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윤소 신
8 years ago
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1 5장 운동량 방법 (Moenu Mehod) 5. 충격량과 운동량의 원리 (Principle of Ipulse & Moenu) 5. 선형운동량의 보존 (onseraion of Linear Moenu) 5.3 충돌 (Ipacs) 5.4 각운동량 (ngular Moenu) 5.5 질량유동 (Mass Flows)

2 /59 5. 충격량과 운동량의 원리 Newon의 제법칙을 시간에 대해 적분하면, 다음 충격량과 운동량 의 원리(Principle of Ipulse & Moenu)를 얻는다 : F d d F d 선형운동량 (linear oenu) 선형충격량 (linear ipulse) 충격량과 운동량의 원리: 물체에 어떤 시간 동안 가해진 충격량은 물체의 선형운동량의 변화와 같다.

3 3/59 5. 충격량과 운동량의 원리: 충격력과 평균 충격력 시간 에서 까지 물체에 작용한 합력의 시간 평균 : F a F d F 주어진 시간 동안 물체의 속도변화를 알고 있다면, 위 식에 의해 이 시간 동안 물체에 가해진 평균 합력을 알 수 있다. a 짧은 시간 동안이지만 상당히 큰 선형 충격량을 가하는 힘을 충격력 (ipulsie force)이라고 한다. 실제로는 시간에 따른 충격력을 구하는 것은 불가능한 경우가 많지만, 시간에 대한 평균 충격력 을 구하는 것은 종종 가능하다. 예) 예제 5.3의 골프공 평균 충격력

4 5. 충격량과 운동량의 원리: 충격량과 운동량 원리의 스칼라 표현 충격량과 운동량의 원리식의 스칼라 식 표현 -물체 경로의 접선방향에 대한 Newon의 제법칙 식을 적분하면, 경로 상에서의 합력과 속도변화 사이의 스칼라 관계식을 얻을 수 있다 : F a d d F d, :, 에서 경로에서의 속도 경로에 접선방향인 합력의 시간평균에 의해 충격량과 운동량의 원리를 다음과 같이 나타낼 수 있다 : F a F d F a 충격량과 운동량의 원리는 외력의 적분을 물체 속도의 변화와 연결 시킨다는 점에서는 일과 에너지의 원리와 유사하지만, 속도의 크기 와 방향 모두의 변화를 구하는 벡터식인 점과 보존력에 해당하는 종류의 힘이 없다는 점이 다르다. 4/59

시간평균에 의해 충격량과 운동량의 원리를 다음과 같이 나타낼 수 있다 : F a F d F a 충격량과 운동량의 원리는 외력의 적분을 물체 속도의 변화와 연결

5 5/59 예제 5. 충격량과 운동량의 응용 00 kg의 헬리콥터가 =0에서 정지상태로부터 출발한다. (a) =0에서 =0 s까지 헬리콥터에 가해진 합력이 다음과 같을 때, =0 s에서의 속도를 구하라. F 70 (N), F (N), F 0 y (b) =0 s에서 헬리콥터의 속도는 36i + 8j (/s)이다. =0에서 =0 s 까지 헬리콥터에 가해진 평균 합력은 얼마인가? z 전략 =0에서 헬리콥터의 속도와 작용하 는 합력의 성분들을 시간의 함수로 알고 있으므로, 충격량과 운동량의 원리를 이용하여 =0 s에서의 속도 를구할수있다. =0s와 =0 s에 서의 속도를 알게 되면 평균 합력을 구할 수 있다.

F 70 (N), F 60 360 (N), F 0 y (b) =0 s에서 헬리콥터의 속도는 36i + 8j (/s)이다.

