Microsoft PowerPoint - 1학기 09주.ppt [호환 모드]

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윤재 기
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1 9 장. 선운동량과충돌 (Lnear oentu and Collson) 9. 선운동량 9. 분석모형 : 고립계 ( 운동량 ) 9.3 분석모형 : 비고립계 ( 운동량 ) 9.4 일차원충돌 9.5 이차원충돌 9.6 질량중심 9.7 다입자계 9.8 변형가능한계 9.9 로켓의추진력

2 o Newton's 제 법칙 : 운동량의법칙 가속도의법칙 Net Force의법칙 - 제법칙 : 물체에작용한힘은물체의운동량의변화율과같다 Δp F a Δt 비례계수를 로하고운동량과힘은같은방향 p p Fat or F a t - 물체에가해진평균힘은운동량의시간변화율과같다. or d d ( ) dp o F a oded "Newton's nd Law" ㆍ물체에작용하는힘은그물체의운동량의시간변화율과같다. p p ) ( - 물체의운동량 (oent, oentu" or oenta") - Latn어 Quantty o oton에서 Newton이따온말

3 9. 선운동량 (Lnear oentu) - Dene) p = p x = x, p y = y, p z = z - 고립된질점계에서물체에작용하는외력의합이 0 이면운동량은보존된다. Conseraton o (Lnear) oentu ( 선운동량보존의법칙 ) dp I F 0 then p const ( 일정 ) 계질점계에서의선운동량의보존, 충돌 (Conseraton o Lnear oentu or a Two Partcle Syste, Collson, Scatterng) dp - 질점 이느끼는질점 의작용력 F - 질점 가느끼는질점 의작용력 dp F -이때F 와 F 은서로에대한작용, 반작용력 dp dp d F F 0 p p 0 p p p const 선운동량보존의법칙 where : 두질점들의총운동량, "Law o Conseraton o Lnear oentu" - 어떤고립계내의전체운동량은시간에관계없이항상일정하다

4 오른쪽그림에서 F F 0 a a 0 d d 0 d( d ) ( d( ) ) 0 0 시간에대한미분이 0 이므로괄호안에있는물리량은일정해야한 다. 이양을계의선운동량이라고한다.

5 속도 로움직이는질량 인입자나물체의선운동량 (lnear oentu) 은질량과속도의곱으로정의된다. p ( 벡터량 ) 단위 : kg /s 뉴턴은질량과속도의곱 를운동의양 (quantty o oton) 이라고표현했다. 이는운동을멈추게하기어려운정도를가리킨다. 입자의선운동량과입자에작용하는힘사이의관계를생각하면, F a d d( ) dp dp F ( 제법칙의일반화된형태 ) 입자의선운동량의시간변화율이그입자에작용하는전체합력즉, 알짜힘과같다.

6 9. 분석모형 : 고립계 ( 운동량 ) (Analyss odel: Isolated Syste(oentu)) 즉, d ( ) p tot 0 p p 일정 d ( p p ) 0 p p p p 전체 ( 선 ) 운동량이보존되므로각성분별로도보존된다. p x px p x p x p y py p y p y p z pz p z p z 선운동량보존법칙고립된계에있는두입자이상의입자가상호작용할때, 이들계의전체 ( 선 ) 운동량은항상일정하게유지된다. 6

7 예제 9. 활쏘는사람 60 kg 의궁수가마찰이없는얼음위에서서 0.50 kg 의화살을수평방향으로 50/s 로쏘았다. 화살을쏜후에반대방향으로궁수가얼마의속도로얼음위에서미끄러지는가? 풀이 0 0.4ˆ 0.50kg (50ˆ 60kg /s /s) 만일화살을수평선상에서각 θ 인방향으로쏘았다면궁수의반동속도는어떻게될까? X- 방향에서운동량보존을고려하면 cos cos 0

8 예제 포탄의발사속도 얼어붙은호수위에서 3000 kg의대포가 30 kg의포탄을수평으로발사하였더니, 그반발력으로대포가.8 s의속도로움직였다. 포탄의발사속도는? 풀이 발사전계의총운동량 = Kg 30Kg.8 sec 80 sec c) "-" sgn : 포탄의방향은대포와반대방향

