 운동량 보존 7 장에너지의보존 ( Energy Conservation) 고립계 (isolated system) 와비고립계 (nonisolated system) 계에저장될수있는에너지형태는 a. 구성요소들의운동과관련된운동에너지, b. 배열과관련된위치에너지, c. 온도와관련된내부에너지이다. 우주 U 에너지 환경 E 계 S 고립계 : 계와환경이상호작용하지않는다. a. 계의전체에너지는일정하게보존된다.