6 6/59 예제 5. (계속) 풀이 (a) = 0에서 = 0 s까지 충격량과 운동량의 원리를 적용하여, =0 s에 서의 속도 를 구한다 : 0 0 F d 70 i jd ,000i 3600 j 00 30i 3j (/s) : (b) =0 s에서 =0 s까지의 시간 동안 가해진 평균 합력을 구한다 : Fa 0 0 Fa 0036i 8j0030i 3j F 70i 600j (N) a

속도 를 구한다 : 0 0 F d 70 i 60 360jd 00 0 36,000i 3600 j 00

7 7/59 예제 5. 경로에 접선인 충격량과 운동량 오토바이가 = 0에서 정지상태로에서 출발하여 반경 400 의 원형트랙 을 주행한다. = 0에서 =30 s까지 오토바이에 가해지는 합력의 접선 성분은 F = 00-6 (N)이다. 오토바이와 선수의 총 질량은 50 kg이다. (a) =30 s에서 속도의 크기는 얼마인가? (b) =0에서 =30 s까지 접선 성분의 평균 합력은 얼마인가? 전략 합력의 접선성분이 시간의 함수로 주어져 있으므로, 충격량과 운동량의 원리를 이용하여 속도 크기를 시간의 함수로 구할 수 있다.

8 8/59 예제 5. (계속) 풀이 (a) 충격량과 운동량의 원리를 이용하여 속도 크기 를 구한다 : F d ( ) (30 s) (/s) : 0 /s 00 6 d 50 0 (b) =0에서 =30s까지에 대한 합력의 접선성분 평균값과 속도의 접선성분 변화에 대한 식으로부터 합력의 접선성분 평균을 구한 다: F a : 30s 0 F 50 kg /s F a a 0 (N) 0

00 3 50 (30 s) (/s) : 0 /s 00 6 d 50 0 (b) =0에서

9 예제 5.3 충격력 구하기 날아가는 골프공을 0.00 s 간격으로 찍었다. 무게가 0.6 N인 공의직경 은 4 이다. 클럽이 공과 s 동안 접촉하였다면 클럽이 가한 평균 충격력은 얼마인가? 전략: 0.00 초 간격으로 찍은 두 공 사이의 거리를 측정하여 타격 후 공의 속도를 추정하고, 충격량과 운동량의 원리로부 터 공에 가해지는 평균 합력을 구한다. 풀이: 0.00 초 동안 날아간 거리는 48, 방향은 위쪽 으로 이다. 따라서 공의 속도크기는 (48 )/(0.00 s)=48 (/s) 이다. 9/59

00 초 간격으로 찍은 두 공 사이의 거리를 측정하여 타격 후 공의 속도를 추정하고, 충격량과 운동량의 원리로부 터 공에

10 0/59 예제 5.3 (계속) 공의 무게가 0.6 N이므로 공의 질량은 0.6/9.8=0.06 kg이다. 충격량과 운동량의 원리로부터 평균 합력을 구한다 : Fa : Fa 0.06 kg48 /scos i sin j F 4.556i.749j (kn) a 0

11 5. 선형운동량(linear oenu)의 보존 물체 와 에서 F 는 가 에 가하는 힘이며, 역으로 F 는 가 에 가하는 힘이다. 두 힘은 예를 들어 접촉상태에서 일어나 거나 두 물체를 연결한 스프링 에 의해 일어날 수도 있다. Newon의 제3법칙에 따라 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대 이다. /59 0 F F 와 에 가해지는 외력이 없거나 서로에게 가하는 힘과 비교하여 외력을 무시할 수 있다고 가정하면, 임의의 시간 과 에대해물체 와 에 충격량과 운동량의 원리를 적용할 수 있다. cons 0,, d d F F 위 두식을 더하면

12 /59 5. 선형운동량(linear oenu)의 보존 두물체와 에 외력이 없다면, 또는 두 물체의 내력에 비해 외력을 무시할 수 있다면, 두 물체의 전체 선형운동량은 보존된다 : consan 물체 와 의 전체 질량중심(즉, 두 물체를 하나의 시스템으로 생각할 때의 질량중심)의 속도도 일정함을 증명해 보자 : r 와 r 를 두 물체의 각각의 질량중심 위치벡터라고 하면, 전체 질량중심의 위치 r 은 r =dr/d r r consan