9 9.3 분석모형 : 비고립계 ( 운동량 ) 충격량 (Ipulse I ) = 운동량의변화량 ( p) - 운동량의변화량 ( p : " 충격량 ", Ipulse I) 으로부터아주짧은시간에작용하는힘 - 짧은시간동안작용하는총힘 (Vector 량 ) : - (Analyss odel: Nonsolated Syste(oentu)) I F dp t t 에서 양변을적분하면 F p dp F p 충격량 (Ipulse) p t t F - 질점에작용하는힘이충분히크지않더라도작용시간을줄임으로써큰 Ipulse 를얻을수있다. - 입자의운동량의변화는입자에작용하는알짜힘의충격량과같다. p I ( 충격량-운동량정리 ) I

단위시간당작용한힘 F t t t t t F t t F t I p Ft - Ipulse Approxaton ( 충격량근사 ) Ipuse

10 c) Ipulse Force ( 충격력 ) - 짧은시간동안작용하는힘 - t 가아주짧은경우에적용 Ex) 당구칠때큐를끊어치기 - 질점에작용하는힘은아주짧은시간동안이지만다른힘 (ex 중력 ) 보다충분히크게작용 Asde) Aerage Force ( 평균력 ) - 단위시간당작용한힘 F t t t t t F t t F t I p Ft - Ipulse Approxaton ( 충격량근사 ) Ipuse 와평균력은같은면적을가진다. c) 평균력은 Ipulse 에비하여충분히큰작용시간을요구 t ( F) ag F 으로표현하면 I ( t t t F) ag 작용하는힘이시간에대해일정한경우 I I F t

예제 9.3 범퍼가얼마나좋은가? 자동차충돌시험에서질량 500kg 의자동차가벽과충돌한다.

640 4 Kg /s 4 P.640 ˆ kg /s t 0.50 s 5 ).

13 예제 9.3 범퍼가얼마나좋은가? 자동차충돌시험에서질량 500kg 의자동차가벽과충돌한다. 충돌전, 후자동차의속도는각각 =-5.0 /s 와 =.60 /s 이다. 충돌이 0.50초동안에일어난다면, 이때충돌에의한충격량과자동차에가해지는평균력은얼마인가? 풀이충격량 : F ag I t I p p p 500Kg (.6 /s (.5 /s) Kg /s 4 P.640 ˆ kg /s t 0.50 s 5 ).760 c) 튕기지않았다면 충돌후멈춤 : = 0 p = 0 I p 500Kg (.5 /s) 알짜힘 = 평균력.50 4 Kg /s 4 I P.50 ˆ kg /s Fag t t 0.50 s ˆ N 5.50 튕겼을때의충격량과평균력이더크다 ˆ N

Asde) 운동량과에너지의비교 - Lnear oentu.s. Knetc Energy p p KE 9.

- 운동량보존, 운동에너지보존 ex) ( 상아 ) 당구공 o 비탄성충돌 : Inelastc Collson - 운동량보존,

비탄성충돌시두물체가충돌한후함께붙어서운동 탄성충돌 (elastc collson):

14 Asde) 운동량과에너지의비교 - Lnear oentu.s. Knetc Energy p p KE 9.3 일차원충돌 (Collsons n One Denson) p p 충돌현상의종류 o 탄성충돌 : Elastc Collson - 운동량보존, 운동에너지보존 ex) ( 상아 ) 당구공 o 비탄성충돌 : Inelastc Collson - 운동량보존, 운동에너지비보존 o 완전비탄성충돌 : Perectly Inelastc Collson - 비탄성충돌시두물체가충돌한후함께붙어서운동 탄성충돌 (elastc collson): 충돌과정에서계의전체운동에너지가보존비탄성충돌 (nelastc collson): 충돌과정에서계의전체운동에너지가보존되지않음 완전비탄성충돌 (Perectly Inelastc Collsons) 충돌한후서로붙어서함께운동하는경우

15 완전비탄성충돌 (Perectly Inelastc Collson) 의해석 - 질량 이속도 로움직이고질량 가속도 로움직인다면 - by oentu Conseraton: P P ( ) c) 완전비탄성충돌에서의에너지손실 - 완전비탄성충돌에서는에너지보존이일어나지못한다 - 에너지 : - 손실에너지 : KE E ) ( KE E ) ( KE KE KE ) ( KE "-" sgn : Energy Loss V 를대입하면,

16 탄성충돌 (Elastc Collsons) 운동량보존법칙에따라서탄성충돌에서는운동에너지도보존되므로에너지관련식을변형하면 ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( 운동량보존식에서 (9.9) P P KE KE (9.8) (9.6) (9.7)

17 ) ( (9.0) (9.6) 과 (9.0) 식을이용하면 특별한경우로서, 가정지해있던경우 A) = 인경우, 0 B) >> 인경우, C) << 인경우, 0 ex) 동전, 당구공, 핵발전소의감속제 (9.8)/(9.9)

18 예제 9.4 잘튀는공장치 ( 뉴턴의요람 ) - 을당겼다놓으면, 5 가같은속력으로튕긴다. -, 를당겼다놓으면, 4,5 가같은속력으로튕긴다. - 을당겨서속력 로충돌시키면, 4,5 가 / 의속력으로튕길까? 풀이 탄성충돌이므로 : p - 보존 : E - 보존 : p p E E p 보존성립 4 E 보존성립 X 4,5 는 / 의속력으로튕기지않는다

19 c) 4,5 가붙은경우의탄성충돌 p - 보존 : E - 보존 : p p E E 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 () 4,5 = = + = 4,5 4,5 3 3 은 4,5 의 배의속력으로되튄다.

20 예제 9.6 탄동진자 (Ballstc Pendulu) - 총알과같은고속투사체의속도측정 질량이 인총알이가벼운줄에매달려있는질량이 인커다란나무토막에발사되었다. 총알이나무토막에박힌채로높이 h 만큼끌려올라갔다. h 의값을측정하여총알의속력을구하라. 풀이완전비탄성충돌이므로 K ( ) B B K B A ( ) 충돌후, 에너지보존법칙을적용하면 A 0 0 ( ) gh ( ) A gh B A

22 차원에서의 ( 완전탄성 ) 충돌 (Perectly Elastc Collson) p- 보존 : E- 보존 : Asde Ex) 공기테이블의퍽또는당구공에서의완전탄성충돌 - =, =0 인경우의충돌각? - p- 보존에서 : - E- 보존에서 : () 에서 --- () --- () 9.5 이차원충돌 (Collsons n Two Denson) 9.5 이차원충돌 (Collsons n Two Denson)

23 () 에서 cos 0 Snce 0, 0 cos 질량이같은두물체간의완전탄성충돌시, 한물질이정지상태에있다면 충돌후두물체가이루는사이각은항상 90 이다.

24 Asde) Ipact Paraeter ( 충돌경수 ) b - Dene) 충돌에서의수직중심거리 c) 실제당구공에서의충돌을살펴보면, 당구공은점이아니고구이다. ) Ipact Paraeter b=0 인경우 - 구의중심에일치하게충돌하는경우 : - 일차원완전탄성충돌과같은결과 - = ) Ipact Paraeter : 0 < b < R 인경우 - 차원탄성충돌이일어난다 - 두공사이의사이각은항상 90 이다. 3) Ipact Paraeter b R 인경우 - 차원탄성충돌이일어난다 - 두공사이의사이각은 90 이다.

25 9.5 이차원충돌 (Collsons n Two Denson ) 이차원충돌과정에서도운동량은보존되므로 - 성분분해 : x x x x y y y y - 오른쪽그림처럼 가정지해있는경우 0 cos cos sn - 탄성충돌경우는운동에너지가보존되므로 sn - 위의연립방정식을푼다

풀이 car : c =500 kg, c = 5/s ban : b =500 kg, b = 0/sj 완전비탄성충돌이므로충돌후두차가붙는다 p - 보존 :

26 예제 9.7 교차로에서의충돌 500kg 의승용차가 5.0/s 의속력으로동쪽으로달리다가북쪽으로 0.0/s 의속력으로달리는 500kg 의밴과교차로에서충돌하였다. 충돌후잔해물의방향과속도에대한크기를구하라. 두대의자동차는충돌후에서로붙어있다고가정한다. 풀이 car : c =500 kg, c = 5/s ban : b =500 kg, b = 0/sj 완전비탄성충돌이므로충돌후두차가붙는다 p - 보존 : p p p cb pc p b c x cc xˆ b p xˆ p yˆ p 0 xˆ 0 p b yˆ cos xˆ sn yˆ c cb b x cb y c b y yˆ b c c cos sn c b b b c b

27 4000kg /s kg kg 500kg 5/s 500kg cos 4 b c c c 4000kg /s kg kg 500kg 0/s 500kg sn 4 b c b b kg /s kg kg /s kg 0 5 tan cos sn /s sn kg /s kg 0 5 4