13 3/59 5. 선형운동량(linear oenu)의 보존; 적용 어떤 문제에서는 전체 질량중심의 운동만이 얻을 수 있는 유일한 정보인 경우가 있으므로, 전체 질량중심의 속도가 일정하다는 사실 을 아는 것이 중요하다. 와 에 무시할 수 없는 외력이 작용할 지라도 특정 방향에 대해서 는 이 외력을 무시할 수 있다면 그 방향에 대해 선형운동량 보존을 적용할 수 있다. 선형운동량의 보존은 고려 대상인 물체의 개수와는 상관이 없으며, 어떤 물체들의 집합이라도 작용하는 외력들을 무시할 수 있다면 물체들의 전체 선형운동량은 보존되며 또한 전체 질량중심의 속도 도 일정하다.

14 예제 5.4 선형운동량의 보존 질량이 P 인 어떤 사람이 질량 의 정지 상태인 바지선(barge) 중심에 서 있다. 물이 바지선에 가하는 수평력은 무시한다. (a) 만일 이 사람이 물에 대해 P 의 속도로 달리기 시작한다면 이로 인해 얻어지는 바지선의 물에 대한 속도는 얼마인가? (b) 이 사람이 바지선의 우측 끝부분에 도달해서 멈춘다면, 원래 위치에 대한 사람과 바지선의 상대적인 위치는 얼마인가? 4/59 전략 (a) 사람과 바지선에 대한 유일한 수평력은 서로가 가하는 힘이다. 따라서 수평방향의 전체 선형운동량 보존으로부터 바지선 속도를 구할 수 있다. (b) 사람과 바지선의 전체 질량중심은 처음에 정지상태였으며 계속 유지되어야 한다. 이로부터 사람과 바지선의 위치를 구할 수 있다.

(b) 이 사람이 바지선의 우측 끝부분에 도달해서 멈춘다면, 원래 위치에 대한 사람과 바지선의 상대적인 위치는 얼마인가?

15 예제 5.4 (계속) 5/59 풀이 선형운동량 보존으로부터, 사람이 달리기 전에 사람과 바지선의 수평 방향 전체 선형운동량이 0이었으므로 사람이 달리기 시작한 후에도 0 이어야 한다. 사람이 달리고 있는 동안 바지선의 좌측방향 속도 크기 를 라고 하면, 다음 식으로부터 사람이 달리고 있는 동안의 바지선 속도를구할수있다: P P P 0 P

16 (b) 바지선과 사람의 초기 질량중심 위치를 좌표계의 원점으로 하고, 원점의 왼쪽으로 바지선의 질량중심 위치를 라고 하자. 사람이 바지선의 우측 끝에 도달하여 멈추었을 때, 전체 질량중심은 여전히 = 0에 있어야 한다는 사실로부터 해를 얻을 수 있다 : 6/59 P P P P P P P P G L L L, & 0 예제 5.4 (계속)

17 7/ 충돌(Ipacs) 충돌 전의 두 물체의 속도를 알고 있다면, 충돌 후 두 물체의 속도를 구할 수 있는가? 즉, 충돌이 두 물체의 운동에 미치는 영향은? 충돌하는 물체들이 외력을 받지 않는다면, 이들의 전체 선형운동량 은 보존되어야 한다. 설사 외력을 받는다고 해도 충격력이 대개는 매우 크며 충돌시간이 매우 짧아서 외력들이 물체의 운동에 미치는 영향은 충격력에 비해 무시할 만 한다. 물체 와 가 속도 와 로충돌 하며 충돌 후의 속도가 과 라 고 하자. 충돌 직전과 충돌 직후의 시간 간격은 매우 짧아서 외력의 영향을 무시할 수 있으므로, 와 로 구성된 시스템의 전체 선형 운동량은 보존된다 :

설사 외력을 받는다고 해도 충격력이 대개는 매우 크며 충돌시간이 매우 짧아서 외력들이 물체의 운동에 미치는 영향은 충격력에 비해 무시할 만 한다.