28 질량중심은둘이상의입자로이루어진계를다시하나의입자로다룰수있도록해준다. 두입자로이루어진계의경우여러개의입자로이루어진 3 차원계의경우 9.6 질량중심 (The Center o ass) 9.6 질량중심 (The Center o ass) C x x x n n n x x x x x C C x x x x

30 y y C z z C k j k j r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ C C C C z y x z y x 질량중심을가리키는위치벡터를 r C 으로나타내면 r r C 질량의분포가연속적인경우, 질량요소들에의한합으로표현하면 ˆ ) ˆ ˆ ( k j r z y x x x C xd x x l 0 C

31 y C yd z C zd r C r d 대칭성을갖고있는물체의질량중심은 대칭축과대칭면위에놓인다. 크기가있는물체는질량이연속으로분포되어 있어서각각의작은질량요소에중력이작용한 다. 이들힘의알짜효과는 무게중심 (center o graty) 이라하는한점에 작용하는단일힘 g 의효과와같다. g 가위치에무관하게일정하다면, 중력중심은질량중심과일치한다.

32 예제 9.8 세입자의질량중심 계는그림과같이위치하는세입자로이루어져있다. 계의질량중심을구하라. 풀이 질량중심의정의로부터 x C x x 3x x (.0kg)(.0) (.0kg)(.0) (.0kg)(0).0kg.0kg.0kg 3.0kg 4.0kg y C y y y (.0kg)(0) (.0kg)(0) (.0kg)(.0) 4.0kg 4.0kg.0 4.0kg 3 3 y 3 r C x ˆ C y C ˆj (0.75ˆ.0ˆ) j

33 예제 9.9 막대의질량중심 (A) 질량이 이고, 길이가 L 인막대의질량중심은양끝사이의중간에있음을보여라. 단, 막대의단위길이당질량이균일하다고가정한다. 풀이 - 막대를 x- 축상에놓는다 ( 대칭성에의해 y, z 방향은무시 ) - 선밀도 λ : 단위길이당질량 - 질량소 ( 미세질량 ) : d = λdl x- 축상의막대 : dl dx L l d dl d dx 연속적인질량분포의경우이므로 x C xd x C L 0 L xdx L x L L 0 L

34 - 질량중심은막대의중앙에놓인다. - 강체에작용하는중력 : 질량중심에작용하는하나의힘 = g c) 대칭성이있는물체 : 질량중심은대칭축상에놓인다 c) 이경우막대의중심을원점에놓으면, X C =0 원점또는중심이된다 (B) 만일막대가균일하지않아서단위길이당질량이 λ=αx (α는상수 ) 로변할때, 질량중심의 x 좌표를 L 값으로구하라. -λ=αx d = λdx = αxdx x C xd 0 L xdx 0 L xxdx 0 L x dx 3 L 3 d 0 L dx 3 x L L C 3 L / 3 0 L xdx L 이므로

35 9.7 다입자계 (Systes o any Partcles) 입자계의질량 이일정한경우계의질량중심의속도는 C dr C dr C ( 계의선운동량은전체질량에질량중심의속도를곱한것과같다 ) P P tot 계의질량중심의가속도는 a C d C d a a C a F

36 계의어떤입자에작용하는힘은외력 ( 계의외부로부터 ) 과내력 ( 계의내부로부터 ) 을둘다포함할수있다. 그러나뉴턴의제 3 법칙에의하면내력은쌍으로서로상쇄되어계에작용하는알짜힘은단지외력에의한것뿐이다 알짜외력을받아운동하는전체질량 인계의질량중심의궤적은같은힘을받는질량 인입자한개의궤적과동일하다. 계에작용하는알짜외력이 0 이면 C Fext a C a P tot C d C 0 ext 상수 ( F 0일때) 입자계에작용하는알짜외력이없다면입자계의전체선운동량은보존된다. : " 운동량보존 " oentu Conseraton!

37 예제 9.0 로켓의폭발 로켓이수직으로발사되어고도 000, 속력 300 /s 에도달했을때같은질량을갖는세조각으로폭발하였다. 폭발후에한조각이 450 /s 의속력으로위쪽으로움직이고, 다른한조각은폭발후동쪽으로 40 /s 의속력으로움직인다면, 폭발직후세번째조각의속도를구하라. 풀이 폭발전후의운동량을표현하면 P ( 300ˆ/s) j P 3 (40ˆ/s) 3 (450ˆ/s) j (40ˆ/s) 3 (450ˆ/s) j (300ˆ/s) j ( 40ˆ 450ˆ)/s j

38 c) 폭발 (3 초 ) 후땅에대한 C 의위치는? - C 은폭발전의운동을유지한다 Y C y 0 y 0 t gt sec sec sec (3sec) c) 포탄이공중폭발하는경우 각조각들의 C 은계속포물선운동을따른다. Asde) 무게중심, 중력중심 (cg, Center o Graty) o 물체의높이가매우높지않을경우 중력가속도 g = const. 외력은 C 에작용한다 cg = C, r C r

9.9 로켓의추진력 (Rocket Propulson) - 연료를태워밖으로내뿜을때의반작용으로추진 (Thrust) - 연료의소모에따른연료의질량감소 Rocket 전체의질량감소 - Rocket의질량 = Rocket 자체의질량 + 연료의질량 = + Δ - Rocket의운동량 (Δ의연료사용시 ) ( + Δ) -t초동안δ

39 9.9 로켓의추진력 (Rocket Propulson) - 연료를태워밖으로내뿜을때의반작용으로추진 (Thrust) - 연료의소모에따른연료의질량감소 Rocket 전체의질량감소 - Rocket의질량 = Rocket 자체의질량 + 연료의질량 = + Δ - Rocket의운동량 (Δ의연료사용시 ) ( + Δ) -t초동안δ 의연료를분사하여 Δ 의속도를얻는다면 Rocket 의속도 : +Δ 로켓의작동원리는로켓과분사된연료로구성된입자계의선운동량보존법칙에의존한다. 우주공간에서의추진을고려해보자. ( ) ( ) ( e) (Δ 의연료사용 : Rocket 자체의질량, Δ 의속도증가, 연료의방출속도 e ) e Rocket 이얻는운동량 = 연료의방출에의한운동량

40 o Rocket 추진의일반화 : Rocket 의전체질량을 으로생각! 분사된질량의증가 d 은로켓의질량이감소한것과같으므로 d =-d 이다. d 은질량의감소를나타내므로음이다. 그래서 d 은양수이다. d e d e d d e d e ln - 추진력 (Thrust) : e ln e ln d d FT e ( 이때 > ) c) 중력의영향고려 : - 중력 : F ext =-g 를윗식에추가하면된다

41 예제 9. 우주공간에서의로켓 우주공간에서로켓이지구에대해 /s 의속력으로날고있다. 엔진을켜서로켓의운동과반대방향으로로켓에대해 /s 의상대속력으로연료를분사한다. (A) 로켓의질량이점화하기전질량의반이되었을때, 지구에대한로켓의속력은얼마인가? 풀이 e ln 3 3 /s (5.00 /s 3 /s) ln 0.5 (B) 로켓이 50 kg/s 의비율로연료를연소하면로켓에가해지는추진력은얼마인가? 추진력 e d.50 ( N 3 /s)(50kg/s)

격량의크기와충돌시간은 가,, 가, 이므로, 평균힘의크 기는 는, 는 로 ( 나 ) 에서가 ( 가 ) 에서보다더크 11. 두수레의충돌비교하기정답 5 질량과속도가같은 A, B 가정지했으므로 A, B 의운동량변화량은같고, 에서충격량도같 많이찌그러진 B 의충돌시간이더길 므로충

격량의크기와충돌시간은 가,, 가, 이므로, 평균힘의크 기는 는, 는 로 ( 나 ) 에서가 ( 가 ) 에서보다더크 11. 두수레의충돌비교하기정답 5 질량과속도가같은 A, B 가정지했으므로 A, B 의운동량변화량은같고, 에서충격량도같 많이찌그러진 B 의충돌시간이더길 므로충 1. 정답 3 손을뒤로빼면서물풍선을받으면풍선이정지할때까지의시간이길어져충격력이작아지므로풍선이터지지않게된 운동량의변화량이같은경우시간을길게하여힘을작게하는것은ㄱ, ㄴ의경우가된 ㄷ. 물로켓의발사는작용반작용의원리를이용한것이 2. 정답 2 ㄱ. 같은크기의힘으로불고있으므로대롱의길이에관계없이충격력은같 ㄴ. 대롱의길이가길수록힘이작용하는시간이길어서충격량이더크 ㄷ. 따라서대롱이길수록운동량변화량이크므로화살의운동량이더크