18 8/ 충돌(Ipacs): 완전 소성충돌 와 의 질량중심의 속도 는 충돌 전과 후가 동일하다 : 와 가 충돌 후 들어붙는다면, 두 물체는 완전 소성충돌 (perfecly plasic ipac)을 한다고 하며, 위 식으로부터 충돌 후 의 합쳐진 물체의 질량중심의 속도를 구할 수 있다. 이 식은 충돌 의 물리적인 성질을 고려하지 않고 충돌 후의 속도를 구할 수 있 게 한다. 만일 와 가 충돌후서로붙 지 않는다면, 선형운동량 보존 만으로는 충돌 후의 두 물체의 속도를 구하는데 충분한 식을 얻을 수 없으므로 추가로 다른 식이 필요하다.

19 5.3 충돌: 정면중심충돌(Direc cenral ipac) 와 의 질량중심이 충돌 전에 속도 와 로 같은 직선상에서 움직 인다고 가정하자. 충돌하는 동안 물체 와 가 서로에게 가하는 힘의 크기를 R이라 하고, R은 운동경로에 평행하며 두 물체의 질량중심을 향한다고 가정하자. 이 충돌을 정면 중심충돌(direc cenral ipac)이 라 하며, 두 물체는 충돌 후에도 동일한 직선을 따라 운동한다. 충돌하는 동안 외력의 영향을 무시할 수 있다면, 전체 선형운동량은 보존된다 : ' ' 9/59

20 5.3 충돌: 정면중심충돌(Direc cenral ipac) 속도 와 를 구하기 위해서는 또 하나의 식이 필요하다. 이를 위해 충돌 과정을 자세히 고찰해 보자. 와 가 처음 접촉하게 되는 시각을 이라고 하자. 충돌 결과 두 물체는 변형 하게 되며 두 질량중심은 점점 더 가까 워진다. 에서, 두 질량중심은 가장 근접한 거리 가 되며 이 시각에서 두 질량중심의 상대속도는 0이며 두 물체는 같은 속도 를 갖는다. 그 다음 두 물체는 서로 떨어지기 시작 하여 시각 에서 분리된다. 에서 까지, 에서 까지의 시간구간에 대해 에 충격량과 운동량 의 원리를 적용한다 : R d, R d ' 0/59

21 / 충돌: 반발계수 e 물체 에 대해서도 에서 까지, 에서 까지의 시간구간에 대해 충격량과 운동량의 원리를 적용한다 : R d, R d ' 충돌 결과, 물체의 운동에너지의 일부는 영구변형과 열, 소리 등으 로 소실되므로, 에서 까지의 충돌의 복원 단계에서 두 물체가 서로에게 준 충격량은 에서 까지의 충격량보다 일반적으로 더 작다. 이들 두 충격량의 비율을 반발계수(coefficien of resiuion) e 라고 한다 : e R d R d 반발계수 e의 값은 두 물체가 충돌할 때의 속도와 방향뿐만 아니라, 두 물체의 성질에도 좌우되며, 충돌과정에서의 변형의 상세 해석이 나 실험에 의해서만 결정될 수 있다.

22 앞에서 얻은 충돌과정에서의 식으로부터, 반발계수 e를 충돌 전후의 두 물체의 상대 속도로 나타낼 수 있다 : /59 ' ' ' ' e e R d R d e e R d R d e e가 주어지면, 선형운동량 보존식과 함께 충돌 후의 두 물체의 속도 와 를구할수있다. e = 0(완전소성충돌)이면, 반발계수 식으로부터 = 임을 알 수 있다. e = (완전탄성충돌)이면, 충돌 전의 전체 운동에너지는 충돌 후의 전체 운동에너지와 같다. 즉, 전체 운동에너지는 보존된다. 5.3 충돌: 반발계수 e

23 e = (완전탄성충돌)인 경우, 총 운동에너지가 보존됨을 보여줄 수 있다 : 3/59 & e ' ' ' ' ' ' ' ' 위의 두 식으로부터 와 를 구하면, ' ' ' ', 충돌 전후의 두 물체의 운동에너지가 같음을 다음과 같이 알수있다: 운동에너지가 보존되는 충돌을 완전탄성이라고 부른다. 실제로는 어떤 충돌에 서도 에너지는 일부 손실된다. (소리나 영구변형도 에너지 손실 형태) 5.3 충돌: 완전탄성충돌의 운동에너지 보존

24 와 가 속도, 로 서로 접근하여 충돌하게 되며, 충돌하는 동안 서로 가하는 힘이 축에 평행하면서 상대방의 질량중심을 향한다고 가정하자. 4/59 축 방향의 선형충격량 보존 : z z z z y y y y,,, y 축이나 z 축 방향으로는 어떤 힘도 나 에 가해지지 않으므 로이들방향으로는충돌후에도 속도가 변하지 않는다 : e 축 방향의 반발계수 : 5.3 충돌:경사중심충돌(Oblique cenral ipac)

25 5/ 충돌:벽과의 충돌 후 물체의 속도 마찰을 무시한다면, 물체 가 정지상태의 물체 에 비스듬하게 부딪치는 경사 중심충돌 문제를 해석할 수 있다. 가 정지상태의벽에 부딪치며, 와 사이의 마찰을 무시할 수 있다 면, y와 z 방향으로는 충돌이 아무런 힘도 가하지 않으므로 의 y, z 방향 속도성분은 변하지 않는다. 충돌 후의 의 방향 속도성분은 반발계수 식에 =0을 대입하여 구 할수있다: e e 0 0

26 6/59 예제 5.6 충돌 해석 4 kg의 질량와 가 매끄러운 수평 막대 상에서 미끄러진다. 다음 두 경우에 대해 충돌 후 두 물체의 속도를 구하라 : (a) 두 물체가 Velcro 로 덮여 있어서 충돌 후 서로 붙는 경우; (b) 두 물체의 반발계수가 e = 0.8인 경우. 전략 (a) 만일 두 질량이 서로 붙는다면, 충돌 후 두 질량은 같은 속도를 같게 된다. 선형운동량 보존으로부터 두 질량의 속도를 구할 수 있다. (b) 반발계수에 대한 식과 선형운동량 보존 식으로부터 충돌 후 각 물체의 속도를 구할 수 있다.

27 풀이 (a) 충돌 전 두 물체의 속도는 =0 /s, = -5 /s이다. 선형운동량 의 보존으로부터 충돌 후 두 물체의 공통 속도인 를 구할 수 있다: 7/59 /s.5 ' ' 4 4 5/s 4 0 /s 4 : ' (b) 선형운동량의 보존법칙과 반발계수로부터 충돌 후의 두 물체의 속도인 와 를 구한다 : /s 8.5 /s, 3.5 5) ( : : e 예제 5.6 (계속) 충돌 후 결합된 두 물체는 오른쪽으로.5 /s의 속도로 움직인다.

28 예제 5.6 (계속) 충돌 후, 물체 는 3.5 /s의 속도로 왼쪽으로 움직이며, 는 8.5 /s의 속도로 오른쪽으로 움직인다. 8/59 비판적 사고 만일 두 질량이 충돌 후에 서로 붙는다면 충돌 후에 결정해야 할 속도 는 하나뿐이므로, 선형운동량의 보존만으로도 그 속도를 구할 수 있다. 그러나 만일 두 질량이 서로 붙지 않는다면 충돌 후의 두 속도를 구하 기 위해서는 다른 식이 더 필요하다. 반발계수는 이 때 필요한 식을 추 가로 제공한다. 비록 충돌하는 물체가 서로 붙지 않는다고 하더라도, 충돌후이둘의전체질량중심의 속도는 붙었을 때 갖게 될 속도와 동 일하다. 이 예제에서 충돌 후 전체 질량중심의 속도는 (4)( 3.5) (4)(8.5) 4 4 이며, (a)에서 구한 속도와 같다..5 (/s)

29 9/59 예제 5.6 운동량의 우주선 도킹 적용 아폴로 사령선()이 소유즈 캡슐()과 도킹을 시도한다. 이들의 질량은 = 8 Mg, = 6.6 Mg이다. 소유즈는 기준좌표계에 대해 정지상태 이며, 사령선은 속도 = 0.i j 0.0k (/s)로 접근한다. (a) 만일 첫 번째 도킹 시도가 성공이면, 도킹 후 결합된 우주선의 질량 중심의 속도는 얼마인가? (b) 만일 첫 번째 도킹 시도가 실패하고 이로 인한 충돌 반발계수가 e = 0.95이면 충돌 후 두 우주선의 속도는 각각 얼마가 되겠는가? y V z

30 예제 5.6 (계속) 전략 (a) 도킹이 성공적이라면, 충돌은 완전 소성이며 전체 질량중심의 속도는 변하지 않는다는 사실을 이용하여 충돌 후의 질량중심 속도를 구한다. (b) 도킹용 연결고리가 가하는 힘이 축에 평행한 경사중심충돌을 가정함으로써 축 방향으로의 운동량 보존과 반발계수 식으로 부터 충돌 후의 두 우주선 속도를 구할 수 있다. 풀이 (a) 전체 질량중심의 속도는 충돌 전후가 동일하다. 도킹은 완전소성 과 같으므로 도킹 후의 속도는 전체 질량중심의 속도와 같다 : 30/ i 0.00j 0.046k 8Mg0. i 0.03j 0.0k 8Mg 6.6 Mg (/s) 0

31 3/59 (b) 두 우주선의 y, z 방향 속도성분은 변하지 않는다. 축방향선형 운동량 보존과 반발계수 식으로부터 충돌 후 두 우주선의 속도를 구한다 : e 예제 5.6 (계속) : 위의 두 식을 풀면 = (/s), = 0.85 (/s)이므로, 충돌 후 두 우주선의 속도는 다음과 같다 : ' ' i 0.03 j 0.0k 0.85i (/s) (/s)

32 3 Hoe Work of haper 5 다음 연습문제를 풀고 리포트로 제출 #5.3, #5.7, #5.8, #5.0, #5., #5., #5.0, #5., #5.3, #5.4 #5.43, #5.49, #5.5, #5.53, #5.56, #5.57, #5.60, #5.63, #5.76, #5.78 제출 기일: 03년 월 9일 3:00

격량의크기와충돌시간은 가,, 가, 이므로, 평균힘의크 기는 는, 는 로 ( 나 ) 에서가 ( 가 ) 에서보다더크 11. 두수레의충돌비교하기정답 5 질량과속도가같은 A, B 가정지했으므로 A, B 의운동량변화량은같고, 에서충격량도같 많이찌그러진 B 의충돌시간이더길 므로충

격량의크기와충돌시간은 가,, 가, 이므로, 평균힘의크 기는 는, 는 로 ( 나 ) 에서가 ( 가 ) 에서보다더크 11. 두수레의충돌비교하기정답 5 질량과속도가같은 A, B 가정지했으므로 A, B 의운동량변화량은같고, 에서충격량도같 많이찌그러진 B 의충돌시간이더길 므로충 1. 정답 3 손을뒤로빼면서물풍선을받으면풍선이정지할때까지의시간이길어져충격력이작아지므로풍선이터지지않게된 운동량의변화량이같은경우시간을길게하여힘을작게하는것은ㄱ, ㄴ의경우가된 ㄷ. 물로켓의발사는작용반작용의원리를이용한것이 2. 정답 2 ㄱ. 같은크기의힘으로불고있으므로대롱의길이에관계없이충격력은같 ㄴ. 대롱의길이가길수록힘이작용하는시간이길어서충격량이더크 ㄷ. 따라서대롱이길수록운동량변화량이크므로화살의운동량이더크